Robótica

Objetivos desta aula

■ Modelo cinemático inverso:

– Métodos analíticos (ou soluções

fechadas):

• Geométrico (por Trigonometria).

• Algébrico.

Bibliografia

■ Capítulos 4 do Craig.

■ Robot Manipulators: Mathematics,

Programming, and Control

– Paul, R. P. - 1982 - MIT Press.

■ Robot Analysis: The Mechanics of

Serial and Parallel Manipulators

– Lung-Wen TSAI - 1999 - John Wiley.

Cinemática Inversa

(1 … n) (x, y, z, x, y, z)

K-1

Cinemática Inversa

■ Como o próprio nome diz:

– Como encontrar as posições das juntas

dadas a posição e a orientação da

ferramenta.

■ Problema complexo:

– Planejamento de trajetória

– Dinâmica.

Cinemática Inversa

■ “We do inverse kinematics unwittingly, our eyes can determine where an object is in 3D space, and our sub-sub-conscious can figure out the variables required to move our hand to that position”

Introdução

■ O problema de resolver as equações

cinemáticas de um manipulador é não

linear.

■ Como em qualquer conjunto de

equações não lineares, temos de nos

preocupar com:

– a existência de soluções,

– com múltiplas soluções e

– com o método de solução.

Existência de soluções

■ Para que uma solução exista, o alvo

deve estar dentro do espaço de

trabalho.

■ Computar o envelope é difícil…

– Cada manipulador tem de ser estudado

para se entender o seu espaço de

trabalho.

– Projetos especiais facilitam essa

computação.

Exemplo: 2R

Exemplo: 2R

■ Se l1 = l2, o espaço de trabalho

alcançável consiste de um disco com

raio 2l1.

■ Dentro do espaço de trabalho

alcançável há duas orientações

possíveis para o efetuador.

■ Nos limites do espaço de trabalho

existe apenas uma orientação possível.

Duas soluções: qual a melhor?

■ O problema

pode ter mais

que uma

solução…

■ Como

escolher a

apropriada?

Escolhendo Soluções

■ O fato de um manipulador ter múltiplas

soluções pode causar problemas,

porque o sistema deve ser capaz de

escolher uma.

■ Os critérios nos quais basear a decisão

variam, mas uma opção bastante

razoável seria a solução mais próxima.

Escolhendo Soluções

■ Por exemplo, se o manipulador está no

ponto A, como na figura anterior e

queremos levá-lo para o ponto B, uma

boa escolha seria a solução que

minimiza o quanto cada junta terá de se

mover.

■ Assim, na ausência do obstáculo, a

configuração superior pontilhada da

Figura seria escolhida.

Qual a mais apropriada?

Puma: 4 soluções para o

manipulador …

Puma: 2 Soluções para o pulso…

■ Total: 8 soluções

Métodos de Solução para a

Cinemática Inversa

■ Enquanto a função f() é relativamente fácil de

computar, f-1() geralmente não o é.

■ Dado o valor numérico de uma transformada,

tentamos encontrar os valores de θ1, θ2, ... θn

■ Pode ser solucionado de diversas maneiras:

– Geometricamente.

– Algebricamente.

– Numericamente.

Manipulador Solucionável

■ Um manipulador é considerado

solucionável se:

– existir um algoritmo que permita

determinar todo o conjunto de variáveis de

juntas associados a uma posição e

orientação dadas.

– O principal ponto dessa definição é que,

no caso de múltiplas soluções, deve ser

possível calcular todas elas.

Soluções analíticas x numéricas

■ Soluções do problema da cinemática

inversa podem ser classificadas em:

– Analíticas (ou soluções fechadas):

• Encontram uma solução exata através da

inversão das equações de cinemática direta.

• É possível apenas para problemas simples.

– Numéricas:

• Utilizam aproximação e diversas iterações para

tentar convergir para a solução.

• Tendem a ser mais genéricos e

computacionalmente mais custosos.

