Sätze und Definitionen LinA

Kapitel 1 Grundlagen

Abschnitt 1.1 Aussagenlogik und Quantoren

Triviales Allerlei

Abschnitt 1.2 Mengenlehre

Triviales Allerlei

Abschnitt 1.3 Relationen und Funktionen

Definition 1.3.1 Geordnetes Paar

Satz 1.3.2 Gleichheit von Paaren

Definition 1.3.3 Kartesisches Produkt

Definition 1.3.4 Binäre Relation

Definition1.3.5 reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv

Definition 1.3.6 Äquivalenzrelation, Ordnungsrelation

Definition 1.3.7 Partition

Satz 1.3.8 Äquivalenzklassen ~ Partitionen

Beispiel 1.3.9 Modulo

Definition 1.3.10 Funktion

Definition 1.3.11 Injetivität, Surjektivität, Bijektivität, Bild, Urbild

Definition 1.3.12 Verkettung

Satz 1.3.13 Assoziativität der Verkettung

Abschnitt 1.4 Gruppen, Ringe, Körper

Definition 1.4.1 binäre Verknüpfung

Definition 1.4.6 kommutativ, assoziativ

Definition 1.4.7 Halbgruppe

Definition 1.4.9 Gruppe

Bemerkung 1.4.10 Eindeutigkeit des Neutralelemnts und Inversen

Beispiel 1.4.11 Beispiele für Gruppen

Definition 1.4.12 Ring

Beispiel 1.4.13 Beispiele für Ringe

Definition 1.4.14 Körper

Beispiel 1.4.15 Beispiele für Körper

Abschnitt 1.4.1 Restklassenringe und endliche Körper von Primzahlordnung

Satz 1.4.17 Restklassenring ist ein Körper

Satz 1.4.18 Restklassenring ist Körper für m prim

Kapitel 2 Vektorräume

Abschnitt 1 Definitionen und erste Beispiele

Definition 2.1.1 Vektorraum

Bemerkung 2.1.2 Modul

Beispiel 2.1.3/4 einfache Beispiele

Abschnitt 2.2 Linearkombinationen

Definition 2.2.1 Linearkombination, Affinkombination, Konvexkombination

Definition 2.2.2 Konvexkombination

Definition 2.2.3 Lineare Unabhängigkeit

Lemma 2.2.4 Jede Permutation und Teilfamilie ist linear unabhängig

Beispiel 2.2.5/ lineare Abhängigkeit

Definition 2.2.6 Lineare Unabhängigkeit für unendliche Familien

Proposition 2.2.9 Lineare Abhängigkeit einer der Vektoren ist darstellbar

Abschnitt 2.3 Unterräume

Definition 2.3.1 Unterraum

Bemerkung 2.3.2 Jeder Unterraum enthält die Null, Notation

Beispiel 2.3.3

Proposition 2.3.4 Unterraumsumme und Schnitt sind Unterräume

Definition 2.3.5 Lineare Hülle

Proposition 2.3.6 Lineare Hülle ist kleinster Unterraum der eine Menge enthält

Proposition 2.3.7 Gestalt der Unterräume durch R²

Abschnitt 2.6 Basen und Erzeugendensysteme

Defintion 2.6.1 Erzeugendensystem, Basis

Beispiel 2.6.2-4

Definition 2.6.5 endlich erzeugt

Satz 2.6.6 Äquivalente Aussagen über Basen

Korollar 2.6.7 Basisauswahlsatz

Abschnitt 2.7 Lineare Gleichungssysteme

Definition 2.7.1 Homogenität, Inhomogenität

Bemerkung 2.7.2 Motivation

Beispiel 2.7.3/4

Abschnitt 2.8 Gauß-Jordan-Algorithmus

Definition 2.8.1 Rang eines linearen Gleichungssystems

Beispiel 2.8.2/3

Proposition 2.8.4 Basis des Lösungsraums

Beispiel 2.8.5

Abschnitt 2.9 Basisaustauschsatz

Lemma 2.9.1 Austauschlemma

Satz 2.9.2 Basisaustauschsatz

