Embed Size (px)
Citation preview
CALCULO DE SECUENTES Y GRAFICOS EXISTENCIALES ALFA:
DOS ESTRUCTURAS EQUIVALENTES PARA LA LOGICA PROPOSICIONAL
DANIEL CAMILO FUENTES GUZMAN
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
PROGRAMA DE MATEMATICAS CON ENFASIS EN ESTADISTICA
IBAGUE
2014
CALCULO DE SECUENTES Y GRAFICOS EXISTENCIALES ALFA:
DOS ESTRUCTURAS EQUIVALENTES PARA LA LOGICA PROPOSICIONAL
DANIEL CAMILO FUENTES GUZMAN
Codigo 0702-00322006
Trabajo de grado para optar al tıtulo de Profesional en Matematicas con enfasis en Estadıstica
Director
ARNOLD OOSTRA
Profesor del Departamento de Matematicas y Estadıstica
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
PROGRAMA DE MATEMATICAS CON ENFASIS EN ESTADISTICA
IBAGUE
2014
Dedicatoria
Este trabajo de grado ha sido posible gracias al fruto del esfuerzo de muchos meses de
estudio e investigacion en el area de la logica matematica, tiempo durante el cual fue
fundamental la asistencia al Seminario Permanente Peirce de la Universidad del Tolima.
Tal esfuerzo no hubiera sido posible sin el apoyo especialmente de mi madre Offir An-
tonia Guzman y mis hermanas Luisa Paola Fuentes y Marıa Paula Fuentes, quienes me
brindaron fortaleza y humildad; de Dios que me brindo paciencia y amor ayudandome
en cada tropiezo y fortaleciendome como persona y como profesional; de mi director de
trabajo de grado Arnold Oostra, al cual guardo gran admiracion pues el es mi ejemplo y
orgullo como estudiante, persona y matematico, quien me brindo su sabidurıa durante
bastante tiempo en la elaboracion total de este trabajo haciendo posible ası su desarro-
llo; y de mi sobrinito Juan Diego, el cual con apenas 6 meses durante los ultimos dıas
ha estado observandome siempre a mi lado meditando en silencio con una llama en sus
ojos de fe y esperanza en el futuro.
A todos ellos esta dedicada esta tesis, pues son mi motor en el camino.
Agradecimientos
Agradezco principalmente a la Universidad del Tolima por la oportunidad de formacion,
en especial a Horacio Molano, director del programa de Matematicas con enfasis en
Estadıstica de la Facultad de Ciencias, por su gestion, colaboracion y apoyo oportuno
ayudandome para el desarrollo de este proyecto.
Agradezco a todos y cada uno de mis profesores, cuya sabidurıa me ilumino el vasto
oceano que enfrentamos en esta carrera, las infinitas posibilidades en cada area, en-
caminandome a comprender que no escalamos hacia los conocimientos totales en las
ciencias exactas sino mas bien nos dejamos caer en la sabidurıa de estas, integrando
nuestras gotas de aporte al gran oceano del pensamiento universal.
Agradezco las palabras de mi profesor Leonardo Solanilla, quien en una manana en
clase de Calculo Vectorial nos dijo: “Buenos dıas, chicos. A la Universidad venimos es
a estudiar”. Le deseo muchos exitos.
A mis companeros de carrera, en especial a Daniel Francisco Bustos y Camilo Dıaz,
quienes compartieron conmigo vivencias, emociones, conocimientos, alegrıas y gran
companıa, ayudandome en todo momento. Su aporte fue esencial en mi desarrollo y
experiencia.
A mis tıos, quienes son fuente total de orgullo y ejemplo en sus distintas areas de
desempeno profesional. En especial a mi tıo Guillermo Guzman quien con sus continuas
charlas, llamadas y consejos, me anima a seguir sonando, a seguir trabajando en el
camino del progreso.
Nuevamente a mi mama, a mi familia, a Dios, y a mi profesor Arnold Oostra les
agradezco profundamente por siempre estar allı apoyandome y siendo el soporte en el
desarrollo y finalizacion de mi trabajo de grado.
Tabla de Contenido
Introduccion 7
1 Calculo de secuentes 10
1.1 Secuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Reglas para los secuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Deducciones en el calculo de secuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Sobre la equivalencia con otras presentaciones . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Graficos existenciales Alfa 21
2.1 El sistema original de Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Formacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Reglas de transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.3 Deduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 El sistema Alfa alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Presentacion del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Sobre la equivalencia con el sistema original . . . . . . . . . . . 31
3 Equivalencia 34
3.1 Calculo de secuentes mediante graficos Alfa . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Graficos Alfa alternativos mediante secuentes . . . . . . . . . . . . . . 47
5
Conclusiones 52
Bibliografıa 53
6
Introduccion
A traves de los siglos se ha hecho evidente la importancia del calculo proposicional
clasico en los cimientos de la matematica moderna. Muchos han sido los protagonistas
de esta gesta, matematicos que se propusieron la meta de mejorar la presentacion de este
sistema y a traves de grandes ideas y extensiones del pensamiento logico matematico
introdujeron estructuras novedosas. Tal es el caso de los graficos existenciales Alfa de
Charles Sanders Peirce. El sistema general de los graficos existenciales [8], conside-
rado por el mismo su obra maestra, fue creado por su mente maravillosa con el fin
de construir diagramas a partir de conceptos generales, en observar sus relaciones y
formular conclusiones, es decir, ideo sistemas graficos como modelos generalizados del
funcionamiento de la mente al momento de enfrentarse al proceso de pensar desde el
punto de vista logico matematico. Este ambicioso programa no se pudo concretar en
su totalidad, pero Peirce sı dejo una presentacion grafica de la logica proposicional que
sintetiza de manera natural todo lo correspondiente a la sintaxis y la semantica del
mismo. Ademas la extendio a la logica de primer orden por medio de su sistema de
graficos existenciales Beta y a la logica modal con los graficos existenciales Gama.
