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Rythmes et algorithmes Le génie mathématique indien François Patte Université Paris Descartes ULB 24 avril 2009 Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 1 / 36

Rythmes et algorithmes - HAL archive ouverte · druta o mesure de référence demi-brève laghu I = 2 druta ♩ brève guru S = 2 laghu = 4 druta longue pluta S` = 3 laghu = 6 druta

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  • Rythmes et algorithmesLe génie mathématique indien

    François Patte

    Université Paris Descartes

    ULB24 avril 2009

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 1 / 36

  • L̄ılāvat̄ı Commentaire de Gaṅgādhara

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 2 / 36

  • L̄ılāvat̄ı Commentaire de Gaṅgādhara

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 2 / 36

  • L̄ılāvat̄ı Commentaire de Gaṅgādhara

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 2 / 36

  • L̄ılāvat̄ı Commentaire de Gaṅgādhara

    laks.mı̄dvivahnyaṅgadigekakona-vim. śatyabhijñā drutas.at.kabandhah.

    antyau yutau dvāv atha sāntarau dvautattadyuteh. syāt purato ’pi sam. khyā

    1, 2, 3, 6, 10, 19, 33, 60, 106, 191, 340, 610, etc.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 3 / 36

  • L̄ılāvat̄ı Commentaire de Gaṅgādhara

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 4 / 36

  • L̄ılāvat̄ı Commentaire de Gaṅgādhara

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 4 / 36

  • L̄ılāvat̄ı Commentaire de Gaṅgādhara

    1 daśadrutāh.

    1 0 navadrutāh.

    1 0 9 as.t.adrutāh.

    1 0 8 0 saptadrutāh.

    1 0 7 0 35 s.at.drutāh.

    1 0 6 0 27 0 pañcadrutāh.

    1 0 5 0 20 0 87 caturdrutāh.

    1 0 4 0 14 0 44 0 tridrutāh.

    1 0 3 0 9 0 25 0 63 dvidrutāh.

    1 0 2 0 5 0 12 0 26 0 ekadrutāh.

    0 1 0 2 0 4 0 7 0 13 adrutāh.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 avayavāh.

    1 2 3 6 10 19 33 60 106 191 rūpasam. khyā

    1 2 5 10 22 44 91 180 358 698 drutāh.

    0 1 2 5 10 22 44 91 180 358 laghavah.

    0 0 0 1 2 5 10 22 44 91 guravah.

    0 0 0 0 0 1 2 5 10 22 plutāh.

    1 3 7 16 34 72 [147] [297] [592] 1169 avayavāh.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 5 / 36

  • Sources

    Śārṅgadeva : Sam. ḡıtaratnākara (13e siècle)

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 6 / 36

  • Sources

    Śārṅgadeva : Sam. ḡıtaratnākara (13e siècle)

    Cinquième chapitre : Tālādhyaya

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 6 / 36

  • Sources

    Śārṅgadeva : Sam. ḡıtaratnākara (13e siècle)

    Cinquième chapitre : Tālādhyaya

    Com. : Kalānidhi de Kallinātha (15e siècle)(ed. Ānandāśrama – 1896 et Adyar – 1951)

    Sudhākara de Sim. habhūpāla (14e siècle)

    (ed. Adyar – 1951)

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 6 / 36

  • Sources Notations

    druta o mesure de référence � demi-brèvelaghu I = 2 druta ♩ brèveguru S = 2 laghu = 4 druta longuepluta S̀ = 3 laghu = 6 druta · protractée

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 8 / 36

  • Sources Notations

    druta o mesure de référence � demi-brèvelaghu I = 2 druta ♩ brèveguru S = 2 laghu = 4 druta longuepluta S̀ = 3 laghu = 6 druta · protractée

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 8 / 36

  • Sources Notations

    druta o mesure de référence � demi-brèvelaghu I = 2 druta ♩ brèveguru S = 2 laghu = 4 druta longuepluta S̀ = 3 laghu = 6 druta · protractée

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 8 / 36

  • Sources Notations

    druta o mesure de référence � demi-brèvelaghu I = 2 druta ♩ brèveguru S = 2 laghu = 4 druta longuepluta S̀ = 3 laghu = 6 druta · protractée

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 8 / 36

  • Sources Notations

    druta o mesure de référence � demi-brèvelaghu I = 2 druta ♩ brèveguru S = 2 laghu = 4 druta longuepluta S̀ = 3 laghu = 6 druta · protractée

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 8 / 36

  • Prastāra

    PrastāraOu comment construire, de manière exhaustive, toutes lesvariations (bheda) d’une mesure ayant une durée donnée.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 9 / 36

  • Prastāra

    PrastāraOu comment construire, de manière exhaustive, toutes lesvariations (bheda) d’une mesure ayant une durée donnée.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 9 / 36

  • Prastāra

    PrastāraOu comment construire, de manière exhaustive, toutes lesvariations (bheda) d’une mesure ayant une durée donnée.

