Segmentation des images médicales

Méthodes de segmentation d’images médicales tridimensionnelles

Chapitre I

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La segmentation est une des étapes critiques de l’analyse d’images qui conditionne la qualité des traitements d’images effectués ultérieurement. Elle permet d’isoler dans l’image les objets sur lesquels doit porter l’analyse. En effet, à partir des résultats de la segmentation, il est possible d’identifier les objets d’une scène. Par rapport aux images en niveaux de gris, la segmentation d’images couleur est un domaine de recherche assez récent. En effet, pendant plusieurs années, beaucoup d’attention a été focalisée sur la segmentation d’images en niveaux de gris.

Cependant, des études montrent que du fait de l’adaptation à la lumière, l’œil humain peut seulement discerner quelques douzaines de niveaux d’intensités dans une image complexe, mais reconnaît des milliers de variations chromatiques. Ainsi, l’utilisation des attributs couleurs pour la segmentation d’images devrait fournir de meilleurs résultats que l’attribut d’intensité, dès lors que ces attributs fournissent une caractéristique naturelle sur les scènes observées. [Bitam.A, 2006]

Introduction


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I.1 Pourquoi le traitement d’image ?

« Traitement d’image » est un terme assez vague, et il semble opportun de commencer par définir les termes.

Définition de l’image

L’image est une représentation d’une personne ou d’un objet par la peinture, la sculpture, le dessin, la photographie, le film ou divers procédés électroniques de visualisation.

C’est aussi un ensemble de structure d’informations qui, après affichage su l’écran, a une signification pour l’œil humain.

Chaque point de l’image peut être représentée par une fonction f (x’, y’,휆 , t), où x’, y’ sont les coordonnées spatiales d’un point de l’objet décrit dans un système de coordonnées cartésiennes, 흀 est la longueur d’onde rayonnée par le point et t le temps. En réalité, à chaque instant, on ne voit qu’une image fixe et l’image peut être simplifiée sous la forme f (x’, y’, 휆 ).

Pour un système détecteur ayant une courbe de réponse spectrale Vs (휆), l’image observée par celui-ci peut être représentée par la relation suivante :

Ι (x’, y’) = ∫ 푓(푥 ′,푦 ′,휆 )푉푠(휆 )푑휆∞ (Ι.1)

L’image Ι (x’, y’) est donc la somme des images observées à chaque longueur d’onde휆 , pondérée par un coefficient de sensibilité Vs (휆). L’énergie associée à un point de l’image est la somme des énergies associées à chaque longueur d’onde du spectre. Sous cet aspect, l’image est inexploitable par ordinateur. Ainsi, il est nécessaire de procéder à sa numérisation.

[Ameur.Z, 2001]

Définition de Traitement (Larousse)

Ensemble des opérations relatives à la collecte, à l’enregistrement, à l’élaboration, à la modification, à l’édition, . . . de données.

Mettons de cotés les termes enregistrement et édition. Le principe général du traitement d’image est donc à quelques détails près toujours le même (figure Ι. 1): un système reçoit des images, y applique un traitement, et produit une information de nature liée à l’application visée. [R. ENFICIAUD, 2007]


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Figure 횰.ퟏ : Principe du traitement d’image

Une source de rayonnement envoie des ondes sur un objet, qui sont ensuite réfléchies et collectées par un capteur. Le capteur transforme ces ondes en un ensemble de points. Ces points sont traités et une information est produite en sortie du système.

On peut résumer le traitement d’image en quatre étapes principales :

Acquisition des images Mise en œuvre des processus physiques de formation des images suivis d'une mise en forme pour que ces images puissent être traitées par des systèmes informatiques.

Traitement des images Son but : améliorer ces images lorsqu'elles possèdent du bruit ou des défauts.

Segmentation des images Son but : construire une image symbolique en générant des régions homogènes selon un critère défini à priori.

Analyse des images Consiste à extraire des paramètres ou des fonctions représentatives de l'image ou des régions.

Nous pouvons illustrer ces étapes par un exemple simple tiré du cours de [L.Brun] Figure I.2.

Figure 횰.ퟐ Étapes du traitement d’images


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I.2 Les images médicales

L’imagerie médicale représente l’ensemble des techniques permettant d’obtenir des images à partir de différents types de rayonnements (ultrasons, rayons X, etc.).

Au cours des deux dernières décennies le traitement des images médicales est devenu un outil fondamental dans la médecine, et le traitement des images cérébrales en est un paradigme.

Le développement rapide des techniques d’acquisition des images médicales a permis au personnel médical d’avoir une grande variété de données appartenant à des images de différentes modalités, à titre d’exemple l’échographie ultrasonore, le scanner, la tomographie par émission de positons, la tomographie par émission de photon unique et l’imagerie par résonnance magnétique IRM.

On possède donc un choix multiple de modalités d’acquisition d’images tridimensionnelles. Seulement on s’est trouvé devant le fait que chacune des images sources possède ses spécificités. Citons l’IRM qui permet de connaître la densité et la structure des protons contenus dans les tissus du corps, notamment du cerveau. Elle nous renseigne donc sur la nature des tissus internes.

Cependant, l’analyse d’une telle quantité de données basée sur l’inspection visuelle reste très difficile et requiert une grande dépense de temps. Souvent, l’information contenue dans une image médicale ne peut pas être entièrement captée par l’œil humain et vice-versa, les ordinateurs n’ont pas le sens pratique d’un être humain ou l’expérience acquise par les experts en médecine. Par conséquent, il est souhaitable de combiner les deux, experts et ordinateurs, dans un compromis optimal pour améliorer les résultats de l’étendue des applications où le traitement des images médicales est de nos jours appliqué. [Francisco. J ; 2007]

I.3 Aspects fondamentaux de la segmentation d’images

La segmentation en général consiste au découpage spatial de l'image en zones homogènes, elle joue un rôle prépondérant dans le traitement et l'analyse d'image et la vision par ordinateur.

En analyse d'images, on distingue les traitements de bas niveau et les traitements de haut niveau. Cette distinction est liée au contenu sémantique des entités traitées et extraites de l'image.

Les traitements de bas niveau opèrent en général, sur les grandeurs calculées à partir des valeurs attachées à chaque point de l'image sans faire nécessairement la liaison avec la réalité qu'elles représentent. Par exemple, la détection des contours est un traitement de bas niveau qui est effectué «sans comprendre» l'image. Le contour détecté peut très bien ne pas correspondre à un bord d'objet dans la réalité et ne présenter aucun intérêt, Ainsi les traitements de bas niveau opèrent plutôt sur des données de nature numérique.

A l'opposé, les traitements de haut niveau s'appliquent à des entités de nature symbolique associées à une représentation de la réalité extraite de l'image. Ils sont relatifs à l'interprétation et à la compréhension de l'image et sont exprimés avec des mots du vocabulaire de l'application. Par exemple, des zones d'une image aérienne peuvent être caractérisées par leur forme (rectangulaire, linéique,..), être étiquetées avec les termes : bâtiment, route, bosquet, ombre, etc...


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Des relations entre ces zones sont exploitées pour comprendre la scène étudiée, par exemple : une route ne peut pas être incluse dans un bosquet. [Ammadi.A et Baslam.A; 2008]

Il est difficile de définir d’une manière absolue, une bonne segmentation. La segmentation, souvent, n’est pas une fin en soi, le choix d’une technique est lié à :

La nature de l’image (éclairage, contours, texture…) Aux opérations en aval de la segmentation (compression, reconnaissance des formes,

mesures…) Aux primitives à extraire (droites, régions, textures,…) Aux contraintes d’exploitation (temps réel, espace mémoire, …)

Les différentes étapes permettant la segmentation d’une image sont résumées dans la figure Ι. 5 [Ameur.Z, 2005]

Figure 횰.ퟓ : Étapes de segmentation d’images

Le prétraitement consiste en diverses opérations visant à améliorer la qualité de l’image et à

faciliter la segmentation. Ces opérations sont principalement le rehaussement du contraste, la modification des histogrammes et la réduction du bruit.

L’analyse a pour but d’extraire les paramètres caractéristiques permettant de classifier les pixels de l’image.

La classification est une opération préalable à la segmentation ; l’image étant formée d’un certain nombre de classes, la classification revient à affecter chaque pixel de l’image à l’une de ces classes selon des critères appropriés.

Image originale

Prétraitement Analyse

Classification Segmentation Image segmentée


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La segmentation est un traitement de bas niveau qui consiste à créer une partition de l’image en sous-ensembles appelés régions. La segmentation est alors obtenue par extraction des composantes connexes des pixels appartenant à la même classe. Ainsi une région sera constituée de pixels d’une même classe. Mais, il peut aussi y avoir dans l’image plusieurs régions correspondant à une même classe. De façon plus précise, on peut définir la segmentation comme étant une partition d’une image Ι en n ensembles Ri appelés régions tels que :

1) ⋃ 푅푖 = 퐼 2) Ri⋂푅j = Φ 3) Les sous ensembles Ri, i=1, …, n sont connexes 4) Il existe un prédicat P tel que : P(Ri)=vrai, ∀ i=1, …, n 5) P (Ri ∪ Rj) = faux, ∀(푖, 푗), 푖 ≠ 푗 푒푡 Ri, Rj sont contigües

Où P désigne un prédicat défini sur l’ensemble des points de Ri et Φ un ensemble vide. La première étape et la deuxième de cet algorithme signifient que R est partitionné en n

sous-ensembles disjoints deux à deux.