Cinemática inversa utilizando

métodos analíticos.

Soluções fechadas ou

Closed-form solutions

Método analítico.

■ Para criar o modelo cinemático inverso,

“basta” analisar o problema

matematicamente.

■ Vantagens:

– Cria o modelo completo.

■ Desvantagens:

– Complexidade dependendo da geometria

do manipulador.

Soluções de forma fechada

■ “Forma fechada” significa:

– um método de solução baseado em

expressões analíticas ou na solução de um

polinômio de grau 4 ou menor.

– Apenas cálculos não iterativos são

suficientes para chegar a uma solução.

x d 2

y d 1

d2

d1

Exemplo 1: 2P

■ Dados x, y,

solucione

para d1, d2:

Exemplo 1: 2P

■ A cinemática direta e a inversa são triviais para juntas prismáticas.

■ Existe somente uma solução:– Equações lineares.

– Não usam funções trigonométricas.

■ Por este motivo esta geometria é popular:– CNC

– Gantry

– Plotters, …

Exemplo 2: R+P

■ Dados x e y,

solucionar

para 1 e d2

x d2 cos1

y d2 sin1

REFERENCE POINT

(x, y)

1

x

y

1

2

d2

x

y

2 2

d2 x y

1 arctan

x

y

2 2

d2 x y

1 arctan

Exemplo 2: R+P

■ Solução 1:

■ Solução 2:

Solucionando equações

trigonométricas…

■ A cinemática inversa geralmente

envolve funções trigonométricas:

– Inverso das funções geralmente possuem

múltiplas soluções.

■ Ruim pois causa indefinição sobre o

ângulo real do manipulador.

2

3

2

arccos 30,30

arcsin1 30,150

Solucionando equações

trigonométricas…

2

3

1

2

,y ?c cos x,c

s sin x,s ,x ?

■ Função atan2(y,x):

– Função inversa da tangente.

– Leva 2 argumento: x e y, com sinais.

– Sempre gera a mesma resposta.

■ Definição:

Função atan2(y,x)

Definição de atan2(y,x)

x

y

x

y

x 0, y 0

atan 2(x, y) arctan

x

y a tan 2(x, y) arctan

x 0

x

y

x 0, y 0

a tan 2(x, y) arctan

x 0, y 1, a tan 2(x, y)

2

a tan 2(x, y) 2

x 0, y 1,

x

a tan 2(x, y) arctan y

x 0

Atan2(y,x)

Algébrico x Geométrico

■ Dois métodos podem ser usados para

se obter a solução fechada:

– o algébrico e o geométrico.

■ Tal distinção é um tanto quanto

nebulosa:

– todo método geométrico empregado é

aplicado por expressões algébricas,

portanto os dois métodos são similares.

– Os métodos diferem apenas em termos de

abordagem.

Algébrico x Geométrico

■ Como introdução, vamos considerar as

duas abordagens para a solução de um

manipulador planar simples de três

elos:

– Geométrica

– Algébrica

Exemplo 3: Manipulador 3R

Exemplo 3: Manipulador 3R

■ Como trabalhamos com um

manipulador planar, a especificação

desses pontos alvos pode ser obtida

com mais facilidade especificando-se

três números: x, y e ϕ, sendo ϕ a

orientação do elo 3 no plano.

Solução geométrica para o 3R

■ Na abordagem geométrica para

encontrar a solução de um

manipulador, procuramos decompor a

geometria espacial do braço em vários

problemas de geometria plana.

■ Para muitos manipuladores (em

particular quando αi = 0 ou ±90), isso

consegue ser feito com bastante

facilidade.

Solução geométrica para o 3R

■ A Figura 4.8 mostra o triângulo formado

por l1, l2 e a linha que une a origem do

sistema de referência {0} com a origem

do sistema de referência {3}.

■ As linhas pontilhadas representam a

outra configuração possível do triângulo

que levaria à mesma posição do

sistema de referência {3}.

