1

Movimiento de slidos dentro de fluidos.

Sedimentacin: Es el proceso de desplazamiento de partculas ms densas que el agua que se

mueven hacia la parte inferior del fluido debido a la accin gravitacional.

Las fuerzas que actan durante el movimiento de una partcula dentro de un fluido son:

a) Peso de la partcula = Vpsg

b) Flotacin = Vpfg

c) Fuerza de arrastre Fr = f fApu2/2

Donde Vp representa el volumen de la

partcula, s indica la densidad de la

partcula, f la densidad del fluido, g la aceleracin de la gravedad, f el factor de arrastre, Ap el

rea proyectada de la partcula en la direccin del flujo y u la velocidad entre la partcula y el

fluido.

La suma de fuerzas actuando sobre la partcula se expresa por:

- Peso + flotacin fuerza de arrastre = fuerza resultante (2 ley de Newton: masa * aceleracin)

- Vpsg + Vpfg + f fApu2/2 = - Vps du/dt

La fuerza de arrastre tiene siempre la direccin opuesta a la del movimiento de la partcula.

= (

1) +

2

2 (1)

du/dt representa la aceleracin de la partcula cuando sta tiene una velocidad u.

La ecuacin 1 es vlida para:

1- Partculas esfricas y lisas

2- Partculas incompresibles

3- El movimiento de una partcula no es afectado por el movimiento de las otras.

Ms adelante se quitan las restricciones 1 y 3.

Cuando la partcula es esfrica Ap = dp2/4 y Vp = dp

3/6. Sustituyendo en la ecuacin 1

= (

1) +

22

2 43/6

= (

1) +3

22

43 = (

1) +3

2

4

= (

1) +

32

4 (2)

Para conocer la velocidad en cualquier instante es necesario sustituir la expresin del coeficiente

de arrastre f e integrar analtica o numricamente.

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo (seg)

Velo

cid

ad (

cm

/seg)

dp = 0.1 cm

dp = 1 cm

Estado estacionario del movimiento de la partcula. Cuando du/dt = 0, a la velocidad de la

partcula se le denomina velocidad de sedimentacin libre: usl.

0 = (fs

1) g +3f

fusl2

4sdp, reacomodando (

sfs

) g =3ffusl

2

4sdp , (s f)g =

3ffusl2

4dp

Despejando usl:

usl = 4(sf)gdp

3 ff (3)

Para verificar la aproximacin que significa proponer el comportamiento estacionario respecto del

dinmico, en la siguiente grfica se observa el corto tiempo que tarda una partcula de arena de

diferente dimetro en alcanzar el estado estacionario, lo que justifica para este caso y tiempos de

sedimentacin mayores a 3 segundos su simplificacin.

En el programa principal de Matlab se escribe:

[t,v]=ode23s(@sedimentacion,[0 1],0.1);La function

sedimentacin contiene la ecuacin 2. El coeficiente

de friccin se encuentra mediante la ecuacin de

Turton-Levenspiel.

f =24

Re(1 + 0.173Re0.657) +

0.413

1 + 16300Re1.09

function dv= d(t,v)

ds=2.5;% densidad slido gr/cm3 dl=1;% densidad lquido gr/cm3 g=981; %aceleracin gravedad cm/s2 d=0.1; %dimetro partcula cm vi=0.01;%viscosidad gr/cm s re=d*v*ds/vi; den=1+16300*(re^(-1.09)); f=(24/re)*(1+0.173*(re^0.657))+0.413/den;% Ecuacin de Turton- Levenspiel dv=(ds-dl)*g/ds-3*f*dl*v*v/(4*d*ds);% Ecuacin 1

Quitando la primera restriccin

(partculas esfricas)

En la grfica derecha

representa la esfericidad de la

partcula. En eje de las abscisas

3

se encuentra el nmero de Reynolds Res.

Res =dsVf

Donde ds representa el dimetro de una esfera con igual dimetro al de la partcula. As ds= desf*.

La esfericidad est definida como: =rea de una esfera con volumen igual al de la partcula

rea de la partcula

Anlisis de la grfica del arrastre.

Regin de flujo laminar (Res

4

Determinacin de la velocidad de sedimentacin en estado estacionario.