Korollar 2.9.3 Jede Basis von V ist endlich

Korollar 2.9.4 Jede Basis von V hat dieselbe Länge

Korollar 2.9.5 Basisergänzungssatz

Abschnitt 2.10 Dimensionsbegriff

Definition 2.10.1 Dimension

Beispiel 2.10.2

Proposition 2.10.3 Dimension eines echten Teilraums

Exkurs: Matroide

Kapitel 3 Lineare Abbildungen und Matrizen

Abschnitt 3.1 Definitionen und erstes Beispiel

Definition 3.1.1 Lineare Abbildung

Definition 3.1.2 Bild, Kern

Beispiel 3.1.3

Proposition 3.1.4 Injektivität ker=0

Abschnitt 3.2 Dimensionsformel und Rang

Satz 3.2.1 Dimensionformel

Satz 3.2.2 Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität

Definition 3.2.4 Rang

Abschnitt 3.3 Der Hauptsatz über lineare Abbildungen

Proposition 3.3.1 Vorbereitung für HS

Satz 3.3.2 Hauptsatz über lineare Abbildungen

Definition 3.3.3 K-Vektorraum-Isomorphismus

Korollar 3.3.4 jeder n-dimensionale K-VR ist isomorph zu K^n

Abschnitt 3.4 Matrizen

Definition 3.4.1 Matrix

Definition 3.4.3 darstellende Matrix

Abschnitt 3.5 Vektorräume von linearen Abbildungen

Definition 3.5.1 Homomorphismen, Endomorphismen

Propositionen 3.5.2 Raum der Homorphismen bilden UVR

Proposition 3.5.3 Linearität von Identität, Umkehrung und Verkettung

Proposition 3.5.4 Distributivität und Verträglichkeit der Verkettung mit Skalarmultiplikation

Satz 3.5.5 Endomorphismen bilden Ring, K-Algebra

Abschnitt 3.6 Die allgemeine lineare Gruppe

Definition 3.6.1 GLK(V)

Bemerkung 3.6.2 Allgemeine lineare Gruppe

Abschnitt 3.7 Vektorräume von Matrizen

Definition 3.7.1 Menge aller mxn Matrizen

Proposition 3.7.2 Matrizen bilden Vektorraum

Proposition 3.7.3 Matrixmultiplikation ist assoziativ

Proposition 3.7.6 Distributivität und Verträglichkeit der Matrixmultiplikation mit Skalarmultiplikation

Definition 3.7.7 GLnK

Proposition 3.7.8 Gruppe der invertierbaren Matrizen

Proposition 3.7.11 Invertierbarkeit von Diagonalmatrizen

Satz 3.7.12 Quadratische Matrizen bilden Ring mit Eins

Abschnitt 3.8 Lineare Abbildungen aus Matrizen

Bemerkung 3.8.1 Matrixschreibweise Ax = b

Lemma 3.8.2 Linearität von Matrizen

Lemma 3.8.3 Bild der Einheitsvektoren sind Spalten der Matrix, img = Spaltenraum

Definition 3.8.4 Rang der Matrix

Satz 3.8.6 Rang invariant ggü GJA

Satz 3.8.7 Kanonischer Isomorphismus

Korollar 3.8.9 Dimension des Homomorphismenraums

Satz 3.8.11 Veträglichkeit von Verkettung und Matrixmultiplikation

Abschnitt 3.9 Transponierte einer Matrix

Definition 3.9.1 Transponierte

Proposition 3.9.2 Transponierte einer Produktmatrix=Produkt der Transponierten

Korollar 3.9.3 Transponierte der Inversen gleich Inverse der Transponierten

Bemerkung 3.9.4 Zeilenrang

Korollar 3.9.5 Zeilenrang äquivalent zu Spaltenrang

Abschnitt 3.10 Matrizen aus linearen Abbildungen

Proposition 3.10.1 Darstellende Matrix mal Kappafunktion gleich Kappafunktion des Bildes

