139
Cuprins 3 CUPRINS I. METODE ENERGETICE PENTRU CALCULUL DEPLASĂRILOR LINIAR ELASTICE Energia potenţială de deformaţie.Teorema lui Clapeyron………………..5 Teoremele lui Castigliano………………………………………….……11 Relaţia Mohr-Maxwell………………......................................................14 Procedeul Mohr-Vereşceaghin…………………………………………..16 Teorema reciprocităţii lucrului mecanic…………………………………20 II. STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE. METODA EFORTURILOR 2.1. Sisteme de bare static nedeterminate. 2.1.1 Aspecte generale .……………………………………….....24 2.1.2. Grad de nedeterminare statică……………………………………………………….25 2.1.3. Ridicarea nedeterminării…………………..……………….25 2.1.4. Condiţii de compatibilitate.………………………………...28 2.1.5. Ecuaţiile metodei eforturilor………………………………..29 2.2. Grinda continuă. 2.2.1. Grad de nedeterminare statică………………………..……..33 2.2.2. Ridicarea nedeterminării……………………………………33 2.2.3. Condiţii de compatibilitate….................................................35 2.2.4 Ecuaţia Clapeyron…………………………………………..35 2.2.5. Calculul reacţiunilor şi stabilirea diagramelor de variaţie ale eforturilor secţionale…………………………...39 III. TENSIUNI LA SOLICITAREA COMPUSĂ A BARELOR DREPTE 3.1. Aspecte generale …. …….…………………………………………40 3.2. Solicitări care produc numai tensiuni normale 3.2.1 Încovoiere simplă cu forţă.axială………………………….41 3.2.2 Întindere sau compresiune.excentrică……………………..43 3.2.3 Încovoiere oblică şi strâmbă……….………………………52 3.3. Solicitări care produc numai tensiuni tangenţiale…………………..57 3.4. Solicitări care produc tensiuni normale şi tensiuni tangenţiale. 3.4.1.Teorii ale stărilor de tensiune limită……………………….58 3.4.2. Calcululde rezistenţă al arborilor………………….………61 IV. STABILITATEA STATICĂ A BARELOR ZVELTE 4.1. Aspecte generale ale stabilităţii barelor zvelte……………………..64 4.2. Forţa critică de flambaj a barelor zvelte solicitate la compresiune……………………………….…………..66

semestrul2rezistenta materialelor

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: semestrul2rezistenta materialelor

Cuprins

3

CUPRINS

I. METODE ENERGETICE PENTRU CALCULUL DEPLASĂRILOR LINIAR ELASTICE

Energia potenţială de deformaţie.Teorema lui Clapeyron………………..5 Teoremele lui Castigliano………………………………………….……11 Relaţia Mohr-Maxwell………………......................................................14 Procedeul Mohr-Vereşceaghin…………………………………………..16 Teorema reciprocităţii lucrului mecanic…………………………………20

II. STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE. METODA EFORTURILOR 2.1. Sisteme de bare static nedeterminate.

2.1.1 Aspecte generale .……………………………………….....24 2.1.2. Grad de nedeterminare statică……………………………………………………….25 2.1.3. Ridicarea nedeterminării…………………..……………….25 2.1.4. Condiţii de compatibilitate.………………………………...28 2.1.5. Ecuaţiile metodei eforturilor………………………………..29

2.2. Grinda continuă. 2.2.1. Grad de nedeterminare statică………………………..……..33 2.2.2. Ridicarea nedeterminării……………………………………33 2.2.3. Condiţii de compatibilitate….................................................35 2.2.4 Ecuaţia Clapeyron…………………………………………..35 2.2.5. Calculul reacţiunilor şi stabilirea diagramelor de variaţie ale eforturilor secţionale…………………………...39

III. TENSIUNI LA SOLICITAREA COMPUSĂ A BARELOR DREPTE

3.1. Aspecte generale …. …….…………………………………………40 3.2. Solicitări care produc numai tensiuni normale

3.2.1 Încovoiere simplă cu forţă.axială………………………….41 3.2.2 Întindere sau compresiune.excentrică……………………..43 3.2.3 Încovoiere oblică şi strâmbă……….………………………52

3.3. Solicitări care produc numai tensiuni tangenţiale…………………..57 3.4. Solicitări care produc tensiuni normale şi tensiuni tangenţiale.

3.4.1.Teorii ale stărilor de tensiune limită……………………….58 3.4.2. Calcululde rezistenţă al arborilor………………….………61

IV. STABILITATEA STATICĂ A BARELOR ZVELTE

4.1. Aspecte generale ale stabilităţii barelor zvelte……………………..64 4.2. Forţa critică de flambaj a barelor zvelte

solicitate la compresiune……………………………….…………..66

Page 2: semestrul2rezistenta materialelor

Cuprins

4

4.3. Domeniul de valabilitate al relaţiei Euler……………………...……70 4.4. Flambajul barelor drepte formate din zone de rigiditate diferită……………………………………………72 4.5. Flambajul barelor drepte comprimate excentric ……………………………………………………………74 4.6. Metoda energetică de calcul al sarcinii

critice de flambaj……………………………………………………76 V. SOLICITĂRI DINAMICE 5.1. Solicitări produse prin forţe de inerţie………………………………80

5.2. Solicitări produse prin şoc. 5.2.1. Condiţiile apariţiei solicitări prin şoc. Utilizarea legii conservării energiei pentru soluţionarea solicitării prin şoc………………………………………………………...82 5.2.2. Calculul la şoc cu ajuttorul multiplicatorului dinamic………………………………………………........86

VI. VASE DE ROTAŢIE CU PEREŢI SUBŢIRI

6.1. Aspecte generale. Ipoteze de calcul. …………………………………..91 6.2. Tensiuni în pereţii vaselor de rotaţie

solicitaţi la presiune interioară………………………………………..93 VII. TUBURI CILINDRICE CU PEREŢI GROŞI

7.1. Tubul cilindric cu pereţi groşi solicitat la presiune interioară şi exterioară .……………………………….98 7.2. Tubul cilindric cu pereţi groşi solicitat la presiune interioară……………..………………………………104 7.3. Tubul cilindric cu pereţi groşi solicitat la

presiune exterioară……………..…………………………………105 7.4. Calculul cilindrilor fretaţi………………………………………...107 VIII. RĂSUCIREA BARELOR DE SECŢIUNE CIRCULARĂ

8.1. Generalităţi………………………………………………………108 8.2. Tensiuni şi deformaţii la răsucirea liberă a barelor de secţiune necirculară………………………………..108 8.3. Calculul tensiunilor tangenţiale pentru diferite secţiuni transversale……………………………………..116

IX. BARE CURBE CU RAZĂ MICĂ DE CURBURĂ

9.1. Generalităţi………………………….........................................118 9.2. Tensiuni la încovoierea barelor curbe cu rază mică de curbură………………………………………..119 BIBLIOGRAFIE …………………………………………………..128

Page 3: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

5

CAPITOLUL I

METODE ENERGETICE PENTRU CALCULUL DEPLASĂRILOR LINIAR-ELASTICE

1.1. ENERGIA POTENŢIALĂ DE DEFORMAŢIE. TEOREMA LUI CLAPEYRON. Dacă asupra unui corp solid deformabil se aplică un sistem de sarcini, corpul solid se deformează iar punctele corpului solid se deplasează. Sarcinile aplicate (forţe sau cupluri) parcurg drumul corespunzător deplasării punctelor lor de aplicaţie (deplasare liniară pentru forţă şi deplasare unghiulară pentru cuplu), şi produc un lucru mecanic numit lucru mecanic exterior eL . Dacă sarcinile se aplică static (fig.1.1), cu o intensitate crescând uniform de la valoarea zero la valoarea nominală, iar materialul are o caracteristică liniar-elastică, atunci lucrul mecanic este egal cu semiprodusul dintre sarcini şi proiecţia pe direcţia acestora a deplasărilor produse de sarcini:

2

k ke

FL Δ=∑ (1.1)

unde: kF reprezintă sarcina (forţă sau cuplu),

kΔ este proiecţia deplasării punctului de aplicaţie al sarcinii pe direcţia sarcinii(deplasare liniară sau unghiulară).

Fig.1.1

Page 4: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Metode energetice pentru calculul deplasărilor liniar elastice

6

În timpul încărcării statice a corpului solid deformabil, sarcinile aplicate produc lucrul mecanic exterior ( )eL , iar în corpul solid se înmagazinează o cantitate de energie de deformaţie U , ce se eliberează la descărcarea corpului solid.

Energia totală de deformaţie are expresia (1.2): S

V

U U dV= ∫ (1.2)

în care intervine relaţia energiei specifice de deformaţie (1.3) în funcţie de componentele stării de tensiune:

( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 2

12

12

S x y z x y y z z x

xy yz zx

UE E

G

μσ σ σ σ σ σ σ σ σ

τ τ τ

= + + − + + +

+ + + (1.3)

Se urmăreşte stabilirea expresiei energiei de deformaţie pentru o bară dreaptă, în cazul

general de solicitare, în funcţie de eforturile secţionale: , , , , ,y z t y zN T T M M M . Întrucât se analizează cazul de solicitare în domeniul elastic, se poate aplica principiul

suprapunerii efectelor şi astfel se calculează energia de deformaţie produsă de fiecare efort secţional, energia totală obţinându-se prin însumarea componentelor corespunzătoare fiecărui efort secţional.

• Energia de deformaţie din forţă axială ( )NU :

( )

2 2,

2 2x

x NV l

N NN U dV dx dV dA dxA E EA

σσ⇒ = ⇒ = = = ⋅∫ ∫ (1.4)

• Energia de deformaţie din forfecare ( ) ( ),

z yT TU U :

( )

( )

2

22

2 2

,2

,2

z

z

z y xzz xz T

y y V

yzy yT

y yl A

T ST U dV dV dA dx

b I G

ST AU k dx k dAGA I b

ττ⇒ = ⇒ = = ⋅

= =

∫ ∫ (1.5)

( )

( )

2

2 2

2 2

,2

,2

y

y

y z xyy xy T

z z V

y zz zT

z zl A

T ST U dV dV dA dx

b I G

T A SU k dx k dAGA I b

ττ⇒ = ⇒ = = ⋅

= =

∫ ∫ (1.6)

• Energia de deformaţie din răsucire ( )tMU :

( )

22,

2 2tt t

t Mp pV l

M r MM U dV dx dV dA dxI G GI

ττ⇒ = ⇒ = = = ⋅∫ ∫ (1.7)

• Energia de deformaţie din încovoiere ( ) ( ),

zy MMU U :

Page 5: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

7

( )22

,2 2y

y yxy x M

y yV l

M z MM U dV dx dV dA dx

I E EIσσ⇒ = ⇒ = = = ⋅∫ ∫ (1.8)

( )

2 2,

2 2zxz z

z x Mz zV l

M y MM U dV dx dV dA dxI E EI

σσ⇒ = ⇒ = = = ⋅∫ ∫ (1.9)

OBSERVAŢII • În cazul barelor de secţiune necirculară se înlocuieşte momentul de inerţie polar pI

cu momentul de inerţie convenţional la răsucire tI . • În relaţiile stabilite caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale pot fi

variabile pe lungimea barei: ( ) ( ) ( ) ( ), , ,y z pA x I x I x I x . Pe baza relaţiilor stabilite (1.4.L1.9) se poate definitiva expresia energiei totale de deformaţie pentru o bară de lungime l :

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

222

2 2 2

2 2 2

2 2 2

yzy z

l l l

y z t

y z pl l l

T xN x T xU dx k dx k dx

EA x GA x GA x

M x M x M xdx dx dx

EI x EI x EI x

= + + +

+ + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ (1.10)

Pentru un sistem de bare sau pentru o bară cu mai multe zone de variaţie a eforturilor secţionale sau a caracteristicilor geometrice, energia totală de deformaţie are expresia:

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

k k

k k

k k

k zky

k kk kl l

yk ykz

k kk ykl l

zk tk

k kzk pkl l

N x T xU dx k x dx

EA x GA x

T x M xk x dx dx

GA x EI x

M x M xdx dx

EI x EI x

= + +

+ + +

+ +

∑ ∑∫ ∫

∑ ∑∫ ∫

∑ ∑∫ ∫

(1.11)

Teorema lui Clapeyron Pentru un corp solid deformabil în repaus, lucrul mecanic al forţelor exterioare este egal cu energia de deformaţie acumulată în corp: eL U= (1.12) OBSERVAŢII

1) Calculul coeficienţilor yk şi zk din expresia energiei de deformaţie din forfecare.

• Secţiunea dreptunghiulară Se consideră secţiunea dreptunghiulară din fig.1.2 şi se stabilesc mărimile ce intervin în expresia (1.5) pentru calculul coeficientului yk :

3 2

21, , , ,12 2 4y y ybh hA bh I b b S b z dA bdz

⎛ ⎞= = = = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Page 6: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Metode energetice pentru calculul deplasărilor liniar elastice

8

22 22

2

2 230

4 4 625

12

h

y

b h zbhk bdz

bbh

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1, 2y zk k= =

Secţiunea circulară Se consideră secţiunea circulară din fig.1.3 şi se stabilesc mărimile ce intervin în

relaţia de calcul a coeficientului yk (1.5):

2 4

, , cos4 64y yd dA I b dπ π θ= = = ⋅

22

, sin , cos2 2

cos2

yd ddA b dz z dz d

ddA d

θ θ θ

θ θ

= = = ⋅

= ⋅

1

22

1 1

2 3 322

, sin , cos2 2

cossin cos2 2 12

yA

y

d dS dA dA d

d d dS d

π

θ

η η ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ

= ⋅ = = ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ =

2 6 6 22

22 2 24

2

1 cos 1 10cos4 144 2 9cos

64

yd d dk d

dd

π

π

π θ θ θθπ −

= ⋅ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

109y zk k= =

Fig.1.2

Fig.1.3

Page 7: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

9

2) Neglijarea energiei de deformaţie din forfecare şi tracţiune faţă de cea din

încovoiere şi răsucire. Se poate arăta uşor, pentru orice tip de bară sau structură, că energia de deformaţie din forfecare şi tracţiune este mult mai mică valoric decât energia de deformaţie din răsucire şi încovoiere, ceea ce permite neglijarea lor. Se consideră cazul din fig.1.4 pentru care se stabilesc componentele energiei totale de deformaţie, corespunzător eforturilor secţionale ce apar în bară:

( ) ( ) ( )N T MU U U U= + +

( )

2 2 2

0

0,52 2

l

Nl

N F F lU dx dxEA EA Ebh

= = =∫ ∫

( )

2 2 2

0

1,2 0,62 2

l

yTl

T F F lU k dx dxGA GA Gbh

= = =∫ ∫

( )( )22 2 3

30

22 2

l

Ml

FxM F lU dx dxEI EI Ebh

= = =∫ ∫

Dacă se consideră: 12,5 ;10

E hG l= = se obţine:

( )

( )( ) ( )

220, 25 0, 25 10 0, 25%N

N MM

U h U UU l

−⎛ ⎞= = ⋅ ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( )( ) ( )

220,3 0,75 10 0,75%T

T MM

U E h U UU G l

−⎛ ⎞= = ⋅ ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

De asemenea, se poate arăta uşor că energia de deformaţie din răsucire este apropiată valoric de energia de deformaţie din încovoiere. Astfel se consideră cazul din fig.1.5, pentru care se calculează: ( ) ( ),

tM MU U :

( )( )22 3

0

22 2 3

l

Ml

FxM FlU dx dxEI EI EI

= = =∫ ∫

( )( )22 3

02 2 2t

lt

Mp p pl

FlM FlU dx dxGI GI GI

= = =∫ ∫

Fig.1.4

Page 8: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Metode energetice pentru calculul deplasărilor liniar elastice

10

Considerând: 12,5 ;2p

E IG I= = se obţine:

( )

( )( ) ( )1,875t

t

MM M

M

UU U

U= ⇒ ≅

3) Utilizarea teoremei Clapeyron în calculul deplasărilor.

Teorema lui Clapeyron se poate utiliza la calculul deplasărilor pentru sisteme încărcate cu un singur tip de sarcină ( forţă sau moment) şi atunci când se cere deplasarea în dreptul şi pe direcţia sarcinii aplicate. Se consideră situaţia din fig.1.6 şi se urmăreşte stabilirea săgeţii maxime maxw .

Se calculează lucrul mecanic exterior:

max12eL F W= ⋅

şi energia de deformaţie:

2

2 22 2 3

0 0

122 22 2 2 48

l lF x

M F lU dx dxEI EI EI

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =∫ ∫

Aplicând teorema lui Clapeyron se obţine săgeata maximă:

3

max 48eFlL U w

EI= ⇒ =

Fig.1.6

Fig.1.5

Page 9: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

11

1.2 TEOREMELE LUI CASTIGLIANO.

Se consideră un corp solid oarecare (fig.1.7) în următoarele condiţii:

• Materialul corpului solid are o caracteristică liniar-elastică, deci respectă legea lui Hooke.

• Corpul solid este încărcat static cu un sistem de sarcini în echilibru: 1 2, , , nF F FL . • Corpul solid se află în stare determinată, reacţiunile se pot determina din ecuaţiile

de echilibru. • Legăturile corpului solid sunt fixe, reacţiunile nu dau lucru mecanic.

Lucrul mecanic al sarcinilor aplicate este suma semiproduselor dintre sarcini şi proiecţia deplasărilor pe direcţia sarcinilor:

2

k ke

FL Δ=∑ (1.13)

unde: kF reprezintă sarcina aplicată (forţă sau moment), kΔ este proiecţia deplasării punctului de aplicaţie al sarcinii kF pe direcţia sarcinii

kF , sau deplasarea în punctul şi pe direcţia sarcinii (deplasare liniară sau unghiulară). Întrucât deplasările kΔ se pot exprima în funcţie de sarcinile aplicate, rezultă că lucrul mecanic exterior egal cu energia de deformaţie (teorema lui Clapeyron) se poate aduce la forma unei funcţii pătratice omogene de sarcinile aplicate (fig.1.7, starea 1): ( )1 2, , , , ,e k nL U U F F F F= = L L (1.14) Dacă sarcina oarecare kF are o creştere infinitezimală kdF , atunci şi energia de deformaţie va avea o creştere corespunzătoare (fig.1.7,starea 1+2):

'k

k

UU U dU U dFF∂

= + = +∂

(1.15)

unde: 'U reprezintă energia de deformaţie acumulată în corpul solid încărcat static cu sarcinile: 1 2, , , , ,k nF F F FL L şi cu sarcina elementară kdF .

Fig.1.7

Page 10: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Metode energetice pentru calculul deplasărilor liniar elastice

12

Deoarece materialul corpului solid are o caracteristică liniar-elastică, se poate aplica principiul suprapunerii efectelor şi se modifică ordinea de aplicare a sarcinilor. Ca urmare, se consideră corpul solid încărcat static cu sarcina elementară kdF (fig.1.7, starea 2) şi energia de deformaţie acumulată în corp va fi:

( ) ( )12k k kdFU dF d= ⋅ Δ (1.16)

unde: ( )kd Δ este deplasarea produsă de elementară în dreptul şi pe direcţia sarcinii. Relaţia (1.16) reprezintă un infinit mic de ordinul doi şi ca urmare se poate neglija energia de deformaţie produsă de sarcina elementară kdF : ( ) 0

kdFU ≅ (1.17)

În continuare, se aplică corpului solid încărcat cu sarcina elementară sistemul de sarcini 1 2, , , , ,k nF F F FL L aplicate static (fig.1.7, starea 2+1).

Energia de deformaţie acumulată în corpul solid este tot 'U , întrucât sarcinile aplicate sunt aceleaşi: 1 2, , , , ,k nF F F FL L şi sarcina elementară kdF , dar expresia ei în acest caz este:

'k kU U dF= + ⋅Δ (1.18)

unde: k kdF ⋅Δ , reprezintă lucrul mecanic al sarcinii elementare kdF care a parcurs deplasarea

kΔ cu întreaga intensitate, întrucât exista pe corpul solid când s-a aplicat sistemul de sarcini

1 2, , , , ,k nF F F FL L . Egalând expresiile (1.15) şi (1.18) rezultă expresia matematică a primei teoreme a lui Castigliano, prin care se poate stabili deplasarea kΔ în dreptul şi pe direcţia sarcinii kF :

kk

UF∂

Δ =∂

(1.19)

Conform relaţiei (1.19) prima teoremă a lui Castigliano exprimă că: derivata parţială a energiei de deformaţie în raport cu o sarcină oarecare kF este egală, cu deplasarea corpului solid kΔ , produsă în dreptul şi pe direcţia sarcinii kF , atunci când corpul solid se încarcă static cu un sistem oarecare de sarcini 1 2, , , , ,k nF F F FL L . Având în vedere expresia (1.11) a energiei de deformaţie în funcţie de eforturile secţionale, din (1.19) se obţine relaţia generală de calcul pentru deplasările liniar-elastice, conform teoremei lui Castigliano:

y yz zk y z

k k k

y y t tz z

y k z k p k

T TN N T Tdx k dx k dxEA F GA F GA F

M M M MM Mdx dx dxEI F EI F EI F

∂∂ ∂Δ = + + +

∂ ∂ ∂∂ ∂∂

+ + +∂ ∂ ∂

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (1.20)

În relaţia (1.20) integralele au limitele corespunzătoare domeniului de definiţie pentru funcţiile eforturilor secţionale.

OBSERVAŢII 1) După efectuarea calculelor, semnul obţinut pentru deplasare indică sensul deplasării

faţă de sarcina aflată în punctul şi pe direcţia deplasării căutate: deplasarea pozitivă este în sensul sarcinii, iar deplasarea negativă este în sens contrar sarcinii.

2) Dacă nu se fac precizări, în majoritatea cazurilor, termenii corespunzători din forţă axială şi din forţă tăietoare se neglijază în comparaţie cu termenii din răsucire şi încovoiere.

Page 11: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

13

3) În cazul grinzilor cu zăbrele, sarcinile exterioare produc în secţiunile transversale numai forţe axiale constante pe lungimea barelor şi relaţia de calcul a deplasării va avea forma următoare:

ij ij ijk

ij k

N l NEA F

∂Δ =

∂∑ (1.21)

unde: , ,ij ij ijN l A sunt caracteristicile corespunzătoare barei cuprinse între nodurile i şi j . 4) Atunci când în dreptul şi pe direcţia deplasării căutate corpul solid nu prezintă sarcini, atunci se aplică o sarcină fictivă (de calcul), se stabilesc reacţiunile din legături şi expresiile eforturilor secţionale produse de sarcinile efectiv aplicate şi de sarcina fictivă, şi după efectuarea operaţiei de derivare se anulează sarcina fictivă (fig.1.8):

00 0

kF

UF =

⎛ ⎞∂Δ = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(1.22)

5) Dacă sistemul de sarcini ce solicită corpul solid este exprimat cu aceeaşi notaţie:

, 2 , 4 ,F F F L şi interesează deplasarea pe direcţia unei sarcini, pentru a evita greşeala derivării se notează diferit sarcina pe direcţia deplasării (fig.1.9). După efectuarea operaţiei de derivare se revine la notaţia iniţială:

2

kQ F

UQ =

⎛ ⎞∂Δ = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(1.23)

6) Caculul deplasărilor în cazul barelor curbe circulare (fig.1.10), atunci când se ţine cont numai de efectul încovoierii şi răsucirii, se face conform relaţiei:

i i t tk

k p k

M M M Mds dsEI F GI F

∂ ∂Δ = +

∂ ∂∑ ∑∫ ∫ (1.24)

unde: ds R dϕ= ⋅ .

Fig.1.8

Fig.1.9

Fig.1.10

Page 12: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Metode energetice pentru calculul deplasărilor liniar elastice

14

7) Pentru calculul deplasărilor relative (liniare sau unghiulare), sistemul trebuie să prezinte sarcini (forţe sau momente) egale şi de sensuri contrare, pe direcţia deplasării căutate (fig.1.11). În caz contrar se vor aplica, pe direcţia deplasării căutate, sarcini fictive egale şi de sensuri contrare, sarcini ce se vor anula după efectuarea operaţiei de derivare. Pentru cazurile prezentate în fig.1.11, relaţiile de calcul ale deplasărilor căutate , considerând numai efectul încovoierii, au următoarea formă:

• fig.2.11a: i iAB

M M dxEI F

∂Δ =

∂∑∫ (1.25)

• fig.2.11b: 0

i iA

M M dxEI M

ϕ ∂Δ =

∂∑∫ (1.26)

Lucrul mecanic exterior (1.13) este o funcţie pătratică omogenă atât de sarcinile

exterioare cât şi de deplasările corespunzătoare, întrucât sarcinile se pot exprima funcţie de deplasări.

Pe această bază se poate demonstra cea de a doua teoremă a lui Castigliano, care are următoarea formă matematică:

kk

UF ∂=∂Δ

(1.27)

Relaţia (1.27) exprimă că derivata parţială a energiei de deformaţie acumulată de un corp solid prin deformare, derivată în raport cu o deplasare kΔ , este egală cu sarcina kF care există în punctul şi pe direcţia deplasării kΔ .

1.3 RELAŢIA MOHR- MAXWELL Relaţia Mohr-Maxwell pentru calculul deplasărilor liniar-elastice este o altă formă a relaţiei Castigliano (1.20), şi pentru stabilirea ei se consideră un sistem de bare oarecare (fig.1.12), aflat în stare determinată, solicitat de un sistem de sarcini în echilibru:

1 2, , , , ,k nF F F FL L . Eforturile secţionale produse de sarcinile aplicate într-o secţiune oarecare se notează: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,y z t y zN x T x T x M x M x M x , şi se pot exprima prin funcţii liniare şi omogene de sarcinile aplicate astfel:

Fig.1.11

Page 13: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

15

( ) ( ) ( ) ( )1 1 k k n nN x n x F n x F n x F= + + + +L L

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

y y yk k yn n

z z zk k zn n

y y yk k yn n

z z zk k zn n

t t tk k tn n

T x t x F t x F t x F

T x t x F t x F t x F

M x m x F m x F m x F

M x m x F m x F m x F

M x m x F m x F m x F

= + + + +

= + + + +

= + + + +

= + + + +

= + + + +

L L

L L

L L

L L

L L

(1.28)

Mărimile , , , , ,k yk zk tk yk zkn t t m m m din relaţiile (1.28) reprezintă coeficienţi de influenţă ce depind de secţiunea în care sunt evaluate eforturile secţionale. Semnificaţia fizică a coeficienţilor de influenţă rezultă din particularizarea relaţiilor (1.28). Astfel, dacă se consideră: 1 20, 0, , 1, , 0k nF F F F= = = =L L , din relaţiile (1.28) se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,

, ,k y yk z zk

t tk y yk z zk

N x n x T x t x T x t x

M x m x M x m x M x m x

= = =

= = = (1.29)

Relaţiile(1.29) exprimă semnificaţia coeficienţilor de influenţă şi anume, sunt eforturi

secţionale, într-o secţiune oarecare, produse de o sarcină unitară, deci de 1kF = , (fig.1.13). Pentru calculul deplasării kΔ , conform teoremei Castigliano, se efectuează derivatele parţiale ale eforturilor secţionale (1.28) în raport cu sarcina kF aflată în punctul şi pe direcţia deplasării căutate:

, , ,

, ,

y zk yk zk

k k k

yt ztk yk zk

k k k

TN Tn t tF F F

MM Mm m mF F F

∂∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂∂∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

(1.30)

Înlocuind relaţiile (1.30) în (1.20) se obţine relaţia Mohr-Maxwell pentru calculul deplasărilor liniar-elastice:

Fig.1.12

Fig.1.13

Page 14: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Metode energetice pentru calculul deplasărilor liniar elastice

16

y ykk z zkk z y

y ykt tk z zk

p y z

T tNn T tdx k dx k dxEA GA GA

M mM m M mdx dx dxGI EI EI

Δ = + + +

+ + +

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (1.31)

în care: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,y z t y zN x T x T x M x M x M x , reprezintă eforturile secţionale produse de sarcinile aplicate într-o secţiune oarecare, poziţionată prin variabila x (fig.1.12), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,k yk zk tk yk zkn x t x t x m x m x m x , reprezintă eforturile secţionale produse de sarcina unitară (forţă sau moment) aplicată în punctul şi pe direcţia deplasării căutate.

