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RM ANOVARM ANOVA
Prof. Ivan Balducci
FOSJC / Unesp
RM ANOVA é:
uma extensão do teste t(Student) de amostras
emparelhadas: paired t-test
A RM ANOVA é diferente da ANOVA 1 fator devido à unidade
experimental
Agora, a unidade experimental recebe todos
os níveis do fator
Antes, na ANOVA 1 fator:
a unidade experimental recebia apenas um nível do fator
A unidade experimental que recebe todos os níveis do fator é
considerada um bloco
RM ANOVA é: uma extensão do teste t(Student) de amostras emparelhadas: paired t-test
ANOVA de Medidas Repetidas
Um modo de controlar as diferenças entre sujeitos
é observando cada sujeito sob cada condição
experimental.
Quando medidas repetidas são obtidas de cada
respondente, esse delineamento é conhecido como
within-subjects design ou repeated measures
analysis of variance.
Decomposição da Variação Total
Independent Variable XSubject CategoriesTotal No. Sample
X1 X2 X3 … Xc
1 Y11 Y12 Y13 Y1c Y1
2 Y21 Y22 Y23 Y2c Y2
: :: :
n Yn1 Yn2 Yn3 Ync YN
Y1 Y2 Y3 Yc Y
Between People Variation =SSbetween people
Total Variation =SSy
Within People Category Variation = SSwithin people
Category Mean
Exemplo Resolvido
• 8 sujeitos, cada sujeito é exposto a 3 tipos de palavras: neutra, positiva, negativa.
• a variável resposta é o nº de palavras memorizadas
• os tipos de palavras são mixed randomly
Três condições estão sendo comparadas
Exemplo numérico
Três condições estão sendo comparadas
O mesmo sujeito submetido às três condições que estão sendo comparadas
A RM ANOVA é diferente da ANOVA 1 fator devido à unidade
experimental
Agora, a unidade experimental recebe todos
os níveis do fator
Antes, no experimento inteiramente casualizado (CRD),
- no usual método ANOVA 1 fator-
a unidade experimental recebia apenas um nível do fator
A unidade experimental que recebe todos os níveis do fator é
considerada um bloco
No modelo RM ANOVA consideramos o
fator bloco (ou sujeitos) além do fator
Tratamento ( e o resíduo evidentemente)
No modelo ANOVA 1 fator consideramos:
apenas o fator Tratamento ( e o resíduo evidentemente)
São modelos diferentes.
O RM ANOVA é mais preciso.
Porque a variância residual é menor no RM ANOVA, daí o valor de F é maior.
É maior o poder do teste no modelo RM ANOVA.
Tabela ANOVA 1 fator gl SQ QM F value Pr(>F)Condições 2 112.00 56.00 2.0206 0.1575 não significanteResíduos 21 582.00 27.71
Portanto: a análise de variância 1 fator é uma análise errada
582 = ....???...... + .....????.......
Para o modelo RM ANOVA vamos até o modelo ANOVA 1 fator.Daí, vamos considerar o SQ resíduo da ANOVA 1 fator
que deve ser decomposto
O valor 582 = SQ resíduo da ANOVA 1 fator deve ser decomposto
AVISO IMPORTANTE: Não se preocupe com esses números.
Veremos adiante como eles são calculados
O truque:
O termo SQWithin da ANOVA 1 fator é decomposto em duas
partes:
1ª) SQsujeito: aquela variação que é devido ao fato de ser
Sujeito i e não ser o Sujeito j ; variabilidade dentro do
sujeito
2ª) SQinter-sujeito: aquela variação que não é atribuída a ser Sujeito i
no lugar de Sujeito j. A este termo corresponderá a função de MSW
no teste F. É a variabilidade residual.
Tabela ANOVA 1 fator de Medidas Repetidas
1ª Parte: ao fato de ser aquele sujeito determinado e não outro gl SQ QM F value Pr(>F)Resíduos 7 548 78.29
2ª Parte: Inter-Sujeitos gl SQ QM F value Pr(>F) Condições 2 112.000 56.000 23.059 3.714e-05 ***Resíduos 14 34.000 2.429
análise RM ANOVA (correta !)
582 = ....???...... + .....????.......
582 = 548 + 34
582 = SQ sujeito + SQ inter-sujeito
AVISO IMPORTANTE: Não se preocupe com esses números. Veremos adiante como eles são calculados
1ª Parte: ao fato de ser aquele sujeito determinado e não outro gl SQ QM F Pr(>F)Residuals 7 548 78.29
2ª Parte: Inter-Sujeitos gl SQ QM F Pr(>F) cond 2 112 5 6. 000 23.059 3.714e-05 ***Residuals 14 34.000 2.429
variabilidade dentro do sujeito
variabilidade residual
AVISO IMPORTANTE:
Não se preocupe com esses números.
Veremos adiante como eles são calculados
Análise dos dados segundo o modelo RM ANOVA
no programa MINITAB 14.12
Temos de saber:
1º) Como entrar com os dados;
2º) Como especificar o modelo RM ANOVA nesse programa.
