RÓWNANIA NIELINIOWEawosatko/INFTRA/rniel_w01INF.pdf · Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych Metoda interpolacji liniowej Metoda interpolacji

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych

RÓWNANIA NIELINIOWE

INFORMATYKATransport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I

Katedra L-10, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

Ewa Pabisek

Adam Wosatko

INFORMATYKA RÓWNANIA NIELINIOWE


Postać ogólna równania nieliniowego

Zazwyczaj nie można znaleźć rozwiązania równania nieliniowegow sposób dokładny. Istotnym problemem obliczeniowym jest numeryczneposzukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, które mają postać:

f (x) = 0 lub g(x) = h(x). (1)

Rozwiązaniem (pierwiastkiem równania, miejscem zerowym) nazywamykażdą liczbę x = x?, która spełnia równanie (1).

Równanie nieliniowe charakteryzuje się tym, że może nie mieć żadnegorozwiązania lub też może mieć wiele rozwiązań.Nie można sformułować ogólnych reguł prowadzących do wyznaczeniajakiegokolwiek pierwiastka.

Przykładem równań nieliniowych mogą być równania algebraiczne(wielomiany) lub równania przestępne (funkcje trygonometryczne).



Warunki numerycznego rozwiązywania równań nieliniowych

Do obliczeń numerycznych można przystąpić dopiero wtedy gdy wiemy,że poszukiwane rozwiązanie istnieje.

Przy omawianiu algorytmów obliczania rozwiązań równań nieliniowychzakładamy, że równanie ma tylko pierwiastki odosobnione, tj. dlakażdego pierwiastka równania istnieje otoczenie [a, b], które nie zawierainnych pierwiastków tego równania.

Takie otoczenie [a, b] będzie nazywane przedziałem izolacji.



Warunki numerycznego rozwiązywania równań nieliniowych

Równania nieliniowe (przy pomocy komputera) rozwiązywać będziemymetodami iteracyjnymi, które wymagają:1 dokonania właściwego wyboru punktu startowego,2 wybrania odpowiedniego algorytmu iteracyjnegozapewniającego zbieżność procesu obliczeniowego,

3 określenia kryterium stopu wynikającego z wymaganejdokładności obliczeń.

Punkt startowy musi być położony dostatecznie blisko poszukiwanegorozwiązania i znajdować się w przedziale izolacji tego pierwiastka.Zakładamy, że poszukiwany pierwiastek istnieje, i że znany jest jegoprzedział izolacji.



Etapy numerycznego rozwiązywania równań nieliniowych

Obliczanie przybliżone pierwiastków odosobnionych, rzeczywistychrównania f (x) = 0 dzieli się na dwa etapy:1 ustalenie możliwie małych przedziałów [a, b], tzw. przedziałówizolacji, które zawierają jeden i tylko jeden pierwiastek;

2 uściślenie pierwiastków przybliżonych,tj. określenie tych pierwiastków z żądaną dokładnością.

Każdy algorytm iteracyjnego obliczania pierwiastka generuje pewien ciągpunktów x (k), k = 1, 2, . . . , charakteryzujący się tym, że odległościkolejnych punktów tego ciągu maleją, tzn.

εk = ||x (k+1) − x (k)||k→∞ → 0, (2)

O metodzie iteracyjnej mówimy, że jest szybkozbieżna i wtedy, gdyodległości εk kolejnych punktów szybko maleją.W przeciwnym razie mówimy, że metoda jest wolnozbieżną.



Kryterium stopu procesu iteracyjnego

Proces iteracyjny nie może trwać w nieskończoność, dlatego należysformułować warunek stopu, który powinien polegać na spełnieniu dwóchnierówności

εk < εx oraz |f (x)(k)| < εf . (3)

gdzie: εx , εf są małymi liczbami określającymi dokładność obliczeń.

Ograniczymy się równań o jednej zmiennej niezależnej x .



Metoda połowienia (bisekcji)

Metoda bisekcji jest najprostszą ze wszystkich możliwych metodi jest bardzo wolno zbieżna. Dane jest równanie

f (x) = 0,

przy czym funkcja f (x) jest ciągła w przedziale domkniętym < a, b >oraz zachodzi nierówność: f (a) f (b) < 0.