Expresiile eforturilor secţionale se stabilesc în aceeaşi secţiune oarecare, pentru aceeaşi variabilă x ca şi eforturile produse de sarcinile aplicate.

OBSERVAŢII

1) Integralele din relaţia Mohr-Maxwell se efectuează între limitele corespunzătoare domeniului de definiţie pentru eforturile secţionale sau variaţiei secţiunii transversale.

2) Dacă deplasarea calculată conform relaţiei Mohr-Maxwell rezultă cu semnul minus, atunci ea este în sens invers sarcinii unitare aplicate în punctul şi pe direcţia deplasării căutate (sarcina unitară se aplică cu sens arbitrar dacă nu se poate aprecia sensul deplasării).

3) În relaţia (1.31) termenii din forţă axială şi din forfecare se neglijează faţă de cei din încovoiere şi răsucire.

4) Pentru calculul deplasărilor relative se aplică în punctul şi pe direcţia deplasărilor căutate sarcini unitare (forţe sau momente) de sensuri contrare (fig.1.14).

1.4 PROCEDEUL MOHR-VEREŞCEAGHIN. Integralele ce intervin în relaţia Mohr-Maxwell au particularitatea că unul din factori

( )kn x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,yk zk tk yk zkt x t x m x m x m x ce provin din aplicarea sarcinii unitare are o variaţie liniară.

Toate integralele fiind identice ca structură se va face referire la integrala corespunzătoare încovoierii:

Fig.1.14

Page 15: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

17

1kk

Mm MJ dx m dxEI E I

= =∫ ∫ (1.32)

În general funcţia moment încovoietor ( )M x este o funcţie oarecare. După cum

sistemul are secţiune constantă .I ct= sau variabilă ( )I I x= se disting două cazuri:

( ) ( )1. kEI ct EI J M x m x dx= ⇒ ⋅ = ∫ (1.33)

( ) ( )( ) ( )2 k

M xI I x E J m x dx

I x= ⇒ ⋅ = ∫ (1.34)

Integralele din relaţiile (1.33) şi (1.34) au aceeaşi structură, întrucât raportul ( )( )

M xm x

reprezintă tot o funcţie oarecare de x .

Pocedeul Mohr-Vereşceaghin rezolvă grafo-analitic integralele dintr-un produs de funcţii, în care o funcţie este liniară. Se consideră o grindă încărcată cu o sarcină oarecare, grinda prezintă o zonă de rigiditate constantă la încovoiere (fig.1.15). Pentru calculul deplasării punctului K pe verticală, în zona de rigiditate constantă, trebuie rezolvată integrala de forma următoare:

( ) ( )2

11

kEI J M x m x dx⋅ = ∫ (1.35)

Din fig.1.15 se stabilesc relaţiile:

MM

dd M dx MdxΩ

Ω = ⋅ ⇒ = (1.36)

km x tgα= ⋅ (1.37) Înlocuind relaţiile (1.36) şi (1.37) în (1.35) se obţine:

( )2 2

11 1

M M MM

M M

d x dEIJ x tg dx tgdx

α α⎛ ⎞Ω Ω ⋅ Ω

= ⋅ ⋅ = Ω ⋅ ⋅⎜ ⎟Ω Ω⎝ ⎠∫ ∫ (1.38)

Înlocuind relaţiile (1.36) şi (1.37) în (1.35) se obţine:

Fig.1.15

Page 16: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Metode energetice pentru calculul deplasărilor liniar elastice

18

( )2 2

11 1

M M MM

M M

d x dEIJ x tg dx tgdx

α α⎛ ⎞Ω Ω ⋅ Ω

= ⋅ ⋅ = Ω ⋅ ⋅⎜ ⎟Ω Ω⎝ ⎠∫ ∫ (1.38)

În relaţia (1.38) se notează:

2

1

MC

M

x dx ⋅ Ω=

Ω∫ (1.39)

şi reprezintă poziţia pe axa x a centrului de greutate, pentru aria diagramei ( )M x cuprinsă între punctele 1 şi 2, pe zona de rigiditate constantă. Ţinând cont de (1.39) relaţia (1.38) devine: ( )1 M CEIJ x tgα= Ω ⋅ ⋅ (1.40) Conform fig.1.15 se notează: k C Cm x tgα= ⋅ (1.41) şi reprezintă valoarea efortului secţional moment încovoietor, produs de sarcina unitară, în centrul de greutate al suprafeţei considerate MΩ . Înlocuind notaţia (1.41) în (1.40) se obţine: 1 M kCEIJ m= Ω ⋅ (1.42) care este relaţia matematică a procedeului Mohr-Vereşceaghin şi exprimă că, valoarea integralei multiplicată cu rigiditatea EI este egală cu produsul dintre aria diagramei de variaţie a efortului secţional şi valoarea efortului secţional produs de sarcina unitară, în centrul de greutate al ariei considerate. În baza procedeului Mohr-vereşceaghin, relaţia Mohr-Maxwell se transformă astfel:

y z

yt z

T ykC T zkCN kCk z y

M ykCM tkC M zkC

p y z

t tn k kEA GA GA

mm mGI EI EI

Ω ΩΩΔ = + + +

ΩΩ Ω+ + +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ (1.43)

Procedeul Mohr-Vereşceaghin de rezolvare grafo-analitică a integralelor din relaţia

Mohr-Maxwell se mai numeşte şi ”regula de înmulţire a diagramelor”. OBSERVAŢII 1) Relaţia (1.43) se aplică numai în cazul barelor şi sistemelor de bare drepte. 2) Înmulţirea diagramelor se face algebric, ţinând seama de semnele eforturilor secţionale din sarcinile exterioare şi din sarcina unitară. 3) Înmulţirea diagramelor se face pe zonele corespunzătoare definirii eforturilor secţionale; în intervalul pe care se efectuează înmulţirea nu trebuie să existe schimbarea legii de variaţie a eforturilor din sarcinile exterioare şi din sarcina unitară. 4) Aplicarea procedeului Mohr-Vereşceaghin presupune cunoaşterea ariilor şi poziţiilor centrului de greutate pentru câteva suprafeţe simple, corespunzătoare legii de variaţie a efortului secţional produs de un anumit tip de sarcină exterioară (Fig.1.16).

Page 17: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

19

5) Dacă efortul secţional din secţiunea curentă provine din două sau mai multe tipuri de sarcini, se recomandă aplicarea principiului suprapunerii efectelor, întrucât diagramele de variaţie ale eforturilor secţionale vor fi reprezentate prin suprafeţe simple a căror arie şi poziţie a centrului de greutate este cunoscută (fig.1.17).

6) În aplicaţiile practice se întâlnesc frecvent câteva situaţii de înmulţire a diagramelor ce se rezolvă conform schemelor din fig.1.18.

Rezultatele integrării grafo-analitice, pentru cazurile din fig.1.18 sunt următoarele:

Fig.1.17a : 1 22 3

I Ml m⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Fig.1.17b: 1 12 3

I Ml m⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Fig.1.17c: 1 33 4

I Ml m⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Fig.1.17d: 1 12

1 22 3

mI Ml ll

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Fig.1.17e: 2 1 23

1 22 3

mI Ml l ll

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Fig.1.17f: 1 1 2 2 1 21 2 1 1 1 22 3 3 2 3 3

I M l m m M l m m⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Fig.1.16

Fig.1.17

Page 18: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Metode energetice pentru calculul deplasărilor liniar elastice

20

Fig.1.17g: 1 1 2 2 1 21 2 1 1 1 22 3 3 2 3 3

I M l m m M l m m⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1.5 TEOREMA RECIPROCITĂŢII LUCRULUI MECANIC. Se consideră un corp solid oarecare (fig.1.19) în următoarele condiţii:

• Materialul corpului solid are o caracteristică liniar-elastică, deci respectă legea lui Hooke. • Corpul solid se află în stare determinată.

• Asupra corpului solid se aplică două sisteme de sarcini: - 1 2, , , ,iF F FL L sistemul primar, - 1 2, , , ,jQ Q QL L sistemul secundar. Pentru încărcarea statică a corpului solid cu cele două sisteme de sarcini, energia de deformaţie acumulată în corpul solid este egală cu lucrul mecanic exterior şi se notează: L .

Fig.1.18

Page 19: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

21

Întrucât materialul corpului solid satisface legea lui Hooke se poate aplica principiul suprapunerii efectelor. Astfel starea finală de încărcare a corpului solid se obţine încărcând succesiv corpul solid cu cele două sisteme de sarcini şi apoi se schimbă ordinea de aplicare a sarcinilor.

Se aplică static sistemul primar de sarcini (fig.1.20), sub acţiunea lui corpul solid se deformează iar punctele lui se deplasează.

Întrucât materialul corpului solid satisface legea lui Hooke se poate aplica principiul suprapunerii efectelor.

Astfel starea finală de încărcare a corpului solid se obţine încărcând succesiv corpul solid cu cele două sisteme de sarcini şi apoi se schimbă ordinea de aplicare a sarcinilor.

Se aplică static sistemul primar de sarcini (fig.1.20), sub acţiunea lui corpul solid se deformează iar punctele lui se deplasează.

Se notează: iiΔ deplasările punctelor de aplicaţie ale sarcinilor din sistemul primar, deplasări

produse de acţiunea sarcinilor din sistemul primar pe direcţia acestora, jiΔ deplasările punctelor de aplicaţie ale sarcinilor din sistemul secundar, deplasări

produse de acţiunea sarcinilor din sistemul primar, pe direcţia sarcinilor din sistemul secundar.

Lucrul mecanic al sarcinilor sistemului primar pe deplasările produse punctelor lor de aplicaţie, prin aplicarea statică a acestui sistem de sarcini va fi:

2

i iiii

FL ⋅Δ=∑ (1.44)

După aplicarea sistemului primar de sarcini, se aplică static pe această stare deformată, sistemul secundar de sarcini (fig.1.21).

Fig.1.19

Fig.1.20

Fig.1.21

Page 20: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Metode energetice pentru calculul deplasărilor liniar elastice

22

Deplasările produse punctelor corpului solid se notează: jjΔ deplasările punctelor de aplicaţie ale sarcinilor din sistemul secundar, deplasări

produse de acţiunea sarcinilor din sistemul secundar pe direcţia acestora. ijΔ deplasările punctelor de aplicaţie ale sarcinilor din sistemul primar pe direcţia

acestora, deplasări produse de acţiunea sarcinilor din sistemul secundar. Energia de deformaţie înmagazinată în corpul solid, egală cu lucrul mecanic exterior

va avea componentele: • iiL , care se afla în corpul solid, (1.44), • jjL , lucrul mecanic al sarcinilor sistemului secundar pe deplasările produse punctelor lor de aplicaţie prin aplicarea statică a acestui sistem de sarcini:

2j jj

jjQ

=∑ (1.45)

• ijL , lucrul mecanic al sarcinilor sistemului primar (existente pe corpul solid în momentul aplicării sistemului secundar de sarcini) pe deplasările produse punctelor lor de aplicaţie de aplicarea statică a sarcinilor sistemului secundar. Sarcinile sistemului primar parcurg deplasările ijΔ cu întreaga intensitate:

ij i ijL F= Δ∑ (1.46) Rezultă astfel lucrul mecanic total:

ii jj ijL L L L= + + (1.47) Se schimbă ordinea de aplicare a sarcinilor, se aplică static sistemul secundar de

sarcini şi lucrul mecanic exterior este: jjL (1.45). După aplicarea sistemului secundar, se aplică static sistemul primar de sarcini şi lucrul mecanic exterior are componentele suplimentare: • iiL (1.44), • jiL , lucrul mecanic al sarcinilor sistemului secundar (existente pe corpul solid) pe deplasările produse punctelor lor de aplicaţie prin aplicarea statică a sistemului primar. Sarcinile sistemului secundar parcurg deplasările jiΔ cu întreaga intensitate:

ji j jiL Q= Δ∑ (1.48) Lucrul mecanic total pentru această stare va fi: ii jj jiL L L L= + + (1.49) Egalând relaţiile (1.47) şi (1.49) se obţine exprimarea matematică a teoremei reciprocităţii lucrului mecanic (teorema lui Betti): ij jiL L= (1.50)

Fig.1.22

Page 21: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

23

Dacă se restrânge generalitatea (fig.1.22), considerând sistemul primar şi sistemul secundar format dintr-o singură sarcină de aceeaşi valoare F şi se aplică teorema lui Betti se obţine: ij jiF F⋅Δ = ⋅Δ sau: ij jiΔ = Δ (1.51) Relaţia (1.51) exprimă matematic teorema reciprocităţii deplasărilor (teorema lui Maxwell): deplasarea unui punct i pe o direcţie oarecare ( )iD , deplasare produsă de o sarcină

aplicată într-un punct j pe direcţia oarecare ( )jD , este egală cu deplasarea punctului j pe

direcţia ( )jD , deplasare produsă de o sarcină cu aceiaşi valoare aplicată în i pe direcţia ( )iD . Relaţia (1.51) este independentă de valoarea sarcinii şi ca urmare sarcina poate fi

considerată egală cu unitatea (fig.1.23).

Se obţine astfel teorema reciprocităţii deplasărilor unitare:

ij jiδ δ= (1.52)

Fig.1.23

Page 22: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Structuri static nedeterminate. Metoda eforturilor.

24

CAPITOLUL II

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

2.1 SISTEME DE BARE STATIC NEDETERMINATE.

2.1.1 Aspecte generale. În practică se întâlnesc multe situaţii, când eforturile din secţiunile transversale ale barelor sau ale sistemelor de bare nu se pot determina, numai cu ajutorul metodelor de calcul ale staticii, fie din cauza legăturilor suplimentare, fie din cauza formei sistemului. Aceste bare şi sisteme de bare se numesc static nedeterminate. În funcţie de cauza nedeterminării, sistemele static nedeterminate se grupează astfel: a) Sisteme cu nedeterminare exterioară (fig.2.1), care prezintă următoarele particularităţi:

- Nedeterminarea este cauzată de numărul mare de legături cu ale sistemului cu exteriorul,

- Numărul de reacţiuni din legături este mai mare decât numărul de ecuaţii de echilibru ale staticii aplicabile pentru sistemul de sarcini ce îl solicită,

- Eforturile din secţiunile transversale nu se pot stabili decât după determinarea reacţiunilor din legături,

- Necunoscutele sunt reacţiuni din legături.

b) Sisteme cu nedeterminare interioară (fig.2.2), care au particularităţile următoare: - Nedeterminarea este cauzată de forma închisă a sistemului şi de legăturile rigide

dintre bare, care fac imposibilă determinarea eforturilor secţionale utilizând numai metodele de calcul ale staticii,

Fig.2.1

Page 23: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

25

- Reacţiunile din legături se pot determina utilizând ecuaţiile de echilibru ale staticii aplicabile pentru sistemul de sarcini ce îl solicită

- Necunoscutele sunt eforturile secţionale din zona cu nedeterminare interioară. c) Sisteme cu nedeterminare interioară şi exterioară (fig.2.3), cu următoarele proprietăţi:

- Nedeterminarea este cauzată de numărul mare de legături ale sistemului cu exteriorul şi de forma închisă a sistemului; ca urmare, nu pot fi determinate nici reacţiunile din legături şi nici eforturile din secţiunile transversale,

- Necunoscutele sunt de cele mai multe ori eforturi secţionale din zona cu nedeterminare interioară. 2.1.2 Grad de nedeterminare statică. În orice problemă static nedeterminată, numărul de necunoscute este mai mare decât numărul de ecuaţii de echilibru ale staticii, aplicabile pentru sistemul de sarcini exterioare. Gradul de nedeterminare statică reprezintă diferenţa dintre numărul mărimilor necunoscute şi numărul de ecuaţii de echilibru ale staticii aplicabile sistemului de sarcini exterioare. Necunoscutele suplimentare faţă de numărul de ecuaţii de echilibru ale staticii se numesc necunoscute static nedeterminate sau mărimi static nedeterminte. Numărul necunoscutelor static nedeterminate este egal cu gradul de nedeterminare. Trebuie făcută o precizare foarte importantă în rezolvarea sistemelor nedeterminate şi anume, că oricare din mărimile necunoscute pot fi necunoscute static nedeterminate. 2.1.3 Ridicarea nedeterminării. Ridicarea nedeterminării înseamnă punerea în evidenţă a necunoscutelor static nedeterminate.

Fig.2.2

Fig.2.3

Page 24: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Structuri static nedeterminate. Metoda eforturilor.

26

a) Sistemele cu nedeterminare exterioară, ridicarea nedeterminării se poate face în două moduri de exprimare:

• Se îndepărtează legăturile suplimentare care au provocat nedeterminarea (fig.2.4) şi se înlocuiesc cu reacţiunile corespunzătoare, care sunt necunoscutele static nedeterminate.

• Întrucât, oricare din mărimile necunoscute pot fi considerate necunoscute static

nedeterminate, se aleg necunoscutele static nedeterminate (fig.2.5) şi se eliberează legăturile pe direcţia necunoscutelor static nedeterminate.

Prin ridicarea nedeterminării şi stabilirea necunoscutelor static nedeterminate, sistemul de bare sau barele se transformă într-un sistem static determinat încărcat cu sarcinile aplicate şi necunoscutele static nedeterminate.

Sistemul obţinut fiind solicitat identic cu sistemul iniţial se numeşte sistem echivalent. Sistemul echivalent neîncărcat cu sarcinile aplicate şi necunoscutele static nedeterminte se numeşte sistem de bază sau sistem fundamental.

Ridicarea nedeterminării se poate face în mai multe variante şi desigur se alege varianta cea mai convenabilă pentru lucru, variantă care să permită stabilirea cu uşurinţă a eforturilor secţionale.

În fig.2.6 sunt prezentate variante pentru ridicarea nedeterminării şi se recomandă folosirea lor în rezolvarea cazurilor practice.

OBSERVAŢII

1) În cazul sistemelor simetrice constructiv, încărcate simetric, (fig.2.7), se recomandă obţinerea sistemului echivalent prin secţionarea în axa de simetrie unde 0T = . Astfel gradul de nedeterminare se reduce cu o unitate.

Fig.2.4

Fig.2.5

Page 25: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

27

2) În cazul sistemelor simetrice constructiv, încărcate simetric, (fig.2.8), se recomandă

obţinerea sistemului echivalent prin secţionarea în axa de simetrie unde 0, 0N M= = . Astfel gradul de nedeterminare se reduce cu două unităţi.

Fig.2.6

Fig.2.7

Fig.2.8

Page 26: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Structuri static nedeterminate. Metoda eforturilor.

28

b) Sistemele cu nedeterminare interioară, ridicarea nedeterminării se realizează prin secţionarea barelor în zona cu nedeterminare, în zona conturului închis (fig.2.9). Astfel apar eforturile secţionale care sunt necunoscutele static nedeterminte. Pentru un contur închis în plan apar trei necunoscute static nedeterminate: , ,N T M .

c) Sistemele cu nedeterminare interioară şi exterioară, ridicarea nedeterminării se realizează de obicei prin secţionarea barelor sistemului în zona cu nedeterminare (fig.2.10). Astfel se pun în evidenţă necunoscutele static nedeterminte, eforturile secţionale din secţiunile efectuate.

2.1.4 Condiţii de compatibilitate. Sistemul echivalent obţinut prin punerea în evidenţă a necunoscutelor static nedeterminate trebuie să fie compatibil cu sistemul static nedeterminat din punct de vedere al deformaţiilor. Pentru sistemele cu nedeterminare exterioară condiţiile de compatibilitate sunt condiţii de legătură, ele se referă la valorile deplasărilor pe direcţia necunoscutelor. Întrucât necunoscutele sunt reacţiuni din legături, de obicei valorile deplasărilor pe direcţia necunoscutelor sun nule. Astfel, condiţiile de compatibilitate sunt condiţii de legătură, ele reprezentând, de fapt, valorile deplasărilor în legături. Pentru cazul din fig.2.6: ( )

10A XΔ = (2.1)

reprezintă deplasarea punctului A pe direcţia necunoscutei 1X . Pentru sistemele cu nedeterminare interioară (fig.2.9) sau sistemele cu nedeterminare interioară şi exterioară (2.10), condiţiile de compatibilitate sunt condiţii de continuitate ale fibrei medii în punctul şi pe direcţia necunoscutelor static nedeterminate.

SISTEM ECHIVALENT

Fig.2.10

SIST E M E C H IV A L E N T Fig.2.9

Page 27: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

29

Aceste condiţii de continuitate exprimă, de fapt, că deplasările relative pe direcţia necunoscutelor static nedeterminate trebuie să fie nule. Pentru cazul din fig.2.9 condiţiile sunt: ( ) ( ) ( )

1 2 30 , 0 , 0B B BX X XΔ = Δ = Δ = (2.2)

Prin exprimarea condiţiilor de compatibilitate se obţin ecuaţii de echilibru elastic, care împreună cu ecuaţiile de echilibru static rezolvă problemele static nedeterminate.

2.1.5 Ecuaţiile metodei eforturilor. Se consideră un sistem de bare, static determinat, solicitat de un sistem de sarcini în echilibru (fig.2.11). Sub acţiunea sarcinilor aplicate sistemul se deformează iar punctele lui se deplasează.

Deplasarea unui punct oarecare i pe direcţia oarecare iΔ este funcţie de sarcinile

aplicate: ( )1 2, , , ,i i jF F FΔ = Δ L L .

Deplasarea iΔ se poate exprima prin suprapunere de efecte, utilizând deplasările produse de sarcini cu valoare unitară ijδ : 1 1 2 2i i i ij jF F Fδ δ δΔ = + + + +L L (2.3) unde: 1 2, , , ,i i ijδ δ δL L se numesc coeficienţi de influenţă şi semnificaţia lor rezultă din particularizarea relaţiei (2.3), dacă 1 20, 0, , 1,jF F F= = =L L se obţine: i ijδΔ = (2.4) Din (2.4) se observă că ijδ reprezintă deplasarea punctului i pe o direcţie oarecare iΔ , deplasare produsă de o sarcină unitară aplicată în punctul j pe direcţia jF (sau se face

1jF = ). Deplasarea ijδ se stabileşte conform relaţiei Mohr-Maxwell:

- se încarcă sistemul cu sarcina aplicată 1jF = (fig.2.12a), - apoi se aplică o sarcină unitară în punctul şi pe direcţia deplasării căutate

(fig.2.12b) , - se stabilesc eforturile secţionale în aceeaşi secţiune curentă şi pentru acelaşi domeniu

al variabilei x ce poziţionează secţiunea curentă: Fig.2.12a ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,j yj zj tj yj zjn x t x t x m x m x m x

Fig.2.12b ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,i yi zi ti yi zin x t x t x m x m x m x

Fig.2.11

Page 28: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Structuri static nedeterminate. Metoda eforturilor.

30

Relaţia de calcul pentru deplasarea ijδ va avea următoarea formă:

i j yi yj zi zjij z y

ti tj yi yj zi zj

p y z

n n t t t tdx k dx k dx

EA GA GAm m m m m m

dx dx dxGI EI EI

δ = + + +

+ + +

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (2.4)

Conform teoremei reciprocităţii deplasărilor unitare i j jiδ δ= . În scopul definirii

ecuaţiilor metodei eforturilor se consideră un sistem static nedeterminat, cu gradul de nedeterminare n (fig.2.13), se ridică nedeterminarea prin îndepărtarea legăturilor suplimentare şi aplicarea reacţiunilor corespunzătoare, care sunt necunoscutele static nedeterminate:

1 2, , , , , , ,i j nX X X X XL L L .

Condiţiile de compatibilitate ale sistemului echivalent cu sistemul static nedeterminat sunt condiţii de legătură pentru cazul prezentat şi exprimă anularea deplasărilor pe direcţia necunoscutelor static nedeterminate: ( ) ( ) ( ) ( )

1 20, 0, , 0, , 0

i nX X X XΔ = Δ = Δ = Δ =L L (2.5)

Deplasările pe direcţia necunoscutelor se pot exprima prin suprapunere de efecte ca suma algebrică a deplasărilor produse de fiecare necunoscută şi de sarcinile exterioare. Această exprimare se realizează prin intermediul coeficienţilor de influenţă: i jδ sunt deplasări produse de necunoscute egale cu unitatea, iar 0iδ este deplasarea produsă de sarcinile aplicate.

Ca urmare relaţiile (2.5) vor avea următoarea formă:

Fig.2.12

Fig.2.13

Page 29: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

31

11 1 12 2 1 10

21 1 22 2 2 20

1 1 2 0

1 1 2 2 0

00

0

0

n n

n n

i ii i ij j n n n

n n nn n n

X X XX X X

X X X X

X X X

δ δ δ δδ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ

+ + + + =+ + + + =

+ + + + + + =

+ + + + =

L

L

M

L L

L

(2.6)

Conform relaţiei Mohr-Maxwell se precizează semnificaţia coeficienţilor de influenţă

şi relaţiile de calcul: • i jδ este deplasarea punctului de aplicaţie a necunoscutei iX pe direcţia iX ,

deplasare produsă de necunoscuta 1jX = , aplicată singură pe sistemul de bază (fig.2.14) :

i ji j

m mdx

EIδ =∑∫ (2.7)

unde: - im reprezintă efortul secţional moment încovoietor produs de necunoscuta 1iX = aplicată singură pe sistemul de bază, - jm reprezintă efortul secţional moment încovoietor produs de necunoscuta 1jX = aplicată singură pe sistemul de bază.

• i iδ este deplasarea punctului de aplicaţie a necunoscutei iX pe direcţia iX ,

deplasare produsă de necunoscuta 1iX = ,aplicată singură pe sistemul de bază (fig.2.15):

i ii i

m m dxEI

δ =∑∫ (2.8)

Fig.2.15

Fig.2.14

Page 30: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Structuri static nedeterminate. Metoda eforturilor.

32

• 0iδ este deplasarea punctului de aplicaţie a necunoscutei iX pe direcţia iX , deplasare produsă de sarcinile exterioare aplicate pe sistemul de bază (fig.2.16):

00

ii

M m dxEI

δ =∑∫ (2.9)

În relaţia (2.9) 0M reprezintă efortul secţional moment încovoietor produs de sarcinile

exterioare aplicate pe sistemul de bază. OBSERVAŢII

1) În relaţiile (2.7),(2.8),(2.9) sau considerat numai termenii din încovoiere, însă în funcţie de solicitarea sistemului se vor considera şi ceilalţi termeni corespunzători eforturilor secţionale , , tN T M . 2) Calculul coeficienţilor de influenţă necesită încărcarea sistemului de bază separat cu fiecare necunoscută egală cu unitatea şi se stabilesc eforturile secţionale:

1 2, , , , , ,i j nm m m m mL L , iar apoi se încarcă sistemul de bază cu sarcinile exterioare şi se stabileşte efortul secţional corespunzător 0M .

Coeficienţii de influenţă se pot calcula folosind procedeul grafo-analitic Mohr-Vereşceaghin, în cazul sistemelor de bare drepte, ceea ce presupune trasarea diagramelor de variaţie ale eforturilor secţionale produse de necunoscutele egale cu unitatea şi de sarcinile exterioare aplicate pe sistemul de bază. 3) Condiţiile de compatibilitate exprimate prin coeficienţii de influenţă formează un sistem (2.6) de n ecuaţii cu n necunoscute: 1 2, , , , ,i nX X X XL L şi astfel se rezolvă nedeterminarea. 4) După determinarea necunoscutelor se pot stabili eforturile secţionale din barele sistemului în două moduri:

• Prin suprapunere de efecte conform relaţiei:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0n nM x m x X m x X m X M x= + + + +L (2.10)

Relaţia (2.10) a fost scrisă pentru moment încovoietor, dar forma ei se păstrează şi pentru celelalte eforturi secţionale.