    Exemple :

    oS (� ) I I o (♩ ♩ �) o Ioo (� ♩ � �) ooooo (� � � � �)

    Quatre variations d’une durée de 5 demi-brèves (o, �)

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 9 / 36

  • Prastāra Règle

    nyasyālpam ādyān mahato’dhastāc ches.am. yathopari

    prāg ūne vāmasam. sthām. s tusam. bhave mahato likhet

    alpān asam. bhave tāla-pūrtyai bhūyo ’py ayam. vidhih.

    sarvadrutāvadhih. kāryah.prastāro ’yam. laghau gurau

    plute vyaste samaste cana tu vyaste drute ’sti sah.

    Après avoir posé une plus petite au-dessous de la premièreplus grande, le reste est comme au-dessus.S’il y a un manque au début, on écrira, si cela est possible, deplus grandes sur la gauche — en cas d’impossibilité despetites — pour compléter la mesure ; cette prescription, dontle terme est [une mesure composée] entièrement dedemi-brèves, doit être exécutée à plusieurs reprises.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 11 / 36

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Après avoir posé une plus petite au-dessous de la premièreplus grande, le reste est comme au-dessus.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Après avoir posé une plus petite au-dessous de la premièreplus grande, le reste est comme au-dessus.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5I 2

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    S’il y a un manque au début, on écrira, si cela est possible, deplus grandes sur la gauche — en cas d’impossibilité des petites— pour compléter la mesure

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5I 2

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    S’il y a un manque au début, on écrira, si cela est possible, deplus grandes sur la gauche — en cas d’impossibilité des petites— pour compléter la mesure

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Cette prescription, dont le terme est [une mesure composée]entièrement de demi-brèves, doit être exécutée à plusieurs re-prises.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Après avoir posé une plus petite au-dessous de la premièreplus grande, le reste est comme au-dessus.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5o 1

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Après avoir posé une plus petite au-dessous de la premièreplus grande, le reste est comme au-dessus.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5o I 3

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    S’il y a un manque au début, on écrira, si cela est possible, deplus grandes sur la gauche — en cas d’impossibilité des petites— pour compléter la mesure

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5o I 3

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    S’il y a un manque au début, on écrira, si cela est possible, deplus grandes sur la gauche — en cas d’impossibilité des petites— pour compléter la mesure

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Cette prescription, dont le terme est [une mesure composée]entièrement de demi-brèves, doit être exécutée à plusieurs re-prises.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5o 1

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5o o I 4

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5o 1

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5I 2

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5I o 3

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o 1

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o I o 4

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o o I o 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o o I o 5

    o 1

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o o I o 5

    o o 2

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o o I o 5o I o o 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o o I o 5o I o o 5o 1

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o o I o 5o I o o 5o o o 3

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o o I o 5o I o o 5I o o o 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o o I o 5o I o o 5I o o o 5o 1

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o o I o 5o I o o 5I o o o 5o o o o 4

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o S 5o I I 5I o I 5

    o o o I 5S o 5

    I I o 5o o I o 5o I o o 5I o o o 5

    o o o o o 5

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves

    Cette prescription, dont le terme est [une mesure composée]entièrement de demi-brèves...

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 13 / 36

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

  • Prastāra Prastāra de 1 à 7 demi-brèves

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 14 / 36

  • Sam. khyā

    Sam. khyāDénombrement

    Ou comment dénombrer les variations produites par leprastāra

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 15 / 36

  • Sam. khyā

    Sam. khyāDénombrement

    Ou comment dénombrer les variations produites par leprastāra

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 15 / 36

  • Sam. khyā Règle

    ekadvyaṅkau kramān nyasyayuñj̄ıtāntyam. purātanaih.

    dvit̄ıyaturyas.as.t.hāṅkairabhave turyas.as.t.hayoh.

    tr.t̄ıyapañcamāṅkābhyām.kramāt tam. yogam agratah.

    likhed daks.in. asam. sthaivamaṅkaśren. ı̄vidh̄ıyate

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ; une suite de nombresplacés ensemble vers la droite est ainsi construite.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 17 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10↑ ↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10 19↑ ↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10 19↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10 19↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10 19↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10 19↑ ↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10 19 33↑ ↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10 19 33↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10 19 33↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10 19 33↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10 19 33↑ ↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

    1 2 3 6 10 19 33 60↑ ↑ ↑ ↑

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ; une suite de nombresplacés ensemble vers la droite est ainsi construite.

