Segnali e Sistemi Parte2

Capitolo 6

Trasformata di Fourier

I n questo capitolo affrontiamo in maniera sistematica lo studio della trasformata di Fourier dei se-gnali TC e TD, sviluppando ed approfondendo i primi concetti già introdotti nel cap. 4 con riferimentoalla risposta in frequenza di un sistema LTI. Mostreremo nel corso di questo capitolo che la trasfor-mata di Fourier è uno strumento di grande utilità non solo per lo studio dei sistemi LTI, ma più ingenerale per la caratterizzazione di segnali e sistemi neldominio della frequenza.

Lo studio partirà dalle definizioni fondamentali di trasformata ed antitrasformata di Fourier nelcaso TC e TD, e dalla discussione delle loro proprietà elementari. In seguito mostreremo che la rela-zione i-u dei sistemi LTI ammette una forma particolarmente semplice e generale se espressa in ter-mini delle trasformate di Fourier del segnale di ingresso e di uscita. Successivamente approfondiremoalcune condizioni matematiche relative all’esistenza ed all’invertibilità della trasformata di Fourier,ed analizzeremo più estesamente le sue proprietà, con particolare attenzione verso le applicazioni, edevidenziando il più possibile i legami e le interpretazioni nell’ambito dei segnali e dei sistemi. Unconcetto centrale sarà quello dibanda (di un segnale o di un sistema), che sarà introdotto nell’ambitopiù generale della caratterizzazione sintetica di segnali e sistemi nel dominio della frequenza. Infi-ne, mostreremo che la trasformata di Fourier può essere applicata anche ai segnali periodici; poichéper questi ultimi abbiamo a disposizione anche la serie di Fourier, ricaveremo interessanti ed utilirelazioni tra queste due rappresentazioni nel dominio della frequenza. Tra le possibili applicazioni,approfondiremo nel corso del capitolo quelle delfiltraggio, delladistorsione e dell’equalizzazione, edellamodulazione.

6.1 Trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier è uno strumento fondamentale nello studio dei segnali e dei sistemi, inquanto consente di introdurre un dominio alternativo a quello del tempo, ildominio della frequenza,nel quale affrontare i più comuni problemi di analisi o sintesi. Il concetto di trasformata di Fourier èstato già introdotto nel cap. 4, con riferimento al problema del calcolo dell’uscita di un sistema LTIsollecitato da un fasore al suo ingresso. In tal caso, si è osservato (cfr. § 4.7) che il comportamento

256 Trasformata di Fourier

del sistema è perfettamente descritto dalla sua risposta in frequenza1 H(·), e che quest’ultima si puòinterpretare come la trasformata di Fourier della risposta impulsivah(·). Successivamente, nel cap. 5abbiamo mostrato che la risposta in frequenzaH(·) può essere utilizzata anche per calcolare l’uscitadi un sistema LTI sollecitato da un arbitrario segnale periodico, applicando la (5.46) o la (5.50). Talerisultato si fonda sulla rappresentazione di un segnale periodico come sovrapposizione di fasori (seriedi Fourier o DFS). È naturale allora cercare di estendere i benefici di tale rappresentazione anche alcaso di segnali non periodici oaperiodici, utilizzandola poi per analizzare le modifiche introdotte daisistemi LTI su tali segnali. A differenza del caso di segnali periodici, per i quali è sufficiente conside-rare solo il sottoinsiemediscreto dei fasori aventi frequenze multiple della frequenza fondamentale,per un segnale aperiodico dovremo consideraretutti i possibili fasori, ovvero dovremo far variareconcontinuità la frequenza dei fasori. Tale rappresentazione in effetti prende il nome di trasformata diFourier, ed è uno degli strumenti matematici fondamentali nell’elaborazione dei segnali.

Per capire intuitivamente come sia possibile rappresentare un segnale aperiodico come sovrappo-sizione continua di fasori, partiamo dalla rappresentazione in serie di Fourier. Per comodità, faremoriferimento solo ai segnali TC; analoghe considerazione si possono fare anche nel caso TD. Consi-deriamo allora un segnale aperiodicox(t) e supponiamo che, su ogni intervallo temporale finito, talesegnale soddisfi le condizioni che ne garantiscono la sviluppabilità in serie di Fourier. Più precisamen-te, detto(−Z/2,Z/2) un arbitrario intervallo finito diR, supponiamo chex(t) soddisfi le condizionidi Dirichlet (cfr. teor. 5.2) su tale intervallo, per ogniZ > 0. In tal caso, limitatamente all’intervalloconsiderato, possiamo rappresentare il segnalex(t) in serie di Fourier:

x(t) =+∞

∑k=−∞

Xk e j2πk∆ f t , ∀t ∈ (−Z/2,Z/2) , (6.1)

dove∆ f�= 1/Z è la frequenza fondamentale, ed i coefficienti di Fourier sono dati da:

Xk =1Z

∫ Z/2

−Z/2x(τ )e− j2πk∆ f τ dτ . (6.2)

La (6.1) consente di esprimere il segnalex(t) nell’intervallo (−Z/2,Z/2) come sovrapposizione diun’infinità numerabile di fasori. Ciò comporta chex(t), con t ∈ (−Z/2,Z/2), è completamente de-scritto nel dominio della frequenza dalla successione dei coefficienti di Fourier (6.2): in altre parole,il suo spettro è di natura discreta. Sostituendo la (6.2) nella (6.1), ed estraendo dalla sommatoria iltermine perk = 0, si ottiene:

x(t) =1Z

∫ Z/2

−Z/2x(τ )dτ +

+∞

∑k =−∞k �= 0

1Z

[∫ Z/2

−Z/2x(τ )e− j2πk∆ f (τ−t) dτ

], ∀t ∈ (−Z/2,Z/2) , (6.3)

La (6.3) consente di rappresentare il segnalex(t) solo nell’intervallo finito(−Z/2,Z/2); il nostroobiettivo è quello di trovare una valida rappresentazione del segnalex(t) lungo tutto l’asse reale. Perfare ciò, dobbiamo far tendere formalmenteZ all’infinito o, equivalentemente, far tendere∆ f a zero.Prima di effettuare questa operazione, aggiungiamo un’ulteriore ipotesi sux(t), supponendo che siasommabile su tutto l’asse reale, ossia:∫ +∞

−∞|x(t)|dt < +∞ .

1Qui e nel seguito, useremo la notazione del tipoH(·) per denotare indifferentemente la risposta in frequenzaH( f ) perun sistema TC e la risposta in frequenzaH(ν) per un sistema a TD.

6.1 Trasformata di Fourier 257

In questa ipotesi, al limite perZ→ +∞, il primo addendo nella (6.3) tende a zero. Quindi, passandoal limite per∆ f → 0 nella (6.3), si ha:

x(t) = lim∆ f→0

+∞

∑k =−∞k �= 0

[∫ 12∆ f

− 12∆ f

x(τ )e− j2π fk(τ−t) dτ

]∆ f

, ∀t ∈ R , (6.4)

dove si è postofk�= k∆ f . Al limite per ∆ f → 0, i valori di frequenzafk coprono l’intero asse reale

e la loro separazione∆ f diventa infinitesima: in altri termini,fk tende a variare con continuità intutto R, determinando così uninfittimento dello spettro del segnale. Conseguentemente, per∆ f → 0,l’integrale tra parentesi quadre nella (6.4) dipende con continuità dalla variabilef , e si può scriverecome:

lim∆ f→0

∫ 12∆ f

− 12∆ f

x(τ )e− j2π fk(τ−t) dτ =[∫ +∞

−∞x(τ )e− j2π f τ dτ

]︸︷︷︸

X( f )

e j2π f t ,

dove

X( f ) =∫ +∞

−∞x(τ )e− j2π f τ dτ . (6.5)

Inoltre, al limite per∆ f → 0, la sommatoria suk nella (6.4) diventa una somma integrale (estesa atutto R) dell’integrale della funzioneX( f )e j2π f t rispetto alla variabilef (formalmente la differenzafinita ∆ f diventa un differenziale df ), cioè:

x(t) =∫ +∞

−∞X( f )e j2π f t d f , (6.6)

la quale evidenzia che il segnale aperiodicox(t) può essere rappresentato sovrapponendo nel continuo(cioè, integrando) i fasorie j2π f t aventi frequenza variabile su tutto l’asse reale e ampiezza infinitesimaX( f )d f . Osserviamo che tale risultato si basa sulle ipotesi che il segnalex(t) sia sommabile suR eche verifichi le condizioni di Dirichlet per la serie di Fourier su ogni intervallo finito diR;2 vedremo(cfr. § 6.3.1) che tali ipotesi sono sufficienti ma non necessarie per la validità delle equazioni (6.5) e(6.6). La (6.6) prende il nome diequazione di sintesi della trasformata di Fourier; mentre la (6.5),che consente di calcolare il “peso” specifico da attribuire ad ogni singolo fasore, prende il nome diequazione di analisi della trasformata di Fourier. È interessante confrontare nuovamente la (6.6) conl’equazione di sintesi (5.10) della serie di Fourier, valida solo per segnali periodici TC:

x(t) =+∞

∑k=−∞

Xk e j2πk f0t .

In entrambi i casi, il segnalex(t) nel dominio del tempo è rappresentato come sovrapposizione difasori: mentre però la serie di Fourier è una rappresentazionediscreta, nella quale le frequenze deifasori sono tuttemultiple di una stessa frequenza (la cosiddettafrequenza fondamentale f0 del segnaleperiodico), l’equazione di sintesi (6.6) della trasformata di Fourier è una rappresentazionecontinua,in cui la frequenzaf dei fasori può assumeretutti i possibili valori inR.

2A stretto rigore, la sommabilità suR del segnalex(t) assicura automaticamente che la condizione (d1) del teor. 5.2 siasoddisfatta; pertanto, le ipotesi che assicurano la validità delle relazioni (6.5) e (6.6) sono che, oltre alla sommabilità suR

di x(t), il segnale verifichi le condizioni (d2) e (d3) del teor. 5.2 su ogni intervallo finito del tipo(−Z/2,Z/2).


Nel seguito, definiremo in modo più sistematico la trasformata di Fourier di un segnale a TC e aTD, e presenteremo le proprietà più semplici dal punto di vista matematico (linearità, simmetria her-mitiana, dualità, e valore nell’origine). Per chiarezza, presenteremo le definizioni prima nel caso TC,e successivamente in quello TD, mentre le proprietà elementari saranno trattate in maniera unificata.

6.1.1 Trasformata di Fourier per segnali TC

Nel paragrafo precedente abbiamo presentato una giustificazione intuitiva delle equazioni che defini-scono la trasformata di Fourier di un segnale aperiodicox(t), partendo dalla rappresentazione in seriedi Fourier del segnale su un intervallo finito e facendo tendere all’infinito la lunghezza di tale interval-lo. Tali equazioni, possono evidentemente essere assegnate anche senza nessun riferimento alla seriedi Fourier, e costituiscono la fondamentale definizione ditrasformata di Fourier di un segnale TC:

Definizione 6.1 (trasformata di Fourier per segnali TC)La trasformata di Fourier di un segnale TCx(t) è definita dalle equazioni:

X( f ) =∫ +∞

−∞x(t)e− j2π f t dt (equazione di analisi) (6.7)

x(t) =∫ +∞

−∞X( f )e j2π f t d f (equazione di sintesi) (6.8)

Matematicamente, l’equazione (6.7) (equazione di analisi) consente di calcolareX( f ) a partire dax(t), e definisce latrasformata di Fourier,3 mentre l’equazione (6.8) (equazione di sintesi) effettua ilpassaggio inverso, e definisce l’antitrasformata di Fourier. Così come per la serie di Fourier, ancheper la trasformata di Fourier vale laproprietà di unicità: sianox1(t) e x2(t) due segnali trasformabilisecondo Fourier con trasformateX1( f ) ed X2( f ), rispettivamente; seX1( f ) ≡ X2( f ), allora i duesegnalix1(t) e x2(t) sono uguali quasi ovunque suR, ossiax1(t) = x2(t), ∀t ∈ R eccetto che in uninsieme di misura nulla.

Le condizioni matematiche per l’esistenza e l’invertibilità della trasformata di Fourier e per la va-lidità delle equazioni di analisi/sintesi non sono immediate, e saranno discusse nel § 6.3. Limitiamociad osservare che, se tali condizioni sono soddisfatte, le (6.7) e (6.8) instaurano una corrisponden-za biunivoca tra il segnalex(t) (funzione del tempo) ed il segnaleX( f ) (funzione della frequenza):simbolicamente, si scrive allora

x(t) FT←→ X( f ) . (6.9)

In altri termini, la trasformata di Fourier consente di passare dalla rappresentazione neldominio deltempo – il segnalex(t) – alla rappresentazione neldominio della frequenza – il segnale “trasforma-to” X( f ). Notiamo che le relazioni di trasformata ed antitrasformata di Fourier possono indicarsisimbolicamente anche come segue:

X( f ) = F[x(t)], x(t) = F−1[X( f )] . (6.10)

La trasformata di FourierX( f ) di un segnale (reale o complesso) è in genere una funzione complessa4

della variabile realef ∈R: come già osservato, essa rappresenta, al variare dif , l’ampiezza complessa

3Notiamo tra l’altro che la definizione (4.96) di risposta in frequenzaH( f ) di un sistema LTI a TC ha la stessa formadella (6.7), per cui come già osservato la risposta in frequenza di un sistema LTI è la trasformata di Fourier della sua rispostaimpulsivah(t) (questo concetto è ulteriormente approfondito nel § 6.2).

4In alcuni casi particolari, tuttavia, laX( f ) può anche essere reale, in particolare quando il segnalex(t) possiedeparticolari proprietà di simmetria (cfr. § 6.5.2).


−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

fT

X(f

)

Fig. 6.1. Trasformata di FourierX( f ) della fine-stra rettangolarex(t) = Arect(t/T ) per AT = 1(es. 6.1).

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

fT

|X(f

)|

−6 −4 −2 0 2 4 6

−2

0

2

fT

∠ X

(f)

Fig. 6.2. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (inbasso) della trasformata di FourierX( f ) della fi-nestra rettangolarex(t) = Arect(t/T ) per AT = 1(es. 6.1).

dei fasori che compongono il segnalex(t). Equivalentemente,|X( f )| e �X( f ) rappresentano, alvariare di f , l’ampiezza (ovvero il modulo) e la fase dei fasori che compongono il segnalex(t). Lospettro di ampiezza di un segnalex(t) è la rappresentazione di|X( f )| in funzione della frequenzaf ,mentre lospettro di fase è la rappresentazione di�X( f ) in funzione della frequenzaf . Notiamo che,poiché la fase di un numero complesso è definita a meno di multipli di 2π, lo spettro di fase di unsegnale non è univocamente determinato.

� Esempio 6.1 (trasformata di Fourier della finestra rettangolare TC) Calcoliamo la trasformata di Fou-rier della finestra rettangolare di ampiezzaA ∈ R e durata∆x = T ∈ R+:

x(t) = A rect( t

T

).

Sostituendo l’espressione dix(t) nell’equazione di analisi (6.7), e ricordando la definizione della funzione rectsi ha:

X( f ) =∫ +∞

−∞A rect

( tT

)e− j2π f t dt = A

∫ T/2

−T/2e− j2π f t dt = A

[e− j2π f t

− j2π f

]t=T/2

t=−T/2

=AT

π f Te jπ f T − e− jπ f T

2 j= AT

sin(π f T )π f T

.

Confrontando la precedente espressione con la definizione della funzione sinc (cfr. es. 5.2) si ha in definitiva:5

x(t) = A rect( t

T

)FT←→ X( f ) = AT sinc( f T ) .

Contrariamente a quanto accade in generale, in questo caso la trasformata di FourierX( f ) è una funzionereale, e quindi può essere rappresentata con un unico diagramma cartesiano (fig. 6.1). Se tuttavia si desideradeterminare gli spettri di ampiezza e fase, basta osservare che, poiché la funzione sinc assume valori sia positivisia negativi, lo spettro di ampiezza coincide con ilvalore assoluto di X( f ):

|X( f )|= |A|T |sinc( f T )| ,5Abbiamo già incontrato e definito la funzione sinc quando abbiamo calcolato nell’esempio 5.2 la serie di Fourier

per l’onda rettangolare a TC, che si ottiene proprio per replicazione della finestra rettangolare a TC. Questa apparentecoincidenza si spiegherà quando considereremo la trasformata di Fourier di segnali TC periodici e metteremo in relazionela serie di Fourier con la trasformata di Fourier (cfr. § 6.6).


il cui andamento è raffigurato in fig. 6.2 (grafico in alto). Lo spettro di fase, invece, si calcola notando che lafase di un numero reale (a meno di multipli di 2π) è pari a 0 quando il numero è positivo, mentre valeπ quandoil numero è negativo. Si ha allora:

�X( f ) =

{0+2kπ, se sinc( f T ) > 0 ;

π+2kπ, se sinc( f T ) < 0.

Scegliendo opportunamente i valori dik, lo spettro di fase assume l’andamento costante a tratti di fig. 6.2(grafico in basso). Notiamo che per ottenere tale grafico, in corrispondenza degli intervalli dif < 0 nei qualisinc( f T ) < 0, si è scelta come determinazione della fase−π anzichéπ, in modo da avere uno spettro di fasedispari: il motivo di tale scelta è sarà più chiaro quando si discuteranno in dettaglio le proprietà di simmetria(simmetria hermitiana) dello spettro di ampiezza e di fase.

A scopo mnemonico, è utile particolarizzare i precedenti risultati al caso di una finestra rettangolareelementare, avente cioèA = 1 eT = 1. Si ottiene in tal caso

x(t) = rect(t) FT←→ X( f ) = sinc( f ) .

Questa relazione assume una forma particolarmente semplice ed, insieme ad altre trasformate di Fourier notevoli(di uso frequente), è riportata in app. F. �

Con riferimento all’esempio precedente, un ulteriore ed importante aspetto riguarda l’interpretazioneda dare ai diagrammi dello spettro di ampiezza e di fase del segnale. Se esprimiamoX( f ) in moduloe fase nell’equazione di sintesi (6.8), ovvero poniamoX( f ) = |X( f )|e j�H( f ), si ha

x(t) =∫ +∞

−∞|X( f )|e j[2π f t+�X( f )]d f .

Pertanto, le quantità|X( f )| e �X( f ) si interpretano, rispettivamente, come l’ampiezza e la fase delgenerico fasoree j2π f t che compone il segnale. In particolare, la quantità|X( f )|, essendo non negativa,rappresenta ilpeso che ha ciascun fasore nella sintesi (6.8) del segnale: i fasori aventi frequenze perle quali |X( f )| assume valori significativi contribuiscono maggiormente alla sintesi del segnale, inconfronto ai fasori aventi frequenze per le quali|X( f )| è piccolo o addirittura nullo. Se allora si applicaquest’interpretazione alla fig. 6.2 (grafico in alto), si osserva che i fasori che pesano maggiormente6

nella sintesi del segnalex(t) = A rect(t/T ) sono quelli per cui| f T | ≤ 1, ovvero| f | ≤ 1T . Questa

interpretazione è strettamente legata al concetto dibanda di un segnale, che approfondiremo nel § 6.4.

6.1.2 Trasformata di Fourier per segnali TD

Estendiamo adesso la definizione di trasformata di Fourier al caso di segnali TD. Anche nel caso TD èpossibile far discendere il concetto di trasformata di Fourier da quello di serie di Fourier (DFS), con unragionamento al limite. Seguendo tale strada, si giunge alla fondamentale definizione ditrasformatadi Fourier 7 di un segnale TD:

6Notiamo che in linea teorica sono necessaritutti i fasori per sintetizzareesattamente il segnalex(t) (esclusi solo quellialle frequenze per cui|X( f )|= 0, ovvero f = k

T , conk ∈ Z−{0}).7Anche nel caso TD possiamo osservare che la definizione (4.104) di risposta in frequenzaH(ν) di un sistema LTI a

TD ha la stessa forma della (6.11), per cui anche nel caso TD la risposta in frequenza di un sistema LTI è la trasformata diFourier della sua risposta impulsivah(n) (questo concetto è ulteriormente approfondito nel § 6.2).


Definizione 6.2 (trasformata di Fourier per segnali TD)La trasformata di Fourier di un segnale TDx(n) è definita dalle equazioni:

X(ν) =+∞

∑n=−∞

x(n)e− j2πνn (equazione di analisi) (6.11)

x(n) =∫ 1/2

−1/2X(ν)e j2πνn dν (equazione di sintesi) (6.12)

Osserviamo che notazioni simili alle (6.9) e (6.10) si utilizzano anche nel caso TD, con le ovviemodifiche. Sempre a livello di notazione, notiamo la differente scelta della variabile che denota lafrequenza, vale a diref nel caso TC eν nel caso TD. Bisogna puntualizzare peraltro che, a differenzadelle variabilitemporali t ∈ R (caso TC) edn ∈ Z (caso TD), le variabili frequenzialif e ν varianoentrambi concontinuità in R, come evidenziato dal fatto che le equazioni di sintesi sia nel caso TCche in quello TD sono definite attraverso degliintegrali.

Un confronto più attento tra le equazioni di sintesi nel caso TC e TD mostra che nella (6.12)compaiono solo fasori aventi frequenze nell’intervalloν ∈ (−1/2,1/2), mentre nella (6.8) compaionofasori atutte le frequenzef ∈R. Questa differenza è diretta conseguenza dellaproprietà di periodicitàin frequenza del fasori nel caso TD (cfr. prop. 2.4 del § 2.3.3). In altri termini, poiché due fasori TDle cui frequenze differiscono di 1 sono coincidenti, per rappresentare un segnale TD è sufficienteconsiderare solo quei fasori le cui frequenze cadono nell’intervallo(−1/2,1/2) o, più un generale,in un qualunque intervallo di ampiezza unitaria.8 Come ulteriore conseguenza della periodicità infrequenza dei fasori a TD, è facile dimostrare che vale la seguente proprietà, la cui prova è identica aquella della prop. 4.11:

Proprietà 6.1 (periodicità della trasformata di Fourier a TD)La trasformata di FourierX(ν) di un segnale TDx(n), definita dalla (6.11), è periodica di periodounitario, ossia

X(ν) = X(ν +1) , ∀ν ∈ R .

In virtù di tale proprietà, per specificare completamente la trasformata di FourierX(ν) è sufficienteassegnare i suoi valori in un arbitrario intervallo di ampiezza unitaria, ad esempioν ∈ (0,1) oppureν ∈ (−1/2,1/2). Ad esempio, nell’equazione di sintesi (6.12) si utilizza l’intervalloν ∈ (−1/2,1/2),ma è chiaro che qualunque intervallo di integrazione di ampiezza unitaria, ad esempio l’intervalloν ∈ (0,1), sarebbe ugualmente valido.9 Bisogna notare infine che la prop. 6.1 non significa cheil periodo fondamentale di X(ν) sia necessariamente 1, in quanto ci sono casi in cui tale periodofondamentale può essere unsottomultiplo di 1.10

Anche per la trasformata di Fourier a TD è possibile considerare i concetti dispettro di ampiezza|X(ν)| e spettro di fase �X(ν); per la periodicità della funzioneX(ν), tali spettri saranno periodici diperiodo 1, e quindi potranno essere calcolati e rappresentati graficamente in qualunque intervallo difrequenze di ampiezza unitaria, comeν ∈ (0,1) oppureν ∈ (−1/2,1/2).

8La stessa proprietà è alla base della differenza esistente tra le equazioni di sintesi della serie di Fourier a TC e a TD(IDFS).

9La periodicità della trasformata di Fourier è una proprietà peculiare del caso TD. Infatti, fatta eccezione per alcunicasi particolari (ad esempio, la trasformata di Fourier di un segnalecampionato, cfr. cap. 7) la trasformata di Fourier di unsegnale TCnon è periodica.

10Un caso significativo in cui ciò accade è quandox(n) è il risultato di un’espansione (cfr. prop. 6.21 e relativadiscussione).


−1 −0.5 0 0.5 10

2

4

ν

|X(ν

)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−2

0

2

ν

∠ X

(ν)

Fig. 6.3. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase(in basso) della trasformata di FourierX(ν) dellafinestra rettangolarex(n) = R5(n) (es. 6.2).

� Esempio 6.2 (trasformata di Fourier della finestra rettangolare TD) Calcoliamo la trasformata di Fou-rier del segnalex(n) = RN(n). Sostituendox(n) nell’equazione di analisi, e ricordando la definizione diRN(n),si ha:

X(ν) =+∞

∑n=−∞

RN(n)e− j2πνn =N−1

∑n=0

e− j2πνn .

Per esprimereX(ν) in forma chiusa, è sufficiente sfruttare la formula seguente, valida per ognia ∈ C e perN2≥ N1:

N2

∑n=N1

an =aN1−aN2+1

1−a.

Infatti, applicando l’identità precedente pera = e− j2πν, N1 = 0 edN2 = N−1 si ha:

X(ν) =N−1

∑n=0

e− j2πνn =1− e− j2πνN

1− e− j2πν ,

che può essere riscritta, con facili passaggi algebrici, in termini della funzione di Dirichlet,11 già introdotta nel§ 5.3:

X(ν) =sin(πνN)sin(πν)

e− j(N−1)πν �= DN(ν) .

In definitiva, abbiamo individuato la seguente trasformata notevole di Fourier per segnali TD:

x(n) = RN(n) FT←→ X(ν) = DN(ν) .

A differenza del caso TC, nel caso TD la trasformata della finestra rettangolare è una funzione complessa, percui possiamo rappresentarla graficamente solo se ricaviamo modulo e fase diDN(ν). Per il modulo, si ha

|X(ν)|=∣∣∣∣sin(πνN)

sin(πν)

∣∣∣∣11Similmente al caso della funzione sinc, abbiamo già incontrato la funzione di Dirichlet quando abbiamo introdotto la

serie di Fourier per l’onda rettangolare TD, che si ottiene replicando proprio la finestra rettangolare TD. Questa apparentecoincidenza si spiegherà quando considereremo la trasformata di Fourier di segnali TD periodici e metteremo in relazionela DFS con la trasformata di Fourier a TD (cfr. § 6.6).


mentre la fase è data da

�X(ν) = �sin(πνN)sin(πν)

− (N−1)πν =

0+2kπ− (N−1)πν , se

sin(πνN)sin(πν)

> 0;

π+2kπ− (N−1)πν , sesin(πνN)sin(πν)

< 0.

Tali spettri di ampiezza e fase sono raffigurati in fig. 6.3, con riferimento ad una finestra rettangolare dilunghezzaN = 5. �

6.1.3 Proprietà elementari della trasformata di Fourier

Come ogni operatore matematico, la trasformata di Fourier possiede alcune proprietà di grande inte-resse sia dal punto di vista teorico che applicativo. In questa sezione introdurremo alcune proprietàmatematiche elementari (linearità, simmetria hermitiana, dualità nel caso TC, valore nell’origine); al-tre proprietà (associate alle operazioni elementari sui segnali) sono presentate nel § 6.5, ed ulterioriproprietà (associate ai sistemi) sono presentate in varie sezioni di questo capitolo. L’obiettivo di taleesposizione, solo apparentemente frammentaria, è quella di enfatizzare le applicazioni ai segnali e aisistemi, piuttosto che fornire un semplice elenco di proprietà matematiche. Per una esposizione piùsistematica di tutte le proprietà della trasformata di Fourier, il lettore è comunque rinviato all’app. F.

Proprietà di linearità

La trasformata di Fourier, essendo definita attraverso un integrale o una sommatoria, eredita da talioperatori la caratteristica proprietà dilinearità. Come già specificato per i sistemi (cfr. cap.3), unoperatore si dicelineare se possiede sia la proprietà diomogeneità sia quella diadditività. Per quanto

riguarda l’omogeneità della trasformata di Fourier, essa si enuncia come segue: sex(·) FT←→ X(·) eα ∈ C, si ha:

y(·) = α x(·) FT←→ Y (·) = α X(·) ,

ovvero se si moltiplica un segnale nel dominio del tempo per una costante, la sua trasformata di

Fourier viene moltiplicata per la stessa costante. Per l’additività, invece, sex1(·) FT←→ X1(·) e

x2(·) FT←→ X2(·), si ha:

y(·) = x1(·)+ x2(·) FT←→ Y (·) = X1(·)+X2(·) ,

ovvero alla somma dei segnali nel dominio del tempo corrisponde la somma delle corrisponden-ti trasformate di Fourier nel dominio della frequenza.12 La proprietà di linearità si può formulareequivalentemente come segue (si noti l’analogia con il principio di sovrapposizione per i sistemilineari):

Proprietà 6.2 (linearità della trasformata di Fourier)

Sianox1(·) FT←→ X1(·) e x2(·) FT←→ X2(·), e sianoα1,α2 ∈ C, si ha:

y(·) = α1 x1(·)+α2 x2(·) FT←→ Y (·) = α1 X1(·)+α2 X2(·) . (6.13)

12Vale la pena notare che non vale invece una semplice relazione additiva per quanto riguarda gli spettri di ampiezza e/odi fase dei due segnali. In effetti, non esiste in generale una relazione semplice tra lo spettro di ampiezza e di fase dellasomma di due segnali ed i corrispondenti spettri dei singoli segnali.


Si noti che scegliendo opportunamente i segnalix1(·) ex2(·) e le costantiα1 eα2, è possibile ottenerele proprietà di omogeneità e additività come casi particolari della (6.13).

La proprietà di linearità si può estendere anche al caso di più di due segnali, e con qualche cautelamatematica, anche al caso di infiniti segnali. Tale proprietà è frequentemente utilizzata nelle appli-cazioni per calcolare la trasformata di Fourier di un segnale espresso come combinazione lineare disegnali, le cui trasformate di Fourier sono note o più semplicemente calcolabili.

Proprietà di simmetria hermitiana

Una proprietà elementare e di grande importanza della trasformata di Fourier è lasimmetria hermi-tiana, che abbiamo già introdotto per la risposta in frequenza di un sistema LTI (cfr. § 4.7) e che valeanche, in forma matematicamente diversa ma concettualmente simile, per la serie di Fourier e la DFS.

In generale, si verifica facilmente che, datox(·) FT←→ X(·), se il segnalex(·) è reale, si ha

X∗( f ) = X(− f ) (segnali TC),

X∗(ν) = X(−ν) (segnali TD).

Per esprimere tale proprietà indifferentemente nel caso TC e TD si può utilizzare la notazione gene-rale:

X∗(·) = X(−(·))Nel § 4.7 abbiamo facilmente provato che seh(·) è reale, alloraH(·) gode della simmetria hermitiana(condizione necessaria). Ora, avendo anche a disposizione la relazione di antitrasformata di Fourier,possiamo provare che la simmetria hermitiana diX(·) è, più in generale, una condizionenecessaria esufficiente affinchéx(·) sia reale, vale cioè la seguente proprietà:

Proprietà 6.3 (simmetria hermitiana della trasformata di Fourier)

Siax(·) FT←→ X(·), valgono i seguenti risultati:

(a) Sex(·) è reale, alloraX(·) possiede la seguente proprietà di simmetria hermitiana:

X∗(·) = X(−(·)) . (6.14)

(b) SeX(·) possiede la proprietà di simmetria hermitiana (6.14), allorax(·) è reale.

Prova. La prova di (a) è stata già sviluppata nel § 4.7, con riferimento alla risposta in frequenzaH( f ) diun sistema LTI a TC [cfr. in particolare la (4.101)]; la dimostrazione nel caso TD è analoga. Dimostriamoesplicitamente (b) nel caso TC, partendo dall’equazione di sintesi (6.8):

x(t) =∫ +∞

−∞X( f )e j2π f t d f

e calcolandox∗(t):

x∗(t) =∫ +∞

−∞X∗( f )e− j2π f t d f .

Se vale la simmetria hermitiana,X∗( f ) = X(− f ), per cui sostituendo tale espressione ed effettuando un cambiodi variabile f ′ =− f nella precedente si ha:

x∗(t) =∫ +∞

−∞X(− f )e− j2π f t d f =

∫ +∞

−∞X( f ′)e j2π f ′t d f ′ = x(t) ,


da cui, essendox∗(t) = x(t), si ricava chex(t) è un segnale reale. Nel caso TD, la dimostrazione procede inmaniera analoga, partendo dalla (6.12). �

Vedremo nel § 6.5.2 che la simmetria hermitiana si può inquadrare nel contesto più ampio delleproprietà di simmetria della trasformata di Fourier. Osserviamo infine che, se la trasformata di Fourierè reale, la simmetria hermitiana si riduce ad una semplice simmetriapari, in quanto la coniugazionenon opera in questo caso.

� Esempio 6.3 (simmetria hermitiana della trasformata delle finestre rettangolari a TC e a TD)Nel casoTC, la trasformata di Fourier (es. 6.1) della finestra rettangolare èX( f ) = AT sinc( f T ), cioè è puramente reale.In questo caso, la simmetria hermitiana si riduce alla simmetria pari, ed è sicuramente verificata in quanto lafunzione sinc è pari (vedi anche fig. 6.1).

Per la finestra rettangolare TD, la trasformata di Fourier ricavata nell’es. 6.2 è complessa. Verifichiamoallora analiticamente che vale la proprieà di simmetria hermitiana:

X∗(ν) =sin(πνN)sin(πν)

e j(N−1)πν =−sin[π(−ν)N]−sin[π(−ν)]

e− j(N−1)π(−ν) = X(−ν)

e quindi la (6.14) è verificata. �

Abbiamo già osservato nel § 4.7, con riferimento alla risposta in frequenza, che la simmetria hermi-tiana diX(·) equivale a dire che lo spettro di ampiezza|X(·)| è una funzione pari, mentre lo spettro dafase�X(·) è una funzione dispari (a meno di multipli di 2π). Pertanto, quando si trattano segnalix(·)reali, è lecito calcolare e rappresentare gli spettri di ampiezza e di fase in corrispondenza delle solefrequenze positive.

� Esempio 6.4 (simmetria degli spettri di ampiezza e fase delle finestre rettangolari a TC e a TD)La sim-metria pari e dispari degli spettri di ampiezza e di fase delle finestre rettangolari è evidente dai grafici di fig. 6.2e fig. 6.3. Una precisazione va fatta per gli spettri di fase: poiché la fase di un numero complesso è definita ameno di multipli di 2π, è chiaro che l’andamento dispari della fase si ha solo se si scelgono opportunamente imultipli di 2π da aggiungere algebricamente a ciascun valore di fase calcolato. �

Proprietà di dualità nel caso TC

Confrontando le equazioni di analisi (6.7) e di sintesi (6.8) della trasformata di Fourier a TC, si puònotare che esse sono molto simili tra loro, e differiscono soltanto per la variabile di integrazione(t oppure f ) e per il segno dell’esponenziale complesso. Sulla base di questa osservazione, è facileprovare che, dettaX( f ) la trasformata di Fourier dix(t), se si consideraX(t) come funzione del tempo(cioè si effettua la sostituzione formalet→ f ), la trasformata di Fourier del segnaleX(t) risulta esserex(− f ), cioè si ottiene effettuando la sostituzione formale(− f )→ t in x(t). Tale risultato è noto comela proprietà di dualità della trasformata di Fourier a TC13 ed è espresso sinteticamente come segue:

Proprietà 6.4 (dualità della trasformata di Fourier a TC)

Siax(t) FT←→ X( f ), si haX(t) FT←→ x(− f ).

Prova. PostoX( f ) = F[x(t)], la trasformata diX(t) si scrive formalmente come:

F[X(t)] =∫ +∞

−∞X(t)e− j2π f tdt .

13Nonostante la somiglianza delle equazioni di analisi e di sintesi nel caso TC e TD, la proprietà di dualitànon valenel caso TD, in quanto nell’equazione di analisi (6.11) compare una sommatoria, mentre nell’equazione di sintesi (6.12)compare un integrale.


Riscriviamo l’equazione di sintesi (6.8) utilizzandoλ come variabile di integrazione:

x(t) =∫ +∞

−∞X(λ )e j2πλtdλ ,

da cui ponendo formalmentef al posto dit si ha:

x( f ) =∫ +∞

−∞X(λ )e j2πλ f dλ .

Infine, utilizzandot al posto diλ come variabile di integrazione ed effettuando una riflessione inf , si ha:

x(− f ) =∫ +∞

−∞X(t)e j2πt(− f )dt =

∫ +∞

−∞X(t)e− j2π f tdt = F[X(t)] ,

e quindi l’asserto. �La proprietà di dualità consente di ottenere la seguente ulteriore proprietà della trasformata di Fourier:ogni segnale x(t) trasformabile secondo Fourier è invariante rispetto a quattro trasformazioni diFourier consecutive. Infatti, sex(t) ha trasformataX( f ), in virtù della proprietà di dualità, il segnaleX(t) ha trasformatax(− f ); applicando nuovamente la proprietà di dualità, si ottiene che la trasformatadel segnalex(−t) è data daX(− f ); trasformando per la quarta volta e applicando per l’ultima voltala proprietà di dualità, si ottiene che la trasformata diX(−t) è proprio il segnalex( f ) di partenza(espresso in funzione della frequenza anzichè del tempo). In altre parole,se x(t) è trasformabilesecondo Fourier allora x( f ) appartiene all’insieme delle trasformate di Fourier.

La principale applicazione della proprietà di dualità consiste nel ricavare, nota una coppia segnale–trasformata, una nuova coppia segnale–trasformata, semplicemente scambiando i ruoli del dominiodel tempo e della frequenza ed operando unariflessione nel dominio della frequenza.

� Esempio 6.5 (trasformata del segnale sinc a TC)Dalla coppia segnale-trasformata:

x(t) = rect(t) FT←→ X( f ) = sinc( f )

ricavata nell’es. 6.1, applicando la proprietà di dualità si ricava

X(t) = sinc(t) FT←→ x(− f ) = rect(− f ) ,

da cui, tenendo conto che rect(·) è un segnale pari, per cui rect(− f ) = rect( f ), e chiamando nuovamentex(t) edX( f ) i segnali nel dominio del tempo e della frequenza, rispettivamente, si ha la seguente trasformata notevole:

x(t) = sinc(t) FT←→ X( f ) = rect( f ) .

Si noti che, scrivendo esplicitamente l’equazione di sintesi (6.8) in questo caso, si ha

sinc(t) =∫ +∞

−∞rect( f )e j2π f t d f =

∫ 1/2

−1/2e j2π f t d f ,

secondo la quale il segnalex(t) = sinc(t) è rappresentato nel dominio della frequenza da una sovrapposizionedi fasori con frequenze| f | ≤ 1

2 ed ampiezza unitaria. Vedremo più avanti (cfr. § 6.4) che la sinc è un primoesempio di segnale aventebanda rigorosamente limitata. �

Proprietà del valore nell’origine

La proprietà del valore nell’origine esprime il fatto che il valore del segnale nell’origine in un dominiocorrisponde all’area del segnale nell’altro dominio. Tale proprietà si ottiene semplicemente calcolandole equazioni di sintesi e di analisi nell’origine, vale a dire pert,n, f ,ν uguale a zero, e si può esprimereformalmente come segue:

6.2 Relazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI 267

Proprietà 6.5 (valore nell’origine della trasformata di Fourier)

Siax(·) FT←→ X(·), si ha:

X(0) =∫ +∞

−∞x(t)dt , x(0) =

∫ +∞

−∞X( f )d f (caso TC)

X(0) =+∞

∑n=−∞

x(n) , x(0) =∫ 1/2

−1/2X(ν)dν (caso TD)

(6.15)

L’unica cautela dal punto di vista matematico è l’interpretazione degli integrali indefiniti e della seriebilatera presenti nella (6.15). Senza approfondire troppo gli aspetti matematici, si può semplicementeaffermare che le uguaglianze definite nella (6.15) valgono se e solo se esistonofiniti sia il primo cheil secondo membro.

L’utilità della proprietà del valore nell’origine è che essa consente ad esempio di calcolare l’areadi un segnale di cui sia nota la trasformata di Fourier senza risolvere esplicitamente l’integrale ocalcolare la somma di una serie.

� Esempio 6.6 (area del segnale sinc a TC)Si consideri ad esempio la trasformata notevole

x(t) = sinc(t) FT←→ X( f ) = rect( f ) .

Applicando la proprietà del valore nell’origine pert = 0, si ha:

sinc(0) =∫ +∞

−∞rect( f )d f =⇒

∫ +∞

−∞rect( f )d f = 1.

Questo risultato non è particolarmente interessante, in quanto il fatto che il segnale rect( f ) abbia area unitariasi può giustificare più semplicemente calcolando direttamente l’integrale oppure applicando considerazionigeometriche elementari al grafico del segnale. Viceversa, se si applica la proprietà del valore nell’origine perf = 0, si ha

rect(0) =∫ +∞

−∞sinc(t)dt =⇒

∫ +∞

−∞sinc(t)dt = 1.

Dal punto di vista matematico, questo risultato è più interessante del precedente, in quanto consente di calcolare

l’integrale tra−∞ e+∞ del segnalex(t) = sinc(t)�= sin(πt)

πt , che non è dotato di primitive elementari. �

6.2 Relazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI

In questo paragrafo, avendo introdotto le definizioni e le proprietà elementari della trasformata diFourier, siamo ora in grado di dimostrare un risultato fondamentale, secondo il quale la risposta infrequenza di un sistema LTI consente di calcolare l’uscita del sistema non solo quando il segnale diingresso è periodico (con fasore e sinusoide come casi particolari), ma quando il segnale di ingresso èarbitrario (purché dotato di trasformata di Fourier).

Per iniziare, osserviamo che, alla luce delle definizioni di trasformata di Fourier date nel prece-dente paragrafo, la risposta in frequenzaH(·) di un sistema LTI (TC o TD) va interpretata come latrasformata di Fourier della risposta impulsivah(·). Conseguentemente, la risposta impulsivah(·) sipuò ricavare effettuando l’antitrasformata di Fourier diH(·), ovvero applicando la (6.8) (nel caso TC)


o la (6.12) (nel caso TD):

h(t) =∫ +∞

−∞H( f )e j2π f t d f (sistema TC),

h(n) =∫ 1/2

−1/2H(ν)e j2πνn dν (sistema TD).

In generale, allora, la risposta impulsivah(·) e la risposta armonicaH(·) di un sistema LTI sono legateda una relazione di trasformata di Fourier

h(·) FT←→ H(·) .

Data la sostanziale biunivocità della trasformata di Fourier (per un approfondimento matematico diquesto aspetto si veda il § 6.3), la conoscenza diH(·) equivale a quella dih(·). Pertanto anche larisposta in frequenzaH(·) è una rispostacanonica, in quanto descrive completamente il sistema LTInel dominio della frequenza, mentreh(·) descrive il sistema nel dominio del tempo. Le descrizionidel sistema fornite dah(·) e H(·) sono equivalenti ma complementari, e ciascuna può risultare più omeno conveniente a seconda delle applicazioni.

Vediamo ora come la risposta in frequenzaH(·) consenta di calcolare esplicitamente l’uscita diun sistema LTI sollecitato da unarbitrario segnale di ingresso. Tale fondamentale relazione va sottoil nome direlazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI, e consente di generalizzare le(5.47) e (5.51) valide per segnali periodici TC e TD, le relazioni (4.97) e (4.105) valide per fasori TCe TD, e le relazioni (4.109)–(4.112) valide per sinusoidi TC e TD. Trattiamo prima il caso di segnalia TC, e consideriamo un segnalex(t) in ingresso ad un sistema LTI con risposta in frequenzaH( f )finita. In base all’equazione di sintesi (6.8), il segnalex(t) può essere espresso come:

x(t) =∫ +∞

−∞X( f )e j2π f t d f .

Abbiamo già osservato che, mediante tale relazione, si rappresenta il segnalex(t) comesovrapposi-zione (continua) di fasorie j2π f t , aventi ampiezze complesseX( f )d f . Poiché la risposta del sistemaLTI ad un singolo fasore è data dalla (4.97):

e j2π f t −→ H( f )e j2π f t ,

applicando la proprietà di linearità del sistema14 si ottiene

y(t) = S

[∫ +∞


]=∫ +∞

−∞X( f )S

[e j2π f t] d f =

∫ +∞

−∞X( f )H( f )e j2π f t d f . (6.16)

Confrontiamo tale espressione con l’equazione di sintesi della trasformata di Fourier pery(t):

y(t) =∫ +∞

−∞Y ( f )e j2π f t d f . (6.17)

Data la biunivocità della trasformata di FourierY ( f ), dal confronto tra la (6.16) e (6.17) si ricava che

Y ( f ) = X( f )H( f ) , (6.18)

14A rigore va applicata la proprietà di linearità nella forma più generale (4.14), per un segnale esprimibile comesovrapposizione di una infinitàcontinua (4.13) di segnali elementari.


nota comerelazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI. In pratica essa consente dicalcolare la trasformata di FourierY ( f ) del segnale di uscita mediante semplice moltiplicazione tra latrasformata di Fourier dell’ingressoX( f ) e la risposta in frequenzaH( f ); se si desidera calcolare ilsegnaley(t) nel dominio del tempo è necessario evidentemente effettuare l’antitrasformata diY ( f ).

Si noti la forma semplice che assume la relazione i-u nel dominio della frequenza, in confrontoalla corrispondente relazione i-u per sistemi LTI TC nel dominio del tempo, ovvero alla convoluzione(4.12):

y(t) = x(t)∗h(t) =∫ +∞

−∞x(τ )h(t− τ )dτ .

In effetti, mettendo in relazione la (4.12) e la (6.18), possiamo scrivere:

y(t) = x(t)∗h(t) FT←→ Y ( f ) = X( f )H( f ) . (6.19)

Questa rappresenta la fondamentaleproprietà di convoluzione della trasformata di Fourier a TC chediscuteremo nel paragrafo seguente.

Per quanto riguarda il caso TD, possiamo seguire un ragionamento analogo. Siax(n) un segnalearbitario in ingresso ad un sistema LTI TD con risposta in frequenza finitaH(ν). Se esprimiamox(n)utilizzando l’equazione di sintesi (6.12):

x(n) =∫ 1/2

−1/2X(ν)e j2πνn dν ,

ed applichiamo come nel caso TC il principio di sovrapposizione e la relazione i-u per i fasori,possiamo calcolare l’uscita del sistema con facili passaggi:

y(n) =∫ 1/2

−1/2X(ν)H(ν)e j2πνn dν ,

da cui per confronto con l’equazione di sintesi pery(n):

y(n) =∫ 1/2

−1/2Y (ν)e j2πνn dν

ricaviamo la relazione i-u nel dominio della frequenza per un sistema LTI TD, analoga alla (6.18):

Y (ν) = H(ν)X(ν) . (6.20)

In questo caso, ricordando la relazione i-u nel dominio del tempo (4.7), si ha

y(n) = h(n)∗ x(n) FT←→ Y (ν) = H(ν)X(ν) , (6.21)

che si interpreta come laproprietà di convoluzione della trasformata di Fourier a TD.Le relazioni i-u di un sistema LTI nel dominio della frequenza, date dalle (6.18) e (6.20), si

possono scrivere in forma unificata come

Y (·) = H(·)X(·) . (6.22)

Le grandezze in gioco nella (6.18) sono tutte (in generale) complesse: è tuttavia semplice calcola-re relazioni equivalenti tra quantità reali se calcoliamo modulo e fase dei due membri della (6.22).Applicando semplici concetti di algebra dei numeri complessi (cfr. app. A) si ha:

|Y (·)|= |H(·)| |X(·)| ,�Y (·) = �H(·)+�X(·) ,


da cui si vede che larisposta in ampiezza del sistema|H(·)|modifica con leggemoltiplicativa lo spet-tro di ampiezza|X(·)| del segnale di ingresso, mentre larisposta in fase �H(·) del sistema modificacon leggeadditiva lo spettro di fase�X(·) del segnale di ingresso.

In conclusione, osserviamo che la (6.22) consente di esprimere la risposta in frequenza di unsistema LTI anche come

H(·) =Y (·)X(·) , (6.23)

ovvero come il rapporto tra la trasformata di Fourier del segnale di uscita e quella del segnale diingresso (almeno in corrispondenza di tutte le frequenzef o ν per le quali il denominatoreX(·) della(6.23) è diverso da zero). La (6.23) è spesso utilizzata, operando formalmente sulla relazione i-u,come strumento per il calcolo analitico della risposta in frequenza di un sistema LTI. Essa, inoltre,specialmente nel caso TC, è alla base di un metodo sperimentale per il calcolo diH( f ), alternativo aquello delineato nell’es. 4.21. Notando infatti che la (6.23) vale per un’arbitraria coppia di segnalix(·) edy(·), nel caso TC basterà allora sollecitare il sistema LTI con un segnale di ingressox(t) chepresenti valori diX( f ) �= 0 su un insieme molto ampio di frequenze (segnale abanda larga, cfr. § 6.4per il concetto di banda di un segnale) per ricavareH( f ) mediante la (6.23).15

6.2.1 Proprietà di convoluzione

Le equazioni (6.19) ed (6.21) esprimono forse la proprietà più importante della trasformata di Fourier,vale a dire laproprietà di convoluzione. Si noti che tale proprietà assume la stessa forma nel caso TCed in quello TD, e può essere applicata a due arbitrari segnalix1(·) edx2(·), senza che essi debbanonecessariamente essere interpretati come l’ingresso e la risposta impulsiva di un sistema, purché siadefinita la loro convoluzione:

Proprietà 6.6 (proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier)

Sianox1(·) FT←→ X1(·) e x2(·) FT←→ X2(·), si ha

y(·) = x1(·)∗ x2(·) FT←→ Y (·) = X1(·)X2(·) .

La proprietà precedente esprime il fatto che allaconvoluzione di due segnali nel dominio del tempocorrisponde il prodotto delle loro trasformate di Fourier nel dominio della frequenza. Ovviamentel’importanza di tale proprietà nello studio dei sistemi LTI è fondamentale; l’esempio che segue mostrainvece come essa possa essere utilizzata anche per il calcolo della trasformata di Fourier di particolarisegnali.

� Esempio 6.7 (trasformata della finestra triangolare a TC) Si vuole calcolare la trasformata di Fourier delsegnalex(t) = Λ(t) (finestra triangolare a TC). Nell’es. 4.5 abbiamo provato la seguente relazione notevole trafinestre rettangolari e triangolari [cfr. eq. (4.28)]:

rect(t)∗ rect(t) = Λ(t) .

Pertanto, applicando la proprietà di convoluzione e ricordando che rect(t) FT←→ sinc(t), si ha la seguentetrasformata notevole:

x(t) = Λ(t) FT←→ X( f ) = sinc2( f ) .

15Le trasformate di Fourier dix(t) ed y(t) richieste per l’applicazione della (6.23) sono calcolate in pratica attraversostrumenti analogici o – più comunemente – digitali, noti comeanalizzatori di spettro.


−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

X(f

)

Fig. 6.4. Trasformata di FourierX( f ) dellafinestra triangolarex(t) = Λ(t) (es. 6.7).

PoichéX( f )≥ 0, si ha che|X( f )|= X( f ) e�X( f ) = 0; è sufficiente allora diagrammare (fig. 6.4)X( f ).Con considerazioni analoghe si può calcolare la trasformata di Fourier della finestra triangolare a TD (fine-

stra di Bartlett), ma in questo caso occorre introdurre anche un’ulteriore proprietà della trasformata di Fourier(proprietà di traslazione temporale), per cui si rimanda all’es. 6.38. �


6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

In questa sezione cercheremo di approfondire le condizioni matematiche che garantiscono che undato segnale TC o TD possa essere rappresentato mediante le formule di Fourier (cfr. def. 6.1 e 6.2),e forniremo nel contempo ulteriori esempi di calcolo della trasformata di Fourier. Più precisamente,affronteremo i seguenti problemi di carattere matematico:16

(i) stabilire le condizioni che assicurano che, per un dato segnalex(·), le equazioni di analisi (6.7)e (6.11) siano valide, cioè la trasformata di FourierX(·) esista (problema dell’esistenza);

(ii) supponendo che le condizioni menzionate in (i) siano verificate, determinare le condizioni cheassicurano che le equazioni di sintesi (6.8) e (6.12), costruite a partire daX(·), siano valide erestituiscano proprio il segnalex(·) di partenza (problema dell’invertibilità).

La trattazione di questi problema matematici (in particolare, del problema dell’esistenza) non è fine ase stessa ma, come vedremo, consentirà di calcolare alcune trasformate notevoli, che saranno utili nelseguito per evidenziare aspetti applicativi e interpretazioni nell’ambito dei segnali e dei sistemi. Nelseguito, per chiarezza espositiva, studieremo separatamente il caso dei segnali TC e TD.

6.3.1 Segnali TC

Nel § 6.1, abbiamo visto che, in via del tutto preliminare, la rappresentazione di Fourier per un segnaleaperiodicox(t) si può ottenere sviluppando tale segnale in serie di Fourier su un intervallo finito(−Z/2,Z/2) e facendo poi tendereZ→+∞. Tale risultato è stato ottenuto assumendo che il segnalex(t) sia sommabile su tutto l’asse reale, cioè

∫ +∞

−∞|x(t)|dt < +∞ , (6.24)

e, in aggiunta, verifichi le condizioni (d2) e (d3) del teor. 5.2 (condizioni di Dirichlet per la serie diFourier a TC) su ogni intervallo(−Z/2,Z/2). Come vedremo, tali condizioni sono sufficienti manon necessarie per la validità della rappresentazione di Fourier. Osserviamo preliminarmente che unsegnale sommabile suR [simbolicamente,x(t) ∈L 1(R)] deve essere necessariamente infinitesimoall’infinito:

lim|t|→+∞

x(t) = 0. (6.25)

Questa comporta che risultano sicuramentenon sommabili tutti i segnali di durata non limitata oper-sistenti (ad esempio, tutti i segnali periodici), i quali non soddisfano la (6.25). Viceversa, risultanosommabili tutti i segnali (a valori finiti) di durata rigorosamente limitata, nonché tutti i segnali di du-rata praticamente limitata che decadono a zero per|t| →+∞ con sufficiente17 rapidità: queste ultimedue tipologie di segnali appartengono alla classe dei segnalitransitori. Le precedenti considerazionici inducono a trattare separatamente il caso dei segnali transitori e quello dei segnali persistenti.

16Per una trattazione esauriente del problema dell’esistenza e invertibilità della trasformata di Fourier si rimanda ai testidi analisi matematica (ad esempio [3]); nel seguito daremo solo qualche risultato fondamentale, enfatizzando il più possibilegli aspetti intuitivi ed applicativi ed omettendo le relative dimostrazioni.

17Una condizione sufficiente affinchè un segnalex(t) sia sommabile suR è (cfr. teor. B.9) che, per|t| →+∞, esso tendaa zero come 1/|t|α , conα > 1.

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier 273

Segnali TC transitori

Cominciamo col considerare il problema dell’esistenza della trasformata di Fourier per un segnale TCtransitorio, che soddisfa pertanto la (6.25). Partiamo dall’equazione di analisi (6.7), riportata qui percomodità:

X( f ) =∫ +∞

−∞x(t)e− j2π f t dt , (6.26)

che definisce la trasformata di FourierX( f ) del segnalex(t). Osserviamo che, a partire dalla (6.26),sussiste la seguente disuguaglianza:

|X( f )|=∣∣∣∣∫ +∞

−∞x(t)e− j2π f t dt

∣∣∣∣≤ ∫ +∞

−∞|x(t)| |e− j2π f t |︸︷︷︸

=1

dt =∫ +∞

−∞|x(t)|dt ,

per cui, se il segnale transitoriox(t) è anche sommabile, ovvero vale la (6.24), l’integrale che definiscela X( f ) nella (6.26) esiste in senso ordinario ed, in aggiunta, la trasformata di FourierX( f ) è unafunzionelimitata, cioè|X( f )|< +∞, ∀ f ∈ R.

Mettiamo subito in luce il fatto che la sommabilità del segnalex(t) non implica la sommabilitàdella sua trasformata di Fourier. In altre parole, sex(t) è sommabile, la sua trasformataX( f ) non ènecessariamente sommabile suR. A conferma di ciò, ricordiamo (cfr. es. 6.1) il caso dix(t) = rect(t)(segnale sommabile), la cui trasformata è il segnaleX( f ) = sinc( f ), il quale non risulta sommabile,in quanto la funzione sinc(x) (cfr. es. 5.2) è infinitesima solo del primo ordine per|x| → +∞. Taleesempio mostra però che la trasformata del segnale sommabilex(t) = rect(t) è una funzionecontinuaed infinitesima all’infinito: questa proprietà vale in generale per la trasformata di tutti i segnali som-mabili.18 In sintesi, alla luce di quanto finora detto, possiamo enunciare la seguente proprietà notevoleriguardante la trasformata di Fourier dei segnali TC sommabili:

Proprietà 6.7 (trasformata di Fourier a TC di un segnale sommabile)Se il segnalex(t) è sommabile suR, l’integrale che definisce l’equazione di analisi (6.7) esistein senso ordinario e la trasformata di FourierX( f ) del segnalex(t) è una funzione continua elimitata, infinitesima per| f | →+∞.

Alcuni esempi di segnali sommabili suR sono la finestra rettangolarex(t) = rect(t) e triangolarex(t) = Λ(t), le cui trasformate di FourierX( f ) = sinc( f ) e X( f ) = sinc2( f ) (cfr. es. 6.1 e 6.7), comeè facile verificare, soddisfano la prop. 6.7. Oltre ai segnali di durata rigorosamente limitata come lefinestre, risultano sommabili suR anche tutti quei segnali di durata praticamente limitata che tendonoa zero per|t| → +∞ con sufficiente rapidità, in modo da soddisfare la (6.24). Un esempio di segnaleche appartiene a questa famiglia è l’esponenziale monolatero decrescente.

� Esempio 6.8 (trasformata di Fourier dell’esponenziale monolatero decrescente TC)Si consideri il se-gnale esponenziale monolatero, con fattore di ampiezzaA ∈ R e costante di tempoT ∈ R+:

x(t) = Ae−t/T u(t) . (6.27)

Si tratta di un segnale di durata praticamente limitata, sommabile suR. Sostituendo l’espressione dix(t)nell’equazione di analisi (6.7), si ha:

X( f ) = A∫ +∞

0e−(1/T+ j2π f )t dt = A

[e−(1/T+ j2π f )t

−(1/T + j2π f )

]t=+∞

t=0

=AT

1+ j2π f T.

18Questo risultato è una conseguenza del celebre teorema di Riemann-Lebesgue (si veda [12]).


−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

f

|X(f

)|

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

0

1

f

∠ X

(f)

Fig. 6.5. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase(in basso) della trasformata di FourierX( f ) del-l’esponenziale monolaterox(t) = Ae−t/T u(t) perA = 5 eT = 1/5 (es. 6.8).

In sintesi, si ottiene la seguente trasformata notevole:

x(t) = Ae−t/T u(t) FT←→ X( f ) =AT

1+ j2π f T,

da cui si vede cheX( f ) è una funzione a valori complessi ed, in accordo con la prop. 6.7, è continua edinfinitesima all’infinito. Tuttavia, come nel caso della trasformata della finestra rettangolare, lo spettroX( f )non è sommabile suR.

AssumendoA > 0, gli spettri di ampiezza e fase del segnalex(t) considerato sono dati da:

|X( f )|= AT√1+(2π f T )2

e �X( f ) =−arctan(2π f T ) ,

i cui andamenti sono raffigurati in fig. 6.5. Osserviamo che, essendo il segnalex(t) reale, lo spettro di ampiezzaè pari e lo spettro di fase è dispari (simmetria hermitiana, cfr. prop. 6.3). Lo spettro di ampiezza, in particolare,mostra che il segnale esponenziale monolatero ha un contenuto spettrale prevalentemente concentrato alle bassefrequenze. Notiamo in conclusione che l’espressione diX( f ) ed i grafici della fig. 6.5 sono simili a quelliricavati nell’es. 4.18 con riferimento alla risposta in frequenzaH( f ) di un sistema RC. Tale coincidenza sispiega facilmente, se si osserva che in generale la risposta in frequenzaH( f ) di un sistema LTI coincide conla trasformata di Fourier della sua risposta impulsivah(t), che per un sistema RC ha l’espressioneh(t) =1

RC e−t/RCu(t), ovvero si può vedere come un caso particolare del segnale (6.27) perA = 1RC e T = RC. �

Osserviamo esplicitamente che la prop. 6.7 non può essere applicata a tutti i segnali transitori, inquanto esistono segnali transitori che non risultano sommabili suR. Si consideri ad esempio il segnalex(t) = sinc(t), che non è sommabile in quanto infinitesimo del primo ordine per|t| →+∞. Abbiamovisto tuttavia nell’es. 6.5 che, applicando la proprietà di dualità, è possibile calcolareformalmente latrasformata di Fourier di tale segnale come

x(t) = sinc(t) FT←→ X( f ) = rect( f ) . (6.28)

Tale esempio mostra chiaramente che la sommabilità del segnalex(t) è una condizionesufficientema nonnecessaria per l’esistenza della trasformataX( f ). In altri termini, la trasformata può esistereanche se il segnalex(t), come accade perx(t) = sinc(t), non è sommabile; in questo caso, tuttavia,l’integrale che definisceX( f ) nell’equazione di analisi (6.26) non esiste in senso convenzionale, ma va


interpretato più comunemente nel senso del valore principale di Cauchy, come specificato dal seguenteteorema (si veda [13]):

Teorema 6.1 (esistenza della trasformata di Fourier a TC nel senso del valor principale)Se il segnalex(t) soddisfa le seguenti tre condizioni:

(1) x(t) = a(t) sin(ω0t +ϕ0), conω0,ϕ0 ∈ R;

(2) esiste unt0 ∈ R+ tale che∫|t|>t0

|x(t)||t| dt < +∞ ;

(3) a(t) è una funzione monotona decrescente;

allora la funzionex(t)e− j2π f t è integrabile inR nel senso del valor principale di Cauchy e si ha:

X( f ) = limZ→+∞

∫ Z

−Zx(t)e− j2π f t dt . (6.29)

Si noti che la (6.29) non è altro che l’equazione di analisi (6.7) in cui però l’integrale è interpretato nelsenso del valor principale (di Cauchy). In effetti, i segnali che soddisfano le condizioni del teor. 6.1 sidiconotrasformabili nel senso del valor principale.

� Esempio 6.9 (trasformata di Fourier del segnale sinc a TC)Rivisitiamo la trasformata del segnalex(t) =sinc(t) alla luce del teor. 6.1. Osserviamo chex(t) = sinc(t) soddisfa le condizioni del teor. 6.1 conω0 = π,ϕ0 = 0 ea(t) = 1/(πt); quindi la sua trasformata si ottiene risolvendo l’integrale a valor principale (6.29). Sipuò dimostrare che il risultato di tale calcolo restituisce in realtà la seguente funzione

X( f ) = limZ→+∞

∫ Z

−Zsinc(t)e− j2π f t dt =

1, per−1/2 < f < 1/2;

1/2, per f =±1/2;

0, altrimenti.

che differisce da rect( f ) semplicemente19 per il valore assunto alle frequenzef = ±1/2. Questa differenza èuna conseguenza della scelta (piuttosto arbitraria) di assegnare alla funzione rect(x) il valore unitario nei puntidi discontinuitàx =±1/2. Tuttavia, si osservi che essa non ha alcuna importanza dal punto di vista applicativo,in quanto il valore della trasformata di FourierX( f ) in punti isolati è irrilevante ai fini della sintesi del segnalex(t) (purché ovviamente in tali punti non siamo presenti impulsi di Dirac). �

È interessante osservare che, per la classe di segnali che soddisfano il teor. 6.1, venendo a mancarela sommabilità del segnale nel dominio del tempo, non è più garantita la continuità e/o la proprietàdi convergenza a zero per| f | → +∞ della trasformata di Fourier, che invece valgono per i segnalisommabili (cfr. prop. 6.7). Ad esempio, la trasformataX( f ) = rect( f ) del segnalex(t) = sinc(t) èinfinitesima all’infinito ma non è continua.

Un altro segnale di interesse trasformabile nel senso del valor principale è il segnalex(t) = 1/t, lacui trasformata di Fourier è ricavata nell’esempio seguente.

� Esempio 6.10 (trasformata di Fourier del segnale 1/t)Il segnalex(t) = 1t (fig. 6.6) non è sommabile su

R, in quanto è infinito del primo ordine pert → 0, ed infinitesimo del primo ordine per|t| → +∞. Tuttavia,

19Questo è il motivo per cui, in alcuni testi, si attribuisce alla funzione rect(x) il valore 1/2 nei punti di discontinuità.


esso soddisfa le condizioni del teor. 6.1 perω0 = 0, ϕ0 = π/2 ea(t) = 1/t, per cui è trasformabile nel senso delvalor principale. Applicando la (6.29), si ottiene:

X( f ) = limZ→+∞

∫ Z

−Z

1t

e− j2π f t dt = limZ→+∞

[∫ Z

−Z

cos(2π f t)t

dt− j∫ Z

−Z

sin(2π f t)t

dt

]=− j 2 lim

Z→+∞

∫ Z

0

sin(2π f t)t

dt ,

dove si è sfruttato il fatto che la funzione cos(2π f t)/t è dispari, e quindi il suo integrale sull’intervallo(−Z,Z)è sempre nullo, mentre la funzione sin(2π f t)/t è pari, e quindi il suo integrale sull’intervallo(−Z,Z) è pari aldoppio dell’integrale sull’intervallo(0,Z). Se, nell’ultimo integrale, si effettua il cambio di variabilex = 2 f t⇔dx = 2 f dt, si ottiene dopo qualche semplice manipolazione algebrica:

X( f ) =− j 2π limZ→+∞

∫ 2 f Z

0sinc(x)dx =

− j 2π

∫ +∞

0sinc(x)dx , per f > 0;

0, per f = 0;

j 2π∫ 0

−∞sinc(x)dx , per f < 0.

Ricordando a questo punto che l’area della funzione sinc(x) è unitaria (cfr. es. 6.6), cioè∫ +∞

−∞sinc(x)dx =

∫ 0

−∞sinc(x)dx+

∫ +∞

0sinc(x)dx = 1,

da cui, essendo sinc(x) una funzione pari, si ricava che∫ 0

−∞sinc(x)dx =

∫ +∞

0sinc(x)dx =

12

.

Conseguentemente, si ha:

X( f ) =

− j π, per f > 0;

0, per f = 0;

j π, per f < 0;

(6.30)

o, più sinteticamente,

X( f ) =− j πsgn( f ) . (6.31)

Si osservi in effetti che la (6.31) differisce dalla (6.30) per il valore assunto inf = 0: nella (6.30), il valorein f = 0 è nullo; mentre nella (6.31), il valore inf = 0 è uguale aπ/2. Questa differenza è una conseguenzadella scelta20 (piuttosto arbitraria) di assegnare alla funzione sgn(x) (cfr. es. 2.16) il valore unitario nel puntodi discontinuitàx = 0. Tuttavia, come già osservato precedentemente a proposito della finestra rettangolare(cfr. es. 6.9), questa differenza è del tutto inessenziale ai fini della sintesi del segnalex(t). In definitiva, possiamoquindi scrivere la seguente trasformata notevole:

x(t) =1t

FT←→ X( f ) =− j πsgn( f ) . (6.32)

La trasformata di FourierX( f ) è una funzione puramente immaginaria (la parte reale è identicamente nulla).Gli spettri di ampiezza e fase sono dati da:

|X( f )|= π e �X( f ) =

{−π

2 , per f ≥ 0;π2 , per f < 0;

20Questo è il motivo per cui, in alcuni testi, si attribuisce alla funzione sgn(x) il valore zero nel punto di discontinuità.


−5 0 5−5

0

5

t

x(t)

Fig. 6.6. Il segnalex(t) = 1/t (es. 6.10).

−6 −4 −2 0 2 4 60

1

2

3

f

|X(f

)|

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

0

1

f

∠ X

(f)

Fig. 6.7. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase(in basso) della trasformata di FourierX( f ) delsegnalex(t) = 1/t (es. 6.10).

e sono rappresentati graficamente in fig. 6.7 [si noti che lo spettro di fase si può scrivere sinteticamente come�X( f ) =−π

2 sgn( f )]. Notiamo che tali spettri presentano le simmetrie tipiche della trasformata di Fourier di unsegnale reale (simmetria hermitiana). La formacostante dello spettro di ampiezza evidenzia in particolare che ilsegnalex(t) = 1/t ha un contenuto spettrale significativo atutte le possibili frequenzef : come vedremo, si trattadi un primo esempio di segnale aventebanda non limitata. Infine, dal punto di vista matematico, è interessanteosservare che, poichè il segnalex(t) non è sommabile, la trasformata dix(t), oltre ad essere discontinua, non èneanche infinitesima all’infinito. �

Consideriamo ora il problema dell’invertibilità della trasformata di Fourier, limitando per il momentola nostra attenzione al caso dei segnali sommabili, per i quali vale la prop. 6.7. Malgrado la somi-glianza formale tra l’equazione di analisi (6.7) e di sintesi (6.8), i problemi di carattere matematicoad esse associati sono diversi: l’equazione di analisi è ladefinizione della funzioneX( f ), e l’integraleche la definisce esiste in senso ordinario sex(t) è sommabile; l’equazione di sintesi impone inveceche l’integrale

x̌(t)�=∫ +∞

−∞X( f )e j2π f t d f , (6.33)

esista in qualche senso e sia uguale al segnale di partenzax(t) (non è quindi la semplice definizionedi una funzione), pertanto affinchè questa uguaglianza sia verificata è necessario imporre chex(t)soddisfi, oltre alla sommabilità, ulteriori condizioni. Le condizioni aggiuntive da imporre dipendonodal tipo di uguaglianza che si desidera imporre tra l’integrale (6.33) e il segnalex(t). Inoltre, poichè ingenerale la sommabilità dix(t) non garantisce la sommabilità della sua trasformataX( f ), l’integrale(6.33) può non esistere in senso ordinario. In analogia a quanto fatto per la serie di Fourier a TC, si puòconsiderare il problema della convergenza puntuale dell’integrale (6.33) al segnalex(t), trovando sottoquali condizioni l’uguaglianza ˇx(t) = x(t) sussiste per tutti i valori dit ∈R, eccetto che per i valori dit appartenenti ad un insieme di misura nulla, per i quali l’integrale (6.33), pur essendo convergente,non restituisce esattamente il segnalex(t). Come per la serie di Fourier a TC, questo problema èstato affrontato e risolto dal matematico tedesco J. P. G. L. Dirichlet, il quale individuò le condizionimatematiche che prendono il suo nome e garantiscono che, una volta calcolata la trasformataX( f )a partire dal segnalex(t), l’integrale (6.33), inteso più in generale nel senso del valore principale diCauchy, converga al segnale da rappresentarex(t), tranne che nei punti di discontinuità:


Teorema 6.2 (condizioni di Dirichlet per la trasformata di Fourier a TC)Se il segnalex(t) soddisfa le seguenti tre condizioni:

(d1) x(t) è sommabile suR:∫ +∞

−∞|x(t)| dt < +∞ ;

(d2) x(t) è una funzione continua in ogni intervallo finito, escluso al più un numerofinito dipunti con discontinuità di prima specie;

(d3) x(t) è una funzione derivabile in ogni intervallo finito, escluso al più un numerofinito dipunti nei quali esistono finite la derivata sinistra e destra;

allora la funzioneX( f )e j2π f t è integrabile inR nel senso del valor principale di Cauchy, e si ha:

limZ→+∞

∫ Z

−ZX( f )e j2π f t d f =

12

[x(t+)+ x(t−)

], ∀t ∈ R . (6.34)

In altre parole, il teor. 6.2 stabilisce che l’integrale a valor principale di Cauchy21 (6.33) restituisce ilvalore assunto dal segnalex(t) nei punti in cui questo è continuo, mentre è uguale alla semisommadei limiti destro e sinistro nei punti in cuix(t) presenta discontinuità di prima specie.22 Ad esempio,applicando questo risultato al caso della finestra rettangolare, si ottiene23 che:

limZ→+∞

∫ Z

−Zsinc( f )e j2π f t d f =

1, per−1/2 < t < 1/2;

1/2, pert =±1/2;

0, altrimenti.

(6.35)

Consideriamo adesso il problema dell’invertibilità della trasformata di Fourier per i segnali transitorinon sommabili, che però sono trasformabili nel senso del valor principale, in quanto soddisfano lecondizioni del teor. 6.1. Si può dimostrare [10] che la tesi del teor. 6.2, cioè la formula di inversione(6.34), è ancora valida se:

• al posto della condizione (d1), il segnalex(t) soddisfa le condizioni (1), (2) e (3) del teor. 6.1;

• su ogni intervallo finito, il segnalex(t) presenta un numero finito didiscontinuità di secondaspecie (uno o entrambi i limiti destro e sinistro non esistono o non sono finiti); in tal caso, ilsegnalex(t) deve soddisfare le condizioni (d2) e (d3), escluso ogni intorno qualsivoglia piccolocontenente i punti di discontinuità di seconda specie.

In questo caso più generale, la (6.34) è ovviamente valida per tutti i punti dell’asse reale in cui esistonofiniti i limiti destro e sinistro del segnalex(t). Sulla base di questo risultato, è facile verificare che,nel caso ad esempio del segnalex(t) = sinc(t), la formula di inversione (6.34) restituisce il segnale

21Se la funzioneX( f )e j2π f t è integrabile inR, l’integrale (6.33) esiste in senso ordinario e il suo valore è pari a quellodel corrispondente valor principale di Cauchy. Ricordiamo che il viceversa non è vero: il valor principale di Cauchydell’integrale (6.33) può esistere anche quando l’integrale ordinario non esiste.

22Similmente alla serie di Fourier a TC, la presenza di discontinuità di prima specie nel segnalex(t) determina il cosiddet-to fenomeno di Gibbs quando il segnalex(t) è approssimativamente ricostruito troncando l’integrale (6.33) ad un intervallofinito del tipo(−Z/2,Z/2).

23Notiamo che il risultato dell’es. 6.9 si può ottenere applicando la (6.35) e scambiando i ruoli del tempo e della frequenza.


di partenza per ognit ∈ R; mentre, nel caso del segnalex(t) = 1/t, la (6.34) sintetizza il segnaleassegnato in tutti i punti dell’asse reale, tranne che nel puntot = 0, dovex(t) presenta una discontnuitàdi seconda specie.

Come considerazione conclusiva, si osservi che, similmente alla serie di Fourier, se non si richiedeche l’equazione di sintesi (6.8) riproduca esattamente il segnale di partenzax(t) in tutti i punti (ecce-zion fatta eventualmente per i punti di discontinuità di prima e seconda specie), la rappresentazionedi Fourier può essere estesa più in generale ai segnalix(t) di energia; in questo caso, tuttavia, la con-vergenza degli integrali di analisi e di sintesi è da intendersi in media quadratica. Il problema dellaconvergenza in media quadratica della rappresentazione di Fourier a TC è discusso in app. F.

Segnali TC persistenti

Abbiamo visto che una condizione sufficiente (ma non necessaria) per l’esistenza della trasformatadi FourierX( f ) di un segnalex(t) è quella chex(t) sia sommabile oppure, più in generale, verifichile condizioni enunciate nel teor. 6.1. Tali condizioninon sono soddisfatte dai segnali persistenti diinteresse, quali, ad esempio, il segnale costante, il gradino e tutti i segnali periodici. Sorge allorail problema di generalizzare opportunamente la definizione di trasformata di Fourier in modo cheessa possa essere applicata anche alla classe dei segnali persistenti, che racchiude l’importante sot-toclasse dei segnali di potenza. A differenza dei casi esaminati nel paragrafo precedente, i segnalipersistenti non sono in generale trasformabili in senso ordinario, il che significa che nella loro tra-sformata, qualora esista, possono comparire degli impulsi di Dirac. È bene notare però che non tutti isegnali persistenti hanno trasformata di Fourier contenente impulsi di Dirac, come mostra il seguenteesempio.

� Esempio 6.11 (trasformata di Fourier del segnale signum a TC)Si consideri il segnalex(t) = sgn(t), cheè un segnale persistente, e quindi non trasformabile in senso ordinario (neppure a valor principale). La suatrasformata di Fourier si può ottenere però formalmente applicando la proprietà di dualità. Infatti, nell’es. 6.10,abbiamo dimostrato la seguente trasformata notevole:

x(t) =1t

FT←→ X( f ) =− j πsgn( f ) ,

dalla quale, invocando prima la proprietà di dualità e poi quella di linearità della trasformata di Fourier, siottiene facilmente la seguente coppia segnale-trasformata:

x(t) = sgn(t) FT←→ X( f ) =1

j π f. (6.36)

Si noti chex(t) = sgn(t), pur essendo un segnale persistente, ha una trasformata ordinaria, non contenente cioèfunzioni generalizzate. Per quanto riguarda gli spettri di ampiezza e di fase, si ha

|X( f )|= 1π| f | e �X( f ) =−� jπ f =−π

2−� f =

{−π

2 , per f > 0 ;

+π2 , per f < 0 ;

che sono rappresentati graficamente in fig. 6.8 [si noti che la fase si può scrivere sinteticamente come�X( f ) =−π

2 sgn( f )]. Anche in questo caso, gli spettri soddisfano le proprietà di simmetria caratteristiche delle trasfor-mate di segnali reali. Dallo spettro di ampiezza, si nota chex(t) = sgn(t) ha uno spettro concentrato intornoalle basse frequenze, ma che perf → 0 si ha che limf→0 |X( f )|= +∞. Si noti che questo è uno di casi in cui laproprietà del valore nell’origine della trasformata di Fourier non vale formalmente, in quanto mentre l’area delsegnalex(t) = sgn(t) nel dominio del tempo (nel senso a valor principale) è nulla, risulta invece che il valorenell’origine di X( f ) diverge in modulo. �

La trattazione rigorosa della trasformata di Fourier per segnali persistenti o, più in generale, nontrasformabili in senso ordinario prevede l’uso di strumenti matematici avanzati, quali la teoria delle


−3 −2 −1 0 1 2 30

2

4

f

|X(f

)|

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

0

1

f

∠ X

(f)

Fig. 6.8. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase(in basso) della trasformata di FourierX( f ) delsegnalex(t) = sgn(t) (es. 6.11).

−2 −1 0 1 20

0.5

1

f

|X(f

)|

−2 −1 0 1 2

−5

0

5

f

∠ X

(f)

Fig. 6.9. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase(in basso) della trasformata di FourierX( f ) delsegnalex(t) = δ(t− t0) pert0 = 0.5 (es. 6.12).

distribuzioni.24 Poichè l’enfasi della teoria dei segnali e dei sistemi è sulle applicazioni piuttosto chesulla teoria pura, qui ci baseremo invece su un approccio alternativo, che richiede solo una conoscenzaoperativa delle principali proprietà dell’impulso di Dirac e della trasformata di Fourier. Per applicaretale approccio, il punto di partenza è proprio il calcolo della trasformata di Fourier dell’impulso diDirac.

� Esempio 6.12 (trasformata di Fourier dell’impulso di Dirac a TC) Calcoliamo la trasformata di Fourierdel segnalex(t) = δ(t− t0) (impulso di Dirac di area unitaria centrato int0 ∈R). La trasformata di tale segnaleè data per definizione dal seguente integrale:

X( f ) =∫ +∞

−∞δ(t− t0)e− j2π f t dt .

Poichè l’impulso di Dirac è una distribuzione, tale integrale non ha alcun significato in senso ordinario. Tuttavia,ricorrendo alla proprietà di campionamento dell’impulso di Dirac [cfr. prop. 2.2(b)], si ottiene facilmente che:

x(t) = δ(t− t0)FT←→ X( f ) = e− j2π f t0 . (6.37)

Gli spettri di ampiezza e fase sono dati da

|X( f )|= 1 e �X( f ) =−2π f t0

e sono riportati in fig. 6.9 pert0 = 0.5. Si noti che lo spettro di ampiezza è costante, mentre lo spettro difase varia linearmente con la frequenza, con una pendenza che dipende dal valore del ritardo/anticipot0. Se siparticolarizza la (6.37) al casot0 = 0, si ottiene la seguente trasformata notevole:

x(t) = δ(t) FT←→ X( f ) = 1, (6.38)

ovvero la trasformata di un impulso di Dirac centrato nell’origine avente area unitaria è uguale ad uno su tuttol’asse delle frequenze. Da questo punto di vista, come il segnalex(t) = 1/t, l’impulso di Dirac è caratterizzatoda un contributo spettrale significativo a tutte le possibili frequenze.