Metoda bisekcji jest najprostszą ze wszystkich możliwych metod i jestbardzo wolno zbieżna. Dane jest równanie

f (x) = 0,






f (x) = 0,






f (x) = 0,






f (x) = 0,




Metoda bisekcji – przykład

PrzykładZnaleźć pierwiastki równaniaf (x) = (x − 1)(x + 1) = 0przyjmując a = 0, b = 1.5, εx = εf = 1 · 10−4

Rozwiązaniefa = −1 fb = 1.2500 fx = 1.2500εx = 1.500 εf = 1.25

iter = 1x = 0.75 fx = −0.4375a = 0.75 fa = −0.4375εx = 0.75000 εf = 0.43750iter = 2x = 1.125 fx = 0.26562b = 1.125 fb = 0.26562εx = 0.375 εf = 0.26562

iter = 3x = 0.9375 fx = −0.12109a = 0.9375 fa = −0.12109εx = 0.18750 εf = 0.12109iter = 14x = 1.0 fx = 6.1036e−5b = 1.0 fb = 6.1036e−5εx = 9.1553e−05 εf = 6.1036e−5



Metoda interpolacji liniowej

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

a b x

A

By = f (x)

fa = f (a)

fb = f (b)

y

(b − a)(y − f (a)) = (f (b)− f (a))(x − a) (4)




Metoda interpolacji liniowej (regula falsi)

Regula – linia prosta (inne znaczenie: reguła).

Falsi – fałszywy.

Metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu,że w pewnym przedziale funkcja zawsze jest liniowa.

Metoda ta jest szybciej zbieżna od metody bisekcji,a ponadto jej zbieżność jest również gwarantowana.

W interpretacji geometrycznej metoda interpolacji liniowej oznaczazastąpienie krzywej f (x) cięciwą łączącą punkty A(a, f (a)) i B(b, f (b))

x − ab − a

=y − f (a)f (b)− f (a)

. (5)

Dla y = 0 mamyxk =

a fb − b fafb − fa

(6)




Metoda interpolacji liniowej (regula falsi)

xk =a fb − b fafb − fa




Metoda regula falsi – przykład

Znaleźć pierwiastki równania f (x) = (x − 1)(x + 1) = 0 przyjmująca = 0, b = 1.5, εx = εf = 1e−4.

Rozwiązaniefa = −1 fb = 1.2500 x0 = 0

iter = 1x = 0.66667 fx = −0.55556 εx = 0.66667 εf = 0.55556a = 0.66667 fa = −0.55556 x0 = 0.66667iter = 2x = 0.92308 fx = −0.14793 εx = 0.25641 εf = 0.14793a = 0.92308 fa = −0.14793 x0 = 0.92308iter = 3x = 0.98413 fx = −0.031494 εx = 0.06105 εf = 0.031494a = 0.98413 fa = −0.031494 x0 = 0.98413

iter = 8x = 0.99999 fx = −1.0240e−5εx = 2.0480e − 05 εf = 1.0240e−5



Metoda siecznych

W tej metodzie generowanie ciągu kolejnych przybliżeń wartościposzukiwanego pierwiastka odbywa się także za pomocąinterpolacji liniowej.

Stosowana strategia interpolacji liniowej polega jednak na tym, że jestona budowana na podstawie znanych wartości dwóch ostatnioobliczonych rzędnych funkcji f (x).



Metoda siecznychW tej metodzie, x(k+1) wyznacza się jako odciętą punktu przecięcia siecznejprzechodzącej przez punkt A(xk−1, f (xk−1)) oraz B(xk , f (xk)) z osią x−ów:

xk+1 = xk −f (xk)

f (xk)− f (xk−1)(xk − xk−1), k = 1, 2, . . . , n (7)



Metoda siecznych

Posługiwanie się taką interpolacją może w pewnych przypadkachprowadzić do obliczenia pierwiastka xk+1 leżącego poza bieżącymprzedziałem izolacji.Przykład:

Znaleźć pierwiastek równania x3 − 6 x2 + 11 x − 6 = 0 dla a = 0.9, b = 1.9.