Figura 4.8 (livro Craig)

ϕ

Figura 4.8 (livro Craig)

θ2θ3

θ1

Solução geométrica para o 3R

2

2 22 2

2l1l2

x2 y2 l 2 l

2l1l2

y l1 l2

2

2

arccos 1 2

cos( ) x

■ Considerando o triângulo contínuo,

podemos aplicar a “lei dos cossenos”

para resolver θ2:(x2 y2 ) l 2 l 2 2l l cos(180 )

1 2 1 2 2

■ Agora,cos(1802 ) cos(2), assim:

Figura 4.8 (livro Craig)

Solução geométrica para o 3R

■ Para que esse triângulo exista, a

distância ao ponto alvo deve ser menor

ou igual à soma do comprimento dos

elos, l1 + l2.

– Em um algoritmo computacional essa

condição seria verificada neste ponto, para

confirmar a existência de soluções.

– Tal condição não é satisfeita quando o

ponto alvo está fora do alcance do

manipulador.

Solução geométrica para o 3R

■ Presumindo que uma solução existe,

essa equação é resolvida por um valor

de θ2 que está entre 0 e –180 graus,

porque somente para esses valores o

triângulo da Figura 4.8 existe.

■ A outra solução possível (indicada pelo

triângulo pontilhado) é encontrada por

simetria como θ'2 = –θ2.(arccos resulta

em 2 valores)

Solução geométrica para o 3R

■ Para resolver θ1, encontramos

expressões para os ângulos ψ e β como

mostra a Figura 4.8.

■ Primeiro, β pode estar em qualquer

quadrante, dependendo dos sinais de x

e y:

atan 2(y, x)

Figura 4.8 (livro Craig)

Solução geométrica para o 3R

■ Aplicamos mais uma vez a lei dos

cossenos para encontrar ψ:

■ Aqui, o arco cosseno deve ser resolvido

de forma que 0 ≤ ψ ≤ 180° para que a

geometria que leva a solução seja

preservada.

1

2

2l x2 y2

x2 y2 l 2 lcos( ) 1 2

Solução geométrica para o 3R

■ onde o sinal positivo é usado se θ2 < 0 e

o negativo se θ2 > 0.

2 2

2

1

2l1 x y

x2 y2 l 2 l atan 2(y, x) arccos 1 2

■ Então temos:

1 ,

Solução geométrica para o 3R

■ Sabemos que os ângulos de um plano

se somam, portanto a soma dos três

ângulos de juntas deve ser a orientação

do último elo:

123■ Logo:

3 12

Conclusão geométrica 3R

■ Os ângulos são encontrados utilizando

as seguintes equações:

3 12

1

2

1x2 y22l

x2 y2 l 2 l atan 2(y, x) arccos 1 2

2

2l1l2

x2 y2 l 2 l2

arccos 1 2

Mas, e se L3 ≠ 0 ?

L3 ?????

Mas, e se L3 ≠ 0 ?

L3 ?????

x’

y’

Mas, e se L3 ≠ 0 ?

L3 ?????

x’

y’

Mas, e se L3 ≠ 0 ?

L3 ?????

y’

Este é o ponto x’, y’

x’

Simplificamos a solução para o caso já resolvido

x x'l3 cos

y y'l3 sin

E se for um manipulador 2R?

A solução apresentada para o 3R com L3 = 0 também funciona para o 2R:

(x , y)

x

y

l1

1

l2 2

1

2

1x2 y22l

x2 y2 l 2 l atan 2(y, x) arccos 1 2

2

2l1l2

x2 y2 l 2 l2

arccos 1 2

2R+1P

■ Similar aos dois exemplos 1P e 2R:

– Parte do manipulador é 2R:

– A parte de posicionamento no eixo z

(altura) é direta:

• junta prismática!

■ Por este motivo também é muito

popular.

