Segnali e Sistemi Parte1

Giacinto Gelli e Francesco Verde

Segnali e sistemiper i corsi di laurea triennale di Teoria dei Segnali

NAPOLI 2008

c© 2007–2008 Giacinto Gelli ([email protected]) & Francesco Verde ([email protected])Gli autori consentono la riproduzione anche parziale del testo agli studenti del corso. Non è consentitomodificare il testo, diffonderlo, pubblicarlo anche con mezzi telematici senza il consenso scritto degliautori.

Prima versione: marzo 2007.Seconda versione: marzo 2008.

Principali notazioni

A,B,C insiemi/0 insieme vuotoa ∈ A x appartiene adAa ∈ A x non appartiene adAA⊆ B A è un sottoinsieme diBA⊂ B A è un sottoinsieme proprio diBA∪B, A+B unione diA e BA∩B, AB intersezione diA e BA−B differenza traA e BA×B prodotto cartesiano diA e B= uguale per definizioneN insieme dei numeri naturali1,2, . . . ,N0 = N∪0 insieme dei numeri naturali, zero incluso0,1,2, . . .Z insieme dei numeri interi relativi. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .R insieme dei numeri realiR+ =]0,∞[ insieme dei numeri reali positivi (zero escluso)R− =]−∞,0[ insieme dei numeri reali negativi (zero escluso)R = R∪−∞,∞ insieme ampliato dei numeri reali[a,b] intervalloa≤ x≤ b[a,b[ intervalloa≤ x < b]a,b] intervalloa < x≤ b]a,b[ intervalloa < x < b]−∞,b[ intervallox < b]−∞,b] intervallox≤ b]a,∞[ intervallox > a[a,∞[ intervallox≥ a(a,b) indica indifferentemente un qualunque intervallo di estremia e bx,y,z vettoriA, B, C matricidet(A) determinante della matriceAA−1 inversa della matriceAAT trasposta della matriceArepT0

[xg(t)] replicazione dixg(t) con passoT0 [cfr. eq. (2.18)]repN0

[xg(n)] replicazione dixg(n) con passoN0 [cfr. eq. (2.19)]sinc(x) funzione sinc [cfr. eq. (5.14)]DM(x) funzione di Dirichlet [cfr. eq. (5.31)]u(x) funzione gradinosgn(x) funzione signumδ(x) funzione delta di Diracδ(n) funzione delta discretarect(x) funzione rettangoloRM(n) funzione rettangolo discretoΛ(x) funzione triangolo∗ convoluzione tra due segnali

Indice

1 Segnali e sistemi: introduzione 11.1 Definizione di segnale . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Definizione di sistema . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Segnali deterministici ed aleatori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Classificazione elementare dei segnali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Proprietà della variabile indipendente . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Proprietà della variabile dipendente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3 Segnali analogici e digitali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Classificazione elementare dei sistemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Proprietà dei segnali 252.1 Operazioni elementari sui segnali .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Trasformazioni della variabile dipendente . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 262.1.2 Trasformazioni della variabile indipendente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3 Combinazione di operazioni elementari . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.4 Derivazione, integrazione, differenza prima e somma . . .. . . . . . . . . . 37

2.2 Caratterizzazione sintetica dei segnali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3 Estensione e durata temporale di un segnale . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.1 Segnali di durata rigorosamente limitata . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.2 Segnali di durata praticamente limitata . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3.3 Segnali di durata non limitata e segnali periodici. . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4 Area e media temporale di un segnale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.4.1 Componente continua e alternata di un segnale. . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5 Energia di un segnale . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.5.1 Segnali di energia . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.5.2 Energia mutua . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.6 Potenza e valore efficace di un segnale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.6.1 Segnali di potenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.6.2 Relazioni tra segnali di energia e di potenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.6.3 Potenza mutua . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.7 Misura in dB della potenza e dell’energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.8 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

ii INDICE

3 Proprietà dei sistemi 913.1 Relazione ingresso-uscita .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2 Interconnessione di sistemi . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.3 Proprietà dei sistemi . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.3.1 Non dispersività .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.3.2 Causalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.3.3 Invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.3.4 Invarianza temporale . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3.5 Stabilità . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.3.6 Linearità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.4 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4 Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) 1274.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2 Relazione i-u di un sistema LTI e risposta impulsiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.3 Convoluzione .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.3.1 Proprietà della convoluzione . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.4 Risposta al gradino. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.5 Proprietà della risposta impulsiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.5.1 Non dispersività .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.5.2 Causalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.5.3 Invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.5.4 Stabilità . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.6 Esempi di sistemi LTI . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.6.1 Sistemi descritti da equazioni differenziali .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.6.2 Sistemi descritti da equazioni alle differenze (sistemi ARMA) . . .. . . . . 174

4.7 Risposta in frequenza di un sistema LTI .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.7.1 Risposta ad un fasore di un sistema TC LTI . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1824.7.2 Risposta ad un fasore di un sistema TD LTI. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.7.3 Risposta ad una sinusoide di un sistema LTI reale . .. . . . . . . . . . . . . 190


5 Serie di Fourier 2075.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.2 Serie di Fourier per segnali TC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.2.1 Condizioni matematiche per la convergenza della serie di Fourier .. . . . . 2165.2.2 Ricostruzione di un segnale periodico con un numero finito di armoniche . . 220

5.3 Serie di Fourier per segnali TD (DFS) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.4 Principali proprietà della serie di Fourier e della DFS. . . . . . . . . . . . . . . . . 229

5.4.1 Linearità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2295.4.2 Simmetria hermitiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2305.4.3 Uguaglianza di Parseval . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

5.5 Risposta di un sistema LTI ad un segnale periodico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.6 Selettività in frequenza dei sistemi LTI e filtri ideali .. . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

INDICE iii

6 Trasformata di Fourier 2556.1 Trasformata di Fourier . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.1.1 Trasformata di Fourier per segnali TC . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2586.1.2 Trasformata di Fourier per segnali TD . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2606.1.3 Proprietà elementari della trasformata di Fourier. . . . . . . . . . . . . . . 263

6.2 Relazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI. . . . . . . . . . . . . . 2676.2.1 Proprietà di convoluzione . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier . . .. . . . . . . . . . . . . . 2726.3.1 Segnali TC . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2726.3.2 Segnali TD . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2856.3.3 Segnali TD transitori .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2956.4.1 Segnali a banda rigorosamente limitata . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2986.4.2 Segnali a banda praticamente limitata . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3006.4.3 Segnali a banda non limitata .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3126.5.1 Trasformazioni della variabile dipendente . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3126.5.2 Trasformazioni della variabile indipendente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216.5.3 Derivazione e differenza prima, integrazione e somma. . . . . . . . . . . . 336

6.6 Trasformata di Fourier dei segnali periodici . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3456.6.1 Trasformata di Fourier di un segnale periodico TC . . .. . . . . . . . . . . 3456.6.2 Trasformata di Fourier di un segnale periodico TD . .. . . . . . . . . . . . 3476.6.3 Estensione spettrale e banda di un segnale periodico. . . . . . . . . . . . . 3516.6.4 Relazioni tra serie e trasformata di Fourier .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza . .. . . . 3576.7.1 Separazione di segnali mediante filtraggio .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3576.7.2 Banda passante e banda di un sistema . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3616.7.3 Studio dell’interconnessione di sistemi LTI nel dominio della frequenza . . . 3656.7.4 Proprietà della risposta in frequenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369


7 Campionamento e conversione A/D e D/A 3957.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3957.2 Campionamento ed interpolazione ideale . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

7.2.1 Teorema del campionamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4007.2.2 Interpolazione ideale . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4057.2.3 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

7.3 Campionamento ed interpolazione in pratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4097.3.1 Campionamento di segnali a banda praticamente limitata. . . . . . . . . . . 4097.3.2 Interpolazione non ideale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

7.4 Quantizzazione . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4187.5 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

A Richiami sui numeri complessi 433A.1 Definizione di numero complesso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433A.2 Forma algebrica dei numeri complessi . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434A.3 Rappresentazione geometrica e forma trigonometrica dei numeri complessi .. . . . 437

iv INDICE

A.4 Forma esponenziale dei numeri complessi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440A.5 Funzioni complesse di una variabile reale . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

B Richiami di analisi matematica 445B.1 Successioni e serie numeriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

B.1.1 Definizione di limite di una successione . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 445B.1.2 Serie monolatere .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447B.1.3 Serie bilatere . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448B.1.4 Successioni sommabili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

B.2 Funzioni complesse di una variabile reale . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 451B.2.1 Continuità e derivabilità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451B.2.2 Integrazione . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453B.2.3 Sommabilità . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

C Proprietà matematiche della convoluzione 459C.1 Integrale di convoluzione .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459C.2 Somma di convoluzione . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

D Invertibilità di un sistema 463D.1 Invertibilità di un sistema .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463D.2 Invertibilità di un sistema LTI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

E Proprietà della serie di Fourier 471E.1 Serie di Fourier a TC . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

E.1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471E.1.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

E.2 Serie di Fourier a TD (DFS) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473E.2.1 Definizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473E.2.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

E.3 Convergenza in media quadratica della serie di Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . 474

F Proprietà della trasformata di Fourier 479F.1 Trasformata di Fourier a TC . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

F.1.1 Definizioni . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479F.1.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479F.1.3 Trasformate notevoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

F.2 Trasformata di Fourier a TD .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482F.2.1 Definizioni . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482F.2.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483F.2.3 Trasformate notevoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

Bibliografia 487

Capitolo 1

Segnali e sistemi: introduzione

I concetti disegnale e di sistema sono diffusamente impiegati in molti campi della conoscenzaumana con significati specifici che, in alcuni casi, possono essere radicalmente diversi. Ad esempio,in astronomia, le radiazioni emesse dai corpi celesti sono segnali desiderati che portano informazionecirca la struttura dell’universo mentre, nel campo delle telecomunicazioni spaziali, essi rappresentanosegnali indesiderati che disturbano le comunicazioni tra la terra e le navicelle spaziali. Allo stessomodo, per un ingegnere delle telecomunicazioni, un sistema può essere una rete telefonica o un ponteradio, per un economista un sistema è invece un insieme di individui che producono e si scambianobeni. Una definizione univoca e non ambigua di segnale e sistema può essere data solo ricorrendoa opportunimodelli matematici, poichè il linguaggio della matematica è unico e preciso. In questocapitolo saranno introdotti i concetti di base necessari per lo studio dei segnali e dei sistemi, partendodai loro modelli matematici, e proseguendo con alcune definizioni e classificazioni elementari.

1.1 Definizione di segnale

La definizione di segnale che segue, sebbene astratta, è del tutto generale: essa risulterà certamentepiù chiara e concreta dopo aver studiato gli esempi forniti nel seguito.

Definizione 1.1 (segnale)Un segnale è un modello matematico che descrive la variazione di una o più grandezze (fisiche)in funzione di altre grandezze (fisiche).

Esempi di segnali ricorrono in numerosi campi delle scienze matematiche, fisiche e dell’ingegneria.

Esempio 1.1 (moto circolare uniforme) Si consideri un corpo (raffigurato in nero in fig. 1.1) che si muovedi moto circolare uniforme, lungo una circonferenza di raggioA. La velocità di rotazione del corpo si può mi-surare in termini di velocità angolareω0, espressa in rad/s (rappresenta l’angolo in radianti percorso nel tempodi 1 s) o equivalentemente in termini di frequenza di rotazionef0 = ω0

2π , espressa in Hertz (Hz) (rappresentail numero di giri effettuati nel tempo di 1 s). La posizione del corpo all’istantet è individuata da una coppiadi coordinate cartesiane(x,y). Concentriamo l’attenzione in particolare sulla posizione lungo l’assex: poiché

2 Segnali e sistemi: introduzione

A

x

y

θ(t)

ω 0

x(t)

Fig. 1.1. Un corpo (in nero) si muove lungo una cir-conferenza con velocità angolareω0 costante. Lasua proiezione sull’assex al variare del tempot è ilsegnale sinusoidalex(t) di fig. 1.2.

-A

A

x(t)

t

A cos (ϕ 0)

Fig. 1.2. Il segnale sinusoidale degli es. 1.1 e 1.2 èuna funzione del tempox(t).

l’angolo (misurato rispetto all’assex) percorso nel tempot è pari aθ(t) = ω0t + ϕ0, doveϕ0 è la posizioneangolare del corpo all’istantet = 0, la coordinatax all’istantet è data da:

x(t) = A cos[θ(t)] = A cos(ω0t +ϕ0) = A cos(2π f0t +ϕ0) .

Il segnalex(t) prende il nome di segnale sinusoidale1 di ampiezzaA, pulsazioneω0 o frequenzaf0, e faseinizialeϕ0, ed è raffigurato in fig. 1.2. Si noti che pert = 0 il segnale valex(0) = Acos(ϕ0).

Esempio 1.2 (tensione alternata)La tensione alternata della rete di distribuzione dell’energia elettrica puòessere descritta anch’essa da un segnale sinusoidale di ampiezzaA, frequenzaf0, e fase inizialeϕ0:

x(t) = Acos(2π f0t +ϕ0) .

L’espressione analitica del segnale e la sua rappresentazione grafica sono le stesse del segnale dell’es. 1.1, anchese il significato fisico ed i valori dei parametriA, f0 eϕ0 sono diversi.

Esempio 1.3 (successione)In matematica, nello studio delle equazioni per le quali non è possibile deter-minare analiticamente la soluzione, è possibile applicare metodi per determinare soluzioni approssimate. Unesempio classico è il metodo di Newton o della tangente, che consente di risolvere approssimativamente equa-zioni del tipo f (x) = 0. Supponiamo chef sia dotata di derivata prima continua e, inoltre, che sia crescente,convessa e tale chef (a) < 0 ed f (b) > 0. Postox(0) = b, il metodo di Newton (fig. 1.3) consiste inizial-mente nel tracciare la tangente alla curvaf (x) nel suo punto di coordinate(b, f (b)) e nel ricavare il punto diintersezionex(1) di tale tangente con l’asse delle ascisse. Il secondo passo del metodo consiste nel ripetere ilprocedimento precedente a partire questa volta dax(1): si traccia la tangente alla curvaf (x) nel suo punto dicoordinate(x(1), f [x(1)]) e si ricava il punto di intersezionex(2) della retta ottenuta con l’asse delle ascisse.Ripetendo tale procedimento, si ottiene una relazione ricorsiva in cui l’n-esimo elemento è dato da

x(n) = x(n−1)− f [x(n−1)]f ′[x(n−1)]

, conn = 1,2,3, . . . ,

1Nel seguito indicheremo indistintamente come “sinusoidale” un segnale del tipox(t) = Acos(ω0t +ϕ0) oppurex(t) =Asin(ω0t +ϕ0).

1.1 Definizione di segnale 3

x

y

f(x)

a b

x(1)x(2)

x(0)

Fig. 1.3. Il metodo di Newton dell’es. 1.3.

Studente VotoCarlo Rossi 22Ugo Bianchi 30Maria Turchini 25Franca Neri 30.... ........ ....

Fig. 1.4. Il segnale in forma tabellaredell’es. 1.4.

dove f ′(x) denota la derivata prima dif (x). Tale relazione definisce unasuccessione numerica, ovvero unsegnale definito nell’insiemeN0 dei numeri naturali. Al crescere din, i valori assunti dal segnale tendonoall’unica soluzione dell’equazionef (x) = 0.

Esempio 1.4 (tabella) In alcuni casi, un segnale può essere definito mediante una tabella. Ad esempio,consideriamo i risultati dell’esame di Teoria dei Segnali riportati in fig. 1.4. Tale tabella definisce un segnaleche ad ogni studente associa il voto del corrispondente compito scritto; in questo caso, l’insieme di definizionedel segnale è rappresentato dagli studenti che hanno partecipato alla prova scritta (e che hanno consegnato ilcompito).

Gli es. 1.1, 1.2 e 1.3 mostrano che un segnale può essere descritto matematicamente da unafunzioneche istituisce una relazione tra unavariabile indipendente (il tempo t negli es. 1.1 e 1.2, l’indicennell’es. 1.3, lo studente nell’es. 1.4) ed unavariabile dipendente x (una lunghezza nell’es. 1.1, unatensione nell’es. 1.2, un’approssimazione della soluzione dell’equazionef (x) = 0 nell’es. 1.3, un votonell’es. 1.4). Utilizzando la simbologia comunemente impiegata nei corsi di analisi matematica, unsegnale di questo tipo può essere indicato come segue:

x : T → X , (1.1)

dove l’insiemeT, che prende il nome diinsieme di definizione o dominio di x, racchiude l’insieme deivalori ammissibili della variabile indipendentet oppuren, mentre l’insiemeX, che prende il nome diimmagine di T mediante x o anchecodominio di x, racchiude i valori assunti dalla variabile dipendentex. Si osservi che, per gli es. 1.1 e 1.2, il dominioT di x coincide con l’insieme dei numeri reali, cioèT = R; nel caso dell’es. 1.3, il dominio del segnale risulta essereT = N0 = 0,1,2, . . . ⊂ Z e quindila variabile indipendenten può assumere solo valori interi non negativi; infine, nel caso dell’es. 1.4, ildominio del segnaleT = Carlo Rossi,Ugo Bianchi,Maria Turchini,Franca Neri. . . è costituito dainomi degli studenti. Va osservato che la natura fisica delle variabili indipendenti in gioco può essereprofondamente diversa; ad esempio per molti segnali la variabile indipendente è proprio il tempo, maesistono casi significativi di segnali – le immagini, ad esempio – in cui la variabile indipendente è di ti-po spaziale (vedi es. 1.10 e 1.14 più avanti). Inoltre, come accade nell’es. 1.3, le variabili indipendentidi un segnale possono non avere un significato fisico o, come nell’es. 1.4, possono rappresentare dati


segn

ale

diin

gres

so

R1

R2

segn

ale

dius

cita

Fig. 1.5. Schema elettrico di un partitore resistivo.

segnaledi

ingressosistema

segnaledi

uscita

Fig. 1.6. Rappresentazione di un sistema medianteschema a blocchi.

di natura più generale (gli studenti). Di norma, comunque, a prescindere dal loro effettivo significatofisico, ci riferiremo alla variabile indipendentet oppuren come al “tempo”, e alla variabile dipendentex come all’“ampiezza” del segnale. Per cui i segnali che considereremo saranno descritti quasi sempreattraversofunzioni del tempo. Tali funzioni potranno essere descritte mediante un’espressione mate-matica, un grafico o una tabella. Gli es. 1.1 e 1.2 mostrano inoltre che uno stesso segnale – nel casospecifico sinusoidale – può comparire nella descrizione di fenomeni fisici completamente diversi.

Concludiamo osservando che, con riferimento ad un segnale funzione del tempo, la notazionex(t)è ambigua: essa può significare il valore assunto dal segnale per un particolare valore dit (cioè l’im-magine mediantex di t), oppure può rappresentare la legge di corrispondenza (1.1) (cioè il segnale nelsuo complesso per ognit ∈ T). In molti casi la distinzione è ininfluente oppure si ricava dal contesto;quando tuttavia vorremo enfatizzare la seconda interpretazione, scriveremox(t)t∈T. Considerazionianaloghe valgono ovviamente anche per le notazionix(n) ex(n)n∈T.

1.2 Definizione di sistema

Anche per i sistemi forniamo una definizione abbastanza generale ed astratta, rimandando il lettoreagli esempi che ne chiariscono meglio il significato.

Definizione 1.2 (sistema)Un sistema è un modello matematico che descrive la relazione tra due o più segnali, dei qualialcuni sono identificati come segnali diingresso (o cause), e gli altri come segnali diuscita (oeffetti).

Esempio 1.5 (circuito elettrico) Un circuito elettrico è un primo esempio di sistema in cui alla variazionedi tensioni e correnti in certi punti del circuito (individuati come ingressi) corrisponde la variazione di tensionie correnti in altri punti del circuito (individuati come uscite). Un semplice esempio di sistema con un soloingresso ed una sola uscita è il partitore resistivo di fig. 1.5, in cui il segnale di ingresso è la tensione ai capidella serie dei resistoriR1 edR2, mentre l’uscita è la tensione ai capi del resistoreR2.

Uno schema astratto particolarmente conveniente per rappresentare graficamente un sistema ad uningresso e ad una uscita, quale il partitore resistivo dell’es. 1.5, è loschema a blocchi di fig. 1.6.

Esempio 1.6 (sistema di comunicazione)Un secondo esempio è quello di un sistema di comunicazione,riportato schematicamente in fig. 1.7, capace di trasportare un messaggio dalla sorgente alla destinazione. Es-so è composto da tre elementi fondamentali: un trasmettitore, che associa ad ogni messaggio da trasmettere

1.2 Definizione di sistema 5

trasmettitore canale ricevitoremessaggiosorgente

messaggiodestinazione

Fig. 1.7. Schema semplificato di un sistema di comunicazione.

(“messaggio sorgente”) un segnale opportuno (generalmente elettrico o ottico); un canale, che è il mezzo fisico(ad esempio, un cavo telefonico) lungo il quale viaggia il segnale d’informazione; ed, infine, un ricevitore, cheha il compito di estrarre dal segnale ricevuto il messaggio trasmesso e recapitarlo alla destinazione (“messaggiodestinazione”).

Gli esempi precedenti mettono in luce alcuni aspetti importanti. Innanzitutto, il concetto di sistemaè inscindibilmente legato a quello di segnale: senza alcun segnale in ingresso, un sistema è una meracollezione di componenti elettrici, meccanici, o biochimici; infatti, sono i segnali di ingresso che“forzano” il sistema a “reagire” e, quindi, a “produrre” dei segnali di uscita. Un sistema può essereparticolarmente complesso e può essere composto da più entità fisiche distinte, che interagiscono tradi loro; in questo caso, ogni singola entità può essere riguardata come unsottosistema che concorrea definire l’intero sistema. Ad esempio, il sistema di comunicazione in fig. 1.7 può essere suddivisoin tre sottosistemi distinti: il trasmettitore, il canale ed il ricevitore. La decomposizione di un sistemain sottosistemi è particolarmente utile quando occorre studiare sistemi complessi, per i quali l’analisidiretta dell’intero sistema risulta essere troppo complicata.

Dato un sistema e assegnati i segnali di ingresso, uno dei problemi fondamentali che si incontranell’analisi dei sistemi è quello di ricavareanaliticamente i corrispondenti segnali di uscita. La pos-sibilità di caratterizzare analiticamente il comportamento di un sistema è importante perchè, in alcunicasi, è più semplice ed economicamente vantaggioso determinare i segnali di uscita analiticamentepiuttosto che sperimentalmente. Inoltre, il calcolo analitico della risposta di un sistema è spesso l’u-nica strada disponibile; si pensi, ad esempio, allo studio di fattibilità di un sistema che è in fase diprogetto e che, pertanto, non è stato ancora realizzato fisicamente; oppure, allo studio di un sistemain condizioni operative particolari che sono pericolose da riprodurre in pratica. Da quanto detto sievince che è necessario introdurre una descrizione matematica dei sistemi. A tal fine, soffermiamol’attenzione su un sistema che ha un solo segnale di ingresso e un solo segnale di uscita (come ilpartitore resistivo), e indichiamo conI l’insieme dei possibili segnali di ingresso e conU l’insiemedei possibili segnali di uscita. Un sistema può essere descritto matematicamente da unoperatore ounatrasformazione S, che istituisce una relazione tra l’insieme dei segnali di ingressoI e l’insiemedei segnali di uscitaU, simbolicamente:

S : I → U . (1.2)

insieme deisegnali di ingresso

x

y

insieme deisegnali di uscita

S

IU

Fig. 1.8. L’operatoreS associa ad ogni segnalex di I un segnaley di U.


In fig. 1.8 è riportata una rappresentazione schematica della legge di corrispondenza (1.2). Si osserviche i due insiemiI e U implicitamente definiscono anche il dominio e il codominio dei segnali diingresso ed uscita del sistema, rispettivamente.

Esempio 1.7 (integratore) Un integratore è un sistema che realizza la seguente trasformazione:

y(t) =∫ t

−∞x(u)du ,

dovex(t) denota il segnale di ingresso ey(t) quello di uscita. In tal caso, l’insiemeI dei segnali di ingresso èrappresentato da tutte le funzionix(u) che risultano integrabili in ogni intervallo]−∞, t], cont ∈R, e l’operatoreS associa ad ogni segnalex(u)u∈R appartenente adI il segnaley(t), ottenuto integrandox(u) sull’intervallo]−∞, t], per ognit ∈ R.

Esempio 1.8 (accumulatore)Un accumulatore è un sistema che realizza la seguente trasformazione:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) ,

dove la successionex(n) denota il segnale di ingresso e la successioney(n) quello di uscita. In tal caso, l’insiemeI dei segnali di ingresso è rappresentato da tutte le successionix(k) la cui serie trak =−∞ edk = n, conn ∈ Z,risulta essere convergente, e l’operatoreS realizza semplicemente la somma correntey(n) dei valori del segnaledi ingressox(k)k∈Z a partire dak =−∞ fino all’istantek = n, per ognin ∈ Z.

Si osservi che, sebbene le corrispondenze (1.1) e (1.2) che definiscono segnali e sistemi, rispettiva-mente, possano sembrare simili a prima vista, esse sono tuttavia completamente differenti dal punto divista concettuale: infatti, la (1.1), che definisce un segnale, è una legge di corrispondenza tra insiemi“numerici”, i cui elementi sono numeri reali o interi relativi; d’altra parte, la (1.2) sta ad indicare unacorrispondenza tra insiemi i cui elementi sono segnali (ovvero funzioni). Una seconda osservazioneimportante è che, com’è anche evidente dagli es. 1.7 e 1.8, il valore del segnale di uscita in un da-to istante di tempo può dipendere dal valore assunto dal segnale di ingresso in più istanti o, più ingenerale, su tutto il proprio dominio di definizioneT. Sulla base di tale osservazione, risulta essereparticolarmente fuorviante l’impiego della notazioney(t) = S[x(t)] oppurey(n) = S[x(n)] per descri-vere sinteticamente la trasformazione (1.2). Infatti, la scritturay(t) = S[x(t)] (e lo stesso si può diredi y(n) = S[x(n)]) può evocare erroneamente alla mente del lettore il concetto di funzione composta,secondo il quale il valorey(t) del segnale di uscita all’istantet dipende solo dal valorex(t) assuntodal segnale di ingresso nello stesso istantet. Per evidenziare invece il fatto che nella trasformazione(1.2), il segnale di uscita in un dato istante può dipendere dall’intero segnale di ingresso, si userannole notazioni

y(t) = S[x(u)u∈T; t]

y(n) = S[x(k)k∈T;n] (1.3)

per descrivere sinteticamente la trasformazione (1.2).Nel seguito introdurremo le principali metodologie di analisi e di sintesi per i segnali ed i sistemi,

con particolare riguardo a quelle che sono applicabili in generale,indipendentemente dai fenomeni fi-sici coinvolti. Per questo motivo nella definizione stessa di segnale e di sistema abbiamo posto l’enfasisul concetto dimodello matematico, piuttosto che sulla realtà fisica cui il modello si riferisce. In molticasi, tuttavia, facendo leva sulle conoscenze generalmente possedute dagli allievi ingegneri nell’areadell’informazione, forniremo esempi di segnali e sistemi presi principalmente dall’elettrotecnica edall’elettronica. A questo punto è necessario fare una considerazione che è bene che il lettore tenga

1.3 Segnali deterministici ed aleatori 7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5

0

0.5

1

t

x(t)

(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5

0

0.5

1

t

x(t)

(b)

Fig. 1.9. Esempio di segnale aleatorio: (a) il segnale vocalex(t) corrispondente alla parola “pace” pronunciatada un adulto; (b) il segnale vocalex(t) corrispondente alla parola “pace” pronunciata da un bambino.

ben presente nel seguito. Va osservato come principio generale che un modello è solo unarappresen-tazione, quasi sempre estremamente semplificata, della realtà che intende descrivere. In primo luogo,infatti, il modello matematico è quasi sempre frutto diapprossimazioni; ad esempio, la tensione alter-nata della rete di distribuzione dell’energia elettrica (cfr. es. 1.2) non è mai esattamente sinusoidale,per la presenza di disturbi, non linearità, accoppiamenti parassiti, ecc. In secondo luogo, la scelta delmodello matematico è sempre uncompromesso tra accuratezza della descrizione del fenomeno fisicodi interesse e semplicità matematica. In conclusione, per evitare possibili fraintendimenti derivantidalla confusione tra modello e realtà, il lettore è invitato a tenere bene a mente il celebre aforisma diArthur Bloch:2 “Confondere il modello con la realtà è come andare al ristorante e mangiare il menù”.

1.3 Segnali deterministici ed aleatori

I segnali considerati negli es. 1.1, 1.2 e 1.3 ammettono una descrizione matematicaesatta attraver-so una funzione del tempo. Va detto però che l’identificazione tra il concetto di segnale e quellodi funzione è appropriata solo se restringiamo l’attenzione al caso dei segnali perfettamente noti odeterministici.

Definizione 1.3 (segnale deterministico)Un segnale si dicedeterministico (o determinato) se è perfettamente descritto da una funzione(espressa analiticamente, in forma tabellare, o in forma grafica).

La classe dei segnali deterministici è ampia, ma non esaurisce tutti i possibili segnali: esiste infattila classe importante dei segnalinon deterministici, che non possono cioè essere descritti esattamente,in quanto contengono un certo grado diimprevedibilità o di incertezza. Tali segnali scaturiscono dafenomeni fisici che, per la loro complessità, o per la conoscenza imperfetta dei meccanismi che ligovernano, non ammettono una descrizione matematica esatta.

Esempio 1.9 (segnale vocale)La voce può essere descritta da un segnalex(t) (segnale vocale), che esprimela pressione acustica in funzione del tempo. In fig. 1.9 (a) si riporta ad esempio il segnale vocale corrispondentealla parola “pace” pronunciata da un adulto. Il segnale vocale assume una forma profondamente diversa, non

2Arthur Bloch è l’autore di una fortunata serie di libri umoristici sulle “leggi di Murphy”.


soltanto – come è ovvio – al variare della parola o del suono pronunciato, ma anche al variare del sesso, dell’età,e dello stato d’animo del parlatore. Ad esempio in fig. 1.9 (b) si riporta il segnale vocale corrispondente allastessa parola “pace”, pronunciata stavolta da un bambino.

Un segnale come quello dell’es. 1.9 si dicealeatorio (dal vocabolo latinoalea=dado, che per esten-sione sta anche a significare “rischio, incertezza”).

Definizione 1.4 (segnale aleatorio)Un segnale si dicealeatorio (o casuale) se nella sua definizione è contenuto un certo grado diincertezza.

Un segnale aleatorio, non essendo perfettamente noto a priori, non può essere descritto da una sem-plice funzione. In effetti, l’es. 1.9 relativo al segnale vocale suggerisce intuitivamente, con un piccolosforzo di generalizzazione, che un segnale aleatorio possa essere rappresentato non da una sola fun-zione, ma da unacollezione di funzioni (una per ogni possibile parlatore, con riferimento al segnalevocale). Per ottenere una valida ed utile descrizione matematica a partire da questo concetto intuitivo,tuttavia, sono necessari strumenti più sofisticati, quali lateoria della probabilità [15].

Bisogna notare che, proprio a causa della loro imprevedibilità, i segnali aleatori rivestono un gran-de interesse nell’ingegneria dell’informazione, in quanto, a differenza dei segnali deterministici, essisono adatti a trasportareinformazione. Basti pensare infatti che, per sua natura, il concetto di informa-zione è intrinsecamente legato a quello di imprevedibilità [15, cap. 10]. Ad esempio, l’affermazione“stanotte farà buio” non trasporta nessuna informazione, semplicemente perché è una affermazio-ne certa, perfettamente prevedibile. Viceversa, una affermazione poco probabile, quale “domani ilpianeta Terra sarà invaso dai Marziani” convoglia una grande quantità di informazione, perché pocoprobabile, e quindi non prevedibile. Per questo motivo, un segnale deterministico, che è noto a priorie quindi perfettamente prevedibile, non è adatto a trasportare informazione.

Nonostante abbiamo sottolineato l’importanza dei segnali aleatori, nel seguito si affronterà esclu-sivamente lo studio dei segnali deterministici. Tale scelta ha una chiara motivazione didattica, inquanto operare con segnali deterministici consente di introdurre ad un livello relativamente semplicele principali tecniche di analisi ed elaborazione dei segnali, rimandando a corsi successivi l’appli-cazione di tali metodologie anche al caso di segnali aleatori. Va osservato peraltro che, una voltaosservato o memorizzato, un segnale aleatorio perde la sua caratteristica di imprevedibilità e diventain effetti deterministico: pertanto esso può essere elaborato con le tecniche caratteristiche dei segnalideterministici.

1.4 Classificazione elementare dei segnali 9

Fig. 1.10.Esempio di segnale multidimensionale:un’immagine in bianco e neroz(x,y).

1.4 Classificazione elementare dei segnali

I segnali possono essere suddivisi in classi sulla base di diverse proprietà. In particolare, avendo os-servato che i segnali deterministici possono essere descritti, in senso matematico, mediante funzioni,in questo paragrafo introdurremo una prima classificazione dei segnali sulla base delle proprietà dellavariabile indipendente e dellavariabile dipendente della funzione che modella il segnale. La com-binazione opportuna delle proprietà della variabile dipendente ed indipendente consentirà infine diintrodurre la fondamentale distinzione trasegnali analogici e segnali numerici o digitali.

1.4.1 Proprietà della variabile indipendente

Definizione 1.5 (segnale monodimensionale/multidimensionale)(a) Un segnale si dicemonodimensionale se è descritto da una funzione diuna variabile

indipendente.

(b) Un segnale si dicemultidimensionale se è descritto da una funzione didue o più variabiliindipendenti.

I segnali sinusoidali degli es. 1.1 e 1.2 e la successione dell’es. 1.3 sono segnali monodimensionali, inquanto sono descritti da una funzione [x(t) o x(n)] di una sola variabile indipendente. Tipici esempidi segnali multidimensionali sono leimmagini (fisse o in movimento).

Esempio 1.10 (immagine in bianco e nero)Un’immagine fissa in bianco e nero, o monocromatica, qualequella di fig. 1.10, può essere descritta da un segnale multidimensionalez(x,y), che descrive le variazioni diluminosità (oluminanza) in funzione della posizione spaziale(x,y) del punto (detto anchepixel) dell’immagine.Se l’immagine è in movimento (filmato in bianco e nero), è necessario considerare anche una terza variabiletemporale, per cui il segnale diventa una funzionez(x,y, t) di tre variabili.

Sebbene l’elaborazione di immagini (image processing) sia estremamente importante dal punto divista applicativo, per gli stessi motivi di semplicità didattica già esposti per i segnali aleatori, nelseguito ci occuperemo di segnali monodimensionali, ed inoltre la variabile indipendentet oppurensarà quasi sempre interpretata come “tempo”. Questo si rifletterà in parte nella terminologia utilizzata,come evidenziato in particolare dalla classificazione che segue.


−5 0 5−3

−2

−1

0

1

2

3

t

x(t)

Fig. 1.11.Rappresentazione grafica di un segnale aTC. Tale rappresentazione si può ottenere in Matlabutilizzando il comandoplot.

−5 0 5−3

−2

−1

0

1

2

3

n

x(n)

Fig. 1.12.Rappresentazione grafica di un segnale aTD. Tale rappresentazione si può ottenere in Matlabutilizzando il comandostem.

Definizione 1.6 (segnale a tempo continuo/discreto)(a) Un segnale si dicea tempo continuo (TC), o “forma d’onda”, se la variabile indipendente

(tempo) varia in un insieme continuo.

(b) Un segnale si dicea tempo discreto (TD), o “sequenza”, se la variabile indipendente (tempo)varia in un insieme discreto.

Ad esempio, la sinusoidex(t) = Acos(ω0t +ϕ0) degli es. 1.1 e 1.2 è definita per ognit ∈ R, e quindiè un segnale a TC. Da un punto di vista matematico, un segnale a TC è rappresentabile mediante lalegge di corrispondenza (1.1), in cui il dominioT della funzione è un insieme continuo. Un segnalea TC viene denotato preferibilmente conx(t) o x(τ ), cioè utilizzando come variabile indipendente unsimbolo che evoca il tempo, e la sua rappresentazione grafica è quella raffigurata in fig. 1.11. La leggedi corrispondenza (1.1) modella matematicamente anche un segnale a TD, in questo caso il dominioT della funzione è un insieme discreto. La successione dell’es. 1.3 è definita per ognin ∈N0, e quindiè un segnale a TD. Allo stesso modo, anche la tabella dell’es. 1.4 va considerato un segnale a TD,in quanto il suo dominio è costituito da un numero finito di possibili elementi (le generalità deglistudenti). Un segnale a TD sarà denotato preferibilmente conx(n), x(m) o x(k), utilizzando cioè laconvenzione di alcuni linguaggi di programmazione (es. Fortran) secondo la quale le variabilii, j,k, , m, n indicano quantitàintere. La rappresentazione grafica di un segnale a TD è quella riportatain fig. 1.12. Si osservi che, sebbene un segnale a TD sia rappresentato utilizzando come ascissa unretta, cioè un insieme continuo, esso è definito solo nei punti interi della retta, cioè quelli appartenentiall’insieme Z; in altre parole, nei punti dell’asse delle ascisse appartenenti all’insiemeR−Z, unsegnale a TD è semplicemente non definito. Come già evidenziato nell’es. 1.3, notiamo che dal puntodi vista matematico un segnale a TDx(n) è assimilabile ad unasuccessione, e pertanto per il suostudio si possono applicare tutti i risultati matematici disponibili per le successioni.

2Un insieme discreto è un insieme costituito da un numero finito di elementi oppure costituito da un numero infinitonumerabile di elementi (cioè i suoi elementi sono ordinabili in successione). In altre parole, un insieme è discreto se puòessere posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali; ad esempio, sono discreti l’insieme dei numeriinteri relativiZ e quello dei numeri razionaliQ. D’altra parte, un insieme continuo è un insieme infinito non numerabile, adesempio, sono continui l’insieme[0,1[ e l’insieme dei numeri realiR.


0 10 20 30 40 50−10

0

10

20

30

40

50

60

n

x(n)

3 gennaio 1995 3 gennaio 1996

Fig. 1.13.Esempio di serie temporale (segnale a TD):il prezzo in dollari di un’azione IBM alla borsa diNew York preso con cadenza settimanale nel corsodi un anno.

Esempio 1.11 (serie temporale)Si consideri il segnalex(n) disegnato in fig. 1.13, che rappresenta il prezzo(in dollari) di un’azione IBM (valore di chiusura) alla borsa di New York presa con cadenza settimanale dal 3gennaio 1995 al 3 gennaio 1996. Tale segnale è intrinsecamente discreto, in quanto presenta valori solo in cor-rispondenza dell’insieme discreto delle settimane dell’anno. Un segnale a TD di questo tipo viene denominatoserie temporale o serie storica. Altri esempi di serie storiche sono l’inflazione mensile calcolata dall’ISTAT,la produzione di un certo bene nei diversi mesi dell’anno, ecc. Le serie storiche sono molto utilizzate nellastatistica, nell’economia e nella finanza.

Una serie temporale è un segnale “intrinsecamente” a TD, in quanto descrive un fenomeno in cui lavariabile indipendente è discreta (ad esempio rappresenta un giorno, un mese, o un anno). I segnalidel mondo fisico, tuttavia, ed in particolare quelli caratteristici dell’elettrotecnica e nell’elettronica,sono quasi sempre a TC: è importante allora considerare la classe dei segnali a TD che si ottengonodai segnali a TC mediante l’operazione dicampionamento.

Esempio 1.12 (campionamento)Dato un segnale a TCx(t), e definito un passo di campionamentoTc eduna frequenza di campionamentofc = 1/Tc, si definiscecampionamento (in inglese,sampling) o conversionet/n del segnalex(t) il segnalex(n) ottenuto dax(t) mediante la relazione seguente:

x(n) = x(nTc) .

In pratica, il segnalex(n) è composto daicampioni, prelevati con passoTc, del segnalex(t). Ad esempio, dalcampionamento della sinusoide a TCx(t) = Acos(ω0t), raffigurata in fig. 1.14(a), si ottiene la sinusoide a TDx(n) = Acos(ω0nTc), rappresentata in fig. 1.14(b) perω0Tc = π/4.

L’operazione inversa del campionamento prende il nome diinterpolazione o ricostruzione, e consentedi passare da un segnale a TD ad un segnale a TC.

Esempio 1.13 (interpolazione lineare)Il più semplice esempio di interpolazione è l’interpolazionelineare,ottenuta congiungendo con segmenti di retta le ampiezze dei campioni del segnale a TD, supposte equispaziatedi Tc (passo di interpolazione). Postox(n) = x(nTc) e x(n + 1) = x[(n + 1)Tc], l’espressione del segnale a TCx(t) ottenuto per interpolazione lineare nell’intervallo[nTc,(n+1)Tc] è:

x(t) = x(n)+[

x(n+1)− x(n)Tc

](t−nTc) , t ∈ [nTc,(n+1)Tc] .

In fig. 1.15(b) è rappresentato il segnale a TC ottenuto interpolando linearmente i campionix(n) del segnalesinusoidale dell’es. 1.12. Si noti che l’interpolazione lineare non consente, anche visivamente, la perfetta


(a) (b)

A

t

x(t) x(nTc)

-A

Tc

A

n

x(n)

-A

1 2

3 4 5

-1-2

Fig. 1.14.Campionamento di un segnale: (a) il segnale sinusoidale a TCx(t) dell’es. 1.12 ed i suoi campionix(nTc), uniformemente spaziati diTc (passo di campionamento); (b) il segnale a TDx(n) ottenuto campionandoil segnalex(t) perω0T = π/4 (si noti la spaziatura unitaria tra i campioni del segnale a TD).

(a) (b)

A

n

x(n)

-A

1 2

3 4 5

-1-2

A

t

x(t) x(nTc)

-A

Tc

Fig. 1.15. Interpolazione di un segnale: (a) il segnale a TDx(n) dell’es. 1.12; (b) il segnale a TCx(t)dell’es. 1.13 ottenuto interpolando linearmente i campionix(nTc).


campion .segnale

a TCsegnale

a TD

Tc

Fig. 1.16.Schema a blocchi di un campionatore (sinoti il passo di campionamentoTc indicato in basso).

interp.segnale

a TDsegnale

a TC

Tc

Fig. 1.17.Schema a blocchi di un interpolatore (sinoti il passo di interpolazioneTc indicato in basso).

ricostruzione del segnale analogico originario; in particolare, il segnale interpolatox(t) presenta, a differenzadella sinusoide originale, un andamento “a spezzata”.

L’interpolazione lineare non è l’unico tipo di interpolazione possibile: in particolare, l’esempio pre-cedente mostra che se si vuole ottenere un andamento più “dolce” del segnale interpolato è necessa-rio ricorrere a tecniche di interpolazione più sofisticate. In ogni caso, la teoria del campionamentoe dell’interpolazione, ed in particolare la fondamentale questione se un segnale a TC, dopo esse-re stato campionato, possa essere ricostruitoperfettamente a partire dai suoi campioni (teorema delcampionamento), sarà studiata approfonditamente nel cap. 7. Notiamo infine che campionamento einterpolazione possono essere interpretati come sistemi, denominati rispettivamentecampionatore edinterpolatore, e rappresentati graficamente in fig. 1.16 e fig. 1.17.


Red

Green

Blue

zR(x,y)

zG(x,y)

zB(x,y)

Fig. 1.18.Esempio di segnale vettoriale: un’immagine a colori si può de-comporre nelle componenti RGB, e quindi nei segnalizR(x,y), zG(x,y),zB(x,y).

1.4.2 Proprietà della variabile dipendente

Definizione 1.7 (segnale scalare/vettoriale)(a) Un segnale si dicescalare se il valore assunto dal segnale (la variabile dipendente) è uno

scalare.

(b) Un segnale si dicevettoriale se il valore assunto dal segnale (la variabile dipendente) è unvettore, ovvero un “array” di scalari.

Negli esempi visti in precedenza, i segnali sono tutti scalari. Un esempio di segnale vettoriale èl’immagine a colori, discusso nell’esempio seguente.

Esempio 1.14 (immagine a colori)Una immagine fissa a colori (fig. 1.18) può essere decomposta dallesue tre componenti fondamentali, rosso (R), verde (G) e blu (B), e quindi può essere descritta da tre segnalimonocromatici associati a ciascuna componente, siano essizR(x,y), zG(x,y), zB(x,y). In questo caso il segnaleè complessivamente una funzione vettoriale di due variabili:

z(x,y) = [zR(x,y),zG(x,y),zB(x,y)] .

Combinando opportunamente questi tre segnali è possibile riprodurre l’immagine a colori originaria. Se l’im-magine a colori è in movimento (filmato a colori), alle due variabili indipendenti spaziali bisogna aggiungereuna variabile temporale, per cui il segnale sarà descritto da una funzione vettorialez(x,y, t) di tre variabili.


5

t

x(t)

-5

... ...

Fig. 1.19.Esempio di segnale ad ampiezza discreta:il segnale logico dell’es. 1.15.

Definizione 1.8 (segnale ad ampiezza continua/discreta)(a) Un segnale si dicead ampiezza continua (AC) se la variabile dipendente (ampiezza) varia in

un insieme continuo.

(b) Un segnale si dicead ampiezza discreta (AD) se la variabile dipendente (ampiezza) varia inun insieme discreto.

Sulla base del modello matematico (1.1), utilizzato per descrivere un segnale, il codominioX dellafunzione è un insieme continuo per un segnale ad ampiezza continua, mentreX è un insieme discretoper un segnale ad ampiezza discreta. I segnali visti negli esempi precedenti sono tutti ad ampiezzacontinua: ad esempio, la sinusoide degli es. 1.1 e 1.2 assume con continuità tutti i valori dell’intervallo[−A,A]≡ X. Un esempio di segnale ad ampiezza discreta è il segnale logico.

Esempio 1.15 (segnale logico)La codifica degli stati logici “0” (falso) ed “1” (vero) avviene in un circuitodigitale associando ad essi due livelli di tensione (in Volt), ad esempio 5V per rappresentare lo stato “0” e−5Vper rappresentare lo stato ”1”. Il segnale risultantex(t) (fig. 1.19) descrive la variazione dello stato logico neltempo. Si tratta di un segnale a tempo continuo ma ad ampiezza discreta, visto che il suo codominioX = −5,5è costituito solo da due valori.

Un segnale ad ampiezza discreta si può ottenere da un segnale ad ampiezza continua mediante unaopportuna trasformazione delle ampiezze, dettaquantizzazione. In pratica tale operazione consistenell’effettuare una discretizzazione delle ampiezze continue del segnale, rimpiazzandole con un nu-mero finito di possibili valori. Il vantaggio che si consegue con la quantizzazione è che, se il numerodelle ampiezze è finito, esse possono essere rappresentate mediante cifre binarie “0” ed ”1” (bit).

Esempio 1.16 (quantizzazione)Si consideri il segnale sinusoidale a TDx(n) = Acos(ω0nT ) dell’es. 1.12,raffigurato in fig. 1.20(a). Esso può essere trasformato in un segnale ad ampiezza discreta con due soli livelli±A mediante l’operazione di quantizzazione “ad un bit”:

y(n) =

+A , sex(n)≥ 0 ;

−A , altrimenti.

Il segnale risultante è mostrato in fig. 1.20 (b). La quantizzazione si dice “ad un bit” in quanto l’ampiezza


(a) (b)

A

n

x(n)

-A

1 2

3 4 5

-1-2

A

n

y(n)

-A

1 2

3 4 5

-1-2

Fig. 1.20.Quantizzazione di un segnale: (a) il segnale a TDx(n) dell’es. 1.12; (b) il segnale ad ampiezzadiscretay(n) dell’es. 1.16 ottenuto quantizzando con due livelliA e−A il segnalex(n).

quantizz .segnale

adampiezzacontinua

segnalead

ampiezzadiscreta

Fig. 1.21.Schema a blocchi di un quantizzatore.

assume due soli valori, e quindi può essere rappresentata con un solo bit, ad esempio “1” per l’ampiezzaA e“0” per l’ampiezza−A.

Anche l’operazione di quantizzazione si può interpretare come un sistema, denominatoquantizzatore,e raffigurato in fig. 1.21. Così come il campionamento, anche la teoria della quantizzazione saràapprofondita nel cap. 7.


continuo discreto

cont

inua

disc

reta

segnalianalogici(TC /AC)

segnalidigitali

(TD/AD)

tempo

ampi

ezza

segnali aTC/AD

segnali aTD/AC

Fig. 1.22.Le quattro categorie di segnali che si otten-gono combinando le classificazioni nel tempo ed in am-piezza. Tra esse, le categorie dei segnali analogici edigitali sono le uniche di interesse applicativo.

1.4.3 Segnali analogici e digitali

Dal punto di vista applicativo, le classificazioni più importanti tra quelle viste in precedenza sonoquella tra segnali a tempo continuo o discreto, e tra segnali ad ampiezza continua o discreta. Poichétali classificazioni riguardano una il tempo e l’altra l’ampiezza del segnale, esse sono indipendenti,e dalla loro combinazione scaturiscono quattro possibili categorie di segnali (fig. 1.22). Di queste,tuttavia, solo le due che seguono hanno un’importanza rilevante nelle applicazioni, tanto da meritareuna denominazione particolare:

Definizione 1.9 (segnale analogico/digitale)(a) Un segnale si diceanalogico se è a tempo continuo e ad ampiezza continua.

(b) Un segnale si dicedigitale o numerico se è a tempo discreto e ad ampiezza discreta (con unnumero finito di ampiezze).

I segnali del mondo fisico sono analogici, in quanto i fenomeni fisici evolvono con continuità sia neltempo che in ampiezza, e per il loro studio matematico, affrontato già a partire dal XVIII secolo,esistono metodologie ben consolidate. Viceversa, l’interesse per i segnali digitali è più recente, maessi rivestono un ruolo predominante nello scenario tecnologico attuale, in quanto possono essererappresentati mediante stringhe di bit ed immagazzinati ed elaborati mediante dispositivi digitali (ela-borazione digitale dei segnali odigital signal processing, DSP), con vantaggi rilevanti in termini dicosti e flessibilità (si veda l’es. 1.18 e la successiva discussione).


ingresso 1 uscita

ingresso 2

(a)

ingresso 1 uscita

ingresso 2

(b)

x(t) sistema aTC

y(t)

x(n) sistema aTD

y(n)

(a)

(b)

Fig. 1.23.Esempi di sistemi MISO; (a) sommatore adue ingressi; (b) moltiplicatore a due ingressi.

Fig. 1.24.Rappresentazione di un sistema SISO me-diante schema a blocchi: (a) sistema a TC; (b) sistemaa TD.

1.5 Classificazione elementare dei sistemi

Come i segnali, anche i sistemi possono essere classificati sulla base delle loro proprietà elementa-ri, quali il numero degli ingressi e delle uscite, e la natura temporale (a tempo continuo o a tempodiscreto) degli ingressi e delle uscite.

Definizione 1.10 (sistema SISO/MISO/SIMO/MIMO)(a) Un sistema con un ingresso ed una uscita si dicesingle-input single-output (SISO).

(b) Un sistema con più ingressi ed una uscita si dicemultiple-input single-output (MISO).

(c) Un sistema con un ingresso e più uscite si dicesingle-input multiple-output (SIMO).

(d) Un sistema con più ingressi e più uscite si dicemultiple-input multiple-output (MIMO).

I sistemi visti in precedenza, quali ad esempio il partitore resistivo, il campionatore, l’interpolatore,ed il quantizzatore, sono tutti di tipo SISO. Semplici esempi di sistemi MISO sono il sommatore edil moltiplicatore, raffigurati schematicamente in fig. 1.23. Nel seguito, a parte il caso dei sommatorie dei moltiplicatori, faremo esclusivamente riferimento a sistemi SISO: per questo motivo, quandoparleremo di sistema, supporremo implicitamente che esso sia di tipo SISO.

Definizione 1.11 (sistema a tempo continuo/discreto/misto)(a) Un sistema si dicea tempo continuo (TC) se l’ingresso e l’uscita sono entrambi segnali a

tempo continuo.

(b) Un sistema si dicea tempo discreto (TD) se l’ingresso e l’uscita sono entrambi segnali atempo discreto.

(c) Un sistema si dicemisto (o ibrido) se l’ingresso e l’uscita sono uno a tempo continuo e l’altroa tempo discreto, o viceversa.

1.5 Classificazione elementare dei sistemi 19

A/D

campion . quantizz .

(a)segnale

analogicosegnaledigitale

segnalecampionato

segnaleanalogico

segnaledigitale (b)

Tc

Fig. 1.25.Conversione A/D: (a) schema a blocchi di un convertitore A/D; (b) rappresentazione schematica dellaconversione A/D come un campionamento seguito da una quantizzazione.

Sulla base del modello (1.2) utilizzato per descrivere matematicamente un sistema, nel caso di sistemia TC, entrambi gli insiemiI e U dei segnali di ingresso e di uscita racchiudono solo segnali a TC,mentreI eU sono costituiti solo da segnali a TD nel caso di sistemi a TD ed, infine, nel caso di sistemimisti, l’insiemeI racchiude solo segnali a TC, mentreU contiene solo segnali a TD, o viceversa.Praticamente tutti i sistemi del mondo fisico evolvono con continuità nel tempo, e quindi sono sistemia TC: ad esempio una rete elettrica, come il partitore dell’es. 1.5, è un sistema a TC. In accordo conla simbologia introdotta in fig. 1.6, un generico sistema a TC può essere rappresentato con lo schemaa blocchi in fig. 1.24(a). I sistemi a TD non esistono generalmente “in natura”, ma sono di grandeinteresse in quanto descrivono numerosi fenomeni delle scienze naturali ed umane (ad esempio, incampo economico o sociale); essi sono inoltre di grande interesse ingegneristico, in quanto consentonodi “simulare” mediante un calcolatore digitale il comportamento di un sistema fisico. Un genericosistema a TD si rappresenta con lo schema a blocchi in fig. 1.24(b). Notiamo infine che talvolta isistemi a TC sono anche denominatisistemi analogici, ed i sistemi a TD sono denominati, in manieralievemente imprecisa,sistemi digitali.3

Infine, i sistemi misti (TC/TD o TD/TC) sono molto utili quando bisogna passare dal mondo“fisico” dei segnali a TC al mondo “virtuale” dei segnali a TD, e viceversa. Esempi significativi disistemi di questo tipo sono il campionatore (es. 1.12), che presenta ingresso a TC e uscita a TD, el’interpolatore (es. 1.13), che presenta ingresso a TD e uscita a TC. Il seguente esempio introduce dueulteriori esempi di sistemi misti.

Esempio 1.17 (conversione A/D e D/A)Un segnale analogico può essere convertito in un segnale digitalemediante unaconversione A/D, effettuata da un sistema denominato convertitore A/D (fig. 1.25). Per effettuaretale conversione è necessario discretizzare sia i tempi che le ampiezze del segnale, e quindi bisogna effettuaresia un campionamento (cfr. es. 1.12), sia una quantizzazione (cfr. es. 1.16). Lo schema del convertitore A/Driportato in fig. 1.25 è puramente di principio; in un convertitore A/D reale (denominato ancheanalog-to-digital converter, ADC), le operazioni di campionamento e quantizzazione non sono necessariamente effettuatenell’ordine visto, e spesso non sono nemmeno chiaramente separabili. Inoltre, in un ADC sarà presente in uscitaanche un codificatore binario per trasformare le ampiezze del segnale quantizzato in stringhe di bit.

La conversione inversa (da segnale digitale ad analogico) prende il nome diconversione D/A ed è effet-tuata da un convertitore D/A (fig. 1.26): essa consiste fondamentalmente in una operazione di interpolazione

3Più precisamente, i sistemi digitali sono particolari sistemi a TD implementati con un’aritmetica a precisione finita.


D/A (a)segnaledigitale

segnaleanalogico

(b)interp.segnaledigitale

segnaleanalogico

Tc

Fig. 1.26.Conversione D/A: (a) schema a blocchi di un convertitore D/A; (b) rappresentazione schematica dellaconversione D/A in termini di interpolazione.

(cfr. es. 1.13), in quanto gli effetti della quantizzazione sono irreversibili, e quindi non può esistere una opera-zione inversa di “dequantizzazione”. Un convertitore D/A reale (denominato anchedigital-to-analog converter,DAC), accetta in ingresso stringhe di bit, che sono trasformate in valori di ampiezza da un decodificatore binario,prima di effettuare l’interpolazione.

Un’applicazione particolarmente interessante dei sistemi misti, ed in particolare dei convertitori A/De D/A, è lo schema classico dell’elaborazione digitale dei segnali o digital signal processing (DSP)riportato in fig. 1.27, e finalizzato ad elaborare un segnale analogico in maniera digitale. In taleschema, un segnale analogicox(t) viene prima convertito, mediante un convertitore A/D, in un segnaledigitale x(n); successivamente, il segnalex(n) viene elaborato mediante un sistema digitale, ed ilsegnale risultantey(n) viene nuovamente trasformato in un segnale analogico dal convertitore D/A. Sinoti che il sistema complessivo (tratteggiato in fig. 1.27) è un sistema analogico; per questo motivo,lo schema di fig. 1.27 può essere interpretato anche come uno schema disimulazione di un sistemaanalogico mediante un sistema digitale. Rispetto ad una elaborazione analogica del segnalex(t),lo schema digitale in fig. 1.27 offre alcuni vantaggi importanti, quali maggiore flessibilità, minoreingombro, minore consumo di potenza e, non ultimo, minor costo dell’hardware. Per questo motivo,schemi DSP del tipo precedentemente visto trovano applicazioni in quasi tutti i moderni settori dellatecnologia, dalle telecomunicazioni all’informatica, alla biomedica, all’automazione, alle costruzioniaerospaziali, ai trasporti, e numerosi altri.

A/D sistemadigitale

x(t) D/A y(t)x(n) y(n)

sistema analogico

Fig. 1.27.Schema classico per l’elaborazione digitale dei segnali.

1.5 Classificazione elementare dei sistemi 21

masterizzatoreanalogico

trasduttore("puntina ")

microfono

altoparlante

discoin vinile

registrazione

riproduzione

amplificatori

Fig. 1.28.Schema analogico per la registrazione/riproduzione audio. L’informazione è memorizzata sul discoin vinile in forma analogica (come profondità del solco).

La sintesi e l’analisi dei convertitori A/D e D/A saranno approfondite nel cap. 7. Tuttavia l’esem-pio che segue mostra come tali sistemi giochino un ruolo fondamentale in una familiare applicazionedell’elettronica di consumo.

Esempio 1.18 (schemi analogici e digitali per la registrazione/riproduzione audio)In fig. 1.28 si riportalo schema di principio che descrive la registrazione di un brano musicale su un disco in vinile e la sua successivariproduzione, entrambe effettuate in maniera analogica. Il brano da registrare viene captato da un microfono,che si comporta datrasduttore, ovvero converte la pressione acustica del suono in un segnale elettrico. Talesegnale elettrico, di debole intensità, viene amplificato e inviato ad un masterizzatore (analogico). Il maste-rizzatore si comporta daattuatore, trasforma cioè il segnale elettrico in un segnale che comanda l’incisionedei solchi su un supporto (master), tipicamente in materiale metallico pregiato. Il profilo dei solchi del discoriproduce il più fedelmente possibile l’ampiezza del segnale audio all’ingresso del masterizzatore. Una voltainciso il master, da esso si possono ricavare dei master secondari, e da questi ultimi le copie in materiale plastico(vinile), che vengono vendute all’utente finale. Da ciascuna copia, l’utente può riascoltare il brano inciso uti-lizzando un giradischi, nel quale un trasduttore – la cosiddetta “puntina” – muovendosi lungo i solchi converteil movimento verticale in una debole tensione elettrica, che dopo essere stata amplificata può essere applicataai diffusori acustici (le casse) e finalmente ascoltata.

Lo schema di registrazione/riproduzione analogica precedentemente visto è stato tuttavia sostituito al gior-no d’oggi dallo schema digitale riportato in fig. 1.29. In esso, la differenza significativa è che il segnale captatodal microfono, dopo l’amplificatore, viene sottoposto ad una conversione A/D, codificato in bit, ed inviato adun masterizzatore (digitale), il quale memorizza su un supporto ottico (il compact disc) le stringhe di bit cherappresentano il segnale dopo il campionamento e la quantizzazione, bruciando con un laser in misura maggioreo minore le zone del disco. Successivamente, l’informazione binaria può essere letta dal compact disc utilizzan-do un trasduttore ottico (ancora un laser): le stringhe di bit vengono decodificate, ed inviate ad un convertitoreD/A. Successivamente il segnale viene amplificato e riprodotto mediante i diffusori acustici (le casse).

L’es. 1.18 può servire per evidenziare più chiaramente alcuni dei numerosi vantaggi che lo schemadigitale presenta rispetto a quello analogico.


A/D

trasduttore(laser )

microfono

altoparlante

compactdisc

masterizzatoredigitale

D/A

registrazione

riproduzione

amplificatori

Fig. 1.29.Schema digitale per la registrazione/riproduzione audio. L’informazione è memorizzata sul compactdisc in forma digitale (come stringhe di bit).

Il vantaggio principale è che l’informazione, una volta memorizzata in maniera digitale, può essereriprodotta infinite volte e senza quasi alcuna degradazione. Infatti, se il supporto analogico (il disco invinile) è sottoposto a deterioramento, polvere, graffi, deformazioni, ecc., queste si traducono comun-que in una degradazione acusticamente percepibile della qualità del segnale audio (fruscio, “click”,ecc.); di contro, piccole degradazioni del supporto digitale (il compact disc), tali da non comportarescambi in lettura tra “0” ed “1” (o viceversa), non determinano alcuna degradazione della qualità delsegnale audio. Esiste evidentemente la possibilità che, a causa di degradazioni più significative delsupporto digitale, uno o più bit possano essere letti erroneamente, ma a tale evenienza si può por-re rimedio mediante tecniche sofisticate per la rivelazione e correzione di errori (codifica di canale):questo è un altro vantaggio dello schema digitale su quello analogico, in quanto in quest’ultimo casonon sono concepibili tecniche semplici per la protezione dagli errori.

Un altro vantaggio della conversione digitale è che differenti sorgenti di informazione, una voltaconvertite in stringhe di bit, possono essere facilmente memorizzate in manieraintegrata su uno stessosupporto; si pensi ad esempio al supporto DVD (digital versatile disc) in cui si integrano con facilitàinformazioni “multimediali” quali video, audio, e dati di varia natura.

Infine l’informazione digitale, essendo stata convertita in bit, può più facilmente essere elaborata,memorizzata, compressa, protetta, anche con un semplicepersonal computer (PC). Di contro, l’e-laborazione dell’informazione analogica comporta l’uso di sofisticate apparecchiature professionali,costose da progettare e da realizzare. Non a caso, con l’avvento delle tecniche digitali, è diventatopossibile per chiunque disporre di uno studio di registrazione audio semiprofessionale o di una stazio-ne per l’editing video basati su un PC sufficientemente potente, a costi sempre più bassi, dell’ordinedi qualche migliaio di euro.


Capitolo 2

Proprietà dei segnali

I n questo capitolo, che costituisce la naturale prosecuzione del precedente, viene ulteriormente ap-profondito lo studio dei segnali. In particolare, dopo aver introdotto le operazioni elementari che sipossono effettuare sui segnali, viene definito e discusso il concetto diestensione temporale e diduratadi un segnale. Successivamente si introducono le definizioni diarea emedia temporale di un segnale,che consentono di calcolare lacomponente continua edalternata di un segnale arbitrario. Infine, sonodefiniti e discussi i fondamentali concetti dienergia epotenza, sulla base dei quali è possibile classifi-care ulteriormente i segnali insegnali di energia e segnali di potenza. Nel corso del capitolo sarannointrodotti numerosi segnali cosiddettielementari, che possono considerarsi alla stregua di “mattoni”,assemblando i quali è possibile ottenere quasi tutti i segnali di interesse pratico.

2.1 Operazioni elementari sui segnali

Poiché i segnali deterministici a TC sono descritti mediante funzioni di variabili reali, tutti i concetti ele operazioni introdotti nei corsi di analisi matematica per le funzioni valgono anche per i segnali TC;in particolare, con riferimento a un segnale TC, è possibile introdurre i concetti di limite e continuità,e le operazioni di derivazione e integrazione. Allo stesso modo, poiché i segnali deterministici a TDsono descritti mediante successioni, tutti i concetti e le operazioni definiti per le successioni sonovalidi anche per i segnali a TD; in particolare, per un segnale TD, è possibile definire le nozioni dilimite e serie. Alcune definizioni e operazioni fondamentali sulle funzioni e sulle successioni sonobrevemente richiamati nell’app. B. Tuttavia, esistono alcune operazioni elementari sulle funzioniche giocano un ruolo fondamentale nella teoria dei segnali e dei sistemi e, pertanto, meritano unaparticolare attenzione. Tali operazioni si possono schematicamente classificare come:

• trasformazioni della variabile dipendente (l’ampiezza);

• trasformazioni della variabile indipendente (il tempo).

Anticipiamo che mentre le prime sono più semplici da interpretare, le seconde sono più complessee soggette talvolta ad errori di interpretazione. In aggiunta a tali operazioni elementari, vi sono altreoperazioni meno elementari che sono di stretto interesse dal punto di vista della teoria dei segnali

26 Proprietà dei segnali

(a)

(b)

x1(·)

x1(·)

x2(·)

x2(·)

y(·)

y(·)

Fig. 2.1. Operazioni sui segnali: (a) somma di due segnali; (b) moltiplicazione di due segnali.

e dei sistemi, quali, ad esempio, le operazioni diderivazione ed integrazione per segnali TC. Larivisitazione di tali proprietà consentirà di ottenere alcune importanti generalizzazioni, che porterannoin particolare a definire un particolare segnale TC dalle “strane” proprietà, dettoimpulso di Dirac.Inoltre, nel caso TD, in stretta analogia alle operazioni di derivazione ed integrazione per il caso TC,saranno definite due operazioni corrispondenti, denominatedifferenza prima e somma corrente.

2.1.1 Trasformazioni della variabile dipendente

Tra le trasformazioni elementari della variabile dipendente, considereremo in particolare lasomma didue segnali, ilprodotto di due segnali, lamoltiplicazione di un segnale per una costante.

Somma

La somma di due segnali1

y(·) = x1(·)+ x2(·)

si effettua sommando punto a punto le ordinate delle funzioni corrispondenti. La somma di due segnalisi può interpretare come un sistema MISO (a due ingressi ed una uscita) (cfr. § 1.5) denominatosommatore e rappresentato schematicamente in fig. 2.1(a). La somma si può estendere facilmentea più di due segnali, così come si può generalizzare lo schema del sommatore anche al caso in cuialcuni segnali siano sottratti anziché sommati (in questo caso si aggiunge un segno “–” in prossimitàdel corrispondente ingresso del sommatore).

Prodotto

In maniera simile alla somma, si definisce ilprodotto di due segnali

y(·) = x1(·)x2(·) .

1Qui e nel seguito, useremo la notazione del tipox(·) per denotare indifferentemente un segnale TCx(t) o TD x(n).

2.1 Operazioni elementari sui segnali 27

ax(·) y(·)

Fig. 2.2. Schema a blocchi di un amplificatore/attenuatore.

Il prodotto di due segnali si può interpretare anch’esso come un sistema MISO (a due ingressi ed unauscita) denominatomoltiplicatore e rappresentato in fig. 2.1(b). Anche la definizione di prodotto e loschema del moltiplicatore può essere generalizzato in modo ovvio al caso di più di due ingressi.

Moltiplicazione per una costante

La moltiplicazione di un segnale per una costante

y(·) = ax(·) ,

con a > 0, corrisponde a moltiplicare tutti i valori di ampiezza del segnale per il fattorea. Taleoperazione può essere interpretata come l’effetto di un sistema SISO denominatoamplificatore (sea > 1) o attenuatore (sea < 1), raffigurato in fig. 2.2. Genericamente, il fattorea viene denominatoguadagno dell’amplificatore/attenuatore.

Se a = −1, l’operazioney(·) = −x(·) corrisponde ad un cambio di segno delle ampiezze delsegnale, e viene denominatainversione (da non confondere con la riflessione temporale che è discussadopo). Più in generale, sea < 0, l’operazioney(·) = ax(·) si può riguardare come un’inversioneseguita da un’amplificazione (o attenuazione) con guadagno|a|; lo schema di fig. 2.2 può essereutilizzato anche in questo caso.

2.1.2 Trasformazioni della variabile indipendente

Tra le trasformazioni elementari della variabile indipendente considereremo latraslazione temporale,la riflessione temporale, ed ilcambiamento di scala temporale; per quest’ultima operazione, in par-ticolare, considereremo alcune caratteristiche peculiari del caso TD, attraverso l’introduzione delleoperazioni didecimazione edespansione.

Traslazione temporale (ritardo/anticipo)

La traslazione temporale di un segnale TC si definisce come

y(t) = x(t− t0) ,

dove pert0 > 0 si ha una traslazione verso destra del segnale, oritardo, mentre pert0 < 0 si ha unatraslazione verso sinistra, oanticipo, come rappresentato in fig. 2.3. Si noti che una traslazione tem-porale non modifica laforma del segnale, ma comporta solo una variazione del riferimento temporale.Una definizione analoga di traslazione temporale si può dare per un segnale TD:

y(n) = x(n−n0) ,

dove però, a differenza del caso TC, il parametro della traslazionen0 assume necessariamente valoriinteri, cioèn0 ∈ Z: in altri termini, un segnale TD può essere traslato solo di quantità intere.


x(t)

t

y(t) = x(t-t0)

t

t1 t2

(a)

(b)

(c)

t1+t0 t2+t0

tt1+t0 t2+t0

t0 > 0

t0 < 0y(t) = x(t-t0)

Fig. 2.3. Traslazione temporale di un segnale TC: (a) segnale originario; (b) segnale ritardato (t0 > 0); (c)segnale anticipato (t0 < 0).

Riflessione temporale

La riflessione temporale di un segnale consiste nel ribaltamento della scala dei tempi, secondo leseguenti relazioni, valide rispettivamente per il caso TC e TD:

y(t) = x(−t) ;

y(n) = x(−n) .

Un esempio di riflessione per un segnale TC è riportato in fig. 2.4; in pratica il grafico del segna-le subisce una rotazione intorno all’asse delle ordinate (si noti che il valore int = 0 oppuren = 0resta immutato per effetto della riflessione). Dal punto di vista fisico, se ad esempio il segnalex(t)rappresenta l’audio di un brano musicale, la riflessione corrisponde a riprodurre il brano al contrario.

Un segnale TC invariante alla riflessione,x(−t) = x(t), si dicepari; invece, un segnale TC inva-riante rispetto alla cascata di una riflessione e inversione,x(t) =−x(−t), si dicedispari. Analogamen-te, un segnale TD si dicepari sex(−n) = x(n), dispari sex(n) =−x(−n). Ad esempio, in fig. 2.5 (a)


x(t)

t

y(t) = x(- t)

t

t1 t2

(a)

(b)

- t1- t2

Fig. 2.4. Riflessione temporale di un segnale TC: (a) segnale originario; (b) segnale riflesso.

e (b) sono raffigurati due esempi di segnali pari, mentre in fig. 2.5 (c) e (d) sono raffigurati due esempidi segnali dispari. Si noti che un segnale pari o dispari è completamente descritto dal suo andamentoper valori positivi (oppure negativi) della variabile indipendente. A partire dalla definizione di segnalepari e dispari, si possono facilmente dimostrare (la dimostrazione è lasciata al lettore per esercizio) leseguenti semplici proprietà:

Proprietà 2.1 (proprietà elementari dei segnali pari e dispari)(a) Sex(·) è dispari ed è definito il suo valore nell’origine, risulta necessariamentex(0) = 0.

(b) La somma di due segnali pari [dispari] è un segnale pari [dispari].

(c) Il prodotto di due segnali pari è un segnale pari, mentre il prodotto di due segnali dispari èun segnale pari.

(d) Il prodotto di un segnale pari e di un segnale dispari è un segnale dispari.

(e) Ogni segnalex(·) (nè pari nè dispari) può essere decomposto comex(·) = Pa[x(·)]+Di[x(·)],dove

Pa[x(·)] = x(·)+ x(−(·))2

e Di[x(·)] = x(·)− x(−(·))2

.

sono rispettivamente lacomponente pari (o parte pari) e lacomponente dispari (o partedispari) del segnalex(·).

Un esempio di decomposizione di un segnale TC in parte pari e dispari è riportato in fig. 2.6.


x(t)

t

x(n)

n

(a) (b)

0 1 2 3-1-2-3

x(t)

t

(c)

x(n)

n

(d)

0

1 2

3-1-2-3

Fig. 2.5. Invarianza alle riflessioni/inversioni: (a) segnale pari a TC; (b) segnale pari aTD; (c) segnale dispari a TC; (b) segnale dispari a TD.

x(t)

t1-1

2

Di[x(t)]

t1

-1

1

Pa[x(t)]

t1-1

-1

-1

1

Fig. 2.6. Esempio di decomposizione di un segnale TC in parte pari e dispari.


x(t)

t

y(t) = x(at)

t

t1 t2

(a)

(b)

(c)

t1/a

t

a > 1

a < 1y(t) = x(at)

t2/a

t1/a t2/a

Fig. 2.7. Cambiamento di scala temporale di un segnale TC: (a) segnale originario; (b) segnale compresso(a > 1); (b) segnale espanso (0< a < 1).

Cambiamento di scala temporale

L’operazione di cambiamento di scala temporale presenta sostanziali differenze tra il caso TC e quelloTD, per cui tratteremo separatamente questi due casi. Nel caso TC, il cambiamento di scala temporaleè definito come

y(t) = x(at) ,

dovea ∈ R+: per a > 1, in particolare, si ha unacompressione dei tempi [fig. 2.7(a)], mentre per0 < a < 1 si ha unaespansione dei tempi [fig. 2.7(b)]; il casoa = 1 lascia ovviamente il segnaleinalterato. Si noti che sia nel caso della compressione che dell’espansione, il valore del segnale pert = 0 rimane inalterato. Nel casoa < 0, l’operazioney(t) = x(at) non è elementare, in quanto si puòriguardare come la cascata di unariflessione e di un cambiamento di scala di|a|> 0.

Dal punto di vista fisico, se il segnalex(t) è l’audio di un brano musicale, la compressione corri-sponde a riprodurre il segnale in un tempo più piccolo, e quindi a velocità maggiore (ad esempio, siha una compressione se si riproduce un disco in vinile a 33 giri alla velocità di un 45 giri), mentre con


x(n)

n

(a)

0

1

2 3-1

-2

-3-4

y(n) = x(3n)

n

(b)

0 1 2

3

-1-2

-3

4

5 6

7

8

9

-5-6

-7

-8

-9

x(-9)

x(-6)x(-3)

x(0)

x(3)

x(6)

x(9)

Fig. 2.8. Decimazione di un segnale TD: (a) segnale originario; (b) segnale decimato conM = 3.

l’espansione si ottiene esattamente l’effetto opposto. Notiamo che per segnali a TC il cambiamento discala dei tempi è una operazione perfettamente reversibile, ed in particolare un cambiamento di scalacon fattorea è perfettamente compensato da un cambiamento di scala con fattore 1/a.

Per segnali a TD, l’espressioney(n) = x(an) ha senso pera > 1 solo sea è intero, ovvero sea = M ∈ N, per cui si scrive:

y(n) = x(nM) .

In questo caso è possibile ancora parlare di compressione, ma nel caso TD si utilizza il termine piùspecifico didecimazione;2 infatti, se se sceglieM = 10, il segnaley(n) si ottiene dal segnalex(n) pren-dendo un campione ogni 10. Un esempio di decimazione conM = 3 è rappresentato graficamente infig. 2.8; si noti l’effetto di compressione (minore durata) del segnale risultante, derivante dalla perdi-ta di due campioni ogni tre del segnale originario. È proprio tale perdita dei campioni caratteristicadella decimazione che segna la maggiore differenza tra il caso TD ed il caso TC; infatti, a differenza

2L’uso del termine “decimazione” rievoca la terribile tecnica adoperata dall’esercito nazista durante la seconda guerramondiale per selezionare i prigionieri da sottoporre a fucilazione per rappresaglia, come accadde ad esempio in occasionedel massacro delle Fosse Ardeatine.


x(n)

n

(a)

0 1 2

3

-1-2

-3

x(-3)

x(-2) x(-1)

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

y(n)=x[n/3]

n

(b)

0 1 2 3-1-2-3-4 4 5 6 7 8

9

-5-6-7-8

-9

Fig. 2.9. Espansione di un segnale TD: (a) segnale originario; (b) segnale espanso conL = 3.

della compressione di un segnale TC, la decimazione è una operazionenon reversibile, perché alcunicampioni del segnale TD (in generale,M−1 campioni ogniM) sono eliminati completamente.

Passiamo ora ad esaminare l’operazione di espansione nel caso TD. Analogamente a quanto vistoper la decimazione, l’espressioney(n) = x(an) non ha senso per qualunquea < 1, in quantoan nonè un numero intero. Se anche, per analogia con il casoa = M, si assumea = 1/L, con L ∈ N,l’espressioney(n) = x(n/L) ha senso solo sen èmultiplo di L. Le precedenti considerazioni induconoallora a definire l’operazione diespansione nel caso TD nel modo seguente (si noti l’uso “formale”delle parentesi quadre):

y(n) = x[n

L

] =

x(n

L

), sen è multiplo diL ;

0, altrimenti.(2.1)

Un esempio di espansione perL = 3 è fornito in fig. 2.9; da tale esempio si capisce perché l’espansioneviene denominata ancheinterpolazione con zeri, in quanto essa espande il segnalex(n) inserendoL−1campioni nulli (zeri) tra due campioni consecutivi. A differenza della decimazione, l’espansione aTD è una operazione perfettamente reversibile, in quanto il segnale originario può essere ottenutosemplicemente eliminando gli zeri inseriti, ovvero facendo seguire all’espansione con fattoreL unadecimazione con uguale fattoreM = L.


2.1.3 Combinazione di operazioni elementari

Spesso un segnale è sottoposto in sequenza a più operazioni elementari del tipo precedentementevisto. Dal punto di vista matematico, una combinazione di operazioni elementari definisce una fun-zione composta, per cui non dovrebbe essere difficile individuare il segnale risultante; va detto peròche spesso, specialmente quando sono coinvolte trasformazioni della variabile indipendente (tempo),è facile commettere errori. Per evitare ciò, il principio fondamentale da tener presente è che le trasfor-mazioni che agiscono sull’asse dei tempi (ritardo, riflessione, cambiamento di scala) possono essereinterpretate come semplicisostituzioni formali. Ad esempio, ritardare un segnalex(t) di 3 significaeffettuare la seguente sostituzione: ogni volta che nell’espressione dix(t) comparet, sostituire ad essot−3 (sinteticamente, questa sostituzione si denota cont−3→ t). Allo stesso modo, espandere unsegnalex(t) di un fattore 2 significa effettuare la sostituzionet/2→ t. Tenendo bene a mente questoprincipio, si giungerà al risultato corretto, come illustrato dall’esempio che segue.

Esempio 2.1 (combinazione di operazioni elementari, caso TC)Un segnale TCx(t) viene sottoposto nel-l’ordine alle seguenti operazioni:

(1) riflessione;

(2) ritardo di 3;

(3) compressione di 2.

Per individuare il segnaley(t) risultante, è conveniente seguire il seguente procedimento. Prima scriviamo lerelazioni che descrivono le varie operazioni individualmente, introducendo dei segnali intermediu(t), v(t), etc.Nel nostro caso, le tre operazioni sono descritte da:

riflessione: u(t) = x(−t) ;

ritardo di 3: v(t) = u(t−3) ;

compressione di 2: y(t) = v(2t) .