Para Peirce, una deduccion es “aquel modo de razonamiento que examina el estado de
las cosas afirmadas en las premisas, forma un diagrama de este estado de cosas, percibe
en las partes de ese diagrama relaciones no mencionadas explıcitamente en las premisas,
se satisface a sı mismo mediante experimentos mentales sobre el diagrama, de que estas
relaciones siempre subsistiran, y concluye su verdad necesaria o probable” [4].
Plasmar la manera en que las personas razonan naturalmente al construir demostra-
ciones matematicas, partiendo de supuestos y transformando estos por medio de reglas
para llegar a conclusiones necesarias, es uno de los principales objetivos de la logica
matematica. Esta idea se representa formalmente mediante un metodo de deduccion
que demuestra la validez de todo razonamiento y las leyes de la logica de primer orden,
7
llamado deduccion natural e introducido por Gerhard Gentzen en el ano de 1934, en sus
investigaciones sobre inferencia logica como una metodologıa que se basa en el concepto
de deduccion.
La principal herramienta para el estudio sistematico de la deduccion natural se deno-
mina calculo de secuentes. Tambien fruto del esfuerzo mental de Gentzen, este es un
conjunto de sistemas formales descrito como “la mas bonita ilustracion de las simetrıas
de la logica” [2]. El calculo de secuentes presenta numerosas analogıas con la deduccion
natural y, aunque se adapta bien al caso intuicionista, tambien resuelve problemas de
validez y consecuencias logicas para la logica proposicional clasica.
En este trabajo se quiere mostrar la correspondencia entre las dos estructuras men-
cionadas, y que representan ideas brillantes de los matematicos y logicos geniales
Charles Sanders Peirce y Gerhard Gentzen. Ambos quisieron ilustrar de manera dia-
gramatica la forma en que la mente del ser humano funciona al enfrentarse a pro-
blemas matematicos, resolviendolos por medio de deducciones logicas partiendo o no
de premisas, modelando estas por medio de reglas logicas y produciendo conclusiones
necesarias.
El presente estudio se enfoca entonces en revisar las estructuras logicas conocidas como
los graficos existenciales Alfa y el calculo de secuentes, comparandolos y probando su
equivalencia por medio de una estructura propuesta que sera el puente de relacion, los
graficos Alfa alternativos. Este es un sistema que nace de la necesidad de no depender
de la paridad como en los graficos existenciales Alfa de Peirce, y ası, sera sumamente
util para establecer la equivalencia de los secuentes con los graficos existenciales Alfa
clasicos. La equivalencia de los graficos existenciales Alfa con la logica proposicional
conoce varias pruebas, una clasica debida a Zeman [9] y otra mas moderna, empleando
algebras booleanas, elaborada en la Universidad del Tolima por los estudiantes Danilo
Rodrıguez y Jorge Enrique Taboada [6]. Sin embargo, como en todos los teoremas
matematicos importantes, en las investigaciones sobre el tema se sigue buscando una
prueba que resulta mas natural y menos engorrosa. Se espera que el camino propuesto
en este trabajo sea un paso significativo hacia una demostracion fluida y natural.
En el primer capıtulo de este documento se presenta el calculo proposicional clasico
mediante secuentes; en el segundo se revisan los graficos existenciales Alfa de Peirce ası
como su version alternativa. El material de estos dos capıtulos es conocido y, salvo su
presentacion, se puede encontrar en la literatura matematica. En el tercer capıtulo se
8
realiza, en dos pasos, la demostracion de la equivalencia entre los sistemas mostrados.
Tanto el planteamiento de la idea como todas las demostraciones puntuales contenidas
en ese capıtulo son originales y constituyen un aporte novedoso en esta area por parte
del autor y el director.
9
Capıtulo 1
Calculo de secuentes
El calculo de secuentes es el sistema logico formal propuesto por Gerhard Gentzen en
el cual, a partir de unas premisas (secuencias de formulas) y la aplicacion de las corres-
pondientes leyes logicas, se logra un proceso de deduccion que representa de manera
tecnica la logica matematica a nivel proposicional. En realidad, tambien existen reglas
para la logica de predicados pero ellas se omiten en este trabajo.
Se puede pensar que el calculo de secuentes es una manera de formalizar el uso de las
reglas de inferencia conocidas desde la Edad Media.
En la presentacion que sigue, se asumen ya conocidos los sımbolos y las formulas
del calculo proposicional clasico, para mayores detalles puede consultarse el texto de
Caicedo [1]. Para la presentacion general del calculo de secuentes, y en especial para
la eleccion de las reglas, se toma como base el texto de Girard [2] quien a su vez siguio
los trabajos originales de Gentzen.
1.1 Secuentes
Definicion 1.1. Un secuente es una expresion A ⊢ B, donde A,B son secuencias
finitas de formulas proposicionales.
A = A1, A2, . . . , An
B = B1, B2, . . . , Bm
10
Ejemplo 1.2.
p, p → q ⊢ q, r p ⊢ p → q
p, p → q ⊢ p, q p → q, q → r ⊢ s ∧ ¬t
p ⊢ q → p ⊢ p → q
p, q ⊢
La interpretacion intuitiva de A ⊢ B es que de la conjuncion A1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An se
deduce la disyuncion B1 ∨B2 ∨ . . . ∨ Bm, o en terminos semanticos,
si todas las Ai son verdaderas, entonces algun Bj es verdadero.
Algunos casos especiales
• Si A es vacıo (n = 0), simplemente se afirma la disyuncion de los Bj.
Ejemplo 1.3 (Ley del Tercero Excluido). ⊢ p,¬p
• Si A es vacıo (n = 0) y B es unitario (m = 1), simplemente se afirma B1. Este
caso corresponde a las Tautologıas.