• Pe sistemul echivalent încărcat cu sarcinile exterioare şi necunoscutele determinate

din rezolvarea sistemului de ecuaţii.

Fig.2.16

Page 31: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

33

2.2 GRINDA CONTINUĂ. 2.2.1 Grad de nedeterminare statică. O grindă dreaptă fără discontinuităţi, fixată printr-o articulaţie şi mai multe reazeme simple, paralele între ele şi dispuse perpendicular pe axa longitudinală, reprezintă o grindă continuă (fig.2.17). Dacă sarcinile exterioare se află într-un plan principal central de inerţie, atunci calculul tensiunilor şi deformaţiilor este o problemă plană.

Întrucât reacţiunea orizontală din articulaţie se poate stabili din ecuaţia de echilibru de proiecţie pe direcţie orizontală, grinda continuă este nedeterminată numai pentru sarcinile normale pe axa grinzii. Astfel gradul de nedeterminare va fi ( )2n − , unde n reprezintă numărul de reazeme ale grinzii. Gradul de nedeterminare se poate stabili mai direct, el fiind egal cu numărul de reazeme intermediare ale grinzii, care reprezintă, de fapt, legăturile suplimentare care au provocat nedeterminarea.

2.2.2 Ridicarea nedeterminării.

Ridicarea nedeterminării se poate realiza în funcţie de alegerea necunoscutelor static nedeterminate astfel: a) Dacă se aleg ca necunoscute static nedeterminate reacţiunile din reazemele intermediare, rezolvarea grinzii continue necesită un volum mare de calcule . Coeficienţii de influenţă ce intervin în ecuaţiile metodei eforturilor, pentru varianta de lucru aleasă, se calculează foarte greu (fig.2.18). b) Dacă se aleg ca necunoscute static nedeterminate momentele încovoietoare din reazemele intermediare, sistemul echivalent se obţine eliberând legătura pe direcţia

Fig.2.17

Fig.2.18

Page 32: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Structuri static nedeterminate. Metoda eforturilor.

34

necunoscutelor (fig.2.19) , deci se permite rotirea relativă a secţiunilor din reazemele intermediare.

Aceasta înseamnă, de fapt, transformarea reazemelor intermediare în articulaţii

intermediare, care echivalează cu întreruperea continuităţii grinzii în dreptul reazemelor intermediare. Sistemul de bază obţinut în acest mod va fi compus din grinzi simplu rezemate la capete.

În această variantă de rezolvare, din ecuaţia metodei eforturilor care exprimă condiţia

de compatibilitate a deformaţiilor sistemului echivalent cu sistemul static nedeterminat, se obţine ecuaţia celor trei momente (ecuaţia Clapeyron), care permite rezolvarea mai comodă a grinzii continue.

Fig.2.20

Fig.2.19

Page 33: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

35

Se consideră o grindă continuă cu ( )2n − reazeme, grinda are diferite rigidităţi pe deschideri şi este încărcată cu un sistem oarecare de sarcini dispuse într-un plan principal central de inerţie (fig.2.20).

Gradul de nedeterminare al grinzii este n şi se ridică nedeterminarea prin întreruperea continuităţii grinzii în dreptul reazemelor intermediare, aplicând în aceste secţiuni necunoscutele static nedeterminate momentele încovoietoare pe reazeme.

2.2.3. Condiţii de compatibilitate

Condiţiile de compatibilitate a deformaţiilor sistemului echivalent cu sistemul static nedeterminat sunt condiţii de continuitate ale fibrei medii deformate.

Astfel, secţiunile adiacente din articulaţia intermediară trebuie să aibă aceeaşi rotire ca secţiunea din reazemul intermediar corespunzător, deci rotirea relativă a secţiunilor din articulaţia intermediară să fie zero, sau deplasarea relativă pe direcţia necunoscutelor static nedeterminate să fie zero (fig.2.21).

2.2.4 Ecuaţia Clapeyron.

Condiţia de compatibilitate pentru reazemul i se exprimă conform metodei eforturilor astfel:

( ) 1 1 2 2 , 2 2

, 1 1 , , 1 1

, 2 2 , 0

0

0

ii i i i i iX

i i i i i i i i i

i i i i n n i

X X X

X X X

X X

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

− −

− − + +

+ +

Δ = ⇒ + + + +

+ + + + +

+ + + + =

L

L

(2.11)

Pentru calculul coeficienţilor de influenţă se stabilesc diagramele de variaţie ale

momentului încovoietor pentru încărcarea sistemului de bază cu sarcinile exterioare şi apoi cu necunoscutele egale cu unitatea, conform relaţiilor:

00, ,i j i i i

ij ii im m m m M mdx dx dx

EI EI EIδ δ δ= = =∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (2.12)

Din cauza structurii particulare a sistemului de bază, diagramele de variaţie ale

momentului încovoietor din necunoscutele egale cu unitatea nu se extind pe toată lungimea grinzii, ele cuprind numai deschiderile adiacente articulaţiei aferente necunoscutei statice (fig.2.20). Ca urmare, se anulează coeficienţii de influenţă pentru zonele exterioare deschiderilor adiacente:

Fig.2.21

Page 34: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Structuri static nedeterminate. Metoda eforturilor.

36

1 1 , 2

, 2 , 3 ,

i i i i

i i i i i n

δ δ δ

δ δ δ−

+ +

= = =

= = =

L

L (2.13)

În baza relaţiilor (2.13), condiţia de compatibilitate pentru reazemul i dată de relaţia (2.11) devine: , 1 1 , , 1 1 0 0i i i i i i i i i iX X Xδ δ δ δ− − + ++ + + + + = (2.14) Întrucât necunoscutele iX sunt momente încovoietoare se vor nota iM şi relaţia (2.14) are forma: , 1 1 , , 1 1 0 0i i i i i i i i i iM M Mδ δ δ δ− − + ++ + + + + = (2.15) Relaţia (2.15) reprezintă ecuaţia Clapeyron pentru reazemul i sau ecuaţia celor trei momente, întrucât în ecuaţie intervin numai trei necunoscute: momentul încovoietor din reazemul pentru care se scrie ecuaţia şi momentele încovoietoare din reazemele de la dreapta şi de la stânga. Conform fig.2.18 se calculează cu relaţiile (2.12) coeficienţii de influenţă ce intervin în ecuaţia (2.15) şi se obţin expresiile următoare:

, 11 1 1 1

2 3 6i

i i ii i

llEI EI

δ −⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

1, 1

1 1

1 1 2 1 1 2 22 3 2 3 6

i ii i i i

i i i i

l ll lEI EI E I I

δ ++

+ +

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.16)

1, 1 1

1 1

1 1 1 12 3 6

ii i i

i i

llEI EI

δ ++ +

+ +

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

0 1 11

1 1i i i i i

i iEI EIδ η η+ +

+

= Ω + Ω (2.17)

În relaţia (2.17) se înlocuiesc mărimile 1,i iη η + exprimate astfel:

11

1,i i

i ii il lξ ξη η +

++

= = (2.18)

şi rezultă:

1 10

1 1

1 1i i i ii

i i i iEI l EI lξ ξδ + +

+ +

Ω Ω= + (2.19)

Dacă se fac notaţiile:

' '' 1 1

1,i i i i

i ii i

A Al lξ ξ+ +

+

Ω Ω= = (2.20)

relaţia (2.19) are forma finală:

' ''

01

1 i ii

i i

A AE I I

δ+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.21)

Mărimile definite prin relaţiile (2.20) se numesc termeni de încărcare şi au semnificaţia fizică de reacţiuni în reazeme, produse de încărcarea deschiderilor adiacente reazemului i , cu diagrama de variaţie a momentului încovoietor din sarcinile exterioare aplicate sistemului de bază (fig.2.22):

Page 35: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

37

( )

( )

'1

''1 1 11

0 0

0 0

i i i ii

i i i ii

M Al

M A l

ξ

ξ

+ + ++

= ⇒ − +Ω =

= ⇒ −Ω =

∑∑

(2.22)

Din ecuaţiile de echilibru (2.22) se obţin expresiile (2.20).

Înlocuind coeficienţii de influenţă exprimaţi prin relaţiile (2.16) şi (2.21) în ecuaţia

(2.15) se obţine forma finală a ecuaţiei celor trei momente (ecuaţia Clapeyron):

' ''

1 11 1

1 1 1

2 1 06 6 6

i i i i i ii i i

i i i i i i

l l l l A AM M MEI E I I EI E I I

+ +− +

+ + +

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sau:

' ''

1 11 1

1 1 12 6 0i i i i i i

i i ii i i i i i

l l l l A AM M MI I I I I I

+ +− +

+ + +

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.23)

În cazul grinzii continue de rigiditate constantă, ecuaţia celor trei momente (2.23) are forma următoare: ( ) ' ''

1 1 1 12 6 0 ,i i i i i i i i i i il M l l M l M A A A A− + + ++ + + + = + = (2.24)

Dacă se aplică ecuaţia Clapeyron pentru cele n reazeme intermediare ale grinzii continue din fig.2.20, se obţine un sistem de n ecuaţii cu necunoscutele momentele încovoietoare din reazeme: 0 1 2 1, , , ,n nM M M M M +L :

( )( )

( )

1 0 1 2 1 2 2 1

2 1 2 3 2 3 3 2

1 1 1 1

1 2 6 0

2 2 6 0

2 6 0n n n n n n n n

i l M l l M l M A

i l M l l M l M A

i n l M l l M l M A− + + +

= ⇒ + + + + =

= ⇒ + + + + =

= ⇒ + + + + =

M (2.25)

Întrucât momentele încovoietoare din reazemele de capăt ale grinzii sunt cunoscute:

0 10 , 0nM M += = se pot stabili cele n momente necunoscute din sistemul de ecuaţii (2.25):

1 2, , nM M ML .

OBSERVAŢII

1) Dacă grinda continuă are la capete o zonă în consolă (fig.2.23), momentul încovoietor în reazemul consolei este diferit de zero şi se va include în ecuaţia celor trei momente, el reprezentând momentul forţelor de pe consolă în reazemul consolei.

Momentul se va stabili cu semnul corespunzător convenţiei de semne:

Fig.2.22

Page 36: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul II Structuri static nedeterminate. Metoda eforturilor.

38

( )( )

1 0 1 2 1 2 2 1 0

1 1 1 1

1

1 2 6 0,

2 6 0n n n n n n n n

n

i l M l l M l M A M Fc

i n l M l l M l M AM Fc

− + + +

+

= ⇒ + + + + = = −

= ⇒ + + + + =

= −

(2.26)

2) Dacă legătura grinzii continue la extremităţi este încastrare (fig.2.24), se

înlocuieşte încastrarea cu un sistem de legături echivalente din punct de vedere al deformaţiilor şi anume două reazeme la distanţă foarte mică unul de celălalt 0l ≈ .

În acest mod secţiunea din încastrare are rotirea egală cu zero. Stabilirea gradului de nedeterminare şi numerotarea reazemelor grinzii, în aceste cazuri, se va face după înlocuirea încastrării cu cele două reazeme.

Pentru cazul din fig.2.24 rezultă:

1 0

6 6

0 00 0

l Ml M= ⇒ == ⇒ =

3) Pentru grinzile continue simetrice constructiv încărcate simetric (fig.2.25), se aplică

ecuaţia celor trei momente pentru jumătate de grindă. Dacă s-ar aplica pentru toată grinda se obţin ecuaţii identice cu cele stabilite anterior.

Pentru cazul din fig.2.25, ecuaţia celor trei momente se aplică pentru reazemele 1,2,3 întrucât:

1 5 2 4 0 6, , 0M M M M M M= = = = .

Fig.2.23

Fig.2.24

Fig.2.25

Page 37: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

39

2.2.5 Calculul reacţiunilor şi stabilirea diagramelor

de variaţie ale eforturilor secţionale. După stabilirea necunoscutelor static nedeterminate se pot calcula reacţiunile din reazemele grinzii continue prin suprapunere de efecte: din sarcinile exterioare şi din necunoscutele aplicate pe sistemul de bază. Conform fig.2.26 se stabileşte relaţia de calcul pentru reacţiunea din reazemul intermediar i :

' ''1 1,0 ,0 ,0 ,0

1,i i i i

i i i i ii i

M M M MR R R R Rl l

− +

+

− −= + + = + (2.27)

Dacă se cunosc reacţiunile din reazemele grinzii continue se pot trasa diagramele de variaţie ale eforturilor secţionale pentru întreaga grindă. Diagramele de variaţie ale eforturilor secţionale se pot stabili pe sistemul echivalent, iar diagramele finale se obţin prin reprezentarea acestora unitar, pe schema grinzii continue.

Fig.2.26

Page 38: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

40

CAPITOLUL III

TENSIUNI LA SOLICITAREA COMPUSĂ A BARELOR DREPTE

3.1. ASPECTE GENERALE.

Atunci când efectul sarcinilor aplicate apare în secţiunile transversale ale unei bare , printr-un efort secţional ce are o singură componentă, dirijată după direcţia axei longitudinale a barei sau după una din axele principale centrale de inerţie ale secţiunilor transversale, atunci bara se află într-o stare de solicitare simplă: întindere, compresiune, încovoiere, forfecare, răsucire.

Dacă însă efortul secţional are mai multe componente, dirijate atât după axa longitudinală cât şi după axele principale centrale de inerţie ale secţiunilor transversale se produce o stare de solicitare compusă.

Eforturile secţionale , ,y zN M M se dezvoltă în secţiunile transversale prin tensiuni normale σ , iar eforturile secţionale , ,t y zM T T se dezvoltă prin tensiuni tangenţiale τ , repartizate pe suprafaţa secţiunii în conformitate cu legile de distribuţie ale solicitărilor simple.

În funcţie de natura tensiunilor produse în secţiunile transversale ale barelor, solicitările

compuse pot fi: 1) Solicitări care dau în secţiunile transversale ale barelor numai tensiuni normale σ ,

când există eforturile secţionale forţă axială şi moment încovoietor. 2) Solicitări care dau în secţiunile transversale ale barelor numai tensiuni tangenţiale τ

Fig.3.1

Page 39: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

41

, când există eforturile secţionale forţă tăietoare şi moment de răsucire. 3) Solicitări care produc în secţiunile transversale ale barelor atât tensiuni normale σ

cât şi tensiuni tangenţiale τ . În această grupă se încadrează solicitarea de încovoiere cu răsucire, tracţiune cu

forfecare ş.a., înclusiv starea generală de solicitare compusă.

3.2. SOLICITĂRI CARE PRODUC NUMAI TENSIUNI NORMALE.

3.2.1. Încovoiere simplă cu forţă axială.

În cazul solicitării de încovoiere cât şi în cazul solicitării axiale, eforturile secţionale momentul încovoietor yM şi forţa axială N produc în punctele din secţiunile transversale tensiuni normale σ , ce au direcţia axei barei. Valoarea tensiunilor se determină cu relaţiile solicitărilor simple:

( )NNNA

σ⇒ = (3.1)

( )y

yy M

y

M zM

Iσ⇒ = (3.2)

Tensiunea normală pentru solicitarea compusă se obţine aplicând principiul suprapunerii efectelor, însumând tensiunile produse de fiecare efort secţional, într-un punct oarecare din secţiunea transversală:

( ) ( )yN M

y

y

M zNA I

σ σ σ

σ

= +

= + (3.3)

Se consideră secţiunea transversală a unei bare (fig.3.2), secţiune în care apar eforturile secţionale N şi yM , se trasează distribuţia tensiunilor normale produse de fiecare efort secţional şi prin suprapunere de efecte rezultă distribuţia tensiunilor în cazul solicitării compuse.

În cazul solicitării compuse axa neutră îşi modifică poziţia şi ecuaţia axei neutre se

obţine pe baza proprietăţii ei, ca loc geometric al punctelor din secţiune pentru care tensiunea normală este zero:

20 ,y yy

y

I INz iM A A

σ = ⇒ = − ⋅ = (3.4)

Fig.3.2

Page 40: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

42

20y

y

Nz i zM

= − ⋅ = (3.5)

Din relaţia (3.5) rezultă că axa neutră este paralelă cu axa principală centrală y şi intersectează axa z în punctul de coordonată notată cu 0z . În punctele 1D şi 2D cele mai îndepărtate de axa neutră, tensiunile normale sunt maxime şi respectiv minime:

11 max

22 min

y

y

y

y

M zNDA I

M zNDA I

σ

σ

⇒ = +

⇒ = −

(3.6)

În cazul materialelor ce se comportă diferit la întindere şi compresiune condiţia de rezistenţă va fi: max minai acσ σ σ σ≤ ≤ (3.7)

Pentru materiale ce se comportă identic la întindere şi compresiune ai ac aσ σ σ= = condiţia de rezistenţă va fi:

( )max maxmax , aσ σ σ≤ (3.8

Dacă axa neutră este axă de simetrie (fig.3.3), tensiunile normale din fibrele extreme se calculează cu relaţiile următoare:

max min,y y

y y

M MN NA W A W

σ σ= + = − (3.9)

OBSERVAŢII

1) Dimensionarea unei bare solicitată la încovoiere simplă cu forţă axială se face prin încercări, întrucât nueste posibilă, în general, explicitarea unui singur parametru geometric din relaţia (3.6).

Astfel se aleg dimensiunile secţiunii transversale, se calculeayă tensiunile din fibrele extreme şi se foloseşte relaţia (3.6) pentru verificare. Dacă nu este îndeplinită această condiţie se modifică dimensiunile secţiunii transversale până la verificarea satisfăcătoare a relaţiei (3.6).

2) În rezolvarea practică a solicitării compuse de încovoiere simplă cu forţă axială se preferă parcurgerea următoarelor etape:

Fig.3.3

Page 41: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

43

- se trasează diagramele N şi yM pentru stabilirea secţiunii periculoase, - în secţiunea periculoasă se trasează distribuţia tensiunilor normale produse de fiecare efort secţional, - se trasează distribuţia tensiunilor normale pentru solicitarea compusă însumând algebric tensiunile în punctele extreme ale secţiunii transversale.

3) În această solicitare compusă se încadrează cazul firului solicitat la tracţiune şi înfăşurat pe un disc (fig.3.4). Se consideră firul de secţiune circulară cu diametrul d , solicitat la tracţiune de forţa F şi înfăşurat pe un disc cu diametrul D . Datorită înfăşurării pe disc firul este solicitat şi la încovoiere. Se urmăreşte stabilirea tensiunii maxime ce apare în fir.

În secţiunile periculoase (1) şi (2) eforturile secţionale au valorile următoare:

, yi

EIN F M

ρ= = (3.10)

Momentul încovoietor iM corespunzător formei deformate a firului, ca urmare a

înfăşurării pe disc, este exprimat în funcţie de raza de curbură:2Dρ = şi rigiditatea la

încovoiere: yEI . Tensiunea normală maximă va avea următoarea expresie:

4

max 2 364

4 2 32

yi

y y

dEEIMN F FA W A W d D d

π

σρ π π

= + = + = + (3.11)

max 24F Ed

Ddσ

π= + (3.12)

Expresia tensiunii normale maxime, stabilită pe baza legii lui Hooke, este aplicabilă

numai dacă nu se depăşeşte valoarea corespunzătoare limitei de proporţionalitate:

max 24

pF Ed

Ddσ σ

π= + ≤ (3.13)

3.2.2 Întindere sau compresiune excentrică.

Se consideră o bară de secţiune transversală oarecare (fig.3.5), pentru care torsorul tensiunilor dintr-o secţiune oarecare se reduce la o forţă normală pe secţiune F , aplicată în punctul de coordonate ,F Fy z în sistemul de axe yOz . Axele y şi z sunt axe centrale principale.

Fig.3.4

Page 42: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

44

Efectul forţei normale F în centrul de greutate al secţiunii transversale apare prin eforturile secţionale:

• forţă axială: N F= • momente încovoietoare y FM F z= ⋅ , z FM F y= ⋅ (3.14) Acţiunea independentă a fiecărui efort secţional reprezintă o solicitare simplă care

produce tensiuni normale σ pe direcţia axei x . Determinarea tensiunii normale din acţiunea simultană a eforturilor secţionale

, ,y zN M M se face prin aplicarea principiului suprapunerii efectelor, considerând că nu intervin fenomene de nestabilitate, chiar dacă forţa axială este de compresiune.

Astfel tensiunea normală într-un punct curent ( ),B y z din secţiunea transversală, se va obţine însumând tensiunile normale produse de fiecare efort secţional , ,y zN M M .

În acest scop, se analizează variaţia semnului tensiunii normale în secţiunea transversală pentru cazul analizat (fig.3.6), întindere sau compresiune excentrică produsă de forţa ( ),F FC y z .

Rezultă:

y z

y z

M z M yNA I I

σ = + + (3.15)

Fig.3.5

Fig.3.6

Page 43: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

45

Exprimând eforturile secţionale , ,y zN M M cu relaţia (3.14) , în funcţie de sarcina F şi poziţia punctului ei de aplicaţie, se obţine din (3.15) următoarea expresie pentru tensiunea normală:

F F

y z

F z z F y yFA I I

σ⋅ ⋅

= + + (3.16)

sau: 2 21 F F

y z

z z y yFA i i

σ⎛ ⎞

= ⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.17)

unde: 2 2,y zy z

I Ii iA A

= = sunt razele principale de inerţie ale secţiunii transversale.

Poziţia axei neutre se obţine din respectarea definiţiei axei neutre, ca locul geometric al punctelor din secţiune pentru care tensiunea normală este nulă:

2 20 1 0F F

y z

z z y yi i

σ = ⇒ + + = (3.18)

Conform relaţiei (3.18) se observă că axa neutră nu trece prin centrul de greutate al secţiunii transversale, poziţia ei depinde numai de coordonatele punctului de aplicaţie al forţei excentrice şi de caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale. În fig.3.7 s-a notat cu ξ distanţa de la punctul curent B la axa neutră şi se poate exprima această distanţă utilizând relaţiile din geometria diferenţială:

0 02 2

Ax By Cd

A B

+ +=

+ (3.19)

unde: 0Ax By C+ + = este ecuaţia dreptei, 0 0,x y sunt coordonatele punctului.

Fig.3.7

Page 44: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

46

Aplicând relaţia (3.19) rezultă:

2 2

2 2

2 2

1 F F

y z

F F

y z

z z y yi i

z yi i

ξ

+ +

=⎛ ⎞ ⎛ ⎞

± ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.20)

sau:

2 2

2 2 2 21 F F F F

y z y z

z z y y z yi i i i

ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + = ± ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.21)

Dacă se înlocuieşte relaţia (3.21) în (3.17), se obţine o altă formă matematică pentru tensiunea normală la solicitarea de întindere sau compresiune excentrică:

2 2

2 2F F

y z

z yFA i i

σ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ± ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.22)

Din relaţia (3.22) rezultă că tensiunea normală într-un punct din secţiune este proporţională cu distanţa ξ la axa neutră (fig.3.7). Din expresia (3.18) se pot stabili tăieturile axei neutre pe axele de coordonate, notate

0 0,x y . Ecuaţia axei neutre se pune sub formă normală:

0 0

1z yz y

+ = (3.23)

şi rezultă tăieturile axei neutre:

2 2

0 0,y z

F F

i iz yz y

= − = − (3.24)

Din relaţia (3.24) se observă că tăieturile axei neutre şi coordonatele punctului de aplicaţie al forţei axial excentrice sunt de semne contrare. Ca urmare, axa neutră şi punctul de aplicaţie al forţei excentrice se vor afla întotdeauna în cadrane opuse. Întrucât este precizată poziţia axei neutre în secţiunea transversală, se poate trasa distribuţia tensiunilor normale în funcţie de distanţa la axa neutră (fig.3.7). Tensiunile normale extreme apar în punctele cele mai depărtate de axa neutră şi se obţin ducând tangente la conturul secţiunii transversale, paralele cu axa neutră:

( )

( )

1 11 1 max

2 22 2 min

1 ,

2 ,

y z

y z

y z

y z

M z M yNy zA I I

M z M yNy zA I I

σ

σ

⇒ ⇒ = + +

⇒ ⇒ = − −

(3.25)

În cazul materialelor ce se comportă diferit la întindere şi compresiune condiţiile de

rezistenţă sunt următoarele: max min,ai acσ σ σ σ≤ ≤ (3.26)

Page 45: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

47

Pentru materialele ce se comportă identic la întindere şi compresiune, deci: ai ac aσ σ σ= = , condiţia de rezistenţă se va scrie pentru tensiunea normală maximă în

valoare absolută: ( )max minmax , aσ σ σ≤ (3.27) Deoarece condiţia de rezistenţă nu poate fi transformată într-o relaţie de dimensionare, definitivarea dimensiunilor se face prin încercări: se aleg anumite dimensiuni şi dacă condiţia de rezistenţă nu este îndeplinită se modifică în mod corespunzător dimensiunile până la verificarea satisfăcătoare a condiţiei de rezistenţă. OBSERVAŢII 1) Dacă punctul ( ),F FC y z de aplicaţie al forţei axial excentrice F se deplasează pe o dreaptă Δ , atunci axa neutră, notată cu D , se roteşte în jurul unui punct fix P (fig.3.8).

Aceasta este teorema privind rotaţia axei neutre, care se poate demonstra uşor. Se notează 01 01,y z tăieturile dreptei Δ pe axele de coordonate şi ecuaţia ei va fi:

01 01

1z yz y

+ = (3.28)

Punctul C aparţine dreptei Δ şi înlocuind în (3.28) coordonatele punctului rezultă expresia:

01 01

1F Fz yz y

+ = (3.29)

Coordonatele punctului C din relaţia (3.29) se pot înlocui prin expresiile (3.24)în

funcţie de tăieturile axei neutre şi de razele principale de inerţie ale secţiunii transversale:

Fig.3.8

Page 46: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

48

2 2

0 0

01 011

y zi iz y

z y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜− ⎟ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ = (3.30)

Relaţia (3.30) se poate pune sub forma următoare:

2 2

01 01

0 01

y zi iz yz y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜− ⎟ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ = (3.31

Dacă forţa axial excentrică se află în punctul ( )1 01,0C y atunci axa neutră are poziţia

1D , obţinută din ecuaţia:

2

012

011 0 z

Pz

y y iy y

yi+ = ⇒ = − = (3.32)

Dacă forţa axial excentrică se află în punctul ( )2 010,C z atunci axa neutră are poziţia

2D , obţinută din ecuaţia:

2

012

011 0 y

Py

iz zz z

zi+ = ⇒ = − = (3.33)

Înlocuind tăieturile dreptelor 1D şi 2D date de relaţiile (3.32) şi (3.33) în expresia (3.31) rezultă:

0 0

1P Pz yz y

+ = (3.34)

Relaţia (3.34) reprezintă ecuaţia unei drepte ce trece prin punctul fix P , întrucât Py şi

Pz depind de mărimi constante: razele de inerţie principale şi tăieturile dreptei Δ pe care se deplasează forţa axial excentrică (dreapta Δ este fixă).

Pornind de la ecuaţia (3.34) şi înlocuind 0y şi 0z în funcţie de Fy şi Fz se ajunge la ecuaţia (3.29), ceea ce dovedeşte că este adevărată şi reciproca teoremei privind rotaţia axei neutre: la rotaţia axei neutre în jurul unui punct, punctul de aplicaţie al forţei axial excentrice se deplasează pe o dreaptă.

2) Solicitarea de întindere sau compresiune excentrică prezintă aspecte particulare în cazul secţiunilor dreptunghiulară, I şi U.

Astfel după stabilirea poziţiei axei neutre conform ecuaţiei (3.18), se reprezintă variaţia tensiunii normale în funcţie de distanţa la axa neutră (fig.3.9), şi se pot preciza punctele cele mai solicitate din secţiunea transversală: 1 şi 2.