Successivamente, effettuiamo sostituzioni simboliche a ritroso partendo dall’ultima espressione scritta:

y(t) = v(2t) = u(2t−3) = x[−(2t−3)] = x(3−2t) ,

che è il risultato cercato. Si noti che quando effettuiamo sostituzioni a catena, operiamo sempre con sostituzioniformali in tutti i passaggi: ad esempio per calcolarev(2t) abbiamo effettuato la sostituzione 2t→ t, mentre percalcolareu(2t−3) abbiamo effettuato la sostituzione 2t−3→ t. Procedendo in questo modo si giunge sempreal risultato corretto.

È importante notare che, in generale, il risultato ottenuto dalla combinazione di più operazioni dipendeanche dall’ordine con cui sono compiute tali operazioni.

Esempio 2.2 (effetto dell’ordine nella combinazione di operazioni elementari, caso TC)Si riprenda perun momento l’es. 2.1 scambiando l’ordine delle operazioni, in particolare effettuiamo le stesse operazioni manel seguente ordine:

(1) ritardo di 3;

(2) riflessione;

(3) compressione di 2.

Utilizzando lo stesso procedimento dell’es. 2.1, descriviamo le tre operazioni individualmente e nell’ordineassegnato:

ritardo di 3: u(t) = x(t−3) ;

riflessione: v(t) = u(−t) ;

compressione di 2: y(t) = v(2t) .


Successivamente operiamo le sostituzioni ricorsivamente partendo dall’ultima espressione:

y(t) = v(2t) = u(−2t) = x(−2t−3) ,

ottenendo un segnale differente da quello dell’es. 2.1.

Un altro problema che si pone in pratica è il seguente: dato un segnale ottenuto per combinazionedi operazioni elementari, individuare quali siano le operazioni elementari ed in che ordine vadanoeffettuate. È importante infatti notare che uno stesso segnale si può ottenere con diverse combinazionidi operazioni elementari. L’esempio che segue chiarisce meglio quest’aspetto.

Esempio 2.3 (individuazione delle operazioni elementari, caso TC)Si consideri il segnale

y(t) = x

(4− t

5

).

Esso si può pensare ottenuto a partire dax(t) mediante le seguenti tre operazioni, nell’ordine elencato:

espansione di un fattore 5:z(t) = x( t

5

),

anticipo di 4: u(t) = z(t +4) ,

riflessione: y(t) = u(−t) .

Infatti si ha, sostituendo ricorsivamente a partire dall’ultima,

y(t) = u(−t) = z(−t +4) = x

(−t +45

)= x

(4− t

5

).

Si può verificare che il risultato dipende dall’ordine in cui si eseguono le operazioni. Ad esempio se si effettuaprima la riflessione, poi l’anticipo, ed infine l’espansione, si ha:

y(t) = u( t

5

)= v

( t5

+4)

= x(− t

5−4

)e quindi un risultato differente da quello precedente.

D’altra parte, lo stesso segnale di partenza si può pensare ottenuto mediante una diversa combinazione dioperazioni:

anticipo di45

: z(t) = x

(t +

45

),

riflessione: u(t) = z(−t) ,

espansione di un fattore 5:y(t) = u( t

5

).

Infatti si ha sostituendo a ritroso:

y(t) = u( t

5

)= z

(−t5

)= x

(−t5

+45

)= x

(4− t

5

)e quindi lo stesso segnale. Ovviamente, poiché portano allo stesso risultato, entrambe le sequenze di operazionisono “corrette”; va osservato peraltro che in genere la prima è da preferire, in quanto più “semplice”.

Nel caso di segnali a TD, la tecnica da seguire per combinare operazioni elementari è la stessa vistaper il caso TC. Qualche approfondimento merita il solo caso in cui è presente l’espansione a TDdefinita dalla (2.1), in quanto quest’ultima non si può interpretare semplicemente come la sostituzioneformale din/L→ n: sen/L non è intero, infatti, non ha senso calcolare il valore del segnale inn/L,per cui nella definizione (2.1) si assume convenzionalmente che tale valore sia nullo. Per ottenere


il risultato corretto per via analitica, è conveniente utilizzare la notazioneformale con le parentesiquadre introdotta in (2.1), nel senso che se in corrispondenza di un certo istanten l’argomento delleparentesi quadre è intero, allora il risultato si ottiene calcolando il valore del segnale in quel punto,altrimenti il valore del segnale è nullo. Gli esempi che seguono mostrano come procedere in duesituazioni tipiche.

Esempio 2.4 (combinazione di operazioni elementari, caso TD)Un segnale TDx(n) viene sottoposto nel-l’ordine alle seguenti operazioni:

(1) riflessione;

(2) anticipo di 5;

(3) espansione di 2.

Procediamo come come nel caso TC descrivendo matematicamente le operazioni prese individualmente:

riflessione: u(n) = x(−n) ;

anticipo di 5: v(n) = u(n+5) ;

espansione di 2: y(n) = v[n

2

].

Successivamente sostituiamo ricorsivamente partendo dall’ultima espressione, e mantenendo le parentesi qua-dre dell’espansione con il loro significato simbolico:

y(n) = v[n

2

]= u

[n2

+5]

= x[−n

2−5

].

Con riferimento all’ultima espressione, osserviamo che l’argomento tra parentesi quadre è intero se e solo sen è multiplo di 2, ovvero sen è pari, mentre in tutti gli altri casi è frazionario, per cui il segnaley(n) valeconvenzionalmente zero. Pertanto, il segnaley(n) si può esprimere esplicitamente, eliminando la notazionesimbolica con le parentesi quadre, come:

y(n) =

0, sen è pari,

x(−n

2−5

), altrimenti.

Esempio 2.5 (combinazione di operazioni elementari, caso TD)Un segnale TDx(n) viene sottoposto nel-l’ordine alle seguenti operazioni:

(1) decimazione per 3;

(2) espansione di 6;

(3) anticipo di 5.

Procediamo come come nel caso TC descrivendo matematicamente le operazioni prese individualmente:

decimazione per 3: u(n) = x(3n) ;

espansione di 6: v(n) = u[n

6

];

anticipo di 5: y(n) = v(n+5) .

Successivamente sostituiamo ricorsivamente partendo dall’ultima espressione, e mantenendo le parentesi qua-dre dell’espansione con il loro significato simbolico:

y(n) = v(n+5) = u

[n+5

6

]= x

[3

n+56

]= x

[n+5

2

].


−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

= u

(t)

Fig. 2.10.Gradino a TC.

Con riferimento all’ultima espressione, notiamo che l’argomento tra parentesi quadre è intero se e solo sen+5è multiplo di 2, il che accade se e solo sen è dispari, per cui l’espressione ottenuta si può rendere esplicita,eliminando la notazione con le parentesi quadre, come:

y(n) =

0, sen è dispari,

x

(n+5

2

), altrimenti.

2.1.4 Derivazione, integrazione, differenza prima e somma

Poiché un segnale TCx(t) è essenzialmente una funzione a valori reali di una variabile reale, per essosi applicano in modo naturale i concetti di derivabilità e integrabilità tipicamente trattati nei corsi dianalisi matematica (cfr. § B.2). In particolare, se il segnalex(t) è derivabile nel puntot0 ∈ T, allora lasua derivata è definita mediante il limite del rapporto incrementale:[

ddt

x(t)]

t=t0

= lim

t→t0

x(t)− x(t0)t− t0

(2.2)

che esiste ed è finito. Se il segnalex(t) è derivabile int0, si dimostra chex(t) è anche continuo int0.Pertanto, la continuità del segnalex(t) in t0 è condizione necessaria (ma non sufficiente) affinchè illimite del rapporto incrementale (2.2) esista e sia finito. Tuttavia, nell’ambito della teoria dei segnalisi incontrano molto frequentemente segnali che non sono continui in tutti i punti del loro insieme didefinizioneT. In particolare, un problema che ricorre spesso è il calcolo della derivata di un segnalex(t) che presenta un numero finito o, al più, infinito numerabile di punti di discontinuità di primaspecie. L’esempio più semplice di funzione di tale tipo è rappresentato dalgradino a TC. Il gradino aTC è definito come:

u(t)=

1, set ≥ 0 ;

0, altrimenti ;

ed è rappresentato graficamente in fig. 2.10. Il gradino presenta una discontinuità di prima specie pert = 0, per cui il valore in tale punto può essere definito piuttosto arbitrariamente come il limite da


−ε +ε

1

t

x(t)

= u

ε(t)

(a)

−ε +ε

1/(2 ε)

t

x(t)

= δ

ε(t)

(b)

Fig. 2.11.Definizione dell’impulso a TC: (a) approssimazione uε(t) di un gradino; (b) la derivataδε(t) di uε(t).Al diminuire di ε la funzioneδε(t) diventa sempre più stretta ed alta, conservando area unitaria.

destra (che vale 1), da sinistra (che vale 0), e talvolta come la semisomma dei due limiti (che vale1/2): qui abbiamo scelto la prima convenzione. La derivata di u(t), calcolata applicando la regola diderivazione ordinaria, vale zero in tutti i punti, tranne che nel puntot = 0, in cui il limite del rapportoincrementale (2.2) non è definito. Questo risultato, sebbene matematicamente corretto, non è intuiti-vamente accettabile, se facciamo riferimento all’interpretazione “fisica” della derivata come “rapiditàdi variazione” di una funzione. Infatti, il gradino presenta effettivamente una rapidità di variazionenulla (e quindi una derivata nulla) per ognit = 0, ma pert = 0 presenta una rapidità di variazioneinfinita, in quanto passa istantaneamente (in un tempo nullo) dal valore 0 al valore 1. Per tener contodi questo comportamento e, quindi, poter definire la derivata del gradino anche pert = 0, bisognaricorrere al concetto diderivata generalizzata, non previsto dall’analisi matematica elementare, la cuitrattazione rigorosa richiede la conoscenza dei fondamenti di una branca della matematica nota cometeoria delle distribuzioni. Per mantenere la trattazione ad un livello sufficientemente elementare, tut-tavia, cercheremo di calcolare la derivata di u(t) euristicamente, rimandando il lettore desideroso dimaggiore rigore matematico ai corsi avanzati di analisi matematica.

Allo scopo di calcolare la derivata generalizzata del gradino, postoε ∈R+, definiamo la seguentefunzione uε(t):

uε(t)=

0, pert <−ε ;12

(1+ t

ε)

, per|t| ≤ ε ;

1, pert > ε ;

raffigurata in fig. 2.11(a). Tale funzione rappresenta evidentemente un’approssimazione del gradinou(t), ma a differenza di quest’ultimo è una funzione continua anche pert = 0. L’approssimazione ètanto migliore quanto piùε è piccolo; in effetti, al limite perε→ 0, si ha:

limε→0

uε(t) = u(t) .

La funzione uε(t), essendo continua, non presenta i problemi del gradino per quanto riguarda il calcolodella derivata. Infatti la funzione uε(t) è derivabile nell’intorno dit = 0, e la sua derivata vale:

δε(t) =ddt

uε(t) =

0, per|t|> ε ;12ε , per|t|< ε ;


ed è raffigurata in fig. 2.11(b): si tratta di un rettangolo di area unitaria avente base 2ε ed altezza1/(2ε). Poiché al tendere diε a zero la funzione uε(t) tende al gradino u(t), risulta naturale definirela derivata di u(t) come segue:

ddt

u(t)= lim

ε→0δε(t) . (2.3)

La questione fondamentale è ora capire a cosa tende la funzioneδε(t) quandoε tende a zero. Aldiminuire di ε, la funzioneδε(t) diviene sempre più “stretta” e più “alta” nell’origine, conservandotuttavia area unitaria. Al limite perε → 0, si ottiene cheδε(t) tende ad una funzione di area unitariache è ovunque nulla, eccetto che nell’origine dove assume valore infinito: non esiste alcuna funzionenel senso ordinario dell’analisi matematica che può soddisfare queste condizioni. Quindi, perε → 0,la funzione ordinariaδε(t) non converge ad una funzione ordinaria. Ciò suggerisce che la convergenzadel limite al secondo membro della (2.3) deve essere intesa diversamente da come si è solito fare perle funzioni ordinarie. A tale scopo, se è vero che, al limite perε che tende a zero,δε(t) non ha alcunsignificato come funzione ordinaria, essa ha invece un significato ben preciso se la si moltiplica perun’arbitrario segnalex(t) continuo nell’origine e si integra il risultato su tutto l’asse reale:∫ +∞

−∞δε(t)x(t)dt =

12ε

∫ ε

−εx(t)dt . (2.4)

Dal punto di vista matematico, la (2.4) definisce unfunzionale che si “appoggia” alla funzioneδε(t),cioè, un operatore che associa alla funzionex(t) un numero reale, che è dato dal rapporto tra l’areasottesa daϕ (t) nell’intervallo (−ε,ε) e la misura di tale intervallo. Invocando il teorema della media,possiamo affermare che esiste un puntotε ∈ [−ε,ε] tale per cui∫ +∞


12ε

x(tε) [ε− (−ε)] = x(tε) ,

da cui passando al limite e ricordando chex(t) è continua nell’origine, si ottiene:

limε→0

∫ +∞

−∞δε(t)x(t)dt = lim

ε→0x(tε) = x(0) . (2.5)

In altre parole, al limite perε che tende a zero, il funzionale (2.4) semplicemente “campiona” ilsegnalex(t) nell’istante di tempot = 0. Questo risultato suggerisce di definire il limite al secondomembro della (2.3) mediante una funzione, che indichiamo con

δ(t) = limε→0

δε(t) , (2.6)

la quale è definita dalla relazione integrale∫ +∞

−∞δ(t)x(t)dt = x(0) , (2.7)

dovex(t) è un arbitrario segnale continuo nell’origine. Tale funzione è una funzionegeneralizzata e fuintrodotta dal fisico P. Dirac nei suoi studi sulla meccanica quantistica, motivo per cui è comunementenota comeimpulso o delta di Dirac.

Come indicato dal loro stesso nome, tali funzioni costituiscono una generalizzazione del concettodi funzione: un funzione generalizzata èsempre definita mediante un integrale enon ha senso quindipensare al valore assunto da essa per un dato valore dell’argomento. Infatti, a differenza del concettodi convergenza di funzioni ordinarie, la convergenza della famiglia di funzioniδε(t) alla funzione


δ(t) non deve essere intesa puntualmente, ma, in virtù delle (2.5) e (2.7), deve essere intesa in sensogeneralizzato come:

limε→0

∫ +∞


∫ +∞

−∞δ(t)x(t)dt , (2.8)

ovvero, la convergenza èmediata attraverso una operazione di integrazione al di fuori della quale lafunzioneδ(t) non ha senso. Ci sono due considerazioni interessanti che si possono fare con riferi-mento alle relazioni (2.5) e (2.8). La prima, di carattere prettamente matematico, riguarda il fatto che,implicitamente, la (2.8) rende lecito per definizione il passaggio al limite sotto il segno di integrale;secondo l’analisi matematica convenzionale, questa operazione per l’integrale di Riemann è consen-tita solo se la famiglia di funzioniδε(t) converge uniformemente (il che non avviene nel nostro caso).La seconda, di carattere esclusivamente applicativo, consiste nell’osservare che, poiché nell’ambitodella teoria dei segnali ciò che importa non è tanto la definizione dell’impulso di Dirac bensì il suoimpiego nelle applicazioni, nel seguito useremo frequentemente la delta di Dirac al di fuori dell’ope-razioni di integrazione che la definisce; ad esempio, a valle delle considerazioni fatte finora, possiamoconcludere che la derivata generalizzata del gradino è data dall’impulso di Dirac e, anzichè scrivereformalmente∫ +∞

−∞

[ddt

u(t)]

x(t)dt =∫ +∞

−∞δ(t)x(t)dt ,

scriveremo più semplicemente

ddt

u(t) = δ(t) . (2.9)

In altre parole, per semplicità d’impiego nelle applicazioni, useremo perδ(t) la stessa notazione chetipicamente si usa per le funzioni ordinarie, convenendo tacitamente che le uguaglianze dove comparela delta di Dirac vanno intese in senso generalizzato.

A partire dalla definizione (2.7) dell’impulso di Dirac si possono ricavare le seguenti proprietàelementari, la cui verifica è lasciata al lettore per esercizio:

Proprietà 2.2 (proprietà elementari dell’impulso di Dirac)

(a) Area unitaria :∫ +∞

−∞δ(t)dt = 1.

(b) Campionamento:∫ +∞

−∞δ(t− t0)x(t)dt = x(t0), ∀t0 ∈ R, ∀x(t) continua int0.

(c) Prodotto: x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0), ∀t0 ∈ R, ∀x(t) continua int0.

(d) Parità: δ(−t) = δ(t).

(e) Cambiamento di scala: δ(at) =1|a| δ(t), ∀a ∈ R−0.

(f) Derivazione:∫ +∞

−∞

[dn

dtn δ(t)]

x(t)dt = (−1)n[

dn

dtn x(t)]

t=0, ∀n ∈ N, ∀x(t) derivabile fino

all’ordine n con derivatan-esima continua int = 0.

(g) Integrazione: u(t) =∫ t

−∞δ(u)du.

(h) Integrazione definita:∫ b

aδ(t)x(t)dt =

x(0) , sea < 0 < b ;

0, sea > 0 oppureb < 0 ;∀a < b∈R, ∀x(t)

continuo int = 0.


Dalla proprietà (a) si ricava che l’impulso di Dirac ha area unitaria, come la famiglia di funzioniδε(t). Le proprietà (b) e (c) esprimono, con un diverso formalismo matematico, la medesima proprietàdell’impulso di Dirac, ovvero quella di estrarre (nel gergo della teoria dei segnali, “campionare”) ilvalore del segnale nel puntot0 in cui l’impulso è centrato. La proprietà (d) evidenzia che la delta diDirac è un segnale pari, mentre la proprietà (e) mostra che, anche per l’impulso a TC, un cambiamentodi scala comporta un cambiamento di area. L’operazione di derivazione è definita anche per le funzionigeneralizzate e, a tal proposito, la proprietà (f) chiarisce come tale operazione vada correttamenteinterpretata per l’impulso di Dirac. La proprietà (g) definisce invece la relazione inversa della (2.9),mostrando che il gradino è il risultato dell’integrazione dell’impulso di Dirac. A tale proposito, sia benchiaro che l’integrale che compare nella proprietà (g) è valido nel senso delle distribuzioni e non insenso ordinario (secondo Riemann); infatti, non esiste nessuna funzione ordinaria che possa restituireun gradino mediante integrazione (nell’analisi convenzionale, le funzioni definite mediante integralisono continue). Un commento a parte merita infine la proprietà (h). Innanzitutto, si osservi che se unodegli estremi di integrazioni (a oppureb) è zero, allora l’integrale traa e b dell’impulso di Dirac nonè definito. Tuttavia, l’integrale sull’intervallo(0−,b) è definito e si calcola con la seguente proceduraal limite:∫ b

0−δ(t)x(t)dt = lim

ε→ 0ε > 0

∫ b

−εδ(t)x(t)dt = x(0) .

Analogo risultato sussiste per l’integrazione sull’intervallo(a,0+). A partire dalla proprietà (h),ponendox(t) = 1,∀t ∈ R, eb =−a = ε, si ottiene:∫ ε

−εδ(t)dt = 1, conε ∈ R+ piccolo a piacere,

che suggerisce l’interpretazione intuitiva (matematicamente non corretta) cheδ(t) sia nulla ovunquetranne che nell’origine. In virtù di questa interpretazione e della proprietà (a), l’impulso di Diracδ(t) si può rappresentare graficamente come in fig. 2.12. Si noti che l’area unitaria dell’impulsoviene rappresentata convenzionalmente assimilandola ad un’ampiezza, ovvero tracciando una frecciadi altezza pari ad uno. Mediante cambiamento di scala delle ampiezze e traslazione temporale, èpossibile definire un impulso di Dirac centrato int0 ∈ R e di areaA:

x(t) = Aδ(t− t0) ,

raffigurato in fig. 2.13. Concludiamo questa breve trattazione dell’impulso di Dirac, osservando che la(2.9) consente di ricavare la regola di derivazione per un segnale TC che presenta un numero finito o, alpiù, infinito numerabile di punti di discontinuità di prima specie: se il segnalex(t) presentaN (conNche può essere eventualmente infinito) discontinuità di prima specie negli istanti di tempot1, t2, . . . , tN ,la suaderivata generalizzata presenterà un impulso di Dirac nel puntotn, pern ∈ 1,2, . . . ,N, avente

area pari al valore del “salto” di discontinuitàs(tn)= x(t+n )− x(t−n ) nel punto in questione. Più preci-

samente, dettah(t) la derivata ordinaria della parte continua dix(t), ∀t ∈ T−t1, t2, . . . , tN, si ottienela seguente espressione:

ddt

x(t) = h(t)+N

∑n=1

s(tn)δ(t− tn) . (2.10)

Il fatto chex(t) sia continuo pert ∈ T−t1, t2, . . . , tN non implica che esso sia derivabile in tutti ipunti dell’insiemeT−t1, t2, . . . , tN. Questo significa che la funzioneh(t) può non essere definitain qualche punto. Se tali punti sono isolati (rappresentano cioè un insieme di misura nulla), questo


−5 0 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

= δ

(t)

Fig. 2.12. Impulso a TC (delta di Dirac).

t0

A

t

x(t)

= A

δ(t

−t 0)

Fig. 2.13. Impulso a TCx(t) = Aδ(t−t0). L’impulsoè centrato int0 ed ha areaA.

x(t)

t1-1

2

x'(t)

t1-1

1

-2

(a) (b)

Fig. 2.14.Calcolo della derivata di un segnale TC discontinuo (es. 2.6): (a) il segnalex(t); (b) la sua derivatageneralizzata.

mancanza di informazione è spesso inessenziale: dal punto di vista dell’analisi dei segnali, la carat-terizzazione completa di un segnale è in molti casi superflua e, come vedremo più avanti in questocapitolo, è sufficiente una caratterizzazione sintetica, in cui il valore del segnale in un punto isolatonon è rilevante; da un punto di vista dell’analisi dei sistemi, come vedremo nei prossimi capitoli, ilsegnale di uscita da un sistema dipende dal segnale di ingresso mediante una relazione integrale, il cuicalcolo non dipende dai valori assunti dal segnale di ingresso in insiemi di misura nulla.

Esempio 2.6 (derivata generalizzata di un segnale TC)Si voglia calcolare la derivata generalizzata delsegnale TC riportato in fig. 2.14(a). Tale funzione presenta una sola discontinuità di prima specie nel punto

t1 = 1 (N = 1), il cui salto ès(t1)= x(t+1 )−x(t−1 ) =−2. Applicando la regola (2.10), si ottiene immediatamente

che:

ddt

x(t) = [u(t +1)−u(t−1)]−2δ(t−1) ,

raffigurata in fig. 2.14(b).

Per un segnale TDx(n), il cui insieme di definizione è un insieme discreto,non è possibile con-siderare le operazioni di derivazione ed integrazione. Tuttavia, è possibile definire alcune operazioni


−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

= u

(n)

Fig. 2.15.Gradino a TD.

che hanno una certa analogia con quelle di derivazione ed integrazione per segnali a TC. Si definiscedifferenza prima del segnalex(n) la seguente operazione:

∇ 1[x(n)]= x(n)− x(n−1) ,

che può essere vista come la “controparte” a TD della operazione di derivazione a TC. Il calcolodella differenza prima di un segnale TD non crea gli stessi problemi che invece pone il calcolo delladerivata di un segnale TC. Per capire ciò, seguendo parallelamente la trattazione fatta per i segnaliTC, consideriamo il calcolo della differenza prima delgradino a TD. La definizione del gradino a TDè analoga a quella del gradino a TC:

u(n)=

1, sen≥ 0 ;

0, altrimenti ;

e la sua rappresentazione grafica è riportata in fig. 2.15. Si noti che, a differenza del gradino a TC,nella definizione del gradino a TD non vi è ambiguità nel valore assunto dal segnale nell’origine, inquanto il concetto di continuità non si applica ad una sequenza. Notiamo, inoltre, che il gradino a TDsi può ottenere da quello a TC mediante campionamento con passo unitario. In questo caso, senzadover ricorrere a nessun strumento matematico avanzato, è immediato stabilire che

δ(n)= ∇ 1[u(n)] =

1, sen = 0 ;

0, altrimenti ;(2.11)

Volendo stabilire un parallelo tra il caso TC e quello TD, si può affermare che la (2.11) è la contro-parte a TD della relazione (2.9). Il segnaleδ(n) prende il nome diimpulso a TD o impulso discreto(anche dettodelta di Kronecker), ed è rappresentato graficamente in fig. 2.16. Notiamo che l’impulsoelementareδ(n) è centrato nell’origine e ha ampiezza unitaria. Mediante cambiamento di scala del-le ampiezze e traslazione temporale, è possibile definire un impulso discreto centrato inn0 ∈ Z e diampiezzaA ∈ R arbitraria:

x(n) = Aδ(n−n0) ,

raffigurato graficamente in fig. 2.17. Analogamente all’impulso di Dirac, l’impulso a TD gode delleseguenti proprietà elementari, la cui semplice verifica è lasciata al lettore per esercizio:


−5 0 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

= δ

(n)

Fig. 2.16. Impulso unitario a TD.

n0

A

n

x(n)

= A

δ(n

−n 0)

Fig. 2.17. Impulso a TD x(n) = Aδ(n − n0).L’impulso è centrato inn0 ed ha ampiezzaA.

Proprietà 2.3 (proprietà elementari dell’impulso discreto)

(a) Area unitaria :+∞

∑n=−∞

δ(n) = 1.

(b) Campionamento:+∞

∑n=−∞

x(n)δ(n−n0) = x(n0), ∀n0 ∈ Z.

(c) Prodotto: x(n)δ(n−n0) = x(n0)δ(n−n0), ∀n0 ∈ Z.

(d) Parità: δ(−n) = δ(n).

(e) Decimazione ed espansione:

δ(nM) = δ(n) , ∀M ∈ N ;

δ[n

L

]= δ(n) , ∀L ∈ N .

(f) Somma: u(n) =n

∑m=−∞

δ(m).

Osservazioni analoghe a quelle effettuate per l’impulso di Dirac si possono fare per le proprietà (a),(b), (c) e (d), che esprimono le proprietà di area unitaria, campionamento e parità dell’impulso discre-to. La proprietà (e) evidenzia che l’impulso a TD è invariante rispetto alle operazioni di decimazioneed espansione. Infine, la proprietà (f) stabilisce che il gradino a TD è lasomma corrente dell’impulsodiscreto e rappresenta la controparte a TD della proprietà (g) dell’impulso di Dirac. Si noti che lasomma corrente gioca nel caso TD lo stesso ruolo che gioca l’integrale tra−∞ e t per i segnali TC.

2.2 Caratterizzazione sintetica dei segnali 45

2.2 Caratterizzazione sintetica dei segnali

Nel capitolo precedente abbiamo visto che un segnale (deterministico) ècompletamente descritto dauna funzione, cioè da una legge che ad ogni elemento del dominioT fa corrispondere uno ed unsolo elemento del codominioX. In alcuni casi pratici, tuttavia, la descrizione completa di un segnalemediante una funzione è eccessivamente dettagliata, ed è invece di interesse conoscere solo alcuniparametrinumerici del segnale, che forniscono una descrizione ocaratterizzazione sintetica (rispettoall’assegnazione della corrispondenza traT e X) del segnale. In altri casi, i segnali possono esserefrutto di dati sperimentali e, pertanto, da un lato possono non essere noti in tutti gli istanti di tempo,dall’altro la loro conoscenza può essere soggetta ad un certo margine di incertezza; quindi, piuttostoche descrivere puntualmente un segnale, è più ragionevole descrivere il segnale mediante quantitàmedie, come, ad esempio, il valore di un integrale, che risentono meno o non risentono affatto dicambiamenti poco significativi del segnale.

I principali parametri numerici che concorrono a caratterizzare sinteticamente un segnale sono iseguenti:

• durata temporale;

• area e media temporale;

• energia e potenza.

La durata è una misura dell’estensione temporale del segnale, cioè dell’intervallo di tempo all’internodel quale il segnale assume valori non trascurabili, mentre l’operazione di media temporale è utilizzataper definire la componente continua ed alternata di un segnale. I concetti di energia e potenza sonoalla base della caratterizzazione energetica dei segnali, e consentono di introdurre la relativa classi-ficazione in segnali di energia e di potenza. Come esempio particolarmente significativo di segnalidi potenza, verranno presentati i segnali periodici e le loro proprietà, e tra essi si esamineranno inparticolare i fasori e le sinusoidi, evidenziando alcune differenze significative tra il caso TC ed il casoTD.

2.3 Estensione e durata temporale di un segnale

La durata di un segnale è un concetto intuitivo, legato evidentemente alla misura dell’estensionetemporale del segnale. Una definizione generale può essere la seguente:

Definizione 2.1 (estensione e durata temporale di un segnale)(a) L’estensione temporaleDx ⊆ T di un segnalex(t) a TC è l’intervallo di tempo in cui|x(t)|

assume valori non trascurabili. La durata dix(t) è la misura∆x ≥ 0 dell’insiemeDx.

(b) L’estensione temporaleDx ⊆ T di un segnalex(n) a TD è l’intervallo di tempo in cui|x(n)|assume valori non trascurabili. La durata dix(n) è la misura∆x ∈ N dell’insiemeDx.

Per quanto concerne la definizione di misura di un insieme, è bene mettere in evidenza che esiste unadifferenza notevole tra il caso TC e quello TD. Infatti, nel caso TC, la misura dell’insiemeDx è quellasecondo Peano-Jordan o, più in generale, secondo Lebesgue. Ad esempio, la misura dell’intervallo[t1, t2] coincide con la sua lunghezza|t2− t1|. Nel caso TD, invece, poiché l’insiemeDx è discreto,è possibile utilizzare la stessa definizione di misura secondo Peano-Jordan o Lebesgue, secondo lequali un insieme composto da punti isolati ha sempre misura nulla, cioè, risulterebbe∆x = 0 per ogni


x(t)

tt1 t2durata

Fig. 2.18.Segnale di durata rigorosamente limitata.

segnalex(n). Nel caso TD, la definizione di misura da adottare perDx è molto più semplice ed èuguale al numero di punti isolati che costituisconoDx (in sostanza coincide con la cardinalità diDx).

Un secondo aspetto importante riguarda un certo grado di arbitrarietà presente nella definizioneprecedente, legato all’interpretazione di quali valori del segnale siano trascurabili, e quali no. In altreparole, non esiste una definizione universalmente accettata di estensione temporale di un segnale.Tuttavia, con riferimento a taluni casi particolari di segnali, esistono alcune definizioni di estensionetemporale di un segnale che sono di comune impiego. Una prima classificazione dei segnali sulla basedella durata può essere quella trasegnali di durata rigorosamente e praticamente limitata, e segnalidi durata non limitata. Nel seguito, approfondiremo questa classificazione, considerando sia segnaliTC che TD.

2.3.1 Segnali di durata rigorosamente limitata

Un segnale TCx(t) si dice didurata rigorosamente limitata se esistono due numeri reali finitit1 et2, cont2 > t1, tali che il segnale si annulla identicamente al di fuori dell’intervallo di tempo(t1, t2),cioè,x(t) = 0 per ognit ∈ (t1, t2). Un primo esempio di segnale TC a durata rigorosamente limitataè quello riportato in fig. 2.18. In tal caso, con riferimento alla definizione generale di estensione, siconsiderano trascurabili solo i valori nulli del segnale. Conseguentemente, l’estensione del segnaleè definita comeDx = (t1, t2) e la sua durata è data da∆x = t2− t1. Analogamente, un segnale TDx(n) si dice di durata rigorosamente limitata se esistono due numeri interi finitin1 e n2, conn2 > n1,tali che il segnale si annulla identicamente al di fuori dell’intervallo di tempon1,n1 + 1, . . . ,n2,cioè, x(n) = 0 per ognin ∈ n1,n1 + 1, . . . ,n2. In questo caso, l’estensione del segnale è definitacomeDx = n1,n1 + 1, . . . ,n2 e la sua durata è data da∆x = n2− n1 + 1. Talvolta un segnale adurata rigorosamente limitata è anche denominatofinestra. Alcuni esempi elementari di finestre sonopresentati di seguito.

2.3 Estensione e durata temporale di un segnale 47

−2 −1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

= r

ect(

t)

Fig. 2.19.Finestra rettangolare a TC.

t0−T/2 t

0+T/2t

0

A

t

x(t)

= A

rec

t[(t−

t 0)/T

]

Fig. 2.20.Finestra rettangolare a TC dell’es. 2.7. Ta-le finestra è ottenuta dalla finestra elementare median-te moltiplicazione perA, cambiamento di scala cona = 1/T e traslazione temporale dit0.

Finestra rettangolare e triangolare

La finestra rettangolare a TC è definita3 come

rect(t)=

1, se|t| ≤ 0.5 ;

0, altrimenti ;

ed è rappresentata graficamente in fig. 2.19. Si tratta di un segnale pari (centrato nell’origine), di durata∆x = 1 ed ampiezza unitaria (finestra elementare o “prototipo”). A partire dalla finestra prototipo,mediante moltiplicazione per una costante, traslazione temporale e cambiamento di scala, è possibileottenere una finestra di ampiezza e durata arbitraria ed arbitrariamente posizionata sull’asse dei tempi.Notiamo infine che la finestra rettangolare si può esprimere come differenza di due gradini traslatitemporalmente, in quanto si ha rect(t) = u(t +1/2)−u(t−1/2).

Esempio 2.7 (finestra rettangolare arbitraria) La finestra

x(t) = A rect

(t− t0

T

)è ottenuta dalla finestra prototipo mediante moltiplicazione perA, cambiamento di scala cona = 1/T e trasla-zione temporale dit0. Utilizzando la definizione, si vede che

x(t) = A rect

(t− t0

T

)=

A, set ∈ [t0−T/2, t0 +T/2] ;0, altrimenti ;

il cui andamento è raffigurato in fig. 2.20: la finestra è centrata int = t0 e ha durata∆x = T .

La finestra rettangolare a TD è definita da:

RN(n)=

1, se 0≤ n≤ N−1 ;

0, altrimenti ;

3In numerosi testi, la finestra rettangolare è denotata con il simboloΠ(t).


−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

= R

5(n)

Fig. 2.21.Finestra rettangolare a TD perN = 5.

−2 −1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

= Λ

(t)

Fig. 2.22.Finestra triangolare a TC.

ed è rappresentata graficamente in fig. 2.21. La finestra ha estensione temporaleDx = 0,1, . . . ,N−1e durata∆x = N, ed è asimmetrica rispetto all’origine, a differenza della sua versione a TC. Una fine-stra simmetrica (pari) si può ottenere daRN(n) solo perN dispari, considerando la versione anticipataRN(n+n0) conn0 = (N−1)/2. Come nel caso TC, anche nel caso TD la finestra rettangolare si puòesprimere come differenza di due gradini traslati temporalmente, infatti si haRN(n) = u(n)−u(n−N).Infine, si noti che, ponendoN = 1, la finestra rettangolare a TD degenera nell’impulso discreto, cioè,R1(n) = δ(n).

La finestra triangolare a TC è definita da:

Λ(t)=

1−|t| , se|t|< 1 ;

0, altrimenti ;

ed è rappresentata graficamente in fig. 2.22. Si tratta di un segnale pari (centrato nell’origine), diampiezza unitaria e durata∆x = 2. Notiamo in particolare che la durata della finestra triangolareprototipo èdoppia rispetto a quella della finestra rettangolare prototipo. Così come visto per la finestrarettangolare nell’es. 2.7, a partire dalla finestra triangolare prototipo, mediante operazioni elementari(moltiplicazione per una costante, traslazione temporale, e cambiamento di scala) è possibile ottenereuna finestra triangolare di ampiezza e durata arbitraria ed arbitrariamente posizionata sull’asse deitempi.

È possibile definire la finestra triangolare (si veda la fig. 2.23) anche nel caso TD, ed essa è notacomefinestra di Bartlett:

B2N(n) =

1− |n−N|N

, se 0≤ n≤ 2N−1 ;

0, altrimenti.

La finestra di Bartlett ha durata∆x = 2N− 1 (il valore del segnale pern = 0 è nullo) e, così comela finestra rettangolare a TD, è asimmetrica rispetto all’origine. Tuttavia, si noti che il numero dicampioni non nulli è sempre un numero dispari e il massimo del segnale si raggiunge pern = N;pertanto, come riportato in fig. 2.24, per ottenere una finestra triangolare a TD con simmetria pari èsufficiente traslare la finestra di Bartlett diN campioni verso sinistra, ovvero considerareB2N(n+N).


−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

= B

8(n)

Fig. 2.23.Finestra triangolare a TD perN = 4.

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

= B

8(n+

4)

Fig. 2.24.Finestra triangolare a TD perN = 4 consimmetria pari.

x(t)

tt1 t2durata

soglia

. . . . . .

Fig. 2.25.Segnale di durata praticamente limitata.

2.3.2 Segnali di durata praticamente limitata

Esistono casi di segnali aventi ancora durata limitata, ma per i quali l’interpretazione e la misura delladurata non è altrettanto univoca di quella per i segnali che si annullano identicamente al di fuori di unintervallo. In particolare, si consideri un segnale TC come quello riportato in fig. 2.25, il quale decadeasintoticamente a zero pert → ±∞, senza mai annullarsi. È chiaro intuitivamente che tale segnaledebba essere considerato a durata limitata, in quanto i suoi valori risultano trascurabili al di fuori diun certo intervallo di tempo; per esso, tuttavia, l’estensioneDx si può definire solo se si introduce unvalore disoglia per le ampiezze, e si considerano trascurabili le ampiezze del segnale inferiori allasoglia fissata. Fissare una soglia (vedi fig. 2.25) consente anche in questo caso di individuare comeestensione del segnale un intervalloDx = (t1, t2) di valori significativi del segnale, cont2 > t1, e lamisura∆x = t2− t1 di tale intervallo è per definizione la durata del segnale. Un segnale TC di questotipo di dicesegnale di durata praticamente limitata. Un discorso analogo sussiste anche per i segnalia TD.

Si noti che, se si fissa una soglia diversa, si perviene ad un diverso valore di durata del segnale;questo introduce, a differenza del caso di segnali a durata rigorosamente limitata, un certo elemento diarbitrarietà nella misura della durata, legato proprio all’arbitrarietà nella scelta del valore della soglia.


−10 −5 0 5 10−2

0

2

4

6

8

10

12

14

A

t

x(t)

=A

eat

(a)

−10 −5 0 5 10−2

0

2

4

6

8

10

12

14

A

t

x(t)

=A

eat

(b)

Fig. 2.26.Esponenziale a TC conA = 1 e per due valori dia: (a) a > 0 (valore effettivoa = 0.25); (a)a < 0(valore effettivoa =−0.25).

Tale scelta può variare a seconda della natura del segnale, delle applicazioni, e degli scopi per i qualiil segnale stesso viene studiato o elaborato.

Osserviamo inoltre che i segnali di durata limitata – sia quelli a durata rigorosamente limitata, chequelli a durata praticamente limitata – sono anche dettisegnali transitori, in quanto assumono valorisignificativi solo in corrispondenza di un intervallo di tempoDx limitato.

Infine, notiamo che tra le operazioni elementari introdotte nel § 2.1, solo il cambiamento di scaladei tempi è in grado di alterare la durata di un segnale. In particolare, con riferimento al caso TC persemplicità, una compressione con fattorea > 1 riduce la durata del segnale da∆x a∆x/a < ∆x, mentreun’espansione con fattore 0< a < 1 aumenta la durata del segnale da∆x a∆x/a > ∆x.

Un tipico esempio di segnali di durata praticamente limitata è rappresentato dai segnali esponen-ziali reali monolateri, che sono descritti di seguito.

Segnale esponenziale reale

Per definire il segnale esponenziale monolatero a TC, partiamo dalla definizione del segnaleesponen-ziale bilatero a TC:

x(t) = Aeat ,

dovea ∈ R è un fattore di scala dei tempi, mentreA > 0 rappresenta un fattore di ampiezza (si notiche x(0) = A, ∀a ∈ R). L’esponenziale a TC è una funzione monotona dit, ed in particolare pera > 0 l’esponenziale risulta crescente, come in fig. 2.26(a), mentre pera < 0 l’esponenziale risultadecrescente, come in fig. 2.26(b). Inoltre al crescere di|a| l’esponenziale cresce o decresce più rapida-mente, come mostra il calcolo della derivata dix(t). Il casoa = 0 è degenere, in quanto per tale valoredi a l’esponenziale si riduce ad una funzione costantex(t) = A. Poiché, in dipendenza dal valore dia = 0, l’esponenziale bilatero è infinitesimo solo pert → +∞ o solo pert →−∞, esso non rientranella famiglia dei segnali di durata praticamente limitata.

Moltiplicando il segnale esponenziale per un gradino u(t) si ottiene l’esponenziale monolatero:

x(t) = Aeat u(t) ,

che risulta diverso da zero, per effetto del gradino, solo pert ≥ 0; si noti peraltro che il comportamentoper t ≥ 0, al variare dia, è lo stesso dell’esponenzialex(t) = Aeat . In particolare, nel casoa < 0,


A

T

t

x(t)

=A

e−

t/T u

(t)

Fig. 2.27.Esponenziale monolatero a TC ed in-terpretazione geometrica della costante di tempoT .

essendo infinitesimo pert → ±∞, l’esponenziale monolatero è un segnale di durata praticamentelimitata4, la cui estensione èDx = (0,∆x), con∆x > 0 (durata) dipendente dalla scelta della soglia. Intal caso, se si pone per definizionea =−1/T conT > 0, l’esponenziale monolatero si riscrive comesegue:

x(t) = Ae−t/T u(t) ,

dove il parametroT prende il nome dicostante di tempo, e rappresenta il valore dit in corrispondenzadel qualex(t) = Ae−1≈ 0.368A. La costante di tempo ammette anche una interessante interpretazionegeometrica, legata alla pendenza della funzione esponenziale nell’origine, ed indirettamente alla suadurata. Infatti la derivata (calcolata da destra) della funzionex(t) dell’origine valex′(0+) = −A

T , percui la retta tangente alla curva nell’origine ha equazionex = A

(1− t

T

)(fig. 2.27): tale retta interseca

l’asse delle ascisse proprio in corrispondenza dit = T . È chiaro allora che, al crescere diT , lapendenza diminuisce, l’esponenziale tende ad “allargarsi” (espandersi) sull’asse dei tempi, e quindiaumenta la misura dell’intervallo di tempo in cuix(t) assume valori non trascurabili. Viceversa,al diminuire di T , la pendenza aumenta, si ha un restringimento (compressione) dell’esponenzialesull’asse dei tempi, e quindi diminuisce la misura dell’intervallo di tempo in cuix(t) assume valorinon trascurabili. Si capisce allora che la costante di tempoT governa proprio l’estensioneDx e,dunque, la durata∆x, dell’esponenziale monolatero. Per calcolare la durata analiticamente, scegliamocome valore di sogliaα A, con 0< α < 1. Così facendo, risolvendo l’equazionex(∆x) = α A, la duratadel segnale risulta

∆x = T ln

(1α

)e, com’era intuibile, cresce con legge direttamente proporzionale aT . A titolo esemplificativo, sesi sceglieα = 0.05, cioè, si ritengono trascurabili tutti i valori del segnale che risultano essere piùpiccoli del 5% del valore massimoA, si ottiene che∆x ≈ 3T . In altre parole, sebbene il segnale nonsi annulli mai al finito, esso assume valori praticamente trascurabili dopo solo 3 costanti di tempo.

Passiamo ora ad introdurre l’esponenziale bilatero a TD, che è definito dalla relazione

x(n) = Aan ,

4Lo stesso discorso può essere fatto anche per l’esponenziale monolaterox(t) = Aeat u(−t), cona > 0.


dovea ∈ R−0 è un fattore di scala dei tempi, mentreA > 0 rappresenta un fattore di ampiezza (sinoti chex(0) = A, ∀a ∈R−0). L’andamento dell’esponenziale a TD al variare dia è più articolatorispetto a quello dell’esponenziale a TC. In particolare, per|a|> 1 l’esponenziale è crescente in mo-dulo, mentre per 0< |a|< 1 l’esponenziale è decrescente in modulo. Inoltre, pera > 0 l’esponenzialeassume sempre valori positivi, mentre pera < 0 assume valori di segno alterno (positivi pern pari, ne-gativi pern dispari). Infine, per|a|= 1, l’esponenziale è costante in modulo: in particolare, sea = 1,l’esponenziale si riduce al segnale costantex(n) = A, mentre, sea = −1, si hax(n) = A(−1)n, cheassume alternativamente i valori±A. I sei possibili andamenti dell’esponenziale a TD sono rappre-sentati graficamente in fig. 2.28. Similmente all’esponenziale bilatero a TC, l’esponenziale bilateroa TD non ricade nella classe dei segnali di durata praticamente limitata. Per ottenere un segnaleesponenziale di durata praticamente limitata, bisogna introdurre l’esponenziale monolatero:

x(n) = Aan u(n) ,

che presenta lo stesso comportamento dix(n) = Aan pern≥ 0, mentre è identicamente nullo pern < 0,a causa della presenza del gradino. Per 0< |a|< 1, in particolare, l’esponenziale monolatero tende azero pern→∞, per cui è un esempio di segnale TD di durata praticamente limitata5, la cui estensione èDx = 0,1, . . . ,∆x−1, con∆x > 0 (durata) dipendente dalla scelta della soglia. La durata del segnale,in tal caso, è funzione di|a|: per valori di|a| prossimi ad 1, l’esponenziale decresce più lentamente,mentre per valori di|a| prossimi a zero, l’esponenziale decresce più rapidamente. Più precisamente,scegliendo come valore di sogliaα A, con 0< α < 1, e risolvendo l’equazione|x(∆x)|= α A, si ottieneche la durata del segnale è data da

∆x =ln(

1α)

ln(

1|a|) =

ln(α )ln(|a|) .

Come preannunciato, fissato 0< α < 1, la durata del segnale tende ad essere infinitamente grande,per|a| → 1; viceversa, per|a| → 0, la durata del segnale tende a zero.

5Lo stesso discorso può essere fatto anche per l’esponenziale monolaterox(n) = Aan u(−n), con|a|> 1.


−10 −5 0 5 10−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

n

x(n)

(a)

−10 −5 0 5 10−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

n

x(n)

(b)

−10 −5 0 5 10−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

n

x(n)

(c)

−10 −5 0 5 10−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

n

x(n)

(d)

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

(e)

−10 −5 0 5 10

−1

−0.5

0

0.5

1

n

x(n)

(f)

Fig. 2.28.Esponenziale a TD conA = 1 e per vari valori dia: (a) a > 1 (valore effettivoa = 1.1); (b) a <−1(valore effettivoa = −1.1); (c) 0< a < 1 (valore effettivoa = 0.833); (d)−1 < a < 0 (valore effettivoa =−0.833); (e)a = 1; (f) a =−1.


x(t)

t

. . .. . .

Fig. 2.29.Segnale di durata non limitata.

2.3.3 Segnali di durata non limitata e segnali periodici

Esistono segnali che non decadono a zero, come ad esempio il segnale raffigurato in fig. 2.29. Persegnali di questo tipo, è evidente che non esiste nessun criterio obiettivo per considerare trascurabilialcuni valori del segnale rispetto ad altri, e per questo motivo si assume che il segnale abbiaduratanon limitata o illimitata, ovvero∆x = +∞. Una definizione pratica, allora, di segnale di durata nonlimitata è quella di un segnale che presenta valori non trascurabili durante tutto l’intervallo di tempoin cui viene osservato o elaborato. I segnali di durata illimitata sono anche dettisegnali persistenti. Vadetto che il concetto di segnale di durata non limitata costituisce una astrazione matematica: i segnaliche si incontrano in pratica, infatti, sono sempre di durata limitata, in quanto osservati o elaboratisu un intervallo di tempofinito (anche se eventualmente molto lungo). In molti casi, tuttavia, risultapiù semplice e conveniente utilizzare modelli matematici secondo i quali tali segnali hanno duratanon limitata. Una famiglia importante di segnali di durata illimitata è quella deisegnali periodici.I segnali periodici sono molto frequenti nella fisica e nelle scienze naturali, in quanto descrivonofenomeni in cui una stessa proprietà si presenta esattamente dopo un certo intervallo di tempo, dettoperiodo. Ad esempio, il pianeta Terra ruota su sé stesso con un periodo circa pari a 24 ore, ed intornoal Sole con un periodo pari circa a 365 giorni. Tale ripetibilità di un fenomeno si esprime in manieramatematicamente rigorosa come segue:

Definizione 2.2 (segnale periodico)(a) Un segnale TCx(t) si diceperiodico se esiste un valorereale T0 > 0 tale che

x(t) = x(t +T0), ∀t ∈ R . (2.12)

Il più piccolo valore diT0 che verifica la (2.12) è dettoperiodo (fondamentale) del segnale.

(b) Un segnale TDx(n) si diceperiodico se esiste un valoreintero N0≥ 1 tale che

x(n) = x(n+N0), ∀n ∈ Z . (2.13)

Il più piccolo valore diN0 che verifica la (2.13) è dettoperiodo (fondamentale) del segnale.

Se non esiste alcun valore diT0 eN0 che soddisfa le relazioni (2.12) e (2.13), rispettivamente, i segnalix(t) e x(n) si diconoaperiodici. È bene enfatizzare il fatto che, mentre nel caso TC il periodoT0 èin generale un numeroreale, nel caso TD il periodoN0 è necessariamente un numerointero. Inoltre


A

Re

Im

ω0t + ϕ 0

ω 0>0x(t)

Fig. 2.30.Rappresentazione di un fasore a TC nelpiano complesso come vettore ruotante (la fase ini-zialeϕ0 rappresenta la posizione angolare del vettorepert = 0).

A/2

Re

Im

ω0t + ϕ 0

ω 0>0

x(t)

-(ω0t + ϕ 0)

-ω 0<0

Fig. 2.31.Rappresentazione di una sinusoide a TCnel piano complesso come somma di due fasori aventiampiezzaA/2 e ruotanti in verso opposto; la sommadei vettori ruotanti si calcola applicando la regola delparallelogramma

osserviamo che, se un segnale (ad esempio TC) è periodico di periodoT0, allora esso è periodico diperiodo 2T0, 3T0, . . . Per questo motivo nella definizione di periodo si fa riferimento alminimo valoredi T0 o N0, e talvolta si parla diperiodo fondamentale. Come ulteriore osservazione, è interessantenotare che, sulla base delle (2.12) e (2.13), e della definizione di periodo, per un segnale costantex(·) = a, le (2.12) e (2.13) sono verificate per ogni scelta diT0 e per ogni scelta diN0. Pertanto, unsegnale costante può essere visto come caso limite di segnale periodico avente periodoarbitrario.

Nel seguito si introdurranno alcuni segnali periodici elementari, quali, ad esempio, gliesponenzia-li complessi o fasori6 e lesinusoidi. Come vedremo nel cap. 5, sotto condizioni non eccessivamenterestrittive, un segnale periodico arbitrario può essere rappresentato mediante combinazione lineare difasori oppure di sinusoidi. Un’altra operazione che consente di rappresentare in modo naturale unsegnale periodico di forma arbitraria è lareplicazione, che si basa sul fatto che un segnale periodicosi ripete nel tempo con cadenza pari al periodo fondamentale del segnale.

Fasore a TC

L’espressione matematica di unfasore a TC è la seguente:

x(t) = Ae j(ω0t+ϕ0) = Ae j(2π f0t+ϕ0) = A [cos(2π f0t +ϕ0)+ j sin(2π f0t +ϕ0)] , (2.14)

doveA > 0 è l’ampiezza,ϕ0 è la fase iniziale, misurata in radianti (rad),ω0 è la pulsazione, misuratain radianti al secondo (rad/s),f0 = ω0

2π è la frequenza, misurata in cicli/s o Hertz (Hz).Il fasore è un segnale che assume valori complessi, e pertanto non può essere rappresentato in fun-

zione del tempo su un convenzionale diagramma cartesiano(t,x). Una conveniente interpretazionegrafica (fig. 2.30) è invece quella nel piano complesso, secondo la quale il fasore è rappresentato comeun vettore ruotante,7 avente moduloA, che si muove con velocità angolare|ω0|, in senso antiorario

6Alcune definizioni e proprietà dei numeri complessi e delle funzioni a valori complessi sono richiamati in app. A.7Si noti l’analogia tra la rappresentazione grafica del fasore sul piano complesso ed ilmoto circolare uniforme della

fisica.


seω0 > 0, ed in senso orario seω0 < 0. Questa rappresentazione consente di dare un significato alconcetto di pulsazione o frequenzanegativa, che altrimenti non avrebbe una chiara interpretazionefisica: in particolare, il segno della pulsazione o della frequenza è legato al verso di rotazione (ora-rio/antiorario) del fasore. Di contro, il valore assoluto della pulsazione o della frequenza misura lavelocità di rotazione del vettore ruotante, ovvero larapidità di variazione del fasore: a valori di|ω0|maggiori corrispondono fasori che variano più rapidamente, mentre a valori di|ω0|minori corrispon-dono fasori che variano più lentamente; il casoω0 = 0 rappresenta il fasore più lentamente variabile,in quanto per questo valore diω0 il fasore degenera nel segnale costantex(t) = Ae jϕ0.

Dall’interpretazione come vettore ruotante, si vede che un fasore occupa nuovamente la stessaposizione nel piano complesso dopo aver percorso un giro completo, il che accade dopo un tempopari a

T0 =2π|ω0| =

1| f0| , (2.15)

pertanto, il fasore è un segnale periodico di periodoT0. Una dimostrazione più rigorosa della perio-dicità del fasore a TC si può ottenere utilizzando la (2.12): infatti, imponendo che valga la (2.12),ovvero chex(t) = x(t +T0), si ha:

Ae j[2π f0(t+T0)+ϕ0] = Ae j(2π f0t+ϕ0) =⇒ e j2π f0T0 = 1,

e quest’ultima relazione risulta verificata se e solo se 2π f0T0 = 2kπ, conk ∈ Z, da cui il più piccolovalore positivo perT0 si ottiene ponendok = 1 (sef0 > 0) ok =−1 (sef0 < 0), e quindi si ha la (2.15),come preannunciato. Si noti, infine, che il fasorenon è un segnale “fisico”, nel senso che esso non èdirettamente riconducibile a nessuna grandezza fisica. Così come l’impulso di Dirac a TC, il fasoreè una pura astrazione matematica che, come sarà chiaro nel seguito, risulta particolarmente utile perla sintesi e l’analisi dei segnali e sistemi che si incontrano nella realtà fisica. In ogni caso, notiamoche il fasore a TC rientra a pieno titolo nel modello matematico di segnale (1.1), in cui il dominioT

coincide conR e il codominioX è un sottoinsieme del campo dei numeri complessiC.

Sinusoide a TC

Un segnalesinusoidale8 a TC si può scrivere come:

x(t) = A cos(ω0t +ϕ0) = A cos(2π f0t +ϕ0) , (2.16)

dove i parametriA, ω0, f0 e ϕ0 hanno la stessa interpretazione dei corrispondenti parametri per ilfasore a TC. In effetti, utilizzando le formule di Eulero (cfr. § A.4), un segnale sinusoidale si puòesprimere come:

A cos(ω0t +ϕ0) =12

Ae j(ω0t+ϕ0) +12

Ae− j(ω0t+ϕ0) = Re[Ae j(ω0t+ϕ0)]

ovvero come la somma di due fasori di uguale ampiezzaA/2, ruotanti in senso opposto con ugualevelocità angolare|ω0| (fig. 2.31). Anche la sinusoide, come il fasore, è un segnale periodico di periodoT0 = 2π

|ω0| =1| f0| : la dimostrazione rigorosa si basa sull’applicazione della (2.13) e ricalca quella già

vista per il fasore.

8Ricordiamo che con il termine “segnale sinusoidale” intendiamo indifferentemente un segnale espresso in termini dellafunzione seno o (preferibilmente) della funzione coseno.


Fasore a TD

I fasori e le sinusoidi a TD presentano molte affinità, ma anche alcune differenze significative rispettoal caso TC. Unfasore a TD si scrive come:

x(n) = Ae j(θ0n+ϕ0) = Ae j(2πν0n+ϕ0) = A[cos(2πν0n+ϕ0)+ j sin(2πν0n+ϕ0)] , (2.17)

doveA > 0 è l’ampiezza,ϕ0 è la fase iniziale (rad),θ0 è la pulsazione (rad),ν0 = θ02π è la frequenza

(cicli). Notiamo anzitutto le differenti dimensioni fisiche per la pulsazione e la frequenza rispettoal caso TC, derivanti dal fatto che mentre nel caso TC il tempot si misura in secondi (s), nel casoTD il tempon va considerato adimensionale. Come il fasore a TC, anche il fasore a TD soddisfa ladefinizione di segnale (1.1), in cui il dominioT coincide conZ e il codominioX è un sottoinsieme delcampo dei numeri complessiC. L’interpretazione di un fasore a TD come vettore ruotante nel pianocomplesso è simile a quella di un fasore a TC (fig. 2.30): la differenza sostanziale, però, è che poichéil tempo n varia in maniera discreta, il fasore si muove “a scatti” nel piano complesso, ruotandoin senso antiorario seθ0 > 0 e orario seθ0 < 0, e con una differenza angolare tra due posizioniconsecutivamente occupate pari a|θ0|. Sulla base di questa interpretazione, se il fasore si sposta diθ0

oppure diθ0+2kπ, la posizione finale è la stessa. Questa è una delle fondamentali differenze rispettoai fasori a TC, ed è nota come proprietà diperiodicità in frequenza dei fasori a TD:

Proprietà 2.4 (periodicità in frequenza dei fasori a TD)Due fasorix1(n) edx2(n) aventi pulsazioniθ1 eθ2 tali cheθ2−θ1 = 2kπ (k∈Z) sono coincidenti.Equivalentemente, due fasorix1(n) edx2(n) aventifrequenze ν1 eν2 tali cheν2−ν1 = k (k ∈ Z)sono coincidenti.

Prova. Si ha:

x2(n) = Ae j(θ2n+ϕ0) = Ae j[(θ1+2πk)n+ϕ0] = Ae j(θ1n+ϕ0) e j2πkn︸︷︷︸=1

= x1(n) , ∀n,k ∈ Z .

Ovviamente, poichéθ1 = 2πν1 e similmenteθ2 = 2πν2, la condizioneθ2−θ1 = 2kπ equivale, in termini difrequenze, aν2−ν1 = k.

La conseguenza più importante della proprietà di periodicità in frequenza è che unqualunque fasorea TD può essere ottenuto considerando soltanto valori di pulsazione in un intervallo di ampiezza2π, comeθ0 ∈ [0,2π[ oppureθ0 ∈ [−π,π[, o equivalentemente valori di frequenza in un intervallo diampiezza unitaria, comeν0∈ [0,1[ oppureν0∈ [−1/2,1/2[. Inoltre la rapidità di variazione del fasorenon aumenta in maniera monotona con la frequenzaν0 (o equivalentemente, con la pulsazioneθ0),così come accade nel caso TC; in particolare, passando daν0 = 0 aν0 = 1, la rapidità di variazionedel fasore prima aumenta (fino aν0 = 1/2), poi diminuisce (fino aν0 = 1). Ne segue che i fasori conla massima rapidità di variazione sono quelli a frequenzaν0 = 1/2+ k, k ∈ Z, mentre quelli con laminima rapidità di variazione (costanti) sono quelli a frequenzaν0 = k, k ∈ Z.

Un’altra differenza significativa rispetto al caso TC è che il fasore TDnon è sempre un segnaleperiodico nel tempo. Infatti, applicando la definizione di periodicità (2.13) per un segnale TD, si ha:

Ae j[θ0(n+N0)+ϕ0] = Ae jθ0n+ϕ0) ,

da cui si ottiene dopo alcune semplificazioni:

e jθ0N0 = 1,


che risulta verificata se e solo seθ0N0 = 2kπ, k ∈ Z, da cui si ricava che

ν0 =θ0

2π=

kN0

, k ∈ Z ,

e quindiν0 dev’essere necessariamente un numerorazionale (rapporto di due numeri interi). Si ricavaallora la seguenteproprietà di periodicità nel tempo dei fasori a TD:

Proprietà 2.5 (periodicità nel tempo dei fasori a TD)Un fasore a TDx(n) = Ae j(2πν0n+ϕ0) risulta periodico nel tempo se e solo se la sua frequenzaν0 è un numero razionale. In tal caso, il suo periodo è il più piccolo valore interoN0 ≥ 1 chesoddisfa la relazione 2πν0N0 = 2kπ, k ∈ Z.

La proprietà precedente, oltre ad evidenziare il fatto che un fasore a TD non è sempre periodico,mostra anche che, nel caso in cui è periodico, il periodonon coincide in generale con l’inverso dellafrequenza. In pratica, il periodo di un fasore a TD si può determinare con i seguenti passi:

Proprietà 2.6 (periodo di un fasore a TD)Siax(n) = Ae j(2πν0n+ϕ0) un fasore a TD con frequenzaν0 razionale (non intera). Il periodoN0

del fasore si determina come segue:

(1) si rappresenta il numero razionaleν0 = k/N0, conk ∈ Z−0 edN0 > 1 primi tra loro (siriduce preliminarmente la frazioneai minimi termini);

(2) il periodoN0 coincide con il denominatore della frazione;

(3) il valore assoluto|k| del numeratore rappresenta il numero di giri che effettua il fasore primadi riportarsi nella posizione iniziale; il segno dik è legato al verso di rotazione del fasore(orario sek < 0, antiorario sek > 0).

Esempio 2.8 (periodicità nel tempo di un fasore a TD)Seν0 = 1/3, il periodo èN0 = 3 ed il fasore com-pie k = 1 giri completi in senso orario prima di riportarsi nelle posizione iniziale. Seν0 = 2/3, il periodoè ancoraN0 = 3, ma il fasore compiek = 2 giri completi in senso orario prima di riportarsi nella posizioneiniziale. Questi due esempi mostrano che, contrariamente a quanto avviene con i segnali periodici a TC, unaumento della frequenza (daν0 = 1/3 aν0 = 2/3) non implica una riduzione del periodo, che può rimanere lostesso (come nei due esempi precedenti) o, addirittura, può aumentare. Infatti, se si aumenta la frequenza di unsegnale periodico facendola passare daν0 = 1/3 aν0 = 3/4, il periodo aumenta passando daN0 = 3 aN0 = 4.Questi semplici esempi confermano il fatto che la rapidità di variazione di un fasore non aumenta in manieramonotona con la frequenza. Infine, seν0 = 1√

2(un numero irrazionale), allora il fasore non è periodico nel

tempo.

Sinusoide a TD

Il segnale sinusoidale a TD si può scrivere come

x(n) = A cos(θ0n+ϕ0) = cos(2πν0n+ϕ0) ,

e si può interpretare, similmente al caso TC, come la somma di due fasori ruotanti in senso opposto:

A cos(θ0n+ϕ0) =12

Ae j(θ0n+ϕ0) +12

Ae− j(θ0n+ϕ0) .

Per la sinusoide a TD valgono le stesse proprietà di periodicità esposte per il fasore a TD. In partico-lare:


(a) periodicità in frequenza: due sinusoidi con pulsazioniθ2−θ1 = 2kπ (k ∈ Z) sono coincidenti;

(b) periodicità nel tempo: una sinusoide è periodica se e solo se la sua frequenza è un numero razio-naleν0 = k/N0 (k ∈ Z e N0 > 1); il periodo si determina come il denominatore della frazione cherappresentaν0 ridotta ai minimi termini.

Replicazione

Un modo del tutto generale per costruire un segnale TCx(t) periodico con periodoT0 è quello di parti-re da un segnalexg(t), dettogeneratore, diverso da zero nell’intervallo[−T0/2,T0/2], e di effettuarnela replicazione con periodo T0:

x(t) = repT0[xg(t)]

=

+∞

∑k=−∞

xg(t− kT0) . (2.18)

In pratica la replicazione consiste nel sommare infinite versioni (cosiddette “repliche”) del segnalegeneratorexg(t), traslate di±T0, ±2T0, etc. Applicando graficamente questa procedura si verificafacilmente che il segnale risultante è periodico di periodoT0; d’altra parte, per una dimostrazionepiù formale, basta provare che per il segnalex(t) definito come nella (2.18) risulta necessariamentex(t) = x(t +T0), ∀t ∈ R. Si ha, infatti,

x(t +T0) =+∞

∑k=−∞

xg(t +T0− kT0) =+∞

∑k=−∞

xg[t− (k−1)T0] .

Effettuando il cambiamento di variabilek−1 = nella sommatoria, si ha:

+∞

∑k=−∞

xg[t− (k−1)T0] =+∞

∑=−∞

xg(t− T0) = x(t) ,

per cuix(t +T0) = x(t), ∀t ∈ R, come si voleva dimostrare.

Esempio 2.9 (onda rettangolare a TC)Consideriamo come segnale generatore una finestra rettangolare diampiezzaA e durataT :

xg(t) = A rect( t

T

).

Replicandoxg(t) con passoT0 ≥ T (in caso contrario le repliche si sovrapporrebbero) si ottiene l’onda rettan-

golare di periodoT0, ampiezzaA, eduty-cycle o ciclo di servizio δc= T

T0≤ 1, la cui espressione è:

x(t) = repT0

[A rect

( tT

)]=

+∞

∑k=−∞

A rect

(t− kT0

T

),

e la cui rappresentazione grafica perA = 1 eδc = 0.5 è quella di fig. 2.32. Il duty-cycleδc, talvolta espressoin percentuale, rappresenta la misura del rapporto tra il tempo in cui l’onda rettangolare assume il valoreA,ed il periodo dell’onda stessa. Ad esempio, in fig. 2.33 è mostrata un’onda rettangolare conA = 1 eδc = 0.8(duty-cycle dell’80%). Come caso limite, notiamo che un’onda rettangolare conδc = 1 (100%) degenera nelsegnale costantex(t) = A.

Dato un segnale generatorexg(t) e fissato un periodoT0, è possibile costruire ununico segnale periodi-cox(t) secondo la (2.18). Viceversa, un qualunque segnale periodicox(t) può sempre essere espressocome replicazione di un opportuno generatorexg(t). Infatti come generatore è possibile scegliere la


−2 −1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

Fig. 2.32.Onda rettangolare a TC conA = 1 eδc =0.5 (duty-cycle del 50%).

−2 −1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

Fig. 2.33.Onda rettangolare a TC conA = 1 eδc =0.8 (duty-cycle dell’80%).

restrizione del segnale periodico ad un periodo, ad esempio[−T0/2,T0/2], che si ottiene “finestrando”(ossia moltiplicando per una finestra rettangolare) il segnale:

xg(t) = x(t) rect

(t

T0

)=

x(t), t ∈ [−T0/2,T0/2] ;0, altrimenti.

Bisogna tuttavia notare che, per determinare il generatore, è possibile scegliere come intervallo difinestratura unqualunque intervallo di periodicità del segnale, ad esempio[t0−T0/2, t0 + T0/2], cont0 ∈R. In altri termini, la relazione tra segnale periodico e generatorenon è biunivoca. Un caso menobanale che evidenzia la possibilità di scegliere almeno due diversi generatori di uno stesso segnaleperiodico è la replicazione con sovrapposizione tra le repliche, descritta dall’esempio che segue.

Esempio 2.10 (onda triangolare a TC con sovrapposizione)A partire dal segnale generatorexg(t) = Λ(t)avente durata pari a 2 (Fig. 2.34), costruiamo il segnale periodicox(t) effettuando la replicazione dixg(t) conperiodoT0 = 3

2 < 2:

x(t) = rep32[xg(t)] =

+∞

∑k=−∞

Λ(

t− 32

k

).

Poiché il periodo di replicazione èinferiore alla durata del generatore, le repliche del segnale si sovrappongono,ed il segnale risultante (fig. 2.35) non si ottiene semplicemente affiancando le finestre triangolari, ma bisognatener conto della sovrapposizione tra le repliche, sommando queste ultime negli intervalli di sovrapposizione.In questo caso, finestrando il segnale periodico nell’intervallo[−1,1], si ottiene il generatore raffigurato infig. 2.36, che ovviamente è differente da quello originariamente considerato per costruire l’onda triangolare.

La definizione di replicazione si può estendere al caso TD con cambiamenti banali di notazione.In particolare, dato un segnale generatorexg(n) diverso da zero nell’intervallo0,1, . . . ,N0−1, lareplicazione dixg(n) è definita come:

x(n) = repN0[xg(n)] =

+∞

∑k=−∞

xg(n− kN0) . (2.19)

Tale espressione restituisce un segnale periodicox(n) di periodoN0, cioè risultax(n) = x(n + N0),∀n ∈ Z (la prova è banale ed è simile a quella già vista per il caso TC).


−2 −1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x g(t)

Fig. 2.34.Segnale generatore dell’onda triangolare aTC dell’es. 2.10.

−2 −1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

Fig. 2.35.Onda triangolare a TC dell’es. 2.10 (sonoraffigurate a tratteggio le repliche che sommate traloro danno luogo al segnale a tratto continuo).

−2 −1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x g(t)

Fig. 2.36.Un differente generatore dell’onda triango-lare a TC dell’es. 2.10, ottenuto finestrando il segnaleperiodico nell’intervallo(−0.75,0.75).

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

Fig. 2.37.Onda rettangolare a TD conM = 3 edN0 =5.

Esempio 2.11 (onda rettangolare a TD)Consideriamo come segnale generatore una finestra rettangolaredi ampiezza unitaria e durataM:

xg(n) = RM(n) .

Replicando tale generatore con periodoN0≥M (altrimenti le repliche si sovrapporrebbero) si ha:

x(n) = repN0[RM(n)] =

+∞

∑k=−∞

RM(n− kN0) ,

il cui andamento è rappresentato in Fig. 2.37 perM = 3 eN0 = 5.

Viceversa, un qualunque segnale periodicox(n) di periodoN0 può sempre essere ottenuto come re-plicazione di un opportuno generatorexg(n). Infatti come generatore è sempre possibile sceglierela restrizione del segnale periodico al periodo, che si ottiene finestrando il segnale con una finestra


rettangolare a TD:

xg(n) = x(n)RN0(n) =

x(n), n ∈ 0,1, . . . ,N0−1 ;

0, altrimenti.

Vale anche nel caso TD la stessa osservazione, già fatta nel caso TC, riguardo lanon biunivocità dellarelazione tra segnali periodici e generatori; in altri termini, un generatore determina univocamente unsegnale periodico, mentre un segnale periodico può essere ottenuto da diversi generatori.

2.4 Area e media temporale di un segnale 63

t

x(t)

-Z +Z

<x(t)>Z

2Z

Fig. 2.38. Interpretazione della media temporale diun segnale TC nell’intervallo[−Z,Z]. L’area del ret-tangolo (tratteggiata) di altezza〈x(t)〉Z e base 2Z èuguale all’area sottesa dal segnale.

2.4 Area e media temporale di un segnale

Altri due parametri che concorrono a caratterizzare sinteticamente un segnale sono l’area e la me-dia temporale. Dato un segnale TDx(n) e fissato un interoK ≥ 0, si definiscearea del segnalenell’intervallo −K,−K +1, . . . ,K−1,K la somma dei valori assunti dal segnale in tale intervallo:

Ax(K)=

K

∑n=−K

x(n) , (2.20)

mentre si definiscemedia temporale del segnale nell’intervallo −K,−K +1, . . . ,K−1,K la mediaaritmetica dei valori assunti dal segnale in tale intervallo:

〈x(n)〉K=

12K +1

K

∑n=−K

x(n) . (2.21)

Si noti che, in dipendenza della natura del codominioX del segnale, l’area e la media temporale dix(n) sono numeri reali o complessi. Le definizioni di area e media temporale date nel caso TD siestendono al caso di segnali a TCx(t) sostituendo alla sommatoria l’integrale. ConsideratoZ > 0,si definisce infattiarea del segnale nell’intervallo (−Z,Z), il numero, reale o complesso, calcolatoeffettuando l’integrale del segnale su tale intervallo:

Ax(Z)=∫ +Z

−Zx(t)dt , (2.22)

mentre si definiscemedia temporale del segnale nell’intervallo (−Z,Z), il numero, reale o complesso,calcolato effettuando la media integrale dei valori del segnale:

〈x(t)〉Z=

12Z

∫ Z

−Zx(t)dt . (2.23)


L’interpretazione di media, sia nel caso TC che nel caso TD, si ottiene notando che le (2.21) e (2.23)si possono riscrivere come

〈x(n)〉K =Ax(K)2K +1

,

〈x(t)〉Z =Ax(Z)

2Z,

e quindi, la media si può interpretare come l’altezza del rettangolo avente base pari all’intervallo tem-porale di riferimento e con la stessa area del segnale. Tale interpretazione è raffigurata graficamenteper il caso TC in fig. 2.38. Si suole anche dire che la media temporale rappresenta ilvalor medio delsegnale nell’intervallo temporale di riferimento.

I valori dell’area e della media temporale calcolati sulla base delle (2.20) e (2.21) oppure (2.22)e (2.23), salvo che in casi particolari, dipendono dalla scelta diZ oppure diK, ovvero riguardanosolo una porzione del segnale. Per ottenere invece valori di area e media temporale rappresentatividell’intero segnale, è sufficiente far tendereZ oppureK all’infinito. Si perviene così alle fondamentalidefinizioni diarea e media temporale di un segnale (sull’intero asse dei tempi):

Definizione 2.3 (area e media temporale)(a) L’area di un segnale è:

Ax=

lim

Z→+∞

∫ Z

−Zx(t)dt, (segnali TC)

limK→+∞

K

∑n=−K

x(n), (segnali TD)(2.24)

(b) La media temporale di un segnale è:

〈x(·)〉 =

lim

Z→+∞

12Z

∫ Z

−Zx(t)dt, (segnali TC)

limK→+∞

12K +1

K

∑n=−K

x(n), (segnali TD)(2.25)

L’integrale che definisce l’area di un segnale TC può non esistere, il che significa che esistono segnaliper i quali la definizione di area (2.24) perde di significato. Ciò accade, per esempio, nel caso deisegnali periodici, per i quali l’integrale nella (2.24) non esiste in senso ordinario. A tal proposito, sinoti che, in base alla (2.24), l’area di un segnale TC è definita mediante ilvalor principale di Cauchydell’integrale dix(t) esteso a tutto l’asse reale (cfr. § B.2.2), il cui valore è in generale diverso dalcorrispondente integraleimproprio:∫ +∞

−∞x(t)dt = lim

Z1,Z2→+∞

∫ Z2

−Z1

x(t)dt , (2.26)

in cui, a differenza del valor principale di Cauchy doveZ1 = Z2 = Z, gli estremi di integrazionetendono all’infinito indipendentemente l’uno dall’altro. Se il limite nella (2.26) esiste, allora ancheil valor principale di Cauchy dell’integrale dix(t) esteso all’intero asse reale esiste e i due integraliforniscono lo stesso risultato, cioè∫ +∞

−∞x(t)dt = lim

Z→+∞

∫ Z

−Zx(t)dt . (2.27)


Tuttavia, il viceversa non è vero: il valor principale di Cauchy dell’integrale dix(t) suR può esistereanche quando il corrispondente integrale improprio non esiste. Ad esempio, se consideriamo il segnalex(t) = t, con t ∈ R, l’integrale (2.26) non esiste, mentre il valor principale di Cauchy dell’integraledi x(t) esteso a tutto l’asse reale risulta esistere ed essere nullo, cioè, il segnale ha area nulla. Piùin generale,tutti i segnali dispari risultano avere area nulla. Un discorso analogo sussiste ancheper i segnali a TD con riferimento alla sommatoria: l’area del segnalex(n) è definita mediante lasomma simmetrica della serie bilatera dix(n) (cfr. § B.1.3), che può esistere anche quando la seriebilatera dix(n) non converge. Quando invece la serie dix(n) converge, essa è anche simmetricamenteconvergente e la sua sua somma coincide con quella simmetrica, cioè

+∞

∑n=−∞

x(n) = limK→+∞

K

∑n=−K

x(n) .

Per quanto concerne l’interpretazione di〈x(·)〉, poiché la media temporale definita nella (2.25) siottiene come caso limite dalle definizioni (2.21) o (2.23), l’interpretazione della (2.25) si potrebbericavare come caso limite di quella già data con riferimento alla media su un intervallo temporaledi durata limitata, e quindi come valor medio del segnale (con riferimento all’intero asse dei tempi).Tuttavia, dato che l’area di un segnale può essere infinita, bisogna fare attenzione a generalizzarel’interpretazione di media come l’altezza di un rettangolo avente la stessa area del segnale. Essa valeinfatti se la media è calcolata su un intervallo temporale finito, e quindi per ogni fissato valore diZ odi K: in questo caso, se il segnalex(·) assume valori finiti, la sua area è necessariamente finita. Poichéla definizione di area e valor medio sono intimamente legate, il fatto cheAx sia finito o infinito ha delleimmediate implicazioni sul valor medio del segnale. Infatti, soffermando l’attenzione al caso TC, seil segnalex(t) ha area finita, cioè,|Ax|< +∞, risulta che:

〈x(t)〉 = limZ→+∞

12Z

∫ Z

−Zx(t)dt =

limZ→+∞

∫ Z

−Zx(t)dt

limZ→+∞

2Z=

Ax

+∞= 0, (2.28)

ossia,se il segnale ha area finita, la sua media temporale è nulla. Questo accade per i segnali aventidurata rigorosamente limitata (come le finestre), ma si verifica anche per molti segnali aventi duratapraticamente limitata. Con ragionamenti analoghi è possibile provare la stessa proprietà anche nelcaso TD. Come conseguenza di questo risultato, si deduce che affinché la media temporale dix(·)assuma un valore diverso da zero, l’area del segnale deve necessariamente essere infinita. Un’altraproprietà interessante dei segnali aventi area finita è legata al cambiamento di scala temporale. Conriferimento al caso TC per semplicità, a partire dal segnalex(t) avente area finitaAx, mediante cambiodi variabile, è immediato calcolare l’area del segnaley(t) = x(at), cona ∈ R−0, ottenendo:

Ay = limZ→+∞

∫ Z

−Zy(t)dt = lim

Z→+∞

∫ Z

−Zx(at)dt = lim

Z→+∞

1|a|

∫ Z

−Zx(τ )dτ =

Ax

|a| ,

da cui si ricava che una compressione (|a| > 1) riduce l’area del segnale, mentre una espansione(0 < |a| < 1) aumenta l’area del segnale. Come caso particolare, ponendoa = −1, si ottiene chel’area di un segnale è invariante rispetto alle riflessioni temporali, nel senso che sey(t) = x(−t), sihaAy = Ax. Allo stesso modo, è facile verificare che anche l’operazione di traslazione temporale nonaltera l’area di un segnale.

Esempio 2.12 (area e media temporale della finestra rettangolare)Calcoliamo area e media temporaledi una finestra rettangolare a TCx(t) = A rect(t/T ). Si tratta di un segnale di durata rigorosamente limitata, percui la sua area è finita:

Ax = limZ→+∞

∫ Z

−Zx(t)dt = lim

Z→+∞A∫ T/2

−T/2dt = lim

Z→+∞AT = AT .


Conseguentemente, la sua media temporale è nulla:

〈x(t)〉= limZ→+∞

12Z

∫ Z

−Zx(t)dt = 0.

Con calcoli analoghi, si verifica che anche la media temporale della finestra a TDx(n) = RN(n) è nulla, inquanto ha area finita pari aN.

Esempio 2.13 (area e media temporale dell’esponenziale monolatero decrescente)Calcoliamo area e me-dia temporale del segnale esponenziale a TCx(t) = Ae−t/T u(t), conT > 0. Pur trattandosi di un segnale didurata praticamente limitata, l’esponenziale monolatero decrescente ha area finita come la finestra rettangolare:

Ax = limZ→+∞

∫ Z

−Zx(t)dt = lim

Z→+∞A∫ Z

0e−t/T dt = lim

Z→+∞AT (1− e−Z/T ) = AT .

L’area dell’esponenziale monolatero decrescente dipende linearmente dalla costante di tempoT : questo risul-tato è perfettamente in accordo con l’interpretazione geometrica diT data in fig. 2.27. Conseguentemente, lamedia temporale dix(t) è nulla:


12Z

∫ Z

−Zx(t)dt = 0.

