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École d’été francophone CA’NTI 23/2017 Cristina Stoica Maniu [email protected] Robustification de lois de commande prédictive

Robustification de lois de commande prédictive - … · Introduction Avantages de la commande prédictive Facilité de mise en œuvre (bonnes performances et simplicité d’implémentation)

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École d’été francophone CA’NTI 23/2017

Cristina Stoica [email protected]

Robustification de lois de commande prédictive

Robustification de lois de commande prédictive2 24/05/2017

Applications

Plan du cours

Introduction

Concepts de la commande prédictive

Mise en œuvre : approche MPC

Introduction sur les LMIs

Robustification via la parametrisation de Youla

Conclusion

Quelques références

3 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Plan du cours

Introduction

Concepts de la commande prédictive

Mise en œuvre : approche MPC

Introduction sur les LMIs

Robustification via la parametrisation de Youla

Conclusion

Quelques références

4 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

IntroductionAvantages de la commande prédictive Facilité de mise en œuvre (bonnes performances et simplicité

d’implémentation)

Effet anticipatif : par utilisation explicite de la trajectoire à suivre dans lefutur

Technique bien adaptée pour commande des systèmes complexes : systèmes multivariables, systèmes

soumis aux contraintes, systèmes non linéaires, systèmes hybrides,systèmes à retard, systèmes Multi-Agent…

problèmes de suivi de trajectoire sans/sous contraintes (entrées, sorties,états), pour lesquels la trajectoire à suivre est parfaitement connue àl’avance et planifiée

différents objectifsparmi les commandes avancées les plus utilisées dans le milieu industriel

5 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

IntroductionApplications industrielles 1979 Dynamic Matrix Control (DCM) : industrie pétrolière

Plus de 1000 applications répertoriées (Qin&Badgwell’03) Robots, machines-outils, industrie chimique ou biochimique, aéronautique,

thermique, l’industrie du ciment, bâtiment intelligent … Exemple : régulation de vitesse des ascenseurs de la tour Eiffel

surtout pour des systèmes avec une trajectoire à suivre connue à l’avance

Historique Début à la fin des années ’70 (Richalet et al., Cutler&Ramaker)

Améliorations dans les années ’90 : faisabilité, stabilité en boucle fermée

Maturité depuis le début des années 2000 : commande prédictive robuste (Mayne etal.), solutions explicites, commande prédictive des systèmes hybrides et non-linéaires,applications aux systèmes rapides

2010 : commande prédictive stochastique, distribuée, décentralisée, économique

6 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

IntroductionPrincipe de fonctionnement Effet anticipatif

Trajectoire connue et planifiée

Horizon glissant

Prise en compte des contraintes

7

Horizon de prédiction

Temps TempsNkkk 1 Nkkkk )1(11

y y

ry

u u

ry

Principe de l’horizon fuyant

PrésentPassé

Horizon de prédiction

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Plan du cours

Introduction

Concepts de la commande prédictive Principes de base

Choix du modèle du processus

Paramètres de réglage

Mise en œuvre : approche MPC

Introduction sur les LMIs

Robustification via la parametrisation de Youla

Conclusion

Quelques références

8 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Concepts de la commande prédictive

Principes de base Elaboration (choix) du modèle numérique du système sur lequel est fondée

la prédiction de la sortie

Spécification de la trajectoire que doit suivre la sortie

Minimisation d’un critère quadratique à horizon fini élaborant uneséquence de commandes futures

Application du premier élément de la séquence de commande au systèmeet au modèle

Répétition à chaque période

d’échantillonnage

(principe de l’horizon fuyant)

caractère anticipatif9 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Concepts de la commande prédictive

Choix du modèle du processus Un bon modèle = le plus simple possible, mais malgré tout suffisamment

significatif et adapté aux besoins, en offrant des prédictions suffisammentprécises une connaissance appropriée du système

Un modèle résultant souvent d’une phase d’identification

Un modèle capable de prédire le comportement du système

Souvent un modèle linéaire

Généralement un modèle à temps discret

Procédure Modèle initial premier essai de commande prédictive

Modèle retouché nouvelle loi de commande prédictive

Remarque Simplicité du modèle l’intérêt de l’utilisation en milieu industriel

10 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Concepts de la commande prédictive

Paramètres de réglage (cas sans contraintes) Fonction de coût Structure du critère Facteurs de pondérations

sur l’erreur de poursuite ( ) sur l’effort de commande ( )