24In taluni casi è possibile calcolare la trasformata di un segnale persistente ricorrendo a procedure al limite, per il cui usorigoroso occorre introdurre il concetto di limite di una distribuzione (esempi di calcolo al limite della trasformata di Fouriera TC sono presentati in app. F).


Dal punto di vista matematico, è interessante osservare che l’equazione di sintesi corrispondente alla (6.38)assume la seguente forma:

δ(t) =∫ +∞

−∞e j2π f t dt , (6.39)

dove l’uguaglianza tra il primo e il secondo membro è valida solo nel senso delle distribuzioni, in quantol’integrale che vi compare non è definito in senso ordinario per nessun valore dit: basta notare infatti che∫ +∞

−∞e j2π f td f =

∫ +∞

−∞cos(2π f t)d f + j

∫ +∞

−∞sin(2π f t)d f ,

e che nessuno dei due ultimi integrali esiste in quanto le funzioni integrande non sono infinitesime per| f |→+∞.La (6.39) evidenzia un legame notevole tra impulso di Dirac e fasori e, dal punto di vista della rappresentazio-ne di Fourier, mostra che il segnalex(t) = δ(t) si può rappresentare come sovrapposizione nel continuo diesponenziali complessi aventi tutti lo stesso pesoX( f ) = 1,∀ f ∈ R. �

L’impulso di Dirac x(t) = δ(t), considerato nell’es. 6.12, assomiglia più ad un segnale transitorioche ad un segnale persistente, in quanto una sua possibile interpretazione intuitiva è quella di unsegnale “concentrato” nel puntot = 0, ed avente quindi durata nulla. Tuttavia la sua trasformata (6.38)consente di calcolare direttamente la trasformata di due segnali TC persistenti di notevole interesse: ilsegnale costante ed il gradino.

� Esempio 6.13 (trasformata di Fourier del segnale costante a TC)Il calcolo della trasformata di Fourierdel segnale costantex(t) = 1 si ottiene facilmente applicando la proprietà di dualità alla trasformata notevole

x(t) = δ(t) FT←→ X( f ) = 1 ricavata nell’es. 6.12. Si trova infatti

x(t) = 1FT←→ X( f ) = δ(− f ) = δ( f ) ,

dove abbiamo sfruttato la proprietà di parità della delta di Dirac [cfr. prop. 2.2(d)]. In definitiva, si ha

x(t) = 1FT←→ X( f ) = δ( f ) . (6.40)

Ricorrendo alla interpretazione intuitiva della delta di Dirac come funzione nulla ovunque tranne che nel pun-to di applicazione, la (6.40) mostra che il contenuto spettrale di un segnale costante è tutto concentrato allafrequenzaf = 0. �

� Esempio 6.14 (trasformata di Fourier del gradino TC) Calcoliamo la trasformata di Fourier del segnalegradino unitariox(t) = u(t). Anziché calcolare direttamente tale trasformata, utilizziamo le trasformate calco-late finora e le proprietà della trasformata di Fourier. A tale proposito, sfruttando la decomposizione del gradinoin componente continua e alternata (cfr. es. 2.20), possiamo scrivere che:

x(t) = u(t) =12

+12

sgn(t) ,

da cui, in virtù della proprietà di linearità della trasformata di Fourier, segue che:

X( f ) = F

[12

]+

12

F[sgn(t)] .

Utilizzando le trasformate (6.36) e (6.40), si ottiene in definitiva la seguente relazione:

x(t) = u(t) FT←→ X( f ) =12

δ( f )+1

j 2π f. (6.41)

La trasformata del gradino TC è composta da una parte ordinaria (il secondo addendo) a cui si somma una parteimpulsiva (il primo addendo). Data la presenza della componente impulsiva, il calcolo dello spettro di ampiezza


1

f

X(f

)

Fig. 6.10.Trasformata di FourierX( f ) delsegnalex(t) = 1 (es. 6.13).

f0

1

f

X(f

)

Fig. 6.11.Trasformata di FourierX( f ) delsegnalex(t) = e j2π f0t ( f0 > 0) (es. 6.15).

e di fase può risultare di difficile interpretazione, per cui non è possibile fornire una rappresentazione graficasignificativa diX( f ). La parte impulsiva porta in conto la presenza nel gradino di un segnale costante (la suacomponente continuaxdc), mentre per quanto riguarda la parte ordinaria, poiché essa coincide con la trasformatadi sgn(t) (a meno di un fattore 1/2), valgono considerazioni analoghe a quelle già fatte per quest’ultimo segnale(cfr. es. 6.11). �Nei due esempi che seguono, utilizzando la trasformata di Fourier (6.37) della delta di Dirac traslata(cfr. es. 6.12), sono calcolate le trasformate di altri due segnali TC persistenti che ricorrono spessonella teoria dei segnali e sistemi, vale a dire il fasore e la sinusoide.

� Esempio 6.15 (trasformata di Fourier del fasore a TC) Il calcolo della trasformata di Fourier del fasorex(t) = e j2π f0t , con f0 ∈R, si può ottenere facilmente applicando la proprietà di dualità alla trasformata notevole

x(t) = δ(t− t0)FT←→ X( f ) = e− j2π f t0 ricavata nell’es. 6.12. Si ha infatti

x(t) = e− j2πtt0 FT←→ δ(− f − t0) .

Per eliminare l’inconsistenza dimensionale della relazione precedente, effettuiamo la sostituzione formalef0→−t0 ed applichiamo la proprietà di parità [cfr. prop. 2.2(d)] della delta di Dirac:

x(t) = e j2π f0t FT←→ X( f ) = δ(− f + f0) = δ( f − f0) ,

per cui si ha in definitiva

x(t) = e j2π f0t FT←→ X( f ) = δ( f − f0) . (6.42)

Tale trasformata di Fourier è rappresentata simbolicamente in fig. 6.11. Notiamo che la trasformata di unsegnale costante (6.40) può ottenersi anche come caso particolare della (6.42) perf0 = 0.

Ricorrendo alla interpretazione intuitiva della delta di Dirac come funzione nulla ovunque tranne che nelpunto di applicazione, la (6.42) mostra che il contenuto spettrale di un fasore a frequenzaf0 (ricordiamo che sitratta di un segnale periodico di periodoT0 = 1/| f0|) è concentrato alla frequenzaf0; in questo caso, si suoledire chex(t) = e j2π f0t presenta nel dominio della frequenza una “riga” spettrale – ossia un impulso – centratoalla frequenza del fasore.25 Come vedremo nel § 6.6, la natura a righe dello spettro è una peculiarità di tutti isegnali periodici. �

25Un segnale come il fasore viene anche chiamato, con terminologia mutuata dall’ottica, “monocromatico”, in quantola luce è normalmente composta da radiazioni a differenti lunghezze d’onda (e quindi a differenti frequenze, stante larelazioneλ = c/ f di inversa proporzionalità tra lunghezza d’ondaλ e frequenzaf , conc velocità della luce nel mezzo),mentre un raggio di un particolare “colore” (monocromatico, per l’appunto) contiene esclusivamente radiazioni ad unasingola lunghezza d’onda (e quindi ad una singola frequenza).


f0

−f0

A/2

f

X(f

)

Fig. 6.12.Trasformata di FourierX( f ) delsegnalex(t) = A cos(2π f0t) (es. 6.16).

f0

−f0

A/(2j)

−A/(2j)

f

X(f

)

Fig. 6.13.Trasformata di FourierX( f ) delsegnalex(t) = A sin(2π f0t) (es. 6.16).

� Esempio 6.16 (trasformata di Fourier del segnale sinusoidale TC)Il segnalex(t) = A cos(2π f0t + ϕ0),conA, f0,ϕ0 ∈ R, è un segnale persistente periodico, di periodoT0 = 1/| f0|. Anche in questo caso, il calcolodiretto della trasformata dix(t) si può evitare, osservando che, in virtù delle formule di Eulero, tale segnale sipuò decomporre nella combinazione lineare di due fasori a frequenze± f0, ossia:

x(t) = A cos(2π f0t +ϕ0) =A2

e jϕ0 e j2π f0t +A2

e− jϕ0 e− j2π f0t .

Applicando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier, si ottiene:

X( f ) =A2

e jϕ0 F[e j2π f0t ]+A2

e− jϕ0 F[e− j2π f0t ] .

Utilizzando due volte la trasformata (6.42) per i fasori a frequenzaf0 e− f0, si ha:

x(t) = A cos(2π f0t +ϕ0)FT←→ X( f ) =

A2

e jϕ0 δ( f − f0)+A2

e− jϕ0 δ( f + f0) . (6.43)

Dalla fig. 6.12, nella quale è rappresentato tale spettro perϕ0 = 0, è possibile notare che la trasformata diFourier del segnale sinusoidale è costituita da due righe spettrali, alle frequenze± f0. Notiamo che in generalel’area dell’impulso a frequenzaf0 è A

2 e jϕ0, mentre quella dell’impulso a frequenza− f0 è A2 e− jϕ0: tali aree

sonocomplesse coniugate l’una dell’altra, di modo che la trasformata di FourierX( f ) soddisfi comunque lasimmetria hermitiana caratteristica dei segnalix(t) reali.

Analogamente, se si considera l’espressione alternativa di un segnale sinusoidalex(t) = A sin(2π f0t +ϕ0)ottenuta utilizzando la funzione sin(x), applicando le formule di Eulero, si ha:

x(t) = A sin(2π f0t +ϕ0) =A2 j

e jϕ0 e j2π f0t − A2 j

e− jϕ0 e− j2π f0t .


X( f ) =A2 j

e jϕ0 F[e j2π f0t ]− A2 j

e− jϕ0 F[e− j2π f0t ] .

Utilizzando due volte la trasformata (6.42) per i fasori a frequenzaf0 e− f0, si ha

x(t) = A sin(2π f0t +ϕ0)FT←→ X( f ) =

A2 j

e jϕ0 δ( f − f0)− A2 j

e− jϕ0 δ( f + f0) . (6.44)

In questo caso, la trasformata di Fourier del segnale sinusoidale TC è costituita da due righe spettrali allefrequenze± f0. Si noti ancora che le aree sottese dai due impulsi (A

2 j e jϕ0 per l’impulso a frequenzaf0 e


− A2 j e− jϕ0 per l’impulso a frequenza− f0) sono complesse coniugate l’una dell’altra, di modo che la proprietà

di simmetria hermitiana della trasformata di Fourier di un segnale reale sia verificata. Nel caso particolareϕ0 = 0, le aree dei due impulsi nella (6.44), sebbene complesse, differiscono semplicemente per un segno,per cui spesso si ricorre alla rappresentazione convenzionale dello spettro riportata in fig. 6.12. Si noti infineche la differenza tra le (6.44) e (6.43) è piuttosto artificiosa, in quanto i segnalix(t) = A cos(2π f0t + ϕ0) ex(t) = A sin(2π f0t +ϕ0) si possono ottenere l’uno dall’altro ponendo opportunamenteϕ0 =±π

2 , per cui anchele trasformate (6.43) e (6.44) si ottengono l’una dall’altra perϕ0 =±π

2 . �


6.3.2 Segnali TD

Rispetto al caso dei segnali TC, il problema dell’esistenza e dell’invertibilità della trasformata diFourier dei segnali TD è più semplice da studiare matematicamente. Il punto di partenza è ancoralo studio dell’esistenza, ovvero della validità dell’equazione di analisi (6.11), che riportiamo qui percomodità

X(ν) =+∞

∑n=−∞

x(n)e− j2πνn . (6.45)

Affinchè la serie di funzioni a secondo membro della (6.45) converga in senso ordinario, il segnalex(n) deve necessariamente essere infinitesimo all’infinito:

lim|n|→+∞

x(n) = 0. (6.46)

Poiché solo i segnali transitori (di durata limitata) soddisfano la (6.46), similmente a quanto fatto nelcaso TC conviene studiare separatamente il caso dei segnali TD transitori e quello dei segnali TDpersistenti.

6.3.3 Segnali TD transitori

Consideriamo prima il problema dell’esistenza della trasformata di Fourier per un segnale TD transi-torio. Se il segnale transitorio, oltre a soddisfare la (6.46), è anchesommabile, nel senso che

+∞

∑n=−∞

|x(n)|< +∞ , (6.47)

allora è possibile provare facilmente, a partire dalla (6.45), che vale la seguente disuguaglianza:

|X(ν)|=∣∣∣∣∣ +∞

∑n=−∞

x(n)e− j2πνndν

∣∣∣∣∣≤ +∞

∑n=−∞

|x(n)| ∣∣e− j2πνn∣∣︸︷︷︸

=1

dν =+∞

∑n=−∞

|x(n)|< +∞ ,

da cui si ricava che la trasformata di Fourier esiste ed assume valori limitati, cioè|X(ν)| < +∞,∀ν ∈ R. In termini matematici, ciò significa che la serie di funzioni (6.45) che definisceX(ν) èsicuramente convergente. In realtà, si può dimostrare che vale una proprietà più forte: sex(n) èsommabile (simbolicamente,x(n) ∈ �1), la serie di funzioni al secondo membro della (6.45)convergeuniformemente per ν ∈ (−1/2,1/2) (e quindi in tuttoR, per la periodicità) ad una funzioneX(ν)continua.

La sommabilità del segnalex(n) gioca un ruolo fondamentale anche nello studio dell’invertibilitàdella trasformata di Fourier a TD. Notiamo anzitutto che tale studio è più semplice nel caso TD rispettoa quello TC. Infatti, come conseguenza della periodicità diX(ν), il segnalex(n) espresso mediantel’equazione di sintesi (6.12), che riportiamo qui per comodità

x(n) =∫ 1/2

−1/2X(ν)e j2πνn dν , (6.48)

si ottiene mediante integrazione su un intervallo di misurafinita (unitaria), e non infinita come nell’e-quazione di sintesi (6.8) per il caso TC. Per verificare direttamente l’invertibilità, sostituiamo laX(ν)espressa dalla (6.45) (dopo aver effettuato il cambio di variabilem→ n) nella (6.48), ottenendo così:

x̌(n) =∫ 1/2

−1/2

(+∞

∑m=−∞

x(m)e− j2πνm

)e j2πνn dν . (6.49)


Si noti che nella (6.49) abbiamo denotato con ˇx(n) il segnale restituito dall’equazione di sintesi, inquanto esso può esserediverso dal segnalex(n) originariamente utilizzato nell’equazione di analisi(6.45) per calcolare la trasformataX(ν). Studiare l’invertibilità significa determinare sotto quali con-dizioni risulta x̌(n) = x(n), ∀n ∈ Z, nella (6.49). Abbiamo visto precedentemente che, se il segnalex(n) è sommabile, la serie che definisceX(ν) converge uniformemente, per cui essa può essere inte-grata termine a termine. Ciò equivale a scambiare l’ordine di integrazione con quello di sommatorianella (6.49), scrivendo quindi:

x̌(n) =+∞

∑m=−∞

x(m)(∫ 1/2

−1/2e j2πν(n−m) dν

).

Calcolando l’integrale tra parentesi, e ricordando la definizione e le proprietà di sinc(x), si ha:∫ 1/2

−1/2e j2πν(n−m) dν =

sin[π(n−m)]π(n−m)

= sinc(n−m) = δ(n−m) ,

da cui si ottiene semplicemente:

x̌(n) =+∞

∑m=−∞

x(m)δ(n−m) = x(n) , ∀n ∈ Z . (6.50)

Il risultato ottenuto è particolarmente significativo, in quanto prova che sex(n) è un segnale sommabi-le, non solo la trasformata di FourierX(ν) esiste, ma è anche invertibile, nel senso che l’equazione disintesi restituisce esattamente il segnalex(n), ∀n ∈ Z. In definitiva, mettendo insieme i risultati otte-nuti sull’esistenza e l’invertibilità della trasformata di Fourier per i segnalix(n) sommabili, possiamoenunciare la seguente proprietà notevole:

Proprietà 6.8 (trasformata di Fourier a TD di un segnale sommabile)(i) Se il segnalex(n) è sommabile, la serie che definisce l’equazione di analisi (6.11) conver-

ge uniformemente inR e la trasformata di FourierX(ν) del segnalex(n) è una funzionecontinua.

(ii) Se X(ν) è la trasformata di Fourier di un segnalex(n) sommabile, l’equazione di sintesi(6.12) restituiscex(n), ∀n ∈ Z.

Si noti la già citata semplificazione matematica rispetto al caso di segnali TC: nel caso TC, la som-mabilità garantisce solo l’esistenza della trasformata di Fourier, mentre per l’invertibilità occorre ri-chiedere che valgano condizioni aggiuntive (ad esempio, le condizioni di Dirichlet, cfr. teor. 6.2);invece nel caso dei segnali TD,la sommabilità di x(n) assicura sia l’esistenza che l’invertibilità dellatrasformata di Fourier.

All’insieme �1 dei segnali TD (ovvero delle successioni) sommabili appartengonotutti i segnalidi durata rigorosamente limitata, quali, ad esempio, la finestra rettangolare (cfr. es. 6.2) e quella diBartlett (la cui trasformata sarà calcolata successivamente, cfr. es. 6.38). È interessante osservare chel’impulso TD è anch’esso un segnale (ordinario) sommabile e, quindi, a differenza dell’impulso TC(impulso di Dirac), la sua trasformata di Fourier esiste in senso ordinario.

� Esempio 6.17 (trasformata di Fourier dell’impulso TD) A differenza dell’impulso TC, che è definito at-traverso una funzione generalizzata (la delta di Dirac), l’impulso TDx(n) = δ(n) è una funzione ordinaria. Ineffetti, esso si può vedere come una finestra rettangolare di durataN = 1, si ha cioèδ(n) ≡ R1(n). Conse-guentemente, la sua trasformata di Fourier si può ottenere come un caso particolare della trasformata diR1(n)ricavata nell’es. 6.2. Poiché risulta

x(n) = R1(n) FT←→ X(ν) = D1(ν) ,


ricordando la definizione della funzione di Dirichlet si ha

D1(ν) =sin(πνN)sin(πν)

e− j(N−1)πν∣∣∣∣N=1

=sin(πν)sin(πν)

= 1,

per cui anche nel caso TD la trasformata dell’impulso è la costante unitaria, vale cioè la trasformata notevole

x(n) = δ(n) FT←→ X(ν) = 1, (6.51)

simile formalmente a quella ricavata nel caso TC per la delta di Dirac. Come nel caso TC, osserviamo chel’impulso TD presenta, nel dominio della frequenza, un contenuto spettrale significativo a tutte le possibilifrequenzeν . Tuttavia, a differenza del caso TC, esso può essere rappresentato dai fasorie j2πνn di ampiezzacostante con frequenze|ν | ≤ 1

2, in quantoX(ν) = 1 si può vedere ancora come una funzione periodica diperiodo 1. In effetti, a differenza del caso TC in cui l’equazione di sintesi (6.33) va interpretata nel senso delledistribuzioni, la validità dell’equazione di sintesi per l’impulso TD può essere verificata direttamente, in quantosi ha:

F−1[1] =∫ 1/2

−1/2e j2πνn dν =

∫ 1/2

−1/2dν = 1, pern = 0;[

e j2πνn

j2πn

]ν=1/2

ν=−1/2=

1j2πn

(e jπn− e− jπn)= 0, pern �= 0;

e quindi si ha effettivamente cheδ(n) =∫ 1/2−1/2 e j2πνn dν , come previsto dalla prop. 6.8 [punto (ii)]. �

Appartengono all’insieme�1 dei segnali sommabili anche tutti quei segnali di durata praticamentelimitata che tendono a zero per|n| →+∞ con sufficiente rapidità, in modo da soddisfare la (6.47). Unesempio di segnale appartenente a questa famiglia è l’esponenziale monolatero decrescente.

� Esempio 6.18 (trasformata di Fourier dell’esponenziale monolatero decrescente TD)Consideriamo l’e-sponenziale monolatero TDx(n) = Aan u(n), conA ∈ R e 0< |a|< 1. Si tratta di un segnale di durata pratica-mente limitata e sommabile (la sommabilità è garantita dal’ipotesi|a| < 1). Sostituendo l’espressione dix(n)nell’equazione di analisi (6.11), si ha:

X(ν) = A+∞

∑n=0

an e− j2πνn = A+∞

∑n=0

(ae− j2πν)n .

L’espressione precedente è una serie geometrica la cui ragioneae− j2πν è in modulo strettamente minore di uno,in quanto|ae− j2πν| = |a| < 1 per ipotesi. Ricordando l’espressione della somma di una serie geometrica, siottiene la seguente trasformata notevole:

x(n) = Aan u(n) FT←→ X(ν) =A

1−ae− j2πν . (6.52)

La trasformata di Fourier di un esponenziale monolatero decrescente è una funzione periodica di periodo uni-tario a valori complessi e, in accordo con la prop. 6.8, è limitata e continua. È interessante osservare che latrasformata (6.52) può essere interpretata come la risposta in frequenzaH(ν) di un sistema AR del primo ordi-ne (cfr. es. 4.20), il cui legame i-u è descritto dall’equazione alle differenzey(n) = ay(n−1)+bx(n), conb = A;conseguentemente, ricordando che la risposta in frequenza è la trasformata di Fourier della risposta impulsiva,il segnalex(n) può essere visto come la risposta impulsivah(n) del sistema (cfr. es. 4.17). Si osservi inoltre che,nell’es. 4.20, la risposta in frequenzaH(ν) del sistema AR del primo ordine non è stata calcolata direttamentea partire dah(n) come è stato qui fatto conX(ν) a partire dax(n), ma è stata invece calcolata indirettamentesfruttando la proprietà della risposta ad un fasore di un sistema LTI (cfr. prop. 4.10).

AssumendoA > 0, gli spettri di ampiezza e fase del segnalex(n) considerato sono dati da:

|X(ν)|= A√[1−a cos(2πν)]2 +a2sin2(2πν)

=A√

1+a2−2a cos(2πν),

�X(ν) =−arctan

[a sin(2πν)

1−a cos(2πν)

],


−1 −0.5 0 0.5 10

1

2

ν

|X(ν

)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

0

1

ν

∠ X

(ν)

Fig. 6.14.Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (inbasso) delle trasformata di FourierX(ν) dell’espo-nenziale monolaterox(n) = Aan u(n) per A = 1 ea = 0.5 (es. 6.18).

−1 −0.5 0 0.5 10

1

2

ν

|X(ν

)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

0

1

ν

∠ X

(ν)

Fig. 6.15.Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (inbasso) delle trasformata di FourierX(ν) dell’espo-nenziale monolaterox(n) = Aan u(n) per A = 1 ea =−0.5 (es. 6.18).

i cui andamenti sono raffigurati in fig. 6.14 e 6.15, nel caso in cui 0< a < 1 e−1 < a < 0, rispettivamente.Osserviamo che, essendo il segnalex(n) reale, lo spettro di ampiezza è pari e lo spettro di fase è dispari (simme-tria hermitiana, cfr. prop. 6.3). Una differenza importante che emerge dal confronto tra gli spettri di ampiezzaper 0< a < 1 e−1 < a < 0 è il fatto che, nel primo caso, si ha un massimo perν = 0 (e, per la periodicità,per tutti i puntiν = k, k ∈ Z), mentre, nel secondo caso, si ha un massimo perν = 1

2 (e, per la periodicità,per tutti i puntiν = 1

2 + k, k ∈ Z). Ricordando (cfr. § 2.3.3) che nel caso TD le frequenzeν = 12 + k, k ∈ Z,

rappresentano quelle dei fasori più rapidamente variabili (e quindi vanno considerate come lealte frequenze nelcaso TD), possiamo concludere che per−1< a < 0 i fasorie j2πνn che contribuiscono maggiormente alla sintesidel segnale sono quelli ad alta frequenza (vedremo che un segnale di questo tipo si dicead alta frequenza opassaalto), mentre per 0< a < 1 i fasorie j2πνn che contribuiscono maggiormente alla sintesi del segnale sonoquelli a bassa frequenza (vedremo che un segnale di questo tipo si dicea bassa frequenza o passabasso). �

La prop. 6.8 mostra che lo studio dell’esistenza e dell’invertibilità della trasformata di Fourier deisegnali sommabili a TD è particolarmente semplice. Osserviamo però che tale proprietà non puòessere applicata a tutti i segnali transitori, in quanto esistono segnali transitorix(n) che, pur tendendoa zero per|n| →+∞, non risultano sommabili. Tuttavia, il venir meno della sommabilità dix(n) nonsignifica necessariamente che tale segnale non sia rappresentabile secondo Fourier. Infatti, ricordiamoche la sommabilità del segnalex(n) è una condizione sufficiente, ma non necessaria, per l’esistenzaed invertibilità della trasformataX(ν). A supporto di questa affermazione, consideriamo il seguenteesempio, nel quale procediamo in senso contrario a quanto fatto solitamente, ovvero partiamo dallatrasformataX(ν) nel dominio dell frequenza e ricaviamo il segnalex(n) nel dominio del tempo.

� Esempio 6.19 (trasformata di Fourier della sinc a TD) Consideriamo il seguente spettro, periodico di pe-riodo 1:

X(ν) =1

2νcrep1

[rect

(ν

2νc

)]. (6.53)

con 0< νc < 12, rappresentato graficamente in fig. 6.16 perνc = 1

4. Si noti che, a differenza della trasformatadell’impulso TD (cfr. es. 6.17) e dell’esponenziale monolatero decrescente (cfr. es. 6.18), questa trasformata nonè continua, in quanto presenta delle discontinuità di prima specie nei puntiν = ±νc + k, conk ∈ Z. Pertanto,essa non può essere la trasformata di Fourier di un segnale sommabile, in quanto la condizione (i) della prop. 6.8


0.5 1−0.5−1 νc

−νc

1−νc

νc−1

ν

X(ν

)

Fig. 6.16.Spettro del segnalex(n) = sinc(2νcn) perνc = 1

4 (es. 6.19).

−5 0 5

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

Fig. 6.17. Il segnalex(n) = sinc(2νcn) per νc = 14

(es. 6.19).

non è soddisfatta. Ci chiediamo allora se esiste e qual’è il segnale (non sommabile)x(n) che haX(ν) cometrasformata di Fourier. La risposta a questa domanda si ottiene direttamente sostituendo la (6.53) nell’equazionedi sintesi (6.12), e calcolando il corrispondente integrale. Notando che, nel periodoν ∈ (−1/2,1/2), la X(ν)data dalla (6.53) si riduce (fig. 6.16) ad una semplice finestra rettangolare, si ha:

x(n) =∫ 1/2

−1/2

12νc

rect

(ν

2νc

)e j2πνn dν =

12νc

∫ νc

−νc

e j2πνn dν =sin(2πνcn)

2πνcn= sinc(2νcn) .

Si ottiene pertanto la seguente trasformata notevole:

x(n) = sinc(2νcn) FT←→ X(ν) =1

2νcrep1

[rect

(ν

2νc

)]. (6.54)

Osserviamo che il segnalex(n) = sinc(2νcn) (raffigurato in fig. 6.17 perνc = 14) non è effettivamente sommabile

in quanto, pur essendo infinitesimo all’infinito, decade a zero come 1/|n| per |n| → +∞. Questo risultato è inperfetto accordo, come già osservato, con il fatto che siamo partiti da una trasformata discontinua. In particolare,poichéX(ν) è discontinua alle frequenzeν =±νc, si ha che in questo caso la serie di funzioni (6.45) non puòconvergere uniformemente adX(ν), per ν ∈ (−1/2,1/2), in quanto la somma di una serie uniformementeconvergente di funzioni continue (quali sono i fasorie− j2πνn) è sempre una funzione continua. In questo caso,si può dimostrare che la serie di funzioni

+∞

∑n=−∞

sinc(2νcn)e− j2πνn (6.55)

converge uniformemente adX(ν) in ogni intervallo di(−1/2,1/2) che non contiene i punti di discontinuità±νc, mentre la convergenza non è uniforme in ogni intervallo che contiene i punti di discontinuità; in particola-re, in corrispondenza delle frequenzeν =±νc, la serie (6.55) converge al valore1

2[X(ν+)+X(ν−)] = 14νc

. No-tiamo infine che anche nel caso TD la sinc è un segnale a banda rigorosamente limitata, in quanto è rappresentatonel dominio della frequenza esclusivamente dai fasori aventi frequenze|ν | ≤ νc. �

L’es. 6.19 consente di trarre alcune conclusioni importanti. Innanzitutto, il segnale transitoriox(n) =sinc(2νcn), non sommabile, ammette come trasformata di Fourier il segnaleX(ν) ricavato indiretta-mente nell’esempio, a partire dal quale è possibile sintetizzare il segnalex(n) per ognin ∈ Z. Inoltre,come già messo in evidenza nel caso TC, se si rimuove l’ipotesi che il segnalex(n) sia sommabile, nonè più garantita la continuità della sua trasformataX(ν). Infine, si osservi che, se non si richiede che la


serie di funzioni (6.45) converga uniformemente o puntualmente, la trasformata di Fourier a TD esistepiù in generale per segnalix(n) di energia (successioni a quadrato sommabile); in questo caso, tutta-via, la convergenza della (6.45) è da intendersi in media quadratica. Il problema della convergenza inmedia quadratica della trasformata di Fourier a TD è discusso in app. F.

Segnali TD persistenti

Abbiamo osservato che una condizione sufficiente (ma non necessaria) per l’esistenza della trasforma-ta di FourierX(ν) di un segnalex(n) è quella chex(n) sia sommabile, oppure a quadrato sommabile.I segnali persistenti, quali ad esempio il segnale costante e tutti i segnali periodicinon soddisfano talicondizioni. Similmente al caso TC, anche per i segnali TD si pone quindi il problema di estendere larappresentazione di Fourier alla classe dei segnali persistenti e, in particolare, ai segnali di potenza.In alcuni casi, la trasformata di un segnale persistente si può ottenere più in generale ricorrendo a pro-cedure al limite, per il cui uso rigoroso occorre introdurre il concetto di limite di una distribuzione.26

Come fatto nel caso TC, anche per i segnali TD, eviteremo di ricorrere alla teoria delle distribuzioni ecercheremo di calcolare le trasformate di interesse per altra via. Questo compito è più complicato peri segnali TD rispetto ai segnali TC, in quanto nel caso dei segnali TD viene a mancare la proprietà didualità della trasformata di Fourier che, come abbiamo visto nel § 6.3.3, consente invece di calcolareformalmente la trasformata a TC di alcuni segnali persistenti senza dover ricorrere al calcolo diretto.

Il primo segnale persistente di cui calcoleremo la trasformata di Fourier sarà il segnale costante aTD. Per tale calcolo, tuttavia, ci serviremo di un risultato notevole associato alla serie di Fourier di unparticolare segnale periodico TC, denominatopettine di δ, discusso nell’esempio che segue.

� Esempio 6.20 (serie di Fourier a TC del pettine diδ di periodo unitario) Consideriamo il seguente segna-le TC periodico di periodoT0 = 1:

δ̃(t)�= rep1[δ(t)] =

+∞

∑m=−∞

δ(t−m) , (6.56)

ottenuto replicando con passo unitario l’impulso di Dirac centrato nell’origine e avente area unitaria. Talesegnale è anche noto comepettine di δ (in inglese, “comb”) ed è rappresentato simbolicamente in fig. 6.18.Trattandosi di un segnale periodico di periodoT0 = 1 e frequenza fondamentalef0 = 1

T0= 1, il pettine diδ può

essere rappresentato in serie di Fourier come:

δ̃(t) =+∞

∑k=−∞

Xk e j2πkt , (6.57)

dove i coefficienti di Fourier sono dati da:

Xk =∫ 1/2

−1/2δ̃(t)e− j2πkt dt , (6.58)

e come periodo di integrazione abbiamo scelto per convenienza di calcolo l’intervallot ∈ (−1/2,1/2). Sosti-tuendo la (6.56) nell’espressione dei coefficienti di Fourier, si ottiene:

Xk =∫ 1/2

−1/2

[+∞

∑m=−∞

δ(t−m)

]e− j2πkt dt =

+∞

∑m=−∞

∫ 1/2

−1/2δ(t−m)e− j2πkt dt ,

da cui effettuando il cambio di variabileu = t−m segue che:

Xk =+∞

∑m=−∞

∫ 1/2−m

−1/2−mδ(u)e− j2πku e− j2πkm︸︷︷︸

=1

du =+∞

∑m=−∞

∫ 1/2−m

−1/2−mδ(u)e− j2πku du . (6.59)

26Esempi di calcolo al limite della trasformata di Fourier a TD sono presentati in app. F.


Ricordando la proprietà di integrazione definita della delta di Dirac [cfr. prop. 2.2(h)], si ha:

∫ 1/2−m

−1/2−mδ(u)e− j2πku du =

{1, se−1/2−m < 0 < 1/2−m ;

0, altrimenti ;

ovvero∫ 1/2−m


{1, se−1/2 < m < 1/2 ;

0, altrimenti.

L’unico valore dim ∈ Z che soddisfa la disuguaglianza−1/2 < m < 1/2 è il valorem = 0. Pertanto:

∫ 1/2−m


{1, sem = 0 ;

0, altrimenti.

Ciò comporta che l’unico termine della sommatoria che fornisce un contributo non nullo nella (6.59) è quellorelativo adm = 0, per cui

Xk = 1, ∀k ∈ Z .

In altri termini, i coefficienti di Fourier del pettine diδ di periodo unitario sono tutti uguali ad uno, indipenden-temente dak. Si osservi che questo risultato si poteva ottenere più semplicemente (anche se in maniera menorigorosa) ricorrendo all’interpretazione intuitiva dell’impulso di Dirac come funzione nulla ovunque tranneche nel punto di applicazione; in tal modo, poichè l’unico impulso del pettine diδ che cade nell’intervallo(−1/2,1/2) è quello applicato int = 0, la (6.58) si riduce a calcolare l’integrale

Xk =∫ 1/2

−1/2δ(t)e− j2πkt dt = 1,

che è uguale ad uno,∀k ∈ Z, sempre per la proprietà di integrazione definita della delta di Dirac. In definitiva,utilizzando nella (6.57) i coefficienti di Fourier calcolati precedentemente, il pettine diδ di periodo unitariopuò essere riscritto formalmente mediante l’equazione di sintesi della sua serie di Fourier:

δ̃(t) =+∞

∑k=−∞

e j2πkt , (6.60)

ovvero, anziché come somma di impulsi (6.56), come somma di fasori. Si noti che la convergenza della seriea secondo membro nella (6.60) al segnaleδ̃(t), ∀t ∈ R, va intesa nel senso delle distribuzioni; infatti tale serienon converge in senso ordinario per nessun valore dit, in quanto

+∞

∑k=−∞

e j2πkt =+∞

∑k=−∞

cos(2πkt)+ j+∞

∑k=−∞

sin(2πkt) ,

e le successioni{cos(2πkt)}k∈Z e{sin(2πkt)}k∈Z non sono infinitesime per|k| →+∞. La (6.60) è un’identitànotevole della teoria delle distribuzioni, e può essere vista come la versione periodica della relazione notevole(6.39): entrambe le relazioni trovano ampia applicazione nella teoria dei segnali. �

Utilizzando il risultato ricavato nell’esempio precedente, in particolare la (6.60), nell’esempio chesegue è calcolata la trasformata di Fourier del segnalex(n) = 1 (segnale costante a TD).

� Esempio 6.21 (trasformata di Fourier del segnale costante a TD)La trasformata di Fourier del segnalecostantex(n) = 1 si scrive formalmente, a partire dall’equazione di analisi (6.11), come:

X(ν) =+∞

∑n=−∞

e− j2πνn . (6.61)


0 1−1 2−2

1

t

rep 1[δ

(t)]

Fig. 6.18. Il segnaleδ(t) = rep1[δ(t)] (pettine diδ diperiodo unitario) utilizzato nell’es. 6.20.

0 1−1

1

0.5−0.5

ν

X(ν

)

Fig. 6.19.Trasformata di FourierX(ν) del segnalex(n) = 1 (es. 6.21).

Notiamo che tale serie è assai simile a quella che compare al secondo membro della (6.60), e pertanto nonconverge in senso ordinario per nessun valore diν . La sua somma nel senso delle distribuzioni si può ottenereperò facilmente effettuando il cambiamento di variabilek =−n nella (6.60) e la sostituzione formaleν → t. Siha allora:

X(ν) =+∞

∑n=−∞

e− j2πνn = δ̃(ν) , (6.62)

In virtù della (6.62), otteniamo la seguente trasformata notevole:

x(n) = 1FT←→ X(ν) = δ̃(ν) , (6.63)

ovvero la trasformata del segnale costante a TD è un pettine diδ nel dominio della frequenza, rappresentatosimbolicamente in fig. 6.19. Si noti l’analogia tra la (6.63) e la (6.40) valida per il segnale costante a TC;l’unica differenza nel dominio della frequenza si spiega facilmente se si pensa che la trasformata del segnalecostante a TD dev’essere necessariamente periodica, e quindi non potrebbe essereδ(ν) (un singolo impulso)in stretta analogia al caso TC, ma dev’essereδ̃(ν), ovvero la replicazione periodica con passo unitario diδ(ν).Per lo stesso motivo, possiamo osservare che anche nel caso TD il contenuto spettrale di un segnale costantesi può considerare tutto concentrato alla frequenzaν = 0 (segnale a bassa frequenza) come nel caso TC, ma,per la periodicità dello spettro nel caso TD, tale contenuto (fig. 6.19) si può considerare equivalentementeconcentrato a ciascuna frequenzaν = k ∈ Z. Osserviamo infine che per la (6.63) l’equazione di sintesi vale insenso ordinario, in quanto per la proprietà di integrazione definita della delta di Dirac si ha:

x(n) =∫ 1/2

−1/2δ̃(ν)e j2πνn dν =

∫ 1/2

−1/2δ(ν)e j2πνn dν = 1,

valida∀n ∈ Z. �

Sfruttando la trasformata di Fourier del segnale costante, ed in particolare la (6.62), possiamo facil-mente calcolare la trasformata di Fourier del fasore TD e della sinusoide TD.27

27Le trasformate di Fourier di altri segnali persistenti TD di interesse, quali il gradino ed il signum, saranno consideratesuccessivamente.


ν0

ν0+1ν

0−1

1

ν

X(ν

)

0.5 1−0.5−1

Fig. 6.20.Trasformata di FourierX(ν) del segnalex(n) = e j2πν0n (0 < ν0 < 1

2) (es. 6.22).

ν0

−ν0

ν0+1−ν

0−1 ν

0−1 1−ν

0

A

0.5 1−0.5−1

ν

X(ν

)

Fig. 6.21.Trasformata di FourierX(ν) del segnalex(t) = A cos(2πν0t) perA > 0 e 0< ν0 < 1

2 (es. 6.23).

� Esempio 6.22 (trasformata di Fourier del fasore a TD) Il fasore TDx(n) = e j2πν0n è un segnale persisten-te, e risulta periodico nel tempo solo se la sua frequenzaν0 è un numero razionale (cfr. prop. 2.5). Utilizzandol’equazione di analisi (6.11), la trasformata del fasore TD si scrive formalmente come

X(ν) =+∞

∑n=−∞

e j2πν0n e− j2πνn =+∞

∑n=−∞

e− j2π(ν−ν0)n , (6.64)

che non converge in senso ordinario, per nessun valore diν . Per calcolare la somma di tale serie in sensogeneeralizzato, possiamo ricorrere alla (6.62); infatti, mediante la semplice sostituzione formaleν − ν0→ νnella (6.62), si ha

+∞

∑n=−∞

e− j2π(ν−ν0)n = δ̃(ν −ν0) ,

per cui si ottiene la seguente trasformata notevole

x(n) = e j2πν0n FT←→ X(ν) = δ̃(ν −ν0) . (6.65)

Si osservi che il risultato ottenuto sussiste sia quandoν0 è razionale (e quindi il fasore è periodico) che quandoν0 è irrazionale (e quindi il fasore è aperiodico).

Per determinare la rappresentazione grafica diX(ν), poichè due fasori le cui frequenze differiscono di unnumero intero sono indistinguibili (cfr. prop. 2.4), è possibile considerare senza perdità di generalità il casoν0 ∈ (−1/2,1/2). Inoltre, poichéδ̃(ν − ν0) = rep1[δ(ν − ν0)], la trasformataX(ν) si ottiene replicando conpasso unitario l’impulso di Dirac di area unitaria centrato alla frequenzaν0, il che conduce alla rappresentazionesimbolica di fig. 6.20. Notiamo che anche nel caso TD il contenuto spettrale di un fasore è concentrato allafrequenzaν0 e, per la periodicità, anche a tutte le frequenzeν0 + k, ∀k ∈ Z. �

� Esempio 6.23 (trasformata di Fourier del segnale sinusoidale TD)A partire dalla trasformata del fasore,si può calcolare agevolmente anche la trasformata del segnale sinusoidale TDx(n) = A cos(2πν0n + ϕ0), conA,ν0,ϕ0 ∈ R. Esso è un segnale persistente, e risulta periodico solo se la sua frequenzaν0 è un numerorazionale. Anche in questo caso, il calcolo diretto della trasformata dix(n) si può evitare, osservando che, invirtù delle formule di Eulero, un segnale sinusoidale si può decomporre nella combinazione lineare di due fasoria frequenze±ν0, ossia:

x(n) = A cos(2πν0n+ϕ0) =A2

e jϕ0 e j2πν0n +A2

e− jϕ0 e− j2πν0n .



X(ν) =A2

e jϕ0 F[e j2πν0n]+A2

e− jϕ0 F[e− j2πν0n] .

Utilizzando la trasformata (6.65) per i due fasori, si ha:

x(n) = A cos(2πν0n+ϕ0)FT←→ X(ν) =

A2

e jϕ0 δ̃(ν −ν0)+A2

e− jϕ0 δ̃(ν +ν0) . (6.66)

Come mostrato in fig. 6.21, nella quale è rappresentato lo spettro perϕ0 = 0, la trasformata di Fourier del segnalesinusoidale TD si ottiene partendo da due righe spettrali, alle frequenze±ν0, che si ripetono periodicamentecon periodo unitario. L’area sottesa dagli impulsi dipende in generale dall’ampiezza e dalla fase iniziale delsegnale; notiamo, peraltro, che le aree degli impulsi a frequenze positive sono complesse coniugate di quelledegli impulsi a frequenze negative, di modo che la trasformata di FourierX(ν) soddisfi la proprietà di simmetriahermitiana caratteristica dei segnalix(n) reali.

Come nel caso TC, può risultare conveniente derivare la forma esplicita dello spettro quando il segnalesinusoidale è espresso tramite la funzione sin(x), ovverox(n) = A sin(2πν0n + ϕ0). Anche in questo caso,applicando le formule di Eulero, si ha:

x(n) = A sin(2πν0n+ϕ0) =A2 j

e jϕ0 e j2πν0n− A2 j

e− jϕ0 e− j2πν0n .


X(ν) =A2 j

e jϕ0 F[e j2πν0n]− A2 j

e− jϕ0 F[e− j2πν0n] .

Utilizzando la trasformata (6.65), si ha in definitiva:

x(n) = A sin(2πν0n+ϕ0)FT←→ X(ν) =

A2 j

e jϕ0 δ̃(ν −ν0)− A2 j

e− jϕ0 δ̃(ν +ν0) . (6.67)

Anche in questo caso, lo spettro si ottiene a partire da un coppia di righe spettrali, alle frequenze±ν0, che siripetono periodicamente con periodo unitario. Per le aree degli impulsi, valgono osservazioni simili a quellegià fatte per la (6.66). �

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale 295

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale

Abbiamo visto che gran parte dei segnali di interesse (teorico e pratico) possono essere rappresentatinel dominio della frequenza attraverso la trasformata di Fourier. In particolare, con riferimento alcaso TC, l’equazione di sintesi (6.8) consente di rappresentare un segnalex(t) come sovrapposizionedi fasori ocomponenti spettrali, aventi ampiezza complessaX( f ) e frequenzaf variabile con con-tinuità suR. Analogamente, nel caso TD, l’equazione di sintesi (6.12) consente di rappresentare unsegnalex(n) come sovrapposizione di fasori o componenti spettrali, aventi ampiezza complessaX(ν)e frequenzaν variabile con continuità nell’intervallo finito(−1

2, 12). In entrambi i casi, lo spettro di

ampiezza|X(·)| determina ilpeso che ciascun fasore ha nella sintesi del segnalex(·): i fasori aventifrequenze per le quali|X(·)| assume valori significativi contribuiscono maggiormente alla sintesi delsegnale, mentre i fasori aventi frequenze per le quali|X(·)| assume valori trascurabili, o al limite nulli,contribuiscono poco o non contribuiscono affatto alla sintesi del segnalex(·).

La conoscenza dell’intervallo di frequenza dove lo spettro di ampiezza|X(·)| del segnale è nontrascurabile è importante per due motivi. Dal punto di vista della sintesi dei segnali a TC, la ricostru-zione esatta del segnalex(t) è possibile in generale solo calcolando un integrale esteso a tutto l’assedelle frequenze, e quindi può essere fatta solo dal punto di vista analitico;28 tuttavia, se l’intervallodi frequenza ove|X( f )| assume valori significativamente diversi da zero ha misura finita, in pratica ilsegnalex(t) può essere ricostruito con buona approssimazione a partire dal suo spettro restringendoil calcolo dell’integrale (6.8) ad un intervallo di misura finita.29 Dal punto di vista dell’elaborazionedei segnali, inoltre, abbiamo visto nel § 6.2 che un sistema LTI è in grado di modificare le ampiez-ze e le fasi delle componenti spettrali del segnale di ingresso (selettività in frequenza), e quindi puòalterare in particolare il peso relativo (ovvero l’ampiezza) di ciascun fasore nella sintesi del segnale.Tale alterazione può determinare modifiche anche profonde della forma del segnale di ingresso; per-tanto, la conoscenza della risposta in frequenza del sistema e dell’intervallo di frequenze ove|X(·)| ènon trascurabile consente di valutare a priori se il segnale subirà o meno modifiche significative nelpassaggio attraverso un dato sistema LTI.

L’intervallo di frequenza ove lo spettro di ampiezza|X(·)| del segnale è non trascurabile è comu-nemente denominatoestensione spettrale del segnale, e la sua misura è dettalarghezza di banda (ininglese,bandwidth) o, più semplicemente,banda.

Definizione 6.3 (estensione spettrale e banda di un segnale)(a) L’estensione spettraleWx ⊆ R di un segnale TCx(t) è l’intervallo di frequenza in cui il

suo spettro di ampiezza|X( f )| assume valori non trascurabili. La banda dix(t) è la misuraBx ≥ 0 dell’insiemeWx.

(b) L’estensione spettraleWx ⊆ (ν ,ν + 1), conν ∈ R, di un segnale TDx(n) è l’intervallo difrequenza in cui il suo spettro di ampiezza|X(ν)| assume valori non trascurabili sul periodo(ν ,ν +1). La banda dix(n) è la misura 0≤ Bx ≤ 1 dell’insiemeWx.

La differenza fondamentale tra la definizione di estensione spettrale di un segnale TC e TD è legata alfatto che lo spettroX(ν) di un segnale TD è sempre periodico di periodo unitario, mentre lo spettroX( f ) di un segnale TC è in generale aperiodico. Pertanto, la caratterizzazione diX(ν) può essere fattasenza perdità di generalità limitando l’analisi ad un periodo; in tal caso, come intervallo di riferimento

28Rispetto al caso TC, la sintesi di un segnale TD è meno problematica in pratica, in quanto la ricostruzione esatta di unsegnale TD richiede la valutazione di un integrale esteso ad un intervallo di misura unitario.

29Tale problema è essenzialmente lo stesso di quello della sintesi di un segnale periodico TC utilizzando solo un numerofinito di armoniche (cfr. § 5.2.2).


X(f)

f

X(ν)

ν-1/2 1/2

(a) (b)

00Wx Wx

Fig. 6.22.Segnale passabasso: (a) TC; (b) TD.

si può scegliere un arbitrario periodo(ν ,ν + 1) di X(ν); le scelte più comuni sono gli intervalli(−1

2, 12) (corrispondente aν =−1

2) e (0,1) (corrispondente aν = 0). Nel seguito faremo riferimentoper i segnali TD esclusivamente all’intervallo (−1

2, 12).

Osserviamo inoltre che le definizioni di estensione spettrale e banda ricordano molto da vicino ledefinizioni di estensioneDx e durata temporale∆x di un segnalex(·) (cfr. def. 2.1); infatti, estensionee durata temporale di un segnale sono due parametri sintetici che caratterizzano il segnale neldominiodel tempo, ovvero sono definiti a partire dal segnalex(·); dualmente, estensione spettrale e banda sonodue parametri sintetici che caratterizzano il segnale neldominio della frequenza, ovvero sono definitia partire dallo spettroX(·) del segnalex(·). In altri termini, durata temporale e banda sono misureduali dell’estensione di un segnale nel dominio del tempo e della frequenza, rispettivamente. Vedremopiù avanti (cfr.§ 6.5.2) che sussiste una relazione di inversa proporzionalità tra durata e banda di unsegnale.

Analogamente alla definizione di estensione temporale di un segnale, la definizione di estensionespettrale contiene un certo grado di arbitrarietà circa l’interpretazione di quali valori dello spettro diampiezza siano trascurabili e quali no. Conseguentemente, non esiste una definizione di estensionespettrale universalmente accettata: la definizione più appropriata dipende dal tipo di segnale e dallaspecifica applicazione considerata.

Rileviamo esplicitamente che la definizione data di estensione spettrale si riferiscesia alle fre-quenze positive (f ≥ 0 per i segnali TC eν ∈ [0, 1

2[ per i segnali TD) in cui|X(·)| assume valori nontrascurabilisia alle frequenze negative (f < 0 per i segnali TC eν ∈]− 1

2,0[ per i segnali TD). Perquesto motivo, l’intervalloWx è anche detto estensione spettralebilatera e, conseguentemente,Bx èdettabanda bilatera. Tuttavia, per i segnali reali è sufficiente consideraresolo le frequenze positive (o,equivalentemente, solo le frequenze negative), in quanto lo spettro gode della proprietà di simmetriahermitiana (cfr. prop. 6.3) e, quindi, lo spettro di ampiezza è una funzione pari della frequenza. Cosìfacendo, l’estensione spettraleWx è definita come sottoinsieme di[0,+∞[ nel caso dei segnali TC,oppure di[0, 1

2[ nel caso dei segnali TD. In questo caso, si parla di estensione spettralemonolaterae, conseguentemente, dibanda monolatera. Evidentemente,la banda bilatera di un segnale reale èesattamente il doppio della banda monolatera, e quindi la conoscenza della sola banda monolatera èsufficiente per caratterizzare sinteticamente lo spettro di ampiezza|X(·)| di un segnale reale.

Osserviamo infine che, mentre la banda di un segnale TC si misura in Hertz (Hz) e multipli(kHz, MHz, GHz i più comuni), la banda di un segnale TD, così come la frequenzaν , è in effettiadimensionale.

Una prima classificazionequalitativa dei segnali sulla base della loro estensione spettrale è quella


X(f)

f

X(ν)

ν-1/2 1/2

(a) (b)

00Wx Wx Wx

Wx

Fig. 6.23.Segnale passaalto: (a) TC; (b) TD.

tra segnalipassabasso, passaalto e passabanda:30

• Segnali passabasso o a bassa frequenza: sono caratterizzati da un’estensione spettrale es-senzialmente concentrata alle basse frequenze, vale a dire da unaWx posizionata intorno allafrequenzaf = 0 nel caso TC, oppure intorno alla frequenzaν = 0 nel caso TD. Se il segnalex(·) è reale, il suo spettro gode della proprietà di simmetria hermitiana e, quindi, lo spettro diampiezza è una funzione pari della frequenza; in questo caso, sex(·) è passabasso, l’estensionespettraleWx è perfettamente centrata intorno alla frequenza nulla (fig. 6.22).

• Segnali passaalto o ad alta frequenza: sono caratterizzati da un’estensione spettrale essen-zialmente concentrata alle alte frequenze, ovvero da unaWx posizionata intorno alle frequenzef = ±∞ nel caso TC, oppure intorno alle frequenzeν = ±1/2 nel caso TD. In fig. 6.23 èriportato lo spettro di un segnale reale passaalto sia nel caso TC che TD.

• Segnali passabanda o a media frequenza: sono segnali caratterizzati da un’estensione spet-trale essenzialmente concentrata a frequenze intermedie, ovvero da unaWx posizionata intornoa± f0 ∈R−{0} nel caso TC, oppure intorno a±ν0 nel caso TD, conν0 ∈ (−1

2, 12)−{0}.31 Se

il segnalex(·) è reale, il suo spettro gode della proprietà di simmetria hermitiana e, quindi, lospettro di ampiezza è una funzione pari della frequenza; in questo caso, sex(·) è passabanda, siavranno due intervalli di frequenza simmetricamente posizionati intorno alle frequenzef =± f0nel caso TC eν =±ν0 nel caso TD (fig. 6.24).

Notiamo in particolare l’importante differenza, nel caso di segnale passalto, tra segnali TC e TD (sitratta della stessa differenza già evidenziata con riferimento ai filtri ideali). Infatti, come conseguenzadella periodicità dello spettro nel caso TD, il segnale passaalto nel caso TD ha una estensione spettralecentrata nell’intorno diν =±1

2, e non nell’intorno dif =±∞ come nel caso TC. Questo corrispondeal fatto, osservato per la prima volta nel § 2.3.3, che nel caso TD il fasore più rapidamente variabile èquello con frequenzaν =±1

2, e quindi la massima frequenza a TD è proprioν =±12.

30Una classificazione simile è già stata fatta con riferimento ai filtri ideali (§ 5.6). Sebbene per alcuni aspetti la caratte-rizzazione nel dominio della frequenza di segnali e sistemi possa essere trattata in maniera unificata – in fondo la risposta infrequenzaH(·) di un sistema LTI non è altro che la trasformata di Fourier del “segnale”h(·) – dal punto di vista operativoi concetti di banda di un segnale e di un sistema possono differire notevolmente. Per questo motivo, questo paragrafo èprevalentemente dedicato allo studio dei segnali propriamente detti, mentre il caso dei sistemi sarà approfondito più avanti.

31Nelle comunicazioni elettriche, i segnali passabanda a TC (conf0 che assume valori da qualche centinaia di kHz finoalle centinaia di GHz) sono anche denominatisegnali a radiofrequenza e la frequenzaf0 è dettafrequenza portante.


X(f)

f

(a)

-f0 f0

(b)

-ν0 ν0

X(ν)

ν1/2-1/2Wx Wx Wx Wx

Fig. 6.24.Segnale passabanda: (a) TC; (b) TD.

A differenza della classificazione precedente, di tipo qualitativo, la banda di un segnale fornisceuna caratterizzazionequantitativa (ovvero un valore numerico) dell’intervallo di frequenze in cui lospettro assume valori non trascurabili. Come già detto, non è possibile dare una definizione univocadi banda, per l’ambiguità legata all’uso del termine “non trascurabile” nella sua definizione. Essadipende piuttosto dalla natura frequenziale del segnale (passabasso, passaalto o passabanda), dallaforma dello spettro di ampiezza, e dallo specifico campo di applicazione. Nel seguito del paragrafofaremo principalmente riferimento a segnali di tipo passabasso; altri esempi con riferimento a segnalipassabanda e passaalto saranno forniti nel seguito del capitolo. In maniera simile a quanto visto perla caratterizzazione dei segnali in termini di durata, possiamo considerare le due grandi famiglie deisegnali a banda limitata (ulteriormente suddivisi in segnali a bandarigorosamente limitata e segnalia bandapraticamente limitata), e quella deisegnali a banda non limitata.

6.4.1 Segnali a banda rigorosamente limitata

Un segnale TCx(t) si dice abanda rigorosamente limitata se la sua trasformata di FourierX( f ) èidenticamente nulla al di fuori di un certo intervallo( f1, f2), con f2 > f1 valori reali finiti. In talcaso, in modo del tutto naturale, si considerano trascurabili solo i valori nulli dello spettro del segnale.Pertanto, l’estensione spettrale (bilatera) del segnale è data daWx = ( f1, f2), e la sua banda (bilatera)è pari adBx = f2− f1.

Nel caso dei segnalix(t) reali, per i quali la trasformata di Fourier gode della proprietà di sim-metria hermitiana, se risultaX( f ) = 0 in corrispondenza di un certo valore dif > 0, allora risultanecessariamente ancheX(− f ) = X∗( f ) = 0, per cui l’estensione spettrale del segnale( f1, f2) è ne-cessariamente simmetrica rispetto all’origine, cioèWx = (−W,W ), conW ≥ 0. Conseguentemente,la trasformata di Fourier di un segnalex(t) reale a banda rigorosamente limitata soddisfa la seguentecondizione:

X( f ) = 0, ∀| f | ≥W , (6.68)

per cui la banda bilatera del segnale è pari aBx = 2W . Ricordando che per segnali reali si puòfar riferimento più semplicemente all’estensione spettrale ed alla bandamonolatera, la prima valeWx = (0,W ), e la sua misuraBx = W rappresenta la banda monolatera. Un tipico spettro di unsegnale reale TC a banda rigorosamente limitata è quello riportato in fig. 6.25(a).

Per i segnali TD valgono considerazioni simili, tenendo conto come al solito della periodicità diperiodo unitario della trasformata di FourierX(ν). In particolare, la condizione di annullamento diX(ν) può essere data con riferimento al solo periodo(−1

2, 12), per cui un segnale TDx(n) si dice

a banda rigorosamente limitata se, con riferimento al solo intervallo(−12, 1

2), la sua trasformata di


X(f)

f-W W

Bx

X(ν)

ν-W W

Bx

-1/2 1/2

(a) (b)

Fig. 6.25.Segnale a banda rigorosamente limitata. (a) Caso TC. (b) Caso TD.

FourierX(ν) è identicamente nulla al di fuori di un certo intervallo(ν1,ν2), conν2 > ν1 e (ν1,ν2)⊂(−1

2, 12). In tal caso, l’estensione spettrale (bilatera) del segnalex(n) è per definizioneWx = (ν1,ν2),

e la sua banda (bilatera) è pari adBx = ν2−ν1.Nel caso in cui il segnalex(n) sia reale, in virtù della simmetria hermitiana del suo spettro, l’e-

stensione spettrale è necessariamente simmetrica, si ha cioèWx = (−W,W ), con 0< W < 12. In altri

termini, un segnale TD realex(n) a banda rigorosamente limitata soddisfa, limitatamente al periodo(−1

2, 12), la seguente condizione:

X(ν) = 0, ∀|ν | ≥W . (6.69)

Per un segnale del genere, evidentemente è conveniente ragionare in termini di estensione frequenzialemonolateraWx = (0,W ) e banda monolateraBx =W . Uno spettro caratteristico di un segnale TD realea banda rigorosamente limitata è quello riportato in fig. 6.25(b).

Notiamo in conclusione che un segnale (TC o TD) a banda rigorosamente limitata è necessaria-mente passabasso, o al limite passabanda, ma non può essere di tipo passaalto.

� Esempio 6.24 (banda del segnale sinc)Un esempio di segnale TC con banda rigorosamente limitata è ilsegnalex(t) = sinc(t), la cui trasformata di Fourier (cfr. es. 6.5) vale

X( f ) = rect( f ) ,

che soddisfa la (6.68) perW = 12. La banda bilatera di tale segnale è pertantoBx = 2W = 1, quella monolatera

è invece pari aBx = W = 12 (tali bande sono misurate in Hz).

Analogamente, un esempio di segnale TD a banda rigorosamente limitata è il segnalex(n) = sinc(2νcn),con 0< νc < 1

2, la cui trasformata (cfr. es. 6.19) è data da

X(ν) =1

2νcrep1

[rect

(ν

2νc

)],

che soddisfa la (6.69) nell’intervallo(−12, 1

2) conW = νc. La banda bilatera di tale segnale è pertantoBx =2νc < 1, quella monolatera è invece pari aBx = νc < 1

2 (tali bande sono adimensionali). �

Nell’esempio precedente abbiamo considerato segnali aventi banda rigorosamente limitata; si noti tut-tavia che tali segnalinon hanno durata rigorosamente limitata. Vedremo più avanti che un segnale didurata rigorosamente limitatanon può avere anche banda rigorosamente limitata, e viceversa. Poichèi segnali che si incontrano in pratica sono sempre di durata limitata (essi sono il risultato di osserva-zioni e/o elaborazioni su intervalli di tempo finiti), segue che i segnali a banda rigorosamente limitatarappresentano una pura astrazione matematica, utile tuttavia in alcuni modelli matematici.


|X(f)|

fBx

loboprincipale

... ...

|X(ν)|

νBx

loboprincipale

... ...

-1/2 1/2

(a) (b)

Fig. 6.26.Segnale con spettro a lobi. (a) Caso TC. (b) Caso TD.

Notiamo infine che, tra i segnali a banda rigorosamente limitata, un caso limite è costituito daisegnali che abbiamo denominato monocromatici (fasori e sinusoidi TC e TD): secondo la def. 6.3,in effetti, tali segnali, il cui spettro è costituito solo da funzioni concentrate in valori isolati di fre-quenza (impulsi di Dirac), possono essere a rigore visti come segnalipassabanda, la cui estensionespettrale si riduce aWx = { f0} o Wx = {ν0} nel caso di fasori TC o TD, rispettivamente, oppure aWx = {− f0, f0} o Wx = {−ν0,ν0} nel caso di sinusoidi TC o TD, rispettivamente: in tutti questi casi,la banda vista comemisura dell’estensione spettrale (ovvero, come misuracontinua di un insiemediscreto) è nulla. Tuttavia, in alcuni casi può convenire riguardare tali segnali, anziché come passa-banda, come segnalipassabasso a banda rigorosamente limitata: in accordo con la (6.68) o la (6.69),la loro banda monolatera in effetti coincide con la massima frequenza delle componenti spettrali cheli compongono, per cui si haBx = f0 nel caso TC eBx = ν0 nel caso TD.

6.4.2 Segnali a banda praticamente limitata

In via del tutto generale, un segnalex(·) a banda praticamente limitata è un segnale il cui spettro diampiezza|X(·)| tende a zero perf →±∞ nel caso TC e perν→±1/2 nel caso TD, assumendo valoritrascurabili (ma non rigorosamente nulli) al di fuori di un certo intervallo di frequenza. Quasi tutti isegnali di interesse pratico presentano banda praticamente limitata. In particolare, con riferimento aisegnali TC, in virtù della prop. 6.7 (convergenza a zero dellaX( f ) per| f | →+∞), possiamo dire chetutti i segnali x(t) sommabili (sottoclasse dei segnali transitori) sono a banda praticamente limitata.

Tuttavia, per i segnali a banda praticamente limitata, l’interpretazione e la misura della banda nonè altrettanto univoca come quella per i segnali a banda rigorosamente limitata; in effetti, è possibiledare differenti definizioni di banda, a seconda dellaforma dello spettro del segnale e della specificaapplicazione. Nel seguito, con riferimento esclusivamente ai segnali reali, approfondiremo le seguentidefinizioni di banda, particolarmente interessanti dal punto di vista applicativo:

- la banda nullo-nullo;

- la banda all’α% di energia;

- la banda adα dB.

Banda nullo-nullo

Tale definizione di banda è applicabile a segnali aventi durata rigorosamente limitata, come la finestrarettangolare o la finestra triangolare. Si può dimostrare infatti che lo spettro di ampiezza di un segnale


reale con durata rigorosamente limitata, come la finestra rettangolare dell’es. 6.1, ha un tipico anda-mentoa lobi, come quello evidenziato qualitativamente in fig. 6.26(a) nel caso TC, ed in fig. 6.26(b)nel caso TD. Per questo motivo, appare abbastanza naturale definire l’estensione spettraleWx di talisegnali come l’intervallo di frequenze corrispondente allobo principale (centrato suf = 0 oppureν = 0) dello spettro di ampiezza. Di conseguenza, la bandaBx del segnale coincide con la larghezzadel lobo principale, ed è denominatabanda nullo-nullo o null-to-null bandwidth, proprio perché essamisura la distanza che intercorre tra i primi due nulli (in posizioni simmetriche rispetto adf = 0 oa ν = 0) dello spettro di ampiezza. Si noti che la banda nullo-nullo, poiché misura la distanza tra ilprimo nullo a frequenza positiva ed il primo nullo a frequenza negativa, è una banda intrinsecamentebilatera.

� Esempio 6.25 (banda nullo-nullo della finestra rettangolare TC e TD)Si consideri la finestra rettango-lare TC x(t) = A rect(t/T ), con A ∈ R e T ∈ R+, la cui trasformata di Fourier, già calcolata nell’es. 6.1,vale

X( f ) = AT sinc( f T ) .

Lo spettro di ampiezza corrispondente, supponendoA > 0, è

|X( f )|= AT |sinc( f T )| ,ed è raffigurato in fig. 6.2 (grafico in alto), simile qualitativamente alla fig. 6.26(a). Da tale grafico, oppure pervia analitica ricordando le proprietà della funzione sinc, si ricava che l’estensione spettrale del lobo principaleèWx = (− 1

T , 1T ) e, conseguentemente, la banda nullo-nullo valeBx = 2

T .Ragionando in maniera analoga, si ricava che l’estensione spettrale e la banda nullo-nullo della finestra

rettangolare a TDx(n) = RN(n) di lunghezzaN > 1 (cfr. es. 6.2) valgono rispettivamenteWx = (− 1N , 1

N ) ⊆(−1

2, 12) eBx = 2

N ≤ 1 (perN = 1 la finestra rettangolare degenera nell’impulso discreto, il cui spettro è costantee quindi non ha il caratteristico andamento a lobi). �

L’esempio precedente mostra che la banda nullo-nulloBx della finestra rettangolare (TC o TD) risultainversamente proporzionale alla sua durata temporale (Bx = 2/T per la finestra rettangolare a TC,Bx = 2/N per la finestra rettangolare a TD conN > 1). Questo risultato esprime il seguente concettofondamentale, che è valido in generale (indipendentemente dalla definizione di banda adottata):se siriduce la durata temporale di un segnale, si aumenta la sua banda, e viceversa. Una conseguenza fon-damentale di questa relazione è che è impossibile costruire segnali che abbiano contemporaneamentedurata temporale e banda arbitrariamente piccole. Ritorneremo su questo concetto quando studieremogli effetti nel dominio della frequenza di un cambiamento di scala dei tempi (proprietà di cambiamentodi scala della trasformata di Fourier, cfr. § 6.5.2).

Banda all’α % dell’energia

Per segnali a banda praticamente limitata che siano anchesegnali di energia, è possibile fornire unadefinizione di banda che si basa su una particolare proprietà della trasformata di Fourier, nota comeuguaglianza di Parseval:

Proprietà 6.9 (uguaglianza di Parseval per la trasformata di Fourier)

Siax(·) FT←→ X(·), conx(·) segnale di energia, si ha:

Ex =∫ +∞

−∞|x(t)|2dt =

∫ +∞

−∞|X( f )|2d f , (segnali TC)

Ex =+∞

∑n=−∞

|x(n)|2 =∫ 1/2

−1/2|X(ν)|2dν , (segnali TD)


Prova. Dimostriamo l’uguaglianza nel caso dei segnali TC, analoghi passaggi possono essere seguiti per ladimostrazione nel caso TD. A tal fine osserviamo che l’energia di un segnale TC è per definizione data da:

Ex =∫ +∞

−∞|x(t)|2dt =

∫ +∞

−∞x(t)x∗(t)dt ,

da cui, esprimendox∗(t) mediante l’equazione di sintesi (6.8), si ottiene:

Ex =∫ +∞

−∞x(t)

[∫ +∞


]∗︸︷︷︸

x∗(t)

dt =∫ +∞

−∞x(t)

[∫ +∞

−∞X∗( f )e− j2π f t d f

]dt .

D’altra parte, poichè il segnalex(t) è di energia (a quadrato sommabile suR), è possibile scambiare l’ordine diintegrazione,32 ottenendo così:

Ex =∫ +∞

−∞X∗( f )

[∫ +∞

−∞x(t)e− j2π f t dt

]︸︷︷︸

X( f )

d f =∫ +∞

−∞X∗( f )X( f )d f =

∫ +∞

−∞|X( f )|2d f ,

dove nel passaggio dal primo al secondo integrale abbiamo utilizzato l’equazione di analisi (6.7). �L’uguaglianza di Parseval consente di affermare che l’energia di un segnale può essere calcolata neldominio del tempo a partire da|x(·)|2 oppure, equivalentemente, nel dominio della frequenza a partireda|X(·)|2. In altri termini,l’energia del segnale si conserva passando dal dominio del tempo a quellodella frequenza. Notiamo che l’uguaglianza di Parseval afferma implicitamente che la trasformata diFourier di un segnalex(·) di energia (a quadrato sommabile) è ancora un segnaleX(·) di energia (aquadrato sommabile) nel dominio della frequenza.

La funzione della frequenza

Sx(·) �= |X(·)|2 (6.70)

prende il nome didensità spettrale di energia del segnalex(·). Si tratta di una funzione non negativaper definizione, ossiaSx(·) ≥ 0; inoltre, per segnalix(·) reali, in virtù della simmetria pari dellospettro di ampiezza (simmetria hermitiana), essa risulta essere una funzionepari della frequenza,Sx(−(·)) = Sx(·); infine, il nome densità spettrale di potenza deriva dal fatto che, per l’uguaglianzadi Parseval, l’energia del segnalex(·) si può ottenere integrandoSx(·) su tutto l’asse delle frequenze(cioè per f ∈ R) nel caso TC, ovvero su ogni intervallo di frequenze di misura unitaria [ad esempio,perν ∈ (−1

2, 12)] nel caso TD. Si noti infine che l’uguaglianza di Parseval per la trasformata di Fourier

vale solo per i segnali di energia, ed è la diretta controparte dell’uguaglianza di Parseval per la seriedi Fourier (cfr. prop. 5.4), che vale solo per i segnali di potenza periodici.

L’uguaglianza di Parseval consente di calcolare l’energia di un segnale operando nel dominio dellafrequenza, invece che nel dominio del tempo. Sulla base di tale uguaglianza, è allora possibile definirel’estensione spettraleWx (e quindi la banda) di un segnalex(·), fissando un valore 0< α < 1 (spessoespresso in percentuale) ed imponendo che l’energia del segnale nell’intervallo di frequenzeWx siapari ad una frazioneαEx dell’energia totale. Nel caso TC, ad esempio, ciò significa risolvere rispettoaWx la seguente relazione:

EWx =∫

Wx

|X( f )|2d f = αEx ,

la cui soluzioneWx rappresenta l’intervallo di frequenza all’interno del quale è contenuta l’α% del-l’energia totaleEx del segnale. Se il segnalex(t) è passabasso, la sua trasformata di Fourier sarà

32Questo risultato è una conseguenza diretta dei teoremi di Fubini e Tonelli.


concentrata intorno alle basse frequenze; inoltre, sex(t) è un segnale reale, il suo spettro di ampiezza|X( f )| sarà una funzione pari dif , e così pure|X( f )|2. Di conseguenza, l’estensione spettrale delsegnalex(t) sarà un intervallo simmetrico, del tipoWx = (−W,W ), per cui la precedente relazione siscrive più esplicitamente:

EW =∫ W

−W|X( f )|2d f = αEx . (6.71)

Risolvendo questa equazione rispetto aW per un fissatoα , si determina l’estensione spettrale delsegnalex(t) come l’intervallo di frequenze che contiene una percentuale pari adα dell’energia totaledel segnale. La misura di questo intervallo di frequenze, pari aBx = 2W , prende il nome dibandaall’α % dell’energia (generalmente si utilizza in questo contesto la banda bilatera). Valori tipici delparametroα vanno daα = 0.9 (banda al 90% dell’energia), adα = 0.95 (banda al 95% dell’energia),fino adα = 0.99 (banda al 99% dell’energia).

� Esempio 6.26 (banda all’α% dell’energia dell’esponenziale monolatero decrescente a TC)Si conside-ri il segnale esponenziale monolaterox(t) = Ae−t/T u(t), con ampiezzaA ∈ R e costante di tempoT ∈ R+. Sitratta di un segnale reale a quadrato sommabile la cui energia (cfr. es. 2.22) è pari a

Ex =∫ +∞

−∞|x(t)|2dt =

A2T2

. (6.72)

Nell’es. 6.8 abbiamo calcolato la trasformata di Fourier di tale segnale, che vale

X( f ) =AT

1+ j2π f T,

da cui supponendoA > 0 si ricava lo spettro di ampiezza:

|X( f )|= AT√1+(2π f T )2

,

il cui andamento è riportato in fig. 6.5 (grafico in alto). Per calcolare la banda all’α% dell’energia, occorrecalcolare l’integrale che compare al primo membro della (6.71) che, nel caso in esame, è dato da:

EW =∫ W

−W

A2 T 2

1+(2π f T )2 d f = A2 T 2[

arctan(2π f T )2πT

] f=W

f=−W=

A2 Tπ

arctan(2πWT ) . (6.73)

In base alla (6.72) e (6.73), per ottenere la banda monolatera all’α% dell’energia, bisogna risolvere rispetto aW la seguente equazione:

A2 Tπ

arctan(2πWT ) = αA2T

2,

da cui si ricava

W =1

2πTtan

(απ2

)⇒ Bx = 2W =

1πT

tan(απ

2

).

Ad esempio, nel caso in cuiα = 0.99, si ottiene che la banda bilatera all’99% dell’energia è pari aBx = 2W ≈0.00864/T . È interessante ricordare che la durata temporale∆x di un esponenziale monolatero decrescentecresce con legge direttamente proporzionale aT (cfr. § 2.3.2); conseguentemente, ritroviamo un risultato giàmesso in evidenza in precedenza con riferimento alla banda nullo-nullo delle finestre rettangolari, e cioè che labanda di un segnale èinversamente proporzionale alla sua durata temporale. �


Nel caso di un segnale reale TD, l’estensione spettrale del segnalex(n) sarà un intervallo simmetrico,del tipoWx = (−W,W )⊆ (−1

2, 12), con 0< W < 1

2, per cui la (6.71) si scrive

EW =∫ W

−W|X(ν)|2dν = αEx , (6.74)

con 0< W < 12. Risolvendo questa equazione rispetto aW per un fissatoα ∈]0,1[, si determina

l’estensione spettrale del segnalex(n) come l’intervallo di frequenza che contiene l’α% dell’energiatotale del segnale. La misura di questo intervallo sarà la banda bilatera all’α% di energia del segnale.

L’uguaglianza di Parseval ammette un’interessante generalizzazione con riferimento all’energiamutua (cfr. def. 2.7) tra due segnali, la cui prova è simile a quella riportata per la prop. 6.9:

Proprietà 6.10 (uguaglianza di Parseval generalizzata per la trasformata di Fourier)

Sianox(·) FT←→ X(·) e y(·) FT←→ Y (·), conx(·) e y(·) segnali di energia, si ha:

Exy =∫ +∞

−∞x(t)y∗(t)dt =

∫ +∞

−∞X( f )Y ∗( f )d f , (segnali TC)

Exy =+∞

∑n=−∞

x(n)y∗(n) =∫ 1/2

−1/2X(ν)Y ∗(ν)dν , (segnali TD)

Notiamo preliminarmente che, perx(·) ≡ y(·), l’energia mutua si riduce all’energia del segnale e,quindi, la prop. 6.10 degenera nella prop. 6.9. Si ricordi poi che l’energia mutuaExy è una quantità(possibilmente complessa) che gioca un ruolo importante nel calcolo dell’energia della somma deidue segnalix(·) e y(·). Nel caso di segnali reali, l’energia mutua è anch’essa reale (anche se puòavere segno qualsiasi), e risulta simmetrica, in quantoEyx = Exy. Ricordiamo inoltre che due segnalidi energiax(·) e y(·) si diconoortogonali seExy = 0. In aggiunta ai casi considerati negli es. 2.24 ees. 2.25, in base alla prop. 6.10 possiamo individuare un ulteriore caso tipico di segnali ortogonali.Infatti, i due segnalix(·) ey(·) sono ortogonali se hanno banda rigorosamente limitata ed, in aggiunta,i loro spettriX(·) eY (·) non si sovrappongono in frequenza, ovvero le loro estensioni spettraliWx eWy hanno intersezione vuota, matematicamenteWx ∩Wy = ∅. Segnali (TC o TD) i cui spettri nonsi sovrappongono in frequenza sono dettiortogonali in frequenza, e costituiscono il caso duale deisegnali che non si sovrappongono nel tempo (segnali ortogonali nel tempo, cfr. es. 2.24).

� Esempio 6.27 (segnali di energia ortogonali in frequenza)Si considerino due segnali reali aventi spettriche non si sovrappongono in frequenza, come ad esempioX( f ) = rect( f ) e Y ( f ) = rect( f −2)+ rect( f + 2)(fig. 6.27). Notiamo che il primo segnale è di tipo passabasso, mentre il secondo è di tipo passabanda. In talcaso si haX( f )Y ∗( f )≡ 0, e quindiExy = 0. �

Banda ad α dB e decadimento asintotico dello spettro

Il concetto dibanda ad α dB si fonda sull’introduzione di un opportuno valore di soglia per lo spettrodi ampiezza|X(·)| di un segnalex(·), considerando trascurabili i valori di|X(·)| inferiori alla sogliafissata. In particolare, tale definizione si riferisce ad una particolare rappresentazione dello spettro diampiezza|X(·)|, basata su una scala di misuralogaritmica. Questo tipo di rappresentazione consentedi definire un secondo parametro, dettorolloff o decadimento asintotico dello spettro di un segnaleche, insieme con la banda, caratterizza sinteticamente un segnale nel dominio della frequenza.

Si è già detto che lo spettro di un segnale può essere rappresentato graficamente in termini del suomodulo (spettro di ampiezza) e della sua fase (spettro di fase). In molti casi, anzichè rappresentare lo


−3 −2 −1 0 1 2 30

0.5

1

f

X(f

)

−3 −2 −1 0 1 2 30

0.5

1

f

Y(f

)

Fig. 6.27. I segnali aventi spettriX( f ) = rect( f ) eY ( f ) = rect( f − 2) + rect( f + 2) sono ortogonali infrequenza (es. 6.27).

spettro di ampiezza in unità naturali, si utilizza nella rappresentazione il logaritmo di|X(·)|. Precisa-mente, con riferimento ad un segnale TCx(t) avente spettro di ampiezza|X( f )|, si definisce spettrodi ampiezza indeciBel (abbreviato dB), la seguente funzione della frequenza:

|X( f )|dB�= 20 log10

|X( f )||X( frif )| , (6.75)

dove frif rappresenta una frequenza di riferimento opportunamente scelta in dipendenza del tipo disegnale (passabasso, passalto o passabanda) e della forma dello spettro di ampiezza. In molti casi, adesempio, la frequenzafrif è scelta come la frequenza in cui lo spettro di ampiezza assume il valoremassimo. Si noti quindi che il dB non è una misura assoluta, ma è per definizione una misurarelativaad un riferimento. La rappresentazione in dB dello spettro si può scrivere anche nel caso TD, con leovvie sostituzioni formaliν → f eνrif → frif .

La motivazione principale che spinge ad impiegare una scala logaritmica per rappresentare lospettro di ampiezza è che, in molti fenomeni fisici (soprattutto nel campo dell’acustica), lo spettro diampiezza del segnale può variare in funzione della frequenza di svariati ordini di grandezza, il cherende impossibile descrivere in unità naturali con la necessaria precisione la grandezza in questione.