Satz 3.10.2 Kanonischer Isomorphismus von Abbildungen nach Matrizen

Proposition 3.10.4 Kommutatives Diagramm

Abschnitt 3.11 Basiswechsel

Proposition 3.11.2 darstellende Matrizen des Basiswechsels

Abschnitt 3.12 nochmals LGS

Proposition 3.12.1 Äquivalenz E-Lösung, b im Spaltenraum, rank b-invariant

Proposition 3.12.2 für jedes b lösbar, Surjektivität, voller rank

Proposition 3.12.3 eindeutig lösbar, für alle lösbar, voller rank, invertierbarkeit der Matrix

Kapitel 4 – Affine Geometrie

Kapitel 5 Determinanten

Abschnitt 5.1 Vorüberlegungen

Bemerkung 5.1.1 gewünschte Eigenschaften

Abschnitt 5.2 Multilinearformen

Definition 5.2.1 Multilinearformen, alternierend, normiert

Bemerkung 5.2.2 schwächere Definition für alternierend

Beispiel 5.2.3 zur obigen Bemerkung

Beispiel 5.2.4/5 einfache Determinantenformen

Satz 5.2.6 alternierende Multilinearformen werten linear abhängige Spalten zu 0 aus.

Satz 5.2.7 alternierende Multilinearformen mit f(en)=0 sind die Nullabbildung

Korollar 5.2.8 alternierende Linearformen, die auf En identisch sind, sind gleich

Abschnitt 5.3 Konstruktion der Determinantenform

Beispiel 5.3.1 Beispiel Laplace

Proposition 5.3.2 Laplace ist eine Determinantenform

Definition 5.3.3 Determinante

Abschnitt 5.4 Eigenschaften der Determinante

Proposition 5.4.1 Invariant gegenüber Transposition

Proposition 5.4.2 Multiplikativität der Determinante, Determinante der Inversen

Satz 5.4.3 Invertierbarkeit, det !=0, eindeutigkeit, unabhängigkeit, rank=n

Satz 5.4.4 Leibnizform

Abschnitt 5.5 Ähnlichkeit von Matrizen

Definition 5.5.1 Ähnlichkeit

Proposition 5.5.2 Ähnliche Matrizen haben dieselbe Determinante

Abschnitt 5.6 Determinanten und der Gauß-Jordan‘sche Eliminationsalgorithmus

Proposition 5.6.1 Determinante einer oberen Dreiecksmatrix

Satz 5.6.2 Berechnung der Determinante einer Matrix mit GJA

Abschnitt 5.7 Matrixinversion und Adjunkte

Proposition 5.7.1 Matrix mal Adjunkte = Einheitsmatrix * Determinante

Korollar 5.7.2 Berechnung der Inversen

Abschnitt 5.8 Determinanten aus dem Blickwinkel der Analysis

Proposition 5.8.1 Determinante ist diffbar

Proposition 5.8.2 Matrix auf Inverse ist diffbar

Abschnitt 5.9 Cramer’sche Regel

Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume

Abschnitt 7.1 Bilinearformen

Definition 7.1.1 K-Bilinearformen, ausgeartet

Beispiel 7.1.2 Standardskalarprodukt

Abschnitt 7.2 Das euklidische Skalarprodukt

Definition 7.2.1 euklidisches Skalarprodukt

Proposition 7.2.2 Das euklidische Skalarprodukt ist bilinear, symmetrisch, positiv-definit

Definition 7.2.3 euklidische Norm

Abschnitt 7.3 Das hermitesche Skalarprodukt

Beispiel 7.3.1 Konjugation, Betrag komplexer Zahlen

Definition 7.3.2 das hermitesche Skalarprodukt

Proposition 7.3.3 hermitesches SKP ist semi-bilinear, hermitesch und positiv definit

Bemerkung 7.3.4 Sesquilinearformen

Abschnitt 7.4 Euklidische und unitäre Räume

Definition 7.4.1 euklidischer Raum

Definition 7.4.2 unitärer Raum

Beispiel 7.4.3 Teilräume von euklidischen Räume sind euklidische Räume

Definition 7.4.4 Norm über Skalarprodukt

Bemerkung 7.4.5 Norm ist homogen

Bemerkung 7.4.6 Polarisierungidentitäten

Abschnitt 7.5 geometrische Eigenschaften euklidischer und unitärer Räume

Satz 7.5.1 Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Definition 7.5.2 Winkel