Solução analítica para o 3R

■ Seguindo o método do Capítulo 3,

podemos usar os parâmetros de elos

com facilidade para encontrar as

equações cinemáticas desse braço:

Solução analítica para o 3R

■ Em vez de fornecer uma transformada

genérica como especificação de alvo,

vamos considerar uma transformação

com a estrutura:

Solução analítica 3R

■ Igualando as duas matrizes

=

Solução analítica 3R

■ Igualando as duas matrizes, chegamos

a um conjunto de quatro equações não

lineares que devem ser resolvidas para

θ1, θ2 e θ3:

cϕ = c123, (4.8)

sϕ = s123, (4.9)

x = l1c1 + l2c12, (4.10)

y = l1s1 + l2s12. (4.11)

Solução analítica 3R

■ Agora começamos nossa solução

algébrica das Equações (4.10) e (4.11):

x = l1c1 + l2c12

y = l1s1 + l2s12

■ Se elevarmos as duas ao quadrado,

obtemos:

2

12 1 2 1 12

22

1

22

1 1 2 12

2

22

2 12

2

1 1

2 2

1 1 2 12

2

l2 s 2l l s s l1 sy l s l s

l c 2l1l2c1c12 l cx l c l c

1 2 1 121 2 1 12 1 1 2 122 121 1

2

12

22

1

22

1 1 2 12

2

22

2 12

22

1 1

2

1 1 2 12

2

2s22c2 2l l s s 2l l c c l 2s2 lx2 y2 ) l 2c2 l

l2 s 2l1l2s1s12 l1 sy l s l s

l c 2l1l2c1c12 l cx l c l c

Solução analítica 3R

■ Se somarmos as duas, obtemos:

Solução analítica 3R

■ Se somarmos as duas, obtemos:

■ Reorganizando:

■ Mas

1 2 1 121 2 1 12 1 1 2 121 1 2 12

2s22c2 2l l s s 2l l c c l 2s2 lx2 y2 ) l 2c2 l

1 2 1 12 1 122 1 1

, então:

1 1 1 l l (c c s s )(x2 y2) l 2(s2 c2) l 2(s2 c2) 2

2 2

1 1(s c ) 1

1 2 1 12 1 121 2 l l (c c s s )(x2 y2) l 2 l 2 2

Solução analítica 3R

■ Se somarmos as duas, obtemos:

■ Reorganizando:

■ Mas

1 2 1 121 2 1 12 1 1 2 121 1 2 12

2s22c2 2l l s s 2l l c c l 2s2 lx2 y2 ) l 2c2 l

1 2 1 12 1 122 1 1

, então:

1 1 1 l l (c c s s )(x2 y2) l 2(s2 c2) l 2(s2 c2) 2

2 2

1 1(s c ) 1

1 2 1 12 1 121 2 l l (c c s s )(x2 y2) l 2 l 2 2

Tem como

simplificar isso?

Solução analítica 3R

1 121 2 1 121 2l l (c c s s )(x2 y2) l 2 l 2 2

Solução analítica 3R

1 2 1 2 1 12 1 12l l (c c s s )(x2 y2 ) l 2 l 2 2

■ Agora, pelas identidades

trigonométricas “sabemos” que:

s12 c1s2 s1c2

c12 c1c2 s1s2

■ E portanto:

(c1c12 s1s12) (c1(c1c2 s1s2) s1(c1s2 s1c2))

Sabemos:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_trigonométrica

■ Agora, pelas identidades

trigonométricas “sabemos” que:

c12 c1c2 s1s2

s12 c1s2 s1c2

■ E portanto:

Solução analítica 3R

1 121 2 1 121 2l l (c c s s )(x2 y2 ) l 2 l 2 2

(c1c12 s1s12) (c1(c1c2 s1s2) s1(c1s2 s1c2))

Solução analítica 3R

1 2 1 2 1 12 1 12l l (c c s s )(x2 y2 ) l 2 l 2 2

(c1c12 s1s12) (c1(c1c2 s1s2) s1(c1s2 s1c2))