Ejemplo 1.4. ⊢ p → p
• Si B es vacıo (m = 0), se niega la conjuncion de los Ai. Esto corresponde a las
formulas incompatibles.
Ejemplo 1.5. p,¬p ⊢
• Si B es vacıo (m = 0) y A es unitario (n = 1), simplemente se niega A1.
Ejemplo 1.6. α ⊢
Este ejemplo corresponde a: α es falso.
• Si A y B son ambos vacıos (m = n = 0), es la contradiccion.
Ejemplo 1.7. ⊢
Este ultimo ejemplo corresponde al absurdo.
11
1.2 Reglas para los secuentes
A continuacion se enuncian los axiomas de este sistema, esto es, aquellas reglas que se
adoptaran como validas. Como se vera, estas reglas fundamentales estan clasificados
en grupos.
Reglas de identidad
• Axioma de identidad
A ⊢ AID
• Regla de corte
A ⊢ C,B A′
, C ⊢ B′
A,A′
⊢ B,B′
CUT
Esta es una manera de expresar la transitividad de la deduccion, como se aprecia en el
caso particular siguiente.
Nota 1.8. Si en la regla de corte las secuencias B y A′
son vacıos queda:
A ⊢ C C ⊢ B′
A ⊢ B′
Esto a veces se denomina “silogismo hipotetico”.
Reglas estructurales
• Reglas de intercambio
A,C,D,A′
,⊢ B
A,D,C,A′
⊢ BLX
A ⊢ B,C,D,B′
A ⊢ B,D,C,B′RX
Aquı LX es “Left Exchange” (intercambio a la izquierda) y RX es “Right Exchange”
(intercambio a la derecha). En efecto, como A, A′
, B, B′
pueden ser vacıos, estas reglas
simplemente indican la conmutatividad de las formulas en las secuencias.
12
• Reglas de debilitamiento
A ⊢ B
A,C ⊢ BLW
A ⊢ B
A ⊢ C,BRW
En este caso, LW es “Left Weakening” (debilitamiento a la izquierda) y RW es “Right
Weakening” (debilitamiento a la derecha). Significa que se pueden inyectar hipotesis
(porque a la izquierda es una conjuncion) y tambien conclusiones (porque a la derecha
es una disyuncion).
Ejemplo 1.9.
p, p → q ⊢ q
p, p → q, r ⊢ q
p, p → q ⊢ q
p, p → q ⊢ q, r
• Reglas de contraccion
A,C,C ⊢ B
A,C ⊢ BLC
A ⊢ C,C,B
A ⊢ C,BRC
Aquı LC es “Left Contraction” (contraccion a la izquierda) yRC es “Right Contraction”
(contraccion a la derecha). Consiste en que formulas repetidas se pueden suprimir tanto
en el antecedente como en el consecuente, esto corresponde a la idempotencia de la
conjuncion y la disyuncion.
Reglas logicas
• Reglas de negacion
A ⊢ C,B
A,¬C ⊢ BL¬
A,C ⊢ B
A ⊢ ¬C,BR¬
Esta regla permite pasar del lado izquierdo al lado derecho y a la inversa, anadiendo la
negacion.
13
• Reglas de conjuncion
A,C ⊢ B
A,C ∧D ⊢ BL1∧
A,D ⊢ B
A,C ∧D ⊢ BL2∧
A ⊢ C,B A′
⊢ D,B′
A,A′
⊢ C ∧D,B,B′
R∧
Se trata de dos reglas con una premisa que permiten introducir una conjuncion a la
izquierda, y una regla con dos premisas que permite introducirla a la derecha.
• Reglas de disyuncion
A,C ⊢ B A′
, D ⊢ B′
A,A′
, C ∨D ⊢ B,B′
L∨
A ⊢ C,B
A ⊢ C ∨D,BR1∨
A ⊢ D,B
A ⊢ C ∨D,BR2∨
Estas reglas son simetricas a las de la conjuncion.
• Reglas de implicacion
A ⊢ C,B A′
, D ⊢ B′
A,A′
, C → D ⊢ B,B′
L →A,C ⊢ D,B
A ⊢ C → D,BR →
Para la izquierda es una regla con dos premisas, y para la derecha una regla con una
premisa que usa dos ocurrencias de formulas. Como se observa en seguida, la segunda
corresponde al celebre teorema de la deduccion.
Nota 1.10. Si A y B son vacıos la regla R → queda:
C ⊢ D
⊢ C → D
14
1.3 Deducciones en el calculo de secuentes
A continuacion se muestran algunos ejemplos de deducciones con secuentes. La idea
intuitiva de este metodo consiste en escribir arriba las premisas e ir descendiendo segun
las reglas permitidas, hasta llegar abajo a la conclusion deseada.
Ejemplo 1.11.
A,B ⊢ C
A ∧ B ⊢ C
Sigue una prueba mediante las reglas:
A,B ⊢ C
A,A ∧B ⊢ C
A ∧ B,A ⊢ C
A ∧ B,A ∧ B ⊢ C
A ∧B ⊢ C
L2∧
LX
L1∧
LC
Ejemplo 1.12.C ⊢ A,B
C ⊢ A ∨ B
Prueba:
C ⊢ A,B
C ⊢ A ∨ B,B
C ⊢ B,A ∨ B
C ⊢ A ∨ B,A ∨ B
C ⊢ A ∨B
R1∨
RX
R2∨
RC
Ejemplo 1.13.
A,B ⊢ A ∧ B
Este es un primer caso “sin premisas”.
15
Prueba:
A ⊢ AID
B ⊢ BA,B ⊢ A ∧ B
ID
R∧
Ejemplo 1.14 (Ley del Tercero Excluido).