Horizons de prédiction Horizon inférieur ( ) de prédiction sur la sortie Horizon supérieur ( ) de prédiction sur la sortie Horizon de prédiction sur la commande ( )

Choix de la période d’échantillonnage

Remarque MIMO : généralement les mêmes horizons de prédiction sur toutes les

sorties, ainsi que les mêmes horizons de commande11

1N2N

uN

JQJR

1ou / 11 NTdN e

er TtN /2 uu NN ou 1

IQJ

1

0

2

)(

2

)()()()(ˆ

2

1

u

JJ

N

iiR

N

NiiQr ikikikJ uyy

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Plan du cours Introduction Concepts de la commande prédictive Mise en œuvre : approche MPC

Modèle sous forme d’état Prédiction de la sortie Minimisation du critère Tableau récapitulatif Exemple

Introduction sur les LMIs Robustification via la parametrisation de Youla Conclusion Quelques références

12 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Mise en œuvre : approche MPC Modèle sous forme d’état : système MIMO (m entrées, p sorties)

Ajout d’une action intégrale pour annuler les erreurs statiques

Représentation d’état étendue

Prédiction de la sortie

13

111 ,,,,,où ,)()(

)()()1(

pmnnpmnnn

kkkkk

RRRRRR yuxCBAxCy

uBxAx

)()1()( kkk uuu

mpem

emnm

eeee

eeee

kkk

kkkkk

,,

,,,)1()()(où ,

)()()()()1(

0CCIBBI0

BAAuxx

xCyuBxAx

1

0

)(

0

1 )()1()()/(ˆ)(ˆi

j

jk

j

l

jii lkkkkikik

u

uuBACxACyy

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Mise en œuvre : approche MPC Minimisation du critère pour l’élaboration de la loi de commande

Forme matricielle du critère

avec

et

14

1

0

2

)(

2

)()()()(ˆ

2

1

u

JJ

N

ii

N

Niir ikikikJ

RQuyy

2222 )()()()()()(JJJJ

kkkkkkJ r RQRQ UΘUΦUYY

)1()(ˆ)()()()1()(ˆ)(

kkkkkkkk

r uΦxΨYΘUΦuΦxΨY

)(kU

Commandes futuresEtat étendu et

consignes futures

)()()( T1T kk JJJ ΘQΦΦQΦRU

i

j

jii

NNNNNNN

N

N

N

N

N

u011

01

1

1

,00

,,212122

1

2

1

2

1

BACΣΣΣΣΣ

ΣΣΦ

Σ

ΣΦ

CA

CAΨ

,)1(

)()(,

)(

)()(,

)(ˆ

)(ˆ)(

2

1

2

1

ur

r

rNk

kk

Nk

Nkk

Nk

Nkk

u

uU

y

yY

y

yY

))(())((

idiagidiag

JJ

JJ

QQRR

0)(

kJ

U

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

JJJNmmm uQΦΦQΦR0Iμ T1T

)1(, )(

Mise en œuvre : approche MPC Loi de commande Séquence de commandes futures obtenue par minimisation du critère J Par application du principe de l’horizon fuyant, seule la première valeur de

cette séquence est appliquée au système

et

15

)(ky

0CBA)( 2Nkr y )(ku )(ku

)(kex

Modèle étendu

L

FrFr

FrFr

DCBA )(kFry

rF

)()()( 2 kNkk err LxyFu μΦμΨLLL 21avec

)1(21

)( 12,,, NNpmmmnmmnm RRRR μLLL

1

21

),1(

)1(,

)1(),1(

12

12

12

12

1212

NNFr

NNFr

p

pNNpFr

NNppp

NNppNNpFr

μD

μμμC

I0

B

00I0

A

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Mise en œuvre : approche MPC Tableau récapitulatif Définition de la consigne

Choix du modèle sous la forme d’une représentation d’état (matrices A, B, C), choix d’une période d’échantillonnage

Choix des paramètres de réglage de la fonction de coût

Calcul direct des matrices nécessaires pour la mise sous forme matricielle du critère J

Dans le cas où l’état est mesurable, synthèse de la matrice L (« retour d’état ») du correcteur équivalent

16 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Mise en œuvre : approche MPC Exemple : commande MPC d’un réacteur

Discrétisation avec

Représentation d’état avec

Ajout d’action intégrale système étendu

Paramètres de réglage MPC :