La troisième étape, la quatrième et la cinquième imposent à chaque pixel d’une région de satisfaire à la même propriété au sens du prédicat P. Le prédicat P n’est plus vrai pour la réunion de deux régions adjacentes.

Il est évident que le résultat de la segmentation dépend du choix du prédicat P. En effet, le choix de ce dernier est influencé par la résolution des deux questions suivantes :

Pour chaque image, quelles sont les propriétés qui permettent de définir les régions ? Dans quelle mesure, les propriétés de chaque pixel dans une même région doivent

elles être identiques ?

Les réponses à ces deux questions traduisent la mesure de la qualité de la segmentation. Une segmentation est d’autant meilleure que le coefficient de corrélation entre les entités du monde réel se trouvant sur l’image (telles que les objets, les surfaces ou les parties d’objets) et les régions extraites par la segmentation, est voisin de l’unité.

Le prédicat à la base de la définition des régions, doit être choisi à travers des descripteurs de pixels susceptibles de permettre une bonne identification des objets.

Parmi ceux-ci on peut citer : le niveau de gris, la couleur, la texture, la géométrie ou d’autres paramètres pertinents. [Ameur.Z, 2005]


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I.4 Au-delà de la deuxième dimension, 2D

De l’héritage des images 2D, il reste que les images 3D sont souvent produites comme une succession de coupes. Le praticien doit mentalement empiler les coupes pour se faire une représentation du volume des données observées. Cela conduit à une interprétation subjective des données, sans l’aide de l’informatique, ça nécessitait une agilité d’esprit et une expérience importante.

Puis on a commencé à maitriser et utiliser au mieux des logiciel de représentation 3D avec le voxel ; contraction de « volumetric pixel » mot anglais; qui est un pixel en 3D. Ce dernier est employé pour la représentation d'espaces tridimensionnels par traitement numérique de coupes 2D issues des machines d'investigation (Scanner, IRM ...). On peut dire que les images médicales 3D sont une représentation d’une partie du corps qui est décrite par une matrice à 3 dimensions

Figure 횰.ퟑ Représentation du voxel

I(x,y,z) mesure certaines propriétés physiques ou chimiques du corps humain dans un élément de volume.

I.5 Classification des méthodes de segmentation selon la dimensionnalité

Diverses classifications des méthodes de segmentation peuvent être effectuées, si l’on s’intéresse à la dimensionnalité nous arrivons à répartir celles-ci en deux groupes : la segmentation 2D et la segmentation 3D.

En ce qui concerne les méthodes de segmentation 2D, elles visent à définir la région d’intérêt sur les coupes. Les méthodes 2D sont appliquées sur toutes les coupes séparément et cela, sans tenir compte du résultat obtenu sur les coupes précédentes. La reconstruction du volume d’intérêt se fait par l’empilement des différentes coupes, ce qui forme un volume d’intérêt (qui est donc constitué par la superposition des régions d’intérêt). Ce type de segmentation offre des résultats relativement satisfaisants, cependant l’un de ces inconvénients est qu’elle ne prend pas l’interaction spatiale exprimé par les pixels le long de la troisième dimension, ce qui peut conduire à la reconstruction d’un volume non homogène.

Problème que les méthodes de reconstruction 3D contournent grâce à une exploitation de l’information volumique de l’organe initialement observé, cela est possible notamment par l’extension de la segmentation 2D à la troisième dimension.


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Une des manières les plus simples pour éviter la non homogénéité du volume d’intérêt dans les méthodes 2D est d’initialiser la segmentation des coupes en cours d’analyse aux résultats obtenus sur la coupe précédente, nous nous assurons ainsi un volume d’intérêt homogène. [ALIOUCHE.W & DJADI.N, 2008]

I.6 Les différentes approches de segmentation : Etat de l’art

La segmentation est un vaste sujet d’étude et fait partie des grands thèmes de l’imagerie numérique. A ce titre, de nombreuses publications font état de segmentations. Comment préférer l’une ou l’autre est un débat ouvert qui fait rage dans bien des laboratoires.

Du fait de cette diversité, il est difficile de définir, de manière absolue, une « bonne » segmentation qui fait référence aux notions de différence et de similarité comme les perçoit le système visuel humain et ceci donne naissance à deux approches : contour (frontière) et approche région

La notion de « frontière » est associée à une variation d'intensité ou à une discontinuité entre les propriétés de deux ensembles connexes de points.

La notion de « région » fait référence à des groupements de points ayant des propriétés communes [Ammadi.A et Baslam.A; 2008]. Dans ce cas on observe une parfaite dualité entre les contours et les régions.

Il existe évidemment de nombreuses méthodes de segmentation :

Fusion de région [1] ; Diffusion anisotropique [2] ; Algorithmes de watershed [3] ; Contours actifs ou «snakes» [4] ; Contours géodésiques [5] ; Modèles déformables [6] ; Kernel-k-means [7]; Chaînes de Markov [8] ; Algorithmes génétiques [9] ; Etc....

Nous allons donc présenter dans cette section diverses techniques connues de segmentation en les organisant selon l’approche qui les régit. Ainsi, nous avons retenu cinq approches selon le rapport de recherche de Jérémy Lecoeur et Christian Barillot sur la segmentation des images médicales cérébrales [J.Lecoeur - C.Barillot, 2008] à l’INRIA(1), qui sont les segmentations utilisant les contours comme critère de décision, celles basées sur les régions, celles basées sur la forme, celles faisant appel à la théorie des graphes et enfin celles préférant une approche structurelle. Cette classification et ses ramifications plus poussées sont représentées sur la figure Ι. 3. [J.Lecoeur - C.Barillot, 2008]

(1) INRIA : INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE


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Figure 횰.ퟔ : Classification des différentes méthodes de segmentation


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I.6.1 Contour

Dans l’approche « contour » (ou « frontière »), on considère que les primitives à extraire sont les lignes de contrastes séparant des régions de niveaux de gris différents et relativement homogènes, ou bien des régions de texture différentes. En pratique, il s’agit de reconnaitre les zones de transition et de localiser au mieux la frontière entre les régions. On distingue notamment les modèles dérivatifs et les modèles d’espace-échelle.

I.6.1.1 Espace –échelle

La notion d’espace-échelle (en anglais scale-space) est utilisée pour représenter simultanément tous les niveaux de résolution d’une image. Ces méthodes consistent à définir une image comme une superposition hiérarchique de différents niveaux de description. Elles considèrent l’échelle d’une image comme son degré de lissage et cette grandeur est régie à l’aide des équations de la diffusion. [M.Mohia Yacine, 2006]

Figure 횰.ퟕ : Exemple de scale space gaussien

Lachmann a exploré différentes techniques scale-space appliquées à l’imagerie médicale 3D.

Une revue des différentes techniques de segmentation en scale-space a été faite par Henkel en 1995. Plus récemment, ces idées de segmentation multi-échelle liant les structures d’images au travers des différentes échelles a été repris par Florack and Kuijper. [J.Lecoeur - C.Barillot, 2008]

I.6.1.2 Modèles dérivatifs

Les modèles dérivatifs consistent à modéliser les contours ou des zones d’images et supposent que l’image numérique provient de l’échantillonage d’une fonction scalaire à support borné et dérivable en tout point. Ces variations d’intensité de l’image peuvent correspondre à des variations d’illuminations (ombres), des changements d’orientation ou de distance à l’observateur, des changements de réflectance de surface, des variations d’absorption des rayons, etc. Or, dans le traitement d’une image numérique, toutes ces grandeurs sont condensées en une seule variable bi ou tridimensionnelle; dans le cas monochrome, c’est l’intensité lumineuse.


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On distingue trois types de contours simples :

Marche d’escalier : le contour est net (contour idéal)

Rampe : le contour est plus flou

Toit : il s’agit d’une ligne sur un fond uniforme

(a) Marche (b) Rampe (c) Toit

Figure 횰.ퟖ : Modèles de contours

Ce sont des contours idéaux (Figure Ι. 8) qui ont permis une approche de détection par l’opérateur gradient et laplacien. Les variations locales d’intensité constituent la source de ces opérateurs ; ainsi, le gradient est une fonction vectorielle des pixels [i, j] :

∇푓[푖, 푗] = [푖, 푗] , [푖, 푗] (Ι.5)

Alors que le laplacien est une fonction scalaire de [푖, 푗] :

∆푓[푖, 푗] = [푖, 푗] + [푖, 푗] (Ι.6)


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(a) Profil du contour (b) Norme du gradient (c)Laplacien

Figure 횰.ퟗ : Opérateurs dérivatifs

Comme on le voit sur la figure Ι. 9 , on peut trouver le point de contour par détermination du maximum de la norme du gradient ou bien en étudiant le passage par zéro du laplacien.