Analogamente, anche la media temporale dell’esponenziale a TDx(n) = Aan u(n), con 0< |a|< 1, è nulla, inquanto la sua area è finita ed è data da:

Ax = limK→+∞

K

∑n=−K

x(n) = limK→+∞

AK

∑n=0

an = limK→+∞

A1−aK+1

1−a=

A1−a

.

Per avere esempi significativi di segnali aventi media temporale diversa da zero, dobbiamo considerareallora segnali aventi area infinita e quindi durata illimitata.

Esempio 2.14 (media temporale del segnale costante)È semplice calcolare la media temporale di un se-gnale costantex(·) = a. Nel caso TC si ha:


12Z

∫ Z

−Zadt = a lim

Z→+∞

12Z

∫ Z

−Zdt = a lim

Z→+∞

12Z

2Z = a .

Calcoli analoghi si possono effettuare anche nel caso TD, e quindi per un segnale costantex(·) = a si ha〈x(·)〉= a; in altri termini, la media temporale di una costante coincide con la costante stessa.

Esempio 2.15 (media temporale del gradino)Calcoliamo la media temporale di un gradino a TD. Si ha:

〈u(n)〉= limK→+∞

12K +1

K

∑n=−K

u(n) = limK→+∞

12K +1

K

∑n=0

1 = limK→+∞

K +12K +1

=12

.

Calcoli analoghi si possono effettuare anche nel caso TC, e quindi si ha in generale〈u(·)〉= 12.

La media temporale può essere nulla anche se il segnale ha durata infinita, ma presenta particolariproprietà di simmetria, come evidenziato nel seguente esempio.

Esempio 2.16 (media temporale del signum)Calcoliamo la media temporale del segnale TCx(t) = sgn(t),definito come

sgn(t)=

1, t ≥ 0 ;

−1, t < 0 ;


−5 0 5

−1

−0.5

0

0.5

1

t

x(t)

= s

gn(t

)

Fig. 2.39.Segnale signum a TC.

−5 0 5

−1

−0.5

0

0.5

1

n

x(n)

= s

gn(n

)

Fig. 2.40.Segnale signum a TD.

e rappresentato graficamente in Fig. 2.39. Si ha:

〈x(t)〉= limZ→∞

12Z

∫ Z

−Zsgn(t)dt = lim

Z→∞

12Z

∫ 0

−Z(−1)dt︸︷︷︸=−Z

+∫ Z

01dt︸︷︷︸

=Z

= 0.

Questo risultato discende dal fatto che il signum a TC, essendo una funzione dispari9, ha area nulla (nel senso delvalor principale di Cauchy). Lo stesso risultato si ottiene per il segnale TDx(n) = sgn(n), definito analogamentea sgn(t), come

sgn(n)=

1, n≥ 0 ;

−1, n < 0 ;

e raffigurato graficamente in fig. 2.40. In questo caso, il risultato〈x(n)〉= 0 discende dal fatto che il signum aTD è un segnale avente area finita pari ad 1 [somma simmetrica della serie bilatera dix(n)].

Più in generale, osserviamo nuovamente che se un segnale hasimmetria dispari, allora la sua areaè nulla e, conseguentemente, anche la sua media temporale è nulla. Per completare la trattazione,presentiamo le seguenti proprietà della media temporale, utili nelle applicazioni:

9Notiamo che a rigore la funzione sgn(t) non è dispari, in quanto il suo valore nell’origine non è nullo; tuttavia essasoddisfa la proprietà sgn(−t) =−sgn(t), ∀t = 0, e d’altra parte il valore della funzione in un singolo punto non modifica ilrisultato del calcolo dell’area e della media temporale.


Proprietà 2.7 (proprietà della media temporale)(a) Linearità:

〈α1 x1(·)+α2x2(·)〉= α1〈x1(·)〉+α2〈x2(·)〉 , ∀α1,α2 ∈ C .

(b) Invarianza temporale:

〈x(t− t0)〉= 〈x(t)〉 , ∀t0 ∈ R ;

〈x(n−n0)〉= 〈x(n)〉 , ∀n0 ∈ Z .

(c) Media temporale di un segnale periodico:

Sia x(·) un segnale periodico, avente periodoT0 nel caso TC, o periodoN0 nel caso TD,assolutamente integrabile/sommabile su un periodo. La media temporale dix(·) può esserecalcolata su un solo periodo:

〈x(·)〉=

1T0

∫ T0

0x(t)dt , (segnali TC)

1N0

N0−1

∑n=0

x(n) , (segnali TD)

Prova. La dimostrazione delle proprietà (a) e (b) è immediata ed è lasciata al lettore come esercizio. Nelseguito, proviamo la proprietà (c) per il caso a TC (la dimostrazione per il caso TD si effettua in modo simile).In base alla definizione di media temporale, dobbiamo calcolare

〈x(t)〉 = limZ→+∞

12Z

∫ Z

−Zx(t)dt .

Osserviamo che è possibile esprimereZ = nZT0+εZ , dovenZ ∈N indica il numero intero di periodiT0 contenuti

in (0,Z), mentreεZ= Z−nZT0 ∈ [0,T0[ è la frazione di periodo rimanente. Si ha allora:

12Z

∫ Z

−Zx(t)dt =

12Z

∫ −nZT0

−Zx(t)dt︸︷︷︸

(a)

+1

2Z

nZ−1

∑k=−nZ

∫ (k+1)T0

kT0

x(t)dt︸︷︷︸(b)

+1

2Z

∫ Z

nZT0

x(t)dt︸︷︷︸(c)

.

I termini (a) e (c) tendono a zero perZ→ +∞. Infatti, consideriamo il termine (c) ed effettuiamo il cambio divariabileu = t−nZT0, ottenendo:∣∣∣∣ 1

2Z

∫ Z

nZT0

x(t)dt

∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣

12Z

∫ Z−nZT0

0x(u+nZT0)︸︷︷︸

= x(u) per la periodicità

du

∣∣∣∣∣∣∣≤1

2Z

∫ εZ

0|x(u)|du≤ 1

2Z

∫ T0

0|x(u)|du︸︷︷︸

non dipende daZ ed è finito

,

da cui segue la convergenza a zero perZ → +∞, se il segnalex(t) è assolutamente sommabile in(0,T0).Mediante un analogo ragionamento si prova che anche il termine (a) tende a zero al divergere diZ. Per iltermine (b), invece, effettuando il cambiamento di variabileu = t− kT0, si trova:

12Z

nZ−1

∑k=−nZ

∫ (k+1)T0

kT0

x(t)dt =1

2Z

nZ−1

∑k=−nZ

∫ T0

0x(u+ kT0)︸︷︷︸

= x(u) per la periodicità

du

=1

2Z

nZ−1

∑k=−nZ

∫ T0

0x(u)du =

2nz

2nZT0 +2εZ

∫ T0

0x(t)dt ,


per cui facendo divergereZ o equivalentementenZ , si ha in definitiva:

〈x(t)〉= limnZ→+∞

2nz

2nzT0 +2εz

∫ T0

0x(t)dt =

1T0

∫ T0

0x(t)dt .

La proprietà 2.7(c) consente di semplificare il calcolo della media temporale di un segnale periodico,evitando il passaggio al limite presente nella definizione generale (2.25). Tale proprietà può essereespressa in forma più generale, osservando che per un segnale periodico a TC risulta:∫ T0

0x(t)dt =

∫ t0+T0

t0x(t)dt , ∀t0 ∈ R ,

ovvero il risultato dell’integrale su un periodoT0 non dipende dagli estremi di integrazione; questoconsente di utilizzare la notazione simbolica∫

T0

x(t)dt=∫ t0+T0

t0x(t)dt , ∀t0 ∈ R ,

per indicare l’integrale effettuato su un intervalloarbitrario di durataT0, pari ad un periodo delsegnale. Allo stesso modo, per un segnale TD, denoteremo con

∑N0

x(n)=

n0+N0−1

∑n=n0

x(n) , ∀n0 ∈ Z ,

la sommatoria fatta suN0 campioni consecutivi arbitrari, ovvero su un periodo del segnale. Con lanotazione precedente, la media temporale di un segnale periodico si può esprimere come:

〈x(·)〉=

1T0

∫T0

x(t)dt , (segnali a TC)

1N0

∑N0

x(n) , (segnali a TD)(2.29)

Esempio 2.17 (media temporale del signum)Come applicazione della proprietà di linearità, ricalcoliamola media temporale del segnalex(t) = sgn(t), notando che tale segnale può essere espresso semplicemente infunzione del gradino come sgn(t) = 2u(t)−1. Si ha allora:

〈x(t)〉= 〈2u(t)−1〉= 2〈u(t)〉︸︷︷︸= 1

2

− 〈1〉︸︷︷︸=1

= 0,

dove abbiamo applicato i risultati degli es. 2.14 e 2.15, riottenendo il risultato dell’es. 2.16.

Esempio 2.18 (media temporale di un fasore)Calcoliamo dapprima la media temporale del fasore a TCx(t) = Ae j(ω0t+ϕ0). Perω0 = 0, il fasore degenera nel segnale costantex(t) = Aejϕ0, per cui:

〈x(t)〉= ⟨Ae jϕ0

⟩= Ae jϕ0 .

Perω0 = 0, il fasorex(t) è periodico di periodoT0 = 2π|ω0| , per cui la media temporale si può calcolare su un

periodo, ad esempio in(0,T0), utilizzando la (2.29):

〈x(t)〉= 1T0

∫T0

Ae j(ω0t+ϕ0) dt =Ae jϕ0

T0

∫ T0

0e jω0t dt =

Ae jϕ0

T0

[e jω0t

jω0

]t=T0

t=0=

Ae jϕ0

T0

(e j2π−1

jω0

)= 0.


Nonostante il fasore a TDx(n) = Aej(θ0n+ϕ0) non sia necessariamente un segnale periodico (lo è solo se lasua frequenzaν0 è un numero razionale), esso gode di proprietà analoghe a quelle del fasore a TC per quantoriguarda la media temporale. Infatti, si può dimostrare (la verifica è lasciata come esercizio) che

〈x(n)〉=

0, seθ0 = 2πk, k ∈ Z ;

Ae jϕ0 , altrimenti ;

Esempio 2.19 (media temporale di una sinusoide)Calcoliamo la media temporale della sinusoide a TCx(t) = A cos(ω0t +ϕ0). Nel casoω0 = 0 la sinusoide si riduce ad un segnale costantex(t) = A cos(ϕ0), pertanto

〈x(t)〉= 〈A cos(ϕ0)〉= A cos(ϕ0) .

Nel caso in cuiω0 = 0, poiché la sinusoidex(t) si esprime come somma di due fasori, possiamo applicare laproprietà 2.7(a) (linearità della media temporale):

〈x(t)〉= 12

A⟨

e j(ω0t+ϕ0)⟩

+12

A⟨

e− j(ω0t+ϕ0)⟩

=12

Ae jϕ0⟨e jω0t⟩︸︷︷︸=0

+12

Ae− jϕ0⟨e− jω0t⟩︸︷︷︸

=0

= 0,

dove abbiamo sfruttato il risultato (cfr. es. 2.18) che un fasore conω0 = 0 ha media temporale nulla. Ana-logamente, per la sinusoide a TDx(n) = A cos(θ0n + ϕ0), si può verificare (la dimostrazione è lasciata comeesercizio) che:

〈x(n)〉=

0, seθ0 = 2πk, k ∈ Z ;

A cos(ϕ0) , altrimenti ;

2.4.1 Componente continua e alternata di un segnale

Utilizzando una terminologia mutuata dall’elettrotecnica, la media temporale di un segnale si puòinterpretare come lacomponente continua del segnale; a partire dalla componente continua, si puòdefinire per differenza anche lacomponente alternata.

Definizione 2.4 (componente continua/alternata)La componente continua (DC) di un segnalex(·) coincide con la sua media temporale:

xdc= 〈x(·)〉 . (2.30)

La componente alternata (AC) di un segnalex(·) si ottiene sottraendo al segnale la suacomponente continua:

xac(·) = x(·)− xdc . (2.31)

Mentre la componente continua rappresenta il valor medio del segnale, e quindi, in un certo senso,la parte “costante” del segnale, la componente alternata, essendo ottenuta depurando il segnale dellacomponente continua, ne rappresenta la parte effettivamente “variabile”. Dalla sua definizione, èchiaro che la componente alternata di un segnale ha media temporale (e quindi componente continua)nulla. Infatti, applicando la proprietà di linearità della media temporale, si ha:

〈xac(·)〉= 〈x(·)− xdc〉= 〈x(·)〉−〈xdc〉= xdc− xdc = 0.

2.5 Energia di un segnale 71

Dalla definizione stessa di componente alternata, è chiaro inoltre che un qualunque segnale si puòscrivere sempre come la somma della sua componente continua e della sua componente alternata:

x(·) = xdc+ xac(·) . (2.32)

In particolare, un segnalex(·) che presentaxdc = 0 e che, quindi, coincide con la sua componentealternata, viene dettosegnale puramente alternativo. Dagli es. 2.18 e 2.19, segue che il fasore ela sinusoide a TC, conω0 = 0, sono segnali TC puramente alternativi; analogamente, il fasore e lasinusoide a TD, conθ0 = 2πk, k ∈ Z, sono segnali TD puramente alternativi.

Esempio 2.20 (componente continua ed alternata del gradino)Abbiamo già calcolato (es. 2.15) la mediatemporale del gradino, per cui la componente continua valexdc = 1

2, mentre la componente alternata vale:

xac(t) = x(t)− xdc = u(t)− 12

=12

sgn(t) .

Pertanto la decomposizione (2.32) per un gradino assume la forma:

u(t) = xdc+ xac(t) =12

+12

sgn(t) .

Dalla relazione precedente si può ricavare, per verifica, anche la relazione sgn(t) = 2u(t)−1 che abbiamo giàutilizzato in precedenza. Risultati analoghi valgono anche per il caso del gradino a TD.

2.5 Energia di un segnale

Un parametro importante che caratterizza sinteticamente un’ampia famiglia di segnali è l’energia; ilconcetto di energia è fondamentale nella fisica, e ricorre in numerose applicazioni. Consideriamo,ad esempio, un resistoreR attraversato dalla correntex(t): per effetto termico, il resistore dissipanell’intervallo di tempo(−Z,Z) un’energia pari a

Ex(Z) =∫ Z

−ZRx2(t)dt ,

che viene misurata in Joule (J). Se si considerano altri esempi in altri campi della fisica, si può verifi-care che in generale l’energia è proporzionale all’integrale del quadrato del segnale. Per ottenere unadefinizione indipendente dalla particolare applicazione fisica, conviene ignorare le eventuali costantidi proporzionalità (come la resistenzaR nell’esempio precedente) e definire l’energia di un arbitrariosegnale TC o TD (sull’intero asse dei tempi) nel modo seguente:

Definizione 2.5 (energia)L’energia di un segnale è:

Ex=

lim

Z→+∞

∫ Z

−Z|x(t)|2dt, (segnali TC)

limK→+∞

K

∑n=−K

|x(n)|2, (segnali TD)(2.33)

Si noti la presenza del modulo nella definizione (2.33), che rende tale definizione di energia applicabileanche a segnali complessi; se il segnale è reale, il modulo può evidentemente essere omesso, in quantoper un segnale reale|x(·)|2 = x2(·). Avendo ignorato eventuali costanti di proporzionalità, notiamo


che le dimensioni fisiche diEx calcolata mediante la (2.33) non sono necessariamente quelle di unaenergia. Ad esempio, il quadrato di una corrente non è dimensionalmente una energia, ma richiedeuna moltiplicazione per una resistenza. Tali costanti di proporzionalità non saranno considerate nelseguito, ma evidentemente vanno portate in conto se si intende calcolare l’energia in Joule mediantela (2.33) in specifiche applicazioni. Essendo legata al quadrato del segnale,l’energia è una quantitànon negativa (Ex ≥ 0). Dal confronto tra le (2.24) e (2.33), è interessante osservare che l’energia delsegnalex(·) può essere interpretata come l’area del segnale|x(·)|2. Questo osservazione ci consente diestendere all’energia alcune proprietà dell’area di un segnale. In particolare, se il segnalex(·) presentadurata rigorosamente limitata (è il caso delle finestre), allora anche|x(·)|2 sarà di durata rigorosamentelimitata e, conseguentemente, la sua energia (ovvero l’area di|x(·)|2) sarà finita. Tuttavia, l’energiapuò esistere finita anche se il segnalex(·) ha durata non rigorosamente limitata, purché|x(·)|2 decadaa zero per|t| → +∞ o per |n| → +∞ con sufficiente rapidità, in modo da garantire la convergenzadell’integrale o della serie che compaiono nella definizione (2.33) (cfr. § B.2.3 e B.1.4).

Esempio 2.21 (energia della finestra rettangolare)Il calcolo dell’energia per una finestra rettangolare aTC x(t) = A rect(t/T ) è semplice, avendosi:

Ex = limZ→+∞

∫ Z

−Z|x(t)|2 dt = A2

∫ T/2

−T/2dt = A2 T .

Calcoli altrettanto semplici si possono effettuare per una finestra rettangolare a TDx(n) = RN(n). Si ha infatti:

Ex = limK→+∞

K

∑n=−K

|x(n)|2 =N−1

∑n=0

1 = N .

Esempio 2.22 (energia dell’esponenziale monolatero a TC)Calcoliamo l’energia per l’esponenziale mo-nolatero a TCx(t) = Ae−t/T u(t), conT > 0. Si ha:

Ex = limZ→+∞

∫ Z

−Z|x(t)|2dt = A2

∫ ∞

0e−2t/T dt = A2

[e−2t/T

−2/T

]t=∞

t=0

=A2T

2.

Notiamo che l’energia è finita poichéx(t) è una funzione che tende a zero pert → +∞ con legge esponen-ziale (quindi molto rapidamente). Se avessimo viceversa consideratoT < 0, avremmo avuto un esponenzialemonolatero crescente, che quindi avrebbe presentatoEx = +∞.

Esempio 2.23 (energia dell’esponenziale monolatero a TD)Calcoliamo l’energia per l’esponenziale mo-nolatero a TDx(n) = Aanu(n). Si ha:

Ex = limK→+∞

K

∑n=−K

|x(n)|2 = A2∞

∑n=0

a2n .

Si ottiene allora una serie geometrica di ragionea2, che converge se e solo se|a|2 < 1, ovvero se e solo se|a|< 1. In questo caso, allora, l’energia vale:

Ex = A2 11−a2 , |a|< 1.

Notiamo che la condizione|a| < 1 equivale a dire che l’esponenziale tende a zero pern→ +∞ , mentre per|a| ≥ 1 l’energia non esiste finita, in quanto l’esponenziale non tende a zero.

2.5 Energia di un segnale 73

2.5.1 Segnali di energia

I segnali aventi energia finita (come quelli degli es. 2.21, 2.22, e 2.23) prendono il nome disegnali dienergia. Più in generale, sussiste la seguente definizione:

Definizione 2.6 (segnale di energia)Si dicesegnale di energia un segnalex(·) avente energia finita e diversa da zero (0< Ex < +∞).

In pratica, la classe dei segnali di energia si può identificare con la classe dei segnali di durata limitatao transitori (cfr. § 2.3), che comprende sia i segnali di durata rigorosamente limitata (come ad esempiola finestra rettangolare dell’es. 2.21), sia i segnali di durata praticamente limitata (ad esempio i segnaliesponenziali monolateri decrescenti degli es. 2.22 e 2.23). Viceversa, i segnali di durata non limitata opersistenti non sono di energia, in quanto tipicamente presentanoEx = +∞: vedremo che tali segnaliappartengono in genere alla classe deisegnali di potenza (vedi § 2.6). In conclusione, osserviamo che,dal punto di vista matematico, non esiste alcuna relazione di inclusione tra l’insieme dei segnali dienergia e l’insieme dei segnali aventi area finita (cfr. § B.2.3 e B.1.4): un segnale può essere di energia,ma non avere area finita; un segnale può avere area finita, ma non essere di energia. Poiché i segnaliaventi area finita hanno componente continua nulla, consegue che, in generale, un segnale di energiapuò anche avere componente continua non nulla. Tuttavia, in molti casi di interesse pratico i segnali dienergia hanno anche area finita (vedi ad esempio gli esponenziali monolateri); la conseguenza praticaè che tipicamente essi hanno componente continua nulla.

2.5.2 Energia mutua

Osserviamo preliminarmente che il prodotto di un segnale di energia per una costante è ancora unsegnale di energia, e la somma di due segnali di energia è ancora un segnale di energia. Questacircostanza si esprime matematicamente dicendo che l’insieme dei segnali di energia èchiuso rispettoalle operazioni di somma e prodotto per una costante (cfr. § B.2.3 e B.1.4).

Nel caso del prodotto per una costanteα ∈ C, postoy(·) = α x(·), è semplice provare che si haEy = |α |2Ex; più articolato è il calcolo dell’energiaEx+y della somma di due segnali. Sviluppiamoesplicitamente i calcoli nel caso TC, partendo dalla definizione:

Ex+y = limZ→+∞

∫ Z

−Z|x(t)+ y(t)|2dt . (2.34)

Sviluppando il modulo al quadrato all’interno dell’integrale, si ha:

|x(t)+ y(t)|2 = [x(t)+ y(t)][x(t)+ y(t)]∗ = x(t)x∗(t)+ y(t)y∗(t)+ x(t)y∗(t)+ y(t)x∗(t)

= |x(t)|2 + |y(t)|2 +2Re[x(t)y∗(t)] ,

dalla quale, sostituendo nella (2.34), si ha:

Ex+y = limZ→+∞

∫ Z

−Z|x(t)|2dt + lim

Z→+∞

∫ Z

−Z|y(t)|2dt +2Re

[lim

Z→+∞

∫ Z

−Zx(t)y∗(t)dt

]. (2.35)

Se si pone

Exy= lim

Z→+∞

∫ Z

−Zx(t)y∗(t)dt , (2.36)


si ha in definitiva:

Ex+y = Ex +Ey +2Re(Exy) . (2.37)

La relazione (2.37) mostra che nel calcolo dell’energiaEx+y della somma di due segnali compare,oltre alle energieEx e Ey dei singoli segnali, il termineExy che evidentemente porta in gioco rela-zioni energetichemutue o reciproche tra i due segnali. Estendendo i precedenti concetti, con ovviemodifiche, al caso TD, possiamo dare la seguente definizione dienergia mutua tra due segnali:

Definizione 2.7 (energia mutua)L’energia mutua tra due segnalix(·) e y(·) è:

Exy=

lim

Z→+∞

∫ Z

−Zx(t)y∗(t)dt, (segnali TC)

limK→+∞

K

∑−K

x(n)y∗(n), (segnali TD)(2.38)

A differenza dell’energia, che è una quantità reale e non negativa, l’energia mutua è in generale unaquantità complessa; notiamo peraltro che perx(·) ≡ y(·) l’energia mutua si riduce all’energia delsegnale. Inoltre, poiché il secondo segnale nella (2.38) è coniugato, si haEyx = E∗xy: nel caso disegnali reali, però, l’energia mutua è anch’essa reale (anche se può avere segno qualsiasi), e risultasimmetrica, in quantoEyx = Exy. In tal caso, la relazione (2.37) (valida per segnali a TC e a TD) sisemplifica nella:

Ex+y = Ex +Ey +2Exy , (2.39)

simile concettualmente alla formula per il calcolo del quadrato di un binomio. Poiché il terminecontenente l’energia mutua nella (2.37) o nella (2.39) può assumere segno qualsiasi, tali relazionimostrano che l’energia della somma di due segnali può risultare in generale maggiore, minore ouguale rispetto alla somma delle energie. Particolarmente interessante è la condizione in cuiExy = 0,che garantisce l’additività delle energie:10

Ex+y = Ex +Ey . (2.40)

La precedente osservazione porta ad introdurre il concetto diortogonalità11 tra due segnali di energia:

Definizione 2.8 (ortogonalità tra segnali di energia)Due segnali di energiax(·) e y(·) si diconoortogonali seExy = 0.

Per segnali di energia ortogonali vale l’additività delle energie (2.40). Nei due esempi seguenti, sonomostrati alcuni casi tipici (certamente non esaustivi) di segnali ortogonali.

Esempio 2.24 (segnali di energia ortogonali nel tempo)Si considerino due segnali che non si sovrappon-gono nel tempo, come ad esempiox(t) = rect(t) e y(t) = rect(t−1) (fig. 2.41). In tal caso si hax(t)y∗(t)≡ 0,e quindi a maggior ragioneExy = limZ→+∞

∫ Z−Z x(t)y∗(t)dt = 0. Segnali (TC o TD) che non si sovrappongono

nel tempo sono dettiortogonali nel tempo. 10Se i segnali sono complessi, per l’additività delle energie è necessario e sufficiente che sia Re[Exy] = 0; in questo caso

la condizioneExy = 0 è sufficiente ma non necessaria, mentre diventa necessaria e sufficiente se i segnali sono reali.11Si usa il termine “ortogonalità” in quanto, in base a concetti matematici più avanzati, l’energia mutua può anche essere

interpretata come “prodotto scalare” tra i segnalix(t) edy(t) (riguardati come vettori).

2.6 Potenza e valore efficace di un segnale 75

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

t

x(t)

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

t

y(t)

Fig. 2.41. I segnalix(t) = rect(t) e y(t) = rect(t−1)sono ortogonali nel tempo (es. 2.24).

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

0.5

1

t

x(t)

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−0.5

0

0.5

t

y(t)

Fig. 2.42. I segnali x(t) = rect(t) e y(t) = t rect(t)sono ortogonali per simmetria (es. 2.25).

Esempio 2.25 (segnali di energia ortogonali per simmetria)Si considerino due segnali di energia anchesovrapposti nel tempo, ma tali che uno dei due, ad esempiox(t), abbia simmetria pari, mentre l’altro ha simme-tria dispari. Poiché il prodotto di una funzione pari e di una dispari è una funzione dispari, risulta anche in questocasoExy = 0, nonostantex(t)y∗(t) ≡ 0. Per un esempio concreto, basta considerare i segnalix(t) = rect(t) ey(t) = t rect(t) (fig. 2.42). Si ha:

Exy = limZ→+∞

∫ Z

−Zrect(t) t rect(t)dt =

∫ 1/2

−1/2t dt = 0.

2.6 Potenza e valore efficace di un segnale

Come l’energia, anche la potenza è un parametro sintetico caratterizzante alcuni segnali, che è utilizza-to in numerosi e diversi ambiti della fisica. Consideriamo ancora l’esempio del resistoreR attraversatodalla correntex(t): la potenza mediamente dissipata nell’intervallo di tempo(−Z,Z) è

Px(Z) =1

2Z

∫ Z

−ZRx2(t)dt ,

ovvero si ottiene dividendo l’energia dissipata nell’intervallo(−Z,Z) per la lunghezza 2Z di taleintervallo di tempo. La potenza è una quantità misurata in J/s o Watt (W). Per ottenere una definizionegenerale della potenza mediamente dissipata sututto l’intervallo temporale del segnale, convienetrascurare eventuali costanti di proporzionalità (come la resistenzaR) e far tendereZ all’infinito,ottenendo così:

Px= lim

Z→+∞

12Z

∫ Z

−Z|x(t)|2dt . (2.41)

Notiamo che la potenzaPx coincide con la media temporale del segnale|x(t)|2 ed essendo legata,come l’energia, al modulo al quadrato del segnale, è una quantità non negativa (Px ≥ 0).

Pertanto, generalizzando l’interpretazione come media temporale al caso TD, si perviene allaseguente definizione di potenza:


Definizione 2.9 (potenza)La potenza di un segnale è:

Px=⟨|x(·)|2⟩=

lim

Z→+∞

12Z

∫ Z

−Z|x(t)|2dt, (segnali TC)

limK→+∞

12K +1

K

∑n=−K

|x(n)|2, (segnali TD)(2.42)

Si noti che il modulo nella definizione (2.42) può essere omesso se il segnale è reale. Avendo trascura-to eventuali costanti di proporzionalità, le dimensioni fisiche della potenza definita in base alla (2.42)non sono necessariamente quelle corrette (ovvero W). Il vantaggio è, come per l’energia, di ottenereuna quantità che dipende esclusivamente dal segnale.

Esempio 2.26 (potenza di un segnale costante)La potenza di un segnale costantex(·) = a è:

Px =⟨|x(·)|2⟩=

⟨|a|2⟩= |a|2 .

Se il segnale è reale (a ∈ R), alloraPx = a2.

Esempio 2.27 (potenza del gradino)Il calcolo della potenza di un gradino u(·) è semplice: basta osservareche, poiché il gradino assume solo i due valori reali 0 ed 1, si ha:

Px =⟨|u(·)|2⟩=

⟨u2(·)⟩= 〈u(·)〉= xdc =

12

dove abbiamo utilizzato il risultato dell’es. 2.15 sulla componente continua di un gradino.

A partire dalla potenza si definisce ilvalore efficace di un segnale (detto anche valoreroot meansquare o RMS), molto utilizzato nell’elettrotecnica:

Definizione 2.10 (valore efficace)Il valore efficace di un segnalex(·) è:

xrms=√

Px =√〈|x(·)|2〉 .

Sulla base del risultato dell’es. 2.26, il valore efficace di un segnalex(·) si può interpretare come ilvalore che deve assumere un segnale costante per avere la stessa potenza del segnale dato.

2.6.1 Segnali di potenza

Sulla base della definizione di potenza, è possibile individuare la classe dei segnali che hanno potenzafinita; tali segnali prendono il nome disegnali di potenza:

Definizione 2.11 (segnale di potenza)Si dicesegnale di potenza un segnalex(·) avente potenza finita e diversa da zero (0< Px < +∞).

La classe dei segnali di potenza è costituita dai segnali di durata non limitata o persistenti: tali segnalicomprendono i segnali aperiodici persistenti (es. gradino, signum) e i segnali periodici (es. fasore,


sinusoide). Per soddisfare la definizione (2.12) oppure (2.13), un segnale periodico deve necessaria-mente avere durata illimitata; questo comporta che la sua energia è necessariamente infinita. Infatti,fatta eccezione per casi di scarso interesse pratico, un segnale periodico è necessariamente un segnaledi potenza. Ricordando che la potenza di un segnalex(·) non è altro che il valor medio di|x(·)|2 einvocando la proprietà 2.7(c) della media temporale, segue che la potenza di un segnale periodico sipuò calcolare12 come:

Px =⟨|x(·)|2⟩=

1T0

∫T0

|x(t)|2dt , (segnali a TC)

1N0

∑N0

|x(n)|2 , (segnali a TD)(2.43)

da cui si vede che la potenza esiste necessariamente finita e diversa da zero, salvo per casi particolaridi scarso interesse pratico13.

Esempio 2.28 (potenza di un fasore)Calcoliamo la media temporale del fasore a TCx(t) = Aej(ω0t+ϕ0).Perω0 = 0, il fasore degenera nel segnale costantex(t) = Aejϕ0, per cui:

Px =⟨|x(t)|2⟩=

⟨A2⟩= A2 .

Perω0 = 0, il fasorex(t) è periodico di periodoT0 = 2π|ω0| , per cui la potenza si può calcolare applicando la

(2.43). In tal modo, si ha:

Px =⟨|x(t)|2⟩=

1T0

∫T0

A2dt = A2 ,

da cui si ottiene per il valore efficacexrms =√

Px = A (si noti che i risultati per la potenza ed il valore efficacevalgono anche perω0 = 0). Nonostante il fasore a TDx(n) = Aej(θ0n+ϕ0) non sia necessariamente un segnaleperiodico (lo è solo se la sua frequenzaν0 è un numero razionale), esso gode di proprietà analoghe a quelle delfasore a TC per quanto riguarda la potenza. Infatti, si può dimostrare (la verifica è lasciata come esercizio) chein ogni casoPx =

⟨|x(n)|2⟩= A2.

Esempio 2.29 (potenza di una sinusoide)Calcoliamo prima la potenza della sinusoide a TCx(t)= A cos(ω0t +ϕ0). Nel casoω0 = 0 la sinusoide si riduce ad un segnale costantex(t) = A cos(ϕ0), pertanto:

Px =⟨|x(t)|2⟩=

⟨A2 cos2(ϕ0)

⟩= A2 cos2(ϕ0) .

Nel caso in cuiω0 = 0, applicando la formula trigonometrica di bisezione ed ancora la proprietà di linearitàdella media temporale, si ha:

Px =⟨|x(t)|2⟩=

⟨A2cos2(ω0t +ϕ0)

⟩=

A2

2〈1+cos(2ω0t +2ϕ0)〉= A2

2

〈1〉︸︷︷︸=1

+〈cos(2ω0t +2ϕ0)〉︸︷︷︸=0

=A2

2,

dove si è sfruttato il risultato (si veda l’es. 2.19) che una sinusoide con pulsazione diversa da zero ha com-ponente continua nulla. Il valore efficace della sinusoide è alloraxrms =

√Px = A√

2, risultato frequentemente

utilizzato nell’elettrotecnica. Analogamente, per la sinusoide a TDx(n) = A cos(θ0n+ϕ0), si può verificare (ladimostrazione è lasciata come esercizio) che:

Px =⟨|x(n)|2⟩=

A2

2 , seθ0 = πk, k ∈ Z ;

A2 cos2 (ϕ0) , altrimenti.

12Notiamo che sex(·) è periodico di periodoT0 [N0], allora anche|x(·)|2 ammette lo stesso periodo, anche se il periodo

fondamentale può essere un sottomultiplo diT0 [N0].13Ad esempio, la potenza potrebbe divergere solo nel caso di un segnale TC periodicox(t) che non sia a quadrato

sommabile sull’intervalloT0 (un segnale del genere dovrebbe necessariamente essere non limitato su un periodo, per cui èdi scarso interesse pratico).


2.6.2 Relazioni tra segnali di energia e di potenza

È interessante analizzare più in dettaglio le relazioni esistenti tra segnali di energia e segnali dipotenza. A tal proposito, sussiste il seguente risultato:

Teorema 2.1 (relazioni tra segnali di energia e di potenza)(a) sex(·) è un segnale di potenza, allora esso ha energia infinita (Ex = +∞);

(b) sex(·) è un segnale di energia, allora esso ha potenza nulla (Px = 0).

Prova. Per provare la (a), basta scrivere (ad esempio nel caso TC):

Px =⟨|x(t)|2⟩ = lim

Z→+∞

12Z

∫ Z

−Z|x(t)|2dt =

limZ→+∞

∫ Z

−Z|x(t)|2dt

limZ→+∞

2Z. (2.44)

È chiaro allora che, se la potenza (2.44) esiste finita, si avrà:

Ex= lim

Z→+∞

∫ Z

−Z|x(t)|2dt = Px lim

Z→+∞2Z = +∞ .

Con ragionamenti analoghi è possibile provare la stessa proprietà anche nel caso TD. Viceversa, se l’energia èfinita, dalla (2.44) si ricava:

Px =lim

Z→+∞

∫ Z

−Z|x(t)|2dt

limZ→+∞

2Z=

Ex

limZ→+∞

2Z= 0, (2.45)

il che prova la (b) (un analogo ragionamento è possibile per il caso TD). La proprietà (a) prova che un segnale di potenza ha necessariamenteEx = +∞, e quindi non può esseredi energia. Viceversa, la (b) prova che un segnale di energia ha necessariamentePx = 0, e quindi nonpuò essere di potenza. Pertanto, gli insiemi dei segnali di energia e dei segnali di potenza non hannoelementi in comune, e quindi sono disgiunti. Tuttavia, i due insiemi non costituiscono una partizionedi tutti i possibili segnali, in quanto esistono casi di segnali che non sono nè di energia, nè di potenza.Un primo esempio banale è il segnale identicamente nullox(·) = 0, che haEx = Px = 0 e quindi nonappartiene a rigore nè ai segnali di energia, nè a quelli di potenza. Esistono casi meno banali di segnali,aventi durata non limitata, che non sono segnali di potenza, in quanto hannoPx = +∞ (e ovviamentenon sono neppure segnali di energia, in quanto hannoEx = +∞). Ad esempio ilsegnale rampa a TCx(t) = t u(t), raffigurato in fig. 2.43, presentaEx = Px = +∞, e quindi non si può considerare nè unsegnale di potenza, nè di energia.

2.6.3 Potenza mutua

Con ragionamenti analoghi a quelli effettuati per i segnali di energia, si può verificare che anchel’insieme dei segnali di potenza èchiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per una costante.In altri termini, il prodotto di un segnale di potenza per una costanteα ∈ C è ancora un segnale dipotenza, e la somma di due segnali di potenza è ancora un segnale di potenza.

Anche in questo caso, postoy(·) = α x(·), si prova facilmente chePy = |α |2Px; per quanto riguardala somma di due segnali, invece, seguendo passaggi simili a quelli effettuati per l’energia, e sfruttandola proprietà di linearità della media temporale, si mostra facilmente che

Px+y = Px +Py +2Re(Pxy) , (2.46)

dovePxy è lapotenza mutua tra i segnalix(·) edy(·), definita come segue:


−2 −1 0 1 2

0

0.5

1

1.5

2

t

x(t)

= t

u(t)

Fig. 2.43.Segnale rampa a TC.

Definizione 2.12 (potenza mutua)La potenza mutua tra due segnalix(·) e y(·) è:

Pxy= 〈x(·)y∗(·)〉=

lim

Z→+∞

12Z

∫ Z

−Zx(t)y∗(t)dt, (segnali TC)

limK→+∞

12K +1

K

∑n=−K

x(n)y∗(n), (segnali TD)(2.47)

Notiamo che, per la presenza dell’operazione di coniugazione sul secondo segnale, si haPyx = P∗xy, edin generale la potenza mutua è complessa; se invece i segnali sono reali la potenza mutua è simmetrica(Pyx = Pxy) e reale (ma di segno qualsiasi), per cui la (2.46) si scrive

Px+y = Px +Py +2Pxy . (2.48)

Le relazioni (2.46) e (2.48) e evidenziano che, come per le energia, anche per la potenze non valel’additività, a meno chePxy = 0. Questa osservazione porta alla definizione diortogonalità anche peri segnali di potenza:

Definizione 2.13 (ortogonalità per segnali di potenza)Due segnali di potenzax(·) e y(·) si diconoortogonali sePxy = 0.

Per segnali di potenza ortogonali, in particolare, vale la proprietà diadditività delle potenze:

Px+y = Px +Py . (2.49)

Gli esempi che seguono presentano alcuni casi significativi (anche qui non esaustivi) di segnali dipotenza ortogonali.

Esempio 2.30 (ortogonalità tra seno e coseno)Un esempio di due segnali di potenza a TC ortogonali siottiene scegliendox(t) = cos(ω0t) e y(t) = sin(ω0t), conω0 = 0. Si ha infatti, adoperando le proprietà dellamedia temporale e note formula trigonometriche:

Pxy = 〈cos(ω0t) sin(ω0t)〉=⟨

12

sin(2ω0t)⟩

=12〈sin(2ω0t)〉= 0,


Parametro Notazione DefinizioneEstensione temporale Dx intervallo di tempo in cui|x(·)|

assume valori non trascurabiliDurata temporale ∆x misura dell’estensione temporaleDx

Area Ax limZ→+∞

∫ Z

−Zx(t)dt (segnali TC)

limK→+∞

K

∑n=−K

x(n) (segnali TD)

Media temporale xdc = 〈x(·)〉 limZ→+∞

12Z

∫ Z

−Zx(t)dt (segnali TC)

(componente continua) limK→+∞

12K +1

K

∑n=−K

x(n) (segnali TD)

Energia Ex area del modulo al quadrato|x(·)|2 del segnalePotenza Px media temporale del modulo al quadrato|x(·)|2

del segnale

Tab. 2.1. Riepilogo dei parametri che caratterizzano sinteticamente un segnalex(·).

dove abbiamo sfruttato il fatto che un segnale sinusoidale ha media nulla. Notiamo che l’ortogonalità si perdese si introduce uno sfasamento tra i due segnali, a meno che lo sfasamento non assuma valori particolari (vediesercizio 2.30).

Esempio 2.31 (ortogonalità tra componente continua ed alternata)È facile provare che la componentecontinua ed alternata di un segnale di potenza sono tra loro ortogonali. Posto infattix(·) = xdc+ xac(·), si ha:

Pxdcxac = 〈xdcx∗ac(·)〉= xdc〈x∗ac(·)〉= xdc〈xac(·)〉∗ = 0,

in quanto l’operazione di coniugazione si scambia con la media temporale, e〈xac(·)〉= 0 per definizione. Si haallora:

Px = Pdc+Pac,

ovvero la potenza di un segnale si può esprimere come la somma della potenza in continua e della potenza inalternata.

In conclusione, nella tab. 2.1 sono riepilogati i parametri introdotti finora che caratterizzano sintetica-mente un segnale, evidenziando i legami esistenti tra alcuni di essi.

2.7 Misura in dB della potenza e dell’energia

Potenze ed energie possono variare anche di numerosi ordini di grandezza; inoltre nelle applicazioniesse andrebbero misurate nelle opportune unità di misura, vale a dire, Watt (W) per le potenze, Joule(J) per le energie. Con riferimento in particolare alla potenza, per risolvere i due problemi prece-denti e per semplificare alcuni calcoli, nell’ingegneria si utilizza spesso una misuralogaritmica edadimensionale della potenzaPx, dettamisura in deciBel (dB):14

[Px]dB= 10 log10

(Px

P0

), (2.50)

14Il termine “deciBel” significa letteralmente la decima parte di un “Bel”, che è una unità di misura originariamenteintrodotto da tecnici che lavoravano ai laboratori della Bell Telephone. Il deciBel è utilizzato anche in acustica come unitàdi misura dell’intensità di un suono.

2.7 Misura in dB della potenza e dell’energia 81

Px/P0 [Px]dB

0.001 −30dB0.01 −20dB0.1 −10dB0.5 −3dB

1 0dB2 3dB

10 10dB100 20dB

1000 30dB

Tab. 2.2. Valori comuni di potenza espressi in dB.

doveP0 è una potenza di riferimento, opportunamente scelta a seconda delle applicazioni. Le sceltepiù comuni per la potenza di riferimento sonoP0 = 1W, ed in tal caso si parla di potenze espressein dBW, e si scrive più specificamente[Px]dBW; se inveceP0 = 1mW, si parla di potenze espressain dBm, e si scrive[Px]dBm; quest’ultima scelta è molto utilizzata ad esempio nelle applicazioni cheriguardano la telefonia ed i sistemi di telecomunicazione.

Nella tab. 2.2 sono riportati alcuni dei valori più comuni di potenze espresse in dB. Ovviamente,dato il valore di potenza[Px]dB in dB , il valorePx in unità naturali si ottiene facilmente invertendo larelazione (2.50):

Px = P0 · 10[Px ]dB

10 .

Una misura analoga in dB si può introdurre anche per il valore efficacexrms =√

Px; tuttavia, peravere lo stesso valore in dB, tenendo conto della relazione quadratica esistente tra valore efficace epotenza, conviene introdurre un fattore numerico pari a 20, invece di 10, nella definizione (2.50); siperviene pertanto alla seguente definizione per la misura in dB del valore efficacexrms:

[xrms]dB= 20 log10

(xrms

x0

),

dovex0 =√

P0 è il valore efficace corrispondente alla potenza di riferimentoP0. Con questa scelta ivalori in dB relativi alla potenza ed al valore efficace coincidono, in quanto, applicando le proprietàdei logaritmi, si ha:

[Px]dB = 10 log10

(Px

P0

)= 10 log10

(x2

rms

x20

)= 20 log10

(xrms

x0

)= [xrms]dB .

Esempio 2.32 (potenze espresse di dBW e dBm)Si consideri la potenzaPx = 100 W; scegliendoP0 = 1W, si ha:

[Px]dBW = 10 log10

(1001

)= 20 dBW,

mentre se si sceglieP0 = 1 mW, si ha:

[Px]dBm = 10 log10

(10010−3

)= 50 dBm.


PT PR =γcPT

mezzotrasmissivo

γc

Fig. 2.44.Schema di principio di un collegamen-to punto-punto in un sistema di telecomunicazioni(problema dellink budget).

Notiamo che la relazione esistente tra dBW e dBm è la seguente:

[Px]dBm = [Px]dBW +30 dB.

Infatti, le potenze di riferimento nei due casi differiscono di un fattore 1000, corrispondente a 30 dB (tab. 2.2)in unità logaritmiche.

Esempio 2.33 (attenuazione in dB e link budget)Un altro esempio dell’utilità di una misura logaritmicaper la potenza è quello in cui si vogliono mettere in relazione la potenza trasmessa e quella ricevuta su uncollegamento punto-punto di un sistema di telecomunicazioni (tale problema prende il nome dilink budget).Si consideri lo schema di fig. 2.44, in cui un segnale viene trasmesso su un mezzo trasmissivo che introduceuna attenuazione della potenza pari adγc, con 0< γc < 1 (il valore diγc dipende dalla natura del mezzo e dalladistanza coperta dal collegamento). DettaPT la potenza trasmessa, la potenza ricevuta sarà pari aPR = γc PT ;misurando invece la potenza ricevuta in dB, si ha:

[PR]dB = 10 log10

[PR

P0

]= 10 log10

[γc PT

P0

]= 10 log10[γc]+10 log10

[PT

P0

],

ovvero, ponendo:

[γc]dB= 10 log10[γc] (2.51)

si può scrivere, assumendo ad esempioP0 = 1mW,

[PR]dBm = [γc]dB +[PT ]dBm .

Il vantaggio è che la relazionemoltiplicativa tra potenza trasmessa e ricevuta si è trasformata, per le proprietàdei logaritmi, in una relazioneadditiva. La (2.51) definisce l’attenuazione in dB o path loss caratteristicadel collegamento. Notiamo che poiché 0< γc < 1, allora [γc]dB < 0, per cui, come è ovvio che sia, risulta[PR]dBm < [PT ]dBm.

2.8 Esercizi proposti 83

2.8 Esercizi proposti

Esercizio 2.1 Si consideri il segnale TCx(t) = rect(t). Individuare quale operazione elementare è effettuata sux(t) per ottenere il segnaley(t) e rappresentare il grafico del segnaley(t):

(a) y(t) = x(t−5);

(b) y(t) = x(t +5);

(c) y(t) = x(−t);

(d) y(t) = x(2t);

(e) y(t) = x( t

3

).

Esercizio 2.2 Dati i segnali TD

x(n) =

|n| , n ∈ 0,±1,±2,±30, altrimenti

y(n) = R4(n−1)−R4(−n−1) ,

dopo aver rappresentato il grafico dix(n) ed y(n), rappresentare accuratamente il grafico del segnalez(n) neiseguenti casi:

(a) z(n) = x(2n);

(b) z(n) = x(3n−1);

(c) z(n) = y(1−n);

(d) z(n) = x[n

2

];

(e) z(n) = y(2−2n);

(f) z(n) = x(n−2)+ y(n+2);

(g) z(n) = x(2n)+ y(n−4);

(h) z(n) = x(n+2)y(n−2);

(i) z(n) = x(3−n)y(n);

(j) z(n) = x(−n)y(−n);

(k) z(n) = x(n)y(−2−n);

(l) z(n) = x(n+2)y(6−n).

Esercizio 2.3 Si consideri il segnale TCx(t) = Λ(t). Determinare l’espressione analitica del segnaley(t)ottenuto effettuando le seguenti operazioni sux(t) (nell’ordine specificato) e rappresentare il grafico del segnaley(t):

(a) riflessione seguita da un ritardo di 5;

(b) ritardo di 5 seguito da una riflessione;

(c) cambiamento di scala cona = 5 seguito da un anticipo di 5;

(d) anticipo di 5 seguito da un cambiamento di scala cona = 5.

Esercizio 2.4 Si consideri il segnale TCy(t) = x(2t − 1). Individuare quali delle seguenti combinazioni dioperazioni elementari consente di ottenerey(t) a partire dax(t) (sono possibili più risposte corrette):


(a) ritardo di 1 seguito da cambiamento di scala cona = 2;

(b) cambiamento di scala cona = 2 seguito da ritardo di 1;

(c) ritardo di 1/2 seguito da cambiamento di scala cona = 2;

(d) cambiamento di scala cona = 2 seguito da ritardo di 1/2.

Esercizio 2.5 Si consideri il segnale TCx(t) = Λ(t). Individuare le operazioni effettuate (specificandonel’ordine) per ottenere il segnaley(t) e rappresentare il grafico del segnaley(t):

(a) y(t) = x(−t +1);

(b) y(t) = x(−t−1);

(c) y(t) = x(2t−1);

(d) y(t) = x[2(t−1)];

(e) y(t) = x( t

3−1

);

(f) y(t) = x

(t−1

3

).

Esercizio 2.6 Rappresentare graficamente il segnale TC

y(t) =

1, 2≤ t ≤ 4

0, altrimenti

e trovarne una espressione analitica in funzione del segnalex(t) = rect(t). Determinare, inoltre, l’estensionetemporale e la durata del segnale.

Esercizio 2.7 Rappresentare graficamente il segnale TC

y(t) =

3(t−2) , 2≤ t ≤ 5

3(8− t) , 5≤ t ≤ 8

0, altrimenti

e trovarne una espressione analitica in funzione del segnalex(t) = Λ(t). Determinare, inoltre, l’estensionetemporale e la durata del segnale.

Esercizio 2.8 Rappresentare graficamente i seguenti segnali TC e determinare la loro estensione temporale edurata (per i segnali aventi durata praticamente limitata, si scelga una sogliaα pari al 10% del valore massimoassunto dal segnale):

(a) x(t) = rect(t)− rect(t−1);

(b) x(t) = eat u(−t), cona > 0;

(c) x(t) = e−|t|/T , conT > 0;

(d) x(t) = e−t2;

(e) x(t) =1√

1+ t2;

(f) x(t) = u(t)− rect(t−2).

Esercizio 2.9 Rappresentare graficamente i seguenti segnali TD e determinare la loro estensione temporale edurata (per i segnali aventi durata praticamente limitata, si scelga una sogliaα pari al 10% del valore massimoassunto dal segnale):


(a) x(n) = δ(n)−2δ(n−1)+3δ(n−2)−δ(n−4);

(b) x(n) = an u(−n), con|a|> 1;

(c) x(n) = a|n|, con 0< |a|< 1;

(d) x(n) = (−1)nu(n).

Esercizio 2.10 Stabilire quali dei seguenti segnali TD sono periodici e, in caso affermativo, determinarne ilperiodo fondamentaleN0:

(a) x(n) = (−1)n;

(b) x(n) = (−1)n2;

(c) x(n) = cos(2n);

(d) x(n) = cos(2πn);

(e) x(n) = e j 8πn15 ;

(f) x(n) = e j 7πn15 ;

(g) x(n) = ej πn√

2 ;

(h) x(n) = ne jπn;

(i) x(n) = e jn.

Esercizio 2.11 Rappresentare il grafico della differenza primay(n) = ∇ 1[x(n)]= x(n)− x(n−1) del segnale

TD x(n) e calcolarne area e valor medio nei seguenti casi:

(a) x(n) =

1, n ∈ 0,1,4,50, altrimenti

(b) x(n) = u(n)+u(n−1).

Esercizio 2.12 Rappresentare il grafico dix(t) e calcolarne area e valor medio nei seguenti casi:

(a) x(t) = u(t);

(b) x(t) = sgn(t);

(c) x(t) = u(t−5);

(d) x(t) = sgn(−t);

(e) x(t) = 2u(t);

(f) x(t) = 2sgn(t)+1;

(g) x(t) = 2rect(t);

(h) x(t) = e−t u(t).

[Suggerimento: per il calcolo del valor medio, utilizzare le proprietà della media temporale]

Esercizio 2.13 Stabilire quali dei seguenti segnali TD sono periodici e, in caso affermativo, determinarne ilperiodo fondamentaleN0; calcolarne inoltre area e valor medio:

(a) x(n) =+∞

∑k=−∞

(−1)kδ(n−2k);

(b) x(n) =+∞

∑k=−∞

[δ(n−3k)−δ(n− k2)

];


(c) x(n) = cos(πn

5

)sin

(πn3

);

(d) x(n) = 2 cos

(3πn

8+

π3

)+4 sin

(πn2

).

Esercizio 2.14 Calcolare energia e potenza dei seguenti segnali TC e stabilire se sono segnali di energia o dipotenza:

(a) x(t) = u(t);

(b) x(t) = sgn(t);

(c) x(t) = cos(2π100t)u(t);

(d) x(t) = e−2t u(t);

(e) x(t) = et u(−t);

(f) x(t) = e−|t|;

(g) x(t) = e−t2;

(h) x(t) = e−t2/2u(t);

(i) x(t) =1√

1+ t2.

[Suggerimento: per il calcolo dell’area e dell’energia dei segnali ai punti (g) ed (h), utilizzare l’integralenotevole

∫ +∞−∞ e−x2

dx =√

π.]

Esercizio 2.15 Calcolare energia e potenza dei seguenti segnali TD e stabilire se sono segnali di energia o dipotenza:

(a) x(n) = u(n);

(b) x(n) = u(n)−u(−n−1);

(c) x(n) = cos(πn)R5(n);

(d) x(n) = 5 cos(0.2πn);

(e) x(n) =(

12

)n

u(n);

(f) x(n) = (2)n R4(n−2);

(g) x(n) =+∞

∑k=−∞

(−1)kδ(n−2k).

Esercizio 2.16 Rappresentare il grafico del segnale TC

x(t) = sgn

[a cos

(2πtT0

)](a ∈ R, T0 ∈ R+)

discutendo separatamente i casi in cuia > 0 ea < 0, e calcolarne valor medio, energia e potenza.


x(t) =

t , 0≤ t ≤ 1

2− t , 1≤ t ≤ 2

0, altrimenti

e calcolarne valor medio, energia e potenza.


Esercizio 2.18 Rappresentare il grafico del segnale TD

x(n) = e−n/N u(n) con N > 0



x(t) =

5 cos(πt) , −a≤ t ≤ a

0, altrimenti

nel caso in cuia = 1 ea = 0.5, e calcolarne valor medio, energia e potenza in entrambi i casi.


x(t) =

12 [cos(ωt)+1] , −π

ω≤ t ≤ π

ω0, altrimenti

doveω è una costante reale positiva, e calcolarne valor medio, energia e potenza.


x(n) =

sin(0.5πn) , n ∈ −4,−3, . . . ,40, altrimenti



x(t) =

5− t , 4≤ t ≤ 5

1, −4≤ t ≤ 4

5+ t , −5≤ t ≤−4

0, altrimenti


Esercizio 2.23 Dato il segnale TCx(t) = rect(t), si consideri il segnaley(t) =∫ t−∞ x(τ )dτ .

(a) Calcolarey(t) e rappresentarlo graficamente;

(b) Calcolare la componente continua diy(t);

(c) Stabilire sey(t) è un segnale di energia o di potenza e calcolarne l’energia o la potenza rispettivamente.

Esercizio 2.24 Si consideri il segnale TC periodico

x(t) =+∞

∑k=−∞

xg(t− kT0)

dove

xg(t) = 2AΛ(

2tT0

)(A,T0 ∈ R+)

Rappresentare il grafico del segnalex(t) e calcolarne valor medio, energia e potenza.


Esercizio 2.25 Si consideri il segnale periodico

x(n) =+∞

∑k=−∞

xg(n−6k)

dove

xg(n) =

2, n =−11, n = 02, n = 10, altrove

Rappresentare il grafico del segnalex(n) e calcolarne valor medio, energia e potenza.


y(n) =+∞

∑k=−∞

x(n−10k)

dovex[n] = R3(n+1)+R2(n−4), e calcolarne valor medio, energia e potenza.

Esercizio 2.27 Stabilire se i seguenti segnali TC sono periodici ed in caso affermativo determinarne il periodo;calcolarne inoltre il valor medio e la potenza:

(a) x(t) = 2 cos2(2πt);

(b) x(t) = cos(2πt)u(t);

(c) x(t) =∫ t

0cos(2πτ)dτ ;

(d) x(t) = cos(πt)+cos(πt

2

);

(e) x(t) = 2 cos(2πt)+3 sin(2πt);

(f) x(t) = cos(2πt)+ 12 cos

(2πt− π

4

);

(g) x(t) = cos(2πt)sin(4πt).

Esercizio 2.28 Calcolare valor medio, energia e potenza dei seguenti segnali TC

x1(t) = A1 e j2π f1t , x2(t) = A2 e j2π f2t

conA1,A2 ∈ R+. Inoltre, si calcolino valor medio, energia e potenza del segnale

x(t) = x1(t)+ x2(t)

discutendo separatamente i casi in cuif1 = f2 e f1 = f2.

Esercizio 2.29 Calcolare valor medio, energia e potenza dei seguenti segnali TD

x1(n) = A1 e j(2πν1n+ψ1) , x2(n) = A2 e j(2πν2n+ψ2)

conA1,A2 ∈ R+. Inoltre, si calcolino valor medio, energia e potenza del segnale

x(n) = x1(n)+ x2(n) .

Per quali valori diν1−ν2 i due segnali sono ortogonali?

Esercizio 2.30 Stabilire per quali valori diθ i segnali TCx(t) = cos(2π f0 t) e y(t) = cos(2π f0 t + θ) sonoortogonali.


Esercizio 2.31 Rappresentare il grafico dei seguenti segnali TC

x1(t) = A1 [Λ(t−1)−Λ(t +1)] , x2(t) = A2 rect( t

2

)conA1,A2 ∈ R+, e calcolare valor medio, energia e potenza dei segnali

y(t) = 5x1(t)+3x2(t) , z(t) = 5x1(t)+3x2(t−1)

I segnalix1(t) e x2(t) sono ortogonali? Cosa si può dire invece per i segnalix1(t) e x2(t−1)?

Esercizio 2.32 Si considerino i seguenti segnali TC

x1(t) = e−t2/2u(t) , x2(t) = et/2u(at)

Determinare l’insiemeA⊆R dei valori dia in corrispondenza dei quali il segnalex2(t) è un segnale di energia.Successivamente, pera ∈ A, si calcoli l’energia del segnale

x(t) = x1(t)+2x2(t) .

Esercizio 2.33 Si considerino i seguenti segnali TD

x1(n) = e−n u(n) , x2(n) = R5(n+n0)

Determinare l’insiemeΩ ⊆ Z dei valori di n0 in corrispondenza dei quali i due segnalix1(n) e x2(n) sonoortogonali. Successivamente, pern0 ∈Ω, si calcoli l’energia del segnale

x(n) = x1(n)+2x2(n) .

Esercizio 2.34 Rappresentare il grafico dei seguenti segnali TC

x(t) =+∞

∑n=−∞

xg(t−4nT0) , y(t) =+∞

∑n=−∞

yg(t−4nT0)

dove

xg(t) = Λ(

tT0

)− rect

(t−2T0

2T0

)

yg(t) = Λ(

tT0

)+ rect

(t−2T0

2T0

)conT0 ∈ R+, e calcolare valor medio, energia e potenza del segnale

z(t) = x(t)+ y(t−2T0) .


Capitolo 3

Proprietà dei sistemi

Un sistema è un modello matematico di un’entità fisica (un dispositivo elettromeccanico, una rea-zione chimico-fisica, un circuito elettrico, un processo di trasferimento di informazione) che trasformasegnali di ingresso (o cause) in segnali di uscita (o effetti). Da un punto di vista matematico, abbiamovisto nel § 1.2 che un sistema è fondamentalmente descritto da un operatore o una trasformazioneS,che istituisce una relazione tra l’insieme dei segnali di ingressoI e l’insieme dei segnali di uscitaU.La definizione di un modello matematico esplicito per un sistema è il primo passo per poter affrontareun qualsiasi problema di sintesi ed analisi dei sistemi. Il secondo passo, che è l’oggetto principaledi questo capitolo, consiste, a partire da un modello matematico del sistema, nel definire e studiarealcune proprietà dei sistemi. Sebbene incompleta, la descrizione di un sistema sulla base delle sueproprietà è particolarmente importante in pratica per tre motivi. Innanzitutto, sulla base delle proprie-tà individuate è possibile suddividere i sistemi in classi omogenee. Inoltre, a partire dalle particolariproprietà di un sistema, il progettista è in grado di capire e sviluppare i metodi di analisi e sintesi piùappropriati, in quanto sistemi con proprietà diverse richiedono generalmente metodologie differenti.Infine, le proprietà di un sistema consentono di capire più rapidamente quale sistema sia il modellomatematico più adatto a descrivere un determinato fenomeno fisico. Facendo riferimento alla clas-sificazione elementare introdotta nel § 1.5, considereremo nel seguito esclusivamente sistemi con uningresso ed un’uscita (sistemi SISO), e tratteremo sia sistemi TC (ingresso e uscita entrambi TC), siasistemi TD (con ingresso e uscita entrambi TD). Il caso di sistemi “ibridi” (con ingresso TC e uscitaTD o viceversa) non è trattato specificamente in questo capitolo: alcuni esempi di sistemi di questotipo (campionatori, interpolatori, convertitori A/D e D/A) sono discussi più in dettaglio nel cap. 7.Inoltre, per evidenziare le forti analogie esistenti tra il caso TC e TD, e poiché il modello matematicoche introdurremo presenta differenze trascurabili nei due casi, la trattazione procederà in maniera ilpiù possibile unificata.

3.1 Relazione ingresso-uscita

Particolarizzando la definizione di sistema data nel § 1.2 al caso di sistemi con un ingresso ed un’u-scita, diremo che un sistema SISO è unmodello matematico che descrive la relazione tra un segnale

92 Proprietà dei sistemi

x(t) y(t) x(n) y(n)

(a) (b)

∞∑

n

k=-−∞∫t

Fig. 3.1. (a) Integratore TC. (b) Integratore TD o accumulatore.

di ingresso ed un segnale di uscita. Tale modello matematico è descritto da una trasformazione

S : I → U , (3.1)

che istituisce una relazione tra l’insieme dei segnali di ingressoI e l’insieme dei segnali di uscitaU.Si osservi che gli insiemiI e U sono parte integrante della definizione di sistema: fissata la leggedi corrispondenza, insiemi di segnali diversi definiscono sistemi diversi, che presentano proprietàdiverse. Il modello matematico (3.1) può essere espresso in maniera sintetica, attraverso larelazioneingresso uscita (i-u), che nel caso di un sistema TC si definisce come segue:

Definizione 3.1 (relazione i-u di un sistema TC)Un sistema TC (SISO) con ingressox(t)∈ I ed uscitay(t)∈U è descritto matematicamente dallasuarelazione ingresso-uscita (i-u):

y(t) = S [x(u)u∈R; t] . (3.2)

Nella (3.2), come già osservato nel § 1.2, la notazioney(t) = S [x(u)u∈R; t] sottolinea esplicitamenteche l’uscitay(t) all’istante di tempot dipende in generale dall’intero segnale di ingresso x(u)u∈R,e non semplicemente dal valore del segnale nello stesso istantet.1 Inoltre abbiamo utilizzato un’ulte-riore variabile temporalet (separata dal punto e virgola) per specificare che la forma matematica dellalegge di corrispondenza tra ingresso ed uscita dipende in generale dal tempot.

Esempio 3.1 (integratore TC) L’integratore TC è descritto dalla seguente relazione i-u:

y(t) =∫ t

−∞x(u)du ,

ed è rappresentato schematicamente in fig. 3.1(a). L’uscita del sistema all’istantet è calcolata effettuandol’integrale del segnale di ingresso da−∞ fino all’istante considerato. Pertanto, l’uscita all’istantet dipende datutti i valori dell’ingressox(u) peru≤ t, valori che possiamo denotare sinteticamente conx(u)u≤t .

In maniera analoga, un sistema SISO TD può essere descritto matematicamente da una relazione i-usimile alla (3.2):

Definizione 3.2 (relazione i-u di un sistema TD)Un sistema TD (SISO) con ingressox(n) ∈ I ed uscitay(n) ∈ U è descritto matematicamentedalla suarelazione ingresso-uscita (i-u):

y(n) = S [x(k)k∈Z;n] . (3.3)

1Per semplicità di notazione, abbiamo supposto che l’insieme di definizione del segnale TC di ingresso siaT ≡ R.

3.1 Relazione ingresso-uscita 93

x(n) z y(n)

(b)

x(n) z-1 y(n)

(a)

Fig. 3.2. Sistemi TD elementari. (a) Ritar-do elementare:y(n) = x(n− 1). (b) Anticipoelementare:y(n) = x(n+1).

x(n) y(n)

x(n) y(n)

(a)

(b)

↑ L

↓ M

Fig. 3.3. Sistemi TD elementari. (a) DecimatoreperM: y(n) = x(nM). (b) Espansore perL: y(n) =x[

nL

].

Il senso della notazione utilizzata nella (3.3) è lo stesso adottato per il caso TC: in particolare, l’uscitadel sistema all’istanten dipende in generale dall’intero segnale di ingressox(k)k∈Z, con una leggeche può variare conn.2

Esempio 3.2 (integratore TD o accumulatore)La versione TD dell’integratore TC è l’accumulatore o som-ma corrente, descritto dalla seguente relazione i-u:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) , (3.4)

e rappresentato schematicamente in fig. 3.1(b). Tale sistema calcola l’uscita all’istanten effettuando la sommadi tutti i valori del segnale di ingresso fino all’istanten incluso. Anche in questo caso, l’uscitay(n) dipende daivalori dell’ingressox(k) perk ≤ n, valori che denotiamo sinteticamente conx(k)k≤n.

Esempio 3.3 (ritardo unitario, anticipo unitario, decimatore ed espansore)Molte delle operazioni ele-mentari sui segnali introdotte nel cap. 2 (cfr. § 2.1) possono essere interpretate come sistemi. Nel caso TD,particolarmente importanti sono l’operazione diritardo o anticipo di un campione, date rispettivamente da

y(n) = x(n−1) , y(n) = x(n+1) ,

di decimazione:

y(n) = x(nM) ,

e di espansione:

y(n) = x[ n

L

]=

x( n

L

), sen è multiplo diL ;

0, altrimenti.

Gli schemi a blocchi dei sistemi corrispondenti, denominatiritardo unitario, anticipo unitario, decimatore edespansore, sono riportati in fig. 3.2 e fig. 3.3.3

2Per semplicità di notazione, abbiamo supposto che l’insieme di definizione del segnale TD di ingresso siaT ≡ Z.3Le notazioniz−1 e z utilizzate negli schemi per il ritardo e per l’anticipo fanno riferimento ad uno strumento mate-

matico (la Z-trasformata) che non approfondiremo in questo testo; per questo motivo, il lettore è invitato a considerarlesemplicemente delle notazioni simbolica (per ulteriori approfondimenti, si veda [14]).


x(t)

R1 R2

R3 R4 y(t)

Fig. 3.4. Circuito elettrico con resistori connessi in serie ed in parallelo. Inparticolare,R1 edR2 sono connessi in serie, mentreR3 edR4 sono connessi inparallelo. Inoltre, la serie diR1 edR2 è connessa in serie al parallelo traR3 edR4.

A volte, invece delle notazioni complete (3.2) e (3.3) per le relazioni i-u dei sistemi, si utilizzano lenotazioni semplificate

y(t) = S[x(t)], y(n) = S[x(n)] (3.5)

oppure le notazioni simboliche:

x(t) −→ y(t), x(n) −→ y(n) . (3.6)

Abbiamo già osservato che la notazione (3.5) è fuorviante, in quanto può essere interpretata nel sensoche il valore del segnale di uscita al’istantet oppuren dipende solo dal valore del segnale di ingressonello stesso istante.4 Tuttavia, avendo avvertito il lettore, utilizzeremo talvolta le (3.5) e (3.6) in luogodelle notazioni rigorose (3.2) e (3.3) per snellire alcune derivazioni.

Per concludere, notiamo che la relazione i-u non è l’unica descrizione possibile di un sistema, esicuramente non è la più generale. In particolare, essa è una rappresentazioneesterna, in cui compa-iono solo i segnali in ingresso ed in uscita al sistema; il sistema stesso è visto come una “scatola nera”(black box), di cui non conosciamo il contenuto. Un’altra rappresentazione spesso adoperata nellateoria dei sistemi e del controllo, è larappresentazione ingresso-stato-uscita (i-s-u), in cui entrano ingioco, oltre ai segnali di ingresso e di uscita, anche altri segnali (variabili di stato) che rappresentanolo stato interno del sistema.5 In ogni caso, nel seguito faremo uso esclusivamente della relazione i-u,che sebbene sia meno generale, è perfettamente adeguata per i nostri obiettivi.

3.2 Interconnessione di sistemi

Sistemi semplici possono essere connessi tra loro (interconnessi) in varie configurazioni per ottene-re sistemi più complessi. Questo approccio è estremamente conveniente se si desidera realizzare osintetizzare un sistema complesso a partire da componenti semplici (ad esempio, un PC può essererealizzato assemblando componenti più semplici, quali scheda madre, scheda video, scheda audio,

4Questa interpretazione vale solo per una classe particolare di sistemi, i sistemi cosiddettinon dispersivi (cfr. § 3.3.1).5Per “stato” di un sistema in un certo istante di tempo si intende l’insieme di informazioni necessarie e sufficienti a

descrivere l’evoluzione del sistema fino a quell’istante.

3.2 Interconnessione di sistemi 95

x(.) S1 y(.)S2

z(.)

Fig. 3.5. Connessione in serie o in cascata dei sistemiS1 edS2.

x(.)

S1

y(.)

S2

y1(.)

y2(.)

Fig. 3.6. Connessione in parallelo dei sistemiS1 eS2. Il sommatore all’uscitaeffettua la somma o la differenza dei segnaliy1(·) e y2(·).

hard-disk, lettore CD, lettore DVD, lettore floppy-disk, monitor, tastiera, mouse, etc.). Viceversa, ilcomportamento di un sistema complesso può essere studiato oanalizzato più facilmente se si riesce adecomporlo in sistemi più semplici e ad individuare le connessioni tra questi ultimi. Questo approc-cio è frequentemente utilizzato nello studio dei circuiti elettrici, come ad esempio quello riportato infig. 3.4.

Per semplificare lo studio delle interconnessioni tra sistemi, possiamo considerare le connessionielementari tradue soli sistemi

S1 : I1 → U1 e S2 : I2 → U2 .

Le connessioni più frequentemente considerate sono tre: connessionein serie, connessionein paral-lelo, e connessione inretroazione; avendo a disposizione più di due sistemi, e collegandoli tra lorosecondo tali schemi, è possibile ottenere sistemi anche molto complessi.

Definizione 3.3 (connessione di sistemi in serie)Due sistemiS1 eS2 si diconoconnessi in serie o in cascata (fig. 3.5) se l’uscita del primo sistemaS1 è collegata all’ingresso del secondo sistemaS2.

Ad esempio, nel circuito di fig. 3.4, i resistoriR1 edR2 sono collegati in serie. Si noti che, affinchèil sistema serie sia correttamente definito, occorre che l’insiemeU1 dei segnali di uscita del primosistema sia racchiuso nell’insieme dei segnali di ingressoI2 del secondo sistema, cioèU1⊆ I2.

Definizione 3.4 (connessione di sistemi in parallelo)Due sistemiS1 e S2 si diconoconnessi in parallelo (fig. 3.6) se lo stesso ingresso è applicato aidue sistemiS1 eS2, e l’uscita si ottiene sommandoalgebricamente le uscite dei due sistemi.


x(.) S1 y(.)

S2

y2(.)

Fig. 3.7. Connessione in retroazione dei sistemiS1 eS2. Il sommatore all’ingresso delsistemaS1 effettua la somma o la differenza dei segnalix(·) e y2(·).

Ad esempio, nel circuito di fig. 3.4, i resistoriR3 edR4 sono collegati in parallelo.

Definizione 3.5 (connessione di sistemi in retroazione)Due sistemiS1 eS2 si diconoconnessi in retroazione o con feedback (fig. 3.7) se l’uscita del si-stemaS1, dopo essere stata elaborata dal sistemaS2, viene sommataalgebricamente all’ingressodel sistemaS1.

Quest’ultimo schema è più complicato da interpretare ed analizzare, in quanto il segnale di uscitaviene riportato “all’indietro” (feedback), e viene aggiunto al segnale di ingresso, modificando a suavolta il segnale di uscita. Esso consente tuttavia di ottenere sistemi con comportamenti assai piùcomplessi ed interessanti rispetto alle connessioni in serie ed in parallelo, in cui il segnale viaggiaesclusivamente “in avanti” (feedforward). In particolare, mediante tale schema il sistemaS2, sullabase dell’osservazione dell’uscita del sistemaS1, può modificare l’ingresso al sistemaS1 in modo daforzare un determinato andamento dell’uscita del sistemaS1. Si parla diretroazione negativa se ilsegnaley2(·) riportato all’ingresso tende a contrastare le variazioni del segnalex(·), in caso contrariosi parla diretroazione positiva. Lo schema con retroazione negativa è molto utilizzato nei sistemi dicontrollo, dove prende il nome dicontrollo a ciclo chiuso, e si dice che il sistemaS2 funge da “con-trollore” del sistemaS1. Nell’elettronica analogica, invece, si utilizzano sia schemi con retroazionenegativa (ad esempio, per la stabilizzazione degli amplificatori), sia schemi con retroazione positiva(ad esempio per il progetto di oscillatori). Infine, si noti che, similmente al collegamento serie, an-che per lo schema con retroazione occorre cheU1 ⊆ I2 e, in aggiunta, è richiesto che sex(·) ∈ I1 ey2(·) ∈ U2 allora la loro somma/differenzax(·)± y2(·) è un segnale appartenente all’insiemeI1.

Esempio 3.4 (accumulatore come sistema in retroazione)L’accumulatore dell’es. 3.2 ammette anche unadescrizione di tipo ricorsivo, che porta alla sua interpretazione come sistema in retroazione. Infatti, estraendo ilterminex(n) dalla sommatoria suk presente nella (3.4), si ha:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) =n−1

∑k=−∞

x(k)︸︷︷︸=y(n−1)

+ x(n) ,

da cui

y(n) = y(n−1)+ x(n) .

3.3 Proprietà dei sistemi 97

x(n) y(n)

y(n-1)-1z

++

Fig. 3.8. Realizzazione di un accumulatore mediante connessione in retroazione di duesistemi: il sistemaS1 è il sistema identico, mentre il sistemaS2 è un ritardo elementare.

Notiamo che la precedente relazionenon è una relazione i-u, in quanto l’uscitay(n) non è espressa direttamentein funzione dell’ingresso, ma in funzione dell’uscitay(n−1) all’istante precedente. Essa consente tuttavia difornire l’interpretazione dell’accumulatore riportata nello schema di fig. 3.8, dove il sistemaS2 nel ramo inretroazione è un semplice ritardo unitario, mentre il sistemaS1 nel ramo diretto è il sistema identico. Si notiche si tratta di una retroazione positiva, infatti l’uscita, essendo riportata in ingresso con il segno positivo, tendead amplificare le variazioni del segnale di ingresso, e non ad attenuarle.

3.3 Proprietà dei sistemi

Sulla base della definizione di relazione i-u, data dalla (3.2) nel caso TC e dalla (3.3) nel caso TD,è possibile introdurre e discutere alcune proprietà fondamentali dei sistemi, prescindendo completa-mente dalla loro natura fisica, ma analizzando esclusivamente la forma matematica della relazione i-u.Tali proprietà, discusse di seguito, sono lanon dispersività, la causalità, l’ invertibilità, l’ invarianzatemporale, la stabilità, la linearità.

3.3.1 Non dispersività

Riprendiamo la relazione i-u (3.2) di un sistema TC:

y(t) = S [x(u)u∈R; t] .

Abbiamo già precisato che la notazionex(u)u∈R evidenzia che l’uscita all’istantet dipende in gene-rale dall’intero segnale di ingresso. Esistono tuttavia sistemi per i quali l’uscita all’istantet è funzionesolo dell’ingressonello stesso istante t, e quindi la relazione i-u si può particolarizzare come segue:

y(t) = S [x(t); t] .

Estendendo i concetti precedenti in maniera ovvia al caso TD, possiamo dare la seguente definizionedi sistema non dispersivo:


x(t)

R1

R2 y(t)

Fig. 3.9. Schema elettrico di un partitore resistivo.

x(t) y(t)α

x(n) y(n)α

(a)

(b)

Fig. 3.10.Schema a blocchi di un amplificatore.(a) Caso TC. (b) Caso TD.

Definizione 3.6 (sistema non dispersivo)(a) Un sistema TC si dicenon dispersivo se la sua relazione i-u (3.2) assume la forma

y(t) = S [x(t); t] . (3.7)

(b) Un sistema TD si dicenon dispersivo se la sua relazione i-u (3.3) assume la forma

y(n) = S [x(n);n] . (3.8)

In sintesi, in un sistema non dispersivo, l’uscita all’istantet oppuren dipendesolo dal valore assuntodal segnale di ingressonello stesso istante (con una legge che può variare, eventualmente, contoppure conn). Sottolineamo che, di norma, i sistemi sono dispersivi, in quanto la forma più generaledella relazione i-u è la (3.2) oppure la (3.3), e quindi i sistemi non dispersivi rappresentano un casoparticolare. Inoltre, come sinonimo di sistema non dispersivo, si parla anche di sistemaistantaneo osenza memoria.

Esempio 3.5 (non dispersività del partitore resistivo)Si consideri il partitore resistivo, il cui schema elet-trico è riportato in fig. 3.9, dovex(t) è la tensione d’ingresso ey(t) è la tensione di uscita. Applicando la leggedel partitore, si ottiene la semplice relazione i-u:

y(t) =R2

R1 +R2x(t) ,

nella qualey(t) dipende solo dax(t), ovvero la tensione di uscita dipende dalla tensione di ingresso nello stessoistante. Pertanto il partitore resistivo è un sistema non dispersivo.

Esempio 3.6 (amplificatore/attenuatore TC)Un partitore resistivo ha una relazione i-u del tipo

y(t) = α x(t) , conα =

R2

R1 +R2< 1. (3.9)


Più in generale, un sistema TC descritto da una relazione i-u del tipo (3.9), con 0< α < 1, prende il nomedi attenuatore. Se, viceversa,α > 1, il sistema funziona daamplificatore.6 Il parametroα prende il nome diguadagno dell’amplificatore/attenuatore. Un amplificatore/attenuatore TC si rappresenta come in fig. 3.10(a).

Esempio 3.7 (amplificatore/attenuatore TD) I concetti dell’es. 3.6 si possono estendere al caso TD, defi-nendo attenuatore/amplificatore a TD (con guadagnoα ∈ R) un sistema avente la seguente relazione i-u nondispersiva:

y(n) = α x(n) .

Un amplificatore/attenuatore a TD si rappresenta come in fig. 3.10(b).

Un sistema chenon soddisfa la prop. 3.6 si dice evidentementedispersivo, o anchedinamico, o an-coracon memoria: ad esempio, l’integratore dell’es. 3.1 e l’accumulatore dell’es. 3.2 sono sistemidispersivi. Si parla di “memoria” del sistema, nel senso chiarito meglio dai due esempi seguenti.

Esempio 3.8 (integratore con memoria finita)Si consideri il sistema avente relazione i-u:

y(t) =∫ t

t−Tx(u)du ,

conT > 0. Si tratta evidentemente di un sistema dispersivo, in quanto l’uscita all’istantet dipende dai valoridell’ingressox(u) pert−T ≤ u≤ t. L’uscita all’istantet, tuttavia, non dipende dall’intero segnale d’ingresso,in quanto i valori dix(u) con u < t−T oppureu > t non contribuiscono all’integrale. Per questo motivo, ilsistema prende il nome diintegratore con memoria finita, dove per memoria del sistema si intende la duratatemporale della porzione dix(t) in ingresso che contribuisce all’uscitay(t) in un dato istante di tempot: inquesto caso, la memoria del sistema è proprio pari aT per ognit. Il termine “memoria” perT viene utilizzatoproprio perché, dopo un tempoT , il sistema “dimentica” l’ingresso.

Esempio 3.9 (sistema MA)Si consideri il sistema TD descritto dalla seguente relazione i-u:

y(n) =M

∑k=0

bk x(n− k) .