Nel caso dei segnali TC, la rappresentazione di|X( f )|dB in funzione di f , dove la frequenzaè anch’essa espressa in scala logaritmica, prende il nome didiagramma di Bode per lo spettro diampiezza.33 Una rappresentazione analoga in cui la fase�X( f ) è rappresentata in funzione difespressa in scala logaritmica prende il nome di diagramma di Bode per lo spettro di fase. Il vantaggiodella rappresentazione logaritmica anche per la frequenza è quella che è possibile rappresentare sullostesso asse valori di frequenza che variano anche di differenti ordini di grandezza (ad esempio, si puòrappresentare su uno stesso diagramma, senza perdere precisione, le frequenze che vanno dagli Hzfino ai kHz, ai MHz o addirittura ai GHz). I diagrammi di Bode sono molto utilizzati nella teoria deisistemi a TC, per la rappresentazione in modulo e fase della risposta in frequenzaH( f ) di un sistemaLTI; noi nel seguito considereremo esclusivamente il diagramma di Bode per l’ampiezza, in quantoci consentirà di introdurre importanti concetti relativi alla banda adα dB e al decadimento asintoticodello spettro di un segnale.

33Nel caso TD, non si è soliti rappresentare la frequenzaν in scala logaritmica, in quanto a differenza del caso TC essavaria in un intervallo di ampiezza unitaria.


10−2

10−1

100

101

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

fT

|X(f

)|dB

Fig. 6.28.Diagramma di Bode dello spettro di ampiezza di unesponenziale monolatero TC (es. 6.28). I segmenti di retta trat-teggiati rappresentano le approssimazioni asintotiche perf T � 1e f T � 1 (i due segmenti si intersecano perf T = 1

2π ≈ 0.16).

A titolo esemplificativo, consideriamo il diagramma di Bode per lo spettro di ampiezza di unesponenziale monolatero decrescente a TC.

� Esempio 6.28 (diagramma di Bode dello spettro di ampiezza dell’esponenziale monolatero TC)Si con-sideri il segnale esponenziale monolaterox(t) = Ae−t/T u(t), conA ∈ R e T ∈ R+, il cui spettro di ampiezza(assumendoA > 0) (cfr. es. 6.8) è

|X( f )|= AT√1+(2π f T )2

,

ed è raffigurato in fig. 6.5 (in alto). Si tratta evidentemente di un segnale passabasso. Poiché lo spettro diampiezza è massimo perf = 0, possiamo sceglierefrif = 0 e quindi:

|X( f )|dB = 20 log10|X( f )||X(0)| =−10 log10[1+(2π f T )2] .

Il diagramma di Bode di|X( f )|dB in funzione di f T (espresso in unità logaritmiche) è riportato in fig. 6.28. Èinteressante notare che tale diagramma può essere approssimato mediante due rette asintotiche:

• per 2π f T � 1, ovvero f T � 12π, si ha|X( f )|dB≈−10log101 = 0;

• per 2π f T � 1, ovvero f T � 12π, si ha|X( f )|dB≈−20log10(2π f T ) =−20log10(2π)−20log10( f T ).

Tali rette sono raffigurate con linea tratteggiata in fig. 6.28. Si osservi che, al divergere dif T , la rappresentazio-ne in dB dello spettro decresce linearmente rispetto a log10( f T ) con un fattore moltiplicativo 20. Si noti inoltreche le due rette asintotiche si incontrano in corrispondenza della frequenza (normalizzata)f T = 1

2π ≈ 0.16 dovesi ha|X( f )|dB≈−3 dB. �

La rappresentazione in dB dello spettro di ampiezza suggerisce in modo del tutto naturale una defini-zione di banda che si applica a tutti i segnali a banda praticamente limitata, purché essi possiedano unospettro di ampiezza che decade in maniera monotona perf →±∞ (nel caso TD, perv→±1

2). Sceltoα ∈ R+, si definisceestensione spettrale ad α dB l’intervallo di frequenza nel quale lo spettro di


ampiezza|X(·)|dB del segnalex(·) assume valori maggiori o al più uguali ad−α dB; la misura di taleintervallo (monolatera o bilatera) è dettabanda ad α dB. Ad esempio, con riferimento ad un segnalereale passabasso TC, la banda monolatera adα dB è rappresentata dal valore dif > 0, indichiamolocon fα , tale che:

|X( fα )|dB =−α dB (6.76)

che, ricordando la definizione di spettro di ampiezza in dB, si può esprimere equivalentemente in unitànaturali come segue:

|X( fα )||X( frif )| = γ , conγ �= 10−α/20 . (6.77)

In altre parole, l’estensione spettrale del segnale è l’intervallo di frequenza nel quale lo spettro diampiezza|X( f )| si discosta dal valore di riferimento|X( frif )| al più dell’aliquotaγ, che rappresentala soglia scelta. In tal caso, la banda monolatera adα dB è data daBx = fα e quella bilatera èesattamente il doppio, cioèBx = 2 fα . In altre parole, le componenti spettrali del segnalex(t) lecui frequenze cadono nell’intervalloWx = (− fα , fα ) sono ritenute “importanti” ai fini della sintesidel segnale, mentre quelle che non appartengono a tale intervallo di frequenza sono invece ritenute“trascurabili”.

Con riferimento ai segnali TC o TD, molto utilizzate nelle applicazioni sono la banda (monolatera)a 10 dBBx = f10, corrispondente in unità naturali a valori dello spettro di ampiezza pari almeno a1√

10volte il valore alla frequenza di riferimento, o la banda (monolatera) a 20 dBBx = f20, corrispondentein unità naturali a valori dello spettro di ampiezza pari almeno a1

10 volte il valore alla frequenza diriferimento. Per quanto riguarda i sistemi, risulta molto utilizzata anche la banda (monolatera) a 3dB Bx = f3, corrispondente in unità naturali a valori dello spettro di ampiezza pari (circa) almeno a

1√2≈ 0.707 volte il valore alla frequenza di riferimento.

� Esempio 6.29 (banda aα dB dell’esponenziale monolatero TC)Riconsideriamo il caso del segnale espo-nenziale monolatero, considerato nell’es. 6.28, il cui spettro di ampiezza in dB è dato da:

|X( f )|dB = 20 log10|X( f )||X(0)| =−10 log10[1+(2π f T )2] .

ed è riportato in fig. 6.28. Per calcolare la banda adα dB dobbiamo risolvere rispetto adfα la seguenteequazione:

−10 log10[1+(2π fα T )2] =−α =⇒ 1+(2π fα T )2 = 10α/10

che ammette due soluzioni, simmetriche rispetto adf = 0. Scegliendo la soluzione positiva, si ricava che labanda monolatera adα dB vale

Bx = fα =1

2πT

√10α/10−1.

Particolarmente semplice è il casoα = 3 per il quale si haBx = f3 ≈ 1/(2πT ). Si noti che, in generale, comela banda all’α% dell’energia (cfr. es. 6.26), anche la banda adα dB è inversamente proporzionale alla costantedi tempoT , e quindi alla durata del segnale nel dominio del tempo. �

� Esempio 6.30 (banda aα dB dell’esponenziale monolatero TD)Consideriamo l’esponenziale monolate-ro TD x(n) = Aan u(n), conA ∈ R e 0< |a|< 1, la cui trasformata, calcolata nell’es. 2.23, vale

X(ν) =A

1−ae− j2πν ,


0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

a

Bx

Fig. 6.29.Banda a 3 dB dell’esponenziale mono-latero TD in funzione dia∈ (amin,1); per valori dia < amin la banda a 3 dB non può essere definita(es. 6.30).

da cui si ricava lo spettro di ampiezza:

|X(ν)|= |A|√1+a2−2a cos(2πν)

,

il cui andamento è riportato in fig. 6.14 e 6.15 (in alto), nel caso in cui 0< a < 1 e−1< a < 0, rispettivamente.In particolare, nell’ipotesi 0< a < 1 il segnale è passabasso, per cui scegliendoνrif = 0 la banda adα dB si puòcalcolare risolvendo l’equivalente a TD della (6.76) o (6.77). Con riferimento alla seconda, essendoX(0) = |A|si ha:

|X(να )||X(0)| =

1√1+a2−2a cos(2πνα )

= 10−α/20

che può essere risolta rispetto aνα , scrivendola nella forma

1+a2−2a cos(2πνα ) = 10α/10 ⇒ cos(2πνα ) =1+a2−10α/10

2a. (6.78)

Evidentemente, tale equazione nell’incognitax = 2πνα ammette soluzioni se e solo se risulta∣∣∣∣∣1+a2−10α/10

2a

∣∣∣∣∣≤ 1. (6.79)

Studiando la disuguaglianza (6.79), si può mostrare che tale espressione è verificata, pera ∈]0,1[, solo sea ≥ amin, con amin = 10α/20− 1, purchéα ≤ 20log102≈ 6 dB. In queste ipotesi, la (6.78) ammette infinitesoluzioni perx, che si ripetono periodicamente con periodo 2π. L’unica soluzionex esistente nell’intervallo(0,π) si può ottenere mediante la funzione arccos(x), e quindi la banda monolatera vale

Bx = να =1

2πarccos

(1+a2−10α/10

2a

), (6.80)

valida pera≥ amin e purchéα ≤ 6 dB; se queste ultime condizioni, equivalenti alla (6.79) non sono soddisfatte,l’equazione che definisce la banda adα dB non ammette soluzioni e, quindi, la banda adα dB non può esseredefinita.


Dalla (6.80), ricordando le proprietà della funzione arccos(x), si nota che effettivamenteBx ∈ (0, 12). A

differenza del caso TC, la relazione tra banda e durata non è immediatamente evidente dalla (6.80), e richiede-rebbe uno studio più approfondito di tale espressione. Per semplicità, in fig. 6.29 è riportato l’andamento dellabanda a 3 dB (corrispondente adα = 3), nell’intervallo a ∈ [amin,1]. Notiamo che pera→ 1, la durata delsegnale nel dominio del tempo aumenta, mentre la sua banda diminuisce, e viceversa (la massima bandaBx = 1

2si ha in corrispondenza dia = amin). �

In sostanza, la definizione di estensione spettraleWx adα dB per un segnalex(·) a banda praticamentelimitata è legata all’individuazione di un intervallo di frequenza nel quale la risposta in ampiezza sidiscosta (in dB) dal valore assunto ad una frequenza di riferimento al più per una prefissata aliquota(dipendente dalla scelta diα ). Le componenti spettrali del segnale le cui frequenze non appartengonoall’intervallo Wx sono da considerarsi trascurabili, nel senso che non contribuiscono significativa-mente alla sintesi del segnale; tuttavia, la conoscenza della banda aα dB fornisce solo una primainformazione suquanto tali componenti siano trascurabili. Sebbene tale informazione non sia im-portante nel caso dei segnali TD (la sintesi del segnale è già il risultato di una integrazione su unintervallo di misura finita), essa è invece importante per la caratterizzazione sintetica dei segnali TCed è legata allarapidità con cui lo spettroX( f ) del segnale decade a zero quandof →±∞: maggioreè la rapidità di decadimento diX( f ), tanto più lo spettro di ampiezza del segnale risulta confinato nel-l’intervallo Wx. Si ricordi che una questione simile è stata già affrontata per i coefficienti di Fourierdi un segnale periodico (cfr.§ 5.2.2); in quella occasione si è visto che l’effettiva rapidità con cui icoefficienti di Fourier decadono a zero nel dominio della frequenza dipende dalla dolcezza con cui ilsegnale varia nel dominio del tempo, ovvero dal numero di derivate continue che esso possiede. Unrisultato analogo sussiste anche per la trasformata di Fourier a TC:

Proprietà 6.11 (rapidità di decadimento a zero della trasformata di Fourier)Sia x(t) FT←→ X( f ). Se il segnale è continuo con le sue derivate fino a quella di ordinen, conderivata(n + 1)-esima discontinua ma sommabile, la sua trasformata di FourierX( f ) decade azero perf →±∞ come 1/| f |n+2.

La prop. 6.11 stabilisce un legame tra l’ordine di derivabilità di un segnale (ovvero la sua “dolcez-za” nel dominio del tempo) e la velocità di decadimento a zero perf → ±∞ della sua trasformatadi Fourier. In particolare,maggiore è il numero di derivate continue di x(t) (ovvero quanto più ilsegnale varia dolcemente nel tempo), tanto più rapidamente decade a zero la sua trasformata di Fou-rier.34 L’importanza della prop. 6.11 è che essa consente di calcolare la rapidità di decadimento azero della trasformata di Fourieranche senza calcolarla esplicitamente. Ad esempio, si pensi allafinestra rettangolarex(t) = rect(t): in questo caso, essendo il segnalex(t) discontinuo, la prop. 6.11si applica conn = −1 e, conseguentemente, consente di prevedere che la sua trasformata di FourierX( f ) è infinitesima all’infinito del primo ordine, come in effetti è [infatti si ha cheX( f ) = sinc( f ),cfr. es. 6.1] Lo stesso risultato sussiste anche per la trasformata del segnale esponenziale monolaterodecrescente (cfr. es. 6.8), che è anch’esso discontinuo. In questi due casi, come abbiamo già avutomodo di dire, la sommabilità del segnale nel dominio nel tempo non comporta la sommabilità dellatrasformata nel dominio della frequenza. Un diverso discorso sussiste invece per la finestra triango-larex(t) = Λ(t), la cui trasformata di Fourier è data daX( f ) = sinc2( f ) (cfr. es. 6.7); in questo caso,essendo il segnale continuo con derivata prima discontinua ma limitata, la prop. 6.11 si applica conn = 0 e, conseguentemente, in accordo con il fatto cheX( f ) = sinc2( f ), la sua trasformata di Fourierè infinitesima all’infinito del secondo ordine e quindi sommabile. Generalizzando questo risultato,

34Si può dimostrare che è vera anche la proprietàduale, e precisamente,quanto più rapidamente decresce x(t), tanto piùderivabile è la sua trasformata di Fourier.


come corollario della prop. 6.11, osserviamo chese la derivata seconda del segnale x(t) esiste ed èsommabile, allora la trasformata di Fourier X( f ) è sommabile.

La prop. 6.11 ci consente di dare una diversa definizione quantitativa della rapidità con cui lospettro di ampiezza decresce. Infatti, da un punto di vista operativo, possiamo dire che se il segnalex(t) verifica le ipotesi enunciate nella prop. 6.11, allora lo spettro di ampiezza perf sufficientementegrande decade con legge polinomiale del tipo:

|X( f )| ∼ 1| f |n+2 .

Se si considera allora un intervallo di frequenza( f1, f2) con f2 > f1 > 0 sufficientemente grandi,l’attenuazione in dB subita dallo spettro di ampiezza passando dalla frequenzaf1 alla frequenzaf2sarà pari a

ρdB = 20log10|X( f1)||X( f2)| = 20(n+2) log10

f2f1

(6.81)

ed è denominatadecadimento asintotico o rolloff dello spettro di ampiezza (si noti che in effetti,pur essendo un’attenuazione, risulta convenzionalmenteρdB > 0, poichéf2 > f1). Per misurare taledecadimento dobbiamo tuttavia specificare l’intervallo di frequenze( f1, f2) a cui riferirci. Data laforma della (6.81), conviene scegliere intervalli in cuif2 sia un multiplo di f1. Nell’ingegneria, duesono le scelte frequentemente utilizzate. Sef2 = 10 f1, si parla di unadecade, e si ha:

ρdB/dec= 20(n+2) log1010= 20(n+2)dB/decade,

per cui si perviene ad una misura del rolloff in dB/decade. Le decadi sono molto utilizzate nella teoriadei sistemi e nei controlli automatici, in quanto ben si legano con la rappresentazione logaritmica dellefrequenze tipica dei diagrammi di Bode. Una scelta alternativa è quella dell’intervallo denominatoottava, per il qualef2 = 2 f1 e si ha:

ρdB/ott = 20(n+2) log102 = 6(n+2)dB/ottava.

In questo caso si perviene ad una misura del rolloff in dB/ottava. Le ottave sono molto utilizzatenell’elaborazione di segnali audio e nell’acustica in quanto hanno un diretto legame con il concetto“musicale” di ottava: in particolare, dal punto di vista musicale, considerando due note sulla tastieradi un pianoforte separate da un’ottava (ad esempio, un La e quello immediatamente superiore), lafrequenza della seconda nota è esattamente il doppio della prima.In definitiva, un decadimento dellospettro di ampiezza come 1/| f |n+2 corrisponde a 6(n + 2) dB/ottava o a 20(n + 2) dB/decade. Ilpassaggio tra le due unità di misura è molto semplice, in quanto sussiste una relazione lineare:

ρdB/ott = ρdB/dec620

.

� Esempio 6.31 (rolloff della finestra rettangolare e dell’esponenziale monolatero decrescente TC)La fi-nestra rettangolarex(t) = rect(t) e l’esponenziale monolatero decrescente monolaterox(t) = Ae−t/T u(t), conA ∈ R e T ∈ R+, sono segnali discontinui, per cui le loro trasformate sono infinitesime all’infinito di ordineuno (n =−1). Per tali segnali, lo spettro di ampiezza ha un rolloff pari a 20 dB/decade o, equivalentemente, 6dB/ottava. �

� Esempio 6.32 (rolloff della finestra triangolare a TC) La finestra triangolarex(t) = Λ(t) ha derivata pri-ma discontinua ma sommabile, per cui la sua trasformata è infinitesima all’infinito di ordine due (n = 0). In talcaso, quindi, lo spettro di ampiezza ha un rolloff pari a 40 dB/decade o, equivalentemente, 12 dB/ottava. Questocorrisponde alla già osservata (cfr. fig. 6.4) maggiore “compattezza” in frequenza dello spettro dix(t) = Λ(t)rispetto a quello dix(t) = rect(t). �


6.4.3 Segnali a banda non limitata

Esistono segnali, sia a TC che a TD, per i quali non è possibile trovare alcun criterio oggettivo perconsiderare trascurabili alcune componenti spettrali del segnale rispetto ad altre. È questo il caso deisegnali il cui spettro di ampiezza|X(·)| è poco variabile, o addirittura è costante perf ∈ R o perν ∈ (−1

2, 12). Tali segnali prendono il nome disegnali a banda non limitata, anche se in effetti tale

terminologia è appropriata a rigore solo nel caso TC, come mostra l’esempio seguente.

� Esempio 6.33 (banda dell’impulso)Nel caso TC, la trasformata di Fourier del segnalex(t) = δ(t) è statacalcolata nell’es. 6.12 e valeX( f ) = 1. In questo caso, lo spettro di ampiezza vale|X( f )|= 1, ovvero è costante,e quindi, in accordo alla def. 6.3, l’estensione spettrale di questo segnale deve essere considerataWx = R, e lasua banda (bilatera o monolatera) valeBx = +∞.

Nel caso TD, la trasformata di Fourier del segnalex(n) = δ(n), calcolata nell’es. 6.17), valeX(ν) = 1.Anche in questo caso si ha|X(ν)| = 1: poiché, però, per la def. 6.3, l’estensione spettrale di un segnale a TDva considerata ragionando all’interno di un intervallo di frequenze di ampiezza unitaria, tipicamente(−1

2, 12),

risulta in questo caso cheWx = (−12, 1

2), e la banda bilatera valeBx = 1 (quella monolatera valeBx = 12). �

L’esempio precedente mostra che, a stretto rigore, la denominazione di “segnale a banda non limitata”è appropriata solo nel caso TC, e vale in particolare per quei segnali per i qualiWx = R e Bx = +∞.Un altro esempio di segnale TC a banda non limitata è il segnale non sommabilex(t) = 1/t, la cuitrasformata, calcolata nell’es. 6.9 valeX( f ) =− j πsgn( f ), per cui lo spettro di ampiezza|X( f )|= πè costante anche in questo caso. Nel caso TD, per estensione, chiameremo “segnale a banda nonlimitata” un segnale per il quale si haWx = (−1

2, 12) e, conseguentemente,Bx = 1 (banda bilatera);

notiamo che, per un tale segnale, la banda assume il massimo valore consentito dalla def. 6.3(b). Unconcetto che accomuna il caso TC e quello TD è che per un segnale a banda non limitatatutte lecomponenti spettrali sono significative nella sintesi del segnale; inoltre, in entrambi i casi la bandaassume ilmassimo valore possibile (Bx = +∞ nel caso TC,Bx = 1 nel caso TD).

I segnali a banda illimitata, specialmente quelli a TC, costituiscono spesso una astrazione mate-matica (si pensi, ad esempio, all’impulso TC) o, comunque, non sono direttamente riconducibili anessun fenomeno naturale (si pensi, ad esempio, al segnalex(t) = 1/t). Da un punto di vista appli-cativo, tuttavia, il modello matematico di segnale a banda illimitata viene solitamente utilizzato perdescrivere segnali del mondo fisico aventi banda limitata, il cui valore è tuttavia di gran lunga supe-riore alla banda dei sistemi con i quali vengono elaborati. Un esempio di modello di questo tipo è ilrumore generato dall’agitazione termica degli elettroni (rumore termico) nei componenti elettrici edelettronici.


6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

Presentiamo in questo paragrafo le proprietà della trasformata di Fourier legate alle operazioni elemen-tari sui segnali introdotte nel § 2.1. Seguendo la stessa distinzione operata nel § 2.1, distingueremo trale operazioni che agiscono sulla variabile dipendente (l’ampiezza del segnale), e quelle che agisconosulla variabile indipendente (il tempo).

6.5.1 Trasformazioni della variabile dipendente

Tra le trasformazioni della variabile dipendente, abbiamo studiato nel § 2.1 la moltiplicazione di unsegnale per un costante, la somma di due segnali, ed il prodotto di due segnali. A tali operazio-ni corrispondono altrettante proprietà della trasformata di Fourier. Inoltre a partire dalla proprie-tà del prodotto, possiamo introdurre due ulteriori proprietà, quella di traslazione in frequenza e dimodulazione.

Moltiplicazione per una costante e somma di due segnali

Tali operazioni, sia nel caso TC che in quello TD, sono casi particolari della proprietà di linearità(cfr. prop. 6.2) introdotta precedentemente. Più specificamente, la moltiplicazione per una costanteequivale alla proprietà diomogeneità:

y(·) = α x(·) FT←→ Y (·) = α X(·) ,

mentre per il calcolo della trasformata della somma di due (o più) segnali, basta applicare la proprietàdi additività:

y(·) = x1(·)+ x2(·) FT←→ Y (·) = X1(·)+X2(·) .

Notiamo infine che, mentre la moltiplicazione per una costante non altera l’estensione spettrale e labanda del segnale, in quanto risulta|Y (·)| = |α ||X(·)| (lo spettro di ampiezza è moltiplicato per unacostante), più difficile è prevedere l’estensione spettrale e la banda della somma di due segnali, inquanto per lo spettro di ampiezza si può scrivere solo la disuguaglianza|Y (·)| ≤ |X1(·)|+ |X2(·)|. Ingenere, però, l’estensione spettrale diy(·) soddisfa la relazioneWy ⊆Wx1 ∪Wx2.

Prodotto di due segnali

Per quanto riguarda il prodotto di due segnali, è necessario discutere in maniera separata il caso TCe TD. Nel caso TC, infatti, partiamo dalla prop. 6.6 (proprietà di convoluzione) ed invochiamo laprop. 6.4 (proprietà di dualità) per affermare cheal prodotto di due segnali nel dominio del tempocorrisponde la convoluzione delle rispettive trasformate di Fourier:

y(t) = x1(t)x2(t)FT←→ Y ( f ) = X1( f )∗X2( f ) ,

dove si ha esplicitamente

Y ( f ) = X1( f )∗X2( f ) =∫ +∞

−∞X1(λ )X2( f −λ )dλ . (6.82)

Una dimostrazione diretta di questo risultato (non basata cioè sulla dualità) si può ottenere calcolandodirettamente la trasformata di Fourier diy(t) = x1(t)x2(t), utilizzando cioè la definizione (6.7).35

35Tale calcolo diretto nel caso TC non è riportato per brevità, in quanto i passaggi sono simili a quelli per il caso TD,discusso successivamente.

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier 313

Applicando la proprietà di durata della convoluzione (cfr. § 4.3.1), si ricava cheBy≤ Bx1 +Bx2, ovverola moltiplicazione tra i segnali nel tempo comporta in genere un allargamento della banda.

Nel caso TD, vale una proprietà molto simile a quella del caso TC, dove però la convoluzionenel dominio della frequenza deve essere intesa in maniera differente. Ricordiamo infatti che, nelcaso TD, la trasformata di Fourier è una funzione periodica (di periodo 1), e la convoluzione (6.82)tra due funzioni periodiche diverge. Per ricavare allora il risultato corretto, procediamo calcolandodirettamente la trasformata di Fourier diy(n) = x1(n)x2(n), utilizziamo cioè la definizione (6.11) ditrasformata di Fourier nel caso TD:

Y (ν) =+∞

∑n=−∞

x1(n)x2(n)e− j2πνn . (6.83)

Il segnalex1(n) può essere espresso mediante l’equazione di sintesi (6.12):

x1(n) =∫ 1/2

−1/2X1(λ )e j2πλndλ .

Si noti l’uso diλ come variabile di integrazione invece diν , per evitare confusione. Sostituendo taleespressione nella (6.83), riordinando e combinando opportunamente i termini,36 si ha:

Y (ν) =+∞

∑n=−∞

[∫ 1/2

−1/2X1(λ )e j2πλndλ

]x2(n)e− j2πνn =

∫ 1/2

−1/2X1(λ )

[+∞

∑n=−∞

x2(n)e− j2π(ν−λ )n

]︸︷︷︸

=X2(ν−λ )

dλ ,

e quindi:

Y (ν) =∫ 1/2

−1/2X1(λ )X2(ν −λ )dλ . (6.84)

La convoluzione definita dalla (6.84) differisce da quella definita nella (6.82) esclusivamente per l’in-tervallo di integrazione, che nella (6.84) è limitato e pari ad unperiodo dei segnaliX1(ν) e X2(ν).Per questo motivo, tale convoluzione prende il nome diconvoluzione periodica, e si può effettuare tradue segnali (nel dominio del tempo o della frequenza) aventi lo stesso periodo, effettuando le stesseoperazioni della convoluzione convenzionale, ma integrando su un periodo del segnale e non su tuttoR.37 Per contrasto, la convoluzione convenzionale (6.82) prende anche il nome diconvoluzione ape-riodica. Per comodità di notazione, conviene utilizzare il simbolo∗ per denotare entrambi i tipi diconvoluzione, in quanto risulta chiaro dalla natura dei segnali coinvolti (aperiodici o periodici) se sitratti, appunto, di convoluzione aperiodica oppure periodica. Con questa scelta, è possibile enunciarela proprietà del prodotto per la trasformata di Fourier in maniera unificata:

Proprietà 6.12 (proprietà del prodotto della trasformata di Fourier)

Sianox1(·) FT←→ X1(·) e x2(·) FT←→ X2(·), si ha

y(·) = x1(·)x2(·) FT←→ Y (·) = X1(·)∗X2(·) .

36In generale, non è possibile scambiare l’ordine tra la serie e l’integrale; tale operazione è sicuramente possibile sex1(n)e x2(n) sono trasformabili secondo Fourier e, in aggiunta, il loro prodotto è ancora trasformabile.

37In alcuni testi, nella definizione di convoluzione periodica è inclusa la moltiplicazione per un fattore pari al reciprocodel periodo delle funzioni coinvolte; poiché, in questo caso, il periodo è unitario, tale fattore non gioca nessun ruolo.


Perx1(·) = x2(·) = x(·), la proprietà del prodotto assume la forma particolarey(·) = x2(·) FT←→ Y (·) =X(·)∗X(·), e consente pertanto di calcolare la trasformata di Fourier del quadrato di un segnale, comemostrato nell’esempio che segue.

� Esempio 6.34 (trasformata di Fourier del segnale sinc2 a TC) Calcoliamo la trasformata di Fourier del

segnalex(t) = sinc2(t). Poiché sinc2(t) = sinc(t) · sinc(t), ricordando la trasformata notevole sinc(t) FT←→rect( f ) ed applicando la prop. 6.12, si ha:

sinc2(t) = sinc(t) ·sinc(t) FT←→ rect( f )∗ rect( f ) = Λ( f ) .

dove si è sfruttato il risultato notevole (4.28) sulla convoluzione tra due finestre rettangolari applicato neldominio della frequenza. Si giunge pertanto alla trasformata notevole

x(t) = sinc2(t) FT←→ X( f ) = Λ( f ) , (6.85)

la quale evidenzia che, come il segnalex(t) = sinc(t), anche il segnalex(t) = sinc2(t) è un segnale a bandarigorosamente limitata. Si noti in particolare che la banda di sinc2(t), in accordo alla proprietà della duratadella convoluzione, è doppia di quella di sinc(t). Notiamo infine che la trasformata (6.85) poteva ottenersi

anche applicando la proprietà di dualità alla trasformata notevole dix(t) = Λ(t) FT←→ X( f ) = sinc2( f ) ricavatanell’es. 6.7. �

Con riferimento specifico al caso TD, vale la pena notare che la convoluzione periodica possiede granparte delle proprietà della convoluzione aperiodica, a patto di effettuare solo lievi modifiche formali.Tali proprietà si possono provare semplicemente a partire dalla seguente proprietà fondamentale, cheenunciamo senza dimostrazione, la quale istituisce un legame tra la convoluzione periodica di duesegnali e la convoluzione aperiodica dei loro generatori:

Proprietà 6.13 (legame tra convoluzione periodica ed aperiodica)Siano X(ν) = rep1[Xg(ν)] ed Y (ν) = rep1[Xg(ν)] due segnali periodici di periodo unitario,ottenuti per replicazione dai generatoriXg(ν) eYg(ν). Si ha:

rep1[Xg(ν)]∗ rep1[Xg(ν)] = rep1[Xg(ν)∗Yg(ν)] .

dove la convoluzione a primo membro è periodica, mentre quella a secondo membro è aperiodica.

La proprietà precedente esprime il fatto chela convoluzione periodica tra due segnali di periodo uni-tario è uguale alla replicazione con passo unitario della convoluzione aperiodica tra i generatori ditali segnali. In altri termini, la prop. 6.13 suggerisce un procedimento, alternativo a quello diretto, peril calcolo della convoluzione periodica: si calcola prima la convoluzione aperiodica tra i generatori,e successivamente si effettua la replicazione del risultato.38 Tale modo di procedere viene utilizzatonell’esempio seguente per calcolare la trasformata di Fourier del segnale sinc2 a TD.

� Esempio 6.35 (trasformata di Fourier del segnale sinc2 a TD) Il calcolo della trasformata di Fourier delsegnalex(n) = sinc2(2νcn), con 0< νc < 1

2 (raffigurato in fig. 6.30 perνc = 14) si può ottenere applicando la pro-

prietà del prodotto ed i risultati dell’es. 6.19. Infatti, poiché sinc2(2νcn) = sinc(2νcn) ·sinc(2νcn), ricordandola trasformata notevole ricavata nell’es. 6.19

sinc(2νcn) FT←→ 12νc

rep1

[rect

(ν

2νc

)],

38Sebbene abbiamo fatto riferimento alle trasformate di FourierX(ν) edY (ν) di due segnali TD, funzioni della frequenzaν aventi periodo unitario, la prop. 6.13 vale più in generale per la convoluzione periodica tra due segnali (nel tempo o infrequenza) aventi (lo stesso) periodo arbitrario.


−5 0 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

Fig. 6.30. Il segnalex(n) = sinc2(2νcn) perνc =14 (es. 6.35).

0.5 1−0.5−1

ν

X(ν

)

0.5 1−0.5−1

ν

X(ν

)

Fig. 6.31.Spettro del segnalex(n) = sinc2(2νcn)per νc = 1

8 (in alto) e perνc = 38 (in basso)

(es. 6.35).

si ha:

sinc2(2νcn) = sinc(2νcn) ·sinc(2νcn) FT←→ 12νc

rep1

[rect

(ν

2νc

)]∗ 1

2νcrep1

[rect

(ν

2νc

)].

Per il calcolo della convoluzione periodica in frequenza, si può utilizzare la prop. 6.13, ottenendo

12νc

rep1

[rect

(ν

2νc

)]∗ 1

2νcrep1

[rect

(ν

2νc

)]=

14ν2

crep1

[rect

(ν

2νc

)∗ rect

(ν

2νc

)].

Poiché la convoluzione di due finestre rettangolari di uguale durata è una finestra triangolare di durata doppia,calcolando il fattore di scala si ha:

rect

(ν

2νc

)∗ rect

(ν

2νc

)= 2νcΛ

(ν

2νc

),

e quindi si ha, in definitiva, la seguente trasformata notevole

x(n) = sinc2(2νcn) FT←→ X(ν) =1

2νcrep1

[Λ(

ν2νc

)]. (6.86)

che è la controparte a TD della trasformata (6.85). La trasformataX(ν) è puramente reale, ed è raffigurata infig. 6.31 nei due casi 0< νc < 1

4 (valore effettivoνc = 18, grafico in alto) e1

4 ≤ νc < 12 (valore effettivoνc = 3

8,grafico in basso). La differenza tra i due spettri deriva dal fatto che nel primo caso le repliche delle finestretriangolari che generanoX(ν) non si sovrappongono, mentre nel secondo caso esse si sovrappongono.�

Un caso particolare molto interessante del prodotto di due segnali è quello in cui uno dei due segna-li è un fasore oppure una sinusoide. Vediamo per semplicità prima il caso TC, e consideriamo latrasformata di Fourier del prodotto tra il segnalex(t) ed il fasoree j2π f0t , data da

y(t) = x(t)e j2π f0t .

Ricordando la trasformata del fasore TC (cfr. es. 6.15)e j2π f0t FT←→ δ( f − f0), ed applicando laprop. 6.12 conx1(t) = x(t) e x2(t) = e j2π f0t , si ha:

Y ( f ) = X( f )∗δ( f − f0) = X( f − f0)


dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato la prop. 4.2(f) (proprietà di convoluzione della delta diDirac).

Nel caso TD, si può ragionare in maniera simile a partire dal segnaley(n) = x(n)e j2πν0n. Ri-

cordando in particolare che la trasformata del fasore TD (cfr. es. 6.22) èe j2πν0n FT←→ δ̃(ν − ν0), edapplicando la prop. 6.12, si ha:

Y (ν) = X(ν)∗ δ̃(ν −ν0) .

EsprimendoX(ν) = rep1[Xg(ν)] e δ̃(ν) = rep1[δ(ν)], si ha δ̃(ν − ν0) = rep1[δ(ν − ν0)] e quindi,applicando la prop. 6.13, si ottiene:

Y (ν) = rep1[Xg(ν)]∗ rep1[δ(ν −ν0)] = rep1[Xg(ν)∗δ(ν −ν0)] .

Sfruttando ancora la prop. 4.2(f) (proprietà di convoluzione della delta di Dirac), si ha infine

Y (ν) = rep1[Xg(ν −ν0)] = X(ν −ν0) ,

ovvero si ottiene un risultato analogo al caso TC. In definitiva, sia nel caso TC che in quello TD, valela seguenteproprietà di traslazione frequenziale della trasformata di Fourier:

Proprietà 6.14 (proprietà di traslazione frequenziale della trasformata di Fourier)

Siax(·) FT←→ X(·) e f0 ∈ R, ν0 ∈ R, si ha

y(t) = x(t)e j2π f0t FT←→ Y ( f ) = X( f − f0) (segnali TC)

y(n) = x(n)e j2πν0n FT←→ Y (ν) = X(ν −ν0) (segnali TD)

L’interpretazione della prop. 6.14 è che, per effetto della moltiplicazione nel tempo del segnalex(·)per un fasore (a frequenzaf0 o ν0), lo spettroX(·) subisce una traslazione in frequenza, verso destra sef0,ν0 > 0, verso sinistra sef0,ν0 < 0; ad esempio, in fig. 6.32 è rappresentata tale traslazione nel casoTC e per f0 > 0. A tale traslazione dello spettro corrisponde un’analoga traslazione dell’estensionespettrale del segnale: ad esempio, in fig. 6.32, tale estensione passa daWx = (−W,W ) aWy = ( f0−W, f0+W ), per cui il segnale passabassox(t) viene trasformato in un segnaley(t) passabanda. Poichéperò una semplice traslazione dell’estensione spettrale non ne modifica la sua misura, si può affermarechela banda bilatera di x(·) non varia per effetto della moltiplicazione con un fasore, ovvero si haBy = Bx. L’esempio di fig. 6.32 mostra anche che la traslazione in frequenza distrugge in generel’eventuale simmetria hermitiana dello spettroX(·): d’altra parte, a causa della moltiplicazione conil fasore, il segnaley(·) è in generale complesso, e quindi la sua trasformataY (·) non è tenuta apresentare la proprietà di simmetria hermitiana.

Nel caso TD, la proprietà di traslazione in frequenza assume una forma particolare perν0 =±12:

in questo caso, infatti, il fasore a frequenzaν0 =±12 si scrive come

e j2πν0n = e±πn = (−1)n ,

per cui la prop. 6.14 si scrive in maniera esplicita come

y(n) = x(n)(−1)n FT←→ Y (ν) = X

(ν ± 1

2

). (6.87)


X(f)

f-W W

Y(f)=X(f-f0)

ff0-W f0+Wf0

(a) (b)1 1

Fig. 6.32.Traslazione in frequenza nel caso TC: (a) trasformata del segnalex(t);(b) trasformata del segnaley(t) = x(t)e j2π f0t per f0 > 0.

Tale forma della traslazione in frequenza nel caso TD prende il nome discambio alte-basse frequenze:si noti infatti che, per effetto della traslazione di±1

2 nella (6.87), il contenuto spettrale del segnalealle frequenzeν = k, con k ∈ Z (le basse frequenze), viene spostato alle frequenzeν = k + 1

2 (lealte frequenze), e viceversa. In altri termini,la moltiplicazione per (−1)n nel dominio del tempo puòtrasformare un segnale passabasso in un segnale passaalto, e viceversa, come evidenziato ad esempioin fig. 6.33. Si noti che in questo caso, essendo(−1)n reale, la particolare traslazione frequenzialeeffettuata nella (6.87) preserva l’eventuale simmetria hermitiana dello spettro dix(n).

� Esempio 6.36 (scambio alte-basse frequenze per l’esponenziale monolatero TD)L’effetto dello scambioalte-basse frequenze sullo spettro del segnale si può vedere partendo dall’esponenziale monolatero TDx(n) =Aan u(n), conA ∈ R e 0< a < 1, e costruendo il segnaley(n) = (−1)nx(n) = A(−a)n u(n). In effetti, il se-gnaley(n) si può vedere ancora come un segnale esponenziale monolatero TD, avente base(−a) negativa edopposta a quella dix(n). In base allora alla (6.87), gli spettri di due segnali esponenziali monolateri TD aventibasi opposte±a si possono ottenere l’uno dall’altro operando uno scambio alte-basse frequenze, ovvero unatraslazione in frequenza di±1

2 di uno dei due spettri. Questa interpretazione è confermata dal confronto deglispettri riportati nelle fig. 6.14 e fig. 6.15, e che corrispondono ada =±0.5. �

Poiché nella pratica non è possibile moltiplicare un segnale per un fasore, interessa derivare unaproprietà analoga alla prop. 6.14 per le sinusoidi TC o TD. Prendendo come esempio il caso TC,calcoliamo la trasformata di Fourier della seguente espressione:

y(t) = x(t)cos(2π f0t +ϕ0) , (6.88)

dove f0,ϕ0 ∈ R. Adoperando la formula di Eulero, è possibile esprimerey(t) come

y(t) = x(t)cos(2π f0t +ϕ0) = x(t)[

12

e j2π f0t e jϕ0 +12

e− j2π f0t e− jϕ0

]=

12

e jϕ0 x(t)e j2π f0t +12

e− jϕ0 x(t)e− j2π f0t ,

da cui, applicando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier e la prop. 6.14 per i due prodotticon i fasori a frequenze± f0, si ha:

Y ( f ) =12

e jϕ0 X( f − f0)+12

e− jϕ0 X( f + f0) . (6.89)

Nel caso TD, ragionando in maniera simile per il segnaley(n) = x(n) cos(2πν0n + ϕ0), si mostrafacilmente che si giunge ad un risultato analogo, per cui può enunciare la seguenteproprietà dimodulazione della trasformata di Fourier:


X(ν)

ν

1

-1 1-1/2 1/2

Y(ν)=X(ν±1/2)

ν

1

-1 1-1/2 1/2

Fig. 6.33. Illustrazione dello scambio alte-basse frequenze (6.87): per effettodella traslazione di±1

2, lo spettro passabassoX(ν) (in alto) viene trasformatonello spettro passaaltoY (ν) (in basso).

Proprietà 6.15 (proprietà di modulazione della trasformata di Fourier)

Siax(·) FT←→ X(·) e f0,ν0,ϕ0 ∈ R, si ha

y(t) = x(t) cos(2π f0t +ϕ0)FT←→ Y ( f ) =

12

e jϕ0X( f − f0)+12

e− jϕ0X( f + f0) (segnali TC)

y(n) = x(n) cos(2πν0n+ϕ0)FT←→ Y (ν) =

12

e jϕ0X(ν−ν0)+12

e− jϕ0X(ν +ν0) (segnali TD)

Per effetto della moltiplicazione per una sinusoide39 a frequenzaf0 o ν0, lo spettroX(·) del segnalex(·) subisce unadoppia traslazione in frequenza, sia verso destra che verso sinistra (fig. 6.34), adesempio, in fig. 6.34 è rappresentata tale traslazione nel caso TC, perϕ0 = 0 e f0 > 0, accompagnata daun dimezzamento delle ampiezze diY (·) rispetto a quelle diX(·) per effetto della moltiplicazione per1

2nella (6.89). A tale doppia traslazione dello spettro corrisponde una doppia traslazione dell’estensionefrequenziale del segnale: ad esempio, in fig. 6.34, tale estensione passa daWx = (−W,W ) a Wy =(− f0−W,− f0 +W )∪ ( f0−W, f0 +W ), per cui il segnale passabassox(t) viene trasformato in unsegnaley(t) passabanda: ciò accade in particolare se| f0| > W , in caso contrario le due traslazionidello spettro tendono a sovrapporsi, per cui l’estensione spettrale risultanteWy = (− f0−W, f0+W ) èancora centrata suf = 0, quindi il segnale rimane passabasso. Conseguentemente, la misura diWy può

39La prop. 6.15 ammette una forma equivalente quando la sinusoide è espressa in termini della funzione sin(x), che nonè difficile ricavare utilizzando la formula di Eulero per quest’ultima funzione.


X(f)

f-W W

Y(f)

ff0-W f0

(a) (b)

1

1/2

f0+W-f0-W -f0 -f0+W

Fig. 6.34.Modulazione nel caso TC: (a) trasformata del segnalex(t); (b) trasformata del segnaley(t) =x(t) cos(2π f0t +ϕ0) perϕ0 = 0 e f0 > 0.

essereal più pari al doppio della misura diWx, per cuila banda di x(·) può al massimo raddoppiareper effetto della moltiplicazione con una sinusoide, ovvero si haBy ≤ 2Bx, dove l’uguaglianza vale sele due traslazioni in frequenza non si sovrappongono: questo è il caso, ad esempio, di fig. 6.34, in cuile bande bilatere sonoBx = 2W eBy = 4W . Notiamo infine che la modulazione non altera l’eventualesimmetria hermitana dello spettro, in quanto sex(·) è reale, anchey(·) lo è.

Nelle telecomunicazioni, la moltiplicazione per un segnale sinusoidale a TC o a TD effettuatanella prop. 6.15 prende il nome dimodulazione, ed il sistema con ingressox(·) ed uscitay(·) prendeil nome di modulatore. Il modulatore, come si può facilmente verificare, è un sistema lineare matempo-variante (in breve, LTV). La natura LTV e non LTI di tale sistema è evidenziata dal fattoche, come mostra esplicitamente la fig. 6.34 nel caso TC, esso introduce nel segnale di uscitay(·)delle componenti spettrali chenon sono originariamente presenti nel segnalex(·), e quindi non fungesemplicemente da filtro, come i sistemi LTI. Lo schema a blocchi di un modulatore, con riferimentoad esempio al caso TC, è riportato in fig. 6.35, e comprende un oscillatore sinusoidale a frequenzaf0(la cosiddetta frequenza portante ocarrier frequency) ed un moltiplicatore: il segnalex(t) prende ilnome disegnale modulante, mentre il segnale cos(2π f0t +ϕ0) è chiamatosegnale portante, ed infineil risultato y(t) della modulazione è denominatosegnale modulato.

Nel caso TC, la modulazione realizza in effetti unaconversione di frequenza del segnalex(t):mediante tale operazione (fig. 6.34) un segnalex(t) passabasso viene trasformato in un segnaley(t)passabanda, detto anchea radio frequenza quando la frequenza portantef0, come spesso accade,assume valori nell’ambito delle frequenze radio (si veda in particolare la tab. 6.1). Lo scopo principaledella modulazione è quello di traslare il contenuto spettrale del segnalex(t), originariamente a bassafrequenza, verso frequenze più elevate, in modo da consentirne una trasmissione efficiente a lungadistanza su un mezzo trasmissivo, come lo spazio libero oppure un cavo metallico, che non è adattoalla trasmissione di segnali a bassa frequenza. Mediante la modulazione, pertanto,le caratteristichespettrali del segnale vengono adattate a quelle del mezzo trasmissivo.40 Per chiarire meglio alcuni deiconcetti precedenti, l’esempio che segue considera il caso specifico della trasmissione via radio di un

40Nelle telecomunicazioni, in realtà, il termine “modulazione” è utilizzato in senso più ampio: per modulazione si intendequalunque elaborazione di un segnale di informazione effettuata allo scopo di renderlo più adatto alla trasmissione su uncanale. Il segnale di informazione da elaborare può essere analogico oppure numerico, si parla allora di modulazioneanalogica o numerica, rispettivamente. La trasformazione (6.88), allora, rientra nell’ambito delle modulazioni analogichedi ampiezza (amplitude modulation, AM), e prende più precisamente il nome di “modulazione di ampiezza con portantesoppressa” o “modulazione DSB” (double sideband). Altre modulazione analogiche frequentemente utilizzate sono lamodulazione di frequenza (frequency modulation, FM), e la modulazione di fase (phase modulation, PM), i cui modellimatematici sono più complessi di quello (6.88) (si tratta, in particolare, di modulazioninon lineari, ovvero descritte mediantesistemi non lineari).


Banda Frequenzaf Lunghezza d’ondaλ Principali impieghi

ELF (Extremely low frequency) 3–30 Hz 100 000 km–10 000 km comunicazioni sottomarineSLF (Super low frequency) 30–300 Hz 10 000 km–1 000 km comunicazioni sottomarineULF (Ultra low frequency) 300–3000 Hz 1 000 km–100 km comunicazioni sottomarineVLF (Very low frequency) 3–30 kHz 100 km–10 km comunicazioni marineLF (Low frequency) 30–300 kHz 10 km–1 km radio AMMF (Medium frequency) 300–3000 kHz 1 km–100 m radio AMHF (High frequency) 3–30 MHz 100 m–10 m radioamatori (onde corte)VHF (Very high frequency) 30–300 MHz 10 m–1 m radio FM, TVUHF (Ultra high frequency) 300–3000 MHz 1 m–100 mm ponti radio, TV, cellulare, WLANSHF (Super high frequency) 3–30 GHz 100 mm–10 mm radar, satelliti, WLANEHF (Extremely high frequency 30–300 GHz 10 mm – 1 mm sistemi wireless fissi, satelliti

Tab. 6.1. Bande di frequenza, lunghezze d’onda e principali impieghi dello spettro radio (λ = c/ f , dovec = 3 · 108 m/s è la velocità della luce nel vuoto, coincidente con buona approssimazione con la velocità dipropagazione di un’onda elettromagnetica nell’aria.)

Segnale Banda monolateraBx

voce 4 kHzmusica 20 kHzvideo 5 MHzdati a velocitàRs simboli/s Rs/2≤ Bx ≤ Rs

Tab. 6.2. Valori indicativi della banda monolate-ra Bx per alcuni segnali di informazione di usocomune.

segnale vocale.

� Esempio 6.37 (trasmissione via radio di un segnale vocale)Il segnale vocalex(t) (cfr. es. 1.9), come ognisegnale di informazione, andrebbe modellato rigorosamente come un segnale aleatorio. In questo esempio, persemplicità, considereremo un più semplice modello deterministico, nel qualex(t) è un segnale deterministicopassabasso a banda rigorosamente limitata [fig. 6.34(a)], avente banda monolatera dell’ordine diBx = 4 kHz.Notiamo che tale segnale, pur avendo componenti spettrali che raggiungono la banda radio VLF (cfr. tab. 6.1),non può esseredirettamente trasmesso via radio. Infatti, un risultato fondamentale dell’elettromagnetismo è cheper trasmettere efficientemente un segnale con contenuto spettrale nell’intorno della frequenzaf , sono neces-sarie antenne aventi dimensioni lineari comparabili alla lunghezza d’ondaλ = c

f del segnale (una dimensione

tipica di un’antenna lineare èL = λ2 ). Dalla tab. 6.1, si nota che tali lunghezze d’onda per la banda VLF sono

nell’ordine 10–100 km, per cui sarebbero necessarie antenne di proporzioni gigantesche. Risulta molto più con-veniente effettuare una modulazione del segnalex(t) per spostarlo a frequenze più elevate; ad esempio, nellaradiofonia AM si utilizzano tecniche di modulazione di ampiezza per traslare lo spettro del segnale nella banda535-1605 kHz, ovvero nella banda MF (tab. 6.1) cui corrispondono lunghezze d’onda nell’ordine 1 km–100m, e quindi dimensioni più contenute delle antenne. Ancora più favorevole è la trasmissione effettuata (conmodulazione di frequenza) nella banda FM 535-1605 MHz, ovvero nella banda VHF, con lunghezze d’ondadell’ordine 10 m–1m; oppure (utilizzando una modulazione numerica) nella banda dei 900 MHz (sistema ditelefonia cellulare GSM), cui corrisponde una lunghezza d’onda pari circa a 33 cm, per cui l’antenna può essereaddirittura integrata in un terminale tascabile. �

Più in generale, la modulazione consente di affrontare il problema della trasmissione a distanza di unsegnale che trasportainformazione, modellabile come un segnale (aleatorio) passabasso avente bandamonolateraBx (valori tipici della bandaBx per segnali di informazione di varia natura sono riportatiin tab. 6.2). Essa consente di traslare, alle frequenze caratteristiche dello spettro radio, il contenutospettrale del segnalex(t), avente frequenze troppo basse per essere trasmesso direttamente via radio.


x(t) y(t)

cos (2πf0t + ϕ0)

Fig. 6.35.Schema a blocchi di un modulatore aTC.

y(t) x(t)

2 cos (2πf0t + ϕ0)

LPF

Fig. 6.36.Schema a blocchi di un demodulatore aTC. Il filtro LPF è ideale, con risposta in frequenza

H( f ) = rect(

fW

).

Dalla fig. 6.34, si nota che il segnale modulatoy(t) presenta una bandamonolatera By = 2W , edun’estensione spettrale monolatera centrata intorno alla frequenzaf0; si definisce allorabanda relativamonolatera del segnaley(t) la quantità

by�=

By

f0=

2Wf0

.

Considerazioni ingegneristiche impongono che la banda relativa di un segnale modulato debba assu-mere valori dell’ordine di 0.01≤ by ≤ 0.1 ; ciò comporta che per soddisfare tale relazione, al cresceredella bandaW del segnale di informazione, debba crescere proporzionalmente la frequenza portantef0, una tendenza confermata da molti sistemi di telecomunicazione (cfr. tab. 6.1 e tab. 6.2).

La traslazione in frequenza operata dalla modulazione non deve precludere la possibilità di re-cuperareperfettamente (almeno in linea teorica) il segnalex(t) a partire dal segnale modulatoy(t).L’operazione inversa della modulazione viene svolta da un sistema denominatodemodulatore. Si puòverificare, in particolare, che se il segnalex(t) è a banda rigorosamente limitata, con banda monola-teraBx = W , lo schema a blocchi di fig. 6.35 consente di recuperare perfettamente il segnalex(t) apartire dal segnale modulatoy(t) = x(t)cos(2π f0t + ϕ0). Si noti che tale demodulazione è perfettasolo in condizioni ideali: in particolare, dallo schema di fig. 6.35, si vede che è necessario disporrein ricezione, oltre che di un filtro ideale, di un oscillatore a frequenzaf0 e fase inizialeϕ0, con va-lori di frequenza/fase perfettamente coincidenti con quelli dell’oscillatore utilizzato in trasmissione.Ottenere tale perfetta coincidenza non è semplice, visto che gli oscillatori del modulatore e del demo-dulatore sono distinti e si trovano in posizioni geograficamente separate: le tecniche che risolvono taleproblema prendono il nome dialgoritmi di sincronizzazione. L’approfondimento più specifico delletecniche di modulazione e demodulazione, nonché delle tecniche di sincronizzazione, non rientra tragli argomenti di base della teoria dei segnali e dei sistemi, ed è invece sviluppato in corsi più avanzatidi telecomunicazioni.

6.5.2 Trasformazioni della variabile indipendente

Consideriamo ora le proprietà della trasformata di Fourier collegate alle trasformazioni della variabileindipendente, quali la traslazione temporale, la riflessione, ed il cambiamento di scala dei tempi.


Traslazione temporale

È semplice calcolare la trasformata di Fourier di un segnale che ha subito una traslazione temporale.Ad esempio, nel caso TC, la trasformata di Fourier diy(t) = x(t− t0), applicando la (6.7), è data da

Y ( f ) =∫ +∞

−∞y(t)e− j2π f tdt =

∫ +∞

−∞x(t− t0)e− j2π f tdt .

Effettuando il cambio di variabileu = t− t0→ t = u+ t0 nell’integrale si ha:

Y ( f ) =∫ +∞

−∞x(u)e− j2π f (u+t0)du =

[∫ +∞

−∞x(u)e− j2π f udu

]︸︷︷︸

=X( f )

e− j2π f t0 ,

per cui in definitiva si trova

Y ( f ) = X( f )e− j2π f t0 .

Con passaggi simili si può provare che una proprietà analoga vale nel caso TD, per cui si può enunciarela proprietà di traslazione temporale della trasformata di Fourier:

Proprietà 6.16 (proprietà di traslazione temporale della trasformata di Fourier)

Siax(·) FT←→ X(·) e t0 ∈ R, n0 ∈ Z, si ha

y(t) = x(t− t0)FT←→ Y ( f ) = X( f )e− j2π f t0 (segnali TC)

y(n) = x(n−n0)FT←→ Y (ν) = X(ν)e− j2πνn0 (segnali TD)

Gli effetti di una traslazione temporale sullo spettro del segnale sono più chiari se si ragiona separata-mente sullo spettro di ampiezza e di fase dei segnaliy(t) e x(t). Nel caso TC, ad esempio, calcolandomodulo e fase diY ( f ) = X( f )e− j2π f t0, si ha

|Y ( f )|= |X( f )| ,�Y ( f ) = �X( f )−2π f t0 .

La prima relazione evidenzia che una traslazione temporalenon modifica lo spettro di ampiezza delsegnale; la seconda mostra invece che essa modifica lo spettro di fase, introducendo uno sfasamentoadditivo, caratterizzato da una leggelineare in frequenza, con pendenzanegativa se t0 è positivo(ritardo temporale),positiva set0 è negativo (anticipo temporale). In altri termini,ad una traslazionetemporale corrisponde uno sfasamento lineare nel dominio della frequenza.

Il fatto che, per effetto della traslazione temporale, lo spettro di ampiezza non subisca modifiche,ha come conseguenza che l’estensione frequenziale e la banda del segnale non cambiano, si ha cioèWy = Wx eBy = Bx. In altri termini,una traslazione temporale del segnale non altera nè l’estensionespettrale, nè la banda del segnale.

� Esempio 6.38 (trasformata della finestra triangolare a TD)Applichiamo la proprietà di traslazione tem-porale (insieme con altre proprietà, quali la linearità e la convoluzione) per calcolare la trasformata di Fourierdella finestra di Bartlett o finestra triangolare a TDx(n) = B2N(n). Nell’es. 4.6 abbiamo provato che vale laseguente relazione [cfr. eq. (4.33)] tra finestre rettangolari e triangolari a TD:

RN(n)∗RN(n) = NB2N(n+1) .


−1 −0.5 0 0.5 10

2

4

ν

|X(ν

)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−2

0

2

ν

∠ X

(ν)

Fig. 6.37.Spettro di ampiezza (in alto) e di fase(in basso) della trasformata di FourierX(ν) dellafinestra triangolarex(n) = B10(n) (es. 6.38).

Applicando la proprietà di invarianza temporale della convoluzione (cfr. § 4.3.1), si trova allora:

x(n) = B2N(n) =1N

[RN(n−1)∗RN(n)] ,

da cui, ricordando cheRN(n) FT←→ DN(n) (cfr. es. 6.2), ed applicando le proprietà di linearità, traslazionetemporale e di convoluzione della trasformata di Fourier si ha:

X(ν) =1N

[DN(ν)e− j2πν ·DN(ν)

]=

1N

D2N(ν)e− j2πν ,

ovvero, ricordando la definizione diDN(ν),

x(n) = B2N(n) FT←→ X(ν) =sin2(πνN)N sin2(πν)

e− j2Nπν .

Il modulo e la fase si calcolano immediatamente:

|X(ν)|= sin2(πνN)N sin2(πν)

(6.90)

�X(ν) =−2Nπν (6.91)

e sono raffigurate in fig. 6.37 nel casoN = 5. Si noti che, poiché la fase riportata in fig. 6.37 è in effettil’argomento principale Arg[X(ν)], i cui valori appartengono all’intervallo]−π,π], tale grafico ha l’andamentodi una spezzata e non quello di una retta continua, come invece suggerito dall’espressione (6.91). �

Riflessione temporale

Come per la traslazione temporale, anche per la riflessione temporale di un segnale vale una proprietàmolto semplice, con riferimento alla sua trasformata di Fourier. Prendendo ad esempio ancora il casoTC, la trasformata del segnale riflessoy(t) = x(−t) si calcola come segue:

Y ( f ) =∫ +∞


∫ +∞

−∞x(−t)e− j2π f tdt .


Operando il cambio di variabileu =−t→ t =−u, si ha:

Y ( f ) =∫ +∞

−∞x(u)e j2π f udu =

∫ +∞

−∞x(u)e− j2π(− f )udu︸︷︷︸

=X(− f )

,

e quindi

y(t) = x(−t) FT←→ Y ( f ) = X(− f ) .

In sintesi,ad una riflessione nel dominio del tempo corrisponde una riflessione nel dominio dellafrequenza. La proprietà precedente può essere dimostrata con passaggi analoghi anche nel caso TD, equindi è possibile enunciare la seguenteproprietà di riflessione della trasformata di Fourier:

Proprietà 6.17 (proprietà di riflessione della trasformata di Fourier)

Siax(·) FT←→ X(·), si ha

y(·) = x(−(·)) FT←→ Y (·) = X(−(·)) .

La proprietà di riflessione ha un significato prettamente matematico, e consente di introdurre e discu-tere più approfonditamente una serie diproprietà di simmetria caratteristiche dei segnali e delle lorotrasformate di Fourier. Ad esempio, dato un segnalex(·) pari, ovvero tale che

x(·) = x(−(·)) ,

trasformando membro a membro la precedente relazione, ed applicando la prop. 6.17, si trova

X(·) = X(−(·)) ,

e quindi la trasformata di Fourier è anch’essa un segnale pari. In altri termini,un segnale pari ha unatrasformata di Fourier pari. Seguendo un ragionamento analogo, dato un segnalex(·) dispari

x(·) =−x(−(·)) ,

trasformando membro a membro ed applicando la prop. 6.17, si trova

X(·) =−X(−(·)) ,

per cui la trasformata di Fourier è anch’essa dispari. In altri termini,un segnale dispari ha unatrasformata di Fourier dispari.

Il discorso precedente può essere generalizzato al caso di un segnale arbitrario (nè pari nè dispari),ricordando [cfr. prop. 2.1(e)] che qualsiasi segnalex(·) può essere decomposto nella somma di unsegnale pari e di un segnale dispari:

x(·) = Pa[x(·)]+Di[x(·)] , (6.92)

dove

Pa[x(·)] �= 12

[x(·)+ x(−(·))] , Di[x(·)] �= 12

[x(·)− x(−(·))] ,


rappresentano, rispettivamente, lacomponente pari e lacomponente dispari del segnale. Applicandole proprietà di riflessione e di linearità della trasformata di Fourier, si ha

Pa[x(·)] �= 12

[x(·)+ x(−(·))] FT←→ 12

[X(·)+X(−(·))] �= Pa[X(·)] ,ovveroalla componente pari del segnale nel dominio del tempo corrisponde la componente pari dellasua trasformata di Fourier. Con ragionamento analogo si trova

Di[x(·)] �= 12

[x(·)− x(−(·))] FT←→ 12

[X(·)−X(−(·))] �= Di[X(·)] ,e quindi alla componente dispari del segnale nel dominio del tempo corrisponde la componentedispari della sua trasformata di Fourier. Ovviamente, per il segnale complessivox(·), si avrà che

x(·) = Pa[x(·)]+Di[x(·)] FT←→ X(·) = Pa[X(·)]+Di[X(·)] .La (6.92) può essere vista come ladecomposizione elementare di un segnalex(·) nella somma delle suecomponenti elementari pari e dispari [un’analoga decomposizione vale, nel dominio della frequenza,per X(·)]. È possibile considerare altre tipologie di decomposizione elementare di un segnale (neldominio del tempo o della frequenza), che consentono di sviluppare ulteriormente il discorso sulleproprietà di simmetria della trasformata di Fourier. Ad esempio, un segnalex(·) a valori complessi puòessere matematicamente decomposto nella somma della suacomponente reale e della suacomponenteimmaginaria:

x(·) = Re[x(·)]+ j Im[x(·)] , (6.93)

dove la componente reale e la componente immaginaria41 possono essere espresse in funzione dix(·)e di x∗(·) come:

Re[x(·)] �= 12

[x(·)+ x∗(·)] , j Im[x(·)] �= 12

[x(·)− x∗(·)] .

Per effettuare la trasformata di Fourier delle precedenti espressioni, occorre calcolare la trasformatadel segnale coniugatoy(·) = x∗(·). Con riferimento ad esempio al caso TC, si ha immediatamente

Y ( f ) =∫ +∞


∫ +∞

−∞x∗(t)e− j2π f tdt =

[∫ +∞

−∞x(t)e j2π f tdt

]∗=[∫ +∞

−∞x(t)e− j2π(− f )tdt

]∗︸︷︷︸

=X∗(− f )

,

per cui si trova

y(t) = x∗(t) FT←→ Y ( f ) = X∗(− f ) .

In sintesi,ad una coniugazione nel dominio del tempo corrispondono una coniugazione più una ri-flessione nel dominio della frequenza. Tale proprietà può essere estesa facilmente al caso TD, e valepertanto la seguenteproprietà di coniugazione della trasformata di Fourier:

Proprietà 6.18 (proprietà di coniugazione della trasformata di Fourier)


y(·) = x∗(·) FT←→ Y (·) = X∗(−(·)) .

41Si osservi che, mentre la “componente reale” coincide con la parte reale definita nell’app. A, per “componenteimmaginaria” intendiamo la parte immaginaria moltiplicata perj.


Applicando allora la proprietà precedente e la proprietà di linearità, è possibile calcolare la trasformatadella componente reale dix(·):

Re[x(·)] �= 12

[x(·)+ x∗(·)] FT←→ 12

[X(·)+X∗(−(·))] �= He[X(·)] ,

dove è stata definita lacomponente hermitiana He[X(·)] della trasformata di Fourier. In sintesi,allacomponente reale nel dominio del tempo corrisponde la componente hermitiana nel dominio dellafrequenza. Notiamo che la componente (o parte) hermitiana di un segnale ha una espressione simile aquella della componente (o parte) pari, con l’unica differenza che il secondo addendo, oltre ad essereriflesso, è coniugato; ovviamente si ha He[X(·)] ≡ Pa[X(·)] se (e solo se)X(·) è reale. Con passaggisimili, si ha, per la componente immaginaria,

j Im[x(·)] �= 12

[x(·)− x∗(·)] FT←→ 12

[X(·)−X∗(−(·))] �= Ah[X(·)] ,

dove Ah[X(·)] rappresenta lacomponente antihermitiana della trasformata di Fourier. Pertanto,al-la componente immaginaria nel dominio del tempo corrisponde la componente antihermitiana neldominio della frequenza. Notiamo che la componente (o parte) antihermitiana di un segnale ha unaespressione simile a quella della componente (o parte) dispari, con l’unica differenza che il secondoaddendo, oltre ad essere riflesso, è coniugato; chiaramente si ha Ah[X(·)] ≡ Di[X(·)] se (e solo se)X(·) è reale. Per il segnale complessivox(·), si avrà ovviamente che

x(·) = Re[x(·)]+ j Im[x(·)] FT←→ X(·) = He[X(·)]+Ah[X(·)] .Per completezza, consideriamo un’ultima decomposizione elementare, in cui un segnalex(·) a valoricomplessi è espresso come la somma della sua componente hermitiana ed antihermitiana:

x(·) = He[x(·)]+Ah[x(·)] , (6.94)

dove:

He[x(·)] �= 12

[x(·)+ x∗(−(·))] , Ah[x(·)] �= 12

[x(·)− x∗(−(·))] ,

sono definite nel dominio del tempo analogamente a quanto visto prima perX(·) nel dominio dellafrequenza. Quest’ulteriore decomposizione dix(·) si può vedere come una estensione al caso com-plesso della decomposizione (6.92) in componente pari e dispari [in effetti, se (e solo se)x(·) è reale,le (6.92) ed (6.94) coincidono]. Nel calcolo della trasformata della componente hermitiana ed anti-hermitiana dix(·), compare la trasformata di Fourier dix∗(−(·)), ovvero di un segnale che ha subitouna riflessionepiù una coniugazione. Il risultato si può ottenere subito combinando le prop. 6.17 e6.18, e si ha la seguenteproprietà di riflessione e coniugazione della trasformata di Fourier:

Proprietà 6.19 (proprietà di riflessione e coniugazione della trasformata di Fourier)


y(·) = x∗(−(·)) FT←→ Y (·) = X∗(·) .

In altre parole,ad una riflessione più una coniugazione nel dominio del tempo corrisponde una sem-plice coniugazione nel dominio della frequenza. Applicando tale proprietà, insieme con la proprietàdi linearità della trasformata di Fourier, si ha:

He[x(·)] �= 12

[x(·)+ x∗(−(·))] FT←→ 12

[X(·)+X∗(·)] �= Re[X(·)] ,


dominio del tempo dominio della frequenzax(·) = Pa[x(·)]+Di[x(·)] X(·) = Pa[X(·)]+Di[X(·)]

x(·) = Re[x(·)]+ j Im[x(·)] X(·) = He[X(·)]+Ah[X(·)]x(·) = He[x(·)]+Ah[x(·)] X(·) = Re[X(·)]+ j Im[X(·)]

Tab. 6.3. Relazioni tra le decomposizioni elementari di un segnale nel dominio del tempo e della frequenza.

dominio del tempo dominio della frequenzaPa[x(·)] Pa[X(·)]Di[x(·)] Di[X(·)]Re[x(·)] He[X(·)]j Im[x(·)] Ah[X(·)]He[x(·)] Re[X(·)]Ah[x(·)] j Im[X(·)]

Tab. 6.4. Relazioni tra le componenti elementari di un segnale nel dominio del tempo e della frequenza.

Ah[x(·)] �= 12

[x(·)− x∗(−(·))] FT←→ 12

[X(·)−X∗(·)] �= j Im[X(·)] ,che esprimono il fatto chealla componente hermitiana nel dominio del tempo corrisponde la com-ponente reale nel dominio della frequenza, mentrealla componente antihermitiana nel dominio deltempo corrisponde la componente immaginaria nel dominio della frequenza. Anche qui, per il segnalecomplessivo si ha

x(·) = He[x(·)]+Ah[x(·)] FT←→ X(·) = Re[X(·)]+ j Im[X(·)] .

Tutte le relazioni derivate in precedenza sono sinteticamente raccolte nelle tab. 6.3 e 6.4.Le relazioni delle tab. 6.3 e 6.4 ammettono una ulteriore chiave di lettura, molto interessante in

quanto consente di ottenere in maniera sistematica le principali proprietà di simmetria della trasfor-mata di Fourier. Infatti, con riferimento ad esempio alla decomposizione pari-dispari (6.92), si haevidentemente

x(·) pari ⇐⇒ Di[x(·)] = 0 ⇐⇒ Di[X(·)] = 0 ⇐⇒ X(·) pari

per cui ritroviamo la proprietà secondo la qualeun segnale pari ha una trasformata pari. Allo stessomodo

x(·) dispari ⇐⇒ Pa[x(·)] = 0 ⇐⇒ Pa[X(·)] = 0 ⇐⇒ X(·) dispari

x(·) X(·)pari pari

dispari disparireale hermitiana

immaginario antihermitianahermitiano reale

antihermitiano immaginaria

Tab. 6.5. Proprietà di simmetria di un segnale e della sua trasformata di Fourier.


−5 0 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

Fig. 6.38.Esponenziale bilatero a TC perA = 1 eT = 1 (es. 6.39).

−5 0 5

0

0.5

1

t

y(t)

−5 0 5

0

0.5

1

t

y(−

t)

Fig. 6.39.L’esponenziale bilaterox(t) = Ae−|t|/T

di fig. 6.38 (es. 6.39) può essere rappresentato co-me la somma dei due segnaliy(t) = Ae−t/T u(t) (inalto) ey(−t) = Aet/T u(−t) (in basso).

ovveroun segnale dispari ha una trasformata dispari. Un ragionamento simile si può fare per il casodi un segnale reale:

x(·) reale ⇐⇒ jIm[x(·)] = 0 ⇐⇒ Ah[X(·)] = 0 ⇐⇒ X(·) hermitiana

dove dire cheX(·) è hermitiano o gode dellasimmetria hermitiana significa che

Ah[X(·)] = 0 ⇐⇒ X(·) = X∗(−(·)) ,

ed è ovviamente la stessa proprietà di simmetria hermitiana già definita dalla prop. 6.3. In sintesi,unsegnale reale ha una trasformata hermitiana. Analogamente

x(·) immaginario ⇐⇒ Re[x(·)] = 0 ⇐⇒ He[X(·)] = 0 ⇐⇒ X(·) antihermitiana

dove dire cheX(·) è antihermitiano o gode dellasimmetria antihermitiana significa che

He[X(·)] = 0 ⇐⇒ X(·) =−X∗(−(·)) ,

ovvero,un segnale immaginario ha una trasformata antihermitiana. Altri casi, meno interessanti dalpunto di vista applicativo, si possono ottenere con riferimento alla simmetria hermitiana ed antiher-mitiana dix(·), utilizzando le relazioni di tab. 6.4, per cuiun segnale hermitiano ha una trasformatareale, edun segnale antihermitiano ha una trasformata immaginaria. Tutte le proprietà di simmetriadella trasformata di Fourier sono sinteticamente raccolte in tab. 6.5.

Notiamo infine che le proprietà di simmetria di tab. 6.5 si possono anche utilizzare in manieracombinata: ad esempio, sex(·) è reale e pari, dalla tabella si ricava che la sua trasformataX(·)è hermitiana e pari, ed è facile verificare che, combinando queste due ultime proprietà, si ricavanecessariamente cheX(·) è reale. Per cui,un segnale reale e pari ha una trasformata reale e pari.Allo stesso modo, sex(·) è reale e dispari, la sua trasformataX(·) sarà hermitiana e dispari, ed èfacile verificare che, combinando queste due ultime proprietà, si ricava necessariamente cheX(·) èimmaginaria. Per cui,un segnale reale e dispari ha una trasformata immaginaria e dispari. Altrecombinazioni sono possibili, ma sono di minore interesse pratico.


−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 π f T

X(f

)/(2

A T

)

Fig. 6.40.Trasformata di Fourier dell’esponenzia-le bilatero a TC (es. 6.39).

� Esempio 6.39 (trasformata di Fourier dell’esponenziale bilatero a TC)Le relazioni tra le componenti ele-mentari di tab. 6.4 possono essere utilizzate per calcolare, ad esempio, la trasformata dix(t) = Ae−|t|/T , conT > 0; notiamo che tale segnale è unesponenziale bilatero, come mostra il grafico di fig. 6.38. Tenendo presenteanche la fig. 6.39, osserviamo che il segnalex(t) si può esprimere come segue:

x(t) = Ae−|t|/T = Ae−t/T u(t)+Ae+t/T u(−t) = 2Pa[y(t)] , (6.95)

ovverox(t) coincide, a meno del fattore 2, con lacomponente pari del segnaley(t) = Ae−t/T u(t) (esponenzialemonolatero).42 Utilizzando allora la trasformata di quest’ultimo segnale, già ricavata nell’es. 6.8, ovvero

y(t) = Ae−t/T u(t) FT←→ Y ( f ) =AT

1+ j2π f T,

e sfruttando la relazione di tab. 6.4 tra Pa[y(t)] e Pa[Y ( f )], e la proprietà di linearità della trasformata di Fourier,si ha:

2Pa[y(t)] FT←→ 2Pa[Y ( f )] = Y ( f )+Y (− f ) = Y ( f )+Y ∗( f ) = 2Re[Y ( f )] ,

dove si è anche sfruttata la simmetria hermitianaY (− f ) = Y ∗( f ) di Y ( f ), associata al fatto chey(t) è reale.Applicando semplici proprietà dell’algebra complessa, si ha:

Y ( f ) =AT

1+ j2π f T1− j2π f T1− j2π f T

= AT1− j2π f T

1+4π2 f 2T 2 =⇒ 2Re[Y ( f )] =2AT

1+4π2 f 2T 2 ,

e quindi in definitiva vale la seguente trasformata notevole, valida per ogniA ∈ R e T ∈ R+:

x(t) = Ae−|t|/T FT←→ X( f ) =2AT

1+4π2 f 2T 2 .

Notiamo che, poichéx(t) è reale e pari, ancheX( f ) è reale e pari, inoltre lo spettroX( f ) è non negativo, per cuisi ha|X( f )| = X( f ) e �X( f ) = 0: tale spettro è rappresentato graficamente in fig. 6.40. Si tratta chiaramentedi un segnale passabasso, il cui spettroX( f ) decade per| f | →+∞ come 1/ f 2, il che equivale ad un roll-off di40 dB/decade o 12dB/ottava; si noti che, poichéx(t) è continuo ma con derivata discontinua e sommabile, talerisultato si può ricavare anche applicando la prop. 6.11 pern = 0.

42In realtà, la (6.95) non vale a rigore pert = 0, in quanto mentrex(0) = A, si ha che 2Pa[y(t)] = 2A; tuttavia, questadifferenza tra i due segnaliin un punto isolato non ha alcuna influenza sul calcolo della trasformata di Fourier dix(t), che èdefinita mediante un integrale (notiamo che invece nel caso TD una tale differenza sarebbe stata significativa).


−10 −5 0 5 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

Fig. 6.41. Il segnale esponenziale bilatero a TDx(n) = Aa|n| perA = 1 ea = 0.5 (es. 6.40).

−10 −5 0 5 10

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

Fig. 6.42. Il segnale esponenziale bilatero a TDx(n) = Aa|n| perA = 1 ea =−0.5 (es. 6.40).

−1 −0.5 0 0.5 1−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

ν

|X(ν

)|

Fig. 6.43.Trasformata di FourierX(ν) del se-gnale x(n) = Aa|n| per A = 1 e a = 0.5(es. 6.40).

−1 −0.5 0 0.5 1−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

ν

|X(ν

)|

Fig. 6.44.Trasformata di FourierX(ν) del se-gnale x(n) = Aa|n| per A = 1 e a = 0.5(es. 6.40).

La frequenza di taglio adα dB si trova risolvendo l’equazione (6.76) o (6.77), scegliendofrif = 0 dalmomento che lo spettro (fig. 6.40) è massimo per tale frequenza. Ad esempio, poiché|X(0)| = 2AT , la (6.77)in unità naturali si scrive esplicitamente

|X( fα )||X(0)| =

11+4π2 f 2

α T 2 = 10−α/20 ,

da cui, scegliendo la soluzione positiva, si ricava che la banda monolatera adα dB vale:

Bx = fα =1

2πT

√10α/20−1.

Si noti che, come nell’es. 6.26, anche in questo caso la banda adα dB è inversamente proporzionale alla costantedi tempoT , e quindi alla durata del segnale nel dominio del tempo. Nel casoα = 3, si haBx = f3 ≈ 0.644

2πT . Aparità di costante di tempoT , tale valore è più piccolo di quelloBx = f3 ≈ 1

2πT dell’esponenziale monolatero(cfr. es. 6.26), il motivo è che lo spettro del segnale esponenziale bilatero decade a zero più rapidamente (come1/ f 2) di quello dell’esponenziale monolatero. �


0.2 0.4 0.6 0.8 10.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

a

Bx

Fig. 6.45.Banda a 3 dB dell’esponenziale bilate-ro TD in funzione dia ∈ (amin,1); per valori dia < amin la banda a 3 dB non può essere definita(es. 6.40).

� Esempio 6.40 (trasformata di Fourier dell’esponenziale bilatero a TD)Consideriamo il segnale esponen-ziale bilatero a TD, definito comex(n) = Aa|n|, conA ∈R e 0< |a|< 1, rappresentato graficamente in fig. 6.41per 0< a < 1 ed ed in fig. 6.42 per−1 < a < 0. Data la natura esponenziale del segnale, si verifica facilmenteche si tratta di un segnale sommabile (la sommabilità è garantita dall’ipotesi|a|< 1). Anche per questo segnaleè possibile sfruttare le relazioni tra le componenti elementari di tab. 6.4, ma è necessaria qualche cautela in piùrispetto al caso TC. Notiamo infatti che il segnalex(n) si può esprimere come segue:

x(n) = A[anu(n)+a−nu(−n)−δ(n)

], (6.96)

dove la sottrazione diδ(n) serve a garantire l’uguaglianza tra il primo ed il secondo membro pern = 0. Notiamoallora che la (6.96) si può interpretare come

x(n) = 2Pa[y(n)]−Aδ(n) ,

dovey(n) = Aan u(n) (esponenziale monolatero a TD). Utilizzando allora la trasformata di quest’ultimo segnale,già ricavata nell’es. 6.18, ovvero

y(n) = Aan u(n) FT←→ Y (ν) =A

1−ae− j2πν ,

e sfruttando la relazione di tab. 6.4 tra Pa[y(n)] e Pa[Y (ν)], nonché la proprietà di linearità della trasformata di

Fourier, e la trasformata notevolex(n) = δ(n) FT←→ X(ν) = 1, si ha :

2Pa[y(n)]−Aδ(n) FT←→ 2Pa[Y (ν)]−A = Y (ν)+Y (−ν)−A = Y (ν)+Y ∗(ν)−A = 2Re[Y (ν)]−A ,

dove si è anche sfruttata la simmetria hermitianaY (−ν) = Y ∗(ν) di Y (ν), associata al fatto chey(n) è reale.Applicando semplici proprietà dell’algebra complessa, si ha:

Y (ν) =A(1−ae j2πν)|1−ae− j2πν|2 =

A [1−acos(2πν)− jasin(2πν)]1+a2−2acos(2πν)

,

da cui si ricava

2Re[Y (ν)]−A = 2A [1−acos(2πν)]

1+a2−2acos(2πν)−A =

A(1−a2

)1+a2−2acos(2πν)

,


e quindi in definitiva vale la seguente trasformata notevole, valida perA ∈ R e 0< |a|< 1:

x(n) = Aa|n| FT←→ X(ν) =A(1−a2

)1+a2−2acos(2πν)

.

