S1-CURVAS PARAMÉTRICAS

Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I

CURSO: GEOMETRA ANALTICA Y LGEBRA

Tema :

CURVAS PARAMTRICAS

Hasta el momento se han descrito

curvas planas dando a y como una

funcin de x (y= f(x)) o x como una

funcin de y (x=g(y)) o dando una

relacin entre x y y que define a y

implcitamente como una funcin de

x (f(x, y)= 0).

Suponga que una partcula se mueve

en un plano de modo que las

coordenadas ( , )x y , de su posicin en cualquier tiempo t, estn dadas por las ecuaciones

x=x(t), y=y(t).

Se ha presentado una grfica mediante una sola ecuacin con dos variables. En esta

parte se emplean tres variables para representar una curva en el plano. Considere la

trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ngulo de 45o. Si la velocidad

inicial del objeto es 48 pies/ seg, el objeto recorre la trayectoria parablica dada por: 2

72

xy x Ecuacin rectangular.

Como se muestra en la figura.

Curvas Paramtricas


Sin embargo, esta ecuacin no proporciona toda la informacin. Si bien dice dnde se

encuentra el objeto, no dice cuando se encuentra en un punto dado ( , )x y . Para

determinar este instante, se introduce una tercera variable t , conocida como

parmetro. Expresando ,x y como funciones de t , se obtiene las ecuaciones

paramtricas

24 2x t Ecuacin paramtrica para x

y

216 24 2 .y t t Ecuacin paramtrica para y

A partir de este conjunto de ecuaciones, se puede determinar que en el instante 0t , el

objeto se encuentra en el punto (0,0) . De manera semejante, en el instante 1t , el

objeto est en el punto (24 2,24 2 16) , y as sucesivamente.

Nota.- En este problema particular de movimiento, x y y son funciones continuas

de t , y a la trayectoria resultante se le conoce como curva plana.

CURVA PLANA

Definicin.- Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las

ecuaciones

( )x f t y ( )y g t

se les llama ecuaciones paramtricas y a t se le llama el parmetro. Al conjunto de

puntos ( , )x y que se obtiene cuando t vara sobre el intervalo I se le llama la grfica

de las ecuaciones paramtricas. A las ecuaciones paramtricas y a la grfica, juntas, es

lo que se llama una curva plana

Cuando se dibuja (a mano) una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramtricas,

se trazan puntos en el plano XY. Cada conjunto de coordenadas ( , )x y est determinado

por un valor elegido para el parmetro t . Al trazar los puntos resultantes de valores

crecientes de t , la curva se va trazando en una direccin especfica. A esto se le llama la

orientacin de la curva.

Ejemplo 1.- Bosqueje e identifique la curva definida por las ecuaciones

paramtricas: 2 2x t t 1y t

Solucin

Cada valor de t da un punto sobre la curva, como se muestra en la tabla. Por ejemplo, si

0t , en tal caso 0x , 1y ; as, el punto correspondiente es (0,1). En la figura 1 se

grafican los puntos ( , )x y determinados por varios valores del parmetro y se unes para

producir una curva.


t x y

-2 8 -1

-1 3 0

0 0 1

1 -1 2

2 0 3

3 3 4

4 8 5

Figura 1

Una partcula cuya posicin est dada por las ecuaciones paramtricas, se mueve a lo

largo de la curva en la direccin de las flechas a medida que se incrementa t. Note que

los puntos consecutivos marcados en la curva aparecen a intervalos de tiempo iguales,

pero no a iguales distancias. Esto es porque la partcula desacelera y despus acelera a

medida que aumenta t.

Ejemplo 2.-: En el ejemplo 1 el parmetro t fue irrestricto, as que se supone que t

podra ser cualquier nmero real. Pero algunas veces t se restringe a estar en un

intervalo finito. Por ejemplo, la curva paramtrica

2 2 1, 0 4x t t y t t

Mostrada en la figura 2 es la parte de la

parbola del ejemplo 1 que comienza en el

punto (0,1) y termina en el punto (8,5). La

cabeza de la flecha indica la direccin en la se

traza la curva cuando t crece de 0 a 4.