⊢ A ∨ ¬A
En la prueba que sigue, “ANT ” se refiere a una demostracion anterior, en este caso al
ejemplo 1.12.
A ⊢ A
⊢ ¬A,A
⊢ A,¬A
⊢ A ∨ ¬A
ID
R¬
RX
ANT
Ejemplo 1.15.Γ,A ⊢ B Γ,¬A ⊢ B
Γ ⊢ B
Aquı se utiliza la letra Γ como se hace a veces en el calculo proposicional clasico, donde
denota un conjunto indeterminado de premisas [1]. Sin embargo, desde el punto de vista
tecnico, en este ejemplo Γ no es mas que una sucesion finita de formulas proposicionales.
Prueba:
⊢ A ∨ ¬AANT
Γ,A ⊢ B Γ,¬A ⊢ B
Γ, Γ,A ∨ ¬A ⊢ B,B
Γ,A ∨ ¬A ⊢ B
Γ ⊢ B
L∨
LC, RC
CUT
Ejemplo 1.16.
⊢ A → A
16
Prueba:
A ⊢ A
⊢ A → A
ID
R →
Ejemplo 1.17 (Modus Ponendo Ponens).
A,A → B ⊢ B
Prueba:
A ⊢ AID
B ⊢ BA,A → B ⊢ B
ID
L →
Ejemplo 1.18 (Transitividad de la implicacion).
A → B,B → C ⊢ A → C
Prueba:
A,A → B ⊢ BANT
C ⊢ C
A,A → B,B → C ⊢ C
A → B,A,B → C ⊢ C
A → B,B → C,A ⊢ C
A → B,B → C ⊢ A → C
ID
L →
LX
LX
R →
Ejemplo 1.19 (Regla de simplificacion).
A ∧ B ⊢ A
Prueba:
A ⊢ A
A ∧ B ⊢ A
ID
L1∧
17
Ejemplo 1.20 (Modus Tollendo Tollens).
A → B,¬B ⊢ ¬A
Prueba:
A,A → B ⊢ B
A → B,A ⊢ B
A → B,A,¬B ⊢
A → B,¬B,A ⊢
A → B,¬B ⊢ ¬A
ANT
LX
L¬
LX
R¬
Ejemplo 1.21.
A ∧ ¬A ⊢ B
Prueba:
A ⊢ A
A ⊢ B,A
A ⊢ A,B
A,¬A ⊢ B
A ∧ ¬A ⊢ B
ID
RW
RX
L¬
ANT
Ejemplo 1.22.A ⊢ B A ⊢ ¬B
A ⊢ C
Prueba:
A ⊢ B A ⊢ ¬B
A,A ⊢ B ∧ ¬B
A ⊢ B ∧ ¬B
R∧
LCB ∧ ¬B ⊢ C
A ⊢ C
ANT
CUT
18
Ejemplo 1.23 (Ley de la doble negacion).
¬¬A ⊢ A
Prueba:
A ⊢ A
⊢ ¬A,A
¬¬A ⊢ A
ID
R¬
L¬
Ejemplo 1.24.B ⊢ ¬¬A
B ⊢ A
Prueba:
B ⊢ ¬¬A ¬¬A ⊢ A
B ⊢ A
ANT
CUT
Ejemplo 1.25 (Reduccion al absurdo).
Γ,¬A ⊢ B Γ,¬A ⊢ ¬B
Γ ⊢ A
Prueba:
Γ,¬A ⊢ B
Γ ⊢ ¬¬A,B
Γ ⊢ B,¬¬A
Γ,¬B ⊢ ¬¬A
R¬
RX
L¬
Γ,¬A ⊢ ¬B
Γ ⊢ ¬¬A,¬B
Γ ⊢ ¬B,¬¬A
Γ,¬¬B ⊢ ¬¬A
Γ ⊢ ¬¬A
Γ ⊢ A
R¬
RX
L¬
ANT
ANT
19
1.4 Sobre la equivalencia con otras presentaciones
En el folclor matematico se reconoce que el calculo de secuentes, expuesto en este
capıtulo, es equivalente a todas las otras presentaciones de la logica proposicional.
Por ello no se entrara en el detalle de una demostracion rigurosa, solo se daran las
indicaciones generales.
Como referencia se considera la presentacion axiomatica “tipo Hilbert” que se expone
en el texto de Caicedo [1]. Para la deduccion formal mediante axiomas y Modus Ponens
se utilizara el sımbolo ⊢C, ası que
α1, α2, . . . , αn ⊢C
β
significa que la formula β se puede deducir de las premisas αi en ese sistema.
Puesto que las formulas son las mismas en ambas presentaciones, la equivalencia plena
queda establecida por el teorema siguiente.
Teorema 1.26. Para formulas proposicionales arbitrarias A, B se tiene:
A ⊢C
B si y solo siA ⊢ B
En una direccion, basta demostrar que para cada axioma A del calculo proposicional
clasico se tiene:
⊢ AComo ilustracion, combinando el ejemplo 1.19 con la regla R → (nota 1.10) se obtiene
⊢ (A ∧ B) → A
que es el axioma 4 en la presentacion de Caicedo.
Ademas, es preciso probar la regla Modus Ponens en el calculo de secuentes, pero ese
es justamente el ejemplo 1.17.
En la otra direccion, se debe probar en el sistema clasico cada una de las reglas im-
plementadas para el calculo de secuentes. En particular, la regla CUT corresponde a
demostrar:
Si A ⊢C
C ∨ B y A′ ∧ C ⊢C
B′ entonces A ∧ A′ ⊢C
B ∨B′
Aunque parece complejo, este resultado se demuestra con facilidad utilizando reduccion
al absurdo. Otras reglas como LX y RX son inmediatas, pero en definitiva todas las
reglas del calculo de secuentes se pueden demostrar.