17

1y

2u

2y

1u

)()(

4,012

5,011

3,015

7,011

)()(

2

1

2

1sUsU

ss

sssYsY

Débit d’alimentation

Débit de refroidissement

TempératureConcentration

min03,0eT2,2,4 pmn

2890,002329,0009516,001678,0,

5,005,00

025,0025,0

,

9277,000009048,000009418,000009580,0

CBA

pJmJuNNN IQIR ,05,0,2,3,1 21

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Mise en œuvre : approche MPC Exemple : commande MPC d’un réacteur Simulation sous MATLAB : réponse indicielle Echelon de consigne d’amplitude , ensuite une variation

de consigne de 0,5 à 0,4 est appliqué sur à l’instant minutes Sans aucune perturbation

18

0 2 4 6 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Temps (min)

Rép

onse

tem

pore

lle y

1

Sortie y1

Consigne yr1

0 2 4 6 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Temps (min)

Rép

onse

tem

pore

lle y

2

Sortie y2

Consigne yr2

1ry 4t3,0,5,0

21 rr yy

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Mise en œuvre : approche MPC Exemple : commande MPC d’un réacteur Simulation sous MATLAB : commandes Echelon de consigne d’amplitude , ensuite une variation

de consigne de 0,5 à 0,4 est appliqué sur à l’instant minutes Sans aucune perturbation

19

0 2 4 6 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Temps (min)

Com

man

de u

1

Commande u1

0 2 4 6 8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Temps (min)

Com

man

de u

2

Commande u2

3,0,5,021 rr yy

1ry 4t

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Plan du cours

Introduction

Concepts de la commande prédictive

Mise en œuvre : approche MPC

Introduction sur les LMIs

Robustification via la parametrisation de Youla

Conclusion

Quelques références

20 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Introduction sur les LMIsDéfinitions Une matrice est appelée matrice strictement définie positivessi , pour tout vecteur .

L’expression

avec : le vecteur des variables de décision les matrices réelles et symétriques

est appelée Inégalité matricielle linéaire (LMI – Linear Matrix Inequality).

Exemple : inégalité de Lyapunov

Système de LMIs mis sous forme

d’une LMI diagonale

21 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

0MnnTMM R

0MzzT }0{\ nnz R

0)(1

0

m

iiiFxFxF

mTmxxx R 1

miFF nnTii ,...,0, R

0PAPAT

0

)(

)()(

)(~ 2

1

xF

xFxF

F

k00

0000

x

Introduction sur les LMIsType de problèmes LMIs Problème de faisabilité : « Existe-t-il une solution t. q. le LMI

est faisable ?

Problème d’optimisation :

Lemme de Schur (complément de Schur)Soit et des fonctions affines en . Alors,

ssi et

Ssi et

22 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

mx R 0)( xF

xcT

xF 0)(min

)()( xQxQ T )()( xRxR T x

0)()()()(

xRxSxSxQ

T

0)( xR 0)()()()( 1 xSxRxSxQ T

0)()()()( 1 xSxQxSxR T 0)( xQ

Plan du cours

Introduction Concepts de la commande prédictive Mise en œuvre : approche MPC Introduction sur les LMIs Robustification via la parametrisation de Youla

Mise sous forme retour d’état et observateur Calcule d’un paramètre de Youla

Robustesse en stabilité Performance nominale

Conclusion Quelques références

23 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Mise sous forme retour d’état et observateur

But : technique hors-ligne de robustification de lois MPC

Scenario : commande MPC initiale stabilisante (retour d’état + observateur) robustification via la parametrisation de Youla

)(ˆ)()( 2 kNkk err xLyFu

)(ky

0CBA)( 2Nkr y

)(ku

rF )(ku

)(ˆ ky

)(ˆ kexObservateur

0I

KBKCA eeeeC

L

n+m états

24 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

QsK

Ensemble des correcteurs stabilisateurs :

Dépendance affine en Q

u y

Robustification via la paramètrisation de Youla

MIMO Système

0K

w z

yu

w z

Q

0T

TT

zw

zwzw

21

1211

yu

zwzwzwQTTTTzw 211211

0K sK HQ

spécifications convexes en B.F.