Notiamo che, poichéx(n) è reale e pari, ancheX(ν) è reale e pari, inoltre si può verificare che lo spettroX(ν)è non negativo, per cui si ha|X(ν)| = X(ν) e �X(ν) = 0; lo spettroX(ν) è direttamente rappresentato (perA = 1) in fig. 6.43 per 0< a < 1 (spettro di tipopassabasso) ed in fig. 6.44 per−1 < a < 0 (spettro di tipopassaalto).

La frequenza di taglio adα dB si trova risolvendo l’equivalente a TD dell’equazione (6.76) o (6.77),Seguendo passaggi simili a quelli dell’es. 6.30, per 0< a < 1 (caso passabasso), si trova che la banda monolateravale

Bx = να =1

2πarccos

(1+a2−10α/20

2a

), (6.97)

valida pera≥ amin, doveamin�= 10α/40 e purchéα ≤ 12 dB; se queste ultime condizioni, non sono soddisfatte,

l’equazione che definisce la banda adα dB non ammette soluzioni e, quindi, la banda adα dB non puòessere definita. La fig. 6.29 riporta l’andamento della banda a 3 dB (corrispondente adα = 3), nell’intervalloa ∈ [amin,1]. Notiamo che pera→ 1, la durata del segnale nel dominio del tempo aumenta, mentre la suabanda diminuisce, e viceversa (la massima bandaBx = 1

2 si ha in corrispondenza dia = amin). Confrontando lefig. 6.29 e fig. 6.45, si nota che, anche nel caso TD, a parità dia e di α , il segnale esponenziale bilatero ha unabanda più contenuta dell’esponenziale monolatero. �

Cambiamento di scala temporale

Nel § 2.1.2 abbiamo visto che il cambiamento di scala temporale di un segnale assume forme diversenel caso TC e TD: per lo stesso motivo, discuteremo separatamente la proprietà di cambiamento discala temporale per la trasformata di Fourier nei due casi TC e TD.

Partiamo dal caso TC, e ricordiamo (cfr. § 2.1.2) che effettuare un cambiamento di scala deitempi sul segnalex(t) corrisponde a considerare il segnaley(t) = x(at), con a ∈ R+; si parla inparticolare di compressione sea > 1, e di espansione se 0< a < 1. Il casoa < 0 si può vedere comecomposto da una compressione/espansione di un fattore|a| positivo, seguito da una riflessione. Permaggiore generalità, considereremo in questa sezione valori dia non necessariamente positivi, quindia ∈ R−{0}: parleremo pertanto più in generale di espansione se 0< |a| < 1, e di compressione se|a|> 1; se|a|= 1, il segnale o resta inalterato (a = 1), o subisce una semplice riflessione (a =−1).

Il calcolo della trasformata di Fourier diy(t) = x(at) si riconduce semplicemente a quello dellatrasformata dix(t) mediante il cambiamento di variabileu = at. Si ha infatti:

Y ( f ) =∫ +∞


∫ +∞

−∞x(at)e− j2π f tdt .

Distinguiamo i due casia > 0 ea < 0. Pera > 0, ponendou = at, si ha:

Y ( f ) =1a

∫ +∞

−∞x(u)e− j2π( f/a)u du =

1a

X

(fa

).

Nel casoa < 0, invece, con lo stesso cambiamento di variabile, si ottiene

Y ( f ) =1a

∫ −∞

+∞x(u)e− j2π( f/a)u du =−1

a

∫ +∞

−∞x(u)e− j2π( f/a)u du =−1

aX

(fa

).


Notando che|a| = a sea > 0, mentre|a| = −a sea < 0, le due espressioni precedenti si possonoscrivere in forma unificata:

Y ( f ) =1|a| X

(fa

).

È possibile pertanto enunciare la seguenteproprietà di cambiamento di scala temporale della trasfor-mata di Fourier a TC:

Proprietà 6.20 (cambiamento di scala temporale per la trasformata di Fourier a TC)

Siax(t) FT←→ X( f ) e a ∈ R−{0}, si ha

y(t) = x(at) FT←→ Y ( f ) =1|a| X

(fa

). (6.98)

Notiamo che, pera =−1, la prop. 6.20 si riduce alla prop. 6.17 (proprietà di riflessione). Nel caso –più interessante – in cui|a| �= 1, tale proprietà esprime un comportamento significativo della trasfor-mata di Fourier, associato al cambiamento di scala dei tempi del segnale TC: notiamo infatti che, adun cambiamento di scala dix(t) (nel tempo) di un fattorea, corrisponde un cambiamento di scala diX( f ) (in frequenza) di un fattore 1/a, accompagnato da una moltiplicazione dei valori delle ampiezzedi X( f ) per un fattore 1/|a|. Tralasciando l’ultima modifica, ed osservando che i cambiamenti di scalanei due domini avvengono con fattorireciproci, concludiamo chead una compressione nel dominiodel tempo (|a|> 1) corrisponde una espansione nel dominio della frequenza (1/|a|< 1) e, viceversa,ad una espansione nel dominio del tempo (|a|< 1) corrisponde una compressione nel dominio dellafrequenza (1/|a|> 1).

Poiché comprimere/espandere un segnale nel dominio del tempo ha l’effetto di diminuire/incre-mentare la suadurata ∆x, ed analogamente comprimere/espandere un segnale nel dominio della fre-quenza comporta una diminuzione/incremento della suabanda Bx, possiamo concludere cheridu-cendo la durata ∆x di un segnale, la sua banda Bx si incrementa, e viceversa. Questa relazione diinversa proporzionalità tra durata e banda di un segnale è una proprietà fondamentale associata allarappresentazione nel dominio della frequenza di un segnale, e può essere matematicamente espressaanche comeBx ∆x = αx, doveαx ∈ R+ dipende dalla definizione di durata e di banda adottata e daltipo di segnale. In altri termini, ilprodotto durata-banda (in inglese,time-bandwidth product), perun dato segnale, è una quantità costante: pertanto,non è possibile ridurre contemporaneamente ladurata e la banda di un segnale: se si riduce la durata, la banda si incrementa, e viceversa. Que-st’ultima formulazione della proprietà del cambiamento di scala viene talvolta denominataprincipiodi indeterminazione della trasformata di Fourier, per analogia con il principio di indeterminazione diHeisenberg utilizzato nella meccanica quantistica.43

43Nella meccanica quantistica, il principio di indeterminazione fu introdotto dal fisico teorico tedesco W. Heisenberg(1901–1976), e afferma che “non è possibile conoscere simultaneamente posizione e quantità di moto di un dato oggettocon precisione arbitraria”. Il legame di tale principio con la trasformata di Fourier è in effetti assai stretto, e si basa anche suconcetti di calcolo della probabilità: nella meccanica quantistica, infatti, la posizione e la quantità di moto di una particellanon sono quantità perfettamente note, ma sono modellate come variabili aleatorie, descritte da due funzioni di densità diprobabilità (pdf), che risultano essere legate da una relazione di trasformata di Fourier. Per questo motivo, se aumenta laprecisione con cui è nota la posizione, la pdf della posizione si restringe, e questo comporta (per il cambiamento di scaladella trasformata di Fourier) un allargamento della pdf della quantità di moto, e quindi un peggioramento della precisionecon cui è nota quest’ultima grandezza.


−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.5

1

t

x(t)

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.5

1

t

y(t)

Fig. 6.46.Segnalex(t) = rect(t) (in alto) e la suaversioney(t) = rect(2t) (in basso) compressa diun fattorea = 2 (es. 6.41).

−5 0 5−0.5

0

0.5

1

f

X(f

)

−5 0 5−0.5

0

0.5

1

f

Y(f

)

Fig. 6.47.Trasformata di FourierX( f ) (in alto) edY ( f ) (in basso) dei segnalix(t) = rect(t) e y(t) =rect(2t), rispettivamente (es. 6.41).

� Esempio 6.41 (trasformata di Fourier della finestra rettangolare a TC) Applichiamo la prop. 6.20 percalcolare la trasformata di Fourier del segnaley(t) = rect(2t), ottenuto mediante una compressione cona = 2dal segnalex(t) = rect(t) (fig. 6.46). Poiché:

x(t) = rect(t) FT←→ X( f ) = sinc( f ) ,

si ha immediatamente

y(t) = rect(2t) FT←→ Y ( f ) =12

sinc

(f2

).

Le trasformate di FourierX( f ) edY ( f ) sono entrambi reali, e sono rappresentate in fig. 6.47. Confrontandoi segnali nel dominio del tempo e della frequenza, notiamo che, mentrey(t) si ottiene dax(t) mediante unacompressione (a = 2) dei tempi,Y ( f ) si ottiene daX( f ) mediante un’espansione (1

a = 12) delle frequenze. In

altri termini, ad un dimezzamento della durata del segnale nel dominio del tempo, corrisponde un raddoppiodella sua banda, comunque siano misurate queste due quantità. Per un segnale di questo tipo, la durata puòessere definita in maniera non ambigua (segnale a durata rigorsoamente limitata), mentre per la banda è par-ticolarmente indicata la banda nullo-nullo): utilizzando tali definizioni si verifica facilmente che il prodottodurata-banda è costante, in quanto si ha∆x Bx = 1 ·1 = 1 e ∆y By = 1

2 ·2 = 1. Il cambiamento di scala delleampiezze (il fattore moltiplicativo12 presente nellaY ( f )) si giustifica facilmente sulla base della proprietà delvalore nell’origine della trasformata di Fourier (cfr. prop. 6.5): notiamo infatti che, per effetto della compres-sione nel tempo cona = 2, l’area diy(t) è la metà dell’area dix(t), e questo deve riflettersi nel dominio dellafrequenza in un dimezzamento del valore nell’origineY (0) rispetto adX(0). �

La proprietà del cambiamento di scala, utilizzata congiuntamente ad altre proprietà (tipicamente li-nearità e/o traslazione temporale), serve per generalizzare alcune trasformate notevoli. Ad esem-pio, generalizzando il risultato dell’esempio precedente, a partire dalla trasformata notevolex(t) =rect(t) FT←→ X( f ) = sinc( f ), applicando la linearità ed il cambiamento di scala è facile ottenere laseguente trasformata di Fourier:

x(t) = A rect( t

T

)FT←→ X( f ) = AT sinc( f T ) ,

valida∀A ∈ R e ∀T ∈ R+, che è stata già ricavata per integrazione diretta dell’equazione di analisi

nell’es. 6.1. Allo stesso modo, partendo dalla trasformata notevolex(t) = Λ(t) FT←→ X( f ) = sinc2( f ),


ricavata nell’es. 6.7, si ottiene facilmente la seguente relazione

x(t) = AΛ( t

T

)FT←→ X( f ) = ATsinc2( f T ) ,

valida∀A ∈ R e∀T ∈ R+. Altri esempi di questo tipo sono proposti negli esercizi.Passiamo ora ad esaminare il caso di segnali TD. Nel § 2.1.2 si è visto che, per un segnale TDx(n),

il cambiamento di scala temporale assume due distinte forme, note comedecimazione (corrispondentealla compressione a TC) edespansione. Per quanto riguarda l’espansione, la trasformata di Fourierdel segnaley(n) = x

[nL

], L ∈ N, si calcola direttamente, in quanto

Y (ν) =+∞

∑n=−∞

y(n)e− j2πνn =+∞

∑n=−∞

x[n

L

]e− j2πνn .

Ricordando che, per la definizione (2.1) di espansione a TD, si ha

y(n) = x[n

L

]=

{x(n

L

), sen è multiplo diL ;

0, altrimenti ;

la relazione precedente si può scrivere:

Y (ν) =∞

∑n =−∞

n multiplo di L

x(n

L

)e− j2πνn .

Ponendok = n/L→ n = kL (la sostituzione è lecita a questo punto in quanton è multiplo diL e quindik è sicuramente intero, in particolarek ∈ Z) si ha

Y (ν) =+∞

∑k=−∞

x(k)e− j2π(νL)k = X(Lν) .

Vale allora la seguente proprietà:

Proprietà 6.21 (proprietà di espansione della trasformata di Fourier a TD)

Siax(n) FT←→ X(ν) e L ∈ N, si ha

y(n) = x[n

L

]FT←→ Y (ν) = X(Lν) . (6.99)

Dalla (6.99) si osserva che, dal punto di vistaformale, ad una divisione perL nel dominio del tempocorrisponde una moltiplicazione perL nel dominio della frequenza, ed essendoL ≥ 1, quest’ultimaoperazione corrisponde ad unacompressione dell’asse delle frequenze. Pertanto, sebbene l’espansionea TD sia diversa da quella a TC, per la trasformata di Fourier vale una proprietà concettualmentesimile a quella che vale per l’espansione TC (caso 0< a < 1): ad un’espansione nel dominio deltempo, corrisponde una compressione nel dominio della frequenza. Si noti invece che, a differenzadel caso TC, nel caso TD le ampiezze della trasformata di Fourier non subiscono nessuna modifica: ineffetti, poiché l’espansione a TD introduce semplicemente degli zeri nel segnalex(n), essa non alteral’area dix(n) e quindi (in accordo alla proprietà del valore nell’origine) neppure il valore dell’originedella trasformataX(ν).

La relazione (6.99) evidenzia una proprietà interessante, legata alla periodicità dello spettro di unsegnale TD. Per effetto infatti della moltiplicazione perL dei valori di frequenza nella (6.99), si può


osservare cheY (ν) = X(Lν) ammette un periodopiù piccolo di 1, più precisamente essa è periodicadi periodo 1/L. Infatti si ha:

Y

(ν +

1L

)= X

[L

(ν +

1L

)]= X(Lν +1) = X(Lν) = Y (ν) ,

dove si è sfruttata la periodicità (con periodo unitario) diX(ν). Il fatto cheY (ν) sia periodica diperiodo 1/L non è in contrasto con la prop. 6.1, in quanto, poiché 1 è evidentemente unmultiplo di1/L, Y (ν) sarà anche periodica di periodo 1, e quindi soddisfa la prop. 6.1. In effetti, così come nonè detto che 1 sia il periodo fondamentale diX(ν), non è detto che 1/L sia il periodo fondamentale diY (ν) (esso potrebbe essere un sottomultiplo di 1/L).

Per quanto riguarda infine la decimazioney(n) = x(nM), conM ∈ N, abbiamo osservato che sitratta di un’operazione non reversibile, in quanto essa elimina completamente alcuni campioni delsegnalex(n). Questo comporta che la relazione tra lo spettro del segnaley(n) = x(nM) e quellodel segnalex(n) non è di semplice derivazione, come quella dell’espansione, e non è a sua voltareversibile, se non sotto ipotesi particolari. Si può verificare che la decimazione di un segnale TD èsimile al campionamento, per cui la determinazione del legame tra gli spettri richiede necessariamentela conoscenza di alcune relazioni fondamentali che descrivono il campionamento nel dominio dellafrequenza.

6.5.3 Derivazione e differenza prima, integrazione e somma

In questa sezione esaminiamo gli effetti nel dominio della frequenza delle operazioni introdotte nel§ 2.1.4, ovvero la derivazione e la differenza prima, e l’integrazione e somma.

Partiamo dall’operazione di derivazione a TC: il problema è quello di calcolare la trasformata diFourier del segnaley(t) = d

dt x(t) in funzione della trasformata dix(t). Il risultato si ottiene facilmentea partire dall’equazione di sintesi perx(t):

x(t) =∫ +∞

−∞X( f )e j2π f t d f .

Se infatti si deriva formalmente tale espressione rispetto at, portando la derivata sotto il segno diintegrale44, si ottiene:

y(t) =ddt

x(t) =∫ +∞

−∞

ddt

[X( f )e j2π f t] d f =

∫ +∞

−∞X( f )

ddt

[e j2π f t] d f =

∫ +∞

−∞X( f ) j2π f e j2π f t d f .

Confrontando l’ultimo integrale con l’equazione di sintesi pery(t), ovvero con

y(t) =∫ +∞

−∞Y ( f )e j2π f t d f ,

e invocando la proprietà di unicità della trasformata di Fourier, si ricava cheY ( f ) = j2π f X( f ). Valeallora la seguente relazione:

y(t) =ddt

x(t) FT←→ Y ( f ) = j2π f X( f ) . (6.100)

44Se il segnalex(t) è a banda rigorosamente limitata, cioèX( f ) = 0 per f �∈ ( f1, f2), con f2 > f1 valori reali finiti,l’integrale che definisce l’equazione di sintesi è esteso al solo intervallo finito( f1, f2) e, in questo caso, invocando il criteriodi Leibnitz, è possibile portare senza alcun problema la derivata sotto il segno di integrale. Se il segnale non è a bandarigorosamente limitata, tale passaggio non è sempre lecito; una condizione sufficiente per poter portare la derivata sotto ilsegno di integrale è che la funzione di due variabiliX( f )e j2π f t sia derivabile parzialmente rispetto at e, per ognit ∈ R, larisultante derivata sia maggiorata in modulo da una funzioneg(t, f ) sommabile suR rispetto alla variabilef .


−5 0 50

10

20

30

f

|H(f

)|

−5 0 5

−1

0

1

f

∠ H

(f)

Fig. 6.48.Risposta in ampiezza (in alto) ed in fase(in basso) del sistema TC derivatore.

Notiamo che l’operazione di derivata si può interpretare come un sistema LTI avente risposta impul-sivah(t) = d

dt δ(t) (derivatore), per cui la (6.100) consente di calcolare la risposta in frequenzaH( f )di tale sistema. Utilizzando la definizione (6.23) di risposta in frequenza, si ha infatti

H( f ) =Y ( f )X( f )

= j2π f ,

cui corrispondono le risposte in ampiezza ed in fase

|H( f )|= 2π| f | e �H( f ) =π2

sgn( f ) ,

rappresentate graficamente in fig. 6.48. Dal grafico della risposta in ampiezza, si nota che la deriva-zione opera qualitativamente come unfiltro passaalto: infatti, il guadagno in continua valeH(0) = 0,il che significa che la componente continua del segnale di ingresso - se presente - viene completa-mente cancellata in uscita (essendo una costante, in effetti, la sua derivata è nulla). Inoltre risulta|H( f )| � 1 per | f | � 1, per cui le basse frequenze vengono fortemente attenuate; viceversa, si hache|H( f | � 1 per| f | � 1: in particolare, si osservi che per| f | → +∞ si ha che|H( f )| → +∞, percui le alte frequenze vengono fortemente amplificate.45 Dal grafico della risposta in fase, si osservainoltre che il derivatore introduce uno sfasamento di±π/2 del segnale di ingresso. Questo sfasamentoassociato alla derivazione ammette una semplice interpretazione se si fa riferimento alla derivazionedi un segnale sinusoidale: derivando infatti il segnalex(t) = sin(t) si ottiene il segnaley(t) = cos(t)e viceversa (a meno di un segno), ed evidentementey(t) = cos(t) = sin(t−π/2), ovvero le funzioniseno e coseno differiscono tra loro proprio per uno sfasamento diπ/2 (notiamo che la stessa proprietàsi può mostrare anche in maniera più formale applicando la prop. 4.12).

Concludiamo osservando che la proprietà di derivazione (6.100) può essere facilmente estesa al ca-so della derivatak-esima, applicando iterativamente (k volte) la (6.100). È possibile pertanto enunciarela seguente proprietà in forma più generale:46

45Tale comportamento passaalto del derivatore ne rende sconsigliato l’impiego pratico nei circuiti analogici, in quantoesso inevitabilmente amplifica le componenti ad alta frequenza deidisturbi eventualmente sovrapposti al segnale di ingresso,peggiorando quindi la qualità del segnale.

46Ragionando come fatto per la derivata prima, si può concludere che anche la derivatak-esima tende a comportarsi comeun filtro passaalto, con guadagno in continuaH(0) = 0 e guadagno ad alta frequenza|H(±∞)|= +∞.


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

0

0.5

1

t

x(t)

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1

0

1

t

y(t)

Fig. 6.49.L’impulso bifasey(t) (in basso) si ottie-ne derivando la finestra triangolarex(t) = Λ(t) (inalto) (es. 6.42).

−3 −2 −1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

f

|X(f

)|

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

0

1

f

∠ X

(f)

Fig. 6.50.Spettro di ampiezza (in alto) e di fa-se (in basso) della trasformata di FourierY ( f )dell’impulso bifase (es. 6.42).

Proprietà 6.22 (proprietà di derivazionek-esima della trasformata di Fourier a TC)

Siax(t) FT←→ X( f ) e k ∈ N, si ha

y(t) =dk

dtk x(t) FT←→ Y ( f ) = ( j2π f )k X( f ) . (6.101)

� Esempio 6.42 (trasformata di Fourier dell’impulso bifase a TC) Consideriamo il segnalex(t) = Λ(t), ecalcoliamo la sua derivatay(t) = d

dt x(t). Utilizzando il grafico dix(t) (fig. 6.49), oppure ricordando l’espres-sione analitica della finestra triangolare, si ha

y(t) =ddt

x(t) =

1, 0 < t < 1 ;

−1, −1 < t < 0 ;

0, |t|> 1.

Il segnaley(t) prende il nome diimpulso bifase ed è raffigurato in fig. 6.49. Esso presenta in effetti tre punti didiscontinuità (in−1, 0 ed 1), nei quali la finestra triangolarex(t) non è derivabile, ma ammette finite le derivatesinistra e destra.

La trasformata di Fourier dell’impulso bifase si calcola facilmente applicando la proprietà di derivazione e

ricordando la trasformata notevolex(t) = Λ(t) FT←→ X( f ) = sinc2( f ) (cfr. es. 6.7). Si ha:

Y ( f ) = j2π f sinc2( f ) = j2sin2(π f )

π f.

La trasformata ottenuta, essendo quella di un segnale reale e dispari, risulta essere (per le proprietà di simmetria)immaginaria pura e dispari. Gli spettri di ampiezza e di fase sono

|Y ( f )|= 2π| f |sinc2( f ) = 2sin2(π f )

π| f | e �Y ( f ) =π2

+� f =

{π2 , f > 0 ;

−π2 , f < 0 ;

e sono diagrammati in fig. 6.50; si noti inoltre che la fase si può esprimere come�Y ( f ) = π2 sgn( f ). Dall’e-

same dello spettro di ampiezza, si nota che l’impulso bifase presenta un contenuto spettrale poco significativonell’intorno della frequenza zero (perf = 0 si haY (0) = 0), per cui esso si può considerare come un esempiodi segnalea media frequenza o passa banda, con banda monolatera nullo-nullo pari aBy = 1. Per tale sua


−1 −0.5 0 0.5 10

1

2

ν

|H(ν

)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

0

1

ν

∠ H

(ν)

Fig. 6.51.Risposta in ampiezza (in alto) ed in fase(in basso) del sistema TD differenza prima.

−1 −0.5 0 0.5 10

5

10

ν

|X(ν

)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

0

1

ν

∠ X

(ν)

Fig. 6.52.Spettro di ampiezza (in alto) ed di fase(in basso) del segnalex(n) = sgn(n) (es. 6.43).

caratteristica spettrale, l’impulso bifase è molto utilizzato nelle trasmissioni numeriche “in banda base” (cioèsenza ricorrere a tecniche di modulazione) su mezzi trasmissivi che non trasmettono bene le basse frequenze(ad esempio su circuiti elettrici in cui sono presenti accoppiamenti induttivi o capacitivi). �

Passiamo ora alla controparte a TD dell’operazione di derivazione, vale a dire ladifferenza prima

y(n) = ∇ 1[x(n)]�= x(n)− x(n−1). In questo caso la trasformata diy(n) si può calcolare applicando

la prop. 6.2 (linearità) e la prop. 6.16 (traslazione temporale):

Y (ν) = F[y(n)] = F[x(n)− x(n−1)] = F[x(n)]−F[x(n−1)] = X(ν)−X(ν)e− j2πν ,

per cui si ha, in definitiva,

y(n) = ∇ 1[x(n)] FT←→ Y (ν) =(1− e− j2πν)X(ν) . (6.102)

Anche nel caso TD, l’operazione di differenza prima si può interpretare come un sistema LTI aventerisposta impulsivah(n) = δ(n)−δ(n−1): notiamo che un sistema del genere è in effetti un sistemaMA (cfr. § 4.6.2). Utilizzando la definizione (6.23) di risposta in frequenza, dalla (6.102) si ha

H(ν) =Y (ν)X(ν)

= 1− e− j2πν = e− jπν(e jπν− e− jπν)= 2 j e− jπν sin(πν) , (6.103)

cui corrispondono le seguenti risposte di ampiezza e fase:

|H(ν)|= 2|sin(πν)| , e �H(ν) =π2−πν+�sin(πν) ,

raffigurate in fig. 6.51. Dal grafico della risposta di ampiezza, si nota che, analogamente alla derivatanel caso TC, anche la differenza prima si comporta come unfiltro passaalto. Infatti, si haH(0) = 0(guadagno in continua nullo), mentre il guadagno ad alta frequenza vale

∣∣H (±12

)∣∣ = 2 (si ricordiche nel caso TD le componenti ad alta frequenza si trovano in corrisponenza dei valori diν = ±1

2).Pertanto, a differenza del caso TC, in cui il guadagno ad alta frequenza tende ad infinito, nel caso TDtale guadagno è limitato e vale 2.


� Esempio 6.43 (trasformate di Fourier della signum e del gradino a TD)Applicando la proprietà della dif-ferenza prima, calcoleremo prima la trasformata di Fourier del segnale signum a TD e, da questa, quella delgradino a TD. Partendo dal segnalex(n) = sgn(n), si può verificare facilmente che

∇ 1[sgn(n)] = sgn(n)−sgn(n−1) = 2δ(n) ,

per cui, ricordando la trasformata notevoleδ(n) FT←→ 1 ed applicando la (6.102), si ha

X(ν)(1− e− j2πν) = 2,

da cui si ricava47

X(ν) =2

1− e− j2πν =1

j e− jπν sin(πν). (6.104)

In definitiva, abbiamo trovato la seguente trasformata notevole

x(n) = sgn(n) FT←→ X(ν) =2

1− e− j2πν , (6.105)

controparte a TD della (6.105). Gli spettri di ampiezza e di fase si ricavano facilmente utilizzando l’espressione(6.104) dellaX(ν). Si ha:

|X(ν)|= 1|sin(πν)| e �X(ν) =−π

2+πν−�sin(πν) ,

e sono raffigurati graficamente in fig. 6.52.Avendo determinato la trasformata della signum, procediamo come nel caso TC ricavando subito la trasfor-

mata del gradino. Si ha infatti:

u(n) =12

+12

sgn(n) ,

per cui, adoperando la proprietà di linearità, e le trasformate di Fourier della costante (cfr. es. 6.21) e dellasignum ricavata precedentemente, si trova

F[u(n)] = F

[12

]+

12F [sgn(n)] =

12

δ̃(ν)+1

1− e− j2πν ,

ovvero la trasformata notevole

x(n) = u(n) FT←→ X(ν) =12

δ̃(ν)+1

1− e− j2πν , (6.106)

che può essere considerata la controparte a TD della (6.41). �

Concludiamo osservando che, come nel caso TC, la proprietà della differenza prima definita dalla(6.102) può essere facilmente estesa al caso delladifferenza k-esima, in quanto quest’ultima operazio-ne può essere definita ricorsivamente nel seguente modo:

∇ k[x(n)] = ∇ 1{∇ k−1[x(n)]} .

Ad esempio, la differenza seconda si scrive esplicitamente come

∇ 2[x(n)] = ∇ 1{∇ 1[x(n)]}= ∇ 1[x(n)− x(n−1)] = x(n)− x(n−1)− [x(n−1)− x(n−2)]

= x(n)−2x(n−1)+ x(n−2) .

47Si noti che questa derivazione è valida solo seν �= k ∈ Z, il che assicura che 1− e− j2πν �= 0. Si può tuttavia verificare(anche se il calcolo non è banale) che laX(ν) calcolata precedentemente è corretta anche perν = k ∈ Z, in quanto sostituitanell’equazione di sintesi fornisce effettivamente il segnalex(n) = sgn(n), ∀n ∈ Z.


Poiché la differenzak-esima si ottiene applicandok volte la differenza prima, applicandok volte la(6.102) si ottiene la seguente proprietà più generale:48

Proprietà 6.23 (proprietà di differenza k-esima della trasformata di Fourier a TD)

Siax(n) FT←→ X(ν) e k ∈ N, si ha

y(n) = ∇ k[x(n)] FT←→ Y (ν) =(1− e− j2πν)k

X(ν) . (6.107)

Passiamo ora a considerare il caso dell’integrazione a TC, ovvero del calcolo della trasformata diFourier del segnale

y(t) =∫ t

−∞x(τ )dτ ,

espressa in funzione di quella dix(t). Tale calcolo si effettua semplicemente se si osserva che in effettila relazione precedente definisce un sistema LTI (integratore con memoria infinita, cfr. es. 4.7) aventerisposta impulsivah(t) = u(t). Infatti, si ha:

y(t) =∫ t

−∞x(τ )dτ =

∫ +∞

−∞x(τ )u(t− τ )dτ = x(t)∗u(t) .

Applicando allora la prop. 6.6 (convoluzione) e ricordando l’espressione della trasformata del gradinoU( f ) = F[u(t)] (cfr. es. 6.14) si ha:

Y ( f ) = X( f )U( f ) = X( f )[

12

δ( f )+1

j2π f

]=

12

X(0)δ( f )+X( f )j2π f

dove abbiamo utilizzato anche la proprietà di campionamento della delta di Dirac. Vale allora laseguente relazione:

y(t) =∫ t

−∞x(τ )dτ FT←→ Y ( f ) =

X( f )j2π f

+12

X(0)δ( f ) . (6.108)

Se confrontiamo questa espressione con la (6.100), valida per la derivazione, notiamo che, seX(0) =0, esiste una perfetta simmetria, dovuta al fatto che l’integrazione è l’operazioneinversa della deri-vazione; pertanto, mentre nella derivazione simoltiplica X( f ) per j2π f nel dominio della frequenza,nell’integrazioneX( f ) è diviso per la stessa quantità. Notiamo però che tale simmetria non è perfettaseX(0) �= 0, in quanto compare in quest’ultimo caso un impulso di Dirac perf = 0, di area pari a12X(0). Quest’impulso nell’origine evidenzia in effetti la presenza di una componente continua nelsegnaley(t): poiché, per la prop. 6.5 (valore nell’origine), il valoreX(0) coincide con l’area del se-gnalex(t), tale impulsonon è presentese (e solo se) il segnale di ingresso x(t) ha area nulla. Notiamoinfine che, analogamente a quanto fatto per il derivatore, si può ricavare dalla (6.108) la risposta infrequenzaH( f ) dell’integratore:

H( f ) =Y ( f )X( f )

=1

j2π f+

12

δ( f ) . (6.109)

Il primo termine diH( f ) presenta un comportamento reciproco rispetto a quello del derivatore nel do-minio della frequenza (guadagno infinito perf → 0 e guadagno tendente a zero per| f |→+∞), ovvero

48La differenzak-esima, come la derivatak-esima nel caso TC, tende a comportarsi come un filtro passaalto, con guadagnoin continuaH(0) = 0 e guadagno ad alta frequenza|H(±1

2)|= 2k.


si comporta come unfiltro passabasso, mentre l’effetto del secondo termine impulsivo è concentratoper f = 0, come descritto precedentemente.49

Concludiamo con l’osservazione che, anche per l’integrazione, la (6.108) può essere applicataiterativamente al caso dell’integralek-esimo di un segnale, ma tale formulazione non è molto diffusa,per cui la proprietà di integrazione della trasformata di Fourier è comunemente enunciata come segue:

Proprietà 6.24 (proprietà di integrazione della trasformata di Fourier a TC)

Siax(t) FT←→ X( f ), si ha

y(t) =∫ t

−∞x(τ )dτ FT←→ Y ( f ) =

X( f )j2π f

+12

X(0)δ( f ) .

Da ultimo, affrontiamo il calcolo della trasformata di Fourier della somma correntey(n), definita dallarelazione:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) ,

che si può interpretare come la controparte a TD dell’integrazione a TC vista precedentemente. Talecalcolo si sviluppa con passaggi analoghi a quelli per il caso TC, osservando che la somma correntedefinisce anch’essa un sistema LTI (accumulatore o integratore a TD con memoria infinita), aventerisposta impulsivah(n) = u(n). Infatti si ha:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) =+∞

∑k=−∞

x(k)u(n− k) = x(n)∗u(n) ,

per cui, applicando la prop. 6.6 (convoluzione) e ricordando l’espressione della trasformata del gradi-noU(ν) = F[u(n)] ricavata nell’es. 6.43, si ha:

Y (ν) = X(ν)U(ν) = X(ν)[

12

δ̃(ν)+1

1− e− j2πν

]=

12

X(0) δ̃(ν)+X(ν)

1− e− j2πν .

dove abbiamo sfruttato la proprietà di campionamentoX(ν) δ̃(ν) = X(0) δ̃(ν) del pettine di delta, difacile verifica. Vale allora la seguente relazione:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) FT←→ Y (ν) =X(ν)

1− e− j2πν +12

X(0) δ̃(ν) . (6.110)

Per quanto riguarda l’interpretazione della (6.110), valgono considerazioni analoghe a quelle fatteper l’integrazione nel caso TC. In particolare, nel primo termine compare il reciproco del fattore1− e− j2πν caratteristico della differenza prima [cfr. (6.102)], per cui tale termine presenta il compor-tamento di unfiltro passabasso, in quanto il guadagno è infinito perν = 0 (bassa frequenza), mentreesso vale1

2 perν = ±1/2 (alta frequenza). Notiamo che, a differenza dell’integratore a TC, ad altafrequenza il guadagno non è zero e nemmeno eccessivamente piccolo. Per quanto riguarda inveceil secondo termine, il suo effetto è concentrato alla frequenzaν = 0 (e, per la periodicità, a tutte le

49Bisogna dire però che, per quanto suggestiva, questa interpretazione non è del tutto rigorosa: infatti, poiché l’integratorecon memoria infinita è un sistemainstabile, bisogna adoperare qualche cautela nel definire ed interpretare la sua risposta infrequenza.


frequenze intere): poiché anche nel caso TD, per la prop. 6.5 (valore nell’origine) la quantitàX(0)rappresenta l’area del segnalex(n), tale termine non è presentese (e solo se) il segnale di ingresso haarea zero. Le precedenti considerazioni possono essere riformulate anche con riferimento alla rispostain frequenza del sistema accumulatore, calcolabile in base alla (6.110) come50

H(ν) =Y (ν)X(ν)

=1

1− e− j2πν +12

δ̃(ν) .

In definitiva, la proprietà di somma corrente della trasformata di Fourier a TD si enuncia come segue:

Proprietà 6.25 (proprietà di somma corrente della trasformata di Fourier a TD)

Siax(n) FT←→ X(ν), si ha

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) FT←→ Y (ν) =X(ν)

1− e− j2πν +12

X(0) δ̃(ν) .

� Esempio 6.44 (trasformata di Fourier della finestra triangolare a TC) In questo esempio mostriamo co-me le proprietà di derivazione ed integrazione possano essere utilizzate per il calcolo della trasformata di Fourierdi determinati segnali. In pratica questo esempio ripropone il calcolo dell’es. 6.42, ma ragionando al contrario,ovvero per calcolare la trasformata di Fourier del segnalex(t) = Λ(t), già calcolata nell’es. 6.7 utilizzando laproprietà di convoluzione. La derivata dix(t) = Λ(t) ha l’espressione seguente, già ricavata nell’es. 6.42:

y(t) =ddt

x(t) =

1, −1 < t < 0 ;

−1, 0 < t ≤ 1 ;

0, altrimenti ;

e gà raffigurata in fig. 6.49. Notiamo che tale segnale si può esprimere analiticamente come

y(t) = rect(t +1/2)− rect(t−1/2) . (6.111)

Si noti che, viceversa, si ha

x(t) =∫ t

−∞y(τ )dτ ,

per cui è possibile esprimere la trasformata dix(t) in funzione di quella diy(t) utilizzando la prop. 6.24 (in-tegrazione). Poichéy(t) ha area nulla, inoltre, risultaY (0) = 0 e quindi la proprietà di integrazione assume laforma particolarmente semplice:

X( f ) =Y ( f )j2π f

.

Calcoliamo adesso la trasformata diy(t) espresso mediante la (6.111), utilizzando in particolare la prop. 6.2

(linearità), la prop. 6.16 (traslazione nel tempo) e la trasformata notevole rect(t) FT←→ sinc( f ). Si ha:

Y ( f ) = sinc( f )e jπ f −sinc( f )e− jπ f = sinc( f )[e jπ f − e− jπ f ]= 2 j sinc( f )sin(π f ) = 2 j

sin(π f )π f

sin(π f )

= 2 jsin2(π f )

π f,

50Va detto che, anche in questo caso, non è del tutto corretto ragionare in termini di risposta in frequenza, in quantol’accumulatore, come l’integratore, è un sistemainstabile.


da cui ritroviamo

X( f ) =Y ( f )j2π f

=1

j2π f2 j

sin2(π f )π f

=sin2(π f )

π2 f 2 = sinc2( f ) ,

ovvero la trasformata notevolex(t) = Λ(t) FT←→ X( f ) = sinc2( f ) già ricavata nell’es. 6.7. �

La tecnica di calcolo adoperata nell’es. 6.44 è frequentemente utilizzata nel caso più generale incui, derivando (anche più volte) il segnalex(t), si ottiene un segnaley(t) di cui sia relativamentesemplice calcolare la trasformata di Fourier. Questo accade quando il segnalex(t) è ad esempiodescritto da una funzione lineare a tratti, con eventuali discontinuità. Infatti la derivata di un talesegnale potrà essere espressa come la somma di un certo numero di finestre rettangolari (scalate neltempo ed in ampiezza, e traslate) e di un certo numero di impulsi di Dirac, in corrispondenza dellediscontinuità dix(t). La trasformata diy(t) potrà allora essere calcolata in maniera semplice ed,essendox(t) =

∫ t−∞ y(τ )dτ , la trasformataX( f ) si otterrà come nell’es. 6.44 utilizzando la prop. 6.24.

Si può anche notare che, quandox(t) è un segnale transitorio come nell’es. 6.44, l’applicazione dellaprop. 6.24. risulta semplificata dal fatto cheY (0) = 0. Infatti, poiché per un segnale transitorio si halim|t|→+∞ x(t) = 0, allora risulta

Y (0) =∫ +∞

−∞y(τ )dτ = lim

t→+∞x(t) = 0.

Infine, esistono anche delle proprietà che, almeno nel caso TC, si possono interpretare comedualidi quelle di derivazione/integrazione, ed in particolare sono le proprietà di derivazione in frequenza(caso TC e TD), e la proprietà di integrazione in frequenza (solo caso TC). Tali proprietà, insieme conun riepilogo di tutte le proprietà della trasformata di Fourier, sono riportate in app. F.

6.6 Trasformata di Fourier dei segnali periodici 345

6.6 Trasformata di Fourier dei segnali periodici

Avendo introdotto le principali proprietà della trasformata di Fourier e numerose trasformate notevoli,in particolare quelle dei fasori TC e TD, siamo ora in grado di calcolare la trasformata di Fourierdi un arbitrario segnale periodico TC e TD. In particolare, questo risultato ci consentirà di discuterealcuni aspetti particolari relativi all’estensione spettrale ed alla banda di un segnale periodico. Infine,poiché un segnale periodico può essere equivalentemente rappresentato nel dominio della frequenzaattraverso la sua serie di Fourier, calcolarne la trasformata ci consentirà di individuare anche dellefondamentali relazioni esistenti tra serie di Fourier e trasformata di Fourier.

6.6.1 Trasformata di Fourier di un segnale periodico TC

Partiamo dal caso TC, ricordando che un segnalex(t), periodico di periodoT0, si può rappresentare inserie di Fourier, mediante l’espressione

x(t) =+∞

∑k=−∞

Xk e j2πk f0t , (6.112)

dove f0 = 1T0

(frequenza fondamentale). Il calcolo della trasformata di Fourier della (6.112) si basasulla trasformata di un fasore TC data dalla (6.42), che per il generico fasore a frequenzak f0 checompare nella (6.112) si scrive

e j2πk f0t FT←→ δ( f − k f0) .

Applicando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier (cfr. prop. 6.2), si trova allora

x(t) =+∞

∑k=−∞

Xk e j2πk f0t FT←→ X( f ) =+∞

∑k=−∞

Xk δ( f − k f0) =+∞

∑k=−∞

Xk δ(

f − kT0

). (6.113)

Tale trasformata si può interpretare (fig. 6.53) come la sovrapposizione di infiniti impulsi di Dirac,centrati alle frequenzearmoniche k f0, ed aventi area (in generale complessa) pari al coefficienteXk

della serie di Fourier. Uno spettro discreto del genere prende il nome dispettro a righe, ed è carat-teristico di unqualunque segnale periodico: notiamo che la spaziatura tra le righe è proprio pari allafrequenza fondamentalef0 del segnale periodico. Facendo riferimento all’interpretazione intuitivadella delta di Dirac come funzione concentrata in un punto, la forma discreta dello spettro di un se-gnale periodico esprime il fatto che il contenuto spettrale di un segnale periodico è tutto concentratoalle frequenze armonichek f0, mentre è nullo a tutte le altre frequenze. Questa caratteristica dellospettro è in accordo al fatto che, per la (6.112), un segnale periodico è perfettamente rappresentato dauna sovrapposizione di fasori alle frequenze armonichek f0. Notiamo infine che gli spettri del fasore edella sinusoide a TC, già ricavati in precedenza, si possono vedere come casi particolari dello spettro(6.113).

� Esempio 6.45 (trasformata di Fourier dell’onda rettangolare a TC) Si consideri l’onda rettangolare

x(t) = repT0

[A rect

( tT

)],

conA ∈ R e duty-cycleδc = TT0≤ 1. I coefficienti della sua serie di Fourier si possono esprimere (cfr. es. 5.2)

come

Xk = Aδc sinc(kδc) , ∀k ∈ Z ,


-f0

X(f)

f0-2f0-3f0 2f0f0 3f0

. . . . . .

X0

X1

X2X3

X -1

X -2X -3

Fig. 6.53.Rappresentazione grafica dello spettrodi un segnale periodico a TC. −6 −4 −2 0 2 4 6

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

f

X(f

)

Fig. 6.54.Trasformata di FourierX( f ) dell’ondarettangolare conT0 = 1, A = 1 eδc = 1

2 (es. 6.45).

per cui lo spettro (6.113) si esprime come

X( f ) = Aδc

+∞

∑k=−∞

sinc(kδc)δ( f − k f0) = Aδc

+∞

∑k=−∞

sinc(kδc)δ(

f − kT0

).

Tale spettro è raffigurato graficamente in fig. 6.54 perA = 1, T0 = 1, eδc = 12 (si noti che tale rappresentazione

è semplificata dal fatto che le armonicheXk sono puramente reali; inoltre le armoniche perk pari sono nulle,tranne quella perk = 0). �

Confrontando la fig. 6.54 dell’esempio precedente con la fig. 5.3 dell’es. 5.2, si può osservare chein effetti la rappresentazione grafica dello spettro di un segnale periodico è molto simile alla rappre-sentazione dei coefficienti della serie di Fourier in funzione dik. La principale differenza è dovutaal fatto che i coefficientiXk della serie di Fourier sono funzione della variabile discretak, mentre latrasformata di Fourier del segnale periodico è funzione della variabile continuaf , il che giustifica inqualche modo la presenza degli impulsi di Dirac inX( f ). In altri termini, la serie di Fourier si puòvedere come una rappresentazione “discreta” del contenuto spettrale di un segnale periodico, mentrela trasformata di Fourier è una rappresentazione “continua” della stessa quantità (notiamo peraltro chelo spettro di un segnale periodico è “intrinsecamente” discreto).

La trasformata di Fourier di un segnale periodico particolarmente interessante per il seguito èquella del pettine diδ, già introdotto nell’es. 6.20. Per maggiore generalità, nell’esempio che segueconsidereremo il caso di un pettine diδ avente periodo arbitrarioT0 ∈ R+.

� Esempio 6.46 (trasformata di Fourier del pettine diδ a TC) Consideriamo il seguente segnalex(t), pe-riodico di periodoT0:

x(t) =+∞

∑n=−∞

δ(t−nT0) = repT0[δ(t)] , (6.114)

ottenuto replicando con passoT0 l’impulso di Dirac centrato nell’origine ed avente area unitaria. Si trattadella generalizzazione ad un arbitrario periodoT0 del pettine diδ già introdotto nell’es. 6.20; il segnalex(t) èrappresentato simbolicamente in fig. 6.55. I coefficienti della serie di Fourier dix(t) si ottengono risolvendol’equazione di analisi:

Xk =1T0

∫ T0/2

−T0/2x(t)e− j2πk f0t dt , (6.115)


0 T0

−T0

2T0

−2T0

1

t

x(t)

Fig. 6.55.Pettine di δ a TC di periodo T0

(es. 6.46).

0 f0

−f0

2f0

−2f0

1/T0

f

X(f

)

Fig. 6.56.Trasformata di FourierX( f ) del pettinedi δ a TC di periodoT0 (es. 6.46).

con f0 = 1/T0 (frequenza fondamentale). Nella (6.115), come periodo di integrazione, abbiamo scelto perconvenienza di calcolo l’intervallot ∈ (−T0/2,T0/2). Ricorrendo all’interpretazione intuitiva dell’impulso diDirac come funzione nulla ovunque tranne che nel punto di applicazione, notiamo che l’unico impulso delpettine diδ che cade nell’intervallo(−T0/2,T0/2) è quello applicato int = 0, per cui la (6.115) si riduce alla

Xk =1T0

∫ T0/2

−T0/2δ(t)e− j2πk f0t dt =

1T0

, ∀k ∈ Z ,

per la proprietà di integrazione definita dellaδ di Dirac. In altri termini, i coefficienti di Fourier del pettine diδdi periodoT0 sono tutti uguali ad 1/T0, indipendentemente dak; notiamo che questo risultato generalizza quellogià ricavato nell’es. 6.20. In definitiva, sostituendo l’espressione diXk nella (6.113), la trasformata di Fourierdel pettine diδ è

X( f ) =1T0

+∞

∑k=−∞

δ(

f − kT0

)=

1T0

rep 1T0

[δ( f )] ,

che si interpreta come un pettine diδ nel dominio della frequenza, avente spaziatura 1/T0 ed area 1/T0

(fig. 6.56). In altri termini, vale la seguente trasformata notevole:

x(t) =+∞

∑n=−∞

δ(t−nT0)FT←→ X( f ) =

1T0

+∞

∑k=−∞

δ(

f − kT0

), (6.116)

ovvero la trasformata di un pettine diδ nel tempo è un pettine diδ in frequenza. �

6.6.2 Trasformata di Fourier di un segnale periodico TD

Nel caso TD, valgono considerazioni analoghe, tenendo conto però della fondamentale differenza trala trasformata di Fourier a TC e a TD, ovvero la periodicità di quest’ultima. Partiamo in questo casodalla rappresentazione di un segnalex(n), periodico di periodoN0, mediante l’equazione di sintesidella sua DFS (ovvero la IDFS):

x(n) =1

N0

N0−1

∑k=0

X(k)w−knN0

=1

N0

N0−1

∑k=0

X(k)e j2πkν0n , (6.117)


dove abbiamo esplicitato il terminewN0 = e− j2π/N0 ed abbiamo postoν0 = 1N0

(frequenza fondamen-tale). Per la (6.65), la trasformata di Fourier del generico fasore che compare nella (6.117), aventefrequenzakν0, è data da

e j2πkν0n FT←→ δ̃(ν − kν0) .

Pertanto, applicando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier, si trova

x(n) =1

N0

N0−1

∑k=0

X(k)e j2πkν0n FT←→ X(ν) =1

N0

N0−1

∑k=0

X(k) δ̃(ν−kν0) =1

N0

N0−1

∑k=0

X(k) δ̃(

ν − kN0

).

(6.118)

Nel caso TD, lo spettroX(ν) si presenta come la sovrapposizione di un numeroN0 finito di pettinidi δ, aventi periodo unitario, moltiplicati per i coefficientiX(k) della DFS del segnalex(n). Piùspecificamente, i pettini diδ che compaiono nella (6.118), con i rispettivi fattori moltiplicativi, sonoi seguenti:

X(0)δ̃(ν) , X(1)δ̃(ν −ν0) , X(2)δ̃(ν −2ν0) , . . . X(N0−1)δ̃[ν − (N0−1)ν0] .

e sono rappresentati in fig. 6.57 perN0 = 4. Come si vede, ciascun pettine è traslato diν0 = 1N0

rispettoal precedente; sovrapponendo tali pettini, come previsto dalla (6.118), si hanno come risultato impulsidi Dirac posizionatia tutte le frequenzeνk = kν0, k ∈ Z. Questa osservazione, insieme con il fattoche la DFSX(k) è periodica di periodoN0, mostra che, in effetti, la trasformataX(ν) nella (6.118) sipuò scrivere anche come

X(ν) =1

N0

+∞

∑k=−∞

X(k)δ(ν − kν0) =1

N0

+∞

∑k=−∞

X(k)δ(

ν − kN0

), (6.119)

vale a dire sommando suk ∈ Z infiniti impulsi di Dirac centrati alle frequenzekν0. In ogni modo, sesi osserva lo spettro su un qualsiasi intervallo di frequenze di ampiezza unitaria, ad esempio perν ∈(0,1), si vede che sono presenti esattamenteN0 impulsi di Dirac, posizionati alle frequenze armonicheνk = kν0, k ∈ {0,1, . . . ,N0−1}, che corrispondono agli0 fasori strettamente necessari per la perfettarappresentazione del segnale periodico a TD, come evidenziato dalla (6.117).

� Esempio 6.47 (trasformata di Fourier dell’onda rettangolare a TD) Si consideri l’onda rettangolare diperiodoN0:

x(n) = repN0[RM(n)] ,

conM ≤ N0. I coefficienti della DFS si possono esprimere (cfr. es. 5.8) come

X(k) = DM

(k

N0

),

per cui lo spettro (6.118) si esprime come

X(ν) =1

N0

N0−1

∑k=0

DM

(k

N0

)δ̃(ν − kν0) =

1N0

N0−1

∑k=0

DM

(k

N0

)δ̃(

ν − kN0

).

o equivalentemente, in accordo alla (6.119), come

X(ν) =1

N0

+∞

∑k=−∞

DM

(k

N0

)δ(ν − kν0) =

1N0

+∞

∑k=−∞

DM

(k

N0

)δ(

ν − kN0

),

PoichéX(ν) è complesso, tale spettro è raffigurato graficamente in modulo e fase in fig. 6.58 perN0 = 8 edM = 4. Dal confronto con la fig. 5.11 dell’es. 5.8, si può osservare anche in questo caso la forte analogia tra larappresentazione grafica dello spettro e quella della DFS in funzione dik. �


ν

-1/2

X(0) δ(ν)~

ν

ν

ν

X(1) δ(ν-1/4)

X(2) δ(ν-2/4)

X(3) δ(ν-3/4)

1/2-1 10

-1/2 1/2-1 10

-1/2 1/2-1 10

-1/2 1/2-1 10

X(ν)

ν-1/2 1/2-1 10

~

~

~

Fig. 6.57.Rappresentazione grafica dello spettro di un segnale pe-riodico a TD perN0 = 4. Lo spettroX(ν) si ottiene sommando gliN0 = 4 pettini diδ traslati raffigurati in alto (con differenti colori).

Un caso particolarmente interessante per il seguito è quello della trasformata di Fourier del pettine diδ a TD, che è la controparte del segnale introdotto per il caso TC nell’es. 6.48.

� Esempio 6.48 (trasformata di Fourier del pettine diδ a TD) Consideriamo il seguente segnalex(n), pe-riodico di periodoN0:

x(n) = repN0[δ(n)] =

+∞

∑k=−∞

δ(n− kN0) , (6.120)

ottenuto replicando con passoN0 l’impulso di Dirac discreto centrato nell’origine e avente ampiezza unitaria;tale segnale è rappresentato in fig. 6.59 perN0 = 3. Notiamo in particolare che perN0 = 1 si ha un segnalecostante a TD, la cui trasformata di Fourier è stata già calcolata in precedenza (cfr. es. 6.21). La DFS di talesegnale periodico perN0 arbitrario è:

X(k) =N0−1

∑n=0

x(n)e− j2πkν0n ,

doveν0 = 1/N0 è la sua frequenza fondamentale. Poiché nell’intervallon ∈ {0,1, . . . ,N0−1} si hax(n) = δ(n)


−1 −0.5 0 0.5 1

0

2

4

ν

|X(ν

)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−2

0

2

ν

∠ X

(ν)

Fig. 6.58.Trasformata di FourierX(ν) dell’on-da rettangolare conN0 = 8 edM = 4: spettro diampiezza (in alto) e di fase (in basso) (es. 6.47).

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

Fig. 6.59.Pettine diδ a TD di periodoN0 = 3(es. 6.48).

0 1−1

1/3

0.5−0.5

ν

X(ν

)

Fig. 6.60.Trasformata di FourierX(ν) del pettinedi δ a TD di periodoN0 = 3 (es. 6.48).

(fig. 6.59), allora

X(k) =N0−1

∑n=0

δ(n)e− j2πkν0n = 1, ∀k ∈ {0,1, . . . ,N0−1} , (6.121)

per la proprietà di campionamento dell’impulso discreto. In altri termini, la DFS del pettine diδ di periodoN0 è costante e pari ad 1, per ognik ∈ {0,1, . . . ,N0−1}. In definitiva, sostituendo l’espressione diX(k) nella(6.118), la trasformata di Fourier del pettine diδ a TD si può scrivere come

X(ν) =1

N0

N0−1

∑k=0

δ̃(

ν − kN0

),

o in alternativa, in accordo alla (6.119), come

X(ν) =1

N0

+∞

∑k=−∞

δ(

ν − kN0

)=

1N0

rep 1N0

[δ(ν)] ,

che si interpreta come un pettine diδ nel dominio della frequenza, avente spaziatura 1/N0 ed area 1/N0 (vedi


fig. 6.60 perN0 = 3). In altri termini, vale la seguente trasformata notevole

x(n) =+∞

∑k=−∞

δ(n− kN0)FT←→ X(ν) =

1N0

N0−1

∑k=0

δ̃(ν − kν0) =1

N0

N0−1

∑k=0

δ̃(

ν − kN0

), (6.122)

che può essere anche scritta, in accordo alla (6.119), come

x(n) =+∞

∑k=−∞

δ(n− kN0)FT←→ X(ν) =

1N0

+∞

∑k=−∞

δ(ν − kν0) =1

N0

+∞

∑k=−∞

δ(

ν − kN0

). (6.123)

Entrambe le relazioni mostrano che anche nel caso TD la trasformata di un pettine diδ nel tempo è un pettinedi δ in frequenza. �

6.6.3 Estensione spettrale e banda di un segnale periodico

Avendo calcolato la trasformata di Fourier di un segnale periodico TC o TD, siamo ora in grado didiscutere alcuni aspetti peculiari relativi all’estensione spettrale ed alla banda di un segnale periodico.Prendendo a riferimento il caso TC, la (6.113) mostra che lo spettro di un segnale periodicox(t) confrequenza fondamentalef0 è a righe, cioè è concentrato alle frequenzek f0, conk ∈ Z. È allora legit-timo considerare che l’estensione spettrale di un tale segnale siaWx = ∪k∈Z{k f0}, sia cioè l’insiemediscreto contenente le sole frequenze armoniche. A stretto rigore, allora, in accordo alla def. 6.3, lamisura di tale insieme, e quindi la banda del segnale periodico, risulta essereBx = 0. Un discorsoanalogo vale per un segnale periodico TDx(n) con frequenza fondamentaleν0, per il quale si puòdefinireWx = ∪k∈Z∩(−1/2,1/2){kν0} ⊂ (−1/2,1/2), ed anche in questo caso risulterebbeBx = 0, inquanto misura nel continuo di un insieme discreto.

Il risultato precedente, sia nel caso TC che TD, non contrasta con l’interpretazione secondo laquale un segnale periodico è la sovrapposizione di segnali monocromatici o monofrequenziali qualii fasori, ovvero è la sovrapposizione di segnali aventibanda nulla, per cui non stupisce che anche ilsegnale risultante abbia banda nulla. Tuttavia questa definizione di banda, sebbene matematicamen-te fondata, non risulta di grosso interesse applicativo. Dal punto di vista operativo, invece, facendoriferimento in particolare a segnali TC reali, risulta più utile definire l’estensione spettrale di un se-gnale periodico come l’intervallo simmetricoWx = (−M f0,M f0) che contiene le 2M +1 armonichepiù significative del segnale. Per valutare se un’armonica sia significativa o meno, non è convenienteutilizzare il confronto con una soglia, in quanto le armoniche tendono sì a zero per|k| →+∞, ma nonnecessariamente in maniera monotona. Risulta invece conveniente valutare la potenza contenuta intali armoniche utilizzando l’uguaglianza di Parseval (5.44) per la serie di Fourier. Si perviene in que-sto modo ad una interpretazione della banda che risulta essere l’equivalente, per i segnali di potenza,della banda all’α% dell’energia introdotta per i segnali di energia in precedenza (cfr. § 6.4.2).

In sostanza, fissato 0< α < 1, e dettaPx la potenza del segnalex(t), si determina il valore diMtale che la potenza associata al segnale

xM(t) =M

∑k=−M

Xke j2πk f0t

risulti pari aαPx. Poiché la potenza dixM(t), per l’uguaglianza di Parseval per la serie di Fourier aTC, è pari a

Px(M) =M

∑k=−M

|Xk|2 ,


ciò significa individuare il valore diM soluzione dell’equazione

Px(M) =M

∑k=−M

|Xk|2 = αPx . (6.124)

Si noti l’analogia tra la precedente equazione e la (6.71) che definisce la banda all’α% dell’energia; sinoti inoltre che il ragionamento precedente è analogo a quello già sviluppato nel § 5.4.3 per misurarela bontà della ricostruzione di un segnale TC periodico impiegando un numero finito di armoniche (ineffetti il coefficienteα gioca il ruolo del coefficienteξM definito a suo tempo).

Data la natura discreta diM, è raro che la (6.124) possa essere soddisfatta con il segno di ugua-glianza; in pratica, allora, perM si sceglierà ilminimo valore tale chePx(M) ≥ αPx. In ogni caso,una volta definitoM, l’estensione spettrale del segnale èWx = (−M f0,M f0) e la sua banda bilatera èBx = 2M f0. Si noti che, con questo ragionamento, il segnale periodico è implicitamente assimilato adun segnale di tipo passabasso avente banda praticamente limitata, in quanto la sua estensione spettraleè un intervallo centrato suf = 0, ed il suo spettro non si annulla identicamente al di fuori di un questointervallo.

6.6.4 Relazioni tra serie e trasformata di Fourier

Le (6.113) e (6.118) mettono in luce che la trasformata di Fourier di un segnale periodico TC o TDdipende direttamente dai coefficienti della serie di Fourier o della DFS. In questo paragrafo, tuttavia,utilizzeremo i risultati ricavati in precedenza per individuare un’altra relazione notevole tra serie etrasformata di Fourier; in particolare, mostreremo che è possibile legare in maniera molto semplice icoefficienti della serie di Fourier o della DFS alla trasformata di Fourier di un segnale generatorexg(·)del segnale periodico.

Partendo dal caso TC, consideriamo la rappresentazione di un segnale periodicox(t) come lareplicazione di un opportuno generatore (non univocamente determinato):

x(t) = repT0[xg(t)] =

+∞

∑k=−∞

xg(t− kT0) .

Applicando le proprietà della convoluzione con laδ(t), si ha:

xg(t− kT0) = xg(t)∗δ(t− kT0) ,

per cui

x(t) =+∞

∑k=−∞

xg(t− kT0) =+∞

∑k=−∞

[xg(t)∗δ(t− kT0)

]= xg(t)∗

[+∞

∑k=−∞

δ(t− kT0)

],

dove l’uso della parentesi quadre evidenzia che abbiamo formalmente applicato la proprietà distri-butiva della convoluzione rispetto alla somma. In questo modo, abbiamo mostrato cheun arbitrariosegnale periodico x(t) si può esprimere come la convoluzione tra un generatore xg(t) ed il pettine diδ di periodo T0, considerato nell’es. 6.46. È possibile allora calcolare la trasformata di Fourier dix(t)applicando la proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier e la trasformata del pettine diδ(6.116). Postoxg(t)

FT←→ Xg( f ), si ha:

X( f ) = Xg( f )

[1T0

+∞

∑k=−∞

δ(

f − kT0

)]=

+∞

∑k=−∞

1T0

Xg

(kT0

)δ(

f − kT0

), (6.125)


dove abbiamo portatoXg( f ) all’interno della sommatoria ed abbiamo sfruttato la proprietà del pro-dotto dellaδ di Dirac. Confrontando la (6.125) con l’espressione (6.113) precedentemente ricavatadella trasformata di Fourier, riportata sotto per comodità:

X( f ) =+∞

∑k=−∞

Xk δ(

f − kT0

),

affinché le due espressioni siano uguali, in virtù della proprietà di unicità della trasformata di Fourier,deve risultare necessariamente:

Xk =1T0

Xg

(kT0

), ∀k ∈ Z . (6.126)

La (6.126) evidenzia che la sequenza dei coefficientiXk della serie di Fourier coincide, a meno delfattore di proporionalità1

T0, con la trasformata di Fourier del segnale generatore “campionato” alle

frequenzekT0

, k ∈ Z. Per questo motivo, la (6.126) prende il nome diproprietà di campionamento infrequenza della trasformata di Fourier a TC.

La (6.126) suggerisce una strada alternativa, spesso più conveniente rispetto al calcolo direttoconsiderato nel cap. 5, per il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier di un segnale periodicox(t)di periodoT0: basta infatti trovare un generatorexg(t) del segnale, calcolarne la trasformata di Fourier,ed infine campionare quest’ultima alle frequenze armonichek

T0, secondo lo schema seguente:

xg(t)FT−→ Xg( f )

f =k/T0−→ Xk =1T0

Xg

(kT0

).

I due esempi che seguono mostrano l’applicazione pratica di questo procedimento.

� Esempio 6.49 (calcolo della serie di Fourier dell’onda rettangolare a TC)Mediante la proprietà di cam-pionamento in frequenza, il calcolo della serie di Fourier dell’onda rettangolarex(t) = A repT0

[rect(t/T )], giàaffrontato nell’es. 5.2, si può effettuare più semplicemente. La trasformata del segnale generatore è evidente-mente

xg(t) = A rect( t

T

)FT←→ Xg( f ) = AT sinc( f T ) .

Applicando la (6.126), si trova allora:

Xk =1T0

Xg

(kT0

)=

1T0

ATsinc

(kT0

T

)= Aδcsinc(kδc) , ∀k ∈ Z ,

conδc = T/T0 (duty-cycle), risultato ovviamente coincidente con quello già ricavato nell’es. 5.2. �

� Esempio 6.50 (calcolo della serie di Fourier del segnale coseno raddrizzato)Applichiamo la proprietà dicampionamento in frequenza per il calcolo della serie di Fourier del segnalex(t) = |cos(2π f1t)|, con f1 ∈ R.Tale segnale è un’onda sinusoidale raddrizzata (fig. 6.61) e, per la presenza del valore assoluto, è facile veri-ficare che risulta periodica di periodoT0 = 1

2 f1. Scegliamo come generatore dix(t) la restrizione al periodo

(−T0/2,T0/2), che si può ottenere moltiplicando il segnalex(t) per una finestra rettangolare:

xg(t) = cos(2π f1t) rect

(t

T0

),

dove abbiamo eliminato il valore assoluto, in quanto nell’intervallo considerato si può facilmente verificare cherisulta cos(2π f1t) ≥ 0. Applicando le proprietà di cambiamento di scala e di modulazione, e ricordando la


−2 −1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

Fig. 6.61.Segnale coseno raddrizzato perf1 = 12

e T0 = 1 (es. 6.50).

−5 0 5−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

k

Xk

Fig. 6.62.Coefficienti della serie di Fourier delsegnale coseno raddrizzato perf1 = 1

2 e T0 = 1(es. 6.50).

trasformata rect(t) FT←→ sinc( f ), possiamo scrivere:

rect(t) FT←→ sinc( f ) ;

rect

(t

T0

)FT←→ T0sinc( f T0) ;

cos(2π f1t) rect

(t

T0

)FT←→ 1

2T0sinc[( f − f1)T0]+

12

T0sinc[( f + f1)T0] .

Ricordando chef1T0 = 12, ed applicando la (6.126), si trova

Xk =1T0

Xg

(kT0

)=

12

[sinc

(k− 1

2

)+sinc

(k +

12

)].

Con qualche passaggio trigonometrico, ricordando la definizione di sinc(x), si trova infine:

Xk =2π

(−1)k 11−4k2 ,

valida∀k ∈ Z. Tali coefficienti (reali) sono raffigurati in fig. 6.62. �

Un discorso analogo si può fare nel caso TD con riferimento in particolare alla DFS. Un segnaleperiodicox(n) di periodoN0 si può esprimere come replicazione di un opportuno generatore (nonunivocamente determinato):

x(n) = repN0[xg(n)] =

+∞

∑k=−∞

xg(n− kN0) .

Applicando le proprietà della convoluzione con laδ(n), si ha:

xg(n− kN0) = xg(n)∗δ(n− kN0)

e pertanto si ha, con passaggi del tutto simili a quelli del caso TC,

x(n) =+∞

∑k=−∞

xg(n− kN0) = xg(n)∗[

+∞

∑k=−∞

δ(n− kN0)

].


Pertanto, anche nel caso TD,un arbitrario segnale periodico può essere espresso mediante la con-voluzione tra un generatore xg(n) ed il pettine di δ di periodo N0, considerato nell’es. 6.48. Pos-siamo allora calcolare la trasformata di Fourier dix(n) applicando la proprietà di convoluzione della

trasformata di Fourier e la trasformata (6.123) del pettine diδ. Postoxg(n) FT←→ Xg(ν), si ha:

X(ν) = Xg(ν)

[1

N0

+∞

∑k=−∞

δ(

ν − kN0

)]=

1N0

+∞

∑k=−∞

X

(k

N0

)δ(

ν − kN0

),

dovex(n) FT←→ X(ν), ovveroX(ν) è la trasformata del generatorex(n). Confrontando la trasformatadi Fourier con l’espressione (6.119) precedentemente ottenuta, e riportata sotto per comodità

X(ν) =1

N0

+∞

∑k=−∞

X(k)δ(

ν − kN0

),

in virtù della proprietà di unicità della trasformata di Fourier, si ricava necessariamente che:

X(k) = X

(k

N0

), ∀k ∈ Z . (6.127)

La (6.127) evidenzia che la DFSX(k) della serie di Fourier coincide con la trasformata di Fourierdel segnale generatore “campionato” alle frequenzek

N0. Per questo motivo, anche la (6.127) prende

il nome di proprietà di campionamento in frequenza della trasformata di Fourier a TD. Notiamoche poiché la DFS è in effetti periodica di periodoN0, è sufficiente applicare la (6.127) perk ∈{0,1, . . . ,N0−1} per ottenere gliN0 coefficienti significativi della DFS.

Anche nel caso TD, allora, la (6.127) suggerisce una strada alternativa, talvolta più convenienterispetto al calcolo diretto considerato nel cap. 5, per il calcolo della DFS di un segnale periodicox(n) diperiodoN0: basta infatti trovare un generatorexg(n) del segnale, calcolarne la trasformata di Fourier,ed infine campionare quest’ultima nelle frequenze armonichek

N0, secondo lo schema seguente:

xg(n) FT−→ Xg(ν)ν=k/N0−→ X(k) = Xg

(k

N0

)Il seguente esempio mostra l’applicazione di tale procedura di calcolo al caso dell’onda rettangolareTD.

� Esempio 6.51 (calcolo della DFS dell’onda rettangolare a TD)Utilizzando la proprietà di campionamen-to in frequenza, il calcolo della serie di Fourier dell’onda rettangolarex(n) = repN0

[RM(n)], già affrontatonell’es. 5.8, si può effettuare più semplicemente. La trasformata del segnale generatore è evidentemente

xg(n) = RM(n) FT←→ Xg(ν) = DM(ν) .

Applicando la (6.127), si trova

X(k) = Xg

(k

N0

)= DM

(k

N0

),

risultato coincidente con quello già ricavato nell’es. 5.8. �

Un’importante osservazione riguardo la proprietà di campionamento in frequenza è relativa allanonunicità del segnale generatorexg(·) di un segnale periodicox(·). In effetti, nelle (6.126) o (6.127),è possibile utilizzare la trasformata di FourierXg(·) di un arbitrario generatore, il che sembra in


contrasto con l’unicità dei coefficienti della serie di Fourier. In realtà, le (6.126) e (6.127) mostranoinvece una caratteristica importante che accomunatutti i generatori di un dato segnale periodico:sebbene le trasformate di Fourier di tali generatori siano in generale funzioni (dif o ν ) diverse,essedevono necessariamente coincidere in corrispondenza delle frequenze armoniche ( fk = k f0 oppureνk = kν0).

Infine, notiamo che esprimendo i coefficienti di Fourier o la DFS come previsto dalla (6.126) ola (6.127), è possibile esprimere un segnale periodico TC o TD o come replicazione o come sommadella sua serie di Fourier:

x(t) =+∞

∑k=−∞

xg(t− kT0) =1T0

+∞

∑k=−∞

Xg

(kT0

)e j2π k

T0t ;

x(n) =+∞

∑k=−∞

xg(n− kN0) =1

N0

N0−1

∑k=0

Xg

(k

N0

)e j2π k

N0n.

Le espressioni precedenti, in cui compaiono esplicitamente il segnale generatorexg(·) e la sua trasfor-mataXg(·), prendono complessivamente il nome diprima formula di Poisson.

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza 357

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della fre-quenza

Un sistema LTI può essere caratterizzato nel dominio del tempo mediante la sua risposta impulsivah(·)oppure, equivalentemente, nel dominio della frequenza in termini della sua risposta in frequenzaH(·).Da un punto di vista dell’analisi dei sistemi LTI, in molti casi è più conveniente far riferimento allarisposta in frequenza del sistema, in quanto le equazioni differenziali o alle differenze, che descrivonoil funzionamento di molti sistemi TC o TD nel dominio del tempo, diventano semplici operazionialgebriche nel dominio della frequenza. Inoltre, alcune proprietà dei sistemi, quali ad esempio laselettività in frequenza, possono essere interpretate più semplicemente nel dominio della frequenza.Tutto ciò rende lo studio dei sistemi LTI nel dominio della frequenza di grande interesse pratico.

Lo scopo di questa sezione è quello di introdurre alcuni parametri che caratterizzano sintetica-mente un sistema LTI nel dominio della frequenza, quali ad esempio, l’estensione frequenziale (de-nominata anchebanda passante) e la banda, ed inoltre di esprimere le proprietà dei sistemi LTI (nondispersività, stabilità, causalità e invertibilità) in termini delle proprietà matematiche della risposta infrequenza. Per introdurre questi concetti in maniera semplice ed intuitiva, consideriamo il problemadella separazione di segnali mediante il filtraggio, che riveste un grande interesse applicativo.

6.7.1 Separazione di segnali mediante filtraggio

Abbiamo visto (cfr. § 6.2) che gli spettri di ampiezza dell’ingressox(·) e dell’uscitay(·) di un sistemaLTI sono legati alla risposta in ampiezza del sistema|H(·)| dalla relazione moltiplicativa:

|Y (·)|= |H(·)| |X(·)| , (6.128)

che mette in luce come i sistemi LTI abbiano un comportamentofiltrante o selettivo in frequenza: lecomponenti spettrali del segnale di ingresso sono debolmente attenuate o amplificate in corrisponden-za di quelle frequenze alle quali la risposta in ampiezzaH(·) assume valori apprezzabilmente diversida zero, mentre sono fortemente attenuate o eliminate del tutto in corrispondenza di quelle frequenzealla quali la risposta in ampiezzaH(·) assume valori trascurabili o nulli. Tale comportamento selettivoè particolarmente semplice ed intuitivo se consideriamo i filtri ideali (cfr. § 5.6), caratterizzati da unarispostaH(·) che assume solo i valori 1 oppure 0.

Per effetto della selettività in frequenza del sistema, la sola conoscenza della banda del segnale diingresso non è sufficiente per determinare la banda del segnale di uscita, in quanto, per effetto dellamoltiplicazione per|H(·)|, lo spettro di ampiezza del segnale di uscita|Y (·)| può subire modificheanche significative.51 Occorre, quindi, la conoscenza addizionale dell’intervallo di frequenze ove larisposta in ampiezza del sistema è significativamente diversa da zero.

La selettività in frequenza è una importante proprietà dei sistemi LTI, che è già stata evidenziatanel § 5.6 con riferimento ai segnali periodici, utilizzando la serie di Fourier. La trasformata di Fourieroffre qui la possibilità di estendere al caso dei segnali aperiodici molte delle considerazioni fatte in§ 5.6 per i soli segnali periodici. In particolare, utilizzando la (6.128), possiamo evidenziare ulterioriproprietà dei filtri ideali, che rappresentano gli esempi più semplici di filtri. A tal fine, si ricordiche la risposta in frequenza di un filtro ideale vale 1 nella intervallo di frequenzeWp, dettobandapassante del filtro o passband, e vale 0 nell’intervallo di frequenzeWs (complementare aWp), dettobanda oscura del filtro o stopband. In base alla posizione della banda passante e di quella oscura,tali filtri si possono raggruppare in quattro famiglie principali: LPF, HPF, BPF e BSF. Prescindendo

51Ricordiamo che il segnale in uscita da un sistema LTI non può contenere componenti spettrali a quelle frequenze allequaliX(·) = 0; tuttavia, può accadere che, a determinate frequenze, risulti|Y (·)| � 1 anche se alle stesse frequenze è invece|X(·)| � 1 (ma non nullo), per effetto evidentemente di un guadagno elevato|H(·)| � 1 introdotto dal sistema.


X(f)

fWx

H(f)

fWp

Y(f)

fWy=Wx

X(f)

f

H(f)

fWp

Y(f)

f

Wx

(a) (b)

Fig. 6.63.Comportamento selettivo in frequenza dei filtri: (a) l’estensione spettrale del segnale di ingresso ècompletamenteinterna alla banda passante del filtro (grafici a sinistra); (b) l’estensione spettrale del segnale diingresso è completamenteesterna alla banda passante del filtro (grafici a destra). Si noti che nel caso (a) il filtrolascia passare il segnalex(t) inalterato, nel caso (b) lo cancella completamente.

per il momento dal particolare tipo di filtro, osserviamo che, in virtù della (6.22), con riferimento persemplicità al caso TC, lo spettro del segnale in uscita ad un filtro ideale risulta essere:

Y ( f ) = H( f )X( f ) =

{X( f ), se f ∈Wp ;

0, se f ∈Ws ,

e quindi l’equazione di sintesi del segnale di uscita assume la forma semplificata:

y(t) =∫

Wp

X( f )e j2π f t d f ,

che esprime il fatto chesolo le componenti spettrali del segnale di ingresso contenute nella bandapassante del filtro contribuiscono a determinare il segnale di uscita y(t). L’espressione diy(t) puòessere resa più esplicita osservando che, in base alla def. 6.3, lo spettro di ampiezza|X( f )| del segnaledi ingresso assume per definizione valori trascurabiliall’esterno della propria estensione spettraleWx,


x1(t)

H1(f)

H2(f)

y1(t)

y2(t)

x2(t)

y(t)

Fig. 6.64.Schema per la separazione di segnalimediante filtraggio (es. 6.52).

cioèX( f ) si può considerare (approssimativamente) nullo perf �∈Wx.52 Si ha allora

y(t) =∫

Wx∩Wp

X( f )e j2π f t d f . (6.129)

La (6.129) consente di ricavare i due comportamenti “limite” dei filtri ideali:

• se l’estensione spettrale del segnale di ingresso è completamente contenuta nella banda passantedel filtro ideale, cioèWx ⊆Wp come in fig. 6.63(a), si ha cheWx ∩Wp = Wx e, conseguen-temente, l’uscita del sistema coincide (approssimativamente o esattamente, si veda la nota 52)con il segnale di ingresso, si ha cioè:

y(t) =∫

Wx

X( f )e j2π f t d f = x(t) .

In questo caso, il filtro ideale si comporta come un sistema identico, ovvero il segnalex(t) passainalterato attraverso il filtro;

• se l’estensione spettrale del segnale di ingresso è completamente esterna alla banda passante delfiltro ideale, come in fig. 6.63(b), si ha cioèWx ∩Wp = ∅, l’uscita del sistema coincide con ilsegnale nullo:

y(t)≡ 0.

In questo caso, il filtro idealeelimina completamente o sopprime il segnalex(t) di ingresso.

Con ovvie modifiche di notazione, gli stessi comportamenti limite possono essere evidenziati anchenel caso TD. Sulla base delle considerazioni sviluppate precedentemente, l’esempio che segue mostracome una delle potenzialità maggiori dei filtri sia la loro capacità di separare segnali aventi estensionifrequenziali non sovrapposte.

� Esempio 6.52 (separazione di segnali mediante filtraggio)Con riferimento allo schema di fig. 6.64, siconsiderino due segnalix1(t) ed x2(t), aventi estensioni spettraliWx1 e Wx2 tali cheWx1 ∩Wx2 = ∅, ovve-ro gli spettri dei due segnali non sono sovrapposti in frequenza. Segnali di questo tipo si dicono in effettiortogonali in frequenza (vedi es. 6.27), un esempio è costituito dai segnali i cui spettri sono raffigurati (condiversi colori) in fig. 6.65: in particolare, il segnalex1(t) con spettro in arancione è un segnale passabasso,mentre il segnalex1(t) con spettro in azzurro è un segnale passabanda.

52 Si noti che la (6.129) vale esattamente solo se il segnale di ingresso è a banda rigorosamente limitata, ossiaX( f ) = 0per f �∈Wx; per segnali a banda praticamente limitata, per i qualiX( f )≈ 0 per f �∈Wx, essa vale solo approssimativamente.


X1(f), X2(f), Y(f)

fH1(f)

f

Y1(f)=X1(f)

f

(a) (b)

X1(f), X2(f), Y(f)

fH2(f)

f

Y2(f)=X2(f)

f

... ...

Fig. 6.65.Spettri dei segnali dell’es. 6.52 (lo spettroX1( f ) è raffigurato in arancio, lo spettroX2( f ) in celeste).(a) Filtraggio ideale LPF per la separazione del segnalex1(t) (grafici a sinistra). (b) Filtraggio ideale HPF perla separazione del segnalex2(t) (grafici a destra).

Supponiamo di osservare la somma dei due segnali, sia essay(t) = x1(t)+ x2(t), e di volere separare i duesegnali che compongonoy(t) mediante filtraggio. Poiché risultaY ( f ) = X1( f )+ X2( f ), e gli spettriX1( f ) edX2( f ) non si sovrappongono in frequenza, lo spettroY ( f ) si ottiene graficamente (fig. 6.65) semplicementeaffiancando gli spettriX1( f ) edX2( f ). Sfruttando la non sovrapposizione degli spettri, ed utilizzando i concettisviluppati precedentemente, è chiaro che la separazione dei due segnalix1(t) ex2(t) a partire day(t) è possibileutilizzando unacoppia di filtri, come indicato nello schema di fig. 6.64:

• mediante un filtro idealeH1( f ) con banda passanteWp ⊇Wx1 e Wp ∩Wx2 = ∅ è possibile separareperfettamentex1(t), si ha cioèy1(t)≡ x1(t);

• mediante un filtro idealeH2( f ) con banda passanteWp ⊇Wx2 e Wp ∩Wx1 = ∅ è possibile separareperfettamentex2(t), si ha cioèy2(t)≡ x2(t);

Ad esempio, in fig. 6.65 sono raffigurate le risposte in frequenza di un filtro ideale passabassoH1( f ) (a sinistra)e passaaltoH2( f ) (a destra) che presentano le caratteristiche desiderate. �

Si noti che la separazione perfetta ottenuta nell’esempio precedente, anche supponendo di disporre difiltri ideali, non può essere ottenuta se gli spettri dei due segnali sono parzialmente o completamentesovrapposti in frequenza. Questa è una conseguenza del fatto che un sistema LTInon è capace didiscriminare componenti spettrali dovute a diversi segnali allastessa frequenza. In tal caso, la se-parazione dei due segnali potrebbe ancora essere ottenuta, in ipotesi particolari, utilizzando sistemitempo-varianti o, addirittura, non lineari.