20
Capıtulo 2
Graficos existenciales Alfa
Los graficos Alfa constituyen un sistema para la logica proposicional totalmente grafico.
Su propuesta y desarrollo provienen de la maravillosa genialidad de Charles Sanders
Peirce, un filosofo, logico y cientıfico estadounidense (1839-1914). Consiste en un sis-
tema logico formal que a partir de ciertos graficos iniciales y por medio de unas reglas
de transformacion para dichos graficos permite obtener conclusiones derivadas.
2.1 El sistema original de Peirce
En esta seccion, se da la presentacion de los graficos Alfa en su mayor sencillez. En
realidad, este es el sistema que concibio inicialmente su autor.
2.1.1 Formacion
Los siguientes son los elementos que se tienen en cuenta para la elaboracion de los
graficos Alfa.
• La hoja de asercion es la superficie plana sobre la cual se grafica.
• Las letras escritas sobre la hoja representan proposiciones.
• Un corte es una curva cerrada simple sobre la hoja de asercion.
21
Contrario a los diagramas de Venn, en los graficos Alfa los cortes no se intersecan entre
sı. Las reglas de formacion de los graficos se pueden sintetizar como sigue.
• La hoja de asercion es un grafico.
• Las proposiciones (o las letras que las abrevian) escritas en la hoja son graficos.
• La yuxtaposicion de graficos escritos es un grafico.
• Un grafico escrito y encerrado por un corte es un grafico.
La interpretacion basica de los graficos es la siguiente:
• Escribir uno o varios graficos en la hoja significa afirmarlos.
• Encerrar un grafico en un corte significa negarlo.
En consecuencia, los siguientes son los graficos de los conectivos mas usados:
• A y B
AB
• No A
A
• No A y no B / Ni A ni B
A B
• A o B
A B
22
• A y no B
BA
• A implica B / Si A entonces B
A B
Por conveniencia en la expresion de las reglas de transformacion, se define un area como
una porcion de la hoja de asercion limitada por cortes. Ademas, un area es par o impar
segun el numero de cortes que la rodean.
2.1.2 Reglas de transformacion
Siguen los preceptos que juegan el papel de reglas de inferencia grafica.
• (B) Borramiento (en par)
En un area par puede borrarse cualquier grafico. Por ejemplo:
A B CDB
DB
• (E) Escritura (en impar)
En un area impar puede escribirse cualquier grafico.
A B CE
A B D C
23
• (I) Iteracion (no en sı mismo)
Cualquier grafico puede iterarse en su misma area o en cortes en esa area que no
formen parte del grafico que se va a iterar.
A B CI
A B ABC
• (D) Desiteracion
Cualquier grafico que pudiese ser resultado de iteracion, puede borrarse.
A B B CD
A B C
• (C) Corte Doble
Un corte doble, esto es un par de cortes encajados sin nada entre ellos, puede
escribirse o borrarse alrededor de cualquier grafico en cualquier area.
A BC
A B
2.1.3 Deduccion
Con las reglas anteriores es posible realizar demostraciones del todo graficas.
Ejemplo 2.1. Demostracion de Modus Ponens:
A A BD
A B
C
A B
24
B
B
Ejemplo 2.2. Una demostracion sin premisas:
C
E
A
I
A A
De la misma manera se pueden demostrar todos los resultados de la logica proposicional.
Un resultado propio de los graficos existenciales, que se demuestra con facilidad a partir
de las reglas de transformacion, es el siguiente.
Teorema 2.3 (Teorema de Contraposicion). Sea G un grafico que se puede transformar
en el grafico H segun las reglas Alfa.
i) Cualquier grafico que contenga a G en un area par, puede transformarse en el
grafico obtenido al sustituir G por H.
ii) Cualquier grafico que contenga a H en un area impar, puede transformarse en el
grafico obtenido al sustituir H por G.
Para mayores detalles sobre los graficos existenciales Alfa y su equivalencia con las
presentaciones usuales de la logica proposicional, vease por ejemplo [5, 6, 7, 9].
25
2.2 El sistema Alfa alternativo
De la necesidad siempre surge la iluminacion, del mismo modo de la incapacidad de
algunas estructuras logicas para expresar ciertas propiedades operativas surgen estruc-
turas alternativas. En el caso de los graficos existenciales Alfa, una caracterıstica unica
es que las reglas logicas estan condicionadas a la paridad de las areas, y ası nace la
necesidad de una alternativa para poder establecer facilmente equivalencias de este sis-
tema totalmente grafico de logica matematica con otros mas algebraicos de deduccion
matematica.
A pesar de su extrema sencillez, el sistema de graficos Alfa tiene un defecto que hace
difıcil su contrastacion con otros sistemas logicos. Es la condicion “area par” y “area
impar” en las reglas de borramiento y escritura. La dificultad reside en que no es
facil determinar la paridad de una letra en una formula algebraica. Para superar esa
dificultad, en esta seccion se propone una variante del sistema Alfa en la cual no se
requiere la paridad.
El desarrollo de este sistema de graficos existenciales se basa en el sistema algebraico
empleado en el trabajo de grado de Taboada y Rodrıguez [6].
2.2.1 Presentacion del sistema
Desde el punto de vista grafico, la unica diferencia con los graficos Alfa de Peirce es la
introduccion de un signo especial que representa las partes vacıas de la hoja de asercion.
Estas porciones se representaran con la letra constante T .
De esta manera, las nuevas reglas de formacion se pueden expresar como sigue.
• Cada letra es un grafico.
• La constante T es un grafico.
• Si G, H son graficos entonces su yuxtaposicion GH es un grafico.
• Encerrar un grafico en un corte o curva cerrada simple es un grafico.
La interpretacion es la misma que en el sistema original, el grafico T se interpreta como
“lo verdadero”, o como una tautologıa.