    1 2 3 6 10 19 33 60 ...

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 19 / 36

  • Sam. khyā Règle

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4 (6)

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5 (10)

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6 (19)

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7 (33)

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 20 / 36

  • Sam. khyā Explication

    Un peu de mathématiques

    Le problème : compter toutes les manières de décomposerune mesure d’une durée donnée (7druta) en une combinaisonde druta, laghu (=2d.), guru (=4d.) et pluta (=6d.).

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 21 / 36

  • Sam. khyā Explication

    Un peu de mathématiques

    Le problème : compter toutes les manières de décomposerune mesure d’une durée donnée (7druta) en une combinaisonde druta, laghu (=2d.), guru (=4d.) et pluta (=6d.).

    Point de vue mathématique : compter toutes les manièresd’écrire un nombre donné (7) comme somme des nombres :1, 2, 4 et 6. (Partitions de l’entier 7)

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 21 / 36

  • Sam. khyā Explication

    Un peu de mathématiques

    Le problème : compter toutes les manières de décomposerune mesure d’une durée donnée (7druta) en une combinaisonde druta, laghu (=2d.), guru (=4d.) et pluta (=6d.).

    Point de vue mathématique : compter toutes les manièresd’écrire un nombre donné (7) comme somme des nombres :1, 2, 4 et 6. (Partitions de l’entier 7)

    7 = 1+ 2+ 4 = 6+ 1 = 1+ 1+ 1+ 2+ 1+ 1 = · · ·

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 21 / 36

  • Sam. khyā Explication

    Un peu de mathématiques

    Contrainte : l’ordre est signifiant.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 23 / 36

  • Sam. khyā Explication

    Un peu de mathématiques

    Contrainte : l’ordre est signifiant.

    Pour un mathématicien, les partitions : 1+ 2+ 4 2+ 4+ 14+ 1+ 2 sont identiques.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 23 / 36

  • Sam. khyā Explication

    Un peu de mathématiques

    Contrainte : l’ordre est signifiant.

    Pour un mathématicien, les partitions : 1+ 2+ 4 2+ 4+ 14+ 1+ 2 sont identiques.

    Pour un musicien, les rythmes : o IS (� ♩ ) I So (♩ �)So I ( � ♩) sont différents.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 23 / 36

  • Sam. khyā Explication

    o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 25 / 36

  • Sam. khyā Explication

    o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 25 / 36

  • Sam. khyā Explication

    o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

    u7 = u6+

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 25 / 36

  • Sam. khyā Explication

    o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

    u7 = u6+

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 25 / 36

  • Sam. khyā Explication

    o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

    u7 = u6+ u5+

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 25 / 36

  • Sam. khyā Explication

    o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

    u7 = u6+ u5+

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 25 / 36

  • Sam. khyā Explication

    o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

    u7 = u6+ u5+ u3+

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 25 / 36

  • Sam. khyā Explication

    o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

    u7 = u6+ u5+ u3+

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 25 / 36

  • Sam. khyā Explication

    o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

    u7 = u6+ u5+ u3+ u1

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 25 / 36

  • Sam. khyā Explication

    o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

    u7 = u6+ u5+ u3+ u1

    un = un−1 + un−2 + un−4 + un−6

    o

    1

    Io o

    2

    o II o

    o o o

    3

    SI I

    o o Io I oI o o

    o o o o

    4

    o So I II o I

    o o o IS o

    I I oo o I oo I o oI o o o

    o o o o o

    5

    S̀I S

    o o SS I

    I I Io o I Io I o II o o I

    o o o o Io S o

    o I I oI o I o

    o o o I oS o o

    I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

    o o o o o o

    6

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    7

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 25 / 36

  • Sam. khyā Explication

    yadaṅkayogād antyo ’ṅkolabdhas tair antatah. kramāt

    bhedā drutāntalaghvanta-gurvantāś ca plutāntakāh.

    sam. khyāyanta iti proktāh.sam. khyā nih. śaṅkasūrin. ā

    À partir [des termes] de la somme des nombres dont onobtient le dernier nombre, on compte avec ceux-ci,successivement à partir de la fin, les variétés qui finissent parune demi-brève, une brève, une longue et une protractée. Telssont les dénombrements enseignés par le musicien.