În cazul acestor secţiuni transversale, punctele de tensiuni extreme se află la distanţe maxime faţă de axele principale centrale de inerţie ale secţiunii şi ca urmare tensiunile extreme se calculează cu relaţiile următoare:

max

min

1

2

y z

y z

y z

y z

M MNA W W

M MNA W W

σ

σ

⇒ = + +

⇒ = − −

(3.35)

Page 47: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

49

Pentru materialele ce se comportă identic la întindere şi compresiune, condiţia de rezistenţă are următoarea formă:

maxy z

ay z

MN MA W W

σ σ= + + ≤ (3.36)

Stabilirea secţiunii periculoase pentru rezolvarea problemelor de dimensionare sau verificare se face prin încercări în toate secţiunile în care unul dintre eforturile secţionale are valoarea maximă. Dimensionarea se poate face neglijând efectul forţei axiale conform relaţiei:

max 1

1

y yza

y y z

y ynec zy

a y z

M WMW M W

M WMWM W

σ σ

σ

⎛ ⎞= + ⋅ =⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

= + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.37)

Utilizarea relaţiei de dimensionare presupune alegerea unei valori iniţiale pentru raportul y zW W , pe baza acestei valori se calculează nec

yW şi se stabileşte secţiunea transversală. După dimensionarea secţiunii trebuie verificată condiţia de rezistenţă (3.36) pentru solicitarea de întindere sau compresiune excentrică. 3) Analizând distribuţia tensiunilor normale din secţiunea transversală se constată că, în funcţie de poziţia punctului de aplicaţie al forţei axial excentrice, tensiunile vor fi de semne diferite dacă axa neutră intersectează secţiunea transversală, şi de acelaşi semn dacă axa neutră se situează în afara secţiunii transversale. În cazul elementelor de construcţii alcătuite din materiale care au rezistenţă mică la întindere, este important pentru comportarea acestora, ca pe întreaga secţiune să se producă numai tensiuni de compresiune. Întrucât, pentru o anumită secţiune, poziţia axei neutre depinde de punctul de aplicaţie al forţei axial excentrice ( ),F FC y z , se pune problema precizării domeniului din secţiune în care se poate aplica forţa F , astfel ca în secţiune tensiunile normale să aibă acelaşi semn.

Fig.3.9

Page 48: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

50

Totalitatea poziţiilor pe care la poate ocupa punctul de aplicaţie al forţei axial excentrice, astfel încât axa neutră să nu intersecteze secţiunea transversală, formează în centrul secţiunii o figură închisă numită sâmbure central. Dacă punctul de aplicaţie al forţei axial excentrice se găseşte în interiorul sâmburelui central, atunci axa neutră se află în afara secţiunii. La limită, când axa neutră va fi tangentă la conturul secţiunii, punctul ( ),F FC y z se va afla la limita domeniului sâmburelui central, deci pe conturul sâmburelui central. Pe baza acestei observaţii rezultă modul de determinare a sâmburelui central. Astfel se consideră o secţiune oarecare (fig.3.10), şi pentru poziţiile axei neutre tangentă la conturul secţiunii, se vor determina poziţiile punctului de aplicaţie al forţei F .

Locul geometric al punctului ( ),F FC y z , când axa neutră se deplasează pe conturul secţiunii, rămânând mereu tangentă la contur, fără să intersecteze secţiunea, va închide domeniul sâmburelui central.

Locul geometric al punctului ( ),F FC y z , când axa neutră se deplasează pe conturul

secţiunii, rămânând mereu tangentă la contur, fără să intersecteze secţiunea, va închide domeniul sâmburelui central.

Pentru o anumită poziţie a axei neutre, tangentă la conturul secţiunii, coordonatele punctului C se calculează cu relaţiile următoare:

22

0 0, yz

F Fiiy z

y z= − = − (3.38)

Dacă este cunoscută ecuaţia conturului secţiunii transversale, pe baza legăturii dintre axa neutră tangentă la contur şi coordonatele punctuluiC , se poate stabili locul geometric al acestuia, când axa neutră se deplasează tangentă la conturul secţiunii. Rezultă astfel conturul sâmburelui central. Dacă secţiunea transversală are conturul poligonal, sâmburele central va fi de asemenea un poligon, iar la un contur curb al secţiunii va corespunde de asemenea un contur curb pentru sâmburele central. Se exemplifică stabilirea sâmburelui central pentru secţiunea dreptunghiulară (fig.3.11).

Dacă axa neutră are poziţia DE rezultă: 0 0,2hy z= ∞ = , iar forţa excentrică are

poziţia 1, deci:

22

0 00 ,

6yz

F Fii hy z

y z= − = = − = − (3.39)

Razele principale de inerţie au valorile următoare:

Fig.3.10

Page 49: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

51

2 2

2 2,12 12y zh bi i= =

Dacă axa neutră are poziţia DB rezultă: 0 0,2by z= = ∞ , iar forţa excentrică are

poziţia 2, deci:

22

0 0, 0

6yz

F Fii by z

y z= − = − = − = (3.40)

Aplicând teorema privind rotaţia axei neutre, rezultă că la rotaţia axei neutre DE în jurul punctului D , pentru a se suprapune cu poziţia DB , punctul de aplicaţie al forţei axial excentrice parcurge dreapta 1-2.

În acelaşi mod se obţin punctele 3 şi 4 pentru poziţiile axei neutre notate BC şi CE . În final, conturul sâmburelui central este rombul 1234, cu diagonalele 3b şi 3h .

Se exemplifică modul deplasării axei neutre, în funcţie de poziţia punctului de aplicaţie al forţei axial excentrice şi modificarea distribuţiei tensiunilor normale, pentru cazul barei de secţiune dreptunghiulară b h× (fig.3.12), iar forţa de compresiune excentrică este aplicată în punctul ( ),0FC y şi se deplasează pe axa y .

Fig.3.11

Fig.3.12

Page 50: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

52

3.2.3 Încovoiere oblică şi strâmbă. Atunci când sarcinile aplicate se află într-un singur plan, dar care nu este plan principal

central de inerţie, se produce o solicitare de încovoiere oblică. Vectorul moment încovoietor este perpendicular pe planul forţelor şi are o direcţie oarecare faţă de axele principale centrale de inerţie, deci are două componente: yM şi zM (fig.3.13).

Atunci când sarcinile aplicate se află în plane longitudinale diferite (fig.3.14), se descompun sarcinile în componentele corespunzătoare din planele principale centrale de inerţie şi efectul lor apare în secţiunile transversale prin eforturile secţionale: yM şi zM (fig.3.14).

Această solicitare se numeşte încovoiere strâmbă, deşi efectul sarcinilor aplicate este acelaşi ca în cazul solicitării de încovoiere oblică.

Se consideră o bară solicitată la încovoiere oblică sau strâmbă, ce are secţiunea transversală de formă oarecare cu axele principale centrale de inerţie Oy şi Oz (fig.3.15).

Fig.3.13

Fig.3.14

Fig.3.15

Page 51: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

53

În cazul încovoierii oblice momentul încovoietor iM , perpendicular pe planul forţelor are componentele:

cos , siny i z iM M M Mα α= = (3.41) unde α este unghiul vectorului moment iM cu axa principală y , considerat pozitiv în sens invers acelor de ceas, corespunzător rotaţiei în sens pozitiv al axei y spre z .

În cazul încovoierii strâmbe momentele încovoietoare yM şi zM dau un moment încovoietor rezultant iM şi legătura dintre cele două componente se exprimă tot ca în cazul încovoierii oblice prin relaţiile (3.41).

Acţiunea independentă a fiecărei componente yM şi zM reprezintă solicitare de încovoiere simplă, şi ca urmare distribuţia tensiunilor normale se determină cu relaţia Navier.

Variaţia semnului tensiunilor normale din secţiune se stabileşte pentru sensul pozitiv al vectorilor moment încovoietor yM şi zM , conform fig.3.16.

Tensiunile normale produse de fiecare efort secţional sunt date de relaţiile:

( ) ( ),zy

y zMM

y z

M z M yI I

σ σ= = − (3.43)

Aplicând principiul suprapunerii efectelor, tensiunea normală în cazul solicitării de încovoiere oblică şi strâmbă se obţine însumând algebric tensiunile produse de fiecare efort secţional:

y z

y z

M z M yI I

σ = − (3.44)

Poziţia axei neutre rezultă conform definiţiei axei neutre, ca locul geometric al punctelor din secţiune pentru care tensiunea normală este zero:

0 0y z

y z

M z M yI I

σ = ⇒ − = (3.45)

sau:

yz

y z

IMz yM I

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.46)

Se observă că axa neutră este o dreaptă ce trece prin centrul de greutate al secţiunii transversale şi are înclinarea:

Fig.3.16

Page 52: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

54

y yz

y z z

I IMtg tgM I I

β α= ⋅ = (3.47)

unde: z

y

Mtg

Mα = .

Înclinarea axei neutre se exprimă prin unghiul β pe care axa îl face cu axa principală centrală Oy .

Sensul de măsurare al unghiului β coincide cu sensul de măsurare al unghiului α , deci pozitiv în sens invers acelor de ceas.

Tensiunea normală la solicitarea de încovoiere oblică şi strâmbă variază liniar cu distanţa la axa neutră.

Astfel, dacă se notează cu ξ distanţa de la punctul B la axa neutră, se poate exprima ξ ţinând seamă de forma (3.45) a ecuaţiei axei neutre:

2 2

y z

y z

y z

y z

M Mz yI I

M MI I

ξ−

=⎛ ⎞ ⎛ ⎞

± +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.48)

şi rezultă:

2 2

y yz z

y z y z

M MM Mz yI I I I

ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = ± +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.49)

Substituind (3.49) în (3.44) se obţine expresia tensiunii normale în funcţie de distanţa la axa neutră:

2 2

y z

y z

M MI I

σ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ± +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.50)

sau în forma finală:

( ) ( )2 21y z z y

y zM I M I

I Iσ ξ= ± + (3.51)

După precizarea poziţiei axei neutre, se duc tangente la conturul secţiunii transversale, paralele cu axa neutră şi se determină cele mai îndepărtate de axa neutră în care tensiunea normală are valori extreme:

( )

( )

1 1 max 1 1

2 2 min 2 2

1 ,

2 ,

y z

y z

y z

y z

M My z z y

I I

M My z z yI I

σ

σ

⇒ ⇒ = +

⇒ ⇒ = − −

(3.52)

Condiţiile de rezistenţă pentru dimensionare sunt următoarele: • pentru materialele ce se comportă diferit la întindere şi compresiune:

max min,ai acσ σ σ σ≤ ≤ (3.53)

• pentru materialele caracterizate prin aceiaşi rezistenţă admisibilă la întindere şi compresiune: ( )max minmax , aσ σ σ≤ (3.54)

Page 53: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

55

OBSERVAŢII 1) Întrucât secţiunea transversală este caracterizată de mai mulţi parametrii geometrici, relaţiile (3.53) şi (3.54) nu pot fi transformate în relaţii de dimensionare. Ca urmare, dimensionarea se face prin încercări, se dimensionează la solicitarea predominantă , se folosesc relaţiile pentru verificare, dacă nu se respectă condiţiile (3.53) şi (3.54) se modifică dimensiunile secţiunii transversale până la îndeplinirea acestor condiţii. 2) În cazul secţiunilor transversale dreptunghiulară, I sau U se constată uşor, că punctele cele mai depărtate de axa neutră la încovoiere oblică sau strâmbă se află la distanţe maxime de axele principale centrale de inerţie (fig.3.17). Tensiunile normale extreme se calculează, în acest caz, cu relaţiile următoare:

max min,y yz z

y z y z

M MM MW W W W

σ σ= + = − − (3.55)

Condiţia de rezistenţă este:

maxy z

ay z

M MW W

σ σ= + ≤ (3.56)

care se poate utiliza şi pentru dimensionare în forma următoare:

1y yznecy

a zy

M WMW

WMσ

⎛ ⎞⎜ ⎟= + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.57)

Pe baza relaţiei (3.57) calculul de dimensionare se realizează astfel: se adoptă o valoare pentru raportul y zW W şi se calculează nec

yW cu (3.57) , se stabileşte secţiunea transversală şi se verifică respectarea condiţiei (3.56). Etapele se repetă până la respectarea condiţiei de rezistenţă (3.56). 3) Secţiunea periculoasă pentru care se efectuează calculele de rezistenţă, se stabileşte prin încercări, calculând tensiunile maxime pentru secţiunile în care una din componentele efortului secţional yM şi zM au valori maxime.

Fig.3.17

Page 54: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

56

4) În cazul secţiunii circulare şi inelare nu se poate considera solicitare de încovoiere oblică şi strâmbă, întrucât orice dreaptă ce trece prin centrul de greutate este o axă principală centrală de inerţie şi deci indiferent de orientarea vectorului moment încovoietor rezultant se poate aplica relaţia Navier (fig.3.18).

Ca urmare, se calculează momentul încovoietor rezultant conform relaţiei: 2 2

i y zM M M= + (3.58)

Direcţia vectorului moment încovoietor rezultant coincide cu direcţia axei neutre: z

y

MM

α β= = (3.59)

Punctele de tensiuni extreme se stabilesc ducând tangente la conturul secţiunii transversale, paralele cu axa neutră (fig.3.18) şi rezultă:

1 1

2 2

sin , cos2 2

sin , cos2 2

d dy z

d dy z

α α

α α

= − =

= = − (3.60)

Valorile tensiunilor extreme se calculează conform relaţiei Navier:

max min,i iM MW W

σ σ= = − (3.61)

unde: 3

32DW π

=

5) Deplasarea totală a unei secţiunii oarecare (fig.3.19), se calculează cu relaţia:

2 2v wΔ = + (3.62) unde:

• w este săgeata grinzii din încovoierea în planul xOz şi se obţine din ecuaţia fibrei medii deformate:

2

2y

y

Md wEIdx

= − (3.63)

• v este săgeata grinzii din încovoierea în planul xOy şi se obţine din ecuaţia fibrei medii deformate:

Fig.3.18

Page 55: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

57

2

2z

z

Md vEIdx

= (3.64)

Pentru cazul din fig.3.19 s-a considerat că legăturile grinzii sunt identice în cele două plane principale centrale de inerţie xOy şi xOz . Conform relaţiei 3.62 fibra medie rezultantă este o curbă oarecare în spaţiu.

3.3. SOLICITĂRI CARE PRODUC NUMAI TENSIUNI TANGENŢIALE Din această grupă de solicitări compuse fac parte solicitarea de răsucire cu forfecare şi solicitarea de forfecare pe două direcţii. În general, valorile tensiunilor tangenţiale din forfecare au valori mici comparativ cu tensiunile tangenţiale din răsucire şi se pot neglija.

Dacă se consideră cazul unei secţiuni oarecare (fig.3.20), în care apar eforturile

secţionale forţă tăietoare T şi moment de răsucire tM , tensiunile tangenţiale produse de fiecare efort secţional într-un punct se pot însuma conform regulilor calculului vectorial:

2 2 2 cosf t f tτ τ τ τ τ α= + + (3.65) unde: α este unghiul format de cele două tensiuni tangenţiale.

Fig.3.19

Fig.3.20

Page 56: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

58

Dacă tensiunile sunt coliniare, 0α = , atunci rezultă: f tτ τ τ= + (3.66) şi însumarea tensiunilorse face de obicei în dreptul celui mai solicitat punct al secţiunii periculoase. Un exemplu practic de solicitare compusă, când apar numai tensiuni tangenţiale, este cazul arcurilor elicoidale cilindrice cu spire strânse supuse la întindere sau compresiune.

3.4. SOLICITĂRI CARE PRODUC TENSIUNI NORMALE ŞI TENSIUNI TANGENŢIALE.

3.4.1 Teorii ale stărilor de tensiune limită. Încercarea mecanică de bază este încercarea la tracţiune, prin care se determină cele

mai importante caracteristici mecanice ale materialelor, cum ar fi: tensiunea la rupere rσ , tensiunea la limita de curgere cσ etc.

Caracteristicile mecanice determinate se folosesc la calculul de rezistenţă al pieselor confecţionate din acelaşi material.

În piesele solicitate însă, se dezvoltă de cele mai multe ori stări plane sau stări spaţiale de tensiune, pe când în epruveta solicitată la întindere se creează o stare liniară de tensiune.

Această deosebire de solicitare trebuie luată în considerare la calculul pieselor aflate în stări de solicitare diferite de cea liniară.

Teoriile asupra stărilor de tensiune limită (numite şi criterii, ipoteze de rezistenţă sau rupere) stabilesc modul de aplicare, în calculul stărilor plane sau spaţiale, a tensiunii admisibile aσ determinată pe baza rezultatelor încercării la tracţiune. Starea de tensiune limită într-un punct al corpului solid solicitat este starea, la care materialul îşi pierde proprietăţile considerate corespunzătoare, pentru buna funcţionare a elementelor de maşini sau a structurilor unde este folosit.

Astfel se consideră starea de tensiune limită a materialului, starea de tensiune ce corespunde începerii ruperii materialului sau apariţiei unui proces fizic care, este considerat inadmisibil, nedorit sau periculos.

De exemplu, se consideră starea de tensiune limită, starea de tensiune care corespunde apariţiei unor deformaţii plastice în masa materialului.

Cercetările experimentale au arătat că pentru diferite materiale atingerea stării limită are loc atunci când o anumită caracteristică a stării de tensiune ( ), , , sUσ τ ε atinge o anumită valoare.

Caracteristicile corespunzătoare stării de tensiune ( ), , , sUσ τ ε se numesc criterii şi se notează: K .

Valoarea criteriului de rezistenţă corespunzătoare stării de tensiune limită se stabileşte experimental şi se numeşte valoare limită a criteriului notată: LK .

Cunoscând valoarea efectivă a criteriului K şi valoarea limită a criteriului LK , se poate calcula coeficientul de siguranţă:

0L

ech

KCK

σσ

= = (3.67)

Pe baza criteriilor de rezistenţă se pot echivala două stări de tensiune dacă au aceeaşi

valoare a criteriului.

Page 57: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

59

Astfel, devine posibilă înlocuirea unei stări complexe cu o stare liniară echivalentă la fel de periculoasă, dacă cele două stări au aceeaşi valoare a criteriului de rezistenţă.

Se defineşte tensiune normală echivalentă echσ , corespunzătoare unei stări complexe date, valoarea tensiunii normale ce caracterizează o stare liniară care prezintă aceeaşi valoare a criteriului ca şi starea complexă dată.

Echivalarea stării complexe de tensiune cu o stare liniară la nivelul efectiv şi la nivelul limită, precum şi precizarea stării de tensiune admisibilă sunt reprezentate în fig.3.21.

În funcţie de criteriul de rezistenţă ce a stat la baza echivalării stării complexe cu starea liniară s-au elaborat următoarele teorii ale stărilor de tensiune limită:

1. Teoria tensiunilor normale maxime; 2. Teoria deformaţiilor specifice liniare maxime; 3. Teoria tensiunilor tangenţiale maxime; 4. A) Teoria energiei potenţiale specifice de deformaţie;

B) Teoria energiei potenţiale specifice de deformaţie corespunzătoare variaţiei formei.

1. Teoria tensiunilor normale maxime consideră că tensiunea normală maximă reprezintă factorul ce determină ca materialul să atingă într-un punct starea de tensiune limită (curgerea sau ruperea). Astfel rezultă că teoria tensiunii normale maxime admite că distrugerea corpului solid începe atunci când tensiunea normală maximă devine egală cu tensiunea normală din epruveta solicitată la întindere sau compresiune simplă: maxechσ σ= (3.68) În cazul barelor drepte, la care starea de tensiune este caracterizată de tensiunile: ( )xσ σ şi ( )zx xzτ τ τ= , se cunoaşte că:

2 2 2 2max 1 1,2

1 14 , 42 2 2 2σ σσ σ σ τ σ σ τ= = + + = ± + (3.69)

şi se obţine expresia tensiunii normale echivalente conform teoriei tensiunilor normale maxime:

2 20,5 0,5 4echσ σ σ τ= + + (3.70)

Fig.3.21

Page 58: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

60

2. Teoria deformaţiilor specifice maxime , conform acestei teorii criteriul atingerii stării de tensiune limită este considerat deformaţia specifică liniară maximă deci: maxechε ε= (3.71) În cazul barelor drepte sunt cunoscute relaţiile:

( )max 1 1 21,ech

ech E Eσ

ε ε ε σ μσ= = = − (3.72)

de unde rezultă: ( )1 2echσ σ μσ= − (3.73) şi în funcţie de (3.69)se obţine:

2 21 1 42 2echμ μσ σ σ τ− +

= + + (3.74)

Pentru majoritatea materialelor 0,3μ = şi din (3.74) se stabileşte expresia finală pentru calculul tensiunii normale echivalente:

2 20,35 0,65 4echσ σ σ τ= + + (3.75) 3.Teoria tensiunilor tangenţiale maxime , admite criteriul de atingere a stării de tensiune limită, tensiunea tangenţială maximă deci: maxechτ τ= (3.76) unde:

1 2max,

2 2ech

echσ σ σ

τ τ−

= = (3.77)

şi rezultă: 1 2echσ σ σ= − (3.78)

În cazul barei drepte se ţine cont de relaţiile (3.69) şi se obţine expresia finală, pentru calculul tensiunii normale echivalente în cazul teoriei tensiunilor tangenţiale maxime:

2 24echσ σ τ= + (3.79)

4. Teoriile energetice ale stărilor de tensiune limită. A) Teoria energiei potenţiale specifice de deformaţie are la bază conceptul că energia potenţială specifică de deformaţie este aceeaşi în momentul atingerii stării limită pentru orice tip de stare de tensiune. Aceasta înseamnă că starea de tensiune limită este atinsă, într-un punct oarecare, dacă cantitatea de energie potenţială specifică de deformaţie acumulată de material atinge valoarea energiei potenţiale specifice de deformaţie limită pentru cazul întinderii simple: maxS ech SU U= (3.80) În cazul barei drepte se cunosc expresiile:

( )2

2 2max 1 2 1 2

1,2 2

echS ech SU U

E E Eσ μσ σ σ σ= = + − (3.81)

şi rezultă:

Page 59: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

61

2 21 2 1 22echσ σ σ μσ σ= + − (3.82)

Substituind relaţiile (3.69) în (3.82) şi considerând 0,3μ = se obţine expresia finală pentru tensiunea normală echivalentă :

2 22,6echσ σ τ= + (3.83)

B) Teoria energiei potenţiale specifice de deformaţie corespunzătoare variaţiei formei. Sub acţiunea sarcinilor aplicate corpurile solide îşi modifică, în general, atât volumul

cât şi forma. Experimental s-a constatat că deformaţia de volum rămâne elastică şi pentru încărcări exterioare de intensităţi mari, în timp ce deformaţiile plastice legate de modificarea formei, apar chiar pentru tensiuni de intensitate redusă. Aceste concluzii au condus la alegerea criteriului de stare limită energia potenţială specifică de deformaţie corespunzătoare variaţiei formei. Deci se poate scrie relaţia de echivalenţă: maxS F ech S FU U= (3.84) iar în cazul barei drepte se cunosc expresiile:

( )2 2 2max 1 2 1 2

1 1,3 3S F ech ech S FU U

E Eμ μσ σ σ σ σ+ +

= = + − (3.85)

şi rezultă:

2 21 2 1 2echσ σ σ σ σ= + − (3.86)

În funcţie de expresiile (3.69) se obţine din (3.86) relaţia finală pentru calculul tensiunii normale echivalente:

2 23echσ σ τ= + (3.87) Stabilirea tensiunii normale echivalente conform teoriilor asupra stărilor de tensiune limită permite impunerea condiţiei de rezistenţă: ech aσ σ≤ (3.88) care stă la baza rezolvării solicitărilor compuse ce produc tensiuni normale şi tensiuni tangenţiale.

3.4.2 Calculul de rezistenţă al arborilor. Acţiunea simultană a solicitărilor de încovoiere şi torsiune este frecvent întâlnită la multe elemente de maşini, dar se poate întâlni şi în comportarea elementelor de construcţii. În cazul barelor de rigiditate mare, se poate considera cu suficientă exactitate că cele două solicitări, încovoierea şi torsiunea se produc fără a se influenţa reciproc. Starea de tensiune care se produce în bară urmând să fie evaluată pe baza principiului independenţei acţiunii solicitărilor. Astfel, într-un punct al secţiunii transversale a barei, tensiunea normală se va determina cu relaţiile corespunzătoare încovoierii simple sau oblice, iar tensiunea tangenţială se obţine însumând tensiunile tangenţiale din încovoiere cu lunecare şi din torsiune.

Page 60: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul III Tensiuni la solicitarea compusă a barelor drepte

62

Întrucât, tensiunile tangenţiale în punctul cel mai solicitat al secţiunii pot fi importante, nu se mai poate considera ca în cazurile precedente de solicitări compuse, o stare liniară de tensiune, ci se va considera starea plană de tensiune care se produce în acest punct, urmând să se aplice un criteriu de stare limită pentru condiţia de rezistenţă. În mod frecvent, la arborii de transmisie de secţiune circulară, forţele transversale dispuse pe direcţii diferite produc în secţiunile transversale eforturile secţionale: momente încovoietoare yM , zM , forţe tăietoare yT , zT şi moment de torsiune tM . Întrucât, la secţiunea circulară orice axă ce trece prin centrul de greutate al secţiunii este o axă principală de inerţie, se poate calcula momentul încovoietor rezultant:

2 2i y zM M M= + (3.89)

care are direcţia dată de relaţia: z ytg M Mα = (3.90) Unghiul α defineşte poziţia axei neutre la încovoiere (fig. 3.22) şi în acest fel se pot stabili şi punctele de tensiuni maxime la încovoiere: 1A şi 2A . În privinţa forţelor tăietoare, se poate calcula forţa tăietoare rezultantă:

2 2y zT T T= + (3.91)

şi se poate arăta că punctele de tensiuni tangenţiale maxime nu coincid cu punctele de tensiuni normale maxime: 1A şi 2A .

În concluzie, se ţine seamă numai de eforturile secţionale moment încovoietor

rezultant iM şi moment de torsiune tM , care produc tensiuni maxime în punctele 1A şi 2A . În aceste puncte se aplică o teorie de rezistenţă , de exemplu teoria tensiunii

tangenţiale maxime, şi se stabileşte tensiunea normală echivalentă:

2 24echσ σ τ= + (3.92) unde:

iMW

σ = , t

p

MW

τ = (3.93)

Substituind expresiile (3.93) în (3.92) rezultă:

Fig.3.22

Page 61: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

63

2 2i t

echM M

+= (3.94)

În relaţia (3.94) se notează:

2 2ech i tM M M= + (3.95)

care se numeşte moment încovoietor echivalent . Condiţia de rezistenţă (3.89) se pune sub forma următoare:

echech a

MW

σ σ= ≤ (3.96)

şi astfel se poate utiliza pentru dimensionare:

echnec

a

MW

σ= (3.97)

În funcţie de teoria de rezistenţă utilizată, momentul încovoietor echivalent are următoarele expresii de calcul:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0,5 0,5

0,35 0,65

0,6

0,75

ech i i t

ech i i t

ech i t

ech i t

ech i t

M M M M

M M M M

M M M

M M M

M M M

= + +

= + +

= +

= +

= +

(3.98)

În cazul arborilor se utilizează pentru calculul momentului încovoietor echivalent o relaţie de forma:

( )22ech i tM M Mα= + (3.99)

unde: ai III

ai II

σα

σ= ,

ai IIIσ este tensiunea admisibilă la încovoietor e pentru ciclul alternant simetric, ai IIσ este tensiunea admisibilă la încovoietor e pentru ciclul pulsator.

Page 62: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul IV Stabilitatea statică a barelor zvelte

64

CAPITOLUL IV

STABILITATEA STATICĂ A BARELOR ZVELTE

4.1 ASPECTE GENERALE ALE STABILITĂŢII BARELOR ZVELTE

Analizele efectuate până acum au stabilit stările de tensiune şi de deformare ale barelor confecţionate din materiale liniar-elastice, fără să se analizeze particularităţile în comportare ale barelor zvelte, bare ce au lungimea mare comparativ cu dimensiunile secţiunii transversale.