26
Sigue el listado de las reglas de transformacion. Aquı son mas reglas que en el sistema
original de Peirce, y se clasifican en reglas simples denotadas con letras A y reglas mas
complejas o “superreglas” denotadas con letras B.
• Conmutacion
G HA1⇛ H G
• Borramiento
A2⇛G T
A3⇛G H G
• Iteracion
GA4⇛ G G
• Desiteracion
G G HA5⇛ G H
• Corte Doble
GA6⇛ G
GA7⇛ G
27
• (B1) Si G ⇛ H y H ⇛ K entonces G ⇛ K.
• (B2) Si G ⇛ H entonces GK ⇛ HK.
• (B3) Si G ⇛ H entonces
H ⇛ G
Si bien las pruebas resultan mucho mas complejas, con este sistema se pueden repetir
todas las demostraciones del sistema original. Como ilustracion sigue un caso particular,
el mismo resultado del ejemplo 2.2.
Ejemplo 2.4.
T ⇛ G G
Demostracion. En primer lugar se tiene:
TA6⇛ T (1)
Pero
TGA1⇛ T G
y
GTA3⇛ T
luego por B1 se tiene:
TG ⇛ T
28
y entonces por B3 resulta:
T ⇛ G T (2)
Por otro lado
G G TA5⇛ G T
luego por B3 se tiene:
G T ⇛ G G T (3)
Para terminar
G TA3⇛ G
de donde por B3
G ⇛ G T
y por B2 se obtiene el segundo paso de la secuencia siguiente.
G GA1⇛ G G ⇛ G T G
A1⇛ G G T
De aquı resulta por B1
G G ⇛ G G T
29
y por B3 se tiene:
G G T ⇛ G G (4)
En conclusion, resulta lo que se buscaba combinando (1) hasta (4) por B1.
En este sistema tambien vale el teorema de contraposicion (teorema 2.3), que de manera
mas tecnica se puede enunciar como sigue.
Teorema 2.5 (Teorema de Contraposicion). Sean G, H graficos Alfa alternativos. Si
G ⇛ H entonces para cualquier grafico Alfa alternativo X se tiene:
i) Xp(G) ⇛ X(H/G), aquı Xp(G) significa que X contiene una copia de G en un
area par mientras X(H/G) denota el grafico obtenido de X al sustituir la copia
de G por el grafico H.
ii) Xi(H) ⇛ X(G/H), aquı Xi(H) significa que X contiene una copia de H en un
area impar mientras X(G/H) denota el grafico obtenido de X al sustituir la copia
de H por el grafico G.
La demostracion se logra por induccion matematica sobre el numero de cortes y se
omite aquı.
Corolario 2.6. Si G ⇛ H y H ⇛ G entonces para cualquier grafico Alfa alternativo
X se tiene:
i) X ⇛ X(H/G) y X(H/G) ⇛ X.
ii) X ⇛ X(G/H) y X(G/H) ⇛ X.
Es decir, si los graficos G y H son equivalentes entonces ellos se pueden intercambiar
en cualquier grafico que contenga alguno de ellos. Notese que en este caso la paridad
no es relevante.
30
2.2.2 Sobre la equivalencia con el sistema original
La equivalencia de los dos sistemas de graficos existenciales, el original y el alternativo,
se puede lograr en tres etapas. A continuacion se dan las ideas mas generales, sin entrar
en todos los detalles tecnicos.
Los graficos
Primero es preciso traducir los diagramas. En un sentido, a cada grafico usual se
asigna un alternativo llenando cada area vacıa con una letra T ; al reves, a cada grafico
alternativo se asigna uno usual borrando todas las letras T . Esta correspondencia no
es del todo biyectiva. Si a un grafico usual se asigna su alternativo y a este se le borran
de nuevo las letras T , evidentemente se recupera el mismo grafico original. En cambio
si a un grafico alternativo se le borran las letras T y luego se le escriben en sus espacios
vacıos, el resultado puede ser ligeramente distinto. En efecto, es posible que en una
area haya originalmente dos letras T , o que haya una letra T acompanada de otra letra.
Sin embargo, es facil verificar que el grafico resultante es equivalente al original bajo la
relacion de deduccion alternativa ⇛.
Las reglas alternativas
La traduccion de las relaciones de deduccion grafica es mas compleja y tiene dos dire-
cciones. En un sentido es necesario demostrar las diez reglas alternativas de la seccion
anterior, debidamente traducidas, en el sistema Alfa original.
Pero las reglas A1 y B1 son evidentes para la relacion de deduccion grafica original. Las
reglas A2 hasta A7 se logran en un solo paso, correspondiente a alguna de las reglas
de transformacion original. Incluso en la pagina 27 se indicaron en todos los casos los
nombres de las reglas pertinentes. Finalmente, las reglas B2 y B3 son consecuencia
inmediata del teorema de contraposicion (teorema 2.3).
Las reglas originales
Finalmente es preciso demostrar las reglas de transformacion del sistema original, tra-
ducidas, en el sistema alternativo. A continuacion se dan las indicaciones de tal prueba,
31
en un orden distinto al original.
• Corte Doble: En cualquier area:
G ⇛ G
G ⇛ G
Demostracion. Estas transformaciones se tienen por A6 y A7. Aplicando el corolario
2.6, ellas son validas en cualquier area.
• Borramiento: En cualquier area par:
G ⇛ T
GH ⇛ G
GH ⇒ H
Demostracion. El primer caso es A2, el segundo es A3 y el tercero se obtiene combi-
nando A1 y A3 mediante B1.
Para extender el resultado a las areas pares basta aplicar el teorema de contraposicion
(teorema 2.5).
• Escritura: En cualquier area impar:
T ⇛ G
G ⇛ GH
H ⇛ GH
Demostracion. Las tres reglas de borramiento probadas antes se invierten en areas
impares aplicando el teorema 2.5.