    1+ 3+ 10+ 19 = 33

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 26 / 36

  • Sam. khyā Explication

    yadaṅkayogād antyo ’ṅkolabdhas tair antatah. kramāt

    bhedā drutāntalaghvanta-gurvantāś ca plutāntakāh.

    sam. khyāyanta iti proktāh.sam. khyā nih. śaṅkasūrin. ā

    iti sam. khyā

    À partir [des termes] de la somme des nombres dont onobtient le dernier nombre, on compte avec ceux-ci,successivement à partir de la fin, les variétés qui finissent parune demi-brève, une brève, une longue et une protractée. Telssont les dénombrements enseignés par le musicien.

    1+ 3+ 10+ 19 = 33

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 26 / 36

  • Sam. khyā La suite et la strophe mystérieuses

    laks.mı̄dvivahnyaṅgadigekakona-vim. śatyabhijñā drutas.at.kabandhah.

    antyau yutau dvāv atha sāntarau dvautattadyuteh. syāt purato ’pi sam. khyā

    L’arrangement pour six demi-brèves se mémorise par : un(laks.mı̄), deux, trois (vahni : feu), six (aṅga : membres), dix(diś : directions), dix-neuf.

    1, 2, 3, 6, 10, 19,

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 28 / 36

  • Sam. khyā La suite et la strophe mystérieuses

    laks.mı̄dvivahnyaṅgadigekakona-vim. śatyabhijñā drutas.at.kabandhah.

    antyau yutau dvāv atha sāntarau dvautattadyuteh. syāt purato ’pi sam. khyā

    L’arrangement pour six demi-brèves se mémorise par : un(laks.mı̄), deux, trois (vahni : feu), six (aṅga : membres), dix(diś : directions), dix-neuf. Les deux derniers additionnés etaussi les deux [séparés] par un intervalle, on aura aussi le dé-nombrement avec la somme des uns et des autres.

    1, 2, 3, 6, 10, 19, 33, 60, 106, 191, 340, 610, etc.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 28 / 36

  • Nas.t.a

    Nas.t.aDisparition

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    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 30 / 36

  • Nas.t.a

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    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 30 / 36

  • Nas.t.a

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 32 / 36

  • Nas.t.a

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I o? ? ? ? ? ?o I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 32 / 36

  • Nas.t.a

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I o20

    o I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 32 / 36

  • Nas.t.a

    o S̀o I SI o S

    o o o So S I

    o I I II o I I

    o o o I IS o I

    I I o Io o I o Io I o o II o o o I

    o o o o o I

    S̀ oI S o

    o o S oS I o

    I I I oo o I I o 20o I o I oI o o I o

    o o o o I oo S o o

    o I I o oI o I o o

    o o o I o oS o o o

    I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

    o o o o o o o

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 32 / 36

  • Le tableau énigmatique

    1 daśadrutāh.

    1 0 navadrutāh.

    1 0 9 as.t.adrutāh.

    1 0 8 0 saptadrutāh.

    1 0 7 0 35 s.at.drutāh.

    1 0 6 0 27 0 pañcadrutāh.

    1 0 5 0 20 0 87 caturdrutāh.

    1 0 4 0 14 0 44 0 tridrutāh.

    1 0 3 0 9 0 25 0 63 dvidrutāh.

    1 0 2 0 5 0 12 0 26 0 ekadrutāh.

    0 1 0 2 0 4 0 7 0 13 adrutāh.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 avayavāh.

    1 2 3 6 10 19 33 60 106 191 rūpasam. khyā

    1 2 5 10 22 44 91 180 358 698 drutāh.

    0 1 2 5 10 22 44 91 180 358 laghavah.

    0 0 0 1 2 5 10 22 44 91 guravah.

    0 0 0 0 0 1 2 5 10 22 plutāh.

    1 3 7 16 34 72 [147] [297] [592] 1169 avayavāh.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 33 / 36

  • Le tableau énigmatique

    1 daśadrutāh.

    1 0 navadrutāh.

    1 0 9 as.t.adrutāh.

    1 0 8 0 saptadrutāh.

    1 0 7 0 35 s.at.drutāh.

    1 0 6 0 27 0 pañcadrutāh.

    1 0 5 0 20 0 87 caturdrutāh.