Bemerkung 7.5.3 Aus CSU folgt Wohldefiniertheit

Satz 7.5.4 Satz Phytagoras

Abschnitt 7.6 Metrische Räume

Definition 7.6.1 Metrik

Satz 7.6.2 Metrik durch Norm definiert

Proposition 7.6.3 Hausaufgabe, Norm und CSU mit linearer Abhängigkeit

Lemma 7.6.4 Mittelpunkt

Satz 7.6.5 Isometrie in euklidischem Raum ist linear

Abschnitt 7.7 Weitere Beispiele

7.7.1 Bilinearformen und Matrizen

Beispiel 7.7.1 Bilinearformen definieren Matrizen

Beispiel 7.7.2 Matrizen definieren Linearformen

7.7.2 Bilinearformen auf Funktionenräumen

Beispiel 7.7.3 Vektorraum C[0,1]

Proposition 7.7.4 C[0,1] mit 0S1 ist euklidischer Raum

Bemerkung 7.7.5 Es folgt CSU etc

Abschnitt 7.8 Orthonormalbasen

Definition 7.8.1 Orthogonalsystem, Orthonormalsystem, Orthonormalbasen

Lemma 7.8.2 Jedes Orthogonalsystem ist linear unabhängig

Beispiel 7.8.3 Beispiele für Orthonormalbasen

Bemerkung 7.8.4 Koordinaten bzgl. Orthonormalbasis

Beispiel 7.8.5 Orthonormalbasis

Abschnitt 7.9 Trigonometrische Polynome

Lemma 7.9.1 Werte der Skalarprodukte für Sinusterme

Lemma 7.9.2 Sinus und Cosinusterme orthogonal

Lemma 7.9.3 Werte der Skalarprodukte für Cosinusterme

Propositionen 7.9.4 Cosinus und Sinusterme bilden ein Orthonormalsystem mit Skalierung

Definition 7.9.5 Raum der trigonometrischen Polynome vom Grad <= n

Abschnitt 7.10 Orthonormalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt

Satz 7.10.1 GS liefert Orthonormalbasis

Korollar 7.10.2 Jeder endlich-dimensionaler Teilraum von V besitzt eine Orthonormalbasis

Abschnitt 7.11 Orthogonale Teilräume

Definition 7.11.1 Orthogonales Komplement

Lemma 7.11.2 Orthogonales Komplement ist ein linearer Teilraum von V

Lemma 7.11.3 Aussagen übers Orthogonale Komplement

Bemerkung 7.11.4 Orthogonales Komplement einer endlichen Menge ist Schnitt der Komplemente

Lemma 7.11.5 Komplement einer Menge gleich Komplement ihres Aufspanns

Satz 7.11.6 Orthogonale Projektion

Abschnitt 7.12 Fouriertransformation

Abschnitt 7.13 Summen von Vektorräumen

Definition 7.13.1 Minkowski-Summe

Lemma 7.13.2 Summe von Unterräumen ist Unterraum

Beispiel 7.13.3

Lemma 7.13.4 Dimension von Vektorraumsummen

Definition 7.13.5 Innere direkte Summe

7.13.2 Äußere direkte Summe von Vektorräume

Erklärung einer Bilinearform auf äußerer Vektorraumsumme

Lemma 7.13.7 Sind f und g beide symmetrisch/reflexiv/nicht ausgeartet so ist auch Summe der

Bilinearformen….

Lemma 7.13.8 Darstellende Matrix von Billinearformen auf äußeren Vektorraumsummen

7.13.3 Orthogononale Summe in euklidischen und unitären Räumen

Proposition 7.13.11 V = U + U°

Korollar 7.13.12 U°°=U

Abschnitt 7.14 Orthogonale und unitäre Abbildungen

Definition 7.14.1 Orthogonale und unitäre Abbildungen

Lemma 7.14.2 Injektivität

Definition 7.14.3 orthogonale und unitäre Transformationen

Definition 7.14.4 die orthogonale Gruppe, unitäre Gruppe

Beispiel 7.14.6 Spiegelungen

Bemerkung 7.14.7 Jede Isometrie ist orthogonale Transformation

Proposition 7.14.8 Orthogonalität/Unität Bild einer Orthonormalbasis ist Orthonormalbasis