Monga et coll ont utilisé le paradigme des dérivées partielles dans le cadre de la segmentation d’images biomédicales, notamment appliqué aux IRM et aux scanners cardiaques. Ils ont adapté les filtres de Deriche et de Shen à des images en 3 dimensions via une implémentation récursive et ont fait le lien entre ces techniques de détection de contours et la modélisation de surface. Ces techniques ont cependant des potentiels limités et ne sont plus guère utilisées de nos jours. [J.Lecoeur - C.Barillot, 2008]

I.6.2 Région

L’approche « région » de la segmentation utilise des techniques d’identification et de localisation d’ensembles connexes de pixels. Les méthodes par classification ont pour but de partitionner les images en plusieurs classes - comme leur nom l’indique - et constituent le plus souvent une étape dans la segmentation d’objet à proprement parler. Cependant, leur utilisation dans les méthodes de segmentation étant très répandue, il nous a paru judicieux d’en expliquer les ressorts.

Ces différentes classifications peuvent être séparées selon plusieurs critères : probabilistes ou déterministes, paramétriques ou non, supervisées ou non.


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I.6.2.1 Classification Déterministe Supervisée

Réseaux de neurones

Un réseau de neurones artificiels est en général composé d’une succession de couches dont chacune prend ses entrées sur les sorties de la précédente. Chaque couche i est composée de Ni neurones (Figure 횰.ퟏퟏ) prenant leurs entrées sur les Ni−1 neurones de la couche précédente. A chaque synapse est associé un poids synaptique, de sorte que les Ni−1 sont multipliés par ce poids, puis additionnés par les neurones de niveau i, ce qui est équivalent à multiplier le vecteur d’entrée par une matrice de transformation. Mettre l’une derrière l’autre les différentes couches d’un réseau de neurones reviendrait à mettre en cascade plusieurs matrices de transformation et pourrait se ramener à une seule matrice, produit des autres, s’il n’y avait à chaque couche, la fonction de sortie qui introduit une non-linéarité à chaque étape.

Ceci montre l’importance du choix judicieux d’une bonne fonction de sortie : un réseau de neurones dont les sorties seraient linéaires, n’aurait aucun intérêt.

Au delà de cette structure simple, le réseau de neurones peut également contenir des boucles qui en changent radicalement les possibilités mais aussi la complexité. De la même façon que des boucles peuvent transformer une logique combinatoire en logique séquentielle, les boucles dans un réseau de neurones transforment un simple dispositif de reconnaissance d’entrées, en une machine complexe capable de toutes sortes de comportements.

Figure 횰.ퟏퟏ : Structure d’un neurone artificiel. Le neurone calcule la somme de ses entrées puis cette valeur passe à travers la fonction d’activation pour produire sa sortie.

Classiquement, en segmentation d’images médicales, les réseaux de neurones sont utilisés comme classifieurs. Les poids synaptiques sont déterminés par apprentissage sur une base d’image dont le résultat de segmentation est connu, on parle alors de réseau de neurones supervisé. Souvent, les neurones d’entrées sont les différentes IRM disponibles et les neurones de sorties nous donnent alors les différentes classes recherchées. Il est en outre possible d’introduire des informations a priori en plus des volumes et donc de donner plus de robustesse à cette classification.


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Mais l’inconvénient majeur de cette méthode par réseaux de neurones est l’étape d’apprentissage qui demande une intervention manuelle pour donner cette vérité terrain dont le réseau a besoin pour calculer les poids synaptiques.

I.6.2.2 Classification Déterministe Non Supervisée

K-Moyennes L’algorithme des k-moyennes classe les objets selon leurs attributs en k parties (ou clusters)

en supposant que les attributs des objets forment un espace vectoriel. L’objectif est de minimiser la variance intra-cluster :

푉 = ∑ ∑ 푥 − 휇∈2 (Ι.7)

Où 푆 , i = 1, 2, ..., k sont les k clusters et 휇 est le centroide ou point moyen des points 푥 ∈ 푆 .

L’algorithme commence par partitionner les points en k ensembles initiaux, soit au hasard, soit en utilisant une heuristique. Il calcule ensuite le centroide de chaque ensemble et construit une nouvelle partition en associant chaque point avec le centroide le plus proche. S’ensuit une alternance entre calcul des centroides des nouveaux clusters et appariement des points avec le centroide le plus proche jusqu’à convergence.

Celle-ci est obtenue quand plus aucun point ne change de groupe (ou bien quand les centroides ne changent plus).

Cet algorithme est très populaire car extrêmement rapide en pratique et a été utilisé pour segmenter le cerveau avec des résultats plutôt satisfaisants mais la qualité non constante de la solution en fait un algorithme à proscrire pour une automatisation du travail.

C-moyennes floues et c-moyennes floues adaptatives

L’algorithme des c-moyennes floues (ou fuzzy c-means - FCM- en anglais) introduit par Dunn [55] généralise l’algorithme des k-moyennes en permettant la classification floue basée sur la théorie des ensembles flous. Bezdek s’y est intéressé et a developpé cet algorithme. Dans le cas des c-moyennes floues, la fonctionnelle 픏 à minimiser est :

픏 = 퐽 ( 푥, 푣:푦) = (푥 ) ‖푦 − 푣 ‖

Où n est le nombre de points à traiter, c le nombre de classes désirées,풘 ∈ [ퟏ, +∞]est le poids de fuzzycation, 퐯 = (푣 , . . , 푣 )est le vecteur des centres de classes,‖∙‖ est un produit scalaire où A est une matrice définie positive et퐱 = [푥 ] ∈ 푅 × ,avec 푥 ∈ [0, 1]∀ 1 ≤ 푖 ≤ 푐 et 1 ≤ 푘 ≤ 푛, est la c-partition floue de y et doit vérifier :


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푥 = 1 푝표푢푟 1 ≤ 푘 ≤ 푛

푥 > 0 푝표푢푟 1 ≤ 푖 ≤ 푐

Xue et coll utilise les FCM pour combiner le filtre moyen au filtre médian local afin de réaliser la segmentation locale de volumes IRM de cerveaux. Pham et coll. ainsi que Jiang et coll. utilisent les inhomogéneités d’intensité des volumes IRM dans la fonctionnelle L et obtiennent ainsi un FCM adaptatif qui permet une meilleur segmentation.

Mean Shift

L’algorithme du Mean Shift, introduit par Fukunaga puis remis au got du jour par Comaniciu, recherche le ”mode” ou point de plus haute densité d’une distribution de données. Dans cet article, les auteurs décrivent les bases de leur méthode (estimation par noyau de Parzen) ainsi que deux principaux champs d’applications, à savoir recherche de mode et filtrage de données. Une méthode élégante pour localiser les maxima locaux d’une fonction de densité est la recherche des zéros de son gradient.

Le gradient de l’estimation non paramétrique par le noyau 퐾 est :

∇푓(푥) = ∇푓(푥) =1푛

∇퐾 (푥 − 푥 )

(a) IRM d’origine (Brain Web) (b) Vérité terrain (c) Résultat de la segmentation

Figure 횰.ퟏퟏ : Résultats de segmentation obtenus par Mean Shift


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La procédure de segmentation dans ce cadre est la suivante : 1. Considérer les images en termes de caractéristiques (via couleur, gradient, mesures de texture, etc.) 2. Choisir une répartition uniforme des fenêtres de recherche initiales. 3. Calculer le centroide des données pour chaque fenêtre. 4. Centrer la fenêtre de recherche sur le centroide de l’étape 3. 5. Répéter les étapes 3 et 4 jusqu’à convergence. 6. Fusionner les fenêtres se trouvant au même point final. 7. Grouper les données traversées par les fenêtres fusionnées.

Keselman et Micheli-Tzanakou ont montré que cet algorithme était applicable pour l’extraction et la caractérisation de régions d’intérêts dans les images biomédicales. Mayer et coll. utilisent ce paradigme de manière adaptative pour segmenter les IRM cérébrales. Jiménez-Alaniz et coll. proposent dans [de faire une estimation de densité non-paramétrique par un mean shift conjointement avec une carte de confiance de bords.

I.6.2.3 Classification Probabiliste Paramétrique

Mélange de Lois

Le problème classique de la classification automatique est de considérer qu’un échantillon de données provienne d’un nombre de groupes inconnus a priori qu’il faut retrouver. Lorsqu’on part du postulat que ces groupes suivent une loi de probabilité (quelconque), alors on se place nécessairement dans le cadre des modèles de mélanges. Si, en plus, on considère que les lois que suivent les individus sont normales, alors on se place dans le cadre des modèles de mélanges gaussiens.

Par la suite, on notera x, un échantillon composé de 푛 individus (풙 , . . . , 풙 ) appartenant à ℝ (Caractérisés par p variables continues). Dans le cadre des modèles de mélanges gaussiens, on considère que ces individus appartiennent chacun à un des 푔 (푔 étant fixé a priori) 퐺 , . . ,퐺 suivant chacun une loi normale de moyenne 흁 , (푘 = 1, . . . ,푔) et de matrice de variance-covariance ∑ .D’autre part, en notant 휋 , . . ,휋 les proportions des différents groupes, 휽 = (흁풌, 횺풌)le paramètre de chaque loi normale et 휱 = 휋 , . . ,휋 ,휽 , . . ,휽 le paramètre global du mélange, la loi mélange que suit l’échantillon peut s’écrire

푔(풙,횽) = 휋 푓(풙,휽 )

Avec 푓(푥,휽 ) la loi normale multidimensionnelle paramétrée par휽 . La principale difficulté de cette approche consiste à déterminer le meilleur paramètre 횽. Pour cela, on cherche habituellement le paramètre qui maximise la vraisemblance, donnée dans ce cas, par

퐿(푥;휱) = 푙표푔 휋 푓(푥 , 휃 )


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Une fois l’estimation effectuée, il s’agit d’attribuer à chaque individu la classe à laquelle il appartient le plus probablement. Pour cela, on utilise la règle d’inversion de Bayes. D’après celle-ci, on a :

푃(퐺 \푥) =푃(푥\퐺 ) ∙ 푃(퐺 )

푃(푥) ,

Ce qui se traduit, dans notre cas, par

푃(퐺 \푥 ) =휋 푓(푥 , 휃 )

∑ 휋 푓(푥 , 휃 )

Il suffit alors d’attribuer chaque individu 푥 à la classe pour laquelle la probabilité a posteriori 푃(퐺 \푥 ) est la plus grande.

