Saco Oliveros 1

7/27/2019 Saco Oliveros 1

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TRIGONOMETRIA

-MARZO-

ABRIL-MAYO-

EUROAMERICANO PRIMARIA


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TRIGONOMETRIA 6 PRIM.

EUROAMERICANO


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EUROAMERICANO


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EUROAMERICANO


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TRIGONOMETRA

(Del gr. ) f. parte de las matemticas que trata del clculo de los

elementos de los tringulos planos y esfricos.// esfrica. La que trata de lostringulos esfricos.// Plana. La que trata de los tringulos planos.

Historia de la TrigonometraSe remonta a las matemticas Egipcias y Babilnicas, siendo los egipcios los primerosen usar las medidas en grados, minutos y segundos para la medida de ngulos.Siendo Hiparco, un astrnomo de Nicea, cre una tabla trigonomtrica para resolvertringulos. A continuacin tenemos una biografa de Hiparco, considerado el padre dela Trigonometra.

Biografa de HipancoNaci en el ao de 190 a. C. en Nicea Bithynia (ahora Turqua). Se conoce muy pocosobre su vida. Hiparco se considera como el primer astrnomo cientfico.Prcticamente toda la informacin que se conoce de Hiparco proviene de Almagestode Claudio Ptolomeo.

Slo ha sobrevivido uno de sus trabajos llamado Commentary on Aratus and Eudoxusel cual no es precisamente de sus principales labores. Este fue escrito en tres libros:en el primero nombra y describe las constelaciones, en el segundo y tercero publicasus clculos sobre la slida y entrada de las constelaciones, al final del tercer libro da

una lista de estrellas brillantes. En ninguno de los tres libros Hiparco hacecomentarios sobre matemticas astronmicas. No utiliz un slo sistema decoordenadas sino un sistema mezclado de varios tipos de ellas.Realiz importantes contribuciones a la trigonometra tanto plana como esfrica,public la tabla de cuerdas, temprano ejemplo de una tabla trigonomtrica. Elpropsito de sta era proporcionar un mtodo para resolver tringulos. Tambinintrodujo en Grecia la divisin del crculo en 360 grados.

Para crear su tabla trigomtrica, comenz con un ngulo de 71 y yendo hasta 180 con incrementos de 71, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los

lados del ngulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla essimilar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado porHiparco, pero si se sabe que 300 aos ms tarde el astrnomo Tolomeo utiliz r=60,pues los griegos adoptaron el sistema numrico sexagesimal de los babilonios.

En astronoma descubri la presesin de los equinoccios; describi el movimientoaparente de las estrellas fijas cuya medicin fue de 46'' muy aproximada al actual de50.26''. Calcul la duracin del ao con una precisin de 6.5 y minutos; calcul unperiodo de eclipses de 126.007 das y una hora; calcul la distancia de la lunabasndose en la observacin de una eclipse el 14 de marzo de 190 a. C., su clculo

fue entre 59 y 67 radios terrestres el cual est muy cerca del real (60 radios);desarroll un mdelo terico del movimiento de la luna basado en epiciclos. Elabor el

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primer catlogo celeste que contena aproximadamente 850 estrellas diferencindolaspor su brillo en seis categoras o magnitudes, probablemente este trabajo fueutilizado por Ptolomeo como base para su propio catalogo celeste. Sobre este ltimotuvo gran influencia y al rechazar la teora heliocntrica de Aristarco de Samos fue elprecursor de los trabajos geocntricos de Ptolomeo.

TRIGONOMETRA

NGULO TRIGONOMTRICO - SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

NGULOS TRIGONOMTRICOS

Definicin:

Es aquel que se genera por la rotacin de un rayo, que gira al rededor de un punto

(vrtice) desde una posicin inicial

OA hasta una posicin final

OB

EUROAMERICANO

B

AO


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Elementos del ngulo trigonomtrico

1. Sistema Sexagesimal: Es aquel sistema que tiene como unidad el gradosexagesimal, el cual se define como la 360ava parte del ngulo de una vuelta.