O particularitate a barelor zvelte o constituie „sensibilitatea” acestora faţă de tensiunile de compresiune. Există pericolul ca în zonele comprimate bara să-şi piardă forma iniţială de echilibru şi astfel forma de echilibru a zonelor comprimate poate fi stabilă sau instabilă.

Stabilitatea sau instabilitatea statică reprezintă o caracteristică a poziţiei deformate a unui sistem elastic ca stare de echilibru sub acţiunea statică a unor sarcini exterioare date.

Poziţia deformată se consideră stabilă, dacă modificând-o printr-o cauză perturbatoare oarecare, sistemul revine la poziţia deformată iniţială (sau oscilează în jurul acesteia) atunci când cauza perturbatoare dispare.

Poziţia deformată este instabilă, dacă nu prezintă această proprietate; odată cu pierderea stabilităţii sistemul elastic poate prezenta brusc deformaţii mari, ceea ce poate conduce la distrugerea lui completă.

Pierderea stabilităţii sistemelor deformabile (bare, sisteme de bare, plăci) sub acţiunea sarcinilor se numeşte flambaj . Deci flambajul nu constituie o altă solicitare, ci este consecinţa unei stări de instabilitate.

Se prezintă cazul cel mai frecvent întâlnit în practică şi anume flambajul barelor drepte solicitate la compresiune.

Se consideră o bară dreaptă zveltă (fig.4.1) solicitată la compresiune, deci poate

prezenta pericolul de flambaj. La valori mici ale forţei F poziţia deformată a barei este stabilă; dacă însă forţa atinge

valoarea critică CRF (forţa critică de flambaj) poziţia deformată este instabilă, bara îşi pierde

Fig.4.1

Page 63: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

65

forma dreaptă de echilibru şi flambează sau îşi poate pierde forma dreaptă de echilibru dacă apare o cauză perturbatoare .

Se produc brusc deformaţii mari de încovoiere şi dispare capacitatea barei de a se opune forţei în creştere.

Forţei critice de flambaj îi corespunde în secţiunea transversală o tensiune critică de flambaj, ce se poate determina pe baza relaţiilor de la solicitarea axială:

CRCR

FA

σ = (4.1)

unde: A este aria secţiunii transversale. Bara nu flambează dacă forţa de compresiune este mai mică decât forţa critică de

flambaj:

CRFF

c= (4.2)

unde: 1c ≥ este coeficientul de siguranţă la flambaj. În concluzie, echilibrul barei drepte comprimate poate fi: - stabil, dacă CRF F≤ , bara scoasă din poziţia dreaptă de echilibru va reveni la forma

ei iniţială după îndepărtarea cauzei perturbatoare; - instabil, dacă CRF F≥ , bara flambează sau prezintă pericolul de flambaj, scoasă din

poziţia dreaptă de echilibru bara rămâne deformată şi se poate rupe. În afară de flambajul barelor drepte solicitate la compresiune există numeroase cazuri de flambaj ale solidelor deformabile: • Grinzile cu secţiune transversală zveltă, solicitate la încovoiere, prezintă pericolul de flambaj lateral (fig.4.2), care se manifestă printr-o deformaţie de torsiune şi de încovoiere laterală a grinzii.

• În cazul grinzilor cu inima plină, platbanda comprimată poate flamba pe porţiunea dintre două nituri consecutive (fig.4.3), ceea ce duce la distrugerea îmbinării. • Tubul cu perete subţire poate flamba la solicitarea de torsiune (fig.4.4). • Tubul cu perete subţire poate prezenta pericolul de flambaj când este solicitat la compresiune axială, dar şi când este solicitat la o presiune exterioară uniformă (fig.4.5).

Fig.4.2

Fig.4.4

Fig.4.5

Fig.4.3

Page 64: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul IV Stabilitatea statică a barelor zvelte

66

4.2 FORŢA CRITICĂ DE FLAMBAJ A BARELOR ZVELTE SOLICITATE

LA COMPRESIUNE O teorie exactă a flambajului conduce la expresii neliniare complicate şi ca urmare, s-

au elaborat teorii aproximative care stabilesc uşor mărimile cele mai importante ale stării flambate. Expresia sarcinii critice de flambaj se poate stabili prin mai multe metode: metoda statică , metoda energetică, metoda aproximaţiilor succesive, metoda dinamică, ş.a. Prima dată a fost calculată sarcina critică de flambaj în cazul barei drepte comprimate de L.Euler (1744). Se prezintă metoda statică pentru stabilirea sarcinii critice de flambaj, care constă în integrarea ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate şi impunerea condiţiilor de legătură şi de continuitate, necesare pentru a se realiza o anumită formă deformată. Ipotezele ce stau la baza studiului sunt: 1) Se admite că bara este de rigiditate constantă pe toată lungimea. 2) Se neglijează greutatea proprie a barei. 3) Se admite că distanţa dintre cele două capete ale barei este egală cu aproximaţie şi în starea flambată cu lungimea iniţială a barei. 4) Materialul barei are o caracteristică liniar-elastică, deci respectă legea lui Hooke. În funcţie de legăturile barei drepte se consideră următoarele cazuri:

I - bara liberă la un capăt şi încastrată la celălalt, II - bara simplu rezemată la capete,

III - bara simplu rezemată la un capăt şi încastrată la celălalt, IV - bara încastrată la ambele capete.

Cazul II Se consideră bara din fig.4.6, pentru care se aplică şi se integrează ecuaţia diferenţială

aproximativă a fibrei medii deformate corespunzătoare stării de pierdere a stabilităţii:

2

2y

y

Md wEIdx

≅ − (4.3)

unde: y CRM F w= ⋅ (4.4)

Din relaţiile (4.3) şi (4.4) se obţine:

2

22 0d w w

dxα+ = (4.5)

unde s-a făcut notaţia:

Fig.4.6

Page 65: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

67

CR

y

FEI

α = (4.6)

Soluţia ecuaţiei diferenţiale (4.5) are forma următoare:

( ) sin cosw x A x B xα α= + (4.7) iar ecuaţia fibrei medii deformate trebuie sa respecte condiţiile de legătură ale barei:

( )( )

0 0 0

0

x w

x l w l

= ⇒ =

= ⇒ = (4.8)

şi rezultă:

( ) ( )( )0 0 0 sin

0 sin 0 , sin 0

w B w x A x

w l A l l l n

α

α α α π

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = = ⇒ = (4.9)

Utilizând rezultatul din (4.9) şi notaţia (4.6) se poate stabili sarcina critică de flambaj:

2 2

2y

CRn EI

Fl

π= (4.10)

În analiza pierderii stabilităţii barelor solicitate la compresiune interesează, desigur, cea mai mică valoare a sarcinii critice definită de relaţia (4.10). Aceasta se realizează pentru: - 1n = , - ( )min min ,y zI I I= , momentul de inerţie minim al secţiunii transversale. Rezultă astfel relaţia lui Euler pentru calculul sarcinii critice de flambaj:

2

min2CRf

EIFl

π= (4.11)

unde: fl f= reprezintă lungimea de flambaj, distanţa dintre două puncte consecutive de inflexiune ale fibrei medii deformate pentru starea de pierdere a stabilităţii.

Cazul I Se consideră bara încastrată la un capăt şi liberă la celălalt (fig.4.7), pentru care se

aplică şi se integrează ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate în situaţia de pierdere a stabilităţii (4.3).

Momentul încovoietor într-o secţiune oarecare are expresia (4.4) şi ecuaţia (4.3) are forma (4.5) cu notaţia (4.6).

Fig.4.7

Page 66: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul IV Stabilitatea statică a barelor zvelte

68

Astfel soluţia ecuaţiei (4.5) are aceeaşi expresie (4.7) iar constantele A şi B se stabilesc din respectarea condiţiilor de legătură:

( )0 0 0 0

0 cos 0 , 0 , 0

cos 02

x w Bdwx l A l Adx

l l

α α α

πα α

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ≠ ≠

= ⇒ =

(4.12) Din (4.12) şi (4.6) se stabileşte aceeaşi expresie pentru sarcina critică (4.11), unde lungimea de flambaj are valoarea: 2fl l= (4.13) Cazul III Se consideră bara încastrată la un capăt şi simplu rezemată la celălalt capăt (fig.4.8). Forma fibrei medii deformate pentru cazul de pierdere a stabilităţii se obţine din următoarea expresie a momentului încovoietor într-o secţiune oarecare: y CRM F w Vx= − (4.14) unde: V este reacţiunea din reazem. Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate (4.3) se modifică în funcţie de (4.14) astfel:

2

22

d w Vw xEIdx

α+ = (4.15)

unde α are expresia (4.6). Soluţia ecuaţiei diferenţiale (4.15) este în acest caz de forma următoare: 0 pw w w= + (4.16) în care: 0 sin cosw A x B xα α= + (4.17) este soluţia ecuaţiei omogene, pw C= (4.18) este soluţia particulară, admisă de forma termenului liber.

Soluţia particulară (4.18) trebuie să verifice ecuaţia diferenţială (4.15) şi se obţine:

pCR

VwF

= (4.19)

În funcţie de (4. 17) şi (4.19) soluţia generală este:

Fig.4.8

Page 67: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

69

( ) sin cosCR

Vw x A x B xF

α α= + + (4.20)

Soluţia matematică (4.20) reprezintă săgeata grinzii intr-o secţiune oarecare şi trebuie să respecte condiţiile de legătură ale grinzii:

( ) ( )

( )

0 0 0 , sin

0 sin

10 cos

CR

CR

CRx l

Vw B w x A x xF

Vw l A l lF

dw VA ldx F

α

α

αα=

= ⇒ = = +

= ⇒ = −

⎛ ⎞ = ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.21) Condiţiile (4.21) se restrâng sub forma ecuaţiei:

tg l lα α= (4.22) care are soluţia: 4.49lα = (4.23) Din relaţiile (4.6) şi (4.23) se obţine aceeaşi expresie (4.11) pentru sarcina critică, dar lungimea de flambaj are în acest caz expresia:

0,72fll l= = (4.24)

Cazul IV Se consideră bara încastrată la ambele capete (fig.4.9). Forma fibrei medii deformate pentru cazul de pierdere a stabilităţii se obţine din următoarea expresie a momentului încovoietor într-o secţiune oarecare: 0y CRM F w M= + (4.25) unde: 0M este momentul reacţiune din încastrare.

Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate (4.3) se modifică în funcţie de (4.25) astfel:

2

2 02

Md w wEIdx

α+ = − (4.26)

unde α are expresia (4.6). Soluţia ecuaţiei diferenţiale (4.26) este în acest caz de forma (4.16) unde 0w are forma (4.17), iar soluţia particulară este: pw C= .

Fig.4.9

Page 68: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul IV Stabilitatea statică a barelor zvelte

70

Impunând condiţia ca soluţia particulară să verifice ecuaţia diferenţială (4.26) se obţine:

0p

CR

Mw

F= − (4.27)

În funcţie de (4.27) soluţia ecuaţiei diferenţiale (4.26) devine:

( ) 0sin cosCR

Mw x A x B x

Fα α= + − (4.28)

şi din respectarea condiţiilor de legătură se obţine:

( )

( ) ( )

( )

0

0

0

0 0

0 0 cos 1

0 cos 0

0 sin 0

CR

CRx

x l

Mw B

FMdw A w x x

dx Fw l l

dw ldx

α

α

α

=

=

= ⇒ =

⎛ ⎞ = ⇒ = ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇒ =

⎛ ⎞ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.29) Condiţiile (4.29) sunt îndeplinite pentru: 2lα π= (4.30) Din relaţiile (4.6)şi (4.30) se stabileşte aceeaşi expresie (4.11) pentru sarcina critică de flambaj, iar lungimea de flambaj are în acest caz valoarea următoare: 0,5fl l= (4.31)

4.3 DOMENIUL DE VALABILITATE AL RELAŢIEI EULER Forţei critice de flambaj îi corespunde o tensiune critică de flambaj:

CRCR

FA

σ = (4.32)

şi în funcţie de relaţia (4.11) devine:

2

min2CRf

EIl A

πσ = (4.33)

Expresia (4.33) se pune sub forma următoare:

2

2CREπσ

λ= (4.34)

unde:

min

fli

λ = (4.35)

se numeşte coeficient de zvelteţă, iar mini este raza de inerţie minimă cu următoarea relaţie de calcul:

minmin

IiA

= (4.36)

Page 69: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

71

Întrucât, relaţia Euler a fost stabilită prin integrarea ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate, care se bazează pe valabilitatea legii lui Hooke, rezultă că domeniul de aplicabilitate trebuie să fie caracterizat prin tensiuni critice de flambaj mai mici decât limita de proporţionalitate a materialului: CR pσ σ≤ (4.37) Din relaţiile (4.34) şi (4.37) se stabileşte coeficientul de zvelteţă 0λ care delimitează domeniul de valabilitate al relaţiei Euler:

2

0p

Eπλ λσ

≥ = (4.38)

În cazul flambajului plastic, când CR pσ σ≥ şi deci 0λ λ≤ , s-au stabilit relaţii empirice bazate pe rezultate experimentale.

Aceste relaţii permit calculul tensiunii critice de flambaj în funcţie de coeficientul de zvelteţă al barei şi poartă numele cercetătorilor : Tetmajer şi Jasinski:

CR a bσ λ= − , 2

CR A B Cσ λ λ= + + (4.39) unde: , , , ,a b A B C sunt coeficienţi dependenţi de natura materialului. Dacă bara prezintă un coeficient de zvelteţă λ mic, atunci pericolul de flambaj dispare. Întrucât depăşirea valorii tensiunii de curgere cσ poate însemna şi distrugerea barei, calculul la flambaj nu prezintă interes dacă CR cσ σ≥ . Corespunzător, se limitează şi domeniul flambajului plastic la valori ale coeficientului

1λ λ≥ , ce se obţin din relaţia de calcul a flambajului plastic, de exemplu: CR ca bσ λ σ= − ≤ şi rezultă:

1ca

λ λ−

≥ = (4.40)

Din (4.40) se stabileşte domeniul valorilor pentru coeficientul de zvelteţă: 1 20...40λ = . Dacă 1λ λ≤ atunci bara se calculează numai la compresiune. În fig.4.10 se prezintă curba tensiunilor critice de flambaj cu cele trei domenii distincte, dependente de valoarea coeficientului de zvelteţă.

Fig.4.10

Page 70: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul IV Stabilitatea statică a barelor zvelte

72

OBSERVAŢII

1) Se prezintă câteva valori pentru realizarea calculelor în flambajul plastic:

0

02

0

37 105 , 3040 11, 2100 , 285 1,9

80 , 7630 118 0,52

CR

CR

CR

OLlemn

fontă

λ σ λλ σ λ

λ σ λ λ

⇒ = = −⇒ = = −

⇒ = = − +

(4.41)

2) Se recomandă folosirea barelor nu prea zvelte, întrucât pot apare uşor vibraţii

transversale, ca urmare se preferă: 250λ ≤ pentru oţel, 150...200λ ≤ pentru lemn, 120λ ≤ pentru fontă.

3) Punctele situate sub curba ( )CR fσ λ= (fig.4.10) reprezintă stări de solicitare stabile. Curba tensiunilor admisibile ale barelor zvelte solicitate la compresiune se stabileşte în funcţie de tensiunea critică cu ajutorul coeficientului de siguranţă la flambaj:

CRa f c

σσ = (4.42)

unde coeficientul de siguranţă are valorile: 2.4c = pentru bare de oţel folosite în construcţii,

5c = pentru stâlpi de fontă, 2,5.....3,5c = pentru bare de lemn, 4......20c = pentru organe de maşini în mişcare. 4.4. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE FORMATE DIN ZONE DE

RIGIDITATE DIFERITĂ Barele drepte comprimate pot prezenta mai multe regiuni delimitate de variaţii de

secţiune sau de aplicarea unor forţe de compresiune. Pentru determinarea sarcinii critice de flambaj se aplică şi se integrează ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate pe fiecare zonă de bară, apoi se impun condiţiile de legătură şi de continuitate ale fibrei medii deformate.

Rezultă astfel un sistem de ecuaţii din care se determină sarcina critică de flambaj. Relaţiile obţinute sunt valabile în limitele respectării condiţiei: CR pσ σ≤ Se exemplifică modul de lucru pentru bara dreaptă articulată la capete (fig.4.11) având două zone de rigiditate diferită. Se aplică ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate produsă de sarcina critică CRF pe cele două zone şi rezultă:

21

12

22

22

0

0

CR

CR

Fd w wEIdxFd w

wEIdx

+ =

+ =

(4.43)

Page 71: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

73

unde s-au notat 1 2,w w săgeţile grinzii pe cele două zone.

Soluţiile ecuaţiilor (4.43) sunt de forma următoare:

1 1 2

2 3 4

sin 2 cos 2sin 2 cos 2

w C x C xw C x C x

α αα α

= += +

(4.44)

unde:

4

CRFEI

α = (4.45)

Condiţiile de legătură sunt:

( )( )

1

2

0 0 0

0

x w

x l w l

= ⇒ =

= ⇒ = (4.46)

iar condiţiile de continuitate ale fibrei medii deformate vor fi:

1 2

1 2

2 2 2

2 2

l l lx w w

dw dwl ldx dx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.47)

În funcţie de relaţiile (4.44) condiţiile (4.46) şi (4.47) se transformă într-un sistem de ecuaţii având ca necunoscute constantele 1 2 3 4, , ,C C C C :

2

3 4

1 3 4

1 3 4

0sin cos 0

sin sin cos2 2

2 cos cos sin2 2

CC l C l

l lC l C C

l lC l C C

α αα αα

α αα

=+ =

= +

= −

(4.48)

Constantele de integrare 1 2 3 4, , ,C C C C pot avea valori diferite de zero numai dacă

determinantul coeficienţilor este nul:

Fig.4.11

Page 72: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul IV Stabilitatea statică a barelor zvelte

74

0 sin cos

sin sin cos 02 2

2cos cos sin2 2

l ll ll

l ll

α αα αα

α αα

Δ = − − =

(4.49)

Din (4.49) se obţine soluţia cea mai mică diferită de zero:

2 0,9552 2l ltgα α= ⇒ = (4.50)

şi în funcţie de relaţia (4.45) se poate stabili sarcina critică:

214,6

CREIF

l= (4.51)

4.5. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE COMPRIMATE EXCENTRIC

Se consideră o bară dreaptă articulată la capete şi comprimată de o sarcină F aplicată excentric (fig. 4.12). Rigiditatea de încovoiere a barei este constantă pe toată lungimea.

Într-o secţiune oarecare a barei momentul încovoietor are expresia următoare:

( ) ( )M x F e w= + (4.52) şi ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate devine:

( )2

2d wEI F e wdx

= − + (4.53)

sau în forma finală:

2

2 22

d w w edx

α α+ = − (4.54)

unde:

2 FEI

α = (4.55)

Fig.4.12

Page 73: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

75

Ecuaţia diferenţială neomogenă cu coeficienţi constanţi (4.54) admite soluţia generală de forma: 0 pw w w= + (4.56) unde: 0 sin cosw A x B xα α= + (4.57) este soluţia ecuaţiei omogene iar pw C= (4.58) este soluţia particulară de forma termenului liber al ecuaţiei (4.54). Soluţia particulară se stabileşte din condiţia ca forma (4.58) să verifice ecuaţia diferenţială (4.54) şi rezultă: pw e= − (4.59) În funcţie de (4.57) şi (4.59) soluţia generală (4.54) are expresia următoare: sin cosw A x B x eα α= + − (4.60) care trebuie să respecte condiţiile de legătură ale grinzii: ( ) ( )0 0 , 0w w l= = (4.61) şi rezultă:

1 cos ,sin

lA e B elα

α−

= = (4.62)

Din (4.60) şi (4.62) se stabileşte expresia ecuaţiei fibrei medii într-o secţiune oarecare:

( ) 1 cos sin cos 1sin

lw x x x elα α α

α−⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.63)

Săgeata maximă a grinzii se produce la 2x l= şi înlocuind în (4.63) se obţine:

max1 cos sin cos 1

sin 2 2l l lw e

lα α α

α−⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.64)

La momentul pierderii stabilităţii săgeata maximă creşte foarte mult ( )maxw →∞ şi aceasta se realizează pentru: sin 0 ,l lα α π→ = , deci forţa critică de flambaj rezultă:

2

2CREIF

= (4.65)

Din relaţia (4.65) se observă că sarcina critică de flambaj se calculează cu aceeaşi relaţie Euler, ca în cazul când forţa este aplicată centric. Rezultă astfel că aplicarea excentrică a forţei de compresiune nu modifică valoarea sarcinii critice de flambaj, în schimb micşorează domeniul de valabilitate al relaţiei Euler. Tensiunea critică de flambaj se calculează cu ajutorul relaţiei solicitării compuse:

i CR CRCR

y y

M F F eNA W A W

σ⋅

= + = + (4.66)

Dacă se înlocuieşte relaţia (4.65) în (4.66) se poate pune sub forma următoare:

2

max2 2

min

1CRe zE

iπσλ

⎛ ⎞⋅= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.67)

Relaţia (4.67) este valabilă numai dacă CR pσ σ≤ , iar dacă CR pσ σ= şi 0λ λ= se obţine:

Page 74: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul IV Stabilitatea statică a barelor zvelte

76

2

max2 20 min

1CRe zE

iπσλ

⎛ ⎞⋅= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.68)

2

max0 2

min

1p

e zEi

πλσ

⎛ ⎞⋅= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.69)

Din relaţia (4.69) se observă că dacă excentricitatea forţei este mare şi coeficientul de zvelteţă este mare.

4.6. METODA ENERGETICĂ DE CALCUL A SARCINII CRITICE DE FLAMBAJ

Metoda energetică pentru determinarea sarcinii critice de flambaj aparţine lui S.P.Timoshenko şi se bazează pe transformarea, în momentul flambajului, a lucrului mecanic exterior dat de sarcina critică de flambaj în energie de deformaţie. Dacă se admite ecuaţia fibrei medii deformate pentru starea flambată, se poate exprima egalitatea: eL U= (4.70) din care rezultă sarcina critică de flambaj. Se exemplifică metoda energetică pentru cazul barei simplu rezemată la capete, solicitată la compresiune.

Se admite forma deformată a barei în stare flambată, corespunzătoare sarcinii critice de flambaj (fig.4.13).

În momentul flambajului bara trece de la forma dreaptă de echilibru la o formă curbilinie şi sarcina critică de flambaj dezvoltă un lucru mecanic exterior: e CRL F u= ⋅ (4.71)

Lucrul mecanic exterior se transformă în energie de deformaţie produsă prin

solicitarea de încovoiere:

2

0 2

liMU dx

EI= ∫ (4.72)

Fig.4.13

Page 75: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

77

Momentul încovoietor iM se poate exprima pe baza ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate: ' '

iM EI w= − (4.73) şi în funcţie de (4.73) relaţia (4.72) are forma următoare:

( )2' '

0

12

l

U EI w dx= ∫ (4.74)

Deplasarea orizontală u a sarcinii critice de flambaj CRF , este egală cu diferenţa dintre lungimea l a barei şi proiecţia fibrei medii deformate pe dreapta ce uneşte articulaţiile. Astfel, pentru un element de bară de lungime dx , deplasarea orizontală va fi:

( ) 2cos 1 cos 2sin2

du dx dx dx dx ϕϕ ϕ ⎛ ⎞= − ⋅ = ⋅ − = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.75)

şi dacă se face aproximarea următoare:

sin2 2

dϕ ϕ≅

rezultă:

212

du dxϕ≅ ⋅ (4.76)

unde: 'wϕ = reprezintă înclinarea fibrei medii deformate în secţiunea curentă şi deci înclinarea elementului de bară în ipoteza micilor deformaţii. Din relaţia (4.76) se poate stabili deplasarea sarcinii critice de flambaj:

( )2'

0 0

12

l l

u du w dx= =∫ ∫ (4.77)

în funcţie de care se poate exprima lucrul mecanic exterior dat de expresia (4.71):

( )2'

0

12

l

e CRL F w dx= ∫ (4.78)

Relaţiile(4.74) şi (4.78) se înlocuiesc în egalitatea (4.70) şi se obţine astfel expresia sarcinii critice de flambaj:

( )

( )

2''

0

2'

0

l

CR l

EI w dxF

w dx=∫

∫ (4.79)

Această metodă este aproximativă, deoarece trebuie admisă ecuaţia fibrei medii deformate. Cu cât se admite o ecuaţie mai apropiată de fenomenul real, cu atât va fi mai corect rezultatul final.

De exemplu, dacă se admite pentru bara articulată la capete soluţia de forma:

sinw A xlπ

= (4.80)

aplicând expresia (4.79) se obţine relaţia Euler pentru calculul sarcinii critice de flambaj:

22

02

0

sin

cos

l

CR l

EI A x dxl l

FA x dx

l l

π π

π π

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Page 76: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul IV Stabilitatea statică a barelor zvelte

78

2

20

2

0

sin

cosCR

lx d xl l

F EIl lx d x

l l

π

π

π πππ

π ππ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2CREIF

= (4.81)

APLICAŢIE Se propune stabilirea înălţimii l a unei bare zvelte, încastrată la un capăt şi liberă la

celălalt (fig.4.14), în cazul flambajului barei sub acţiunea greutăţii proprii q . În cazul

pierderii stabilităţii, un punct oarecare M al barei ajunge în poziţia 'M şi are deplasările: ,u v .

Pentru ecuaţia fibrei medii deformate se admite o formă ce satisface condiţiile de

legătură ale barei :

1 cos2

w A xlπ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.82)

( ) ( ) max0 0 0 ;x w x l w l A w= ⇒ = = ⇒ = = În funcţie de expresia (4.82), se exprimă energia de deformaţie produsă prin solicitarea

de încovoiere şi se obţine:

22 4

2

0

1 1cos2 2 2 4 2

l

U EI A x dx EI A ll l lπ π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (4.83)

Pentru exprimarea lucrului mecanic exterior al greutăţii proprii, se stabileşte deplasarea pe verticală a punctului M , conform relaţiei (4.77):

( )2

2'

0 0

1 1 sin2 2 2 2

x x

u w dx A x dxl lπ π⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ (4.84)

2

21 sin4 2

lu A x xl lπ π

π⎛ ⎞ ⎡ ⎤= −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(4.85)

Fig.4.14

Page 77: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

79

În funcţie de expresia (4.84) se poate stabili lucrul mecanic exterior al greutăţii proprii:

( )2

2

0 0

1 sin4 2

l l

elL q dx u q A x x dx

l lπ π

π⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = − ⋅⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫ (4.86)

( )2 21 4

32eL qAπ= − (4.87)

Din expresiile (4.83) şi (4.87), conform egalităţii (4.71), se obţine sarcina critică de flambaj CRq şi înălţimea periculoasă pentru care bara îşi pierde stabilitatea sub acţiunea greutăţii proprii:

4

2 3 3

8,34 2CR

EI EIql l

ππ

= ≅−

(4.88)

38,3EIl

q= (4.89)

Page 78: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul V Solicitări dinamice

80

CAPITOLUL V

SOLICITĂRI DINAMICE

5.1 SOLICITĂRI PRODUSE PRIN FORŢE DE INERŢIE.

În capitolele prezentate până acum s-au analizat stările de solicitare ale corpurilor deformabile aflate în repaus.

Sarcinile exterioare se aplicau static, cu o intensitate crescând încet şi uniform de la valoarea zero la valoarea nominală şi se păstrau constante în timp. Sub acţiunea sarcinilor aplicate corpurile solide se deformează, modificându-şi forma geometrică şi dimensiunile iniţiale, dar nu se pun în mişcare şi nici nu îşi modifică viteza. În cazul solicitărilor dinamice, mişcarea determină starea de solicitare a corpului solid. Existenţa acceleraţiei produce forţe care determină corpului solid o anumită stare de solicitare. După modul de variaţie a acceleraţiei, solicitările dinamice se pot grupa astfel: • Solicitări produse prin acceleraţii constante, solicitări cauzate de forţe de inerţie.

• Solicitări produse de variaţia bruscă a acceleraţiei, solicitări cu şoc, produse, în special, prin ciocniri.