    1 0 4 0 14 0 44 0 tridrutāh.

    1 0 3 0 9 0 25 0 63 dvidrutāh.

    1 0 2 0 5 0 12 0 26 0 ekadrutāh.

    0 1 0 2 0 4 0 7 0 13 adrutāh.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 avayavāh.

    1 2 3 6 10 19 33 60 106 191 rūpasam. khyā

    1 2 5 10 22 44 91 180 358 698 drutāh.

    0 1 2 5 10 22 44 91 180 358 laghavah.

    0 0 0 1 2 5 10 22 44 91 guravah.

    0 0 0 0 0 1 2 5 10 22 plutāh.

    1 3 7 16 34 72 [147] [297] [592] 1169 avayavāh.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 33 / 36

  • Le tableau énigmatique

    1 daśadrutāh.

    1 0 navadrutāh.

    1 0 9 as.t.adrutāh.

    1 0 8 0 saptadrutāh.

    1 0 7 0 35 s.at.drutāh.

    1 0 6 0 27 0 pañcadrutāh.

    1 0 5 0 20 0 87 caturdrutāh.

    1 0 4 0 14 0 44 0 tridrutāh.

    1 0 3 0 9 0 25 0 63 dvidrutāh.

    1 0 2 0 5 0 12 0 26 0 ekadrutāh.

    0 1 0 2 0 4 0 7 0 13 adrutāh.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 avayavāh.

    1 2 3 6 10 19 33 60 106 191 rūpasam. khyā

    1 2 5 10 22 44 91 180 358 698 drutāh.

    0 1 2 5 10 22 44 91 180 358 laghavah.

    0 0 0 1 2 5 10 22 44 91 guravah.

    0 0 0 0 0 1 2 5 10 22 plutāh.

    1 3 7 16 34 72 [147] [297] [592] 1169 avayavāh.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 33 / 36

  • Le tableau énigmatique

    1 daśadrutāh.

    1 0 navadrutāh.

    1 0 9 as.t.adrutāh.

    1 0 8 0 saptadrutāh.

    1 0 7 0 35 s.at.drutāh.

    1 0 6 0 27 0 pañcadrutāh.

    1 0 5 0 20 0 87 caturdrutāh.

    1 0 4 0 14 0 44 0 tridrutāh.

    1 0 3 0 9 0 25 0 63 dvidrutāh.

    1 0 2 0 5 0 12 0 26 0 ekadrutāh.

    0 1 0 2 0 4 0 7 0 13 adrutāh.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 avayavāh.

    1 2 3 6 10 19 33 60 106 191 rūpasam. khyā

    1 2 5 10 22 44 91 180 358 698 drutāh.

    0 1 2 5 10 22 44 91 180 358 laghavah.

    0 0 0 1 2 5 10 22 44 91 guravah.

    0 0 0 0 0 1 2 5 10 22 plutāh.

    1 3 7 16 34 72 [147] [297] [592] 1169 avayavāh.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 33 / 36

  • Le tableau énigmatique

    1 daśadrutāh.

    1 0 navadrutāh.

    1 0 9 as.t.adrutāh.

    1 0 8 0 saptadrutāh.

    1 0 7 0 35 s.at.drutāh.

    1 0 6 0 27 0 pañcadrutāh.

    1 0 5 0 20 0 87 caturdrutāh.

    1 0 4 0 14 0 44 0 tridrutāh.

    1 0 3 0 9 0 25 0 63 dvidrutāh.

    1 0 2 0 5 0 12 0 26 0 ekadrutāh.

    0 1 0 2 0 4 0 7 0 13 adrutāh.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 avayavāh.

    1 2 3 6 10 19 33 60 106 191 rūpasam. khyā

    1 2 5 10 22 44 91 180 358 698 drutāh.

    0 1 2 5 10 22 44 91 180 358 laghavah.

    0 0 0 1 2 5 10 22 44 91 guravah.

    0 0 0 0 0 1 2 5 10 22 plutāh.

    1 3 7 16 34 72 [147] [297] [592] 1169 avayavāh.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 33 / 36

  • Le tableau énigmatique

    1 daśadrutāh.

    1 0 navadrutāh.

    1 0 9 as.t.adrutāh.

    1 0 8 0 saptadrutāh.

    1 0 7 0 35 s.at.drutāh.

    1 0 6 0 27 0 pañcadrutāh.

    1 0 5 0 20 0 87 caturdrutāh.