Figura 2

En general, la curva con ecuaciones paramtricas

( ) ( ), x f t y g t a t b

Tiene punto inicial ( ), ( )f a g a y punto terminal ( ), ( )f b g b

Ejemplo 3.- Trazado de una Curva

Trazar la curva dada por las ecuaciones paramtricas

2 4x t y , 2 3.2

ty t

Solucin


Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones

paramtricas, los puntos ( , )x y que se muestran en la tabla.

t -2 -1 0 1 2 3

x 0 -3 -4 -3 0 5

y -1 0.5 0 0.5 1 1.5

Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f

y de g se obtiene la curva C que se muestra a continuacin.

Ejemplo 4.- A menudo ocurre que dos conjuntos distintos de ecuaciones paramtricas

tienen la misma grfica. Por ejemplo, el conjunto de ecuaciones paramtricas

2 34 4 , , 12

x t y t t

Figura 4

Figura 3


Tiene la misma grfica que el conjunto dado en el ejemplo (3). Sin embargo, al

comparar los valores de t en las figuras (3) y (4) se ve que en la segunda grfica se traza

con mayor rapidez (considerando a t como variable tiempo) que la primera grfica. Por

lo tanto, se pueden emplear distintas ecuaciones paramtricas para representar las

diversas velocidades a las que los objetos recorren una trayectoria determinada.

Ejemplo 5.- Determine la grfica de la curva cos , , 0 2x t y sent t

Solucin

La tabla anterior muestra los valores de x y y que corresponden a los mltiplos de

4 para el parmetro t .Estos valores dan los ocho puntos resaltados en la figura

siguiente, los cuales estn en la circunferencia unitaria y lo cual se puede verificar

aplicando la siguiente identidad trigonomtrica: 2 2 2 2cos 1.x y t sen t

As como en el caso anterior del ejemplo 3, esta grfica tambin tiene otra

representacin paramtrica, la cual se da a continuacin: 2

2 2

1 2, ,

1 1

t tx y t

t t

Y esto se puede ver ya que cumple 2 2 1.x y


ELIMINACIN DEL PARMETRO

Si se elimina el parmetro t del par de ecuaciones (1), se obtiene una ecuacin en x y y,

denominada ecuacin cartesiana o rectangular de C

El parmetro del conjunto de ecuaciones paramtricas del ejemplo (1) se puede eliminar

como sigue:

Una vez eliminado el parmetro, se ve que la ecuacin 24 4x y representa una

parbola con un eje horizontal y vrtice en ( 4,0) cmo se ilustra en la figura 2.

El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramtricas puede alterarse al pasar a

la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuacin rectangular debe

ajustarse de manera que su grfica coincida con la grfica de las ecuaciones

paramtricas.

Ejemplo 6.- Obtenga una ecuacin cartesiana de la curva definida por las ecuaciones

paramtricas 2 3 , 4 1x t y t

y dibuje la curva.

Solucin

El parmetro t se elimina de las dos ecuaciones al resolver la primera ecuacin para t,

obtenindose

1 3

2 2t x

Y sustituirlo en la segunda ecuacin:

1 34 1

2 2y x

2 5y x

La grfica de esta ecuacin es una recta.

Observe en las ecuaciones paramtricas que conforme t crece tambin los hacen x y y.

por tanto, una partcula que se mueve sobre la recta va hacia arriba y a la derecha,

indicado en la figura mediante la flecha.


En general, la grfica de cualquier par de ecuaciones paramtricas de la forma

,x at b y ct d

donde 0 o 0a c , es una recta.

Ejemplo 7. Ajustar el dominio despus de la eliminacin del parmetro.

Dibujar la curva representada por las ecuaciones

1, , 1

11

tx y t

tt

Eliminando el parmetro y ajustando el dominio de la ecuacin rectangular resultante.

Solucin

Para empezar, se despeja t de una de las ecuaciones paramtricas. Por ejemplo, se puede

despejar t de la primera ecuacin.

2

2

2

2 2

1 Ecuacin paramtrica

1

1 Ecuacin paramtrica para x

1

11

1 11 Despejar

xt

xt

tx

xt t

x x

Sustituyendo ahora, en la ecuacin paramtrica para y , se obtiene

2 22 2

2 2

2

1 Ecuacin paramtrica para

1

(1 ) Sustitucin de por (1 ) .