32
• Iteracion/Desiteracion
El enunciado de estas reglas es mas complejo que el de las anteriores. Lo que se debe
probar es que en cualquier area, cualquier grafico puede repetirse en esa area o en cortes
adicionales en la misma, y que esta regla es reversible.
En primer lugar, se demuestra que cualquier grafico escrito en la hoja se puede iterar o
desiterar a traves de cualquier cantidad de cortes. Esto de nuevo se logra por induccion
matematica sobre el numero de cortes y los detalles se omiten aquı.
Luego las reglas plenas se obtienen de inmediato aplicando el corolario 2.6.
33
Capıtulo 3
Equivalencia
Este capıtulo es el mas importante del presente trabajo y en el se establece la equi-
valencia entre el calculo de secuentes para la logica proposicional, por un lado, y el
sistema de graficos existenciales Alfa por el otro. Como siempre en estos casos, el
resultado consiste en una doble implicacion que se desglosa en dos grandes teoremas.
3.1 Calculo de secuentes mediante graficos Alfa
Una direccion de la equivalencia se puede expresar como sigue.
Teorema 3.1. Sean A, B formulas proposicionales. Si en el calculo de secuentes se
tiene
A ⊢ B
entonces, vistos como graficos existenciales Alfa, se tiene
A B
Para probar este resultado, basta demostrar todas las reglas del calculo de secuentes
mediante las reglas de transformacion Alfa. A continuacion se realizaran las pruebas
de cada uno de estos casos.
34
Reglas de identidad
• ID
A A
Demostracion. Evidente.
• CUT
Si
A C B y A′ C B′
entonces
A′A B B′
Demostracion. En las pruebas graficas que siguen, la letra H se refiere a la hipotesis
y la sigla TC al teorema de contraposicion (teorema 2.3). En consecuencia, H+TC
significa que la hipotesis se esta aplicando en cierta area permitida por el teorema de
contraposicion.
A′AH+TC
C B A′
I
A′C B A′
B
A′C B
35
H+TC
B′ B
Reglas estructurales
• LX
Si
A C D A′ B
entonces
A D C A′ B
Demostracion. Evidente.
• RX
Si
A B′DCB
entonces
A B′CDB
Demostracion. Evidente.
36
• LW
Si
A B
entonces
A C B
Demostracion.
A CB
A
H
B
• RW
Si
A B
entonces
A C B
Demostracion.
AC
A
E
A C
37
I
A C A
B
C A
H+TC
C B
• LC
Si
A C C B
entonces
A C B
Demostracion.
A CI
A C C
H
B
• RC
Si
A C C B
38
entonces
A C B
Demostracion.
AH
C C B
D
C B
Reglas logicas
• L¬
Si
A C B
entonces
A C B
Demostracion.
A CH+TC
C B C
39
D
B C
B
B
C
B
• R¬
Si
A C B
entonces
A C B
Demostracion.
AC
A
E
A C
I
A C AC
40
B
C AC
H+TC
C B
C
C B
• L1∧
Si
CA B
Entonces
DCA B
Demostracion.B
DCA A C
H
B
• L2∧
Si
DA B
entonces
DCA B
Demostracion. Igual que en el caso anterior.
41
• R∧
Si
A C B y A′ D B′
entonces
A′A CD B B′
Demostracion.
A A′
H+TC
A′C B
I
A′CA′ B
B
CA′ B
E
CA′ B B′
H+TC
C D B′ B B′
D
C D B B′
42
C
CD B B′
• L∨
Si
CA B y A′ D B′
entonces
A A′ C D B B′
Demostracion.
I
A A′ C D A A′ AC A′D
B
AC A′D
H+TC
B′B
• R1∨
Si
A C B
43
entonces
A C D B
Prueba:
AH
C B
C
C B
E
C D B
• R2∨
Si
A D B
entonces
A C D B
Demostracion. Igual que en el caso anterior.
44
• L →
Si
A C B y A′ D B′
entonces
A A′ C D B B′
Demostracion.
A A′ C DH+TC
B C A′ C D
I
B C C D A′ C D
B
B C C D A′
D
B C D A′
C
B CD A′
B
B D A′
45
I
B A′D A′
B
B A′D
H+TC
B B′
• R →
Si
A C D B
entonces
A C D B
Demostracion.
C
A A
E
A C
I
A C AC
46
H+TC
A C D B
C
A C D B
B
C D B
C
C D B
Ası culmina la prueba rigurosa del teorema 3.1.
3.2 Graficos Alfa alternativos mediante secuentes
Por conveniencia, para la otra direccion de la equivalencia se emplean los graficos Alfa
alternativos. La razon fundamental consiste en que en las reglas Alfa usuales se re-
quieren conceptos como “area par” y “area impar”, que no se pueden ver con claridad
en las formulas proposicionales. Tales nociones se eluden en los graficos alternativos.
Por lo tanto, la segunda mitad del teorema central se puede expresar ası.
Teorema 3.2. Sean G, H graficos existenciales Alfa alternativos. Si con las reglas de
transformacion alternativas se tiene
G ⇛ H
entonces, vistos como formulas proposicionales, en el calculo de secuentes se tiene
G ⊢ H
47
De nuevo, para establecer este hecho es suficiente demostrar todas las reglas de trans-
formacion alternativas mediante el calculo de secuentes. Siguen las pruebas de cada
caso.
• Regla A1.
G ∧H ⊢ H ∧G
Demostracion.
H ⊢ HID
G ⊢ G
H,G ⊢ H ∧G
H,G ∧H ⊢ H ∧G
G ∧H,H ⊢ H ∧G
G ∧H,G ∧H ⊢ H ∧G
G ∧H ⊢ H ∧G
ID
R∧
L1∧
LX
L2∧
LC
• Regla A2.