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive25

Solution sous optimale : polynôme ou filtre FIR pour chaque paire

avec

Représentation d’état

paire fixe

paire variable

HQ ?Q),( jiijQ

pjmiqqQQn

l

lijl

ij ,1,,1,0

degré du Q Paramètres inconnus

mpmjm

ipiji

pj

QQQ

QQQ

QQQ

1

1

1111

Q

)()()(

)()()1(

kkk

kkk

QQQ

QQQQ

yDxCu

yBxAx ),( QQ BA),( QQ DC

étatsQpn

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive26

Robustification via la paramètrisation de Youla

Choix du paramètre de Youla (stable !)

avec

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive27

Robustification via la paramètrisation de Youla

mpQ

mQ

mpQ

mQ

pQQ

pQQ

QQ

QQ

QQ

QQ

dd

dd

11

111111

cc

ccb0a0

0b0a

DCBA

ijijQ

ijn

ijijQ

nQ

nn

nQ qdqq

QQQQ

Q01

1,11,11

1,1 ,,1

,0

c0b0I

0a

Correcteur initial MPC stabilisant

Robustesse en stabilité (RS)

face à des incertitudes

non structurées

Performance nominale (NP) pour

le rejet de perturbations

)()( kk yd

ubuQbzQ

TWTu

minmin

QQ

QQ

DCBA

)( 2Nkr y )(ky)(ku

rF )(ku

)(kd

)(kuz

0CBA

)(kb

0C

IBA

e

ee )(ˆ ky

K

)(ˆ kexL

)(ky)(ku

uW

Observer

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive28

Robustification face à des incertitudes non structurées

Correcteur initial MPC stabilisant

Robustesse en stabilité (RS)

face à des incertitudes

non structurées

Performance nominale (NP) pour

le rejet de perturbations

)()( kk yd

ubuQbzQ

TWTu

minmin

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive28

Robustification face à des incertitudes non structurées

b uz

Q

0T

TT

bz

bzbz

u

uu

21

1211

u

yyy ˆ

RS face à des incertitudes non structurées :

Théorème 1

Un système discret est stable et a une norme plus petite que ssi

Nouveau problème d’optimisation

),,,( clclclcl DCBA H

0/0TT

T1

T

11

T11

IDC0DI0BC0XA0BAX

XX

clcl

clcl

clcl

clcl

0

minLMI

outils LMI:

LMI0

bzQ uTmin

),,,(: clclclcl DCBAT bzu

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive29

Robustification face à des incertitudes non structurées

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive30

Robustification face à des incertitudes non structurées

RS face à des incertitudes non structurées :

But : trouver

Théorème

QwQweQw

QQeQ

QuQueQu

clcl

clcl

DDCDCDDCCBACB0

K0A0DBCBCDBAA

DCBA

21

2

31 111

)()( kk uzb

0TT

T1

T

11

IDC0DI0BC0XA0BAX

clcl

clcl

clcl

clcl ),,,(diag 1 IIIXΠ 0T

TT

T1

T

11

Π

IDC0DI0BC0XA0BAX

Π

clcl

clcl

clcl

clcl

LMI0

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive30

Robustification face à des incertitudes non structurées

RS face à des incertitudes non structurées :

But : trouver

Théorème

QwQweQw

QQeQ

QuQueQu

clcl

clcl

DDCDCDDCCBACB0

K0A0DBCBCDBAA

DCBA

21

2

31 111

)()( kk uzb

0TT

T1

T

11

IDC0DI0BC0XA0BAX

clcl

clcl

clcl

clcl ),,,(diag 1 IIIXΠ

LMI0

0T1

T

T11

T111

IDC0DI0XBC0XXA0BXAXX

clcl

clcl

clcl

clcl

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive31

Robustification face à des incertitudes non structurées

RS face à des incertitudes non structurées :

But : trouver

Changement des variables

et

Transformations de congruence

11

1T11

11

T1

11

11

1

1T1

11

1T1

111 ZWZYWZ

ZWWTSSR

YZZW

X

nnnn RR

,12111 SSS

22T

12

12111 TT

TTT

0T1

T

T11

T111

IDC0DI0XBC0XXA0BXAXX

clcl

clcl

clcl

clcl

II

IS0R

IS0R

Γ ,,,diag T1

1T1

1

0T1

T

T11

T111

T

clcl

clcl

clcl

clcl

Γ

IDC0DI0XBC0XXA0BXAXX

Γ

LMI0

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive32

Robustification face à des incertitudes non structurées

RS face à des incertitudes non structurées :