I.6.2.4 Classification Probabiliste Non-Paramétrique

Champs Aléatoires de Markov

On utilise les champs de Markov pour modélisent les interactions entre un voxel et son voisinage. Notons 풙풔 la valeur du descripteur au site s, 풙풔 = (풙풔)풕 풔 la configuration de l’image excepté le point s, 푽풔 le système de voisinage et 푼(풙) = ∑ 푼풄풄∈푪 l’énergie globale de l’image (c’est la somme des potentiels de toutes les cliques). X est un champ de Markov si et seulement si :

푃(푋 = 푥 /푥 ) = 푃(푋 = 푥 /푥 , 푡 ∈ 푉 )

Autrement dit, le niveau de gris d’un site ne dépend que des niveaux de gris des pixels voisins. Les probabilités conditionnelles locales définies ci-dessus seront calculées par le théorème de Hammersley-Clifford grâce au champ de Gibbs donné par :

푃(푋 = 푥) =1푍푒푥푝 (−푈(푥))

Où 푍 = ∑ 푒푥푝(−푈(푥))Ω . La définition du champ de markov peut se réecrire alors :

푃(푋 = 푥 /푥 ) =exp −푈 푥

푉∑ exp (−푈 (휉/푉 ))

Le formalisme des champs de Markov permet d’effectuer une segmentation de l’image en

prenant en compte les interactions avec les pixels voisins. On considère que les k régions que l’on souhaite segmenter forment une partition de l’image. Chaque région est représentée par une fonction caractéristique et identifiée par une étiquette dans {1, ..., k}. Le but de la segmentation est d’estimer le champ des étiquettes 푋 à partir d’une réalisation bruitée de l’image푌. La démarche de la segmentation peut se formaliser comme un problème d’estimation bayesienne.


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On note 푺 l’ensemble des sites de l’image, 푋 le champ des étiquettes et 푌 le champ des observations (image de départ), on a donc dans le cas d’une image en 256 niveaux de gris :

푋 푆 → {1, … , 푘}푠 ↦ 푥 et 푌 푆 → [0, … ,255]

푠 ↦ 푦

En supposant que la réalisation de l’image est indépendante pour chaque pixel on a :

푃(푋\푌) = 푃(푦 \푥 )

Grâce au théorème de Bayes, il est possible d’exprimer la probabilité à posteriori d’un champ d’étiquettes étant donnée une observation푌. Connaissant푌, le champ des étiquettes est un champ aléatoire de distribution :

푃(푋\푌) =푃(푌\푋) × 푃(푋)

푃(푌)

푃(푌) est un terme constant et ne nous intéresse pas pour l’estimation de X. 푃(푋\푌) mesure la similarité de la classification aux données que l’on observe, c’est le terme d’attache aux données. 푃(푋) est une probabilité a priori sur la distribution du champ d’étiquettes. On peut modéliser cet a priori grâce au modèle de Potts qui tend à favoriser des zones compactes et uniformes.

푃(푋) =1푍푒푥푝 (−훽 ∅(푥 − 푥 )

{ , }

)

훽 Joue le rôle de coefficient de régularisation. Plus 훽 est grand, plus la transition entre régions est pénalisée et plus les régions obtenues sont grandes. Grâce au théorème de Hammersley-Clifford, on peut passer de la représentation probabiliste à une représentation en énergie. En prenant le logarithme des probabilités on obtient :

푈(푥) =(푦푠 − 휇푥푠)

2

2휎푥푠+

1

2log (2휋)휎푥푠 + 훽 휙(푥푠 − 푥푡)

퐶={푠,푡}∈

Le choix de la fonction ∅ influe grandement sur le résultat (notamment en ce qui concerne la convexité de 푈(푥), ainsi, le choix d’une forme quadratique pure qui correspond à la régularisation de Tikhonov pénalise les forts gradients, donnant alors une segmentation plus lisse.


Chapitre I

Segueni Lamia 20

Une estimation du champ des étiquettes peut se faire suivant le critère du Maximum a posteriori. Cela se fait en minimisant l’énergie grâce à l’algorithme des modes conditionnels itérés ou du recuit simulé. Une autre façon d’estimer le champ des étiquettes est d’utiliser une fonction de cot proportionnelle au nombre de pixels mal classifiés ce qui conduit à l’algorithme du maximum a posteriori de la marginale. Les effets de volumes partiels des IRM peuvent être gérés par des Champs de Markov Flous.

Machine à Vecteurs de Support

Le principe des machines à vecteurs de support (en anglais Support Vector Machine ou SVM) est simple : nous allons déplacer un problème complexe, souvent non-linéaire, dans un espace où le problème est linéaire ou, tout du moins, plus simple. Ainsi, on va projeter les données par une transformation ∅dans un espace de dimension supérieure et calculer un séparateur dans cet espace de Hilbert séparable.

Ce séparateur est appelé hyperplan et les points de caractéristiques les plus proches de celui-ci définissent des plans appelés vecteur de support. Pour obtenir une segmentation robuste, il faut maximiser la marge, i.e. la distance entre l’hyperplan et les vecteurs de support.

(a) IRM d’origine (b) Segmentation du cerveau complet avec la tumeur

Figure 횰.ퟏퟑ : Segmentation par SVM

Ce principe de séparation de l’espace de caractéristiques s’applique très bien à la segmentation d’images. Les machines à vecteurs de support sont utilisées pour la détection de visages dans une image, pour segmenter les lésions de la matière blanche mais aussi pour la classification des cerveaux. Lee et coll. proposent de les utiliser conjointement avec les champs de Markov pour créer les Support Vector Random Fields qui leur permettent de segmenter des tumeurs cérébrales.


Chapitre I

Segueni Lamia 21

I.6.3 Forme

Les approches basées sur la forme tendent à rechercher des régions qui dérivent d’une forme donnée comme a priori. Nous avons choisi de présenter quatre type de techniques qui en sont représentatives bien que d’autres puissent s’y ajouter.

I.6.3.1 Recalage d’atlas

L’utilisation d’un atlas consiste à apparier une image de référence (l’atlas) et l’image à traiter via un algorithme de mise en correspondance. On superpose alors les informations contenues dans l’image d’atlas et l’image à segmenter. Ainsi, les structures anatomiques constituant la matière grise peuvent être recalées simultanément et permettent d’obtenir une segmentation globale.

Dans le domaine de la neuro-imagerie, la référence est l’atlas stéréotaxique de Talairach qui permet de replacer le cerveau dans un référentiel - cf. figure 11 - à partir d’amers peu variables d’un individu à l’autre, en l’orientant et en appliquant des facteurs de proportions. L’atlas lui-même est plutôt voué au repérage des noyaux gris centraux pour la chirurgie mais le référentiel associé est devenu un standard et est utilisé dans de nombreuses méthodes de segmentation automatique en neuro-imagerie. Plus généralement, ce repère est utilisé à des fins de normalisation et de recalage inter-sujet.

Figure 횰.ퟏퟔ : Repère proportionnel de Talairach

Dawant, Hartmann et coll. utilisent le recalage d’atlas pour segmenter le cerveau, le cervelet

et les noyaux caudés sur une série de volumes IRM puis utilisent cette méthode pour quantifier des atrophies cérébrales. Dans ces approches, l’hypothèse est que la topologie est la même entre l’atlas et le volume, ce qui limite la prise en compte de la variabilité anatomique.


Chapitre I

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D’autres approches utilisent le recalage pour initialiser ou guider le processus de segmentation. Cuadra et coll. apportent un modèle a priori de croissance de lésion conjointement au recalage par atlas pour réaliser la segmentation de structures dans les IRM de cerveaux pathologiques. L’atlas peut être modélisé comme des cartes de probabilité de localisation des différents tissus ; c’est cette méthode, utilisée avec un algorithme de type Expectation-Maximisation que Van Leemput et coll. préconisent afin de réaliser la segmentation et la correction de biais d’IRM cérébrales. Enfin, pour contre-balancer les problèmes de mauvaise segmentation obtenus lorsque les IRM ne sont pas acquises sur les mêmes plateformes, Han et coll. introduisent une procédure de renormalisation d’intensité qui ajuste automatiquement l’intensité du modèle aux données entrées améliorant ainsi la précision de la segmentation.