Si el objetivo es encontrar el valor de la velocidad de sedimentacin usl en flujo laminar, la solucin

es directa usando la ecuacin 5, de otra manera se puede construir un programa de computadora

o utilizar el mtodo grfico que a continuacin se describe:

Despejar f de la ecuacin 3 : f =4(sf)gds

3fusl2 , aplicando logaritmo a esta ecuacin se obtiene:

log(f ) = log4(s f)gds

3f 2 log(usl)

Por otro lado, se conoce Res =dsfusl

, aplicando logaritmo se obtiene log(Res) = log

dsf

+

log(usl). Despejando de esta ecuacin log usl y sustituyendo en la ecuacin anterior se encuentra:

log(f ) = log4(sf)gds

3f 2 (log(Res) log

dsf

) , reacomodando

log(f ) = log4(sf)gfds

3

32 2log(Res) (6)

Al colocar esta ecuacin en la grfica anterior de arrastre para partculas dentro de fluidos, log f

vs log Res, se obtiene una lnea recta con pendiente igual a -2, tal como se muestra enseguida.

A

B

5

El punto A se construye proponiendo Res =1 y encontrando el valor de f , usando la ecuacin 6.

Para el punto B se propone Res = 10000 y se encuentra f , tambin usando la ecuacin 6.

Dependiendo de los valores de los parmetros del sistema se ubica la lnea recta, aunque con

pendiente igual -2. En el punto en que la lnea recta intercepte la curva que muestra la esfericidad

de la partcula, de ah se obtiene tanto el Res como el valor de f, y de cualquiera de ellos se puede

obtener el valor de usl.

Determinacin del dimetro de partcula para sedimentacin en estado estacionario.

En flujo laminar se puede encontrar directamente el dimetro de la partcula que se sedimenta a

una velocidad usl conocida, basta despejar de la ecuacin 5 el dimetro: ds = 18usl

(sf)g

Para otro tipo de flujo el tratamiento mediante el mtodo grafico que evita la prueba y error es el

siguiente. Despejar el dimetro de partcula tanto del Res y como de la expresin de f :

ds =Res

fusl y ds =

3usl2 ff

4(sf)g. Igualando las expresiones de ds :

Res

fusl=

3usl2 ff

4(sf)g, aplicando

logaritmo y reacomodando se encuentra: logf = log4(sf)g

3f2usl

3 + log Res

Esta ltima ecuacin representa una lnea recta con pendiente 1 en el mismo diagrama utilizado,

ver la siguiente figura:

C

D

6

La lnea se traz usando ( Res =1 y f =1) como punto C y ( Res =100 y f =100) como punto D. Para

un problema partcular los puntos C y D se evaluan con los datos del problema. Cuando la lnea

cruce el valor de la esfereicidad de la particula, de ah se encuentra el valor del Res o de f , y con

cualquiera de ellos el valor de ds.

Quitando la restriccin de que la particula no tiene interacciones con otras o con las paredes del

recipiente que las contiene. La velocidad con la que en promedio desciende una particula se define

como usr = Velocidad de sedimentacin retardada

a) Interaccin con otras particulas. usr = usl *Fs , donde Fs =x2

101.82(1x) para x 0.7 y Fs =

0.123x3

1x para x < 0.7, donde x representa la fraccin en volumen del fluido en el

volumen total.

b) usr = usl *Fs* Fp. Para flujo laminar Fp = (1 dsdc

)2.65

y para turbulento

Fp = (1 dsdc

)1.5

donde dc representa el diametro del conducto.

Ejemplo:

Se separan cuarzo y pirita (FeS) por clasificacin hidrulica contina. La alimentacin al clasificador

vara en tamaos entre 10 micras y 300 micras. Se obtienen tres fracciones: Producto de cuarzo

puro, un producto de pirita puro y una mezcla de cuarzo y pirita. La gravedad especfica relativa

del cuarzo es de 2.65 y la de la pirita 5.1 Cul es la gama de tamaos de los dos materiales en la

fraccin mezclada para cada uno de los siguientes casos?

a) El producto de fondo contiene la mxima cantidad de pirita pura. b) El producto de derrame contiene la mxima cantidad de cuarzo puro.