Uwaga! Jak widać znaleziony został pierwiastek x? = 2.0leżący poza przyjętym przedziałem izolacji.



Metoda stycznych (Newtona-Raphsona)

Pochodna funkcji

Analizujemy funkcję f zmiennej x w otoczeniu punktu x0. Definiujemyiloraz (różnicowy) funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu ∆x :

f (x0 + ∆x)− f (x0)∆x

Pochodna funkcji y = f (x) w punkcie x0 jest to granica, do której dążyiloraz, gdy ∆x dąży do 0, o ile taka granica istnieje:

f ′(x0) = lim∆x→0

f (x0 + ∆x)− f (x0)∆x

(8)

Obliczanie pochodnej f ′(x) to różniczkowanie funkcji f (x).

Pochodna istnieje, jeśli:

funkcja f (x) jest ciągła,

istnieje granica określona w (8)– funkcja f (x) jest różniczkowalna.




Pochodna funkcjiInterpretacja geometryczna

y

f (x)

x

y0∆x

y0 + ∆y

∆yA(x0, y0)

x0 + ∆xx0

α

f ′(x0) = tg(α)

α - kąt nachylenia stycznejINFORMATYKA RÓWNANIA NIELINIOWE




Podstawę metody stanowi interpolacja funkcji f (x) za pomocą stycznejprowadzonej w punkcie B(x0, f0).Kolejne przybliżenia poszukiwanego pierwiastka są odciętymi punktuprzecięcia stycznej z osią x :

xk+1 = xk −f (xk)f ′(xk)

. (9)




Metoda stycznych – przyjęcie punktu startowego

Jest to metoda najszybciej zbieżna o zbieżności kwadratowej.Oznacza to, że przy spełnionych założeniach jej błąd maleje kwadratowowraz z liczbą iteracji.Wadą metody jest fakt, że zbieżność nie zawsze musi zachodzić. W wieluprzypadkach metoda bywa rozbieżna – przeważnie wtedy gdy punktstartowy jest zbyt daleko od szukanego pierwiastka równania.Jeżeli zachodzą cztery warunki:1 funkcje f (x) jest określona i ciągła w przedziale −∞ < x < +∞;2 f (a)f (b) < 0;3 f ′(x) 6= 0 dla a ≤ x ≤ b;4 f ′′(x) istnieje w przedziale (−∞,+∞) i nie zmienia znaku;

to przy zastosowaniu metody Newtona za początkowe przybliżenie x0można przyjąć dowolną wartość c ∈< a, b >.




Metoda stycznych – przykład

Znaleźć pierwiastki równania f(x)= (x-1)(x+1)=0 przyjmująca = 0, b = 1.5, εX = εF = 1e−4.

Rozwiązaniefa = −1 fb = 1.2500 x0 = 1.5iter = 1x1 = 1.0833, εx = 0.41667, εf = 0.17361iter = 2x1 = 1.0032, εx = 0.080128, εf = 0.0064205iter = 3x1 = 1.0000, εx = 0.0032000, εf = 1.0240e−5iter = 4x1 = 1.0000, εx = 5.1200e − 06, εf = 2.6215e−11




Zmodyfikowana metoda Newtona

Jeżeli pochodna f ′(x) zmienia się w przedziale domkniętym < a, b >nieznacznie to we wzorze

xk+1 = xk −f (xk)f ′(xk)

, k = 0, 1, 2, · · · , n

można przyjąćf ′(xk) ≈ f ′(x0).

Zatem kolejne przybliżenia pierwiastka x? równania f (x) = 0 możnaobliczyć ze wzoru

xk+1 = xk −f (xk)f ′(x0)

, k = 0, 1, 2, · · · , n (10)




Zmodyfikowana metoda Newtona

xk+1 = xk −f (xk)f ′(x0)

, k = 0, 1, . . . , n

W interpretacji geometrycznej metoda ta oznacza zamianę stycznychw punktach Bk(xk , f (xk)) prostymi, równoległymi do stycznej,przeprowadzonej przez punkt B0(x0, f (x0)).


Documents

RÓWNANIA NIELINIOWEawosatko/INFTRA/rniel_w01INF.pdf · Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych Metoda interpolacji liniowej Metoda interpolacji