ROOT LOCUS - anugerahf.files.wordpress.com · n Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel. (Alternatif: gunakan MATLAB

Bab5: Root Locus EL303: Sistem Kendali

__________________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 28

ROOT LOCUS

Ì Pendahuluan

Ì Dasar Root Locus

Ì Plot Root Locus

Ì Aturan-Aturan Penggambaran Root Locus

Ì Root Locus Melalui MATLAB

Ì Kasus Khusus

Ì Analisis Sistem Kendali Melalui Root Locus

Ì Root Locus untuk Sistem dengan

Transport Lag



Ì PENDAHULUAN

n Karakteristik tanggapan transient sistem looptertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (looptertutupnya).

n Bila K berubah, maka letak pole-pole nya jugaberubah.

n Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-poledalam bidang s.

n Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilihK sehingga pole-pole terletak ditempat yangdiinginkan.

n Desain sistem kendali melalui kompensasi:memindahkan letak pole yang tak diinginkan melaluipole-zero cancellation.

n Mencari akar-akar persamaan karakteristik untukorde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel.(Alternatif: gunakan MATLAB ?!)

n W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencariakar-akar persamaan orde tinggi : metoda RootLocus.

n Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaankarakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga.

n Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letakpole-pole terhadap perubahan K, terhadappenambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.



Ì DASAR ROOT LOCUS

Persamaan Karakteristik: s2 + 2s + K =0

Akar-akar Persamaan Karakteristik :

sK

K=− ± −

= − ± −2 4 4

21 1

K s1 s2

0 0 -21 -1 -12 -1+j1 -1+j1

10 -1+j3 -1+j3101 -1+j10 -1+j10



n Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbunyata.

n Root Locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) (untukK=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untukK→∞) termasuk zero-zero pada titik takhingga.

n Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistemkendali linear karena Root Locus dapat menunjukkanpole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yangharus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistemdapat dipenuhi.

n Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocokditerapkan untuk memperoleh hasil secara cepat.

n Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1parameter untuk diatur masih dapat menggunakanpendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1parameter pada satu saat.

n Root Locus sangat memudahkan pengamatanpengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letakpole-pole.

n Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkanuntuk dapat memahaminya dan untuk memperolehidea dasar secara cepat, meskipun MATLAB dapatmelakukannya secara cepat dan akurat.

n Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapatditentukan dengan mengatur nilai K melalui RootLocus.



Ì PLOT ROOT LOCUS

Persamaan Karakteristik: 1 + G(s)H(s) = 0Atau:

G(s)H(s) = -1,Sehingga:

øG(s)H(s) = ! 1800(2k+1); (syaratsudut)

k = 0, 1, 2, ….

| G(s)H(s)| = 1 (syarat magnitude)



Ì PROSEDUR PENGGAMBARAN ROOT LOCUS

1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka padabidang s.

2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.

• Syarat Sudut:øG(s)H(s) = ! 1800(2k+1); k = 0, 1, 2, ….

• Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zerodikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di RootLocus.

3. Tentukan asimtot Root Locus:

• Banyaknya asimtot = n – mn = banyaknya pole loop terbukam= banyaknya zero loop terbuka

• Sudut-sudut asimtot = mn

1)(2k1800

−+±

k=0, 1, 2, …

• Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata:

( ) ( )mn

berhinggazeroletakberhinggapoleletak

−

−= ∑∑

aσ



4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in:

Untuk Persamaan Karakteristik:

B(s) + KA(s) = 0,

Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus danmemenuhi persamaan:

0)(

)()()()(2

''

=−

−=sA

sAsBsAsB

ds

dK

5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkatuntuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan.



6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K):

• Melalui Kriteria Routh Hurwitz.• Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = jz

7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerah-daerah selain sumbu nyata dan asimtot.

8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yangmemenuhi syarat magnitude. Sebalikya, bila letak pole-pole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yangmemenuhi dapat dihitung secara grafis atau secaraanalitis:

Secara grafis:



CONTOH 1:



CONTOH 2:



Ì BEBERAPA CATATAN

• Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapatmengubah total bentuk Root Locus.

• Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di‘hilang’kan (cancelled) oleh zero-zero H(s)







Ì ROOT LOCUS MELALUIMATLAB



Ì KASUS KHUSUS] Parameter K bukan penguatan loop terbuka.] Umpanbalik positif.

] Parameter K bukan Penguatan LoopTerbuka.





] Umpanbalik Positif.

• Modifikasi Aturan

2. Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik test,maka titik tsb berada di Root Locus.

3. Sudut-sudut asimtot = mn

036 0

−± k

; k=0, 1, 2, …

5. Sudut datang dan sudut pergi : 1800 diganti dengan00.



Contoh:







Ì ANALISIS SISTEM KENDALI• Ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstan• Sistem stabil kondisional• Sistem fasa non-minimum

• Ortogonalitas dan Locus dengan PenguatanKonstan

Root locus dan lokus dengan penguatan konstanmerupakan pemetaan konformal lokus ∠G(s)H(s)=±1800(2k+1) dan |G(s)H(s)| = konstan dalam bidang

G(s)H(s)



• Sistem Stabil Kondisional

• Sistem stabil untuk 0 < K < 14 dan64<K <195

• Prakteknya stabil kondisional tak diinginkan, karenasistem mudah menjadi tak stabil.

• Stabil kondisional dapat etrjadi pada sisetm denganlintasan maju tak stabil (karena ada minor loop).

• Stabil kondisional dapat dihindari melaluikompensasi yang sesuai (penambahan zero).



• Sistem Fasa Non-Minimum(Pergeseran fasa bila diberi input sinus)

• Sistem fasa minimum: bila semua pole dan zerosistem loop terbuka terletak disebelah kiri bidang-s.

• Sistem fasa non-minimum: bila sedikitnya adasatu pole atau zero sistem loop terbuka terletakdisebelah kanan bidang-s.

= ±1800 (2k+1); k= 0, 1, 2, … Sehingga:

0

0)1(

)1(=

+−

∠Tss

sTK a



Ì ROOT LOCUS DENGANTRANSPORT LAG

• Transport lag / Dead Time: keterlambatan pengukuranakibat sifat kelembaman sistem fisis.

• Elapse time: T = L/v detik,• Sehingga : y(t) = x(t-T)• Fungsi Alih:



Contoh:





Dead Time menyebabkan ketidakstabilan sistem, sekalipununtuk sistem orde-1Pendekatan Transport Lag



• Bila T kecil sekali dan fungsi f(t) pada elemen tsbkontinyu dan smooth:

• Pendekatan Lain:

Documents

ROOT LOCUS - anugerahf.files.wordpress.com · n Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel. (Alternatif: gunakan MATLAB