Definition 7.14.9 Spezielle lineare/orthogonale/unitäre Gruppe

Definition 7.14.10 Orthogonale, unitäre Matrix

Lemma 7.14.11 Determinante von Orthogonalen und unitären Matrizen

Aufgabe 7.14.12 ANSCHAUEN

Satz 7.14.13 Äquivalente Eigenschaften von Matrizen

Satz 7.14.14 QR Zerlegung

Kapitel 8 Eigenwerte und Eigenvektoren

Abschnitt 8.1 Definitionen und Beispiele

Definition 8.1.1 Eigenwerkt, Eigenvektor, Eigenraum, geometrische Vielfachheit

Bemerkung 8.1.2 Praxis

Definition 8.1.3 Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus

Beispiel 8.1.4/6

Bemerkung 8.1.7 λ Eigenvektor Eigenraum nichttrivial

Satz 8.1.8 Charakteristische Gleichung

Definition 8.1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Beispiel 8.1.10 Matrix ohne Eigenwerte

Beispiel 8.1.11 Eigenwerte im Komplexen

Bemerkung 8.1.12 λ Eigenwert zu v gilt auch für komplexe Konjugation

Beispiel 8.1.13

Abschnitt 8.2 Diagonalisierbarkeit von Matrizen

Satz 8.2.1Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig

Korollar 8.2.2 Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten schneiden sich nur in der Null

Korollar 8.2.3 Summe der Dimensionen der Eigenräume = Dimension des Raumes folgt Summer der

Eigenräume = Raum

Abschnitt 8.3 Das charakteristische Polynom

Defintion 8.3.1 Vielfachheit einer Nullstelle

Bemerkung 8.3.2 Jedes Polynom lässt sich in Linearfaktoren und Restpolynom ohne Nullstellen

aufteilen

Definition 8.3.3 charakteristisches Polynom

Beispiel 8.3.4/5

Satz 8.3.7 Gestalt des charakteristischen Polynoms

Bemerkung 8.3.8 Leibnizformel gilt durch Einbettung in den Quotientenkörper auch für Polynome

Bemerkung 8.3.9 Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Definition 8.3.10 Algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes

Proposition 8.3.11 Geometrische VF <= algebraische VF

Beispiel 8.3.12

Satz 8.3.13 Matrix diagbar ch. Polynom zerfällt in Linearfaktoren

Bemerkung 8.3.14 Ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom

Korollar 8.3.15 Matrix diagbar gdw. Geometrische VF und algebraische VF übereinstimmen

Korollar 8.3.16 Jede komplexe Matrix hat einen Eigenwert.

Defintion 8.3.17 Begleitmatrix

Satz 8.3.18 ch. Polynom der Begleitmatrix = +- ch. Polynom

Abschnitt 8.5 Der Satz von Cayley-Hamilton

Bemerkung 8.5.1 Abbildung von Polynom auf Auswertungsabbildung in Vektorraum ist ein K-Algebra

Homomorphismus

Beispiel 8.5.2

Satz 8.5.3 Satz von Cayley-Hamilton

Satz 8.5.4 Satz von Minimalpolynom

Bemerkung 8.5.5 Existenz annulierender Polynome nur im Endlichdimensionalen

Satz 8.5.6 Ähnliche Matrizen haben dasselbe Minimalpolynom

Satz 8.5.7 Minimalpolynom und ch. Polynom haben dieselben Nullstellen

Abschnitt 8.6 Diagonalisierung

Definition 8.6.0 adjungierte Matrix, symmetrische, schiefsymmetrisch, hermitesch, schiefhermitesch

Beispiel 8.6.1

Lemma 8.6.2 Zerlegung in real- und imaginärteil, analog für symmetrisch, hermitesch