■ Reorganizando:

1 21 1 21 1 2

2 2

1 12 1 12 1 2 c s s s c s s c )(c c s s ) (c c

Solução analítica 3R

1 2 1 2 1 12 1 12l l (c c s s )(x2 y2 ) l 2 l 2 2

(c1c12 s1s12) (c1(c1c2 s1s2) s1(c1s2 s1c2))

■ Reorganizando:

1 21 1 21 1 2

2 2

1 12 1 12 1 2 c s s s c s s c )(c c s s ) (c c

Solução analítica 3R

■ Então temos:

1 2 1 2 1 12 1 12l l (c c s s )(x2 y2 ) l 2 l 2 2

(c1c12 s1s12) (c1(c1c2 s1s2) s1(c1s2 s1c2))

■ Reorganizando:

1 21 1 21 1 2

2 2

1 12 1 12 1 2 c s s s c s s c )(c c s s ) (c c

2

1 2

2

1 12 1 12 1 2 s c )(c c s s ) (c c

Solução analítica 3R

■ Então temos:

■ Ou:

1 2 1 2 1 12 1 12l l (c c s s )(x2 y2 ) l 2 l 2 2

(c1c12 s1s12) (c1(c1c2 s1s2) s1(c1s2 s1c2))

■ Reorganizando:

1 21 1 21 1 2

2 2

1 12 1 12 1 2 c s s s c s s c )(c c s s ) (c c

2

1 2

2

1 12 1 12 1 2 s c )(c c s s ) (c c

(c c s s ) c (c2 s2)1 12 1 12 2 1 1

Solução analítica 3R

■ Então temos:

■ Mas:

1 2 1 2 1 12 1 12l l (c c s s )(x2 y2 ) l 2 l 2 2

(c1c12 s1s12) (c1(c1c2 s1s2) s1(c1s2 s1c2))

■ Reorganizando:

1 21 1 21 1 2

2 2

1 12 1 12 1 2 c s s s c s s c )(c c s s ) (c c

2

1 2

2

1 12 1 21 12 s c )(c c s s ) (c c

1 12(c c s s ) c (c2 s2)

1 12 2 1 1

1

Solução analítica 3R

■ Então temos:

1 2 1 2 1 12 1 12l l (c c s s )(x2 y2 ) l 2 l 2 2

(c1c12 s1s12) (c1(c1c2 s1s2) s1(c1s2 s1c2))

■ Reorganizando:

1 21 1 21 1 2

2 2

1 12 1 12 1 2 c s s s c s s c )(c c s s ) (c c

2

1 2

2

1 12 1 12 1 2 s c )(c c s s ) (c c

■ Logo:(c1c12 s1s12) c2

Solução analítica 3R

■ Então temos:

1 2 1 2 1 12 1 12l l (c c s s )(x2 y2 ) l 2 l 2 2

(c1c12 s1s12) (c1(c1c2 s1s2) s1(c1s2 s1c2))

■ Reorganizando:

1 21 1 21 1 2

2 2

1 12 1 12 1 2 c s s s c s s c )(c c s s ) (c c

2

1 2

2

1 12 1 12 1 2 s c )(c c s s ) (c c

■ Logo:(c1c12 s1s12 ) c2

Solução analítica 3R

■ Substituindo

■ Temos:

1 2 1 12 1 121 2 l l (c c s s )■ Em (x2 y2 ) l 2 l 2 2

(c1c12 s1s12 ) c2

(x2 y2 ) l 2 l 2 2l l c1 2 1 2 2

2

2222

2l1l2

x2 y2 l 2 l

2l1l2

y l1 l2

2

2

arccos 1 2

■ Ou seja: cos( ) x

Solução analítica versus

Geométrica do 3R

■ As duas soluções deram a mesma

resposta...

■ Era de se esperar...