Exemplo numérico
Três condições estão sendo comparadas
O mesmo sujeito submetido às três condições que estão sendo comparadas
Condições N MédiasNeutral 8 12.00Positive 8 13.00Negative 8 17.00
Média geral = 14
SQ condições = 8 [(12-14)2 +(13-14)2 + (17-14)2] = 112
SQ blocos = 3 [(18.67-14)2 +(9.67-14)2 + (17-14)2+ (7.33-14)2+ ...(21-14)2]SQ blocos = 548
Blocos N MédiaDados 1 3 18.67 2 3 9.67 3 3 17.00 4 3 7.33 5 3 13.333 6 3 16.67 7 3 8.33 8 3 21.00
Para quem gosta de cálculos à mão
SQTotal = Σx2 – (Σx)2 = 5398 – (336) 2/24 = 694
A unidade experimental que recebe
todos os níveis do fator é considerada um bloco
SQ condições = 8 [(12-14)2 +(13-14)2 + (17-14)2] = 112
SQ blocos = 3 [(18.67-14)2 +(9.67-14)2 + (17-14)2+ (7.33-14)2+ ...(21-14)2] = 548
SQ blocos = 548
Para quem gosta de cálculos à mão
SQTotal = Σx2 – (Σx)2/N = 5398 – (336) 2/24 = 694
SQ Total = SQ condições + SQ Blocos + SQ Residual
694 = 112 + 548 + SQ Residual
SQ Residual = 694 - (112 + 548) = 694 – 660 = 34
Entrada dos dados no MINITAB
Dados Condições Blocos
18 Neutral 1
6 Neutral 2
14 Neutral 3
5 Neutral 4
12 Neutral 5
15 Neutral 6
6 Neutral 7
20 Neutral 8
16 Positiva 1
11 Positiva 2
17 Positiva 3
4 Positiva 4
13 Positiva 5
16 Positiva 6
7 Positiva 7
20 Positiva 8
continua
Entrada dos dados no MINITAB continuação
Dados Condições Blocos
22 Negative 1
12 Negative 2
20 Negative 3
13 Negative 4
15 Negative 5
19 Negative 6
12 Negative 7
23 Negative 8
Especificação do Modelo no MINITAB:
Model: Condições Blocos
Random Factors: .....pode deixar vazio (não importa, nesse nosso caso)
Edit>> Command Line Editor ( ou Ctrl+L) e digitamos ANOVA c1 = c2 c3
Análise RM ANOVA no programa MINITAB
(versão 14.12, 2004)
Stat >> ANOVA >> Balanced ANOVA ou
Stat>> ANOVA >> General Linear Model (dá o mesmo resultado)
Especificação do Modelo no MINITAB:
Model: Condições Blocos
Random Factors: .....pode deixar vazio (não importa, nesse nosso caso)
Entrada dos dados no MINITAB
Dados Condições Blocos
18 Neutral 1
6 Neutral 2
14 Neutral 3
5 Neutral 4
12 Neutral 5
15 Neutral 6
6 Neutral 7
20 Neutral 8
16 Positiva 1
11 Positiva 2
17 Positiva 3
4 Positiva 4
13 Positiva 5
16 Positiva 6
7 Positiva 7
20 Positiva 8
continua
Entrada dos dados no MINITAB continuação
Dados Condições Blocos
22 Negative 1
12 Negative 2
20 Negative 3
13 Negative 4
15 Negative 5
19 Negative 6
12 Negative 7
23 Negative 8
Especificação do Modelo no MINITAB:
Model: Condições Blocos
Random Factors: .....pode deixar vazio (não importa, nesse nosso caso)
Stat >> ANOVA >> Balanced ANOVA
Resultado da Análise RM no MINITAB
F.V. gl SQ QM F p
Condições 2 112 56 23.06 0.000
Blocos 7 548 78.286 32.24 0.000
Resíduo 14 34 2.249
Total 23 694
gl condições = k-1 = 3 – 1 = 2 gl blocos = b-1 = 8 – 1 = 7
gl Total = N-1 = 24 – 1 = 23
Resultado da Análise RM no MINITAB
F.V. gl SQ QM F p
Condições 2 112 56 23.06 0.000*
Blocos 7 548 78.286 32.24 0.000
Resíduo 14 34 2.249
Total 23 694
* p<0.05 então rejeitamos H0 as médias diferem estatisticamente
Condições N Médias
Neutral 8 12.00Positive 8 13.00Negative 8 17.00
Média geral = 14
SQ condições = 8 [(12-14)2 +(13-14)2 + (17-14)2] = 112
SQ blocos = 3 [(18.67-14)2 +(9.67-14)2 + (17-14)2+ (7.33-14)2+ ...(21-14)2]SQ blocos = 548
Blocos N MédiaDados 1 3 18.67 2 3 9.67 3 3 17.00 4 3 7.33 5 3 13.333 6 3 16.67 7 3 8.33 8 3 21.00
Para quem gosta de cálculos à mão
SQTotal = Σx2 – (Σx)2/N = 5398 – (336) 2/24 = 694
SQ condições = 8 [(12-14)2 +(13-14)2 + (17-14)2] = 112
SQ blocos = 3 [(18.67-14)2 +(9.67-14)2 + (17-14)2+ (7.33-14)2+ ...(21-14)2]SQ blocos = 548
Para quem gosta de cálculos à mão
SQTotal = Σx2 – (Σx)2/N = 5398 – (336) 2/24 = 694
SQ Total = SQ condições + SQ Blocos + SQ Residual
694 = 112 + 548 + SQ Residual
SQ Residual = 694 - (112 + 548) = 694 – 660 = 34
Anova de medidas repetidas
Experimento em Blocos
Termos que devem ser familiares
within-subjects design