But : trouver LMI0

0

*************

*********

*****

*

TT

TTT1

T1222

TT2

T1

T111211

T111

22T

1222222T

1222

121112122111211

121112121312211111111 111

IDDI

DCCS0TDDCCCS0TT

CR000R0BTKTATCBTAT0T0BTKTATCBTAT0TT0BSKSDBCBASSACDBACBSASSARA00R

wQ

wQ

wTQ

Te

QQeQ

QQeQ

QQuQuQeQueQ

LMI0

NP : gabarits temporels de sortie pour le rejet des perturbations

Nouveau problème d’optimisation

tNkkkkk 0/),()()( maxmin yyy

Time

Gabarit temporel pour le rejet de perturbation

Tim

e re

spon

se

10 ,

minLMILMI

outils LMI: LMI1

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive33

Robustification face à des incertitudes non structurées

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive34

Robustification face à des incertitudes non structurées

NP : gabarits temporels de sortie pour le rejet des perturbations

But : trouver

Pour

LMI1

yQu

ud

0TTT

yy

yd

ydyd

21

1211

tNkkkk ,0),()()( 211211 dQTTdTyydydyd

p

l

m

h

jl

hlih

jii ksQsksky

1 1,2,1

,0 )()()(

Qn

v

vjiv

ji qqQ1

p

l

m

hhln

hl

hl

Qtjilht

jilht

jilh

jilh

jilh

jilh

tji

ji

ji

ti

i

i

Qq

qq

nNsNsNs

sss

Ns

ss

Ny

yy

1 1

1

0

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,0

,0

,0

)()1()(

0)0()1(00)0(

)(

)1()0(

)(

)1()0(

tNk ,...,1

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive35

Robustification face à des incertitudes non structurées

NP : gabarits temporels de sortie pour le rejet des perturbations

But : trouver

Etapes

Gabarit maximal

Gabarit minimal

LMI1

p

l

m

h

ThlQ

jilh

hlQ

jilh

jip

l

m

hThl

Q

hlQji

lhjilh

jii d

d

1 1

,,

,,

,0

1 1

,,

,,

,0 )(

)(csss

csssy

CDCD

Th

TQ

m

h

jiph

jih

Th

TQ

m

h

jiph

jih

jii ee CssDsssy

CCDD

1

,,

,1,

1

,,

,1,

,0

0max,1

,

1

,,0

i

Th

TQ

m

h

jih

Th

TQ

m

h

jih

ji ee yCSDSsCD

0min,1

,

1

,,0

i

Th

TQ

m

h

jih

Th

TQ

m

h

jih

ji ee yCSDSsCD

LMI1

Application à un réacteur Paramètres de réglage du MPC initial

Pondérations

ww

ww

DCBA

pJmJ

u

ii

NNN

IQIR

)(~,05.0)(~2,3,1 21

3.0/)7.01( 12

qIWu2wn

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive36

1y

2u

2y

1u

Robustification face à des incertitudes non structurées

Application à un réacteur

RMPC0: RS seulement

MIMO System

0Q

yu0MPC

yu

buz buz

RMPC1: RS&NP (2 gabarits)

Système MIMOMIMO

System

1Q

yu0MPC

1d 1y

yu

2d 2y

buz

RMPC2: RS&NP (4 gabarits)

2Q

yu

MIMO

System

0MPC

yu

1d 1y2d 2y

MPC0: MPC initial stabilisant

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive37

Robustification face à des incertitudes non structurées

Application à un réacteur Ordre du paramètre de Youla :

Décroitre la norme H du Tubaugmente la RS vis-à-vis

des incertitudes additives

Ajouter des gabarits temporels pourla NP diminue la RS

compromis

40Qn

Singular values of ubT

10-1 100 101 102

-40

-20

0

20

Frequency (rad/min)

Sing

ular

val

ues

(dB

)

MPC0

RMPC0

RMPC1RMPC2

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive38

Robustification face à des incertitudes non structurées

Application à un réacteur Gabarits temporels pour le rejet des perturbations

RMPC1,2 sont à l’intérieur des gabarits

11 yd 22 yd

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive39

Robustification face à des incertitudes non structurées

Application à un réacteur Gabarits temporels pour le rejet des perturbations

Seul RMPC2 reste à l’intérieur réduire l’influence du couplage

12 yd 21 yd

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive40

Robustification face à des incertitudes non structurées

Application à un réacteur Réponses temporelles

Paramètres :3.0,5.0,3.0,5.0 2121

ddyy rr

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Time (min)

Efflu

ent c

once

ntra

tion

y1

MPC0

RMPC0RMPC1RMPC2

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Time (min)