Tale sistema viene denominatofiltro a media mobile o moving average (MA): il nome deriva dal fatto che ilsistema calcola l’uscitay(n) effettuando la combinazione lineare, con pesib0,b1, . . . ,bM, degliM +1 campionix(n),x(n− 1), . . . ,x(n−M) del segnale di ingresso. Nel caso in cui i pesi siano tutti uguali a 1/(M + 1), larelazione i-u diventa

y(n) =1

M +1

M

∑k=0

x(n− k) ,

e quindi l’uscitay(n) è calcolata in ogni istanten come lamedia aritmetica dei campioni dell’ingresso negliistantin,n−1, . . . ,n−M; si parla di mediamobile in quanto al variare din cambiano i campioni del segnale diingresso interessati dall’operazione di media. Poiché l’uscita all’istanten dipende, oltre che dax(n), anche daM campioni precedenti dell’ingresso, tale sistema ha memoria finita e pari adM. In definitiva,la memoria di un sistema può essere definita come la durata temporale del segmento delsegnale di ingresso che contribuisce, oltre al campione attuale,7 all’uscita in un determinato istantedi tempo. In linea di principio tale memoria potrebbe variare col tempo, anche se negli es. 3.8 e 3.9 ciònon accade. Inoltre, non sempre la memoria di un sistema è finita; ad esempio l’integratore dell’es. 3.1e l’accumulatore dell’es. 3.2 sono entrambi sistemi con memoria infinita.8

6Il casoα < 0 si può vedere come la cascata di un invertitore,z(t) = −x(t), e di un amplificatore/attenuatorey(t) =|α |z(t).

7Escludere il campione attuale nella determinazione della memoria di un sistema è significativo solo nel caso TD.8In stretta analogia con la classificazione dei segnali effettuata sulla base delladurata nel § 2.3, i sistemi con memoria

si possono ulteriormente classificare in sistemia memoria rigorosamente finita, sistemia memoria praticamente finita, esistemia memoria infinita.


3.3.2 Causalità

Partiamo ancora dalla relazione i-u (3.2) valida per un sistema TC:

y(t) = S [x(u)u∈R; t] .

Per un fissatot, possiamo suddividere il segnalex(u)u∈R in tre contributi: x(u)u<t rappresental’ingressopassato, x(u)u=t ≡ x(t) rappresenta l’ingressopresente, x(u)u>t rappresenta l’ingressofuturo: in generale, quindi, l’uscitay(t) all’istantet dipende dall’ingresso passato, presente e futuro.Interpretando l’ingresso come causa e l’uscita come effetto, la dipendenza dell’uscita da valori futuridell’ingresso viola ilprincipio di causalità, secondo il quale l’effetto non può precedere la causa. Sigiunge allora alla fondamentale definizione disistema causale, ovvero di un sistema per il quale la(3.2) assume la forma

y(t) = S[x(u)u≤t ; t] ,

dove conx(u)u≤t si intendono i valori dell’ingressox(u) per u ≤ t, ovvero i valori passati ed ilvalore presente dell’ingresso. In altri termini, in un sistema causalel’uscita all’istante t dipende dagliingressi passati e dall’ingresso presente, ma non dipende dagli ingressi futuri. Con ovvie modifiche,il concetto di sistema causale si estende al caso TD, giungendo alla seguente definizione:

Definizione 3.7 (sistema causale)(a) Un sistema TC si dicecausale se la sua relazione i-u (3.2) assume la forma

y(t) = S [x(u)u≤t ; t] . (3.10)

(b) Un sistema TD si dicecausale se la sua relazione i-u (3.3) assume la forma

y(n) = S [x(k)k≤n;n] . (3.11)

Esempio 3.10 (integratore causale e non causale)L’integratore dell’es. 3.1, descritto dalla relazione i-u

y(t) =∫ t

−∞x(u)du ,

è chiaramente un sistema causale, in quanto l’uscita all’istantet dipende dall’ingressox(u) per u ≤ t. Allostesso modo, l’integratore dell’es. 3.8, descritto dalla relazione i-u

y(t) =∫ t

t−Tx(u)du ,

è un sistema causale, a patto cheT > 0. Modificando gli estremi di integrazione, ovvero considerando unintegratore descritto dalla relazione i-u

y(t) =∫ t+T

tx(u)du ,

conT > 0, otteniamo un sistema non causale, in quanto l’uscita all’istantet dipende dax(u) pert ≤ u≤ t +T ,e quindi da valorifuturi dell’ingresso.


Esempio 3.11 (sistema MA causale e non causale)Il sistema MA dell’es. 3.9, descritto dalla relazione i-u

y(n) =M

∑k=0

bk x(n− k) ,

è chiaramente un sistema causale, in quanto l’uscita all’istanten dipende dai valori dell’ingressox(n− k), conk≥ 0, che rappresentano il presente (k = 0) ed il passato (k > 0). Se però modifichiamo leggermente la relazionei-u, considerando un sistema MA descritto dalla

y(n) =M

∑k=0

bk x(n+ k) ,

in tale sistema l’uscita all’istanten dipende dai valori dell’ingressox(n + k), conk ≥ 0, che rappresentano ilpresente (k = 0) ed il futuro (k > 0), per cui tale sistema MA è non causale.

Un sistema causale è fondamentalmente un sistema la cui uscita in un dato istante non dipende daivalori futuri del segnale di ingresso. Ciò può essere espresso mediante la seguente proprietà:9

Proprietà 3.1 (proprietà di un sistema causale)(a) Sianoy1(t) e y2(t) le uscite di un sistema TC in risposta ai segnalix1(t) e x2(t), rispettiva-

mente. Il sistema è causale se e solo se,per ogni t0 ∈ R e per ogni x1(t), x2(t) ∈ I tali chex1(t) = x2(t), ∀t ≤ t0, risulta chey1(t) = y2(t), ∀t ≤ t0.

(b) Sianoy1(n) e y2(n) le uscite di un sistema TD in risposta ai segnalix1(n) e x2(n), rispettiva-mente. Il sistema è causale se e solo se,per ogni n0 ∈ Z e per ogni x1(n), x2(n) ∈ I tali chex1(n) = x2(n), ∀n≤ n0, risulta chey1(n) = y2(n), ∀n≤ n0.

È bene osservare che la causalità (così come tutte le proprietà dei sistemi) è una proprietà dei sistemie non dei segnali. Pertanto, con riferimento al caso TC, per dimostrare che un dato sistema è causalea partire dalla prop. 3.1, occorre verificare che tale proprietà sia soddisfattaper ogni coppia di segnalix1(t), x2(t) ∈ I tali chex1(t) = x2(t), ∀t ≤ t0, con t0 ∈ R arbitrariamente scelto. La verifica dellaprop. 3.1 solo per alcuni segnali di ingresso appartenenti aI e/o solo per alcuni valori dit0 non èsufficiente per affermare che il sistema è causale. Viceversa, per dimostrare che un dato sistema è noncausale e, quindi, non verifica la prop. 3.1, è sufficiente fornireuno ed un solo esempio di segnali diingressox1(t) = x2(t), ∀t ≤ t0, per un dato valoret0 ∈R, in corrispondenza dei qualiy1(t) = y2(t), peruno o più valori dit ≤ t0. Le stesse considerazioni valgono con ovvie modifiche anche per i sistemiTD. Gli esempi che seguono servono a chiarire ulteriormente questo aspetto.

Esempio 3.12 (integratore non causale)Riconsideriamo l’integratore descritto dalla relazione i-u

y(t) =∫ t+T

tx(u)du ,

con T > 0 e, utilizzando la prop. 3.1(a), verifichiamo che si tratta di un sistema non causale. A tal fine èsufficiente individuare due ingressix1(t) ed x2(t) che non soddisfano la prop. 3.1(a). Scegliamox1(t) = 0,∀t ∈ R, la cui corrispondente uscita èy1(t) = 0,∀t ∈ R, edx2(t) = u(t), la cui corrispondente uscita è

y2(t) =∫ t+T

tx(u)du =

0, set <−T ;

t +T , se−T ≤ t < 0 ;

T , set ≥ 0.

9In alcuni testi, la prop. 3.1 è data direttamente come definizione di sistema causale.


x(n) ∇ 1 y(n)

Fig. 3.11.Differenza prima.

Sebbenex1(t) = x2(t) = 0, per ognit ≤ 0, per le corrispondenti uscite si ha invece chey1(t) = y2(t), per alcunivalori di t ≤ 0; infatti, mentrey2(t) = 0, per ognit < 0, y2(t) = 0, pert ∈]−T,0[. Quindi la prop. 3.1(a) èviolata da questa particolare scelta dei segnali di ingresso ed il sistema non può essere causale.

Esempio 3.13 (differenza prima causale e non causale)Similmente all’operazione di derivazione per se-gnali a TC, anche l’operazione di differenza prima per segnali a TD (cfr. § 2.1.4) ammette una interpretazionesistemistica. Il sistema che opera la differenza primacausale è definito dal legame i-u:

y(n) = ∇ 1[x(n)] = x(n)− x(n−1)

ed è rappresentato schematicamente in fig. 3.11. Può essere visto come un sistema MA causale (cfr. es. 3.9, conM = 1, b0 = 1 eb1 =−1). Si tratta evidentemente di un sistema causale in quanto l’uscita all’istanten dipendesolo dal valore presentex(n) del segnale di ingresso e da quello passatox(n−1). È possibile definire anche unsistema che opera la differenza primanon causale nel seguente modo:

y(n) = x(n+1)− x(n) ,

che può essere visto come la cascata di un anticipo unitario e del sistema che opera la differenza prima causale.Equivalentemente, esso può anche essere visto come un sistema MA non causale (cfr. es. 3.9, conM = 1,b0 = −1 eb1 = 1). Si tratta chiaramente di un sistema non causale in quanto l’uscita all’istanten dipende dalvalore futurox(n+1) del segnale di ingresso. Per provare ciò formalmente, usiamo la prop. 3.1(b) e scegliamox1(n) = 0, ∀n ∈ Z, la cui corrispondente uscita èy1(n) = 0, ∀n ∈ Z, edx2(n) = δ(n−1), la cui corrispondenteuscita èy2(n) = δ(n)−δ(n−1). Sebbenex1(n) = x2(n) = 0, per ognin ≤ 0, per le corrispondenti uscite siha invece chey1(n) = y2(n), per alcuni valori din ≤ 0; infatti, y1(0) = 0 ey2(0) = 1. Quindi la prop. 3.1(b) èviolata da questa particolare scelta dei segnali di ingresso ed il sistema non può essere causale.

Si è visto che un sistema in cui l’uscitanon soddisfa la (3.10) oppure la (3.11) si dicenon causale. Uncaso particolare di sistema non causale è quello in cui l’uscita dipende solo dal futuro, ossia:

y(t) = S[x(u)u>t ; t] ,

y(n) = S[x(k)k>n;n] .

Un sistema siffatto si diceanticausale. Ad esempio, l’anticipo unitarioy(n) = x(n +1) è un sistemaanticausale.

Osserviamo in conclusione che non esistono (o almeno, non sono stati ancora scoperti...) sistemifisici capaci di prevedere il futuro (ad esempio, la macchina del tempo che consente di viaggiare nelfuturo è un esempio “fantascientifico” di sistema non causale), e quindi i sistemi del mondo fisico sonotutti causali. Questa osservazione si applica, in particolare, ai sistemi fisici che elaborano i segnali “intempo reale”, cioè senza introdurre ritardi significativi tra il segnale d’ingresso ed il segnale di uscita.Tuttavia, in molti casi, anziché elaborare un segnale in tempo reale, è possibile memorizzarlo (su unsupporto magnetico o ottico, ad esempio) ed elaborarlo “in tempo differito”: si pensi, ad esempio,all’elaborazione di un segnale che è stato prima acquisito e memorizzato sull’hard-disk di un personalcomputer. In quest’ultimo caso, è possibile assumere che il sistema di elaborazione conosca l’interosegnale di ingresso, ed è quindi utile considerare anche il caso di sistemi non causali. Un altro esempio


in cui ha senso considerare sistemi non causali è quello in cui la variabile indipendente del segnalenon rappresenta effettivamente un tempo (ad esempio, nell’elaborazione di immagini, la variabileindipendente è di tipo spaziale). Si noti che, quando si progetta un sistema, la causalità rappresenta unvincolo a cui il sistema deve obbedire; pertanto, rimuovere il vincolo di causalità – compatibilmentecon i requisiti applicativi – consente di progettare sisteminon causali aventi migliori prestazioni,anche se non operanti in tempo reale.

3.3.3 Invertibilità

In molti casi pratici, nota l’uscitay(·) di un sistema, siamo interessati a risalire all’ingressox(·) chel’ha generata. Sfortunatamente questo non è sempre possibile, basti pensare ad esempio al sistemaTC y(t) = x2(t): è chiaro che, osservatoy(t), non potremo risalire univocamente ax(t), a causadell’ambiguità sul segno nella determinazione della radicex(t) = ±√y(t). Si intuisce allora comeuna condizionenecessaria per risalire univocamente dall’uscita all’ingresso è quella che, comunquesi prendano due ingressi distintix1(·) e x2(·) appartenenti all’insiemeI, le corrispondenti uscitey1(·)e y1(·) siano distinte, cioè:

x1(·) = x2(·) =⇒ y1(·) = y2(·) , (3.12)

ossia, ingressi distinti devono generare uscite distinte. Più precisamente, sussiste la seguente defini-zione disistema invertibile:10

Definizione 3.8 (sistema invertibile)Un sistemaS : I → U si diceinvertibile se, comunque si fissi un segnale di uscitay(·)∈U, esisteun unico segnale di ingressox(·) ∈ I tale cheS [x(·)] = y(·).

Se il sistema è invertibile, allora dall’osservazione dell’uscita del sistema è possibile determinare(almeno in linea di principio)univocamente l’ingresso. In altri termini, è possibile costruire un sistema

S−1 : U → I ,

dettosistema inverso, tale che la cascata diS e S−1 (nell’ordine) realizza la trasformazione identicariportata in fig. 3.12, matematicamente ciò significa che:

S−1S[x(·)]= x(·) , per ogni segnale di ingressox(·) ∈ I .

Si può verificare che, seS−1 è il sistema inverso diS, allora anche il sistemaS−1 è invertibile e risultacheSS−1[y(·)] = y(·), per ogni segnaley(·) ∈ U; in altre parole, il sistemaS è il sistema inversodi S−1. Da un punto di vista sistemistico, questo significa che, se il sistemaS è invertibile, l’ordinedei due sistemi nella cascata in fig. 3.12 è inessenziale: sia la cascataS− S−1 che quellaS−1− S

realizzano il sistema identico.

Esempio 3.14 (invertibilità dell’amplificatore) Consideriamo l’amplificatore di guadagnoα > 1, descrittodalla relazione i-u:

y(·) = α x(·) .

In questo caso, non vi è alcuna restrizione sui segnali di ingresso e uscita. L’amplificatore è un sistemainvertibile, ed il sistema inverso si ottiene facilmente invertendo la precedente relazione:

x(·) =1α

y(·) ,

e quindi il sistema inverso è un attenuatore, avente guadagno 1/α < 1 reciproco di quello dell’amplificatore.10Nel seguito di questa sezione, faremo uso della notazione semplificata (3.5) per esprimere i legami i-u dei sistemi.


x(.) S x(.)S-1y(.)

Fig. 3.12. Il sistemaS−1 è il sistema inverso diS se e solo se la cascata dei duesistemi coincide con il sistema identico.

Esempio 3.15 (non invertibilità del raddrizzatore) Studiamo l’invertibilità del sistema non lineare (“rad-drizzatore”) descritto dalla relazione i-u:

y(·) = |x(·)| .

In questo caso, non vi è alcuna restrizione sui segnali di ingresso, mentreU è costituito da tutti i segnali nonnegativi a valori reali. È facile provare che il sistema raddrizzatore non è invertibile, a tale scopo possiamo farriferimento alla condizione necessaria (3.12). Basta infatti osservare che due ingressi distintix1(·) ex2(·) aventisegno opposto [tali cioè chex2(·) =−x1(·)] generano gli stessi segnali di uscitay1(·)≡ y2(·) = |x1(·)| ≡ |x2(·)|.Pertanto, poiché la (3.12) è violata, il raddrizzatore non è dotato di sistema inverso, e quindi i suoi effetti sonoirreversibili.

Va notato in conclusione che, salvo per casi particolari, lo studio dell’invertibilità di un sistema,nonché la determinazione del sistema inverso, è in generale un problema abbastanza complesso.

3.3.4 Invarianza temporale

Consideriamo ancora una volta la relazione i-u di un sistema TC, nella sua forma più generale:

y(t) = S [x(u)u∈R; t] .

La dipendenza dat nella relazione precedente evidenzia che il comportamento del sistema puòvariarenel tempo. Se tale dipendenza dal tempo non c’è, ovvero se è possibile scrivere:

y(t) = S [x(u)u∈R] ,

allora il sistema si diceinvariante temporalmente [si usano anche le denominazioni di sistematempo-invariante (TI) o stazionario]. Estendendo tale concetto in modo ovvio al caso TD, possiamo dare laseguente definizione:

Definizione 3.9 (sistema invariante temporalmente)(a) Un sistema TC si diceinvariante temporalmente (TI) se la sua relazione i-u (3.2) assume la

forma

y(t) = S [x(u)u∈R] . (3.13)

(b) Un sistema TD si diceinvariante temporalmente (TI) se la sua relazione i-u (3.3) assume laforma

y(n) = S [x(k)k∈Z] . (3.14)


x(t)

tt1 t2

tt1 t2

x (t)

t1 + t0 t2 + t0

y(t)

tt1 t2

tt1 t2

y (t)

t1 + t0 t2 +Ts+ t0

t2 + Ts

t2 + Ts

t0 t0

Fig. 3.13. Il comportamento di un sistema TC invariante temporalmente non dipende dall’istante diapplicazione dell’ingresso: sext0(t) = x(t− t0), allorayt0(t) = y(t− t0).

Viceversa, un sistema chenon soddisfa la (3.13) o la (3.14) si dicetempo-variante (TV) o non sta-zionario. Una possibile interpretazione fisica della proprietà di invarianza temporale è quella che leproprietà del sistema non cambiano nel tempo, ovvero il sistema non “invecchia” e – caso limite –non “si rompe”. Una conseguenza dell’invarianza temporale è che il comportamento del sistema nondipende dall’istante in cui viene applicato l’ingresso, e quindi l’origine dei tempi può essere fissataarbitrariamente. Questa proprietà dei sistemi invarianti temporalmente è chiarita in fig. 3.13, con rife-rimento ad un sistema TC. Specificatamente, in questo esempio, il segnalex(t) è applicato in ingressoal sistema all’istantet1, producendo in uscita il segnaley(t) a partire dall’istante di tempot1, la cuidurata è maggiore di quella del segnale di ingresso (Ts > 0 è un parametro caratteristico del sistema).Si supponga ora di applicare in ingresso al sistema lo stesso segnale in un istante di tempo successivot1+t0 (cont0 > 0 arbitrario), cioè, a partire dal segnalex(t), si consideri ora il segnalext0(t) = x(t−t0),ottenuto dax(t) introducendo il ritardo temporalet0. Se il sistema è TI, il suo comportamento noncambia nel tempo, pertanto la rispostayt0(t) del sistema al segnalext0(t) è la stessa di quella corri-spondente al segnalex(t), nel senso che il segnale di uscitayt0(t) avrà lo stesso andamento temporaledel segnaley(t) (la forma del segnale di uscita non cambia), l’unica differenza consiste nel fatto cheyt0(t) evolve a partire dall’istante di tempot1+ t0; in altre parole,il segnale yt0(t) differisce da y(t) so-lo per una traslazione temporale di t0, ovveroyt0(t) = y(t− t0) (questa interpretazione dell’invarianzatemporale è ulteriormente approfondita dalla prop. 3.2). Se invece il sistema è TV, l’andamento deisegnaliy(t) e yt0(t) è in generale differente e la loro forma può essere anche profondamente diversa.

Esempio 3.16 (amplificatore a guadagno costante e variabile)Il partitore resistivo, avente relazione i-u

y(t) =R2

R1 +R2x(t) ,

è un sistema TI, in quanto il rapportoR2R1+R2

non dipende dal tempo. Se tuttavia si tiene conto degli effettitermici, allora i valori delle resistenzeR1 ed R2 possono variare nel tempo per effetto dei cambiamenti ditemperatura. In questo caso la relazione i-u va modificata come segue:

y(t) =R2(t)

R1(t)+R2(t)x(t) , (3.15)


ed è quella di un sistema TV. Notiamo che un partitore del tipo (3.15) è un esempio di sistema avente relazionei-u

y(t) = α (t)x(t) . (3.16)

Un sistema del tipo (3.16) è denominatoamplificatore a guadagno variabile. Si noti che un sistema siffatto sicomporta da amplificatore in corrispondenza dei valori dit per i quali|α (t)| > 1, e da attenuatore per i valoridi t per i quali|α (t)|< 1. Una definizione analoga di amplificatore a guadagno variabile vale anche per il casoTD, e si scrivey(n) = α (n)x(n).

Poiché spesso non si conosce con sufficiente dettaglio la struttura del sistema, è utile fornire unacaratterizzazione della proprietà di invarianza temporale che, differentemente dalla def. 3.9 in cuicompare il funzionaleS, coinvolga esclusivamente operazioni sui segnali di ingresso e di uscita (inlinea con l’interpretazione data in fig. 3.13). Con riferimento al caso TC, ad esempio, si può dimostrareche una formulazione equivalente della proprietà di invarianza temporale è la seguente:se all’ingressox(t) corrisponde l’uscita y(t), all’ingresso traslato x(t− t0) corrisponde l’uscita traslata y(t− t0), perogni t0 ∈ R e per ogni segnalex(t) ∈ I ed y(t) ∈ U. Si faccia attenzione che, a stretto rigore, laproprietà precedente non deve valere solo “per ognit0 ∈ R” ma, più precisamente, essa deve esseresoddisfatta “per ognit0 ∈ R tale che sex(t) ∈ I e y(t) ∈ U allora anchex(t− t0) ∈ I e y(t− t0) ∈ U”.Poiché tale distinzione ha un valenza esclusivamente matematica ed è inessenziale per molti sistemi diinteresse pratico, nel seguito imporremo per semplicità che la proprietà di invarianza temporale debbavalere per ognit0 ∈ R. La stessa caratterizzazione vale anche nel caso TD, per cui si ha la seguenteproprietà:

Proprietà 3.2 (caratterizzazione i-u dell’invarianza temporale)(a) Un sistema TC con ingressox(t) ed uscitay(t) è invariante temporalmente se e solo se

x(t− t0) −→ y(t− t0) , (3.17)

per ognit0 ∈ R, e per ogni coppia di segnali di ingressox(t) ∈ I e di uscitay(t) ∈ U.

(b) Un sistema TD con ingressox(n) ed uscitay(n) è invariante temporalmente se e solo se

x(n−n0) −→ y(n−n0) , (3.18)

per ognin0 ∈ Z, e per ogni coppia di segnali di ingressox(n) ∈ I e di uscitay(n) ∈ U.

La prop. 3.2 ha un’interessante interpretazione in termini sistemistici, che è illustrata in fig. 3.14 conriferimento ad un sistema TD. La rispostayn0(n) del sistemaS al segnale traslatox(n−n0) può essereriguardata come la risposta della cascata riportata in fig. 3.14(a) al segnale di ingressox(n): il primosistema è così definito:

Sz−n0 : x(n) → xn0(n)= x(n−n0) ,

ed effettua semplicemente il ritardo/anticipo del segnalex(n) di n0 campioni, il segnale ottenutoxn0(n)è poi posto in ingresso al sistemaS in esame, ottenendo il segnaleyn0(n) in uscita dalla cascata.Viceversa, il segnale traslatoy(n− n0) può essere visto come la risposta della cascata riportata infig. 3.14(b) al segnale di ingressox(n), in cui, rispetto allo schema di fig. 3.14(a), l’ordine tra i duesistemi è scambiato. In base alla prop. 3.2(b), il sistemaS è TI se e solo seyn0(n) = y(n−n0), ovverose e solo se le due configurazioni in cascata riportate in fig. 3.14 sono equivalenti, nel senso che


x(n) z y (n)Sx (n)=x(n-n0)

x(n) y(n-n0)y(n)

(a)

(b)

S z

-n0

-n0

n0

n0

Fig. 3.14.Se il sistema TDS è TI, i due schemi in figura sono equivalenti.

forniscono la stessa uscita in risposta allo stesso segnale; quindi, se si deve calcolare la risposta delsistemaS al segnale di ingressox(n− n0), si può calcolare prima la risposta del sistema al segnalex(n) e poi far passare il segnale ottenuto attraverso il sistemaSz−n0 . In altre parole, se il sistema è TI,le trasformazioniS eSz−n0 commutano,11 cioè:

SSz−n0 [x(n)]= Sz−n0S[x(n)] , per ogni segnale di ingressox(n) ∈ I ,

e la loro posizione nella cascata è ininfluente; ovviamente tale risultato non sussiste se il sistema è TV.In pratica, per dimostrare che un dato sistema è invariante temporalmente oppure no, è conveniente

in generale utilizzare la prop. 3.2 piuttosto che la def. 3.9, come mostrato dagli esempi che seguono.

Esempio 3.17 (tempo-varianza dell’amplificatore con guadagno variabile)Applicando la prop. 3.2 del-l’invarianza temporale, verifichiamo che in generale il sistemay(t) = α (t)x(t), introdotto nell’es. 3.16, èTV. Per non sbagliare, conviene procedere per sostituzioni formali. All’ingressox(t) corrisponde l’uscitay(t) = α (t)x(t); denotando con

xt0(t)= x(t− t0)

l’ingresso traslato dit0, si ha che l’uscitayt0(t) corrispondente axt0(t) è

yt0(t) = α (t)xt0(t) = α (t)x(t− t0) .

D’altra parte, traslando l’uscitay(t) si ha:

y(t− t0) = α (t− t0)x(t− t0) .

È chiaro cheyt0(t) = y(t− t0), in quanto si ha:

yt0(t) = α (t)x(t− t0) = α (t− t0)x(t− t0) = y(t− t0) ,

per cui, evidentemente, l’amplificatore a guadagno variabile è un sistema TV. In effetti, nella relazione pre-cedente può valere l’uguaglianza per ogni ingressox(t) se e solo seα (t− t0) = α (t) per ognit0 ∈ R, ovveroseα (t) = α (costante). Quindi l’amplificatore risulta TI se e solo se il guadagno è costante, ovvero se la suarelazione i-u èy(t) = α x(t). Analogamente, si dimostra che l’amplificatore a guadagno variabile a TD, per ilquale si hay(n) = α (n)x(n), è un sistema TV in generale (è TI se e solo seα (n) = α ).

11Per semplicità, facciamo uso ancora una volta della notazione semplificata (3.5) per esprimere i legami i-u dei sistemi.


Esempio 3.18 (invarianza temporale dell’integratore)Proviamo invece che l’integratore dell’es. 3.1 è unsistema TI. Poiché all’ingressox(t) corrisponde l’uscita

y(t) =∫ t

−∞x(u)du ,

all’ingressoxt0(t)= x(t− t0) corrisponde l’uscita

yt0(t) =∫ t

−∞xt0(u)du =

∫ t

−∞x(u− t0)du .

Effettuando il cambio di variabilev = u− t0, si ha:

yt0(t) =∫ t−t0

−∞x(v)dv = y(t− t0) ,

per cui resta provato che l’integratore è un sistema TI. Allo stesso modo, si può provare che l’integratore con me-moria dell’es. 3.8, e l’integratore non causale dell’es. 3.10, sono anch’essi sistemi TI. Si dimostra analogamenteche anche l’accumulatore o integratore a TD dell’es. 3.2 è un sistema TI.

Esempio 3.19 (invarianza temporale del sistema MA)È facile provare che il sistema MA dell’es. 3.9 èTI. Infatti, poiché all’ingressox(n) corrisponde l’uscita

y(n) =M

∑k=0

bk x(n− k) ,

all’ingressoxn0(n)= x(n−n0) corrisponderà l’uscita:

yn0(n) =M

∑k=0

bk xn0(n− k) =M

∑k=0

bk x(n−n0− k) = y(n−n0) ,

per cui il sistema è effettivamente TI. Nella dimostrazione precedente gioca un ruolo fondamentale il fatto chei coefficientibk non variano conn; se tale proprietà non fosse verificata, il sistema risulterebbe TV.

Esempio 3.20 (tempo-varianza della riflessione)Consideriamo il sistema TD che effettua la riflessionetemporale di un segnale (si tratta di una delle operazioni elementari introdotte nel § 2.1):

y(n) = x(−n) .

Applicando al sistema l’ingresso traslatoxn0(n)= x(n−n0), si ottiene l’uscita

yn0(n) = xn0(−n) = x(−n−n0) = y(n+n0) = y(n−n0) ,

e pertanto il sistema risulta essere TV. Alla stessa conclusione si arriva anche se si considera la riflessioney(t) = x(−t) di un segnale TC.

In conclusione, si osservi che l’invarianza temporale è una pura astrazione matematica: nessun siste-ma del mondo fisico è tempo-invariante in senso stretto. Tuttavia, tale astrazione è utile per descriveremolti sistemi di interesse il cui comportamento nel tempo è approssimativamente costante su un pe-riodo di tempo sufficientemente lungo (rispetto all’intervallo di tempo in cui ci interessa studiare ilsistema). Ad esempio, un amplificatore audio non è un sistema TI in senso stretto, in quanto il suocomportamento cambia drasticamente quando lo si accende o lo si spegne, e cambia meno drastica-mente quando si alza o si abbassa il volume. Tuttavia, per l’intervallo di durata di un compact disc, seil volume è tenuto fisso, il sistema può ritenersi ragionevolmente TI.


3.3.5 Stabilità

Un sistema si dice stabile in senso BIBO (bounded-input bounded-output) sel’uscita corrispondentead un qualunque ingresso di ampiezza limitata è a sua volta di ampiezza limitata.12 Matematicamente,questa proprietà si può formulare per il caso TC e TD come segue:

Definizione 3.10 (sistema stabile in senso BIBO)(a) Un sistema TC con ingressox(t) ed uscitay(t) si dicestabile in senso BIBO se

|x(t)| ≤ Kx per ognit ∈ R =⇒ |y(t)| ≤ Ky per ognit ∈ R , (3.19)

per ognix(t) ∈ I limitato, conKx,Ky ∈ R+.

(b) Un sistema TD con ingressox(n) ed uscitay(n) si dicestabile in senso BIBO se

|x(n)| ≤ Kx per ognin ∈ Z =⇒ |y(n)| ≤ Ky per ognin ∈ Z , (3.20)

per ognix(n) ∈ I limitato, conKx,Ky ∈ R+.

In pratica, per provare che un sistema è stabile, bisogna supporre che l’ingresso siaarbitrario malimitato, cioè che valga la condizione|x(·)| ≤ Kx, per ogni valore di tempo, e trovare un’opportunamaggiorazione per l’uscita, ovvero trovare un valoreKy ∈ R+ tale che|y(·)| ≤ Ky, per ogni valore ditempo.

Esempio 3.21 (stabilità dell’amplificatore a guadagno costante)Proviamo che l’amplificatore a TCy(t)=α x(t) è stabile. Infatti, se|x(t)| ≤ Kx per ognit ∈ R (ingresso limitato), è possibile scrivere la seguente catenadi uguaglianze e disuguaglianze:

|y(t)|= |α | |x(t)| ≤ |α |Kx= Ky , ∀t ∈ R ,

da cui si ricava che anchey(t) è limitato. Con analoghi passaggi è possibile provare che anche l’amplificatorea TD y(n) = α x(n) è un sistema stabile.

Esempio 3.22 (stabilità dell’amplificatore a guadagno variabile)Consideriamo l’amplificatore a guada-gno variabile a TCy(t) = α (t)x(t). Se|x(t)| ≤ Kx per ognit ∈ R (ingresso limitato), e se anche|α (t)| ≤ Kαper ognit ∈ R (guadagno limitato) è possibile scrivere:

|y(t)|= |α (t)| |x(t)| ≤ Kα Kx= Ky , ∀t ∈ R ,

per cui anchey(t) è limitato. Notiamo che il sistema è stabile solo se facciamo l’ipotesi aggiuntiva (fisicamenteragionevole) che il guadagnoα (t) sia limitato. Con analoghi passaggi, e supponendo anche in questo caso cheil guadagno sia limitato, ovvero che|α (n)| ≤ Kα per ognin ∈ Z, è possibile provare che anche l’amplificatorea guadagno variabile a TDy(n) = α (n)x(n) è un sistema stabile.

Esempio 3.23 (sistema MA)Proviamo che il sistema MA dell’es. 3.9, descritto dalla relazione i-u

y(n) =M

∑k=0

bk x(n− k) ,

12La stabilità BIBO è anche dettastabilità esterna in quanto coinvolge solo le grandezze esterne al sistema (ingresso eduscita) e non le grandezze interne al sistema (stato): questa definizione di stabilità è quindi in perfetto accordo con la sceltadi descrivere i sistemi mediante la rappresentazione i-u, e non attraverso la rappresentazione i-s-u. Per la rappresentazionei-s-u, invece, si possono dare definizioni diverse di stabilità, che coinvolgono anche la limitatezza delle variabili di stato.Nel seguito, quando parleremo di stabilità intenderemo sempre la stabilità BIBO.


(a) (b)

(c)

Fig. 3.15.Un esempio di sistema instabile: il Tacoma Narrows Bridge. (a) Il Tacoma Narrows Bridge inoscillazione per le forti raffiche di vento poco prima della rottura. (b) Le oscillazioni viste da una estremità delponte. Il dislivello tra i due lati del ponte dovuto alla torsione raggiunge l’altezza di 8.5 metri. (c) Alle 11:00circa del 7 novembre 1940 il ponte crolla.

è stabile. Infatti, se|x(n)| ≤ Kx per ognin ∈ Z, è possibile scrivere:

|y(n)|=∣∣∣∣∣ M

∑k=0

bk x(n− k)

∣∣∣∣∣≤ M

∑k=0

|bk| |x(n− k)| ≤ Kx

M

∑k=0

|bk| = Ky , ∀n ∈ Z ,

per cui anchey(n) è limitato. Notiamo che un sistema MA èsempre stabile, qualunque sia l’ordineM eper qualsiasi valore dei coefficientibk; la sua stabilità dipende dal fatto che è descritto da una relazione i-uconsistente nella sommafinita di valori ritardati dell’ingresso (moltiplicati per dei coefficienti costanti).

Come si vede, per provare che un sistema è stabile, bisogna provare che l’uscitay(·) è limitata in ogniistante di tempo e per unqualunque ingresso limitato, quindi bisogna procedere tentando di trovare unmaggioranteKy per l’uscita, con la sola ipotesi che|x(·)| ≤Kx, in ogni istante di tempo. Viceversa, perprovare che un sistema è instabile, è sufficiente trovarealmeno un segnale limitato in corrispondenzadel quale l’uscita non è limitata, assume cioè valore infinito inalmeno un istante di tempo. Un segnaleche si presta bene per dimostrare che un sistema è instabile è il gradinox(·) = u(·), che è un segnalelimitato in quanto assume solo i valori 0 ed 1.

Esempio 3.24 (instabilità dell’integratore con memoria infinita e dell’accumulatore) L’integratore a TCcon memoria infinita dell’es. 3.1, descritto dalla relazione i-u

y(t) =∫ t

−∞x(u)du ,


non è un sistema stabile. Infatti, se si suppone che|x(t)| ≤ Kx per ognit ∈ R (ingresso limitato) e si prova atrovare una maggiorazione per l’uscita, si ha:

|y(t)|=∣∣∣∣∫ t

−∞x(u)du

∣∣∣∣≤ ∫ t

−∞|x(u)|du≤ Kx

∫ t

−∞du ,

ma non è possibile trovare un’ulteriore maggiorazione per l’uscita, in quanto l’integrale∫ t−∞ du non è limitato.

Tale difficoltà lascia intuire che il sistema è instabile; per provarlo, poniamo in ingressox(t) = u(t) (ingressolimitato), e calcoliamo l’uscita:

y(t) =∫ t

−∞u(u)du =

0, t < 0 ;∫ t

0du = t , t ≥ 0 ;

ovvero l’uscita si può scrivere nella formay(t) = t u(t), che rappresenta una rampa a TC (fig. 2.43), ed è unsegnale non limitato in ampiezza. Avendo trovato anche un solo ingresso limitato in corrispondenza del qualel’uscita non è limitata, abbiamo provato che il sistema è instabile.

In maniera simile, si prova che la versione a TD dell’integratore con memoria infinita, cioè l’accumulatoredell’es. 3.2, avente relazione i-u

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) ,

è instabile. Infatti, se si pone in ingressox(n) = u(n), si ottiene in uscita il segnale

y(n) =n

∑k=−∞

u(k) =

0, n < 0 ;

n

∑k=0

1 = n+1, n≥ 0 ;

ovvero un segnale esprimibile comey(n) = (n+1)u(n) (rampa a TD), che è non limitato.

La stabilità è una proprietà fondamentale nel progetto dei sistemi, in quanto assicura che, applican-do al sistema segnali di ingresso limitati, l’uscita non assumerà mai valori arbitrariamente grandi.Viceversa, in un sistema fisico instabile, l’uscita può assumere, per determinati segnali di ingresso,valori arbitrariamente grandi, il che può portare al malfunzionamento del sistema o addirittura alla suarottura. Un esempio fisico particolarmente impressionante di sistema instabile è quello del TacomaNarrows Bridge (costruito presso Washington D.C., USA) che crollò nel 1940, pochi mesi dopo esserestato aperto al traffico, a causa delle raffiche di vento che indussero oscillazioni tali da provocare larottura dei cavi metallici e il conseguente crollo del ponte (fig. 3.15). Proprio per evitare l’innesco dipericolose oscillazioni, che possono portare alla rottura, ai soldati che attraversano i ponti a passo dimarcia si comanda abitualmente di “rompere il passo”.

3.3.6 Linearità

La proprietà di linearità è estremamente importante, in quanto porta a notevoli semplificazioni nel-l’analisi e nella sintesi dei sistemi. Nel seguito supporremo che, più in generale, i segnali in giocosiano a valori complessi e il loro codominio coincida con il campo dei numeri complessi, cioè,X≡C,mentre il dominioT sarà uguale aR oppureZ nel caso TC oppure TD, rispettivamente. Questa sceltaci consente di trattare anche segnali, quali ad esempio il fasore, che, pur non essendo direttamentericonducibili ad alcuna grandezza fisica, rappresentano una comoda astrazione matematica per la de-scrizione di alcuni fenomeni naturali. D’altra parte, i segnali a valori reali sono un sottoinsieme deisegnali a valori complessi.

La proprietà di linearità può essere vista come composta da due proprietà più semplici: la proprietàdi omogeneità e di additività, secondo la definizione seguente:


x(.) α S ya(.)

(a)

x(.) αS yb(.)

(b)

Fig. 3.16.Se il sistemaS verifica la proprietà di omogeneità, le configurazioni (a) e (b) sono equivalenti.

Definizione 3.11 (sistema lineare)Un sistema si dicelineare se soddisfa le seguenti due proprietà:

(a) Omogeneità: per ogni coppia di segnali di ingressox(·) ∈ I ed uscitay(·) ∈ U, si ha:

α x(·) −→ α y(·) , ∀α ∈ C .

(b) Additività : per ogni coppia di segnali di ingressox1(·) ∈ I ed uscitay1(·) ∈ U, e per ognicoppia di segnali di ingressox2(·) ∈ I ed uscitay2(·) ∈ U, si ha:

x1(·)+ x2(·) −→ y1(·)+ y2(·) .

Da un punto di vista matematico, la proprietà di omogeneità impone implicitamente che, sex(·) ∈ I,allora ancheα x(·) ∈ I, ovvero l’insieme dei segnali di ingresso deve esserechiuso rispetto all’o-perazione di moltiplicazione per una costante. Allo stesso modo, la proprietà di additività imponeimplicitamente che, sex1(·) ∈ I e x2(·) ∈ I, allora anchex1(·)+ x2(·) ∈ I, ovvero l’insieme dei se-gnali di ingresso deve esserechiuso rispetto all’operazione di somma. Pertanto, affinchè il sistemaS

possa essere lineare, occorre che l’insieme dei segnali di ingressoI sia unospazio lineare, ossia unospazio funzionale chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione per una costante e somma. Stessaproprietà deve valere anche per l’insieme dei segnali di uscitaU.

Da un punto di vista sistemistico, la proprietà di omogeneità può essere interpretata come infig. 3.16. Precisamente, se il sistemaS verifica la proprietà di omogeneità, allora la configurazioneserie in fig. 3.16(a) è equivalente alla configurazione serie in fig. 3.16(b), nel senso cheya(·)≡ yb(·);quindi, se si deve calcolare la risposta del sistemaS al segnale di ingressoα x(·), si può equivalente-mente calcolare prima la risposta del sistemaS al segnale di ingressox(·) e poi far passare il segnaleottenuto attraverso un amplificatore di guadagnoα . In altre parole, se il sistema è omogeneo, essocommuta con il sistema amplificatore e la sua posizione nella cascata è inessenziale. Anche la proprie-tà di additività ammette una interessante interpretazione in termini di sistemi. Infatti, con riferimentoalla fig. 3.17, se il sistemaS verifica la proprietà di additività, allora la cascata del sommatore e delsistemaS in fig. 3.17(a) è equivalente al sistema raffigurato in fig. 3.16(b) (si faccia attenzione: non èuna configurazione parallelo), nel senso cheya(·) ≡ yb(·); quindi, se si deve calcolare la risposta del


x1(.) S ya(.)

x2(.)(a)

(b)

S

yb(.)

S

x1(.)

x2(.)

Fig. 3.17.Se il sistemaS verifica la proprietà di additività, le configurazioni (a) e (b) sono equivalenti.

sistemaS al segnale di ingressox1(·)+x2(·) si può calcolare prima la risposta del sistemaS ai segnalidi ingressox1(·) e x2(·) separatamente, e poi sommare i segnali di uscita ottenuti.

Le due proprietà precedenti, che caratterizzano la linearità di un sistema, si possono riassumerenel cosiddettoprincipio di sovrapposizione:

Proprietà 3.3 (principio di sovrapposizione)Un sistema èlineare se, per ogni coppia di segnali di ingressox1(·) ∈ I ed uscitay1(·) ∈U, e perogni coppia di segnali di ingressox2(·) ∈ I ed uscitay2(·) ∈ U, si ha:

α1x1(·)+α2x2(·) −→ α1y1(·)+α2y2(·) , ∀α1,α2 ∈ C . (3.21)

Notiamo che il principio di sovrapposizione si può esprimere, adoperando la notazione semplificata(3.5) per il sistemaS, anche nella forma:

S[α1 x1(·)+α2 x2(·)] = α1S[x1(·)]+α2S[x2(·)] , ∀α1,α2 ∈ C , (3.22)

che ammette l’interpretazione sistemistica riportata in fig. 3.18: se il sistemaS è lineare, allora i duesistemi riportati in fig. 3.18(a) e fig. 3.18(b) sono equivalenti, cioè,ya(·)≡ yb(·); pertanto, se si deve


x1(.)

ya(.)

(a)

yb(.)

x2(.)

S

S

Sx2(.)

α 1

(b)

α 2

x1(.)

α 1

α 2

Fig. 3.18.Se il sistemaS è lineare, le configurazioni (a) e (b) sono equivalenti (principio di sovrapposizione).

calcolare la risposta del sistemaS al segnale di ingressoα1 x1(·) + α2 x2(·), si può calcolare primala risposta del sistemaS ai segnali di ingressox1(·) e x2(·) separatamente, e poi combinare linear-mente, utilizzando i coefficientiα1 e α2, i segnali di uscita ottenuti. Il principio di sovrapposizionesi può estendere anche a più di due ingressi e con qualche cautela matematica anche ad unainfinitànumerabile di ingressi: se all’ingressoxk(·) ∈ I corrisponde l’uscitayk(·) ∈ U, si ha:

∑k

αk xk(·) −→ ∑k

αk yk(·) , ∀α1,α2, . . . ,αk, . . . ∈ C . (3.23)

È bene evidenziare che se il numero di segnali che si sovrappone è finito la (3.23) discende sempli-cemente dalla (3.22); se, invece, il numero di segnalixk(·) è infinito, la (3.22) da sola non basta perassicurare la (3.23): in questo caso, occorre imporre alcune condizioni matematiche aggiuntive. Ondeevitare di dilungarci in discussioni di carattere prettamente matematico che non hanno rilevanza inmolti casi di interesse pratico, nel seguito assumeremo la (3.23) come definizione di principio di so-vrapposizione, che ovviamente racchiude la (3.22) come caso particolare. Ciò conduce alla seguentedefinizione più generale di sistema lineare:un sistema è lineare se, comunque si consideri una succes-sione numerabile di segnali di ingresso xk(·)∈ I, con k ∈Z, l’uscita corrispondente ad una arbitrariacombinazione lineare di xk(·)k∈Z è costituita dalla combinazione lineare, con gli stessi coefficienti,delle uscite yk(·) ∈ U corrispondenti agli ingressi presi separatamente.

La proprietà di linearità comporta notevoli semplificazioni nell’analisi e nella sintesi dei sistemi,ed il principio di sovrapposizione è molto utilizzato ad esempio nello studio dei circuiti elettrici.A tale proposito, si noti che, come l’invarianza temporale, anche la linearità è una idealizzazione


matematica: nessun sistema nella realtà fisica è lineare in senso stretto. Infatti, in pratica, un sistemaè progettato per poter funzionare con una certa famiglia di segnali di ingresso, e la moltiplicazionedel segnale di ingresso per una costante di ampiezza arbitraria non si traduce semplicemente nellamoltiplicazione dell’uscita per la stessa costante. Ad esempio, se si considera un amplificatore audioe lo si forza in ingresso con un segnale di tensione la cui ampiezza è maggiore di quella per cui ilsistema è stato progettato, si ottiene in uscita un suono poco gradevole che nulla ha a che fare con ilsegnale di ingresso che si vuole amplificare. In pratica, quando si parla di sistema lineare, si intendeun sistema che soddisfa il principio di sovrapposizione, quando l’ampiezza dei segnali di ingresso noneccede (in valore assoluto) una determinata soglia, variabile da sistema a sistema; se l’ampiezza delsegnale di ingresso eccede tale soglia, il sistema non può più considerarsi lineare.13

Esempio 3.25 (linearità dell’amplificatore a guadagno variabile)L’amplificatore a guadagno variabile aTC y(t) = α (t)x(t) è un sistema lineare, in quanto soddisfa al principio di sovrapposizione. Adoperando laformulazione (3.22), infatti, si ha, con semplici calcoli algebrici:

S[α1 x1(t)+α2 x2(t)] = α (t)[α1 x1(t)+α2 x2(t)] = α1[α (t)x1(t)]+α2[α (t)x2(t)] (3.24)

= α1S[x1(t)]+α2S[x2(t)] .

Con analogo ragionamento si può provare che anche l’amplificatore a TDy(n) = α (n)x(n) è un sistema lineare.Sia nel caso TC che TD, notiamo che la linearità dell’amplificatore vale anche nel caso particolare in cui ilguadagnoα (·) = α è costante (amplificatore a guadagno costante).

Una conseguenza importante della proprietà di linearità, e più precisamente dell’omogeneità, è che seun sistema omogeneo è sollecitato con un ingresso nullo (ovvero è “a riposo”), l’uscita corrispondenteè necessariamente nulla.

Proprietà 3.4 (comportamento a riposo di un sistema omogeneo)In un sistema omogeneo, l’uscita corrispondente all’ingresso nullo è necessariamente nulla.

Prova. Siax0(·)≡ 0 l’ingresso nullo, e siay0(·) l’uscita corrispondente a tale ingresso. Poichéx0(·) −→ y0(·),si ha, per l’omogeneità,

α x0(·) −→ α y0(·) , ∀α ∈ C ,

ma poichéx0(·) = α x0(·)≡ 0∀α ∈C, allora deve aversi necessariamentey0(·) = α y0(·), ∀α ∈C, e quest’ultimauguaglianza può essere verificata se e solo sey0(·)≡ 0. Esempio 3.26 (sistema non omogeneo)Il sistema avente relazione i-u

y(t) = b1 x(t)+b0 ,

conb0 = 0, non è omogeneo (e quindi non è lineare) per la presenza del termineb0. Infatti ponendox(t) ≡ 0,si trovay0(t) = b0 = 0, e pertanto l’uscita corrispondente all’ingresso nullo non è nulla.

Sebbene sianon lineare secondo la definizione data, il sistema dell’es. 3.26 appartiene ad una classedi sistemi in cui l’uscitay(t) si può vedere (fig. 3.19) come la somma dell’uscita di un sistema lineareyL(t) e di un terminey0(t) non dipendente dall’ingresso, che rappresenta l’uscita corrispondente al-l’ingresso nullo. Nell’es. 3.26, in particolare, si hayL(t) = b1 x(t) e y0(t) = b0. Tali sistemi sono unageneralizzazione dei sistemi lineari, e si diconolineari per le differenze, in quanto, dati due ingressi

13Tipicamente, quasi tutti i sistemi tendono a comportarsi in maniera lineare se l’ampiezza del segnale di ingresso èsufficientemente piccola; in elettronica, questa osservazione è alla base dei cosiddetti “modelli lineari approssimati perpiccoli segnali”.


x(.) y(.)sistemalineare

y0(.)

yL(.)

Fig. 3.19.Un sistema lineare per le differenze sipuò vedere come composto da un sistema linearee da un segnale indipendente dall’ingresso.

x(.) g(x) y(.)

Fig. 3.20.Schema a blocchi di un sistema nonlineare (non linearità) senza memoria.

arbitrarix1(·) ex2(·), la differenzay2(·)−y1(·) tra le due uscite è una funzionelineare della differenzax2(·)− x1(·) tra i due ingressi. Esempi di sistemi lineari per le differenze compaiono nell’analisi disistemi descritti da equazioni differenziali (nel caso TC, cfr. § 4.6.1) o alle differenze (nel caso TD,cfr. § 4.6.2) lineari e a coefficienti costanti.

Un caso più caratteristico di sistema non lineare, che non risulta neppure lineare per le differenze,è descritto nell’esempio seguente.

Esempio 3.27 (sistema quadratico)Il sistema descritto dalla relazione i-u

y(t) = x2(t)

è non lineare, e prende il nome disistema quadratico o non-linearità quadratica. Infatti, si verifica facilmenteche il sistema non soddisfa né la proprietà di omogeneità, né quella di additività. Per l’omogeneità, si ha:

S[α x(t)] = α 2 x2(t) = α 2S[x(t)] = α S[x(t)] ,

e quindi non è omogeneo; inoltre

S[x1(t)+ x2(t)] = [x1(t)+ x2(t)]2 = x21(t)+ x2

2(t)+2x1(t)x2(t) = x21(t)+ x2

2(t) = S[x1(t)]+S[x2(t)] ,

e quindi non è additivo.

Il sistema quadratico dell’es. 3.27 è anche TI e non dispersivo o senza memoria (cfr. § 3.3.1), in quantol’uscita y(t) è funzione dell’ingressox(t) nello stesso istante. Esso appartiene pertanto ad una classepiù generale di sistemi, detti anchenon-linearità senza memoria:

Definizione 3.12 (non linearità senza memoria)Sia g(·) una funzione non lineare, un sistema TI senza memoria, descritto dalla relazione i-u y(t) = g[x(t)] (nel caso TC) oppure day(n) = g[x(n)] (nel caso TD) prende il nome dinonlinearità senza memoria.

Tali sistemi possono essere descritti semplicemente assegnando la funzioney = g(x), che prendeil nome di caratteristica i-u, e sono rappresentati graficamente come in fig. 3.20. Altri esempi dinon linearità senza memoria sono i sistemi descritti dalle relazioni i-uy(t) = |x(t)| (“raddrizzatore”,cfr. es. 3.15),y(t) = sgn[x(t)] (“hard limiter”), e y(t) = x3(t) (sistema cubico). Un esempio “fisico”tratto dall’elettronica è il diodo.

Esempio 3.28 (caratteristica i-u di un diodo) Il diodo è un componente elettronico rappresentato schema-ticamente in fig. 3.21, che può essere descritto con buona approssimazione da una relazione i-u non linearesenza memoria. Infatti, se si indica (fig. 3.21) conx(t) la tensione ai capi del diodo e cony(t) la corrente


x(t)

y(t)

Fig. 3.21.Schema elettrico di un diodo, model-lato come un sistema non lineare senza memo-ria, avente come ingresso la tensionex(t) e comeuscita la correntey(t).

y=g(x)

x

tg(θ)=R

Fig. 3.22.Caratteristica ingresso-uscita di un dio-do. Il parametroR rappresenta la resistenza deldiodo in conduzione.

che scorre nel diodo, si può porre, con buona14 approssimazione,y(t) = g[x(t)], dove la caratteristica i-ug(x)(fig. 3.22) è

g(x) =

xR , x≥ 0;

0, altrimenti;

doveR è la resistenza del diodo in conduzione, che assume in genere valori molto piccoli (dell’ordine di pochidecimi di ohm). Notiamo che la funzioneg(x) di fig. 3.22 è lineare a tratti; in ogni caso, poiché essa non èlineare per tutti i valori dix, il sistema non può essere considerato lineare.

Altri esempi di sistemi elettronici descritti approssimativamente15 da modelli non lineari senza me-moria sono i transistori bipolari (bipolar junction transistor, BJT) ed i transistori ad effetto di campo(field-effect transistor, FET).

14Un modello più accurato mostra che la relazione tra tensione e corrente in un diodo in conduzione segue una legge ditipo esponenziale.

15Bisogna notare che per i componenti elettronici menzionati (diodi e transistori) il modello di sistemasenza memoria èaccurato solo se si trascurano gli effetti capacitivi, il che è ragionevole per segnali costanti o lentamente variabili.



Esercizio 3.1 Si consideri la seguente interconnessione di sistemi:

x(n) S1 y(n)S3S2

dove i legami i-u dei tre sistemi sono i seguenti:

S1: y(n) = x[n

2

];

S2: y(n) = x(n)+12

x(n−1)+14

x(n−2) ;

S3: y(n) = x(2n) .

Determinare il legame i-u del sistema (complessivo) riportato in figura.

Risultato: y(n) = x(n)+ 14 x(n−1).

Esercizio 3.2 Si consideri l’interconnessione di sistemi riportata in fig. 3.23, dove i legami i-u dei quattrosistemi sono i seguenti:

x(t)

S1

y(t)S2

S3 S4

Fig. 3.23.Sistema dell’esercizio 3.2.

S1: y(t) = 2x(t)+1 ;

S2: y(t) = sgn[x(t)];S3: y(t) = ex(t);

S4: y(t) = 2 ln(|x(t)|).Determinare il legame i-u del sistema (complessivo) riportato in fig. 3.23.

Risultato: y(t) = 2u[x(t)].

Esercizio 3.3 Si consideri il sistema caratterizzato dal seguente legame i-u:

y(n) =+∞

∑k=−∞

x(k)RN

(n− k +

N−12

), conN ≥ 1 numero intero dispari.

Calcolare la memoria del sistema.

Risultato: La memoria è pari aN−1.


x(t)

S1

y(t)

S2

Esercizio 3.4 Si consideri la seguente interconnessione di sistemi:dove i legami i-u dei due sistemi sono i seguenti:

S1: y(t) =∫ t

t−T1

x(τ )dτ , conT1 > 0;

S2: y(t) =∫ t+T2

t−T2

x(τ )dτ , conT2 > 0.

Calcolare la memoria del sistema (complessivo) riportato in figura.

Risultato: SeT1≥ T2, la memoria è pari aT1; seT1 < T2, la memoria è pari a 2T2−T1.

Esercizio 3.5 Un sistemaS con ingressox(t) ed uscitay(t) presenta le seguenti coppie i-u:

x(t) = u(t +3) −→ y(t) = e−5t u(t) ,

x(t) = rect(t−1) −→ y(t) = e−3t .

Stabilire se il sistema può essere causale[Suggerimento: disegnare i due segnali ed applicare la prop. 3.1 del libro di testo.]

Risultato: Il sistema è non causale.

Esercizio 3.6 Un sistemaS con ingressox(n) ed uscitay(n) presenta le seguenti coppie i-u:

x(n) = u(n+2) −→ y(n) = 2−n u(n+1) ,

x(n) = R3(n) −→ y(n) = 3n u(n) .

Stabilire se il sistema può essere causale[Suggerimento: disegnare i due segnali ed applicare la prop. 3.1 del libro di testo.]

Risultato: Il sistema può essere causale (non è detto che lo sia).


y(n) = x(n)x(n−2) .

(a) Calcolare l’uscitay(n) corrispondente al segnale di ingressox(n) = Aδ(n), conA ∈ R.

(b) Il sistema è invertibile? Giustificare la risposta.

Risultato: (a)y(n)≡ 0; (b) non invertibile: in virtù del risultato del punto (a), l’uscita corrispondente al segnalex(n) = Aδ(n) è sempre nulla, indipendentemente dalla costanteA.



S : x(t) ∈ I −→ ex(t) ∈ U .

(a) Caratterizzare gli insiemi di ingresso ed uscita.

(b) Stabilire se tale sistema è invertibile. In caso affermativo, determinare il sistema inverso.

Risultato: (a) nessuna restrizione suI, l’insiemeU è costituito da tutti i segnali positivi; (b)S è invertibile e ilsuo sistema inverso è caratterizzato dal seguente legame i-u:x(t) ∈ U −→ y(t) = ln[x(t)] ∈ I.

Esercizio 3.9 Il sistemaS in fig. 3.24 è lineare. Nella stessa figura sono riportate le uscite del sistemay1(n),y2(n) e y3(n) corrispondenti ai segnali di ingressox1(n), x2(n) e x3(n), rispettivamente.

x1(n)

n0

1

1

-1

-2 -2

x2(n)

n0

1

-1

-2

x3(n)

n0

1

1

S

y1(n)

n0 1

3

-1

-1

1

2 3

3

1

y2(n)

n0

1-1

-1 -12

3

-3

1

y3(n)

n0

1

-1

1

2

-3

22

-2

S

S

Fig. 3.24.Segnali dell’esercizio 3.9.

(a) Calcolare l’uscitaya(n) del sistema corrispondente al segnale di ingressoxa(n) = δ(n).(b) Calcolare l’uscitayb(n) del sistema corrispondente al segnale di ingressoxb(n) = δ(n−1).(c) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (a) e (b), stabilire se il sistema può essere tempo-invariante.

Risultato: (a)ya(n) = 2δ(n+2)+δ(n+1)−2δ(n)+3δ(n−1)+2δ(n−2)+δ(n−3); (b) yb(n) =−δ(n)−3δ(n−1)−δ(n−3); (c) non può essere tempo-invariante, è necessariamente tempo-variante.


y(t) = cos

(2π fct +2π

∫ t

−∞x(τ )dτ

).


(a) Calcolare l’uscitaya(t) corrispondente al segnale di ingressoxa(t) = δ(t).

(b) Calcolare l’uscitayb(t) corrispondente al segnale di ingressoxb(t) = δ(t− t0), cont0 ∈ R.

(c) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (a) e (b), dire se il sistema può essere tempo-invariante.

Risultato: (a) ya(t) = cos(2π fct); (b) yb(t) = ya(t) = cos(2π fct); (c) non può essere tempo-invariante, ènecessariamente tempo-variante.

x(n) y(n)

(-1)n

Fig. 3.25.Sistema dell’esercizio 3.11.

Esercizio 3.11 Si consideri il sistema riportato in fig. 3.25.

(a) Determinare il legame i-u del sistema.

(b) Dire se il sistema è stabile.

Risultato: (a) y(n) = x(n)+ (−1)n x(n) = [1+(−1)n]x(n), dove 1+(−1)n = 0 sen è dispari e 1+(−1)n = 2sen è pari; (b) stabile.

Esercizio 3.12 Un sistemaS lineare con ingressox(t) ed uscitay(t) presenta le seguenti coppie i-u:

x(t) = e j2t −→ y(t) = e j3t ,

x(t) = e− j2t −→ y(t) = e− j3t .

(a) Calcolare l’uscitaya(t) corrispondente al segnale di ingressoxa(t) = cos(2t).

(b) Calcolare l’uscitayb(t) corrispondente al segnale di ingressoxb(t) = cos(2t−1).

(c) Stabilire se il sistema può essere tempo-invariante.

Risultato: (a) ya(t) = cos(3t); (b) yb(t) = cos(3t − 1). (c) il sistema non può essere tempo-invariante, ènecessariamente tempo-variante.

Esercizio 3.13 Il sistemaS in fig. 3.26 è tempo-invariante. Nella stessa figura sono riportate le uscite delsistemay1(n), y2(n) e y3(n) corrispondenti ai segnali di ingressox1(n), x2(n) e x3(n), rispettivamente.

(a) Stabilire se il sistema può essere lineare.

(b) Calcolare l’uscitay(n) del sistema corrispondente al segnale di ingressox(n) = δ(n).

Risultato: (a) non può essere lineare, è necessariamente non lineare; (b)y(n) = 3δ(n+6)+2δ(n+5).

Esercizio 3.14 Si considerino i due sistemi caratterizzati dai seguenti legami i-u:


x1(n)

n0 1

1

2

y1(n)

n0 1

2

3

2

x2(n)

n0 1

2

y2(n)

n0 2

2

4

1 3

x3(n)

n0 1

1

y3(n)

n0-2

3

12 3 4

2

-1

S

S

S

Fig. 3.26.Segnali dell’esercizio 3.13.

S1: y(n) = x(−n) ;

S2: y(n) = x(n+2).

Inoltre, siaS1,2 il sistema ottenuto dalla cascataS1-S2 (nell’ordine), mentreS2,1 rappresenta il sistema ottenutodalla cascataS2-S1 (nell’ordine). Stabilire, motivando la risposta e fornendo almeno un esempio a suo supporto,se la seguente affermazione è vera oppure falsa: “sex1(n) = x2(n), le uscite dei due sistemiS1,2 e S2,1 sononecessariamente uguali”.

Risultato: I due sistemi sono diversi: il legame i-u del sistemaS1,2 èy(n) = x(−n−2); il legame i-u del sistemaS2,1 è y(n) = x(−n + 2). Esempio: quandox1[n] = x2[n] = δ[n], l’uscita del sistemaS1,2 è y(n) = δ(n + 2),mentre l’uscita del sistemaS2,1 è y(n) = δ(n−2).

Esercizio 3.15 Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi TC sotto riportati sullabase delle loro proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale, stabilità):

(a) y(t) = 2 exp[x(t)];

(b) y(t) = x(t−2)− x(1− t);

(c) y(t) = x(t) cos(2πt);

(d) y(t) = [x(t)+ x(t−T )]u(t);

(e) y(t) = [x(t)− x(t−T )]u[x(t)], conT ∈ R−0.

Risultato: (a) non lineare, non dispersivo, causale, tempo-invariante e stabile; (b) lineare, dispersivo, noncausale, tempo-variante e stabile; (c) lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante e stabile; (d) lineare,dispersivo seT = 0, causale seT ≥ 0 e non causale seT < 0, tempo-variante e stabile. (e) non lineare,dispersivo, causale seT > 0 e non causale seT < 0, tempo-invariante e stabile.


Esercizio 3.16 Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi TD sotto riportati sullabase delle loro proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale, stabilità):

(a) y(n) = ax(n)+b, cona,b ∈ R−0;(b) y(n) = x(−n);

(c) y(n) = ex(n);

(d) y(n) =

n

∑k=m0

x(k) , pern≥ m0, conm0 ∈ Z ;

0, altrimenti ;

(e) y(n) =n+m0

∑k=n−m0

x(k), conm0 ∈ N.

Risultato: (a) non lineare (lineare per le differenze), non dispersivo, causale, tempo-invariante e stabile; (b)lineare, dispersivo, non causale, tempo-variante e stabile; (c) non lineare, non dispersivo, causale, tempo-invariante e stabile; (d) lineare, dispersivo, causale, tempo-variante e instabile. (e) lineare, dispersivo, noncausale, tempo-invariante e stabile.

Esercizio 3.17 Classificare in base alle loro proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza tempo-rale, stabilità) i sistemi TC individuati dalle seguenti relazioni i-u:

(a) y(t) =∫ +∞

0h(τ )x(t− τ )dτ ;

(b) y(t) =∫ T

0h(τ )x2(t− τ )dτ ;

(c) y(t) =

1

x(t), sex(t) = 0 ;

0, altrimenti ;

(d) y(t) =1

2T

∫ T

−Tx(t− τ )dτ , conT ∈ R−0.

Risultato: (a) lineare, dispersivo, causale, tempo-invariante, stabile seh(τ ) è sommabile; (b) non lineare,dispersivo, causale seT ≥ 0, non causale seT < 0, tempo-invariante, stabile seh(τ ) è sommabile; (c) non li-neare, non dispersivo, causale, tempo-invariante, instabile; (d) lineare, dispersivo, non causale, tempo-invariantee stabile.

Esercizio 3.18 Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi TD sotto riportati sullabase delle loro proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale, stabilità):

(a) y(n) = x(n)+u(n+1);

(b) y(n) = cos(πn)x(n);

(c) y(n) = x(n2);

(d) y(n) = x(n)+∞

∑k=0

δ(n− k);

(e) y(n) = an u(n)x(n), cona ∈ R−0.


Risultato: (a) non lineare (lineare per le differenze), non dispersivo, causale, tempo-variante e stabile; (b)lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante e stabile; (c) lineare, dispersivo, non causale, tempo-variantee stabile; (d) lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante e stabile. (e) lineare, non dispersivo, causale,tempo-variante, stabile per|a| ≤ 1 ed instabile per|a|> 1.

Esercizio 3.19 Classificare, motivando brevemente le risposte, sulla base delle proprietà (linearità, non disper-sività, causalità, invarianza temporale e stabilità), i sistemi TC caratterizzati dalle seguenti relazioni i-u:

(a) y(t) =

ln(|x(t)|) , sex(t) = 0 ;

0, altrimenti ;

(b) y(t) = x(t)+ x(−t);

(c) y(t) = x(t)sgn(t);

(d) y(t) = sgn[x(t)].

Risultato: (a) non lineare, non dispersivo, causale, tempo-invariante, instabile; (b) lineare, dispersivo, noncausale, tempo-variante, stabile; (c) lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante, stabile; (d) non lineare,non dispersivo, causale, tempo-invariante, stabile.

Esercizio 3.20 Classificare, motivando brevemente le risposte, sulla base delle proprietà di linearità, nondispersività, causalità, invarianza temporale e stabilità, i sistemi TC caratterizzati dalle seguenti relazioni i-u:

(a) y(t) =

t ln(|x(t)|) , sex(t) = 0 ;

0, altrimenti ;

(b) y(t) = a(t)x(−t), cona(t) segnale reale limitato;

(c) y(t) = x(−t)+5;

(d) y(t) = sgn[x(−t)].

Risultato: (a) non lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante, instabile; (b) lineare, dispersivo, non causa-le, tempo-variante, stabile; (c) non lineare (lineare per le differenze), dispersivo, non causale, tempo-variante,stabile; (d) non lineare, dispersivo, non causale, tempo-variante, stabile.

Esercizio 3.21 Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi sotto riportati sulla basedelle loro proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale, stabilità):

(a) y(n) =

x(n)

n, sen = 0 ;

0, altrimenti ;

(b) y(n) = x(2n)+ x(10−n);

(c) y(n) =n+2

∑k=n−2

x2(k);

(d) y(n) =+∞

∑k=−∞

sgn(k)x(n− k).

Risultato: (a) lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante, stabile; (b) lineare, dispersivo, non causa-le, tempo-variante, stabile; (c) non lineare, dispersivo, non causale, tempo-invariante, stabile; (d) lineare,dispersivo, non causale, tempo-invariante, instabile.


Esercizio 3.22 Classificare, motivando brevemente le risposte, sulla base delle proprietà di linearità, non di-spersività, causalità, invarianza temporale e stabilità, i sistemi caratterizzati dalle seguenti relazioni ingres-so/uscita:

(a) y(n) =1

M1 +M2 +1

M2

∑k=−M1

x(n− k), conM1,M2 ∈ N.

(b) y(n) = maxx(n),x(n−1).

(c) y(n) =

n tan[x(n)] , sex(n) = π

2+ kπ, conk ∈ Z ;

0, altrimenti ;

Risultato: (a) lineare, dispersivo, non causale, tempo-invariante, stabile; (b) non lineare, dispersivo, causale,tempo-invariante, stabile; (c) non lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante, instabile.


Capitolo 4

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

I n questo capitolo approfondiremo lo studio deisistemi lineari tempo-invarianti (LTI), ovvero deisistemi che possiedono sia la proprietà di linearità, sia quella di invarianza temporale. In particolare,mostreremo che tali sistemi ammettono una relazione i-u semplice e generale, che può essere espressamediante una particolare operazione matematica, denominataconvoluzione, tra il segnale di ingressoe una funzione che descrive completamente il sistema nel dominio del tempo, la suarisposta impul-siva. Introdurremo poi una classe importante di sistemi LTI, che si incontrano frequentemente nelleapplicazioni, ovvero i sistemi LTI descritti nel caso TC da equazioni differenziali, e nel caso TD daequazioni alle differenze. Infine, calcolando la risposta di un sistema LTI ad un fasore applicato alsuo ingresso, introdurremo il fondamentale concetto dirisposta in frequenza di un sistema LTI, cherappresenta la base per lo studio dei sistemi nel dominio della frequenza e che sarà approfondito neicapitoli seguenti.

4.1 Introduzione

Le proprietà di invarianza temporale e linearità viste nel cap. 3 non devono necessariamente esserepossedutecontemporaneamente da un dato sistema. Ad esempio, l’amplificatore con guadagno varia-bile y(t) = α (t)x(t) (cfr. es. 3.16) è un sistemalineare ma tempo-variante (sistema LTV), mentre ilsistema quadraticoy(t) = x2(t) (cfr. es. 3.27) è un sistemanon lineare matempo-invariante. Tuttavia,numerosi sistemi, di grande interesse per le applicazioni, possiedonosia la proprietà di linearità,siaquella di invarianza temporale. Tali sistemi sono denominati sistemilineari tempo-invarianti (LTI), eper essi esistono tecniche di analisi e di sintesi semplici, potenti e generali. In questo capitolo, ed ingran parte del seguito della trattazione, il nostro studio si concentrerà su tale classe di sistemi.

La proprietà fondamentale che semplifica lo studio dei sistemi LTI (più in generale, dei sistemilineari) è il principio di sovrapposizione (prop. 3.3). A tale proposito, consideriamo il sistema linearedescritto dalla trasformazioneS : I → U, il cui legame i-u, per semplicità di notazione, sarà descrittonel seguito mediante la notazione semplificatay(·) = S[x(·)]. In particolare, supponiamo che un ge-nerico ingresso TC o TDx(·) ∈ I possa essere espresso come sovrapposizione di segnali semplici o

128 Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

“elementari”xk(·) ∈ I come segue:

x(·) = ∑k

αk xk(·) , (4.1)

dove i coefficientiαk sono in generale dei numeri complessi, in quanto come vedremo i segnali ele-mentari possono assumere valori complessi. Il numero dei segnali elementari necessari per descrivereesattamente il segnalex(·) nella (4.1) può essere finito oppure infinito numerabile. Applicando ilprincipio di sovrapposizione (3.23), si ha:

y(·) = S[x(·)] = S

[∑k

αk xk(·)]

= ∑k

αk S [xk(·)] = ∑k

αk yk(·) , (4.2)

doveyk(·) = S[xk(·)], ovveroyk(·) è l’uscita corrispondente all’ingresso elementarexk(·). La (4.2)mostra che l’uscitay(·) si può esprimere come sovrapposizione, con gli stessi coefficientiαk, deisegnaliyk(·), ciascuno dei quali rappresenta larisposta del sistema all’ingressoxk(·). Questa proprietàconsente, in linea di principio, di semplificare notevolmente lo studio dei sistemi lineari, in quanto èsufficiente calcolare la risposta del sistema agli ingressi elementarixk(·). Affinché tale tecnica siaapplicabile in pratica, tuttavia, i segnali elementarixk(·) da utilizzare nella (4.1) devono essere sceltiin modo opportuno; in particolare, essi devono soddisfaretre proprietà fondamentali:

(1) devono essere in grado di rappresentare un’ampia classe di segnalix(·); idealmente, devono esserein grado di rappresentaretutti i segnali di interesse pratico;

(2) per un dato segnale di interessex(·), deve essere semplice calcolare i coefficientiαk della suarappresentazione (4.1);

(3) deve essere semplice calcolare la rispostayk(·) del sistema a ciascuno dei segnalixk(·).Tenendo conto delle proprietà precedenti, le scelte più comuni per i segnali elementarixk(·) sono due:

• i segnalixk(·) sonoimpulsi: la descrizione risultante del sistema prende il nome dirappresenta-zione nel dominio del tempo, e la funzione che caratterizza il sistema LTI nel dominio del tempoprende il nome dirisposta impulsiva;

• i segnalixk(·) sonofasori: la descrizione risultante del sistema prende il nome dirappresen-tazione nel dominio della frequenza, e la funzione che caratterizza il sistema LTI nel dominiodella frequenza prende il nome dirisposta in frequenza o risposta armonica.

Nel seguito di questo capitolo studieremo approfonditamente la rappresentazione dei sistemi LTI neldominio del tempo, e introdurremo anche i primi elementi della loro rappresentazione nel dominiodella frequenza;uno studio più approfondito della rappresentazione nel dominio della frequenza saràeffettuato nei prossimi capitoli.

4.2 Relazione i-u di un sistema LTI e risposta impulsiva

Un concetto fondamentale nella caratterizzazione dei sistemi LTI nel dominio del tempo è quello dirisposta impulsiva:1 esso nasce dalla possibilità di rappresentare un arbitrario segnalex(·) come so-vrapposizione di impulsi traslati nel tempo. Per approfondire tale rappresentazione, è conveniente

1Il concetto di risposta impulsiva, e quello di risposta in frequenza ad esso strettamente legato, possono essere datianche con riferimento a sistemi che siano solo lineari (ma tempo-varianti); in tal caso, però, tali funzioni dipendono da duevariabili.

4.2 Relazione i-u di un sistema LTI e risposta impulsiva 129

considerare prima il caso TD. Scegliendo come segnali elementarixk(n) nella (4.1) l’insieme numera-bile degli impulsi discreti traslati nel tempo, ovveroxk(n) = δ(n− k), conk ∈ Z, la rappresentazione(4.1) si scrive:

x(n) =+∞

∑k=−∞

αk xk(n) =+∞

∑k=−∞

αk δ(n− k) . (4.3)

Determinare i coefficientiαk della rappresentazione è semplice, se si osserva che gli impulsiδ(n−k)nella (4.3) non si sovrappongono nel tempo, e quindi l’ampiezza di ciascuno di essi deve coinciderenecessariamente con il campionex(k) della sequenza: in altri termini, si ha semplicementeαk = x(k).Pertanto la rappresentazione di unarbitrario segnale TDx(n) come sovrapposizione di impulsi è:

x(n) =+∞

∑k=−∞

x(k)δ(n− k) , (4.4)

che si può interpretare equivalentemente dicendo chex(k)δ(n−k) rappresenta il campione del segnalex(n) all’istanten = k. Notiamo peraltro che la (4.4) si può giustificare in maniera più formale ancheapplicando le prop. 2.3 dell’impulso discreto, ed in particolare la proprietà di campionamento (labanale verifica è lasciata al lettore).

Supponiamo allora che un segnalex(n), rappresentato mediante la (4.4), sia posto in ingresso ad unsistema TD LTI, e calcoliamo l’uscita sfruttando il principio di sovrapposizione, nonché l’invarianzatemporale del sistema. Possiamo scrivere simbolicamente:

y(n) = S[x(n)] = S

[+∞

∑k=−∞

x(k)δ(n− k)

]=

+∞

∑k=−∞

x(k)S[δ(n− k)] , (4.5)

dove abbiamo applicato il principio di sovrapposizione, esteso al caso di una infinità (numerabile) disegnali, ed abbiamo sfruttato il fatto che le quantitàx(k), non essendo dipendenti dal tempon, vannoriguardate come delle costanti (corrispondono in effetti alle costantiαk). Definiamo allora il segnale

h(n)= S[δ(n)], che rappresenta la risposta del sistema LTI all’impulsoδ(n) applicato al suo ingresso:

per la proprietà di invarianza temporale (si veda in particolare la caratterizzazione i-u dell’invarianzatemporale espressa dalla prop. 3.2) risulta conseguentemente che:

S[δ(n− k)] = h(n− k) , ∀k ∈ Z , (4.6)

cioè traslando l’impulso in ingresso dik campioni, il segnale di uscitah(n) trasla anch’esso dikcampioni. Pertanto, sostituendo la (4.6) nella (4.5), la relazione i-u del sistema LTI assume la forma

y(n) =+∞

∑k=−∞

x(k)h(n− k) =+∞

∑k=−∞

h(k)x(n− k) , (4.7)

dove la seconda espressione si può ottenere dalla prima con il semplice cambiamento di variabilen− k = k′ e ponendo poi nuovamentek in luogo dik′. Ribadiamo che per ricavare la (4.7) abbiamoutilizzatosia la proprietà di linearità [nella (4.5)],sia la proprietà di invarianza temporale [nella (4.6)].

La funzioneh(n) che compare nella (4.7) prende il nome dirisposta all’impulso o di risposta im-pulsiva del sistema LTI: essa rappresenta, come già detto, l’uscita del sistema quando viene applicatol’impulso δ(n) in ingresso. Si noti che, utilizzando la conoscenza della sola risposta impulsiva delsistema, la (4.7) consente di calcolare l’uscita di un sistema LTI in corrispondenza di unqualsiasiingressox(n). In questo senso, si dice che la risposta impulsiva è unarisposta canonica, poiché essacaratterizza (cioè descrive) completamente il sistema LTI. L’operazione matematica effettuata trax(n)ed h(n) nella (4.7) prende il nome diconvoluzione a TD, e sarà studiata più approfonditamente nel§ 4.3.


h(n)

n0 1 2

b0

b1

b2

b3

MM -13

bM-1

bM

....

(a)

h(n)

n0 1 2 3 4 5

1/6

(b)

Fig. 4.1. (a) Risposta impulsiva di un generico sistema MA. (b) Risposta impulsiva del sistema MA conM = 5e con pesibk = 1

6, ∀k ∈ 0,1, . . . ,5.

Esempio 4.1 (risposta impulsiva di un sistema MA)Si consideri il sistema MA già introdotto nell’es. 3.9,descritto dalla relazione i-u

y(n) =M

∑k=0

bk x(n− k) . (4.8)

Seguendo i procedimenti delineati negli esempi del capitolo precedente, è semplice provare che tale sistemaè sia lineare che tempo-invariante, e pertanto esso rappresenta un esempio di sistema LTI: per questo motivo,deve essere possibile esprimere la sua relazione i-u come una convoluzione (4.7). Infatti, dal confronto tra la(4.8) e la (4.7), si ha una perfetta corrispondenza se si definisce la risposta impulsiva del sistema come segue:

h(k) =

bk , k ∈ 0,1, . . . ,M ;

0, altrimenti,(4.9)

rappresentata graficamente in fig. 4.1(a) nel caso generale, e particolarizzata in fig. 4.1(b) al casoM = 5 ebk = 1

M+1 = 16, ∀k ∈ 0,1, . . . ,5. D’altra parte, osserviamo che utilizzando la definizione di risposta impulsiva

comeh(n) = S[δ(n)], si ha, ponendox(n) = δ(n) nella (4.8):

h(n) =M

∑k=0

bk δ(n− k) , (4.10)

espressione che fornisce gli stessi valori della (4.9). È interessante notare che la risposta impulsiva del sistemaMA è di durata finita, pari adM +1 campioni.

Prima di passare al caso TC, è utile mettere in luce una particolare interpretazione della (4.7). Insostanza, la (4.7) mostra che, per un datok ∈ Z, il campionex(k)δ(n− k) del segnale di ingressoall’istanten = k è “trasformato” dal sistema nel segnalex(k)h(n− k), conn ∈ Z; il segnale di uscitay(n) si ottiene sommando i singoli segnalix(k)h(n− k), per ognik ∈ Z. Questa interpretazione èchiarita in fig. 4.2, dove è calcolata graficamente la risposta del sistema MA dell’es. 4.1, avente larisposta impulsiva di fig. 4.1(b), al segnale di ingressox(n) = 1

3 R3(n). In questo caso il segnale diingresso è rappresentato dai suoi tre campionix(0)δ(n), x(1)δ(n−1) ex(2)δ(n−2) a cui il sistemafa corrispondere in uscita i tre segnalix(0)h(n), x(1)h(n−1) e x(2)h(n−2); il segnale di uscita siottiene sommando tali segnali, cioèy(n) = x(0)h(n)+ x(1)h(n−1)+ x(2)h(n−2).