I.6.3.2 Transformation dans un sous-espace

Un sous-espace est l’ensemble de toutes les approximations possibles d’un même signal à la résolution associée au sous-espace. A chaque étape de ces transformations, on élimine des détails et ainsi on se focalise sur la forme. L’analyse par ondelettes et par harmoniques sphériques sont par essence-même les techniques les plus représentatives de cette approche. On y trouvera aussi les Modèles Actifs de forme et d’Apparence qui sont apparentés par leur décomposition des variations de formes à une transformation dans un sous-espace déterminée sur le plan statistique.

Ondelettes

Cette technique repose sur un principe de décomposition en sous-bandes et de transformation mathématique par projection sur des bases orthogonales. L’analyse par ondelettes peut être en première approximation considérée comme une alternative de la Transformée de Fourier Rapide (en anglais Fast Fourier transform ou FFT). Là où la FFT décompose l’image en phase et en amplitude, les ondelettes la décomposent en base orthgonale. Elle peut être vue comme une FFT dans laquelle la fenêtre d’analyse peut être optimisée dans sa forme et possède en outre la propriété essentielle d’opérer sur une durée variant avec la fréquence. Il en résulte des possibilités accrues de filtrage avec des temps de calcul raisonnables. La transformée en ondelettes est définie par :

푊 푓(푢, 푠) = ⟨푓 , Ψ , ⟩ = 푓(푡)1√푠

Ψ∗ 푡 − 푢푠 푑푡

Où l’atome de base y est une fonction de moyenne nulle, centrée au voisinage de 0 et d’énergie finie. La famille de vecteurs est obtenue par translation et dilatation de l’atome de base :

Ψ , (푡) =1√푠

Ψt − u

s

La fonction précédente est centrée au voisinage de푢, comme l’atome de Fourier fenêtré. Si le centre de fréquence de 푦 est ℎ, le centre de fréquence de la fonction dilatée est en ℎ/푠


Chapitre I

Segueni Lamia 23

La transformée en ondelettes a donc une résolution temps-fréquence qui dépend de l’échelle s. Sous la condition

퐶 = 휓(푤)푤 푑푤 < +∞

C’est une représentation complète, stable et redondante du signal ; en particulier, la transformée en ondelettes est inversible à gauche. La redondance se traduit par l’existence d’un noyau reproduisant.

Une ondelette est donc un signal oscillant dont la moyenne est nulle et dont l’énergie tend vers zéro à l’infini. Les ondelettes sont regroupées en familles de courbes formant chacune une base de l’espace vectoriel des signaux.

A chaque étape on applique en fait dans la cellule de décomposition deux filtres : un passe-bas, dont sera issue une approximation 퐴 , et un passe-haut, dont on obtiendra les détails 퐷 . En procédant à une décimation d’ordre 2 sur 퐴 on pourra à l’étage suivant utiliser les mêmes filtres ce qui simplifie fortement l’architecture du système.

La décomposition en ondelettes est notamment utilisée par 푊푢 et coll. pour le recalage de volumes IRM multimodaux de cerveaux. Zhou et Ruan appliquent un seuillage multicontexte sur la transformée en ondelettes de l’histogramme pour déterminer la probabilité d’appartenance du voxel aux différents tissus considérés.

Hou et Koh applique la méthode des c-moyennes floues avec un filtrage par ondelettes et compare cette méthode avec d’autres segmentations sur fantôme et données réelles. Nain et coll. ont présenté dans [129] une nouvelle représentation multi-échelle de forme basée sur les ondelettes sphériques et utilise ses propriétés pours réaliser la segmentation de structures cérébrales.

En dehors de l’imagerie médicale, on trouve les travaux de Choi et Baraniuk qui utilisent les ondelettes de Haar ainsi que ceux de Figueiredo pour tous types d’ondelettes. On pourra trouver des méthodes intéressantes de segmentation et de caractérisation de texture par ondelettes de Gabor dans les travaux de Jain et Prabhakar en biométrie des empreintes digitales.

(a) IRM d’origine (b) Segmentation en 3 classes

Figure 횰.ퟏퟕ : Segmentation par ondelettes


Chapitre I

Segueni Lamia 24

Harmoniques Sphériques

On appelle harmoniques sphériques, les fonctions 푌 (휃,휑) définies sur la sphère unité, et orthonormées sur cette sphère avec la mesure uniforme 푑푆 sur la sphère. Puisqu’elles forment une base orthogonale de fonctions propres de l’opérateur laplacien sur la sphère unité, une fonction continue푓(휃,휑) se décompose en une série :

푓(휃,휑) = 퐶 .푌 (휃,휑)

Où 푙 et 푚 sont des indices entiers, 퐶 est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base. En effet, le développement en harmoniques sphériques est l’équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.

Dans son article, Gerig explique que la description en harmoniques sphériques est hiérarchique, globale, multi-échelle mais ne peut seulement représenter que les objets de topologie sphérique puisque les fonctions de base de la surface paramétrisée sont des harmoniques sphériques. Ces contraintes de topologie sphèrique doivent donc être vérifiées au préalable par diverses méthodes parmi lesquelles on peut citer celle de Malandain.

Kelemen a démontré que les harmoniques sphériques peuvent être utilisées pour exprimer les déformations d’une forme. Tronquer la série d’harmoniques sphériques à différents degrés donne des représentations de l’objet à différents niveaux de détails. Il utilise cette approche pour caractériser la forme des ventricules cérébraux. Golberg-Zimring et coll. utilisent les harmoniques sphériques pour approximer la forme des tumeurs cérébrales afin de les segmenter dans un contexte de neurochirurgie assistée par ordinateur.

Figure 횰.ퟏퟖ : Segmentation d’un oligodendrogliome par Harmoniques Sphériques


Chapitre I

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Modèle actif de Forme

Les Modèles actifs de forme (en anglais Active Shape Models ou ASM) sont des modèles statistiques de la forme d’un objet qui se déforment itérativement pour s’adapter à un exemplaire de cet objet dans une nouvelle image. Les formes sont contraintes par un Modèle de Distribution de Points (en anglais Point Distribution Models ou PDM). Celui-ci est obtenu par un jeu d’image d’entrainement qui montre différentes formes de cet objet. On calcule ensuite les principaux modes de variations par une analyse en composante principale, ce qui nous donnera les variations autorisées de la forme, constituant ainsi un sous-espace des formes possibles pour l’objet.

La forme moyenne est utilisée pour initialiser le processus puis elle est itérativement mise à jour selon deux étapes répétées jusqu’à convergence :

On cherche le long de la normale aux points le meilleur appariement possible pour le modèle (i.e. on privilègie les arêtes)

On met à jour les paramètres de la forme pour être le plus en adéquation avec le modèle.

Duta et coll ont utilisé ce paradigme avec une base de connaissance pour segmenter les images de volumes IRM de cerveaux. Shen et coll. ont ajouté des informations locales à ce modèle pour créer un ASM adaptatif. Rousson et coll. se sont eux intéressés à la relation existant entre les ASM et les level. D’autres applications peuvent être trouvées, notamment la modélisation de sillons corticaux et leur mise en correspondance ou bien encore la modélisation des aires visuelles fonctionnelles. Davatzikos et coll. proposent d’utiliser les propriétés des transformées en ondelettes pour réaliser une segmentation par ASM hiérarchique, notamment dans le cadre des images biomédicales comme la segmentation du corps calleux.

La qualité de la segmentation étant très dépendante de l’initialisation, celle-ci doit se faire à une distance relativement faible de la cible. Pour améliorer son idée, Cootes a proposé d’inclure une information d’intensité de niveau de gris. Ce sont les Modèles Actifs d’Apparence que nous présentons ci-après. Modèle Actif d’Apparence

Les Modèle Actif d’Apparence (en anglais Active Appearance Model ou AAM) sont une généralisation de l’approche ASM, mais utilisent toute l’information contenue dans la région d’image couverte par l’objet cible au lieu de ne la prendre qu’autour des arêtes modélisées. Un AAM contient un modèle statistique de la forme et l’apparence de niveau de gris de l’objet d’intérêt et peut donc se généraliser à n’importe quel exemple valide. L’appariement d’une image implique de trouver les paramètres du modèle qui minimisent la différence entre l’image et un modèle synthétique projeté sur l’image.

On peut observer qu’éloigner chaque paramètre du modèle de la valeur correcte induit un motif particulier dans les résidus. Dans la phase d’apprentissage, l’AAM apprend un modèle linéaire de la relation entre le déplacement des paramètres et les résidus induits. Pendant la recherche, ces résidus sont mesurés et on utilise le modèle pour corriger les paramètres courants, permettant ainsi un meilleur appariement. Celui-ci est obtenu après seulement quelques itérations même si l’initialisation est pauvre.


Chapitre I

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(a) Segmentation Manuelle (b) Segmentation par ASM

Figure 횰.ퟏퟗ : Exemple de Modèle Actif de Forme

I.6.3.3 Forme paramétrique

Le principe des approches par forme paramétrique est de faire évoluer un contour ou une surface vers les frontières de l’objet que l’on cherche à segmenter, d’où le nom de contour actif. Cette déformation est ici exprimée par des forces qui s’appliquent sur les points de contrôle du contour paramétré.