Las subunidades del grado sexagesimal son:

* El minuto sexagesimal 1'

* El segundo sexagesimal 1''

Sus equivalencias son:

1 = 60'

1' = 60''

1 = 3600''

2. Sistema Radial: Es aquel sistema cuya unidad es el RADIAN, el cual se

define como:

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" El ngulo central de una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud

es igual al radio"

B

A

Or

r

1 r a dr L A B = r

1. Convertir a minutos sexagesimales.

a) 4 b) 12 c) 10

2. Convertir a segundos sexagesimales.

a) 20' b) 35' c) 10'


a) 1 20' b) 3 45' c) 12

10'

4. Convertir a grados sexagesimales.

a) 4800' b) 720' c) 900'

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5. Si a=30' , b=1

Calcular a + b

PROBLEMAS PROPUESTOS


5

a) 300' b) 250' c) 240' d) 350' e) 500'

2. Convertir a grados sexagesimales.

1800'

a) 24 b) 30 c) 36 d) 35 e) 28


6 24'

a) 181' b) 180' c) 324' d) 284' e) 384'

4. Simplificar6 40'25'

T=

a) 20 b) 25 c) 18 d) 22 e) 16

5. Calcular el valor de "M ":515' 6

25'

M+

=

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a) 28 b) 22 c) 25 d) 27 e) 20

CONVERSIN DE SISTEMAS DE MEDICIN ANGULAR

Sabemos : 360 2 rad=

Simplificando :180 rad=

Para convertir grados sexagesimales a radianes o viceversa usaremos un

factor de conversin.

Qu es un factor de conversin?

Es una fraccin que vale 1 (por que su numerador es igual a su

denominador) y sirve para convertir una unidad de medida en otra

equivalente.

I) Factor de conversin

180

rad

II) Factordeconversin

rad

180

Ejemplos:

1. Convertir 45 a radianes

Resolucin:

Para convertir 45 grados radianes, tenemos que eliminar los grados,

para ello usamos el 2do factor de conversin, porque tiene los grados

en el denominador y se cancelaran.

455

1

rad

180

20

4

45 rad4 4

= =

2. Convertir a grupos sexagesimales

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Resolucin:

Ahora usaremos el 1er factor de conversin para eliminar los radianes:

rad

51

18036

rad36 rad=36

5

=

PRCTICA

1. Convertir a radianes.

a) 54 b) 80 c) 60

2. Convertir a radianes

a) 120 b) 30 c) 240

3. Convertir a sexagesimales

a)rad

3

b)rad

2

c)rad

18

4. Simplificar:

rad3

30E

=

5. Calcular el valor de M

rad 403

100

M

+

=

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1. Convertir al sistema sexagesimal.

a) 36 b) 35 c) 34 d) 30 e) 15

2. Convertir 72 a radianes

a) 5

b) 8

c)

2

7

d)

5

9

e)

2

5

3. Convertir a radianes : Si = 27+63

a)

7

5

b) 5

c)

5

6

d) e) 2

4. Calcular el valor de " M "40

rad9

M =

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

5. Convertir a grados sexagesimales:

rad rad rad4 3 2

= + +

a) 190 b) 192 c) 195 d) 200 e) 194

6. Convertir a radianes:

140 + 40

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a)

7

9

b)

69 c)

2

9

d)

8

9

e)

TRIGONOMETRAPROBLEMAS PROPUESTOS

Convertir:

1.3

5

rad a grados sexagesimales

2.2

5

rad a grados sexagesimales

3. 49 a radianes

4. 74 a radianes

5. 60 a radianes

6. 6

a grados sexagesimales

7. 120 a radianes.

8. 96 a radianes.

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EUROAMERICANO


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TRIGONOMETRAEUROAMERICANO


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TARTAGLIA

Niccol Fontana fue conocido con el apodo de

Tartaglia debido a su tartamudez, consecuencia

de un golpe en la cabeza durante su infancia. Su

apodo est ligado al del tringulo formado por los

coeficientes de las sucesivas potencias de un

binomio.

De familia muy humilde, su genio y su fuerza devoluntad le llevaron a ser un gran matemtico.

Resolvi una importante ecuacin de 3 grado y

guard en secreto sus descubrimientos.

a

b

c

c . o

c . a

Hip

ote

nu

sa

RECONOCIMIENTO DE LA HIPOTENUSA Y DE LOS CATETOSEN UN TRINGULO RECTNGULO

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TRINGULO RECTNGULO

Es aquel que tiene un ngulo recto y dos ngulos agudos: el lado mayor recibe el

nombre de HIPOTENUSA y los dos menores son los CATETOS.