    1 0 4 0 14 0 44 0 tridrutāh.

    1 0 3 0 9 0 25 0 63 dvidrutāh.

    1 0 2 0 5 0 12 0 26 0 ekadrutāh.

    0 1 0 2 0 4 0 7 0 13 adrutāh.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 avayavāh.

    1 2 3 6 10 19 33 60 106 191 rūpasam. khyā

    1 2 5 10 22 44 91 180 358 698 drutāh.

    0 1 2 5 10 22 44 91 180 358 laghavah.

    0 0 0 1 2 5 10 22 44 91 guravah.

    0 0 0 0 0 1 2 5 10 22 plutāh.

    1 3 7 16 34 72 [147] [297] [592] 1169 avayavāh.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 33 / 36

  • Le tableau énigmatique

    1 daśadrutāh.

    1 0 navadrutāh.

    1 0 9 as.t.adrutāh.

    1 0 8 0 saptadrutāh.

    1 0 7 0 35 s.at.drutāh.

    1 0 6 0 27 0 pañcadrutāh.

    1 0 5 0 20 0 87 caturdrutāh.

    1 0 4 0 14 0 44 0 tridrutāh.

    1 0 3 0 9 0 25 0 63 dvidrutāh.

    1 0 2 0 5 0 12 0 26 0 ekadrutāh.

    0 1 0 2 0 4 0 7 0 13 adrutāh.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 avayavāh.

    1 2 3 6 10 19 33 60 106 191 rūpasam. khyā

    1 2 5 10 22 44 91 180 358 698 drutāh.

    0 1 2 5 10 22 44 91 180 358 laghavah.

    0 0 0 1 2 5 10 22 44 91 guravah.

    0 0 0 0 0 1 2 5 10 22 plutāh.

    1 3 7 16 34 72 [147] [297] [592] 1169 avayavāh.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 33 / 36

  • Le tableau énigmatique

    1 daśadrutāh.

    1 0 navadrutāh.

    1 0 9 as.t.adrutāh.

    1 0 8 0 saptadrutāh.

    1 0 7 0 35 s.at.drutāh.

    1 0 6 0 27 0 pañcadrutāh.

    1 0 5 0 20 0 87 caturdrutāh.

    1 0 4 0 14 0 44 0 tridrutāh.

    1 0 3 0 9 0 25 0 63 dvidrutāh.

    1 0 2 0 5 0 12 0 26 0 ekadrutāh.

    0 1 0 2 0 4 0 7 0 13 adrutāh.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 avayavāh.

    1 2 3 6 10 19 33 60 106 191 rūpasam. khyā

    1 2 5 10 22 44 91 180 358 698 drutāh.

    0 1 2 5 10 22 44 91 180 358 laghavah.

    0 0 0 1 2 5 10 22 44 91 guravah.

    0 0 0 0 0 1 2 5 10 22 plutāh.

    1 3 7 16 34 72 [147] [297] [592] 1169 avayavāh.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 33 / 36

  • La règle de Bhāskara

    ekādyekottarā aṅkā...

    chandaścityuttare chanda-sy upayogo hi tadvidām

    mūs.āvahanabhedādaukhan.d. amerau ca śilpake

    vaidyake rasabhed̄ıyetan noktam. vistr.ter bhāyāt

    Les nombres s’accroissant de un à partir de un...(...) Cela sert en prosodie, pour ceux qui la connaissent, pourla suite des compositions des mètres et aussi en architecture,pour les montagnes de nombres, quand il y a des variationsde conduits d’aération etc. Et en médecine pour les mélangesde saveurs. Cela n’est pas exposé par crainte deprolixité.

    Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 34 / 36

  • Références

    Sam. ḡıtaśiroman. ied. & trad. : Emmie te NijenhuisE.J. Brill – Leiden, 1992

    The Chhandas ShâstraPiṅgalaTukârâm Jâvajî – Bombay, 1908

    Vr.ttaratnākaraKedārabhat.t.aThe Nirn. aya-Sâgara Press – Bombay, 1890

    generatingfunctionologyHerbert S. Wilf – University of PennsylvaniaAcademic Press, Inc. 1994

    Recursion and Combinatorial Mathematics in Chandashāstra

    Amba Kulkarni – Department of Sanskrit Studies, University of HyderabadHyderabad – 2008

    Permutations with strongly restricted displacements

    D. H. LehmerProc. Colloq., Balatonfured, 1969 (pp. 755-770)

    Fast Algorithms For Generating Integer Partitions

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