Contours Actifs

Les contours actifs, ou snakes, ont été introduits par Kass en 1987 et sont toujours utilisés aujourd’hui sous des formes plus évoluées. L’idée sous-jacente est de déterminer la déformation d’un contour en minimisant une fonctionnelle énergétique qui traduit les forces appliqués aux points de contrôle du contour퐶 ∶ [푎,푏] → ℝ . La fonctionnelle associée au snake en 2D est :

퐸 퐶(푝) = 훼 퐸 퐶(푝) 푑푝 + 훽 퐸 퐶(푝) 푑푝 + 휆 퐸 퐶(푝) 푑푝

Avec 훼,훽 et 휆 des constantes positives. 퐸 est une contrainte de régularisation pour obtenir un contour lisse, 퐸 est le terme d’attache aux données qui dépend du gradient de l’image et 퐸 exprime des contraintes externes définies en lien avec l’application et favorisent un type de déformation donnée. Par la technique de descente de gradient, cette fonctionnelle est minimisée pour aboutir aux équations d’Euler-Lagrange qui détermine l’évolution du contour. Cette formulation originelle est très sensible à l’initialisation et est facilement attirée par les minima


Chapitre I

Segueni Lamia 27

locaux d’énergie. Pour contrer cela, Cohen a proposé l’incorporation d’une énergie dite de ballon par l’ajout d’un terme Ebal dans l’équation précédente. Celle-ci devient donc :

퐸 퐶(푝) = 훼 퐸 퐶(푝) 푑푝+ 훽 퐸 퐶(푝) 푑푝+ 휆 퐸 퐶(푝) 푑푝 + 훿 퐸 퐶(푝) 푑푝

Où 퐸 définit un potentiel de pression qui permet de ”gonfler” ou de ”dégonfler” le contour en fonction du signe de 훿 et rend le snake plus robuste à l’initialisation et au bruit sur l’image. Cette énergie compense aussi la tendance naturelle du snake à se rétracter en raison de la contrainte de régularisation. Le réglage du poids 훿 reste en revanche très dépendant de l’application visée et nécessite le plus souvent une intervention de l’utilisateur.

I.6.3.4 Forme discrète

Le paradigme des snakes posant des problèmes de topologie (ils sont incapables de gérer les changements de topologies), d’autres techniques se sont développées en parallèle, il s’agit des contours actifs non-paramétriques, ou implicites, encore appelés ensemble de niveau. Ces travaux sont inspirés des théories de la propagation des fronts et des interfaces entre fluides et/ou solides de natures différentes sous l’action d’une force dépendant de leur courbure. Le contour 퐶 - ou interface - de dimension 푛 évolue ici selon une force telle que :

휕퐶휕푡 = 퐹(푘)푛

Où n est le vecteur normal à l’interface, orienté vers l’extérieur, et 휅 la courbure.

Les ensembles de niveaux considère cette interface 퐶 comme l’ensemble de niveau zéro d’une hypersurface de dimension푛 + 1, notée 훙 et définie par :

Ψ ∶ ℝ × [0,∞[ → ℝ

(푥, 푡) ↦ Ψ(푥, 푡)

On obtient alors l’expression suivante pour l’interface :

퐶(푡) = {푥휖 ℝ |Ψ(x(t), t) = 0}∀t ∈ [0,∞[

On peut alors définir l’ensemble de niveau푘, où 푘 ∈ ℤ :

푥 ∈ ℝ |Ψ(x(t), t) = k, ∀t ∈ [0,∞[

On ne modélise pas directement l’évolution퐶, on s’intéresse à l’évolution de훙 en sachant qu’à chaque instant on pourra retrouver 퐶 en prenant l’ensemble de niveau zéro de훙 .


Chapitre I

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On peut, en outre, calculer l’équation d’évolution de l’hypersurface par la formule de Hamilton-Jacobi, telle que 퐶 soit toujours son ensemble de niveau zéro :

휕Ψ휕푡 + 퐹(푘)|∇Ψ|= 0

Avec Ψ(t = 0) = Ψ où Ψ : ℝ → ℝ est une fonction telle que 훙 (퐶(0)) = 0.

C’est une équation de Hamilton-Jacobi dont on peut trouver une solution en utilisant les lois de conservation hyperboliques [153]. On notera notamment que Osher et Sethian ont défini la fonction de “vitesse” par 퐹(휅) = 1 −∈ 휅.

Cette formulation permet les changements de topologie sans implémentation particulière, il n’y a pas de paramétrisation du contour de l’interface, l’utilisation en dimension supérieure ou égale à 3 est aisée et on peut calculer les caractéristiques géométriques de l’interface 퐶 implicitement représentés par 훙 . Ainsi, en 2D, la courbure locale est donnée par :

퐾 = 푑푖푣 ∇Ψ

|∇Ψ| =Ψ Ψ − 2Ψ Ψ Ψ + Ψ Ψ

(Ψ + Ψ )

et le vecteur normal au contour par :

n= ∇|∇ |

Level Set Géométrique

Caselles et coll ont introduit un modèle géométrique des contours actifs formulé par des équations aux dérivées partielles d’évolution de courbes. Chaque point de la courbe se déplace dans la direction de son vecteur normal à une vitesse proportionelle à la courbure.

퐹 = −푔(|∇퐼|)(푐 + 휖푘)

Où 푔 est une fonction décroissante qui ralentit le contour dans les zones de fort gradient, 푐 est une force d’expansion du contour (à rapporcher de l’énergie de ballon des snakes), 휅 est la courbure locale du gradient et ∈ est un facteur de pondération.

Cette approche est une alternative à la minimisation d’énergie qui peut être vue comme la recherche de la solution d’une équation de Hamilton-Jacobi, et être ainsi résolue de façon efficace par la méthode des courbes de niveau de Osher et Sethian. Faugeras et Keriven ont montré qu’il était possible d’utiliser ce principe pour résoudre les problèmes de la stéréoscopie dans lequel la segmentation est une étape clef pour l’appariement des images.


Chapitre I

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Level Set Géodésique

Caselles et coll.ont par la suite proposé un problème équivalent de minimisation d’énergie fondé sur la recherche d’un chemin géodésique minimal dans un espace de Riemann, ce qui revient à minimiser la fonctionnelle suivante :

퐸(퐶) = 푔( ∇퐼 퐶(푝) )|퐶 (푝)|푑푝

On obtient alors l’équation suivante pour l’hypersurface 훙 :

휕Ψ휕푡 + 푔(|∇퐼|)|∇Ψ|푘 − ∇푔.∇Ψ = 0

Cette formulation, grâce au terme 훻푔 améliore la robustesse aux hétérogénéités de gradient le long de la frontière. Dans le cas où la fonction 푔 n’est pas exactement nulle sur le contour, la segmentation est améliorée. En outre, ce terme훻푔, qui attire l’interface vers la frontière de la cible de segmentation, réduit la nécessité d’utiliser une force de type ballon pour contrer la rétractation du contour.

Figure 횰.ퟐퟎ : Segmentation par Level Set

Baillard et coll. ont appliqué cette méthode à la segmentation et au recalage d’image médicale 3D. Goldenberg et coll. ont proposé une méthode rapide de contours actifs géodésique, basée sur le schéma AOS (additive operator splitting) de Weickert-Romeney-Viergever. Chan et Vese ont développé une amélioration de la version de base permettant ainsi de s’affranchir des problèmes observés lors de la segmentation de structures dont les contours sont doux. Juan et coll. propose d’introduire un élément stochastique dans l’évolution du contour, permettant ainsi de ne pas rester bloqué dans un minimum local. Tsai et coll. se sont intéressés à l’apport d’un a priori de forme dans cette formulation des level sets géodésiques. Enfin, Ciofolo et coll. ont montré l’intérêt d’utiliser une commande floue pour combiner les level sets avec différents a priori pour la segmentation de structures cérébrales.


Chapitre I

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I.6.4 Théorie des Graphes

Dans les approches utilisant la théorie des graphes, l’idée directrice est de créer un graphe à partir de l’image selon des procédés assez simples et de travailler sur ces graphes, pouvant ainsi utiliser toute la panoplie d’outils développés dans le cadre de cette théorie. Un travail relativement important sera de valuer les arêtes puisque ce sont elles qui permettront de donner les caractéristiques de l’image à notre graphe.

Nous verrons deux méthodes : celle qui utilise les hypergraphes (une famille de graphe aux caractéristiques insolites) et la méthode de coupe minimale de graphe, héritée des travaux d’optimisation de flux.

I.6.4.1 Hypergraphes

Les hypergraphes, introduit par Claude Berge en 1969 [7] généralisent la notion de graphe dans le sens où les arêtes ne relient plus un ou deux sommets, mais un nombre quelconque de sommets (Compris entre un et le nombre de sommets de l’hypergraphe). Soient 푉 = {푣 ,푣 , . . . , 푣 } un ensemble, 퐸 = {퐸 ,퐸 , . . . ,퐸 } une famille de parties de 푉, avec (푚,푛) ∈ ℕ∗ deux entiers non nuls.