Per estendere al caso TC il ragionamento sulla relazione i-u visto in precedenza, partiamo dallarappresentazione di un segnale a TC come sovrapposizione diimpulsi di Dirac:

x(t) =∫ +∞

−∞x(τ )δ(t− τ )dτ . (4.11)


h(n)

n0 1 2 3 4 5

1/6

x(n)

n0 1 2 3 4 5

x(0) δ(n)

n0 1 2 3 4 5

x(1) δ(n-1)

n0 1 2 3 4 5

x(2) δ(n-2)

n0 1 2 3 4 5

6 7 8

x(1) h(n-1)

n0 1 2 3 4 5 6 7 8

x(0) h(n)

n0 1 2 3 4 5 6 7 8

x(2) h(n-2)

n0 1 2 3 4 5 6 7 8

y(n) = x(0) h( n) + x(1) h( n-1) + x(2) h( n-2)

n0 1 2 3 4 5 6 7 8

1/3

1/18

1/18

1/18

1/18

1/9

1/6

Fig. 4.2. Calcolo dell’uscitay(n) di un sistema LTI come sovrapposizione delle risposte del sistema ai singolicampioni del segnale di ingressox(n).


Tale rappresentazione si può vedere come l’estensione della (4.4) al caso TC, dove la delta di Diracsostituisce quella discreta, e l’integrale prende il posto della sommatoria. In pratica mediante la (4.11)il segnalex(t) è rappresentato come sovrapposizione nelcontinuo (cioè, un integrale) di segnali ele-mentarix(τ )δ(t− τ )dτ , ovvero mediante degli impulsi di Dirac di area infinitesimax(τ )dτ , centratiin tutti i possibili istanti di tempoτ ∈ R. A differenza del caso TD, tuttavia, non è possibile dare unagiustificazione immediata della (4.11), ma la sua validità si può provare formalmente utilizzando laproprietà di campionamento dell’impulso di Dirac (cfr. prop. 2.2). Tuttavia, data l’analogia formaletra la (4.11) e la (4.4), seguendo passaggi matematici simili a quelli già visti per il caso TD, è possibileprovare che l’uscitay(t) del sistema LTI può essere espressa come:

y(t) =∫ +∞

−∞x(τ )h(t− τ )dτ =

∫ +∞

−∞h(τ )x(t− τ )dτ , (4.12)

dove la seconda uguaglianza si ottiene dalla prima ricorrendo al cambio di variabilet − τ = τ ′ e

utilizzando poi nuovamenteτ al posto diτ ′. Il segnaleh(t)= S[δ(t)] prende il nome dirisposta

impulsiva del sistema LTI, e rappresenta, come già visto nel caso TD, l’uscita del sistema quando vieneapplicato un impulsoδ(t) all’ingresso. L’operazione matematica trax(t) ed h(t) che compare nella(4.7) è simile a quella vista nel caso TD, e prende il nome diconvoluzione a TC; la sua interpretazionee le sue proprietà saranno approfondite nel § 4.3.

Una giustificazione immediata ed intuitiva della (4.12) si può fornire utilizzando l’interpretazionedella convoluzione per il caso TD data in precedenza (si veda anche la fig. 4.2). Precisamente, facendoun ragionamento concettualmente simile a quello fatto per il caso TD, possiamo pensare chex(τ )δ(t−τ )dτ rappresenti la componente del segnale di ingressox(t) nell’istante di tempot = τ ; se il sistemaè LTI, tale componente è “trasformata” dal sistema nel segnalex(τ )h(t− τ )dτ , cont ∈ R; il segnaledi uscitay(t) si ottiene sovrapponendo nel continuo (cioè, integrando) i segnalix(τ )h(t− τ )dτ , perogni τ ∈ R.

Notiamo inoltre che, formalmente, la (4.12) si basa su una definizione più generale di linearitàdi un sistema. Precisamente, supponiamo che un generico segnalex(t) si possa esprimere comesovrapposizione di una infinità continua di segnali elementarix(t;τ ), conτ ∈ R, ossia:

x(t) =∫ +∞

−∞α (τ )x(t;τ )dτ , (4.13)

doveα (τ )dτ rappresentano i coefficienti (infinitesimi) della sovrapposizione. Tale rappresentazionesi può vedere come l’estensione della (4.1), in cui i segnali elementari sono una infinità numerabi-le (la variabilek che parametrizza i segnali è discreta), al caso di una infinità continua di segnalielementari (la variabileτ che parametrizza i segnali è continua). La (4.13) racchiude come caso parti-colare la proprietà di campionamento dell’impulso di Dirac: infatti, dal confronto con la (4.11), seguecheα (τ ) = x(τ ) e x(t;τ ) = δ(t− τ ). La derivazione della (4.12) richiede la validità della seguenteuguaglianza:

y(t) = S[x(t)] =∫ +∞

−∞α (τ )S[x(t;τ )]dτ , (4.14)

secondo cui la rispostay(t) del sistema al segnale di ingressox(t) si può ottenere sovrapponendo nelcontinuo, con gli stessi coefficientiα (τ )dτ , le risposteS[x(t;τ )] del sistema ai segnali elementarix(t;τ ), per τ ∈ R. Così come il principio di sovrapposizione (3.23) per una infinità numerabile disegnali, anche la (4.14)non discende direttamente dalla prop. 3.3 e richiede delle condizioni matema-tiche aggiuntive per la sua validità. Nel seguito, senza perderci in complicate discussioni matematiche,assumeremo direttamente la (4.14) come definizione di principio di sovrapposizione per una infinitàcontinua di segnali.


Esempio 4.2 (risposta impulsiva di un integratore con memoria finita)Si consideri l’integratore con me-moria finita (cfr. es. 4.2), avente relazione i-u:

y(t) =∫ t

t−Tx(u)du , (4.15)

conT > 0. Si può facilmente verificare che tale sistema è sia lineare, sia invariante temporalmente, per cui èun sistema LTI. In maniera equivalente, si può mostrare che la (4.15) si può scrivere come una convoluzione:infatti, notiamo preliminarmente che, con il cambio di variabileτ = t−u→ u = t− τ , la (4.15) si può scriverecome:

y(t) =∫ T

0x(t− τ )dτ .

Successivamente, possiamo far comparire l’integrale tra−∞ e +∞ tipico della convoluzione a patto di mol-tiplicare la funzione integranda per una finestra rettangolare che assume il valore 1 nell’intervallo(0,T ), ecioè:

y(t) =∫ +∞

−∞rect

(τ −0.5T

T

)x(t− τ )dτ ,

da cui, per confronto con la (4.12), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è:

h(t) = rect

(t−0.5T

T

).

Come nell’es. 4.1, anche tale risposta impulsiva è di durata finita, pari aT e coincidente con la memoria delsistema.

Negli es. 4.1 e 4.2, abbiamo implicitamente mostrato una strada alternativa per dimostrare che undeterminato sistema è LTI: se infatti siamo in grado di provare che la relazione i-u del sistema sipuò esprimere nella forma (4.7) oppure (4.12), allora il sistema è necessariamente LTI, ed inoltre èautomaticamente determinata la sua risposta impulsivah(·). In altri termini, in maniera più formale, sipuò provare checondizione necessaria e sufficiente affinché un sistema sia LTI è che la sua relazionei-u sia una convoluzione:

Proprietà 4.1 (relazione i-u e risposta impulsiva di un sistema LTI)(a) Dato un sistema TCS con ingressox(t) ed uscitay(t), esso è un sistema LTI se e solo se è

descritto da una relazione i-u di convoluzione:

y(t) =∫ +∞

−∞x(τ )h(t− τ )dτ =

∫ +∞

−∞h(τ )x(t− τ )dτ , (4.16)

doveh(t) = S[δ(t)] è larisposta impulsiva del sistema.

(b) Dato un sistema TDS con ingressox(n) ed uscitay(n), esso è un sistema LTI se e solo se èdescritto da una relazione i-u di convoluzione:

y(n) =+∞

∑k=−∞

x(k)h(n− k) =+∞

∑k=−∞

h(k)x(n− k) , (4.17)

doveh(n) = S[δ(n)] è larisposta impulsiva del sistema.


4.3 Convoluzione

Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, la relazione i-u di un sistema LTI puòsempre essereespressa in termini diconvoluzione, descritta dalla (4.7) nel caso TD, oppure dalla (4.12) nel casoTC. La difficoltà maggiore è che, fatta eccezione per casi particolari, la convoluzione tra due segnali èun’operazione più complessa da interpretare (e da calcolare) rispetto alle operazioni elementari vistead esempio nel § 2.1. Cerchiamo allora di interpretare il meccanismo che sta alla base della convo-luzione, partendo dal caso TD per semplicità. Nel caso TD, la convoluzione si scrive esplicitamentecome:

y(n) =+∞

∑k=−∞

x(k)h(n− k) =+∞

∑k=−∞

h(k)x(n− k) . (4.18)

Le due espressioni riportate nella (4.18) sono del tutto equivalenti, e quindi l’ordine dei segnali èininfluente nel calcolo della convoluzione (proprietà commutativa della convoluzione, vedi anche il§ 4.3.1 seguente). Prendendo come riferimento la seconda delle (4.18), le operazioni da effettuare suisegnalix(n) e h(n) per calcolare la convoluzione sono schematicamente indicate di seguito:

Algoritmo per il calcolo della convoluzione a TD:

(1) Rappresentareh(k) e x(k) in funzione dik ∈ Z.

(2) Effettuare prima lariflessione del segnalex(k), costruendo il segnalez(k) = x(−k) e, suc-cessivamente, effettuare latraslazione del segnalez(k) verso destra sen > 0, e verso sinistrasen < 0, ottenendo così il segnalewn(k) = z(k−n) = x[−(k−n)] = x(n− k).

(3) Per ogni fissato valore din ∈ Z, il valore della convoluzioney(n) all’istante n si ottienemoltiplicando i campioni corrispondenti dei due segnalih(k) e wn(k) per tutti i valori dik ∈ Z, e sommando i risultati dei prodotti ottenuti.

Ovviamente, per la proprietà commutativa della convoluzione, è possibile scambiare nei passi (1)–(3)i ruoli di h(k) e x(k) senza modificare il risultato finale. Per capire meglio il meccanismo precedente-mente descritto, consideriamo il seguente esempio.

Esempio 4.3 (calcolo della convoluzione a TD)Consideriamo un sistema TD avente risposta impulsiva

h(n) = an u(n) ,

cona = 0, e calcoliamo la sua uscita quando esso è sollecitato in ingresso da un gradinox(n) = u(n). Seguendola procedura delineata precedentemente, rappresentiamoh(k) in funzione dik [fig. 4.3(a)], insieme conx(k)[fig. 4.3(b)] ed il segnale riflessoz(k) = x(−k) [fig. 4.3(c)]. Se non effettuiamo nessuna traslazione suz(k),possiamo ottenere direttamente il risultato della convoluzione pern = 0, effettuando i prodotti dei campionicorrispondenti dih(k) e z(k) e sommando i risultati; in particolare, si vede che solo i campioni dix(k) e z(k)perk = 0 danno contributo in questo caso, ed il risultato vale:

y(0) =+∞

∑k=−∞

h(k)z(k) = h(0)z(0) = 1.

Per calcolare gli altri valori della convoluzione, dobbiamo costruire il segnalewn(k) = z(k− n), che si ottieneda z(k) mediante traslazione din campioni. In particolare, si vede che pern < 0 [traslazione verso sinistra, siveda la fig. 4.3(d)], il segnalewn(k) non si sovrappone conh(k), per cui il risultato della convoluzione è nullo.Viceversa, sen > 0 [traslazione verso destra, si veda la fig. 4.3(e)], si nota che si ha sovrapposizione trah(k) e

4.3 Convoluzione 135

wn(k) su un numero finito di campioni, più precisamente, tale numero di campioni è pari adn+1. In particolare,è semplice considerare i casi pern = 1,2,3 e poi generalizzare il risultato ottenuto al caso din qualsiasi. Si ha:

y(1) =+∞

∑k=−∞

h(k)w1(k) = 1+a ;

y(2) =+∞

∑k=−∞

h(k)w2(k) = 1+a+a2 ;

y(3) =+∞

∑k=−∞

h(k)w3(k) = 1+a+a2 +a3 .

Per un generico valoren > 0, h(k) e wn(k) si sovrappongono perk ∈ 0,1, . . . ,n, per cui:

y(n) =+∞

∑k=−∞

h(k)wn(k) = 1+a+a2 +a3 + . . .+an =n

∑k=0

ak =1−an+1

1−a,

dove per ottenere l’ultima espressione si è utilizzata la formula seguente, valida per ognia ∈ C e perN2≥ N1:

N2

∑k=N1

ak =aN1−aN2+1

1−a.

In definitiva, il calcolo della convoluzione trah(n) = anu(n) e x(n) = u(n) restituisce il seguente segnale:

y(n) =

0, sen < 0 ;1−an+1

1−a, altrimenti.

Esso può essere espresso evidentemente come

y(n) =(

1−an+1

1−a

)u(n) ,

ed è rappresentato graficamente in fig. 4.3(f) nel caso in cui 0< a < 1. Si noti che, se|a| < 1, pern→ +∞ siha:

limn→+∞

y(n) =+∞

∑k=0

ak =1

1−a,

dove si è utilizzato il noto risultato sulla convergenza della serie geometrica.

L’esempio precedente evidenzia che l’interpretazione grafica èfondamentale per individuare corretta-mente gli estremieffettivi della sommatoria suk ∈Z che compare nella (4.7). In particolare, l’esempiomostra chiaramente che, sebbene la somma in (4.7) vada effettuata in principio su infiniti valori dik,in pratica essa può ridursi ad una somma finita di valori per ognin. Ovviamente esistono casi in cuiil numero di termini della somma è infinito, per alcuni valori din, oppure anche per tutti i valori din;in tal caso il calcolo della convoluzione richiede la determinazione della somma di una serie, che ingenerale potrebbe non convergere. Le condizioni per l’esistenza e la convergenza della convoluzionetra due segnali TD sono discusse in app. C.

Nel caso TC la convoluzione è definita mediante uno dei due integrali:

y(t) =∫ +∞

−∞x(τ )h(t− τ )dτ =

∫ +∞

−∞h(τ )x(t− τ )dτ . (4.19)

Anche in questo caso, per effettuare correttamente il calcolo della convoluzione, un comodo aiuto èfornito dalla rappresentazione grafica dei segnali coinvolti. Facendo riferimento per convenienza allaseconda delle (4.19), la sequenza di operazioni che bisogna effettuare sui segnali è analoga a quellaper il caso TD, vale a dire:


−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

h(k)

(a)

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

x(k)

(b)

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

z(k)

=x(

−k)

(c)

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

w−

5(k)=

x(−

5−k)

(d)

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

w5(k

)=x(

5−k)

(e)

−10 −5 0 5 10

0

1

2

3

4

5

6

n

y(n)

= h

(n)

∗ x(

n)

(f)

Fig. 4.3. Calcolo della convoluzione trah(n) = an u(n) (a = 0.8333) ex(n) = u(n) (es. 4.4): (a) rappresentazionedi h(k); (b) rappresentazione dix(k); (c) riflessione del segnalex(k); (d) traslazione verso sinistra diz(k)(n =−5); (e) traslazione verso destra diz(k) (n = 5); (f) risultato della convoluzione.


Algoritmo per il calcolo della convoluzione a TC:

(1) Rappresentareh(τ ) e x(τ ) in funzione diτ ∈ R.

(2) Effettuare prima lariflessione del segnalex(τ ), costruendo il segnalez(τ ) = x(−τ ) e, suc-cessivamente, effettuare latraslazione del segnalez(τ ) verso destra set > 0, e verso sinistraset < 0, ottenendo così il segnalewt(τ ) = z(τ − t) = x[−(τ − t)] = x(t− τ ).

(3) Per ogni fissato valore dit ∈ R, il valore della convoluzioney(t) all’istantet si ottiene mol-tiplicando tra loro i segnalih(τ ) e wt(τ ) per tutti i valori diτ ∈ R, ed effettuando l’integraledel prodotto.

L’esempio che segue chiarisce meglio i passi da seguire per il calcolo della convoluzione a TC.

Esempio 4.4 (calcolo della convoluzione tra due finestre rettangolari a TC)Consideriamo il segnale:

x(t) = rect

(t−0.5T1

T1

),

di durata∆x = T1, posto in ingresso al sistema LTI (cfr. es. 4.2) avente risposta impulsiva

h(t) = rect

(t−0.5T2

T2

),

di durata∆h = T2. Facciamo per comodità riferimento alla seconda delle (4.19), ed assumiamoT2 > T1. Perprima cosa, rappresentiamox(τ ) [fig. 4.4(a)] eh(τ ) [fig. 4.4(b)] in funzione diτ ∈ R; successivamente, effet-tuiamo la riflessione del segnalex(τ ) in modo da ottenere il segnalez(τ ) = x(−τ ) [fig. 4.4(c)]. Osserviamo poiche il prodotto trah(τ ) e z(τ ) ha area nulla, in quanto le due finestre rettangolari si sovrappongono solo su unpunto, per cui

y(0) =∫ +∞

−∞h(τ )z(τ )dτ = 0.

Traslando il segnalez(τ ) verso sinistra [fig. 4.4(d)], ovvero costruendo il segnalewt(τ ) = z(τ − t) = x(t− τ )pert < 0, le finestre non si sovrappongono affatto, per cui risultay(t)≡ 0 pert ≤ 0. Considerando invece valoripositivi di t, notiamo che pert > 0 le due finestreh(τ ) ewt(τ ) iniziano a sovrapporsi [fig. 4.4(e)]: in particolare,per 0< t < T1 le due finestreh(τ ) e wt(τ ) si sovrappongono sull’intervallo(0, t), per cui si ha:

y(t) =∫ t

0dτ = t , 0 < t < T1 .

PerT1≤ t < T2, invece, le due finestreh(τ ) e wt(τ ) si sovrappongono sull’intervallo(t−T1, t), per cui si ha:

y(t) =∫ t

t−T1

dτ = T1, T1≤ t < T2 .

PerT2≤ t < T2 +T1, le due finestreh(τ ) e wt(τ ) si sovrappongono sull’intervallo(t−T1,T2), per cui si ha:

y(t) =∫ T2

t−T1

dτ = T2 +T1− t, T2≤ t < T2 +T1 .

Infine, pert ≥ T2 + T1, le due finestreh(τ ) e wt(τ ) non si sovrappongono affatto, per cui si ha nuovamentey(t)≡ 0. Riassumendo, l’espressione del segnaley(t) è la seguente:

y(t) =

0, t ≤ 0 oppuret ≥ T2 +T1 ;

t, per 0< t < T1 ;

T1, perT1≤ t < T2 ;

T2 +T1− t, perT2≤ t < T2 +T1 .

(4.20)


Il segnaley(t) è unafinestra trapezoidale di durata rigorosamente limitata∆y = T1 + T2 = ∆x + ∆h, ed è rap-presentato graficamente in fig. 4.4(f). Si noti che seT1 > T2 si può procedere allo stesso modo, scambiandoil ruolo dei due segnali, data la proprietà commutativa della convoluzione: l’espressione del segnaley(t) perT1 > T2 si può ottenere allora scambiandoT1 conT2 nella (4.20). Nel caso particolareT1 = T2 = T , notiamo chel’intervallo di tempo(T1,T2) in cui il segnaley(t) è costante si riduce ad un punto, per cui si ottiene unafinestratriangolare (traslata) di durata∆y = 2T :

y(t) =

0, t < 0 oppuret ≥ 2T ;

t, per 0< t < T ;

2T − t, perT ≤ t < 2T ;

tale finestra si può esprimere in funzione della finestra triangolare elementare come

y(t) = TΛ(

t−TT

),

ed è rappresentata in fig. 4.5.

Quest’ultimo esempio mostra una proprietà generale della convoluzione tra segnali TC aventi dura-ta rigorosamente limitata; in particolare, se uno dei segnali ha durata∆1 e l’altro ha durata∆2, laconvoluzione dei due sarà di durata pari (al più) a∆1 +∆2. Tale proprietà può essere estesa con qual-che modifica anche al caso di segnali TD, e prende il nome diproprietà di durata della convoluzione(cfr. § 4.3.1). In conclusione, notiamo che, similmente alla somma di convoluzione, l’integrale di con-voluzione può non esistere finito. Le condizioni per l’esistenza e la convergenza della convoluzionetra due segnali TC sono discusse in app. C.

4.3.1 Proprietà della convoluzione

La principale differenza tra la convoluzione a TD (4.7) e quella a TC (4.12) è che la prima è definitamediante una sommatoria, mentre la seconda è definita mediante un integrale; tuttavia gli esempidel paragrafo precedente mostrano che le operazioni da effettuare sui segnali (riflessione, traslazione,prodotto, calcolo dell’area) sono molto simili nei due casi. Per questo motivo, nello studio delleproprietà della convoluzione, è conveniente (per quanto possibile) seguire una trattazione unificata peri casi TD e TC. A tale scopo, si introduce il simbolo∗ per denotare indifferentemente la convoluzionenel caso TC e TD; pertanto, nel seguito, la convoluzione tra i segnalix(·) edh(·) sarà indicata come

y(·) = x(·)∗h(·) .

Il simbolo utilizzato ricorda il prodotto: tale scelta non è casuale, in quanto si può verificare che laconvoluzione possiede, oltre a proprietà specifiche, tutte le proprietà algebriche del prodotto conven-zionale, come discusso di seguito. Per questo motivo, la convoluzione viene chiamata ancheprodottodi convoluzione.

Proprietà commutativa

Abbiamo già osservato che la convoluzione tra due segnali gode dellaproprietà commutativa:

x(·)∗h(·) = h(·)∗ x(·) .

Come mostrato in fig. 4.6, l’interpretazione di questa proprietà con riferimento ai sistemi LTI è che nelcalcolo dell’uscita di un sistema si può scambiare il segnale di ingresso con la risposta impulsiva, cioèi due schemi in fig. 4.6 sono equivalenti, nel senso cheya(·) ≡ yb(·). In altri termini,un sistema LTIcon risposta impulsiva h(·) sollecitato dall’ingresso x(·) presenta la stessa uscita di un sistema LTIcon risposta impulsiva x(·) sollecitato dall’ingresso h(·). Ovviamente questo scambio, se è possibiledal punto di vista matematico, non ha nessun senso dal punto di vista sistemistico.


0 T1

1

τ

x(τ)

(a)

0 T2

1

τ

h(τ)

(b)

0−T1

τ

z(τ)

=x(

−τ)

(c)

0tt−T1

τ

wt(τ

)=x(

t−τ)

(d)

0 tt−T1

τ

wt(τ

)=x(

t−τ)

(e)

T1

0 T1

T2

T1+T

2

t

y(t)

= h

(t)

∗ x(

t)

(f)

Fig. 4.4. Calcolo della convoluzione tra due finestre rettangolari TCx(t) e h(t) di durataT1 e T2 (es. 4.4): (a)rappresentazione dix(τ ); (b) rappresentazione dih(τ ); (c) riflessione del segnalex(τ ); (d) traslazione versosinistra diz(τ ) (t < 0); (e) traslazione verso destra diz(τ ) (t > 0); (f) risultatoy(t) della convoluzione.


T

0 T 2 T

t

y(t)

= h

(t)

∗ x(

t)

Fig. 4.5. Risultato della convoluzione tra due finestrerettangolari TC di uguale durataT . Il segnaley(t) sipuò esprimere comey(t) = TΛ

(t−T

T

).

x(.) h(.) ya(.)

(a)

h(.) x(.) yb(.)

(b)

Fig. 4.6. In virtù della proprietà commutativa del-la convoluzione, i due sistemi LTI in figura sonoequivalenti.

Proprietà associativa

Con semplici passaggi si dimostra che la convoluzione gode anche dellaproprietà associativa:

x(·)∗ [h1(·)∗h2(·)] = [x(·)∗h1(·)]∗h2(·) .

Va osservato che la proprietà associativa vale nell’ipotesi che abbiano senso tutte le convoluzioni ingioco. In tale ipotesi, la proprietà associativa ci consente di evidenziare alcune interessanti proprie-tà dei sistemi LTI. A tal fine, osserviamo innanzitutto che, come mostrato in fig. 4.7(a), l’espres-sioneya(·) = x(·) ∗ [h1(·) ∗ h2(·)] si può interpretare come l’uscita di ununico sistema LTI aven-te risposta impulsivah1(·) ∗ h2(·). Inoltre, come evidenziato in fig. 4.7(b), notiamo che calcolarel’espressioneyb(·) = [x(·) ∗ h1(·)] ∗ h2(·) seguendo l’ordine indicato dalle parentesi equivale a cal-colareprima l’uscita del sistema avente risposta impulsivah1(·), e successivamente considerare ilrisultato ottenuto come l’ingresso del sistema avente risposta impulsivah2(·) per calcolareyb(·): inaltri termini, yb(·) si può interpretare come l’uscita dellaserie o cascata dei due sistemi aventi ri-sposte impulsiveh1(·) e h2(·). In base a queste due interpretazioni, la proprietà associativa dellaconvoluzione consente di affermare chela serie di due sistemi LTI equivale ad un unico sistemaLTI avente risposta impulsiva hser(·) = h1(·) ∗ h2(·), cioè i due schemi in fig. 4.7(a) e fig. 4.7(b)sono equivalenti, nel senso cheya(·) ≡ yb(·). Per la proprietà commutativa, notiamo anche chehser(·) = h1(·) ∗ h2(·) = h2(·) ∗ h1(·), per cui il sistema LTI in fig. 4.7(a) è equivalente al sistemaLTI riportato in fig. 4.7(c), cioèya(·)≡ yc(·). A sua volta, per la proprietà associativa, il sistema LTIin fig. 4.7(c) è equivalente allo schema serie riportato in fig. 4.7(d), ossiayc(·)≡ yd(·). Conseguente-mente, i due schemi riportati in fig. 4.7(b) e fig. 4.7(d) sono equivalenti, nel senso cheyb(·) ≡ yd(·).In altre parole,il comportamento della serie di due sistemi LTI è indipendente dall’ordine di connes-sione: questa è una caratteristica molto importante dei sistemi LTI, in generale non posseduta da altrecategorie di sistemi (tale proprietà si può generalizzare alla serie dipiù di due sistemi LTI).

Proprietà distributiva

È semplice provare che la convoluzione gode dellaproprietà distributiva rispetto alla somma:

x(·)∗ [h1(·)+h2(·)] = x(·)∗h1(·)+ x(·)∗h2(·) .


x(.) h1(.) yb(.)h2(.)

(b)

x(.) ya(.)h1(.)∗ h2(.)

(a)

x(.) h2(.) yd(.)h1(.)

(d)

x(.) yc(.)h2(.)∗ h1(.)

(c)

Fig. 4.7. In virtù della proprietà commutativa e asso-ciativa della convoluzione, i quattro schemi in figurasono equivalenti.

x(.)

h1(.)

ya(.)

h2(.)

y1(.)

y2(.)

(a)

h1(.)+h2(.) yb(.)x(.)

(b)

Fig. 4.8. In virtù della proprietà distributiva dellaconvoluzione, i due schemi in figura sono equivalenti.

Anche qui per la validità della relazione devono avere senso tutte le convoluzioni in gioco. Simil-mente alla proprietà associativa, anche la proprietà distributiva consente di evidenziare una interes-sante proprietà dei sistemi LTI. A tale scopo, come mostrato in fig. 4.8(a), notiamo che l’espressioneya(·) = x(·)∗h1(·)+x(·)∗h2(·) rappresenta l’uscita delparallelo dei due sistemi aventi risposte impul-siveh1(·) eh2(·). D’altra parte, come mostrato in fig. 4.8(b), l’espressioneyb(·) = x(·)∗ [h1(·)+h2(·)]si può interpretare come l’uscita di ununico sistema LTI avente risposta impulsivah1(·)+ h2(·). Inbase a queste due interpretazioni, la proprietà distributiva della convoluzione consente di afferma-re cheil parallelo2 di due sistemi LTI equivale ad un unico sistema LTI avente risposta impulsivahpar(·) = h1(·) + h2(·), cioè i due schemi in fig. 4.8(a) e fig. 4.8(b) sono equivalenti, nel senso cheya(·)≡ yb(·).

Proprietà di esistenza dell’unità

Si può facilmente provare, utilizzando la definizione di convoluzione e la proprietà di campionamentodellaδ(·), valida formalmente sia nel caso TC sia in quello TD, che effettuare la convoluzione di unsegnalex(·) conδ(·) non ha nessun effetto sul segnale: in altri termini, vale la relazione:

x(·) = δ(·)∗ x(·) = x(·)∗δ(·) , (4.21)

2Con riferimento alle interconnessioni elementari tra sistemi introdotte nel capitolo precedente, resta non esplorata per ilmomento la connessione in retroazione tra sistemi LTI; in effetti, tale connessione non può essere studiata elementarmentenel dominio del tempo, mentre vedremo che lo studio è assai più agevole ragionando nel dominio della frequenza.


x(.) δ(.) x(.)

Fig. 4.9. In un sistema identico, il segna-le di uscita coincide con il segnale di in-gresso: si tratta di un sistema LTI aventerisposta impulsivah(·) = δ(·).

x(n) z ya(n)h(n-n1)

x(n) yb(n)

(a)

(b)

h(n)

-n2

-(n1+n2)z

x(n-n2)

y(n)

Fig. 4.10. In virtù della proprietà di invarianza temporale (4.25)della convoluzione, i due schemi in figura sono equivalenti.

dove l’uguaglianza tra le due espressioni deriva ovviamente dalla proprietà commutativa della convo-luzione. Dal punto di vista matematico, abbiamo già osservato che la convoluzione possiede proprietàformali analoghe a quelle del prodotto algebrico: per questo motivo, la (4.21) ammette l’interpretazio-ne secondo la quale laδ(·) è l’elemento unitario per la convoluzione, ovvero gioca un ruolo analogoa quello dell’unità nel prodotto (moltiplicare un numero per 1 non altera il numero stesso).3 Dal pun-to di vista dell’interpretazione sistemistica, notiamo che la (4.21) rappresenta la relazione i-u di unsistema LTI per il quale l’uscita è sempre coincidente con l’ingresso. Tale sistema prende il nome disistema identico, e per la (4.21) è caratterizzato dalla risposta impulsivah(·) = δ(·) (fig. 4.9).

Proprietà di invarianza temporale

Ricordiamo la formulazione i-u della proprietà di invarianza temporale (prop. 3.2), secondo la quale,per sistemi a TC e a TD, per ognix(·) ∈ I e y(·) ∈ U, si ha, rispettivamente,

x(t− t0) −→ y(t− t0) , ∀t0 ∈ R ,

x(n−n0) −→ y(n−n0) , ∀n0 ∈ Z .

Nel caso di un sistema LTI, esprimendo la relazione i-u del sistema mediante una convoluzione, lerelazioni precedenti si scrivono esplicitamente come

x(t− t0)∗h(t) = y(t− t0) , ∀t0 ∈ R , (4.22)

x(n−n0)∗h(n) = y(n−n0) , ∀n0 ∈ Z , (4.23)

che vanno sotto il nome diproprietà di invarianza temporale della convoluzione. Le (4.22) e (4.23)dovrebbero indurre il lettore a prestare molta attenzione al significatoformale della notazione sinteticay(·) = x(·)∗h(·); infatti, se per calcolarey(t− t0), ad esempio, si procedesse con una semplice sosti-tuzione formalet− t0→ t nell’espressioney(t) = x(t)∗h(t), si giungerebbe, invece che alla (4.22), alrisultatoscorretto y(t− t0) = x(t− t0)∗h(t− t0). Per giustificare invece la correttezza della (4.22) [undiscorso analogo vale per la (4.23)] è sufficiente partire dalla definizione di convoluzione a TC:

y(t) =∫ +∞

−∞h(τ )x(t− τ )dτ ,

3Si noti inoltre che, esplicitando la convoluzione (4.21), è possibile riottenere la (4.4) nel caso TD e la (4.11) nel casoTC, rispettivamente.


ed effettuare in quest’ultima la sostituzione formalet− t0→ t, scrivendo

y(t− t0) =∫ +∞

−∞h(τ )x(t− t0− τ )dτ = h(t)∗ x(t− t0) .

Notiamo che per la proprietà commutativa della convoluzione, si può anche scrivere:

h(t− t0)∗ x(t) = y(t− t0) , ∀t0 ∈ R , (4.24)

h(n−n0)∗ x(n) = y(n−n0) , ∀n0 ∈ Z , (4.25)

secondo le quali una traslazione dit0 o n0 del segnale di uscita si può ottenere equivalentemente tra-slando della stessa quantità il segnale di ingressooppure la risposta impulsiva. Le (4.22)–(4.25) pos-sono essere applicate anche contemporaneamente, con ritardi diversi, ed in questo caso evidentementegli effetti delle traslazioni temporali si sommano:

h(t− t1)∗ x(t− t2) = y[t− (t1 + t2)] , ∀t1, t2 ∈ R , (4.26)

h(n−n1)∗ x(n−n2) = y[n− (n1 +n2)] , ∀n1,n2 ∈ Z . (4.27)

Notiamo che le (4.26) e (4.27) rappresentano una forma più generale della proprietà di invarianzatemporale, in quanto includono come casi particolari le (4.22)–(4.25). Tali relazioni hanno una chiarainterpretazione sistemistica che è riportata in fig. 4.10 con riferimento al caso TD: l’uscita del sistemaLTI avente risposta impulsivah(n− n1), quando al suo ingresso è posto il segnalex(n− n2), si puòottenere, equivalentemente, applicando prima il segnalex(n) in ingresso al sistema LTI avente rispostaimpulsivah(n) e, poi, traslando nel tempo il segnale ottenuto din1 +n2. In altre parole, i due schemiin fig. 4.10(a) e fig. 4.10(b) sono equivalenti, nel senso cheya(·)≡ yb(·). Esempio 4.5 (convoluzione tra due finestre rettangolari a TC, caso simmetrico)Nell’es. 4.4 abbiamo ri-cavato (nel casoT1 = T2 = T ) la seguente relazione notevole, che lega finestre rettangolari e triangolari mediantela convoluzione:

rect

(t−0.5T

T

)∗ rect

(t−0.5T

T

)= TΛ

(t−T

T

).

Se si vuole ricavare la convoluzione tra due finestre rettangolari elementari (di durata unitaria) centrate nell’o-rigine, basta prima particolarizzare la relazione precedente al casoT = 1:

rect(t−0.5)∗ rect(t−0.5) = Λ(t−1) ,

e successivamente applicare la proprietà di invarianza temporale nella forma generalizzata (4.26). Postoh(t) =x(t) = rect(t−0.5) si avrà evidentemente che rect(t) = h(t +0.5) = x(t +0.5), per cui per ottenere il risultatocorretto della convoluzione rect(t) ∗ rect(t) basterà applicare un anticipo di 0.5+ 0.5 = 1 a Λ(t − 1), il cheovviamente restituisceΛ(t). Si ha allora, in definitiva, la seguente relazione notevole:

rect(t)∗ rect(t) = Λ(t) , (4.28)

che troverà applicazione nel seguito.

Proprietà di convoluzione con l’impulso

Applicando le proprietà (4.22)–(4.25) alla (4.21), possiamo ottenere una interessante generalizzazionedella proprietà di esistenza dell’unità:

x(t− t0) = x(t)∗δ(t− t0) = δ(t− t0)∗ x(t) , ∀t0 ∈ R , (4.29)

x(n−n0) = x(n)∗δ(n−n0) = δ(n−n0)∗ x(n) , ∀n0 ∈ Z . (4.30)


Queste relazioni mostrano che la convoluzione di un segnale con un impulso centrato int0 oppuren0 equivale ad una traslazione temporale della stessa quantità del segnale. Questo risultato confermache, nel caso TC, il sistemay(t) = x(t− t0), che effettua la traslazione temporale di un segnale, è unsistema LTI avente risposta impulsivah(t) = δ(t− t0); una interpretazione equivalente vale nel casoTD, dove la risposta impulsiva di un sistema che effettua la traslazione temporale èh(n) = δ(n−n0).

Proprietà di durata della convoluzione

Con riferimento alle due finestre rettangolari, dall’es. 4.4 si ricava che la convoluzione di due segnaliTC di durata rigorosamente limitata è ancora un segnale di durata rigorosamente limitata. Questorisultato è valido in generale. Infatti, supponiamo che il segnalex(t) abbia estensione temporalelimitata Dx = (t1, t2), con t2 > t1; la misura dell’intervalloDx definisce la durata del segnalex(t),che in questo caso è data da∆x = t2− t1. Similmente, supponiamo che anche la risposta impulsivadel sistema abbia estensione temporale limitataDh = (t3, t4), cont4 > t3; la misura dell’intervalloDh

definisce la durata della risposta impulsivah(t), che in questo caso è data da∆h = t4− t3.Con riferimento all’algoritmo di calcolo della convoluzione a TC, a seguito della riflessione, l’e-

stensione temporale del segnalez(τ ) = x(−τ ) sarà data dall’intervalloDz = (−t2,−t1) e, come con-seguenza della traslazione temporale dit, l’estensione temporale del segnalewt(τ ) = z(τ − t) saràDwt = (t − t2, t − t1). Questo significa che il prodottoh(τ )wt(τ ) sarà identicamente nullo per ogniτ ∈R non appartenente all’intersezioneDh∩Dwt dei due intervalliDh edDwt . Pertanto, l’integrale diconvoluzione trax(t) e h(t) si riduce al seguente integrale:

y(t) =∫

Dh∩Dwt

h(τ )wt(τ )dτ ,

in cui la variabile di integrazioneτ varia nell’intervalloDh∩Dwt . A questo punto il risultato di taleintegrale è nullo per tutti i valori dit ∈ R per i quali l’intersezione tra i due intervalliDh ed Dwt èvuota, cioèDh∩Dwt = ∅. Ricordando cheDh = (t3, t4) eDwt = (t− t2, t− t1), ciò accade sicuramentein due casi: quandot− t1 < t3, ovverot < t1 + t3, oppure quandot− t2 > t4, ovverot > t2 + t4. Indefinitiva, risulta che

y(t)≡ 0, ∀t ∈ (t1 + t3, t2 + t4) , (4.31)

per cuiDy ⊆ (t1 + t3, t2 + t4), e quindiy(t) ha durata rigorosamente limitata. Inoltre, la sua durata èpari alla misura diDy, per la quale vale la disuguaglianza

∆y ≤ (t2 + t4)− (t1 + t3) = (t2− t1)+(t4− t3) = ∆x +∆h .

In altre parole,se i due segnali x(t) e h(t) hanno estensioni temporali limitate, ovvero durate finite∆x ∈ R+ e ∆h ∈ R+, rispettivamente, allora la loro convoluzione y(t) è ancora un segnale aventeestensione limitata, la cui durata ∆y è al più4 pari alla somma delle durate dei due segnali sottopostialla convoluzione, cioè ∆y≤∆x +∆h. È interessante osservare dalla (4.31) che, se il segnale di ingressox(t) e la risposta impulsiva del sistemah(t) si annullano identicamente pert < 0, ossia,t1 = t3 = 0,allora anche il segnale di uscita è identicamente nullo pert < 0. Si osservi inoltre che la (4.31) è validaanche quando il segnale di ingresso (o la risposta impulsiva) ha estensione non limitata. Ad esempio,se l’estensione del segnale di ingresso è non limitata superiormente, cioè,t2 = +∞, dalla (4.31) segueche l’estensione del segnale di uscita risulterà anch’essa non limitata superiormente.

4Il segnaley(t) potrebbe annullarsi identicamente anche in un sottoinsieme dell’intervallo(t1 + t3, t2 + t4) (si noti chequesto non è il caso dell’es. 4.4); per cui, possiamo dire in generale che∆x +∆h è lamassima durata del segnale y(t).


Si può dimostrare che una proprietà analoga vale per il caso TD:se i due segnali x(n) e h(n)hanno estensioni temporali limitate, ovvero durate finite ∆x ∈ N e ∆h ∈ N, rispettivamente, allora laloro convoluzione y(n) è ancora un segnale avente estensione limitata, la cui durata ∆y è al più paria ∆x +∆h−1, cioè ∆y ≤ ∆x +∆h−1 (si noti la piccola differenza tra il caso TC ed il caso TD, legataalla sottrazione di 1). Questa proprietà è meglio evidenziata dal seguente esempio.

Esempio 4.6 (calcolo della convoluzione tra due finestre rettangolari a TD)Consideriamo il segnale

x(n) = RN1(n) ,

di durata∆x = N1, in ingresso al sistema di risposta impulsiva

h(n) = RN2(n) ,

avente durata∆h = N2, ed assumiamo cheN2 ≥ N1. Per prima cosa, rappresentiamox(k) [fig. 4.11(a)] eh(k)[fig. 4.11(b)] in funzione dik ∈ Z; successivamente, effettuiamo la riflessione del segnalex(k) in modo daottenere il segnalez(k) = x(−k) [fig. 4.11(c)]. Se non effettuiamo nessuna traslazione suz(k), possiamo otteneredirettamente il risultato della convoluzione pern = 0, effettuando i prodotti dei campioni corrispondenti dih(k)e z(k) e sommando i risultati; in particolare, si vede che solo i campioni perk = 0 danno contributo in questocaso, ed il risultato vale:

y(0) =+∞

∑k=−∞

h(k)z(k) = h(0)z(0) = 1.

Per calcolare gli altri valori della convoluzione, dobbiamo costruire il segnalewn(k) = z(k− n), che si ottieneda z(k) mediante traslazione din campioni. In particolare, si vede che pern < 0 [traslazione verso sinistra,si veda la fig. 4.11(d)], il segnalewn(k) non si sovrappone conh(k), per cui il risultato della convoluzione ènullo. Viceversa, per taluni valori din > 0 [traslazione verso destra, si veda la fig. 4.11(e)], si nota che si hasovrapposizione trah(k) e wn(k) su un numero finito di campioni. In particolare, per 0≤ n < N1−1 le duefinestreh(k) e wn(k) si sovrappongono perk ∈ 0,1, . . . ,n, per cui si ha:

y(n) =n

∑k=0

1 = n+1, 0≤ n < N1−1.

PerN1−1≤ n < N2−1, invece, le due finestreh(k) e wn(k) si sovrappongono perk ∈ n−N1 + 1,n−N1 +2, . . . ,n , per cui si ha:

y(n) =n

∑k=n−N1+1

1 = N1, N1−1≤ n < N2−1.

PerN2− 1≤ n ≤ N2 + N1− 2, le due finestreh(k) e wn(k) si sovrappongono perk ∈ n−N1 + 1,n−N1 +2, . . . ,N2−1 per cui si ha:

y(n) =N2−1

∑k=n−N1+1

1 = N2 +N1−n−1, N2−1≤ n≤ N2 +N1−2.

Infine, pern > N2 + N1− 2, le due finestreh(k) e wn(k) non si sovrappongono, per cui si hay(n) ≡ 0.Riassumendo, l’espressione del segnaley(n) è la seguente:

y(n) =

0, n < 0 oppuren > N2 +N1−2 ;

n+1, per 0≤ n < N1−1 ;

N1, perN1−1≤ n < N2−1 ;

N2 +N1−n−1, perN2−1≤ n≤ N2 +N1−2.

(4.32)


Il segnaley(n) è unafinestra trapezoidale di durata∆y = N1 +N2−1 = ∆x +∆h−1, ed è rappresentato grafica-mente in fig. 4.11(f). Nel caso particolareN1 = N2 = N, notiamo che l’intervallo di valori in cui il segnaley(n)è costante si riduce ad un punto, per cui si ottiene unafinestra triangolare [fig. 4.12]:

y(n) =

0, n < 0 oppuren > 2N−2 ;

n+1, per 0≤ n < N−1 ;

2N−n−1, perN−1≤ n≤ 2N−2 ;

la cui durata è pari ad∆y = 2N − 1. Tale finestra si può esprimere in funzione della finestra triangolareelementare a TD o finestra di Bartlett (la verifica è lasciata al lettore) introducendo un anticipo di un campione:

y(n) = NB2N(n+1) .

Si ha allora la seguente relazione notevole tra finestre elementari a TD (rettangolari e triangolari), controparte aTD della (4.28):

RN(n)∗RN(n) = NB2N(n+1) . (4.33)

Anche questa relazione, come la (4.28), troverà applicazione nel seguito.


−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

x(k)

(a)

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

h(k)

(b)

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

z(k)

=x(

−k)

(c)

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

w−

2(k)=

x(−

2−k)

(d)

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

w2(k

)=x(

2−k)

(e)

−10 −5 0 5 10

0

1

2

3

4

n

y(n)

= h

(n)

∗ x(

n)

(f)

Fig. 4.11.Calcolo della convoluzione tra due finestre rettangolari TD di durataN1 = 4 edN2 = 6 (es. 4.6): (a)rappresentazione dih(k); (b) rappresentazione dix(k); (c) riflessione del segnalex(k); (d) traslazione versosinistra diz(k) (n =−2); (e) traslazione verso destra diz(k) (n = 2); (f) risultato della convoluzione.


Riepilogo delle proprietà della convoluzione

Per comodità del lettore, le proprietà della convoluzione precedentemente introdotte e discusse sonosinteticamente riassunte di seguito:

Proprietà 4.2 (proprietà della convoluzione)

(a) Proprietà commutativa:

x(·)∗h(·) = h(·)∗ x(·) .

(b) Proprietà associativa:

x(·)∗ [h1(·)∗h2(·)] = [x(·)∗h1(·)]∗h2(·) .

(c) Proprietà distributiva:

x(·)∗ [h1(·)+h2(·)] = x(·)∗h1(·)+ x(·)∗h2(·) .

(d) Proprietà di esistenza dell’unità:

x(·) = x(·)∗δ(·) = δ(·)∗ x(·) .

(e) Proprietà di invarianza temporale:

h(·)∗x(·) = y(·) =⇒

h(t− t1)∗ x(t− t2) = y[t− (t1 + t2)] , ∀t1 ∈ R,∀t2 ∈ R ;

h(n−n1)∗ x(n−n2) = y[n− (n1 +n2)] , ∀n1 ∈ Z,∀n2 ∈ Z .

(f) Proprietà di convoluzione con l’impulso:

x(t− t0) = x(t)∗δ(t− t0) = δ(t− t0)∗ x(t) , ∀t0 ∈ R ;

x(n−n0) = x(n)∗δ(n−n0) = δ(n−n0)∗ x(n) , ∀n0 ∈ Z .

(g) Proprietà di durata della convoluzione:

Sianox(t) e h(t) di durata rigorosamente limitata, con durate∆x,∆h ∈ R+ =⇒ y(t) = x(t)∗h(t) è di durata rigorosamente limitata, con durata∆y ≤ ∆x +∆h.Sianox(n) e h(n) di durata rigorosamente limitata, con durate∆x,∆h ∈ N =⇒ y(n) = x(n)∗h(n) è di durata rigorosamente limitata, con durata∆y ≤ ∆x +∆h−1.

4.4 Risposta al gradino

L’impulso di Dirac è un segnale ideale, non realizzabile in pratica, per cui è impossibile determinaresperimentalmente la risposta impulsiva di un sistema TC, come suggerito dalla definizione, applican-do un impulso al suo ingresso. D’altra parte, anche il gradino è un segnale ideale, in quanto presentauna discontinuità brusca; tuttavia in laboratorio è più semplice da approssimare mediante un segnale

4.4 Risposta al gradino 149

−10 −5 0 5 10

0

1

2

3

4

n

y(n)

= h

(n)

∗ x(

n)

Fig. 4.12.Risultato della convoluzione tra due fine-stre rettangolari TD di durataN = 4. Il segnaley(n)si può esprimere comey(n) = 4B8(n+1).

con un tempo di salita molto stretto, come ad esempio il segnale uε(t) di fig. 2.11(a). Questa conside-razione spinge ad introdurre larisposta al gradino o risposta indiciale di un sistema LTI (TC oppureTD), definita come l’uscitas(·) del sistema LTI corrispondente ad un gradino u(·) in ingresso. Nelcaso TD, in particolare, sfruttando la relazione i-u (4.7) di un sistema TD LTI, la risposta al gradinosi può scrivere esplicitamente come:

s(n) = h(n)∗u(n) =+∞

∑k=−∞

h(k)u(n− k) =n

∑k=−∞

h(k) , (4.34)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(n− k) ≡ 0 per n− k < 0 e quindi pern < k. Un’interpretazione alternativa della precedente relazione si basa sulla proprietà commutativadella convoluzione, secondo la quales(n) si può interpretare come l’uscita di un sistema accumulatore(cfr. es. 3.2) avente risposta impulsiva u(n) sollecitato in ingresso dah(n). In altri termini, per ottenerela risposta al gradino a partire dalla risposta impulsiva, è sufficiente far passare quest’ultima in unsistema accumulatore. Notando che la (4.34) si può anche scrivere in forma ricorsiva come

s(n) = s(n−1)+h(n) ,

allora si ha:

h(n) = s(n)− s(n−1)= ∇ 1[s(n)] , (4.35)

e quindi la risposta impulsiva si può ottenere effettuando ladifferenza prima della risposta al gradino.In definitiva, le relazioni (4.34) e (4.35) mostrano che risposta impulsiva e risposta al gradino sonolegate da una relazionebiunivoca: per questo motivo, non solo la risposta impulsiva, ma anche larisposta al gradino caratterizza completamente un sistema LTI, ovvero è anch’essa una rispostacano-nica. In particolare, la risposta al gradino consente di calcolare immediatamente la rispostarN(n) delsistema ad una finestra rettangolare di durataN. Infatti, basta ricordare che una finestra rettangolaresi può esprimere mediante differenza di due gradini:

RN(n) = u(n)−u(n−N) ,


da cui sfruttando le proprietà di linearità e di invarianza temporale del sistema, si ottiene:

rN(n)= S[RN(n)] = s(n)− s(n−N) ,

ossia la risposta di un sistema LTI alla finestra rettangolareRN(n) si ottiene semplicemente calcolandola differenza tra la risposta al gradino e la sua versione ritardata nel tempo diN.

Nel caso TC valgono considerazioni analoghe. Infatti la risposta al gradinos(t), utilizzando la(4.12), si può scrivere esplicitamente come

s(t) = h(t)∗u(t) =∫ +∞

−∞h(τ )u(t− τ )dτ =

∫ t

−∞h(τ )dτ , (4.36)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(t− τ )≡ 0 pert− τ < 0 e quindi pert < τ .Dalla (4.36), derivando ambo i membri ed applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale,si ottiene

h(t) =ddt

s(t) (4.37)

Le (4.36) ed (4.37) legano biunivocamente risposta al gradino e risposta impulsiva nel caso TC, emostrano che anche nel caso TC la risposta al gradino è una risposta canonica, in quanto caratterizzacompletamente il sistema. In particolare, mediante la risposta al gradino è semplice calcolare larispostarT (t) alla finestra rettangolare centrata nell’origine di durataT , in quanto quest’ultima si puòesprimere come

rect( t

T

)= u(t +T/2)−u(t−T/2) .

Pertanto, adoperando le proprietà di linearità e di invarianza temporale del sistema, si ha

rT (t)= S

[rect

( tT

)]= s(t +T/2)− s(t−T/2) .

Nel caso TC, la risposta alla finestra rettangolare consente di ricavareapprossimativamente per viasperimentale la risposta impulsiva di un sistema LTI. Infatti, come già detto in precedenza, il calcolosperimentale della risposta impulsiva richiede la realizzazione in laboratorio di un impulso di Diracda applicare in ingresso al sistema: l’impulso di Dirac è un segnale non riproducibile esattamente inpratica, trattandosi di una pura astrazione matematica (cfr. § 2.1.4). Tuttavia, abbiamo visto [si veda la(2.6) in particolare] che l’impulso di Dirac si può ottenere come il limite (nel senso delle distribuzioni)perε → 0 della successione di segnali (ordinari)δε(t), raffigurati in fig. 2.11(b), aventi area unitaria.Ciò suggerisce che una buona approssimazione della risposta impulsiva di un sistema TC LTI si puòottenere osservando la sua uscitahε(t) quando in ingresso è posto il segnale

δε(t) =12ε

rect( t

2ε

),

conε sufficientemente piccolo. Per la linearità del sistema, tale uscita è data da:

hε(t)= S[δε(t)] =

12ε

r2ε(t) =12ε

[s(t + ε)− s(t− ε)] . (4.38)

Seε è sufficientemente piccolo5 il segnalehε(t) rappresenta una buona approssimazione della rispostaimpulsiva del sistema, cioèhε(t)≈ h(t) (notiamo che perε→ 0 il secondo membro della (4.38) tende

5Non esiste una regola generale per stabilire quantoε debba essere piccolo affinchèhε(t) sia una buona approssimazionedi h(t); un valore appropriato diε dipende dalla struttura interna del sistema e, dunque, varia da sistema a sistema.


alla derivata della risposta al gradino, che per la (4.37) è esattamente la risposta impulsiva, per cuil’approssimazione vista corrisponde a confondere la derivata con il rapporto incrementale).

I legami tra risposta impulsiva e risposta al gradino nel caso TC e TD sono schematicamenteriassunti di seguito:

Proprietà 4.3 (legami tra risposta al gradino e risposta impulsiva)(a) Nel caso TC, la risposta al gradinos(t) e la risposta impulsivah(t) di un sistema LTI sono

legate dalla relazione biunivoca:

s(t) =∫ t

−∞h(τ )dτ ←→ h(t) =

ddt

s(t) .

(b) Nel caso TD, la risposta al gradinos(n) e la risposta impulsivah(n) di un sistema LTI sonolegate dalla relazione biunivoca:

s(n) =n

∑k=−∞

h(k) ←→ h(n) = ∇ 1[s(n)] = s(n)− s(n−1) .

Di seguito sono riportati alcuni esempi di calcolo della risposta impulsiva e della risposta al gradinosia nel caso di sistemi TC che nel caso di sistemi TD.

Esempio 4.7 (risposta impulsiva e risposta al gradino di un integratore)Si consideri l’integratore aven-te memoria infinita (cfr. es. 3.1), descritto dalla relazione i-u:

y(t) =∫ t

−∞x(u)du . (4.39)

Abbiamo già mostrato che tale sistema è TI (cfr. es. 3.18) e si può facilmente verificare che tale sistema è anchelineare, per cui l’integratore (4.39) è un sistema LTI. In maniera equivalente, si può mostrare che la (4.39) sipuò scrivere come una convoluzione:

y(t) =∫ t

−∞x(u)du =

∫ +∞

−∞x(τ )u(t− τ )dτ , (4.40)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(t − τ ) ≡ 0 per t − τ < 0 e quindi perτ > t.Confrontando la (4.40) con la (4.12), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è:

h(t) = u(t) ,

ossia la risposta impulsiva del sistema integratore è proprio il gradino unitario [fig. 4.13(a)]. Conseguentemente,in virtù della (4.36), la risposta al gradino del sistema integratore è data dal seguente integrale:

s(t) =∫ t

−∞u(τ )dτ ,

il cui valore è (cfr. es. 3.24):

s(t) = t u(t) ,

si tratta cioè di una rampa, identicamente nulla pert < 0, che cresce linearmente pert > 0 [fig. 4.13(b)].Utilizzando la (4.38), in fig. 4.13(c) è riportata la rispostahε(t) del sistema alla finestra rettangolareδε(t). Sipuò notare che, perε→ 0, il segnalehε(t) tende proprio alla risposta impulsiva del sistema. In pratica, possiamodire che, seε 1, il segnale in fig. 4.13(c) rappresenta una buona approssimazione della risposta impulsiva delsistema.


1

t

h(t)

(a)

−1 0 1 2 3

0

1

2

3

t

s(t)

(b)

−1 0 1 2 3

0

1

−ε ε

t

h ε(t)

(c)

Fig. 4.13. Integratore con memoria infinita (es. 4.7): (a) risposta impulsiva; (b) risposta al gradino; (c) la ri-spostahε(t) alla finestra rettangolareδε(t) = 1

2ε rect(

t2ε)

è una buona approssimazione della risposta impulsivaperε 1.

Esempio 4.8 (risposta impulsiva e risposta dell’integratore TD o accumulatore)Si consideri l’integrato-re TD o accumulatore (cfr. es. 3.2), avente relazione i-u:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) . (4.41)

Si può facilmente verificare che l’integratore TD è un sistema LTI. In maniera equivalente, si può mostrare chela (4.41) si può scrivere come una convoluzione:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) =+∞

∑k=−∞

x(k)u(n− k) , (4.42)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(n−k)≡ 0 pern−k < 0 ovvero perk > n. Confron-tando la (4.42) con la (4.7), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è:

h(n) = u(n) ,


−4 −2 0 2 4 6 8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

h(n)

(a)

−4 −2 0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

10

n

s(n)

(b)

Fig. 4.14. Integratore a TD o accumulatore (es. 4.8): (a) risposta impulsiva; (b) risposta al gradino.

ossia la risposta impulsiva del sistema integratore TD è proprio il gradino unitario [fig. 4.14(a)]. Conseguente-mente, in virtù della (4.34). la risposta al gradino del sistema integratore TD è data da:

s(n) =n

∑k=−∞

u(k) =

0, sen < 0 ;

n+1, sen≥ 0 ;

che possiamo scrivere in maniera più compatta come segue:

s(n) = (n+1)u(n) ,

si tratta cioè di una rampa a TD [fig. 4.14(b)].

Esempio 4.9 (risposta al gradino di un integratore con memoria finita)Si consideri l’integratore con me-moria finita (cfr. es. 4.2), avente relazione i-u:

y(t) =∫ t

t−Tx(u)du , (4.43)

la cui risposta impulsiva è una finestra rettangolare di durataT centrata int = T/2, ossia:

h(t) = rect

(t−0.5T

T

),

che è riportata in fig. 4.15(a). In virtù della (4.36), la risposta al gradino di tale sistema è il risultato del seguenteintegrale:

s(t) =∫ t

−∞rect

(τ −0.5T

T

)dτ ,

in cui l’estremo superiore di integrazionet varia inR. Risolvendo l’integrale si ottiene:

s(t) =

0, set < 0 ;∫ t

0dτ = t , se 0≤ t < T ;

∫ T

0dτ = T , set ≥ T .


T

1

t

h(t)

(a)

T

T

t

s(t)

(b)

T+εT−ε

1

−ε ε

t

h ε(t)

(c)

Fig. 4.15. Integratore con memoria finita (es. 4.9): (a) risposta impulsiva; (b) risposta al gradino; (c) la rispostahε(t) alla finestra rettangolareδε(t) = 1

2ε rect(

t2ε)

è una buona approssimazione della risposta impulsiva perε T .

che possiamo esprimere in maniera più compatta nel seguente modo:

s(t) = t rect

(t−0.5T

T

)+T u(t−T ) ,

si tratta di una funzione identicamente nulla pert < 0, che cresce linearmente nell’intervallo(0,T ) fino araggiungere pert = T il valore T che mantiene costantemente fino all’infinito [fig. 4.15(b)]. Utilizzando la(4.38), in fig. 4.15(c) è riportata la rispostahε(t) del sistema alla finestra rettangolareδε(t) di durata 2ε < T .Si può notare che, perε → 0, il segnalehε(t) tende ancora alla risposta impulsivah(t) del sistema. In pratica,possiamo dire che, seε T , il segnale in fig. 4.13(c) rappresenta una buona approssimazione della rispostaimpulsiva del sistema. In altre parole, se la durata della finestra rettangolare di ingresso è molto piccola rispettoalla memoriaT del sistema, il sistema si comporta approssimativamente come se vi fosse un impulso di Diracin ingresso.

Esempio 4.10 (risposta al gradino di un sistema MA)Si consideri il sistema MA già studiato nell’es. 4.1,


−2 0 2 4 6 8 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

n

h(n)

1/6

(a)

−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

s(n)

(b)

Fig. 4.16.Sistema MA conM = 5 ebk = 16, ∀k ∈ 0,1, . . . ,5: (a) risposta impulsiva; (b) risposta al gradino.

descritto dalla relazione i-u

y(n) =M

∑k=0

bk x(n− k) , (4.44)

la cui risposta impulsiva ha la seguente espressione:

h(n) =M

∑k=0

bk δ(n− k) , (4.45)

rappresentata in fig. 4.1(a) nel caso generale, ed in fig. 4.1(b) nel caso in cuiM = 5 e i pesibk sono tutti ugualia 1

M+1. In virtù della (4.34), la risposta al gradino di tale sistema è il risultato della seguente sommatoria:

s(n) =n

∑k=−∞

M

∑m=0

bm δ(k−m) ,

in cui l’estremo superiore della sommatorian varia in Z. La somma di tale serie si ottiene distinguendo iseguenti casi:

s(n) =

0, sen < 0 ;n

∑k=0

bk , se 0≤ n < M ;

M

∑k=0

bk , sen≥M .

Nel caso in cui i pesibk siano tutti uguali a 1M+1, la risposta al gradino diventa:

s(n) =

0, sen < 0 ;n+1M +1

, se 0≤ n < M ;

1, sen≥M .

che possiamo esprimere in maniera più compatta nel seguente modo:

s(n) =n+1M +1

RM(n)+u(n−M) ,


e che è rappresentata graficamente nel casoM = 5, insieme alla risposta impulsiva, in fig. 4.16.

Nel seguito faremo quasi sempre riferimento alla risposta impulsiva; dato il legame biunivoco con larisposta al gradino, il lettore non dovrebbe incontrare difficoltà ad estendere alla risposta al gradinomolti dei risultati ottenuti per la risposta impulsiva.

4.5 Proprietà della risposta impulsiva 157

4.5 Proprietà della risposta impulsiva

Poiché la risposta impulsiva è una risposta canonica, cioè caratterizza completamente un sistemaLTI, è possibile legare le proprietà del sistema (non dispersività, causalità, stabilità, invertibilità) alleproprietà matematiche della risposta impulsiva: questo aspetto è approfondito nei paragrafi seguenti.

4.5.1 Non dispersività

Ricordiamo che un generico sistema si dicenon dispersivo (cfr. § 3.3.1) se l’uscita all’istantet oppuren dipende solo dall’ingresso nello stesso istante. Consideriamo un sistema TD LTI, descritto dallaconvoluzione a TD espressa dalla seconda delle (4.7):

y(n) =+∞

∑k=−∞

h(k)x(n− k) .

Affinché y(n) dipenda solo dax(n), occorre che i terminix(n− k) perk = 0 non diano contributo allasomma suk. Una condizione necessaria e sufficiente affinché ciò accada, per ogni segnale di ingressox(k)k∈Z, è che risultih(k) = 0,∀k = 0; in questo caso, infatti, si ha:

y(n) = h(0)x(n) .

Notiamo che, ponendoα = h(0), la relazione precedente si può riscrivere come

y(n) = α x(n) , (4.46)

e quindi si può interpretare come la relazione i-u di un amplificatore/attenuatore ideale: pertanto,un sistema TD LTI non dispersivo è necessariamente un amplificatore/attenuatore ideale. Ponendox(n) = δ(n) nella (4.46), si ricava che la risposta impulsiva di tale sistema vale

h(n) = α δ(n) . (4.47)

Pertanto, possiamo concludere che un sistema TD LTI è non dispersivose e solo se la sua rispostaimpulsiva assume la forma (4.47).

Passiamo ora a considerare i sistemi TC LTI, il cui legame i-u è descritto dalla convoluzione a TCespressa dalla prima delle (4.12):

y(t) =∫ +∞

−∞x(τ )h(t− τ )dτ . (4.48)

Per ricavare la proprietà cui deve soddisfare la risposta impulsiva affinchè il sistema sia non dispersivo,seguiamo una strada diversa da quella seguita nel caso TD. Il sistema è non dispersivo se e solo se, perogni segnale di ingresso, l’uscita all’istantet dipende solo dal valorex(τ )τ=t del segnale di ingressonello stesso istante; equivalentemente, questo vuol dire che la risposta del sistema non cambia se, nella(4.48), al posto dix(τ )τ∈R, poniamo un segnalex1(τ )τ∈R che dipendesolo dal valore “attuale”x(τ )τ=t . Per costruire un segnale siffatto, possiamo ricorrere alla proprietà del prodotto dell’impulsodi Dirac [cfr. prop. 2.2(c)], ponendo

x1(τ ) = x(τ )δ(t− τ ) = x(t)δ(t− τ ) .

Sostituendo nella (4.48), si ha che l’uscita corrispondente ax1(τ ) vale

y1(t) =∫ +∞

−∞x1(τ )h(t− τ )dτ =

∫ +∞

−∞x(τ )δ(t− τ )h(t− τ )dτ . (4.49)


Per quanto precedentemente detto, il sistema è non dispersivo se e solo sey(t) = y1(t), per ognisegnale di ingresso e per ognit ∈ R; dal confronto tra la (4.48) e (4.49), ciò accade se e solo se

h(t) = h(t)δ(t) = h(0)δ(t) ,

dove ancora una volta nell’ultimo passaggio si è sfruttata la proprietà del prodotto dell’impulso di

Dirac. Se poniamoα = h(0), otteniamo che un sistema TC LTI è non dispersivo se e solo se la sua

risposta impulsiva è l’analogo a TC della (4.47), ovvero se

h(t) = α δ(t) .

Sostituendo nella (4.48) la risposta impulsiva precedente, si ha:

y(t) =∫ +∞

−∞x(τ )h(t− τ )dτ = α

∫ +∞

−∞x(τ )δ(t− τ )dτ = α x(t) ,

dove nell’ultimo passaggio si è applicata la proprietà di campionamento dell’impulso di Dirac. Quindi,un sistema TC LTI non dispersivo ha necessariamente una relazione i-u del tipo:

y(t) = α x(t) ,

ovvero anche in questo caso coincide con un amplificatore/attenuatore ideale.In definitiva, la caratterizzazione di un sistema LTI non dispersivo in termini di risposta impulsiva

è riassunta dalla seguente proprietà (valida per il caso TC e TD):

Proprietà 4.4 (risposta impulsiva di un sistema LTI non dispersivo)(a) Un sistema LTI è non dispersivo se e solo se la sua risposta impulsiva assume la forma

h(·) = α δ(·).(b) Equivalentemente, un sistema LTI è non dispersivo se e solo se la sua relazione i-u èy(·) =

α x(·), ovvero se e solo se è un amplificatore/attenuatore ideale.

I sistemi non dispersivi sono denominati anche sistemi senza memoria, dove la memoria di un sistemaè stata definita (cfr. § 3.3.1) come la durata temporale del segmento del segnale di ingresso che contri-buisce, oltre al campione attuale, all’uscita in un determinato istante di tempo. Se allora osserviamola relazione i-u di un sistema LTI [cfr. (4.7) oppure (4.12)], possiamo notare che tale durata è deter-minata dalla estensione temporaleDh della risposta impulsiva; pertanto,la memoria di un sistemacoincide con la durata temporale ∆h della risposta impulsiva h(·) (escluso il campione per n = 0 nelcaso TD). In stretta analogia con la classificazione dei segnali effettuata sulla base della durata nel§ 2.3, i sistemi LTI con memoria si possono ulteriormente classificare come segue:

• sistemi LTI aventi memoria rigorosamente finita: la risposta impulsivah(·) ha durata rigorosa-mente limitata;

• sistemi LTI aventi memoria praticamente finita: la risposta impulsivah(·) decade asintotica-mente a zero pert,n→±∞, senza mai annullarsi; l’estensione temporaleDh e, quindi, la durata∆h, si definisce introducendo una soglia opportuna e considerando trascurabili le ampiezze dellarisposta impulsiva inferiori alla soglia fissata;

• sistemi LTI aventi memoria infinita: la risposta impulsivah(·) non decade a zero, per cuipresenta valori non trascurabili su un intervallo temporale non limitato.


−2 −1 0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T

T h

(t)

(a)

−2 −1 0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T

s(t)

(b)

Fig. 4.17.Sistema TC IIR con memoria praticamente finita (es. 4.11): (a) risposta impulsiva; (b) risposta algradino.

Un sistema LTI con memoria rigorosamente finita prende anche il nome di sistemafinite impulse re-sponse (FIR). Esempi di sistemi FIR sono l’integratore con memoria finita (cfr. es. 4.9) e il sistema MA(cfr. es. 4.10). Un sistema LTI con memoria non rigorosamente finita (praticamente finita o infinita) èspesso detto anche sistemainfinite impulse response (IIR). L’integratore (cfr. es. 4.7) e l’accumulatore(cfr. es. 4.8), aventi come risposta impulsiva il gradino unitario, sono sistemi IIR con memoria infinita.Nell’esempio che segue è trattato il caso di un sistema IIR con memoria praticamente finita.

Esempio 4.11 (sistema IIR con memoria praticamente finita)Si consideri il sistema TC descritto dal se-guente legame i-u:

y(t) =∫ +∞

0

1T

e−τ/T x(t− τ )dτ , (4.50)

doveT > 0. Sfruttando il fatto che u(τ ) = 0 perτ < 0, la relazione di sopra si può esprimere equivalentementecome segue:

y(t) =∫ +∞

−∞

1T

e−τ/T u(τ )x(t− τ )dτ . (4.51)

Confrontando la (4.51) con la seconda delle (4.12), si ricava che il legame i-u del sistema è espresso mediantel’integrale di convoluzione tra il segnale di ingressox(t) e la funzione del tempo

h(t) =1T

e−t/T u(t) . (4.52)

Pertanto, il sistema in esame è un sistema LTI con risposta impulsiva data dalla (4.52), che è rappresentata infig. 4.17(a). In virtù della (4.36), la risposta al gradino di tale sistema si ottiene come:

s(t) =∫ t

−∞

1T

e−τ/T u(τ )dτ =

0, set < 0 ;∫ t

0

1T

e−τ/T dτ = 1− e−t/T , set ≥ 0,

che possiamo esprimere in maniera più compatta come:

s(t) = (1− e−t/T )u(t) ,


e che è rappresentata in fig. 4.17(b). Poichè la risposta impulsiva del sistema è un esponenziale monolaterodecrescente, con costante di tempoT > 0, ovvero è un segnale di durata praticamente limitata, il sistema LTIha memoria praticamente finita. Per calcolare la memoria analiticamente, scegliamo come valore di sogliaα h(0+) = α/T , con 0< α < 1. Così facendo, risolvendo l’equazioneh(∆h) = α/T (cfr. § 2.3.2), la duratadella risposta impulsiva risulta

∆h = T ln

(1α

),

da cui si ricava che la memoria del sistema cresce con legge direttamente proporzionale aT .Con ragionamenti analoghi si può verificare che il sistema TD LTI avente risposta impulsiva:

h(n) = an u(n) , con 0< |a|< 1 ,

è un sistema dispersivo IIR con memoria praticamente finita data da:

∆h =ln(α )ln(|a|) ,

memoria che tende a diventare infinitamente grande, per|a| → 1, mentre tende a zero per|a| → 0.

In conclusione, ricordando la proprietà di durata della convoluzione (cfr. § 4.3.1), notiamo che ap-plicando al sistema un ingresso di durata finita, esso sarà “allungato”, per effetto della convoluzione,proprio di una quantità pari alla memoria del sistema. Infatti, se per semplicità facciamo riferimento aisistemi TC, in virtù della (4.31), la durata∆y del segnale di uscita dal sistema è al più pari alla sommadella durata∆x del segnale di ingresso e della durata∆h della risposta impulsiva. Lo stesso si può direanche per i sistemi TD. In altri termini, applicando un ingresso di durata finita e misurando la duratadell’uscita è possibile ricavare per differenza la durata della risposta impulsiva, e quindi misurare lamemoria del sistema LTI.

4.5.2 Causalità

Ricordiamo che un generico sistema è causale se l’uscita all’istantet oppuren dipende dal valoredell’ingresso nello stesso istante e in istanti precedenti, ma non dipende dai valori dell’ingresso negliistanti successivi. Consideriamo allora la relazione i-u di un sistema TD LTI:

y(n) =+∞

∑k=−∞

h(k)x(n− k) .

La somma suk porta in conto valorifuturi dell’ingresso perk < 0, in quanto per tali valori dik risultan− k > n. Affinché allora l’uscita non dipenda dai valori futuri, per ogni segnale di ingresso, deveaccadere che

h(k) = 0, ∀k < 0. (4.53)

Pertanto un sistema TD LTI risulta causale se e solo se è verificata la condizione (4.53). In questocaso la relazione i-u assume la forma:

y(n) =+∞

∑k=0

h(k)x(n− k) =n

∑k=−∞

x(k)h(n− k) .

Passiamo ora a considerare i sistemi TC LTI, il cui legame i-u è descritto dalla convoluzione:

y(t) =∫ +∞

−∞x(τ )h(t− τ )dτ . (4.54)


T

1

t

h(t)

Fig. 4.18.Risposta impulsiva dell’integratore non causale (es. 4.12).

Ragionando in modo analogo a quanto fatto nel caso TD, si può verificare che un sistema TC è causalese e solo se

h(t) = 0, ∀t < 0.

In questo caso, la relazione i-u (4.54) assume la forma:

y(t) =∫ +∞

0h(τ )x(t− τ )dτ =

∫ t

−∞x(τ )h(t− τ )dτ .

In sintesi, la caratterizzazione di un sistema LTI causale in termini della sua risposta impulsiva èdescritta dalla seguente proprietà:

Proprietà 4.5 (risposta impulsiva di un sistema LTI causale)Un sistema LTI è causale se e solo se

h(n) = 0, ∀n < 0 (sistema TD)

h(t) = 0, ∀t < 0 (sistema TC)

Se la risposta impulsiva del sistema LTI non è identicamente nulla pert < 0 (caso TC) oppure pern < 0(caso TD), il sistema è non causale. Abbiamo visto nel capitolo precedente (cfr. § 3.3.2) che un casoparticolare di sistema non causale è il sistema anticausale, per il quale l’uscita dipende solo dai valorifuturi del segnale di ingresso. Ripercorrendo gli stessi ragionamenti fatti per un sistema causale, si puòmostrare che un sistema LTI è anticausale se e solo se la sua risposta impulsiva soddisfa la seguentecondizione:

h(n) = 0, ∀n≥ 0 (sistema TD)

h(t) = 0, ∀t ≥ 0 (sistema TC)

Tutti i sistemi LTI precedentemente presentati negli esempi di questo capitolo sono causali. Di seguitosono riportati alcuni esempi di sistemi non causali.


Esempio 4.12 (integratore non causale)Si consideri l’integratore con memoria finita (cfr. es. 3.10 e 3.12),avente relazione i-u:

y(t) =∫ t+T

tx(u)du , (4.55)

con T > 0, Si può facilmente verificare che tale sistema è sia lineare, sia invariante temporalmente, per cui èun sistema LTI. In maniera equivalente, si può mostrare che la (4.55) si può scrivere come una convoluzione.Infatti, con il cambio di variabileτ = t−u→ u = t− τ , la (4.55) si può scrivere come:

y(t) =∫ 0

−Tx(t− τ )dτ .

A questo punto, moltiplicando la funzione integranda per una finestra rettangolare che assume il valore 1nell’intervallo (−T,0), possiamo estendere l’integrale tra−∞ e+∞ ottenendo:

y(t) =∫ +∞

−∞rect

(τ +0.5T

T

)x(t− τ )dτ ,

da cui, per confronto con la (4.12), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è:

h(t) = rect

(t +0.5T

T

),

che è rappresentata in fig. 4.18: si tratta di un segnale che assume valori non nulli pert < 0 e, conseguentemente,il sistema non è causale.

Esempio 4.13 (sistema MA non causale)Si consideri il sistema MA già introdotto nell’es. 3.11, descrittodalla relazione i-u

y(n) =M

∑k=0

bk x(n+ k) .

Si tratta di un sistema sia lineare che tempo-invariante, e pertanto esso rappresenta un esempio di sistema LTI.Per questo motivo, deve essere possibile esprimere la sua relazione i-u come una convoluzione (4.7). Infatti,effettuando il cambiamento di variabileh =−k si ha

y(n) =0

∑h=−M

b−h x(n−h) =0

∑k=−M

b−k x(n− k) , (4.56)

da cui, per confronto diretto con la (4.7), si ha una perfetta corrispondenza se si definisce la risposta impulsivadel sistema come segue:

h(k) =

b−k , k ∈ −M,−M +1, . . . ,0 ;

0, altrimenti,(4.57)

rappresentata graficamente in fig. 4.19(a) nel caso generale. e particolarizzata in fig. 4.19(b) al casoM = 5 ebk = 1

M+1 = 16, ∀k ∈ 0,1, . . . ,5. D’altra parte, osserviamo che utilizzando la definizione di risposta impulsiva

comeh(n) = S[δ(n)], si ha, ponendox(n) = δ(n) nella (4.56):

h(n) =0

∑h=−M

b−h δ(n−h) , (4.58)

espressione che è perfettamente equivalente alla (4.57). Si tratta di una risposta impulsiva che assume valorinon nulli pern < 0, pertanto tale sistema è non causale.


h(n)

n-M -M +1 -2

bM

bM-1

b2

b3

0-1-3

b1

b0

....

(a)

h(n)

n-5 -4 -3 -2 -1 0

1/6

(b)

Fig. 4.19. (a) Risposta impulsiva di un generico sistema MA non causale. (b) Risposta impulsiva del sistemaMA non causale conM = 5 e con pesibk = 1

6, ∀k ∈ 0,1, . . . ,5 (es. 4.13).

Esempio 4.14 (anticipo unitario) Consideriamo il sistema TD descritto dalla relazione i-u:

y(n) = x(n+1) ,

che realizza un anticipo unitario del segnale di ingresso. Si tratta chiaramente di un sistema LTI, la cui rispostaimpulsiva si ottiene ponendo in ingresso il segnalex(n) = δ(n):

h(n) = δ(n+1) ,

si tratta di un impulso TD di ampiezza unitaria centrato inn = −1. Il sistema è pertanto non causale; inparticolare, poichéh(n) è identicamente nulla pern ≥ 0, l’anticipo unitario TD è un sistema anticausale. Allostesso modo il sistema TC che effettua un anticipo temporale, descritto dalla relazione i-uy(t) = x(t + T ) conT > 0, è un sistema LTI anticausale.

I sistemi causali godono di una proprietà importante. Per evidenziare tale proprietà, consideriamo ilcaso dei sistemi TC. Se il sistema è causale, allora la risposta impulsiva del sistema avrà estensionetemporaleDh = (0,∆h), con∆h ∈ R+. Supponiamo ora che anche il segnale di ingresso sia identi-camente nullo pert < 0, cioè, abbia estensione temporaleDx = (0,∆x), con ∆x ∈ R+. Un segnaleidenticamente nullo pert < 0 è anche detto6 causale. In tal caso, seguendo gli stessi ragionamenti chehanno portato alla (4.31), si ottiene che:

y(t) = 0, ∀t ∈ (0,∆x +∆h) ,

ossia anche il segnale di uscita risulta essere identicamente nullo pert < 0. Tale risultato, che sussistecon ovvie modifiche anche nel caso TD, è riassunto dalla seguente proprietà:

Proprietà 4.6 (risposta di un sistema LTI causale ad un segnale causale)(a) Se il segnale in ingresso ad un sistema TC LTI causale è identicamente nullo pert < 0, allora

la corrispondente uscita è anch’essa identicamente nulla pert < 0.

(b) Se il segnale in ingresso ad un sistema TD LTI causale è identicamente nullo pern < 0, allorala corrispondente uscita è anch’essa identicamente nulla pern < 0.

6Questa terminologia discende dal fatto che la risposta impulsiva è essa stessa un segnale – è il segnale di uscita di unsistema LTI quando in ingresso è applicato un impulso – per cui dire che il sistema è casuale equivale a dire che la suarisposta impulsiva è causale.


x(.) h(.) x(.)hinv(.)y(.)

Fig. 4.20. Il sistema LTIhinv(·) è il sistema inverso dih(·) se e solo se la cascatadei due sistemi coincide con il sistema identico.