Rea

ctor

tem

pera

ture

y2

MPC0

RMPC0RMPC1

RMPC2

Influence du couplage

Compromis : RS sous incertitudes additives – NP pour le rejet des perturbationsRMPC2: meilleur comportement en présence de perturbations

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive41

Robustification face à des incertitudes non structurées

0 2 4 6

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Time (min)

Coo

lant

flow

u2

MPC0

RMPC0

RMPC1

RMPC2

0 2 4 6

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Time (min)

Feed

flow

rate

u1

MPC0

RMPC0

RMPC1

RMPC2

Influence du couplage

Application à un réacteur Commandes

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive42

Robustification face à des incertitudes non structurées

Compromis : RS sous incertitudes additives – NP pour le rejet des perturbationsRMPC2: meilleur comportement en présence de perturbations

Application à un réacteur Validation du RS face à une dynamique négligée de , i.e.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Time (min)

Efflu

ent c

once

ntra

tion

y1

MPC0RMPC2Setpoint yr1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

Time (min)

Rea

ctor

tem

pera

ture

y2

MPC0RMPC2Setpoint yr2

)]07.01)(7.01/[(111

ssuy T

1u

RMPC2 – stable face à cette incertitude

Influence du couplage

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive43

Robustification face à des incertitudes non structurées

Application à un réacteur Réduction de l’ordre du paramètre de Youla

états états

Réponses fréquentielles bien approximées

Singular values of ubTYoula parameter

240 6

10-1 100 101 102

0

10

20

30

Frequency (rad/min)

Sing

ular

val

ues

(dB

)

RMPC2RMPC2r

10-1 100 101 102-15

-10

-5

0

5

10

15

Frequency (rad/min)

Sing

ular

val

ues

(dB

)

RMPC2

RMPC2r

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive44

Robustification face à des incertitudes non structurées

Application à un réacteur Réponses temporelles avec le paramètre de Youla réduit

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

Time (min)

Efflu

ent c

once

ntra

tion

y1

RMPC2RMPC2rSetpoint yr1

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

Time (min)

Rea

ctor

tem

pera

ture

y2

RMPC2RMPC2rSetpoint yr2

24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive45

Robustification face à des incertitudes non structurées

Réponses temporelles bien approximées

Plan du cours

Introduction

Concepts de la commande prédictive

Mise en œuvre : approche MPC

Introduction sur les LMIs

Robustification via la parametrisation de Youla

Conclusion

Quelques références

48 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Conclusion Commande prédictive : beaucoup utilisée dans l’industrie

Etapes à suivre en vue de l’élaboration d’un commande prédictive (modèle,trajectoire, critère quadratique, séquence de commande)

Application possible à plusieurs classes de systèmes (SISO, MIMO, systèmes avec contraintes)

Approche d’état (MPC) Commande par retour d’état

Robustification Mise sous forme d’un retour d’état + un observateur Trouver un paramètre deYoula stable qui permet de robustifier

RS par rapport aux incertitudes non structurées NP par rapport au rejet des perturbations

Atout MPC : prise en compte des contraintes directement dans la synthèse

Conclusion

49 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

Plan du cours

Introduction

Concepts de la commande prédictive

Mise en œuvre : approche MPC

Introduction sur les LMIs

Robustification via la parametrisation de Youla

Conclusion

Quelques références

50 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive

P. Boucher, D. Dumur, “La commande prédictive”, Collection Méthodes et pratiquesde l’ingénieur, Editions Technip, Paris, 1996.

E.F. Camacho, C. Bordons, “Model predictive control”, Ed. Springer-Verlag, 2nd ed.,London, 2004.

J. M. Maciejowski, “Predictive control with constraints”, Ed. Prentice Hall, PearsonEducation Limited, Harlow, 2002.

J.A. Rossiter, “Model based predictive control. A practical approach”, CRC Press LLC,2003.

S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Fero, V. Balakrishnan, “Linear matrix inequalities in system andcontrol theory”, SIAM Publications, Philadelphia, 1994.

C.W. Scherer, S.Weiland,“Linear matrix inequalities in control”, Notes de cours, 2005.

D. Henrion, “Course on LMI optimization with application in control”, Notes de cours,2008.

C. Stoica, “Robustification de lois de commande prédictive multivariables”, thèse dedoctorat, Université Paris XI, Orsay, 2008.

Quelques références

51 24/05/2017Robustification de lois de commande prédictive