Respuesta:

a) Es posible sacar todo el cuarzo por derrame y dejar slo pirita, aunque al hacerlo se derrame tambin pirita de hasta cierto tamao.

En estado estacionario para una partcula esfrica el balance de fuerzas permiti

encontrar que usl = 4(sl)gds

3fl , donde f es el coeficiente de friccin, cuyo valor se

encuentra en la grafica correspondiente o mediante la ecuacin de Turton- Levenspiel:

f =24

Re(1 + 0.173Re0.657) +

0.413

1+16300Re1.09.

Para determinar el valor de usl se necesita conocer el valor de f , pero ste a su vez

depende del valor de usl, por lo que el problema puede hacer pensar en un

procedimiento iterativo.

7

La solucin a esta parte del problema se va a encontrar de dos maneras: la primera por un mtodo

grfico que elimina la iteracin y despus, como segundo mtodo, se usa el mtodo de Newton

junto con la ecuacin de Turton-Levenspiel.

Mtodo grfico:

Se conoce

2

3

3

)(4logRelog2log

fsfss

gdf . Sustituyendo valores para el cuarzo

con dp=300 micras (0.03cm) se obtiene:

)7.582log(Relog2)01.0(3

)165.2)(1()03.0)(981(4logRelog2log

2

3

ssf f =582.7/Res

2

Para graficar esta ecuacin se asignan valores, ejemplo: A) Para Res=1 se obtiene f =582.7, y B)

Para f =1 se obtiene Res= (582.7)1/2 =24. Colocando estos valores sobre la grfica y trazando la

recta, se obtiene un Res de aproximadamente 14 a una esfericidad de uno.

Utilizando la definicin del Res: 66.41*03.0

01.0*14

))((

))((Re

p

ssl

dV cm/s, que representa la

velocidad del fluido para sacar todo el cuarzo por el derrame, aunque conjuntamente tambin

A

B

8

arrastr pirita, por lo que ahora se va a buscar qu dimetro de pirita fue sacado por el derrame

con la velocidad de fluido de 4.66 cm/s.

Ahora se utiliza el procedimiento de Newton: se propone un valor inicial de la velocidad usando un

valor de f =1. La funcin a resolver es = 4()

3 y la derivada respecto de usl es:

= 1 +

4()

32

24()

3

. Aqu df representa df/dusl, esta derivada se evala de manera

numrica. El programa es el siguiente:

function [v,re,f]= p()

% Funcin para encontrar la velocidad de una esfera en sedimentacin

libre

ds=2.65;% densidad del cuarzo

dl=1;% densidad del agua

g=981; % aceleracin de la gravedad en cm/seg2

d=0.03;% dimetro del cuarzo en cm

vi=0.01;% viscosidad del agua en gr/cm s

v=sqrt((ds-dl)*g*d/(3*dl*1));%velocidad inicial propuesta a f=1

e=1;

while e>0.001

re=d*v*dl/vi;

v1=v+0.0001;

re1=d*v1*dl/vi;

den=1+16300*(re^(-1.09));

den1=1+16300*(re1^(-1.09));

f=(24/re)*(1+0.173*(re^0.657))+0.413/den;%ecuacin de Turton Levenspiel

f1=(24/re1)*(1+0.173*(re1^0.657))+0.413/den1; ecuacin de Turton

Levenspielincrementada

df=(f1-f)/0.0001;% derivada del coeficiente de friccin

fu=v-sqrt(4*(ds-dl)*d*g/(3*f*dl));

dfu=1+2*df*(ds-dl)*d*g/((3*f*f*dl)*sqrt(4*(ds-dl)*d*g/(3*f*dl)));

vn=v-fu/dfu;

e=abs((vn-v)/v);

v=vn;

end

La funcin es llamada en el programa principal de la siguiente forma: [u,Re,f]=fsed() y los

resultados que se obtienen son: usl =4.22 cm/s , Res = 12,663 y f = 3.6338. Valores que son ms

exactos que los obtenidos por el mtodo grfico.

Ahora se requiere determinar el valor del dimetro de pirita que sale a una velocidad de 4.66

4.22 cm/s.