In verità, la prop. 4.6 si poteva già dedurre dalle prop. 3.1 e 3.4, sfruttando in aggiunta la proprietàdi linearità. Soffermiamo l’attenzione sui sistemi TC. Ricordiamo che, in base alla prop. 3.1, dettey1(t) ey2(t) le uscite di un sistema TC in risposta ai segnalix1(t) ex2(t), rispettivamente, un sistema ècausale se e solo se, per ognit0∈R e per ognix1(t), x2(t)∈ I tali chex1(t) = x2(t), ∀t ≤ t0, risulta chey1(t) = y2(t), ∀t ≤ t0. Dato un ingressox1(t) = 0,∀t < 0, supponiamo di scegliere un secondo ingressox2(t) = 0, ∀t ∈ R, ed applichiamo la proprietà vista pert0 = −ε < 0, conε ∈ R+ piccolo a piacere.Poiché risultax1(t) = x2(t) = 0, ∀t ≤ −ε, allora risulterà per la prop. 3.1y1(t) = y2(t), ∀t ≤ −ε.Ma se il sistema è lineare, in virtù della prop. 3.4, l’uscita corrispondente al segnale nullox2(t) ènecessariamente nulla, cioèy2(t) = 0,∀t ∈ R. Pertanto, si ha chey1(t) = 0,∀t ≤−ε, cioè, così comeil segnale di ingresso, anche il segnale di uscita è identicamente nullo pert < 0. Le considerazioniche seguono si estendono senza alcuna difficoltà anche ai sistemi TD.7 È interessante osservare chenel derivare questo risultato abbiamo sfruttato solo la linearità (più precisamente, l’omogeneità) e lacausalità del sistema: questo dimostra che la prop. 4.6 vale più in generale per sistemi lineari causali(non necessariamente TI).

4.5.3 Invertibilità

Ricordiamo che se un dato sistema è invertibile, il sistema inverso è quel sistema che posto in cascataal sistema dato realizza il sistema identico. In app. D è mostrato che se un sistema LTI è invertibile,allora il corrispondente sistema inverso è anch’esso LTI. In base a tale risultato, se indichiamo conh(·) la risposta impulsiva del sistema LTI invertibile e conhinv(·) la risposta impulsiva del sistemainverso, come mostrato in fig. 4.20, la cascata (nell’ordine) del sistema con risposta impulsivah(·) edel sistema con risposta impulsivahinv(·) deve realizzare il sistema identico. Poiché la risposta impul-siva del sistema identico èδ(·), e tenendo presente che alla cascata di due sistemi LTI corrisponde laconvoluzione delle rispettive risposte impulsive, si ottiene la seguente condizione:

h(·)∗hinv(·) = δ(·) . (4.59)

Poiché la convoluzione è commutativa, possiamo scrivere anche:

hinv(·)∗h(·) = δ(·) , (4.60)

per cui sehinv(·) è l’inverso dih(·), allorah(·) è l’inverso dihinv(·). Per cui ritroviamo il risultato,valido più in generale per l’inverso di un generico sistema (non necessariamente LTI, cfr. §3.3.3),secondo cui il sistema diretto commuta con il sistema inverso nella cascata di fig. 4.20 (notiamo cheper i sistemi LTI vale una proprietà più generale, secondo la qualequalunque sistema LTI commutacon qualunque altro sistema LTI nella cascata). La seguente proprietà riassume le considerazioni fatteprecedentemente:

7Nel caso TD, l’applicazione della prop. 3.1 è più immediata: infatti, a differenza del caso TC in cui si è dovuto introdurreun ε arbitrariamente piccolo per la scelta dit0, in questo caso, le stesse considerazioni si possono fare scegliendon0 =−1.


Proprietà 4.7 (risposta impulsiva del sistema inverso di un sistema LTI)Si consideri un sistema LTI invertibile con risposta impulsivah(·), il suo sistema inverso è an-ch’esso LTI e, dettahinv(·) la sua risposta impulsiva, sussiste la seguente relazione tra le duerisposte impulsive:

h(·)∗hinv(·) = hinv(·)∗h(·) = δ(·) .

Lo studio dell’invertibilità di un sistema non è sempre agevole e richiede qualche cautela dal puntodi vista matematico. Alcuni approfondimenti ed esempi sono riportati in app. D, a cui si rimandadirettamente il lettore.

In molti casi pratici, un problema di interesse è determinare il sistema inverso di un dato siste-ma. Ad esempio, nelle telecomunicazioni, il segnalex(·) viene modificato odistorto dal supportofisico su cui si propaga (il cosiddettocanale) e giunge alla destinazione con modifiche tali da renderedifficoltoso il recupero dell’informazione ad esso associata. In alcuni casi, il canale può essere benmodellato mediante un sistema LTI con risposta impulsivah(·). Se fossimo grado di individuare ilsistema inverso potremmo alla destinazione utilizzare il sistemahinv(·) per compensare perfettamentela distorsione introdotta dal sistemah(·). Questa compensazione prende il nome diequalizzazione.Purtroppo determinarehinv(·) dalla (4.59) o (4.60) è un problema matematicamente complicato, cheva sotto il nome dideconvoluzione (di fatto, significa determinare uno dei fattori della convoluzio-ne, noto l’altro fattore ed il risultato finale). Vedremo che una soluzione semplice si potrà ottenereoperando nel dominio della frequenza.

4.5.4 Stabilità

Ricordiamo che un sistema si dice stabile (in senso BIBO, cfr. §3.3.5) se l’uscita corrispondente adun qualunque ingresso limitato in ampiezza è a sua volta limitata in ampiezza. Per individuare qualesia la proprietà della risposta impulsiva che caratterizza la stabilità, consideriamo un sistema TD LTI,descritto dalla (4.7):

y(n) =+∞

∑k=−∞

h(k)x(n− k) .

Supponiamo allora che l’ingresso sia limitato, ovvero|x(n)| < Kx, ∀n ∈ Z, e proviamo a trovare unamaggiorazione simile per l’uscitay(n). Si ha, con passaggi banali, che:

|y(n)|=∣∣∣∣∣ +∞

∑k=−∞

h(k)x(n− k)

∣∣∣∣∣≤ +∞

∑k=−∞

|h(k)||x(n− k)| ≤ Kx

+∞

∑k=−∞

|h(k)| .

Pertanto, seh(k) è una successionesommabile, ovvero se

+∞

∑k=−∞

|h(k)| ≤ Kh , (4.61)

allora si ha|y(n)| ≤ Kx Kh= Ky e quindi l’uscitay(n) è limitata. Abbiamo cioè provato che la som-

mabilità (4.61) della risposta impulsiva ècondizione sufficiente per la stabilità di un sistema LTI.Possiamo però provare che la sommabilità della risposta impulsiva è anchecondizione necessaria perla stabilità: in altri termini, se un sistema è stabile, allora la risposta impulsiva dev’essere sommabile.


Per provarlo, procediamo per assurdo, supponendo che un sistema stabile abbia una risposta impulsivanon sommabile. Definiamo allora un opportuno segnale di ingresso:

x(n) =

|h(−n)|h(−n)

, seh(−n) = 0 ;

0, altrimenti.

Tale segnale assume solo i valori 0,1,−1, e quindi è sicuramente limitato. L’uscita corrispondente atale segnale limitato è:

y(n) =+∞

∑k=−∞

h(k)x(n− k) = ∑k

h(k)|h(k−n)|h(k−n)

,

dove la seconda sommatoria va effettuata, per ciascunn ∈ Z, su tutti i valori della variabilek per iquali h(k−n) = 0. Calcoliamo in particolare l’uscita pern = 0:

y(0) = ∑k

h(k)|h(k)|h(k)

= ∑k

|h(k)|=+∞

∑k=−∞

|h(k)| ,

dove abbiamo incluso nella somma, senza alterarla, anche i valori dik per i qualih(k) = 0. Poichéabbiamo supposto per assurdo che la risposta impulsiva non sia sommabile, risulta che l’uscita all’i-stanten = 0 non è limitata, il che contraddice l’ipotesi che il sistema sia stabile. Pertanto, la rispostaimpulsiva deve essere necessariamente sommabile. In definitiva, per un sistema TD vale l’equivalenzaseguente:

sistema TD stabile ⇐⇒+∞

∑k=−∞

|h(k)| ≤ Kh , ovveroh(n) sommabile.

Per un sistema LTI a TC è possibile ragionare in maniera analoga, sostituendo alla sommabilità dellasuccessioneh(n) quella della funzioneh(t):∫ +∞

−∞|h(τ )|dτ ≤ Kh . (4.62)

In definitiva, la sommabilità della risposta impulsiva ècondizione necessaria e sufficiente per lastabilità di un sistema LTI, come riassunto dalla seguente proprietà:

Proprietà 4.8 (risposta impulsiva di un sistema LTI stabile)Un sistema LTI è stabile se e solo se la sua risposta impulsiva è sommabile, ovvero se e solo se

+∞

∑k=−∞

|h(k)| ≤ Kh (sistema TD),

∫ +∞

−∞|h(τ )|dτ ≤ Kh (sistema TC).

Nel caso dei sistemi FIR, che presentano memoria rigorosamente finita, la risposta impulsivah(·) hadurata rigorosamente limitata, pertanto essa risulterà sicuramente sommabile (supposto che assumavalori finiti). Possiamo quindi dire chetutti i sistemi LTI con memoria rigorosamente finita (FIR)sono stabili. Ad esempio, l’integratore con memoria finita (§ es. 4.9) e il sistema MA (§ es. 4.10),


essendo sistemi FIR, sono stabili. Un sistema LTI instabile deve necessariamente avere memoria nonrigorosamente finita (IIR). Più precisamente,i sistemi IIR aventi memoria infinita sono sicuramenteinstabili, in quanto la loro risposta impulsivah(·) non è infinitesima all’infinito e quindi non puòessere sommabile. Ad esempio, l’integratore (§ es. 4.7) e l’accumulatore (§ es. 4.8), aventi comerisposta impulsiva il gradino unitario, sono esempi di sistemi IIR con memoria infinita e, pertanto,instabili. D’altra parte, se il sistema IIR ha memoria praticamente finita, la sua risposta impulsiva puòessere ancora sommabile purché|h(·)| decada a zero per|t| → +∞ o per |n| → +∞ con sufficienterapidità, in modo da garantire la convergenza dell’integrale o della serie che compaiono nella (4.61)e (4.62) (cfr. § B.1.4 e B.2.3). Un esempio di sistema LTI stabile con memoria praticamente finita è ilseguente.

Esempio 4.15 (stabilità di un sistema IIR con memoria praticamente finita)Riconsideriamo nuovamen-te il sistema IIR dell’es. 4.11, la cui risposta impulsiva [fig. 4.17(a)] è data da:

h(τ ) =1T

e−τ/T u(τ ) .

Si tratta di un sistema con memoria praticamente finita. Verifichiamo che tale sistema è stabile. A tal fineosserviamo che:∫ +∞

−∞|h(τ )|dτ =

∫ +∞

−∞

1T

e−τ/T u(τ )dτ =1T

∫ +∞

0e−τ/T dτ = 1,

pertanto la risposta impulsiva del sistema è sommabile e, conseguentemente, il sistema è stabile.Analogamente, il sistema TD IIR avente risposta impulsiva:

h(n) = an u(n) , con 0< |a|< 1 ,

è stabile pur non avendo memoria rigorosamente finita (ma memoria praticamente finita). Infatti, poichè risulta:

+∞

∑k=−∞

|h(k)|=+∞

∑k=0

|a|n =1

1−|a| ,

la risposta impulsiva è sommabile.

In conclusione, notiamo che per taluni sistemi TC la risposta impulsivah(t) può non essere unafunzione ordinaria, nel senso che può contenere degli impulsi di Dirac. Ad esempio, il sistema cheeffettua la traslazione temporale del segnale di ingresso, caratterizzato dal legame i-u:

y(t) = x(t− t0) , cont0 ∈ R , (4.63)

ha una risposta impulsiva contenente un impulso di area unitaria centrato int0, ossiah(t) = δ(t− t0).Poiché il concetto di sommabilità di una distribuzione non è definito, si pone pertanto il problema dicome studiare la stabilità di un sistema LTI qualora la sua risposta impulsiva sia una funzione gene-ralizzata. In verità, dal punto di vista pratico, questo problema può essere tranquillamente aggirato.Ad esempio, nel caso del sistema (4.63), è assolutamente inutile studiare la stabilità a partire dallarisposta impulsiva, in quanto, in questo caso, la stabilità può essere studiata direttamente dal legamei-u senza alcun problema di carattere matematico: infatti, se il segnale di ingresso è limitato, l’uscitadel sistema (4.63) è sicuramente limitata. Pertanto, possiamo concludere che il sistema TC (4.63),che anticipa/ritarda il segnale di ingresso, è un sistema stabile, per ognit0 ∈ R. Più in generale, se larisposta impulsivah(t) è una funzione generalizzata, è (quasi) sempre possibile decomporla nella som-ma di una funzione ordinariahord(t), che non contiene impulsi, e di una funzionehimp(t) puramenteimpulsiva, che contiene solo impulsi, cioè:

h(t) = hord(t)+N

∑n=1

αn δ(t− tn)︸︷︷︸himp(t)

= hord(t)+himp(t) , (4.64)


x(t)

hord(t)

α 1 t1

α N tN

y(t)

.

.

....

Fig. 4.21.Decomposizione in parallelo di un sistema avente risposta impulsiva generalizzata.

doveN ∈ N. In questo caso, come mostrato in fig. 4.21, il sistema avente risposta impulsivah(t)può essere decomposto nel parallelo del sistema avente risposta impulsivahord(t) e del sistema aventerisposta impulsivahimp(t), e quest’ultimo a sua volta può essere visto come il parallelo diN sistemi,ciascuno dei quali composto da un attenuatore/amplificatore connesso in serie con un sistema cheeffettua la traslazione temporale. Osservando che il parallelo di più sistemi LTI equivale ad un unicosistema LTI la cui risposta impulsiva è data dalla somma delle risposte impulsive dei sistemi coinvoltinel parallelo, in virtù della prop. 4.8, possiamo affermare che, se i sistemi componenti il parallelosono singolarmente stabili, allora il sistema complessivo è sicuramente stabile. Poichè la moltiplica-zione per una costante e la traslazione temporale sono operazioni stabili, nel senso che conservano lalimitatezza (in ampiezza) del segnale su cui operano, il sistema in fig. 4.21 è stabile se e solo se larisposta impulsivahord(t) è sommabile. In altre parole, quando occorre studiare la sommabilità di unafunzione generalizzata del tipo (4.64) è sufficiente limitarsi a studiare la sommabilità della sola parteordinariahord(t).

4.6 Esempi di sistemi LTI

In questa sezione introduciamo due classi particolarmente importanti di sistemi LTI, descritti da equa-zioni differenziali lineari (nel caso TC) oppure da equazioni alla differenze (nel caso TD). Tali si-stemi presentano numerose analogie, tuttavia per una presentazione efficace è opportuno studiarliseparatamente.

4.6.1 Sistemi descritti da equazioni differenziali

Numerosi sistemi TC, in svariati campi delle scienze fisiche e dell’ingegneria, sono descritti daequazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, del tipo

N

∑k=0

akdk

dtk y(t) =M

∑m=0

bmdm

dtm x(t) , (4.65)

4.6 Esempi di sistemi LTI 169

dovex(t) rappresenta l’ingresso ey(t) l’uscita del sistema,a0,a1, . . . ,aN eb0,b1, . . . ,bM sono i coeffi-cienti (in genere reali) dell’equazione, eN ≥ 0 è l’ordine dell’equazione, coincidente con il massimoordine di derivazione rispetto al segnale di uscitay(t) (si suppone cheaN = 0). La (4.65) è dettalinea-re perché al primo membro compare una combinazione lineare del segnaley(t) e delle sueN derivatee al secondo membro compare una combinazione lineare del segnalex(t) e delle sueM derivate; la(4.65) si dice a coefficienti costanti perché i coefficienti moltiplicativia0,a1, . . . ,aN e b0,b1, . . . ,bM

sono costanti e quindi indipendenti dal tempot. Per sgombrare subito il campo da qualsiasi tipo diequivoco, occorre preliminarmente osservare che il fatto che la (4.65) sia lineare e i coefficienti chein essa compaiono siano tempo-invariantinon implica che il sistema da essa descritto sia in generalelineare e tempo-invariante; vedremo che ciò è vero solo in alcuni casi particolari. Una seconda os-servazione importante riguarda il fatto che la (4.65) coinvolge, oltre all’uscitay(t) anche le primeNderivate diy(t): pertanto, essa non rappresenta un legame i-u come espresso dalla def. 3.1. Ciò è verosolo nel caso particolare in cuiN = 0; in tal caso, infatti, la (4.65) si può scrivere direttamente comesegue:

y(t) =1a0

M

∑m=0

bmdm

dtm x(t) ,

che rappresenta una relazione i-u tray(t) edx(t), nel senso specificato dalla def. 3.1.Nel caso più generale in cuiN = 0, la (4.65) descrive in maniera soloimplicita il comportamento

del sistema. In questo caso, determinare la relazione i-u del sistema equivale a risolvere, per ognifissato ingressox(t), l’equazione differenziale (4.65) rispetto al segnale di uscitay(t). È noto8 chetale problema non è completamente definito, in quanto, supposto che, a partire da un istante prefissatotin ∈ R, sia applicato in ingresso al sistema un dato segnalex(t), per trovare la corrispondente uscitay(t) pert ≥ tin, è sufficiente conoscere il valore del segnale di uscita e delle sue primeN−1 derivate intin; in altre parole, è necessario conoscere lostato iniziale del sistema. Ponendo per semplicitàtin = 0,lo stato iniziale del sistema è pertanto descritto dalleN condizioni iniziali:

y(0) = y0,ddt

y(t)∣∣∣t=0

= y1, . . . ,dN−1

dtN−1 y(t)∣∣∣t=0

= yN−1 , (4.66)

dovey0,y1, . . . ,yN−1 sono valori (in genere reali) assegnati. I valori assegnatiy0,y1, . . . ,yN−1 dipen-dono dalla evoluzione passata del sistema e, dal punto di vista fisico, portano in conto la presenzaeventuale di energia immagazzinata nel sistema fisico. Assegnato l’ingressox(t) pert ≥ 0, lasoluzio-ne generale della (4.65), che tiene conto di tutte le possibili condizioni iniziali, è data dalla somma diunasoluzione particolare yp(t) della (4.65), per la quale si ha:

N

∑k=0

akdk

dtk yp(t) =M

∑m=0

bmdm

dtm x(t) , (4.67)

e della soluzione generale dell’equazione differenzialeomogenea associata alla (4.65), cioè dell’equa-zione

N

∑k=0

akdk

dtk y(t) = 0, (4.68)

ottenuta ponendox(t) ≡ 0 nella (4.65). La soluzione generaley0(t) della (4.68) è dettasoluzioneomogenea della (4.65). Come verifica di quanto sopra affermato, osserviamo che, sey0(t) è soluzione

8Nel seguito si richiameranno alcuni risultati riguardanti la soluzione di equazioni differenziali senza forniredimostrazioni, per le quali si rimanda il lettore direttamente ai testi di analisi matematica.


della (4.68), allora

N

∑k=0

akdk

dtk y0(t) = 0, (4.69)

da cui sommando membro a membro la (4.67) e (4.69), è immediato constatare che

y(t) = y0(t)+ yp(t) (4.70)

è una soluzione della (4.65). D’altra parte, si può provare che la (4.70) forniscetutte le soluzionidell’equazione differenziale (4.65).

In linea di principio, il calcolo della soluzione generaley0(t) dell’equazione omogenea (4.68) nonoffre particolari difficoltà. Considerazioni di carattere fisico inducono nelle applicazioni pratiche atrovare soluzioni del tipoeλ t , con λ ∈ C, cioè del tipo esponenziale complesso. Se si pone alloray(t) = eλ t nella (4.68), si ottiene:

N

∑k=0

ak λ k eλ t =

(N

∑k=0

ak λ k

)︸︷︷︸

q(λ )

eλ t = q(λ )eλ t = 0 ⇐⇒ q(λ ) = 0,

dove l’equivalenza sussiste grazie al fatto che l’esponenziale complesso non si annulla mai, e quindideve annullarsiq(λ ). Pertanto, l’esponenzialeeλ t è soluzione della (4.68) se e solo se il parametroλ ∈ C è una radice del polinomioq(λ ), ossia:

q(λ ) = a0 +a1λ + · · ·+aN λ N = 0. (4.71)

Il polinomio q(λ ) è dettopolinomio caratteristico dell’equazione omogenea (4.68). Le radici delpolinomio caratteristico possono essere reali, immaginarie oppure complesse.9 Se supponiamo inprima istanza che leN radici del polinomioq(λ ) siano distinte, siano esseλ1,λ2, . . . ,λN , allora gliesponenziali complessieλ1t ,eλ2t , . . . ,eλNt sono singolarmente soluzioni della (4.68). Più in generale,poiché una arbitraria combinazione lineare di soluzioni della (4.68) è ancora una soluzione della stessaequazione, la soluzione generale della (4.68) è data da:

y0(t) = c1 eλ1t + c2 eλ2t + · · ·+ cN eλNt , (4.72)

dovec1,c2, . . . ,cN sono costanti arbitrarie. Si noti che l’arbitrarietà di queste costanti rende la solu-zione omogenea della (4.65) non univocamente determinata.

Le complicazioni introdotte dalla presenza di eventuali radici multiple del polinomio caratteri-stico q(λ ) sono minime e possono essere portate in conto come segue. Supposto cheλi sia unaradice con molteplicitàNi del polinomio caratteristicoq(λ ), allora si prova facilmente chetheλit , perh ∈ 0,1, . . . ,Ni−1, è soluzione della (4.68). Quindi, combinando linearmente tutte leN possibilisoluzioni, si ottiene:

y0(t) =R

∑i=1

Ni−1

∑h=0

ci,h theλit , (4.73)

dove λ1,λ2, . . . ,λR sono leR radici distinte del polinomio caratteristicoq(λ ) aventi molteplicitàN1,N2, . . . ,NR, rispettivamente, conN1+N2+ · · ·+NR = N [nel caso in cuiR = N, la (4.73) degenera

9Nel caso in cui i coefficienti del polinomioa0,a1, . . . ,aN siano reali, le radici diq(λ ) sono o reali o complesse coniugate.


nella (4.72)]. Anche in questo caso, la soluzione omogeneay0(t) non è univocamente specificata inquanto dipende dalleN costanti arbitrarieci,h. A differenza della soluzioney0(t), la soluzione par-ticolareyp(t) dipende dal tipo di ingresso assegnato, e per essa non è possibile dare un’espressionegenerale, né una tecnica generale di soluzione.

Notiamo che, senza portare in conto le condizioni iniziali, per la presenza delle costantici,h nellasoluzione omogenea, la soluzione generaley(t) = y0(t)+ yp(t) non consente di determinare univoca-mente l’uscita del sistema. In altri termini,l’equazione differenziale (4.65)non definisce univocamenteun sistema, in quanto l’uscita è definita a meno diN costanti arbitrarie.

Riassumendo quanto detto finora, possiamo dire che la soluzione generale della equazione diffe-renziale (4.65) si può ottenere seguendo i seguenti passi:

1. Si determina la soluzione omogeneay0(t) data dalla (4.73), calcolando le radici del polinomiocaratteristicoq(λ ) (tale soluzione dipende dalleN costanti arbitrarieci,h).

2. Assegnato l’ingressox(t), si determina una soluzione particolareyp(t) della (4.65); se l’ingressoè applicato all’istantetin = 0, allora la soluzione particolare ottenuta è valida solo pert > 0.

3. Si determinano gliN coefficientici,h della soluzione omogeneay0(t) in modo che la soluzionegenerale della (4.65), data day(t) = y0(t)+yp(t) pert > 0, soddisfi le condizioni iniziali (4.66)assegnate.

In molti casi è conveniente esprimere la soluzione generale della (4.65) come somma di due com-ponenti: la prima dipendente solo dalle condizioni iniziali (4.66) e la seconda dipendente solo dalsegnale di ingressox(t). La componente dipendente solo dalle condizioni iniziale si può ottenere apartire dalla soluzione omogenea (4.73), imponendo chey0(t) soddisfi da sola le condizioni inizialiassegnate, cioè

y0(0) = y0,ddt

y0(t)∣∣∣t=0

= y1, . . . ,dN−1

dtN−1 y0(t)∣∣∣t=0

= yN−1 . (4.74)

Così facendo si ottiene una particolare soluzione omogeneaylib(t) che prende il nome dievoluzionelibera del sistema, in quanto dipende solo dalle condizioni iniziali ed è completamente indipendentedal segnale di ingressox(t). La (4.74) determina un sistema diN equazioni lineari nelleN incogniteci,h, con i ∈ 1,2, . . . ,R e h ∈ 0,1, . . . ,Ni−1. Risolvendo tale sistema si trova che le costantici,h

sono combinazioni lineari dei valoriy0,y1, . . . ,yN−1 assunti day0(t) e dalle sue primeN−1 derivatepert = 0. Conseguentemente, l’evoluzione liberaylib(t) del sistema è essa stessa una funzione linearedi y0,y1, . . . ,yN−1; questo vuol dire che se si impone che il sistema siainizialmente in quiete, cioèy0 = y1 = · · ·= yN−1 = 0, l’evoluzione libera del sistema è nulla, ossia,ylib(t) = 0, ∀t ∈ R. Questo èun risultato del tutto intuibile in quanto, se all’istantetin = 0 il sistema non possiede alcuna energiaimmagazzinata al suo interno, l’uscita pert ≥ 0 non può che essere nulla in assenza di alcuna solle-citazione esterna (segnale di ingresso). D’altra parte, la componente dipendente solo dal segnale diingresso assegnato si può ottenere cercando una soluzione particolareyp(t) della (4.65) che soddisfile condizioni:

yp(0) =ddt

yp(t)∣∣∣t=0

= · · ·= dN−1

dtN−1 yp(t)∣∣∣t=0

= 0. (4.75)

La soluzione particolareyfor(t) della (4.65) che si ottiene in questo modo prende il nome dirispostaforzata del sistema, in quanto tiene conto del solo segnale di ingressox(t), assumendo che siano nullele condizioni iniziali.

Si può mostrare che la risposta forzata del sistema gode di due proprietà importanti. Innanzitutto,la risposta forzata è funzione lineare del segnale di ingresso: sey(1)

for (t) ey(2)for (t) sono le risposte forzate


x(t) y(t)

R

C

Fig. 4.22.Schema elettrico del sistema RC (es. 4.16).

x(t) y(t)

-1/RCy(t)

ddt

ddt

Fig. 4.23.Schema a blocchi del sistema RC(es. 4.16).

del sistema agli ingressix1(t) ex2(t), rispettivamente, alloraα1 y(1)for (t)+α2 y(2)

for (t) è la risposta forzatadel sistema al segnale di ingressoα1 x1(t) + α2 x2(t), ∀α1,α2 ∈ C. In particolare, ciò significa chesex(t) ≡ 0, allorayfor(t) ≡ 0. Inoltre, la relazione che legayfor(t) al segnale di ingresso è tempo-invariante: seyfor(t) è la risposta forzata del sistema al segnale di ingressox(t), allorayfor(t− t0) è larisposta forzata del sistema al segnale di ingressox(t− t0), ∀t0 ∈ R.

In definitiva, la risposta del sistema può essere espressa anche come la somma dell’evoluzionelibera e della risposta forzata:

y(t) = ylib(t)+ yfor(t) . (4.76)

La prima osservazione interessante suggerita dalla (4.76) è che in generale il sistema descritto dalle(4.65) e (4.66)non è lineare. Il carattere non lineare del sistema è esclusivamente dovuto alla presenzadell’evoluzione liberaylib(t), indipendente dal segnale di ingresso, per effetto della quale l’uscitay(t)è non nulla anche quando l’ingresso è identicamente nullo; ciò viola la prop. 3.4 dal momento che,se si imponex(t) ≡ 0, segue dalla (4.76) chey(t) = ylib(t) = 0. Tuttavia, è interessante osservareche il sistema definito dalla (4.76) è lineare per le differenze, cioè, può essere rappresentato mediantelo schema a blocchi in fig. 3.19 [dovey0(·) corrisponde in questo caso all’evoluzione liberaylib(·)],in quanto la differenza delle risposte ad una arbitraria coppia di ingressi è funzione lineare delladifferenza dei corrispondenti ingressi. La seconda osservazione legata alla (4.76) è che in generale ilsistema descritto dalle (4.65) e (4.66)non è tempo-invariante. La tempo-varianza del sistema è ancorauna volta dovuta alla presenza dell’evoluzione liberaylib(t), indipendente dal segnale di ingresso, pereffetto della quale ad una traslazione del segnale di ingresso non corrisponde la medesima traslazionedel segnale di uscita. Possiamo quindi dire che,affinchè il sistema descritto dalle (4.65)e (4.66)siaLTI, occorre che la sua evoluzione libera sia nulla, il che si ottiene imponendo che il sistema siainizialmente in quiete, assegnando cioè y0 = y1 = · · ·= yN−1 = 0.

Nell’esempio che segue si considererà un caso semplice per chiarire ulteriormente gli aspettiprecedentemente discussi.

Esempio 4.16 (sistema RC)Un esempio particolarmente semplice nell’ambito dei circuiti elettrici è il si-stema RC raffigurato in fig. 4.22, nel quale l’ingressox(t) è la tensione ai capi della serie RC, mentre l’uscitay(t) è la tensione ai capi della capacità. Applicando il secondo principio di Kirchoff (equilibrio tra le tensioni)e le relazioni tra tensione e corrente ai capi di resistenza e capacità, si ottiene l’equazione differenziale chedescrive il comportamento del circuito:

RCddt

y(t)+ y(t) = x(t) . (4.77)

Il comportamento di questo sistema è pertanto descritto da una equazione differenziale del primo ordine (N = 1).Notiamo che tale equazione può essere rappresentata dallo schema a blocchi in retroazione di fig. 4.23. La


soluzione generaley(t) della (4.77) si può scrivere come:

y(t) = y0(t)+ yp(t) ,

dovey0(t) è una qualunque soluzione dell’equazione omogenea associata alla (4.77), cioè dell’equazione chesi ottiene ponendo in ingressox(t)≡ 0:

y(t)+RCddt

y(t) = 0, (4.78)

mentreyp(t) è una soluzione particolare dell’equazione completa (4.77). Determiniamo prima la soluzionedell’equazione omogenea: dobbiamo cercare le radici del polinomio caratteristicoq(λ ), risolvendo l’equazione(4.71), che nel nostro caso si riduce alla:

q(λ ) = 1+RC λ = 0,

da cui si ricava l’unica radiceλ1 =−1/(RC). In questo caso (R = N = 1), la (4.73) degenera nella (4.72) ed ècomposta da un solo termine:

y0(t) = c1 e−t/RC , c1 ∈ R . (4.79)

Notiamo che, per la presenza della costante moltiplicativac1 arbitraria, la (4.79) non consente di determinareunivocamente l’uscita del sistema. Per determinare l’evoluzione libera del sistema dobbiamo imporre che lasoluzione omogeneay0(t) trovata soddisfi le condizioni iniziali (4.66); nel nostro caso (equazione del primoordine), dobbiamo imporre la sola condizioney0(0) = y0. Dalla (4.79) otteniamo allora che

y0(0) = c1 = y0 ,

per cui l’evoluzione libera del sistema RC è descritta dal seguente segnale:

ylib(t) = y0 e−t/RC .

Si noti che l’evoluzione libera dipende linearmente dal valore inizialey0. La soluzione particolareyp(t) dipendedal tipo di ingresso, e deve soddisfare l’equazione differenziale completa (4.77). Risolvendo tale equazionedifferenziale con la condizione inizialeyp(0) = 0, otteniamo la risposta forzata del sistema. Supponiamo adesempio che l’ingresso sia un gradinox(t) = u(t). In questo caso, l’equazione differenziale completa assume laforma

yp(t)+RCddt

yp(t) = u(t) ⇐⇒ ddt

yp(t)+1

RCyp(t) =

1RC

u(t) .

Se si moltiplicano ambo i membri dell’equazione di destra per l’esponenzialeet/RC e si osserva che

et/RC[

ddt

yp(t)+1

RCyp(t)

]=

ddt

[yp(t)et/RC

],

si ottiene:

ddt

[yp(t)et/RC

]=

1RC

et/RC u(t) =

0, set < 0 ;1

RCet/RC , set ≥ 0 ;

da cui, per integrazione indefinita,

yp(t)et/RC =

c2 , set < 0 ;∫

1RC

et/RC dt + c3 = et/RC + c3 , set ≥ 0.


Imponendo cheyp(0) = 0, segue chec3 = −1; inoltre, trattandosi di una equazione differenziale del primoordine, la discontinuità di prima specie del segnalex(t) all’istantet = 0 implica una discontinuità della stessaspecie all’istantet = 0 nella derivata prima diyp(t), ma non comporta discontinuità int = 0 del segnaleyp(t),per cui risulta chec2 = 0.10 Pertanto, la risposta forzata del sistema assume la forma:

yfor(t) = (1− e−t/RC)u(t) .

Si osservi cheyfor(t) è funzione lineare del segnale di ingressox(t) = u(t). Inoltre, si può verificare (la verifica èlasciata al lettore) che la soluzioneyt0(t) dell’equazione differenziale (4.77), ottenuta ponendox(t) = u(t− t0),cont0∈R−0 e con la condizione inizialeyt0(t0) = 0, è pari ayt0(t) = yfor(t−t0); in altri termini il legame trayfor(t) ex(t) = u(t) è tempo-invariante. La soluzione completay(t) dell’equazione differenziale corrispondenteall’ingressox(t) = u(t) si scrive:

y(t) = ylib(t)+ yfor(t) = y0 e−t/RC +(1− e−t/RC)u(t) . (4.80)

Osserviamo che, per la presenza dell’evoluzione libera, il sistema risultante non è omogeneo (e quindi non èlineare). Inoltre la presenza diy0(t) indipendente dall’ingresso rende il sistema non invariante temporalmen-te. Se allora siamo interessati ad un sistema LTI bisogna fissare come condizione iniziale quella di sistemainizialmente in quiete, ponendoy0 = 0, e la (4.80) si riduce a

y(t) = yfor(t) = (1− e−t/RC)u(t) .

Notiamo a questo punto che, essendo il sistema LTI nelle ipotesi fatte,y(t) = yfor(t) ne rappresenta la suarisposta al gradino, ovvero

s(t) = (1− e−t/RC)u(t) .

Tenendo presente la relazione (4.37) esistente tra risposta al gradino e risposta impulsiva, ricaviamo che larisposta impulsiva del sistema RC è:

h(t) =ddt

s(t) =1

RCe−t/RCu(t) ,

che, ponendoT = RC, corrisponde alla risposta impulsiva (4.50) assegnata nell’es. 4.11. La risposta impulsivae la risposta al gradino del sistema RC sono raffigurate in fig. 4.24. Oltre ad essere chiaramente dispersivo, ilsistema LTI ottenuto è causale [h(t) = 0,∀t < 0] e stabile [h(t) è sommabile].

Nel cap. 6 vedremo come sia possibile ottenere la caratterizzazione di un generico sistema descrittodalla (4.65) in maniera più semplice di quanto visto finora. Nel paragrafo successivo introduciamoinvece una classe di sistemi a TD con proprietà molto simili a quelli a TC descritti da equazionidifferenziali del tipo (4.65).

4.6.2 Sistemi descritti da equazioni alle differenze (sistemi ARMA)

Nel caso TD, una relazione analoga alla (4.65) è la seguente:

N

∑k=0

ak y(n− k) =M

∑m=0

bm x(n−m) , (4.81)

nota comeequazione alla differenze a coefficienti costanti di ordine N, conN ≥ 0 eaN = 0. Per taleequazione alle differenze si applicano tutte le considerazioni iniziali fatte per l’equazione differenziale

10Più in generale, per un’equazione differenziale di ordineN, si dimostra che una discontinuità di prima specie del segnalex(t) nel puntot0 implica una discontinuità di prima specie nel puntot0 della derivataN-esima del segnaleyp(t), ma noncomporta discontinuità nel medesimo punto diyp(t) e di tutte le sue derivate successive fino a quella di ordineN−1.


−2 −1 0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/RC

RC

h(t

)

(a)

−2 −1 0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/RC

s(t)

(b)

Fig. 4.24.Sistema RC (es. 4.16): (a) risposta impulsiva; (b) risposta al gradino.

(4.65). In particolare, i sistemi definiti implicitamente dalla (4.81), sotto opportune ipotesi, sonosistemi LTI, e sono denominati sistemiauto-regressivi a media mobile (ARMA).

Solo nel casoN = 0, la (4.81) rappresenta una relazione i-u semplice da studiare, in quanto èpossibile ricavare direttamentey(n) in funzione dix(n):

y(n) =1a0

M

∑m=0

bmx(n−m) . (4.82)

Dal confronto con l’es. 3.9, notiamo che la (4.82) definisce in effetti un sistemaa media mobile (MA)(e quindi LTI e FIR), avente la seguente risposta impulsiva:

h(n) =

bn

a0, n ∈ 0,1, . . . ,M ;

0, altrimenti.

PerN ≥ 1, analogamente al caso TC, la (4.81) descrive solo implicitamente un sistema; assegnatoil segnale di ingressox(n), per determinarne la relazione i-u, è necessario risolvere rispetto ay(n)l’equazione alle differenze. A tale proposito, va detto che la teoria e la pratica delle equazioni alledifferenze, sebbene in principio siano più semplici rispetto alle equazioni differenziali, sono general-mente meno note ai lettori, ma presentano interessanti analogie con le corrispondenti nozioni valideper le equazioni differenziali. In particolare, supposto che, a partire da un istante prefissatonin ∈ Z,sia applicato in ingresso al sistema un dato segnalex(n), per trovare la corrispondente uscitay(n) pern ≥ nin, è sufficiente conoscere i valori del segnale di uscita negliN istanti di tempo precedentinin;questi valori racchiudono tutte le informazioni circa il passato del sistema necessarie per determinareil suo comportamento pern ≥ nin. Ponendo per semplicitànin = 0, lo stato iniziale del sistema èpertanto descritto dalleN condizioni iniziali:

y(−1) = y1, y(−2) = y2, . . . , y(−N) = yN , (4.83)

dovey1,y2, . . . ,yN sono valori (in genere reali) assegnati. Assegnato l’ingressox(n) pern≥ nin, si puòprovare che la soluzione generale di una equazione del tipo (4.81) si può esprimere, analogamente allesoluzioni di una equazione differenziale (4.65), come:

y(n) = y0(n)+ yp(n) ,


dovey0(n) è la soluzione omogenea, ovvero la soluzione generale dell’equazione omogenea associataalla (4.81):

N

∑k=0

ak y(n− k) = 0, (4.84)

mentreyp(n) è una soluzione particolare dell’equazione “completa” (4.81), per la quale si ha:

N

∑k=0

ak yp(n− k) =M

∑m=0

bm x(n−m) . (4.85)

Il calcolo della soluzione generaley0(n) dell’equazione omogenea (4.84) si effettua ragionando simil-mente al caso TC. Se ci si limita a trovare soluzioni del tipozn, conz ∈ C e si poney(n) = zn nella(4.84), si ottiene:(

N

∑k=0

ak z−k

)︸︷︷︸

q(z)

zn = q(z)zn = 0 ⇐⇒ q(z) = 0.

Pertanto, l’esponenzialezn è soluzione della (4.84) se e solo se il parametroz è una radice delpolinomio caratteristicoq(z), ossia:

q(z) = a0 +a1 z−1 + · · ·+aN z−N = 0, (4.86)

le cui radici possono essere reali, immaginarie oppure complesse.11 Se leN radici del polinomioq(z)sono distinte, siano essez1,z2, . . . ,zN , la soluzione generale della (4.84) è data da:

y0(n) = c1 zn1 + c2 zn

2 + · · ·+ cN znN , (4.87)

dove c1,c2, . . . ,cN sono costanti arbitrarie. Se invece il polinomioq(z) presentaR radici distin-te z1,z2, . . . ,zR aventi molteplicitàN1,N2, . . . ,NR, rispettivamente, conN1 + N2 + · · ·+ NR = N, lasoluzione generale della (4.84) assume la forma:

y0(n) =R

∑i=1

Ni−1

∑h=0

ci,h nh zni . (4.88)

Quindi, come nel caso TC, la soluzione omogeneay0(n) non è univocamente specificata in quantodipende dagliN coefficienti arbitrarici,h. L’evoluzione libera del sistemaylib(n) corrisponde allaparticolare soluzione omogenea (4.88) che soddisfa le condizioni iniziali (4.83), ossia

y0(−1) = y1, y0(−2) = y2, . . . , yN(−N) = yN , (4.89)

dipendente solo dalle condizioni iniziali e completamente indipendente dal segnale di ingressox(n).Risolvendo il sistema lineare (4.89) si trova che le costantici,h sono combinazioni lineari dei valoriy0,y1, . . . ,yN−1 assunti day0(n) per n ∈ −N,−N + 1, . . . ,−1. Conseguentemente, l’evoluzionelibera ylib(n) del sistema è essa stessa una funzione lineare diy1,y2, . . . ,yN ; questo vuol dire chese si impone che il sistema sia inizialmente in quiete, cioèy1 = y2 = · · ·= yN = 0, l’evoluzione libera

11Nel caso in cui i coefficienti del polinomioa0,a1, . . . ,aN siano reali, le radici diq(z) sono o reali o complesse coniugate.


del sistema è nulla, ossia,ylib(n) = 0, ∀n ∈ Z. D’altra parte, la risposta forzata del sistemayfor(n) sipuò ottenere cercando una soluzione particolareyp(n) della (4.81) che soddisfa le condizioni:

yp(−1) = yp(−2) = · · ·= yp(−N) = 0 ;

essa tiene conto del solo segnale di ingressox(n) assumendo che siano nulle le condizioni iniziali.Similmente al caso TC, il legame tra la risposta forzatayfor(n) e il segnale di ingressox(n) è linearee tempo-invariante, e quindi anche in questo caso sex(n) ≡ 0 si hayfor(n) ≡ 0. In conclusione, larisposta del sistema può essere scritta come la somma dell’evoluzione libera e della risposta forzata:

y(n) = ylib(n)+ yfor(n) . (4.90)

A causa della presenza dell’evoluzione libera, il sistema descritto dalle (4.81) e (4.83) è in generalelineare per le differenze e tempo-variante. Tale sistema diventa LTI se si impone che il sistema siainizialmente in quiete, assegnandoy1 = y2 = · · ·= yN = 0. I sistemi LTI caratterizzati dalle equazionialle differenze del tipo (4.81), con condizioni iniziali nulle, sono detti sistemi ARMA e sono quelli acui faremo riferimento nel seguito.

A differenza del caso TC, l’equazione alle differenze (4.81) può essere risolta seguendo un me-todo alternativo a quello delineato sopra. Tale metodo si basa sull’osservazione che la (4.81) si puòriscrivere lasciando soloy(n) al primo membro:

y(n) =− 1a0

N

∑k=1

ak y(n− k)+1a0

M

∑m=0

bm x(n−m) . (4.91)

Tale relazione evidenzia che l’uscitay(n) all’istanten può essere calcolata a partire dal valore correntedel segnale di ingressox(n), dai valoriy(n−1),y(n−2), . . . ,y(n−N) assunti dal segnale di uscita neiprecedentiN istanti di tempo e dai valorix(n−1),x(n−2), . . . ,x(n−M) assunti dal segnale di ingres-so nei precedentiM istanti di tempo. Pertanto, se il segnale di ingresso è applicato al sistema a partiredall’istantenin = 0, il valorey(0) del segnale di uscita all’istanten = 0 si può calcolare utilizzandola (4.91), a partire dalla conoscenza del valore corrente del segnale di ingressox(0) e degliN valoriprecedenti dell’uscitay(−1),y(−2), . . . ,y(−N) (ovvero le condizioni iniziali assegnate). Successi-vamente, il valorey(1) del segnale di uscita all’istanten = 1 si può calcolare utilizzando la (4.91),a partire dalla conoscenza del valore corrente del segnale di ingressox(1), di quello passatox(0) edegli N valori precedenti dell’uscitay(0),y(1), . . . ,y(−N +1). Iterando questa procedura è possibilecalcolarericorsivamente il segnale di uscitay(n) pern ≥ 0, a partire dalla conoscenza del segnale diingresso e delle condizioni iniziali assegnate. Tale procedura, che è applicabile solo a TD, prende ilnome dimetodo ricorsivo per il calcolo dell’uscita di un sistema il cui funzionamento è determinatodalla equazione alle differenze (4.81) e dalle condizioni iniziali (4.83).

Nell’esempio che segue, il metodo ricorsivo è applicato allo studio di una semplice equazione alledifferenze del primo ordine.

Esempio 4.17 (sistema AR del primo ordine)Consideriamo la seguente equazione alle differenze di ordi-neN = 1:

a0 y(n)+a1 y(n−1) = b1 x(n) .

Dividendo primo e secondo membro pera0 = 0, e ponendoa=−a1/a0 eb

= b1/a0, possiamo riscriverla nella

forma seguente, più semplice,

y(n)−ay(n−1) = bx(n) , (4.92)

che possiamo esprimere equivalentemente come segue:

y(n) = ay(n−1)+bx(n) ,


da cui si ricava che l’uscitay(n) all’istanten può essere calcolata a partire dal valore corrente del segnale diingressox(n) e dal valore precedentey(n−1) del segnale di uscita. Questa interpretazione porta allo schema ablocchi riportato in fig. 4.25, la cui somiglianza con lo schema di fig. 4.23 sottolinea che l’equazione (4.92) sipuò interpretare come la controparte a TD dell’equazione differenziale del sistema RC (cfr. es. 4.16). Imponia-mo che il sistema sia LTI, assumendo che il sistema sia inizialmente in quiete, ovveroy(−1) = 0. In tale ipotesi,cerchiamo di determinarne la risposta impulsiva ponendox(n) = δ(n), in tal caso la corrispondente uscita delsistema è per definizione proprio la risposta impulsiva, ossiay(n) = h(n). A differenza del caso TC, possiamotrovare la soluzioneh(n) in maniera ricorsiva, scrivendo:

h(n) = ah(n−1)+bδ(n) .

Così facendo, troviamo iterando in avanti:

h(0) = ah(−1)+bδ(0) = b ,

h(1) = ah(0)+bδ(1) = ab ,

h(2) = ah(1)+bδ(2) = a(ab) = a2b ,

ed in generale, pern≥ 0,

h(n) = anb .

Analogamente, iterando all’indietro si ha:

h(−2) =1a[h(−1)−bδ(−2)] = 0,

h(−3) =1a[h(−2)−bδ(−3)] = 0,

ed in generale, pern < 0,

h(n) = 0.

In definitiva,h(n) può essere sinteticamente espressa come

h(n) = banu(n) .

che è rappresentata graficamente in fig. 4.26 pera = 0.8333 eb = 1. Dalle proprietà della risposta impulsiva,si vede che il sistema è dispersivo, causale, e stabile per 0< |a| < 1. È interessante osservare che, ponendob = 1, la risposta impulsiva di tale sistema coincide con quella assegnata nell’es. 4.11. Pertanto, il sistemain esame è un sistema IIR avente memoria praticamente finita, supposto 0< |a| < 1. La natura IIR di questosistema dipende dalla presenza nel sistema di un anello ricorsivo (fig. 4.25), il che giustifica anche il termineauto-regressivo (AR) utilizzato per tali sistemi.

Purtroppo il calcolo della risposta impulsiva di un sistema ARMA arbitrario utilizzando il metodoricorsivo non è sempre agevole come nell’es. 4.17; nel cap. 6 vedremo che esistono tecniche alternativeper studiare tali sistemi nel dominio della frequenza. Va detto che, in generale, perN ≥ 1, i sistemiARMA presentano risposte impulsive di durata infinita, e sono pertanto sistemi IIR.

A conclusione di questo paragrafo, data la notevole importanza dei sistema ARMA nelle appli-cazioni, ed in particolare nell’elaborazione digitale dei segnali,12 è utile fare qualche considerazionesulla loro implementazione. A tale proposito, osserviamo che la forma ricorsiva (4.91) dell’equazionealle differenze (4.81), oltre a fornire un metodo alternativo di risoluzione dell’equazione, suggerisceanche un modo per realizzare il sistema. Per semplicità, con un leggero abuso di notazione, denotiamo

12Ad esempio, in Matlab, il comandofilter implementa proprio la relazione i-u di un sistema ARMA.


x(n) y(n)b

z-1

a y(n-1)

Fig. 4.25.Schema a blocchi del sistema descritto dal-l’equazione alle differenzey(n) = ay(n−1)+ bx(n)(es. 4.17). 0 5 10 15 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

h(n)

Fig. 4.26.Risposta impulsiva del sistema LTI(es. 4.17) descritto dall’equazione alle differenzey(n)−ay(n−1) = bx(n) (a = 0.8333 eb = 1).

conak i rapporti−ak/a0, perk ∈ 1,2, . . . ,N, e conbm i rapportibm/a0, perm ∈ 0,1, . . . ,M; cosìfacendo la (4.91) si riscrive come segue:

y(n) =N

∑k=1

ak y(n− k)+N

∑m=0

bm x(n−m) , (4.93)

in cui abbiamo inoltre assunto senza perdita di generalità che13 N = M. Questa relazione mette in luceche un sistema ARMA può essere realizzato mediante opportuna interconnessione di tre componentielementari: amplificatore/attenuatore ideale, ritardo elementare e sommatore. Precisamente, lo sche-ma a blocchi corrispondente alla (4.93) è riportato in fig. 4.27. Tale schema evidenzia che un sistemaARMA può essere decomposto nellaserie di due sistemi LTI. Il primo sistema (quello di sinistra)effettua una semplice elaborazione (consistente in ritardi e moltiplicazioni per costanti) del segnale diingressox(n) producendo in uscita il segnale:

z(n) =N

∑m=0

bm x(n−m) . (4.94)

Tale sistema è in effetti un sistema MA di ordineN ed è pertanto un sistema FIR. Il secondo sistema(quello di destra) ha come ingresso il segnalez(n) e produce in uscita il segnaley(n) secondo laseguente relazione ricorsiva:

y(n) =N

∑k=1

ak y(n− k)+ z(n) , (4.95)

in cui l’uscita all’istanten si ricava in funzione del valore attuale del segnale di ingressoz(n) e deivalori del segnale di uscita negliN istanti precedenti. Questa ricorsione, che giustifica anche il termineauto-regressivo (AR) utilizzato per tali sistemi, si traduce dal punto di vista grafico nella “reazionedel segnale di uscita” che, opportunamente ritardato e scalato, è riportato indietro verso il segnale diingressoz(n). Per effetto della ricorsione, i sistemi AR presentano risposte impulsive di durata infinita,

13A partire da un sistema ARMA conN = M, è possibile ottenere un sistema conN > M, ponendo a zero i coefficientibm, perm ∈ M +1,M +2, . . . ,N; analogamente, è possibile ottenere un sistema conN < M, ponendo a zero i coefficientibk, perk ∈ N +1,N +2, . . . ,M.


x(n) y(n)b0

z-1

z-1

z-1

.

.

.

b1

bN

b2

.

.

.

x(n-2)

x(n-N)

z-1

z-1

z-1

.

.

....

x(n-1) a1

a2

aN

y(n-1)

y(n-2)

y(n-N)

z(n)

parte MA parte AR

Fig. 4.27.Realizzazione in forma diretta I di un sistema ARMA (N = M). Lo schema si può vedere come lacascata della parte MA e della parte AR.

e sono pertanto sistemi IIR. Possiamo quindi dire che la (4.94) rappresenta la parte MA (o FIR) delsistema, mentre la (4.95) rappresenta la parte AR (o IIR) del sistema. La realizzazione di fig. 4.27 ècomunemente denominataforma diretta I del sistema ARMA. Osserviamo che per tale realizzazionesono richiesti due banchi costituiti daN ritardi elementari,14 per un totale di 2N ritardi elementari,nonchè amplificatori e sommatori. Lo schema di fig. 4.27 può essere riorganizzato allo scopo diridurre il numero di ritardi elementari richiesti, senza alterare la natura del sistema. Un modo perfare ciò consiste nello scambiare l’ordine della parte MA e AR nella cascata; ciò non altera il legamei-u del sistema, in quanto sia la parte MA che quella AR sono sistemi LTI, ed abbiamo visto che peri sistemi LTI l’ordine di connessione in serie è inessenziale. Così facendo si giunge alla strutturamodificata rappresentata in fig. 4.28, che è generalmente denominataforma diretta II del sistemaARMA.15 Si nota che in questa nuova configurazione i due banchi diN ritardi hanno in ingresso ilmedesimo segnaleu(n) e, pertanto, essi possono essere sostituiti da un unico banco costituito solo daN elementi di ritardo. In tal modo, si ottiene la struttura cosiddettacanonica riportata in fig. 4.29, cheminimizza il numero di ritardi necessari (e quindi l’ingombro di memoria) per l’implementazione delsistema ARMA.

14Un banco diN ritardi è equivalente ad un registro a scorrimento di lunghezzaN.15Il comandofilter di Matlab, precedentemente menzionato, calcola l’uscita di un sistema ARMA utilizzando proprio

la forma diretta II.


x(n) y(n)b0

z-1

z-1

z-1

.

.

.

b1

bN

b2

.

.

.

u(n-2)

u(n-N)

z-1

z-1

z-1

.

.

....

u(n-1)a1

a2

aN

parte AR parte MA

u(n)

Fig. 4.28.Realizzazione in forma diretta II di un sistema ARMA (N = M). Lo schema si ottiene facilmente daquello di fig. 4.27 scambiando l’ordine della parte MA e della parte AR.

x(n) y(n)b0

b1

bN

b2

.

.

.

z-1

z-1

z-1

.

.

....

a1

a2

aN

u(n)

u(n-N)

Fig. 4.29.Realizzazione in forma canonica di un sistema ARMA (N = M). Lo schema si ottiene facilmente daquello di fig. 4.28 notando che i due banchi di ritardi paralleli possono essere sostituiti da un unico banco.


4.7 Risposta in frequenza di un sistema LTI

Abbiamo visto in questo capitolo che rappresentando un arbitrario segnale di ingressox(·) comesovrapposizione (discreta o continua) di impulsiδ(·), è possibile caratterizzarein generale il com-portamento di un sistema LTI attraverso la sua risposta impulsivah(·), e scrivere la relazione i-u intermini di convoluzione discreta (4.7) oppure continua (4.12).

Vedremo nei prossimi capitoli che un’ampia famiglia di segnali di interesse pratico possono es-sere rappresentati, oltre che come sovrapposizione di impulsi, anche come sovrapposizione difasori(esponenziali complessi) a diverse frequenze o, se reali, di sinusoidi (rappresentazioni di Fourier).Per la proprietà di sovrapposizione degli effetti caratteristica dei sistemi lineari, e dei sistemi LTI inparticolare, e tenendo anche conto del fatto che le sinusoidi stesse si possono esprimere come sovrap-posizione di una coppia di fasori (formule di Eulero), è allora sufficiente analizzare il comportamentodi un sistema LTI quando esso in ingresso viene sollecitato da un singolo fasore avente frequenzaarbitraria. La caratterizzazione risultante del sistema prende il nome direlazione i-u nel dominio dellafrequenza, e la funzione che descrive il sistema in tale rappresentazione è larisposta in frequenza delsistema LTI. Nei paragrafi seguenti, per comodità di presentazione, studieremo tale rappresentazioneseparatamente nel caso TC e nel caso TD.

4.7.1 Risposta ad un fasore di un sistema TC LTI

Un sistema TC LTI è descritto dalla relazione i-u (4.12), che riportiamo di seguito per comodità:

y(t) =∫ +∞

−∞h(τ )x(t− τ )dτ .

Supponiamo che il segnale di ingresso sia un fasore a frequenzaf , avente ampiezza unitaria e faseiniziale nulla, ovvero poniamox(t) = e j2π f t . Sostituendo nella relazione i-u del sistema, si ottiene:

y(t) =∫ +∞

−∞h(τ )e j2π f (t−τ ) dτ =

(∫ +∞

−∞h(τ )e− j2π f τ dτ

)e j2π f t .

Assumendo che la quantità tra parentesi tonde esista finita, e ponendo:

H( f )=∫ +∞

−∞h(τ )e− j2π f τ dτ , (4.96)

si ha:

y(t) = H( f )e j2π f t .

Questa relazione mostra che l’uscitay(t) corrispondente al fasorex(t) = e j2π f t è a sua volta un fasoreavente la stessa frequenzaf dell’ingresso, moltiplicato perH( f ). Questa importante proprietà deisistemi TC LTI si può riassumere sinteticamente come segue:

Proprietà 4.9 (risposta ad un fasore di un sistema TC LTI)Si consideri un fasore a frequenzaf ∈R, in ingresso ad un sistema TC LTI con risposta impulsivah(t), per il quale laH( f ) definita dalla (4.96) esiste finita. Vale la seguente relazione i-u:

x(t) = e j2π f t −→ y(t) = H( f )e j2π f t (4.97)

4.7 Risposta in frequenza di un sistema LTI 183

x(t) H(f) y(t) = H( f) ej2πft

Fig. 4.30.Rappresentazione schematica dellarisposta ad un fasore di un sistema TC LTI.

x(n) H(ν) y(n) = H( ν) ej2πνn

Fig. 4.31.Rappresentazione schematica dellarisposta ad un fasore di un sistema TD LTI.

La prop. 4.9 può anche essere rappresentata dallo schema a blocchi di fig. 4.30. Si noti che taleproprietà vale anche perf = 0, ed in tal caso il fasore di ingresso degenera nel segnale costantex(t) = 1, cui corrisponde in uscita ancora un segnale costantey(t) = H(0). La quantitàH(0) prendeil nome diguadagno in continua del sistema LTI.

Dalla sua definizione (4.96), osserviamo cheH( f ), per ogni fissato valore dif , è in generale unagrandezza complessa, che si può scrivere in termini di ampiezza e fase come segue:

H( f ) = |H( f )|e jH( f ) .

Sostituendo tale espressione nella (4.97), si ha:

y(t) = |H( f )|e jH( f ) e j2π f t = |H( f )|e j[2π f t+H( f )] . (4.98)

La (4.98) mostra in maniera più esplicita l’effetto del sistema sul fasore in ingresso, in particolarel’ampiezza del fasore viene modificata da|H( f )|, mentre la fase del fasore viene modificata daH( f ).Notiamo che la frequenza del fasore resta invariata nel passaggio attraverso il sistema LTI.16

RiguardandoH( f ) come una funzione complessa della frequenzaf ∈ R, essa prende il nome dirisposta in frequenza o risposta armonica del sistema LTI; inoltre il suo modulo|H( f )|, che modifical’ampiezza del fasore di ingresso, prende il nome dirisposta in ampiezza, mentre la sua faseH( f ),che modifica la fase del fasore di ingresso, prende il nome dirisposta in fase. Vedremo nel cap. 6 chela relazione (4.96), che definisceH( f ) in funzione dih(τ ), si può interpretare come latrasformatadi Fourier del segnaleh(τ ). Sotto opportune ipotesi, generalmente soddisfatte dai segnali di interessepratico, tale relazione di trasformata di Fourier è invertibile, e la sua inversa, dettaantitrasformata diFourier, consente di calcolare la risposta impulsivah(τ ) a partire dalla risposta armonicaH( f ).

È interessante osservare che la risposta in frequenza è sicuramente limitata se la risposta impulsivaè sommabile, ovvero se il sistema è stabile. La prova di questo risultato si ottiene osservando che:

|H( f )|=∣∣∣∣∫ +∞

−∞h(τ )e− j2π f τ dτ

∣∣∣∣≤ ∫ +∞

−∞|h(τ )| |e− j2π f τ |︸︷︷︸

=1

dτ =∫ +∞

−∞|h(τ )|dτ , ∀ f ∈ R ,

da cui segue che, seh(τ ) è sommabile, allora l’integrale all’ultimo membro dell’equazione precedenteesiste finito e, conseguentemente,|H( f )|< +∞, ∀ f ∈ R. Quindi, la prop. 4.9 si applica sicuramentea tutti i sistemi stabili.

16Il fatto che ad un fasore in ingresso corrisponda un fasore in uscita alla stessa frequenza, evidenzia che i fasori sonosegnali particolari per i sistemi LTI, in quanto restano sostanzialmente inalterati nel passaggio attraverso il sistema stesso.Tale proprietà si esprime, per analogia con la corrispondente proprietà dell’algebra lineare, dicendo che i fasori sono leautofunzioni dei sistemi LTI. Infatti, poiché nell’algebra lineare una trasformazione lineare è descritta da una matriceA,ovvero si hay = Ax, la relazioneAe = λ e che definisce gli autovettori e gli autovalori si può interpretare come il fattoche il vettoree viene trasformato daA nel vettoreλ e, proporzionale ae. Per completare l’analogia, si noti allora che lafunzioneH( f ) gioca il ruolo del coefficiente di proporzionalitàλ , cioè dell’autovalore. Questa analogia può essere resarigorosa utilizzando concetti matematici più avanzati, in particolare concetti dianalisi funzionale.


SuppostoH( f ) finita, la prop. 4.9 consente anche di fornire una definizione della risposta infrequenza alternativa alla (4.96), ovvero

H( f )=

y(t)x(t)

∣∣∣∣x(t)=e j2π f t

, (4.99)

secondo la qualeH( f ) si esprime come il rapporto tra l’uscita e l’ingresso quando l’ingresso è un fa-sore a frequenzaf , avente ampiezza unitaria e fase iniziale nulla. Questa definizione è di grande utilitàper ricavare direttamente la risposta armonica dei sistemi TC LTI descritti da equazioni differenzialilineari a coefficienti costanti (cfr. § 4.6.1), come dimostrato dall’esempio seguente.

Esempio 4.18 (risposta in frequenza di un sistema RC)Consideriamo il sistema RC dell’es. 4.16, raffi-gurato in fig. 4.22. Applicando i principi di Kirchoff e le relazioni tensione-corrente per i componentiR eC, siperviene alla seguente equazione differenziale, che descrive il comportamento del sistema:

RCdy(t)

dt+ y(t) = x(t) . (4.100)

Abbiamo visto nell’es. 4.16 (si veda anche il § 4.6.1) che, nell’ipotesi in cui il sistema sia inizialmente inquiete [y(0) = 0] tale equazione differenziale definisceunivocamente un sistema LTI causale e stabile, aventerisposta impulsivah(t) = 1

RC e−t/RC u(t). Sfruttando la conoscenza dih(t), è possibile allora calcolare la rispostain frequenzaH( f ) mediante la (4.96): questo approccio equivale ad effettuare la trasformata di Fourier dih(t), e sarà ulteriormente approfondito nel cap. 6. È più semplice invece – e non richiede la conoscenzadi h(t) – calcolare la risposta in frequenza del sistema utilizzando la (4.99), ossia ponendox(t) = e j2π f t ey(t) = H( f )e j2π f t , e sostituendo tali espressioni nell’equazione differenziale (4.100) che descrive il sistema.Notando infatti che

dy(t)dt

=ddt

[H( f )e j2π f t]= j2π f H( f )e j2π f t ,

sostituendo nella (4.100) si ha:

RC j2π f H( f )e j2π f t +H( f )e j2π f t = e j2π f t ,

da cui mettendo in evidenzae j2π f t si ottiene:

(RC j2π f +1)H( f )e j2π f t = e j2π f t .

Affinché l’uguaglianza precedente possa valere per ognit ∈ R, deve risultare necessariamente:

(RC j2π f +1)H( f ) = 1,

da cui si ottiene infine larisposta in frequenza di un sistema RC:

H( f ) =1

1+ j2π f RC.

La precedente relazione mostra effettivamente cheH( f ) è una funzione complessa dif , della quale è facilericavare modulo e fase, che definiscono rispettivamente larisposta in ampiezza e larisposta in fase del sistemaRC:

|H( f )|= 1√1+(2π f RC)2

(risposta in ampiezza)

H( f ) =−arctan(2π f RC) (risposta in fase)

che sono rappresentate graficamente in fig. 4.32 in funzione di 2π f RC. Particolarmente interessante è notareche la risposta in ampiezza è uguale ad 1 solo perf = 0, mentre assume valori minori di 1 perf = 0 e decrescenti


−10 −5 0 5 100

0.5

1

2 π f R C|H

(f)|

−10 −5 0 5 10

−1

0

1

2 π f R C

∠ H

(f)

Fig. 4.32.Risposta in frequenza di un sistema RC(es. 4.18): risposta in ampiezza (in alto); risposta infase (in basso).

al crescere di| f |. In virtù di questo comportamento, solo il fasore a frequenzaf = 0 (coincidente con il segnalecostantex(t) = 1) non viene attenuato in ampiezza passando attraverso il sistema, mentre i fasori a frequenzaf = 0 subiscono attenuazioni di ampiezza, crescenti al crescere di| f |. Un sistema di questo tipo, che introduceun’attenuazione di ampiezza crescente con la frequenza, viene chiamatofiltro passabasso.

Come osservazione conclusiva, notiamo che, a prima vista, si potrebbe pensare che nella strada seguita perdeterminareH( f ) si sia sfruttata solo l’equazione differenziale (4.100) e non la condizione inizialey(0) = 0;il che potrebbe far pensare che il risultato ottenuto è valido anche se il sistema non è inizialmente in quiete.Tale conclusione non è corretta. Infatti, nell’imporre che l’uscita corrispondente al segnalex(t) = e j2π f t avessel’espressioney(t) = H( f )e j2π f t , si è implicitamente imposto che il sistema sia LTI, il che è vero se e solo sey(0) = 0. Quindi, suppostoH( f ) finita, cercare la soluzioney(t) = H( f )e j2π f t dell’equazione differenzialeassegnata è equivalente ad imporre la condizione inizialey(0) = 0.

La prop. 4.9 e l’es. 4.18 mostrano che un sistema LTI tratta i fasori presenti al suo ingresso diversamen-te a seconda della loro frequenza, modificandone sia l’ampiezza che la fase con una legge dipendenteda f : tale comportamento, che assume una importanza rilevante nello studio dei sistemi LTI, va sottoil nome di proprietà diselettività in frequenza dei sistemi LTI, e sarà ulteriormente approfondito neiprossimi capitoli. In particolare, è importante osservare che la risposta in frequenza di un sistema puòanche annullarsi ad una data frequenzaf0, cioèH( f0) = 0; questo significa che se si mette in ingressoa tale sistema un fasore avente frequenzaf0, la corrispondente uscita è nulla. Pertanto, dato un sistemaLTI, se l’ingresso è nullo, la corrispondente uscita è necessariamente nulla (cfr. prop. 3.4); tuttavia,l’uscita di un sistema LTI può essere nulla anche quando in ingresso al sistema è posto un segnale nonnullo. In altri termini, il sistema può “sopprimere” completamente il segnale di ingresso.

L’es. 4.18 conferma che la funzioneH( f ) data dalla (4.96) o dalla (4.99) è in generale una funzio-ne complessa. Se il sistema LTI è reale, ovvero la sua risposta impulsivah(t) è una funzione reale, èpossibile provare che tale funzione complessa gode di una particolare proprietà di simmetria. Infatti,coniugando la (4.96), si ottiene:

H∗( f ) =∫ +∞

−∞h∗(τ )e j2π f τ dτ =

∫ +∞

−∞h(τ )e− j2π(− f )τ dτ = H(− f ) ,

dove si è sfruttato il fatto che, seh(τ ) è reale, risultah∗(τ ) = h(τ ). In definitiva,per un sistema reale,si ha:

H∗( f ) = H(− f ) . (4.101)


Tale proprietà di simmetria della risposta in frequenzaH( f ) prende il nome disimmetria hermitiana,ed è conseguenza del fatto cheh(t) è una funzione reale. Utilizzando la formula di antitrasformazionedi Fourier (cfr. cap. 6) si può anche provare che, se vale la (4.101), allora lah(t) è necessariamentereale. In termini matematici, quindi, la simmetria hermitiana dellaH( f ) è unacondizione necessa-ria e sufficiente affinché la risposta impulsivah(t) sia reale (e quindi affinché il sistema sia reale).Notiamo che, ponendof = 0 nella (4.101), si ottieneH∗(0) = H(0), e quindi si ricava cheH(0) ènecessariamente reale, ovveroil guadagno in continua di un sistema reale è reale.

Nel caso particolare in cuiH( f ) assume solo valori reali, la simmetria hermitiana (4.101) si riducealla convenzionale proprietà di simmetria pari. Più in generale, è possibile interpretare la simmetriahermitiana diH( f ) come simmetria pari/dispari della risposta in ampiezza ed in fase. Infatti se siesprimeH( f ) in termini di modulo e fase:

H( f ) = |H( f )|e jH( f ) ,

dalla (4.101) si ha:

|H( f )|e− jH( f ) = |H(− f )|e jH(− f ) ,

da cui, uguagliando modulo e fase del primo e del secondo membro, si ha necessariamente:

|H( f )|= |H(− f )| , (4.102)

H( f ) =−H(− f ) . (4.103)

La (4.102) mostra in particolare chela risposta in ampiezza di un sistema reale è una funzione paridif , mentre la (4.102) mostra chela risposta in fase di un sistema reale è una funzione disparidi f (ameno di multipli di 2π).

Esempio 4.19 (simmetria hermitiana della risposta in frequenza di un sistema RC)La risposta impul-siva di un sistema RC è la funzione realeh(t) = 1

RC e−t/RC u(t), per cui esso è un sistema reale, e quindi lasua risposta in frequenzaH( f ) presenta la proprietà di simmetria hermitiana. Tale proprietà si può provareanaliticamente, notando che

H∗( f ) =1

1− j2π f RC=

11+ j2π(− f )RC

= H(− f ) ,

oppure anche graficamente, notando (fig. 4.32) che la risposta in ampiezza è una funzione pari, e la risposta infase è una funzione dispari.

4.7.2 Risposta ad un fasore di un sistema TD LTI

Le considerazioni sviluppate nel precedente paragrafo nel caso TC si possono ripetere per il caso TD,con poche modifiche. Partiamo dalla relazione i-u (4.7) per un sistema TD LTI, che riportiamo diseguito per comodità:

y(n) =+∞

∑k=−∞

h(k)x(n− k) .

Supponiamo che l’ingressox(n) sia un fasore a frequenzaν ∈ R, avente ampiezza unitaria e faseiniziale nulla, ovvero poniamox(n) = e j2πνn. Sostituendo l’espressione dix(n) nella relazione i-u delsistema, si ottiene:

y(n) =+∞

∑k=−∞

h(k)e j2πν(n−k) =

(+∞

∑k=−∞

h(k)e− j2πνk

)e j2πνn


Nell’ipotesi che la serie bilatera tra parentesi tonde converga, poniamo:

H(ν)=

+∞

∑k=−∞

h(k)e− j2πνk , (4.104)

per cui si può scrivere:

y(n) = H(ν)e j2πνn ,

e quindi l’uscitay(n) corrispondente al fasorex(n) = e j2πνn è un fasore avente la stessa frequenzaν dell’ingresso, moltiplicato per la quantitàH(ν). Tale importante proprietà è riassunta schematica-mente di seguito:

Proprietà 4.10 (risposta ad un fasore di un sistema TD LTI)Si consideri un fasore a frequenzaν ∈R, in ingresso ad un sistema TD LTI con risposta impulsivah(n), per il quale laH(ν) definita dalla (4.104) esiste finita. Vale la seguente relazione i-u:

x(n) = e j2πνn −→ y(n) = H(ν)e j2πνn (4.105)

La prop. 4.10, analogamente al caso TC, può essere rappresentata schematicamente come in fig. 4.31.Tale proprietà vale anche perν = 0, ed in tal caso il fasore di ingresso degenera nel segnale costantex(n) = 1, cui corrisponde in uscita ancora un segnale costantey(n) = H(0). La quantitàH(0) prendeanche in questo caso il nome diguadagno in continua del sistema LTI.

Riguardata come funzione complessa della variabileν ∈ R, la funzioneH(ν) prende il nome dirisposta in frequenza o risposta armonica del sistema TD LTI. Il modulo e la fase diH(ν), come nelcaso TC, prendono il nome di risposta in ampiezza e in fase, rispettivamente, in quanto agiscono sul-l’ampiezza e sulla fase del fasore di ingresso. Anche in questo caso la relazione matematica (4.104)che definisceH(ν) in funzione dih(k) è unatrasformata di Fourier, e sotto opportune ipotesi mostre-remo che tale relazione è invertibile, per cui è possibile ricavareh(k) a partire daH(ν) mediante unaantitrasformata di Fourier.

Notiamo che, come nel caso TC, la risposta in frequenza esiste finita per ogniν ∈ R se il sistemaè stabile, ovveroh(k) è sommabile. Quest’ultimo risultato discende dal fatto che

|H(ν)|=∣∣∣∣∣ +∞

∑k=−∞

h(k)e− j2πνk

∣∣∣∣∣≤ +∞

∑k=−∞

|h(k)| |e− j2πνk|︸︷︷︸k=1

=+∞

∑k=−∞

|h(k)| , ∀ν ∈ R ,

da cui segue che, seh(k) è sommabile, allora la serie all’ultimo membro dell’equazione di cui sopra èconvergente e, conseguentemente,|H(ν)|< +∞, ∀ν ∈R. Quindi, la prop. 4.10 si applica sicuramentea tutti i sistemi stabili.

Una differenza importante tra la risposta in frequenza nel caso TC e quella nel caso TD è legataalla proprietà di periodicità in frequenza dei fasori TD (cfr. § 2.3.3). Infatti, poiché nel caso TDdue fasori aventi frequenzeν e ν +1 coincidono, ci aspettiamo che il sistema LTI li tratti allo stessomodo, e quindi che la risposta in frequenza assuma gli stessi valori in corrispondenza di tali frequenze,ovvero

H(ν) = H(ν +1) , ∀ν ∈ R .

Questa relazione si può provare facilmente (vedi dopo), ed esprime il fatto che la funzioneH(ν) èperiodica in frequenza di periodo 1. Vale pertanto la seguente proprietà:


Proprietà 4.11 (periodicità della risposta in frequenza di un sistema TD LTI)La risposta in frequenzaH(ν) di un sistema LTI a TD, definita dalla (4.104), è periodica diperiodo unitario, ossia:

H(ν) = H(ν +1) , ∀ν ∈ R .

Prova. La prova è banale, e discende direttamente dalla definizione (4.104) e dalla periodicità in frequenzadei fasori TD. Calcolando direttamenteH(ν +1), si ha:

H(ν +1) =+∞

∑k=−∞

h(k)e− j2π(ν+1)k =+∞

∑k=−∞

h(k)e− j2πνk e− j2πk︸︷︷︸=1

=+∞

∑k=−∞

h(k)e− j2πνk = H(ν) ,

come si voleva dimostrare.

Anche nel caso TD, suppostoH(ν) finita, la prop. 4.10 consente di fornire una definizione dellarisposta in frequenza alternativa alla (4.104), e precisamente:

H(ν)=

y(n)x(n)

∣∣∣∣x(n)=e j2πνn

(4.106)

ovvero come rapporto tra l’uscita e l’ingresso quando l’ingresso è un fasore a frequenzaν , aventeampiezza unitaria e fase iniziale nulla. Questa definizione è di grande utilità per ricavare direttamentela risposta armonica di un sistema LTI descritto da una equazione alle differenze lineare a coefficienticostanti (cfr § 4.6.2), come dimostrato dall’esempio seguente.

Esempio 4.20 (risposta in frequenza di un sistema AR del primo ordine)Consideriamo il sistema AR del-l’es. 4.17, descritto dalla seguente equazione alle differenze:

y(n) = ay(n−1)+bx(n) . (4.107)

Abbiamo visto nell’es. 4.17 che, nell’ipotesi di condizioni iniziali nulle, ossiay(−1) = 0, tale equazione alledifferenze definisce univocamente un sistema LTI causale, avente risposta impulsivah(n) = ban u(n), che risultastabile se|a|< 1. Invece di sostituire l’espressione dih(n) nella (4.104), utilizziamo la (4.99), ossia sostituiamox(n) = e j2πνn e y(n) = H(ν)e j2πνn nella (4.107). Si ha:

H(ν)e j2πνn = aH(ν)e j2πν(n−1) +be j2πνn ,

da cui raggruppando i termini si ottiene:

H(ν)(1−ae− j2πν)e j2πνn = be j2πνn .

Affinché l’uguaglianza precedente sia verificata per ognin ∈ Z, deve risultare:

H(ν)(1−ae− j2πν)= b ,

da cui si ottiene infine larisposta in frequenza di un sistema AR del primo ordine:

H(ν) =b

1−ae− j2πν .

Bisogna osservare che il procedimento seguito è corretto solo nell’ipotesi che la funzioneH(ν) definita dalla(4.104) esiste finita; abbiamo visto che una condizione sufficiente affinché ciò accada è cheh(n) sia sommabile


−2 −1 0 1 20

1

2

ν

|H(ν

)|

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

ν

∠ H

(ν)

Fig. 4.33.Risposta in frequenza di un sistema AR delprimo ordine (es. 4.20) pera = 0.5: risposta in am-piezza (in alto); risposta in fase (in basso). Si noti chele risposte sono periodiche di periodo 1.

−2 −1 0 1 20

1

2

ν

|H(ν

)|

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

ν

∠ H

(ν)

Fig. 4.34.Risposta in frequenza di un sistema AR delprimo ordine (es. 4.20) pera =−0.5: risposta in am-piezza (in alto); risposta in fase (in basso). Si noti chele risposte sono periodiche di periodo 1.

(sistema stabile), il che accade se e solo se|a|< 1. Larisposta in ampiezza e larisposta in fase del sistema ARsi ottengono applicando semplici risultati di algebra dei numeri complessi, e si possono esprimere come

|H(ν)|= |b|√[1−a cos(2πν)]2 +a2 sin2(2πν)

=|b|√

1+a2−2a cos(2πν),

H(ν) = b−arctan

[a sin(2πν)

1−a cos(2πν)

],

che sono rappresentate graficamente in fig. 4.33 pera = 0.5 e b = 1, ed in fig. 4.34 pera = −0.5 e b = 1.Abbiamo rappresentato modulo e fase nell’intervalloν ∈ (−2,2), per evidenziare la periodicità diH(ν) conperiodo unitario; in pratica tenendo conto di questa osservazione sarebbe stato sufficiente rappresentare moduloe fase in un qualunque intervallo di ampiezza unitaria, comeν ∈ (0,1) oppureν ∈ (−1/2,1/2). Una differenzaimportante che emerge dal confronto tra gli spettri di ampiezza pera = 0.5 ea =−0.5 è il fatto che nel primocaso si ha un massimo perν = 0 (e, per la periodicità, per tutti i puntiν = k, k ∈ Z), mentre nel secondo casosi ha un massimo perν = 1

2 (e, per la periodicità, per tutti i puntiν = 12 + k, k ∈ Z). Ricordando (cfr. § 2.3.3)

che nel caso TD le frequenzeν = 12 + k, k ∈ Z, rappresentano quelle dei fasori più rapidamente variabili (e

quindi vanno considerate come lealte frequenze nel caso TD), possiamo concludere che pera =−0.5 (ma piùin generale, per−1 < a < 0) il sistema LTI si comporta come unfiltro passaalto, mentre pera = 0.5 (più ingenerale, per 0< a < 1) il sistema si comporta come unfiltro passabasso.

La proprietà 4.10 e l’es. 4.20 mostrano che un sistema LTI, anche nel caso TD, tratta selettivamente ifasori in ingresso a secondo della frequenzaν (selettività in frequenza dei sistemi LTI). In particolare,se la risposta in frequenza si annulla alla frequenzaν , un fasore a frequenzaν è completamentesoppresso dal sistema, nel senso che la corrispondente uscita è nulla. Anche nel caso TD, inoltre, seh(n) è una funzione reale (sistema reale), laH(ν) gode della proprietà disimmetria hermitiana:

H∗(ν) = H(−ν) , (4.108)

che si può esprimere equivalentemente, come nel caso TC, dicendo che il modulo è una funzione paridi ν , e la fase una funzione dispari diν (a meno di multipli di 2π). Ad esempio, si può verificareanaliticamente che la risposta in frequenzaH(ν) dell’es. 4.20 soddisfa la (4.108), e d’altra parte


dalle fig. 4.33 e 4.34 appare chiaro che lo spettro di ampiezza ha simmetria pari, e quello di fase hasimmetria dispari.