6.7.2 Banda passante e banda di un sistema

I filtri ideali utilizzati negli esempi della sezione precedente hanno un comportamentodrasticamenteselettivo, nel senso che le componenti spettrali del segnale di ingresso o sono lasciate passare inalte-rate, oppure sono completamente soppresse. Come abbiamo già avuto modo di dire, e come vedremopiù in dettaglio in questa sezione, nessun sistema fisico può presentare un comportamento di questotipo. In particolare, per molti sistemi di interesse applicativo, la transizione tra banda passante e ban-da oscura non è così brusca come per i filtri ideali (si vedano le fig. 5.18–5.25), ma impegna inveceun certo intervallo di frequenza di misura non nulla (cosiddettabanda di transizione); inoltre, permolti sistemi fisici, pur potendo assumere valori arbitrariamente piccoli, la risposta in ampiezza nonsi annulla mai esattamente (non esiste quindi una vera e propria banda oscura). Questo ci spinge adadottare una definizione più generale di banda passante di un sistema e, contestualmente, a definire ilconcetto dibanda di un sistema.

Definizione 6.4 (banda passante e banda di un sistema)(a) La banda passanteWp ⊆ R di un sistema TC è l’intervallo di frequenza in cui la risposta

in ampiezza del sistema|H( f )| assume valori non trascurabili. La banda del sistema è lamisuraBp ≥ 0 dell’insiemeWp.

(b) La banda passanteWp ⊆ (ν ,ν +1), conν ∈ R, di un sistema TD è l’intervallo di frequenzain cui la risposta in ampiezza del sistema|H(ν)| assume valori non trascurabili sul periodo(ν ,ν +1). La banda del sistema è la misura 0≤ Bp ≤ 1 dell’insiemeWp.

Dal confronto tra la definizione precedente e la def. 6.3, risulta evidente che la definizione di bandapassante di un sistema è molto simile a quella di estensione spettrale di un segnale: in effetti,labanda passante di un sistema avente risposta in frequenza H(·) coincide con l’estensione spettraledel segnale h(·) (risposta impulsiva).

Generalizzando i concetti visti nella sezione precedente per i filtri ideali, a partire dalla conoscenzadell’estensione spettrale del segnale di ingressoWx e della banda passante del sistemaWp, in virtùdella relazione moltiplicativa (6.128), possiamo dire che l’estensione spettrale del segnale di uscita èdata dall’intersezione dei due intervalli di frequenzaWx eWp, ossia

Wy = Wx∩Wp .

Conseguentemente, se l’estensione spettrale del segnale di ingresso è completamente fuori dalla bandapassante del sistema, ossiaWx∩Wp = ∅, all’uscita del sistema si avrà un segnale praticamente nullo;in questo caso, il sistema ha soppresso (completamente o approssimativamente) il segnale di ingresso.

Analogamente a quanto fatto per i filtri ideali, sulla base della posizione della banda passante,i sistemi possono essere suddivisi in quattro famiglie che richiamiamo qui per comodità facendoriferimento direttamente ai sistemi reali (risposta impulsiva reale, risposta in frequenza con simmetriahermitiana):

• Sistemi passabasso (LPF): la banda passanteWp è centrata intorno alla frequenza nulla.

• Sistemi passaalto (HPF): la banda passanteWp è posizionata intorno alle frequenzef = ±∞nel caso TC, oppure intorno alle frequenzeν =±1/2 nel caso TD.

• Sistemi passabanda (BPF): la banda passanteWp è centrata a frequenze intermedie, intorno a± f0 ∈ R−{0} nel caso TC, oppure intorno a±ν0 nel caso TD, conν0 ∈ (−1/2,1/2)−{0}.• Sistemi eliminabanda (BSF): la banda passanteWp è posizionata intorno alle frequenzef = 0

e f =±∞ nel caso TC, oppure intorno alle frequenzeν = 0 eν =±1/2 nel caso TD.


Giocando sul fatto che la banda di un sistema altro non è che la misura dell’estensione spettrale dellasua risposta impulsiva, in maniera simile a quanto visto per la caratterizzazione dei segnali nel dominiodella frequenza, possiamo suddividere i sistemi insistemi a banda rigorosamente e praticamentelimitata, esistemi a banda non limitata.

Sistemi a banda rigorosamente limitata

Un sistema TC con risposta in frequenzaH( f ) si dice abanda rigorosamente limitata se H( f ) èidenticamente nulla al di fuori di un certo intervallo( f1, f2), con f2 > f1 valori reali finiti. In tal caso,si considerano trascurabili solo i valori nulli della risposta in frequenza del sistema. Pertanto, la bandapassante è per definizione data daWp = ( f1, f2) e la banda è pari adBp = f2− f1. Esempi di sistemiTC a banda rigorosamente limitata sono i filtri ideali LPF e BPF.

� Esempio 6.53 (banda dei filtri TC ideali LPF e BPF) La risposta in frequenza di un filtro ideale LPF è

HLPF( f ) = rect

(f

2 fc

),

ed è rappresentata graficamente in fig. 5.18, mentre quella di un filtro ideale BPF è

HBPF( f ) = rect

(f − f0∆ f

)+ rect

(f + f0∆ f

),

ed è rappresentata graficamente in fig. 5.20: sono entrambi sistemi con banda rigorosamente limitata. Per ilfiltro ideale LPF, la banda è pari al doppio della frequenza di tagliofc, ossiaBp = 2 fc; se si considerano solo lefrequenze positive,53 la banda monolatera coincide con la frequenza di taglio, cioèBp = fc. Per il filtro idealeBPF, la banda è indipendente dalla frequenza centralef0 (nell’ipotesi f0 ≥ ∆ f /2) ed è pari aBp = 2∆ f ; se siconsiderano solo le frequenze positive, la banda monolatera è uguale aBp = ∆ f . �

Analogamente, un sistema TD con risposta in frequenzaH(ν) si dice a banda rigorosamente limitatase, con riferimento al solo intervallo(−1/2,1/2), la funzioneH(ν) è identicamente nulla al di fuoridi un certo intervallo(ν1,ν2), conν1,ν2 ∈ (−1/2,1/2) eν2 > ν1. In tal caso, la banda passante è perdefinizione data daWp = (ν1,ν2) e la banda è pari aBp = ν2−ν1. Analogamente al caso TC, i filtriideali LPF e BPF sono due esempi tipici di sistemi TD a banda rigorosamente limitata.

� Esempio 6.54 (banda dei filtri TD ideali LPF e BPF) La risposta in frequenza di un filtro ideale LPF è

HLPF(ν) = rep1

[rect

(ν

2νc

)],

ed è rappresentata graficamente in fig. 5.22, mentre quella di un filtro ideale BPF è

HBPF(ν) = rep1

[rect

(ν −ν0

2∆ν

)+ rect

(ν +ν0

2∆ν

)],

ed è rappresentata graficamente in fig. 5.24: sono entrambi sistemi con banda rigorosamente limitata. Per ilfiltro ideale LPF la banda è pari al doppio della frequenza di taglioνc, ossiaBp = 2νc; se si considerano solole frequenze positive, la banda monolatera è proprio la frequenza di taglio, cioèBp = νc. Per il filtro idealeBPF, la banda è indipendente dalla frequenza centraleν0 (nell’ipotesiν0 ≥ ∆ν/2) ed è pari aBp = 2∆ν ; se siconsiderano solo le frequenze positive, la banda monolatera è uguale aBp = ∆ν . �

È interessante osservare che, a differenza del caso TC, anche i filtri TD ideali HPF e BSF sono daconsiderarsi a tutti gli effetti sistemi a banda rigorosamente limitata.

53Così come per i segnali reali, anche per i sistemi reali, aventi cioè risposta impulsiva reale, è sufficiente consideraresolo le frequenze positive nella definizione di banda passante e banda.


� Esempio 6.55 (banda dei filtri TD ideali HPF e BSF)La risposta in frequenza di un filtro ideale HPF è

HHPF(ν) = 1− rep1

[rect

(ν

2νc

)],

ed è rappresentata graficamente in fig. 5.23, mentre quella di un filtro ideale BSF è

HBSF(ν) = 1− rep1

[rect

(ν −ν0

2∆ν

)+ rect

(ν +ν0

2∆ν

)],

ed è rappresentata graficamente in fig. 5.25: sono entrambi sistemi a banda rigorosamente limitata. Per il filtroideale HPF, la banda è pari aBp = 1−2νc. Per il filtro ideale BSF, la banda è indipendente dalla frequenzacentraleν0 (nell’ipotesiν0≥ ∆ν/2) ed è pari aBp = 1−2∆ν . �

Quando studieremo le proprietà dei sistemi nel dominio della frequenza (cfr. § 6.7.4, in particolarela condizione di Paley-Wiener) vedremo che i sistemi con banda rigorosamente limitata non possonoesserecausali e, quindi, non sono fisicamente realizzabili. Pertanto, tali sistemi hanno un interesseprevalentemente teorico, ma in molti casi il loro comportamento idealizzato può essere approssimatoaccuratamente mediante sistemi fisicamente realizzabili.

Sistemi a banda praticamente limitata

Parafrasando la definizione di segnale a banda praticamente limitata, un sistema LTI con risposta infrequenzaH(·) si dicea banda praticamente limitata se la sua risposta in ampiezza|H(·)| decadeasintoticamente a zero perf → ±∞ nel caso TC o perν → ±1/2 nel caso TD, assumendo valoritrascurabili (ma non rigorosamente nulli) al di fuori di un certo intervallo di frequenza. In particolare,con riferimento ai sistemi TC, ricordando che un sistema LTI è stabile se e solo se la sua rispostaimpulsiva è sommabile, ed applicando la prop. 6.7 al segnaleh(t), possiamo dire che tutti i sistemistabili sono a banda praticamente limitata, in quanto la trasformataH( f ) è continua e infinitesima per| f | →+∞.

Così come per i segnali, anche per i sistemi a banda praticamente limitata l’interpretazione e lamisura della banda non è univoca. Tuttavia, a differenza dei segnali, per i quali varie definizioni dibanda sono diffusamente utilizzate (banda nullo-nullo, banda all’α% dell’energia, e banda adα dB),nel caso dei sistemi la definizione di banda passante di gran lunga più utilizzata è quella dibandapassante ad α dB. Tale definizione è del tutto simile alla definizione di banda adα dB di un segnale.Precisamente, con riferimento ad un sistema TC con risposta in frequenzaH( f ), si definisce rispostain ampiezza in dB la seguente funzione della frequenza:

|H( f )|dB�= 20 log10

|H( f )||H( frif )| , (6.130)

dove frif rappresenta una frequenza di riferimento opportunamente scelta in dipendenza del tipo disistema (passabasso, passalto o passabanda). In molti casi, ad esempio, la frequenzafrif è scelta comela frequenza in cui la risposta in ampiezza assume il valore massimo.54 La definizione di risposta inampiezza in dB si può scrivere anche per un sistema TD, con le consuete sostituzioni formaliν → feνrif → frif .

Sceltoα ∈R+, si definiscebanda passante ad α dB l’intervallo di frequenza nel quale la rispostain ampiezza|H(·)|dB del sistema assume valori maggiori o al più uguali ad−α dB; la misura di

54Nel caso dei segnali TC, la rappresentazione di|H( f )|dB in funzione di f espressa in scala logaritmica, prende il nomedi diagramma di Bode per la risposta in ampiezza, mentre la rappresentazione di�X( f ) in funzione di f espressa in scalalogaritmica prende il nome di diagramma di Bode per lo spettro di fase.


tale intervallo è dettabanda ad α dB. Molto utilizzata nelle applicazioni per i sistemi è la banda a 3dB, corrispondente in unità naturali ad uno scostamento massimo di1√

2≈ 0.707 rispetto al valore di

riferimento. Negli esempi che seguono è calcolata la banda adα dB del circuito RC e del sistemaAR del primo ordine (notiamo che tali esempi ripetono sostanzialmente i calcoli già effettuati neglies. 6.29 e 6.30 per gli esponenziali monolateri a TC e a TD).

� Esempio 6.56 (banda adα dB del circuito RC) Consideriamo il circuito RC studiato nell’es. 4.16 e raffi-gurato in fig. 4.22, nel quale l’ingressox(t) è la tensione ai capi della serie RC, mentre l’uscitay(t) è la tensioneai capi della capacità. Ricordiamo che se il sistema è inizialmente in quiete, cioè si imponey(0) = 0, il circuitoRC è un sistema LTI causale e stabile con risposta impulsiva:

h(t) =1

RCe−t/RCu(t) ,

che, ponendoT = RC, corrisponde al segnale esponenziale monolatero decrescenteh(t) = 1T e−t/T u(t), la cui

banda adα dB è stata calcolata nell’es. 6.29. Tenendo conto di ciò, si ricava quindi che il circuito RC è unsistema passabasso con banda monolatera adα dB data da:

Bp =1

2πRC

√10α/10−1.

Nel caso in cuiα = 3, si haBp ≈ 1/(2πRC). Si noti cheBp è inversamente proporzionale al prodottoRC. �

� Esempio 6.57 (banda aα dB del sistema AR del primo ordine) Consideriamo il sistema AR del primoordine studiato nell’es. 4.17, descritto dalla equazione alle differenzey(n) = ay(n− 1) + bx(n). Ricordia-mo che se il sistema è inizialmente in quiete, cioè si imponey(−1) = 0, il sistema AR del primo ordine è unsistema LTI causale con risposta impulsiva:

h(n) = ban u(n) .

Se 0< |a| < 1 tale sistema è stabile e quindi avrà banda praticamente limitata. In questa ipotesi, ponendob = A, la risposta impulsiva del sistema AR del primo ordine corrisponde al segnale esponenziale monolaterodecrescenteh(n) = Aan u(n), la cui banda adα dB è stata calcolata nell’es. 6.29. Tenendo conto di ciò, si ricavaquindi che il sistema AR del primo ordine è un sistema passabasso con banda monolatera adα dB data da:

Bp =1

2πarccos

(1+a2−10α/10

2a

),

valida pera≥ amin, conamin = 10α/20−1, purchéα ≤ 6 dB. Si noti (si veda fig. 6.29 conα = 3) che al cresceredi a la banda del sistema diminuisce, e viceversa. �

Sistemi a banda non limitata

Un sistema TC con risposta in frequenzaH( f ) si dice a banda non limitata se la sua risposta inampiezza|H( f )| assume valori non trascurabili su un intervallo di frequenza di misura infinita, ovveroseBp = +∞. I più semplici esempi di sistemi a banda non limitata sono quelli con risposta in ampiezza|H( f )| costante, come ad esempio il sistema identicoH( f ) = 1, l’amplificatore/attenuatore idealeH( f ) = α , oppure il sistema che effettua la traslazione temporaleH( f ) = e− j2π f t0, t0 ∈ R. Talisistemi non sono selettivi in frequenza (almeno per quanto riguarda lo spettro di ampiezza), per cuisono anche dettifiltri passatutto (in inglese,all-pass). Altri esempi di sistemi TC a banda non limitata,che però risultano selettivi in frequenza per le ampiezze, sono i filtri ideali HPF e BSF, ed il derivatore.


� Esempio 6.58 (banda dei filtri TC ideali HPF e BSF)La risposta in frequenza di un filtro ideale HPF è

HHPF( f ) = 1− rect

(f

2 fc

),

ed è riportata in fig. 5.19, mentre quella di un filtro ideale BSF è

HBSF( f ) = 1−[rect

(f − f0∆ f

)+ rect

(f + f0∆ f

)],

ed è riportata in fig. 5.21. In entrambi i casi, la risposta in frequenza dei filtri assume valore costante su unintervallo di frequenza non limitato e, conseguentemente, tali filtri sono esempi di sistemi a banda non limitata(Bp = +∞). �

� Esempio 6.59 (banda del derivatore a TC)Un sistema TC fisicamente realizzabile avente banda infinitaè il derivatore, avente risposta in frequenzaH( f ) = j2π f e risposta in ampiezza rappresentata in fig. 6.48(grafico in alto). Abbiamo visto in effetti che il derivatore è assimilabile ad un sistema passaalto, e tutti i sistemipassaalto a TC sono sistemi con banda non limitata, in quanto la risposta in frequenza deve assumere valori nontrascurabili per| f | →+∞, per cui risulta necessariamenteBp = +∞. �

Un sistema TD con risposta in frequenzaH(ν) si dice a banda non limitata se la sua risposta inampiezza|H(ν)| assume valori non trascurabili su tutto l’intervallo di frequenza(−1/2,1/2), ovverose Bp = 1 (si ricordi che nel caso TD questo è il massimo valore possibile della banda). Anchenel caso TD, risultano a banda non limitata tutti i sistemi con risposta in ampiezza|H(ν)| costante,come ad esempio il sistema identico, l’amplificatore/attenuatore ideale, ed il sistema che effettua latraslazione temporale (sono tutti esempi di filtri passatutto). Si ricordi invece che tutti i filtri ideali nelcaso TD vanno considerati sistemi a banda rigorosamente limitata (tranne nel caso in cui degenerinonel sistema identico).

6.7.3 Studio dell’interconnessione di sistemi LTI nel dominio della frequenza

Un dato sistema può essere anche molto complesso, e per uno studio efficiente abbiamo già visto chepuò risultare utile decomporlo in sottosistemi più semplici connessi tra loro mediante alcune configu-razioni elementari. Le configurazioni fondamentali che abbiamo considerato sono tre: connessione inserie (cfr. def. 3.3), connessione in parallelo (cfr. def. 3.4) e connessione in retroazione (cfr. def. 3.5).In questa sezione, ci proponiamo di studiare nel dominio della frequenza queste connessioni, conriferimento ai sistemi LTI, per i quali è possibile trovare soluzioni semplici e generali.

Partendo dalla connessione in serie, utilizzando la proprietà associativa della convoluzione abbia-mo ricavato l’importante proprietà che la serie di due sistemi LTI, con risposte impulsiveh1(·) eh2(·),equivale ad unico sistema LTI avente risposta impulsiva

hser(·) = h1(·)∗h2(·) . (6.131)

Postoh1(·) FT←→ H1(·) e h2(·) FT←→ H2(·), invocando la proprietà di convoluzione della trasformatadi Fourier (cfr. prop. 6.6), la (6.131) si può riscrivere equivalentemente nel dominio della frequenzacome segue:

Hser(·) �= F[hser(·)] = H1(·)H2(·) ,

in virtù della quale si può affermare chela serie di due sistemi LTI equivale ad un unico sistema LTIavente risposta in frequenza Hser(·) = H1(·)H2(·), cioè i due schemi in fig. 6.66(a) e fig. 6.66(b) sonoequivalenti, nel senso cheya(·) ≡ yb(·). Risultando banalmenteH1(·)H2(·) = H2(·)H1(·) (proprietà


x(.) H1(.) ya(.)H2(.)

(a)

x(.) yb(.)H1(.) H 2(.)

(b)

Fig. 6.66.Connessione in serie di sistemi LTI:in virtù della proprietà di convoluzione della tra-sformata di Fourier, i due schemi in figura sonoequivalenti.

x(.)

H1(.)

ya(.)

H2(.)

y1(.)

y2(.)

(a)

H1(.)+H 2(.) yb(.)x(.)

(b)

Fig. 6.67.Connessione in parallelo di sistemi LTI:in virtù della proprietà di linearità della trasfor-mata di Fourier, i due schemi in figura sonoequivalenti.

commutativa del prodotto algebrico), nel dominio della frequenza risulta ancora più evidente che ilcomportamento della serie di due sistemi LTI è indipendente dall’ordine di connessione.

Per quanto riguarda la banda passante del sistema serie, poichè risulta|Hser(·)|= |H1(·)| |H2(·)|, labanda passanteWp,ser del sistema serie è data dalla intersezione tra la banda passanteWp,1 del primosistema e quellaWp,2 del secondo sistema, cioèWp,ser = Wp,1∩Wp,2. Conseguentemente, risultache la banda del sistema serieBp,ser non può superare la più piccola delle bande passantiBp,1 e Bp,2

dei sistemi che compongono la serie, ossiaBp,ser≤ min(Bp,1,Bp,2). In altre parole,la connessionein serie è un modo per poter ottenere un sistema con banda passante più stretta di quella dei sistemiche compongono la serie stessa. È interessante osservare che, come caso limite, se le bande passantidei due sistemi della serie sono disgiunte, cioèWp,1∩Wp,2 = ∅, il sistema serie ha banda nulla:in questo caso, l’uscita del sistema serie è sempre zero, indipendentemente dal segnale di ingresso(sistema eliminatutto).

Per quanto riguarda la connessione in parallelo, utilizzando la proprietà distributiva della convolu-zione abbiamo inoltre ricavato l’importante proprietà che il parallelo di due sistemi LTI, con risposteimpulsiveh1(·) e h2(·), equivale ad un unico sistema LTI avente risposta impulsiva

hpar(·) = h1(·)+h2(·) . (6.132)

In questo caso, invocando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier (cfr. prop. 6.2), la(6.132) si può riscrivere equivalentemente nel dominio della frequenza come segue:

Hpar(·) �= F[hpar(·)] = H1(·)+H2(·) ,

in virtù della quale si può affermare cheil parallelo di due sistemi LTI equivale ad un unico sistemaLTI avente risposta in frequenza Hpar(·) = H1(·)+H2(·), cioè i due schemi in fig. 6.67(a) e fig. 6.67(b)sono equivalenti, nel senso cheya(·)≡ yb(·).

Nella connessione in parallelo, è più difficile prevedere la banda passante e la banda del sistemarisultante, in quanto per la risposta in ampiezza del sistema complessivo si può scrivere solo la di-suguaglianza|Hpar(·)| ≤ |H1(·)|+ |H2(·)|. In genere (anche se non è sempre così) la banda passante


x(.) H1(.)

H2(.)

y2(.)

ya(.)

x(.) yb(.)

(b)

(a)

+

-

H1(.)

1+H 1(.)H2(.)Hretr(.) =

Fig. 6.68.Connessione in retroazione di sistemiLTI: l’analisi nel dominio della frequenza mostrache la retroazione di due sistemi LTI è ancora unsistema LTI, e che i due schemi in figura sonoequivalenti.

10−2

10−1

100

101

−10

−5

0

5

fRC

|H1(f

)|dB

, |H

retr(f

)|dB

Sistema in retroazioneCircuito RC

Fig. 6.69.Diagramma di Bode della risposta inampiezza del circuito RC (curva a tratto e punto) edella risposta in ampiezza del sistema in retroazio-ne (curva a tratto continuo) (es. 6.60). Il segmentodi retta tratteggiata rappresenta la soglia a−3 dB.

del sistema parallelo soddisfa la relazioneWp,par⊆Wp,1∪Wp,2. Si osservi che, a differenza dellaconfigurazione serie, la banda del sistema è non nulla anche se le bande passanti dei due sistemi checompongono il parallelo sono disgiunte; questo è vero anche se, al limite, una delle bande passantiWp,1 o Wp,2 è vuota.

Infine, un discorso a parte merita la connessione in retroazione di due sistemi LTI con risposteimpulsiveh1(·) e h2(·), riportata in fig. 6.68(a).55 Questo tipo di connessione non può essere studiatoin maniera semplice nel dominio del tempo e, per questo motivo, è studiato direttamente nel dominiodella frequenza. A tale scopo, scrivendo le relazioni i-u nel dominio del tempo dei sistemi LTI checompaiono in fig. 6.68(a), si ottiene senza grosse difficoltà che

ya(·) = h1(·)∗ [x(·)− y2(·)] = h1(·)∗ [x(·)−h2(·)∗ ya(·)] . (6.133)

Si faccia attenzione tuttavia che la (6.133)non rappresenta il legame i-u del sistema complessivo, coningressox(·) ed uscitaya(·), in quanto il segnale di uscita compare sia al primo membro che al secondomembro. Pertanto, non è immediato dedurre il comportamento del sistema a partire dalla (6.133). Persemplificare l’analisi della connessione in retroazione, è necessario il passaggio nel dominio dellafrequenza. A tal fine, trasformiamo secondo Fourier ambo i membri della (6.133): invocando leproprietà di linearità e convoluzione della trasformata di Fourier, si ottiene:

Ya(·) = H1(·) [X(·)−H2(·)Ya(·)] ,

dovex(·) FT←→ X(·) e ya(·) FT←→ Ya(·). Risolvendo rispetto aYa(·), si ha:

Ya(·) =H1(·)

1+H1(·)H2(·)︸︷︷︸Hretr(·)

X(·) = Hretr(·)X(·) , (6.134)

55Nello schema considerato in fig. 6.68(a) il segnaley2(·) si sottrae al segnale di ingressox(·). Molte delle considerazionifatte con riferimento a questo schema si applicano con modifiche minime al caso in cuiy2(·) si somma al segnale di ingressox(·).


che ha significato solo alle frequenze per cuiH1(·)H2(·) �=−1.56 La (6.134) mostra che lo spettro delsegnale in uscita dal sistemaYa(·) è uguale al prodotto della funzioneHretr(·) e dello spettro del segnaledi ingressoX(·), che è il legame i-u nel dominio della frequenza validoesclusivamente per un sistemaLTI. Pertanto, possiamo affermare chela connessione in retroazione di due sistemi LTI equivale ad ununico sistema LTI avente risposta in frequenza Hretr(·), cioè i due schemi in fig. 6.68(a) e fig. 6.68(b)sono equivalenti, nel senso cheya(·)≡ yb(·). Per poter comprendere qualitativamente in che modo laretroazione influisce sulla banda del sistema complessivo, consideriamo il seguente esempio.

� Esempio 6.60 (circuito RC con retroazione unitaria) Soffermiamo l’attenzione sul caso TC e supponia-mo che il sistemaH1( f ) sia un circuito RC (cfr. es. 4.16), ossia:

h1(t) =1

RCe−t/RCu(t) FT←→ H1( f ) =

11+ j 2π f RC

,

la cui banda a 3 dB è pari (cfr. es. 6.56) aBp,1 ≈ 1/(2πRC). Supponiamo inoltre che la risposta in frequenzadel sistema sul percorso di retroazione sia pari ad uno (retroazione unitaria), cioèH2( f ) = 1 [sistema identico,risposta impulsivah2(t) = δ(t)]. In questo caso, la risposta in frequenza del sistema complessivo assumel’espressione:

Hretr( f ) =H1( f )

1+H1( f )=

12+ j 2π f RC

,

il cui modulo in dB è dato da:

|Hretr( f )|dB = 20 log10|Hretr( f )||Hretr(0)| =−10 log10[1+(π f T )2] .

Calcoliamo la banda a 3 dB del sistema complessivo. Per fare ciò, dobbiamo risolvere rispetto adfα la seguenteequazione:

−10 log10[1+(π fα T )2] =−3 =⇒ 1+(π fα T )2 = 103/10

che ammette due soluzioni, simmetriche rispetto adf = 0. Scegliendo la soluzione positiva, si ricava che labanda monolatera a 3 dB vale

Bp,retr = fα ≈ 1πRC

,

che è circa il doppio della banda a 3 dB del circuito RC. Pertanto, com’è anche evidente dalla fig. 6.69, nellaquale sono riportati i diagrammi di Bode di|H1( f )| e |Hretr( f )|, la retroazione unitaria comporta un aumentodella banda del circuito RC. �

Il risultato dell’esempio precedente vale più in generale per un arbitrario sistemaH1(·), nel caso incui la risposta in frequenza del percorso di retroazione sia una costante (non necessariamente unitaria)H2(·) = γ2, conγ2 ∈ C. In tal caso, si ha:

Hretr(·) =H1(·)

1+γ2 H1(·) . (6.135)

56Con analoghi ragionamenti, nel caso in cui il segnaley2(·) si sommi al segnale di ingressox(·), si ottiene:

Ya(·) =H1(·)

1−H1(·)H2(·)︸︷︷︸Hretr(·)

X(·) = Hretr(·)X(·) ,

che ha significato solo alle frequenze per cuiH1(·)H2(·) �= 1.


A quelle frequenze per cui|γ2| |H1(·)| � 1, risulta che

|Hretr(·)| ≈ 1|γ2| ,

cioè la risposta in ampiezza del sistema in retroazioneHretr(·) rimane pressochè costante al variaredella frequenza, pur in presenza di variazioni anche notevoli della risposta in ampiezza|H1(·)|. D’altraparte, alle frequenze per cui|γ2| |H1(·)| � 1, si ha:

|Hretr(·)| ≈ |H1(·)| .

Questo determina, in genere, un allargamento della banda del sistema in retroazione (6.135) rispettoa quella del sistemaH1(·).

6.7.4 Proprietà della risposta in frequenza

Poichè la risposta in frequenza, al pari della risposta impulsiva, caratterizza completamente un si-stema LTI, dalle sue proprietà matematiche deve essere possibile stabilire le proprietà del sistema.Sebbene questo sia vero in linea di principio, vedremo in particolare che per le proprietà di stabilitàe causalità lo studio nel dominio della frequenza non è altrettanto semplice di quello nel dominio deltempo, per cui tali proprietà possono essere caratterizzate nel dominio della frequenza solo in manieraincompleta. Questi aspetti sono discussi nei paragrafi seguenti.

Non dispersività

Ricordiamo (cfr. prop. 4.4) che un sistema LTI risulta non dispersivose e solo se la sua risposta impul-siva assume la formah(·) = α δ(·), caratteristica di un amplificatore/attenuatore ideale. Trasformandosecondo Fourier ambo i membri di questa relazione, invocando la proprietà di omogeneità della tra-sformata di Fourier e ricordando che la trasformata dell’impulso (TC e TD) è uguale ad uno, si ottieneche la risposta in frequenza èH(·) = α . Pertanto, la caratterizzazione di un sistema LTI non dispersivoin termini di risposta in frequenza può essere riassunta dalla seguente proprietà (valida per il caso TCe TD):

Proprietà 6.26 (risposta in frequenza di un sistema LTI non dispersivo)Un sistema LTI è non dispersivo se e solo se la sua risposta in frequenza è del tipoH(·) = α .

In altri termini, un sistema è non dispersivo se e solo se la sua risposta in frequenza ha un andamen-to costante in frequenza. Pertanto, un sistema non dispersivo è un sistemapassatutto a banda nonlimitata, con banda che valeBp = +∞ nel caso TC eBp = 1 nel caso TD.

Se la risposta in frequenza non verifica la prop. 6.26, il sistema LTI è dispersivo ocon memoria: atal proposito è interessante discutere alcuni legami tra memoria e banda di un sistema LTI. Ricordiamoinfatti che la memoria di un sistema coincide con la durata temporale∆h della risposta impulsivah(·)(escluso eventualmente il campione pern = 0 nel caso TD). Per il principio di indeterminazione dellatrasformata di Fourier, allora, sussiste un legame di inversa proporzionalità tra memoria∆h e bandaBp di un sistema LTI. Per cuiriducendo la memoria ∆h di un sistema, la sua banda Bp si incrementa,e viceversa.

Si può anche dimostrare che non esistono segnali che siano simultaneamente a durata rigorosa-mente limitata e a banda rigorosamente limitata. Questo comporta che, se il sistema ha memoriarigorosamente finita, ovvero è un sistema FIR, allora essonon può avere anche banda rigorosamente


limitata: in tal caso, il sistema può avere banda infinita o, al più, praticamente limitata. Viceversa, seil sistema è a banda rigorosamente limitata, allora essonon può avere memoria rigorosamente finita:in questo caso, il sistema può avere memoria infinita o, al più, praticamente finita, ovvero è un sistemaIIR.

Stabilità

Lo studio della stabilità dei sistemi LTI nel dominio della frequenza non è altrettanto immediatocome quello della non dispersività. Per determinare condizioni necessarie e sufficienti da imporre allarisposta in frequenzaH(·) in modo che il sistema sia stabile, è necessario ricorrere alla trasformatadi Laplace della risposta impulsivah(t) nel caso dei sistemi TC e alla trasformataZ della rispostaimpulsivah(n) nel caso dei sistemi TD. Volendo fare uso della sola trasformata di Fourier è possibilederivare condizionisolo necessarie ma non sufficienti per la stabilità di un sistema LTI.

Con riferimento ai sistemi TC, ricordiamo (cfr. prop. 4.8) che un sistema è stabilese e solo se la suarisposta impulsivah(t) è sommabile suR. In base a tale risultato, ricordando inoltre che la trasformatadi Fourier di un segnale TC sommabile è continua ed infinitesima all’infinito (cfr. prop. 6.7), possiamoaffermare checondizione necessaria per la stabilità di un sistema LTI TC è che la sua risposta infrequenza H( f ) sia continua ed infinitesima all’infinito.

Nel caso dei sistemi TD, ricordiamo (cfr. prop. 4.8) che un sistema è stabile se e solo se la suarisposta impulsivah(n) è sommabile. In base a tale risultato, ricordando inoltre che la trasformata diFourier di un segnale TD sommabile è continua (cfr. prop. 6.8), possiamo affermare checondizionenecessaria per la stabilità di un sistema LTI TD è che la sua risposta in frequenza H(ν) sia continua.I risultati precedenti sono riassunti dalla seguente proprietà della risposta in frequenza:

Proprietà 6.27 (risposta in frequenza di un sistema LTI stabile)(a) Se un sistema LTI a TC è stabile, allora la sua risposta in frequenzaH( f ) è continua ed

infinitesima all’infinito.

(b) Se un sistema LTI a TD è stabile, allora la sua risposta in frequenzaH(ν) è continua.

Rileviamo ancora una volta che la condizione data nella prop. 6.27 èsolo necessaria per la stabilità diun sistema LTI. Più esplicitamente, se la prop. 6.27 non è soddisfatta, allora il sistema non è stabile;tuttavia, se la prop. 6.27 è soddisfatta, nulla può essere affermato circa la stabilità del sistema. In altritermini, la prop. 6.27 può essere usata per dimostrare che un sistema LTI è instabile, ma non puòessere usata per mostrare che un sistema LTI è stabile. In particolare, sulla base della prop. 6.27,possiamo affermare che tutti i sistemi LTI (TC e TD) aventi risposta in frequenza discontinua sonoinstabili. L’esempio che segue discute in particolare il caso del filtro passabasso ideale a TC.

� Esempio 6.61 (instabilità del filtro TC ideale LPF) Il filtro TC ideale LPF, la cui risposta in frequenza è

HLPF( f ) = rect

(f

2 fc

),

riportata in fig. 5.18, è un sistema instabile, in quantoHLPF( f ), pur essendo infinitesima all’infinito, è di-scontinua alle frequenzef = ± fc. Come ulteriore conferma, ricaviamo la risposta impulsiva del sistemaantitrasformandoHLPF( f ):

hLPF( f ) = 2 fc sinc(2 fct) .

Si tratta di una risposta impulsiva non sommabile (infinitesima all’infinito solo del primo ordine) e quindi ilsistema non è effettivamente stabile in virtù della condizione necessaria e sufficiente per la stabilità (prop. 4.8)nel dominio del tempo. �


Più in generale, notiamo chetutti i filtri ideali (TC e TD) presentati nel § 5.5 sono instabili, in quantole loro risposte in frequenza non sono funzioni continue della frequenza.

In conclusione, riprendendo una discussione già fatta nel § 4.5.4, notiamo che nel caso TC l’ap-plicazione rigorosa della prop. 6.27 potrebbe portare a risultati scorrettinel caso in cui la rispostaimpulsiva h(t) contenga degli impulsi di Dirac. In particolare, la prop. 6.27 porterebbe a concludereche tutti i sistemi TC a banda non limitata sono necessariamente instabili, in quanto la loro rispostain ampiezza non decade a zero perf →±∞. Tuttavia, questa affermazione non è sempre corretta: adesempio, il sistema LTI identicoy(t) = x(t) è sicuramente stabile, come si prova facilmente ricordan-do la definizione originaria di stabilità BIBO; tuttavia la sua risposta in frequenza valeH( f )≡ 1, percui esso ha banda non limitata (sistema passatutto) e soprattutto viola manifestamente la prop. 6.27,in quantoH( f ), pur essendo continua,non è infinitesima all’infinito. D’altra parte osserviamo che larisposta impulsiva di tale sistema valeh(t) = δ(t), e la presenza di uno o più impulsi di Dirac inh(t)rende comunque problematico stabilire nel dominio del tempo seh(t) vada considerata sommabileoppure no, e quindi se soddisfi la prop. 4.8. Si tratta di un problema peculiare del caso TC, che ab-biamo già studiato nel § 4.5.4 decomponendo la risposta impulsivah(t) in una parteordinaria (senzaimpulsi di Dirac) ed in unaimpulsiva,

h(t) = hord(t)+himp(t) ,

dove, in accordo alla (4.64),himp(t)�= ∑N

n=1αn δ(t− tn), conN ∈ N. Conseguentemente, nel dominiodella frequenza si ha

H( f ) = Hord( f )+Himp( f ) ,

con Himp( f )�= F[himp(t)] = ∑N

n=1αn e− j2π f tn . Il carattere “particolare” dihimp(t) con riferimentoalla sommabilità si riflette, nel dominio della frequenza, nel fatto che, pur essendo evidentemente ilsistemahimp(t) stabile, la sua risposta in frequenzaHimp( f ) è continua (somma di funzioni continue),ma non tende a zero per| f | → +∞ (la somma di fasori che costituisceHimp( f ) non tende a nessunlimite per | f | → +∞, tranne che in casi particolari). Poiché però lo studio della stabilità del sistemacomplessivo si riduce a studiare la stabilità della sola parte ordinaria, descritta dahord(t) nel tempoe daHord( f ) in frequenza, se ne ricava chela proprietà prop. 6.27 va applicata esclusivamente allarisposta in frequenza Hord( f ) associata alla parte ordinaria del sistema. A questo proposito, notiamoin conclusione che, poichéHimp( f ) è sicuramente continua, eventuali discontinuità della risposta infrequenza complessivaH( f ) sono imputabili esclusivamente aHord( f ). Pertanto, si ricava chese larisposta in frequenza H( f ) è discontinua, il sistema è sicuramente instabile, anche nell’eventualitàche la risposta impulsiva h(t) contenga impulsi di Dirac.

Causalità

Ricordiamo (cfr. prop. 4.5) che un sistema LTI è causalese e solo se la sua risposta impulsivah(·)è causale, ossia si annulla identicamente pert < 0 nel caso TC oppure pern < 0 nel caso TD. Unproblema importante nella teoria dei sistemi è quello di individuare condizioni matematiche sullarisposta in frequenza del sistemaH(·) in modo che la sua antitrasformatah(·) sia causale. Purtroppo,a differenza dello studio della causalità nel dominio del tempo, questo problema non ammette unasoluzione generale e condizioni necessarie e sufficienti si possono ricavare solo se si impongonoalcune restrizioni sulla risposta in frequenza del sistema.

Una condizione che consente di ottenere risultati relativamente semplici è l’assunzione che larisposta in frequenza del sistema sia a quadrato sommabile su tutto l’asse delle frequenze nel caso deisistemi TC, ossia∫ +∞

−∞|H( f )|2d f < +∞ , (6.136)


o su un intervallo di frequenza di ampiezza unitaria nel caso dei sistemi TD, ovvero∫ 1/2

−1/2|H(ν)|2dν < +∞ . (6.137)

Nel caso dei sistemi TC, la condizione (6.136) può essere verificata solo se il sistema è a banda rigo-rosamente o praticamente limitata, ed è verificata, ad esempio, da gran parte dei sistemi TC descrittida equazioni differenziali. Pertanto, dal nostro studio sono esclusitutti i sistemi TC con banda nonlimitata. Per quanto concerne i sistemi TD, invece, la condizione (6.137) è verificata datutti i sistemila cui risposta in frequenza assume valori finiti (indipendentemente dalla banda).

Per i sistemi aventi risposta in frequenza a quadrato sommabile un’utile condizione per lo studiodella causalità nel dominio della frequenza è la cosiddetta condizione di Paley-Wiener.57

Proprietà 6.28 (condizione di Paley-Wiener per la causalità di un sistema LTI)(a) SiaH( f ) la risposta in frequenza di un sistema TC a quadrato sommabile suR:

(a1) se il sistema è causale allora la sua risposta in frequenzaH( f ) verifica la condizione diPaley-Wiener:∫ +∞

−∞

| log(|H( f )|)|1+ f 2 d f < +∞ ; (6.138)

(a2) viceversa, se la risposta in frequenzaH( f ) verifica la condizione (6.138), alla rispostain ampiezza|H( f )| può essere associata una risposta in faseϕ ( f ) tale cheHϕ ( f ) =|H( f )|e jϕ ( f ) sia la risposta in frequenza di un sistema causale.

(b) Sia H(ν) la risposta in frequenza di un sistema TD a quadrato sommabile sul periodo(−1/2,1/2):

(b1) se il sistema è causale, allora la sua risposta in frequenzaH(ν) verifica la condizionedi Paley-Wiener:∫ 1/2

−1/2| log(|H(ν)|)|dν < +∞ ; (6.139)

(b2) viceversa, se la risposta in frequenzaH(ν) verifica la condizione (6.139), alla rispostain ampiezza|H(ν)| può essere associata una risposta in faseϕ (ν) (periodica di perio-do unitario) tale cheHϕ (ν) = |H(ν)|e jϕ (ν) sia la risposta in frequenza di un sistemacausale.

L’interpretazione della condizione di Paley-Wiener richiede qualche cautela, soprattutto per quantoriguarda la parte sufficiente (a2) o (b2). Anzitutto,la condizione di Paley-Wiener riguarda esclusi-vamente la risposta in ampiezza del sistema e non impone alcuna restrizione sulla risposta in fase.In particolare, se la condizione di Paley-Wiener non è soddisfatta, il sistema con risposta in fre-quenzaH(·) e con risposta in ampiezza|H(·)| non può essere causale, indipendentemente dalla suafase. Quindi le condizioni (6.138) e (6.139) sononecessarie per la causalità di un sistema TC e TD,rispettivamente.

57Una giustificazione rigorosa della condizione di Paley-Wiener richiede l’uso della trasformata di Laplace per i sistemiTC e della trasformataZ per i sistemi TD ed è, pertanto, omessa.


Tuttavia, se il modulo della risposta in frequenzaH(·) verifica la condizioni (6.138) nel casoTC oppure la (6.139) nel caso TD, ciònon significa che il sistema sia causale. In altre parole, lacondizione di Paley-Wiener è sufficiente per affermare che la funzione a valori reali|H(·)| può esserela risposta in ampiezza di un sistema causale, manon è sufficiente per dire che la funzione a valoricomplessiH(·) sia effettivamente la risposta in frequenza di un sistema causale, in quanto non vi èalcuna condizione sulla risposta in fase�H(·). D’altra parte, la prop. 6.16 (traslazione temporale)della trasformata di Fourier, che stabilisce che un anticipo o un ritardo dih(·) modifica solo lo spettrodi fase�H(·), dovrebbe chiarire che la fase di un sistema può influire decisamente sulla causalità.Con riferimento ad un sistema TC, questi aspetti sono sviluppati nel seguente esempio.

� Esempio 6.62 (sufficienza della condizione di Paley-Wiener)Si consideri l’integratore con memoria fini-ta (cfr. es. 3.10 e 3.12), avente relazione i-u:

y(t) =∫ t+T

tx(u)du , (6.140)

conT > 0. Si tratta di un sistema LTI avente risposta impulsiva (cfr. es. 4.12) data da:

h(t) = rect

(t +0.5T

T

),

che è rappresentata in fig. 4.18. Poichéh(t) non è identicamente nulla pert < 0, il sistema non è causale.

Utilizzando la trasformata notevole rect(t) FT←→ sinc( f ), ed applicando la proprietà di cambiamento di scaladei tempi e di traslazione temporale della trasformata di Fourier, la risposta in frequenza dell’integratore noncausale è la seguente:

H( f ) = T sinc( f T )e jπ f T .

Si può verificare che si tratta di una funzione a quadrato sommabile, il cui modulo è dato da:

|H( f )|= T |sinc( f T )| . (6.141)

Inoltre, si può mostrare (anche se i calcoli non sono semplici) che tale risposta in ampiezza è tale da renderefinito l’integrale nella (6.138). Pertanto, la risposta in ampiezza dell’integratore (4.55) soddisfa la condizionedi Paley-Wiener, anche seH( f ) non è la risposta in frequenza di un sistema causale! Questo dimostra che lacondizione (6.138)non è sufficiente per la causalità di un sistema LTI. Tuttavia, il fatto che|H( f )| soddisfila condizione di Paley-Wiener assicura che, a partire da essa, è possibile costruire la risposta in frequenza di

un sistema causale, associando una opportuna risposta in faseϕ ( f ) tale da rendereHϕ ( f )�= |H( f )|e jϕ ( f ) la

risposta in frequenza di un sistema causale. A tale scopo, è sufficiente scegliere la funzione (a valori reali)ϕ ( f )come segue:

ϕ ( f ) =−2π f t0 +�sinc( f T ) ,

da cui segue che:

Hϕ ( f ) = |H( f )|e jϕ ( f ) = T |sinc( f T )|e j�sinc( f T )e− j2π f t0 = T sinc( f T )e− j2π f t0 .

AntitrasformandoHϕ ( f ) e utilizzando nuovamente la proprietà di traslazione temporale della trasformata diFourier, si ottiene la corrispondente risposta impulsiva:

hϕ (t) = rect

(t− t0

T

),

che è rappresentata in fig. 6.70: se si impone chet0 ≥ T/2, la funzionehϕ (t) assume valori nulli pert < 0e, conseguentemente, essa rappresenta la risposta impulsiva di un sistema causale. Notiamo che, potendoscegliere un arbitrariot0 ∈ [T/2,+∞[, in questo caso (ma il discorso vale in generale) esistono un’infinità difunzioni ϕ ( f ) che rendonoHϕ ( f ) la risposta in frequenza di un sistema causale. In particolare, se si scegliet0 = T/2, si ottiene la risposta impulsiva dell’integratore con memoria finita causale (cfr. es. 4.2). �


t0−T/2 t

0+T/2t

0

1

t

h φ(t)

Fig. 6.70.Nell’ipotesi in cuit0≥ T/2, la funzionehϕ (t) è la risposta impulsiva di un integratore conmemoria finita causale.

Il criterio di Paley-Wiener consente di dare una giustificazione alternativa a quella che si può dare neldominio del tempo circa lanon causalità dei filtri ideali (TC e TD), che abbiamo già avuto modo dimenzionare nel § 5.5. Nell’esempio che segue, si mostra come utilizzare il criterio di Paley-Wienerper mostrare che il filtro ideale passabasso a TC non è causale.

� Esempio 6.63 (non causalità del filtro ideale LPF a TC)Nel caso TC, il filtro ideale LPF ha risposta infrequenza

HLPF( f ) = rect

(f

2 fc

),

riportata in fig. 5.18. Tale risposta in frequenza è a quadrato sommabile, e quindi possiamo applicare adessa il criterio di Paley-Wiener, inoltre essasi annulla identicamente sull’intervallo di frequenzeWs =]−∞,− fc[∪] fc,+∞[ (la banda oscura del filtro). Ciò implica che il numeratore della funzione integranda nella(6.138) vale+∞ sullo stesso intervallo (in quanto| log(0)| = +∞), per cui l’integrale non può esistere finito.Come ulteriore conferma, la risposta impulsiva del sistema vale

hLPF( f ) = 2 fc sinc(2 fct) .

Si tratta di una risposta impulsiva non causale, in quanto diversa da zero pert < 0 (si tratta di una funzionepari), per cui non soddisfa la prop. 4.5 nel dominio del tempo.

Notiamo che poichéHLPF( f )≥ 0 non soddisfa la condizione di Paley-Wiener, non esiste nessuna faseϕ ( f )che possa rendere il sistemaHϕ ( f ) = HLPF( f )e jϕ ( f ) causale. Ad esempio, nessun ritardot0 ∈ R+ operato suhLPF(t) (corrispondente a scegliereϕ ( f ) = −2π f t0, può renderehϕ (t) = hLPF(t− t0) la risposta impulsiva diun sistema causale, in quanto la funzione sinc non si annulla mai identicamente. �

Le considerazioni svolte nell’esempio precedente possono essere ripetute per tutti i filtri ideali aventirisposta in frequenza a quadrato sommabile: tali sonotutti i filtri ideali a TD, ed i filtri ideali LPF eBPF a TC, caratterizzati da una regione di frequenze (la banda oscura), avente misura non nulla, in cuila risposta di ampiezza si annulla identicamente (si noti che l’annullamento della risposta in frequenzain punti isolatinon comporta necessariamente una violazione del criterio di Paley-Wiener). Pertanto,tutti i filtri ideali a TD ed i filtri ideali LPF e BPF a TC non soddisfano al criterio di Paley-Wiener e,conseguentemente, non sono causali. Indirettamente, la non causalità dei filtri ideali LPF e BPF a TCcomporta che anche i filtri ideali HPF e BSF a TC, nonostante ad essi non possa applicarsi direttamentela condizione di Paley-Wiener, risultano non causali, come mostrato dal seguente esempio.


� Esempio 6.64 (non causalità del filtro ideale HPF e BSF a TC)Nel caso TC, il filtro ideale HPF ha rispo-sta in frequenza

HHPF( f ) = 1− rect

(f

2 fc

)= 1−HLPF( f ) ,

riportata in fig. 5.19. Tale risposta in frequenzanon è a quadrato sommabile, e quindi non possiamo applicaredirettamente ad essa il criterio di Paley-Wiener. Tuttavia, antitrasformando laHHPF( f ) si ha

hHPF(t) = δ(t)−hLPF(t)

con hLPF(t) risposta impulsiva del filtro ideale LPF. Avendo già provato chehLPF(t) non si annulla identi-camente pert < 0, segue che anchehHPF(t) non può annullarsi identicamente pert < 0 [la δ(t) modifica ilcomportamento solo pert = 0]. Pertanto il filtro ideale HPF a TC non è causale.

Analogo discorso si ha per il filtro ideale BSF a TC, la cui risposta in frequenza si può esprimere in funzionedi quella del filtro BPF comeHBSF( f ) = 1−HBPF( f ). Pertanto, potendo applicare il criterio di Paley-Wienerper dimostrare cheHBPF( f ) non è causale, segue che neppureHBSF( f ) lo è. �

Collegando i risultati precedentemente dimostrati relativi alla stabilità ed alla causalità, possiamoriassumere dicendo chetutti i filtri ideali (TC e TD) sono instabili e non causali: l’instabilità è unaconseguenza della brusca transizione tra la banda passanteWp e quella oscuraWs; la non causalitàè una conseguenza del fatto che la risposta in frequenzaH(·) si annulla identicamente nella bandaoscura.

Se il filtro deve elaborare segnali in tempo reale (non è cioè possibile prima memorizzare il segnalee poi elaborarlo nella sua interezza), la non causalità dei filtri ideali rende tali sistemi non utilizzabiliin pratica onon fisicamente realizzabili. Inoltre, se anche la causalità non fosse un vincolo insormon-tabile per la specifica applicazione, il fatto che i filtri ideali siano instabili ne rende, se non impossibile,quantomeno sconsigliata una loro implementazione pratica: un sistema instabile può trovarsi ad ope-rare in condizioni non previste dal progettista, il caso del Tacoma Narrow Bridge (fig. 3.15) dovrebberappresentare un utile ammonimento. Per questi motivi, specialmente nelle applicazioni di filtraggioin tempo reale, se si desidera comunque ottenere prestazioni prossime a quelle dei filtri ideali bisognaricorrere ad una loro approssimazionestabile e causale.

Un filtro fisicamente realizzabile si discosta da un filtro ideale per le seguenti caratteristiche:

• la risposta in ampiezza in banda passanteWp non è una costante (generalmente di valoreunitario), ma è compresa tra soglie prefissate, ad esempio 1−δp e 1+δp;

• la transizione tra la banda passante e quella oscura avvienecon continuità in frequenza, impe-gnando un intervallo di frequenza di misura finita (ma non nulla) che prende il nome dibandadi transizione Wt del filtro;

• la risposta in ampiezza del sistema in banda oscuraWs assume valori trascurabili ma non nulli,inferiori ad una prefissata sogliaδs.

A titolo di esempio, in fig. 6.71 è riportata qualitativamente la risposta in ampiezza di un filtro TCLPF fisicamente realizzabile.58 Trattandosi di un sistema con risposta impulsiva reale, la sua rispostain ampiezza è una funzione pari della frequenza e, per questo motivo, si riporta|H( f )| solo per lefrequenze positive.

Per quanto concerne il comportamento in banda passante, si osservi che la risposta in ampiezza,pur non assumendo il valore unitario del caso ideale, può discostarsi da tale valore (in valore assolu-to) al più diδp, che assume pertanto il significato dimassimo errore tollerabile in banda passante o

58Le considerazioni seguenti si applicano con ovvie modifiche anche agli altri filtri ideali TC e TD.


��

��

��

|H(f)|

f0

δs

1- δp

1+δp

Wt WsWp

Fig. 6.71.Risposta in ampiezza di un filtro passabasso TCfisicamente realizzabile.

passband ripple. Per poter realizzare un sistema stabile, la transizione tra la banda passante e quellaoscura avviene dolcemente; in questo intervallo di frequenze, dettobanda di transizione, il compor-tamento del sistema non è nè di tipo “passante”, nè “oscurante”, ma è intermedio tra i due. Infine, persoddisfare la condizione di Paley-Wiener e, quindi, poter realizzare un sistema causale, la risposta inampiezza non può annullarsi identicamente nella banda oscura; tuttavia, per poter ben approssimare ilcomportamento del filtro ideale LPF, tale risposta in ampiezza non può assumere valori maggiori dellasoglia assegnataδs, che quindi rappresenta ilmassimo errore tollerabile in banda oscura o stopbandripple.

Nella pratica, le estensioni delle tre bande del filtro (passante, di transizione ed oscura), cosìcome i massimi scostamentiδp e δs nella banda passante ed oscura, rappresentano delle specifichedi progetto, fissate in base alle applicazioni e quindi alla qualità desiderata del filtraggio. Progettareun filtro consiste allora nel ricavare un sistema fisicamente realizzabile (quindi stabile e causale) taleche la sua risposta in ampiezza|H(·)| soddisfi tali specifiche assegnate.59 Esistono numerose tecnichedi progetto di filtri, molte delle quali nate per il caso TC e successivamente estese al caso TD, tracui le più complesse prevedono l’ausilio di un calcolatore; il lettore interessato è rimandato ai testispecializzati, quali [14] per il caso TD.

In conclusione, si noti che quanto più piccoli sonoδ1 e δ2, e quanto più piccola è la misura dellabanda di transizioneWt , tanto meglio la risposta in ampiezza riportata in fig. 6.71 approssima quelladel filtro ideale LPF. In generale, però, una migliore approssimazione richiede una maggiore comples-sità (e costo) del sistema stabile e causale che bisogna progettare, dove la complessità è misurata dalnumero dei componenti utilizzati (resistori, condensatori, induttori o amplificatori operazionali nelcaso TC, registri di memoria, sommatori e moltiplicatori nel caso TD).

Invertibilità

Ricordiamo (cfr. prop. 4.7) che un sistema LTI con risposta impulsivah(·) è invertibile se esiste unsistema LTI (detto sistema inverso) con risposta impulsivahinv(·) tale che

h(·)∗hinv(·) = hinv(·)∗h(·) = δ(·) , (6.142)

59Tecniche di progetto più complesse portano in conto anche la risposta in fase del filtro, i cui effetti sul segnale, sebbenenon trascurabili in generale, sono considerati solo in seconda approssimazione.


ovvero se la cascata del sistema e del suo inverso corrisponde al sistema identico. Trasformandoambo i membri della (6.142), applicando la proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier ericordando che la trasformata dellaδ(·) (TC e TD) è uguale ad uno, si ottiene la seguente relazionenel dominio della frequenza:

H(·)Hinv(·) = 1 ⇐⇒ Hinv(·) =1

H(·) , (6.143)

ovvero il sistema inverso di un sistema LTI avente risposta in frequenzaH(·) è il sistema LTI aventerisposta in frequenza 1/H(·). Sussiste quindi la seguente proprietà:

Proprietà 6.29 (risposta in frequenza del sistema inverso di un sistema LTI)Si consideri un sistema LTI invertibile con risposta in frequenzaH(·), il suo sistema inverso èanch’esso LTI e, dettaHinv(·) la sua risposta impulsiva, sussiste la seguente relazione tra le duerisposte in frequenza:

Hinv(·) =1

H(·) . (6.144)

Si noti che la condizione di invertibilità è molto più semplice ed immediata nel dominio della frequen-za (si tratta di una semplice relazione moltiplicativa) che nel dominio del tempo (dove la relazione èinvece una convoluzione). Questa semplicità consente addirittura di ricavare esplicitamente, mediantela (6.144), la risposta in frequenzaHinv(·) del sistema inverso, mentre nel dominio del tempo la deter-minazione dihinv(·) richiederebbe l’inversione della convoluzione odeconvoluzione. Notiamo ancheche, con riferimento alla sola risposta in ampiezza, la (6.144) si scrive come

|Hinv(·)|= 1|H(·)| . (6.145)

per cui il sistema inverso introduce un elevato guadagno di ampiezza|Hinv(·)| � 1 alle frequenze incui il sistema originario presenta un’elevata attenuazione di ampiezza|H(·)| � 1, e viceversa.

Si osservi che la (6.144) e la (6.145) possono perdere di significato alle frequenze in cuiH(·) = 0;in tal caso, tuttavia, se si fa riferimento alla condizione di partenza (6.143), si nota che non esistenessuna risposta in frequenzaHinv(·) limitata tale cheH(·)Hinv(·) = 1 alle frequenze in cuiH(·) =0. Con riferimento per semplicità al caso TC, seH( f ) si annulla alla frequenzaf , cioè H( f ) =0, il sistema cancella completamente ed irrimediabilmente la componente spettrale del segnale diingressox(t) alla frequenzaf , per cui lo spettro del segnale di uscitay(t) sarà zero a tale frequenza,ossiaY ( f ) = 0. Pertanto, sef cade nell’intervallo di frequenza in cui il segnale di ingressox(t) hacomponenti spettrali significative, ovverof ∈Wx, non esisterà alcun sistema capace di recuperare ilsegnalex(t) a partire dal segnale di uscitay(t), in quantoY ( f ) non porta alcuna informazione circa ilvalore diX( f ) alla frequenzaf . In questo caso specifico, il sistema è sicuramente non invertibile.

Tuttavia, se il segnale di ingresso non ha componenti spettrali significative alla frequenzaf , ov-vero f �∈Wx, allora il fatto cheH( f ) = 0 non preclude la possibilità di ottenerex(t) a partire day(t). A titolo esemplificativo, si pensi al caso dei filtri ideali, per i qualiH( f ) = 0 in un intervallo difrequenze di misura non nulla (la banda oscura): se l’estensione spettrale del segnale di ingressoWx

è contenuta interamente nella banda passante del filtroWp, cioeWx ⊆Wp, alloraY ( f ) = X( f ), perogni f ∈Wx, e quindi il segnale di ingresso è (banalmente) recuperabile da quello di uscita; se inveceWx ⊃Wp, parte del contenuto spettrale significativo del segnale di ingresso è inevitabilmente perso enon è quindi possibile risalire adX( f ) a partire daY ( f ).


La discussione precedente evidenzia due aspetti importanti. Innanzitutto, da un punto di vistapratico, è sufficiente che la condizione di invertibilità (6.144) sia soddisfatta solo alle frequenze incorrispondenza delle quali il segnale di ingressox(·) ha componenti spettrali significative, ovveroall’interno dell’estensione spettraleWx. Inoltre, assegnato un dato sistema, la possibilità di risalire alsegnale di ingressox(·) a partire da quello di uscitay(·) dipende dal segnale di ingresso. Quest’ultimorisultato è in accordo con il fatto che l’invertibilità di un sistema è una proprietà non elementare,nella quale giocano un ruolo fondamentale gli insiemi dei segnali di ingresso e di uscita del sistema(cfr. app. D).

L’esempio che segue mostra come il concetto di sistema inverso trovi applicazione in un problemadi notevole interesse pratico nell’ambito delle telecomunicazioni.

� Esempio 6.65 (equalizzazione di un canale di comunicazione)La determinazione del sistema inverso diun dato sistema ricorre nelle telecomunicazioni nell’ambito della cosiddettaequalizzazione di un canale dicomunicazione. Nelle telecomunicazioni, percanale di comunicazione si intende spesso un collegamento fisicotra il trasmettitore ed il ricevitore. Con il terminecanale cablato o wired, in particolare, si fa riferimento aicollegamenti nei quali la propagazione del segnale è guidata da strutture fisiche (“doppino” telefonico, cavocoassiale, fibra ottica, etc.). Viceversa, con il terminecanale radio o wireless si fa riferimento ai collegamentivia etere o nello spazio libero (ponti radio, sistemi satellitari, reti di comunicazione cellulari, etc.).

I canali di comunicazione danno luogo a diversi effetti indesiderati, dovuti a meccanismi fisici differenti aseconda che la propagazione del segnale avvenga in maniera guidata oppure nello spazio libero. Molto spesso,tuttavia, il canale di comunicazione può essere modellato (esattamente o approssimativamente) come un sistemaLTI a TC, avente risposta impulsivahc(t) e risposta in frequenzaHc( f ). Il canale, pertanto, si comporta comeun filtro (fig. 6.72), introducendo nel segnale trasmessox(t) modifiche analoghe a quelle introdotte da questacategoria di sistemi.

In questo contesto, una modifica del segnale trasmesso viene chiamatadistorsione, poiché si tratta di uneffetto indesiderato: ciò che maggiormente interessa al progettista di un sistema di telecomunicazioni è infattiche il segnale ricevutoy(t) sia una copia il più possibile fedele oindistorta del segnale posto in ingresso alcanalex(t). Poiché non è ragionevole pretendere che all’uscita del canale risultiy(t) ≡ x(t), il segnaley(t)sarà considerato una versione indistorta dix(t) se differisce da esso solo per una costante moltiplicativa ed unatraslazione temporale:

y(t) = α x(t− t0) , cont0 ∈ R . (6.146)

D’altra parte, l’effetto minimo di un qualunque canale fisico su un segnalex(t) è quello di introdurre un ritardot0 ∈ R+ (dovuto ad una propagazione con velocità finita) ed un’attenuazione|α | < 1 di ampiezza e quindi dipotenza (dovuta alle inevitabili perdite del mezzo).

Nelle applicazioni di interesse pratico, tuttavia, il segnale ricevutoy(t) è raramente una copia indistortadel segnale trasmessox(t), secondo la (6.146). Al fine di poter recuperare in ricezionex(t), occorre effettuareun’elaborazione suy(t) nota comeequalizzazione e mostrata in fig. 6.72. Tale elaborazione consiste nel farpassarey(t) attraverso un sistema LTI dettoequalizzatore, avente risposta in frequenzaHe( f ) e posto in serie alcanale distorcenteHc( f ), in modo da ottenere in uscita dall’equalizzatore una versione indistorta dix(t), ovvero

z(t) = α x(t− t0) . (6.147)

In altri termini, la cascata del canale e dell’equalizzatore deve essere un sistema non distorcente; si noti chetale cascata è in effetti un sistema LTI avente risposta in frequenzaH( f ) = Hc( f )He( f ). Trasformando ambo imembri della relazione i-u (6.147), si ottiene allora

Z( f ) = α e− j 2π f t0 X( f ) ,

da cui si ricava che la risposta in frequenza della cascata canale-equalizzatore deve essere:

H( f ) = Hc( f )He( f ) =Z( f )X( f )

= α e− j 2π f t0 .


x(t) Hc(f) z(t)He(f)y(t)

Fig. 6.72.La distorsione introdotta da un canale dicomunicazione è compensata mediante l’impiego diun equalizzatore (es. 6.65).

y(t)

ritardo∆21

z(t)+

-

α 21

Fig. 6.73.Schema dell’equalizzatore del canale radio(es. 6.66).

La relazione precedente consente di determinare infine la risposta in frequenzaHe( f ) dell’equalizzatore:

He( f ) =α e− j 2π f t0

Hc( f ). (6.148)

Si noti che, a meno di una costante moltiplicativaα e di un termine di fase lineare dipendente dat0 ∈ R, He( f )coincide con la risposta in frequenza

Hinv( f ) =1

Hc( f )

del sistema inverso del canale distorcente. In sostanza, allora, il problema di determinare l’equalizzatore di uncanale di comunicazione ammette una soluzione esatta se tale canale è un sistema invertibile. �

Nell’esempio seguente si mostra come determinare esplicitamente la struttura dell’equalizzatore perun modello semplificato di un canale di comunicazione di grande interesse pratico, ilcanale radio.

� Esempio 6.66 (equalizzazione di un canale radio)Applichiamo i concetti dell’es. 6.65 al problema del-l’equalizzazione di un canale radio. La propagazione di un segnale attraverso un canale radio comporta laricezione di più repliche del segnale stesso, differentemente ritardate nel tempo e attenuate in ampiezza. Talefenomeno, noto come propagazione per cammini multipli (multipath), è dovuto alle varie riflessioni, rifrazionie diffrazioni subite dall’onda elettromagnetica nella propagazione dal trasmettitore al ricevitore. A causa diquesti meccanismi fisici, il segnale ricevuto consiste di un gran numero di onde aventi ampiezze, fasi e angolidi incidenza distribuiti in modo casuale.

A titolo esemplificativo, supponiamo che la propagazione avvenga lungo due soli cammini (modello a dueraggi), lungo ciascuno dei quali il segnale trasmessox(t) subisce solo un’attenuazione (perdita per propaga-zione) ed un ritardo temporale; in tal caso, dettox(t) il segnale trasmesso, il segnale ricevutoy(t) assume laforma:

y(t) = α1 x(t− t1)+α2 x(t− t2) . (6.149)

Per effetto della somma delle due repliche del segnale trasmesso, il segnaley(t) non è una replica indistorta dix(t) (tranne ovviamente che nel casoα1 = 0 oppureα2 = 0); ciò rende evidentemente più difficile l’estrazionedell’informazione trasmessa dal segnale ricevutoy(t).

La (6.149) rappresenta la relazione i-u del canale, conx(t) segnale di ingresso ey(t) segnale di uscita. Setrasformiamo ambo i membri della (6.149), otteniamo:

Y ( f ) = α1 X( f )e− j2π f t1 +α2 X( f )e− j2π f t2 ,

da cui ricaviamo la risposta in frequenza del canale radio

Hc( f ) =Y ( f )X( f )

= α1 e− j2π f t1 +α2 e− j2π f t2 .


In accordo alla (6.148), l’equalizzatore è dato da

He( f ) =α e− j 2π f t0

Hc( f ). (6.150)

Tale equalizzatore ammette una struttura realizzativa piuttosto semplice, se osserva cheHc( f ) può essere scrittanella forma

Hc( f ) = α1 e− j2π f t1

(1+

α2

α1e− j2π f (t2−t1)

)= α1 e− j2π f t1

(1+α21e− j2π f ∆21

). (6.151)

doveα21 = α2α1

con |α21| < 1 e∆21 = t2− t1 > 0 [abbiamo assunto che la seconda replica nella (6.149) arrividopo la prima (t2 > t1) e con una maggiore attenuazione (|α2|< |α1|)]. Sostituendo nella (6.150) si ha

He( f ) =α e− j 2π f t0

α1 e− j2π f t1 (1+α21e− j2π f ∆21).

Scegliendo alloraα = α1 e t0 = t1, la risposta in frequenza dell’equalizzatore assume la forma semplificata

He( f ) =1

1+α21e− j2π f ∆21. (6.152)

Notiamo che tale sistema ammetta una semplice interpretazione mediante lo schema in retroazione di fig. 6.73.Si può dimostrare che l’equalizzatore ottenuto è anche stabile e causale. Si noti infatti che, per l’ipotesi

α21 < 1, la (6.152) può essere vista come la somma di una serie geometrica

He( f ) =1

1+α21e− j2π f ∆21=

+∞

∑k=0

(−α21)ke− j2π f k∆21 , (6.153)

per cui antitrasformando la precedente espressione, si ottiene la risposta impulsiva dell’equalizzatore:

he(t) =+∞

∑k=0

(−α21)kδ(t− k∆21) , (6.154)

che soddisfa la causalità per la prop. 4.5, in quanto∆21 > 0 e quindihe(t) = 0, ∀t < 0, ed anche la stabilitàBIBO, poiché è possibile scrivere:

z(t) = he(t)∗ x(t) =+∞

∑k=0

(−α21)kx(t− k∆21) ,

da cui, se|x(t)| ≤ Kx, si ha

|z(t)| ≤ Kx

+∞

∑k=0

|α21|k = Kx1

1−|α21|�= Kz ,

per l’ipotesi|α21|< 1.L’equalizzatore dato dalle (6.152) e (6.154) opera come un sottrattore d’eco, in quanto la risposta in

frequenza del sistema complessivo, per la (6.151) e la (6.152), risulta

H( f ) = Hc( f )He( f ) = α1 e− j2π f t1(

1+α21e− j2π f ∆21

) 11+α21e− j2π f ∆21

= α1e− j2π f t1 ,

per cuiZ( f ) = H( f )X( f ) = α1e− j2π f t1X( f ), da cui

z(t) = α1x(t− t1) .

Confrontando la precedente con la (6.149) si nota che l’effetto dell’equalizzatore è quello di sopprimere com-pletamente la seconda replica (eco) del segnale dovuta al multipath. �


La semplicità dell’esempio precedente non dovrebbe trarre in inganno. Spesso il sistema inverso diun sistema stabile e causale non è a sua volta stabile e causale, per cui il sistema (6.148) può nonessere fisicamente realizzabile ed, in pratica, la risposta in frequenza desiderataHe( f ) può esseresolo approssimata. Individuare allora il sistema equalizzatore può significare allora determinare, nel-l’ambito di una classe di sistemi stabili e causali la migliore soluzione approssimata della equazioneHc( f )He( f ) = α e− j2π f t0. Esistono numerosissime tecniche per affrontare questo problema, che diffe-riscono sulla base dell’insieme dei sistemi in cui si cerca la soluzione, delle ipotesi effettuate sul canalee sul segnale di ingresso, delle informazioni a priori richieste, e delle strategie di implementazione;per esse si rimanda a testi specializzati, quali ad esempio [16].


6.8 Esercizi proposti

Esercizio 6.1 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del seguente segnale (finestracosinusoidale):

x(t) = cos(πt

T

)rect

( tT

), doveT ∈ R+.

[Suggerimento: utilizzare la proprietà di modulazione.]Risultato: X( f ) = T

2

[sinc

(f T − 1

2

)+sinc

(f T + 1

2

)]= 2T

πcos(π f T )1−(2 f T )2 .

Esercizio 6.2 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del seguente segnale (finestraa “coseno rialzato”):

x(t) = cos2(πt

T

)rect

( tT

), doveT ∈ R+.

[Suggerimento: utilizzare la proprietà di modulazione.]Risultato: X( f ) = T

2 sinc( f T )+ T4 [sinc( f T −1)+sinc( f T +1)] = T

2sinc( f T )1−( f T )2 .

Esercizio 6.3 Calcolare la trasformata di Fourier del segnale

x(n) =

16

(12

)n

, n≥ 4 ;

1, |n| ≤ 3 ;

16·2n , n≤−4.

Risultato: X(ν) = sin(7πν)sin(πν) +2Re

{e− j 8πν

1−0.5e− j 2πν

}.

Esercizio 6.4 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del segnale

x(t) = Λ( t

T

)u(t)−Λ

( tT

)u(−t) , doveT ∈ R+.

[Suggerimento: utilizzare la proprietà di integrazione.]Risultato: X( f ) = j

π f [sinc(2 f T )−1].


x(n) = 2·3n u(−n) .

Risultato: X(ν) =6

3− e j 2πν .


x(n) =

{2n , 0≤ n≤ 9 ;

0, altrove.

Risultato: X(ν) =1−210e− j 20πν

1−2e− j 2πν .

6.8 Esercizi proposti 383

Esercizio 6.7 La funzione di autocorrelazione di un segnale di energiax(t) (non necessariamente reale) èdefinita come:

rx(τ )�=∫ +∞

−∞x(t)x∗(t− τ )dt .

(a) Mostrare cherx(τ ) = x(τ )∗g(τ ), doveg(τ ) è un segnale ottenuto a partire dax(τ ).

(b) Sfruttando il risultato precedente e la proprietà di convoluzione, mostrare che la trasformata di Fourier dirX (τ ) è Sx( f ) = |X( f )|2 (densità spettrale di energia).

(c) Sulla base del risultato precedente (utilizzando la proprietà del valore nell’origine) dimostrare l’uguaglianzadi Parseval:

Ex�=∫ +∞

−∞|x(t)|2dt =

∫ +∞

−∞|X( f )|2d f .

Risultato: (a) g(τ ) = x∗(−τ ); (c) Ex = rx(0) =∫ +∞−∞ Sx( f )d f .

Esercizio 6.8 Utilizzando l’uguaglianza di Parseval generalizzata:

+∞

∑n=−∞

x(n)y∗(n) =∫ 1/2

−1/2X(ν)Y ∗(ν)dν ,

calcolare la sommaS della seguente serie:

+∞

∑n=−∞

sin(πn/4)2πn

sin(πn/6)5πn

.

Risultato: S = 160.


x(t) =

{e j2π5t , |t| ≤ 1 ;

0, altrimenti.

[Suggerimento: utilizzare la proprietà di traslazione in frequenza.]Risultato: X( f ) = 2sinc[2( f −5)].

Esercizio 6.10 Dimostrare la proprietà diderivazione in frequenza della trasformata di Fourier a TC:

−t x(t)⇐⇒ 1j2π

dd f

X( f ) .

[Suggerimento: derivare l’equazione di analisi di x(t) oppure applicare la proprietà di dualità].

Esercizio 6.11 Dimostrare la proprietà diderivazione in frequenza della trasformata di Fourier a TD:

−nx(n)⇐⇒ 1j2π

ddν

X(ν) .

[Suggerimento: derivare l’equazione di analisi di x(n).]



x(t) =1√2π

e−t2/2 .

[Suggerimento: utilizzare la proprietà di derivazione nel dominio del tempo e della frequenza.]Risultato: X( f ) = e−2π2 f 2

.


x(t) =1

1+ j 2πt.

[Suggerimento: utilizzare la proprietà di dualità.]Risultato: X( f ) = e f u(− f ).


x(t) = e−3t u(t−1) .

[Suggerimento: utilizzare la proprietà di traslazione temporale.]Risultato: X( f ) = 1

e3e− j 2π f

3+ j 2π f .

Esercizio 6.15 Si consideri il seguente segnale a TD:

y(n) =

{1 n = 0,1,4,5 ;

0 altrimenti.

(a) Calcolare il segnalex(n) = ∇ 1[y(n)];(b) Utilizzando il teorema della sequenza somma. determinare la trasformata di Fourier del segnaley(n).

Risultato: (a) x(n) = δ(n)−δ(n−2)+δ(n−4)−δ(n−6); (b) Y (ν) = (1+ e j 2πν)(1+ e− j 8πν).


x(t) = e−t rect

(t− 1

2

).

[Suggerimento: esprimere x(t) come differenza di due esponenziali monolateri ed utilizzare la proprietà ditraslazione temporale.]

Risultato: X( f ) =1

1+ j 2π f

[1− e− j2π f

e

].


x(t) = e−|t| rect( t

2

).

[Suggerimento: utilizzare il risultato dell’esercizio precedente e le proprietà di simmetria.]

Risultato: X( f ) = 2Re

{1

1+ j 2π f

[1− e− j2π f

e

]}.


Esercizio 6.18 Si consideri il seguente segnale

y(n) =[

sin(πn/4)πn

]2

∗[

sin(2πνcn)πn

],

dove|νc| ≤ 1/2. Determinaretutti i valori di νc in corrispondenza dei quali il segnaley(n) assume la forma

y(n) =[

sin(πn/4)πn

]2

.

Risultato: 14 ≤ |νc| ≤ 1

2.


x(t) =ddt

{[sin(t)

πt

]∗[

sin(2t)πt

]}.

Risultato: X( f ) = ( j 2π f ) rect(π f ).


x(t) =∫ t

−∞

sin(πτ)πτ

dτ .

Risultato: X( f ) = 12 δ( f )+ 1

j 2π f rect( f ).

Esercizio 6.21 Rappresentare graficamente la trasformata di Fourier

X( f ) =

T , | f |< 1

2T ;

2T (1−| f |T ) , 12T < | f | ≤ 1

T ;

0, | f |> 1T ;

doveT ∈ R+, e determinare per antitrasformazione il segnalex(t).[Suggerimento: decomporre X( f ) nella differenza di due finestre triangolari.]

Risultato: x(t) = 2sinc2(

tT

)− 12 sinc2

(t

2T

).

Esercizio 6.22 Determinare il segnalex(t) la cui trasformata di Fourier è

X( f ) =1− j2π f

4(1+ j4π f )(1+ j6π f ).

[Suggerimento: decomporre X( f ) in fratti semplici.]

Risultato: x(t) = 13 e−t/3u(t)− 3

8 e−t/2u(t).

Esercizio 6.23 Si consideri il segnalez(t) = x(t)∗ y(t), con

x(t) = 2e−2t u(t) , y(t) = 3e−t u(t) .

Utilizzando la proprietà di convoluzione, determinare il segnalez(t) senza effettuare la convoluzione nel domi-nio del tempo.

[Suggerimento: antitrasformare Z( f ) = X( f )Y ( f ) utilizzando l’espansione in fratti semplici.]Risultato: z(t) = 6e−t u(t)−6e−2t u(t).


Esercizio 6.24 Determinare il segnalex(n) la cui trasformata di Fourier è

X(ν) =−5

6 e− j 2πν +5

1+ 16e− j 2πν− 1

6e− j 4πν.

[Suggerimento: esprimere X(ν) in fratti semplici.]

Risultato: x(n) = 4(−1

2

)nu(n)+

(13

)nu(n).


X(ν) =1

1−ae− j (2πν+π/4) , con |a|< 1.

Risultato: x(n) = an e− j π4 n u(n).


X(ν) =[

e− j 6πν

1+0.5e− j 2πν

]∗[

sin(21πν)sin(πν)

].

Risultato: x(n) =(−1

2

)n−3R8(n−3).

Esercizio 6.27 Si consideri il segnale realex(n) avente trasformata di FourierX(ν) e caratterizzato dalleseguenti proprietà:

(1) x(n) = 0 pern > 0;

(2) x(0) > 0;

(3) Im{X(ν)}= sin(2πν)−sin(4πν);

(4)∫ 1/2

−1/2|X(ν)|2dν = 3.

Determinare e rappresentare graficamente il segnalex(n) che verifica le quattro proprietà sopra elencate.

Risultato: x(n) = δ(n)+δ(n+1)−δ(n+2).

Esercizio 6.28 Si consideri il segnalex(n) avente trasformata di FourierX(ν) e caratterizzato dalle seguentiproprietà:

(1) x(n) è un segnale a valori reali;

(2) X(ν) = a+ e j2πν− e j4πν, cona > 0;

(3) x(n) è un segnale avente energia finitaEx = 3.

Determinare e rappresentare graficamente il segnalex(n) che verifica le tre proprietà sopra elencate.

Risultato: x(n) = δ(n)+δ(n+1)−δ(n+2).