Un hypergraphe 퐻 est un couple (푉,퐸) tel que :

∀푖 ∈ ([1,푚] ∩ ℕ) 퐸 ≠ ∅

퐸 ⊆ 푉

A l’instar des graphes classiques, on dit que : - Les éléments de 푉 sont les sommets de퐻. - Le nombre de sommets 푛 est l’ordre de l’hypergraphe. - Les éléments de 퐸 sont les arêtes ou hyper-arêtes de퐻. Un apport intéressant pour le traitement d’image est la notion d’hypergraphe de voisinage. Dans cet hypergraphe, les sommets sont les pixels de l’image et les hyper-arêtes relient les pixels voisins. En ajoutant un paramètre de sélection sur la distance colorimétrique (i.e. les hyper-arêtes ne contiennent que les pixels de couleurs ”proches”), on obtient un hypergraphe de voisinage colorimétrique qui nous donne une notion de gradient d’intensité. D’autres critères peuvent être employés pour créer les hyper-arêtes, permettant ainsi la création d’hypergraphes de voisinage adaptatifs.

Bretto et coll. proposent dans une revue de l’apport des hypergraphes dans le traitement d’images et notamment dans la segmentation et la détection de contours par l’utilisation des familles d’arêtes intersectantes dites étoiles. La caractéristique de ces étoiles est que leur intersection est non nulle, on peut alors exploiter cet ou ces élément(s) commun(s) comme critère de sélection.


Chapitre I

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Rital et coll proposent d’utiliser la partition multi-échelle de l’hypergraphe de voisinage colorimétrique d’une image pour réaliser la segmentation, aussi bien sur des images 2D que 3D, en couleurs ou en niveaux de gris. L’application des hypergraphes dans la segmentation des tissus cérébraux est notamment visible.

Figure 횰.ퟐퟏ : Exemple d’hypergraphe - par Claudio Rocchini

I.6.4.2 Graph Cuts

Tout comme les méthodes de type contours actifs, la segmentation par Graph Cut est une méthode agissant par minimisation d’énergie. Cette énergie est de la forme :

퐸(푥) = 퐷 (푥 ) + 푅 (푥 ,푥 )

Où 퐷 représente l’attache aux données et 푅 est un terme de régularisation portant sur les pixels voisins. Greig et al ont montré que cette minimisation (de type estimation du maximum a posteriori d’un champ aléatoire de Markov) peut être réalisé par la coupe minimale d’un graphe à deux nœuds terminaux pour la restauration d’image binaire. Ces résultats n’ont pas été remarqués pendant près de 10 ans principalement parce que cette restauration d’image binaire semblait d’une portée limitée mais à la fin des années 90, des travaux ont réutilisé cette méthode dite ”S-T Graph Cut” pour des problèmes non-binaires, notamment en stéréo-vision et en segmentation.

L’intérêt principal de cette méthode est l’assurance d’arriver à un minimum global. Cette méthode repose sur les graphes de voisinage. C’est-à-dire que chaque pixel de l’image (Cet ensemble est noté풫) devient un nœud du graphe et les arêtes issues de ce nœud rejoignent les nœuds représentant les pixels voisins. Ces arêtes sont values et leur valeur est d’autant plus petite que la dissimilarité entre les pixels voisins est grande. On adjoint à ce graphe deux nœuds spéciaux - ou terminaux - liés respectivement à l’objet (ce terminal est appelé source et noté 푆) et au fond (c’est le puits, noté 푇). Le choix du système de voisinage 풩 influe grandement sur la complexité du graphe.

Une coupe de graphe est une bi-partition des sommets, considérée comme l’ensemble des arêtes qui vont d’une partie à l’autre. La coupe de poids minimale est celle dont la somme de la valeur des arêtes est minimale et cette valeur est égale au flot maximal transitant par ce graphe. Les problèmes de calcul de flot maximal étant bien connus et résolus, on peut alors utiliser toute la gamme d’algorithmes déjà existant dont Ford-Fulkerson et Dinic.


Chapitre I

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Le terme de régularisation est représenté par les arêtes entres nœuds (appelées n-liens), il traduit la notion de régionalité et le terme d’attache aux données est codé par les arêtes entre les terminaux et les nœuds (appelés t-liens), il traduit les propriétés de contour. La coupe minimale obtenue est alors une surface pour notre problème.

La méthode classique, décrite notamment par Boykov et Jolly, utilise à la fois des contraintes rigides et non-rigides. L’utilisateur sélectionne des pixels de l’objet à segmenter et des pixels du fond (ce sont les graines).

(a) Graphe (b) Coupe (c) Coupe Minimale

Figure 횰.ퟐퟐ : Coupe Minimale de Graphe - d’après Mickal Péchaud

Ces pixels sont alors reliés de façon rigide aux nœuds terminaux ; les graines-objet (notées푂) étant reliés au noeud source et les graines-fond (notées F) au nœud puits. La valeur de ces t-liens doit être suffisamment grande pour s’assurer qu’ils ne fassent pas partie de la coupe. Ces graines servent ensuite à calculer des distributions d’intensité de l’objet 푃(퐼|푂) et du fond 푃(퐼|퐹) et les t-liens de chaque pixel non graine sont calculés en fonction de ceux-ci (contraintes non-rigides). Enfin, les n-liens sont fonction du gradient. On peut résumer tout cela par un tableau :

Arête Cas Poids

{p,q} {p,q}∈ 푁 푅{ , } {p,S} 푝 ∈ 퐹 0

푝 ∈ 푂 K 푝 ∈ 푃,푝 ∉ 푂 ∪ 퐹 퐷 ("fond'')

{p,T} 푝 ∈ 퐹 K 푝 ∈ 푂 0

푝 ∈ 푃,푝 ∉ 푂 ∪ 퐹 퐷 ("objet") K=1+푚푎푥 ∈ ∑ 푅{ , }:{ , }∈

Le terme de régularisation est une fonction ad-hoc de pénalité de contour :

푅{ , } 훼 exp −퐼 − 퐼 )

2휎.

1푑푖푠푡(푝,푞)

Avec 퐼 l’intensité du pixel p.


Chapitre I

Segueni Lamia 33

Enfin, le terme d’attache aux données est l’opposé de la log-vraisemblance aux distributions calculées précédemment :

퐷 ("fond") = −푙푛푃(퐼 |퐹) 퐷 ("objet") = −푙푛푃(퐼 |푂)

Cette méthode est utilisée dans la comparaison d’algorithmes de calcul de coupe minimale.

En termes de qualité les algorithmes testés sont équivalents mais en terme de rapidité, l’algorithme proposé par Boykov est plus rapide que ceux testés (dont l’algorithme Dinic).

Les résultats de la segmentation par la méthode Boykov-Jolly et l’algorithme Boykov-Kolmogorov sont visibles sur la figure I.23.

Figure 횰.ퟐퟑ : Graph Cut sur une photo de groupe

I.6.5 Approches Structurelles

I.6.5.1 Gradient Morphologique

La morphologie mathématique, introduite par Matheron et Serra, nous donne un cadre intéressant pour l’approche contour de la segmentation. Rappelons les définitions des deux opérations de bases que sont l’érosion et la dilatation. Soit 푩 un élément structurant et 푩 cet élément centré en un pixel 푥. L’érosion consiste à poser en chaque pixel 푥 d’un objet 푿, la question : ”푩 est-il contenu entièrement dans 푿 ?”. L’ensemble des positions 푥 correspondant à une réponse positive forme le nouvel ensemble ∈ (푿),appelé érodé de 푿 par 푩. Autrement dit :

∈ (푿) = {푥\퐵 ⊆ 푋}

L’opération de dilatation se définit de manière analogue à l’érosion. En prenant le même élément structurant B, on pose pour chaque point 푧 de l’image la question ”퐵 touche-t-il l’ensemble 푿 ?”.

C’est à dire, y a-t-il une intersection non vide entre 퐵푧 et X ? L’ensemble des points de l’image correspondant aux réponses positives forme le nouvel ensemble 훿 (푋), appelé dilaté de 푋 par퐵. C’est-à-dire :

훿 (푋) = {푧|퐵 ∩ 푋 ≠ ∅}


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La différence symétrique entre l’image dilatée et érodée par le même élément structurant de taille unitaire donne le gradient morphologique qui est un opérateur de détection de contour et qui peut se résumer par l’équation :

푚푔푟푎푑 (푋) = 훿 (푋)/∈ (푋)

(a) IRM d’origine (b) Résultat

Figure 횰.ퟏퟒ : Segmentation par gradient morphologique

Cette détection de contour par gradient morphologique est utilisée par Vachier et coll.

conjointement avec une ligne de partage des eaux pour la détection de tumeur sur des mammographies. De même Hsiao et coll. proposent une méthode de segmentation de tumeur cérébrale basée sur le gradient morphologique et une étape de croissance et fusion de régions.

I.6.5.2 Ligne de Partage des Eaux

La ligne de partage des eaux est l'outil de segmentation par excellence en morphologie mathématique. Cette transformation se définit par rapport à un processus d'inondation.

Le chapitre 3 détaille plus amplement le principe de la LPE et met en avant les récentes avancées.

Cette technique est souvent associée à une méthode de fusion de régions puisqu’elle donne une sur-segmentation de l’image. On trouve cette utilisation conjointe dans pour des images multidimensionnelles et notamment des IRM de cerveaux.


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Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre les notions fondamentales du domaine de la segmentation des images ; notamment celles en usage médical ; on a exposé un état de l’art des différentes techniques existantes, classées selon leurs approches. Il n’y a pas de règles générales permettant de choisir une méthode particulière de segmentation pour un problème donné ; choisir l’une ou l’autre dépend des images.