Concludiamo sottolineando che le relazioni i-u per i fasori viste in questa sezione (prop. 4.9 peril caso TC e 4.10 per il caso TD) sono di grande importanza teorica per il seguito della trattazione, esaranno frequentemente utilizzate nei capitoli seguenti.

4.7.3 Risposta ad una sinusoide di un sistema LTI reale

Data la relazionelineare esistente tra fasori e sinusoidi (formule di Eulero), è semplice ricavare lerelazioni i-u per le sinusoidi in ingresso a sistemi LTI applicando il principio di sovrapposizione. Siconsideri, ad esempio, il segnale sinusoidale TC a frequenzaf0 ∈ R:

x(t) = A cos(2π f0t +ϕ0) .

Applicando la formula di Eulero, esso può essere espresso come sovrapposizione di due fasori:

x(t) =A2

e j(2π f0t+ϕ0) +A2

e− j(2π f0t+ϕ0) =A2

e jϕ0 e j2π f0t +A2

e− jϕ0 e− j2π f0t .

Notando che le quantitàA2 e jϕ0 e A2 e− jϕ0 sono delle semplici costanti moltiplicative complesse (non

dipendenti cioè dal tempot), è possibile applicare il principio di sovrapposizione (3.23) e successiva-mente la (4.97), ottenendo:

y(t) =A2

e jϕ0 H( f0)e j2π f0t +A2

e− jϕ0 H(− f0)e− j2π f0t .

In generale, la precedente relazione non fornisce un segnaley(t) reale. Se però il sistema LTI èreale, laH( f ) gode della proprietà di simmetria hermitiana (4.101), per cui la relazione precedente sisemplifica notevolmente, evidenziando che il segnaley(t) è reale.17 Infatti, poichéH∗( f0) = H(− f0),i due addendi della precedente relazione sono uno il coniugato dell’altro, per cui si ha:

y(t) = 2Re

[A2

H( f0)e j(2π f0t+ϕ0)]

= A |H( f0)| cos[2π f0t +ϕ0 +H( f0)] .

La relazione trovata mostra che l’uscitay(t) corrispondente ad una sinusoide a frequenzaf0 è ancorauna sinusoide alla stessa frequenza, con ampiezza modificata da|H( f0)| e fase modificata daH( f0).Un ragionamento analogo si può effettuare per la funzione seno, e quindi sinteticamente è possibileenunciare la proprietà seguente:

Proprietà 4.12 (risposta ad una sinusoide di un sistema TC LTI)Si consideri una sinusoide (coseno o seno) a frequenzaf0 ∈R, in ingresso ad un sistema TC LTIcon risposta impulsivareale h(t), per il qualeH( f ) definita dalla (4.96) esiste finita perf = f0.Valgono le seguenti relazioni i-u:

x(t) = A cos(2π f0t +ϕ0) −→ y(t) = A |H( f0)| cos[2π f0t +ϕ0 +H( f0)] ; (4.109)

x(t) = A sin(2π f0t +ϕ0) −→ y(t) = A |H( f0)| sin[2π f0t +ϕ0 +H( f0)] . (4.110)

17D’altra parte, un sistema reale sollecitato da un segnale di ingresso reale deve necessariamente restituire in uscita unsegnale reale.


x(t) y(t)circuitoelettrico

generatoresinusoidale

f0 (variabile )oscilloscopio adoppia traccia

in1

in2

Fig. 4.35.Schema di principio per la misura della risposta in frequenza di un circuito elettronico (es. 4.21).

Si può immediatamente osservare che, seH( f0) = 0, allora l’uscita corrispondente ad un segnale diingresso sinusoidale/cosinusoidale a frequenzaf0 è identicamente nulla. Notiamo in effetti che la(4.110) si può ottenere come caso particolare della (4.109) introducendo un opportuno sfasamento diπ/2. Inoltre, la prop. 4.12 vale con ovvi cambi di notazione anche per il caso tempo-discreto, ed èriportata di seguito per completezza, lasciando al lettore gli ovvi passaggi per la sua dimostrazione:

Proprietà 4.13 (risposta ad una sinusoide di un sistema TD LTI)Si consideri una sinusoide (coseno o seno) a frequenzaν0 ∈R, in ingresso ad un sistema TD LTIcon risposta impulsivareale h(n), per il qualeH(ν) definita dalla (4.104) esiste finita perν = ν0.Valgono le seguenti relazioni i-u:

x(n) = A cos(2πν0n+ϕ0) −→ y(n) = A |H(ν0)| cos[2πν0t +ϕ0 +H(ν0)] ; (4.111)

x(n) = A sin(2πν0t +ϕ0) −→ y(n) = A |H(ν0)| sin[2πν0t +ϕ0 +H(ν0)] . (4.112)

Analogamente al caso TC, seH(ν0) = 0, allora l’uscita corrispondente ad un segnale di ingressosinusoidale/cosinusoidale a frequenzaν0 è identicamente nulla.

Esempio 4.21 (misura sperimentale della risposta in frequenza di un circuito elettrico)La prop. 4.12 èalla base di una semplice tecnica sperimentale utilizzata per la determinazione della risposta in frequenza di uncircuito elettrico. Si consideri lo schema di misura di fig. 4.35, nel quale si collega un generatore sinusoidale(con frequenzaf0 variabile) all’ingresso del circuito elettrico da analizzare; un oscilloscopioa doppia traccia,capace cioè di rappresentare due segnali su uno stesso visore, viene collegato all’ingresso e all’uscita del circui-to, in modo che da rappresentare i segnalix(t) e y(t) sovrapposti (fig. 4.35). Postox(t) = Ax cos(2π f0t +ϕx) ey(t) = Ay cos(2π f0t +ϕy), notiamo che per la proprietà 4.12 si haAy = |H( f0)|Ax eϕy = ϕx +H( f0). Pertantoconfrontando le ampiezze dei segnali si può calcolare il valore di|H( f0)| come

|H( f0)|= Ay

Ax,

mentre calcolando la differenza temporale∆t = ty− tx esistente tra le due sinusoidi (ad esempio, considerandodue attraversamenti dell’origine con pendenza positiva), è semplice risalire allo sfasamentoH( f0) = ϕy−ϕx

introdotto dal sistema risolvendo una semplice proporzione:

ϕy−ϕx

2π=

ty− txT0

=∆tT0

=⇒ H( f0) = ϕy−ϕx = 2π∆tT0

= 2π∆t f0 .

In definitiva, sollecitando il circuito con una sinusoide a frequenzaf0 possiamo ricavare la risposta in ampiezzaed in fase del sistema alla frequenzaf0. Variando la frequenzaf0 del generatore (a scatti oppure in maniera


continua), è possibile ripetere la procedura vista in corrispondenza di più valori di frequenza, in modo da otte-nere un campionamento sufficientemente fitto della funzioneH( f ), e ricavare laH( f ) mediante interpolazionenumerica o grafica. La tecnica vista si può estendere anche a sistemi di natura diversa da quella elettrica (adesempio, a sistemi meccanici), a patto di disporre di opportuni trasduttori ed attuatori.



Esercizio 4.1 Determinare e diagrammare la risposta impulsiva dei seguenti sistemi LTI. Successivamente,dall’esame della risposta impulsiva, stabilire se il sistema è non dispersivo, causale, stabile.

(a) y(t) =∫ t

−∞x(τ )dτ .

(b) y(t) = 3x(t)+5x(t−2).

(c) y(t) =∫ +∞

−∞rect

(τ −0.5T

T

)x(t− τ )dτ (T ∈ R+).

(d) y(t) =∫ T

0x(t− τ )dτ (T ∈ R+).

(e) y(t) =∫ t

t−Tx(τ )dτ (T ∈ R+).

(f) y(t) =∫ t+T

tx(τ )dτ (T ∈ R+).

(g) y(t) =1π

∫ +∞

−∞

x(τ )t− τ

dτ (trasformata di Hilbert).

[Suggerimento: per determinare h(t) applicare x(t) = δ(t) e semplificare utilizzando le proprietà dell’im-pulso; in alternativa cercare di esprimere direttamente la relazione tra y(t) ed x(t) come una convoluzione.]

Risultato: (a) h(t) = u(t), dispersivo, causale, instabile; (b)h(t) = 3δ(t) + 5δ(t − 2), dispersivo, causale,stabile; (c)h(t) = rect

(t−0.5T

T

), dispersivo, causale, stabile; (d) come (c); (e) come (c); (f)h(t) = rect

(t+0.5T

T

),

dispersivo, non causale, stabile; (g)h(t) = 1/(πt), dispersivo, non causale, instabile.

Esercizio 4.2 Determinare e diagrammare la risposta impulsiva dei seguenti sistemi LTI. Successivamente,dall’esame della risposta impulsiva, stabilire se il sistema è non dispersivo, causale, stabile.

(a) y(n) = x(n)+2x(n−1)−3x(n−2).

(b) y(n) =n

∑k=−∞

x(k).

(c) y(n) =M2

∑k=−M1

(−1)kx(n− k) (M1,M2 ∈ N).

(d) y(n) = ∑|k|≤3

x(n− k).

(e) y(n) =+∞

∑k=0

x(n− k).

(f) y(n) =+∞

∑k =−∞k = 0

1|k|x(n− k).

(g) y(n) =+∞

∑k=−∞

(1

1+ |k|)

x(n− k).

[Suggerimento: vedi esercizio precedente.]

Risultato: (a) h(n) = δ(n)+ 2δ(n−1)−3δ(n−2), dispersivo, causale, stabile; (b)h(n) = u(n), dispersivo,

causale, instabile; (c)h(n) =M2

∑k=−M1

(−1)kδ(n− k), dispersivo, non causale, stabile; (d)h(n) = ∑|k|≤3

δ(n− k),


dispersivo, non causale, stabile; (e) come (b); (f)h(n) =

0, n = 01|n| , n = 0

, dispersivo, non causale, instabile; (g)

h(n) =1

1+ |n| , dispersivo, non causale, instabile.

Esercizio 4.3 Utilizzando le proprietà degli impulsi e quelle della convoluzione, semplificare il più possibilele seguenti espressioni:

(a) δ(t)∗δ(t).

(b) δ(t−5)∗ x(t +5).

(c) δ(n)∗δ(n−2).

(d)

[+∞

∑k=−∞

δ(t− kT0)

]∗ x(t).

(e)

[+∞

∑k=−∞

δ(n− kN0)

]∗ x(n).

(f) δ(2t)∗ x(t).

(g) δ(2n)∗ x(n).

Risultato: (a) δ(t); (b) x(t); (c) δ(n−2); (d)+∞

∑k=−∞

x(t− kT0) = repT0[x(t)]; (e)

+∞

∑k=−∞

x(n− kN0) = repN0[x(n)];

(f) 12x(t); (g) x(n).

Esercizio 4.4 Sianox(n) = δ(n) + 2δ(n− 1)− δ(n− 3) e h(n) = 2δ(n + 1) + 2δ(n− 1). Adoperando leproprietà della convoluzione, calcolare e diagrammare le seguenti convoluzioni:

(a) y1(n) = x(n)∗h(n).(b) y2(n) = x(n+2)∗h(n).(c) y3(n) = x(n)∗h(n+2).(d) y4(n) = x(n−2)∗h(n+2).

Risultato: (a) y1(n) = 2δ(n + 1) + 4δ(n) + 2δ(n− 1) + 2δ(n− 2)− 2δ(n− 4); (b) y2(n) = y1(n + 2); (c)y3(n) = y2(n); (d) y4(n) = y1(n).

Esercizio 4.5 Il segnale di ingressox(n) e la risposta impulsivah(n) di un sistema LTI sono dati da:

x(n) =(

12

)n−2

u(n−2) e h(n) = u(n+2) .

Determinare analiticamente e rappresentare graficamente il segnale di uscitay(n).[Suggerimento: applicare la proprietà di invarianza temporale della convoluzione.]

Risultato: y(n) = 2[1− (1

2

)n+1]

u(n).

Esercizio 4.6 Un sistema LTI avente risposta impulsivah(t) = eat u(t) con a ∈ R−0 è sollecitato dall’in-gressox(t) = ebt u(t) conb ∈ R−0. Calcolare l’uscitay(t) del sistema.

Risultato: y(t) = t eat u(t) pera = b; y(t) = 1a−b

(eat − ebt

)u(t) pera = b.


Esercizio 4.7 Un sistema LTI avente risposta impulsivah(n) = an u(n) con a ∈ R−0 è sollecitato dall’in-gressox(n) = bn u(n) conb ∈ R−0. Calcolare l’uscitay(n) del sistema.

Risultato: y(n) = (n+1)bn u(n) pera = b; y(n) = 1a−b

(an+1−bn+1

)u(n) pera = b.

Esercizio 4.8 Il segnale di ingressox(t) e la risposta impulsivah(t) di un sistema LTI sono dati da:

(a) x(t) = e−t/T u(t) edh(t) = rect

(t−T/2

T

), conT ∈ R+.

(b) x(t) = 2u(t−1)+2u(t−3) edh(t) = u(t +1)−2u(t−1)+u(t−3).

Determinare analiticamente e rappresentare graficamente il segnale di uscitay(t).

Risultato: (a) y(t) =

0, per t < 0,

T (1− e−t/T ) , per 0≤ t ≤ T ,

T e−t/T (e−1) , per t > T .

(b) y(t) =

0, per t < 0,

2t , per 0≤ t < 2 ,

4, per 2≤ t < 4 ,

12−2t , per 4≤ t < 6 ,

0, per t ≥ 6.

Esercizio 4.9 Il segnale di ingressox(t) e la risposta impulsivah(t) di un sistema LTI sono dati da:

(a) x(t) = e−|t| edh(t) = e−2(t+1) u(t +1).

(b) x(t) = 2(1− t) [u(t)−u(t−1)] edh(t) = u(t)−u(t−2).

Determinare analiticamente e rappresentare graficamente il segnale di uscitay(t).

Risultato: (a) y(t) =

13 e(t+1) , per t ≤−1,

e−(t+1)− 23 e−2(t+1) , per t >−1.

(b) y(t) =

0, per t ≤ 0,

2t− t2 , per 0< t ≤ 1,

1, per 1< t ≤ 2,

9−6t + t2 , per 2< t < 3,

0, per t ≥ 3.

Esercizio 4.10 Il segnale di ingressox(n) e la risposta impulsivah(n) di un sistema LTI sono dati da:

(a) x(n) = u(n) edh(n) = an u(−n−1), cona > 1.

(b) x(n) = e j 2πν0n R10(n) edh(n) = bn u(n), con|b|< 1.

(c) x(n) = bn e j 2πν0n u(n) edh(n) = R5(n), con|b|< 1.

Determinare analiticamente e rappresentare graficamente il segnale di uscitay(n).

Risultato: (a) y(n) =

an

1−1/a , per n≤−1,

1/a1−1/a , per n >−1.


(b) y(n) =

0, per n < 0,

bn 1− e j2πν0(n+1)

bn+1

1− e j2πν0b

, per 0≤ n < 9,

bn 1− e j2πν010

b10

1− e j2πν0b

, per n≥ 9.

(c) y(n) =

0, per n < 0,1−an+1

1−a , per 0≤ n < 4,

an 1−(1/a)5

1−(1/a) , per n≥ 4.

dovea= be j2πν0.

Esercizio 4.11 Senza calcolare la convoluzione, utilizzando il risultato ottenuto al punto (a) dell’esercizio pre-cedente e sfruttando la proprietà di linearità e invarianza temporale, determinare l’uscita del sistema LTI quandola risposta impulsivah(n) e il segnale di ingressox(n) sono dati da:

(a) x(n) = u(n−4) edh(n) = 2n u(−n−1).

(b) x(n) = R10(n) edh(n) = 2n u(−n−1).

Risultato: (a) y(n) =

2(n−3) , per n≤ 3,

1, per n > 3.

(b) y(n) =

2(n+1)−2(n−9) , per n≤−1,

1−2(n−9) , per −1 < n≤ 9,

0, per n > 9.

Esercizio 4.12 Questo esercizio introduce ulteriori proprietà della convoluzione. Mostrare che le seguentiproprietà sono vere:

(a) Dettay(t) la risposta di un sistema LTI all’ingressox(t), la risposta all’ingressoddt

x(t) èddt

y(t).

(b) Dettay(n) la risposta di un sistema LTI all’ingressox(n), la risposta all’ingresso∇ 1[x(n)] è ∇ 1[y(n)].

Le relazioni precedenti vanno sotto il nome diproprietà di derivazione della convoluzione:

ddt

[x(t)∗h(t)] =[

ddt

x(t)]∗h(t) = x(t)∗

[ddt

h(t)]

∇ 1[x(n)∗h(n)] = [∇ 1x(n)]∗h(n) = x(n)∗ [∇ 1h(n)]

La seconda espressione si ottiene facilmente sfruttando la proprietà commutativa.Osservazione. La verifica della proprietà nel caso TC richiede qualche cautela dal punto di vista matematico.Infatti, se −∞ < a < b < +∞ ed f (t,τ ) è una arbitraria funzione di due variabili derivabile rispetto a t, comeconseguenza del criterio di Leibnitz, si ha:

ddt

∫ b

af (t,τ )dτ =

∫ b

a

ddt

[ f (t,τ )]dτ ,

ovvero è possibile scambiare l’ordine tra le operazioni di derivazione ed integrazione senza alcun problema.Se gli estremi di integrazioni sono infiniti, cioè a = −∞ e b = +∞, tale scambio non è sempre possibile. Lostudio dettagliato di tale problema richiede la conoscenza della teoria della misura, la cui trattazione esula


dagli scopi di questo corso. Qui ci limitiamo a richiamare il seguente risultato: se esiste una funzione g(t,τ )integrabile su R rispetto a τ e un costante ε > 0, tale per cui:∣∣∣∣∣

[ddt

f (t,τ )]

t=t0

∣∣∣∣∣≤ g(t,τ ) , per ogni t0 ∈ R tale che |t0− t| ≤ ε ,

allora

ddt

∫ +∞

−∞f (t,τ )dτ =

∫ +∞

−∞

ddt

[ f (t,τ )]dτ .

Esercizio 4.13 Calcolare e diagrammare la risposta al gradino e la risposta impulsiva del sistema LTI aventerelazione i-u:

y(t) =∫ t

t−1[x(τ )− x(τ −1)]dτ .

Risultato: s(t) = Λ(t−1); h(t) = rect(t−0.5)− rect(t−1.5).

Esercizio 4.14 Calcolare e diagrammare la risposta al gradinos(n) del sistema LTI avente relazione i-u

y(n) = x(n+1)−2x(n)+ x(n−1)

Successivamente, utilizzandos(n), calcolare e diagrammare la rispostay(n) del sistema al segnale di ingressox(n) = R2(n)−R2(n−2).

Risultato: s(n) = δ(n+1)−δ(n); y(n) = δ(n+1)−δ(n)−2δ(n−1)+2δ(n−2)+δ(n−3)−δ(n−4).

Esercizio 4.15 Per ognuno dei seguenti sistemi LTI con risposta impulsivah(t), stabilire se il sistema è nondispersivo, causale e stabile:

(a) h(t) = e−4t u(t−2).(b) h(t) = e−6t u(3− t).(c) h(t) = e−2t u(t +2).(d) h(t) = e2t u(−1− t).(e) h(t) = e−6|t|.(f) h(t) = t e−t u(t).

(g) h(t) =[2e−t − e(t−100)/100

]u(t).

Risultato: (a) il sistema è dispersivo, causale, stabile; (b) il sistema è dispersivo, non causale, instabile; (c)il sistema è dispersivo, non causale, stabile; (d) il sistema è dispersivo, non causale, stabile; (e) il sistema èdispersivo, non causale, stabile; (f) il sistema è dispersivo, causale, stabile; (g) il sistema è dispersivo, causale,instabile;

Esercizio 4.16 Per ognuno dei seguenti sistemi LTI con risposta impulsivah(n), stabilire se il sistema è nondispersivo, causale e stabile:

(a) h(n) = (1/2)n u(n).(b) h(n) = 4n u(n).(c) h(n) = (1/3)n u(n)+3n u(−n−1).(d) h(n) = (1/2)|n|.


(e) h[n] = sin(nπ

3

)u(n).

(f) h(n) = 2u(n+5)−u(n)−u(n−5).

(g) h(n) = n(1/3)n u(n−1).

Risultato: (a) il sistema è dispersivo, causale, stabile; (b) il sistema è dispersivo, causale, instabile; (c) il sistemaè dispersivo, non causale, stabile; (d) il sistema è dispersivo, non causale, stabile; (e) il sistema è dispersivo,causale, instabile; (f) il sistema è dispersivo, non causale, stabile; (g) il sistema è dispersivo, causale, stabile.

Esercizio 4.17 Si consideri il sistema LTI avente risposta impulsiva

h(t) = δ(t)+12

δ(t−T ) ,

con T > 0. Si può dimostrare che tale sistema è invertibile e che il sistema inverso ha risposta impulsiva

hinv(t) =+∞

∑k=0

gkδ(t− kT ). Ricavare l’espressione dei coefficientigk.

[Suggerimento: studiare l’equazione h(t)∗hinv(t) = δ(t) nelle incognite gk.]

Risultato: gk = (−1)k 12k , k ∈ N0.

Esercizio 4.18 Si consideri il sistemaS descritto dalla seguente relazione i-u:

y(n) =+∞

∑k=−∞

x(k)g(n−2k) ,

doveg(n) = R4(n).

(a) Calcolarey(n) quandox(n) = δ(n−1).

(b) Calcolarey(n) quandox(n) = δ(n−2).

(c) Sulla base dei risultati dei punti (a) e (b), stabilire seS può essere un sistema LTI.

(d) Verificare cheS si può interpretare come la cascata (nell’ordine) di un espansore perL (conL da determi-nare) e di un sistema LTI con risposta impulsivah(n) = g(n).

Risultato: (a) y(n) = R4(n−2); (b) y(n) = R4(n−4); (c) non è LTI; (d) si prova effettuando il cambiamentodi variabileh = 2k nella sommatoria e ricordando le proprietà dell’espansione, si trovaL = 2.

Esercizio 4.19 Si consideri il sistemaS descritto dalla seguente relazione i-u:

y(n) =+∞

∑k=−∞

x(2k)g(n− k) ,

doveg(n) = R3(n).

(a) Calcolarey(n) quandox(n) = δ(n−1).

(b) Calcolarey(n) quandox(n) = δ(n−2).

(c) Sulla base dei risultati dei punti (a) e (b), stabilire seS può essere un sistema LTI.

Risultato: (a) y(n)≡ 0; (b) y(n) = R3(n−1); (c) non è LTI.


Esercizio 4.20 Si consideri la connessione in cascata dei due sistemi LTIcausali aventi risposte impulsiveh1(n) edh2(n), rispettivamente, conh1(n) = R2(n). Sapendo che la risposta impulsiva del sistema complessivoèh(n) = δ(n)+4δ(n−1)−4δ(n−2)−2δ(n−3)+5δ(n−4), determinare la risposta impulsivah2(n) (si notiche questo equivale ad effettuare unadeconvoluzione).

Risultato: h2(n) = δ(n)+3δ(n−1)−7δ(n−2)+5δ(n−3).

Esercizio 4.21 Si consideri la seguente interconnessione di sistemi LTI:

x(t)

h1(t)

y(t)

h2(t)

h4(t)

h3(t)+

-+

+

w1(t)

w2(t)

w(t) y3(t)

y4(t)

Sistema complessivo

Le risposte impulsive dei sistemi sono le seguenti:

h1(t) = u(t) , h2(t) = u(t +2)−u(t) , h3(t) = δ(t−2) , h4(t) = eat u(t) ,

dovea è un numero reale negativo.

(a) Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi sopra riportati sulla base delle loroproprietà (non dispersività, causalità e stabilità).

(b) Determinate la risposta impulsivah(t) del sistema complessivo avente come ingresso ed uscita i segnalix(t) e y(t), rispettivamente, e discuterne le proprietà (non dispersività, causalità e stabilità).

Risultato: (a) il sistemah1(t) è dispersivo, causale, instabile; il sistemah2(t) è dispersivo, non causale, stabile; ilsistemah3(t) è dispersivo, causale, stabile; il sistemah4(t) è dispersivo, causale, stabile; (b)h(t) = (1−eat)u(t),il sistema è dispersivo, causale, instabile.

Esercizio 4.22 I quattro sistemi LTI in figura sono caratterizzati dalle seguenti risposte impulsive:

h1(t) = h3(t) = δ(t−1) , h2(t) = e−2t u(t) e h4(t) = e−3(t+2) u(t +2) .

h1(t)

x(t)

-y(t)

u1(t)

h2(t)

h3(t) h4(t)w3(t) u3(t) +u4(t)

+

u2(t)

+

Sistema complessivo


(a) Calcolare la risposta impulsivah(t) del sistema complessivo [aventex(t) come ingresso ey(t) come uscita].

(b) Classificare il sistema complessivo, motivando brevemente le risposte, sulla base delle sue proprietà di nondispersività, causalità e stabilità.

Risultato: (a)h(t) =[e−2(t+1)− e−3(t+1)

]u(t +1)+

[e−3t + e−2t

]u(t); (b) il sistema è dispersivo, non causale,

stabile.

Esercizio 4.23 Si considerino i seguenti tre sistemi TC:

S1 : y(t) = x(2t) (compressione di 2) ;

S2 : h(t) = δ(t)−δ(t−1) ;

S3 : y(t) = x(t/2) (espansione di 2).

(a) Determinare il legame ingresso/uscita del sistema costituito dalla cascataS1-S2-S3 (nell’ordine) e stabilirese è lineare, non dispersivo, causale, invariante temporalmente, stabile.

(b) Ripetere il calcolo del punto (a) con riferimento alla cascataS3-S2-S1 (nell’ordine).

Risultato: (a) dettix(t) e y(t) i segnali in ingresso e uscita alla cascata, rispettivamente, il legame ingres-so/uscita èy(t) = x(t)− x(t − 2) nel caso (a),y(t) = x(t)− x(t − 0.5) nel caso (b). Entrambi i sistemi sonolineari, dispersivi, causali, invarianti temporalmente e stabili.

Esercizio 4.24 Si consideri la seguente interconnessione di sistemi:

x(t) S1 y(t)S2h(t)u(t) v(t)

dove il sistema al centro è LTI con risposta impulsivah(t) = rect( t

2T

), conT > 0, mentre i due sistemiS1 e

S2 sono caratterizzati dalle relazioni ingresso/uscitau(t) = x(t/3) e y(t) = v(at), rispettivamente, cona ∈ R.

(a) Determinare la relazione ingresso/uscita del sistema complessivo e discuterne brevemente le proprietà(linearità, non dispersività, causalità e stabilità).

(b) Determinare il valore dia in corrispondenza del quale il sistema complessivo è LTI.

(c) Calcolare la risposta impulsivah(t) del sistema complessivo per il valore dia determinato al punto (b).

Risultato: (a) y(t) =∫ T

−Tx

(at− τ

3

)dτ ; il sistema è lineare, dispersivo, non causale, stabile; (b) il sistema è

lineare per ognia; in generale è tempo-variante, eccetto che nel caso in cuia = 3; (c) h(t) = 3rect

(3t2T

).

Esercizio 4.25 Si consideri il sistema LTI avente risposta impulsiva:

h(n) =(

j2

)n

u(n) .

(a) Determinare la rispostay(n) del sistema al segnale di ingressox(n) = cos(πn)u(n).(b) Determinare un’espressione semplificata della rispostay(n) pern→+∞.

Risultato: (a) y(n) = (−1)n

[1− (− j/2)(n+1)

1+ j/2

]u(n); (b) pern→+∞, y(n)≈ (−1)n

1+ j/2.


Esercizio 4.26 Si consideri il circuito RC di fig. 4.36, con costante di tempoT= RC = 1s. Supponendo che il

sistema sia inizialmente in quiete (il sistema è quindi LTI), nell’ipotesi in cui la tensione di ingresso sia data da

x(t) = e−3t rect

(t−1

2

),

determinare analiticamente e rappresentare graficamente la tensione di uscitay(t) ai capi del condensatore.

Risultato: y(t) =

0, per t < 0,

0.5(1− e−2t)e−t , per 0≤ t < 2 ,

0.5(1− e−4)e−t , per t ≥ 2.

Esercizio 4.27 Si consideri il circuito CR di fig. 4.36, dove la tensionex(t) ai capi della serie CR è il segnaledi ingresso, e la tensioney(t) ai capi della resistenza è il segnale di uscita.

(a) Determinare l’equazione differenziale che legax(t) edy(t).

(b) Determinare la soluzione omogenea dell’equazione differenziale determinata al punto (a).

(c) Determinare l’evoluzione libera del sistema supponendo chey(0) = y0.

(d) Determinare l’evoluzione forzata del sistema quando l’ingresso èx(t) = t u(t) (rampa).

(e) Stabilire sotto quali condizioni il sistema CR è un sistema LTI e determinare la sua risposta al gradino e lasua risposta impulsiva.

(f) Studiare le proprietà (non dispersività, causalità, stabilità) del sistema LTI determinato al punto (e).

[Suggerimento: per il punto (e), notare che essendo il gradino la derivata della rampa, la risposta algradino sarà la derivata della risposta alla rampa.]

Risultato: (a)ddt

y(t)+1T

y(t) =ddt

x(t), conT= RC; (b) y0(t) = c1 e−t/T ; (c) ylib(t) = y0 e−t/T ; (d) yfor(t) =

T(1− e−t/T

)u(t) (risposta alla rampa); (e) il sistema è LTI sey0 = 0; s(t) =

ddt

yfor(t) = e−t/T u(t); h(t) =ddt

s(t) = δ(t)− 1T

e−t/T u(t); (f) il sistema è dispersivo, causale, stabile.

Esercizio 4.28 Il segnale di ingressox(n) e quello di uscitay(n) di un sistema LTI causale sono legati dallaseguente equazione alle differenze:

y(n)+a−1 y(n−1) = x(n−1) ,

cona ∈ R. Determinare la risposta impulsivah(n) del sistema e stabilire se esso è dispersivo, causale e stabile.[Suggerimento: Per calcolare h(n), porre x(n) = δ(n) e risolvere ricorsivamente l’equazione alle differenze

con h(n) = y(n) ed h(−1) = 0.]

Risultato: h(n) = (1/a)n−1u(n−1), sistema dispersivo, causale, stabile se e solo se|a|> 1.

Esercizio 4.29 Si consideri un sistema ARMA descritto dall’equazione alle differenze

2y(n)− y(n−1)+ y(n−3) = x(n)−5x(n−4) .

(a) Disegnare lo schema implementativo del sistema in forma diretta I.

(b) Disegnare lo schema implementativo del sistema in forma diretta II.

(c) Disegnare lo schema implementativo del sistema in forma canonica.


Esercizio 4.30 Si consideri il sistema LTI avente relazione i-uy(t) = x(t)− x(t−T ), conT > 0. Calcolare larisposta in frequenza del sistema, ed utilizzarla quando possibile per calcolare la risposta del sistema ai seguentisegnali applicati al suo ingresso:

(a) x(t) = e j2π tT .

(b) x(t) = e jπ tT .

(c) x(t) = cos(2π t

T

).

(d) x(t) = 2sin(2π t

T

)+cos

(π t

T

).

(e) x(t) = cos(2π t

T

)u(t).

Risultato: (a)y(t)≡ 0; (b)y(t) = 2e jπ tT ; (c) y(t)≡ 0; (d)y(t) = 2cos

(π t

T

); (e)y(t) = cos

(2π t

T

)rect

(t−0.5T

T

).

Esercizio 4.31 Si considerino i sistemi TCS1, S2, S3, le cui risposte al fasorex(t) = e j5t sono le seguenti:

S1 : e j5t −→ te j5t ;

S2 : e j5t −→ e j5(t−1) ;

S3 : e j5t −→ cos(5t) .

Stabilire se i tre sistemipossono essere LTI.

Risultato: Solo il sistemaS2 può essere LTI, i sistemiS1 eS3 non sono sicuramente LTI.

Esercizio 4.32 Si considerino i sistemi TDS1, S2, S3, le cui risposte al fasorex(n) = e jπn/2 sono le seguenti:

S1 : e jπn/2 −→ e jπn/2u(n) ;

S2 : e jπn/2 −→ e j3πn/2 ;

S3 : e jπn/2 −→ 2e j5πn/2 .

Stabilire se i tre sistemipossono essere LTI.

Risultato: Solo il sistemaS3 può essere LTI, i sistemiS1 eS2 non sono sicuramente LTI.

Esercizio 4.33 Nello schema di figura, il sistemaS1 è descritto dalla relazione ingresso-uscita

z(t) =∫ t

−∞x(u)du ,

ed il sistemaS2 è descritto dalla risposta impulsivah2(t) = δ(t−T ), conT > 0.

x(t) S1

z(t)

S2

⊕ y(t)+

−

(a) Determinare l’espressione esplicita del legame ingresso-uscita del sistema complessivo [aventex(t) comeingresso edy(t) come uscita] ed individuarne le proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianzatemporale, stabilità).

(b) Nel caso in cui il sistema complessivo determinato al punto (a) sia LTI, determinarne la risposta impulsivah(t) e la risposta armonicaH( f ).


(c) Assumendo che l’ingresso siax(t) = 1+δ(t)+ cos(

2πtT

), calcolare l’uscitay(t) e rappresentarla grafi-

camente.

Risultato: (a) y(t) =∫ t

t−Tx(τ )dτ , è un integratore con memoria finita, con le seguenti proprietà: linea-

re, dispersivo, causale, tempo-invariante, stabile); (b) il sistema è LTI, applicandox(t) = δ(t) si ha h(t) =

rect

(t−0.5T

T

), applicandox(t) = e j2π f t si haH( f ) =

1j2π f

(1− e− j2π f T ) = e− jπ f T sin(π f T )

π f; (c) y(t) =

rect(

t−0.5TT

).

Esercizio 4.34 Nello schema di figura, il sistemaS è caratterizzato dalla risposta impulsivahS(t) = δ(t−T )(T > 0).

x(t)

S

⊕

S

⊕ y(t)

(a) Determinare l’espressione esplicita del legame ingresso-uscita del sistema complessivo [aventex(t) comeingresso edy(t) come uscita] ed individuarne le proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianzatemporale, stabilità).

(b) Nel caso in cui il sistema complessivo determinato al punto (a) sia LTI, determinarne la risposta impulsivah(t) e la risposta armonicaH( f ).

(c) Assumendo che l’ingresso siax(t) =13

+5cos(

2πt

3T

)+7sin

(4π

t3T

), calcolare l’uscitay(t).

Risultato: (a) y(t) = x(t) + x(t − T ) + x(t − 2T ); il sistema è lineare, dispersivo, causale, tempo-invariante,stabile; (b) il sistema è LTI, applicandox(t) = δ(t) si hah(t) = δ(t)+δ(t−T )+δ(t−2T ), applicandox(t) =e j2π f t si haH( f ) = 1+ e− j2π f T + e− j4π f T ; (c) y(t)≡ 1.

Esercizio 4.35 Si consideri il sistema LTI descritto dalla seguente relazione ingresso-uscita:

y(t) = x(t)− x(t−T ) T ∈ R+.

(a) Determinare la risposta in frequenzaH( f ) del sistema e diagrammare accuratamente la risposta in ampiezzae la risposta in fase nell’intervallo di frequenze(−1/T,1/T ).

(b) Sfruttando i risultati del punto (a), calcolare l’uscitay(t) del sistema se in ingresso si pone il segnale

x(t) = 3+2 cos

(2πt2T

)+4 cos

(2πtT

)

Risultato: (a) H( f ) = 1− e− j2π f T = 2 je− jπ f T sin(π f T ); (b) y(t) = 4 cos(

2πt2T

).

Esercizio 4.36 Si consideri il sistema LTI avente, con riferimento al periodo principale, la seguente risposta infrequenza:

H(ν) =1− e− j 4πν

1+0.5e− j 8πν per−0.5 < ν ≤ 0.5 .

Calcolare l’uscitay(n) corrispondente al segnale di ingressox(n) = sin(0.25πn).

Risultato: y(n) = 2√

2 sin(0.25π(n+1)).


x(t) y(t)

R

C

Fig. 4.36.Circuito RC.

x(t) y(t)R

C

Fig. 4.37.Circuito CR.

x(t) y(t)C

LR

Fig. 4.38.Circuito RLC.

Esercizio 4.37 Si consideri il circuito CR di fig. 4.37, dove la tensionex(t) ai capi della serie CR è il segnaledi ingresso, e la tensioney(t) ai capi del condensatore è il segnale di uscita.


(b) Supponendo che l’equazione differenziale definisca un sistema LTI stabile, determinare la sua risposta infrequenzaH( f ).

(c) Determinare la risposta in ampiezza ed in fase del sistema e rappresentarle graficamente.

Risultato: (a)ddt

y(t)+1T

y(t) =ddt

x(t), conT= RC; (b) H( f ) =

j2π f T1+ j2π f T

;

(c) |H( f )|= 2π| f |T√1+4π2 f 2T 2

, H( f ) = j + f −(1+ j2π f T ) =

π2 −arctan(2π f T ) , f > 0

−π2 −arctan(2π f T ) , f < 0

.

Esercizio 4.38 Si consideri il circuito RLC di fig. 4.38, dove la tensionex(t) ai capi della serie RLC è il segnaledi ingresso, e la tensioney(t) ai capi del condensatore è il segnale di uscita.


(b) Supponendo che l’equazione differenziale definisca un sistema LTI stabile, determinare la sua risposta infrequenzaH( f ).

(c) Determinare la risposta in ampiezza ed in fase del sistema e rappresentarle graficamente.

Risultato: (a)d2

dt2 y(t) + 2ζddt

y(t) + ω20y(t) = ω2

0x(t), con ω0= 1√

LC(pulsazione di risonanza) eζ = R

2L

(coefficiente di smorzamento);

(b) H( f ) =1

1− ( f / f0)2 + j ζ fπ f 2

0

, con 2π f0 = ω0;

(c) |H( f )|= 1√[1− ( f / f0)2]2 + ζ 2 f 2

π2 f 40

, H( f ) = tan−1(

ζ f

π f 20 [1− ( f / f0)2]

).

Esercizio 4.39 Supponendo che il sistema ARMA descritto dell’esercizio 4.29 sia stabile, calcolare la suarisposta in frequenzaH(ν).

Risultato: H(ν) =1−5e− j8πν

2− e− j2πν + e− j6πν .

Esercizio 4.40 Si consideri l’implementazione di un sistema LTI ARMA in forma diretta prima di figura:


x(n) y(n)

z-1

-1/a

z-1

a

dovea ∈ R con |a|< 1.

(a) Determinare l’equazione alle differenze che legax(n) edy(n).

(b) Supponendo che l’equazione alla differenze definisca un sistema LTI stabile, determinare la sua risposta infrequenzaH(ν).

(c) Provare che la risposta in ampiezza del sistema è costante, per cui tale sistema prende il nome disistemaall-pass.

Risultato: (a) y(n)−ay(n−1) = x(n)−a−1x(n−1); (b) H(ν) =1−a−1e− j2πν

1−ae− j2πν ; (c) |H(ν)|= 1|a| .


Capitolo 5

Serie di Fourier

L a descrizione nel dominio del tempo dei sistemi LTI si basa sulla rappresentazione del segnale diingresso come sovrapposizione di impulsi traslati nel tempo e sulla definizione di risposta impulsi-va. Abbiamo però visto nel § 4.7 che, quando il segnale di ingresso è un semplice fasore, il calcolodell’uscita di un sistema LTI si effettua più semplicemente introducendo il concetto di risposta infrequenza. Nasce allora l’esigenza di rappresentare un generico segnale come sovrapposizione (di-screta o continua) di fasori (rappresentazioni di Fourier o nel dominio della frequenza). In questocapitolo si introduce una prima rappresentazione di questo tipo, mostrando in particolare che i segnaliperiodici (TC e TD) possono essere espressi come sovrapposizionediscreta di fasori, aventi frequen-ze multiple di una stessa frequenza (frequenza fondamentale). Tale rappresentazione prende il nomedi serie di Fourier, e nel caso TD assume la denominazione più specifica diDiscrete Fourier Series(DFS). I benefici di tale rappresentazione saranno evidenziati calcolando nel § 5.5 l’uscita di un si-stema LTI sollecitato in ingresso da un segnale periodico. L’analisi di tale problema ci consentirà didiscutere più approfonditamente il concetto diselettività in frequenza di un sistema LTI e di introdurreun’importante classe di sistemi LTI, denominatifiltri ideali.

5.1 Introduzione

Nel precedente capitolo abbiamo ricavato le semplici relazioni i-u (4.97) e (4.105) che consentono dicalcolare, nel caso TC o TD, la risposta di un sistema LTI ad un fasore applicato al suo ingresso; lasemplicità di tali risultati spinge a cercare rappresentazioni di segnali comesovrapposizione di fasori.Si consideri infatti un segnale espresso da una somma di fasori, come ad esempio il seguente segnaleTC, composto da due fasori a frequenzef1 ed f2:

x(t) = e j2π f1t +2e j2π f2t .

Se tale segnale è posto in ingresso ad un sistema LTI avente risposta in frequenzaH( f ), per la linearitàdel sistema e per la (4.97), l’uscita corrispondente sarà calcolabile semplicemente come:

y(t) = H( f1)e j2π f1t +2H( f2)e j2π f2t .

208 Serie di Fourier

Si potrebbe obiettare che un segnalex(t) come il precedente, espresso come somma di un numerofinito di fasori, e per di più a valori complessi, rappresenti un caso particolare di scarso interessepratico. Tuttavia uno dei risultati più significativi della teoria dei segnali è che(quasi) tutti i segnalidi interesse pratico possono essere rappresentati come sovrapposizione di fasori. In particolare, isegnaliperiodici possono essere rappresentati come sovrapposizionediscreta (ovvero come sommadi unaserie) di fasori: tale rappresentazione, che prende il nome1 di serie di Fourier, sarà esaminatain questo capitolo. Successivamente, nel cap. 6, vedremo la rappresentazione più generale di un se-gnale, non necessariamente periodico, come sovrapposizionecontinua (ovvero definita mediante unintegrale) di fasori, nota cometrasformata di Fourier. Quest’ultima rappresentazione, opportunamen-te generalizzata, sarà applicabile anche ai segnali periodici, e presenterà interessanti relazioni con laserie di Fourier.

Nel seguito del capitolo, poiché esistono differenze non trascurabili tra i due casi, tratteremoseparatamente la serie di Fourier per segnali TC e TD.

5.2 Serie di Fourier per segnali TC

Il nostro scopo è quello di rappresentare unarbitrario segnale periodico come sovrapposizione difasori. Partiamo per semplicità da uno dei più semplici segnali periodici TC, vale a dire il segnalesinusoidale di ampiezzaA e frequenzaf0, avente fase inizialeϕ0 = 0:

x(t) = Acos(2π f0t) .

Tale segnale risulta periodico di periodoT0 = 1/ f0. È semplice rappresentare tale sinusoide comesovrapposizione di fasori, applicando la formula di Eulero:

x(t) = Acos(2π f0t) =A2

e j2π f0t +A2

e− j2π f0t .

La relazione precedente mostra, in accordo con l’interpretazione già data nel § 2.3.3, che una sinusoidesi può esprimere come somma didue fasori aventi frequenzef0 e− f0, rispettivamente, ed ampiezzaA/2.

La rappresentazione come somma di fasori si può facilmente estendere al caso di un segnalex(t)somma di sinusoidi a frequenze diverse, purché le frequenze siano tuttemultiple di una frequenzacomunef0; solo in questo caso, infatti, il segnalex(t) risulta periodico.2 Si consideri ad esempio ilseguente segnale, periodico di periodoT0 = 1/ f0:

x(t) = A1cos(2π f0t)+A2cos(2π2 f0t)+A3cos(2π3 f0t) . (5.1)

Applicando a ciascuna sinusoide la formula di Eulero si ottiene:

x(t) =A1

2e j2π f0t +

A1

2e− j2π f0t +

A2

2e j2π2 f0t +

A2

2e− j2π2 f0t +

A3

2e j2π3 f0t +

A3

2e− j2π3 f0t , (5.2)

1La serie di Fourier (come la trasformata di Fourier) deve il suo nome al matematico francese Jean Baptiste JosephFourier (1768-1830), che la introdusse in vari scritti del 1807 e del 1811, ed in maniera più estesa nel suo più importantetrattato “Théorie analytique de la chaleur” (1822), dove tale strumento matematico veniva applicato per lo studio di problemidi trasmissione del calore. Va osservato, peraltro, che molto prima di Fourier, l’espressione di un segnale arbitrario comesomma di oscillazioni sinusoidali fu introdotta nel 1753 dal matematico svizzero Daniel Bernoulli (1700–1782) nell’ambitodei suoi studi sul problema delle corde vibranti, e costituì l’oggetto di una violenta disputa scientifica con il più importantematematico dell’epoca, lo svizzero Leonhard Euler (1707–1783) detto Eulero.

2In generale, si può dimostrare che la somma di funzioni periodiche con periodi differenti è ancora una funzione perio-dica se e solo se i periodi sonocommensurabili tra loro, cioè i loro rapporti sono dei numeri razionali. Le somme di funzioniperiodiche con periodi incommensurabili appartengono ad una classe più ampia di funzioni dettequasi periodiche [17].

5.2 Serie di Fourier per segnali TC 209

e quindix(t) è la combinazione lineare di 6 fasori, a frequenze± f0, ±2 f0 e±3 f0. Gli esempi vistimostrano che un segnale periodicox(t) di periodoT0, ottenuto come combinazione lineare di unnumerofinito di sinusoidi, si può rappresentare come somma di un numerofinito di fasori:

x(t) =M

∑k=−M

Xk e j2πk f0t , conM ∈ N , (5.3)

in cui ciascun fasore è moltiplicato per un coefficienteXk, che in generale può essere complesso. Ad

esempio, per il segnale (5.1), dal confronto tra la (5.3) e la (5.2) si ricava cheM = 3 eXk = A|k|2 , conk ∈

±1,±2,±3. Le frequenzefk = k f0 dei fasori della rappresentazione (5.3) sono tuttemultiple dellafrequenza fondamentalef0 = 1/T0. Questa particolare proprietà assicura che il segnalex(t) ottenutomediante la (5.3) sia effettivamente periodico di periodoT0, in quanto i fasori che lo compongonohanno tutti periodo pari ad unsottomultiplo del periodoT0, e quindi ammettonoT0 come più piccoloperiodo comune. Poiché le frequenze dei fasori della rappresentazione sono in rapporto armonicotra loro (ovvero il rapporto tra due qualunque frequenze è un numero razionale), i vari termini dellarappresentazione prendono il nome diarmoniche del segnalex(t). Ad esempio, i termini perk =±1prendono il nome diprima armonica o fondamentale, i termini perk = ±2 prendono il nome diseconda armonica, e così via fino ad arrivare ai termini perk =±M che prendono il nome diM-esimaarmonica.

Assegnato il periodoT0 e il numero di armonicheM, il segnalex(t) è completamente determinatodai coefficientiXk della combinazione lineare. Tali coefficienti possono essere calcolati direttamentedal segnalex(t) (problema dell’analisi). A tale proposito, notiamo che la (5.3) si può interpretareanche come decomposizione del segnalex(t) in segnali elementarixk(t) = e j2πk f0t [cfr. (4.1)], dovele funzionixk(t) sonoortogonali, nel senso precisato nel cap. 2 per i segnali di potenza (in quanto ifasori sono segnali di potenza). Se infatti consideriamo due fasori della rappresentazione (5.3), la loropotenza mutua si calcola facilmente:

Pxkxh

= 〈xk(t)x∗h(t)〉=

1T0

∫T0

e j2π(k−h) f0t dt = δ(k−h) =

1, sek = h ;

0, sek = h ;(5.4)

e pertanto risultano ortogonali sek = h, cioè se hanno frequenze distinte. La proprietà di ortogonalitàagevola la determinazione dei coefficientiXk per un dato segnalex(t). Per mostrare ciò, supponiamoche il segnalex(t) sia sommabile sul periodoT0, ovvero:∫

T0

|x(t)| dt < +∞ . (5.5)

Essendo l’intervallo di integrazione finito, questa condizione è quasi sempre verificata per i segnalix(t) di interesse pratico: in particolare, lo è sicuramente sex(t) è un segnale limitato (come la sommadi un numero finito di sinusoidi). In tale ipotesi, moltiplicando ambo i membri della (5.3) pere− j2πh f0t ,conh ∈ 0,±1, . . . ,±M, ed integrando termine a termine su un periodo, si ottiene:

1T0

∫T0

x(t)e− j2πh f0t dt =M

∑k=−M

Xk1T0

∫T0

e j2π(k−h) f0t dt︸︷︷︸=δ(k−h)

= Xh , (5.6)

per cui, cambiando l’indice dah nuovamente ak, si ha:

Xk =1T0

∫T0

x(t)e− j2πk f0t dt , conk ∈ 0,±1, . . . ,±M , (5.7)


che consente di calcolare i coefficientiXk della rappresentazione (5.3) per il segnalex(t) espressocome somma di un numero finito di fasori. Si osservi che, in virtù della (5.5), sussistendo la relazione|x(t)e− j2πk f0t | = |x(t)|, la funzionex(t)e− j2πk f0t è sommabile sul periodoT0 e quindi l’integrale chedefinisce i coefficientiXk nella (5.7) ha senso.

Purtroppo, non tutti i segnali periodici di interesse pratico si possono esprimere come combina-zione lineare di un numerofinito di fasori. Ad esempio, basti pensare che nella (5.3) i termini dellarappresentazione (cioè i fasori) sono funzioni continue, conseguentemente il segnalex(t), espresso co-me somma di un numero finito di funzioni continue, è ancora una funzione continua (cfr. prop. B.3).In altre parole, affinchè la rappresentazione (5.3) sia applcabile, il segnale periodicox(t) deve esserenecessariamente continuo. Abbiamo già avuto modo di evidenziare in passato che, sebbene nessunfenomeno fisico sia descrivibile mediante segnali che presentano delle discontinuità, i segnali discon-tinui sono un’utile astrazione matematica nello studio dei sistemi. (vedi concetto di gradino e dirisposta al gradino). Si osservi inoltre che non tutti i segnali continui, inoltre, possono essere rap-presentati combinando linearmente un numerofinito di fasori. Le precedenti motivazioni spingono acercare una generalizzazione della rappresentazione definita dalle (5.3) e (5.7), nella quale il segnaleperiodicox(t) avente periodoT0 è espresso come somma di unaserie:

x(t) = limM→+∞

M

∑k=−M

Xk e j2πk f0t =+∞

∑k=−∞

Xk e j2πk f0t , (5.8)

ovvero si ottiene come la sovrapposizione di un numeroinfinito di fasori, ciascuno dei quali è molti-plicato per un coefficiente complessoXk dato da:

Xk =1T0

∫T0

x(t)e− j2πk f0t dt , ∀k ∈ Z . (5.9)

È interessante osservare che la sommabilità del segnalex(t) sul periodoT0 assicura l’esistenza deicoefficientiXk non solo perk ∈ 0,±1, . . . ,±M ma, più in generale, per ognik ∈ Z. Infatti, utiliz-zando la (5.9) è possibile effettuare la seguente maggiorazione:

|Xk|= 1T0

∣∣∣∣∫T0

x(t)e− j2πk f0t dt

∣∣∣∣≤ 1T0

∫T0

|x(t)| dt ,

dove si è sfruttato il fatto che il fasore ha modulo unitario. Dalla maggiorazione precedente, si ricavache unacondizione sufficiente affinché tutti i coefficientiXk della serie (5.8) esistano finiti è che lafunzionex(t) sia sommabile sul periodoT0. Tuttavia, a differenza della rappresentazione (5.3) che,essendo la somma di un numerofinito di termini, non pone alcun problema di convergenza, la serie difunzioni (5.8) può risultarenon convergente. Per il momento tralasciamo questo aspetto, rimandandoogni discussione sulla convergenza della serie (5.8) al § 5.2.1.

In definitiva, mettendo insieme le (5.8) e (5.9), giungiamo alla seguente definizione diserie diFourier per un segnale TC:

Definizione 5.1 (serie di Fourier a TC)Siax(t) un segnale periodico avente periodoT0 e frequenza fondamentalef0 = 1/T0. La serie diFourier dix(t) è definita dalle equazioni:

x(t) =+∞

∑k=−∞

Xk e j2πk f0t (equazione di sintesi) (5.10)

Xk =1T0

∫T0

x(t)e− j2πk f0t dt (equazione di analisi) (5.11)


Le equazioni (5.10) e (5.11) prendono rispettivamente il nome diequazione di sintesi ed equazionedi analisi della serie di Fourier.3 In particolare, la prima consente di costruire osintetizzare il se-gnalex(t) sovrapponendo i singoli fasori della rappresentazione, la seconda consente di decomporreo analizzare il segnalex(t), nel senso che consente di calcolare i coefficienti complessiXk della suarappresentazione come somma di fasori. Dal punto di vista matematico, la serie di Fourier instaurauna corrispondenza biunivoca tra il segnalex(t) e la successione dei coefficienti complessiXkk∈Z,chiamati anch’essiarmoniche del segnale. Più precisamente, sianox1(t) e x2(t) due segnali periodicicon uguale periodoT0, sviluppabili in serie di Fourier con coefficientiX1,k edX2,k, rispettivamente; seX1,k = X2,k, per ognik ∈ Z, allora i due segnalix1(t) e x2(t) sono ugualiquasi ovunque suR, ovverosi hax1(t) = x2(t), ∀t ∈ R eccetto che in un insieme di misura nulla. In altre parole, la successioneXkk∈Z identifica (quasi) univocamente il segnalex(t) (proprietà di unicità della serie di Fourier).La corrispondenza biunivoca trax(t) e la successione dei suoi coefficienti di Fourier si può denotaresimbolicamente come segue:

x(t) FS←→ Xk .

È interessante osservare che, in virtù di tale corrispondenza, un segnale periodico TC può essereequivalentemente descritto nel dominio della frequenza da un segnale TD (la successione dei suoicoefficienti di Fourier). Poiché i coefficientiXk sono grandezze complesse, per rappresentarli grafi-camente dobbiamo decomporli in modulo e fase (risulta scarsamente utilizzata la rappresentazione inparte reale ed immaginaria). La sequenza|Xk| dei moduli prende il nome dispettro di ampiezza delsegnalex(t), mentre la sequenzaXk delle fasi prende il nome dispettro di fase del segnalex(t) (que-st’ultimo spettro è definito a meno di multipli di 2π). Gli spettri di ampiezza e di fase possono essererappresentati mediante due diagrammi cartesiani, che riportano|Xk| eXk in funzione dik o anche difk = k f0. Essi costituiscono un primo esempio di rappresentazionenel dominio della frequenza perun segnalex(t), in quanto forniscono per ogni valore dik, rispettivamente, l’ampiezza|Xk| e la faseXk del fasore a frequenzak f0 presente nel segnale.

Particolarizzando l’equazione di analisi perk = 0, si ha

X0 =1T0

∫T0

x(t)dt = xdc , (5.12)

dove si è tenuta presente la definizionexdc= 〈x(t)〉 di componente continua, ed il fatto che per segnali

periodici la media temporale [cfr. prop. 2.7(c)] si può calcolare su un periodo del segnale. La (5.12)mostra chel’armonica a frequenza zero rappresenta la componente continua del segnale periodico.Per differenza, la componente alternata si calcola come:

xac(t) = x(t)− xdc =+∞

∑k =−∞k = 0

Xk e j2πk f0t ,

e quindixac(t) è un segnale periodico avente lo stesso periodo dix(t), e gli stessi coefficienti della seriedi Fourier dix(t), fatta eccezione per il coefficiente perk = 0, ovvero per la componente continua, cheè ovviamente nulla perxac(t).

3In particolare, tali equazioni definiscono la cosiddettaforma esponenziale della serie di Fourier, valida in generale persegnalix(t) a valori reali o complessi. Altre forme della serie di Fourier, valide esclusivamente per segnali a valori reali,saranno sviluppate nel § 5.4.2.


−5 0 50

0.5

1

k

|Xk|

−5 0 5−1

0

1

k

∠ X

k

Fig. 5.1. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (inbasso) del segnale dell’es. 5.1 (A = 1, ϕ0 = π

4 ).

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

sinc

(x)

Fig. 5.2. La funzione sinc(x) per valori dix∈ [−6,6].

Esempio 5.1 (serie di Fourier di un segnale sinusoidale TC)Il calcolo della serie di Fourier per un segna-le sinusoidale TC è immediato. Per maggiore generalità rispetto al caso visto precedentemente, consideriamoun segnale sinusoidale avente fase iniziale arbitrariaϕ0:

x(t) = A cos(2π f0t +ϕ0) ,

conA > 0. Applicando la formula di Eulero si ha:

x(t) =A2

e jϕ0 e j2π f0t +A2

e− jϕ0 e− j2π f0t ,

da cui, per confronto con l’equazione di sintesi (5.10), si ricava:

Xk =

A2 e jϕ0, k = 1;A2 e− jϕ0, k =−1;

0, altrimenti.

Gli spettri di ampiezza e fase sono dati, rispettivamente, da:

|Xk|=

A2 , k =±1;

0, altrimenti;

Xk =

ϕ0, k = 1;

−ϕ0, k =−1;

indeterminata, altrimenti;

e sono riportati4 in fig. 5.1 per il casoA = 1 eϕ0 = π4 .

L’esempio precedente mostra che in casi molto semplici, ovvero quando il segnale periodico è com-posto da funzioni sinusoidali (vedi anche il segnale (5.1)), i coefficienti della sua serie di Fourier sipossono ottenere “per ispezione” adoperando semplici relazioni trigonometriche, come la formula diEulero. Per segnali più complicati, il calcolo dei coefficienti non è un problema concettualmente dif-ficile, in quanto si può effettuare risolvendo l’integrale che compare nell’equazione di analisi (5.11);eventuali complicazioni possono riguardare soltanto la difficoltà di risoluzione dell’integrale.

4Si noti che in fig. 5.1 e nel seguito, per semplicità di rappresentazione, la fase corrispondente al numero complessoz = 0 viene convenzionalmente assunta pari a zero, sebbene essa risulti a rigore indeterminata.


−5 0 5

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k

Xk

Fig. 5.3. I coefficienti Xk dell’onda rettangolare del-l’es. 5.2 (A = 1, δc = 0.5) sono puramente reali, esi ottengono dalla funzione12 sinc

(x2

)(tratteggiata)

calcolata perx = k.

−5 0 5

0

0.2

0.4

k

|Xk|

−5 0 5

−2

0

2

k

∠ X

k

Fig. 5.4. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (inbasso) dell’onda rettangolare dell’es. 5.2 (A = 1,δc =0.5).

Esempio 5.2 (serie di Fourier dell’onda rettangolare TC, funzione sinc)Calcoliamo la serie di Fourierper un’onda rettangolare TC di periodoT0, ampiezzaA > 0 e duty-cycleδc = T

T0≤ 1 (per il grafico del segnale

e l’interpretazione del duty-cycle, cfr. es. 2.9). Tale segnale si ottiene per replicazione dal generatore:

xg(t) = A rect( t

T

),

e quindi la sua espressione è la seguente:

x(t) = repT0

[A rect

( tT

)].

Per calcolare i coefficienti della serie di Fourier utilizziamo direttamente l’equazione di analisi (5.11):

Xk =1T0

∫T0

x(t)e− j2πk f0t dt =1T0

∫ T0/2

−T0/2A rect

( tT

)e− j2πk f0t dt =

1T0

∫ T/2

−T/2Ae− j2πk f0t dt .

Perk = 0, si ha:

X0 =1T0

∫ T/2

−T/2Adt = A

TT0

= Aδc ,

mentre perk = 0 si ha:

Xk =A

− j2πk f0T0

[e− j2πk f0t

]t=T/2

t=−T/2= A

sin(πk f0T )πk

= Asin(πkδc)

πk. (5.13)

Per esprimere in forma più compatta il risultato precedente, introduciamo la funzione sinc(x):

sinc(x)=

sin(πx)πx

, x ∈ R , (5.14)

il cui grafico perx ∈ [−6,6] è riportato in fig. 5.2. Le principali proprietà della funzione sinc(x) sono le treseguenti, di facile dimostrazione:

(a) La funzione sinc(x) è una funzione pari:

sinc(−x) = sinc(x) .


(b) La funzione sinc(x) si annulla in tutti i valori interi tranne perk = 0:

sinc(k) =

1, k = 0 ;

0, k = 0.

(c) La funzione sinc(x) è infinitesima del primo ordine perx→±∞, in quanto:

|sinc(x)| ≤ 1π|x| , ∀x ∈ R .

Moltiplicando e dividendo perδc nella (5.13), e utilizzando la definizione di sinc(x), si ha:

Xk = Aδcsin(πkδc)

πkδc= Aδc sinc(kδc) , k = 0.

Notiamo che l’espressione precedente vale anche perk = 0, in quanto, per la proprietà (b) della sinc, risulta:

X0 = Aδc sinc(0) = Aδc .

Notiamo che nell’espressione delle armonicheXk compaiono soloA ed il duty-cycleδc. Consideriamo allora ilcaso particolareδc = 0.5 (duty-cycle del 50 %) eA = 1. In tal caso, le armoniche si esprimono come:

Xk =12

sinc

(k2

),

ed utilizzando la definizione di sinc(x) e le sue proprietà, nonché proprietà trigonometriche elementari, si ha:

Xk =

12, k = 0;

0, k pari;1

πk , k = 2h+1, h pari (k = . . .−7,−3,1,5,9, . . .);

− 1πk , k = 2h+1, h dispari (k = . . . ,−5,−1,3,7,11, . . .).

Più in generale, osserviamo che questo segnale, per qualunque valore diA e δc, presenta armoniche puramentereali, quindi esse possono essere rappresentate come in fig. 5.3, su un unico diagramma cartesiano. Per maggioregeneralità, tuttavia, ricaviamo gli spettri di ampiezza e di fase:

|Xk|=

12, k = 0;

0, k pari,k = 0;1

π|k| , k dispari;

Xk =

0 k = 0;

indeterminata k pari,k = 0;

0 k = . . . ,−5,−1,1,5, . . .;

±π k = . . . ,−7,−3,3,7, . . ..

che sono raffigurati graficamente in fig. 5.4. Notiamo la simmetria pari dello spettro di ampiezza, e quelladispari dello spettro di fase, ottenuta quest’ultima scegliendo opportunamente la faseπ per k > 0, e la fase−π per k < 0. Il grafico dello spettro di ampiezza del segnale mostra che tale onda rettangolare possiedesoltanto armoniche dispari (vale a dire per valori dispari dik), la cui ampiezza decresce con legge inversamenteproporzionale ak.


−2 −1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

Fig. 5.5. L’onda triangolare dell’es. 5.3 (A = 1).

−5 0 5

0

0.2

0.4

k

|Xk|

−5 0 5

−2

0

2

k

∠ X

k

Fig. 5.6. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (inbasso) dell’onda triangolare dell’es. 5.3 (A = 1).

Esempio 5.3 (serie di Fourier dell’onda triangolare TC) Calcoliamo la serie di Fourier per un’onda trian-golare TC di periodoT0 ed ampiezzaA:

x(t) = repT0

[AΛ

(2tT0

)],

ottenuta a partire dal generatore:

x(t) = AΛ(

2tT0

).

Tale segnale è raffigurato graficamente in fig. 5.5 perA = 1. Per calcolare i coefficienti della serie di Fou-rier utilizziamo direttamente l’equazione di analisi (5.11), ricordando la definizione esplicita della finestratriangolare:

Xk =1T0

∫T0


∫ T0/2

−T0/2A

(1− 2|t|

T0

)e− j2πk f0t dt .

Applicando la formula di Eulero ae− j2πk f0t , si ha:

Xk =1T0

∫ T0/2

−T0/2A

(1− 2|t|

T0

)cos(2πk f0t)dt =

2AT0

∫ T0/2

0

(1− 2t

T0

)cos(2πk f0t)dt ,

dove non abbiamo riportato l’integrale in cui compare sin(2πk f0t), in quanto esso risulta nullo per la simmetriadispari della funzione integranda, ed abbiamo viceversa sfruttato nell’integrale in cui compare cos(2πk f0t) lasimmetria pari della funzione integranda. Perk = 0, si ha:

X0 =2AT0

∫ T0/2

0

(1− 2t

T0

)dt =

2AT0

T0

4=

A2

,

mentre perk = 0, decomponendo l’integrale nella differenza di due integrali ed integrando per parti il secondo


integrale, si ha:

Xk =2AT0

∫ T0/2

0cos(2πk f0t)dt− 2

T0

∫ T0/2

0t cos(2πk f0t)dt

=

2AT0

[sin(2πk f0t)

2πk f0

]t=T0/2

t=0− 2

T0

[t

sin(2πk f0t)2πk f0

]t=T0/2

t=0−∫ T0/2

0

sin(2πk f0t)2πk f0

dt

=2AT0

12πk f0

sin(πk)︸︷︷︸=0

− 2T0

T0

21

2πk f0sin(πk)︸︷︷︸

=0

+1

2πk f0

[cos(2πk f0t)

2πk f0

]t=T0/2

t=0

=4A

T 20

1(2πk f0)2 [1−cos(πk)︸︷︷︸

(−1)k

]

=

0, k pari,k = 0;2A

π2k2 , k dispari.

Notiamo che le armonicheXk sono reali e non negative, quindi gli spettri di ampiezza e fase si calcolanobanalmente, in quanto|Xk| = Xk ≥ 0 eXk = 0, e sono raffigurati in fig. 5.6: si noti anche in questo caso lasimmetria pari dello spettro di ampiezza. Dal confronto con lo spettro di ampiezza dell’onda rettangolare conδc = 1/2, notiamo che anche l’onda triangolare possiede solo armoniche dispari, ma la loro ampiezza decrescein modo inversamente proporzionale ak2, quindi più rapidamente (si ricordi che l’onda rettangolare presentaarmoniche che decrescono come 1/k). Come vedremo (cfr. § 5.2.2), questo significa che l’onda triangolare puòessere approssimata più accuratamente con un numerominore di armoniche.

Come evidenziato dagli es. 5.2 e 5.3, fatta eccezione per casi molto semplici (es. segnale sinusoidale),il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier per un dato segnalex(t) si effettua utilizzando diretta-mente l’equazione di analisi (5.11), e quindi consiste nella risoluzione di un integrale. In taluni casi èpossibile utilizzare le proprietà formali (riportate nel § 5.4 o più estesamente in app. E) per ricondurreil calcolo a quello di qualche altro segnale per il quale è noto lo sviluppo in serie di Fourier. Vedremotuttavia nel cap. 6 una procedura molto semplice e generale che consente di ricondurre il calcolo deicoefficienti della serie di Fourier a quello di una trasformata di Fourier (formule o serie di Poisson).Quest’ultima strada è generalmente la più semplice per calcolare la serie di Fourier di un dato segnale.

5.2.1 Condizioni matematiche per la convergenza della serie di Fourier

In questa sezione prenderemo in considerazione il problema della convergenza della serie di Fourier.5

La trattazione di tale problema matematico è interessante anche dal punto di vista applicativo in quan-to, come vedremo nel § 5.2.2, esso è intimamente legato al problema della ricostruzione di un segnaleperiodico a partire da un numero finito di armoniche.

Siax(t) un arbitrario segnale periodo con periodoT0. L’ipotesi di partenza che riterremo validad’ora in avanti è che il segnalex(t) sia sommabile sul periodoT0. Abbiamo già avuto modo di direche tutti i segnali periodici di interesse pratico verificano questa ipotesi; inoltre, come già mostratoprecedentemente, la sommabilità dix(t) sul periodo assicura chetutti i coefficienti Xk della serie diFourier, definiti dalla equazione di analisi (5.11), esistano finiti. Tuttavia, il fatto che i coefficientiXk

5Per una trattazione esauriente del problema della convergenza della serie di Fourier si rimanda ai testi di analisi ma-tematica (ad esempio [3]); nel seguito daremo solo qualche risultato fondamentale, enfatizzando il più possibile gli aspettiintuitivi ed applicativi ed omettendo le relative dimostrazioni.


calcolati mediante l’equazione di analisi a partire dax(t) esistano finitinon significa che la serie

+∞

∑k=−∞

Xk e j2πk f0t (5.15)

costruita a partire da questi coefficienti converga, né tanto meno che tale serie converga al segnalex(t). Così come per le serie numeriche, lo studio della convergenza di una serie di funzioni passaattraverso la definizione delle sue somme parziali. Si definisce somma parziale (simmetrica)M-esimadella serie di Fourier (5.15) il segnale:

xM(t) =M

∑k=−M

Xk e j2πk f0t , conM ∈ N , (5.16)

ottenuto troncando simmetricamente6 la serie di Fourier ai primi 2M +1 termini. Se la serie di Fourier(5.15) converge al segnalex(t), allora si può scrivere

limM→+∞

xM(t) = x(t) , (5.17)

ovvero l’equazione di sintesi restituisce il segnalex(t). Lo studio delle condizioni sotto le quali la serie(5.15) converge dipende dal tipo di convergenza richiesta. In particolare, si dice che la serie di Fourier(5.15) convergeuniformemente [5] al segnalex(t) su R se, per ogniε > 0, è possibile determinareNε ∈ N tale che in ogni puntot ∈ R e per tutti i valori diM > Nε sia verificata la disuguaglianza:7

|xM(t)− x(t)|< ε .

Una proprietà importante delle serie uniformemente convergenti è che esse si possono integrare mem-bro a membro; pertanto, se la serie di Fourier converge uniformemente suR, i passaggi che hannoportato a ricavare i coefficientiXk nelle (5.6) e (5.7) sono validi anche perM→ +∞. Risulta imme-diatamente evidente che, se il segnalex(t) ha almeno una discontinuità, la sua serie di Fourier nonpotrà convergere uniformemente adx(t), poichè la somma di una serie uniformemente convergentedi funzioni continue (quali sono i fasori) è sempre una funzione continua. Quindi, la continuità delsegnalex(t) è condizionenecessaria (ma non sufficiente) affinchè la sua serie di Fourier sia unifor-memente convergente. Una condizione sufficiente per la convergenza uniforme della serie di Fourierè la seguente: se la successioneXk dei coefficienti è sommabile, ovvero se

+∞

∑k=−∞

|Xk|< +∞ , (5.18)

allora la serie associata ai coefficientiXk convergeuniformemente.8 Si osservi che affinchè la succes-sioneXk sia sommabile occorre che essa sia necessariamente infinitesima all’infinito, cioè

limk→±∞

|Xk|= 0.

6È opportuno effettuare un troncamento simmetrico per garantire che siano presenti le armonicheXk eX−k, in modo cheil segnalexM(t) possa essere reale (proprietà di simmetria hermitiana, cfr. § 5.4.2).

7Si osservi che la peculiarità della convergenza uniforme consiste nel fatto che il numeroNε non dipende dal particolarepuntot ∈ R: infatti, uno stesso numeroNε va bene per tutti i punti dell’asse reale.

8 Tale risultato è una conseguenza del cosiddetto criterio di Weierstrass [6]: segk(x), conk ∈ Z, sono funzioni a valori

complessi definite sull’intervallo(a,b), con |gk(x)| ≤ Mk, ∀k ∈ Z e ∀x ∈ (a,b), e inoltre+∞

∑k=−∞

|Mk| < +∞, allora la serie

bilatera+∞

∑k=−∞

gk(x) converge uniformemente in(a,b).


Si faccia bene attenzione che la sommabilità dei coefficienti di Fourier assicurasolo la convergenzauniforme della serie di Fourier, ma non che la serie restituisca propriox(t). In altre parole, se la(5.18) è verificata, la serie di Fourier (5.15) può convergere uniformemente ad un segnale ˇx(t) = x(t);tuttavia, quando ciò accade, i coefficienti di Fourier si possono ottenere equivalentemente dalle dueespressioni seguenti:

Xk =1T0

∫T0


∫T0

x(t)e− j2πk f0t dt .

Una semplice condizione sufficiente [11] per la convergenza uniforme al segnalex(t) della serie diFourier (5.15) è data dal seguente teorema:

Teorema 5.1 (condizione sufficiente per la convergenza uniforme adx(t))Se il segnalex(t), periodico con periodoT0, è continuo e derivabile quasi ovunque, con derivatax′(t) a quadrato sommabile sul periodoT0, ossia:∫

T0

∣∣x′(t)∣∣2 dt < +∞ ,

la serie di Fourier (5.10) converge uniformemente al segnalex(t) su tutto l’asse reale.

Abbiamo appena visto che la serie di Fourier può convergere uniformemente al segnalex(t) solo setale segnale è continuo. Pertanto, se ci limitassimo a considerare la sola convergenza uniforme, nonpotremmo applicare la teoria della serie di Fourier al caso di segnali con discontinuità, come l’ondarettangolare dell’es. 5.2. Dal punto di vista ingegneristico, potremmo aggirare l’ostacolo osservandoche nella pratica i segnali discontinui non esistono, ma sono solo una rappresentazione idealizzata disegnali che variano molto rapidamente, ma con continuità. Tuttavia dal punto di vista matematicoil problema ha significato e va affrontato in modo rigoroso,9 considerando il problema della conver-genza puntuale [10] della serie di Fourier al segnalex(t). A differenza della convergenza uniformeespressa dal teor. 5.1, che assicura la convergenza della serie (5.15) al segnalex(t) per ogni t ∈ R, ilproblema della convergenza puntuale della serie di Fourier consiste nel trovare sotto quali condizionila serie (5.15) converge adx(t) perquasi tutti i valori di t ∈R, eccetto al più un sottoinsieme di valoridi t di misura nulla, per i quali la serie, pur essendo convergente, non restituisce esattamente il segnalex(t). Si tratta quindi di dare una interpretazionemeno restrittiva della convergenza della serie (5.15)che, com’è intuibile, possa consentire di applicare la teoria della serie di Fourier ad una classe piùampia di segnali periodici. In tal senso, un risultato importante fu ottenuto dal matematico tedescoJohann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), che individuò nel 1828 le condizioni matemati-che che prendono il suo nome e garantiscono che, una volta calcolati i coefficientiXk a partire da unsegnalex(t), la serie associata a tali coefficienti converga (non necessariamente in maniera uniforme)al segnale da rappresentare, tranne che nei punti di discontinuità:

9Il problema della continuità della somma della serie di Fourier fu al centro del dibattito matematico dell’800, e solle-vò numerosi dubbi sulla validità della serie di Fourier, tanto da negare al suo scopritore il meritato riconoscimento dellacomunità scientifica. Uno dei critici più severi fu il matematico francese Joseph-Louis Lagrange (1763–1813). Infatti laprincipale obiezione che si muoveva a Fourier era la seguente: visto che le funzioni della serie (fasori, coseni o seni) sonotutte continue, come può la serie rappresentare segnali discontinui, come l’onda rettangolare dell’es. 5.2? Oggi sappiamoche se la serie non converge uniformemente, la somma di una serie di funzioni continue non è necessariamente una funzionecontinua, ma ai matematici dell’800 l’affermazione di Fourier doveva sembrare ai limiti dell’eresia.


Teorema 5.2 (condizioni di Dirichlet per la serie di Fourier)Siax(t) un segnale periodico di periodoT0. Se il segnale soddisfa le seguenti tre condizioni:

(d1) x(t) è sommabile sul periodoT0:∫T0

|x(t)| dt < +∞ ;

(d2) x(t) è una funzione continua nel periodoT0, escluso al più un numerofinito di punti condiscontinuità di prima specie;

(d3) x(t) è una funzione derivabile nel periodoT0, escluso al più un numerofinito di punti neiquali esistono finite la derivata sinistra e destra;

allora la serie di Fourier dix(t) esiste e, per ognit ∈R, converge al valore assunto dalla funzionex(t) nei punti in cui questa è continua, ed a1

2 [x(t+)+ x(t−)] (semisomma dei limiti destro esinistro) nei punti in cuix(t) presenta discontinuità di prima specie.

Si può inoltre dimostrare che la convergenza della serie di Fourier è uniforme in ogni intervallo chenon contiene punti di discontinuità dix(t), mentre non è uniforme in ogni intervallo che contienepunti di discontinuità dix(t). In particolare, se la funzionex(t) è continua, la convergenza della serieè uniforme per ognit ∈ R.10

Esempio 5.4 (onda rettangolare TC)Si verifica facilmente che l’onda rettangolare dell’es. 5.2 soddisfa letre condizioni di Dirichlet, e quindi la sua serie di Fourier converge alla funzionex(t) nel punti di continuità, edal valore A

2 (semisomma dei limiti destro e sinistro) nei punti di discontinuità. Poiché l’onda rettangolare nonè una funzione continua, la convergenza non è uniforme per ognit ∈ R. In particolare, la convergenza non èuniforme in ogni intervallo che contiene i punti di discontinuità. Si osservi che in questo caso i coefficientiXk,decrescendo come 1/k, non costituiscono una successione sommabile, violando la condizione (5.18).

Esempio 5.5 (onda triangolare a TC)Anche l’onda triangolare dell’es. 5.3 soddisfa le condizioni di Diri-chlet. In più, essendo una funzione continua, la serie di Fourier restituiscex(t) in tutti i punti, ed inoltre laconvergenza della serie è uniforme per ognit ∈ R. Il fatto che la serie converga uniformemente è testimoniatoanche dal fatto che i coefficientiXk, decrescendo come 1/k2, costituiscono una sequenza sommabile. Il fattoche la serie converga uniformemente al segnalex(t) è inoltre testimoniato dal teor. 5.1.

Per concludere, osserviamo che, oltre alla convergenza uniforme e alla convergenza puntuale dellaserie di Fourier, esiste un terzo tipo di convergenza (meno restrittiva di entrambe), detta convergenzain media quadratica, per la cui validità si richiede solo che il segnalex(t) sia a quadrato sommabilesul periodoT0. Questo tipo di convergenza, che è importante non solo nell’ambito della teoria deisegnali e sistemi, ma anche in molti problemi di fisica matematica, è discusso in app. E.

10In taluni testi le condizioni di Dirichlet sono espresse con linguaggio matematico differente. Ad esempio, la condizione(d3) fu originariamente formulata dallo stesso Dirichlet nel modo seguente, matematicamente equivalente: “x(t) presenta nelperiodoT0 un numerofinito di massimi e minimi”. Inoltre, in numerosi testi la condizione (d2) viene formulata come il fattochex(t) è una funzione “generalmente continua”, e la condizione (d3) come il fatto chex(t) è una funzione “generalmentederivabile con derivata generalmente continua”. Infine, considerazioni matematicamente più approfondite mostrano che,in effetti, le condizioni di Dirichlet sono un caso particolare del seguente risultato, noto comecriterio di Jordan: “se lafunzionex(t) è a variazione limitata in ogni intorno dit, allora la serie di Fourier converge a12

[x(t+)+ x(t−)

]” (per la

definizione di funzione a variazione limitata si veda [7]).