Esercizio 6.29 Si consideri il segnalex(n) = z(n)w(n) dato dal prodotto dei due segnaliz(n) e w(n), le cuitrasformate di Fourier sonoZ(ν) eW (ν), rispettivamente. Inoltre, si supponga che:

(1) la trasformata di Fourier dix(n) è data da

X(ν) =3

∑k=0

(1/2)k

1− 14 e− j 2π(ν− k

4);


(2) z(n) = an u(n), cona ∈ R ed|a|< 1;

(3) w(n) è un segnale periodico di periodoN0.

Determinare il valore dia, il periodoN0 e la DFS{W (k)}N0−1k=0 del segnalew(n).

Risultato: a = 1/4, N0 = 4,W (k) =(

12

)kperk ∈ {0,1,2,3}.

Esercizio 6.30 Si consideri la seguente equazione differenziale:

d2

dt2 y(t)+3ddt

y(t)+2y(t) = 2ddt

x(t)+ x(t) .

(a) Nell’ipotesi che l’equazione differenziale definisca un sistema LTI stabile e causale, determinare e rappre-sentare graficamente la risposta in frequenzaH( f ) = Y ( f )/X( f ) del sistema.

(b) AntitrasformandoH( f ), calcolare la risposta impulsivah(t) del sistema LTI.

[Suggerimento: per trasformare utilizzare la proprietà di derivazione nel tempo; per antitrasformare utilizzarel’espansione di H( f ) in fratti semplici.]Risultato: (a) H( f ) = 1+ j 4π f

(1+ j 2π f )(2+ j 2π f ) ; (b) h(t) = 3e−2t u(t)− e−t u(t).

Esercizio 6.31 Si consideri la seguente equazione alle differenze:

y(n)− 16

y(n−1)− 16

y(n−2) = x(n) .

(a) Nell’ipotesi che l’equazione alle differenze definisca un sistema LTI stabile e causale, determinare e rap-presentare graficamente la risposta in frequenzaH(ν) = Y (ν)/X(ν) del sistema.

(b) AntitrasformandoH(ν), calcolare la risposta impulsivah(n) del sistema LTI.

[Suggerimento: per trasformare utilizzare la proprietà di traslazione nel tempo; per antitrasformare utilizzarel’espansione di H(ν) in fratti semplici.]

Risultato: (a) H(ν) = 1(1− 1

2e− j 2πν)(1+ 13e− j 2πν) ; (b) h(n) = 3

5

(12

)nu(n)+ 2

5

(−13

)nu(n).

Esercizio 6.32 Si consideri il segnale periodico

x(t) =+∞

∑k=−∞

xg(t− kT0) ,

doveT0 ∈ R+ e

xg(t) = cos2(

πt2T0

)rect

(t

2T0

).

(a) Rappresentare graficamente il segnalex(t).(b) Utilizzando la proprietà di campionamento in frequenza, determinare i coefficienti della serie di Fourier del

segnalex(t).

[Suggerimento: per il calcolo della trasformata di Fourier del generatore si utilizzi la proprietà di modulazio-ne.]

Risultato: Xk =

{1, per k = 0,

0, per k �= 0.. In effetti dal punto (a) si vede che il segnalex(t) = 1,∀t ∈ R.



x(t) =+∞

∑k=−∞

(−1)k δ(

t− k T0

2

), doveT0 ∈ R+.

(a) Rappresentare graficamente il segnalex(t).

(b) Utilizzando la proprietà di campionamento in frequenza, determinare i coefficienti della serie di Fourier delsegnalex(t).

Risultato: Xk =

{0, per k pari ,2T0

, per k dispari.


x(n) =+∞

∑k=−∞

xg(n− k N0) ,

doveN0 ∈ N e xg(n) = an u(n), con|a|< 1.

(a) Rappresentare graficamente il segnalex(n).

(b) Utilizzando la proprietà di campionamento in frequenza, determinare i coefficienti della DFS del segnalex(n).

Risultato: X(k) = 11−ae− j 2πk/N0

.


x(n) =+∞

∑k=−∞

xg(n− k N0) ,

doveN0 ∈ N, xg(n) = e j 2πν0n RM(n), eM ≤ N0.

(a) Utilizzando la proprietà di campionamento in frequenza, determinare i coefficienti della serie di Fourier delsegnalex(n).

(b) Particolarizzare il risultato ottenuto al punto precedente nel caso in cuiν0 = k0/N0, conk0 ∈ Z.

Risultato: (a) X(k) = DM

(k

N0−ν0

); (b) X(k) = M δ(k− k0).

Esercizio 6.36 Determinare il decadimento asintotico (in dB/decade e in dB/ottava) per i seguenti spettri:

(a) X( f ) = sinc( f );

(b) X( f ) =sinc( f )

2(1− f 2);

(c) X( f ) =1

(1+ j2π f )2 ;

(d) X( f ) =1− j2π f

(1+ j5π f )(1+ j8π f );

(e) X( f ) =2

1+4π2 f 2 .


Risultato: (a) ρdB/dec = 20, ρdB/ott = 6; (b) ρdB/dec = 60, ρdB/ott = 18; (c) ρdB/dec = 40, ρdB/ott = 12; (d)ρdB/dec= 20,ρdB/ott = 6; (e)ρdB/dec= 40,ρdB/ott = 18.

Esercizio 6.37 Senza calcolare la trasformata di Fourier, determinare il decadimento asintotico (in dB/decadee in dB/ottava) degli spettri dei seguenti segnali:

(a) x(t) = rect(t);

(b) x(t) = Λ(t);

(c) x(t) = cos2(πt) rect(t);

(d) x(t) = e−t u(t);

(e) x(t) = e−|t|;

(f) x(t) = t e−t u(t);

(g) x(t) = t2 e−t u(t).

[Suggerimento: utilizzare il legame tra il decadimento asintotico e la continuità della funzione e delle suederivate.]

Risultato: (a) ρdB/dec = 20, ρdB/ott = 6; (b) ρdB/dec = 40, ρdB/ott = 12; (c) ρdB/dec = 20, ρdB/ott = 6; (d)

ρdB/dec = 20, ρdB/ott = 6; (e) ρdB/dec = 40, ρdB/ott = 12; (f) ρdB/dec = 40, ρdB/ott = 12; (g) ρdB/dec = 60,ρdB/ott = 18.

Esercizio 6.38 Si consideri il sistema LTI avente, con riferimento al periodo principale, la seguente risposta infrequenza:

H(ν) = e− j πν perν ∈ (−1/2,1/2) .

Stabilire se tale sistema è causale oppure non causale.

[Suggerimento: attenzione! non è possibile utilizzare la proprietà di traslazione nel tempo (perché?). Unapossibile strada è utilizzare la proprietà del valore nell’origine, calcolando in particolare il valore per n = 0del segnale di uscita corrispondente al segnale di ingresso x(n) = δ(n−1).]Risultato: il sistema è non causale.

Esercizio 6.39 Si consideri il sistema LTI di figura,

x(t) �⊕ �

�T

�y(t)

z(t)

dovex(t) rappresenta l’ingresso ey(t) l’uscita, ed il blocco in retroazione è un elemento di ritardoT ideale lacui uscita èz(t) = y(t−T ).

(a) Ragionando nel dominio della frequenza, calcolarne la risposta in frequenzaH( f ) del sistema complessivo.

(b) Mostrare che se il segnalex(t) di ingresso è passabasso con bandamonolatera W � 1T , il sistema si com-

porta, a meno di una costante additiva, come la cascata di un integratore ideale e di un amplificatore idealedi guadagno1

T .


[Suggerimento: per il punto (b), utilizzare lo sviluppo ez ≈ 1+ z, z ∈ C, valido per |z| � 1.]

Risultato: (a) H( f ) =1

1− e− j 2π f T ; (b) H( f )≈ 1j2π f T , se| f | ≤W � 1

T .

Esercizio 6.40 Si consideri il sistema LTI avente la seguente risposta impulsivah(n) = 5(−1/2)n u(n). Ragio-nando esclusivamente nel dominio della frequenza, calcolare l’uscitay(n) corrispondente al segnale di ingressox(n) = (1/3)n u(n).Risultato: y(n) = 2(1/3)n u(n)+3(−1/2)n u(n).


H(ν) =1− e− j 4πν

1+0.5e− j 8πν perν ∈ (−1/2,1/2) .

Calcolare l’uscitay(n) corrispondente al segnale di ingressox(n) = sin(0.25πn).Risultato: y(n) = 2

√2 sin[0.25π(n+1)].

Esercizio 6.42 Si consideri il segnale

x(t) = V +cos(2π f0t) ,

somma di una tensione continuaV e di un segnale interferente sinusoidale. Si vuole rimuovere l’interferenzafiltrando il segnalex(t) mediante un filtro LTI con risposta impulsivah(t) = a1δ(t)+a2δ(t−T ). Nell’ipotesiin cui f0 T = 1/2, determinare i valori dia1 ed a2 affinchéy(t) = V , ovvero si abbia la perfetta soppressionedell’interferenza in uscita.

Risultato: a1 = a2 = 0.5.

Esercizio 6.43 Con riferimento allo schema in figura,

x(t) � H1( f ) � h2(t) � y(t)

H1( f ) è la risposta armonica di un filtro ideale passabasso di guadagno unitario e banda monolatera 75 Hz,mentreh2(t) = δ(t)−δ(t−1). Supponendo che il segnale di ingresso sia

x(t) = cos(2π100t)+3δ(t−5)+2,

determinare il segnale di uscitay(t).Risultato: y(t) = 450{sinc[150(t−5)]−sinc[150(t−6)]}.

Esercizio 6.44 Con riferimento allo schema in figura,

x(n) � H1(ν)w(n) � h2(n) � y(n)


il primo sistema è caratterizzato dalla seguente risposta in frequenza:

H1(ν) = rep1 [rect(2ν)] =+∞

∑k=−∞

rect[2(ν − k)] ,

mentre il legame i-u del secondo sistema èy(n) = ∇ 1[w(n)] = w(n)−w(n−1). Supponendo che il segnale diingresso sia

x(n) = cos(0.6πn)+3δ(n−5)+2,

determinare il segnale di uscitay(n).

Risultato: y(n) = 32

{sinc

[12(n−5)

]−sinc[

12(n−6)

]}.


H(ν) =

{e− j 6πν , |ν |< 3

32 ;

0, 332 ≤ |ν |< 1

2 .

Calcolare l’uscitay(n) corrispondente al segnale di ingresso

x(n) =+∞

∑k=−∞

δ(n+16k) .

Risultato: y(n) = 116 + 1

8 cos(πn

8 + 3π8

).

Esercizio 6.46 Si consideri il segnale modulatoy(t) = x(t) cos(2π f1t), dovex(t) è un segnale deterministicoa banda limitataW = 1 kHz (monolatera) ef1 = 4W . Per traslarey(t) a frequenze più elevate, esso vienemoltiplicato per cos(2π f2t), con f2 = 5W , ed il segnale risultantez(t) = y(t) cos(2π f2t) viene filtrato con unfiltro H( f ) passaalto ideale, avente cioè risposta armonica

H( f ) ={

1, | f | ≥ B ;0, altrimenti;

doveB è la frequenza di taglio.

(a) Rappresentare graficamente gli spettri dei segnaliy(t) e z(t).

(b) Determinare i valori diB in corrispondenza dei quali il segnale in uscita al filtro passaalto èw(t) =ax(t) cos[2π( f1 + f2)t], dovea è un fattore di scala inessenziale.

Risultato: 2kHz< B < 8kHz.

Esercizio 6.47 Si consideri il sistema a tempo discreto riportato in figura:


x(n) y(n)

(-1) n

H(ν)w(n)

Sistema 2

Sistema 1

Il primo sistema è un filtro passabasso ideale caratterizzato dalla seguente risposta in frequenza:

H1(ν) = rep1 [rect(2ν)] =+∞

∑k=−∞

rect[2(ν − k)] .

(a) Classificare separatamente i due sistemi, motivando brevemente le risposte, sulla base delle proprietà dilinearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale e stabilità.

(b) Ragionando nel dominio della frequenza, calcolare l’uscitay(n) corrispondente al segnale di ingressox(n) = δ(n).

Risultato: (a) il primo è un sistema LTI non causale, dispersivo ed instabile, mentre il secondo sistema è lineare,non dispersivo, causale, tempo-variante, stabile; (b)y(n) = δ(n).

Esercizio 6.48 Si consideri il sistema passabasso ideale avente, con riferimento al periodo principale, la se-guente risposta in frequenza:

H(ν) =

{1, |ν |< 1

10 ;

0, 110 ≤ |ν | ≤ 1

2 ;

cui corrisponde la risposta impulsivah(n).

(a) Si consideri il sistema avente risposta impulsivah1(n) = (−1)nh(n). Calcolare la risposta in frequenzaH1(ν) di tale filtro e rappresentarla graficamente. Di che tipo di filtro si tratta (passabasso, passabanda opassaalto)?

(b) Si consideri il sistema avente risposta impulsivah2(n) = 2h(n) cos(0.5πn). Calcolare la risposta in frequen-zaH2(ν) di tale filtro e rappresentarla graficamente. Di che tipo di filtro si tratta (passabasso, passabandao passaalto)?

(c) Si consideri il sistema avente risposta impulsivah3(n) = 0.1h(n)sinc(0.1n). Calcolare la risposta infrequenzaH3(ν) di tale filtro e rappresentarla graficamente. Di che tipo di filtro si tratta (passabasso,passabanda o passaalto)?

Risultato: (a) passaalto; (b) passabanda; (c) passabasso.

Esercizio 6.49 Si consideri il sistema a tempo discreto riportato in figura:


x(n) y(n)h1(n)w(n)

Sistema 2 h1(n)v(n) z(n)

Sistema 2

Sistema 1 Sistema 1

Il primo sistema è un filtro LTI arbitrario con risposta impulsivah1(n) e risposta in frequenzaH1(ν), mentre ilsecondo sistema è caratterizzato dal legame ingresso-uscitav(n) = w(−n).

(a) Esprimere gli spettriW (ν), V (ν), Z(ν) e Y (ν) dei segnaliw(n), v(n), z(n) e y(n), rispettivamente, infunzione dello spettroX(ν) del segnale di ingressox(n).

(b) Utilizzando il risultato del punto (a), stabilire se il sistema complessivo è lineare e tempo-invariante. Incaso affermativo, calcolarne risposta impulsivah(n) e risposta in frequenzaH(ν).

Risultato: (a) Y (ν) = H1(ν)H1(−ν)X(ν); (b) il sistema complessivo è LTI conH(ν) = H1(ν)H1(−ν) edh(n) = h1(n)∗h1(−n).


H(ν) =

{− j , 0 < ν < 1

2 ;

j , −12 < ν < 0.

Dettay(n) la risposta di tale sistema al segnalex(n) avente trasformata di FourierX(ν), calcolare lo spettroZ(ν) del segnalez(n) = x(n)+ j y(n).

Risultato: nel periodo principale,Z(ν) = 2X(ν) per 0< ν < 12, mentreZ(ν) = 0 per−1

2 < ν < 0.

Esercizio 6.51 Con riferimento allo schema di figura,

�x(t)�

cos(2π f0t +θ)

�⊗H( f ) � y(t)

il sistemaH( f ) è un filtro passabasso ideale di guadagno unitario e banda monolateraB, mentre il segnale iningresso alla cascata èx(t) = s(t)cos(2π f0t), cons(t) segnale di energia passabasso con banda monolateraB.Supponendof0� B, determinare l’energia del segnaley(t).

Risultato: Ey = Escos2(θ)

4 , doveEs è l’energia del segnales(t).

Esercizio 6.52 Con riferimento allo schema di figura,

�s(t)�

cos(2π f0t)

⊕ �x(t)(·)2 �z(t)

h(t) � y(t)


s(t) è un segnale passabasso con trasformata di FourierS( f ) = rect( f /2B) edh(t) è un filtro passabanda aventerisposta armonica

H( f ) = rect

(f − f02B

)+ rect

(f + f02B

).

(a) Determinare lo spettro diz(t) e rappresentarlo graficamente (si assuma per la rappresentazionef0� B).

(b) Determinare sotto quali condizioni perf0 eB l’uscitay(t) risulta proporzionale as(t)cos(2π f0t), ovvero ilsistema complessivo si comporta damodulatore di ampiezza.

Risultato: (b) f0 > 3B.

Capitolo 7

Campionamento e conversione A/D e D/A

In questo capitolo si affronta il problema della conversione dei segnali da analogici a digitali e vicever-sa, che riveste un notevole interesse applicativo. Il punto di partenza sarà lo studio del campionamento,per il quale ilteorema del campionamento o teorema di Shannon fissa le condizioni che consentono diricostruire univocamente un segnale analogico a partire dalla sequenza dei suoi campioni. Analizze-remo poi alcuni aspetti di ordine pratico legati alla fisica realizzabilità dei circuiti di campionamento edi ricostruzione. Infine, discuteremo il problema della quantizzazione, che consiste nella discretizza-zione delle ampiezze di un segnale campionato, operazione necessaria per convertire completamenteun segnale analogico in un segnale digitale.

Coerentemente con il resto del libro, la trattazione affronta aspetti metodologici fondamentali,anche se alcune differenze fondamentali tra teoria e pratica sono discusse in un certo dettaglio. Tut-tavia, non rientra tra gli obiettivi del capitolo quello di presentare schemi implementativi per le varieoperazioni introdotte (campionamento, quantizzazione, interpolazione, conversione A/D e D/A), dataanche la rapidissima evoluzione tecnologica in questo settore.

7.1 Introduzione

La rapida evoluzione tecnologica dei computer e dei microprocessori, accompagnata parallelamenteda alcuni significativi progressi teorici nel campo della teoria dei segnali (si pensi, ad esempio, aglialgoritmi Fast Fourier Transform, FFT), ha determinato già da numerosi anni la transizione dalletecniche analogiche di elaborazione dei segnali verso quelle digitali o numeriche. Alcuni dei principalivantaggi dell’elaborazione digitale rispetto a quella analogica sono stati già messi in luce nel cap. 1,e possono essere così riassunti: (i) possibilità di usare circuiti digitali a basso costo, di dimensioniridotte e facilmente riproducibili; (ii) facile riconfigurabilità e riprogrammabilità; (iii) possibilità diintegrare segnali di diversa natura su unico supporto comune; (iv) possibilità di elaborare segnali chepossono assumere valori significativamente diversi (elevata dinamica); (v) elevata immunità ai disturbied alle distorsioni.

L’elaborazione digitale dei segnali riguarda evidentemente il trattamento dei segnali digitali, ov-vero dei segnali TD il cui codominio è costituito da un numerofinito di possibili valori. Sebbene visiano molti casi di interesse pratico in cui i segnali sonointrinsecamente digitali (ad esempio, il nu-

396 Campionamento e conversione A/D e D/A

A/D DSPxa(t) D/A ya(t)xq(n) yq(n)

sistema analogico

Fig. 7.1. Schema di principio per l’elaborazione digitale dei segnali analogici.

mero di giornali venduti al giorno oppure in un dato periodo di tempo), in molti altri casi i segnali daelaborare sono per loro natura analogici (si pensi, ad esempio, alla voce umana, al suono generato dauno strumento musicale, ad un’immagine in bianco e nero oppure a colori). In questi casi, per potersfruttare a pieno i vantaggi offerti dalle tecniche di elaborazione numerica, i segnali analogici debbonoessere preventivamente convertiti in segnali digitali. Dopo aver effettuato in digitale l’elaborazionedesiderata, il segnale digitale ottenuto è riconvertito nuovamente in un segnale analogico.

Lo schema di principio di un elaboratore digitale di segnali analogici è riportato in fig. 7.1 (simi-le concettualmente alla fig. 1.27 del cap. 1, ma con una notazione leggermente diversa). In esso, ilsegnale analogico1 xa(t), cont ∈R, viene convertito nel segnale digitalexq(n), conn ∈ Z, dal conver-titore A/D (analogico/digitale) il “digital signal processor” (DSP) è un microprocessore che eseguel’elaborazione desiderata, producendo in uscita il segnale digitaleyq(n); infine, il convertitore D/A(digitale/analogico) ha il compito di convertire il segnale digitaleyq(n) nel segnale analogicoya(t),che rappresenta il risultato finale dell’elaborazione dixa(t).

campion . quantizz .x(n)

xa(t) xq(n)

Tc

convertitore A/D

Fig. 7.2. Schema a blocchi di un convertitore A/D.

Da un punto di vista concettuale, la conversione A/D si compone di due operazioni distinte(rappresentate schematicamente in fig. 7.2):

• campionamento: a partire dal segnale analogicoxa(t) che si intende elaborare, tale operazioneconsente di ottenere un segnale TDx(n) = xa(nTc), ottenuto prelevando daxa(t) i suoi campioniequispaziati nel tempo di una prefissata quantitàTc ∈ R+;

• quantizzazione: poichèxa(t) è un segnale ad ampiezza continua, il codominio del segnale TDx(n) ottenuto a valle del campionamento è generalmente un sottoinsieme continuo diR, percui x(n) non è ancora un segnale digitale. A partire dax(n), l’operazione di quantizzazione

1Sebbene molte delle considerazioni sviluppate in questo capitolo si potrebbero sviluppare anche per segnalixa(t) avalori complessi, per non snaturare il taglio applicativo della trattazione supporremo che il segnalexa(t) e tutti i segnali daesso derivati nel dominio del tempo siano a valorireali.

7.2 Campionamento ed interpolazione ideale 397

interp.xq(n) xr(t)

Tc

convertitore D/A

Fig. 7.3. Schema a blocchi di un convertitore D/A.

t

xa(t)

xa(nTc)

Tc 2Tc 3Tc-Tc-2Tc-3Tc 0

(b)

n

x(n)

1 2 3-1-2-3 0

(a)

Fig. 7.4. Campionamento uniforme di un segnale TCxa(t) con passoTc: (a) il segnalexa(t) ed i suoi campionixa(nTc); (b) il segnale TDx(n) = xa(nTc). Si noti chex(n), essendo un segnale a TD, non contiene informazionisul passo di campionamentoTc.

consente di ottenere un segnale TDxq(n) che può assumere solo un numero finito di possibilivalori (quindi un vero e proprio segnale digitale).

D’altro canto, la conversione D/A è l’operazioneduale della conversione A/D e, concettualmente,realizza la seguente operazione (rappresentata schematicamente in fig. 7.3):

• interpolazione: a partire dal segnale digitalexq(n), tale operazione consente di ottenere un se-gnale analogicoxr(t), mediante interpolazione dell’andamento del segnale TC tra due qualsiasicampioni consecutivi dixq(n).

In effetti notiamo che l’operazione di quantizzazione non è reversibile, per cui il convertitore D/A sioccupa solo di invertire gli effetti del campionamento.

Lo scopo principale di questo capitolo è lo studio delle operazioni di campionamento, quantiz-zazione e interpolazione, con attenzione sia agli aspetti teorici che ad alcuni problemi di caratterepratico. In particolare, centrale è il problema di stabilire se l’operazione di campionamento sia, sottoopportune ipotesi, reversibile, cioè se i campionix(n) = xa(nTc) possano rappresentare adeguatamenteil segnalexa(t).


campion .xa(t) x(n)

Tc

Fig. 7.5. Schema a blocchi di un campionatorecon passoTc.

t

xa(nTc)


xa,1(t)

xa,2(t)

Fig. 7.6. A partire dai campionixa(nTc), è pos-sibile ricostruire due (in realtà infiniti) segna-li xa,1(t) (in nero) edxa,2(t) (in rosso) tali chexa,1(nTc) = xa,2(nTc) = xa(nTc).

7.2 Campionamento ed interpolazione ideale

L’operazione di campionamento (uniforme) consiste nel convertire un segnale TCxa(t) in un segnaleTD x(n), ottenuto considerando (fig. 7.4) solo i campioni dixa(t) presi con passoTc ∈ R+, ossia

x(n) = xa(nTc) , conn ∈ Z , (7.1)

doveTc è dettoperiodo o passo di campionamento, e il suo reciprocofc = 1/Tc è lafrequenza di cam-pionamento. Il sistema che realizza l’operazione di campionamento (7.1) è chiamatocampionatoreed è comunemente rappresentato con il simbolo riportato in fig. 7.5. Si osservi che il campionatore èun sistema ibrido che ha in ingresso un segnale TC e produce in uscita un segnale TD.

Le questioni teoriche fondamentali connesse con l’operazione di campionamento (7.1) sono leseguenti:

Q1) è possibile ricostruireesattamente il segnale analogicoxa(t) a partire dalla sequenzax(n) deisuoi campioni? O, equivalentemente, il sistema campionatore in fig. 7.5 è invertibile?

Q2) nel caso in cui Q1 ammetta una risposta affermativa, in che modo è possibile riottenerexa(t) apartire dax(n)? O, equivalentemente, qual’è il sistema inverso del sistema campionatore?

Più avanti daremo una risposta formale ad entrambi i quesiti Q1 e Q2. Prima di fare ciò, è utilepremettere qualche considerazione di carattere intuitivo.

In generale, non è possibile dare una risposta affermativa al quesito Q1, cioè senza imporre alcunvincolo la sequenzax(n) non consente di determinare univocamente (e, quindi, esattamente) il segnaleanalogicoxa(t). Per convincersi di ciò, è sufficiente far riferimento alla fig. 7.6, dove sono rappre-sentati due diversi segnali analogicixa,1(t) e xa,2(t), che assumono gli stessi valori in tutti gli istantidi tempo che sono multipli interi diTc, ossiax(n) = xa,1(nTc) = xa,2(nTc), ∀n ∈ Z. Più in generale,assegnata una sequenzax(n), in assenza di ulteriori vincoli, esistono infiniti segnali analogici che,campionati con passoTc, generano la sequenzax(n). La perfetta ricostruzione dixa(t) a partire dallasequenzax(n) può avvenire pertanto solo se sono soddisfatte alcune condizioni aggiuntive.

Una condizione necessaria riguarda il periodo di campionamentoTc (o, equivalentemente, la fre-quenza di campionamentofc = 1/Tc). Per comprendere ciò, si considerino le fig. 7.7(a) e fig. 7.7(b),in cui due diversi segnalixa,1(t) e xa,2(t) sono campionati con il medesimo passo di campionamento(si tratta in effetti degli stessi segnali considerati in fig. 7.6). In particolare, si osservi che la rapidità di


t

xa,1(t)

Tc1

t

xa,2(t)

Tc1

t

xa,2(t)

Tc2

n

x(n)

1

n

x(n)

1

2 30-1-2-3

2 30-1-2-3

n

x(n)

1 2 3 4 5 60-1-2-3-4-5-6

(a)

(b)

(c)

Fig. 7.7. Campionamento di segnali aventi differenti rapidità di variazione temporale: (a) il segnalexa,1(t) ècampionato con passoTc,1; (b) il segnalexa,2(t) è campionato con passoTc,1; (c) il segnalexa,2(t) è campionatocon passoTc,2 = 1

2Tc,1. Si noti che nel caso (b) il segnalexa,2(t) ha gli stessi campioni dixa,1(t), mentre ciò nonaccade aumentando la frequenza di campionamento, come in (c).

variazione temporale dixa,2(t) è significativamente maggiore di quella dixa,1(t). Si può intuire che,al fine di poter ricostruire un segnale analogico a partire dalla sequenza dei suoi campioni presi conpassoTc, occorre che i campioni prelevati siano in grado di “catturare” con sufficiente accuratezzal’andamento temporale del segnale. Nel caso del segnalexa,1(t), che varia più lentamente nel tempo,il passo di campionamento utilizzato in fig. 7.7(a) consente di ottenere una sequenzax(n) che descrivein maniera abbastanza soddisfacente l’andamento del segnale analogico.

D’altra parte, con riferimento alla fig. 7.7(b), nel caso del segnalexa,2(t) che varia più velocementenel tempo, lo stesso passo di campionamento genera una sequenzax(n) che descrive solo grossolana-mente le fluttuazioni temporali del segnale analogico. È chiaro che, per descrivere adeguatamente lavariabilità temporale dixa,2(t), occorre ridurre significativamente il passo di campionamento, comemostrato in fig. 7.7(c). In altre parole, per poter ricostruire un segnale analogicoxa(t) a partire dallasequenzax(n) dei suoi campioni, il passo di campionamento deve essere commisurato alla rapiditàdi variazione del segnalexa(t) nel dominio del tempo. Poichè però la variabilità di un segnale neldominio del tempo è legata alla banda del segnale nel dominio della frequenza, ciò implica che devesussistere una relazione tra il periodo di campionamento o, equivalentemente, la frequenza di campio-


xδ (t)xa(t) convertitore

δ/nx(n)

δT c (t)~

Fig. 7.8. Interpretazione del campionamento come un sistema adue stadi: il segnale analogicoxa(t) è moltiplicato per il pettine diδ di periodoTc, dettoδ̃Tc(t), e il blocco denominato “convertitoreδ/n” trasforma il segnale impulsivoxδ(t) nel segnale TDx(n).

namento, e la banda del segnalexa(t). DettaW la larghezza di banda (monolatera) del segnalexa(t),vedremo che la condizione addizionale da imporre è chefc ≥ 2W : cioè, maggiore è la larghezza dibanda dixa(t) o, equivalentemente, maggiore è la sua rapidità di variazione nel tempo, maggiore deveesserefc o, equivalentemente, minore deve essereTc.

7.2.1 Teorema del campionamento

Come accennato in precedenza, l’aspetto centrale nella teoria del campionamento è lo studio del-l’invertibilità di tale operazione. Nel paragrafo precedente abbiamo osservato che, dati i campionix(n) = xa(nTc), esistonoinfiniti segnalixa(t) che possono averli generati. In termini matematici, ilproblema può essere assimilato a quello della non unicità dell’interpolazione di un insieme di dati:dato un insieme (finito) di coppie di valori(xk,yk), esistonoinfinite funzioni f (x) tali che f (xk) = yk.Per determinare, allora, un’unica soluzione, bisogna imporre dellecondizione aggiuntive o deivincolial problema. In altri termini, bisogna ricercare il segnalexa(t) non tratutti i possibili segnali a TC, main un insieme più ristretto. La scelta di tale insieme, e quindi dei vincoli da imporre sul segnalexa(t),dovrà garantire l’unicità matematica della soluzione, ma non dovrà essere così restrittiva da renderetale soluzione di scarso interesse pratico.

Per semplificare lo studio matematico del campionamento, è conveniente schematizzarlo (fig. 7.8)come un processo in due stadi. Il primo stadio effettua la moltiplicazione tra il segnale analogicoxa(t)[vedi fig. 7.9(a)] ed un pettine diδ di periodoTc:

δ̃Tc(t) = repTc[δ(t)] =

+∞

∑n=−∞

δ(t−nTc) ,

dettopettine campionatore ideale, ottenendo così il segnale:

xδ(t) = xa(t) δ̃Tc(t) = xa(t)

[+∞

∑n=−∞

δ(t−nTc)

]=

+∞

∑n=−∞

xa(nTc)δ(t−nTc) , (7.2)

raffigurato in fig. 7.9(d), dove nel passaggio dalla seconda alla terza uguaglianza si è sfruttata laproprietà del prodotto dell’impulso di Dirac [cfr. prop. 2.2(c)]. Il secondo stadio, denominatoconver-titore δ/n in fig. 7.8, converte il segnale impulsivoxδ(t) nel segnale TDx(n) raffigurato in fig. 7.9(c),associando all’n-esimo impulsoxa(nTc)δ(t−nTc) il campionex(n) = xa(nTc).

Il prodotto definito dalla (7.2) è dettocampionamento ideale del segnalexa(t), ed il segnalexδ(t) èdettosegnale campionato idealmente. Com’è facilmente intuibile, l’idealità di tale operazione deriva


(a)

t

xa(t)

xa(nTc)


(b)

t

xa(nTc)


(c)

n

x(n)

1 2 3-1-2-3 0

(d)

t

xδ(t)


Fig. 7.9. I differenti segnali associati al campionamento di un segnale analogico: (a) il segnaleanalogicoxa(t) ed i suoi campionixa(nTc) presi con passoTc; (b) i campionixa(nTc) del segnalexa(t) raffigurati come un segnale a TC; (c) il segnale campionato a TDx(n) = xa(nTc); (d) il segnalea TCxδ(t) = ∑+∞

n=−∞ xa(nTc)δ(t−nTc) costruito a partire dai campionix(n) = xa(nTc).

dal fatto che il segnalexδ(t), essendo composto da impulsi di Dirac, è una pura astrazione matematicanon riproducibile in pratica. Si noti che il segnalexδ(t) è ancora un segnale TC, costituito da impulsicentrati negli istanti di campionamentonTc, con n ∈ Z, la cui area corrisponde ai campionix(n) =xa(nTc) del segnalexa(t). Pertanto, il segnale campionato idealmente contiene la stessa informazionesul segnalexa(t) della sequenzax(n).

È importante sottolineare che lo schema a due stadi riportato in fig. 7.8 è solo una rappresentazionematematica del campionamento, e non corrisponde in nessun modo all’implementazionepratica di uncampionatore. Il vantaggio di ricorrere a tale schema è quello che il secondo stadio è sicuramente unsistema invertibile, in quanto esiste una corrispondenza biunivoca tra il segnale campionato idealmentexδ(t) e la sequenza dei campionix(n). Pertanto, studiare l’invertibilità del campionamento (7.1) siriduce a studiare l’invertibilità del solo primo stadio. In altri termini, il segnalexa(t) può esserericostruito a partire dalla sequenzax(n) se e solo se esso può essere ricostruito a partire daxδ(t).Il vantaggio di studiare l’invertibilità basandosi sulla (7.2) e non direttamente sulla relazionex(n) =xa(nTc), sta nel fatto che tale studio coinvolge esclusivamente segnali TC.

Come precedentemente detto, il processo di campionamento è invertibile solo se si pone qualcherestrizione sul segnale analogico di partenzaxa(t). Il vincolo più semplice e frequentemente consi-derato è quello che il segnalexa(t) sia abanda rigorosamente limitata, un’ipotesi che, sebbene nonpossa essere rigorosamente verificata in pratica, è però soddisfatta approssimativamente da molti se-gnali di interesse. In questo caso, le condizioni che garantiscono l’invertibilità del campionamento


sono descritte nel fondamentaleteorema del campionamento o teorema di Shannon:2

Teorema 7.1 (teorema del campionamento o teorema di Shannon)Siaxa(t)

FT←→ Xa( f ) un segnale a TC, e sianox(n) = xa(nTc) i suoi campioni presi con passo dicampionamentoTc. Se:

(i) il segnalexa(t) è a banda rigorosamente limitata, con banda monolateraBx = W , ovvero:

Xa( f ) = 0, ∀| f | ≥W ;

(ii) la frequenza di campionamentofc = 1/Tc soddisfa lacondizione di Nyquist:

fc ≥ 2W ; (7.3)

allora il segnalexa(t) è perfettamente rappresentato dai suoi campionix(n) = xa(nTc). La minimafrequenza di campionamentofc,min = 2W nella (7.3) prende il nome difrequenza di Nyquist delsegnalexa(t).

Prova. In virtù della discussione precedente sul campionamento ideale (7.2), studiare se il segnalexa(t) possaessere ottenuto nuovamente a partire dax(n) è perfettamente equivalente a studiare se lo stesso segnale possaessere ottenuto a partire daxδ(t). A tale scopo, ricordando allora la trasformata del pettine diδ di periodoarbitrario data dalla (6.116):

+∞

∑n=−∞

δ(t−nTc)FT←→ 1

Tc

+∞

∑k=−∞

δ(

f − kTc

),

ed applicando la proprietà del prodotto della trasformata di Fourier alla (7.2), si ha che lo spettroXδ( f ) delsegnalexδ(t) è dato da

Xδ( f ) = Xa( f )∗[

1Tc

+∞

∑k=−∞

δ(

f − kTc

)].

Sfruttando ancora la proprietà distributiva della convoluzione, e la proprietà di convoluzione dell’impulso diDirac, si ha:

Xδ( f ) =1Tc

+∞

∑k=−∞

[Xa( f )∗δ

(f − k

Tc

)]=

1Tc

+∞

∑k=−∞

Xa

(f − k

Tc

)= fc

+∞

∑k=−∞

Xa( f − k fc) . (7.4)

L’espressione precedente mostra che lo spettroXδ( f ) del segnale campionato idealmente si ottiene effettuan-do la replicazione dello spettroXa( f ) (moltiplicato per fc), dove il passo di replicazione nel dominio dellafrequenza è pari proprio alla frequenza di campionamentofc = 1

Tc, si ha cioè:

Xδ( f ) =1Tc

rep1Tc

[Xa( f )] = fc repfc [Xa( f )] .

2Il matematico ed ingegnere statunitense Claude E. Shannon (1916–2001) è considerato il padre dellateoria dell’in-formazione. Fornì l’enunciato del teorema del campionamento, in una forma molto simile a quella qui presentata, in unlavoro del 1949 denominato “Communication in the presence of noise” (vedihttp://www.stanford.edu/class/ee104/shannonpaper.pdf). Tuttavia, come spesso capita nelle scoperte scientifiche, altri studiosi affrontarono ilproblema prima di Shannon, nonostante il loro contributo non sia stato forse ugualmente riconosciuto: tra essi i matema-tici (padre e figlio) E.T. Whittaker e J.M. Whittaker nel 1915 e nel 1935, H. Nyquist e K. Küpfmüller nel 1928, e V.A.Kotelnikov nel 1933.


Xa(f)

f-W W

1

0

Fig. 7.10.Spettro Xa( f ) di un segnale a bandarigorosamente limitata.

Xa(f)

f-W W

1

fc/2-fc/2

Fig. 7.11.SpettroXa( f ) di un segnale a banda ri-gorosamente limitata che genera lo stesso spettroXδ( f ) del segnale di fig. 7.10 nel casofc < 2W [vedifig. 7.12(c)].

Pertanto, lo spettro dixδ(t) ha un andamento periodico nel dominio della frequenza, con repliche equidistan-ziate di fc.3 Il problema allora di individuare sexa(t) possa essere ricostruito univocamente a partire daxδ(t)può essere equivalentemente riformulato nel dominio della frequenza nel modo seguente:individuare le con-dizioni affinché Xa( f ) possa essere ottenuto a partire da Xδ( f ). Notiamo cheXa( f ) è (a meno di una costantemoltiplicativa) il generatore del segnale periodicoXδ( f ), per cui il problema enunciato in precedenza si riducea quello di ricavare il generatore di un segnale periodico, per il quale già sappiamo non esiste un’unica soluzio-ne. Notiamo peraltro che finora non abbiamo sfruttato nessuna delle ipotesi fondamentali del teorema, in altritermini l’espressione (7.4) vale per il campionamento di unqualunque segnale.

Supponiamo allora che valga l’ipotesi (i), ovvero che il segnalexa(t) abbia banda rigorosamente limitata,con uno spettro del tipo di quello raffigurato in fig. 7.10. Ciò significa che cercheremo il segnale originarionell’ambito dei segnali aventi spettro limitato nell’intervallo(−W,W ). Lo studio può essere condotto sempli-cemente se rappresentiamo graficamente la replicazione che dà luogo aXδ( f ) nei tre casifc > 2W , fc = 2W ,fc < 2W , come fatto in fig. 7.12. Osservando che 2W è la larghezza delle repliche efc la distanza tra le stesse,si hanno allora le seguenti situazioni:

(a) sefc > 2W , le repliche diXa( f ) non si sovrappongono nel dominio della frequenza;

(b) fc = 2W , le repliche diXa( f ) si affiancano perfettamente nel dominio della frequenza;

(c) fc < 2W , le repliche diXa( f ) si sovrappongono nel dominio della frequenza.

Dall’esame dei grafici, si nota che lo spettroXa( f ) del segnale di partenza può essere recuperato univocamentesolo nei casi (a) e (b). Infatti, nel caso (c), esistonoalmeno due (in realtà infiniti) spettriXa( f ) nell’inter-vallo (−W,W ) che possono aver generato il segnaleXδ( f ): uno è evidentemente quello di fig. 7.10, l’altroè invece quello raffigurato in fig. 7.11, che in effetti costituisce la restrizione del segnaleXδ( f ) all’intervallo(− fc/2, fc/2) ⊂ (−W,W ). Il punto fondamentale è che, osservando il segnaleXδ( f ), la sola ipotesi (i) nonconsente di individuare univocamente lo spettro tra quello di fig. 7.10 e quello di fig. 7.11. Si capisce alloracome, oltre al vincolo di segnale a banda limitata (i), sia necessario imporre l’ulteriore condizione (ii), ovverofc ≥ 2W .

Le considerazioni precedenti costituiscono già una dimostrazione completa del teorema del campionamen-to, ma non esplicitano chiaramente la relazione che consente di ricavarexa(t) da xδ(t) ed, in ultima analisi,da x(n) = xa(nTc). Tale relazione tuttavia può essere ottenuta semplicemente, se osserviamo che, nell’ipotesifc ≥ 2W , lo spettroXa( f ) si può ottenere daXδ( f ) mediante una finestratura nel dominio della frequenza,

3Questa relazione tra il campionamento ideale nel tempo e la replicazione in frequenza costituisce una proprietà notevoledella trasformata di Fourier, valida anche nel caso TD con qualche modifica e riportata in app. F con il nome diproprietà dicampionamento nel tempo: essa è laduale della proprietà di campionamento in frequenza vista nel § 6.6.4.


Xδ (f)

f-W W

1/Tc

-fc fcfc-Wfc/2-fc/2-fc+W

Xδ (f)

W=fc/2

1/Tc

-fc fc-W=-fc/2 f

fc+W-fc-W

Xδ (f)

fc/2

1/Tc

-fc fc-fc/2 f

fc > 2W

fc = 2W

fc < 2W

W-W 2fc-2fc

(a)

(b)

(c)

0

0

0

Fig. 7.12.SpettroXδ( f ) risultante dal campionamento di un segnalexa(t) a banda limitata avente lo spettro difig. 7.10: (a) campionamento confc > 2W ; (b) campionamento confc = 2W ; (c) campionamento confc < 2W .

equivalente ad un filtraggio passabasso ideale come riportato in fig. 7.13:

Xδ( f )Hr( f ) = Xr( f ) ,

dove il filtro ideale di ricostruzione ha risposta in frequenza

Hr( f ) = Tc rect

(f

2 fr

),

e la sua frequenza di tagliofr deve soddisfare la seguente condizione [si veda la fig. 7.12(a)]:

W ≤ fr ≤ fc−W .

In effetti se vale la condizionefc ≥ 2W , risultaXr( f )≡ Xa( f ) che, passando nel dominio del tempo, significache il segnalexa(t) è stato perfettamente ricostruito a partire dal segnalexδ(t). �

Il teorema del campionamento consente di determinare rigorosamente il legame tra frequenza di cam-pionamento e banda del segnale da campionare, che abbiamo già anticipato per via intuitiva. Precisa-mente, affinchè il segnalexa(t) con banda monolateraW sia perfettamente ricostruibile a partire daisuoi campionix(n), occorre chefc ≥ 2W ; questo significa che quanto più larga è la banda del segnalexa(t) o, equivalentemente, maggiore è la sua rapidità di variazione nel tempo, tanto più elevata deve


Xδ (f)

f-W W

1/Tc


Hr(f)

fc/2

Tc

-fc/2 f

fc+W-fc-W

(a)

(b)

Xr(f)=Xa(f)

f-W W

1

(c)

0

0

0

Fig. 7.13.Ricostruzione del segnalexa(t) a partire dal segnalexδ(t): (a) spettroXδ( f ) risultante dal campiona-mento (casofc > 2W ); (a) risposta in frequenzaHr( f ) del filtro di ricostruzione; (a) spettroXr( f ) del segnalericostruito. Si noti cheXr( f ) ≡ Xa( f ) e quindi xr(t) ≡ xa(t) se sono soddisfatte le ipotesi del teorema delcampionamento.

risultare la frequenza di campionamentofc o, equivalentemente, tanto più piccolo deve essere il pe-riodo di campionamentoTc. Tuttavia, il teorema del campionamento mostra anche che la frequenza dicampionamentofc non deve esserearbitrariamente elevata, ma è sufficiente che sia maggiore di 2W(risultato non facilmente intuibile a priori).

7.2.2 Interpolazione ideale

Il teorema del campionamento consente di individuare le condizioni affinchè il campionatore in fig. 7.5sia un sistema invertibile, sia cioè possibile ricostruire univocamentexa(t) a partire dall’uscitax(n).Tale teorema consente di stabilire anche qual’è il sistema inverso del campionatore. A tale scoporicordiamo che, se le condizioni del teorema del campionamento sono soddisfatte, filtrando il segnalecampionato idealmentexδ(t) mediante un filtro passabasso ideale con risposta in frequenza

Hr( f ) = Tc rect

(f

2 fr

),


Hr(f)xδ (t)

xr(t)convertitore

n/δx(n)

Fig. 7.14.Schema a blocchi dell’interpolatore ideale: il blocco denominato “con-vertitore n/δ” trasforma il segnale TDx(n) nel segnale TCxδ(t); la risposta infrequenzaHr( f ) è quella di un filtro passabasso ideale.

dove la frequenza di tagliofr deve soddisfare la condizione:

W ≤ fr ≤ fc−W , (7.5)

il segnalexr(t) in uscita dal filtro coincide proprio con il segnalexa(t). Pertanto il sistema inversodel campionatore è quello riportato in fig. 7.14, dove ilconvertitore n/δ realizza l’operazione inversadel convertitoreδ/n in fig. 7.8, associando ad ogni campione del segnalex(n) un impulso centratonell’istante di campionamentonTc e avente area pari proprio axa(nTc). Notiamo che, come lo schemadi fig. 7.8, per la presenza del segnale idealexδ(t), anche lo schema di fig. 7.14 è una rappresentazionematematica del sistema inverso del campionatore, ma non corrisponde ad uno schema implementativoin quanto tale.

Notiamo che, nel caso in cuifc = 2W , l’intervallo (7.5) si riduce all’unico valorefr = fc/2 (metàdella frequenza di campionamento), che soddisfa sempre la (7.5) anche quandofc > 2W , in quanto sitratta del punto medio dell’intervallo(W, fc−W ). Con questa scelta il filtro di ricostruzione si scrive:

Hr( f ) =1fc

rect

(ffc

), (7.6)

da cui per antitrasformazione ricaviamo la risposta impulsiva di tale filtro

hr(t) = sinc

(tTc

).

Il legame i-u nel dominio del tempo consiste allora nella convoluzione trahr(t) e il segnale di ingressoal filtro xδ(t), per cui si ha

xr(t) = xδ(t)∗hr(t) =

[+∞

∑n=−∞

xa(nTc)δ(t−nTc)

]∗sinc

(tTc

)

=+∞

∑n=−∞

xa(nTc)[δ(t−nTc)∗sinc

(tTc

)]=

+∞

∑n=−∞

xa(nTc)sinc

(t−nTc

Tc

), (7.7)

dove abbiamo applicato le ben note proprietà della delta di Dirac. L’espressione trovata in effettirestituiscexr(t) ≡ xa(t) nelle ipotesi del teorema del campionamento, e quindi esprime il segnalexa(t) direttamente in funzione dei suoi campioni:

xa(t) =+∞

∑n=−∞

xa(nTc)sinc

(t−nTc

Tc

). (7.8)

La formula (7.8) prende il nome diserie di Shannon, e mostra che la ricostruzione ideale del segnalexa(t) a partire dai suoi campioni avviene mediante un’operazione ben precisa che prende il nome di


−5 0 5

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/Tc

h r(t)=

sinc

(t/T

c)

Fig. 7.15.Risposta impulsivahr(t) = sinc(t/Tc) delfiltro interpolatore ideale.

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

0

1

2

3

4

5

t/Tc

x r(t)

Fig. 7.16. Illustrazione grafica dell’interpolazione ef-fettuata mediante la serie di Shannon (il segnale risul-tante dalla somma dei termini della serie è in colorerosso).

interpolazione ideale. Da un punto di vista matematico, l’interpolazione consiste nel “raccordare” icampionix(n) = xa(nTc) mediante una opportuna funzione interpolatricehr(t):

xr(t) =+∞

∑n=−∞

xa(nTc)hr(t−nTc) =+∞

∑n=−∞

x(n)hr(t−nTc) . (7.9)

Il sistema ibrido TD/TC che realizza questa operazione è dettofiltro interpolatore. La serie di Shan-non mostra quindi che il sistema inverso di un campionatore comprende un filtro interpolatore confunzione interpolatricehr(t) = sinc(t/Tc), che è riportata in fig. 7.15. Il filtro interpolatore ideale

opera in questo modo: il contributo del segnale di uscita dell’interpolatorex(n)r (t) dovuto all’n-esimo

valore di ingresso è pari ax(n)r (t) = xa(nTc)sinc[(t−nTc)/Tc]; il segnale di uscitaxr(t) è ottenuto come

somma di tutti i contributix(n)r (t), come illustrato in fig. 7.16. Notiamo peraltro che la funzione sinc è

un segnale a banda rigorosamente limitata, per cui la (7.8) si può interpretare come la rappresentazio-ne di un segnale a banda rigorosamente limitata in termini di funzioni a banda rigorosamente limitata.L’interpolazione mediante funzione sinc (serie di Shannon) è dettaideale perchè non è fisicamenterealizzabile (la funzione interpolatrice ha durata infinita). L’idealità della serie di Shannon si puòspiegare anche osservando che la sua realizzazione richiede l’impiego di un filtro ideale passabasso,che sappiamo essere instabile e non causale.

7.2.3 Aliasing

Se la frequenza di campionamentofc non soddisfa la condizione di Nyquist (7.3), le repliche dellospettro del segnale campionatoXa( f ) si sovrappongono in frequenza, non consentendo più l’univocaricostruzione del segnalexa(t). In questo caso si dice che il segnale all’uscita del filtro di ricostruzionexr(t) è una versione distorta del segnalexa(t) o, più comunemente, che è affetto daaliasing.4 Glieffetti dell’aliasing sono facilmente interpretabili sia nel dominio del tempo che nel dominio dellafrequenza, se si considera il campionamento di un semplice segnale sinusoidale.

4Dal latino alias=altrove, in quanto vedremo che tale distorsione può essere interpretata come l’effetto di unospostamento delle componenti spettrali del segnale.


−4 −2 0 2 4−1

0

1

t/Tc

x a(n T

c)

−4 −2 0 2 4−1

0

1

t/Tc

x a(t),

xr(t

)

Fig. 7.17. Interpretazione nel dominio del tempo del fenomeno dell’aliasing(caso di una sinusoide a frequenzaf0 campionata con frequenzafc < 2 f0):in alto, campioni della sinusoidexa(t); in basso, sinusoide originalexa(t) (innero) e sinusoide ricostruitaxr(t) con aliasing (in rosso). Si noti che le si-nusoidixa(t) e xr(t), pur avendo frequenze diverse, sono caratterizzate daglistessi campionix(n).

� Esempio 7.1 (aliasing nel campionamento di una sinusoide)Consideriamo il campionamento del segnalesinusoidale

xa(t) = A cos(2π f0t) FT←→ Xa( f ) =A2

[δ( f − f0)+δ( f + f0)] ,

con f0 ∈R+, il cui spettro è riportato in fig. 7.18(a). Si tratta di un segnale periodico costituito da una coppia diarmoniche a frequenze± f0, per cui come estensione spettrale del segnale è ragionevole scegliere (cfr. § 6.6.3)l’intervallo simmetricoWx = (− f0, f0), a cui corrisponde la banda monolateraW = f0. Si tratta quindi di unsegnale passabasso con banda rigorosamente limitata.

In base al teorema del campionamento, il segnalexa(t) può essere ricostruito dalla sequenza dei suoi cam-pioni x(n) = xa(nTc) = A cos(2πn f0Tc) se fc > 2 f0 (il caso fc = 2 f0 è degenere e richiede una discussione aparte). Vediamo cosa succede se invecefc < 2 f0, ed in particolare sefc2 < f0 < fc. In tal caso, lo spettroXδ( f )del segnale campionato idealmente si può ottenere per via grafica, come in fig. 7.18(b), replicando gli impulsiδ( f − f0) e δ( f + f0) con passofc. Per effetto di tale replicazione, si vede che all’interno della banda passan-te Wp = (− fc/2, f2/2) del filtro di ricostruzione cadono le due componenti spettrali a frequenza±( fc− f0)[fig. 7.18(c)]. Conseguentemente, il segnale in uscita dal filtro di ricostruzione è dato da [fig. 7.18(d)]:

xr(t) = A cos[2π( fc− f0)t]FT←→ Xa( f ) =

A2{δ[ f − ( fc− f0)]+δ[ f +( fc− f0)]} ,

che è diverso dal segnalexa(t). Più precisamente,xr(t) è ancora un segnale sinusoidale avente ampiezzaA efase iniziale nulla, con la differenza fondamentale che esso presenta una frequenzafc− f0 diversa (più bassa)rispetto alla frequenzaf0 del segnale di partenzaxa(t).

L’effetto dell’aliasing è ancora più chiaro nel dominio del tempo. Infatti, le due sinusoidixa(t) e xr(t), puravendo frequenze diverse, assumono esattamente gli stessi valori negli istanti di campionamentonTc, com’èfacilmente verificabile, in quanto si ha

xr(nTc) = A cos[2π( fc− f0)nTc] = A cos[2π fcTcn−2π f0nTc]= A cos[2πn−2π f0nTc] = A cos[−2π f0nTc] = A cos[2π f0nTc]= xa(nTc) .

7.3 Campionamento ed interpolazione in pratica 409

Tale comportamento è evidenziato in fig. 7.17. �

7.3 Campionamento ed interpolazione in pratica

Il campionamento e l’interpolazione visti nella sezione precedente, ed in particolare nel teorema delcampionamento, si basano su alcune ipotesi non realistiche, che possono introdurre scostamenti anchesignificativi tra lo studio teorico ed il comportamento pratico dei circuiti di campionamento e ricostru-zione. In particolare, le ipotesi che richiedono un approfondimento ed una rivisitazione in un contestopiù applicativo sono le seguenti:

(a1) l’assunzione che il segnale sia a banda rigorosamente limitata.

(a2) l’assunzione che l’interpolazione sia effettuata in maniera ideale, ovvero mediante la serie diShannon (7.8) o, equivalentemente, utilizzando un filtro ideale passabasso (7.6).

Vediamo allora come si modificano le proprietà del campionamento e dell’interpolazione quando taliipotesi non sono verificate. A tal fine, per semplicità di trattazione, considereremo separatamente glieffetti che la rimozione di tali ipotesi comporta, anche se nella pratica sia la (a1) che la (a2) risultanocontemporaneamente non soddisfatte.

7.3.1 Campionamento di segnali a banda praticamente limitata

Poichè in pratica è possibile osservare ed elaborare escusivamente segnali di durata finita, i segnaliche si incontrano nelle applicazioni non possono avere banda rigorosamente limitata, ma solo pra-ticamente limitata, come ad esempio il segnale riportato in fig. 7.19(a). Per effetto della banda nonrigorosamente limitata, per qualunque scelta della frequenza di campionamentofc, le repliche delsegnale campionato idealmente si sovrappongono in frequenza come mostrato in fig. 7.19(b), per cuilo spettroXδ( f ) è affetto da aliasing. In effetti, la (7.4), riportata di seguito per comodità

Xδ( f ) = fc

+∞

∑k=−∞

Xa( f − k fc) ,

evidenzia che, seXa( f ) non ha banda rigorosamente limitata, ogni componente spettrale a frequenzaf in Xδ( f ) è il risultato della sovrapposizione ditutte le componenti spettrali diXa( f ) alle frequenzef − k fc, con f ∈ Z.

Se facciamo riferimento in particolare allo spettro nell’intervallo(− fc, fc), notiamo (fig. 7.19) che,per effetto della replicazione in frequenza, ogni componente spettrale del segnalexa(t) a frequenzafc/2 < f ≤ fc è riportata per aliasing alla frequenzaf − fc, che cade nell’intervallo]− fc/2,0], ossiaall’interno della banda passante del filtro di ricostruzione; allo stesso modo, ogni componente spettraledel segnalexa(t) a frequenza− fc ≤ f <− fc/2 è riportata per aliasing alla frequenzaf + fc, che cadenell’intervallo [0, fc/2[. Da un punto di vista grafico, la sovrapposizione nella banda(− fc/2, fc/2)delle componenti spettrali del segnalexa(t), originariamente esterne a tale banda, si può interpretareanche come dovuta ad un ripiegamento ofolding delle “code” dello spettro intorno alle frequenze± fc/2, come mostrato in fig. 7.19(b). Notiamo che in effetti tale folding è semplicemente un modoequivalente di interpretare l’aliasing, già visto nel § 7.2.3. Essonon può essere compensato unavolta che le frequenze si sono combinate tra loro, generando in uscita dal filtro di ricostruzione [vedifig. 7.19(c)] una versione distorta del segnale campionato; in particolare, si può notare che in questocaso lo spettro del segnale ricostruitoxr(t) differisce sensibilmente da quello del segnale originarioxa(t), specialmente in prossimità delle frequenze± fc/2 di ripiegamento [vedi fig. 7.19(d)].


Hr(f)

fc/2

Tc

-fc/2 f

(c)

Xa(f)

A /2

-fc fcfc/2-fc/2

(a)

f0-f0 f

Xδ (f)

A /(2Tc)

-fc fcfc/2-fc/2

(b)

f0-f0 ffc-f0f0-fc

Xr(f)

A /2

-fc fcfc/2-fc/2

(d)

ffc-f0f0-fc

. . . . . .

0

0

0

0

Fig. 7.18. Interpretazione nel dominio della frequenza del fenomeno dell’aliasing (caso di una sinusoide afrequenzaf0 campionata con frequenzafc < 2 f0): (a) spettroXa( f ) originario; (b) spettroXδ( f ) risultante dalcampionamento (in rosso gli impulsi risultanti dalla replicazione); (c) risposta in frequenzaHr( f ) del filtro diricostruzione; (d) spettroXr( f ) del segnale ricostruito.


Xa(f)

f

1

-fc fcfc/2-fc/2

Xδ (f)

(a)

f

1/Tc

-fc fcfc/2-fc/2

(b)

Xr(f), Xa(f)

f

1

-fc fcfc/2-fc/2

(d)

Hr(f)

fc/2

Tc

-fc/2 f

(c)

0

0

0

0

Fig. 7.19.Campionamento e ricostruzione di un segnale con banda praticamente limitata e fenomeno del fol-ding dello spettro: (a) spettro originarioXa( f ); (b) repliche dello spettroXa( f ) (in nero) e spettroXδ( f ) ri-sultante (in rosso); (c) risposta in frequenzaHr( f ) del filtro di ricostruzione; (d) spettroXr( f ) del segnalericostruito (in rosso) e confronto con lo spettro originarioXa( f ) (in nero).


Xδ (f)

f

1/Tc

fc1fc1/2

(a)

f

1/Tc

fc2fc2/2

(b)

2 fc1

fc2 = 2 fc1

Xδ (f)

0

0

Fig. 7.20.Effetto di un sovracampionamento sul folding/aliasing (lo spettroXa( f ) è quello di fig. 7.19): (a) fol-ding dello spettro (in rosso) utilizzando una frequenza di campionamentofc1; (b) folding dello spettro (in rosso)utilizzando una frequenza di campionamentofc2 = 2 fc1. Si noti che nel caso (b) l’effetto del folding/aliasing ètrascurabile.

campion .xa(t) y(n)

Tc

Haa(f)ya(t)

Fig. 7.21.Schema a blocchi del campionamento confiltraggio antialiasing.


Il fenomeno del folding/aliasing può essere reso trascurabilesovracampionando il segnalexa(t),ovvero utilizzando una frequenza di campionamentofc superiore rispetto alla minima frequenza dicampionamento (frequenza di Nyquist). In questo modo le code dello spettro che si sovrappongononella banda di interesse(− fc/2, fc/2) risultano essere più basse. Come mostrato nello schema difig. 7.20, un adeguato sovracampionamento può rendere l’effetto del folding praticamente trascura-bile. Tuttavia, è bene osservare che non è possibile in pratica aumentare a dismisura la frequenza dicampionamento. Innanzitutto, il campionamento di un segnale confc elevata richiede l’impiego dicircuiti elettronici con elevata frequenza di clock; ovviamente, maggiore è la frequenza di clock, mag-giore è il costo del circuito. Inoltre, la frequenza di campionamento rappresenta il numero di campioniestratti dal segnale analogicoxa(t) nell’unità di tempo, pertanto il numero di campioni da memoriz-zare per l’elaborazione digitale di un segnalexa(t) avente durata∆x è pari circa aK = ∆x

Tc= ∆x fc; in

altre parole, l’ingombro di memoria cresce in maniera direttamente proporzionale alla frequenza dicampionamento e, quindi, maggiore èfc, maggiore è l’occupazione di memoria richiesta.

Per ridurre il fenomeno del folding/aliasing, senza incorrere in un significativo incremento nelcosto dei circuiti di campionamento e nell’ingombro di memoria, è necessario filtrare il segnale ana-logico xa(t) prima di effettuare il campionamento. Lo scopo di tale pre-filtraggio è quello di ridurresignificativamente (idealmente, di eliminare) il contenuto spettrale del segnale da campionare all’e-sterno della banda− fc/2≤ f ≤ fc/2. Come mostrato in fig. 7.21, ciò può essere realizzato antepo-nendo al campionatore un filtro passabasso, dettofiltro antialiasing, avente frequenza di tagliofc/2(metà della frequenza di campionamento). In tal modo, come è evidente dalla fig. 7.22, nell’ipotesiche il filtro passabasso sia ideale, il problema del folding/aliasing è completamente eliminato.

La scelta della frequenza di campionamento (e quindi della frequenza di taglio del filtro antialia-sing) di un segnale a banda praticamente limitata dipende dalla particolare applicazione.

� Esempio 7.2 (campionamento di un segnale audio musicale)Considerazioni sperimentali di carattere fi-siologico mostrano che l’orecchio umano può udire segnali costituiti da componenti spettrali contenute nel-l’intervallo di frequenza tra i 20 Hz e i 20 kHz: i suoni con frequenza inferiori ai 20 Hz sono percepiti comevibrazioni, mentre i suoni con frequenza maggiore di 20 kHz (ultrasuoni) non sono percepiti dall’orecchioumano.5 Un segnale audio musicale prodotto da strumenti acustici o elettrici in molti casi possiede componentispettrali a frequenze ben superiori a quelle udibili, e pertanto si tratta di un segnale con banda non rigorosa-mente limitata. Tuttavia, poichè le frequenze superiori ai 20 kHz non sono percepibili dall’uomo, è convenientepre-filtrare il segnale audio mediante un filtro passabasso con frequenza di tagliofc/2 = 20 kHz, in modo daottenere un segnale avente banda (quasi) rigorosamente limitata, che può essere campionato con una frequen-za di campionamento dell’ordine difc = 40 kHz (frequenza di Nyquist), senza alcun problema di aliasing odi folding. Per l’orecchio umano, il segnale in uscita dal filtro antialiasing è praticamente indistinguibile daquello originariamente prodotto dagli strumenti musicali. Notiamo che se non effettuassimo tale filtraggio, lecomponenti non udibili, a frequenze superiori a 20 kHz, per effetto del folding si “ripiegherebbero” all’internodella banda utile, andandosi a sommare alle componenti udibili originariamente presenti in tale banda. Ciòcomporterebbe un peggioramento qualitativo del segnale musicale, direttamente percepibile come un fruscioalle più alte frequenze dello spettro.

In realtà, i sistemi di registrazione su CD adottano una frequenza di campionamento leggermente più altapari a fc = 44.1 kHz, ed i sistemi audio professionali utilizzano frequenze ancora più elevate, pari afc = 48 kHzo multipli. Abbiamo visto in effetti che mediante un sovracampionamento è possibile ridurre gli effetti del fol-ding: vedremo subito dopo che mediante un sovracampionamento è possibile anche migliorare la ricostruzionedel segnale analogico. �

Concludiamo osservando che l’ipotesi di disporre di un filtro ideale antialiasing è ovviamente irreali-stica, e nella pratica bisognerà accontentarsi di un filtro reale, come quello di fig. 6.71, che pertantonon potrà sopprimere perfettamente ma solo attenuare fortemente le componenti spettrali del segnalexa(t) aventi frequenza superiore afc/2. In tal caso, l’uso combinato del sovracampionamento, del

5Tuttavia molti animali, ad esempio i cani, presentano una spiccata sensibilità agli ultrasuoni.


Ya(f)

f

1

fcfc/2

(c)

f

1/Tc

fc

(d)

Yδ (f)

Haa(f)

f

1

fcfc/2

(b)

Xa(f)

f

1

fcfc/2

(a)

fc/20

0

0

0

Fig. 7.22.Effetto del filtraggio antialiasing effettuato sul segnalexa(t) prima del campionamento: (a) spettrooriginario Xa( f ); (b) risposta in frequenzaHaa( f ) del filtro antialiasing ideale; (c) spettroYa( f ) del segna-le all’uscita del filtro antialiasing; (b) spettroYδ( f ) risultante dal campionamento. Si noti che il filtraggioantialiasing (ideale) ha completamente eliminato il folding dello spettro.


Xδ (f)

f-W W

1/Tc


Hr(f)

fc/2

Tc

-fc/2 f

fc+W-fc-W

(a)

(b)

Xr(f)

f-W W

1

(c)

0

0

0

fc-fc

-fc fc

Fig. 7.23.Effetto di una interpolazione non ideale (lo spettroXa( f ) è quello di fig. 7.19): (a) spettroXδ( f )risultante dal campionamento del segnalexa(t); (b) risposta in frequenzaHr( f ) del filtro di ricostruzione (ilfiltro ideale è indicato con linea tratteggiata); (c) spettroXr( f ) del segnale ricostruito. Si noti che il filtro hadistorto la replica fondamentale alle alte frequenze ed ha lasciato passare residui delle repliche a frequenze± fc.

filtraggio antialiasing e di tecniche di elaborazione numerica, che operano direttamente sui campionix(n), consente di ottenere un buon compromesso tra qualità del campionamento e costo/complessitàdei dispositivi.

7.3.2 Interpolazione non ideale

In base al teorema del campionamento, la ricostruzione del segnale TCxa(t) a partire dalla sequenzadei suoi campioni può essere ottenuta utilizzando la serie di Shannon (7.8) ovvero, nel dominio dellafrequenza, un filtro ideale passabasso (7.6). Abbiamo già avuto modo di mettere in evidenza che taletipo di filtro non è fisicamente realizzabile per cui il suo comportamento può essere solo approssimato.

Nella pratica, si ricorre ancora a formule di interpolazione basate sulla (7.9) e sullo schema difig. 7.14 in cui, però, la funzione interpolantehr(t) è la risposta impulsiva di unfiltro reale, ovverofisicamente realizzabile. Consideriamo ad esempio la situazione di fig. 7.23, in cui si utilizza per laricostruzione un filtro reale la cui risposta in frequenzaHr( f ), del tipo di quella di fig. 6.71, appros-sima abbastanza bene quella di un filtro ideale nella banda passanteWp e nella banda oscuraWs,mentre se ne discosta significativamente nella banda di transizioneWt . L’impiego di un filtro reale diinterpolazione comporta due effetti negativi nella ricostruzione del segnale: se l’estensione spettraledel segnalexa(t) non è interamente contenuta nella banda passante del filtro, si ha un’attenuazionedelle componenti ad alta frequenza del segnale analogicoxa(t), che risulterà quindi distorto; inoltre,


t

xZOH(t)


Fig. 7.24. Interpolazione con mantenimento o ZOH[a linea tratteggiata è riportato l’andamento delsegnale originarioxa(t)].

t

xFOH(t)


Fig. 7.25. Interpolazione lineare o FOH [a lineatratteggiata è riportato l’andamento del segnaleoriginarioxa(t)].

se parte delle repliche contigue centrate alle frequenze multiple di quella di campionamento cadononella banda di transizione del filtro, o se il filtro non ha una sufficiente attenuazione in banda oscura,nella ricostruzione saranno presenti dei residui di tali repliche, il cui effetto può essere percepibile,anche se essi cadono fuori dalla banda del segnale originario. Tali effetti negativi si possono ridurresignificativamente scegliendo un filtro di ricostruzione di elevata qualità (e quindi più costoso), aventead esempio una banda di transizione stretta per una data frequenza di campionamento. In aggiunta,è quasi sempre necessario introdurre un certo tasso di sovracampionamento per assicurare una suffi-ciente separazione tra le repliche del segnale campionato, in modo che esse cadano il più possibilenella banda oscura del filtro di ricostruzione.6

In pratica, per ridurre la complessità dei convertitori D/A, si utilizzano tecniche di interpolazionepoco complesse, che tuttavia consentono di approssimare abbastanza bene l’interpolazione ideale,soprattutto se accompagnate da un moderato sovracampionamento. Tra esse, quella più semplice èl’ interpolazione a mantenimento (in inglese,zero-order hold, ZOH), che consiste nello scegliere comefunzione interpolatrice la finestra rettangolare:

hr(t) = rect

(t−Tc/2

Tc

).

In questo caso, come mostrato in fig. 7.24, il segnale ricostruitoxr(t), che è una forma d’onda costantea tratti, è una versione distorta del segnale campionatoxa(t).

Una ricostruzione più accurata del segnale campionato si può ottenere utilizzando l’interpolazionelineare (in inglese,first-order hold, FOH), che consiste nello scegliere come funzione interpolatriceuna finestra triangolare

hr(t) = Λ(

tTc

).

In questo caso, come mostrato in fig. 7.25, il segnale interpolatoxr(t) è costituito da una spezzatache collega i punti corrispondenti a campioni consecutivi del segnale campionato. La giustificazione

6Tuttavia poiché sovracampionare eccessivamente un segnale ha gli aspetti negativi che abbiamo menzionato preceden-temente (maggiore costo ed ingombro di memoria), in molti casi è possibile aumentarevirtualmente la frequenza del segnalecampionato solo ai fini della ricostruzione con una elaborazione effettuata direttamente sui campionix(n). Per i dettagli ditale operazione, nota comeinnalzamento in numerico della frequenza di campionamento o digital oversampling, si vedanoi testi specializzati di elaborazione numerica dei segnali, ad esempio [14].


analitica dell’andamento in fig. 7.25 si ottiene osservando che, nel generico intervallo[nTc,(n+1)Tc],solo due termini contribuiscono nella somma (7.9), ossia:

xr(t) = x(n)Λ[

t−nTc

Tc

]+ x(n+1)Λ

(t− (n+1)Tc

Tc

)= x(n)+ [x(n+1)− x(n)]

(t−nTc

Tc

), ∀t ∈ [nTc,(n+1)Tc] , (7.10)

che rappresenta l’equazione della retta che collega i punti corrispondenti ai campionix(n) e x(n+1).Analizzando la risposta impulsiva dei filtri ZOH e FOH, si nota sono entrambi filtri FIR e quindi sta-bili, ma mentre il filtro ZOH è causale, il filtro FOH non lo è poichéhr(t) non si annulla identicamentepert < 0. D’altra parte, la (7.10) non è un’operazione causale, in quanto per ricavare l’equazione dellaretta nell’intervallo[nTc,(n+1)Tc], si richiede la conoscenza del campionepassato x(n) ma anche diquello futuro x(n+1). Per ottenere un filtro FOH causale, tuttavia, è sufficiente introdurre nellahr(t)un ritardo pari aTc.

Infine, se si confrontano gli andamenti dei segnalixr(t) nel caso di interpolazione ZOH e FOHsi può osservare che nel primo caso il segnale interpolato è discontinuo, mentre nel secondo casoil segnalexr(t) è continuo. Questo comporta che il segnale con interpolazione a mantenimento haun maggior contenuto spettrale significativo alle alte frequenze rispetto al segnale con interpolazionelineare, per cui è meno adatto ad approssimare il segnale a banda rigorosamente limitataxa(t). Talerisultato intuitivo è confermato dallo studio più rigoroso degli effetti nel dominio della frequenza deidue tipi di interpolazione.


Q(x)x(n) xq(n)

Fig. 7.26.Schema a blocchi di un quantizzatore.

7.4 Quantizzazione

A valle del campionamento, il segnale TDx(n) presenterà ampiezze appartenenti in generale ad uninsiemecontinuo di valori; ad esempio, campionando il segnale sinusoidalexa(t) = Acos(2π f0t +ϕ0)si otterrà il segnale TDx(n) = xa(nTc) = Acos(2πν0n + ϕ0), con ν0 = f0Tc = f0/ fc, che potrà as-sumere in linea di principio qualunque valore nell’intervallo reale[−A,A]. Pertanto, il segnalex(n)non può essere ancora considerato digitale, in quanto le sue ampiezze sono dei numeri reali, carat-terizzati dainfinite cifre significative; tali valori non possono direttamente essere memorizzati in unamemoria digitale, costituita da registri di dimensione finita. Per completare allora la conversione A/Ddel segnale, come evidenziato anche dallo schema di fig. 7.2, bisogna discretizzare anche le ampiezzedel segnale TDx(n). Questa discretizzazione prende il nome diquantizzazione, ed il dispositivo chela effettua si chiamaquantizzatore. Pertanto, nella teoria dei segnali il termine “quantizzazione” èsinonimo di “discretizzazione delle ampiezze”.7

Facendo riferimento allo schema di fig. 7.26, il quantizzatore è un sistema TD, avente in ingressoil segnale campionatox(n), ed in uscita il segnale quantizzatoxq(n); notiamo chexq(n), essendo atempo e ad ampiezza discreta, è effettivamente un segnale digitale. Tale sistema può essere descrittomatematicamente dalla relazione i-u:

xq(n) = Q[x(n)] ,

ovvero si tratta di un sistemanon lineare, senza memoria, e invariante temporalmente (una non linea-rità senza memoria, secondo la def. 3.12). La discretizzazione delle ampiezze, in altri termini, avvienecampione per campione, secondo una legge non lineare che non varia nel tempo.

La discretizzazione di un numero reale è un concetto intuitivo: un possibile esempio è l’arro-tondamento del numerox ∈ R ad un valore interoQ(x) ∈ Z, che si effettua solitamente in tre modidiversi: arrotondamento al numero intero precedente (approssimazione per difetto), al numero interosuccessivo (approssimazione per eccesso), al numero intero più vicino (arrotondamento propriamentedetto).8 L’errore di arrotondamentoe(x) = Q(x)− x vale al massimo 1 (in modulo) per l’approssima-zione per difetto o per eccesso, e 1/2 per l’arrotondamento, il che evidenzia il limite principale di talearrotondamento, ovvero il fatto che abbia una precisione fissa, non modificabile.

Per generalizzare allora questo concetto, possiamo introdurre unpasso di quantizzazione ∆ ∈R+,e discretizzare il numerox ∈ R nel modo seguente: qualsiasi valorex ∈ (0,∆), (dettointervallo diquantizzazione) viene rappresentato come il valore discretoq = Q(x) = ∆

2 (detto livello di quantiz-zazione o di restituzione), scelto come il punto medio dell’intervallo(0,∆). La scelta del livello direstituzione come il punto medio dell’intervallo di quantizzazione (e non come uno dei due estremi)è legata all’osservazione precedente che a tale scelta corrisponde il minimo errore di arrotondamen-to, pari al più a∆/2 in modulo. Ovviamente, lo stesso procedimento si potrà ripetere per l’intervallo

7Il termine “quantizzare” deriva dalla meccanica quantistica, secondo la quale alcune grandezze fisiche (ad esempio, laluce) non variano in maniera continua, ma perquanti, ovvero in maniera discreta (il quanto di luce è il fotone). Notiamo chenel linguaggio comune, a volte “quantizzare’ è utilizzato come sinonimo di “quantificare”: tale uso, purtroppo diffuso, èscorretto, poiché quantificarenon ha niente a che vedere con la discretizzazione, implicita invece nel termine “quantizzare”

8Tali arrotondamenti sono realizzati ad esempio in Matlab mediante le funzionifloor, ceil e round,rispettivamente.

7.4 Quantizzazione 419

∆ 2∆ =Xmax x

Q(x)

-∆-2∆ =-Xmax

q3=∆ /2

q4=3∆ /2

q1=-3∆ /2

q2=-∆ /2

00

01

10

11

Fig. 7.27.Caratteristica ingresso-uscita di un quantizzatore conM = 4 livelli di quantizzazione (con la linea tratteggiata èrappresentata la retta di equazioney = x).

(∆,2∆), e più in generale per l’intervallo(k∆,(k+1)∆), conk ∈Z. Pertanto, con riferimento al segna-le x(n), supponiamo di considerare solo i valori di ampiezza appartenenti all’intervallo[−Xmax,Xmax],che suddividiamo inM intervalli di quantizzazione, ponendo∆ = 2Xmax/M. Ripetendo allora i ragio-namenti precedenti per ciascun intervallo di quantizzazione, possiamo costruire la cosiddettacaratte-ristica i-u Q(x) del quantizzatore, riportata in fig. 7.27 nel caso molto semplice in cuiM = 4. Notiamoche la funzione non lineareQ(x) ha un caratteristico andamento a scalini, che si “appoggiano” sullaretta di equazioney = x; in altri termini, il quantizzatore (sistema non lineare) cerca comunque diapprossimare il comportamento del sistema identico (sistema lineare). Osservando la caratteristica i-udi fig. 7.27, notiamo che qualsiasi valore assunto dal segnale nell’intervallo(−Xmax,Xmax) viene di-scretizzato in uno degliM = 4 possibili livelli di restituzione, dati daq1 =−3

2∆, q2 =−12∆, q3 = 1

2∆,q4 = 3

2∆. PoichéM = 4 livelli possono essere codificati conb = log2 M = 2 bit, ogni campione delsegnale quantizzatoxq(n) potrà in effetti essere rappresentato in binario da una stringa dib = 2 bit.In fig. 7.27, in particolare, tale associazione tra livelli di quantizzazione e stringhe di bit è effettuatautilizzando la cosiddettacodifica naturale,9 ovvero numerando i livelli in binario a partire da quelloinferiore, per cui

q1 =−3∆2 → 00, q2 =−∆

2 → 01, q3 = ∆2 → 10, q4 = 3∆

2 → 11.

Al fine della rappresentazione binaria, è conveniente scegliere in generaleM = 2b (potenza di due),in modo che tale rappresentazione siaefficiente, nel senso che ciascuna delle 2b stringhe dib bitè associata ad uno degliM livelli di quantizzazione. Se, invece,M non fosse una potenza di due,sarebbe necessario utilizzare un numerob di bit tale che 2b > M, per cui non tutte le 2b stringhe di bitverrebbero utilizzate per rappresentare gliM livelli di quantizzazione (2b−M stringhe risulterebberoinutilizzate in questo caso), e tale scelta risulterebbe evidentemente inefficiente.

9Altre scelte per la codifica sono ovviamente possibili (ad esempio, codifica incomplemento a due o codifica insegno emodulo), ma la scelta della codifica più opportuna è strettamente legata all’architettura del DSP utilizzato per l’elaborazionedel segnale digitale (fig. 7.1), ed esula pertanto dagli scopi di questo testo.


Xmax x

Q(x)

. . .

. . .

-Xmax

qM

q1

Rg RsRs

Fig. 7.28.Caratteristica ingresso uscita di un quantizzatore conM = 16 livelli di quantizzazione. Nel grafico sono evidenziate laregione granulareRg e la regione di sovraccaricoRs.

Con riferimento alla conversione A/D di fig. 7.2, notiamo che i campionix(n) si presentano ineffetti all’ingresso del quantizzatore con una velocità pari afc campioni al secondo (fc è la frequenzadi campionamento). Poiché ogni campione viene codificato conb bit, la velocità di tale flusso di bitall’uscita del quantizzatore, chiamatabit-rate, sarà pari arb = fcb bit/s. Pertanto, se si effettua anchela codifica binaria, il segnale analogicoxa(t) viene convertito in un flusso di bit con velocitàrb, cioèin un vero e proprio segnale digitale binario.