[(1 ) ] 1

1 Simplificar

y yt

x xy t x x

x x

y x

La ecuacin rectangular 21y x , est definida para todos los valores de x . Sin

embargo, en la ecuacin paramtrica para x se ve que la curva slo est definida para


1t . Esto implica que el dominio de x debe restringirse a valores positivos, como se

ilustra en la siguiente figura.

Figura 3

En un conjunto de ecuaciones paramtricas, el parmetro no necesariamente representa

el tiempo. El siguiente ejemplo emplea un ngulo como parmetro.

Ejemplo 8. Emplear trigonometra para eliminar un parmetro.

Dibujar la curva representada por

3cosx y 4 , 0 2y sen

al eliminar el parmetro y hallar la ecuacin rectangular correspondiente.

Solucin

Para despejar se despejan cos y sen de las ecuaciones dadas.

cos3

x y

4

ysen Despejar cos y sen

A continuacin, se hace uso de la identidad 2 2cos 1.t sen t para formar una ecuacin

en la que solo aparezcan x y y .

2 2 2 22 2cos 1 1 1

3 4 9 16

x y x yt sen t

Ecuacin rectangular.

En esta ecuacin rectangular, puede verse que la grfica es una elipse centrada en

(0,0) con vrtices en (0,4) y (0, 4) y eje menor de longitud 2 6b , como se muestra

en la figura siguiente


Obsrvese que la elipse est trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

El empleo de la tcnica presentada en el ejemplo 8, permite concluir que las grficas de

las ecuaciones paramtricas

cosx h a y y k bsen 0 2

es una elipse (trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj) dada por

2 2

1x h y k

a b

La grfica de las ecuaciones paramtricas:

x h asen y cosy k b 0 2

tambin es una elipse (trazada en sentido de las manecillas del reloj) dada por 2 2

1x h y k

a b

.


HALLAR ECUACIONES PARAMTRICAS

En los ejemplos anteriores hemos desarrollado tcnicas que nos han permitido dibujar la

grfica que representa un conjunto de ecuaciones paramtricas. Ahora haremos el caso

inverso, es decir, determinaremos un conjunto de ecuaciones paramtricas a partir de

descripcin fsica o una grfica dada.

Ejemplo 9 Parametrizando una recta.

Una recta por ejemplo puede ser descrita por 2 1x y

Luego si lo expresamos como:

1

2

1

2 2

xy

xy

Podemos decir que 2

xt

, entonces 2x t

Finalmente la parametrizacin queda:

1

2

2

y tt R

x t

Ejemplo 10.-Hallar las ecuaciones paramtricas para una grfica dada.

Hallar un conjunto de ecuaciones paramtricas para representar la grfica de 21y x

a) t x b) la pendiente dy

mdx

en el punto ( , )x y

Solucin

a) Haciendo t x se obtienen las ecuaciones paramtricas

x t y 2 21 1y x t .

b) Para expresar x y y en trminos del parmetro m, se puede proceder como sigue.

22 1dy

m x derivada de y xdx

.

2

mx despejar x

Con esto se obtiene una ecuacin paramtrica para x . Para obtener una ecuacin

paramtrica para y , en la ecuacin original se sustituye x por 2m .


2

2

2

1 Escribir la ecuacin rectangular original

1 Sustitucin de por 2.2

1 Simplificacin.4

y x

my x m

my

Por tanto, las ecuaciones paramtricas son 2

y 1 .2 4

m mx y

En la grfica anterior se observa que la orientacin de la curva resultante es de

derecha a izquierda, determinada por la direccin de los valores crecientes de la

pendiente m. mientras que si se toma el apartado a) la curva tendra la orientacin

opuesta.

Ejemplo 11.- Parametrizar la elipse

2 2

1x y

a b

Solucin

Haciendo el siguiente cambio

coscos

x

x aa

y y bsensen

b


Ejemplo 12.- Ecuaciones paramtricas de una cicloide Determinar la curva descrita por un punto P en la circunferencia de un crculo de radio

a que rueda a lo largo de una recta en el plano. A estas curvas se les llama cicloides.