• Solicitări produse prin variaţia periodică a acceleraţiei, vibraţiile sistemelor elastice.

Solicitările produse de forţe de inerţie sunt cauzate de existenţa unor acceleraţii constante sau cu variaţie lentă. Această solicitare este caracteristică pentru majoritatea organelor de maşini în mişcare. Studiul solicitărilor produse de forţe de inerţie se realizează cu ajutorul principiului lui d’Alembert, conform căruia forţele de inerţie, forţele date şi reacţiunile din legături îşi fac echilibrul. Astfel problema dinamică se transformă într-o problemă statică: se stabilesc acceleraţiile, forţele de inerţie corespunzătoare şi se încarcă static corpul solid cu forţele de inerţie, desigur că mai departe se pot folosi metodele de calcul ale staticii. Această metodă generală de rezolvare a problemelor de dinamică se numeşte metoda cineto-statică şi este frecvent utilizată în calculele inginereşti. Se exemplifică modul de evaluare a solicitărilor produse de forţe de inerţie pentru cazul unui inel subţire (fig.5.1), de diametru mediu 2R , de secţiune transversală constantă de arie A , ce se roteşte în jurul unei axe verticale cu viteză unghiulară constantă ω .

Dacă se neglijează greutatea proprie se urmăreşte stabilirea legii de variaţie a efortului secţional moment încovoietor.

Forţa elementară de inerţie, corespunzătoare unui element infinit mic de lungime ds şi masă dm este: idF a dm= ⋅ (5.1)

Page 79: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

81

unde: 2cosa R θ ω= ⋅ (5.2)

dm A dsgγ

= ⋅ (5.3)

Din relaţiile (5.1), (5.2), (5.3) se obţine:

2 cosidF A R dsgγ ω θ= ⋅ (5.4)

şi de aici rezultă forţa de inerţie pe unitatea de lungime, notată cu f :

2 cosidFf A Rds g

γ ω θ= = (5.5)

Încărcând inelul cu forţele de inerţie f (fig.5.1), se obţine un sistem static nedeterminat cu nedeterminare interioară.

Simetria constructivă şi de încărcare a inelului faţă de diametrul orizontal şi vertical face posibilă considerarea sistemului de bază un sfert de inel (fig.5.1).

În punctul D se aplică efortul secţional moment încovoietor X , singura necunoscută statică, iar în punctul A se poate considera ca legătură încastrare, întrucât rotirea este nulă. Necunoscuta static nedeterminată se stabileşte din condiţia ca rotirea relativă în punctul D să fie zero. Se aplică relaţia Castigliano pentru calculul de deplasărilor liniar elastice:

0 ,DM M ds ds RdEI X

ϕ ϕ∂Δ = = =

∂∑∫ (5.6)

unde:

( ) ( )0

0, sin sin2

M X f R R Rdϕπϕ ϕ ϕ θ θ⎡ ⎤∈ ⇒ = − + ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫

( ) 2 3 2sin2

M X A Rgγϕ ω ϕ= − + , 1M

X∂

= −∂

(5.7)

Din relaţiile (5.6) şi (5.7) se obţine:

2 3

4A RX

gγ ω

= (5.8)

Fig.5.1

Page 80: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul V Solicitări dinamice

82

şi apoi se stabileşte funcţia moment încovoietor conform relaţiei (5.6):

( )2 3 2 3

2sin4 2

A R A RMg g

γ ω γ ωϕ ϕ= − + (5.9)

5.2 SOLICITĂRI PRODUSE PRIN ŞOC 5.2.1. Condiţiile apariţiei solicitării prin şoc .Utilizarea legii conservării energiei

pentru soluţionarea solicitării prin şoc. Atunci când un corp solid confecţionat dintr-un material liniar-elastic este lovit, asupra lui acţionează o forţă care produce o stare dinamică de solicitare compusă dintr-o stare locală în jurul zonei lovite şi o stare generală ca urmare a propagării şocului în toată masa corpului lovit. Ca urmare, elementele componente ale corpului solid se pun în mişcare şi vor executa o mişcare oscilatorie amortizată. Problema şocului este complexă, nu se poate studia prin metoda cineto-statică întrucât nu se cunoaşte legea de variaţie a acceleraţiei punctelor corpului solid, în intervalul de timp foarte scurt al ciocnirii. Din acest motiv se oferă o soluţie aproximativă, care nu determină modul de propagare a şocului în corpul lovit. În aplicaţiile tehnice ciocnirea se realizează, de obicei, între un corp solid în mişcare şi unul în repaus. Se poate considera că după ciocnire corpul solid lovit opreşte corpul solid în mişcare şi rămâne legat de corpul în repaus în toată perioada procesului următor de mişcare (şoc plastic). Astfel, o soluţionare a solicitării prin şoc se face pe baza legii conservării energiei: în momentul şocului energia cinetică a corpului solid în mişcare se transformă în energie de deformaţie, deformând ambele corpuri solide: cE U= (5.10) unde: cE reprezintă energia cinetică a corpului solid în mişcare, înainte de ciocnire:

212c

m

E v dm= ∫ (5.11)

U reprezintă energia de deformaţie înmagazinată în corpurile ce realizează solicitarea prin şoc: 1 2U U U= + (5.12) În relaţia (5.12) 1U este energia de deformaţie pentru corpul solid lovit, iar 2U este energia de deformaţie corespunzătoare copului solid în mişcare. În funcţie de tipul mişcării, energia cinetică se calculează cu relaţiile următoare:

• pentru corpul de masă m în mişcare de translaţie:

212cE mv= (5.13)

• pentru corpul de masă m în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe: 2

cE Jω= (5.14) • pentru un corp de greutate Q mg= ce cade de la o înălţime H se exprimă lucrul

mecanic efectuat: cE QH= (5.15)

Page 81: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

83

De foarte multe ori există diferenţe mari privind forma geometrică, dimensiunile şi caracteristicile elastice ale celor două corpuri solide. Ca urmare, se poate neglija una din componentele energiei de deformaţie, de obicei se neglijează energia de deformaţie a corpului solid în mişcare întrucât are masa mai mică. În concluzie, solicitarea prin şoc se poate rezolva aplicând, pentru fiecare situaţie, legea conservării energiei conform relaţiei (5.10).

APLICAŢII 1) O greutate Q cade de la înălţimea H pe un platan, fixat rigid de un fir elastic de lungime l şi rigiditate EA (fig.5.2).

În momentul ciocnirii firul este solicitat la întindere prin şoc. Energia cinetică a

greutăţii Q se transformă integral în energie de deformaţie a firului, întrucât greutatea Q se deformează foarte puţin.

Se exprimă energia cinetică: ( )cE Q H l QH= + Δ ≅ (5.16) şi energia de deformaţie:

2

2N lUEA

= (5.17)

unde: lΔ este deformaţia axială a firului, iar N este forţa axială ce apare în fir la solicitarea prin şoc. Aplicând relaţia (5.10) se stabilesc următoarele:

2EAQHNl

= (5.18)

2 ,N EQH V AlA V

σ = = = (5.19)

2 2 ,st stNl QHl Qll HEA EA EA

Δ = = = Δ Δ = (5.20)

2) O greutate Q cade de la înălţimea H pe o bară de secţiune variabilă, având forma unui trunchi de piramidă cu înălţimea l , iar bazele de arii 1A şi 2A (fig.5.3).

Energia cinetică în momentul şocului va fi:

Fig.5.2

Page 82: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul V Solicitări dinamice

84

cE QH= (5.21) iar energia de deformaţie înmagazinată în bară se exprimă astfel:

2 2

2 2N N dxU dxEA E A

= =∫ ∫ (5.22)

unde A este aria secţiunii transversale la distanţa x de punctul O . În cazul piramidelor asemenea, raportul ariilor bazelor este egal cu pătratul raportului înălţimilor:

( )

1 222 2

A A Aa x a l

= =+

(5.23)

şi se obţine:

( )

2

22xA A

a l=

+ (5.24)

În funcţie de relaţia (5.24) se poate calcula energia de deformaţie dată de expresia (5.22) şi rezultă:

( ) ( )2 2 2

22 22 2

a l

a

N a l N a l ldxUEA x EA a

++ += =∫ (5.25)

Relaţiile (5.21) şi (5.25) se înlocuiesc în (5.10), conform legii conservării energiei, şi se stabileşte forţa axială ce solicită bara în momentul şocului:

( )

22QHEA aNa l l

=+

(5.26)

Tensiunea normală maximă apare în secţiunea de arie 1A şi are următoarea expresie :

3

max1 2

2 1N QHE lA lA a

σ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.27)

Dacă bara este de secţiune constantă 1 2A A A= = , deci a →∞ din (5.27) se obţine:

max2EQH

Vσ = (5.28)

Fig.5.3

Page 83: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

85

Dacă bara are un vârf ascuţit cu 1 0 , 0A a= = , atunci presiunea de contact pe vârf rezultă foarte mare: maxσ →∞ . Acest rezultat justifică, din punct de vedere teoretic, forma ascuţită a sculelor de tăiere, de perforare, etc. 3) O bară de greutate Q , rigiditate EA , lungime l , greutate specifică γ , cade de la înălţimea H pe o placă rigidă (fig.5.4), ( de exemplu tija ciocanului de forjat la capătul cursei de forjare).

Energia cinetică se exprimă cu relaţia (5.21), iar energia de deformaţie pentru starea

liniară va fi:

2

2U dV

= ∫ (5.29)

Întrucât, tensiunea maximă de compresiune maxσ este egală cu presiunea de contact, iar în secţiunea superioară a barei tensiunea este egală cu zero, se poate admite pentru tensiunea normală o variaţie liniară de forma:

maxxl

σ σ= (5.30)

În funcţie de legea (5.30) relaţia (5.29) se transformă astfel:

2 2

2max max2

02 6

lAU x dx AlE l Eσ σ

= =∫ (5.31)

Înlocuind relaţiile (5.21) şi (5.31) în (5.10) ce exprimă legea conservării energiei rezultă: max 6E Hσ γ= (5.32) 4) Se consideră cazul din fig.5.5. În momentul şocului se produce solicitarea de încovoiere în cele două grinzi întrucât, ambele solide sunt deformabile.

Energiile de deformaţie preluate de cele două grinzi se vor stabili având în vedere, solicitarea de încovoiere produsă de sarcina dinamică în momentul şocului.

Sarcina dinamică se notează cu F , iar pentru grinda 2 sarcina dinamică se consideră distribuită pe lungimea l .

Conform fig.5.5 se calculează energiile de deformaţie în cele două grinzi:

[ ] ( )

222 2 3

11 1 10

0, 2 ,2

1 22 2 2 96

L

Fx L M x x

M F F LU dx x dxEI EI EI

∈ = ⇒

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∫ ∫ (5.33)

Fig.5.4

Page 84: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul V Solicitări dinamice

86

[ ] ( )

2

222 2 2 5 2 3

22 2 2 20

0, 2 ,2

1 22 2 2 640 640

l

qxx l M x

M qx q l F lU dx dxEI EI EI EI

∈ = ⇒

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫ ∫

(5.34)

Energia cinetică se exprimă prin lucrul mecanic exterior şi este dată de relaţia (5.21), iar conform legii conservării energiei se poate scrie egalitatea: 1 2cE U U= + (5.35) şi ţinând cont de relaţiile (5.21),(5.33),(5.34) se obţine valoarea sarcinii dinamice:

1 23 3

1 2

19203 20

Q H E I IFI l I L

=+

(5.36)

5.2.2 Calculul la şoc cu ajutorul multiplicatorului dinamic.

Rezolvarea solicitării prin şoc se poate reduce la rezolvarea unor probleme de solicitare statică prin introducerea unui coeficient, care reprezintă raportul dintre mărimile solicitării dinamice şi cele ale solicitării statice corespunzătoare. Acest coeficient se numeşte multiplicator dinamic sau multiplicator de impact.

Se consideră un corp solid oarecare în două stări: fig.5.6 şi fig.5.7. O greutate Q cade de la înălţimea H (fig.5.6), corpul solid se deformează şi în locul lovit pe direcţia forţeiQ are săgeata dinamică f . Un punct oarecare M are deplasarea Δ şi tensiunea din acest punct este σ . În corpul solid se înmagazinează o energie de deformaţie U , iar în locul lovit se produce forţa dinamică F , care aplicată static are efectul produs de solicitarea prin şoc, astfel încât se poate scrie:

2

F fU ⋅= (5.37)

Dacă greutatea Q se aplică static (fig.5.7), pe direcţia forţei Q se produce o săgeată

stf , deplasarea punctului M este stΔ , iar tensiunea stσ .

Fig.5.5

Page 85: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

87

Energia de deformaţie corespunzătoare aceste stări este:

2

stst

Q fU = (5.38)

Multiplicatorul dinamic , ψ , se defineşte ca raportul dintre mărimile solicitării

dinamice (fig.5.6) şi mărimile solicitării statice (fig.5.7):

st st st

F fQ f

σψσ

Δ= = = =

Δ (5.39)

Din relaţia (5.39) rezultă că mărimile solicitării dinamice se pot exprima în funcţie de mărimile solicitării statice, produsă de aplicarea statică a greutăţii ce a provocat şocul, utilizând multiplicatorul dinamic: , , ,st st stF Q f fψ σ ψσ ψ ψ= = Δ = Δ = (5.40) Această metodă de calcul se reduce la stabilirea mărimilor statice de solicitare şi a multiplicatorului dinamic. Expresia multiplicatorului dinamic se obţine aplicând legea conservării energiei: cE U= (5.41) unde: ( )c eE L Q H f= = + (5.42) iar energia de deformaţie este dată de relaţia (5.37). Dacă se admite că energia cinetică a corpului în mişcare este preluată numai de corpul solid lovit din egalitatea (5.41) rezultă:

( )2

FfQ H f+ = (5.43)

În funcţie de expresiile (5.39), relaţia (5.43) se transformă astfel:

( ) 12st stQ H f Q fψ ψ ψ+ = ⋅

2 2 012 st

QH

Q fψ ψ− − = (5.44)

Dacă în relaţia (5.44) se notează: • eL QH= , lucrul mecanic exterior,

• 2

stst

Q fU = , energia de deformaţie,

ecuaţia (5.44) are următoarea formă:

Fig.5.7

Fig.5.6

Page 86: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul V Solicitări dinamice

88

2 2 0e

st

LU

ψ ψ− − = (5.45)

Soluţia ecuaţiei (5.45) ce corespunde fenomenului real va fi:

1 1 e

st

LU

ψ = + + (5.46)

sau:

21 1st

Hf

ψ = + + (5.47)

Deoarece, înălţimea de cădere a greutăţii este, de obicei, mult mai mare decât săgeata statică, fracţia 2 1stH f şi se poate folosi pentru calculul multiplicatorului dinamic relaţia următoare:

2e

st st

L HU f

ψ = = (5.48)

Metoda de calcul a solicitărilor prin şoc care utilizează multiplicatorul de impact, are un caracter general fiind aplicabilă pentru toate solicitările simple şi compuse, desigur în cazul deformaţiilor liniar-elastice. Metoda se poate utiliza nu numai pentru bare dar şi pentru plăci sau blocuri solicitate prin şoc. Dacă solicitarea prin şoc este produsă de corpul solid ce cade de la înălţimea H , iar

viteza corpului în momentul contactului este 2v gH= , energia cinetică va fi: 2

2cQvE

g= , şi

se obţine pentru multiplicatorul dinamic următoarea expresie:

2

1 1st

vg f

ψ = + + (5.49)

În cazul şocului produs la piesele aflate în mişcare de rotaţie, se poate obţine o expresie asemănătoare pentru multiplicatorul de impact . Se consideră un arbore cu un volant de moment de inerţie masic J , în mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ω şi transmite un cuplu tM (fig.5.8). La extremitatea arborelui există o frână care poate bloca la un moment dat mişcarea arborelui.

Dacă se blochează mişcarea arborelui, se produce solicitarea de răsucire prin şoc, arborele efectuează vibraţii amortizate de răsucire.

Fig.5.8

Page 87: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

89

Deformaţia arborelui în dreptul volantului este caracterizată de unghiul ϕ , iar tensiunea tangenţială dinamică este τ . Tensiunile şi deformaţiile ce apar în cazul solicitării de răsucire prin şoc, se pot aprecia ca în cazurile precedente: ,st stτ ψ τ ϕ ψ ϕ= = (5.50) unde: ,st stτ ϕ reprezintă tensiunea tangenţială, respectiv unghiul de răsucire în regimul normal de lucru, corespunzător solicitării cu cuplul de torsiune tM . Expresia multiplicatorului dinamic rezultă din aplicarea legii conservării energiei: cE U= (5.51) unde:

212c tE J Mω ϕ= + (5.52)

2

2V

U dVGτ

= ∫ (5.53)

Relaţiile (5.52) şi (5.53) se transformă în funcţie de expresiile (5.50) şi rezultă:

212c t stE J Mω ψ ϕ= + (5.54)

( ) ( )2 22

2 2st st

V V

U dV dVG G

ψτ τψ= =∫ ∫ (5.55)

Dacă se exprimă energia de deformaţie pentru starea statică de solicitare:

( )21

2 2st

st t stV

U dV MG

τϕ= =∫ (5.56)

se pot modifica relaţiile (5.54) şi (5.55):

2 21 2 ,2c st stE J U U Uω ψ ψ= + = (5.57)

şi din egalitatea (5.51) se obţine ecuaţia:

2

2 2 02 st

JUωψ ψ− − = (5.58)

Soluţia ecuaţiei ce corespunde fenomenului real este următoarea:

2

1 12 st

JUωψ = + + (5.59)

sau în funcţie de expresia (5.56), multiplicatorul dinamic se poate calcula cu următoarea relaţie:

2

1 1t st

JMωψϕ

= + + (5.60)

În cazul când pe acelaşi arbore sau pe un sistem de arbori sunt mai mulţi volanţi şi mai multe cupluri, fracţia din relaţia (5.60) devine:

22

t st t st

JJM M

ωωϕ ϕ

⇒ ∑∑

(5.61)

Page 88: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul V Solicitări dinamice

90

Se exemplifică rezolvarea acestor cazuri pentru situaţia din fig.5.9.

Pentru arborele de diametru 1d :

2

1 21 11 2

1 2 1

1

1 1 , tst

t p

p

M lJM l GIGI

ωψ ϕ= + + = (5.62)

Pentru arborele de diametru 2d :

2 2 2

1 1 2 1 3 22 2 2 2

1 2 1 3 2 4

1 2 2

1 1t t t

p p p

J J JM l M l M lGI GI GI

ω ω ωψ + += + +

+ − (5.63)

În relaţiile (5.62) şi (5.63) semnul termenilor de la numitor este cel al momentelor de răsucire, pozitiv pentru momentele motoare şi negativ pentru momentele consumatoare, iar sumele se referă la toate masele şi cuplurile de aceeaşi parte a secţiunii pentru care se calculează ψ .

Fig.5.9

Page 89: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

91

CAPITOLUL VI

VASE DE ROTAŢIE CU PEREŢI SUBŢIRI

6.1 ASPECTE GENERALE. IPOTEZE DE CALCUL.

Vasele de rotaţie cu pereţi subţiri fac parte din categoria plăcilor curbe cu grosime mică. Plăcile curbe sunt folosite în multe domenii ale tehnicii: în aviaţie, la construcţia de cupole, rezervoare de fluide, etc. Forma plăcii curbe este definită de forma suprafeţei mediane, iar grosimea, în majoritatea cazurilor este constantă. Suprafeţele mediane ale vaselor de rotaţie sunt suprafeţe de rotaţie, generate de drepte sau curbe, care se rotesc în jurul unei axe. Definirea plăcii curbe se face considerând o suprafaţă oarecare S si un punct oarecare al ei A (fig.6.1), iar în punctul A se duce normala An la suprafaţă.

Dacă se intersectează suprafaţa S cu două plane 1P şi 2P ce conţin normala şi sunt

perpendiculare între ele, se obţin curbele 1C şi 2C ale căror raze de curbură sunt 1ρ şi 2ρ . În geometrie se demonstrează că suma curburilor ( )1 21 1ρ ρ+ , la o rotaţie a diedrului

1 2PP în jurul normalei An , este o constantă. Ca urmare, când curbura 1 11 1 Rρ → este minimă, curbura 2 21 1 Rρ → este maximă.

Fig.6.1

Page 90: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VI Vase de rotaţie cu pereţi subţiri

92

Razele 1 2,R R se numesc raze principale de curbură, iar planele corespunzătoare 1P şi

2P plane principale. Suprafaţa S descrisă de punctul A se numeşte suprafaţă mediană, iar înălţimea

1 2B B h= reprezintă grosimea plăcii. Placa se consideră subţire dacă raportul 2h R poate fi neglijat faţă de unitate. Se consideră un vas de rotaţie cu pereţi subţiri, reprezentat prin suprafaţa mediană şi un punct A de pe această suprafaţă (fig.6.2). Suprafaţa mediană a vasului se obţine prin rotaţia unei curbe C în jurul unei drepte Δ din planul ei, care se numeşte curbă meridiană. Fiecare punct al curbei meridiane descrie un cerc de rază r numit cerc paralel. În punctul A se consideră normala la planul tangent la suprafaţa mediană şi pe ea se găsesc centrele de curbură principale: 1 2,O O . Curbura suprafeţei este caracterizată de razele principale de curburănotate 1 2,R R , ce se măsoară, în cazul vaselor de rotaţie, pe normala la suprafaţa mediană în punctul considerat.

Starea de tensiune ce apare într-o placă subţire se poate determina în: a) Teoria de membrană. b) Teoria de momente. c) Teoria fără momente.

a) Teoria de membrană (fig.6.3) admite distribuţia uniformă a tensiunilor pe grosimea plăcii.

În acest caz, tensiunile din planele principale ale plăcii, numite eforturi secţionale, se reduc la componentele:

, , ,N h N h N h N hϕ ϕ ϕθ ϕθ θ θ θϕ θϕσ τ σ τ= = = = (6.1) care acţionează în planul tangent al suprafeţei mediane. Întrucât ϕθ θϕτ τ= , pe baza dualităţii tensiunilor tangenţiale, rezultă: N Nϕθ θϕ= (6.2) Deci în teoria de membrană apar numai trei necunoscute, care se determină din cele trei ecuaţii de echilibru, ce se pot scrie pentru sistemul de forţe de pe elementul de dimensiuni

1 2,ds ds .

Fig.6.2

Page 91: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

93

Deoarece eforturile , ,N N N Nϕ θ ϕθ θϕ= se obţin numai din ecuaţiile aspectului static, problema este static determinată.

b) Teoria de momente Dacă tensiunile nu sunt constante pe grosimea plăcii, apar pe lângă eforturile secţionale corespunzătoare teoriei de membrană, momente încovoietoare, momente de torsiune şi forţe tăietoare.

Acest calcul poartă denumirea de teoria de momente. Pentru un element detaşat din placă se pot scrie şase ecuaţii de echilibru. Calculul tensiunilor necesită studiul celor trei aspecte: static, geometric, fizic.

c) Teoria fără momente admite că tensiunile care apar în înveliş sunt uniform

repartizate pe grosimea lui şi ca urmare momentele încovoietoare sunt nule. Astfel pe feţele elementului apar eforturile secţionale: ,N h N hϕ ϕ θ θσ σ= = (6.2) unde: θσ este tensiunea circumferenţială, ϕσ este tensiunea meridiană. Teoria învelişurilor cu pereţi subţiri se bazează pe adoptarea aceloraşi ipoteze ca în teoria plăcilor, şi anume se consideră lipsa tensiunilor pe direcţia normalei la suprafaţa mediană.

6.2 TENSIUNI ÎN PEREŢII VASELOR DE ROTAŢIE SOLICITAŢI LA PRESIUNE INTERIOARĂ.

Se consideră un vas de rotaţie cu pereţi subţiri, având grosimea peretelui h , solicitat la presiunea interioară p exercitată de un lichid sau un gaz (fig.6.4).

Suprafaţa mediană a vasului de rotaţie se obţine prin rotaţia unei curbe C în jurul unei drepte Δ din planul ei.

Fig.6.3

Page 92: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VI Vase de rotaţie cu pereţi subţiri

94

Cu ajutorul a două meridiane şi a două paralele, se izolează într-un punct al suprafeţei, un element de dimensiuni 1 2,ds ds (fig.6.5).

Curba meridiană reprezintă curba principală 1, astfel încât arcul 1ds are raza de curbură 1R şi centrul de curbură 1O .

În planul 2 1AO A perpendicular pe planul principal 1AO B se află curba principală 2 ( )1AA a cărui rază de curbură este 2R . Raza principală 2R din punctul A reprezintă distanţa măsurată pe normală de la punctul respectiv până la axul de rotaţie.

Dacă se notează : ϕ unghiul dintre normală şi axa de rotaţie, r raza cercului paralel descris de punctul A prin rotaţie în jurul axei Δ , dθ unghiul format de razele corespunzătoare punctelor A şi 1A , se pot stabili următoarele relaţii: 1 1 2 2 1 2, , sinds R d ds R d rd r Rϕ θ θ ϕ= = = = (6.2)

În teoria de membrană, tensiunile , ,ϕ ϕθ θϕ θσ τ τ σ= fiind constante pe grosimea h a

plăcii (fig.6.6), se reduc la eforturile secţionale , ,N N N Nϕ ϕθ θϕ θ= ce se exprimă în [ ]N m .

Fig.6.4

Fig.6.5

Fig.6.6

Fig.6.7

Page 93: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

95

Datorită încărcării simetrice faţă de axa de rotaţie tensiunile nu depind de unghiul 1θ şi deci sunt aceleaşi în orice punct al unui paralel (fig.6.7).

Astfel Nϕθ are acelaşi sens şi se reduce faţă de axa de rotaţie Δ la un moment şi întrucât forţele exterioare, considerate simetrice, dau moment nul faţă de axa Δ , rezultă:

0Nϕθ = . În concluzie, la vasele de rotaţie cu pereţi subţiri încărcate simetric apar numai eforturile secţionale Nϕ şi Nθ . Pentru stabilirea acestor eforturi se izolează elementul infinit mic de dimensiuni 1 2ds ds şi pe feţele lui se aplică eforturile secţionale corespunzătoare (fig.6.8).

În centrul de greutate C al elementului se reprezintă rezultanta încărcării exterioare ( )1 2pds ds şi sistemul de axe adoptat: axa z este normală la suprafaţă, axa x este tangentă la curba meridiană, axa y este tangentă la cercul paralel.

Datorită simetriei, efortul secţional Nθ este constant şi ecuaţia de proiecţie pe axa y este respectată.

Ecuaţia de proiecţie pe axa z se exprimă astfel:

1 2 2

1

1 1 2

sin sin2 2

2 sin 02

N d dN ds ds N dss

dN ds pds ds

ϕϕ ϕ

θ

ϕ ϕ

θ

∂⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

− + =

(6.3)

Dacă în ecuaţia (6.3) se fac aproximările:

sin , sin2 2 2 2

d d d dϕ ϕ θ θ≅ ≅ (6.4)

Fig.6.8

Page 94: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VI Vase de rotaţie cu pereţi subţiri

96

şi se înlocuiesc: 1 1 2 2,ds R d ds R dϕ θ= = (6.5) se obţine:

2 1 2 2

1

1 1 2

2 2 2

2 02

Nd d dN ds ds ds N dss

dN ds pR d R d

ϕϕ ϕ

θ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ θ

∂− − −

− + =

sau: 2 1 1 2N R d d N R d d pR R d dϕ θθ ϕ ϕ θ ϕ θ+ = (6.6) În final, se obţine din forma (6.6) ecuaţia lui Laplace, cunoscută şi în Fizică, la studiul tensiunii superficiale, unde presiunea p este pozitivă când are sensul axei z .

1 2

N N pR Rϕ θ+ = (6.7)

Din ecuaţia de proiecţie pe axa x se stabileşte o ecuaţie diferenţială şi prin integrare se obţine efortul secţional Nϕ .