Ejemplo:Determinar el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa en el ; para elngulo .

Resolucin

* El cateto "a" se opone el ngulo , entonces

es catetoopuesto de: "a".

* El cateto b es el adyacente del ngulo ,

entonces es cateto

adyacente: "b".

* La hipotenusa siempre ser el segmento que

est opuesto al ngulo recto (diagonal).

PRCTICA

1. En el tringulo determinar:

Para .

Cateto Opuesto: _______________

Cateto Adyacente: _______________

Hipotenusa: _______________

EUROAMERICANO

a

b

c

( )( )

( )

.

.

Para el ngulo

a Cateto Opuesto co

b Cateto Adyacente ca

c Hipotenusa h

( )( )

( )

.

.

Para el ngulo

a Cateto Adyacente ca

b CatetoOpuesto co

c Hipotenusa h

a

b

c

c . o

c . a

Hip

oten

usa

a

b

c


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Para .



Hipotenusa: _______________


Para .



Hipotenusa: _______________


Para .



Hipotenusa: _______________


Para .



Hipotenusa: _______________

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m

n

p

m n

p

a

b

c

m

q

p


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1. En el determinar:

Para . Para .

H = ________ H = ________

C.O. = ________ C.O. = ________


Para . Para .

H = ________ H = ________

C.O. = ________ C.O. = ________

C.A. = ________ C.A. = ________


Para . Para .

H = ________ H = ________

C.O. = ________ C.O. = ________

C.A. = ________ C.A. = ________


Para . Para .

H = ________ H = ________

C.O. = ________ C.O. = ________

C.A. = ________ C.A. = ________

EUROAMERICANO

3

4

5

2 0

1 5

2 5

1 2

5

1 3

2 4

2 5

7


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Para . Para .

H = ________ H = ________

C.O. = ________ C.O. = ________

C.A. = ________ C.A. = ________


Para . Para .

H = ________ H = ________

C.O. = ________ C.O. = ________

C.A. = ________ C.A. = ________

EUROAMERICANO

3 0

5 0

4 0

6

81 0


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M E S D E :

C o m p r e n d e r , i m p l i c a d e t o d o s u n a g r a n

c a p a c i d a d p a r a e n t e n d e r a l o t r o .

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TRIGONOMETRIA


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TRIGONOMETRAEUROAMERICANO


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EL GENIAL PITGORAS

Contado entre los siete sabios de Grecia, el

genial Pitgoras, filosfo y matemtico, naci en

la Isla de Samos. La fecha est considerada entre

592 y 569 a.C.

Se dice que descenda de una familia

acomodada, que le procur una ampliaeducacin, llegando a ser discpulo ms ilustre de

la Escuela Jnica.

Cont entre sus maestros a Fercides y Anaximandro, que le

inculcaron una sabia cultura, amplindola l con los viajes que realizaba

por Egipto y pueblos del Asia Menor, estudiando sus conocimientos

religiosos, cientficos, polticos y matemticas.

El lema de los pitagricos era: "Los nmeros rigen al mundo" o "el

saber por el saber mismo..."

Tambin es muy conocido Pitgoras por su famoso teorema que se

refiere al tringulo rectngulo, el cual se enuncia: "El rea del cuadradoconstruido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la

suma de las reas de los cuadrados construidos sobre sus catetos"

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TEOREMA DE PITGORAS

Inicialmente se mencionar los lados del tringulo rectngulo.

a y b : Catetos

c : Hipotenusa

Entonces el teorema se define como:

"El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de las longitudes de los Catetos".

c2=a

2+b

2

Ejemplos:

1. Calcular la hipotenusa del ABC.

Resolucin:

Aplicando el T.P.

x2

= 32

+ 42

x2

= 9 + 16

x2

= 25

25=xx= 5

EUROAMERICANO

a

b

c

3

4

x

A

B C


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2. Calcular el cateto del ABC.

Resolucin:

Aplicando el T.P.

202 =x2 + 16

400 =x2

+ 256

400 256 =x2

144 =x2

144 = x

12 =x

PRCTICA

EUROAMERICANO

x

1 6

2 0

A

B C


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