Abbiamo discusso finora il comportamento del quantizzatore solo all’interno della regioneRg =[−Xmax,Xmax], chiamataregione granulare, caratterizzata dall’andamento a gradini della funzioneQ(x); tuttavia, bisogna prevedere l’eventualità che il segnale possa anche assumere valori superiori inmodulo adXmax. Pertanto, la funzioneQ(x) va estesa anche alla regioneRs =]−∞,Xmax[∪]Xmax,+∞[,chiamataregione di sovraccarico (in inglese,overloading). Il modo più semplice per fare ciò, senzaalterare il numeroM di livelli, è quello di estendere il primo e l’ultimo livello di restituzione, comefatto in fig. 7.28 per un quantizzatore conM = 16 livelli, in modo che essi rappresentino i livelli direstituzione del segnale quando la sua ampiezza cade inRs. Per effetto di questa scelta, osserviamoche inRs la caratteristica i-u del quantizzatore non segue più la legge a gradini, ma è invece costante(si dice che il quantizzatore va in sovraccarico o in “saturazione”).

Un quantizzatore, avente caratteristica i-u come quelle di fig. 7.27 o fig. 7.28 si diceuniforme,perché il passo di quantizzazione∆ è lo stesso per tutti gli intervalli di quantizzazione; si dice inol-tre simmetrico perché gli intervalli di quantizzazione (e conseguentemente i livelli di restituzioneq1,q2, . . . ,qM) sono simmetricamente disposti intorno allo zero; infine, esso si dice anchesenza re-stituzione dello zero, in quanto, per la simmetria, tra i livelli di restituzione non esiste il livello zero,per cui l’uscita del quantizzatore non può mai essere nulla: alcuni commenti sull’applicabilità e leconseguenze di queste ipotesi sono effettuati al termine della sezione.

Avendo descritto il comportamento i-u del quantizzatore, passiamo ora ad analizzare le sue pre-stazioni ed a fornire dei semplici criteri di dimensionamento. A differenza del campionamento, ladiscretizzazione della ampiezze effettuata dal quantizzatore introduce una degradazione irreversibiledel segnale, che non può essere più recuperata dal convertitore D/A, che si limita ad effettuare (fig. 7.3)


x(n) xq(n)

e(n)

Fig. 7.29.Modello additivo per il quantizzatore:si noti che l’erroree(n) dipende dal segnale diingressox(n).

l’interpolazione del segnale. Pertanto, tale degradazione va contenuta il più possibile, secondo criteridi qualità che dipendono dalle applicazioni. L’entità della degradazione dipende evidentemente daiparametri caratteristici del quantizzatore, ovvero daM, Xmax, b, ∆. Tali parametri non sono tutti indi-pendenti, in quanto esistono delle relazioni tra essi: ad esempio, risultaXmax = M

2 ∆ e M = 2b, per cuinel progetto è sufficiente individuare due soli parametri, ad esempioXmax e b.

Per valutare l’effetto della scelta di tali parametri sulle prestazioni del quantizzatore, introduciamoil cosiddettoerrore di quantizzazione, definito come

e(n) = xq(n)− x(n) = Q[x(n)]− x(n) , (7.11)

ovvero come la differenza tra l’uscita e l’ingresso del quantizzatore. Sulla base della (7.11), è possibilescrivere evidentemente

xq(n) = x(n)+ e(n) ,

che ammette l’interpretazione di fig. 7.29, in cui il quantizzatore è assimilato ad un sommatore a dueingressix(n) ede(n). In questo senso, si parla dell’erroree(n) come delrumore di quantizzazione, chesi aggiunge al segnalex(n) determinando il segnale quantizzatoxq(n). Si tenga presente, però, che inmodelli simili a quello di fig. 7.29, il “rumore” ha solitamente un’origineindipendente dal segnale:nel nostro caso, invece, il disturbo dipende fortemente dal segnalex(n), come evidenziato chiaramentedalla (7.11).

L’errore di quantizzazione ha caratteristiche completamente diverse nelle due regioniRg e Rs

definite in precedenza:

• nella regione granulareRg, in cui |x(n)| ≤ Xmax, risulta evidentemente

|e(n)| ≤ ∆2 , (7.12)

ovvero l’errore granulare è limitato, con massima ampiezza (in valore assoluto) pari∆2 ; nella

regione granulare, pertanto, l’errore massimo cresce proporzionalmente a∆;

• nella regione di sovraccaricoRs, in cui |x(n)|> Xmax, l’ errore di sovraccarico non è limitato, mapuò crescere (in valore assoluto) senza limiti, al crescere dell’ampiezza del segnale di ingresso.

Dal momento che la quantizzazione è un’elaborazione irreversibile, è particolarmente importante con-tenere l’errore di sovraccarico, in quanto esso non è limitato, e quindi degrada il segnale in manierasevera. L’estensione della regione di sovraccaricoRs dipende in effetti solo dalla scelta diXmax,per cui l’entità del sovraccarico dipende solo da questo parametro. Sfruttando il fatto che qualun-que segnale di ingresso in pratica è limitato in ampiezza, con valore massimo (in modulo) dato daxmax = maxn∈Z |x(n)|, per evitare il sovraccarico sarebbe sufficiente scegliereXmax≥ xmax. Ad esem-pio, se il segnalex(n) è ottenuto dal campionamento di una sinusoide di ampiezzaA, scegliendo


Xmax≥ A il sovraccarico non si verificherà mai. Va detto, però, che tale esempio è ottimistico, inquanto i segnali analogici tipicamente sottoposti alla conversione A/D e quindi alla quantizzazionesono segnali di informazione, e quindi non hanno un andamento così semplice e regolare come quellodi una sinusoide, ma tendono a presentare una forte variabilità temporale, come ad esempio il se-gnale vocale di fig. 1.9. Segnali del genere, in effetti, assumono per gran parte del tempo valori diampiezza piuttosto contenuti, con brevi escursioni (positive o negative) di ampiezza molto elevata.Dimensionare allora il valoreXmax del quantizzatore in base al massimo valore del segnale ha la se-guente controindicazione: per un fissato numero di livelliM, poiché∆ = 2Xmax/M, questo comporteràvalori di ∆ piuttosto elevati, e quindi una cattiva approssimazione del segnale nella regione granulare[si ricordi che l’errore massimo cresce proporzionalmente a∆ nella regione granulare, come stabilitodalla (7.12)].

È necessario allora trovare un criterio quantitativo per scegliere valori diXmax più contenuti, ed inparticolare più piccoli dixmax, accettando così che il quantizzatore possa trovarsi in sovraccarico perbrevi intervalli di tempo, ma migliorando l’approssimazione del segnale nella regione granulare. Unbuon criterio pratico è quello di dimensionareXmax, anziché rispetto adxmax, in base alvalore efficace

xrms =√

Px del segnalex(n), con Px�=⟨x2(n)

⟩potenza del segnale in ingresso al quantizzatore.

Il motivo di tale scelta è chexrms, essendo ottenuto mediante una media temporale, non si limitaa portare in conto esclusivamente i valori di ampiezza assunti dal segnale, ma “pesa” tali valori inaccordo alla frazione di tempo per cui questi valori sono assunti; pertanto, eventuali picchi di brevedurata contribuiscono in maniera contenuta al valore dixrms. In definitiva, il valore efficace risulta unottimo e realistico indicatore del livello medio di un dato segnale.10

Per limitare l’errore di sovraccarico è conveniente allora scegliereXmax in modo che siapropor-zionale adxrms. A tale scopo, si definisce ilfattore di carico, dato da

kc�=

Xmax

xrms. (7.13)

Maggiore è il fattore di caricokc, maggiore è il livelloXmax rispetto adxrms, e quindi minore è lafrazione di tempo durante il quale il segnale porta il quantizzatore ad operare nella regioneRs disovraccarico. Osserviamo che il fattore di carico dipende sia dal quantizzatore (attraversoXmax) maanche dal segnale, attraversoxrms. Appare chiaro che, all’aumentare dikc, il sovraccarico si riduce;la discussione precedente dovrebbe chiarire, tuttavia, che ad un aumento dikc, e quindi di Xmax,corrisponde un proporzionale aumento di∆ (a parità diM), per cui l’approssimazione nella regionegranulareRg peggiora. È chiaro, allora, che non conviene sceglierekc e quindiXmax troppo elevato.Modellando il segnalex(n) come un processo aleatorio con assegnata densità di probabilità, è possibiledimensionare il fattore di carico in modo da garantire una determinataprobabilità di sovraccarico,definita comePs = P[|x(n)|> Xmax]. Più semplicemente, il valorekc = 4 è generalmente consideratoaccettabile e, tra i progettisti di convertitori A/D, tale caso viene denominatofour-sigma loading.11

Una volta scelto un valore adeguato perkc, nel seguito dell’analisi faremo l’ipotesi semplificatache il quantizzatore non vada mai in sovraccarico, per cui riterremo che la (7.12) siasempre verificata(notiamo che questo vale a rigore solo perXmax≥ xmax o, al limite, perkc→ +∞). Questa semplifi-cazione consente di misurare la bontà della quantizzazione attraverso il seguente parametro sintetico,

10Si prova facilmente chexrms≤ xmax, con uguaglianza se e solo se|x(n)| = xmax, ∀n ∈ Z; il rapportokp = xmaxxrms≥ 1

prende il nome difattore di picco o fattore di cresta del segnale, ed è tanto più grande quanto più il segnale presenta fortiescursioni rispetto al valorexrms (per una sinusoide, ad esempio,kp =

√2).

11Si può dimostrare, utilizzando la disuguaglianza di Chebishev [15], che un valore dikc = 4 assicura che il quantizzatorevada in sovraccarico per non più del 6.25% del tempo (corrispondente ad una probabilità di sovraccaricoPs ≤ 1

k2c

= 116 =

0.0625).


n

e(n)

∆ /2

-∆ /2

Fig. 7.30.Andamento dell’errore di quantizzazio-nee(n) (si suppone che il quantizzatore non vadamai in sovraccarico).

n

e(n)

∆ /2

-∆ /2

Fig. 7.31.Andamento dell’errore di quantizza-zione e(n) nel caso peggiore (si suppone che ilquantizzatore non vada mai in sovraccarico).

denominatorapporto segnale-rumore (SNR) di quantizzazione:

SNR�=

Px

Pe=

⟨x2(n)

⟩〈e2(n)〉 =

potenza segnale in ingressopotenza errore quantizzazione

, (7.14)

dove l’errore di quantizzazione viene assunto coincidente con l’errore nella regione granulare (erroregranulare). In effetti, la definizione di SNR si basa sull’interpretazione del quantizzatore fornita infig. 7.29, in quanto esso misura il rapporto tra la componente di segnale utile e quella di rumorepresente nel segnale quantizzatoxq(n). Un’interpretazione equivalente dell’SNR è quella secondo cuiesso coincide con ilreciproco del rapporto tra la potenza dell’errore e la potenza del segnale, quindiè una sorta di errore relativo di quantizzazione. Tale scelta è del tutto naturale, poiché non avrebbesenso valutare la potenza dell’errorePe senza rapportarla in qualche modo alla potenza del segnalePx. Ad esempio, il valorePe = 1 può considerarsi “piccolo” sePx = 100 (in questo caso si ha unSNR di 100), mentre è decisamente “grande” sePx = 0.01 (in questo caso si ha un SNR di 0.01). Neicasi pratici, essendo il reciproco dell’errore relativo, l’SNR dovrà assumere valori elevati (il valoreeffettivo dipenderà dal livello di accuratezza richiesto nella specifica applicazione di interesse).

Poiché abbiamo ipotizzato che il quantizzatore non vada in sovraccarico, l’erroree(n) coincidecon l’errore granulare, e quest’ultimo cresce proporzionalmente con∆ [si veda (7.12)], ed in definitivapossiamo prevedere che la sua potenzaPe crescerà proporzionalmente con∆2. Per giungere, tuttavia,a criteri di dimensionamento quantitativi, dovremo trovare una precisa relazione matematica traPe

e ∆2. Notiamo che l’andamento effettivo die(n) non è noto a priori, in quanto esso dipende dallospecifico segnale di ingresso; pertanto, è naturale modellaree(n) come un segnale aleatorio a TD, icui valori soddisfano la disuguaglianza (7.12): un tipico andamento die(n) è riportato in fig. 7.30.Dalla (7.12), si ha:

e2(n)≤ ∆2

4 ⇒ Pe =⟨e2(n)

⟩≤ ⟨∆2

4

⟩= ∆2

4 ,

ovvero in definitiva

Pe ≤ ∆2

4�= Pe,max.

SostituendoPe,max = ∆2

4 in luogo diPe nella (7.14) si perviene ad un valore di SNR pessimistico (piùpiccolo) rispetto a quello effettivo. Progettare il quantizzatore sulla base dell’SNR peggiore (cosiddet-to worst case), sebbene sia un criterio comunemente adottato nell’ingegneria, porterebbe nel nostrocaso a sottodimensionare∆ e quindi, per un fissatoXmax, ad un sovradimensionamento del numeroMdi livelli. Notiamo che il caso peggiore corrisponde a ipotizzare (situazione piuttosto irrealistica) che


e(n) = ±∆2 , ovvero che l’errore sia massimo (in modulo) in ogni istante di tempo, e quindi per ogni

campione (fig. 7.31) Più realisticamente, è ragionevole ritenere che l’errore di quantizzazionee(n)tenda ad assumerequalsiasi valore nell’intervallo(−∆/2,∆/2), senza preferenza per alcun valoreparticolare di questo intervallo. Esprimendo questo concetto in termini probabilistici, ciò corrispon-de a modellaree(n) come unavariabile aleatoria a media nulla, avente una distribuzioneuniformenel’intervallo (−∆/2,∆/2). In questo caso, allora, possiamo calcolarePe effettuando, anziché unamedia temporale, una media statistica, e cioè come il valore quadratico medio die(n):

Pe = E[e2(n)] .

Ricordando [15] che, per un variabile aleatoria a media nulla, il valor quadratico medio coincide con

la varianza, e che quest’ultima, per una variabile uniforme in(a,b), vale (b−a)2

12 (si veda [15]), si ha indefinitiva:

Pe = E[e2(n)] =∆2

12.

Notiamo che il valore di potenzaPe calcolato assumendo chee(n) abbia una distribuzione uniformeè pari aPe = 1

3Pe,max, ovvero èun terzo della potenza corrispondente al caso peggiore.Sostituendo nella (7.14) si trova allora

SNR=Px

Pe=

12Px

∆2 .

Ricordando poi chePx = x2rms, che∆ = 2Xmax

M , e cheM = 2b, si ha

SNR=Px

Pe=

12x2rmsM

4X2max

=3x2

rms2b

X2max

= 322b

k2c

,

dove abbiamo sfruttato la definizione (7.13) del fattore di caricokc. Il rapporto segnale-rumore ècomunemente espresso in dB, come

SNRdB�= 10 log10SNR,

per cui utilizzando tale formulazione si ha:

SNRdB = 10 log10

(3

22b

k2c

)da cui, sfruttando note proprietà del logaritmo, si ottiene

SNRdB = 10 log103+20b log102−20log10kc ,

ed infine, ponendo 10 log103≈ 4.77, 20 log102≈ 6.02 e[kc]dB�= 20log10kc, si ha

SNRdB = 6.02b− [kc]dB +4.77. (7.15)

L’equazione (7.15) è la formula fondamentale che esprime il SNR di quantizzazione in funzione didue parametri caratteristici del quantizzatore, il numerob di bit ed il fattore di caricokc (espresso indB). Poiché in pratica il fattore di carico viene fissato preliminarmente per contenere il sovraccarico(ad esempio, al valore tipicokc = 4 corrispondente circa a 12 dB), la (7.15) consente di determinarein definitiva il numerominimo di bit necessari per ottenere un dato SNR, ovvero un dato livello diqualità della quantizzazione, come mostrato nel seguente esempio.


� Esempio 7.3 (dimensionamento di un quantizzatore )Supponiamo di voler dimensionare un quantizzato-re per un segnale conxrms= 10 mV e tale da garantire un SNR di almeno 85 dB. In primo luogo, in mancanza diinformazioni più specifiche sulla massima probabilità di sovraccarico richiesta, scegliamo un fattore di caricokc = 4, il che significaXmax = 4xrms = 40 mV. Sostituendokc = 4 nella formula (7.15) del SNR troviamo:

SNRdB = 6.02b−7.27

e quindi si ha:

SNRdB≥ 85dB ⇒ 6.02b−7.27≥ 85 ⇒ b≥ 85+7.276.02

= 15.33

Per soddisfare la specifica sul SNR, tenendo conto cheb deve essere intero, bisogna scegliere perb il più piccolovalore intero superiore a 15.33, ovverob = 16. In effetti, sostituendo questo valore nella (7.15), si ha un valoreeffettivo di SNR pari a 89.05 dB; in altri termini, il quantizzatore avrà prestazioni migliori di quelle minimepreviste dalle specifiche di progetto, ovvero sarà leggermente sovradimensionato. �

La (7.15) evidenzia che l’SNR si incrementa di circa 6dB per ogni incremento di 1 bit (ovvero perogni raddoppio del numeroM dei livelli); questa legge prende il nome di “legge dei 6 dB/bit”, edè una regola pratica molto utilizzata per ricavare rapidamente una stima del numero di bit necessariad ottenere un dato SNR. La (7.15) mostra anche che un aumento del fattore di caricokc determina,a parità dib, un peggioramento del SNR; questo spiega perché non convenga scegliere un valoredi kc troppo elevato. La (7.15) sembrerebbe evidenziare, simmetricamente, che diminuirekc possaportare ad un miglioramento del SNR: notiamo tuttavia che questo è vero fin tanto che il sovraccarico(che aumenta al diminuire dikc) può essere considerato trascurabile, ipotesi fondamentale per lavalidità della (7.15). Queste due considerazioni mostrano in definitiva chekc va fissato ad un valoredi compromesso tra l’esigenza di contenere il sovraccarico e quella di non degradare il SNR.

Osserviamo infine che un quantizzatore progettato per un datokc, potrebbe trovarsi ad operarein condizioni di disadattamento, ovvero conkc diversi da quelli di progetto. Tali variazioni dikc,poichéXmax è fissato, possono essere imputabili solo a variazioni dixrms, cioè del livello di potenzadel segnale di ingresso. Avendo notato che variazioni sia in aumento che in diminuzione dikc, permotivi diversi, hanno un effetto deleterio sulle prestazioni, si intuisce come un aspetto essenziale nellaquantizzazione e più in generale nella conversione A/D sia garantire che il valore RMS (e quindi lapotenza) del segnale di ingresso sia quello assunto in fase di progetto. Questo requisito si può ottenereprevedendo, prima della conversione A/D, un opportuno stadio dicondizionamento del segnale, valea dire un preamplificatore avente guadagno variabile (e possibilmente adattativo).

Concludiamo la trattazione del quantizzatore esaminando criticamente le ipotesi fatte preceden-temente, e cioè quelle di quantizzatore uniforme, simmetrico e senza restituzione dello zero. Perquanto riguarda la simmetria, notiamo che tale assunzione ha senso per segnali che hanno escursionidi ampiezza simmetriche rispetto allo zero, caso molto frequente in pratica. Se evidentemente il se-gnale assumesse solo valori positivi, avrebbe senso scegliere gli intervalli di quantizzazione tutti sulsemiasse positivo.

La scelta di un passo di quantizzazione uniforme, invece, è appropriata solo per segnali che pre-sentino una distribuzione uniforme (in senso probabilistico) delle ampiezze. I segnali tipici di in-formazione, come abbiamo visto precedentemente, presentano invece un andamento in cui i valoripiccoli sono assunti per una frazione elevata di tempo, ed i valori grandi per una frazione piccola.Questo evidentemente porta alla necessità diadattare il passo di quantizzazione all’ampiezza del se-gnale, scegliendo un passo più piccolo per rappresentare adeguatamente i valori piccoli, ed un passopiù grande per rappresentare adeguatamente i valori più grandi. In questo modo, si cerca di ottenerelo stesso errore relativo per tutti i valori del segnale di ingresso. Nella pratica, quindi, il quantizzatoreuniforme è raramente la scelta ottimale, tuttavia esso è comunemente utilizzato ad esempio nella con-versione A/D dei segnali musicali. Nelle applicazioni telefoniche, invece, si utilizzano tipicamente


quantizzatorinon uniformi, ottenuti mediante una pre-elaborazione non lineare del segnale vocale,12

seguita da una quantizzazione uniforme.Infine, la scelta di non restituire lo zero è ovviamente in accordo con l’ipotesi che i livelli di re-

stituzione siano in numero pari e simmetricamente disposti rispetto allo zero. Questa scelta presentatuttavia il seguente svantaggio pratico: se all’ingresso del convetitore A/D è presente il segnale nullo,a causa di piccoli disturbi presenti in ingresso (rumore termico), in uscita dal quantizzatore avremocomunque un segnalexq(n) = e(n), dovee(n) ha tipicamente l’andamento riportato in fig. 7.31, ov-vero un segnale che oscilla tra i valori±∆/2. Questo genera un disturbo, noto comeidle channelnoise (ICN) (letteralmente, “rumore da canale spento”) che, sebbene di piccola entità, può essere per-cepibile, visto che il segnale di ingresso è completamente assente; ad esempio, in una conversazionevocale, questo disturbo potrebbe essere percepito come un crepitio durante le pause della conversazio-ne. In molti casi, allora, è conveniente alterare la perfetta simmetria del quantizzatore, introducendola restituzione del livello zero, in modo da annullare l’ICN.

12Tale pre-elaborazione avviene mediante una legge non lineare nota comeµ-law (negli USA) oppureA-law (in Europa).


7.5 Esercizi proposti

Esercizio 7.1 Si campiona con periodoTc il segnale a tempo continuoxa(t) = cos(4000πt), ottenendo ilsegnale a tempo discretox(n) = cos(πn/3).

(a) Determinare un possibile valore perTc.

(b) La scelta diTc effettuata al punto (a) è unica? Se sì, spiegare perché, altrimenti individuare altri possibilivalori di Tc compatibili con i dati del problema.

Risultato: (a)Tc = 1/12000; (b) non unica, esistono infiniti valori diTc, dati daTc = (2k+1)/12000, conk ∈N.

Esercizio 7.2 Determinare la minima frequenza di campionamento (se esistente) per ricostruireperfettamenteil segnalexa(t) a partire dai suoi campioni, nei seguenti casi:

(a) xa(t) = sinc(t);(b) xa(t) = sinc2(t);(c) xa(t) = sinc[2(t−0.5)]+sinc[2(t +0.5)];(d) xa(t) = sinc(3t)u(t);(e) xa(t) = e−|t| ∗sinc(t);(f) xa(t) = e−|t| sinc(t).

Risultato: (a) fc,min = 1; (b) fc,min = 2; (c) fc,min = 2; (d) non esiste; (e)fc,min = 1; (f) non esiste.

Esercizio 7.3 Si consideri il campionamento del segnalexa(t) = cos(2π f0t + ϕ0) effettuato alla frequenza diNyquist fc = 1/Tc = 2 f0.

(a) Calcolare il segnale TDx(n) = xa(nTc) perϕ0 = 0 e perϕ0 = π2 .

(b) Utilizzando i risultati del punto (a), ritenete che la frequenza di Nyquist sia adeguata per la corretta ri-costruzione del segnale per unqualunque valore diϕ0? Se rispondete sì, fornite una giustificazione. Serispondete no, individuate la minima frequenza di campionamento necessaria per la corretta ricostruzionedel segnalexa(t).

Risultato: (a) perϕ0 = 0, x(n) = (−1)n; perϕ0 = π2 , x(n) = 0.

Esercizio 7.4 I seguenti segnali sono campionati con frequenzafc = 1/Tc = 4:

xa,1(t)=−sin(14πt), xa,2(t)=−sin(6πt), xa,3(t)= sin(2πt), xa,4(t)= sin(10πt), xa,5(t)= sin(18πt).

Mostrare che i segnali TDxi(n) = xa,i(nTc), i = 1,2, . . . ,5, ottenuti mediante il campionamento, coincidono.

Risultato: xi(n) = sin(2πn/4), i = 1,2, . . . ,5.

Esercizio 7.5 Con riferimento allo schema di figura, il campionamento è effettuato a frequenzafc = 1 kHz(senza filtraggio antialiasing) ed il filtro di ricostruzione è ideale con frequenza di tagliofc/2 e guadagno 1/ fc.

xa(t) � campion.

�

fc

�x(n)ricostr.

�

fc

� xr(t)

Determinare il segnale ricostruitoxr(t) per i seguenti segnalixa(t) (t è espresso in secondi):


(a) xa(t) = cos(2π400t);(b) xa(t) = 1+cos(2π800t);(c) xa(t) = 2 cos(2π200t)+3 cos(2π800t).

Ripetere il calcolo supponendo di sottoporrexa(t) a filtraggio antialiasing prima del campionamento (si sup-ponga di utilizzare un filtro ideale con frequenza di tagliofc/2.

Risultato: (a) xr(t) = xa(t); (b) xr(t) = 1+cos(2π200t); (c) xr(t) = 5cos(2π200t); se si effettua il filtraggio

antialiasing i risultati sono invece: (a)xr(t) = xa(t); (b) xr(t) = 1; (c) xr(t) = 2cos(2π200t).

Esercizio 7.6 Si consideri il segnale

xa(t) = 4+3cos(πt)+2cos(2πt)+cos(3πt) ,

cont espresso in millisecondi.

(a) Determinare la minima frequenza di campionamento (frequenza di Nyquist) affinché non si verifichi alia-sing nella ricostruzione dixa(t).

(b) Supponendo di campionare il segnale allametà della frequenza di Nyquist determinata al punto (a), deter-minare il segnale ricostruitoxr(t) (si assuma una ricostruzione ideale).

Risultato: (a) fc > 3 kHz; (b) campionando afc = 1.5 kHz si haxr(t) = 5+5cos(πt).

Esercizio 7.7 Il segnale

xa(t) = sin(πt)+4sin(3πt)cos(2πt) ,

con t in millisecondi, è campionato confc = 3 kHz. Determinare il segnale ricostruitoxr(t) (si assuma unaricostruzione ideale).

Risultato: xr(t) = sin(πt).

Esercizio 7.8 Il segnale

xa(t) = sin(6πt)[1+2cos(4πt)] ,

con t in millisecondi, è campionato confc = 4 kHz. Determinare il segnale ricostruitoxr(t) (si assuma unaricostruzione ideale).

Risultato: xr(t) = sin(2πt).

Esercizio 7.9 Con riferimento allo schema di figura,xa(t) è un segnale audio (t è in millisecondi):

xa(t) = sin(10πt)+sin(20πt)+sin(60πt)+sin(90πt) ,

che viene sottoposto a filtraggio antialiasingHaa( f ), campionato afc = 40 kHz e successivamente ricostruitoidealmente.

xa(t) � Haa( f ) �ya(t)campion.

�

fc

�y(n)ricostr.

�

fc

� yr(t)

Determinare il segnale ricostruitoyr(t) nei seguenti casi.


(a) in assenza di filtraggio antialiasing (Haa( f ) = 1);

(b) quandoHaa( f ) è un filtro ideale passabasso con frequenza di taglio 20 kHz;

(c) quandoHaa( f ) è un filtro reale passabasso con una risposta in ampiezza pari ad 1 fino alla frequenza 20kHz ed un roll-off di 48 dB/ottava oltre 20 kHz (si ignori la risposta in fase del filtro).

Risultato: (a) yr(t) = 2sin(10πt); (b) yr(t) = sin(10πt)+sin(20πt); (c) yr(t) = (1+1.56·10−3)sin(10πt)+(1−3.98·10−2)sin(20πt).

Esercizio 7.10 Si vuole campionare un segnale audioxa(t) a banda non rigorosamente limitata, per il quale lamassima frequenza di interesse è 20 kHz. Per limitare l’aliasing si utilizza un filtro RC:

Haa( f ) =1

1+ j( f / f3).

(a) Perfc = 44 kHz, determinare la frequenza di tagliof3 del filtro in modo che le componenti di aliasing nellabanda di interesse siano attenuate in ampiezza di almeno 20 dB. Valutare inoltre la massima attenuazionedel segnale all’interno della banda di interesse.

(b) Ripetere i calcoli del punto (a) perfc = 176 kHz (“4 x oversampling”), e discutere perché la secondasoluzione sia preferibile rispetto alla prima.

Risultato: (a) f3 = 2.41 kHz,|Haa(20 kHz)|=−18.4 dB; (b) f3 = 15.7 kHz, |Haa(20 kHz)|=−4.19 dB.

Esercizio 7.11 Con riferimento allo schema di figura, il segnale (cont in millisecondi)

xa(t) = 3cos(100πt)+2sin(250πt) ,

viene campionato a frequenzafc e ricostruito dai campioni utilizzando un filtro passabasso avente frequenza ditaglio fr/2 e guadagno 1/ fc ( fr �= fc).

xa(t) � campion.

�

fc

�x(n)ricostr.

�

fr

� xr(t)

(a) Determinare il segnalexr(t) se fc = 400 kHz efr = 200 kHz.

(b) Determinare il segnalexr(t) se fc = 200 kHz efr = 400 kHz.

Risultato: (a) xr(t) = 3cos(100πt); (b) xr(t) = 3cos(100πt)+2sin(250πt)−2sin(150πt)+3cos(300πt).

Esercizio 7.12 Con riferimento allo schema di figura, il campionamento è effettuato a frequenzafc = 15 kHz(senza filtraggio antialiasing), il sistema TD realizza la trasformazioney(n) = 1+ x(n)+ x2(n), e la ricostru-zione avviene con un filtro passabasso ideale avente frequenza di tagliofc/2 e guadagno in continua 1/ fc

(interpolazione ideale).

xa(t) � campion.

�

fc

�x(n) sistemaTD

�y(n)ricostr.

�

fc

� yr(t)


Nell’ipotesi chexa(t) = 1+cos(2π f0t), con f0 = 10 kHz, determinarey(n) e il segnale ricostruitoyr(t).Risultato: y(n) = 7

2

[1+cos

(4πn

3

)].

Esercizio 7.13 Con riferimento allo schema di figura, i segnalixa,1(t) edxa,2(t) sono entrambi segnali passa-basso a banda rigorosamente limitata, aventi bandamonolatera pari, rispettivamente, aW1 eW2, il campiona-mento è ideale (senza filtro antialiasing), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale con frequenzadi taglio fc/2 e guadagno in continua 1/ fc.

xa,1(t) �⊗ ��

xa,2(t)

y(t)camp.

�

fc

�y(n)ricostr. � yr(t)

(a) Determinare ilminimo valore della frequenza di campionamentofc per la perfetta ricostruzione del segnaley(t) a partire dai suoi campioniy(n).

(b) Nell’ipotesi chexa,1(t) = cos(2π3t) (tempi in ms),xa,2(t) = cos(2π5t) (tempi in ms),fc = 10 kHz, stabilirese la condizione determinata al punto (a) è verificata, e determinare in ogni caso l’espressione esplicita deisegnaliy(n) e yr(t).

Risultato: (a) fc,min = 2(W1 +W2); (b) la condizione non è verificata,y(n) = cos(

2πn5

), yr(t) = cos(2π2t).

Esercizio 7.14 Un segnale vocale analogico è convertito in digitale mediante un campionamento afc = 8kHz, seguito da una quantizzazione dei campioni effettuata con un quantizzatore uniforme e simmetrico aventemassimo livello di restituzioneXmax = 5V.

(a) Determinare il numerob di bit necessari ad assicurare un valore rms dell’errore granulare (errore diquantizzazione) inferiore a 12 mV, ed il bit-rate corrispondente in uscita al convertitore A/D.

(b) In corrispondenza del valore dib determinato al punto (a), determinare l’effettivo valore rms dell’errore diquantizzazione (in mV) ed il rapporto segnale rumore (in dB) supponendoxrms = 1V.

Risultato: (a) b = 8, bit-rate= 64 kbit/s; (b)erms =√

Pe = 11.3 mV, SNR = 38.8 dB.

Esercizio 7.15 Un segnale audio analogico è convertito in digitale mediante un campionamento afc = 44kHz, seguito da una quantizzazione dei campioni effettuata con un quantizzatore uniforme e simmetrico aventemassimo livello di restituzioneXmax = 5V.

(a) Determinare il numerob di bit necessari ad assicurare un valore rms dell’errore granulare (errore diquantizzazione) inferiore a 50µV, ed il bit-rate corrispondente in uscita al convertitore A/D.

(b) In corrispondenza del valore dib determinato al punto (a), determinare l’effettivo valore rms dell’errore diquantizzazione (inµV) ed il rapporto segnale rumore (in dB) supponendoxrms = 1V.

Risultato: (a) b = 16, bit-rate= 704 kbit/s; (b)erms =√

Pe = 44 µV, SNR = 86.8 dB.

Esercizio 7.16 I campioni di un segnale sinusoidalex(n) = 5cos(πn/3) (ampiezza espressa in V) sono quan-tizzati con un quantizzatore uniforme e simmetrico.

(a) Determinare il massimo valore di restituzioneXmax del quantizzatore se il fattore di carico del quantizzatoreè kc = 4.

(b) Utilizzando i valori precedentemente calcolati, determinare il minimo numero di bitb per ottenere un SNRdi almeno 60 dB, e calcolare l’SNR effettivo.


(c) Utilizzando i valori precedentemente calcolati, determinare il valore dell’SNR se l’ampiezza della sinusoidein ingresso si riduce di 3 dB.

Risultato: (a) Xmax = 14.2 V; (b) b = 12, SNR = 64.73 dB; (c) SNR = 61.73 dB.

Esercizio 7.17 Il segnale a tempo discretox(n) = cos(πn

3

)+2cos

(7πn

3

)(ampiezze espressa in V) è quantizzato

con un quantizzatore uniforme e simmetrico.

(a) Determinare il massimo valore di restituzioneXmax del quantizzatore se il fattore di carico del quantizzatoreè kc = 4.

(b) Utilizzando i valori precedentemente calcolati, determinare il minimo numero di bitb per ottenere un SNRdi almeno 60 dB, e calcolare l’SNR effettivo.

Risultato: (a) Xmax = 6.4 V; (b) b = 12, SNR = 64.73 dB.

Esercizio 7.18 Si consideri il segnale (t espresso in millisecondi, ampiezza espressa in V):

xa(t) = 4+2cos(πt)+2cos(2πt)+cos(3πt)

che viene campionato a due volte la sua frequenza di Nyquist e successivamente quantizzato con un quantizza-tore uniforme e simmetrico.

(a) Determinare il massimo valore di restituzioneXmax del quantizzatore se il fattore di carico èkc = 4.

(b) Utilizzando il valore diXmax determinato al punto (a), determinare il minimo numero di bitb per ottenereun SNR di almeno 80 dB, calcolare l’SNR effettivo ed il bit-rate in uscita al convertitore A/D.

Risultato: (a) Xmax = 18.12 V; (b) b = 15, SNR = 82.7 dB, bit-rate= 90 kbit/s.

Esercizio 7.19 Con riferimento alla figura,xa(t) = cos(2π10t)+cos(2π20t) [tempi in ms e ampiezze in Volt(V)], e fc = 30 kHz.

xa(t) � camp.

�

fc

�x(n)quant. � xq(n)

(a) Determinare l’espressione esplicita del segnalex(n) e calcolare la sua potenza ed il suo valore efficace.

(b) Supponendo che il quantizzatore sia uniforme e simmetrico, con potenza del rumore di quantizzazione paria 2 mV2, calcolare il rapporto segnale-rumore (in dB).

(c) Calcolare il numero di bitb necessario per ottenere un fattore di caricokc non inferiore a 4.

(d) Utilizzando il valore dib determinato al punto (c), calcolare il valoreeffettivo di kc ed il massimo valore direstituzioneXmax (espresso in V).

Risultato: (a) x(n) = 2 cos(

2πn3

), xrms =

√2 V; (b) SNR = 30 dB; (c)b = 7; (d) kc = 7, Xmax = 9.9 V.

Esercizio 7.20 Con riferimento alla figura,xa(t) = cos(2π5t)+ cos(2π10t)+ cos(2π15t) [tempi in ms e am-piezze in Volt (V)], fc = 20 kHz, e

Haa( f ) =[1− | f |

20

]2

rect

(f

40

)(frequenze in kHz)


xa(t) � Haa( f ) �ya(t) camp.

�

fc

�y(n)quant. � yq(n)

(a) Determinare l’espressione esplicita dei segnaliya(t) e y(n).(b) Supponendo che il quantizzatore sia uniforme e simmetrico con massimo valore di restituzioneXmax = 5V,

determinare il numero di bitb necessari ad ottenere un rapporto segnale-rumore di quantizzazionenoninferiore a 70 dB.

Risultato: (a) ya(t) = 916 cos(2π5t)+ 1

4 cos(2π10t)+ 116 cos(2π15t), y(n) = 5

4 cos(πn

2

)+ 1

4 cos(πn); (b) b =14.

Appendice A

Richiami sui numeri complessi

I n questa appendice si richiamano le principali definizioni e proprietà dei numeri complessi e del-le funzioni complesse di una variabile reale. I numeri complessi e le funzioni complesse ricorrononaturalmente quando si considerano la serie e la trasformata di Fourier, che rappresentano gli stru-menti matematici maggiormente utilizzati per l’analisi e la sintesi di segnali e sistemi. La trattazioneivi riportata non vuole essere eccessivamente rigorosa né esaustiva, ed è orientata principalmente adacquisire gli elementi fondamentali peroperare con i numeri e le funzioni complesse nelle applica-zioni tipiche della teoria dei segnali e dei sistemi; si rimanda pertanto a testi specializzati di analisimatematica per eventuali approfondimenti.

A.1 Definizione di numero complesso

Si definiscenumero complesso una coppia ordinata(x,y) ∈ R×R di numeri reali, dovex è il primonumero della coppia ey è il secondo numero della coppia. Essendo la coppia ordinata, i numeri(x,y)e (y,x) vanno considerati distinti sex �= y. Poiché i numeri complessi devono comprendere i numerireali come caso particolare, si conviene che:

(x,0) = x , (A.1)

cioè i numeri reali possono essere riguardati come coppie ordinate per le quali il secondo elementodella coppia è nullo. Ovviamente, poichè le coppie ordinate(x,0) rappresentano i numeri reali, essedevono soddisfare tutte le proprietà formali delle operazioni sui numeri reali.

Per dare una veste operativa alla definizione astratta di numero complesso data precedentemente,è necessario fornire la definizione di uguaglianza, somma e moltiplicazione di numeri complessi:

Definizione A.1 (operazioni fondamentali sui numeri complessi)(a) Uguaglianza: (x1,y1) = (x2,y2) ⇐⇒ x1 = x2 ey1 = y2.

(b) Somma: (x1,y1)+(x2,y2) = (x1 + x2,y1 + y2).

(c) Prodotto: (x1,y1) · (x2,y2) = (x1 x2− y1 y2,x1 y2 + y1 x2).

434 Richiami sui numeri complessi

La prima definizione introduce la proprietà formale di uguaglianza tra numeri complessi. La se-conda definizione introduce nell’insieme dei numeri complessi l’operazione di somma: si noti chela definizione data è perfettamente coerente con quella valida per i numeri reali, infatti, risulta che(x1,0)+ (x2,0) = (x1 + x2,0). L’ultima definizione riguarda invece l’operazione di prodotto tra duenumeri complessi; anche in questo caso, tale definizione è coerente con quella valida per i numeri rea-li, infatti, si ha che(x1,0) · (x2,0) = (x1 x2,0). Si può dimostrare che l’insieme dei numeri complessiin cui siano valide le operazioni di somma e prodotto appena definite presenta la struttura algebrica dicampo e, per questo motivo, è dettocampo dei numeri complessi ed è comunemente indicato con ilsimboloC.

A.2 Forma algebrica dei numeri complessi

La forma(x,y) di un numero complesso non è in verità la più agevole per il calcolo operativo. Perquesto motivo, si ricorre ad una rappresentazione equivalente, dettaforma algebrica del numerocomplesso. A tale proposito, osserviamo che, dalla (A.1) e dalla def. A.1(c), si ha semplicementeche:

(x,0) = (x,0) · (1,0) = x ·1 = x .

In aggiunta, dalla def. A.1(b) segue che:

(x,y) = (x,0)+(0,y) = x+(0,y) , (A.2)

da cui è evidente che ogni numero complesso è sempre la somma di un numero reale e di un numerocomplesso del tipo(0,y). D’altra parte, per la def. A.1(c), si verifica che

(0,y) = (y,0) · (0,1) = y · (0,1) . (A.3)

In base alla def. A.1(c), il numero complesso(0,1) gode della seguente proprietà:

(0,1)2 = (0,1) · (0,1) = (−1,0) =−1,

il che giustifica la seguente definizione:

Definizione A.2 (unità immaginaria)Il numero complesso(0,1) si dice unità immaginaria e, postoj

�= (0,1), si ha chej2 =−1.

È interessante osservare che1

(0,1)0 = j0 = 1,

(0,1)1 = j1 = j ,

(0,1)2 = j2 =−1,

(0,1)3 = j3 = (0,1)2 · (0,1) =− j ,

(0,1)4 = j4 = (0,1)2 · (0,1)2 = 1,

(0,1)5 = j5 = (0,1)4 · (0,1) = j ,

(0,1)6 = j6 = (0,1)4 · (0,1) =−1,

(0,1)7 = j7 = (0,1)6 · (0,1) =− j ,

. . .

1Coerentemente con l’algebra dei numeri reali, si introducono le seguenti operazioni nel campo complesso:(x,y)0 = 1,(x,y)1 = (x,y), (x,y)m ·(x,y)n = (x,y)n+m, [(x1,y1) ·(x2,y2)]n = (x1,y1)n ·(x2,y2)n e [(x,y)m]n = (x,y)mn, conm∈Z,n∈Z.

A.2 Forma algebrica dei numeri complessi 435

ossia, al crescere din ∈N0, le potenze(0,1)n = jn assumono periodicamente i valori 1, j,−1,− j conperiodo di ripetizione 4. Si ha allora la seguente regola pratica per il calcolo della potenzajn, conn ∈ N0: dividendon per 4 si trova il quozienteq ed il restor < 4, cioèn = 4q+ r, conseguentemente

jn = j4q+r = j4q · jr = jr , (A.4)

in altre parole, per il calcolo della potenzajn basta considerarej elevato al resto della divisione dinper 4.

In virtù della definizione di unità immaginaria e utilizzando le (A.2) e (A.3), si ottiene la seguenteforma algebrica del numero complesso:

(x,y) = x+ j y = z ,

in cui x è dettaparte reale di z e si denota conx = Re(z), mentrey è dettaparte immaginaria di z esi denota cony = Im(z). Si ricava chiaramente che un numero complesso è reale se e solo se la suaparte immaginaria è nulla, cioè Im(z) = 0. Allo stesso modo, se un numero complessoz ha la partereale nulla, cioè Re(z) = 0, esso è dettoimmaginario puro o, più semplicemente,immaginario.

A partire dalla def. A.1(a), si ricava che, dati due numeri complessi in forma algebricaz1 =x1 + j y1 e z2 = x2 + j y2, si ha che

z1 = z2 ⇐⇒{

x1 = x2 ,

y1 = y2 .

In altri termini, due numeri complessi sono uguali se e solo se sono uguali le loro parti reali e im-maginarie2. Inoltre, si osservi che un’uguaglianza nel campo complesso (z1 = z2) equivale a dueuguaglianze nel campo reale (x1 = x2 e y1 = y2).

Si dicecomplesso coniugato o più semplicementeconiugato del numero complessoz = x + j y ilnumero complessox− j y, che d’ora in avanti denoteremo conz∗, avente la stessa parte reale diz eparte immaginaria di segno opposto. Con riferimento ad un arbitrario numero complessoz = x + j y,l’operazione di coniugazione gode delle seguenti proprietà elementari, di immediata verifica:

Proprietà A.1 (proprietà elementari della coniugazione)(a) (z∗)∗ = z.

(b) z+ z∗ = 2Re(z) = 2x.

(c) z− z∗ = 2 j Im(z) = 2 j y.

(d) zz∗ = x2 + y2.

(e) Il numero complessoz è reale se e solo sez = z∗.

(f) Il numero complessoz è immaginario puro se e solo sez =−z∗.

Dalla def. A.1(b) segue che la somma di due numeri complessiz1 = x1 + j y1 e z2 = x2 + j y2 èsemplicemente data da:

z1 + z2 = (x1 + j y1)+(x2 + j y2) = (x1 + x2)+ j (y1 + y2) ,

ossia la somma di due numeri complessi è un numero complesso che ha come parte reale la sommadelle parti reali e come parte immaginaria la somma delle parti immaginarie. Per quanto riguarda

2Si osservi che, non potendosi definire alcuna relazione d’ordine nel campo dei numeri complessi,non si possono usaresegni di disuguaglianza tra due numeri complessi, cioè non hanno senso disuguaglianze del tipoz1 > z2.


invece il prodotto, invocando la def. A.1(c), si ottiene che il prodotto di due numeri complessiz1 =x1 + j y1 e z2 = x2 + j y2 si calcola come segue:

z1 · z2 = (x1 + j y1) · (x2 + j y2) = (x1 x2− y1 y2)+ j (x1 y2 + y1 x2) ,

il cui risultato si può ottenere equivalentemente svolgendo il prodotto secondo le usuali regole delcalcolo algebrico elementare e ricordando chej2 =−1:

z1 · z2 = (x1 + j y1) · (x2 + j y2) = x1 x2 + j x1 y2 + j y1 x2 + j2 y1 y2

= x1 x2 + j x1 y2 + j y1 x2− y1 y2 = (x1 x2− y1 y2)+ j (x1 y2 + y1 x2) .

A partire dalle operazioni di somma e prodotto è possibile definire ilquoziente z1/z2 dei due numericomplessiz1 = x1+ j y1 ez2 = x2+ j y2. Precisamente, si dice quoziente diz1 ez2 il numero complessoz3 = x3 + j y3 tale chez3 z2 = z1. Ricavare l’espressione esplicita dix3 ed y3, e quindi di z3, perquesta via richiede la soluzione di un sistema di equazioni lineari. Utilizzando invece la definizionedi complesso coniugato, è possibile calcolare il quoziente di due numeri complessi in maniera piùsemplice:

z3 =z1

z2=

x1 + j x1

x2 + j y2=

z1 · z∗2z2 · z∗2

=(x1 + j y1)(x2− j y2)

x22 + y2

2

=(x1 x2 + y1 y2)+ j (y1 x2− x1 y2)

x22 + y2

2

=x1 x2 + y1 y2

x22 + y2

2

+ jy1 x2− x1 y2

x22 + y2

2

,

da cui ricordando chez3 = x3 + jy3 si ricava

x3 =x1 x2 + y1 y2

x22 + y2

2

e y3 =y1 x2− x1 y2

x22 + y2

2

.

Il reciproco 1/z di un numero complessoz = x + jy �= 0 si può ottenere come caso particolare delrapporto traz1 = 1 ez2 = z, oppure più direttamente utilizzando il coniugato, come

1z

=1

x+ j y=

z∗

z · z∗ =x− j yx2 + y2 =

xx2 + y2 − j

yx2 + y2 .

L’operazione dipotenza n-esima, conn ∈ N, di un numero complessoz = x+ j y è definita come:

zn = (x+ j y)n = (x+ j y) · (x+ j y) · · ·(x+ j y)︸︷︷︸n volte

,

dove il prodotto al secondo membro si calcola tenendo presenti le comuni regole del calcolo algebricoelementare e la formula (A.4).

Notiamo infine che è possibile definire per un numero complesso anche l’operazione diradicen-esima. Precisamente, dato il numero complessoz1 = x1+ j y1, si dice radicen-esima diz1 il numerocomplessoz2 = x2 + j y2 tale che

zn2 = z1 ⇐⇒ (x2 + j y2)n = x1 + j y1 (A.5)

e si scrive

z2 = n√

z1 .

Tuttavia, il calcolo esplicito del numero complessoz2 mediante la (A.5) offre notevoli difficoltà ope-rative. Formule notevoli per il calcolo della radicen-esima si possono ricavare introducendo per inumeri complessi laforma esponenziale (cfr. § A.4).

Per concludere, dati due numeri complessiz1 = x1 + j y1 e z2 = x2 + j y2, è immediato verificareche l’operazione di coniugazionecommuta rispetto alle operazioni fondamentali (somma, prodotto,etc.) precedentemente introdotte:

A.3 Rappresentazione geometrica e forma trigonometrica dei numeri complessi 437

P=(x,y)

Re

Im

ϕ

ρ

O x

y

Fig. A.1. Il piano complesso.

P=(x,y)

Re

Im

ϕ

ρ

xO

y

-y P*=(x,- y)

-ϕ

ρ

Fig. A.2. Le immaginiP eP∗ dei numeri complessize z∗ occupano posizioni simmetriche rispetto all’assereale.

Proprietà A.2 (relazione tra coniugazione e le operazioni fondamentali)(a) (z1 + z2)∗ = z∗1 + z∗2.

(b) (z1 · z2)∗ = z∗1 · z∗2.

(c)

(z1

z2

)∗=

z∗1z∗2

.

(d) (zn1)∗ = (z∗1)

n, ∀n ∈ Z.

A.3 Rappresentazione geometrica e forma trigonometrica dei numericomplessi

I numeri complessi ammettono una rappresentazione geometrica che si rivela molto utile per interpre-tarne alcune proprietà. Infatti, con riferimento alla fig. A.1, definito sul piano un riferimento cartesianocon origine nel puntoO, ad ogni numero complesso(x,y) corrisponde un puntoP del piano aventecoordinate(x,y). In altri termini, il puntoP = (x,y) si può interpretare come l’immagine sul piano delnumero complessoz = x + j y. I numeri reali(x,0) hanno per immagini i punti dell’asse orizzontaleche, per tale motivo, è dettoasse reale, mentre i numeri immaginari puri(0,y) hanno per immaginisul piano i punti dell’asse verticale, dettoasse immaginario. Un tale piano si dice convenzionalmentepiano complesso o piano di Gauss, sebbene tutti i punti in esso abbiano coordinate reali. Notiamo chei due numeri complessi coniugatiz = x + j y e z∗ = x− j y hanno per immagini sul piano complesso(fig. A.2) i punti P = (x,y) e P∗ = (x,−y), simmetrici rispetto all’asse reale.

SeP è l’immagine sul piano del numero complessoz = x + j y, la distanzaρ del puntoP dall’o-rigine (misura del segmentoOP) si dicemodulo del numero complesso e si indica comunemente con


|z|. Dalla fig. A.1, ricordando anche la prop. A.1(d), si ha:

ρ = |z|=√

x2 + y2 =√

z · z∗ , (A.6)

da cui si ricava anche che il prodotto del numero complessoz per il suo complesso coniugatoz∗ è parial modulo al quadrato diz, cioè

z · z∗ = |z|2 = ρ2 .

Si osservi che sez è un numero reale (y = 0), allora il modulo degenera nel valore assoluto diz, cioè|z|= x sex≥ 0, mentre|z|=−x sex < 0 (una proprietà simile vale sez è immaginario puro).

Suppostoz �= 0, si diceargomento o fase di z = x + j y, il valore dell’angoloϕ (misurato inradianti) che il semiasse reale positivo deve descrivere, ruotando in senso antiorario, per sovrapporsial segmentoOP. La fase di un numero complessoz si denota con arg(z) oppure�z. Dalla Fig. A.1 èimmediato ricavare che:

x = ρ cos(ϕ ) e y = ρ sin(ϕ ) , (A.7)

da cui

tan(ϕ ) =yx

. (A.8)

Notiamo che seϕ è un valore della fase diz, allora ancheϕ +2hπ, conh ∈ Z, è un valore della fasedi z. In altre parole,la fase di un numero complesso è definito a meno di un arbitrario multiplo interodi 2π. Per questo motivo, tra i valori che competono ad�(z), ne esiste certamente uno che appartieneall’intervallo ]−π,π]: esso si diceargomento principale di z e si indica con Arg(z). La totalità dellefasi diz si ottiene quindi come�z = Arg(z)+2hπ, conh∈Z. Osserviamo esplicitamente che az = 0,cioè all’origineO del piano cartesiano, non si associa alcun valore della fase.3

In virtù delle relazioni (A.7), un arbitrario numero complessoz = x+ j y, avente moduloρ e faseϕ , può essere scritto come

z = ρ[cos(ϕ )+ j sin(ϕ )] . (A.9)

Quest’espressione prende il nome diforma trigonometrica del numero complessoz (si noti che la(A.9) vale anche perz = 0 a patto di assegnare un valore arbitrario aϕ , in quanto perz = 0 si haρ = 0).La (A.9) è talvolta dettaforma polare del numero complessoz in quanto, facendo sempre riferimentoalla rappresentazione geometrica, mentre la coppia(x,y) rappresenta le coordinatecartesiane delpunto P, la coppia(ρ,ϕ ) rappresenta le coordinatepolari dello stesso punto. Di conseguenza, leformule che legano(x,y) a (ρ,ϕ ) sono le stesse che consentono di effettuare le trasformazioni dallecoordinate cartesiane a quelle polari e viceversa.

A tale proposito, è interessante notare che, assegnata la forma polare (ovvero il moduloρ ed unvaloreϕ della fase diz), è possibile risalire senza alcuna difficoltà alla forma algebrica diz, cioècalcolarex e y, utilizzando le (A.7). Viceversa, data la forma algebrica del numero complessoz, as-segnati cioè i numeri realix e y, nel ricavare la forma polare bisogna porre particolare attenzione alcalcolo della fase; il calcolo del modulo mediante la (A.6), infatti, è immediato e non offre alcunadifficoltà. Per il calcolo dell’argomento principale, invece, occorre invertire la (A.8), ovvero indivi-duare un valore diϕ ∈]−π,π] soluzione di tale equazione. A tale scopo, bisogna ricordare che lafunzione tangente, essendo periodica, non è invertibile su tutto l’insieme di definizione, e la funzione

3Per uniformità, talvolta si pone convenzionalmente�0 = 0.

A.3 Rappresentazione geometrica e forma trigonometrica dei numeri complessi 439

arcotangente (arctan) è l’inversa dellarestrizione della funzione tangente all’intervallo]−π/2,π/2[,il che significa che

arctan[tan(ϕ )] = arctan(y

x

)= ϕ , ∀ϕ ∈

]−π

2,π2

[.

Pertanto, se l’immagine diz = x + j y sul piano complesso è un puntoP che giace nel primo oppurenel quarto quadrante del piano complesso (x > 0), allora il suo argomento principale Arg(z) cadenell’intervallo ]−π/2,π/2[ e, in base alla relazione precedente, si può affermare che

Arg(z) = arctan(y

x

)sex > 0.

Tale formula non può però essere applicata nel caso in cui l’immagine diz sul piano complesso noncada nel primo oppure nel quarto quadrante del piano complesso (x < 0), poiché


x

)�= ϕ , ∀ϕ ∈

]−π,

π2

[∪]π

2,π]

.

In questo caso, il calcolo dell’argomento principale diz si può effettuare sfruttando la periodicità diπdella tangente, per cui tan(ϕ ) = tan(ϕ−π), ed, in aggiunta, osservando che, seϕ ∈

]−π,

π2

[∪]π

2,π],

alloraϕ −π∈]−π/2,π/2[. Mettendo insieme questi due risultati, si giunge alla seguente relazione:


x

)= arctan[tan(ϕ −π)] = ϕ −π, ∀ϕ ∈

]−π,

π2

[∪]π

2,π]

,

che ci consente di scrivere:

Arg(z) = arctan(y

x

)+π sex < 0.

Resta da considerare il casox = 0, ovvero i numeri immaginari puriz = j y, che hanno immagini chegiacciono sull’asse immaginario: sey > 0, l’argomento principale è pari aπ/2; sey < 0, l’argomentoprincipale è pari a−π/2.

Riassumendo i casi precedenti, è possibile allora esprimere l’argomento principale Arg(z) di unarbitrario numero complessoz = x+ j y come

Arg(z) = tan−1(y

x

)=

0, sex = y = 0 ;π2 , sex = 0 ey > 0 ;

−π2 , sex = 0 ey < 0 ;

arctan( y

x

), sex > 0 ;

arctan( y

x

)+π, sex < 0 ;

(A.10)

dove, per semplificare alcune notazioni, si è introdotta la funzione tan−1, che è talvolta denominata,per ovvi motivi,arcotangente su quattro quadranti (si noti che è una funzione che opera separatamentesuy edx, per cui la notazione tan−1

( yx

)è puramente convenzionale). Sinteticamente, allora, le formule

per il passaggio dalla forma algebrica/cartesiana a quella trigonometrica/polare sono:

ρ =√

x2 + y2 e ϕ = tan−1(y

x

)(A.11)


� Esempio A.1 (passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica)Consideriamo i seguenti quattronumeri complessi in forma algebrica:

z1 = 1+ j, z2 =−1+ j, z3 =−1− j e z4 = 1− j ,

le cui immagini sul piano complesso cadono nel primo, secondo, terzo e quarto quadrante, rispettivamente. Siverifica facilmente che

|z1|= |z2|= |z3|= |z4|=√

1+1 =√

2 .

Per quanto riguarda l’argomento principale, poiché le immagini dei numeri complessiz1 e z4 cadono nel primoe quarto quadrante, rispettivamente, segue che

Arg(z1) = arctg(1) =π4

e Arg(z4) = arctg(−1) =−π4

.

Per gli altri due numeri complessiz2 e z3, che cadono nel secondo e terzo quadrante, rispettivamente, si hainvece:

Arg(z2) = arctg(−1)+π =−π4

+π =34

π e Arg(z4) = arctg(1)+π =π4

+π =54

π.

Notiamo che i valori di fase ottenute sono in accordo con la posizione dei numeri complessi nei vari quadranti:questa verifica andrebbe sempre fatta per evitare banali errori di calcolo. �

A.4 Forma esponenziale dei numeri complessi

Un’ulteriore rappresentazione dei numeri complessi, molto utilizzata nei calcoli, si può ottenere ricor-rendo alla definizione diesponenziale complesso. A tale proposito, ricordiamo che sex è un numeroreale, l’esponenzialeex può essere espresso in serie di Mac-Laurin nel seguente modo:

ex =+∞

∑k=0

xk

k!.

dove la serie converge∀x ∈ R. Se al posto dix ∈ R sostituiamo formalmente il numero complessoz = x+ j y, si ottiene la definizione di esponenziale con esponente complesso (sinteticamente chiamatoesponenziale complesso):

ez =+∞

∑k=0

zk

k!. (A.12)

Si può dimostrare che la serie al secondo membro converge per ogniz ∈ C, ed inoltre la funzioneez

definita attraverso tale serie conserva la proprietà principale dell’esponenziale:

ez1 ez2 = ez1+z2 , ∀z1,z2 ∈ C .

La precedente definizione diez rivela un legame profondo tra esponenziale complesso e alcune funzio-ni trigonometriche. Infatti, ponendoz = j x nella (A.12), utilizzando la (A.4) e ricordando gli sviluppiin serie di Mac-Laurin delle funzioni sin(x) e cos(x), si ottiene:

e j x =+∞

∑k=0

( jx)k

k!=

+∞

∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!︸︷︷︸cos(x)

+ j+∞

∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k +1)!︸︷︷︸sin(x)

= cos(x)+ j sin(x) , (A.13)

A.4 Forma esponenziale dei numeri complessi 441

che prende il nome diformula di Eulero.4 A partire da tale formula è immediato verificare che

e− j x = cos(x)− j sin(x) = (e j x)∗ ,

da cui, per somma o sottrazione con la (A.13), segue anche che

cos(x) =e j x + e− j x

2e sin(x) =

e j x− e− j x

2 j.

In particolare notiamo che

|e j x|2 = e j x (e j x)∗ = e j x e− j x = cos2(x)+sin2(x) = 1, ∀x ∈ R ,

ossia, il numero complessoe j x ha sempre modulo unitario, inoltre

�e j x = x+2πh , ∀x ∈ R e h ∈ Z .

Utilizzando la (A.13), segue che per un esponenziale di esponente complessoz = x + j y qualsiasi siha

ez = ex+ j y = ex e j y = ex [cos(y)+ j sin(y)] ,

da cui si ricava

|ez|= ex , �ez = y+2πh , ∀x ∈ R e h ∈ Z .

Si noti che, essendo|ez|= ex > 0,∀z ∈ C, si ha cheez non si annulla mai.In virtù della formula di Eulero, possiamo riscrivere la (A.9) come segue:

z = ρ e j ϕ ,

che prende il nome diforma esponenziale del numero complesso. Si noti che

z∗ = ρ[cos(ϕ )− j sin(ϕ )] = ρe− jϕ ,

in accordo con l’interpretazione geometrica di fig. A.2 (il coniugato diz ha lo stesso modulo diz efase opposta).

La forma esponenziale è molto comoda per eseguire alcune operazioni algebriche, in particolarequelle che riguardano prodotti e rapporti tra numeri complessi. Infatti, dati due numeri complessiz1 = ρ1e j ϕ1 e z2 = ρ2e j ϕ2, sussistono le seguenti proprietà:

Proprietà A.3 (operazioni in forma esponenziale)(a) z1 · z2 = ρ1ρ2 e j (ϕ1+ϕ2).

(b)z1

z2=

ρ1

ρ2e j (ϕ1−ϕ2).

(c)1z1

=1ρ1

e− j ϕ1.

(d) zn1 = ρ1

n e j nϕ1, ∀n ∈ Z.

(e) Sez1 �= 0 edn ∈ N, esistono esattamenten radici n-esime distinte del numero complessoz1,

date dan√

z1 = n√

ρ1 e jϕ1+2hπ

n , perh ∈ {0,1, . . . ,n−1}.4Eulero è la traslitterazione latina del cognome del matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783), considerato uno

dei più grandi matematici mai esistiti.


Notiamo che dalle prop. A.3(a) e (b) è possibile ricavare in particolare alcune semplici regole percalcolare modulo e fase del prodotto e del rapporto tra numeri complessi:

|z1 · z2|= |z1||z2| e �z1 · z2 = �z1 +�z2 ;∣∣∣∣ z1

z2

∣∣∣∣= |z1||z2| e �z1

z2= �z1−�z2 .

Si noti invece che non esistono espressioni altrettanto semplici per il modulo e la fase della sommao della differenza di due numeri complessi, in particolare per il modulo della somma è possibile solofornire una disuguaglianza

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| .

A.5 Funzioni complesse di una variabile reale

Unafunzione complessa f (x) della variabile realex, definita perx ∈ A⊆R, è una corrispondenza chead ogni valore dix ∈ A associa un numero complessof (x) ∈ C, ovvero

f : x ∈ A → f (x) ∈ C .

Considerate le due funzioni reali:

f1 : x ∈ A → Re[ f (x)] ∈ R e f2 : x ∈ A → Im[ f (x)] ∈ R ,

dette rispettivamente laparte reale di f (x) e laparte immaginaria di f (x), si ha evidentemente:

f (x) = f1(x)+ j f2(x) , ∀x ∈ A .

Tale relazione evidenzia che la funzione complessaf (x) di variabile realex può essere riguardatacome una coppia di funzioni reali dello stesso argomento. Di conseguenza, la teoria delle funzionicomplesse di una variabile reale non ha caratteristiche sostanzialmente nuove rispetto alla teoria dellefunzioni reali. In particolare, le definizioni di continuità, derivazione ed integrazione, ecc., si estendo-no con modifiche minime. Una novità importante rispetto al caso reale è la definizione dell’operazionedi coniugazione. Sulla scorta di quanto fatto per i numeri complessi, si diceconiugata della funzionef (x) la funzione complessaf ∗(x) così definita:

f ∗(x) = f1(x)− j f2(x) , ∀x ∈ A .

Si chiamamodulo di f (x) la funzione reale non negativa| f (x)| così definita:

| f (x)|=√

f 21 (x)+ f 2

2 (x) , ∀x ∈ A .

Infine, si chiamafase di f (x) la funzione reale� f (x) così definita:

� f (x) = arg[ f (x)] .

Poiché la fase di un numero complesso è determinata a meno di un arbitrario multiplo intero di 2π, lafunzione di fase� f (x) è plurivoca e diventa univocamente determinata considerando il suo argomentoprincipale Arg[ f (x)], che può essere calcolato utilizzando la funzione tan−1 definita nella (A.10). La

A.5 Funzioni complesse di una variabile reale 443

descrizione dif (x) mediante modulo e fase consente di esprimere la funzione complessa in formaesponenziale:

f (x) = | f (x)|e j� f (x) , ∀x ∈ A ,

che risulta particolarmente comoda nella sintesi e analisi dei segnali e sistemi.Per concludere, osserviamo che tutte le proprietà richiamate per i numeri complessi si estendono

in modo naturale alle funzioni complesse.

� Esempio A.2 (fasore) Il fasore è per definizione la seguente funzione complessa:

e j x = cos(x)+ j sin(x) , ∀x ∈ R .

Poiché|e j x| = 1, il fasore ha per codominio la circonferenza del piano complesso avente centro nell’origine eraggio unitario. Si tratta di una funzione periodica di periodo 2π, cioè

e j (x+2πh) = e j x , ∀x ∈ R e∀h ∈ Z .

Si noti chef1(x) = cos(x) e f2(x) = sin(x) sono anch’esse funzioni periodiche di periodo 2π. �


Appendice B

Richiami di analisi matematica

I n questa appendice si richiamano le principali definizioni e proprietà degli integrali e delle serie diinteresse per gli argomenti trattati nel testo, concentrandoci in particolare sul concetto di sommabilità.La trattazione è volutamente sintetica, in quanto si presuppone che il lettore possieda una conoscenzaapprofondita di tali argomenti, e serve solo come riferimento; si rimanda a testi specializzati di analisimatematica per eventuali approfondimenti.

B.1 Successioni e serie numeriche

L’obiettivo di questa sezione è quello di richiamare alcuni concetti legati alle serie numeriche. Primadi fare ciò, richiamiamo alcune definizione riguardanti la nozione di limite di una successione.

B.1.1 Definizione di limite di una successione

Si dice che la successionea valori reali {xn}+∞n=1 ha per limite� ∈ R e si scrive

limn→+∞

xn = �

se è verificata la seguente proprietà:

∀ε > 0∃νε ∈ N : ∀n > νε =⇒ |xn− �|< ε .

In tal caso la successione{xn}+∞n=1 si diceconvergente; in particolare, se� = 0 si dice che la successione

è infinitesima. Si dice che la successione a valori reali{xn}+∞n=1 ha per limite+∞ e si scrive

limn→+∞

xn = +∞


∀K > 0∃νε ∈ N : ∀n > νε =⇒ xn > K .

446 Richiami di analisi matematica

In tal caso si dice che la successione{xn}+∞n=1 diverge positivamente. Analogamente, si dice che la

successione a valori reali{xn}+∞n=1 ha per limite−∞ e si scrive

limn→+∞

xn =−∞


∀K > 0∃νε ∈ N : ∀n > νε =⇒ xn <−K .

In tal caso si dice che la successione{xn}+∞n=1 diverge negativamente. Una successione che sia o

convergente o divergente positivamente o divergente negativamente si dice ancheregolare. Una suc-cessione non regolare si dice ancheoscillante. In alcuni casi, il comportamento al limite di una suc-cessione si può stabilire semplicemente se si introducono i concetti di successione limitata superior-mente/inferiormente e successione crescente/decrescente. Una successione{xn}+∞

n=1 si dice limitatasuperiormente se esiste una costanteA ∈ R tale chexn ≤ A, ∀n ∈ N. Una successione{xn}+∞

n=1 si diceinvecelimitata inferiormente se esiste una costanteA ∈ R tale chexn ≥ A, ∀n ∈ N. Una successioneche sia limitata superiormente e inferiormente si dicelimitata. Una successione si dicemonotonase gode di una delle seguenti proprietà1: xn ≤ xn+1, ∀n ∈ N, in tal caso si dice che la successione ècrescente; xn ≥ xn+1, ∀n ∈ N, in tal caso si dice che la successione èdecrescente.

A tal proposito sussistono le seguenti proprietà:

Proprietà B.1 (proprietà fondamentali delle successioni numeriche)(a) Ogni successione convergente è limitata.

(b) Ogni successione divergente positivamente è limitata inferiormente e non limitata superior-mente. Analogamente, ogni successione divergente negativamente è limitata superiormentee non limitata inferiormente.

(c) Ogni successione monotona è regolare.

Il concetto di limite si estende naturalmente al caso di una successione avalori complessi {zn}+∞n=1,

conzn = xn + j yn. Infatti, se� = λ + j µ è un numero complesso, si dice che la successione{zn}+∞n=1

è convergente e si scrive

limn→+∞

zn = �


∀ε > 0∃νε ∈ N : ∀n > νε =⇒ |zn− �|=√

(xn−λ )2 +(yn−µ)2 < ε .

In particolare, si noti che la successione{zn}+∞n=1 è infinitesima, cioè� = 0, se e solo se è infinitesima

la successione a valori reali{|zn|}+∞n=1. Inoltre, rileviamo esplicitamente chela successione {zn}+∞

n=1ha per limite � se e solo se le due successioni a termini reali {xn}+∞

n=1 e {yn}+∞n=1 hanno per limite λ e

µ , rispettivamente. Si dice che la successione a valori complessi{zn}+∞n=1 diverge e si scrive

limn→+∞

zn = +∞

1Se xn < xn+1, ∀n ∈ N, la successione si dicestrettamente crescente; se xn > xn+1, ∀n ∈ N, la successione si dicestrettamente decrescente.

B.1 Successioni e serie numeriche 447


∀K > 0∃νε ∈ N : ∀n > νε =⇒ |zn|=√

x2n + y2

n > K .

Anche in questo caso si noti che la successione{zn}+∞n=1 è divergente se e solo se è divergente la

successione a valori reali{|zn|}+∞n=1. Si noti che, a differenza delle successioni a valori reali, non si

parla di divergenza positiva e negativa per le successioni a valori complessi.

B.1.2 Serie monolatere

Sia{xn}+∞n=1 una successione a valori reali. PostoS1 = x1,S2 = x1 + x2, . . . ,Sn = x1 + x2 + · · ·+ xn, la

successione a valori reali{Sn}+∞n=1 si chiamaserie (monolatera) di termine generalexn e si indica con

il seguente simbolo:

+∞

∑n=1

xn = x1 + x2 + · · ·+ xn + · · · . (B.1)

Per ognin ∈ N, si dice cheSn è lasomma parziale n-esima della serie. Una serie si dice convergen-te, divergente positivamente, divergente negativamente, regolare, oscillante se tale è la successione{Sn}+∞

n=1. Il limite S di {Sn}+∞n=1, se esiste, si chiamasomma della serie e si scrive

+∞

∑n=1

xn = S .

Un risultato che fornisce una condizione necessaria per la convergenza di una serie è il seguente:

Proprietà B.2 (condizione necessaria per la convergenza)Se la serie (B.1) è convergente la successione{xn}+∞

n=1 è infinitesima.

È ben noto che inR vale la proprietà commutativa della somma; in altri termini, datin numeri reali, ilvalore della somma non si altera permutando gli addendi. E’ naturale chiedersi se tale proprietà valganel caso delle “somme infinite di numeri reali”, ovvero nel caso delle serie. Si può dimostrare che,in generale, la somma di una serie cambia se si permutano in modo del tutto arbitrario i termini dellaserie stessa. Un caso particolare è rappresentato dalle serieassolutamente convergenti.

Definizione B.1 (convergenza assoluta)La serie (B.1) si dice assolutamente convergente se è convergente la serie

+∞

∑n=1

|xn| ottenuta

considerando i valori assoluti della successione{xn}+∞n=1.

Si può dimostrare chese una serie è assolutamente convergente essa è anche convergente. Inoltre, siha che le serie assolutamente convergenti si caratterizzano come quelle serie convergenti la cui sommanon varia se si permutano in modo arbitrario i suoi termini.

Passiamo ora a considerare il caso delle successioni monolaterea valori complessi. Sia{zn}+∞n=1,

conzn = xn + j yn, una successione a termini complessi. PostoS1 = z1,S2 = z1+ z2, . . . ,Sn = z1+ z2+


· · ·+ zn, la successione a valori complessi{Sn}+∞n=1 si chiama serie (monolatera) di termine generalezn

e si indica con il seguente simbolo:

+∞

∑n=1

zn = z1 + z2 + . . .+ zn + . . . . (B.2)

Tale serie si dice convergente se la sua somma è un numero complesso, si dice divergente se la suasomma è infinita. Si noti che a differenza delle serie a valori reali non si parla in questo caso didivergenza positiva e negativa. Consideriamo ora le due serie a valori reali:

+∞

∑n=1

xn e+∞

∑n=1

yn , (B.3)

le cui successioni delle somme parziali indichiamo con{S′n}+∞n=1 e {S′′n}+∞

n=1, rispettivamente. Poichèrisulta cheSn = S

′n + j S

′′n, ∀n ∈ N, risulta ovviamente chela serie (B.2) è convergente se e solo se

sono convergenti le due serie (B.3). Inoltre, quando ciò accade, indicata conS′la somma della serie

di termine generalexn e conS′′

la somma della serie di termine generaleyn, la sommaS della serie(B.2) è pari aS = S

′+ j S

′′. Questo risulta mostra chiaramente che lo studio della convergenza di una

serie a valori complessi si riconduce allo studio della convergenza di due serie a valori reali. Pertanto,le definizioni e le proprietà enunciate per le serie a valori reali si estendono in maniera naturale alleserie a valori complessi.

B.1.3 Serie bilatere

Sianoz0,z1, . . . ,zn, . . . e z−1,z−2, . . . ,z−n, . . . due successioni a termini complessi2. La successione(doppia) di somme:{

n

∑h=−m

zh

}che presenta due indici, si diceserie bilatera e si indica con

+∞

∑h=−∞

zh . (B.4)

SeS è un numero complesso, dire che la serie bilatera converge adS significa che

limn,m→+∞

n

∑h=−m

zh = S ,

con n ed m tendenti all’infinito indipendentemente l’uno dall’altro. In altre parole, la serie (B.4) èconvergente e haS come somma se

∀ε > 0∃νε ∈ N : ∀n,m > νε =⇒∣∣∣∣∣S− n

∑h=−m

zh

∣∣∣∣∣< ε .

Il teorema che segue riduce il problema della convergenza di una serie bilatera a quello della conver-genza di serie monolatere.

2Poichè le definizioni e i risultati riguardanti le serie a valori reali si possono ottenere immediatamente particolarizzandoquelli relativi alle serie a valori complessi, nel seguito considereremo direttamente serie a valori complessi.

B.1 Successioni e serie numeriche 449

Teorema B.1 (convergenza di una serie bilatera)Condizione necessaria e sufficiente affinchè la (B.4) sia convergente è che risultino convergentile serie monolaterez0 + z1 + . . .+ zn + . . . e z−1 + z−2 + . . .+ z−n + . . .. Quando ciò accade, valel’uguaglianza:

+∞

∑h=−∞

zh =+∞

∑h=0

zh ++∞

∑h=1

z−h .

Si dice che la serie (B.4) è assolutamente convergente se è convergente la serie bilatera:+∞

∑h=−∞

|zh| .

Dal teor. B.1, si deduce checondizione necessaria e sufficiente affinchè la (B.4) sia assolutamenteconvergente è che risultino assolutamente convergenti le serie monolatere z0 + z1 + . . . + zn + . . . ez−1 + z−2 + . . . + z−n + . . .. Da ciò, tenuto conto che l’assoluta convergenza di una serie compor-ta la convergenza della medesima, si ha che ogni serie bilatera assolutamente convergente è ancheconvergente.

In questo testo faremo spesso ricorso a un diverso concetto di convergenza di una serie. Per ognin ∈ N0, la somma

n

∑h=−n

zh

si chiamasomma parziale n-esima simmetrica della serie bilatera. Si dice che la serie (B.4) èsimme-tricamente convergente se la successione delle sue somme parziali simmetriche{

n

∑h=−n

zh

}risulta convergente. Il limite di tale successione si dice allora lasomma simmetrica della serie (B.4).Risulta evidente il seguente risultato:

Teorema B.2 (convergenza simmetrica)La serie bilatera (B.4) è simmetricamente convergente se e solo se è convergente la seriemonolatera:

z0 ++∞

∑n=1

(zn + z−n) .

Se tale serie è convergente, la sua somma coincide con la somma simmetrica della serie (B.4).

Inoltre, si può verificare chese la (B.4) è convergente, essa è anche simmetricamente convergente ela sua somma coincide con quella simmetrica. Il viceversa non è vero in generale. Ad esempio, seconsideriamo la successione

zh =

1, perh > 0,

0, perh = 0,

−1, perh < 0,

è immediato verificare che la serie di termine generalezh è simmetricamente convergente e la suasomma simmetrica è uguale a zero, ma la stessa serie non è convergente.


B.1.4 Successioni sommabili

Sia 1≤ p < +∞. Una successione3 {xn}+∞n=1 a valori complessi si dicesommabile con esponente p se

la serie:

+∞

∑n=1

|xn|p

è convergente. In particolare, sep = 1, la successione si dicesommabile (senza alcun riferimento ap); nel caso in cuip = 2, la successione si dice aquadrato sommabile. L’insieme delle successioni avalori complessi sommabili con esponentep è usualmente indicato con�p. Risulta evidente che

∀α ∈ C e ∀{xn}+∞n=1 ∈ �p =⇒ {α xn}+∞

n=1 ∈ �p ,

cioè,l’insieme �p è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione per una costante, volendo inten-dere con ciò che, se{xn}+∞

n=1 è sommabile con esponentep, la successione{α xn}+∞n=1 è sommabile con

lo stesso esponente. Inoltre,∀n ∈ N e∀{xn}+∞n=1,{yn}+∞

n=1 ∈ �p, risultando che

|xn + yn|p ≤ (|xn|+ |yn|)p ≤ (2 max{|xn|, |yn|})p ≤ 2p (|xn|p + |yn|p)e tenendo presente il criterio del confronto per le serie numeriche, si ha che

∀{xn}+∞n=1,{yn}+∞

n=1 ∈ �p =⇒ {xn + yn}+∞n=1 ∈ �p ,

cioè,l’insieme �p è chiuso rispetto all’operazione di somma, volendo intendere con ciò che, se{xn}+∞n=1

ed{yn}+∞n=1 sono sommabili con esponentep, la successione{xn + yn}+∞

n=1 è sommabile con lo stessoesponente. Un risultato importante è il seguente:

Teorema B.3 (relazione di inclusione)Se 1≤ p < q < +∞, si ha:

�p ⊆ �q .

Questo teorema ci consente di affermare che se una successione è sommabile (p = 1) allora essaè anche a quadrato sommabile (p = 2). Il viceversa non è vero in generale. Si osservi che se lasuccessione{xn}+∞

n=1 è sommabile allora la serie (B.1) è assolutamente convergente per definizione. Inbase alla prop. B.2, la successione{xn}+∞

n=1 è sommabile solo se

limn→+∞

|xn|= 0.

Tale condizionenon è tuttavia sufficiente per la sommabilità, in quanto il verificarsi di quest’ultimadipende in maniera cruciale dallarapidità con cui la successione{|xn|}+∞

n=1 tende a zero al cresceredi n (ovvero dall’ordine di infinitesimo). A tale proposito, una condizione sufficiente frequentementeutilizzata per verificare se una successione risulta sommabile è rappresentata dal seguente teorema:

Teorema B.4 (criterio di sommabilità per le successioni monolatere)Sia {xn}+∞

n=1 una successione a valori complessi: se pern→ +∞ la successione è infinitesimacome 1/nα , conα > 1, allora{xn}+∞

n=1 è sommabile; viceversa, se pern→+∞ la successione èinfinitesima come 1/nα , conα ≤ 1, allora{xn}+∞

n=1 non è sommabile.

3Dato che la convergenza di una serie bilatera si riconduce a quella di due serie monolatere, per semplicità,considereremo solo successioni monolatere.