Se poate obţine o ecuaţie finită pentru determinarea efortului secţional Nϕ , dacă se foloseşte o ecuaţie de echilibru general pentru o parte finită a învelişului.

Astfel, în punctul învelişului în care se urmăreşte stabilirea efortului secţional Nϕ , de exemplu D (fig.6.9), se face o secţiune completă care împarte vasul în două părţi I şi II.

Această secţiune taie peretele vasului după o suprafaţă conică a cărei generatoare 2DO este raza principală 2R , şi conţinutul vasului, considerat solidificat, după un cerc paralel

de rază r .

Forţele de legătură ce trebuie introduse sunt cele corespunzătoare efortului secţional

Nϕ în peretele vasului şi presiunii Dp în planul de separaţie 1DD . Grosimea peretelui vasului fiind mică în raport cu razele învelişului, raza principală 2R şi raza cercului paralel r se consideră pentru suprafaţa mediană. Dacă se notează cu ( )Vγ ∗ greutatea lichidului sau gazului din interiorul părţii izolate, se poate scrie ecuaţia de proiecţie pe axa de rotaţie a tuturor forţelor de pe zona I: ( ) ( )22 sin 0DN r p r Vϕ π ϕ π γ ∗− − = (6.8)

Fig.6.9

Page 95: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

97

care se scrie în forma finală astfel:

2 sin

QNrϕ π ϕ

= (6.9)

unde: 2

DQ p r Vπ γ ∗= + (6.10) şi reprezintă rezultanta pe direcţia axei de rotaţie a tuturor forţelor de pe zona I, în afară de Nϕ . Desigur, se poate scrie ecuaţia de proiecţie pe axa de rotaţie pentru forţele ce acţionează pe zona II, dar în acest caz trebuie determinate în prealabil reacţiunile rF . În concluzie, pentru determinarea eforturilor secţionale se aplică relaţia (6.9) şi se stabileşte Nϕ , apoi din ecuaţia (6.7) rezultă Nθ . Tensiunile din peretele vasului de rotaţie se calculează cu relaţiile următoare:

,NN

h hϕθ

θ ϕσ σ= = (6.11)

Întrucât în peretele vasului se creează o stare plană de tensiune, pentru dimensionare se poate aplica o teorie asupra stărilor limită, de exemplu teoria tensiunii tangenţiale maxime:

ech aθ ϕσ σ σ σ= − ≤ (6.12) Se exemplifică modul de stabilire a eforturilor secţionale, pentru cazul unui recipient

cilindric umplut cu un gaz la o presiune 0p (fig.6.10). Eforturile secţionale pentru zona cilindrică se obţin din ecuaţia de proiecţie pe axa de rotaţie :

2 002 0

2c c p rN r p r Nϕ ϕπ π⋅ − ⋅ = ⇒ = (6.13)

Întrucât: 1R = ∞ şi 2R r= din ecuaţia (6.7) rezultă: 0

cN p rθ = (6.14)

Eforturile secţionale pe calotele sferice se stabilesc izolând calota cu cercul paralel de

rază: sinRρ ϕ= şi din ecuaţia (6.9) rezultă:

2

0

2 sin 2cal op p RNϕ

πρπρ ϕ

= = (6.15)

În acest caz 1 2R R R= = şi din ecuaţia (6.7) se obţine:

0

2cal cal p RN Nθ ϕ= = (6.16)

Rezultă astfel că, pe o sferă sau pe o calotă sferică, sub acţiunea unei presiuni 0p uniforme, eforturile secţionale sunt egale şi constante.

Fig.6.10

Page 96: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VII Tuburi cilindrice cu pereţi groşi

98

CAPITOLUL VII

TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII ÎN TUBURI CU PEREŢI GROŞI

7.1 TUBUL CILINDRIC CU PEREŢI GROŞI SOLICITAT LA PRESIUNE INTERIOARĂ ŞI EXTERIOARĂ.

Dacă se consideră tubul ca un vas de rotaţie cu pereţi subţiri, se pot determina cu aproximaţie tensiunile în peretele tubului.

Întrucât, această metodă de calcul admite o repartiţie uniformă a tensiunilor pe grosimea peretelui tubului şi nu ţine cont de tensiunile normale radiale, erorile de calcul sunt cu atât mai mari cu cât peretele tubului este mai gros. Teoria tuburilor cu pereţi groşi ia în considerare distribuţia neuniformă a tensiunilor în peretele tubului şi reprezintă o problemă plană de teoria elasticităţii. Această teorie se aplică pentru tubul de lungime infinită, cu secţiunea transversală constantă şi a fost elaborată de G.Lame’. Se urmăreşte analiza stării de tensiuni şi deformaţii în tuburile cilindrice cu pereţi groşi solicitaţi la presiune interioară ip şi presiune exterioară ep uniform repartizate pe lungimea tubului (fig.7.1). Dimensional tubul este caracterizat prin raza interioară iR şi raza exterioară eR , constante pe lungimea tubului, considerat de lungime mare. În mod convenţional , un tub este considerat cu pereţi groşi atunci când grosimea h respectă condiţia: ( ) 0, 2e i ih R R R= − ≥ (7.1)

Dacă 0, 2 ih R≤ tubul se consideră cu pereţi subţiri şi starea de tensiuni se determină cu relaţiile vaselor de rotaţie cu pereţi subţiri.

Din cauza simetriei, efectul presiunii este acelaşi pe orice rază r şi ca urmare raza r este singura variabilă independentă. Datorită simetriei axiale a tubului şi a încărcărilor, orice inel decupat din tub prin două plane perpendiculare pe axa tubului se comportă identic.

Astfel, determinarea tensiunilor şi deformaţiilor constituie o problemă plană, ce se poate studia pe un inel plan de lungime egală cu unitatea.

Dacă tubul este liber la capete tensiunea normală pe direcţia axei longitudinale a tubului este zero, dacă nu, tensiunile se pot determina pe baza teoriei elementare a întinderii, deformaţia specifică liniară fiind aceeaşi în orice secţiune transversală.

Se consideră în secţiunea transversală un punct oarecare M (fig.7.1), definit prin coordonate polare: r raza polară şi θ unghiul razei polare cu diametrul orizontal.

Page 97: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

99

În jurul punctului M se consideră un element din tub de dimensiuni: dr şi rdθ , cuprins între două suprafeţe cilindrice de raze r şi r dr+ .

Considerând elementul detaşat din tub, pe feţele lui apar tensiuni normale, care sunt

tensiuni principale întrucât, din motive de simetrie pe feţele elementului nu există tensiuni tangenţiale ( nu există deformaţii nesimetrice deoarece sunt incompatibile cu starea simetrică de solicitare creată). Rezultă deci: 0r rθ θτ τ= = . Tensiunile normale ce apar într-un punct din secţiunea transversală a tubului se notează:

,r θσ σ . Studiul geometric al deformaţiilor urmăreşte stabilirea deformaţiilor cauzate de presiunea interioară şi exterioară.

Astfel, sub acţiunea presiunilor tubul se deformează păstrându-şi forma simetrică. Elementul considerat se deplasează numai radial şi se deformează rămânând însă simetric, întrucât nu există deformaţii nesimetrice. Se urmăreşte exprimarea deformaţiei specifice liniare pe direcţie radială rε , şi se consideră segmentul AB înainte de deformare şi după deformare (fig.7.2.a). Deplasările radiale a punctelor sunt considerate pozitive spre exterior.

Fig.7.1

Fig.7.2

Page 98: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VII Tuburi cilindrice cu pereţi groşi

100

Conform fig.7.2.a rezultă:

' '

rA B AB

ABε −

= (7.2)

unde: AB dr= (7.3)

' ' ' ' du duA B AB BB AA dr u dr u dr drdr dr

= + − = + + − = + (7.4)

Înlocuind (7.3) şi (7.4) în (7.2) se obţine:

r

dudr dr drdr

drε

+ −=

şi în formă finală:

rdudr

ε = (7.5)

Elementul considerat ABCD se deformează pe direcţie radială, dar pentru a se menţine şi după deformaţie în contact cu elementele învecinate, este necesar să se producă şi deformaţii pe direcţie circumferenţială.

Deci existenţa deformaţiilor pe direcţie radială determină implicit existenţa deformaţiilor pe direcţie circumferenţială. Deformaţia specifică liniară pe direcţie circumferenţială θε se stabileşte exprimând lungimea segmentului AC înainte şi după deformare , conform fig.7.2.b:

' 'AC AC

ACθε−

= (7.6)

unde: ( )' ',AC rd AC r u dθ θ= = + (7.7) şi din (7.6) şi (7.7) se obţine:

urθε = (7.8)

Legea fizică , legea lui Hooke face legătura între deformaţii şi tensiuni; astfel deformaţiilor specifice liniare rε şi θε le corespund tensiunile principale rσ şi θσ , iar direcţia radială şi circumferenţială sunt direcţii principale de solicitare. Legătura între tensiuni şi deformaţii este dată, în acest caz, de legea lui Hooke generalizată, aplicată pentru starea plană de tensiune:

( )21r rE

θσ ε μεμ

= +−

(7.9)

( )21 rE

θ θσ ε μεμ

= +−

(7.10)

Înlocuind expresiile (7.5), (7.8) în (7.9) şi (7.10) se stabilesc expresiile tensiunilor normale în funcţie de necunoscuta u , deplasarea radială a punctului considerat:

21rE du u

dr rσ μ

μ⎛ ⎞= +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

(7.11)

21E u du

r drθσ μμ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟− ⎝ ⎠ (7.12)

Page 99: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

101

Ecuaţii de echilibru Dacă se izolează din tubul solicitat la presiune interioară şi exterioară elementul infinit mic ABCD şi se aplică pe feţele lui tensiunile corespunzătoare, elementul va fi în echilibru întrucât este izolat dintr-un sistem în echilibru (fig.7.3).

Ecuaţiile de echilibru ce se pot scrie pentru elementul considerat reprezintă aspectul static al problemei stabilirii tensiunilor la tubul cu pereţi groşi.

La nivel de element infinit mic se poate admite o distribuţie uniformă a tensiunilor pe feţele elementului şi astfel, rezultantele lor pot fi considerate ca fiind aplicate în centrul de greutate al fiecărei feţe. Pentru sistemul de forţe ce acţionează asupra elementului se poate scrie o singură ecuaţie de echilibru, şi anume ecuaţia de proiecţie pe direcţia bisectoarei elementului:

( ) 2 sin 02

rr r

d ddr r dr d rd drdr θσ θσ θ σ θ σ⎛ ⎞+ + − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.13)

care se prelucrează astfel:

2 sin 0

2

r rr r

r

d drd dr rd drd drdrddr dr

drd drθ

σ σσ θ θ σ θ θ

θσ θ σ

+ ⋅ + + −

− − = (7.14)

În ecuaţia (7.14) se neglijează infiniţii mici de ordin superior, se face aproximarea sin 2 2d dθ θ≅ şi după simplificări se obţine ecuaţia de legătură între tensiunile normale rσ şi θσ :

0rr

d rdr θσ σ σ+ − = (7.15)

Ecuaţia (7.15) conţine necunoscutele problemei rσ şi θσ , dar în funcţie de relaţiile (7.11) şi (7.12) se transformă într-o ecuaţie diferenţială cu o singură necunoscută deplasarea radială u :

2

2 2 2 2

2

1 1

01

du r uE d u E du udr rdr r dr r

E u dur dr

μ μμ μ

μμ

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤+ + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− + =⎢ ⎥− ⎣ ⎦

(7.16)

Din expresia (7.16) se obţine, după simplificări, o ecuaţie diferenţială de tip Euler :

Fig.7.3

Page 100: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VII Tuburi cilindrice cu pereţi groşi

102

2

22 0d u dur r u

dr dr+ − = (7.17)

care admite o soluţie particulară de forma următoare: u Crλ= (7.18) Definirea soluţiei particulare se face pe baza condiţiei de verificare a ecuaţiei diferenţiale, deci se înlocuieşte (7.18) în (7.17) şi rezultă: ( ) 2 2 11 0C r r C r r Crλ λ λλ λ λ− −− + − = (7.19)

sau după amplificarea ecuaţiei cu termenul 21 r se obţine forma finală: ( )2 2 1 0Crλ λ− − = (7.20) Ecuaţia (7.20) are soluţiile următoare: 1 21 , 1λ = + λ = − (7.21) şi astfel rezultă că ecuaţia diferenţială (7.17) admite două soluţii particulare de forma (7.18). Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (7.17) se consideră o combinaţie liniară a soluţiilor particulare: 1 2

1 2u C r C rλ λ= + (7.22) şi în funcţie de (7.21) rezultă:

1 21u C r Cr

= + (7.23)

Constantele de integrare 1C şi 2C se determină din condiţiile iniţiale ce au la bază cauza care a determinat starea de tensiuni şi deformaţii, şi anume presiunile ip , ep . În acest scop se exprimă tensiunile normale rσ şi θσ date de relaţiile (7.11) şi (7.12) în funcţie de soluţia (7.23) şi rezultă:

1 2 1 22 2 2

1 2 1 22 2 2

1 11

1 11

rE C C C C

r rE C C C C

r rθ

⎡ ⎤σ = − + μ + μ⎢ ⎥− μ ⎣ ⎦

⎡ ⎤σ = + + μ −μ⎢ ⎥− μ ⎣ ⎦

(7.24)

sau:

( ) ( )

( ) ( )

1 22 2

1 22 2

11 11

11 11

rE C C

rE C C

⎡ ⎤σ = + μ − −μ⎢ ⎥− μ ⎣ ⎦

⎡ ⎤σ = + μ + −μ⎢ ⎥− μ ⎣ ⎦

(7.25)

Pentru scrierea simplificată a tensiunilor normale rσ şi θσ , în expresiile (7.25) se fac următoarele notaţii:

1 21 22 2,

1 11 1EC ECE EA C B C= = = =− μ + μ− μ − μ

(7.26)

şi din (7.25) se obţine:

2 21 1,r A B A Br rθσ = − σ = + (7.27)

În această formă (7.27) constantele ,A B se vor determina din condiţii limită pentru tensiuni.

Page 101: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

103

OBSERVAŢII 1) Într-un punct din secţiunea transversală a tubului, suma tensiunilor normale este o mărime constantă ce nu depinde de poziţia punctului în care sunt calculate:

12 2 .1rECA ctθσ + σ = = =−μ

(7.28)

2) Deformaţia specifică liniară pe direcţia axei longitudinale a tubului este constantă:

( ) .r ctE θμ

ε = − σ + σ = (7.29)

Rezultă astfel că fiecare punct al secţiunii transversale se deplasează axial cu aceeaşi cantitate, ceea ce arată că este verificată ipoteza lui Bernoulli în cazul tuburilor cu pereţi groşi. 3) Conform relaţiei (7.27) tensiunile normale rσ şi θσ au o distribuţie hiperbolică pe grosimea peretelui, iar constantele ,A B se definesc din condiţii limită pentru tensiuni: ( ) ( ) Re,

ir i r er R rp p= =σ = − σ = − (7.30)

În funcţie de expresiile (7.27), condiţiile (7.30) se transformă astfel:

2

2

1

1

ii

ee

A B pR

A B pR

− = −

− = − (7.31)

şi rezultă constantele ,A B :

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

i i e e

e i

i e i e

e i

p R p RA

R R

p p R RB

R R

−=

−=

(7.32)

Înlocuind expresiile (7.32) în (7.27) se obţin relaţiile finale ale tensiunilor normale rσ şi θσ :

( )

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

i ei i e e i er

e i e i

i ei i e e i e

e i e i

p pp R p R R RR R R R r

p pp R p R R RR R R R rθ

−−σ = −

− −

−−σ = +

− −

(7.33)

4) Starea de deformaţii într-un punct oarecare a tubului cu pereţi groşi este caracterizată prin deformaţiile specifice liniare ,r θε ε , care sunt definite în funcţie de deplasarea radială a punctului u . Din relaţiile (7.26) se explicitează constantele 1 2,C C :

1 21 1,C A C B

E E− μ + μ

= = (7.34)

şi în funcţie de expresiile (7.32) rezultă:

( )

2 2

1 2 2

2 2

2 2 2

1

1

i i e e

e i

i e i e

e i

p R p RC

E R R

p p R RC

E R R

−− μ=

−+ μ=

(7.35)

Page 102: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VII Tuburi cilindrice cu pereţi groşi

104

Deplasarea radială u a unui punct din secţiunea transversală a tubului cu pereţi groşi se obţine, înlocuind relaţiile (7.35) în (7.23) :

( ) 2 22 2

2 2 2 21 1 1i e i ei i e e

e i e i

p p R Rp R p Ru r

E E rR R R R−−− μ + μ

= ⋅ + ⋅− −

(7.36)

7.2 TUBUL CILINDRIC CU PEREŢI GROŞI SOLICITAT LA PRESIUNE INTERIOARĂ.

În cazul tubului solicitat la presiune interioară (fig.7.4), distribuţia tensiunilor se obţine prin particularizarea relaţiilor (7.33) pentru 0ep = :

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

1

1

i i er

e i

i i e

e i

p R RR R r

p R RR R rθ

⎛ ⎞σ = −⎜ ⎟

− ⎝ ⎠⎛ ⎞

σ = −⎜ ⎟− ⎝ ⎠

(7.37)

Tensiunile normale rσ şi θσ au pentru raza interioară şi raza exterioară următoarele valori:

0

i r i

e r

r R pr R= ⇒ σ = −= ⇒ σ =

(7.38)

2 2max

2 2

2

2 22

e ii i

e i

ie i

e i

R Rr R p

R R

Rr R p

R R

θ θ

θ

+= ⇒ σ = = σ

= ⇒ σ =−

(7.39)

Conform relaţiilor (7.38) şi (7.39) se poate trasa distribuţia tensiunilor normale în peretele tubului (fig.7.4), şi se observă că solicitarea maximă se produce la raza interioară.

Calculul de rezistenţă al tubului se realizează pe baza unei teorii de rezistenţă, din care se stabileşte valoarea necesară pentru eR în condiţiile impunerii rezistenţei admisibile aσ .

Fig.7.4

Page 103: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

105

Raza interioară iR se consideră cunoscută întrucât rezultă din condiţia de asigurare a debitului. Aplicând teoria tensiunii normale maxime e obţine: max

max max,ech a θσ = σ = σ σ = σ (7.40) şi în funcţie de relaţia (7.39) rezultă:

2 2

2 2e i a i

i a e ia ie i

R R pp R R

pR R+ σ +

= σ ⇒ =σ −−

(7.41)

Conform rezultatului obţinut (7.41) se constată că problema are soluţii numai dacă presiunea interioară este inferioară rezistenţei admisibile: i ap ≤ σ (7.42) Dacă se aplică teoria tensiunii tangenţiale maxime: 1 3ech aσ = σ − σ = σ (7.43) unde:

( )2 2

1 2 2ie i

ir Re i

R Rp

R Rθ =

+σ = σ =

− , ( )2 ir ir R p=σ = σ = − (7.44)

din (7.43) şi (7.44) se obţine:

( )2 2

2 2e i a

i i a e ia ie i

R Rp p R R

pR R+ σ

− − = σ ⇒ =σ −−

(7.45)

În acest caz restricţia pentru rezolvarea problemei este următoarea:

2a

ipσ

≤ (7.46)

Restricţiile (7.42) şi (7.46) stabilite pentru presiunea interioară arată că, realizarea unor presiuni interioare mari este condiţionată de rezistenţe admisibile mari, dar această concluzie nu constituie o soluţie pentru realizarea unor presiuni interioare mari. Problema se rezolvă aplicând o presiune exterioară, prin introducerea la cald a unui tub exterior, şi prin răcire se realizează o presiune exterioară ce scade tensiunea normală maximă de la raza interioară. În cazul tubul solicitat la presiune interioară interesează cunoaşterea deplasării radiale a unui punct de la raza interioară, care se obţine din expresia (7.36) pentru: 0ep = şi ir R= :

( )2 2

2 2i

i i e ir R

e i

p R R RuE R R

μ=

⎡ ⎤+= +⎢ ⎥−⎣ ⎦

(7.47)

7.3 TUBUL CILINDRIC CU PEREŢI GROŞI SOLICITAT LA PRESIUNE EXTERIOARĂ.

Distribuţia tensiunilor în cazul tubului solicitat numai la presiune exterioară (fig.7.5), se stabileşte prin particularizarea relaţiilor (7.33) pentru 0ip = şi se obţin următoarele expresii:

2 2

2 2 21e e ir

e i

p R RR R r

⎛ ⎞σ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠

(7.48)

Page 104: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VII Tuburi cilindrice cu pereţi groşi

106

2 2

2 2 21e e e

e i

p R RR R rθ

⎛ ⎞σ = − +⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠

(7.49)

Tensiunile normale rσ şi θσ au pentru raza interioară şi raza exterioară următoarele valori:

0i r

e r e

r Rr R p= ⇒ σ == ⇒ σ = −

(7.50)

2max

2 2

2 2

2 2

2 ei e

e i

e ie e

e i

Rr R pR R

R Rr R pR R

θ θ

θ

= ⇒ σ = − = σ−

+= ⇒ σ = −

(7.51)

Dimensionarea tubului se face în acest caz cu relaţia următoare: ( )max

ia ar Rθσ σ σ σ

=≤ ⇒ ≤ (7.52)

şi în funcţie de expresia (7.47) rezultă:

ae i

a e

R Rp

σσ

=−

(7.53)

Deplasarea radială a unui punct de la raza exterioară se stabileşte din relaţia (7.36) pentru 0ip = şi er R= şi rezultă:

( )2 2

2 2e

e e e ir R

e i

p R R RuE R R

μ=

⎡ ⎤+= − −⎢ ⎥−⎣ ⎦

(7.54)

Fig.7.5

Page 105: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

107

7.4 CALCULUL CILINDRILOR FRETAŢI.

În cazul tubului cilindric solicitat la presiune interioară, dimensionarea nu este posibilă

decât dacă sunt respectate condiţiile (7.42) sau (7.46). Ca urmare, tuburile cu presiune interioară trebuie confecţionate din materiale rezistente pentru a putea suporta presiuni mari. Creşterea rezistenţei tubului se poate obţine cu ajutorul fretajului., care constă din comprimarea radială a tubului solicitat la o presiune interioară, realizându-se astfel micşorarea tensiunii circumferenţiale de la raza interioară. Fretajul se realizează prin încălzirea tubului exterior, cu raza interioară mai mică decât raza exterioară a tubului interior, şi montarea lor cu strângere (fig.7.6).

În stare îmbinată între cele două tuburi se realizează presiunea de fretaj fp . Diferenţa dintre raza exterioară a tubului interior şi raza interioară a tubului exterior în

stare neîmbinată se numeşte seraj şi se notează astfel: '' 'd dδ = − (7.55)

Prin fretaj raza exterioară a tubului interior s-a micşorat cu cantitatea ''u , iar raza interioară a tubului exterior s-a mărit cu cantitatea 'u , şi se realizează diametrul comun d pentru suprafaţa cilindrică de contact: ' ' ' ' ' 'd d u d u= − = − (7.56)

Din relaţiile (7.54) şi (7.55) se obţine: ' ''u uδ = + (7.57) unde: 'u şi ''u se stabilesc cu relaţiile (7.47) şi respectiv (7.54) , iar în final, după înlocuirea lor în (7.57) se găseşte expresia de calcul pentru presiunea de fretaj în ipoteza că tuburile sunt confecţionate din acelaşi material:

( )( )

( )2 2 2 2

1 2

3 2 22 12f

E d d d dp

d d d

δ − −=

− (7.58

Dacă se cunoaşte presiunea de fretaj tuburile se pot studia separat, considerând pentru tubul exterior i fp p= , iar pentru tubul interior e fp p= .

Fig.7.6

Page 106: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VIII Răsucirea barelor de secţiune necirculară

108

CAPITOLUL VIII

RĂSUCIREA BARELOR DE SECŢIUNE NECIRCULARĂ

8.1. GENERALITĂŢI Calculul de rezistenţă şi rigiditate a elementelor de maşini se efectuează după scheme de calcul, care simplifică formale reale ale pieselor, fără a introduce însă erori esenţiale. Cea mai utilizată simplificare a formelor reale ale pieselor este bara.

Caracterul relativ simplu al calculului deformaţiilor barei este consecinţa folosiri, în majoritatea cazurilor, a ipotezei secţiunilor plane (ipoteza lui Bernoulli).

Ipoteza lui Bernoulli permite rezolvarea completă a unui număr mare de probleme practice importante ca: întinderea, încovoierea barelor drepte, răsucirea barelor de secţiune circulară.

Există însă o serie de cazuri în care ipoteza secţiunilor plane este insuficientă, pentru analiza efectului sarcinilor aplicate.

Cel mai important caz de deformare al unei bare drepte, care nu poate fi studiat pe baza ipotezei secţiunilor plane, este răsucirea barelor de secţiune transversală necirculară.

8.2. TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII LA RĂSUCIREA LIBERĂ A BARELOR DE SEŢIUNE NECIRCULARĂ. Stabilirea stării de tensiuni ce însoţeşte răsucirea barelor de secţiune necirculară

această are la bază observaţii experimentale. În acest scop se consideră o bară dreaptă, de secţiune transversală dreptunghiulară şi în

stare nesolicitată se trasează pe suprafaţa barei linii echidistante, paralele cu laturile barei, formând o reţea de pătrate (fig.8.1).

Într-o secţiune transversală oarecare se trasează linii paralele cu liniile de contur ale secţiunii.

Dacă se aplică barei un moment de răsucire tM , în condiţiile realizării răsuciri libere (bara nu prezintă legături), după deformare se analizează aspectul liniilor trasate şi se constată următoarele:

•Secţiunile transversale se deplanează, ceea ce înseamnă că un punct din secţiunea transversală are deplasările: , ,u v w .

Page 107: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

109

• Pătratele de pe suprafaţa barei se transformă în romburi, deci se produc deformaţii specifice unghiulare cărora le corespund tensiuni tangenţiale. Pătratele situate la mijlocul secţiunii se deformează cel mai mult, deci în dreptul lor apar tensiunile cele mai mari. Pătratele de la conturul secţiunii îşi păstrează forma, deci în dreptul lor tensiunile tangenţiale sunt zero. • Pătratele din planul secţiunii transversale nu îşi modifică forma geometrică, deci nu există deformaţii specifice unghiulare în planul secţiunii transversale şi nici tensiuni tangenţiale.

Pe baza rezultatelor experimentale obţinute se pot fixa ipotezele ce stau la baza definirii stării de tensiuni la răsucirea barelor de secţiune necirculară:

1) Materialul are o caracteristică liniar – elastică, deci respectă legea lui Hooke. 2) La răsucirea barelor de secţiune necirculară ne este verificată ipoteza lui Bernoulli. 3) În dreptul punctelor de pe contur tensiunea tangenţială este tangentă la contur

(fig.8.2).

4) Conturul secţiunii transversale este nedeformat, nu sunt sarcini care să-l deformeze. Întrucât în planul secţiunii transversale nu se produc deformaţii specifice unghiulare 0y zγ = , rezultă că şi tensiunile tangenţiale corespunzătoare sunt nule 0y zτ = .

Fig.8.1

Fig.8.2

Page 108: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VIII Răsucirea barelor de secţiune necirculară

110

5) Secţiunile transversale se rotesc ca urmare a deformării produse de momentul de răsucire. Pe baza încercărilor experimentale s-a stabilit că efectul momentului de răsucire apare prin tensiuni tangenţiale. Pentru definirea lor se cunoaşte că un punct din secţiunea transversală are deplasările , ,u v w . Studiul geometric al deformaţiilor Studiul geometric al deformaţiilor urmăreşte definirea deformaţiilor ce apar din răsucirea liberă a barelor de secţiune oarecare. Se demonstrează că deplasările v şi w pentru un punct din secţiunea transversală a barei de secţiune oarecare solicitată la răsucire liberă, are aceleaşi expresii ca în cazul răsucirii barelor de secţiune circulară. Pentru definirea deplasărilor v şi w se consideră un element infinit mic de lungime dx , izolat din bara de secţiune circulară solicitată la răsucire de momentul tM (fig.8.3).