Dans le prochain chapitre ………la morphologie mathématique qui est un outil puissant et très répandu pour l’analyse et le codage d’image. Ainsi son rapport direct avec la segmentation en ligne de partage des eaux.


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Bibliographie

[Bitam.A, 2006] : « segmentation d’images couleur par la méthode JSEG », mémoire de magister en électronique, option télédétection, soutenu le 28 juin 2006 présenté par BITAM Abdelmadjid ; à l’université UMM, Tizi Ouzou.

[Ameur.Z, 2001] : « Nouvelle approche de segmentation des images texturées », mémoire de magister en électronique, spécialité Automatique Industrielle, soutenu en 2001 par AMEUR née MAZOUZI Zohra ; à l’université UMM, Tizi Ouzou. [R. ENFICIAUD, 2007] : « Algorithmes multidimensionnels et multispectraux en Morphologie Mathématique : Approche par méta-programmation » Thèse pour obtenir le grade de Docteur de l’école des Mines de Paris Spécialité « Morphologie Mathématique » Présentée et soutenue publiquement par Raffi ENFICIAUD le 26 février 2007 ; disponible sur : http://pastel.paristech.org/3122/01/PhD%20-%20Raffi%20Enficiaud.pdf [L.Brun] : « Morphologie mathématique Introduction à l'analyse d'images » cour de Luc Brun ; disponible sur : http://www.greyc.unicaen.fr/~luc/ENSEIGNEMENT/COURS/01_intro_morpho.pdf#zoom=81&statusbar=0&navpanes=0&messages=0 [Francisco. J; 2007]: « Nonrigid Medical Image Registration: Algorithms, Validation and Applications » Thèse N° 3817 (2007) pour l’obtention du grade de docteur ès sciences présentée par Francisco Javier Sánchez Castro le 10 juin 2007 ; disponible sur : http://biblion.epfl.ch/EPFL/theses/2007/3817/3817_abs.pdf

[Ammadi.A et Baslam.A; 2008] : «Détection automatique de phénomènes présents dans une image satellitaire en composition colorée » Mémoire de Master Présenté par Ammadi Abdelaziz et Baslam Mohammed Informatique Télécommunications et Imagerie Master en Sciences de l'Ingénieur Soutenu le 10/07/ 2008 à l’université Mohammed V-AGDAL Maroc ; disponible sur :

http://www.memoireonline.com/12/08/1722/m_Detection-automatique-de-phenomenes-presents-dans-une-image-satellitaire-en-composition-coloree.html

[J.Lecoeur - C.Barillot, 2008] : « Segmentation d’images cérébrales : État de l’art » rapport de recherche N° 6306 — version 3 version initiale Juillet 2007—version révisée Février 2008 de Jérémy Lecoeur — Christian Barillot à l’INRIA ; disponible sur : http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/25/68/43/PDF/RR-6306.pdf [M.Mohia Yacine, 2006] : « segmentation d’images par analyse multiechelles », mémoire de magister en électronique, option télédétection, soutenu le 21 septembre 2006 présenté par M.Mohia Yacine ; à l’université UMM, Tizi Ouzou. [wikipedia.org] :l’encyclopédie libre multilingue Wikipédia ; disponible sur: http://fr.wikipedia.org/


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[J. Stawiaski] : « Segmentation interactive d'images 3D » de J. Stawiaski, F. Bidault, E. Decencière ‘‘Département d'imagerie médicale, Institut Gustave-Roussy, Villejuif, France’’ symposium canceropole axe 513 & 14 Janvier 2006 ; disponible sur : http://cmm.ensmp.fr/~decencie/canceropole/segmentation_interactive_3d.pdf

[J.-P.Cocquerez et S.Philipp, 2000] : « Analyse d’images : filtrage et segmentation » ouvrage collectif coordonné par : J.-P.Cocquerez et S.Philipp ; MASSON Éditeur, juin 2000.

[ALIOUCHE.W & DJADI.N, 2008] : « Reconstruction tridimensionnelle à partir de coupes sériées : Application aux images médicales » ; Mémoire de fin d’études Pour l’obtention du diplôme d’ingénieur d’état en informatique Option : Systèmes Informatiques ; Réalise par ALIOUCHE Walid et DJADI Nadir Amine à l’Institut National d’Informatique, Promotion : 2007/2008 ; document disponible sur : http://share.esi.dz/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=256&Itemid=1

Terminologie

[1] FUSION DE REGION : Cette technique enchaîne les 2 phases suivantes :

1. Découper itérativement l'image jusqu'à avoir des blocs contenant exclusivement des pixels similaires.

2. Regrouper les blocs voisins s'ils sont similaires

Les deux phases sont nécessaires afin de garantir que les régions obtenues sont à la fois homogènes et également les plus grandes possibles. Chaque phase étant indépendante, on peut les étudier séparément.

[2]DIFFUSION ANISOTROPIQUE : La diffusion anisotrope est une nouvelle technique dérivée du produit de convolution avec une fonction gaussienne qui permet de restaurer les images bruitées en préservant le contraste de l'image. Ce processus peut être utilisé dans le domaine de l'imagerie médicale pour segmenter différentes structures anatomiques

[3] ALGORITHMES DE WATERSHED : Le watershed est appelé en français "ligne de partage des eaux". Ce nom vient de la méthode utilisée. Le principe de la segmentation est le suivant :

En chaque minimum local, une source d'eau est placée. Le niveau d'eau est ensuite augmenté. Une contrainte doit être alors respectée : "Les eaux de différentes sources ne doivent pas se rejoindre". Par conséquent, lorsque les eaux montent, des barrages sont érigés afin que les eaux ne se mélangent pas. Le résultat de la segmentation est l'ensemble des barrages, ce qui représente une image binaire

[4] CONTOURS ACTIFS OU «SNAKES» : Un contour actif est un ensemble de points qu'on va tenter de déplacer pour leur faire épouser une forme. Il s'agit d'une technique d'extraction de


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données utilisée en traitement d'images. L'idée de cette méthode est de déplacer les points pour les rapprocher des zones de fort gradient tout en conservant des caractéristiques comme la courbure du contour ou la répartition des points sur le contour ou d'autres contraintes liées à la disposition des points.

Au démarrage de l'algorithme, le contour est disposé uniformément autour de l'objet à détourer puis il va se rétracter pour en épouser au mieux ses formes. De la même manière, un contour actif peut aussi se dilater et tenter de remplir une forme, il sera alors situé à l'intérieur de celle-ci au démarrage de l'algorithme

A chaque itération, l'algorithme va tenter de trouver un meilleur positionnement pour le contour pour minimiser les dérives par rapport aux contraintes utilisées. L'algorithme s'arrêtera lorsqu'il ne sera plus possible d'améliorer le positionnement ou simplement quand le nombre maximum d'itérations aura été atteint. On utilise les notions d'énergies internes.

[5] CONTOURS GEODESIQUES : Les contours actifs géodésiques apportent une réponse cohérente aux problèmes d'initialisation, d'optimisation et d'adaptativité topologique des contours actifs classiques. Dans ces modèles, la segmentation est formulée comme un calcul de surfaces minimales relativement à une métrique riemannienne isotrope fonction du gradient de luminance

[6] MODELES DEFORMABLES : Les modèles déformables sont des outils puissants. Des points caractéristiques doivent être définis sur l'image. Puis, les variations de la position de ces points est observée sur un lot d'images d'apprentissage. Le modèle résultant décrit les déformations habituelles des points caractéristiques. De ce fait, en comparant la position des points caractéristiques sur une image de test qui n'appartient pas au lot d'apprentissage, il est possible de vérifier si la variation de la position de ces points est dans les limites du modèle déformable. Si c'est le cas, cela veut dire que l'image est similaire au lot d'apprentissage. Sinon, l'image est considérée comme différente

[7] KERNEL-K-MEANS : L'idée de base est au lieu de projeter ou classer directement les données, on les transforme dans un espace de caractéristiques de grande dimension où les points images sont susceptibles d'être linéairement séparables. Ensuite, une technique classique de projection linéaire telle que l'analyse en composantes principales (PCA) ou de partitionnement tel que l'algorithme des K-means, sera appliquée sur les points dans leur espace de caractéristiques.

[8] CHAINES DE MARKOV : Une chaîne de Markov est un processus stochastique permettant de gérer la dépendance des événements.

Une chaîne de Markov d'ordre k est une suite de variables aléatoires Xi où la distribution de chaque Xi dépend seulement des k précédentes variables Xi-1;....;Xi-k :

P (Xi /Xu; u < t) = P (Xi / Xi-1; .... ;Xi-k)

[9] ALGORITHMES GENETIQUES : Une méthode nouvelle de segmentation d'images en mode non-supervisé. Cette méthode consiste à faire évoluer des populations d'unités capables de reconnaître des caractéristiques locales sur l'image. Au cours de cette évolution, induite par un algorithme génétique, les populations envahissent progressivement et de manière spécifique les régions à segmenter. Dans une première partie, la méthode est appliquée à la segmentation par l'intensité lumineuse. Grâce à un modèle du comportement asymptotique des populations d'unités.


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Webographie : [1] www.neurolucida.com [2] www.ablesw.com

Documents

Segmentation des images médicales