5.2.2 Ricostruzione di un segnale periodico con un numero finito di armoniche

L’equazione di sintesi della serie di Fourier, nelle ipotesi in cui valgono le condizioni di Dirichlet perla convergenza puntuale (cfr. teor. 5.2), consente di ricostruire esattamente in ogni punto di continuitàil valore del segnalex(t), mentre restituisce in ogni punto di discontinuità la semisomma del limitedestro e sinistro. La ricostruzione esatta di un segnalex(t) è possibile in generale solo considerandoun numeroinfinito di armoniche, quindi essa può essere verificata solo analiticamente. D’altra parte,abbiamo osservato che una condizione necessaria per la convergenza uniforme della serie di Fourierè che i coefficientiXk tendano a zero per|k| → +∞. Tale proprietà è sicuramente verificata perl’onda rettangolare e triangolare. Questo vuol dire che, se è vero che in teoria occorre considerare unnumero finito di armoniche per ricostruire il segnalex(t), è pur vero che in pratica le armoniche diordine superiore (quelle corrispondenti a valori di|k| grandi) “pesano” di meno nella ricostruzione delsegnale. Pertanto, in pratica, seM è “sufficientemente” grande, il segnale

xM(t) =M

∑k=−M

Xk e j2πk f0t , conM ∈ N ,

già definito nella (5.16), che include solo un numerofinito di armoniche, può risultare una buona ap-prossimazione del segnalex(t). La questione fondamentale èquanto debba essere grandeM affinchèxM(t) consenta di ricostruire con un sufficiente grado di accuratezza il segnalex(t). Evidentemente,la scelta diM dipende dallarapidità con cui i coefficienti di FourierXk tendono a zero per|k| →+∞.Abbiamo osservato che la rapidità di decadimento a zero dei coefficienti di Fourier può essere diversada segnale a segnale: ad esempio, i coefficienti decadono come 1/k per l’onda rettangolare, e come1/k2 per l’onda triangolare. È facilmente intuibile che, quanto maggiore è la rapidità di decadimentodei coefficienti di Fourier, tanto più piccolo può essere il valoreM sufficiente a garantire un deter-minato livello di accuratezza. È allora particolarmente interessante notare che l’effettiva rapidità concui i coefficientiXk decadono a zero dipende dalladolcezza del segnalex(t) nel dominio del tem-po. Osserviamo infatti preliminarmente che, dal punto di vista matematico, un segnalex(t), continuocon alcune sue derivate, ha un andamento tanto più dolce quanto maggiore è il numero di derivatecontinue. Vale allora la seguente proprietà (la cui dimostrazione, non riportata, si basa sulla ripetutaintegrazione per parti dell’equazione di analisi):

Proprietà 5.1 (rapidità di decadimento a zero dei coefficienti della serie di Fourier)Sia x(t) un segnale periodico di periodoT0. Se il segnale è continuo con le sue derivate fino aquella di ordinen, con derivata(n+1)-esima discontinua ma limitata, i coefficientiXk della suaserie di Fourier decadono a zero perk→±∞ come 1/|k|n+2.

La proprietà precedente esprime con linguaggio matematico il seguente concetto qualitativo:quantopiù è dolce il segnale, tanto più rapidamente decadono a zero i coefficienti della sua serie di Fourier.Più precisamente, essa consente di prevedereesattamente tale rapidità di decadimento a zero, anchesenza calcolare esplicitamente i coefficientiXk: basta infatti individuare il più piccolo ordine di deri-vata discontinua, ed incrementarlo di uno per avere la rapidità di convergenza a zero dei coefficienti.Notiamo che la proprietà precedente vale anche per un segnale discontinuo, basta porren =−1. Comeconseguenza della prop. 5.1, possiamo prevedere che, quanto più dolce è l’andamento del segnale neldominio del tempo, tanto minore sarà il numero di armoniche necessario per ricostruite il segnale conuna determinata accuratezza (ovvero tanto più piccolo sarà il valore diM).

Gli esempi seguenti chiariscono ulteriormente l’importante relazione che intercorre tra l’anda-mento del segnalex(t) nel dominio del tempo ed i suoi coefficientiXk nel dominio della frequenza.


Esempio 5.6 (fenomeno di Gibbs)Si consideri l’onda rettangolare dell’es. 5.2. Perδc = 1/2 edA = 1, icoefficienti della sua serie di Fourier sono dati da:

Xk =12

sinc

(k2

),

e pertanto il segnale ricostruito con 2M + 1 armoniche, sfruttando la simmetria pari della funzione sinc ed ilfatto cheXk = 0 perk dispari, assume l’espressione

xM(t) =12

M

∑k=−M

sinc

(k2

)e j2πk f0t =

12

+M

∑k = 1

k dispari

sinc

(k2

)cos(2π f0t) . (5.19)

Si osservi che l’onda rettangolare è un segnale discontinuo, quindi la prop. 5.1 si applica conn = −1, confer-mando che, in effetti, i coefficienti della serie di Fourier dell’onda rettangolare decadono a zero come 1/|k|.L’espressione (5.19) può essere calcolata numericamente utilizzando ad esempio Matlab o Mathematica. Infig. 5.7 sono rappresentati il segnalex(t) su un periodo e la sua ricostruzionexM(t) perM = 0,1,3,5,11,101,ottenuti con Matlab. Poiché l’onda quadra soddisfa le condizioni di Dirichlet, la ricostruzione ideale mediantela serie di Fourier deve restituire il valore 1 oppure 0 in tutti i punti di continuità, ed il valore 1/2 in corri-spondenza delle discontinuità. È interessante osservare il particolare comportamento del segnale ricostruitonell’intorno delle discontinuità. Infatti da entrambi i lati della discontinuità sono presenti delle oscillazioni, lacui frequenza aumenta, ma la cui ampiezza non diminuisce al crescere diM. Questo fenomeno, noto comefeno-meno di Gibbs,11 non pregiudica la convergenza della serie di Fourier in prossimità della discontinuità. Infattial crescere diM i picchi delle oscillazioni, sebbene restino di ampiezza invariata, vengono “schiacciati” versola discontinuità, garantendo la convergenza per ogni valore dit arbitrariamente prossimo alla discontinuità.Matematicamente, il fenomeno di Gibbs è una conseguenza del fatto che la serie di Fourier dell’onda rettan-golare converge, ma non uniformemente negli intervalli che contengono le discontinuità, come già discusso inprecedenza.

È interessante osservare che il fenomeno di Gibbs non si verifica solo per l’onda rettangolare, maper ogni segnalex(t) che, pur soddisfacendo le condizioni di Dirichlet, presenta dei punti di discon-tinuità. In particolare, set0 è un punto di discontinuità, denotato cons(t0) = x(t+0 )− x(t−0 ) il salto didiscontinuità int0, si può dimostrare che le oscillazioni a destra e a sinistra della discontinuità sonosimmetriche, e la loro ampiezza (calcolata rispetto al limite destro o sinistro) tende perM→ +∞ invalore assoluto a

βgibbs

π|s(t0)| (5.20)

doveβgibbs≈ 0.28114072518757 è una costante notevole.12 Nell’es. 5.6, l’ampiezza delle oscillazionicalcolata secondo la (5.20) è pari in valore assoluto circa a 0.09, come si può anche osservare dallafig. 5.7, nella quale il segnale oscilla tra i valori−0.09 (a sinistra della discontinuità) e 1.09 (a destradella discontinuità.

Esempio 5.7 (onda triangolare)Si consideri l’onda triangolare dell’es. 5.3. L’onda triangolare è continuama con derivata prima discontinua, per cui la prop. 5.1 si applica conn = 0, confermando che, in effetti, i coeffi-cienti della serie di Fourier dell’onda triangolare decadono a zero come 1/k2. Inoltre, poiché l’onda triangolareè una funzione continua, il fenomeno di Gibbs non si verifica per tale segnale. In effetti, la convergenza dellaserie di Fourier è dell’onda triangolare è uniforme inR, e la ricostruzione con un numero finito di armoniche èmolto più rapida e regolare, come testimoniato dalla fig. 5.8.

11Il fenomeno prende il nome dal fisico J. W. Gibbs (1839–1903), che per primo lo osservò e lo descrisse.12In effetti la costanteβgibbssi può calcolare comeβgibbs

=−∫+∞

πsin(t)

t dt, che a sua volta può essere espresso in termini

della funzione non elementareseno integrale sinint(x)=∫ x0

sintt dt, comeβgibbs= sinint(π)− π

2 (in Matlab si può usare peril calcolo la funzionesinint).


−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(a)

−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(b)

−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(c)

−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(d)

−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(e)

−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(f)

Fig. 5.7. Ricostruzione di un’onda rettangolare con un numero finito (2M +1) di armoniche (si noti la presenzadel fenomeno di Gibbs in corrispondenza delle discontinuità): (a)M = 0; (b) M = 1; (c) M = 3; (d) M = 5; (e)M = 11; (f) M = 101.


Dal punto di vista pratico, la lenta convergenza a zero (come 1/k) delle armoniche dell’onda rettan-golare comporta che per ottenere una buona approssimazione conM finito è necessario considerareun elevato numero di armoniche. Viceversa, la più rapida convergenza a zero (come 1/k2) delle ar-moniche dell’onda triangolare determina una migliore ricostruzione a parità di numero di armoniche(si confrontino le fig. 5.7 e 5.8).13

13Una valutazione quantitativa della bontà di tale ricostruzione, insieme con un ulteriore confronto tra la ricostruzionedell’onda rettangolare e quella triangolare, è proposta nel § 5.4.3, sulla base dell’uguaglianza di Parseval.


−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(a)

−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(b)

−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(c)

−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(d)

−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(e)

−0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

, xM

(t)

(f)

Fig. 5.8. Ricostruzione di un’onda triangolare con un numero finito (2M + 1) di armoniche (si noti l’assenzadel fenomeno di Gibbs): (a)M = 0; (b) M = 1; (c) M = 3; (d) M = 5; (e)M = 11; (f) M = 101.

5.3 Serie di Fourier per segnali TD (DFS) 225

5.3 Serie di Fourier per segnali TD (DFS)

Trattiamo ora la rappresentazione in serie di Fourier di segnali TD, nota anche comeDiscrete FourierSeries (DFS). Denotiamo conx(n) un segnale periodico di periodoN0∈N, e definiamo la suafrequen-

za fondamentale comeν0= 1/N0. Anche nel caso TD la serie di Fourier consiste nella rappresenta-

zione dix(n) come sovrapposizione di fasori aventi frequenze multiple della frequenza fondamentaleν0, quindi con un’espressione del tipo:

x(n) = ∑k

Xk e j2πkν0n . (5.21)

Notiamo che, nella (5.21), non abbiamo indicato di proposito gli estremi di variazione dell’indicek, e quindi l’intervallo di variazione delle frequenzeνk = kν0. Infatti, una differenza fondamentaleda tener presente nel caso TD rispetto al caso TC è che due fasori aventi frequenzeν1 e ν2 taliche ν2− ν1 = k ∈ Z sono matematicamente coincidenti (proprietà diperiodicità in frequenza deifasori TD, cfr. § 2.3.3). Nella (5.21), pertanto, è sufficiente far variarek in modo da ottenere lefrequenzeνk = kν0 = k/N0 in un qualunque intervallo di ampiezza unitaria, ad esempio in(0,1)oppure in(−1/2,1/2). In particolare, sek ∈ 0,1, . . . ,N0− 1, le frequenzeνk assumono i valori0,1/N0, . . . ,(N0−1)/N0 nell’intervallo [0,1[, per cui la (5.21) si può scrivere come:

x(n) =N0−1

∑k=0

Xk e j2πkν0n . (5.22)

La relazione (5.22) è analoga all’equazione di sintesi (5.10) della serie di Fourier a TC, e rappresental’equazione di sintesi dellaserie di Fourier discreta, in base alla quale un segnale periodicox(n) diperiodoN0 può essere rappresentato come somma di un numerofinito N0 di fasori aventi frequenzemultiple della frequenza fondamentaleν0 = 1/N0. La differenza fondamentale rispetto alla serie diFourier (5.10) per segnali TC è che nel caso TD il numero di armoniche èfinito14 ed è pari proprioad N0. Quindi un segnale TD periodico di periodoN0 può essere rappresentatoesattamente con N0

armoniche (viceversa, salvo casi particolari, un segnale TC può essere soloapprossimato utilizzandoun numero finito di armoniche).

L’equazione che consente di calcolareXk (equazione di analisi) si trova con passaggi analoghia quelli utilizzati nel caso TC, semplificati dal fatto che, essendo la (5.22) una somma finita, non ènecessario utilizzare il concetto di convergenza uniforme di una serie come nel caso TC. In particolare,moltiplicando ambo i membri della (5.22) pere− j2πhν0n e sommando su un periodo, si ha:

1N0

N0−1

∑n=0

x(n)e− j2πhν0n =N0−1

∑k=0

Xk1

N0

N0−1

∑n=0

e j2π(k−h)ν0n

︸︷︷︸=δ(k−h)

= Xh ,

per cui, cambiando l’indice dah nuovamente ak, si ha:

Xk =1

N0

N0−1

∑n=0

x(n)e− j2πkν0n , k ∈ 0,1, . . . ,N0−1 . (5.23)

Le (5.22) e (5.23) rappresentano una coppia di equazioni di sintesi/analisi della serie di Fourier persegnali TD. Esse, se si eccettua la fondamentale differenza sul numero di fasori che compaiono nella

14Si osservi che, proprio per questo motivo, è improprio parlare di “serie” di Fourier nel caso TD, in quanto si tratta diuna somma (finita) e non di una serie.


rappresentazione, costituiscono formalmente l’esatta controparte delle (5.10) e (5.11), valide nel casoTC. Va detto però che, nella letteratura scientifica, viene abitualmente utilizzata una definizione leg-germente diversa per la serie di Fourier a TD. A partire daXk, si definisce infatti la sequenzaX(k)come

X(k)= N0 Xk , (5.24)

e pertanto, con sostituzioni algebriche banali, le (5.22) e (5.23) si riscrivono in termini dix(n) e X(k)come:

x(n) =1

N0

N0−1

∑k=0

X(k)e j2πkν0n , (5.25)

X(k) =N0−1

∑n=0

x(n)e− j2πkν0n . (5.26)

Una prima differenza rispetto alle (5.22) e (5.23) è che il fattore 1/N0 è stato spostato dall’equazionedi analisi a quella di sintesi. Inoltre nella (5.26) abbiamo esteso la definizione diX(k) a qualunquevalore dik, sebbene a rigore gli unici valori diX(k) richiesti dall’equazione di sintesi (5.25) sianoquelli dell’intervallo0,1, . . . ,N0−1. D’altra parte è facile verificare che la sequenzaX(k) definitamediante la (5.26) è periodica,15 come la sequenzax(n), di periodoN0: tale proprietà discende ba-nalmente dalla periodicità ink del fasoree− j2πkν0n. In altri termini, le (5.25) e (5.26) definiscono unatrasformazionebiunivoca tra le due sequenzex(n) e X(k), entrambe periodiche dello stesso periodoN0. Se infine nelle (5.25) e (5.26) facciamo l’ulteriore posizione:

wN0

= e− j2π/N0 (5.27)

perveniamo alla seguente definizione per la serie di Fourier o DFS di un segnale TD:

Definizione 5.2 (serie di Fourier a TD o DFS)Sia x(n) un segnale periodico avente periodoN0 e frequenza fondamentaleν0 = 1/N0. Posto

wN0

= e− j2π/N0, la serie di Fourier (DFS) dix(n) è definita dalle equazioni:

x(n) =1

N0

N0−1

∑k=0

X(k)w−knN0

(equazione di sintesi) (5.28)

X(k) =N0−1

∑n=0

x(n)wknN0

(equazione di analisi) (5.29)

In effetti, nella letteratura scientifica le (5.28) e (5.29) sono comunemente considerate le equazionidi sintesi ed analisi della serie di Fourier a TD, anche se esse non sono esattamente corrispondenti aquelle nel caso TC. In particolare, la (5.29) viene denominataDiscrete Fourier Series (DFS), mentrela (5.28) prende il nome diInverse Discrete Fourier Series (IDFS). Per sottolineare che la DFS/IDFSistituisce una corrispondenza biunivoca tra due sequenze periodiche delle stesso periodoN0 si scrive:

x(n) DFS←→ X(k) .

15Notiamo che una tale periodicità non vale invece per la sequenza dei coefficientiXk della serie di Fourier di un segnaleTC, che anzi tendono a zero per|k| → ∞ e quindi non possono essere periodici.

5.3 Serie di Fourier per segnali TD (DFS) 227

−20 −10 0 10 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

Fig. 5.9. Onda rettangolare TD dell’es. 5.8 (N0 = 8,M = 4).

La DFS e IDFS possono anche essere viste comeoperatori, e si scrive sinteticamente

X(k) = DFS[x(n)] , x(n) = IDFS[X(k)] .

È interessante mettere in luce un’ulteriore differenza tra il caso TC e TD. Un segnale TC periodi-co x(t) con periodoT0 è completamente descritto nel dominio del tempo dal suo andamento su unqualsiasi periodo, ad esempio pert ∈ [0,T0[, ovvero da un’inifinità continua di valori; abbiamo vistoche invece, nel dominio della frequenza, il segnalex(t) è descritto dalla successioneXkk∈Z dei suoicoefficienti di Fourier, ovvero da un segnale TD. Differentemente dal caso TC, per i segnali periodiciTD sussiste una perfettadualità tra il dominio del tempo e quello della frequenza. Infatti, un segnaleTD periodicox(n) con periodoN0 è completamente descritto nel dominio del tempo dai suoiN0 va-lori assunti su un periodo, ad esempiox(0),x(1), . . . ,x(N0−1); nel dominio della frequenza sussisteesattamente la stessa proprietà, il segnalex(n) è completamente descritto assegnando soloN0 valori,cioè i coefficientiX(k)N0−1

k=0 della sua serie di Fourier.Si può infine verificare che le quantitàwN0 definite mediante la (5.27) godono delle seguenti

proprietà:

(a) Coniugazione: (wknN0

)∗ = w−knN0

;

(b) Periodicità in n: wk(n+N0)N0

= wknN0

;

(c) Periodicità in k: w(k+N0)nN0

= wknN0

.

In particolare, la periodicità della sequenzax(n) deriva dalla proprietà (b), mentre la periodicità dellasequenzaX(k) segue dalla proprietà (c). La periodicità diX(k) è una caratteristica peculiare dellaDFS, ed è importante per comprendere alcune proprietà sia della DFS (come ad esempio la simmetriahermitiana, cfr. § 5.4.2), sia della trasformata discreta di Fourier (DFT), che è strettamente legata allaDFS (cfr. cap. 7).

Esempio 5.8 (DFS dell’onda rettangolare TD, funzione di Dirichlet) Consideriamo l’onda rettangolare TDdi ampiezza unitaria e periodoN0, ottenuta replicando una finestra rettangolare di durataM ≤ N0:

x(n) = repN0[RM(n)] =

+∞

∑k=−∞

RM(n− kN0) ,


e raffigurata graficamente in fig. 5.9 perN0 = 8 edM = 4. La DFS dix(n) si scrive, sulla base della definizione(5.29), come:

X(k) = DFS[x(n)] =N0−1

∑n=0

x(n)wknN0

=M−1

∑n=0

wknN0

=M−1

∑n=0

[wkN0

]n .

Per calcolare l’espressione precedente in forma chiusa, è possibile sfruttare la seguente identità:

N2

∑n=N1

an =aN1−aN2+1

1−a, valida per ognia ∈ C e per ogniN2≥ N1 .

Ponendo infattia = wkN0

, N1 = 0 eN2 = M−1, si ha:

X(k) =M−1

∑n=0

[wkN0

]n =1−wkM

N0

1−wkN0

. (5.30)

Ricordando la definizione diwN0, notiamo che

wkMN0

= e− j2πkM

N0 ,

wkN0

= e− j2π k

N0 ,

per cui la (5.30) può essere riscritta, con semplici passaggi algebrici, come

X(k) =1− e

− j2πkMN0

1− e− j2π k

N0

=e− jπkM

N0

[e

jπkMN0 − e

− jπkMN0

]e− jπ k

N0

[e

jπ kN0 − e

− jπ kN0

] =sin

(πkM

N0

)sin

(π k

N0

) e− jπ(M−1) k

N0 .

Per esprimere in forma più compatta il risultato precedente, introduciamo la funzioneDM(x) (funzione diDirichlet o “sinc periodica”):

DM(x)=

sin(πxM)sin(πx)

e− j(M−1)πx , x ∈ R , (5.31)

il cui grafico perx ∈ [−1,1] è riportato in fig. 5.10 [notiamo che trattandosi di una funzione complessa abbiamorappresentato separatamente modulo e fase diDM(x)]. Le principali proprietà della funzioneDM(x) sono leseguenti, di facile dimostrazione:

1. La funzioneDM(x) è periodica di periodo 1:

DM(x+1) = DM(x) , ∀x ∈ R .

2. La funzioneDM(x) si annulla in tutti i valori dix multipli di 1/M, tranne che inx = ±1,±2, . . ., dovevaleM:

DM (x) =

0, x =kM

, k ∈ Z, x ∈ Z ;

M, x ∈ Z .

Utilizzando la definizione (5.31), si ha allora:

X(k) = DM

(k

N0

),

ovvero la DFS dell’onda rettangolare si ottiene campionando con passo 1/M la funzione di Dirichlet. Tale DFSè rappresentata in ampiezza e fase in fig. 5.11 nel casoN0 = 8 edM = 4. Notiamo anche in questo caso lasimmetria pari dello spettro di ampiezza, e quella dispari dello spettro di fase.

5.4 Principali proprietà della serie di Fourier e della DFS 229

−1 −0.5 0 0.5 1

0

2

4

x

|DM

(x)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−2

0

2

x

∠ D

M(x

)

Fig. 5.10.Funzione di Dirichlet perM = 4: modulo(in alto) e fase (in basso).

−5 0 5

0

2

4

k

|X(k

)|

−5 0 5

−2

0

2

k

∠ X

(k)

Fig. 5.11.DFS dell’onda rettangolare dell’es. 5.8(N0 = 8, M = 4): spettro di ampiezza (in alto) e difase (in basso).

Notiamo in conclusione che, poiché la DFS è la rappresentazione di un segnale periodico come sommafinita di fasori, allora per essa non esistono problemi di convergenza come per la serie di Fourier aTC. In altre parole, unqualunque segnale periodico TD con periodoN0 si può sempre esprimeremediante le (5.28) and (5.29). Di conseguenza, il fenomeno di Gibbs non sussiste nel caso TD,anche perchè il concetto di continuità perde di significato in tal caso. Il fatto che la DFS/IDFS siaespressa mediante una somma finita di termini comporta che la DFS/IDFS può essere calcolata nonsolo analiticamente, ma anche algoritmicamente, in quanto richiede un numero finito di operazioni.Vedremo (cfr. § cap. 7) che la DFS presenta forti affinità con la trasformata di Fourier discreta (DFT),e per quest’ultima esistono algoritmi di calcolo computazionalmente efficienti, denominati algoritmiFast Fourier Transform (FFT), che a partire dalla loro scoperta negli anni ’60 hanno dato un grossoimpulso alla diffusione delle tecniche di elaborazione numerica dei segnali.

5.4 Principali proprietà della serie di Fourier e della DFS

La serie di Fourier a TC e a TD (DFS) gode di molte proprietà interessanti, che suggeriscono ulterioriconsiderazioni concettuali e, soprattutto, risultano particolarmente utili per facilitare il calcolo deicoefficienti di Fourier. In questo paragrafo considereremo solo alcune proprietà principali della seriedi Fourier che risultano più interessanti per le loro implicazioni nell’elaborazione dei segnali. Inparticolare, discuteremo nel dettaglio la proprietà di linearità, simmetria hermitiana dei coefficienti, el’uguaglianza di Parseval per il calcolo della potenza. Per tali proprietà, tratteremo congiuntamentesia il caso TC che quello TD, evidenziando, quando necessario, le differenze salienti. Altre proprietàformali, utili talvolta nei calcoli, sono simili a quelle della trasformata di Fourier (che vedremo inmaggior dettaglio), e sono comunque riportate in app. E.

5.4.1 Linearità

Sianox(t) edy(t) due segnali periodici TC con lo stesso periodoT0, i cui coefficienti di Fourier sianoXk e Yk, rispettivamente. Poichè i due segnalix(t) e y(t) hanno lo stesso periodo, si può facilmentedimostrare che una loro arbitraria combinazione linearez(t) = α1 x(t) + α2 y(t), con α1,α2 ∈ C, èancora un segnale periodico di periodoT0.16 La proprietà di linearità della serie di Fourier afferma


che i coefficienti di FourierZk del segnale periodicoz(t) si ottengono combinando linearmente allostesso modo i coefficienti di Fourier dei segnalix(t) e y(t), ossia:

Zk = α1 Xk +α2Yk .

Analogamente, sianox(n) edy(n) due segnali periodici TD con lo stesso periodoN0, i cui coefficientidi Fourier sianoX(k) eY (k), rispettivamente. Anche in questo caso si può mostrare agevolmente cheun’arbitraria combinazione linearez(n) = α1 x(n)+α2 y(n), conα1,α2 ∈ C, dei due segnali è ancoraun segnale periodico di periodoN0,17 la cui DFS si ottiene da quella dei segnalix(n) ed y(n) nelseguente modo:

Z(k) = α1 X(k)+α2Y (k) .

Riassumendo, otteniamo la seguente proprietà notevole:

Proprietà 5.2 (linearità della serie di Fourier)(a) Sianox(t) FS←→ Xk e y(t) FS←→ Yk due segnali TC periodici con lo stesso periodo. Si ha:

α1 x(t)+α2 y(t) FS←→ α1 Xk +α2Yk , ∀α1,α2 ∈ C .

(b) Sianox(n) DFS←→ X(k) e y(n) DFS←→ Y (k) due segnali TD periodici con lo stesso periodo. Siha:

α1 x(n)+α2 y(n) DFS←→ α1 X(k)+α2Y (k) , ∀α1,α2 ∈ C .

La dimostrazione della proprietà di linearità nel caso TC e TD si ottiene immediatamente a partiredalle equazioni di analisi (5.11) e (5.29), rispettivamente. Si noti infine che la proprietà di linearità siestende facilmente al caso della combinazione lineare di un numero arbitrario (ma finito) di segnaliperiodici dello stesso periodo.

5.4.2 Simmetria hermitiana

Con riferimento a segnali periodici TC, negli es. 5.1, 5.2 e 5.3 abbiamo osservato che lo spettro diampiezza|Xk| è una funzionepari di k, mentre lo spettro di faseXk è una funzionedispari di k (ameno di multipli di 2π). Valgono cioè le seguenti relazioni:

|Xk| = |X−k| , (simmetria pari)Xk =−X−k . (simmetria dispari)

(5.32)

Si può facilmente mostrare che queste relazioni di simmetria per gli spettri di ampiezza e di fase sipossono sinteticamente enunciare come:

X∗k = X−k . (5.33)

16Può accadere in casi particolari che il periodo fondamentale della combinazione lineare sia però più piccolo diT0.17Anche nel caso TD, esistono casi particolari in cui il periodo fondamentale della combinazione lineare è più piccolo di

N0.


Una proprietà analoga è stata osservata anche nell’es. 5.8 riguardante la DFS dell’onda rettangolareTD, dove si è visto che lo spettro di ampiezza|X(k)| è una funzione pari dik, mentre lo spettro di faseX(k) è una funzione dispari dik (a meno di multipli di 2π). Valgono cioè le seguenti relazioni:

|X(k)| = |X(−k)| , (simmetria pari)X(k) =−X(−k) . (simmetria dispari)

(5.34)

Pertanto, anche in questo caso le (5.34) si possono scrivere in maniera più compatta come:

X∗(k) = X(−k) . (5.35)

Le proprietà (5.33) e (5.35), in particolare, prendono il nome disimmetria hermitiana o coniugata deicoefficienti di Fourier, e valgonose e solo se il segnale periodico in questione è reale, come specificatodalla seguente proprietà:

Proprietà 5.3 (simmetria hermitiana dei coefficienti della serie di Fourier)(a) Siax(t) FS←→ Xk un segnale TC periodico. Vale la seguente equivalenza:

x(t) reale ⇐⇒ X∗k = X−k (simmetria hermitiana) (5.36)

(b) Siax(n) DFS←→ X(k) un segnale TD periodico. Vale la seguente equivalenza:

x(n) reale ⇐⇒ X∗(k) = X(−k) (simmetria hermitiana) (5.37)

Prova. Nel seguito è riportata la dimostrazione della proprietà di simmetria hermitiana solo nel caso TC; ladimostrazione nel caso della DFS si ottiene con ragionamenti analoghi. Proviamo prima l’implicazione⇒ nella(5.36). Partiamo dall’equazione di analisi (5.11):

Xk =1T0

∫T0

x(t)e− j2πk f0t dt .

Sex(t) è reale, si hax∗(t)≡ x(t), e pertanto:

X∗k =1T0

∫T0

x∗(t)e j2πk f0t dt =1T0

∫T0

x(t)e− j2π(−k) f0t dt = X−k .

Proviamo adesso l’implicazione⇐ nella (5.36). Se vale la simmetria hermitiana (5.36), osserviamo prelimi-narmente che perk = 0 si haX0 = X∗0 , e quindiX0 è reale. Inoltre l’equazione di sintesi (5.10) si può riscriverecome:

x(t) = X0 ++∞

∑k=1

Xk e j2πk f0t +−1

∑k=−∞

Xk e j2πk f0t = X0 ++∞

∑k=1

Xk e j2πk f0t ++∞

∑k=1

X−k e− j2πk f0t

= X0 ++∞

∑k=1

Xk e j2πk f0t ++∞

∑k=1

X∗k e− j2πk f0t = X0 +2Re

[+∞

∑k=1

Xk e j2πk f0t

],

(5.38)

da cui, avendo già provato cheX0 è reale, si ricava chex(t) è reale.

L’equivalenza tra simmetria hermitiana e simmetria pari/dispari degli spettri di ampiezza/fase si dimo-stra facilmente nel caso TC esprimendoXk comeXk = |Xk|e jXk e sostituendo tale espressione nella(5.36). Si ha:

X∗k = X−k⇐⇒ |Xk|e− jXk = |X−k|e jX−k


da cui eguagliando modulo e fase dei due membri si ottiene la (5.32) (con analoghi passaggi si ottienela (5.34) a partire dalla (5.37) nel caso TD). Per evitare possibili fraintendimenti, notiamo che, poichéla fase di un numero complesso è definita a meno di multipli di 2π, la simmetria dispari dello spettrodi fase va intesa anch’essa a meno di multipli di 2π. In altre parole, sex(·) è reale, tra tutti i pos-sibili andamenti dello spettro di fase (ottenuti aggiungendo o sottraendo multipli di 2π), è possibiledeterminarnealmeno uno dispari.

Rispetto al caso TC, la proprietà di simmetria hermitiana della DFS merita qualche ulteriore com-mento, in relazione alla periodicità della sequenzaX(k). Notiamo infatti che nell’equazione di sintesi(5.28) compaiono solo i valori diX(k) per k ∈ 0,1, . . . ,N0− 1, per cui sembrerebbe che la sim-metria hermitiana si possa applicare solo perk = 0 e, conseguentemente, il solo coefficienteX(0) èvincolato ad essere reale, mentre non è imposta nessuna relazione tra gli altri coefficientiX(k), perk ∈ 1,2, . . . ,N0−1. Questa conclusione non è corretta. Infatti, ricordando che la DFSX(k) è unasequenza periodica di periodoN0, si ha:

X(−k) = X(−k +N0) = X(N0− k) ,

per cui la (5.37) si può riscrivere, perk ∈ 1,2, . . . ,N0−1, anche come segue:

X∗(k) = X(N0− k) .

Notiamo infatti che, sek ∈ 1,2, . . . ,N0−1, ancheN0− k varia nello stesso intervallo. In definitiva,la proprietà di simmetria hermitiana per la DFS, con riferimento ai soli valori dik ∈ 0,1, . . . ,N0−1,si può esprimere, in alternativa alla (5.37) mediante le seguenti condizioni:

X(0) reale,

X∗(k) = X(N0− k) , k ∈ 1,2, . . . ,N0−1 , (5.39)

dove la seconda relazione si può interpretare anche come una simmetria diX(k) rispetto al “puntomedio”N0/2 dell’intervallo1,2, . . . ,N0−1. In particolare, seN0/2 è intero (il che accade se e soloseN0 è pari), applicando la (5.39) perk = N0/2 si ha:

X∗(N0/2) = X(N0/2) ,

da cui si deduce che, oltre aX(0), ancheX(N0/2) è vincolato ad essere reale perN0 pari.La proprietà di simmetria hermitiana dei coefficienti consente di ottenere forme alternative della

serie di Fourier a TC e TD, valide esclusivamente per segnali reali. Infatti, con riferimento a segnaliperiodici TC reali, ponendoXk = |Xk|e jXk nella (5.38), si ottiene:

x(t) = X0 +2Re

[+∞

∑k=1

|Xk|e jXk e j2πk f0t

]= X0 +2Re

[+∞

∑k=1

|Xk|e j(2πk f0t+Xk)

]

= X0 +2+∞

∑k=1

|Xk|cos(2πk f0t +Xk) .

(5.40)

Con ragionamenti simili, partendo dall’equazione di sintesi (5.28) e sfruttando la proprietà di simme-tria hermitiana nella forma (5.39), si può verificare (la verifica è lasciata al lettore come esercizio)che, per segnali periodici TD reali, si ottiene:

x(n) =

1

N0

X(0)+(−1)n X

(N0

2

)+2

(N0/2)−1

∑k=1

|X(k)|cos[2πkν0n+X(k)]

, N0 pari,

1N0

X(0)+2

(N0−1)/2

∑k=1

|X(k)|cos[2πkν0n+X(k)]

, N0 dispari.


(5.41)

Le (5.40) e (5.41) sono forme alternative delle equazioni di sintesi della serie di Fourier a TC eTD, rispettivamente, valide per segnali reali, note comeforma polare della serie di Fourier, in cuicompaiono esclusivamente funzioni trigonometriche reali e coefficienti reali. Un’ulteriore espressionedella serie di Fourier, molto utilizzata nei testi di analisi matematica e valida sempre per segnali reali,si ottiene nel caso TC decomponendoXk, anziché in modulo e fase, in parte reale ed immaginaria.Infatti, ponendoX0 = a0/2 e Xk = (ak− jbk)/2 (conk ∈ N) nella (5.38), si ha, con facili passaggialgebrici,

x(t) =a0

2+

+∞

∑k=1

[ak cos(2πk f0t)+bk sin(2πk f0t)] , (5.42)

dove:

a0 =2T0

∫T0

x(t)dt , ak =2T0

∫T0

x(t) cos(2πk f0t)dt , bk =2T0

∫T0

x(t) sin(2πk f0t)dt .

Allo stesso modo, ponendoX(0) = a(0)/2 eX(k) = [a(k)− jb(k)]/2 (conk ∈ 1,2, . . . ,N0−1) nella(5.29), partendo dall’equazione di sintesi (5.28) e sfruttando la proprietà di simmetria hermitiana nellaforma (5.39), nel caso TD si ottiene:

x(n) =

1

N0

a(0)

2+

(−1)n a(N0/2)2

+(N0/2)−1

∑k=1

[a(k)cos(2πkν0n)+b(k)sin(2πkν0n)]

, N0 pari,

1N0

a(0)

2+

(N0−1)/2

∑k=1

[a(k)cos(2πkν0n)+b(k)sin(2πkν0n)]

, N0 dispari.

(5.43)

dove:

a(0) = 2N0−1

∑n=0

x(n) , a(k) = 2N0−1

∑n=0

x(n) cos(2πkν0n) , bk = 2N0−1

∑n=0

x(n) sin(2πkν0n) .

Le espressioni (5.42) e (5.43) sono note comeforma trigonometrica o forma rettangolare della seriedi Fourier, ed in essa, come nella forma polare, compaiono soltanto quantità reali.

Nel seguito, anche per segnali reali, saranno utilizzate quasi esclusivamente le definizioni originalidi serie di Fourier a TC e TD (cfr. def. 5.1 e def. 5.2), note anche comeforma esponenziale della seriedi Fourier, perché più generali e compatte.

5.4.3 Uguaglianza di Parseval

L’uguaglianza di Parseval consente di esprimere la potenza di un segnale periodico in termini del-le potenza delle armoniche che lo compongono. Consideriamo dapprima il caso di un segnale TCperiodico. Il punto di partenza è l’equazione di sintesi (5.10), che riscriviamo per comodità:

x(t) =+∞

∑k=−∞

Xk e j2πk f0t .


Abbiamo già osservato [eq. (5.4)] che i fasorie j2πk f0t che compaiono nella (5.10) sono a due a dueortogonali. Tale proprietà consente di calcolare la potenza della somma dei fasori come somma del-le potenze dei singoli fasori. Poiché (cfr. es. 2.18) la potenza di un singolo fasoreXk e j2π f0t dellarappresentazione vale|Xk|2, otteniamo la seguente relazione:

Px =+∞

∑k=−∞

|Xk|2 ,

nota comeuguaglianza di Parseval per la serie di Fourier (a TC).Passiamo a considerare il caso di un segnale periodico TD, riprendendo e riscrivendo l’equazione

di sintesi (5.28):

x(n) =1

N0

N0−1

∑k=0

X(k)w−knN0

=N0−1

∑k=0

1N0

X(k)e j2π kN0

n.

Come nel caso TC, possiamo interpretare questa relazione come uno sviluppo del segnalex(n) in una

somma finita di fasorixk(n) = e j2π kN0

n, con coefficientiX(k)/N0. È semplice anche in questo casoprovare che i segnalixk(n), essendo fasori a frequenze distinte, sono tra di loroortogonali, ovverohanno potenza mutua nulla:

Pxkxh = 〈xk(n)x∗h(n)〉= 1N0

N0−1

∑n=0

e j2π (k−h)N0

n = δ(k−h) =

1, sek = h ;

0, sek = h .

In virtù di tale ortogonalità, la potenza del segnalex(n) si ottiene come somma delle potenze deisingoli fasori, e tenendo conto che la potenza di ciascun fasore della rappresentazione è pari stavoltaa |X(k)|2/N2

0, si ottiene la seguente relazione:

Px =1

N20

N0−1

∑k=0

|X(k)|2 .

nota comeuguaglianza di Parseval per la DFS. Riassumendo, possiamo quindi enunciare la seguenteproprietà:

Proprietà 5.4 (uguaglianza di Parseval per la serie di Fourier)(a) Siax(t) FS←→ Xk un segnale TC periodico con periodoT0. La potenza dix(t) è data da:

Px =+∞

∑k=−∞

|Xk|2 . (5.44)

(b) Siax(n) DFS←→ X(k) un segnale TD periodico con periodoN0. La potenza dix(n) è data da:

Px =1

N20

N0−1

∑k=0

|X(k)|2 . (5.45)

L’interpretazione “fisica” della uguaglianza di Parseval è che la potenza di un segnale periodico si puòottenere sommando le potenze delle singole armoniche che lo compongono. Notiamo che per segnali


TC reali, sfruttando la simmetria hermitiana dei coefficienti, la (5.44) può essere riscritta utilizzandosolo le armoniche conk ≥ 0, ottenendo:

Px = X20 +2

+∞

∑k=1

|Xk|2 .

L’uguaglianza di Parseval può essere utilizzate per misurare la bontà della ricostruzione di un segnaleTC periodico impiegando un numero finito di armoniche (cfr. § 5.2.2). Infatti, per ottenere una valu-tazionequantitativa di tale bontà, è possibile calcolare la potenza del segnale ricostruito con 2M +1armoniche:

xM(t) =M

∑k=−M

Xk e j2πk f0t , conM ∈ N ,

e confrontarla con la potenza del segnale originariox(t). Utilizzando l’uguaglianza di Parseval, lapotenza del segnale ricostruito è pari a:

Px(M) =M

∑k=−M

|Xk|2 .

Tale potenza può essere rapportata alla potenzaPx del segnalex(t), ottenendo così il coefficiente

ξM=

Px(M)Px

∈ [0,1] ,

che può essere assunto come indice della bontà della ricostruzione al variare diM. In particolare, talecoefficiente, per un fissato valore diM, indica la frazione della potenza del segnale originariox(t)presente nel segnale approssimatoxM(t). In fig. 5.12 è rappresentato, al variare diM, il coefficienteξM (espresso in percentuale) per l’onda rettangolare e triangolare. Si noti come il coefficienteξM perl’onda triangolare tenda molto più rapidamente ad 1, rispetto a quello per l’onda rettangolare. Perun fissato valore diξM, e quindi per un fissato valore di accuratezza relativa, è possibile calcolare ilnumero di armonicheM necessarie per i due segnali considerati. Ad esempio, per avereξM ≥ 0.99è necessario considerareM = 23 per l’onda rettangolare, mentre è sufficiente un valoreM = 3 perl’onda triangolare.


0 20 40 60 80 10090

92

94

96

98

100

M

γ M (

%)

Onda triangolareOnda rettangolare

Fig. 5.12.Bontà della ricostruzione con un numero finito di armoniche:confronto tra l’onda rettangolare e l’onda triangolare.

5.5 Risposta di un sistema LTI ad un segnale periodico 237

x(t) H(f) y(t)

Yk=H(kf0)Xk

Fig. 5.13.Risposta di un sistema LTI ad un segnaleperiodico (caso TC).

x(n) H(ν) y(n)

Y(k)=H(kν0)X(k)

Fig. 5.14.Risposta di un sistema LTI ad un segnaleperiodico (caso TD).

5.5 Risposta di un sistema LTI ad un segnale periodico

Come accennato all’inizio di questo capitolo, la principale motivazione che spinge a rappresentare unarbitrario segnale come sovrapposizione di fasori è la semplicità con cui è possibile calcolare l’uscitadi un sistema LTI sollecitato da un singolo fasore, mediante le relazioni (4.97) e (4.105):

x(t) = e j2π f t −→ y(t) = H( f )e j2π f t ,

x(n) = e j2πνn −→ y(n) = H(ν)e j2πνn .

In particolare, sfruttando le formule di Eulero, le espressioni precedenti sono state già utilizzate(cfr. § 4.7.3) per ricavare l’uscita di un sistema LTI reale sollecitato da una sinusoide TC o TD, chepuò essere vista come un caso particolare di segnale periodico.

Avendo ricavato la rappresentazione in serie di Fourier sia nel caso TC che in quello TD, siamoora in grado di calcolare esplicitamente l’uscita di un sistema LTI quando il segnale di ingresso èun arbitrario segnale periodico.18 Consideriamo prima il caso TC, e supponiamo che il segnalex(t),periodico di periodoT0, sia applicato (fig. 5.13) in ingresso ad un sistema LTI con risposta in frequenzaH( f ). Applicando l’equazione di sintesi della serie di Fourier a TC (5.10), il segnalex(t) può essereespresso come:

x(t) =+∞

∑k=−∞

Xk e j2πk f0t ,

dove f0 = 1/T0. Per la linearità del sistema, è possibile applicare il principio di sovrapposizione (3.23)per calcolare l’uscitay(t). Infatti, l’uscita corrispondente ad un singolo fasorexk(t) = e j2πk f0t (aventefrequenzak f0) della rappresentazione dix(t) si ottiene applicando la (4.97):

xk(t) = e j2πk f0t −→ yk(t) = H(k f0)e j2πk f0t .

Pertanto, per il principio di sovrapposizione (3.23), ed essendo i coefficientiXk ∈ C quantità costanti,l’uscita del sistema sarà:

y(t) =+∞

∑k=−∞

Xk H(k f0)︸︷︷︸=Yk

e j2πk f0t . (5.46)

Poiché la (5.46) ha la forma dell’equazione di sintesi (5.10) della serie di Fourier diy(t), è possibiletrarre due importanti conclusioni:

18Espressioni ancora più generali per un segnale non necessariamente periodico saranno ricavate quando studieremo latrasformata di Fourier (cap. 6).


(1) l’uscita di un sistema LTI sollecitato in ingresso da un segnale periodicox(t) avente periodoT0 èa sua volta un segnale periodicoy(t) avente periodoT0;19

(2) i coefficienti delle serie di Fourier diy(t) e x(t) sono legati dalla relazione20

Yk = H(k f0)Xk . (5.47)

La (5.47), in particolare, mette in luce che i coefficienti della serie di Fourier dell’uscitay(t) si ot-tengono moltiplicando quelli dell’ingresso per i campioni della risposta in frequenzaH( f ), calcolatialle frequenzefk = k f0. Notiamo che le quantità che compaiono nella (5.47) sono tutte, in generale,complesse. In termini di modulo e fase, la (5.47) si può scrivere equivalentemente:

|Yk|= |H(k f0)||Xk| , (5.48)

Yk = H(k f0)+Xk . (5.49)

Pertanto la risposta in ampiezza|H( f )| del sistema modifica con leggemoltiplicativa lo spettro diampiezza del segnale di ingresso, mentre la risposta in faseH( f ) del sistema modifica con leggeadditiva lo spettro di fase del segnale di ingresso. Particolarizzando la (5.47) perk = 0, e ricordandocheY0 = ydc e X0 = xdc, si ha:

ydc = H(0)xdc .

Pertanto le componenti continue dei segnali di ingresso e di uscita sono legate tra loro dalla moltipli-cazione perH(0), che prende per questo motivo il nome diguadagno in continua del sistema.21

Passando ad esaminare il caso di un segnale TD, supponiamo che il segnalex(n), periodico diperiodoN0, sia applicato (fig. 5.14) in ingresso ad un sistema LTI con risposta in frequenzaH(ν).Tale segnale periodico può essere rappresentato come sovrapposizione di fasori mediante l’equazionedi sintesi (5.22) della DFS:

x(n) =1

N0

N0−1

∑k=0

X(k)e j2πkν0n ,

doveν0 = 1/N0. La risposta del sistema LTI ad un generico fasore della precedente rappresentazioneè data dalla (4.105):

xk(n) = e j2πkν0n −→ yk(n) = H(kν0)e j2πkν0n .

Pertanto, applicando il principio di sovrapposizione, si trova:

y(t) =1

N0

N0−1

∑k=0

X(k)H(kν0)︸︷︷︸=Y (k)

e j2πkν0t . (5.50)

Dal confronto con la (5.22), si ricava anche in questo caso chey(n) è un segnale periodico, con lostesso22 periodoN0 del segnale di ingresso, e che la sua DFSY (k) è legata alla DFS del segnale diingresso dalla relazione:

Y (k) = H(kν0)X(k) . (5.51)

Per gli spettri di ampiezza e fase, valgono considerazioni analoghe a quelle già fatte nel caso TC.

19A stretto rigore, poiché alcune armonicheXk del segnale di ingresso potrebbero essere cancellate dal sistema LTI, ilperiodo fondamentale del segnaley(t) potrebbe essere anche unsottomultiplo di T0.

20Proprio perché lega le armoniche del segnale di ingresso e di uscita, la funzioneH( f ) prende anche il nome dirispostaarmonica del sistema.

21Si noti che, se il sistema è reale, per la simmetria hermitiana diH( f ) risulta cheH(0) è reale.22Vale anche nel caso TD l’osservazione secondo la quale il periodo fondamentale del segnale di uscita potrebbe essere

un sottomultiplo diN0.

5.6 Selettività in frequenza dei sistemi LTI e filtri ideali 239

−5 0 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f/f0

|H(f

)|, |

H(k

f 0)|

Fig. 5.15.Risposta di ampiezza del filtro RC(es. 5.9). Sono evidenziati i campioni|H(k f0)| dellospettro di ampiezza|H( f )|.

−5 0 5

0

0.2

0.4

k

|Xk|

−5 0 5

0

0.2

0.4

k

|Yk|

Fig. 5.16.Spettro di ampiezza dell’ingresso (alto) edell’uscita (basso) del filtro RC (es. 5.9). Si notinel segnale di uscita l’attenuazione delle armonichea frequenza più elevata.

5.6 Selettività in frequenza dei sistemi LTI e filtri ideali

Le relazioni (5.47) e (5.51) consentono di studiare gli effetti di un sistema LTI su un segnale periodico,analizzando le modifiche introdotte dal sistema sulle singole armoniche che compongono il segnale.Facendo riferimento al caso TC, ad esempio, la (5.46), riportata di seguito,

y(t) =+∞

∑k=−∞

Xk H(k f0)︸︷︷︸=Yk

e j2πk f0t

mostra che un sistema LTI modifica in ampiezza e fase ciascun fasoree j2πk f0t del segnale di ingresso,lasciando tuttavia invariata la frequenzak f0 del fasore stesso. Inoltre, la modifica subita dallak-esimaarmonica, avente frequenzak f0, dipendeesclusivamente dal valoreH(k f0) assunto della risposta ar-monicaH( f ) del sistema in corrispondenza di tale frequenza. Ciò significa che in generale un sistemaLTI modifica in manieradiversa le armoniche del segnale alle differenti frequenze: questa fondamen-tale proprietà dei sistemi LTI va sotto il nome diselettività in frequenza. Particolarmente interessanteè la modifica delle ampiezze delle armoniche, in quanto essa consente di alterare il peso relativo diciascun fasore nella serie di Fourier, come evidenziato nell’esempio che segue.

Esempio 5.9 (onda rettangolare a TC in ingresso ad un sistema RC)Si consideri l’onda rettangolare del-l’es. 5.2, di ampiezzaA e duty-cycleδc, in ingresso ad un sistema RC. Le armoniche del segnalex(t) sono dateda

Xk = Aδc sinc(kδc) ,

mentre la risposta in frequenza del sistema RC è

H( f ) =1

1+ j2π f RC,

per cui la (5.47) si scrive:

Yk = H(k f0)Xk =1

1+ j2πk f0RCAδc sinc(kδc) .


−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0

x(t)

,y(t

)

Fig. 5.17.Segnale di ingressox(t) (linea tratteggia-ta) e di uscitay(t) (linea continua) del filtro RCdell’es. 5.9.

In particolare, l’ampiezza delle armoniche di uscita (spettro di ampiezza) è data da:

|Yk|= 1√1+(2πk f0RC)2

Aδc |sinc(kδc)| .

In fig. 5.15 è raffigurato lo spettro di ampiezza|H( f )| ed i campioni|H(k f0)|, per 2π f0RC = 1, mentre infig. 5.16 sono raffigurate le ampiezze delle armoniche dell’ingresso e dell’uscita perA = 1 eδc = 1/2. Si notiche l’effetto del sistema RC è quello diattenuare l’ampiezza delle armoniche aventi frequenze più elevate.Il segnaley(t) di uscita (fig. 5.17), per effetto dell’attenuazione delle componenti ad alta frequenza, presentaun andamento più dolce rispetto al segnale di ingresso (in particolare, si noti che nel segnale di uscita sonoscomparse le discontinuità presenti nell’ingresso). L’esempio precedente evidenza un comportamento tipico di molti sistemi LTI, ossia quello diatte-nuare notevolmente (quando|H(k f0)| 1) l’ampiezza di alcune armoniche, e di lasciare inalterate(quando|H(k f0)| ≈ 1) l’ampiezza di altre armoniche.23 Come caso limite, se il sistema presenta unrisposta armonica che si annulla in corrispondenza di alcune frequenze, le armoniche corrispondentia quelle frequenze saranno completamente cancellate e quindi non saranno presenti nel segnale diuscita. Notiamo che il sistema LTI può solo modificare in ampiezza e fase le armoniche che sono giàpresenti nel segnale di ingresso, mentre non è in grado di “generare” armoniche a frequenze differentida quelle dell’ingresso (vedremo che la generazione di nuove armoniche è una caratteristica tipica deisistemi non lineari). Per questo motivo, si dice che il sistema LTI si comporta come unfiltro, ovveroopera unfiltraggio del segnale di ingresso: i termini “sistema LTI” e “filtro” possono quindi essereassunti come sinonimi.

Con riferimento al caso TC, i più semplici esempi di filtri sono quelli cosiddettiideali, la cuirisposta in frequenzaH( f ) assume solo i valori 0 oppure 1. In particolare, tutte le armoniche aventifrequenze per le qualiH( f ) = 1 vengono fatte passare dal filtro senza modifiche: tale intervallo difrequenzeWp prende il nome dibanda passante del filtro o passband. Viceversa, tutte le armonicheaventi frequenze per le qualiH( f ) = 0 vengono completamente bloccate dal filtro: tale intervallo difrequenzeWs prende il nome dibanda oscura del filtro o stopband.

I filtri ideali TC sono in genere classificati, sulla base della posizione della banda passante e diquella oscura, inquattro tipologie principali:

23Ovviamente non è escluso che il sistema LTI possaamplificare (quando|H(k f0)| ≥ 1) l’ampiezza di alcune armoniche,un comportamento tipico ad esempio dei circuiti elettricirisonanti.


HLPF(f)

ffc-fc

1

0

Wp WsWs

Fig. 5.18.Risposta in frequenza di un filtro ideale TCpassabasso (LPF).

HHPF(f)

ffc-fc

1

0

Ws WpWp

Fig. 5.19.Risposta in frequenza di un filtro ideale TCpassaalto (HPF).

(1) Filtri passabasso o lowpass filter (LPF): sono caratterizzati da una banda passanteWp posizionataintorno alla frequenzaf = 0. La risposta in frequenza di un tale filtro (fig. 5.18) ha un’espressioneanalitica del tipo:

HLPF( f ) =

1, | f | ≤ fc ;

0, | f |> fc ;

o equivalentemente:

HLPF( f ) = rect

(f

2 fc

).

La banda passante del filtro èWp = [− fc, fc], mentre la banda oscura èWs =]−∞,− fc[∪ ] fc,+∞[.La frequenzafc > 0 che separa la banda passante dalla banda oscura prende il nome difrequenzadi taglio del filtro.

(2) Filtri passaalto o highpass filter (HPF): sono caratterizzati da una banda passante posizionataintorno alle frequenze±∞. La risposta in frequenza (fig. 5.19) ha un’espressione analitica deltipo:

HHPF( f ) =

0, | f | ≤ fc ;

1, | f |> fc .

La banda passante del filtro èWp =]−∞,− fc[∪ ] fc,+∞[, mentre la banda oscura èWs = [− fc, fc].Anche in questo caso, la frequenzafc > 0 che separa la banda passante dalla banda oscura pren-de il nome difrequenza di taglio del filtro. Un’espressione equivalente diHHPF( f ) si ottieneosservando che un filtro HPF ècomplementare ad un filtro LPF con la stessa frequenza di taglio:

HHPF( f ) = 1−HLPF( f ) = 1− rect

(f

2 fc

).


HBPF(f)

ffc1-fc1

1

0

Ws WpWpWs Ws

fc2-fc2 f0-f0

∆f ∆f

Fig. 5.20.Risposta in frequenza di un filtro ideale TC passabanda (BPF).

(3) Filtri passabanda o bandpass filter (BPF): sono caratterizzati da una banda passante posizionataintorno alle frequenze± f0 = 0. La risposta in frequenza (fig. 5.20) ha un’espressione analiticadel tipo:

HBPF( f ) =

1, fc1≤ | f | ≤ fc2 ;

0, altrimenti ;

dove fc1 = f0− ∆ f2 e fc2 = f0+ ∆ f

2 , con 0< fc1 < fc2 (notiamo chef0 = fc1+ fc22 e∆ f = fc2− fc1).

Un’espressione alternativa perHBPF( f ) è la seguente:

HBPF( f ) = rect

(f − f0∆ f

)+ rect

(f + f0∆ f

).

La banda passante del filtro èWp = [− fc2,− fc1] ∪ [ fc1, fc2], mentre la banda oscura èWs =]−∞,− fc2[∪ ]− fc1, fc1[∪ ] fc2,+∞[. Per questo filtro, è possibile definiredue frequenze di taglio,una inferiore (fc1) ed una superiore (fc2), mentre la frequenzaf0 prende il nome difrequenzacentrale del filtro.

(4) Filtri eliminabanda o bandstop filter (BSF): sono caratterizzati da una banda passante posizionataintorno alle frequenzef = 0 e f = ±∞. La risposta in frequenza (fig. 5.21) ha un’espressioneanalitica del tipo:

HBSF( f ) =

0, fc1≤ | f | ≤ fc2 ;

1, altrimenti ;

dove fc1 = f0− ∆ f2 e fc2 = f0 + ∆ f

2 , con 0< fc1 < fc2. La banda passante del filtro èWp =]−∞,− fc2[∪ ]− fc1, fc1[∪ ] fc2,+∞[, mentre la banda oscura èWs = [− fc2,− fc1] ∪ [ fc1, fc2]. Ancheper questo filtro, così come per il filtro passabanda, è possibile definiredue frequenze di taglio, unainferiore (fc1) ed una superiore (fc2). Un’espressione alternativa perHBSF( f ) si ottiene osservandoche un filtro BSF ècomplementare ad un filtro BPF con le stesse frequenze di taglio:

HBSF( f ) = 1−HBPF( f ) = 1−[rect

(f − f0∆ f

)+ rect

(f + f0∆ f

)].


HBSF(f)

ffc1-fc1

1

0

Wp WsWsWp Wp

fc2-fc2

Fig. 5.21.Risposta in frequenza di un filtro ideale TC eliminabanda (BSF).

Per quanto riguarda il caso TD, le tipologie di filtri ideali sono le stesse, con la fondamentale diffe-renza che, essendo la risposta armonicaH(ν) una funzione periodica di periodo 1 (cfr. prop. 4.11), lecorrispondenti risposte dei filtri sono tutte periodiche di periodo 1. Nelle fig. 5.22–5.25 sono mostratele risposte armoniche dei filtri ideali LPF, HPF, BPF e BSF per il caso TD, le cui espressioni analitichesono riportate di seguito:

HLPF(ν) = rep1

[rect

(ν

2νc

)](filtro passabasso o LPF) (5.52)

HHPF(ν) = 1− rep1

[rect

(ν

2νc

)](filtro passaalto o HPF) (5.53)

HBPF(ν) = rep1

[rect

(ν −ν0

∆ν

)+ rect

(ν +ν0

∆ν

)](filtro passabanda o BPF) (5.54)

HBSF(ν) = 1− rep1

[rect

(ν −ν0

∆ν

)+ rect

(ν +ν0

∆ν

)](filtro eliminabanda o BSF) (5.55)

Per il filtri LPF e HPF, descritti dalla (5.52) e (5.53), 0< νc < 12 rappresenta la frequenza di taglio,

mentre per i filtri BPF e BSF, descritti dalla (5.54) e (5.55) è possibile definire due frequenze di taglio,νc1 = ν0− ∆ν

2 eνc2 = ν0+ ∆ν2 , con 0< νc1 < νc2 < 1

2. Anche nel caso TD, si haHHPF(ν)= 1−HLPF(ν)e HBPF(ν) = 1−HBSF(ν), ovvero le coppie di filtri LPF/HPF e BPF/BSF con le stesse frequenze ditaglio sono (a due a due) complementari. A parte il cambiamento della notazione utilizzata per lafrequenza (ν invece di f ), si noti che le espressioni analitiche della risposta in frequenza nel casoTD differiscono da quello TC solo per l’aggiunta dell’operazione di replicazione di passo unitario,necessaria per garantire la periodicità diH(ν). A causa di tale periodicità, nelle fig. 5.22–5.25 si èscelto di rappresentare le varie risposte in frequenza solo nell’intervalloν ∈ [−1/2,1/2[.

Si noti che per tutte le tipologie di filtri introdotti precedentemente, sia nel caso TC che TD, la ri-sposta armonicaH(·) è una funzione reale e pari, quindi soddisfa la proprietà di simmetria hermitiana,data dalla (4.101) nel caso TC, oppure dalla (4.108) nel caso TD. Per questo motivo, i filtri conside-rati precedentemente sono tutti esempi di sistemireali dal punto di vista matematico, intendendo conquesto che la loro risposta impulsivah(·) è una funzione reale. Tali filtri si dicono inveceideali insenso “fisico”, perché presentano una separazione netta tra banda passante e banda oscura, proprietàche in molte applicazioni è una caratteristica desiderabile (ad esempio, essa consente di separare per-fettamente segnali che occupano differenti intervalli di frequenza). Tali filtri si dicono ideali anche


perché non soddisfano alcune delle proprietà dei sistemi, quali ad esempio la stabilità e la causalità, eper questo motivo essi non sonofisicamente realizzabili (una discussione più approfondita su questoaspetto sarà effettuata nel cap. 6).


HLPF(ν)

ννc-νc

1

0

Wp WsWs

-1/2 1/2

Fig. 5.22.Risposta in frequenza di un filtro ideale TDpassabasso (LPF).

HHPF(ν)

ννc-νc

1

0

Ws WpWp

-1/2 1/2

Fig. 5.23.Risposta in frequenza di un filtro ideale TDpassaalto (HPF).

HBPF(ν)

ννc1-νc1

1

0

Ws WpWpWs Ws

νc2-νc2-1/2 1/2

∆ν ∆ν

ν0-ν0

Fig. 5.24.Risposta in frequenza di un filtro ideale TD passabanda (BPF).

HBSF(ν)

ννc1-νc1

1

0

Wp WsWsWp Wp

νc2-νc2-1/2 1/2

Fig. 5.25.Risposta in frequenza di un filtro ideale TD eliminabanda (BSF).



Con riferimento ai segnali TC (analoghe considerazioni sussistono per la DFS di un segnale TD), perricavare i coefficientiXk di un segnalex(t) periodico, avente periodo fondamentaleT0 e frequenzafondamentalef0 = 1

T0, ci sono varie strade alternative:

(a) nel caso particolare in cui il segnale si può esprimere come somma di sinusoidi/cosinusoidi, siespande ciascuna sinusoide/cosinusoide con le formule di Eulero e si identificano i coefficientiXk

confrontando l’espressione ottenuta con l’equazione di sintesi della serie di Fourier (metodo di“ispezione”);

(b) si risolve direttamente l’equazione di analisi

Xk =1T0

∫T0

x(t)e− j2πk f0tdt ,

dove le scelte più comuni per l’intervallo di integrazione sono(−T0/2,T0/2) oppure(0,T0). Inquesto caso il calcolo diXk si riduce a quello di un integrale definito (spesso conviene considerareseparatamente il casok = 0);

(c) si esprime il segnale periodicox(t) in funzione di uno o più segnali periodici con lo stesso periodo,le cui serie sono più agevoli da calcolare, e si utilizzano le proprietà formali della serie di Fourier:ad esempio, sex(t) = 2y(t)−1 si ha, per la proprietà di linearitàXk = 2Yk− δ(k), in quanto icoefficienti della serie di Fourier di 1 (segnale costante) sonoδ(k);

(d) si utilizza la relazione nota comeproprietà di campionamento in frequenza o formula di Poisson(cfr. capitolo 6 del libro di teoria) che lega i coefficientiXk della serie di Fourier alla trasformatadi FourierXg( f ) di un arbitrario segnale generatorexg(t) del segnale periodico; in questo mo-do il calcolo della serie di Fourier si riconduce a quello della trasformata di Fourier dixg(t), equest’ultimo problema è generalmente più semplice.

In conclusione, il metodo di ispezione è applicabile solo a segnali composti da sinusoidi/cosinusoidi.Per un segnale avente forma più generale, la procedura (d) è quella che semplifica maggiormente icalcoli, e quindi andrebbe utilizzata per prima; tuttavia, tutte le serie di Fourier proposte negli esercizidi questo capitolo sono calcolabili semplicemente anche con le tecniche (b) e (c).

Esercizio 5.1 Si consideri il segnale:

x(t) = cos(6πt)cos(2πt)+sin(

2πt +π4

).

(a) Determinare il periodoT0 di x(t).(b) Determinare analiticamente i coefficientiXk della serie di Fourier dix(t) e fornirne una valida rappresenta-

zione grafica.

[Suggerimento: per il punto (b), utilizzare note formule trigonometriche ed applicare il metodo di ispezione.]Risultato: (a) T0 = 1 (b) X1 = 1

2 j ejπ/4, X−1 =− 1

2 j e− jπ/4, X2 = X−2 = X4 = X−4 = 1

4, Xk = 0 per tutti gli altri

valori di k ∈ Z.

Esercizio 5.2 Si consideri il segnale periodico:

x(t) = |cos(2π f1t)| (segnale coseno “raddrizzato”), conf1 ∈ R+ .

(a) Rappresentare graficamente il segnalex(t) e determinarne il periodoT0 e la frequenza fondamentalef0.


(b) Determinare analiticamente i coefficientiXk della serie di Fourier dix(t) e fornirne una valida rappresenta-zione grafica.

Risultato: (a) T0 = 12 f1

, f0 = 2 f1; (b) Xk = (−1)k 2π(1−4k2) .

Esercizio 5.3 Si consideri il segnale periodicox(t) = repT0[xg(t)], conT0 ∈ R+, dove

xg(t) =

1− 4tT0

, 0≤ t ≤ T0/2,

0, altrimenti.

(a) Rappresentare graficamente il segnalex(t).(b) Determinare analiticamente i coefficientiXk della serie di Fourier dix(t) e fornirne una valida rappresenta-

zione grafica.

Risultato: (b) Xk =

0, k = 0,

− jπk , k = 0 pari,2

(πk)2 , k dispari.


x(t) =+∞

∑k=−∞

(−1)k δ (t− kT ) , conT ∈ R+.

(a) Rappresentare graficamente il segnalex(t) e determinarne il periodoT0.


Risultato: (a) T0 = 2T ; (b) Xk =

0, k pari ;1T , k dispari.


xg(t) = rect

(2tT0

)− rect

(2t−T0

T0

).

(a) Rappresentare graficamente il segnalex(t).(b) Determinare analiticamente i coefficientiXk della serie di Fourier dix(t) e fornirne una valida rappresenta-

zione grafica.

[Suggerimento: dal grafico, notare che il segnale x(t) si può esprimere come x(t) = y(t)−1, dove y(t) =repT0

[2rect(2t/T0)] (onda rettangolare di ampiezza 2 e δc = 1/2), ed applicare poi la proprietà di linearitàdella serie di Fourier.]

Risultato: (b) Xk =

0, k pari ;2

kπ sin(

kπ2

), k dispari.


xg(t) =[2Λ

(2tT0

)−1

]rect

(t

T0

).


(a) Rappresentare graficamente il segnalex(t).


[Suggerimento: dal grafico, notare che il segnale x(t) si può esprimere come x(t) = y(t)− 1, dove y(t) =repT0

[2Λ(2t/T0)] (onda triangolare di ampiezza 2), ed applicare poi la proprietà di linearità della serie diFourier.]

Risultato: (b) Xk =

0, k pari ;

4k2π2 , k dispari.

Esercizio 5.7 Si consideri il segnale periodicox(n) = rep4[xg(n)], dove

xg(n) = δ(n)−2δ(n−2)−δ(n−3) .

(a) Rappresentare graficamente il segnalex(n).

(b) Determinare analiticamente la DFSX(k) di x(n) e fornirne una valida rappresentazione grafica.

(c) Verificare che la DFS calcolata gode della proprietà di simmetria hermitiana.

Risultato: (b) X(k) = 1− 2e− jπk − e− j(π/2)k, k ∈ 0,1,2,3, da cui X(0) = −2, X(1) = 3− j, X(2) = 0,X(3) = 3+ j.


x(n) = 1+sin

(nπ12

+3π8

).

(a) Determinare il periodoN0 di x(n).



Risultato: (a) N0 = 24; (b)X(k) =

24, k = 0 ;12j e j 3π/8 , k = 1 ;

−12j e− j 3π/8 , k = 23 ;

0, k ∈ 2,3, . . . ,22 .


x(n) = 1+sin

(2πnN

)+3 cos

(2πnN

)+cos

(4πnN

+π2

).

(a) Determinare il periodoN0 del segnalex(n).



Risultato: (a) N0 = N; (b) X(0) = N, X(1) = N2 (3− j), X(2) = N

2 j, X(N−2) = −N2 j, X(N−1) = N

2 (3+ j),X(k) = 0 per tutti gli altri valori dik.


Esercizio 5.10 Si consideri il segnale periodicox(n) = rep6[xg(n)], dove

xg(n) =

2, n =−1 ;

1, n = 0 ;

2, n = 1 ;

0, altrimenti.

(a) Rappresentare graficamente il segnalex(n).



Risultato: (b) X(k) = 1+4 cos(πk

3

), k ∈ 0,1,2,3,4,5,6.

Esercizio 5.11 Si consideri il segnale periodico rappresentato nella seguente figura:

x(n)

2

n

1

0 5-5

. . . . . . . .

(a) Determinare il periodoN0 di x(n).



Risultato: (a) N0 = 5; (b) X(k) =

8, k = 0 ;

e− j2π k5

sin(3πk/5)sin(πk/5) , k ∈ 1,2,3,4 .


x(n) =+∞

∑k=−∞

[4δ(n−4k)+8δ(n−1−4k)] .

(a) Rappresentare graficamente il segnalex(n) e determinarne il periodoN0.



Risultato: (a) N0 = 4; (b) X(k) = 4+ 8(− j)k, k ∈ 0,1,2,3, da cuiX(0) = 12, X(1) = 4− j 8, X(2) = −4,X(3) = 4+ j 8.

Esercizio 5.13 Siax(t) un segnale periodico di periodoT0 ∈ R+.


(a) Mostrare che sex(t) ha solo armoniche dispari (Xk = 0, ∀k pari, inclusok = 0) allora x(t) presenta laseguente proprietà di simmetria

x(t) =−x

(t +

T0

2

), ∀t ∈ R . (5.56)

(b) Viceversa, mostrare che sex(t) ha la proprietà di simmetria (5.56), allora il segnale ha solo le armonichedispari, e si ha in particolare

Xk =

0, k pari2T0

∫ T0/2

0x(t)e− j2πk f0tdt , k dispari

[Suggerimento: (a) Scrivere l’equazione di sintesi e provare direttamente che vale la (5.56). (b) Scriverel’equazione di analisi in (−T0/2,T0/2) e dividere l’integrale in due integrali, in modo da poter sfruttare la(5.56)operando un cambiamento di variabile in uno dei due integrali. ]

Esercizio 5.14 Sia wN0 = e− j2π/N0, con N0 ∈ N (è la quantità che compare nella definizione di DFS/IDFS).Provare che valgono le seguenti identità:

N0−1

∑n=0

w±knN0

= N0

+∞

∑=−∞

δ(k− N0)= N0 repN0

[δ(k)]

N0−1

∑k=0

w±knN0

= N0

+∞

∑=−∞

δ(n− N0)= N0 repN0

[δ(n)]

[Suggerimento: applicare l’indentità notevoleN−1

∑n=0

an =1−aN

1−a, valida ∀a = 0.]

Esercizio 5.15 Siax(t) un segnale periodico di periodoT0 ∈ R+. Si consideri il segnale a tempo discretox(n)ottenuto campionandox(t) con passoTc = T0

N0, N0 ∈ N:

x(n) = x

(nT0

N0

).

Verificare chex(n) è un segnale periodico di periodoN0 e determinare la DFSX(k) di x(n) in funzione deicoefficientiXk della serie di Fourier dix(t).

[Suggerimento: applicare le identità dell’esercizio 5.14.]

Risultato: X(k) =+∞

∑=−∞

Xk−N0 = repN0[Xk].

Esercizio 5.16 Senza calcolare esplicitamentex(n), stabilire quali delle seguenti DFS corrispondono ad unsegnalex(n) reale:

(a) X(0) = 3, X(1) =−5, X(2) = 3, X(3) =−5;

(b) X(0) = 3, X(1) = 5− j, X(2) = 3 j, X(3) =−3 j, X(3) = 5+ j;

(c) X(0) = j, X(1) = 2, X(2) = 2, X(3) =− j;

(d) X(0) =−2, X(1) = 3, X(2) = 1+ j, X(3) = 1− j, X(4) =−3;

(e) X(0) = 3, X(1) = 3e jπ/4, X(2) = 1, X(3) = 3e j7π/4.


Risultato: (a) x(n) reale; (b)x(n) reale; (c)x(n) non reale; (d)x(n) non reale; (e)x(n) reale.

Esercizio 5.17 Si consideri il segnale periodicox(n), avente DFSX(k), caratterizzato dalle seguenti proprietà:

(1) x(n) è un segnale reale;

(2) x(n) è periodico di periodoN0 = 10;

(3) X(11) = 50;

(4) Px = 50.

Dimostrare che l’unico segnale che soddisfa le proprietà (1)–(4) ha l’espressionex(n) = α cos(βn + γ), e de-terminare in particolare le costantiα ,β ,γ.

[Suggerimento: utilizzare le proprietà della DFS.]Risultato: α = 10,β = π/5 eγ = 0.

Esercizio 5.18 Si consideri il segnale periodicox(n), avente DFSX(k), caratterizzato dalle seguenti proprietà:

(1) x(n) è periodico di periodoN0 = 6;

(2) ∑5n=0 x(n) = 2;

(3) ∑7n=2(−1)n x(n) = 1;

(4) tra tutti i segnali che verificano le proprietà (1)–(3) precedenti, il segnalex(n) è quello avente potenzaPx

minima.

Determinare e rappresentare graficamente il segnalex(n) che verifica le quattro proprietà sopra elencate.

[Suggerimento: utilizzare le proprietà (2) e (3) per ricavare alcuni valori della DFS di x(n); per la proprietà(4), utilizzare l’uguaglianza di Parseval per la DFS.]Risultato: x(n) = 1

3 + 16 (−1)n.

Esercizio 5.19 Si consideri il sistema LTI avente risposta in frequenza

H( f ) =sin(8π f )

2π f.

Calcolare l’uscitay(t) del sistema in corrispondenza del segnale di ingressox(t) = rep8[xg(t)], con

xg(t) =

1, 0≤ t < 4 ;

−1, 4≤ t < 8.

Risultato: y(t)≡ 0.

Esercizio 5.20 Il segnale periodicox(t) = rep2T0[xg(t)], dove

xg(t) = Λ(

tT0

), conT0 ∈ R+ ,

viene filtrato con un filtro LTI avente risposta armonica

H( f ) =1− j4π f T0

1+ j2π f T0,

ottenendo il segnaley(t).


(a) Determinare la componente continua dei segnalix(t) edy(t).

(b) Determinare il rapporto tra l’ampiezza della terza armonica e l’ampiezza dell’armonica fondamentale perciascuno dei segnalix(t) e y(t).

Risultato: (a) xdc = ydc = 12; (b) |X3|/|X1|= 1

9 e |Y3|/|Y1|= 19

√(1+36π2)(1+π2)(1+9π2)(1+4π2) ≈ 1

9.

Esercizio 5.21 Il segnale periodicox(t) = rep2T0[xg(t)], dove

xg(t) =[2Λ

(t

T0

)−1

]rect

(t

2T0

), conT0 ∈ R+ ,

è posto in ingresso ad un filtro ideale passabasso avente guadagno unitario nella banda passante e frequenza ditaglio fc.

(a) Determinare la frequenza di tagliofc del filtro in modo che l’uscitay(t) del filtro sia un segnale sinusoidaledi frequenzaf0 = 1/(2T0).

(b) In corrispondenza dei valori difc determinati al punto (a), calcolare l’espressione esplicita diy(t).

Risultato: (a) ragionando sulla relazione i-uYk = XkH(k f0), si trova che 12T0

< fc < 32T0

; (b) y(t)= 8π2 cos(2π f0t).

Esercizio 5.22 Il segnale periodicox(t) = repT0[xg(t)], dove

xg(t) =[2Λ

(2tT0

)−1

]rect

(t

T0

), conT0 ∈ R+ ,

è posto in ingresso ad un filtro passabasso avente risposta armonica:

H( f ) = rect

(f

4 f0

)e− j2π f

4 f0

con f0 = 1/T0. Determinare il segnaley(t) in uscita al filtro.

Risultato: y(t) =8π2 sin(2π f0t).

Esercizio 5.23 Quando il segnalex(n) = rep4[δ(n)] è posto in ingresso al sistema LTI avente risposta armonicaH(ν), l’uscitay(n) è pari a

y(n) = cos

(5π2

n+π4

).

Determinare i valori diH(

k4

), perk = 0,1,2,3.

Risultato: H(0) = 0, H(1/4) = 2e jπ/4, H(1/2) = 0, H(3/4) = 2e− jπ/4.

Esercizio 5.24 Si consideri il filtro ideale avente risposta armonica

H(ν) = rep1

[rect

(ν −ν0

∆ν

)+ rect

(ν +ν0

∆ν

)],

conν0 = 316 e ∆ν = 1

24.

(a) Rappresentare graficamente la risposta armonica del filtro nell’intervalloν ∈ (−1,1).


(b) Calcolare l’uscita del filtro in corrispondenza dei seguenti ingressi periodici:

(1) x1(n) = (−1)n;(2) x2(n) = 1+sin

(3π8 n+ π

4

);

(3) x3(n) = ∑+∞k=−∞

(12

)n−4ku(n−4k).

Risultato: (a) y1(n)≡ 0; (b) y2(n) = sin(

3π8 n+ π

4

); (c) y3(n)≡ 0.

Esercizio 5.25 Il segnale periodicox(t) = repT0[xg(t)], dove

xg(t) = cos

(πtT0

)rect

(t

T0

), conT0 ∈ R+ ,

è posto in ingresso ad un filtro RC avente risposta armonica

H( f ) =1

1+ j2π f RC.

(a) Determinare l’espressione dei coefficientiYk della serie di Fourier del segnaley(t) in uscita al filtro.

(b) Con riferimento al punto precedente, determinare il valore diRC che assicura che il rapporto2|Y1|Y0

(coeffi-

ciente diripple) in uscita al filtro sia pari ad13.

[Suggerimento: il segnale x(t) è il coseno raddrizzato dell’esercizio 5.2.]

Risultato: (a)Yk = (−1)k 2π

11−4k2

11+ j2π k

T0RC

; (c) RC = T0√

32π .

Esercizio 5.26 Il segnale

x(t) =+∞

∑k=−∞

(−1)kΛ(

t−2kT0

T0

)è posto in ingresso ad un filtro ideale passabasso di guadagno unitario e frequenza di taglio 1/T0.

(a) Calcolare la frequenza fondamentalef0 del segnalex(t).(b) Determinare il segnale in uscita al filtro e valutarne la potenzaPy.

[Suggerimento: il segnale x(t) è simile all’onda triangolare dell’esercizio 5.6.]

Risultato: (a) f0 = 1/(4T0); (b) y(t) = 8π2 cos

(πt2T0

)+ 8

9π2 cos(

3πt2T0

); Py = 32

π4

(1+ 1

81

).

Esercizio 5.27 Il segnalex(t) = rep2T0[xg(t)], dove

xg(t) =[2Λ

(t

T0

)−1)

]rect

(t

2T0

), conT0 ∈ R+ ,

è filtrato con un filtro RC allo scopo di ottenere un segnale approssimativamente sinusoidale con frequenzaf0 = 1/(2T0). Determinare la costante di tempoRC del filtro in modo che l’ampiezza della prima componentesinusoidale a frequenza superiore adf0 del segnale filtrato sia pari ad 1/25 della fondamentale.

Risultato: RC = 12π f0

√6813 ≈ 0.364

f0.

Esercizio 5.28 Con riferimento allo schema in figura, si calcoli l’uscitay(t), sapendo che:

(1) x(t) = cos(2π f0t), con f0 = 1 kHz; f1 = 2 kHz, f2 = 3 kHz;


(2) H1( f ) è la risposta in frequenza di un filtro idealepassabasso avente frequenza di taglio 2 kHz e guadagnonella banda passante pari a 2;

(3) H2( f ) è la risposta in frequenza di un filtro idealepassaalto avente frequenza di taglio 3 kHz e guadagnonella banda passante pari a 2.

x(t) ⊗

cos(2π f1t)

H1( f ) ⊗

cos(2π f2t)

H2( f ) y(t)

Risultato: y(t) = cos[2π( f1− f0 + f2)︸︷︷︸=4kHz

t].

Esercizio 5.29 Con riferimento allo schema in figura,

(1) x(t) = 5+2cos(2π f0t);

(2) H1( f ) è un filtro RC avente costante di tempoRC = 12π f0

e guadagno in continua unitario;

(3) H2( f ) è un filtro ideale passabasso avente frequenza di tagliofc = 1.5 f0 e guadagno in continua unitario.

Calcolare l’uscitay(t) e determinarne la potenzaPy.

x(t) H1( f ) u(t)

(·)2v(t)

H2( f ) y(t)

Risultato: y(t) = 26+10√

2cos(2π f0t−π/4); Py = 776.

Esercizio 5.30 Con riferimento allo schema in figura,x(t) è un segnale periodico di periodoT0 ∈ R+ concoefficienti della serie di FourierXk, g(x) = |x|2 è una nonlinearità (quadratica) senza memoria, eH( f ) è unfiltro ideale passabasso avente frequenza di tagliofc = 1.5/T0 e guadagno unitario. Si assuma che tutti i segnalied i sistemi considerati siano reali. Determinare l’espressione del segnale di uscitaz(t).

x(t) g(x) y(t)H( f ) z(t)

Risultato: z(t) = Y0 +2ReY1 ej 2π

T0t, doveY0 = ∑+∞

k=−∞ |Xk|2 eY1 = ∑+∞k=−∞ Xk X∗k−1.

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Segnali e Sistemi Parte1