SCOMPOSIZIONE SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI IN FATTORI PRIMI

di un di un polinomiopolinomio

2

Ripassiamo i prodotti notevoliNOMENOME TIPOTIPO SVILUPPOSVILUPPO

Quadrato di un Quadrato di un binomiobinomio

( a + b )( a + b )22aa22 + 2ab + b + 2ab + b2 2

TRINOMIOTRINOMIO

Cubo di un Cubo di un binomiobinomio

( a + b )( a + b )33aa3 3 + 3a+ 3a22b +3abb +3ab22+b+b33

QUADRINOMIO QUADRINOMIO

Somma per Somma per differenzadifferenza

( a + b ) ( a – b )( a + b ) ( a – b )aa22 – b – b22

BINOMIOBINOMIO

( a + b + c )( a + b – c )( a + b + c )( a + b – c )[(a+b)[(a+b)22 – c – c22 ] = a ] = a22 + 2ab + b + 2ab + b2 2 – c – c

QUADRINOMIOQUADRINOMIO

Quadrato di un Quadrato di un trinomiotrinomio

( a + b + c )( a + b + c )22aa22+b+b22+c+c22+2ab+2ac+2bc +2ab+2ac+2bc

POLINOMIOPOLINOMIO

““Senza nome ”Senza nome ”

( a + b ) ( a( a + b ) ( a22 – ab + b – ab + b22 ) )aa33 + b + b33

BINOMIOBINOMIO

( a – b ) ( a( a – b ) ( a22 +ab + b +ab + b22 ) )aa33 – b – b33

BINOMIOBINOMIO

PROSEGUIAMO

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Ripassiamo i prodotti notevoliNOMENOME TIPOTIPO SVILUPPOSVILUPPO

Quadrato di un Quadrato di un binomiobinomio

( a + b )( a + b )22aa22 + 2ab + b + 2ab + b2 2

TRINOMIO TRINOMIO

Cubo di un Cubo di un binomiobinomio

( a + b )( a + b )33aa3 3 + 3a+ 3a22b +3abb +3ab22+b+b33

QUADRINOMIOQUADRINOMIO

Somma per Somma per differenzadifferenza

( a + b ) ( a – b )( a + b ) ( a – b )aa22 – b – b22

BINOMIOBINOMIO

( a + b + c )( a + b – c )( a + b + c )( a + b – c )[(a+b)[(a+b)22 – c – c22 ] = a ] = a22 + 2ab + b + 2ab + b2 2 – c – c

QUADRINOMIOQUADRINOMIO

Quadrato di un Quadrato di un trinomiotrinomio

( a + b + c )( a + b + c )22aa22+b+b22+c+c22+2ab+2ac+2bc +2ab+2ac+2bc

POLINOMIOPOLINOMIO

““Senza nome ”Senza nome ”

( a + b ) ( a( a + b ) ( a22 – ab + b – ab + b22 ) )aa33 + b + b33

BINOMIOBINOMIO

( a – b ) ( a( a – b ) ( a22 +ab + b +ab + b22 ) )aa33 – b – b33

BINOMIOBINOMIO

RITORNIAMO ALLA DIAPOSITIVA N. 8

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Come faccio a scomporre in fattori

primi?

5

Vedo se c’è da raccogliere un Vedo se c’è da raccogliere un fattore comune fra tutti i fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il:monomi, cioè faccio il:

RACCOGLIMENTO TOTALE RACCOGLIMENTO TOTALE

PRIMA DI TUTTO…

Altrimenti…RIASSUMENDO

6

Vedo se c’è da raccogliere un Vedo se c’è da raccogliere un fattore comune fra tutti i fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il:monomi, cioè faccio il:

RACCOGLIMENTO TOTALE RACCOGLIMENTO TOTALE

PRIMA DI TUTTO…

Altrimenti…RIASSUMENDO

7

Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevoleprodotto notevole

• BINOMIO

• TRINOMIO

• QUADRINOMIO

• POLINOMIO

ALTRIMENTI

OPPURERIASSUMENDO

8

Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevoleprodotto notevole

• BINOMIO

• TRINOMIO

• QUADRINOMIO

• POLINOMIO

ALTRIMENTI

OPPURERIASSUMENDO

9

faccio il faccio il raccoglimento parziale.raccoglimento parziale.

OPPURE

10

faccio il faccio il raccoglimento parziale.raccoglimento parziale.

