Schrödinguer Equation

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Un desarrollo de la ecuación de Schrödinguer.

Citation preview

  • La Ecuacin de SchrdingerI think it is safe to say that no one understands quantum mechanics. Do not keep saying to yourself, if you can possibly avoid it, But how can it be like that? because you will get down the drain into a blind alley from which nobody has yet escaped. Nobody knows how it can be like that.

    - Richard Feynman

  • Recapitulemos:de Broglie: dualidad onda-partculaExperimento de Young: interpretacin probabilsticaPrincipio de Heisenberg: imposible determinar totalmente x y p al mismo tiempoNo se puede determinar exactamente la trayectoria de una partcula .... Pero s la probabilidad de encontrarla a tiempo t en determinado punto x.La probabilidad est relacionada con la funcin de ondas Y(x,t) asociada a la partculaY es solucin de la ec. de ondas: Ec. de Schrdinger

  • Ecuacin de Ondas Clsica

  • Hacia la ecuacin de Schrodinger

  • La Ecuacin de SchrdingerLa ec. de Schrdinger para una partcula de energa E que se mueve en una dimensin bajo un potencial V es

    where V = V(x,t)La ecuacin de Schrdinger es la ecuacin fundamental en Mecnica Cuntica.Igual que las ecuaciones de Newton en mecnica clsica, no se demuestra, sino que se postula.

  • La Ecuacin de Schrdinger en 3-DLa ec. de Schrdinger para una partcula de energa E que se mueve en una dimensin bajo un potencial V(r,t) es

    where V = V(x,t)

  • Solucin General para V = 0Probando con una onda planaLuegoLa onda plana es solucin de la ec. de Schrdinger para una partcula libre

  • Normalizacin y ProbabilidadLa probabilidad P(x) dx de encontrar la partcula entre x y x + dx est dada por

    La probabilidad de estar entre x1 y x2 es

    Como la probabilidad de encontrar la partcula en algn x debe ser 1, Y debe estar normalizada

  • Caractersticas de la funcin de ondasY es una funcin compleja. Los observables (x, p, E, ) deben ser reales, pero en gral Y es complejaY debe ser finita Y debe ser monovaluadaTanto Y como d Y /dx deben ser continuas. (Para que exista la derivada segunda.)Para que Y est normalizada, Y 0 para x

    Las soluciones de la ecuacin de ondas que no cumplan las propiedades anteriores no tienen sentido fsico.

  • y para el estado fundamental del tomo de H

  • Comparacin de orbitales y probabilidades

  • Valor EsperadoEl valor esperado de una magnitud dada es el promedio de dicha magnitud. Donde Pi es la probabilidad correspondiente al valor xi. Si x es continua:En mecnica cuntica:Y el valor esperado de una funcin de x, g(x):

  • Para encontrar el valor esperado de p se necesita representar p en funcin de x y t. Considerando la derivada respecto a x de la funcin de onda para una partcula libre .Operador MomentoEsto sugiere definir el operador momento

    Y el valor esperado

  • Considerando la derivada respecto a t de la funcin de onda para una partcula libre .Operador EnergaEsto sugiere definir el operador momento

    Y el valor esperado

  • Sustituyendo los operadores:

    E:

    K+V: La Ec. de Schrdinger usando operadoresLa energa es:Sustituyendo

  • Cuando el potencial no depende explcitamente del tiempo la ecuacin de Schrdinger es separable en variables espaciales y temporales.

    Ec. de Schrdinger Independiente del TiempoluegoDividiendo por Y(x,t)Slo funcin de tSlo funcin de xCada trmino debe ser cte. B

  • Integrando:Ec. Schrdinger Independiente de tComparando con la solucin para la partcula libre:Y se obtieneEc. de Schrdinger Independiente del tiempo

  • Estados EstacionariosSi el potencial V no depende explcitamente del tiempo la funcin de onda se puede escribir

    La densidad de probabilidad:

    Que es cte. en el tiempo. Estados estacionarios.

  • Postulados de la Mecnica CunticaEl estado de un sistema est completamente definido por su funcin de onda Y(x,t) Para cada observable clsico hay un operador lineal y hermtico en mecnica cuntica En la medida de un observable A slo se pueden encontrar valores a que son autovalores del operador correspondiente A Y(x,t) = a Y(x,t) El valor promedio de un observable est dado por su valor esperado

    La funcin de ondas obedece la ec. de Schrdinger,

    *2*2*************2