Solucin

Sea el parmetro que mide la rotacin del circulo y supngase que al inicio el punto ( , )P x y se encuentra en el origen. Cuando 0 , P se encuentra en el origen. Cuando

, P est en un punto mximo ( ,2 )a a . Cuando 2 ,P vuelve al eje x en

(2 ,0)a . En la figura siguiente se ve que 0180APC

Por tanto,

(180 ) ( )AC BD

sen sen sen APCa a

cos cos(180 ) cos( )AP

APCa

Lo cual implica que

cos( )AP a y .BD asen

Como el crculo rueda a lo largo del eje x , se sabe que OD PD a . Adems, como BA DC a , se tiene

cos .

x OD BD a asen

y BA AP a a

Por tanto las ecuaciones paramtricas son ( )

cos (1 cos )

x a asen a sen

y a a a


EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Bosqueje la curva por medio de las ecuaciones paramtricas para trazar puntos. Indique con una flecha la direccin en la que se traza la curva cuando crece t.

a) 21 , 4 , 0 5x t y t t t

b) 2cos , cos , 0 2x t y t t t

c) 25 , , -x sent y t t

d) , , -2 2t tx e t y e t t

2. Considerar las ecuaciones paramtricas y 1x t y t

a) Completar la tabla

b) Trazar los puntos ,x y generados en la tabla, dibujar una grafica de las ecuaciones paramtricas. Indicar la orientacin de la grfica.

c) Hallar la ecuacin rectangular mediante eliminacin del parmetro y dibujar su grfica.

3. Considerar las ecuaciones paramtricas 24cos y 2x y sen

a) Completar la tabla

b) Trazar los puntos ,x y generados en la tabla, dibujar una grafica de las ecuaciones paramtricas. Indicar la orientacin de la grfica.

c) Hallar la ecuacin rectangular mediante eliminacin del parmetro y dibujar su grfica.

d) Si se seleccionaran valores de en el intervalo 3

,2 2

para la tabla del

apartado a), sera diferente la grfica del apartado b)? explicar el razonamiento.

4. En los problemas siguientes elimine el parmetro, dar la ecuacin rectangular y luego bosqueje la curva.

1. 3 5 , 2 1x t y t 2. 1 , 5 2 , 2 3x t y t t

t 0 1 2 3 4

x

y

t 2

4

0 4

2

x

y


3. 2 2 , 5 2 , 3 4x t y t t

4. , 3 2x t y t

5. 2 3 , 2x t t y t

6. , cos , 0x sen y

7. 2cosh , 3x t y senh t

8. 21 ,t tx e y e

9. 2 , 1tx e y t

10. 3 , 3lnx t y t

11. 2ln 2 ,x t y t

12. ln , , 1x t y t t

13. 4sec , 3tanx y

14. 4cos , 4 , 0 2x y sen

15. 4cos , 4 , 0x y sen

16. 9cos , 4 , 0 2x y sen

17. 4sec , 9 tan , -2 2

x y

18. 4cos , 5 , 2 2

x y sen

5. En los ejercicios siguientes elimine el parmetro y obtenga la forma estndar o cannica de la ecuacin rectangular.

1. Recta que pasa por 1 1 2 2( , ) y ( , ) ;x y x y

1 2 1 1 2 1( ) , ( )x x t x x y y t y y

2. Circunferencia: cos ,x h r y k r sen

3. Elipse: cos ,x h a y k bsen

4. Hiprbola: sec , tanx h a y k b

6. En los ejercicios siguientes emplear los resultados de los ejercicios anteriores (Parte 3) para hallar un conjunto de ecuaciones paramtricas para la recta o las dems

cnicas.

1. Recta que pasa por (0,0) y (5, 2)

2. Recta que pasa por (1,4) y (5, 2)

3. Circunferencia: centro (2,1) ; radio:4

4. Circunferencia: centro ( 3,1) ; radio:3

5. Elipse: vrtice: ( 5,0) ; foco ( 4,0)

6. Elipse: vrtice: (4,7),(4, 3); foco (4,5),(4,-1)

7. Hiprbola: vrtice ( 4,0) ; foco ( 5,0)

8. Hiprbola: vrtice (0, 1) ; foco (0, 2)

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