9

Primero se utiliza el mtodo grfico:

Se conoce

323

)(4logReloglog

slf

fs

su

gf

. Sustituyendo valores para la pirita:

)53.0log(Relog)66.4()1(3

)01.0)(11.5)(981(4logReloglog

32

ssf f = 0.53Res

Para graficar esta ecuacin se asignan valores, ejemplo: A) Para Res=5 se obtiene f =2.65, y B)

Para Res=20 se obtiene f =10.6. Colocando estos valores sobre la grfica y trazando la recta, se

obtiene un Res de aproximadamente 8 a una esfericidad de uno

Utilizando la definicin del Res: 017.01*66.4

01.0*8

))((

))((Re

fsl

sp

ud

cm. As, en el fondo queda

pirita de 171 hasta 300 micras.

El segundo procedimiento para determinar el dimetro de la partcula es de nuevo el mtodo de

Newton, usando, ahora, como funcin = ds 3fdpusl

2

4g(sf) y = 1

3dfdpusl2

4g(sf) , siendo

df la derivada de f respecto del dimetro, y es evaluada, tambin, numricamente. El programa es

el siguiente.

B

A

A

10

function [d,re,f]= p()

% Funcin para encontrar el dimetro de una esfera en sedimentacin libre

ds=5.1;% densidad de la pirita

dl=1;% densidad del agua

g=981; % aceleracin de la gravedad en cm/seg2

vi=0.01;% viscosidad del agua en gr/cm s

v=4.22;% velocidad de la pirita

d=3*(1)*dl*v*v/(4*(ds-dl)*g); %dimetro inicial propuesto a f=1

e=1;

while e>0.001

re=d*v*dl/vi;

d1=d+0.0001;

re1=d1*v*dl/vi;

den=1+16300*(re^(-1.09));

den1=1+16300*(re1^(-1.09));

f=(24/re)*(1+0.173*(re^0.657))+0.413/den;%ecuacin de Turton Levenspiel

f1=(24/re1)*(1+0.173*(re1^0.657))+0.413/den1;

df=(f1-f)/0.0001;

fu=d-3*f*dl*v*v/(4*(ds-dl)*g);

dfu=1-3*df*dl*v*v/(4*(ds-dl)*g);

dn=d-fu/dfu;

e=abs((dn-d)/d);

d=dn;

end

Esta funcin es llamada por el programa principal: [d,Re,f]=fsedd(). Los resultados son : dp=

0.0176, Res = 7.43 y f = 5.3155. Resultados muy semejantes a los obtenidos por el mtodo grfico.

b) En el segunda caso se busca la velocidad mxima de fluido que no saca pirita y si una parte del

cuarzo, que es la mxima cantidad de cuarzo puro. El primer paso es encontrar la velocidad de

fluido que saca por el derrame pirita de un dimetro de 10 micras.

Proponiendo flujo laminar

18

)( 2pfssl

gdu

. Sustituyendo valores para la pirita

022.001.0*18

)001.0(981)11.5( 2

slu cm/s, que representa la velocidad del fluido que saca cuarzo

pero no pirita por el derrame.

Verificando Res = (0.001)*(0.022)*1/0.01 < 3.

Utilizando el programa para encontrar la velocidad del fluido cuando la partcula es pirita con un

dimetro de 0.001 cm, se encuentra Vsl = 0.0223 cm/s, Res = 0.0022.

11

Ahora se va a buscar qu dimetro de cuarzo fue sacado por el derrame con la velocidad de fluido

de 0.022 cm/s. Proponiendo flujo laminar y despejando para el dimetro )(

)(18

fs

slp

g

ud

.

Sustituyendo valores para el cuarzo

0015.0)165.2(981

)022.0)(01.0(18

sd cm. Verificando Res= (0.0015)*0.022*1/0.01 < 3.

Por el derrame sale cuarzo cuyo dimetro est entre 10 y 15 micras.

Utilizando el mtodo numrico se encuentran usl = 0.0016 cm/s, Res = 0.0034.

Ejemplo:

A quin podra ocurrirle si no a Joe mala suerte? Joe sale de caza, se pierde, dispara tres

balazos al aire y lo que consigue es que las tres balas caigan directamente golpeando su cabeza

Qu velocidad llevaban las balas cuando le golpearon?