OPPURE

RIASSUMENDO

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BINOMIOBINOMIO

Raccoglimento totaleRaccoglimento totale

Differenza di due quadratiDifferenza di due quadrati ( a( a2 2 – b– b22 ) = ( a – b )( a + b ) ) = ( a – b )( a + b )

Somma di due quadratiSomma di due quadrati NON SI PUO’ SCOMPORRENON SI PUO’ SCOMPORRE

Somma di due cubiSomma di due cubi aa3 3 –– b b33 = ( a – b )( a = ( a – b )( a2 2 ++ ab + bab + b22 ) )

Differenza di due cubiDifferenza di due cubi aa3 3 –– b b33 = ( a – b )( a = ( a – b )( a2 2 ++ ab + bab + b22 ) )

TRINOMIOTRINOMIO

Raccoglimento totaleRaccoglimento totale aa22 + 2ab + b + 2ab + b22 = ( a + b ) = ( a + b ) 22

Quadrato di un binomioQuadrato di un binomio aa22 + 2ab + b + 2ab + b22 = ( a + b ) = ( a + b ) 22

Trinomio notevoleTrinomio notevolexx22 + sx + p = (x + a )(x + b ) + sx + p = (x + a )(x + b )

Se s = a + b e p = abSe s = a + b e p = ab

RuffiniRuffini

QUADRINOMIOQUADRINOMIO

Raccoglimento totaleRaccoglimento totale

Cubo di un binomioCubo di un binomio aa33 + + bb33 + + 3a3a22bb + + 3ab3ab22 = ( a + b )= ( a + b )33

Raccoglimento parzialeRaccoglimento parziale

Differenza di due quadrati ( di cui unDifferenza di due quadrati ( di cui uno è il quadrato di un binomio)o è il quadrato di un binomio)

aa2 2 + b+ b2 2 - 2ab- 2ab – x – x22 = =(a - b)(a - b)22 - x - x22 = =

[ [ (a –b)(a –b) + x ] [ + x ] [ (a –b)(a –b) – x ] – x ]

Ruffini Ruffini

POLINOMIOPOLINOMIO

Raccoglimento totaleRaccoglimento totale

Raccoglimento parzialeRaccoglimento parziale

Quadrato di un trinomioQuadrato di un trinomio aa22 + + bb22 + + cc22 + + 2ab2ab + + 2ac2ac + + 2bc 2bc = ( a + b + c )= ( a + b + c )22

RuffiniRuffini

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RACCOGLIMENTO TOTALE:raccolgo l’ M.C.D. dei monomi

3a3a22b - 5ab - 5a33bb4 4 + a+ a44bb6 6 ==

aa22bb ( 3 - 5ab( 3 - 5ab3 3 + a+ a22bb5 5 ))

RIASSUMENDO

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RACCOGLIMENTO TOTALE:raccolgo l’ M.C.D. dei monomi

3a3a22b - 5ab - 5a33bb4 4 + a+ a44bb6 6 ==

aa22bb ( 3 - 5ab( 3 - 5ab3 3 + 4a+ 4a22bb5 5 ))

RIASSUMENDO

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RACCOGLIMENTO PARZIALE

10a10a33b + 2xb - 5ab + 2xb - 5a3 3 – x = – x =

5a5a3 3 ( b – 1 )( b – 1 ) + 2x + 2x ( b - 1)( b - 1) = =

( b – 1 )( b – 1 )( 5a( 5a3 3 + 2x )+ 2x )

RIASSUMENDO

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RACCOGLIMENTO PARZIALE

10a10a33b + 2xb - 5ab + 2xb - 5a3 3 – x = – x =

5a5a3 3 ( b – 1 )( b – 1 ) + 2x + 2x ( b - 1)( b - 1) = =

( b – 1 )( b – 1 )( 5a( 5a3 3 + 2x )+ 2x )

RIASSUMENDO

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BINOMIO

• DIFFERENZA DI DUE QUADRATI

( a( a2 2 – b– b22 ) = ) =

( a – b )( a + b )( a – b )( a + b )

DIFFERENZA DI CUBI DIFFERENZA DI CUBI

aa3 3 –– b b33 = =

( a – b )( a( a – b )( a2 2 ++ ab + bab + b22 ) )

SOMMA DI CUBI SOMMA DI CUBI

aa3 3 + + b b33 = =

( a + b )( a( a + b )( a2 2 –– ab+ bab+ b22 ) )

ATTENZIONE!!!!

La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!)

ATTENZIONE!!!!

La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!)

Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

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BINOMIO

• DIFFERENZA DI DUE QUADRATI

( a( a2 2 – b– b22 ) = ) =

( a – b )( a + b )( a – b )( a + b )

DIFFERENZA DI CUBI DIFFERENZA DI CUBI

aa3 3 –– b b33 = =

( a – b )( a( a – b )( a2 2 ++ ab + bab + b22 ) )

SOMMA DI CUBI SOMMA DI CUBI

aa3 3 + + b b33 = =

( a + b )( a( a + b )( a2 2 –– ab+ bab+ b22 ) )

ATTENZIONE!!!!

La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!)

ATTENZIONE!!!!

La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!)

Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

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TRINOMIO

• QUADRATO DI UN BINOMIO QUADRATO DI UN BINOMIO (è un trinomio formato da:(è un trinomio formato da:

due quadratidue quadrati e dal e dal doppio prodottodoppio prodotto delle basi) delle basi)

16a16a44 + + bb22 - - 8a8a22bb = =

(4a(4a22 - b) - b)22

TRINOMIO NOTEVOLETRINOMIO NOTEVOLE( deve essere ( deve essere sempresempre del tipo : x del tipo : x2 2 + + ssx + x + pp

con con ss = a + b e = a + b e pp = ab ) = ab )

xx2 2 - - 99x – x – 3636 = =

( x – 12 ) ( x + 3 )( x – 12 ) ( x + 3 )Ritorna ai prodotti notevoli

RIASSUMENDO

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TRINOMIO

• QUADRATO DI UN BINOMIO QUADRATO DI UN BINOMIO (è un trinomio formato da:(è un trinomio formato da:

due quadratidue quadrati e dal e dal doppio prodottodoppio prodotto delle basi) delle basi)

16a16a44 + + bb22 - - 8a8a22bb = =

(4a(4a22 - b) - b)22

TRINOMIO NOTEVOLETRINOMIO NOTEVOLE( deve essere ( deve essere sempresempre del tipo : x del tipo : x2 2 + + ssx + x + pp

con con ss = a + b e = a + b e pp = ab ) = ab )

xx2 2 - - 99x – x – 3636 = =

( x – 12 ) ( x + 3 )( x – 12 ) ( x + 3 )Ritorna ai prodotti notevoli

RIASSUMENDO

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QUADRINOMIO CUBO DI BINOMIO CUBO DI BINOMIO

(ci sono(ci sono due cubidue cubi e e due tripli prodottidue tripli prodotti di ognuna delle due basidi ognuna delle due basi per il quadrato dell’altra)per il quadrato dell’altra)

aa33 + + bb33 + + 3a3a22bb + + 3ab3ab22 ==

( a + b )( a + b )33

DIFFERENZA DI DUE QUADRATI DIFFERENZA DI DUE QUADRATI

( ( di cui uno è ildi cui uno è il quadrato di un binomioquadrato di un binomio))

aa2 2 + b+ b2 2 - 2ab- 2ab – x – x22 = =

(a - b)(a - b)22 - x - x22 = =

[ [ (a –b)(a –b) + x ] [ + x ] [ (a –b)(a –b) – x ] – x ]Ritorna ai prodotti notevoli

RIASSUMENDO

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QUADRINOMIO CUBO DI BINOMIO CUBO DI BINOMIO

(ci sono(ci sono due cubidue cubi e e due tripli prodottidue tripli prodotti di ognuna delle due basidi ognuna delle due basi per il quadrato dell’altra)per il quadrato dell’altra)

aa33 + + bb33 + + 3a3a22bb + + 3ab3ab22 ==

( a + b )( a + b )33

DIFFERENZA DI DUE QUADRATI DIFFERENZA DI DUE QUADRATI

( ( di cui uno è ildi cui uno è il quadrato di un binomioquadrato di un binomio))

aa2 2 + b+ b2 2 - 2ab- 2ab – x – x22 = =

(a - b)(a - b)22 - x - x22 = =

[ [ (a –b)(a –b) + x ] [ + x ] [ (a –b)(a –b) – x ] – x ]Ritorna ai prodotti notevoli

RIASSUMENDO

22

POLINOMIO

QUADRATO DI TRINOMIOQUADRATO DI TRINOMIO

((tre quadratitre quadrati e e tre doppi prodottitre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre) di ciascuna delle basi per le altre)

aa22 + + bb22 + + cc22 + + 2ab2ab + + 2ac2ac + + 2bc 2bc ==

( a + b + c )( a + b + c )22

Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: precedenti, allora si può provare ad usare la:

REGOLA DI RUFFINI

Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

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POLINOMIO

QUADRATO DI TRINOMIOQUADRATO DI TRINOMIO

((tre quadratitre quadrati e e tre doppi prodottitre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre) di ciascuna delle basi per le altre)

aa22 + + bb22 + + cc22 + + 2ab2ab + + 2ac2ac + + 2bc 2bc ==

( a + b + c )( a + b + c )22

Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: precedenti, allora si può provare ad usare la:

REGOLA DI RUFFINI

Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

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REGOLA DI RUFFINI

x5 – 10x – 12 =

1 0 0 0 -10 -12

2 2 4 8 16 12

1 2 4 8 6 0= ( x – 2 ) ( x4 + 2x3 +4x2 +8x + 6 )

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M.C.D. fra polinomi

L’ M.C.D. fra due o più polinomi è costituito L’ M.C.D. fra due o più polinomi è costituito SOLOSOLO dai fattori dai fattori COMUNICOMUNI, presi una sola , presi una sola volta con il minimo esponentevolta con il minimo esponente

Pertanto bisogna scomporre in fattori primi i Pertanto bisogna scomporre in fattori primi i monomi che compongono il polinomio e monomi che compongono il polinomio e poi calcolare l’ M.C.D. poi calcolare l’ M.C.D.

26