■ Se o argumento da função arccos não

estiver entre -1 e 1, significa que o

ponto não pode ser alcançado.

2

2l1l2

x2 y2 l 2 l2

arccos 1 2

Solução analítica 3R

■ E o θ1?

■ Substituindo-se os valores de θ2 nas

equações para x e y, e fazendo

algumas substituições, se encontra o

valor de θ1. (ver pg 111)

■ E θ3?

Se cϕ = c123 e sϕ = s123, logicamente

123 e 3 12

REFERENCE POINT(x,y)

=-1

=+1

Conclusão do 3R

■ Existem duas soluções para o problema

de cinemática inversa de um

manipulado 3R.

■ Exceto em pontos

chamados de

“singularidades”.

Solução de Pieper

■ Embora um robô completamente

genérico com 6 DOF não tenha uma

solução em forma fechada, casos

especiais podem ser resolvidos:

– Pieper estudou manipuladores com seis

graus de liberdade nos quais três eixos

consecutivos se cruzam em um ponto.

– Se aplica à maioria dos robôs industriais

disponíveis no mercado.

Solução de Pieper

■ Quando os últimos três eixos se

cruzam, as origens dos sistemas de

referência de elos {4}, {5} e {6} estão

localizadas nesse ponto de intersecção.

■ Assim, podemos reduzir o problema

para a solução de um manipulador com

3 DOF:

Solução de Pieper

■ Para completar a solução, deve se

encontrar θ4, θ5 e θ6.

– Esses eixos se cruzam, de forma que

esses ângulos de junta afetam a

orientação somente do último elo.

– Podemos computá-los a partir de nada

mais que a porção rotacional do alvo

especificado.

■ Solução completa pgs 114 a 116 do

Craig, 3ª. Edição em inglês.

Exercício 1: PUMA (6R)

PUMA: modelo direto

0 0 0 1

6

zzzzp o an

n x ox a x p x o a p

y y y0T n y

PUMA: modelo direto

Onde:n y s1c 2 3 c 4 c 5 c 6 s 4 s 6 s 2 3 s 5 c 6 c1 s 4 s 5 s 6 c 4 s 6

n z s 2 3 c 4 c 5 c 6 s 4 s 6 c 2 3 s 5 c 6

n x c1c 2 3 c 4 c 5 c 6 s 4 s 6 s 2 3 s 5 c 6 s1 s 4 s 5 s 6 c 4 s 6

o x c1c 2 3 c 4 c 5 c 6 s 4 s 6 s 2 3 s 5 c 6 s1 c 4 c 6 s 4 c 5 s 6

o y s1c 2 3 c 4 c 5 c 6 s 4 s 6 s 2 3 s 5 c 6 c1 c 4 c 6 s 4 c 5 s 6

o z s 2 3 c 4 c 5 c 6 s 4 c 6 c 2 3 s 5 s 6

a x c1 c 2 3c 4 c 5 s 2 3 c 5 s1 s 4 s 5

a y s1 c 2 3 c 4 c 5 s 2 3 c 5 c1 s 4 s 5

a z s 2 3 c 4 s 5 c 2 3 c 5

p x c1 a 2 c 2 a 3 c 2 3 d 4 s 2 3 d 3 s1

p y s1 a 2 c 2 a 3 c 2 3 d 4 s 2 3 d 3 c1

p z a 3 c 2 3 a 2 s 2 d 4 c 2 3

Inversão: páginas 117 a 121 do Craig.

PUMA: cinemática inversa

PUMA: cinemática inversa

Conclusão.

■ Não é fácil obter o modelo cinemático

inverso a partir da geometria do

manipulador:

– Altamente não linear.

– Ambigüidade.

– Solução completa para apenas alguns

tipos de geometrias:

• Geometrias simplistas (1R, 2R, 3R, 3P, RP, …)

• PUMA (6R decoupled).

• Stanford Arm (5R-1P).