Datos: masa de la bala = 0.01179 kg, = 0.806, bala= 9500 kg/m3, aire = 1.2 kg/m3, aire = 0.02 cp

Respuesta : Vol bala= m/= 0.01179/9500 = 1.24*10-6 m3 = (/6)d3, desf = 0.0133 m.

ds = 0.806*0.0133 = 0.0107 m. Se conoce f =4

3

(sf)gds3f

f2

1

Res2 =

4

3

(95001.2)9.80.010731.2

(2105)21

Res2 =

4.56 108/Res2

Para ubicar en el siguiente grfico dos puntos: considerar a) si Re = 30,000 entonces f=0.5 y b) si

Re = 10,000 entonces f = 4.56. En la figura siguiente se observa que la lnea que une los dos

puntos cuando =0.806 se obtiene un Res de 20000. As 20000= dusl/ = 0.0107*usl*1.2/2*10-5,

de donde usl = 31.15 m/s (112 km/h).

12

Ahora se resuelve el mismo problema incluyendo la dinmica de la bala.

Primero se analiza el comportamiento de la bala cuando es disparada de un revolver en forma

vertical a una velocidad de 300 m/s. El modelo dinmico de la misma ya se obtuvo en clase (dj

vu) .

mdv

dt= mg + wg FR

donde m es la masa de la bala(0.0117kg), w es la masa de fluido desplazada(1.24*10-6*1.2 =

1.488*10-6 kg), y FR = f*Ap*f*u2/2 = f*(*0.01072/4)*1.2*u2/2, siendo Ap el rea proyectada de la

bala en direccin del movimiento. Sustituyendo se obtiene : du/dt = -9.81 4.576*10-3fu2

La expresin para el coeficiente de friccin a diferentes esfericidades viene dada por la ecuacin

de Clift-Gauvin:

=24

(1 + ) +

1+/ , donde A= exp(2.3288-6.4581*+2.4486*2),

B=0.0964+0.5565*, C=exp(4.905-13.8944*+18.422*2-10.2599*3) y

D=exp(1.4681+12.2584*-20.7322*2+15.8855*3)

El siguiente programa en Matlab resuelve el problema:

13

yo=[300 0];

[t,v]=ode45(@dinamsedi,[0 5.77], yo);

plot(t,v)

La funcin llamada dinamsedi es:

function dv= d( t,v )

d=0.01079;

ro=1.2;

vi=0.000018;

re= d*v(1)*ro/vi;

e=0.806;

a1=2.3288-6.4581*e+2.4486*e*e;

a=exp(a1);

b=0.0964+0.5565*e;

c1=4.905-13.8944*e+18.422*e*e-10.2599*e*e*e;

c=exp(c1);

d1=1.4681+12.2584*e-20.7322*e*e+15.8855*e*e*e;

d=exp(d1);

f=(24/re)*(1+a*re^b)+c/(1+d/re);

dv(1)=-9.8- 0.004576*f*v(1)*v(1);

%dv(1)=-9.8; % sin friccin

dv(2)=v(1);

dv=dv';

end

La bala sube aproximadamente 320 m. Si se desprecia la friccin, la bala alcanza una altura de

4500m en aproximadamente 32 s. Ahora se va a analizar el caso en que la bala desciende de una

altura de 320. El modelo dinmico se modifica a:

mdv

dt= mg + wg + FR

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

250

300

350

Tiempo (s)

V(m

/s)

y

a

ltura

(m

)

14

En el programa basta con modificar: dv(1)=9.8- 0.004576*f*v(1)*v(1); y yo=[0.1 320];

plot(t,v(:,1))

Esta grfica indica que la velocidad ltima de la bala

es de aproximadamente 38 m/s, aunque se muestre

solo hasta 11s, velocidad final de la bala ya no cambia

si se simula a tiempos mayores. Alrededor de 11 s es

el tiempo que tarda la bala en caer una distancia de

320m. A la derecha se observa el ngulo de disparo y

sus riesgos de daar a una persona al caer la bala.

0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25

30

35

40

Tiempo(s)

Velo

cid

ad (

m/s

)