Bemerkung 8.6.3

Definition 8.6.4 Normale Matrix

Beispiel 8.6.5

Lemma 8.6.6 A-yEn und QAQ sind normal

Lemma 8.6.7 Lambda Eigenwert zu A folg Lambda konjugiert zu A* (Beweis mit voriger Bemerkung)

Lemma 8.6.8 Hermitesche Matrizen haben nur reele Eigenwerte

Bemerkung 8.6.9

Lemma 8.6.10 Eigenvektoren zu verschieden Eigenwerten normaler Matrizen sind orthogonal

Lemma 8.6.11 „orthogonale Komplemente von Eigenvektoren sind invariant ggü Normalen Matrizen“

Satz 8.6.12 Hauptsatz über normale Matrizen (NOU)

Satz 8.6.13 Hauptsatz über hermitesche Matrizen (HNU)

Beispiel 8.6.14 Beispiel

Lemma 8.6.15 Matrix mit reelen Eigenwerten genau dann über R diagbar wenn über C diagbar

Satz 8.6.16 Hauptsatz über reelle symmetrische Matrizen (SOD)

Beispiel 8.6.17

Lemma 8.6.18 Eigenwerte von invertierbaren Matrizen

Satz 8.6.19 Hauptsatz über unitäre Matrizen (U BEW D)

Beispiel 8.6.20

Bemerkung 8.6.21 Schreibweise komplexer Zahlen

Bemerkung 8.6.22 A reell und lambda eigenwert folgt lambda konjugiert EW

Satz 8.6.23 Normalform orthogonaler Matrizen (PND-Form)

Kapitel 9 Quadratische Formen

Definition 9.1.1 Quadratische Form/Polarform

Lemma 9.1.2 Symmetrische Bilinearform induziert Quadratische Form

Beispiel 9.1.3

Bemerkung 9.1.4/5

Beispiel/Aufgabe 9.1.6/7 Quadratische Form aus Polynom

Abschnitt 9.2 Hauptachsentransformation

Satz 9.2.1 Polarform einer Quadratischen Form ist diagonalisierbar

Definition 9.2.2 Quadrik

Hauptachsentransformation

Satz 9.2.4 Trägheitssatz von Sylvester

Kapitel 10 Jordansche Normalform

Abschnitt 1 Schursche Normalform

Satz 10.1.1 Eine Matrix ist genau dann ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix, falls das char.

Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Abschnitt 2 Jordanblöcke

Definition 10.2.1 Jordanblock

Lemma 10.2.3 Jordanblock ist nicht diagbar

Lemma 10.2.4 Minimalpolynom eines Jordanblocks

Definition 10.2.5 Jordansche Normalform

Abschnitt 3 Jordansche Normalform einer komplexen Matrix

Satz 10.3.1 Jede komplexe Matrix über C besitzt Jordannormalform

Korollar 10.3.2 Jede komplexe Matrix ist ähnlich zu einer Jordannormalform

Korollar 10.3.3 Ähnliche Matrizen haben selbe JNF

10.3.1 Jordanketten und verallgemeinerte Eigenräume

Definition 10.3.4 Jordankette

Lemma 10.3.5 Jordanketten sind linear unabhängig

Definition 10.3.6 Verallgemeinerter Eigenvektor

Definition 10.3.7 Verallgemeinerter Eigenraum

Proposition 10.3.8 Eigenraum Invariant ggü kommutierenden Abbildungen

10.3.2 Kurze Vorüberlegungen zum Minimalpolynom

Satz 10.3.9 Kerne der Auswertung Teilerfremde Polynome die zusammen Minimalpolynom ergeben

sind Partition von V

Lemma 10.3.11 Minimalpolynom eines Jordanblocks teilt Minimalpolynom der gesamten Matrix

10.3.3 Zerlegung von C entlang der verallgemeinerten Eigenräume

Satz 10.3.12 V ist direkte Summe der verallgemeinerten Eigenräume

Lemma 10.3.14 Jordanketten sind linear unabhängig falls EV linearunabhängig

Lemma 10.3.15 falls Jordanketten linear abhängig sind kann man sie verkürzen und erhält wieder

jordanketten

Satz 10.3.16 Jeder verallgemeinerte Eigenraum besitzt Basis aus Jordanketten