B.2 Funzioni complesse di una variabile reale 451

Nel caso di una successione bilatera, il precedente criterio di sommabilità si modifica come segue:

Teorema B.5 (criterio di sommabilità per le successioni bilatere)Sia{zh}+∞

h=−∞ una successione a valori complessi: se per|h| →+∞ la successione è infinitesimacome 1/|h|α , conα > 1, allora{zh}+∞

h=−∞ è sommabile; viceversa, se per|h|→+∞ la successioneè infinitesima come 1/|h|α , conα ≤ 1, allora{zh}+∞

h=−∞ non è sommabile.

B.2 Funzioni complesse di una variabile reale

Lo scopo di questa sezione è quello di richiamare alcuni risultati notevoli legati alle nozioni dicontinuità, derivabilità, integrabilità e sommabilità di una funzione. Per brevità, si farà riferimen-to direttamente alle funzioni a valori complessi di una variabile reale; tutti i risultati presentati siparticolarizzano senza alcuna difficoltà al caso di funzioni a valori reali.

B.2.1 Continuità e derivabilità

Sia f (x) = f1(x)+ j f2(x) una funzione complessa definita perx ∈ A ⊆ R. La funzionef (x) si dicecontinua in x = x0 ∈ A se

∀ε > 0∃νε > 0 : ∀x ∈ A∩ ]x0−νε ,x0 +νε [

=⇒ | f (x)− f (x0)|=√

[ f1(x)− f1(x0)]2 +[ f2(x)− f2(x0)]2 < ε

e si scrive sinteticamente

limx→x0

f (x) = f (x0) .

In tal caso, il puntox0 si dice essere unpunto di continuità di f (x). Si osservi che il valore di unafunzione in un punto di continuità non può essere infinito. Se la funzionef (x) è continua in ogni puntodi A si dice chef (x) è continua inA. Circa le funzioni continue sussistono le seguenti proprietà:

Proprietà B.3 (proprietà delle funzioni continue)(a) La somma, la differenza e il prodotto di un numero finito qualsiasi di funzioni continue è

ancora una funzione continua.

(b) Il quoziente di due funzioni continue è una funzione continua in ogni punto in cui ildenominatore è non nullo.

(c) Una funzione composta di funzioni continue è anch’essa una funzione continua.

Un puntox0 che non è un punto di continuità della funzionef (x) si dice un suopunto di discontinuità.Sex0 è un punto di discontinuità della funzionef (x), il valore della funzione in tal punto è indetermi-nato. In tal caso, un ruolo importante giocano illimite destro e il limite sinistro della funzione in talpunto. Si dice che la funzionef (x) ammette inx0 limite destro se

∀ε > 0∃νε > 0 : ∀x ∈ A∩ ]x0,x0 +νε [ =⇒ | f (x)− f (x0)|< ε


limx→x+

0

f (x) = f (x+0 ) .


Analogamente, si dice che la funzionef (x) ammette inx0 limite sinistro se

∀ε > 0∃νε > 0 : ∀x ∈ A∩ ]x0−νε ,x0[ =⇒ | f (x)− f (x0)|< ε


limx→x−0

f (x) = f (x−0 ) .

Risulta evidentemente chex0 è un punto di continuità per la funzionef (x) se e solo sef (x+0 ) =

f (x−0 ). In alcuni casi, può accadere che, sebbenef (x+0 ) = f (x−0 ), il valore della funzione inx0 non sia

determinato. In tal caso, si dice chex0 è un punto di discontinuitàeliminabile, in quanto si può porref (x0) = f (x+

0 ) = f (x−0 ) ed avere così una funzione continua inx0. Ad esempio, la funzione a valorireali seno cardinale

f (x) =sin(x)

x

è continua per in tutti i punti dell’asse reale, eccetto che perx = 0 dove non è definita. Tuttavia, invirtù del limite notevole

limx→0

sin(x)x

= 1,

si può porref (0) = 1 eliminando la discontinuità: la funzione così definita sarà continua per ognix ∈R. Se i valori f (x+

0 ) e f (x−0 ) sono finiti, maf (x+0 ) �= f (x−0 ), si dice allora che la funzionef (x) ha nel

puntox0 una discontinuità di prima specie o, il che è lo stesso,un salto finito s(x0) = f (x+0 )− f (x−0 ).

Sia f (x) = f1(x)+ j f2(x) una funzione complessa definita perx ∈ A⊆ R, perx0 ∈ A costruiamoil rapporto incrementale

f (x)− f (x0)x− x0

.

Se tale rapporto ha un limite finito perx→ x0, si dice che la funzionef (x) èderivabile in x0 e si pone

limx→x0

f (x)− f (x0)x− x0

= f ′(x0) =[

ddx

f (x)]

x=x0

.

Il numero f ′(x0) si chiamaderivata della funzionef (x) nel puntox0. Sussiste il seguente risultato:

Teorema B.6 (derivata di una funzione complessa)Condizione necessaria e sufficiente affinchè la funzione a valori complessif (x) sia derivabile inx0 è che tali siano le funzioni a valori realif1(x) e f2(x). Quando ciò accade risulta che

f ′(x0) = f ′1(x0)+ j f ′2(x0) .

Il seguente teorema invece chiarisce quali sono le relazioni tra derivabilità e continuità di una funzione:

Teorema B.7 (relazione tra derivabilità e continuità)Se la funzionef (x) è derivabile inx0, allora f (x) è continua inx0.


Questo risultato evidenzia che la continuità è una condizione necessaria ma non sufficiente per laderivabilità. In altre parole, se una funzione è continua in un dato punto non è detto che la funzionesia anche derivabile in quel punto. Se la funzionef (x) è definita in un intervallo chiuso[a,b], si diceche f (x) è derivabile ina oppure, dualmente, derivabile inb, se esiste finito il limite

limx→a+

f (x)− f (a)x−a

= f ′(a+) o, dualmente, limx→b−

f (x)− f (b)x−b

= f ′(b−) .

Il primo si chiamaderivata destra di f (x) nel puntoa, il secondo si chiamaderivata sinsitra di f (x)nel puntob.

B.2.2 Integrazione

Cominciamo col dare il concetto di primitiva di una funzione complessa. Siaf (x) = f1(x)+ j f2(x)una funzione complessa definita nell’intervallo(a,b), si chiamaprimitiva di f (x) ogni funzioneϕ (x) = ϕ1(x)+ j ϕ2(x), definita in(a,b), ivi derivabile e tale che:

ϕ′(x) = f (x) , ∀x ∈ (a,b) .

Risulta evidente cheϕ (x) è una primitiva dif (x) se e solo seϕ1(x) e ϕ2(x) sono primitive dif1(x) ef2(x), rispettivamente. È altresì evidente che seϕ (x) è una primitiva dif (x), tutte e solo le primitivedi f (x) sono le funzioni del tipoϕ (x)+ z, conz ∈ C.

Il caso più semplice da trattare è quello in cui la funzionef (x) è continua nell’intervallo compatto(chiuso e limitato)[a,b]. In tal caso, si pone per definizione:∫ b

af (x)dx =

∫ b

af1(x)dx+ j

∫ b

af2(x)dx .

Inoltre, in tal caso, seϕ (x) è una primitiva dif (x) si ha:∫ b

af (x)dx = ϕ (b)−ϕ (a) .

La funzione f (x) può non essere continua in uno o entrambi i punti estremi dell’intervallo(a,b). Sela funzione è discontinua nel puntob (supposto finito) o, dualmente, nel puntoa (supposto finito), sidice chef (x) è integrabile in (a,b) se esiste ed è finito il limite:

limx→b

∫ x

af (t)dt o, dualmente, lim

x→a

∫ b

xf (t)dt .

Quando ciò accade si pone per definizione:∫ b

af (x)dx = lim

x→b

∫ x

af (t)dt o, dualmente,

∫ b

af (x)dx = lim

x→a

∫ b

xf (t)dt .

Se invece la funzionef (x) è discontinua sia ina che inb, si dice chef (x) è integrabile in(a,b) se perognic ∈]a,b[ la funzionef (x) risulta integrabile in entrambi gli intervalli(a,c) e (c,b). In tal caso, sipone per definizione:∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx+

∫ b

cf (x)dx .

Più in generale, la funzionef (x) può presentare uno o più punti di discontinuità interni all’intervallo(a,b). In questo caso, la definizione di integrabilità della funzionef (x) richiede qualche attenzione.A tal proposito diamo la seguente definizione:


Definizione B.2 (funzione generalmente continua)La funzione f (x) = f1(x)+ j f2(x), definita inA, si dice generalmente continua nell’intervalloX ⊆ A se esiste una parteD di X vuota o finita, in modo che siano rispettate le condizioni:

(i) la funzione f (x) è continua inX−D;

(ii) se D �= ∅, ogni punto diD è di discontinuità perf (x).

SeX è illimitato, si dice chef (x) è generalmente continua inX se essa è generalmente continuain ogni intervallo compatto contenuto inX .

Si può dimostrare che, nel caso in cuiX è illimitato, l’insiemeD se non è vuoto o finito, risultanecessariamente numerabile. Siamo ora in grado di definire l’integrabilità dif (x) in (a,b) anchequando vi sono punti di discontinuità interni all’intervallo(a,b). Sia f (x) una funzione complessageneralmente continua nell’intervallo(a,b), cona eb finiti. Supponiamo che i punti interni ad(a,b) didiscontinuità perf (x) siano un numero finito, diciamolix1 < x2 < · · ·< xn−1, e poniamox0 = a edxn =b. Si dice chef (x) è integrabile in(a,b) se essa risulta integrabile in(xi,xi+1), ∀i ∈ {0,1, . . . ,n−1}.In tal caso, si pone per definizione:∫ b

af (x)dx =

n−1

∑i=0

∫ xi+1

xi

f (x)dx .

In altre parole, la presenza di un numero finito di discontinuità interne all’intervallo(a,b) non è signi-ficativa ai fini del calcolo dell’integrale dif (x) su tale intervallo. A questo punto, è lecito chiedersicosa succede se si considera l’integrabilità su tutto l’asse reale. Prima però, vediamo come si defi-nisce l’integrabilità su semirette del tipo[a,+∞[ oppure, dualmente,]−∞,a]. Sia f (x) una funzionecomplessa generalmente continua nell’intervallo[a,+∞[ o, dualmente,]−∞,a], ivi dotata di infinitipunti di discontinuità, integrabile in ogni intervallo compatto del tipo[a,λ ] conλ > a o, dualmente,integrabile in ogni intervallo compatto del tipo[λ ,a] con λ < a. Si dice chef (x) è integrabile in(a,+∞) o, dualmente, in(−∞,a), se esiste ed è finito il limite:

limx→+∞

∫ x

af (t)dt o, dualmente, lim

x→−∞

∫ a

xf (t)dt .

In tal caso, si pone per definizione:∫ +∞

af (x)dx = lim

x→+∞

∫ x

af (t)dt o, dualmente,

∫ a

−∞f (x)dx = lim

x→−∞

∫ a

xf (t)dt .

Alla luce di queste definizioni, possiamo attribuire un significato all’integrale dif (x) su tutto l’assereale. Siaf (x) una funzione complessa generalmente continua inR, ivi dotata di infiniti punti didiscontinuità, integrabile in ogni intervallo compatto. Si dice chef (x) è integrabile inR se per ognic ∈ R la funzionef (x) risulta integrabile in(−∞,c) e in (c,+∞). In tal caso, si pone per definizione:∫ +∞

−∞f (x)dx =

∫ c

−∞f (x)dx+

∫ +∞

cf (x)dx .

Possiamo quindi affermare che la presenza di una infinità numerabile di discontinuità non influiscesul calcolo dell’integrale dif (x) suR.

Un concetto importante che ricorre spesso nelle applicazioni è quello di funzione sommabile.Sia f (x) = f1(x)+ j f2(x) una funzione complessa generalmente continua in(a,b), si dice chef (x)


è sommabile o assolutamente integrabile in (a,b) se la funzione reale| f (x)|, che è generalmentecontinua in(a,b), risulta integrabile in(a,b). Sussistendo le disuguaglianze:

| f1(x)| ≤ | f (x)| ≤ | f1(x)|+ | f2(x)| ,| f2(x)| ≤ | f (x)| ≤ | f1(x)|+ | f2(x)| ,

e stante il criterio del confronto, si ha chela funzione f (x) è sommabile in (a,b) se e solo se lo sonole funzioni f1(x) ed f2(x). Ne seguono le seguenti proprietà:

Proprietà B.4 (proprietà delle funzioni sommabili)(a) Sef (x) è sommabile in(a,b), allora f (x) è anche integrabile in(a,b).

(b) Se f (x) è sommabile in(a,b), risulta:∣∣∣∣∫ b

af (x)dx

∣∣∣∣≤ ∫ b

a| f (x)|dx .

Una funzione complessa generalmente continua nell’intervallo(a,b), che sia integrabile ma non som-mabile in(a,b) si dice semplicemente integrabile oppureintegrabile in senso improprio in (a,b), edil relativo integrale assume la denominazione diintegrale improprio. Il punto che rimane da chiarireè come si calcola un integrale improprio. Per fare ciò, dobbiamo generalizzare la nozione di primitivadi una funzione.

Definizione B.3 (primitiva generalizzata)Sia f (x) = f1(x)+ j f2(x) una funzione complessa generalmente continua nell’intervallo(a,b),si chiama primitiva generalizzata dif (x) ogni funzione complessaϕ (x) = ϕ1(x) + j ϕ2(x)soddisfacente le seguenti condizioni:

(i) la funzioneϕ (x) è continua in(a,b);

(ii) la funzioneϕ (x) è derivabile in ogni puntox di (a,b) in cui f (x) è continua e si ha:

ϕ′(x) = f (x) .

In virtù di questa definizione, possiamo richiamare il seguente risultato:

Teorema B.8 (calcolo dell’integrale improprio)Sia f (x) una funzione complessa generalmente continua nell’intervallo(a,b). Se f (x) è integra-bile in (a,b), dettaϕ (x) una primitiva generalizzata dif (x), si ha cheϕ (x) converge nei puntiae b, e risulta:∫ b

af (x)dx = lim

x→bϕ (x)− lim

x→aϕ (x) .

Un’osservazione importante circa l’integrabilità dif (x) su R è la seguente. In virtù di quantosopra richiamato, sef (x) è una funzione generalmente continua inR e ivi integrabile, esistono e sonofiniti i limiti:

limα→−∞

∫ 0

αf (x)dx e lim

β→+∞

∫ β

0f (x)dx ,


e l’integrale di f (x) suR è dato da∫ +∞

−∞f (x)dx = lim

α→−∞

∫ 0

αf (x)dx+ lim

β→+∞

∫ β

0f (x)dx .

In questo caso,α e β tendono a−∞ e +∞, rispettivamente, indipendentemente l’uno dall’altro. Ciòdetto, consideriamo adesso il seguente integrale:

limλ→+∞

∫ λ

−λf (x)dx ,

dove le ipotesi suf (x) sono che essa sia generalmente continua inR e integrabile in ogni intervallocompatto. Tale integrale quando esiste ed è finito prende il nome divalor principale di Cauchy dif (x) esteso adR e la funzionef (x) si diceintegrabile nel senso del valor principale. È immediatoverificare che sef (x) è integrabile inR, allora

limλ→+∞

∫ λ

−λf (x)dx = lim

α→−∞

∫ 0

αf (x)dx+ lim

β→+∞

∫ β

0f (x)dx .

In altre parole, sef (x) è integrabile in senso improprio suR allora essa è integrabile anche nel sensodel valor principale e i due integrali forniscono lo stesso risultato. Viceversa, se la funzionef (x) èintegrabile nel senso del valor principale, non è detto chef (x) sia integrabile in senso improprio suR. Ad esempio, si consideri la seguente funzione

f (x) = sign(x)�=

{1, sex≥ 0 ;

−1, sex < 0.

È immediato verificare che tale funzione non è integrabile suR in senso improprio. Il suo integrale avalor principale invece esiste ed è dato da:

limλ→+∞

∫ λ

−λf (x)dx = lim

λ→+∞

[∫ 0

−λf (x)dx+

∫ λ

0f (x)dx

]= 0.

B.2.3 Sommabilità

Sia 1≤ p < +∞. La funzione complessaf (x), definita inA, si dicesommabile con esponente p suXse la funzione reale| f (x)|p è sommabile suX , cioè esiste ed è finito l’integrale∫

X| f (x)|pdx .

In particolare, sep = 1, la funzione si dicesommabile (senza alcun riferimento ap); nel caso incui p = 2, la funzione si dice aquadrato sommabile. L’insieme delle funzioni a valori complessisommabili con esponentep è usualmente indicato conL p(X). Risulta evidente che

∀α ∈ C e ∀ f (x) ∈L p(X) =⇒ α f (x) ∈L p(X) ,

cioè, l’insieme L p(X) è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione per una costante, volendointendere con ciò che, sef (x) è sommabile con esponentep, la funzioneα f (x) è sommabile con lostesso esponente. Inoltre,∀ f (x),g(x) ∈L p(X), poichè risulta che

| f (x)+g(x)|p ≤ 2p (| f (x)|p + |g(x)|p) ,


si ha che

∀ f (x),g(x) ∈L p(X) =⇒ f (x)+g(x) ∈L p(X) ,

cioè, l’insieme L p(X) è chiuso rispetto all’operazione di somma, volendo intendere con ciò che, sef (x) ed g(x) sono sommabili con esponentep, la funzione f (x) + g(x) è sommabile con lo stessoesponente. Circa la sommabilità (p = 1) di una funzione, similmente a quanto fatto per le successioni,sussiste il seguente criterio:

Teorema B.9 (criterio di sommabilità per le funzioni)Sia f (x) una funzione generalmente continua inR e integrabile in ogni intervallo compatto:se per|x| → +∞ la funzione tende a zero come 1/|x|α , con α > 1, allora f (x) è sommabile;viceversa, se per|x| → +∞ la funzione tende a zero come 1/|x|α , conα ≤ 1, allora f (x) non èsommabile.

In sintesi, una funzione risulta sommabile se all’infinito risulta infinitesima di ordine maggiore ad 1;in caso contrario, risulta non sommabile. Una differenza importante rispetto alle successioni riguardale relazioni di inclusione tra gli insiemiL p(X) e L q(X), con p �= q. A tal proposito, sussiste ilseguente risultato:

Teorema B.10 (relazione di inclusione)Sia 1≤ p < q < +∞. SeX ha misura finita, si ha:

L q(X)⊆L p(X) .

È importante osservare che seX ha misura infinita,non c’è alcuna relazione di inclusione tra gliinsiemiL p(X) eL q(X). Questo aspetto è chiarito nell’esempio seguente, con riferimento agli spaziL 1(R) edL 2(R).

� Esempio B.1 (relazioni tra segnali sommabili e a quadrato sommabile)La funzione

f (x) =1√

1+ x2

appartiene aL 2(R), in quanto| f (x)|2 è continua inR ed infinitesima del secondo ordine nei punti±∞. Tutta-via, tale funzione non appartiene aL 1(R), in quantof (x) = | f (x)| è continua inR ed infinitesima del primoordine nei punti±∞. Viceversa, la funzione

f (x) =e−x2√|x|

appartiene aL 1(R), in quanto f (x) = | f (x)| è continua inR−{0}, infinita di ordine 1/2 nel punto zero edinfinitesima di ordineα , per ogniα > 0, nei punti±∞. Tuttavia, tale funzione non appartiene aL 2(R), inquanto| f (x)|2 è continua inR−{0} ed infinita del primo ordine nel punto zero. �


Appendice C

Proprietà matematiche dellaconvoluzione

L a somma di convoluzione e l’integrale di convoluzione giocano un ruolo molto importante nellateoria dei sistemi LTI a tempo discreto e a tempo continuo, rispettivamente. In questa appendicesono brevemente richiamati alcuni risultati notevoli circa l’esistenza e la convergenza dell’integrale diconvoluzione e della somma di convoluzione.

C.1 Integrale di convoluzione

SiaS un sistema TC LTI con risposta impulsivah(t). L’uscitay(t) di tale sistema in risposta al segnaledi ingressox(t) si ottiene risolvendo uno dei due seguenti integrali di convoluzione:

y(t) =∫ +∞

−∞x(τ )h(t− τ )dτ =

∫ +∞

−∞h(τ )x(t− τ )dτ . (C.1)

Tali integrali non sono sempre definiti e, qualora lo siano, non è detto chey(t) assuma valori finiti perogni t ∈ R.

L’integrale di convoluzione1 gode di alcune proprietà interessanti. La prima proprietà riguarda laconvergenza dell’integrale di convoluzione. A tale proposito, osserviamo che, se la risposta impulsivaè una funzione limitata, cioè|h(t)| ≤Kh, per ognit ∈R e conKh ∈R+, la funzione integranda ammettela maggiorazione:

|x(τ )h(t− τ )|= |x(τ )| |h(t− τ )| ≤ Kh |x(τ )| .In aggiunta, se il segnale di ingresso è sommabile suR, cioè∫ +∞

−∞|x(τ )|dτ = Ix , conIx ∈ R+ ,

1Nel seguito faremo riferimento al primo integrale nella (C.1) la cui funzione integranda èx(τ )h(t−τ ). Tutte le conside-razioni fatte per tale integrale si applicano anche al secondo integrale, la cui funzione integranda èh(τ )x(t−τ ), scambiandosemplicemente i ruoli tra segnale di ingresso e risposta impulsiva.

460 Proprietà matematiche della convoluzione

la funzione di due variabilix(τ )h(t− τ ) ammette come maggiorante la funzione non negativa e in-tegrabile|x(τ )|, per ognit ∈ R. In virtù del criterio di Cauchy circa la convergenza uniforme degliintegrali, possiamo quindi dire che l’integrale (C.1) è convergente e converge uniformemente rispettoa t ∈ R. Inoltre, poiché

|y(t)|=∣∣∣∣∫ +∞

−∞x(τ )h(t− τ )dτ

∣∣∣∣≤ ∫ +∞

−∞|x(τ )| |h(t− τ )|dτ ≤ Kh

∫ +∞

−∞|x(τ )|dτ , (C.2)

segue che|y(t)| ≤ Ky�= Kh Ix, per ognit ∈ R, ovvero il segnaley(t) è limitato. Possiamo quindi

enunciare la seguente proprietà:

Proprietà C.1 (convergenza dell’integrale di convoluzione)Se il segnale di ingressox(t) [la risposta impulsivah(t)] è sommabile e la risposta impulsivah(t) [il segnale di ingressox(t)] è una funzione limitata, allora l’integrale di convoluzione (C.1)converge uniformemente rispetto at ∈ R e, quindi, il segnale di uscitay(t) è limitato.

Supponiamo ora cheentrambe le funzioni x(t) e h(t) coinvolte nella convoluzione siano sommabilisu R e, conseguentemente, ivi integrabili (cfr. § B.2.2). Consideriamo la seguente funzione di duevariabili:

ψ(τ , t) = x(τ )h(t− τ ) ,

definita inR2. Notiamo che

y(t) =∫ +∞

−∞x(τ )h(t− τ )dτ =

∫ +∞

−∞ψ(τ , t)dτ .

Nell’ipotesi in cui x(t) e h(t) siano sommabili suR, mediante semplici passaggi ed un cambio divariabile nell’integrale in dt, risulta che:∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞|ψ(τ , t)|dt

)dτ =

∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞|x(τ )||h(t− τ )|dt

)dτ

=∫ +∞

−∞|x(τ )|

(∫ +∞

−∞|h(t− τ )|dt

)dτ

=∫ +∞

−∞|x(τ )|

(∫ +∞

−∞|h(u)|du

)dτ

=(∫ +∞

−∞|x(τ )|dτ

)(∫ +∞

−∞|h(u)|du

)< +∞ , (C.3)

quindi, invocando il teorema di Tonelli,2 possiamo affermare che la funzioneψ(τ , t) è sommabile suR2. Invocando il teorema di Fubini,3 in conseguenza della sommabilità suR2 della funzioneψ(τ , t),

2 SianoU eV due sottoinsiemi misurabili diR e f (u,v) una funzione misurabile suU×V , il teorema di Tonelli consentedi affermare che se∫

U

(∫V| f (u,v)|dv

)du < +∞ ,

allora f (u,v) è sommabile suU×V .3 SianoU eV due sottoinsiemi misurabili diR e f (u,v) una funzione definita quasi ovunque suU ×V e ivi misurabile,

in base al teorema di Fubini si può affermare che, se la funzionef (u,v) è sommabile suU×V , allora risulta che∫U

(∫V

f (u,v)dv

)du =

∫U×V

f (u,v)dudv =∫

V

(∫U

f (u,v)du

)dv .

C.2 Somma di convoluzione 461

segue che, nell’integrale doppio della funzioneψ(τ , t), l’ordine di integrazione rispetto at e τ èinessenziale, per cui:∫ +∞

−∞y(t)dt =

∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞ψ(τ , t)dτ

)dt =

∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞ψ(τ , t)dt

)dτ (C.4)

=∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞x(τ )h(t− τ )dt

)dτ =

∫ +∞

−∞x(τ )

(∫ +∞

−∞h(t− τ )dt

)dτ (C.5)

=(∫ +∞

−∞x(τ )dτ

)(∫ +∞

−∞h(u)du

), (C.6)

da cui si evince che il segnale di uscitay(t) è anch’esso integrabile su tutto l’asse reale e il risultatodell’integrazione è dato dal prodotto dell’integrale del segnale di ingressox(t) e dell’integrale dellarisposta impulsivah(t). Poiché anche la funzione|ψ(τ , t)| è sommabile suR2, è possibile applicareancora il teorema di Fubini per scambiare l’ordine di integrazione nell’integrale doppio della funzione|ψ(τ , t)|. Si ha allora, con semplici passaggi ed un cambiamento di variabile nell’integrale in dt:∫ +∞

−∞|y(t)|dt =

∫ +∞

−∞

∣∣∣∣∫ +∞

−∞ψ(τ , t)dτ

∣∣∣∣dt

≤∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞|ψ(τ , t)|dτ

)dt =

∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞|ψ(τ , t)|dt

)dτ

=∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞|x(τ )h(t− τ )|dt

)dτ =

∫ +∞

−∞|x(τ )|

(∫ +∞

−∞|h(t− τ )|dt

)dτ

=(∫ +∞

−∞|x(τ )|dτ

)(∫ +∞

−∞|h(u)|du

)< +∞ , (C.7)

il che prova chey(t) è sommabile suR. Riassumendo, possiamo enunciare la seguente proprietà:

Proprietà C.2 (sommabilità e area della convoluzione TC)Se il segnale di ingressox(t) e la risposta impulsivah(t) sono funzioni sommabili suR, allora ilsegnale di uscitay(t) è anch’esso una funzione sommabile (ed integrabile) suR, e si ha∫ +∞

−∞y(t)dt =

(∫ +∞

−∞x(t)dt

)(∫ +∞

−∞h(t)dt

). (C.8)

La (C.8) può essere riletta dicendo che, sex(t) e h(t) sono sommabili suR, l’area Ay del segnaledi uscitay(t) è data dal prodotto dell’areaAx del segnale di ingresso e di quellaAh della rispostaimpulsiva, ossiaAy = Ax Ah.

C.2 Somma di convoluzione

Sia S un sistema TD LTI con risposta impulsivah(n). L’uscita y(n) di tale sistema in risposta alsegnale di ingressox(n) si ottiene risolvendo una delle due seguenti somme di convoluzione:

y(n) =+∞

∑k=−∞

x(k)h(n− k) =+∞

∑k=−∞

h(k)x(n− k) . (C.9)

Tali somme, essendo in effetti delle serie, non sono sempre definite e, qualora lo siano, non è dettoche il segnale risultantey(n) assuma valori finiti per ognin ∈ Z.

462 Proprietà matematiche della convoluzione

La somma di convoluzione4 gode di alcune proprietà interessanti, che sono le controparti di quellegià discusse per l’integrale di convoluzione. La prima proprietà riguarda la convergenza della sommadi convoluzione. A tale proposito, osserviamo che, se la risposta impulsiva è una successione limitata,cioè|h(n)| ≤ Kh, per ognin ∈ Z e conKh ∈ R+, ed il segnale di ingresso è sommabile, cioè

+∞

∑k=−∞

|x(k)|= Ix , conIx ∈ R+ ,

segue che, per ognin ∈ Z,

|y(n)|=∣∣∣∣∣ +∞

∑k=−∞

x(k)h(n− k)

∣∣∣∣∣≤ +∞

∑k=−∞

|x(k)| |h(n− k)| ≤ Kh

+∞

∑k=−∞

|x(k)| ≤ Ky�= Kh Ix , (C.10)

ovvero il segnale di uscitay(n) è limitato. Possiamo quindi enunciare la seguente proprietà:

Proprietà C.3 (convergenza della somma di convoluzione)Se il segnale di ingressox(n) [la risposta impulsivah(n)] è sommabile e la risposta impulsivah(n) [il segnale di ingressox(n)] è una successione limitata, allora la somma di convoluzione(C.9) è convergente per ognin ∈ Z e, quindi, il segnale di uscitay(n) è limitato.

Supponiamo ora che entrambi le successionix(n) e h(n) coinvolte nella convoluzione siano somma-bili, ragionando analogamente a quanto fatto nel caso TC,5 si può dimostrare il seguente risultato:

Proprietà C.4 (sommabilità della convoluzione TD)Se il segnale di ingressox(n) e la risposta impulsivah(n) sono successioni sommabili, allora ilsegnale di uscitay(n) è anch’esso una successione sommabile e si ha:

+∞

∑n=−∞

y(n) =

(+∞

∑n=−∞

x(n)

)(+∞

∑n=−∞

h(n)

). (C.11)

In altre parole, la (C.11) può essere riletta dicendo che, sex(n) e h(n) sono sommabili, l’areaAy delsegnale di uscitay(n) è data dal prodotto dell’areaAx del segnale di ingresso e di quellaAh dellarisposta impulsiva, ossiaAy = Ax Ah.

4Nel seguito faremo riferimento alla prima somma nella (C.9) il cui termine generale èx(k)h(n− k). Tutte le conside-razioni fatte per tale integrale si applicano anche alla seconda somma, il cui termine generale èh(k)x(n− k), scambiandosemplicemente i ruoli tra segnale di ingresso e risposta impulsiva.

5I teoremi di Tonelli e Fubini (note 2 e 3) si possono applicare anche nel caso TD, assumendo chef (u,v) abbia unandamento costante a tratti sia rispetto adu che av, ovvero, f (u,v) = a(�,m) peru ∈ (�,�+1)⊂U e v ∈ (m,m +1) ⊂ V ,con�,m ∈ Z; in tal caso, gli integrali che compaiono negli enunciati dei teoremi diventano somme di successioni.

Appendice D

Invertibilità di un sistema

I n questa appendice è discusso con maggiore dettaglio il concetto di invertibilità di un sistema. Poi-chè un sistema è matematicamente descritto da una trasformazione o operatore, il concetto di inverti-bilità di un sistema è strettamente legato a quello di invertibilità di un operatore [11]. In particolare,sono discussi alcuni esempi che evidenziano come l’invertibilità di un sistema sia una proprietà nonelementare, il cui studio richiede un’appropriata formalizzazione matematica, nella quale giocano unruolo fondamentale gli insiemiI eU dei segnali di ingresso e di uscita del sistema.

D.1 Invertibilità di un sistema

Prima di studiare l’invertibilità di un sistema LTI, richiamiamo brevemente il modello matematico disistema e la definizione di invertibilità di un sistema, al fine di discutere alcuni esempi interessanti.

Un sistema SISO – TC o TD – è un modello matematico che descrive la relazione tra un segnale diingressox(·) ed un segnale di uscitay(·). Tale modello matematico è descritto da unatrasformazione:

S : I → U , (D.1)

che istituisce una relazione tra l’insieme dei segnali di ingressoI e l’insieme dei segnali di uscitaU.Se i segnali appartenenti agli insiemiI e U sono TD, allora il sistema è TD; viceversa, se i segnaliappartenenti agli insiemiI e U sono TC, allora il sistema è TC. In questa appendice, invece dellenotazione complete (3.2) e (3.3) per le relazioni i-u dei sistemi, si utilizzerà la notazione semplificata:

y(·) = S[x(·)] .Ricordiamo che (cfr. def. 3.8) il sistema (D.1) si diceinvertibile se, comunque si fissi un segnale diuscitay(·) ∈ U, esiste un unico segnale di ingressox(·) ∈ I tale che

S [x(·)] = y(·) . (D.2)

Se il sistema è invertibile, allora si può far corrispondere ad ogni segnaley(·) ∈ U l’unico segnalex(·) ∈ I che soddisfa la (D.2). Il sistema

S−1 : U → I ,

464 Invertibilità di un sistema

che realizza questa corrispondenza si dice ilsistema inverso del sistemaS. Da un punto di vistasistemistico, la cascata diS eS−1 (nell’ordine) realizza la trasformazione identica, nel senso che

S−1{S[x(·)]}= x(·) , per ogni segnale di ingressox(·) ∈ I .

Si può verificare che, seS−1 è il sistema inverso diS, allora anche il sistemaS−1 è invertibile e si ha:

S{S−1[y(·)]}= y(·) , per ogni segnaley(·) ∈ U .

Si osservi che, oltre alla trasformazioneS, la natura degli insiemiI edU gioca un ruolo fondamentalenello studio dell’invertinilità di un sistema. Questo aspetto è chiarito dai seguenti esempi.

� Esempio D.1 (invertibilità dell’integratore TC) Studiamo l’invertibilità del sistemaSint : Iint → Uint, ilcui legame i-u è dato da:

y(t) =∫ t

−∞x(u)du , (D.3)

che rappresenta un integratore TC (cfr. es. 3.1). Affinchè abbia senso studiare l’invertibilità di tale sistema,l’insiemeIint dei segnali di ingresso deve essere costituito da tutti i segnali{x(u)}u∈R che risultano integrabilisulla semiretta(−∞, t), ∀t ∈ R. A seguito di questa restrizione, ad esempio, il segnale costantex(u) = a, cona ∈ C−{0}, non può appartenere all’insiemeIint. L’insiemeUint è costituito da tutti i segnali che si possonoscrivere nella formay(t) = X(t)−X(−∞), doveX(t) è una primitiva dix(t) ∈ Iint. È interessante osservareche, dettoy1(t) l’uscita del sistema corrispondente al segnale di ingressox1(t) ∈ Iint, non esiste alcun segnalex2(t) ∈ Iint, diverso dal segnalex1(t), la cui corrispondente uscitay2(t) differisce day1(t) per una costantenon nulla, cioè tale per cuiy2(t) = y1(t) + c, con c ∈ R−{0}. La prova di questa proprietà si può ottenereragionando per assurdo. Sianox1(t),x2(t) ∈ Iint due segnali diversi, ossiax1(t) �= x2(t), le cui corrispondentiuscite siano legate, per ognit ∈ R, dalla relazione:

y2(t)− y1(t) = c ⇐⇒∫ t

−∞x2(u)du−

∫ t

−∞x1(u)du = c ⇐⇒

∫ t

−∞[x2(u)− x1(u)]du = c ,

da cui derivando ambo i membri dell’ultima relazione, si ottienex2(t)− x1(t) = 0, per ognit ∈ R, il che violal’ipotesi chex1(t) �= x2(t).

L’integratore TC è un sistema invertibile. A tale proposito, è sufficiente osservare che, derivando ambo imembri della (D.3), si ha:

ddt

y(t) = x(t) ,

da cui si evince che l’integratore è un sistema invertibile e, in aggiunta, che il suo sistema inverso è il sistemache opera la derivata prima del segnale di ingresso:

S−1int : y(t) ∈ Uint → d

dty(t) ∈ Iint .

A sua volta, quest’ultimo sistema è invertibile ed il suo sistema inverso è l’integratore TC. Si faccia beneattenzione che ciònon vuol dire che il derivatore sia in generale un sistema invertibile. Infatti, se consideriamoil sistema:

S : y(t) ∈ U → ddt

y(t) ∈ I ,

per il quale non sussiste alcuna restrizione sui segnali appartenenti adU, si ottiene un sistema non invertibile.Infatti, due segnali appartenenti adU che differiscono per una costante, ad esempioy1(t) edy2(t) = y1(t)+ c,con c ∈ R−{0}, hanno la stessa derivata e quindi generano in uscita lo stesso segnale; pertanto, il sistemaS

non può essere invertibile. Ciò non accade invece per il sistemaS−1int in quanto non esistono nell’insiemeUint

due segnali che differiscono per una costante. �

D.1 Invertibilità di un sistema 465

� Esempio D.2 (invertibilità dell’accumulatore o integratore TD) Studiamo l’invertibilità del sistemaSacc :Iacc→ Uacc, il cui legame i-u è dato da:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) ,

detto accumulatore o integratore TD (cfr. es. 3.2). Affinchè abbia senso studiare l’invertibilità di tale sistema,l’insieme Iacc dei segnali di ingresso deve essere costituito da tutte le successioni{x(k)}k∈Z la cui sommaparziale perk≤ n risulta finita,∀n∈Z. A seguito di questa restrizione, ad esempio, il segnale costantex(k) = a,con a ∈ C− {0}, non può appartenere all’insiemeIacc. Per quanto riguarda l’insiemeUacc è interessanteosservare che, dettay1(n) l’uscita del sistema corrispondente al segnale di ingressox1(n) ∈ Iacc, non esistealcun segnalex2(n) ∈ Iacc, diverso dal segnalex1(n), la cui corrispondente uscitay2(n) differisce day1(n) peruna costante non nulla, cioè tale per cuiy2(n) = y1(n)+ c, conc ∈ R−{0}. La prova di questa proprietà sipuò ottenere ragionando per assurdo. Sianox1(n),x2(n) ∈ Iacc due segnali diversi, ossiax1(n) �= x2(n), le cuicorrispondenti uscite sia legate, per ognin ∈ Z, dalla relazione:

y2(n)− y1(n) = c ⇐⇒n

∑k=−∞

x2(k)−n

∑k=−∞

x1(k) = c ⇐⇒n

∑k=−∞

[x2(k)− x1(k)] = c . (D.4)

Poichè l’ultima relazione deve valere per ognin ∈ Z, deve quindi valere anche che:

n−1

∑k=−∞

[x2(k)− x1(k)] = c , (D.5)

da cui sottraendo membro a membro la (D.5) e la terza relazione nella (D.4), si ottienex2(n)− x1(n) = 0, perogni n ∈ Z, il che viola l’ipotesi chex1(n) �= x2(n).

L’accumulatore è un sistema invertibile. A tal fine, osserviamo che la relazione i-u dell’accumulatore sipuò scrivere anche in forma ricorsiva:

y(n) = y(n−1)+ x(n) ,

per cui si ricava univocamente la relazione inversa:

x(n) = y(n)− y(n−1) ,

sulla base della quale si può affermare che l’accumulatore è un sistema invertibile e, in aggiunta, che il suosistema inverso è il sistema che opera la differenza prima causale:

S−1acc : y(n) ∈ Uacc→ ∇ 1[y(n)] ∈ Iacc.

Tale sistema è invertibile ed il suo sistema inverso è l’accumulatore. Si faccia bene attenzione che ciònon vuoldire che il sistema che opera la differenza prima sia in generale un sistema invertibile. Infatti, se consideriamoil sistema:

S : y(n) ∈ U → ∇ 1[y(n)] ∈ I ,

dove non sussiste alcuna restrizione sui segnali appartenenti adU e I, si ottiene un sistema non invertibile.Infatti, due segnali che differiscono per una costante, ad esempioy1(n) edy2(n) = y1(n)+ c, conc ∈ R−{0},generano la stessa sequenza:

x1(n) = y1(n)− y1(n−1) ,

x2(n) = y2(n)− y2(n−1) = [y1(n)+ c]− [y1(n−1)+ c] = y1(n)− y1(n−1) = x1(n) ,

per cui il sistemaS non può essere invertibile. Ciò non accade invece per il sistemaS−1acc in quanto non esistono

nell’insiemeUacc due segnali che differiscono per una costante. �


� Esempio D.3 (invertibilità del decimatore e dell’espansore)Si verifica facilmente che la cascata di unespansore e di un decimatore conM = L, nell’ordine, realizza la trasformazione identica. Infatti, il sistemaespansoreSesp : Iesp→ Uespè caratterizzato dal legame i-u:

y(n) = x[ n

L

]=

{x( n

L

), sen è multiplo diL ;

0, altrimenti,

da cui si evince che non esiste alcuna restrizione sui segnali di ingresso, mentre l’insiemeUesp è costituito dasegnaliy(n) che assumono valore nullo in tutti gli istanti di tempon che non sono multipli diL. Se consideriamoil sistema:

S−1esp : y(n) ∈ Uesp→ y(nL) ∈ Iesp,

otteniamo che

S−1esp{Sesp[x(n)]}= x

[nLL

]= x(n) .

Pertanto, l’espansoreSespè invertibile ed il suo sistema inversoS−1espè un decimatore che opera sui segnali appar-

tenenti all’insiemeUesp. A sua volta, anche il sistemaS−1espè invertibile ed il suo sistema inverso è un espansore.

Si faccia bene attenzione che ciònon vuol dire che un decimatore sia in generale un sistema invertibile. Infatti,se consideriamo il sistema

S : y(n) ∈ U → y(nM) ∈ I ,

per il quale non sussiste alcuna restrizione sui segnali appartenenti adU, si ottiene un sistema non invertibile,in quanto l’operazione di decimazione comporta inevitabilmente la perdita di alcuni campioni del segnale diingresso che non possono essere recuperati da nessun sistema posto in serie a valle del decimatore. Per ilsistemaS−1

espciò non accade in quanto esso è un decimatore operante sui segnali appartenenti all’insiemeUesp,i quali assumono valore nullo negli istanti di tempo che non sono multipli diL = M, per cui tali campioni nonsono importanti per la ricostruzione esatta dell’andamento del segnale. �

D.2 Invertibilità di un sistema LTI

Un sistemaS è lineare se soddisfa il principio di sovrapposizione (cfr. prop. 3.3):

S[α1 x1(·)+α2 x2(·)] = α1 y1(·)+α2 y2(·) , ∀α1,α2 ∈ C , (D.6)

dove l’uguaglianza sussiste per ogni coppia di segnali di ingressox1(·),x2(·)∈ I, le cui corrispondentiuscite sianoy1(·) = S[x1(·)] ey2(·) = S[x2(·)]. Supponiamo che, oltre ad essere lineare, il sistemaS siaanche invertibile e siaS−1 il suo sistema inverso. In tal caso, a partire dalla (D.6) e dalla definizionedi sistema inverso segue che:

S−1{S[α1 x1(·)+α2 x2(·)]}= α1 x1(·)+α2x2(·) = S−1[α1 y1(·)+α2 y2(·)] . (D.7)

Per definizione di sistema inverso segue anche che:

S−1[y1(·)] = x1(·) e S−1[y2(·)] = x2(·) ,

da cui moltiplicando queste due uguaglianze perα1 eα2, rispettivamente, e sommando, si ottiene:

α1S−1[y1(·)]+α2S−1[y2(·)] = α1 x1(·)+α2 x2(·) . (D.8)

D.2 Invertibilità di un sistema LTI 467

Confrontando le (D.6) e (D.8), possiamo quindi scrivere che:

S−1[α1 y1(·)+α2 y2(·)] = α1S−1[y1(·)]+α2S−1[y2(·)] ,dalla quale possiamo concludere che il sistema inversoS−1 soddisfa anch’esso al principio di sovrap-posizione ed è quindi, per definizione, un sistema lineare. In base a tali considerazioni, possiamopertanto enunciare il seguente risultato:

Proprietà D.1 (linearità del sistema inverso)Dato un sistemaS invertibile, seS è lineare ancheS−1 è lineare.

La prop. D.1 mette in luce che se un sistema è lineare ed invertibile, il corrispondente sistema inversoè lineare. Cerchiamo di capire se un risultato analogo vale anche per la proprietà di invarianza tem-porale. Per fare ciò, soffermiamo l’attenzione sul caso di sistemi TC. Si ricordi preliminarmente che,dettay(t) = S[x(t)] la risposta del sistemaS all’arbitrario segnale di ingressox(t) ∈ I, il sistema è TIse

S[x(t− t0)] = y(t− t0) , ∀t0 ∈ R . (D.9)

Se il sistemaS è invertibile edS−1 è il suo sistema inverso, risulta cheS−1[y(t)] = x(t), per ogniy(t) ∈ U. D’altra parte, a partire dalla (D.9) e dalla definizione di sistema inverso segue che:

S−1{S[x(t− t0)]}= x(t− t0) = S−1[y(t− t0)] , (D.10)

da cui si evince che, sex(t) è la risposta del sistema inverso al segnale di ingressoy(t), allora larisposta del sistema inverso al segnale di ingressoy(t−t0) èx(t−t0). In altre parole, ad una traslazionetemporale del segnale di ingresso il sistema inverso fa corrispondere una eguale traslazione temporaledel segnale di uscita. Per definizione, il sistemaS−1 è allora TI. Con ovvie modifiche, è possibiledimostrare che vale lo stesso risultato anche per i sistemi TD. Possiamo quindi concludere che vale laseguente proprietà:

Proprietà D.2 (invarianza temporale del sistema inverso)Dato un sistemaS invertibile, se S è invariante temporalmente ancheS−1 è invariantetemporalmente.

Mettendo insieme le prop. D.1 e D.2, possiamo quindi ottenere l’importante risultato che chese unsistema LTI è invertibile, allora il corrispondente sistema inverso è anch’esso LTI. Nei due esempiche seguono, utilizzando la prop. 4.7, studieremo l’invertibilità di sistemi LTI.

� Esempio D.4 (invertibilità dell’integratore TC in termini di risposta impulsiva) Riconsideriamo il siste-ma integratore TC (cfr. es. D.1), il cui legame i-u è:

y(t) =∫ t

−∞x(u)du . (D.11)

Abbiamo già mostrato che tale sistema è TI (cfr. es. 3.18) e si può facilmente verificare che tale sistema èanche lineare, per cui l’integratore (D.11) è un sistema LTI. La risposta impulsiva di tale sistema si può ottenereosservando che la (D.11) si può scrivere come una convoluzione:

y(t) =∫ t

−∞x(u)du =

∫ +∞

−∞x(τ )u(t− τ )dτ , (D.12)


dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(t − τ ) = 0 per t − τ < 0 e quindi perτ > t.Confrontando la (D.12) con la (4.12), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è:

h(t) = u(t) ,

ossia la risposta impulsiva del sistema integratore è proprio il gradino unitario. Abbiamo visto nell’es. D.1 chel’integratore TC è un sistema invertibile e, in aggiunta, che il suo sistema inverso è il sistema derivatore, il cuilegame i-u è dato da:

y(t) =ddt

x(t) . (D.13)

Si tratta di un sistema chiaramente lineare (l’operatore di derivazione è per sua natura lineare). Tale sistema èanche TI, infatti, utilizzando la regola di derivazione delle funzioni composte è immediato ottenere:

ddt

x(t− t0) =[

ddu

x(u)]

u=t−t0

[ddt

(t− t0)]

= y(t− t0) .

La risposta impulsiva del sistema derivatore si può calcolare applicando la definizione di risposta impulsiva,ponendox(t) = δ(t) nella (D.13), ottenendo così:

hinv(t) =ddt

δ(t) .

Verifichiamo che tale sistema è effettivamente il sistema inverso dell’integratore TC. Per fare ciò, in virtù dellaprop. 4.7, dobbiamo verificare che

hinv(t)∗h(t) = δ(t) . (D.14)

Si ha:

hinv(t)∗h(t) =∫ +∞

−∞hinv(τ )h(t− τ )dτ =

∫ +∞

−∞

[ddτ

δ(τ )]

u(t− τ )dτ

Invocando la prop. 2.2(f), la (2.9) e applicando nuovamente la regola di derivazione delle funzione composte,si ha: ∫ +∞

−∞

[ddτ

δ(τ )]

u(t− τ )dτ =−[

ddτ

u(t− τ )]

τ=0=−

{[dds

u(s)]

s=t−τ

[ddτ

(t− τ )]}

τ=0

= δ(t− τ )∣∣∣τ=0

= δ(t) .

Pertanto, la (D.14) è verificata e, quindi, il derivatore è il sistema inverso dell’integratore TC. �

� Esempio D.5 (invertibilità dell’integratore TD o accumulatore in termini di risposta impulsiva) Si ricon-sideri l’integratore TD o accumulatore (cfr. es. D.2), avente relazione i-u:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) . (D.15)

Si può facilmente verificare che l’integratore TD è un sistema LTI. La risposta impulsiva di tale sistema si puòottenere osservando che la (D.15) si può scrivere come una convoluzione:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) =+∞

∑k=−∞

x(k)u(n− k) , (D.16)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(n−k) = 0 pern−k < 0 ovvero perk > n. Confron-tando la (D.16) con la (4.7), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è:

h(n) = u(n) ,

D.2 Invertibilità di un sistema LTI 469

ossia la risposta impulsiva del sistema integratore TD è proprio il gradino unitario. Si è mostrato nell’es. D.2che l’accumulatore è un sistema invertibile e, in aggiunta, che il suo sistema inverso è il sistema che opera ladifferenza prima causale, il cui legame i-u è dato da:

y(n) = ∇ 1[x(n)] = x(n)− x(n−1) . (D.17)

La risposta impulsiva di tale sistema si può calcolare applicando la definizione di risposta impulsiva, ponendox(n) = δ(n) nella (D.17), ottenendo così:

hinv(n) = δ(n)−δ(n−1) .

Verifichiamo che tale sistema è effettivamente il sistema inverso dell’integratore TD. Per fare ciò, in virtù dellaprop. 4.7, dobbiamo verificare che:

hinv(n)∗h(n) = δ(n) . (D.18)

Per la verifica di tale uguaglianza, osserviamo che, invocando la prop. 4.2(c) e 4.2(d), si ha:

hinv(n)∗h(n) = [δ(n)−δ(n−1)]∗u(n) = u(n)−u(n−1) = δ(n) .

Pertanto, la (D.18) è verificata e, quindi, il sistema che effettua la differenza prima causale è il sistema inversodell’accumulatore. �


Appendice E

Proprietà della serie di Fourier

I n questa Appendice sono riportate schematicamente le proprietà più importanti della serie di Fourierper segnali periodici TC e TD. Inoltre, con riferimento ai segnali periodici TC, è brevemente discussoil problema della convergenza in media quadratica della serie di Fourier.

E.1 Serie di Fourier a TC

E.1.1 Definizioni

Siax(t) un segnale periodico di periodoT0 = 1/ f0 ∈ R+:

x(t) FS←→ Xk

x(t) =+∞

∑k=−∞

Xk e j2πk f0t (equazione di sintesi)

Xk =1T0

∫T0

x(t)e− j2πk f0t dt (equazione di analisi)

E.1.2 Proprietà

1. Linearità:

α1 x(t)+α2 y(t) FS←→ α1 Xk +α2Yk , ∀α1,α2 ∈ C .

Nota: x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0.

2. Simmetria:

x(−t) FS←→ X−k ,

x∗(t) FS←→ X∗−k ,

x∗(−t) FS←→ X∗k .

472 Proprietà della serie di Fourier

Nota: come conseguenza, un segnale pari ha coefficienti di Fourier pari (Xk = X−k), un segnaledispari ha coefficienti di Fourier dispari (Xk = −X−k), un segnale reale ha coefficienti di Fourierhermitiani (X∗k = X−k), un segnale reale e pari ha coefficienti di Fourier reali e pari, un segnalereale e dispari ha coefficienti di Fourier immaginari puri e dispari.

3. Traslazione nel tempo:

y(t) = x(t− t0)FS←→ Yk = Xk e− j2πk f0t0 , ∀t0 ∈ R .

Nota: una traslazione nel tempo non altera lo spettro di ampiezza del segnale.

4. Traslazione in frequenza:

y(t) = x(t)e j2πk0 f0t FS←→ Yk = Xk−k0 ∀k0 ∈ Z .

5. Cambiamento di scala:

y(t) = x(at) FS←→ Yk = Xk , ∀a ∈ R+ .

Nota: x(t) periodico di periodo T0, per cui y(t) = x(at) è periodico di periodo T0/a. Pertanto losviluppo di x(t) è relativo al periodo T0, mentre quello di y(t) = x(at) è relativo al periodo T0/a.Se a < 0, risulta che y(t) = x(at) = x(−|a|t), per cui in base alla prop. 2, segue che Yk = X−k.

6. Derivazione:

y(t) =ddt

x(t) FS←→ Yk = ( j2πk f0)Xk .

7. Convoluzione periodica:

z(t) =1T0

∫T0

x(τ )y(t− τ )dτ FS←→ Zk = Xk Yk .

Nota: x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0. Nella convoluzione periodica l’integrale èesteso al periodo T0.

8. Prodotto:

z(t) = x(t)y(t) FS←→ Zk = Xk ∗Yk =+∞

∑�=−∞

X�Yk−� .

Nota: x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0.

9. Parseval:

Px =1T0

∫T0

|x(t)|2dt =+∞

∑k=−∞

|Xk|2 , Pxy =1T0

∫T0

x(t)y∗(t)dt =+∞

∑k=−∞

Xk Y ∗k .

Nota: nella seconda, x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0.

E.2 Serie di Fourier a TD (DFS) 473

E.2 Serie di Fourier a TD (DFS)

E.2.1 Definizione

Siax(n) un segnale periodico di periodoN0 ∈ N, wN0

�= e− j2π/N0:

x(n) DFS←→ X(k)

x(n) =1

N0

N0−1

∑k=0

X(k)w−knN0

(equazione di sintesi)

X(k) =N0−1

∑n=0

x(n)wknN0

(equazione di analisi)

E.2.2 Proprietà

1. Linearità:

α1 x(n)+α2 y(n) DFS←→ α1 X(k)+α2Y (k) , ∀α1,α2 ∈ C .

Nota: x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0.

2. Simmetria:

x(−n) DFS←→ X(−k) = X(N0− k) ,

x∗(n) DFS←→ X∗(−k) = X∗(N0− k) ,

x∗(−n) DFS←→ X∗(k) .

Nota: come conseguenza, un segnale pari ha DFS pari [X(k) = X(−k) = X(N0− k)], un segnaledispari ha DFS dispari [X(k) = −X(−k) = −X(N0− k)], un segnale reale ha DFS hermitiana[X∗(k) = X(−k) = X(N0− k)], un segnale reale e pari ha DFS reale e pari, un segnale reale edispari ha DFS immaginaria pura e dispari.


y(n) = x(n−n0)DFS←→ Y (k) = X(k)wkn0

N0, ∀n0 ∈ Z .

Nota: una traslazione nel tempo non altera lo spettro di ampiezza del segnale.


y(n) = x(n)w−k0nN0

DFS←→ Y (k) = X(k− k0) , ∀k0 ∈ Z .

5. Dualità:

x(n) DFS←→ X(k)

X(n) DFS←→ N0 x(−k)

Nota: la dualità non sussiste per la serie di Fourier a TC.


6. Differenza prima:

y(n) = x(n)− x(n−1) DFS←→ Y (k) = (1−wkN0

)X(k) .

7. Convoluzione periodica:

z(n) = ∑N0

x(m)y(n−m) DFS←→ Z(k) = X(k)Y (k) .

Nota: x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0. Nella convoluzione periodica la sommatoriaè estesa al periodo N0.

8. Prodotto:

z(n) = N0 x(n)y(n) DFS←→ Z(k) = ∑N0

X(�)Y (k− �) .

Nota: x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0. I coefficienti Z(k) sono il risultato dellaconvoluzione periodica tra X(k) e Y (k).

9. Parseval:

Px =1

N0∑N0

|x(n)|2 =1

N20

∑N0

|X(k)|2 , Pxy =1

N0∑N0

x(n)y∗(n) =1

N20

∑N0

X(k)Y ∗(k) .

Nota: nella seconda, x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0.

E.3 Convergenza in media quadratica della serie di Fourier

La serie di Fourier per segnali TC, essendo il risultato della combinazione lineare di un numeroinfini-to di fasori, può risultare non convergente. Tale problema non sussiste invece per la DFS, in quanto unqualunque segnale TD periodico, con periodoN0, si può esprimere esattamente come combinazionelineare diN0 fasori. Nel § 5.2.1, si è discussa la convergenza uniforme e puntuale della serie di Fourierdi un segnale TC periodico con periodoT0, fornendo alcune condizioni per questi tipi di convergen-za. In questo paragrafo, discuteremo invece il problema della convergenza in media quadratica dellaserie di Fourier a TC, che pone condizioni meno restrittive (soddisfatte da tutti i segnali di interesseingegneristico) sulla famiglia dei segnali periodici rappresentabili in serie di Fourier.

Il punto di partenza per lo studio della convergenza della serie di Fourier affrontato nel § 5.2.1 èriconducibile allo studio della convergenza della somma parzialeM-esima (5.16) della serie di funzio-ni (5.15), al limite perM→+∞. Si noti che nella (5.16) i coefficienti della combinazione lineare sonoquelli di Fourier definiti dalla equazione di analisi (5.11). Qui affronteremo in partenza un problemapiù generale, considerando la seguente somma parzialeM-esima:

x̌M(t) =M

∑k=−M

λk e j2πk f0t , conM ∈ N , (E.1)

dove, a differenza della (5.16), i coefficientiλk ∈ C della combinazione lineare sono dei parametri dadeterminare. Più precisamente, il nostro obiettivo è quello di trovare una risposta ai seguenti quesiti:

(i) per un fissatoM (finito), qual’è la scelta “migliore” dei coefficientiλk, ovvero la scelta tale dagarantire che ˇxM(t) sia una versione il più fedele possibile del segnalex(t)?

E.3 Convergenza in media quadratica della serie di Fourier 475

(ii) se x(t) è un segnale a quadrato sommabile sul periodoT0, che non verifica tutte le condizioni diDirichlet1 (cfr. teor. 5.2), il segnale ˇxM(t) può convergere in qualche modo adx(t), perM→+∞?

Se il segnalex(t) non soddisfa tutte le condizioni di Dirichlet, allora può succedere che la sommaparziale (5.16) non converga puntualmente al segnalex(t); questo significa che, perM → +∞, ilsegnale limM→∞ x̌M(t) può differire dal segnale di partenzax(t) in corrispondenza di uno o più valoridi t (al limite, pertutti i valori di t). Tuttavia, adoperando definizioni meno restrittive di uguaglianza,è possibile ancora individuare una similitudine tra i segnali ˇxM(t) ex(t). In effetti, mentre due numeria e b sono uguali se e solo se la loro differenza|a− b| è nulla, la differenza tra due funzioni si puòvalutare in diversi modi, non tutti equivalenti tra loro. Nel nostro caso, poichè entrambi i segnalix(t)e x̌M(t) sono periodici di periodoT0, possiamo soffermare l’attenzione su un arbitrario periodoT0. Unmodo per poter misurareglobalmente la differenza tra i due segnalix(t) e x̌M(t) è quello di definire ilcosiddettoscarto quadratico medio, normalizzato al periodo:

Pe(M)�=

1T0

∫T0

|x̌M(t)− x(t)|2dt , (E.2)

che è nullo solo sex(t) è uguale ad ˇxM(t) quasi ovunque sul periodoT0, altrimenti è una quantitàpositiva, il cui valore è un indicatore della differenza tra ˇxM(t) ed x(t). Dal punto di vista fisico,

essendo i due segnali ˇxM(t) ed x(t) entrambi periodici con periodoT0, la loro differenzaeM(t)�=

x̌M(t)− x(t) è ancora un segnale periodico dello stesso periodo; pertanto, lo scarto quadratico mediorappresenta (cfr. § 2.6.1) la potenza del segnale periodicoeM(t), ovvero dell’errore che si commetteapprossimando il segnalex(t) con la somma parzialeM-esima ˇxM(t).2

Siamo ora in grado di dare una risposta al quesito (i). Supponiamo d’ora in avanti chex(t) sia unsegnale di potenza (cfr. § 2.6.1), con potenza finita

Px =1T0

∫T0

|x(t)|2dt < +∞ .

Sviluppando il modulo al quadrato che compare nella (E.2), si giunge alla seguente forma:

Pe(M) =1T0

∫T0

|x(t)|2dt−2Re

{1T0

∫T0

x(t) x̌∗M(t)dt

}+

1T0

∫T0

|x̌M(t)|2dt ,

da cui sostituendo l’espressione (E.1) di ˇxM(t) si ottiene:

Pe(M) =1T0

∫T0

|x(t)|2dt−2Re

M

∑k=−M

λ ∗k1T0

∫T0

x(t)e− j2πk f0t dt︸︷︷︸Xk

+

M

∑k=−M

M

∑h=−M

λk λ ∗h1T0

∫T0

e j2π(k−h) f0t dt︸︷︷︸δ(k−h)

=1T0

∫T0

|x(t)|2dt−2Re

{M

∑k=−M

λ ∗k Xk

}+

M

∑k=−M

|λk|2 , (E.3)

1Se il segnalex(t) è a quadrato sommabile sul periodoT0, esso è sommabile suT0 (cfr. teor. B.10) e verifica quindi laprima condizione (d1) di Dirichlet; tuttavia, il segnalex(t) può non soddisfare le condizioni (d2) e (d3) ma essere a quadratosommabile.

2Si noti che lo scarto quadratico medioPe(M) si può calcolare non solo per i segnalix(t) continui, ma anche per quellidiscontinui, come pure per i segnali non limitati sul periodoT0, a patto che l’integrale che compare nella definizione (E.2)esista finito.


dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato l’ortogonalità dei fasorixk(t) = e j2πk f0t [si veda la (5.4)].

Sommando e sottraendo al secondo membro della (E.3) il termineM

∑k=−M

|Xk|2, si ottiene, dopo qualche

semplice manipolazione algebrica, che:

Pe(M) =1T0

∫T0

|x(t)|2dt−M

∑k=−M

|Xk|2 +M

∑k=−M

|λk−Xk|2 = Px−Px(M)+M

∑k=−M

|λk−Xk|2 ,

(E.4)

dovePx(M) (cfr. § 5.4.3) è la potenza del segnalexM(t) ottenuto troncando la serie di Fourier. Come èovvio, per un fissato valore diM, lo scarto quadratico medioPe(M) dipende dai valori dei coefficientiλk utilizzati per combinare linearmente i fasori nella (E.1). Alla luce di questo risultato, il quesito(i) si può riformulare più precisamente come segue:qual’è il valore dei coefficienti λk che minimizzalo scarto quadratico medio tra x(t) e x̌M(t)? La risposta a tale quesito si ottiene immediatamentedalla (E.4) osservando che il primo e il secondo addendo non dipendono dai coefficientiλk; l’unicoaddendo che dipende daλk è il terzo, che assume solo valorinon negativi. Pertanto, visto comefunzione dei coefficientiλk, lo scarto quadratico medioPe(M) assume il suo valore minimo quando ilterzo addendo nella (E.4) è nullo, il che avviene se e solo se:

λk = Xk =1T0

∫T0

x(t)e− j2πk f0t dt .

Notiamo chela scelta “ottima” (a minimo scarto quadratico medio per ogni fissato M) dei coefficientiλk è data proprio dall’equazione di analisi (5.11)della serie di Fourier. In altre parole, la sommaparzialeM-esima (5.16) è la migliore approssimazione del segnalex(t), utilizzando come misura loscarto quadratico medio (E.2). Perλk = Xk, la (E.4) diventa semplicemente:

Pe(M) = Px−Px(M) , (E.5)

dalla quale, osservato che per definizionePe(M)≥ 0, si ottiene:

Px(M)≤ Px ⇒M

∑k=−M

|Xk|2≤ 1T0

∫T0

|x(t)|2dt , per ogniM ∈ N ,

che prende il nome didisuguaglianza di Bessel.3 In virtù di tale osservazione, possiamo dire che sex(t) è un segnale di potenza (0<Px <+∞), i coefficienti di FourierXk risultano essere una successionea quadrato sommabile (appartenente ad�2), cioè:

+∞

∑k=−∞

|Xk|2 < +∞ .

Passiamo ora a considerare il secondo quesito (ii), dando la seguente definizione: si dice che la seriedi Fourier (5.15)converge in media quadratica al segnalex(t) se

limM→+∞

Pe(M) = 0, (E.6)

3La (E.5) può evidentemente essere riscritta comePe(M) = Px (1− ξM), dove il coefficienteξM�= Px(M)

Pxè già stato

definito nel § 5.4.3, e la disuguaglianza di Bessel stabilisce cheξM ≤ 1.

E.3 Convergenza in media quadratica della serie di Fourier 477

ovvero se lo scarto quadratico tra i segnalixM(t) edx(t) tende a zero al divergere diM. Valutando la(E.5) al limite, si ottiene che la serie di Fourier converge in media quadratica al segnalex(t) se e solose:

limM→+∞

Pe(M) = limM→∞

[Px−Px(M)] = 0 ⇐⇒ Px = limM→∞

Px(M) =+∞

∑k=−∞

|Xk|2 ,

ovvero se e solo se sussiste l’uguaglianza di Parseval (cfr. prop. 5.4). Riassumendo quando dettofinora possiamo enunciare la seguente proprietà:

Proprietà E.1 (convergenza in media quadratica della serie di Fourier)Siax(t) FS←→ Xk un segnale TC periodico di periodoT0, a quadrato sommabile sul periodoT0.La serie di Fourier (5.10) converge in media quadratica al segnalex(t), nel senso che

limM→+∞

∫T0

∣∣∣x(t)− M

∑k=−M

Xke j2πk f0t∣∣∣2dt = 0,

se e solo se sussiste l’uguaglianza di Parseval, cioè

Px =1T0

∫T0

|x(t)|2dt =+∞

∑k=−∞

|Xk|2 .

Si può dimostrare [11] che per ogni segnale a quadrato sommabile sul periodoT0 si verifica l’ugua-glianza di Parseval e, quindi, qualunque sia il segnalex(t) ∈L 2[(a,a + T0)], cona ∈ R, la serie diFourier ad esso associata è convergente in media quadratica. Osserviamo infine che,se la serie diFourier converge uniformemente al segnale x(t), allora essa è convergente anche in media quadraticaallo stesso segnale. La verifica di questa proprietà si ottiene facilmente ricordando che, se la serie diFourier converge uniformemente al segnalex(t), per ogniε > 0 si può trovare unNε ∈ N tale che inogni puntot ∈ R e per tutti i valori diM > Nε sia verificata la disuguaglianza:

|xM(t)− x(t)|< ε

e, di conseguenza, si ha:

Pe(M) =1T0

∫T0

|xM(t)− x(t)|2dt <1T0

∫T0

ε2dt = ε2 ,

da cui discende la (E.6).Il viceversa non è necessariamente vero: cioè, la serie di Fourier può con-vergere in media quadratica al segnalex(t) anche quando non converge uniformemente ax(t). In altritermini, la convergenza in media quadratica è più “debole” della convergenza uniforme. Per quantoriguarda la convergenza puntuale, si può mostrare chela convergenza in media quadratica al segnalex(t) della serie di Fourier non implica in generale la convergenza puntuale. Inversamente, la serie diFourier può convergere puntualmente e, nel frattempo, non convergere in media quadratica.


Appendice F

Proprietà della trasformata di Fourier

I n questa Appendice sono riportate schematicamente le proprietà più importanti della trasformata diFourier per segnali TC e TD. Inoltre, sono riportate alcune trasformate notevoli (TC e TD).

F.1 Trasformata di Fourier a TC

F.1.1 Definizioni

x(t) FT←→ X( f )

x(t) =∫ +∞

−∞X( f )e j2π f t d f (equazione di sintesi)

X( f ) =∫ +∞

−∞x(t)e− j2π f t dt (equazione di analisi)

F.1.2 Proprietà

1. Linearità:

α1 x(t)+α2 y(t) FT←→ α1 X( f )+α2Y ( f ) , ∀α1,α2 ∈ C .

2. Valore nell’origine:

X(0) =∫ +∞

−∞x(t)dt , x(0) =

∫ +∞

−∞X( f )d f .

Nota: vale se le quantità calcolate ad ambo i membri sono finite.

3. Dualità:

x(t) FT←→ X( f ) ,

X(t) FT←→ x(− f ) .

480 Proprietà della trasformata di Fourier

4. Simmetria:

x(−t) FT←→ X(− f ) ,

x∗(t) FT←→ X∗(− f ) ,

x∗(−t) FT←→ X∗( f ) .

Nota: come conseguenza, un segnale pari ha spettro pari, un segnale dispari ha spettro dispari,un segnale reale ha spettro hermitiano, un segnale reale e pari ha spettro reale e pari, un segnalereale e dispari ha spettro immaginario puro e dispari.


y(t) = x(t− t0)FT←→ Y ( f ) = X( f )e− j2π f t0 , ∀t0 ∈ R .


y(t) = x(t)e j2π f0t FT←→ Y ( f ) = X( f − f0) , ∀ f0 ∈ R .

7. Modulazione:

y(t) = x(t) cos(2π f0t +ϕ0)FT←→ Y ( f ) =

12

e jϕ0X( f − f0)+12

e− jϕ0X( f + f0) , ∀ f0,ϕ0 ∈R .

8. Cambiamento di scala:

y(t) = x(at) FT←→ Y ( f ) =1|a|X

(fa

), ∀a ∈ R−{0} .

9. Derivazione nel tempo:

y(t) =dk

dtk x(t) FT←→ Y ( f ) = ( j2π f )kX( f ) , ∀k ∈ N .

10. Derivazione in frequenza:

(−t)k x(t) FT←→ 1( j2π)k

dk

d f k X( f ) , ∀k ∈ N .

11. Integrazione:

y(t) =∫ t

−∞x(τ )dτ FT←→ Y ( f ) =

12

X(0)δ( f )+X( f )j2π f

.

Nota: se X(0) =∫ +∞

−∞x(t)dt = 0 si ha una versione semplificata (senza la parte impulsiva).

12. Convoluzione:

z(t) = x(t)∗ y(t) =∫ +∞

−∞x(τ )y(t− τ )dτ FT←→ Z( f ) = X( f )Y ( f ) .

F.1 Trasformata di Fourier a TC 481

13. Prodotto:

z(t) = x(t)y(t) FS←→ Z( f ) = X( f )∗Y ( f ) =∫ +∞

−∞X(λ )Y ( f −λ )dλ .

14. Parseval:

Ex =∫ +∞

−∞|x(t)|2dt =

∫ +∞

−∞|X( f )|2d f , Exy =

∫ +∞

−∞x(t)y∗(t)dt =

∫ +∞

−∞X( f )Y ∗( f )d f .

Nota: x(t) e y(t) segnali di energia (a quadrato sommabile).

15. Replicazione/campionamento:

y(t) =+∞

∑k=−∞

x(t− kT0)FT←→ Y ( f ) =

1T0

+∞

∑k=−∞

X

(kT0

)δ(

f − kT0

), ∀T0 ∈ R+ ,

y(t) =+∞

∑k=−∞

x(kT0)δ(t− kT0)FT←→ Y ( f ) =

1T0

+∞

∑k=−∞

X

(f − k

T0

), ∀T0 ∈ R+ .

16. Formule di Poisson:

+∞

∑k=−∞

x(t− kT0) =1T0

+∞

∑k=−∞

X

(kT0

)e j2π k

T0t, ∀T0 ∈ R+ (prima formula di Poisson),

+∞

∑k=−∞

x(kT0)e− j2π k

T0t =

1T0

+∞

∑k=−∞

X

(f − k

T0

), ∀T0 ∈ R+ (seconda formula di Poisson).


F.1.3 Trasformate notevoli

Segnalex(t) TrasformataX( f )

δ(t) 1

1 δ( f )

u(t)12

δ( f )+1

j2π f

sgn(t)1

jπ f1t

− jπsgn( f )

rect(t) sinc( f )

Λ(t) sinc2( f )

sinc(t) rect( f )

sinc2(t) Λ( f )

e−at u(t), a ∈ R+1

a+ j2π f

t e−atu(t), a ∈ R+1

(a+ j2π f )2

e−a|t|, a ∈ R+2a

a2 +(2π f )2

e j2π f0t δ( f − f0)

cos(2π f0t +ϕ0)12

e jϕ0 δ( f − f0)+12

e− jϕ0 δ( f + f0)

sin(2π f0t +ϕ0)12 j

e jϕ0 δ( f − f0)− 12 j

e− jϕ0 δ( f + f0)

+∞

∑k=−∞

δ(t− kT0), T0 ∈ R+1T0

+∞

∑k=−∞

δ(

f − kT0

)Nota: applicando la proprietà di dualità è possibile ottenere da ogni

coppia x(t) FT←→ X( f ) una nuova coppia X(t) FT←→ x(− f ) (le piùimportanti sono comunque riportate per completezza).

F.2 Trasformata di Fourier a TD

F.2.1 Definizioni

x(n) FT←→ X(ν)

x(n) =∫ 1/2

−1/2X(ν)e j2πνn dν (equazione di sintesi)

X(ν) =+∞

∑n=−∞

x(n)e− j2πνn (equazione di analisi)

Nota: X(ν) è una funzione periodica di periodo 1.

F.2 Trasformata di Fourier a TD 483

F.2.2 Proprietà

1. Linearità:

α1 x(n)+α2 y(n) FT←→ α1 X(ν)+α2Y (ν) , ∀α1,α2 ∈ C .

2. Valore nell’origine:

X(0) =+∞

∑n=−∞

x(n) , x(0) =∫ 1/2

−1/2X(ν)dν .

Nota: vale se le quantità calcolate ad ambo i membri sono finite.

3. Simmetria:

x(−n) FT←→ X(−ν) ,

x∗(n) FT←→ X∗(−ν) ,

x∗(−n) FT←→ X∗(ν) .

Nota: come conseguenza, un segnale pari ha spettro pari, un segnale dispari ha spettro dispari,un segnale reale ha spettro hermitiano, un segnale reale e pari ha spettro reale e pari, un segnalereale e dispari ha spettro immaginario puro e dispari.


y(n) = x(n−n0)FT←→ Y (ν) = X(ν)e− j2πνn0 , ∀n0 ∈ Z .


y(n) = x(n)e j2πν0n FT←→ Y (ν) = X(ν −ν0) , ∀ν0 ∈ R .

6. Modulazione:

y(n) = x(n) cos(2πν0n+ϕ0)FT←→ Y (ν) =

12

e jϕ0X(ν−ν0)+12

e− jϕ0X(ν +ν0) , ∀ν0,ϕ0∈R .

7. Espansione:

y(n) = x[n

L

]FT←→ Y (ν) = X(Lν) , ∀L ∈ N .

8. Decimazione:

y(n) = x(nM) FT←→ Y (ν) =1M

M−1

∑k=0

X

(ν − k

M

), ∀M ∈ N .

9. Differenza:

∇ k[x(n)] = ∇ 1{∇ k−1[x(n)]} FT←→ Y (ν) =(1− e− j2πν)k

X(ν) , ∀k ∈ N .


10. Derivazione in frequenza:

(−n)k x(n) FT←→ 1( j2π)k

dk

dν k X(ν) , ∀k ∈ N .

11. Somma:

y(n) =n

∑k=−∞

x(k) FT←→ Y (ν) =12

X(0) δ̃(ν)+X(ν)

1− e− j2πν .

Nota: se X(0) =+∞

∑n=−∞

x(n) = 0 si ha una versione semplificata (senza la parte impulsiva).

12. Convoluzione:

z(n) = x(n)∗ y(n) =+∞

∑k=−∞

x(k)y(n− k) FT←→ Z(ν) = X(ν)Y (ν) .

13. Prodotto:

z(n) = x(n)y(n) FT←→ Z(ν) = X(ν)∗Y (ν) =∫ 1/2

−1/2X(λ )Y (ν −λ )dλ .

Nota: nel dominio della frequenza si effettua la convoluzione periodica.

14. Parseval:

Ex =+∞

∑n=−∞

|x(n)|2 =∫ 1/2

−1/2|X(ν)|2dν , Exy =

+∞

∑n=−∞

x(n)y∗(n) =∫ 1/2

−1/2X(ν)Y ∗(ν)dν .

Nota: x(n) e y(n) segnali di energia (a quadrato sommabile).

15. Replicazione/campionamento:

y(n) =+∞

∑k=−∞

x(n− kN0)FT←→ Y (ν) =

1N0

N0−1

∑k=0

X

(k

N0

)δ̃(

ν − kN0

), ∀N0 ∈ N ,

y(n) =+∞

∑k=−∞

x(kN0)δ(n− kN0)FT←→ Y (ν) =

1N0

N0−1

∑k=0

X

(ν − k

N0

), ∀N0 ∈ N .

16. Formule di Poisson:

+∞

∑k=−∞

x(n− kN0) =1

N0

N0−1

∑k=0

X

(k

N0

)e j2π k

N0n, ∀N0 ∈ N (prima formula di Poisson),

+∞

∑k=−∞

x(kN0)e− j2π k

N0n =

1N0

N0−1

∑k=0

X

(ν − k

N0

), ∀N0 ∈ N (seconda formula di Poisson).

F.2 Trasformata di Fourier a TD 485

F.2.3 Trasformate notevoli

Segnalex(n) TrasformataX(ν)

δ(n) 1

1 δ̃(ν)

u(n)12

δ̃(ν)+1

1− e− j2πν

sgn(n)2

1− e− j2πν

RN(n) DN(ν)

B2N(n)1N

D2N(ν)e− j2πν

sinc(2νcn), 0< νc < 12

12νc

rep1

[rect

(ν

2νc

)]sinc2(2νcn), 0< νc < 1

21

2νcrep1

[Λ(

ν2νc

)]anu(n), |a|< 1

11−ae− j2πν

(n+1)anu(n), |a|< 11

(1−ae− j2πν)2

a|n|, |a|< 11−a2

1+a2−2a cos(2πν)e j2πν0n δ̃(ν −ν0)

cos(2πν0n+ϕ0)12

e jϕ0 δ̃(ν −ν0)+12

e− jϕ0 δ̃(ν +ν0)

sin(2πν0n+ϕ0)12 j

e jϕ0 δ̃(ν −ν0)− 12 j

e− jϕ0 δ̃(ν +ν0)

+∞

∑k=−∞

δ(n− kN0), N0 ∈ N1

N0

N0−1

∑k=0

δ̃(

ν − kN0

)


Bibliografia

Algebra lineare

[1] F.R. Gantmacher.The Theory of Matrices. Chelsea Publishing Company, New York, 1959.

[2] R.A. Horn, C.R. Johnson.Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

Analisi matematica

[3] D. Greco.Complementi di analisi. Liguori, Napoli, 1967.

[4] E.W. Weisstein. “Landau Symbols.” FromMathWorld–A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/LandauSymbols.html

[5] E.W. Weisstein. “Uniform Convergence.” FromMathWorld–A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/UniformConvergence.html

[6] E.W. Weisstein. “Weierstrass M-Test.” FromMathWorld–A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassM-Test.html

[7] E.W. Weisstein. “Bounded Variation.” FromMathWorld–A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/BoundedVariation.html

[8] E.W. Weisstein. “Gibbs Phenomenon.” FromMathWorld–A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/GibbsPhenomenon.html

[9] J.W. Gibbs, “Fourier’s series,”Nature 59 (1898) 200 and 59 (1899) 606;Collected Works, vol.2, Longmans, Green and Co., 1931, pp. 258–260.

[10] H.S. Carslaw.Introduction to the theory of Fourier’s series and integrals. Macmillan and Co.,London, 1921.

[11] A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin.Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale. EdizioniMir., Mosca, 1980.

[12] L. Amerio. Analisi matematica (con elementi di analisi funzionale).. UTET, Torino, 1977,

[13] A. Papoulis.The Fourier integral and its applications. McGraw-Hill, New York, 1962.

488 BIBLIOGRAFIA

Segnali a tempo discreto

[14] A.V. Oppenheim, R.W. Schafer, J.R. Buck.Discrete-time signal Processing (2nd ed.). Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, USA, 1999.

Vari

[15] G. Gelli. Probabilità ed informazione. http://www.diet.unina.it/giacinto.gelli/

[16] J.G. Proakis,Digital communications. McGraw-Hill, New York, 1989.

[17] C. Corduneanu,Almost periodic functions. Chelsea Publishing Co./American MathematicalSociety, New York, 1999.

Documents

Segnali e Sistemi Parte2