G ⊢ Tsiendo T tal que
⊢ T
Demostracion.
⊢ T
⊢ ¬G, T
G ⊢ T
Hipotesis
RW
L¬
• Regla A3.
G ∧H ⊢ G
Demostracion.
G ⊢ G
G ∧H ⊢ G
ID
L1∧
48
• Regla A4.
G ⊢ G ∧G
Demostracion.
G ⊢ GID
G ⊢ G
G,G ⊢ G ∧G
G ⊢ G ∧G
ID
R∧
LC
• Regla A5.
G ∧ ¬(G ∧H) ⊢ G ∧ ¬H
Demostracion.
G ∧ ¬(G ∧H) ⊢ GANT
G,H ⊢ G ∧H
G,H,¬(G ∧H) ⊢
G,¬(G ∧H), H ⊢
G,¬(G ∧H) ⊢ ¬H
G ∧ ¬(G ∧H) ⊢ ¬H
G ∧ ¬(G ∧H), G ∧ ¬(G ∧H) ⊢ G ∧ ¬H
G ∧ ¬(G ∧H) ⊢ G ∧ ¬H
ANT
L¬
LX
R¬
ANT
R∧
LC
• Regla A6.
G ⊢ ¬¬G
49
Demostracion.
G ⊢ G
G,¬G ⊢
G ⊢ ¬¬G
ID
L¬
R¬
• Regla A7.
¬¬G ⊢ G
Demostracion.
G ⊢ G
⊢ ¬G,G
¬¬G ⊢ G
ID
R¬
L¬
Siguen las “superreglas”, que se distinguen de las anteriores porque tienen premisas.
• Regla B1.
G ⊢ H H ⊢ K
G ⊢ K
Demostracion. Como se observo en la nota 1.8, este es un caso especial de la regla de
corte CUT .
• Regla B2.
G ⊢ H
G ∧K ⊢ H ∧K
Demostracion.
G ⊢ HK ⊢ K
G,K ⊢ H ∧K
G,G ∧K ⊢ H ∧K
G ∧K,G ⊢ H ∧K
G ∧K,G ∧K ⊢ H ∧K
G ∧K ⊢ H ∧K
ID
R∧
L2∧
LX
L1∧
LC
50
• Regla B3.
G ⊢ H
¬H ⊢ ¬G
Demostracion.G ⊢ H
⊢ ¬G,H
⊢ H,¬G
¬H ⊢ ¬G
R¬
RX
L¬
Con esto concluye la demostracion del teorema 3.2 y, con ello, la prueba de la equiva-
lencia entre el calculo de secuentes proposicional y el sistema de graficos existenciales
Alfa.
51
Conclusiones
Al cabo del desarrollo de este trabajo, se pueden destacar los siguientes logros alcanza-
dos.
1. Se estudio la logica proposicional mediante el calculo de secuentes, una pre-
sentacion para este sistema deductivo que es poco o nada conocida en la Univer-
sidad del Tolima. Vale la pena destacar que tambien existen calculos de secuentes
para la logica de predicados, ası como para la logica intuicionista (tanto a nivel
proposicional como a nivel de predicados) y para la logica lineal.
2. Aunque habıa aparecido como un sistema algebraico en documentos anteriores
como [6], en este trabajo se presento por primera vez de manera explıcita el
sistema de graficos existenciales Alfa alternativos. Este sistema tiene un manejo
mucho mas complejo que el original de Peirce, pero tiene la inmensa ventaja
teorica de que en las reglas no aparece el concepto de paridad.
3. Sin duda el resultado mas importante de este trabajo es una nueva demostracion
de la equivalencia entre el calculo proposicional clasico y el sistema de graficos
existenciales Alfa. Si bien existen diversas pruebas anteriores, desde el punto de
vista conceptual la demostracion presentada es sencilla en extremo. En efecto, se
trata solo de verificar en orden la traduccion mutua de las reglas de inferencia de
los dos sistemas. Aunque en una direccion son diez reglas y en la otra dieciocho,
salvo contadas excepciones las pruebas resultan muy sencillas. Por esto se puede
considerar que este es un aporte significativo al estudio de los graficos existenciales.
52
Bibliografıa
[1] Xavier Caicedo, Elementos de Logica y Calculabilidad. Bogota: Universidad de los
Andes, 1989.
[2] Jean-Yves Girard, Proofs and Types. Cambridge: Cambridge University Press,
1989.
[3] Arnold Oostra, Notas del Seminario Permanente Peirce. Manuscrito inedito.
Ibague: Universidad del Tolima, 2007.
[4] Arnold Oostra, “Los graficos Alfa de Peirce aplicados a la logica intuicionista”.
En: Arnold Oostra y Fernando Zalamea (Editores), Cuadernos de Sistematica
Peirceana 2, pag. 25–60. Bogota: Centro de Sistematica Peirceana, 2010.
[5] Don D. Roberts, The Existential Graphs of Charles S. Peirce. The Hague: Mouton,
1973.
[6] Jorge Enrique Taboada y Danilo Rodrıguez, Una demostracion de la equivalencia
entre los graficos Alfa y la logica proposicional. Trabajo de Grado (Carrera de
Matematicas con enfasis en Estadıstica). Ibague: Universidad del Tolima, 2010.
[7] Pierre Thibaud, La Logica de Charles S. Peirce: Del algebra a los graficos. Madrid:
Paraninfo, 1982.
[8] Fernando Zalamea, Los graficos existenciales peirceanos. Bogota: Universidad Na-
cional de Colombia, 2010.
[9] J. Jay Zeman, The Graphical Logic of C.S. Peirce. Ph.D. Dissertation. Chicago:
University of Chicago, 1964. Disponible en Internet:
http://www.clas.ufl.edu/users/jzeman/graphicallogic/index.htm
53