Secţiunea O se roteşte faţă de secţiunea 1O considerată fixă cu unghiul elementar de răsucire dϕ . Răsucirea specifică θ , conform definiţiei, va avea aceeaşi expresie indiferent de forma secţiunii transversale:

ddxϕθ = (8.1)

Un punct oarecare A din secţiunea transversală are după deformare poziţia 'A ,

precizată prin deplasările elementare dw şi dv : ' cosdw AA ϕ= (8.2) ' sindv AA ϕ= − (8.3) Elementele geometrice ce intervin în relaţiile (8.2) şi (8.3) se pot exprima astfel:

' , sin , cosz yAA OA dOA OA

ϕ ϕ ϕ= ⋅ = = (8.4)

şi rezultă:

Fig.8.3

Page 109: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

111

dw y ddv z d

ϕϕ

= ⋅= − ⋅

(8.5)

Deplasarea u pe direcţia axei Ox , pentru un punct din secţiunea transversală nu este zero, întrucât se produce deplanarea panului secţiunii transversale, ea depinde de forma secţiunii şi de coordonatele punctului considerat. Ca urmare funcţia deplasării u trebuie studiată special pentru fiecare caz particular de secţiune transversală. Deplasările , ,u v w pentru punctele din secţiunea transversală se datorează deformaţiilor specifice unghiulare din planele yOx şi zOx , care sunt definite de relaţiile următoare:

x yu vy x

γ ∂ ∂= +∂ ∂

(8.6)

x yu wz x

γ ∂ ∂= +∂ ∂

(8.7)

Cu ajutorul relaţiilor (8.5), stabilite din studiul geometric al deformaţiilor se pot exprima derivatele:

dw dy ydx dxdv dz zdx dx

ϕ θ

ϕ θ

= = ⋅

= − = − ⋅ (8.8)

şi în funcţie de expresiile (8.8), relaţiile (8.6) şi (8.7) se transformă astfel:

x yuzy

γ θ ∂= − ⋅ +

∂ , x z

uyz

γ θ ∂= ⋅ +

∂ (8.9)

Studiul geometric al deformaţiilor efectuat pe baza observaţiilor experimentale conduce la următoarele concluzii:

• 0 0y z y zγ τ= ⇒ = • 0 0x xε σ= ⇒ = , întrucât se analizează cazul răsucirii libere şi nu este împiedicată deplasarea pe axa Ox .

• 0 , 0y zσ σ= = , întrucât nu pot apare din solicitarea cu moment de răsucire, nu se produce tasarea fibrelor şi chiar dacă apare, este neînsemnată şi se neglijează.

• 0 , 0x y x zγ γ≠ ≠ şi deci efectul momentului de răsucire apare prin tensiunile tangenţiale x yτ şi x zτ . Legea fizică (Legea lui Hooke) Conform legii lui Hooke, tensiunile tangenţiale sunt funcţii de deformaţiile specifice unghiulare conform relaţiilor: x y x yGτ γ= ⋅ , x z x zGτ γ= ⋅ (8.10) şi în funcţie de expresiile (8.9) se obţine:

x y

x z

uG z Gy

uG y Gz

τ θ

τ θ

∂= − +

∂∂

= +∂

(8.11)

Page 110: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VIII Răsucirea barelor de secţiune necirculară

112

Relaţiile (8.11) exprimă legătura dintre tensiunile tangenţiale x yτ , x zτ şi răsucirea specifică θ , însă apare ca necunoscută deplasarea u pe direcţia axei x , deplasare ce trebuie eliminată.

Ecuaţiile de echilibru Cauchy În cazul stării generale de tensiune ecuaţiile de echilibru Cauchy au forma cunoscută din teoria elasticităţii:

0

0

0

x y x zx

y x y zy

z x z y z

x y z

x y z

x y z

τ τσ

τ τσ

τ τ σ

∂ ∂∂+ + =

∂ ∂ ∂∂ ∂∂

+ + =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

(8.12)

Aplicând relaţiile (8.12) pentru cazul răsucirii barelor de secţiune necirculară rezultă:

0x y x z

y zτ τ∂ ∂

+ =∂ ∂

(8.13)

0

0

y x

z x

x

x

τ

τ

∂=

∂∂

=∂

(8.14)

Din relaţiile (8.14) rezultă că tensiunile tangenţiale x yτ şi x zτ sunt constante pe lungimea barei şi astfel se verifică situaţia de la răsucirea pură a barelor de secţiune circulară, când tensiunile tangenţiale sunt identice în toate secţiunile transversale. Ecuaţia (8.13) exprimă legătura dintre tensiunile necunoscute x yτ şi x zτ , dar pentru definirea lor mai este necesară o ecuaţie, care se obţine din relaţiile (8.11), prin derivarea parţială în raport cu z şi respectiv y :

2

2

x y

x z

uG Gz y z

uG Gy y z

τθ

τθ

∂ ∂= − +

∂ ∂ ∂∂ ∂

= +∂ ∂ ∂

(8.15) Scăzând ecuaţiile (8.15) se elimină deplasarea u şi se obţine o relaţie între tensiunile tangenţiale necunoscute:

2x y x z Gz yτ τ

θ∂ ∂

− = −∂ ∂

(8.16) Ecuaţia (8.15) reprezintă o condiţie de compatibilitate, corpul solid se deformează fără ca în interiorul lui să apară discontinuităţi, pentru un punct de coordonate , ,x y z deplasările

, ,u v w trebuie să aibă aceleaşi valori. Ecuaţiile (8.13) şi (8.16) formează un sistem de ecuaţii diferenţiale cu necunoscutele tensiunile tangenţiale x yτ şi x zτ . Sistemul admite mai multe soluţii, dar se va alege soluţia

Page 111: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

113

care satisface condiţiile de contur şi anume în punctele de pe contur tensiunea tangenţială este tangentă la contur. Pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii diferenţiale se admite o funcţie de tensiuni: ( ),U U z y= (8.17) care trebuie să verifice relaţiile următoare:

,x y x zU Uz y

τ τ∂ ∂= = −∂ ∂

(8.18)

Funcţia de tensiuni (8.17) şi relaţiile (8.18) satisfac ecuaţia (8.13) întrucât, din derivarea relaţiilor (8.18) rezultă:

2 2

,x y x zU Uy y z z y zτ τ∂ ∂∂ ∂

= = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(8.19)

Rezultă astfel că funcţia de tensiuni (8.17) şi relaţiile (8.18) trebuie să satisfacă ecuaţia (8.16) şi se obţine:

2 2

2 2 2U U Gz y

θ∂ ∂+ = −

∂ ∂ (8.20)

În acest mod sistemul de ecuaţii (8.13) şi (8.16) s-a redus la o singură ecuaţie (8.20), care se numeşte ecuaţia lui Poisson şi are ca necunoscută funcţia de tensiuni U . Dacă se stabileşte funcţia de tensiuni se pot determina tensiunile tangenţiale, iar condiţiile de contur pe care trebuie să le respecte acestea se vor transpune funcţiei de tensiuni. Valoarea funcţiei ( ),U z y în punctele de pe contur. Se consideră secţiunea transversală oarecare a barei solicitată la răsucire liberă (fig.8.4) şi un punct oarecare P de pe contur.

În punctele de pe conturul secţiunii transversale tensiunea tangenţială totală este tangentă la contur, deci proiecţia ei pe direcţia normalei este zero: ( ) 0n P

τ = (8.21)

Condiţia (8.21) se exprimă ca suma proiecţiilor tensiunilor tangenţiale ( ) ( ),x z x yP P

τ τ

în punctul P , pe direcţia normalei să fie zero:

Fig.8.4

Page 112: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VIII Răsucirea barelor de secţiune necirculară

114

( ) ( )cos sin 0x y x zP Pτ β τ β+ = (8.22)

Se aplică relaţiile (8.18) pentru punctul de pe contur şi rezultă:

( ) ( ),xy xz PPP P

U Uz y

τ τ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜⎟⎜= = − ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂⎝ ⎠

(8.23)

Funcţiile trigonometrice din expresia (8.22) se pot exprima prin următoarele relaţii geometrice:

cos dzds

β = , sin dyds

β = − (8.24)

Dacă se înlocuiesc relaţiile (8.23) şi (8,24) în (8.22) se obţine:

0P P

U dz U dyz ds y ds

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜⎟⎜ ⋅ + ⋅ =⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂⎝ ⎠ (8.25)

Expresia (8.25) reprezintă diferenţiala totală a funcţiei ( ),U z y :

0P

Us

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (8.26)

Din relaţia (8.26) rezultă că în punctele de pe contur funcţia de tensiuni ( ),U z y este constantă, dar ea poate fi luată şi zero deoarece nu are nici o influenţă asupra tensiunilor definite prin relaţiile (8.18) şi nici asupra ecuaţiei lui Poisson (8.20).

În final rezultă că în punctele de pe contur funcţia de tensiuni este zero: ( ), 0PU z y = (8.27) Ca urmare, ecuaţia conturului secţiunii transversale poate constitui o funcţie de tensiuni corespunzătoare. Ecuaţia de echivalenţă Ecuaţia de echivalenţă stabileşte legătura dintre cauză, momentul de torsiune tM şi efect, tensiunile tangenţiale x yτ şi x zτ . Conform fig.8.5 ecuaţia de echivalenţă, de momente pe direcţia axei barei va fi: t xz xy

A A

M y dA z dAτ τ= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅∫ ∫ (8.28)

Fig.8.5

Page 113: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

115

Relaţiile (8.18) se înlocuiesc în ecuaţia (8.28) şi rezultă:

tA A

U UM y dA z dAy z

∂ ∂= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

∂ ∂∫ ∫ (8.29)

Integralele din relaţia (8.29) se notează astfel:

1 2,A A

U UI y dA I z dAy z

∂ ∂= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∂ ∂∫ ∫ (8.30)

Pentru rezolvarea integralelor se consideră elemente de suprafaţă paralele cu axele principale centrale (fig.8.6) , iar punctele de coordonate 1 2 1 2, , ,y y z z sunt puncte de pe contur unde funcţia de tensiuni este zero.

Integralele se rezolvă prin părţi şi rezultă:

2 2

1 1

1

z y

A z y

U UI y dA dz y dyy y

∂ ∂= ⋅ = ⋅

∂ ∂∫ ∫ ∫

2 2 2 2

2

1

1 1 1 1

1

z y z yy

yz y z y A

I dz yU Udy dz Udy U dA⎡ ⎤

= − = − = − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (8.31)

În mod analog se obţine: 2

A

I U dA= − ⋅∫ (8.32)

Ecuaţia de echivalenţă (8.29) se transformă în funcţie de rezultatele (8.31) şi (8.32) astfel: 2t

A

M U dA= ⋅∫ (8.33)

Etapele care se parcurg în definirea tensiunilor şi deformaţiilor la răsucirea barelor de secţiune necirculară sunt următoarele:

• tM este cunoscut din solicitarea barei, • Se alege funcţia de tensiuni ( ),U z y de forma conturului secţiunii transversale, ea va conţine o constantă ca necunoscută. De exemplu pentru secţiunea circulară se consideră forma următoare:

( ) ( )2 2 2,U z y C z y R= + − (8.34) • Din ecuaţia (8.33) se determină constanta C şi în acest mod se defineşte funcţia de

tensiuni ( ),U z y . • Relaţiile (8.18) permit determinarea tensiunilor tangenţiale: x yτ şi x zτ .

Fig.8.6

Page 114: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul VIII Răsucirea barelor de secţiune necirculară

116

• Din ecuaţia (8.16) se poate defini şi răsucirea specifică θ ce apare la solicitarea de răsucire.

8.3. CALCULUL TENSIUNILOR TANGENŢIALE PENTRU DIFERITE SECŢIUNI TRANSVERSALE.

8.3.1. Secţiunea circulară. Se consideră secţiunea circulară plină , raportată la axele centrale principale şi un punct oarecare din secţiune are coordonatele: ( ),B y z . Funcţia de tensiuni se consideră de forma ecuaţiei conturului secţiunii transversale: ( ) ( )2 2 2,U z y C z y R= + −

şi întrucât 2 2 2z y r+ = se poate admite astfel: ( ) ( )2 2,U z y C r R= − (8.35) Din ecuaţia (8.33) se determină, în funcţie de (8.35), constanta C : ( )2 2 2 22 2 2 2t

A A A A

M UdA C r R dA C r dA C R dA= = − = −∫ ∫ ∫ ∫

4 4 4

22 2 2 232 4 4 32t pD D DM CI CR A C Cπ π π⎛ ⎞

= − = − = −⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

2t pM CI= − (8.36) şi rezultă:

2

t

p

MCI

= − (8.37)

În funcţie de (8.36) se obţine forma finală a funcţiei de tensiuni:

( ) ( )2 2,2

t

p

MU z y r RI

= − − (8.38)

Aplicând relaţiile (8.18) se pot stabili, în funcţie de (8.38), tensiunile tangenţiale:

,t tx y x z

p p

M z M yI I

τ τ= − = (8.39)

şi tensiunea tangenţială rezultantă:

2 2 tx y x z

p

M rI

τ τ τ= + = (8.40)

Răsucirea specifică θ se stabileşte din ecuaţia (8.16) în funcţie de relaţiile (8.39):

2 2

2 2,t t

p p

M MU Uz I y I

∂ ∂= − = −

∂ ∂

şi rezultă:

t

p

MGI

θ = (8.41)

Relaţiile (8.40) şi (8.41) sunt cunoscute de la răsucirea barelor de secţiune circulară.

Page 115: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

117

8.3.2. Secţiunea dreptunghiulară. În cazul secţiunii dreptunghiulare (fig.8.8) se demonstrează că:

• tensiunea tangenţială maximă apare la mijlocul laturii mari şi are valoarea :

( )max 1 2max1

tx y

Mk hb

τ τ τ= = = (8.42)

• tensiunea tangenţială la mijlocul laturii mici are valoarea: ( ) ( )2 2 2 1max maxx z x yk kτ τ τ τ= = = (8.43)

• răsucirea specifică θ se poate calcula cu relaţia următoare:

3tM

kGhbθ = (8.44)

Coeficienţii 1 2, ,k k k depind de raportul h b şi valorile lor sunt calculate şi tabelate. Relaţiile (8.42) şi (8.44) se pot aduce la forma relaţiilor de la răsucirea barelor de secţiune circulară, dacă se notează: 2

1tW k hb= (8.45) modulul de rezistenţă convenţional la răsucire, 2

tI khb= (8.46) Cu notaţiile (8.45) şi (8.46) relaţiile (8.42) şi (8.44) au forma următoare:

max 1t

t

MW

τ τ= = (8.47)

t

t

MGI

θ = (8.48)

Page 116: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul XI Bare curbe cu rază mică de curbură

118

CAPITOLUL IX

BARE CURBE CU RAZĂ MICĂ DE CURBURĂ

9.1. Generalităţi Barele curbe sunt barele a căror axă longitudinală este o curbă în plan sau în spaţiu. Se vor analiza barele curbe plane pentru care axa longitudinală se află într-un singur plan , care este şi plan de simetrie pentru bară. Se pot întâlni numeroase aplicaţii tehnice de acest fel, ca batiurile unor maşini, cârligele de macara, zalele lanţurilor, capetele de bielă, inelele rulmenţilor etc.

În multe cazuri barele curbe sunt solicitate de forţe coplanare, uneori însă forţele se aplică perpendicular pe planul barei curbe. Secţiunea transversală a barelor poate fi plină sau de forma unui contur deschis sau închis. La calculul barelor curbe cu secţiunea transversală plină se admite că prin deformaţie bara îşi modifică forma secţiunii transversale într-o măsură neglijabilă.

La calculul barelor curbe cu pereţi subţiri cu contur deschis sau închis trebuie considerată, de obicei, şi modificarea formei secţiunii transversale. Având în vedere cazurile frecvent întâlnite în practică, se vor lua în discuţie numai barele curbe plane solicitate de sarcini coplanare, aplicate în planul barei curbe, care este un plan principal central de inerţie întrucât este şi plan de simetrie. În cazul general, pentru situaţia luată în analiză, în secţiunile transversale ale barei curbe apar eforturile secţionale forţă axială N , forţă tăietoareT şi moment încovoietor iM , deci se produce o solicitare compusă şi ar putea fi tratată corespunzător. Cercetările experimentale au arătat că există două situaţii de analiză a barelor curbe, în funcţie de raza de curburăρ şi înălţimea secţiunii transversaleh :

• 10hρ≥ , reprezintă cazul barelor curbe cu rază mare de curbură şi experimental s-

a stabilit că, pentru definirea tensiunilor se pot aplica relaţiile de la bara dreaptă. • 10

hρ≤ , reprezintă cazul barelor curbe cu rază mică de curbură şi experimental s-a

stabilit că utilizarea relaţiilor de la bara dreaptă conduce la erori de calcul. Ca urmare, studiul tensiunilor trebuie realizat independent de rezultatele obţinute la bara dreaptă.

Page 117: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

119

9.2. TENSIUNI LA ÎNCOVOIEREA BARELOR CURBE CU RAZĂ MICĂ DE CURBURĂ Se consideră o bară curbă plană solicitată de sarcini coplanare (fig.9.1), planul barei curbe conţine axa longitudinală şi este plan de simetrie pentru bară, deci axa z este axă centrală principală. Ipoteze

1) Materialul are o caracteristică liniar elastică, deci respectă legea lui Hooke. 2) Se consideră că efectul sarcinilor aplicate apare în secţiunile transversale numai

prin eforturile secţionale forţă axială N şi moment încovoietor iM . Efectul forţei tăietoare T se neglijează, dar dacă se impune calculul tensiunilor tangenţiale se admite ipoteza lui Juravski de la bara dreaptă şi tensiunile tangenţiale se pot calcula conform relaţiei:

y

y y

T Sb I

τ⋅

=⋅

(9.1)

3) Este verificată ipoteza lui Bernoulli, experimental s-a confirmat valabilitatea

ipotezei pentru orice fel de bară curbă. 4) Experimental s-a stabilit că modificarea dimensiunilor secţiunilor transversale este

neânsemnată, deci este verificată ipoteza micilor deformaţii. Se neglijează astfel compresiunea radială între fibrele longitudinale. Ca urmare, fiecare fibră longitudinală se află în stare de întindere- compresiune simplă.

Studiul geometric al deformaţiilor Se urmăreşte definirea deformaţiilor ce apar în cazul încovoierii barei curbe şi în acest

scop se izolează din bară un element infinit mic (fig.9.2), cuprins între două secţiuni transversale ce formează unghiul elementar dϕ .

Înainte de deformare, parametrii geometrici ce caracterizează elementul considerat sunt: • ρ raza de curbură a barei, • dϕ unghiul dintre secţiunile transversale ce delimitează elementul, • ds lungimea fibrei ce trece prin centrele de greutate ale secţiunilor transversale.

Fig.9.1

Page 118: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul XI Bare curbe cu rază mică de curbură

120

Se analizează modul de deformare al elementului de bară, considerat sub acţiunea

eforturilor secţionale N şi iM . Se admite, pentru simplificarea raţionamentului, că la nivel de element infinit mic secţiunea CD poate fi considerată fixă. Astfel, interesează stabilirea poziţiei după deformare a secţiunii AB . În baza ipotezei lui Bernoulli secţiunea AB rămâne şi după deformare plană, iar poziţia ei finală '' ' 'A B se poate considera că este rezultatul unei deplasări în planul barei curbe. Ca urmare, deplasarea secţiunii AB se poate considera că este rezultatul unei translaţii şi a unei rotaţii în jurul punctului ce a definit translaţia, centrul de greutate O al secţiunii transversale. Translaţia este dată de variaţia de lungime a fibrei ce trece prin centrele de greutate ale secţiunilor transversale: ( )'OO ds= Δ . Rotaţia este dată de variaţia unghiului dϕ dintre secţiunile transversale ce delimitează elementul: ( )dϕΔ . Se consideră o fibră oarecare EF la distanţa z de fibra ce trece prin centrul de greutate al secţiunii transversale şi se urmăreşte stabilirea deformaţiei specifice liniare ε , exprimând lungimea fibrei înainte ( )EF şi după deformare( )' ' ' '

E F :

' ' ' '

EF EF FFEF EF

ε−

= = (9.2)

unde: EF ds= (9.3) ' ' ' '' 'FF FF F F= + (9.4)

Fig.9.2

Page 119: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

121

Segmentele ce intervin în relaţiile (9.3) şi (9.4) se pot exprima în funcţie de parametrii geometrici ce caracterizează elementul considerat: EF ds dρ ϕ= = (9.5) ( ) ( )'

0 0FF ds ds dε ε ρ ϕ= Δ = ⋅ = ⋅ (9.6) unde 0ε reprezintă deformaţia specifică liniară a fibrei ce trece prin centrele de greutate ale secţiunilor transversale. ( )

' ''F F z dϕ= ⋅Δ (9.7) În funcţie de relaţiile (9.5), (9.6), (9.7) se prelucrează expresia deformaţiei specifice liniare (9.2):

( )

( )

( )

( )

00

dd z d dz d z

ϕε ρε ρ ϕ ϕ ϕε

ρ ϕ ρ

Δ++ Δ

= =− −

(9.8)

şi se face notaţia următoare:

( )dd

ϕω

ϕΔ

= (9.10)

unde ω reprezintă variaţia specifică a unghiului dϕ . Din relaţiile (9.8) şi (9.9) rezultă:

( ) ( )

( )0 0z z

z

ε ρ ω εε

ρ− + +

=−

(9.11)

În relaţia (9.11) se notează : 0β ω ε= + (9.12) şi expresia (9.11) devine:

0zz

βε ε

ρ= +

− (9.13)

Studiul geometric al deformaţiilor a permis definirea deformaţiei specifice liniare ε (9.13), într-un punct oarecare din secţiunea transversală de coordonate ( ),y z .

Parametrii necunoscuţi 0ε şi ω ce apar în relaţia (9.13) se vor determina din condiţiile de respectare a ecuaţiilor de echivalenţă.

Legea fizică Legea fizică (Hooke) face legătura între tensiuni şi deformaţii şi astfel deformaţiilor

specifice liniare ε le corespund tensiuni normaleσ . Întrucât, pe baza ipotezelor precizate, fibrele longitudinale ale barei curbe se află în

stare liniară de tensiune este valabilă relaţia: Eσ ε= ⋅ (9.14)

Ţinând cont de expresia (9.13) se obţine din (9.14) o primă formă pentru expresia tensiunii normale la încovoierea barelor curbe cu rază mică de curbură: 0

zE E

zσ ε β

ρ= +

− (9.15)

Conform relaţiei (9.15) se constată că, tensiunile normale la încovoierea barelor curbe cu rază mică de curbură nu mai au o distribuţie liniară ca în cazul barei drepte, iar parametrii necunoscuţi 0ε şi β se vor stabili pe baza condiţiilor iniţiale, a cauzei care a determinat starea de tensiune şi anume eforturile secţionale.

Page 120: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul XI Bare curbe cu rază mică de curbură

122

Ecuaţii de echivalenţă. După cum se ştie, ecuaţiile de echivalenţă fac legătura între cauză şi efect, între eforturile secţionale şi tensiunile normale. Pentru exprimarea lor se consideră o secţiune transversală oarecare a barei curbe (fig.9.3), în care apar eforturile secţionale N şi iM .

Într-un punct oarecare din secţiunea transversală, de coordonate ( ),y z există tensiunea normală σ definită de relaţia (9.15). Torsorul forţelor elementare ( )dAσ ⋅ în centrul de greutate al secţiunii transversale trebuie să fie reprezentat prin eforturile secţionale N şi iM . Forţele elementare reprezintă un sistem de forţe paralele în spaţiu şi se pot scrie trei ecuaţii de echivalenţă: x

A

F N dAσ⇒ = ⋅∑ ∫ (9.16)

( )y iA

M M z dAσ⇒ = ⋅ ⋅∑ ∫ (9.17)

( )0zA

M y dAσ⇒ = ⋅ ⋅∑ ∫ (9.18)

Se prelucrează ecuaţiile de echivalenţă în funcţie de expresia tensiunii normale (9.15),

astfel se înlocuieşte relaţia (9.15) în ecuaţia (9.16) şi rezultă:

0

0

A

A A

zN E E dA

z

zE dA E dA

z

ε βρ

ε βρ

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠

= + ⋅−

∫ ∫ (9.19)

În relaţia (9.19) se fac următoarele notaţii:

A

dA A=∫ (9.20)

unde A reprezintă aria secţiunii transversale şi

1

A

zk dAA zρ

= ⋅−∫ (9.21)

unde k reprezintă un coeficient ce ţine cont de geometria barei curbe.

Fig.9.3

Page 121: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

123

Cu notaţiile (9.20) şi (9.21) ecuaţia (9.19) se transformă astfel: 0N E A E k Aε β= + (9.22) Se prelucrează ecuaţia de echivalenţă (9.17) în funcţie de expresia (9.15) şi se obţine:

0

0

i

A

A A

zM E E zdA

z

zE zdA E z dA

z

ε βρ

ε βρ

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠

= + ⋅−

∫ ∫ (9.23)

Întrucât: y

A

z dA S⋅ =∫ (9.24)

reprezintă momentul static al secţiunii transversale în raport cu axa ce trece prin centrul de greutate, rezultă că: 0yS = şi ecuaţia (9.23) are forma următoare: i

A

zM E z dA

ρ= ⋅

−∫ (9.25)

Relaţia (9.25) se poate transforma astfel:

i

A

A A

zM E z dA

z

z zE z dA dA

z z

ρ ρβ

ρ

ρβ ρ

ρ ρ

− += ⋅ =

⎡ ⎤−⎢ ⎥= − +⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ (9.26)

şi în final se obţine forma finală a ecuaţiei de echivalenţă: iM E Akβ ρ= (9.27) Se prelucrează ecuaţia de echivalenţă (9.18) folosind expresia (9.15) şi rezultă:

0

0

0A

A A

zE E ydA

z

yzE ydA E dA

z

ε βρ

ε βρ

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠

= + ⋅−

∫ ∫ (9.28)

Întrucât 0zA

S y dA= ⋅ =∫ relaţia (9.28) devine:

0A

yzE dA

ρ⋅ =

−∫ (9.29)

Ecuaţia (9.29) se transformă pe baza unor artificii matematice simple:

Page 122: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul XI Bare curbe cu rază mică de curbură

124

( )

10

1

A A

A A

A

y zyzE dA E dA

z z

zE y dA E y dA

z z

E y dAz

ρ ρβ β

ρ ρ

ρ ρβ β

ρ ρ

β

ρ

+ −⋅ = ⋅ =

− −

⎛ ⎞− ⎟⎜− ⎟ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − −⎝ ⎠

= =−

∫ ∫

∫ ∫

(9.30)

Întrucât 1zρ

este valabilă următoarea aproximare:

11

1

zz ρρ

⎛ ⎞⎟⎜≅ + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− (9.31)

şi ecuaţia (9.30) se poate transforma astfel:

( )

11

1

10

A A

A A

y z

A A

y zyzE dA E dA

z z

zE y dA E y dAz

E ydA E z ydA I

ρ ρβ β

ρ ρ

β βρ

ρ

β βρ

+ −⋅ = ⋅ =

− −

⎛ ⎞⎟⎜≅ + ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−

+ = =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(9.32)

Ecuaţia de echivalenţă (9.18) a condus la expresia (9.32), care exprimă necesitatea ca axele y şi z ale secţiunii transversale să fie axe principale centrale de inerţie, condiţie care este îndeplinită prin ipoteză, axa z este axă de simetrie. Din ecuaţiile de echivalenţă (9.16), (9.17) aduse în forma finală (9.22), (9.27) se pot preciza parametrii necunoscuţi β şi 0ε :

iMEAk

βρ

= , 0iMNE

A Aε

ρ= − (9.33)

Înlocuind relaţiile (9.33) în expresia (9.15), se obţine forma finală a tensiunii normale la încovoierea barelor curbe cu rază mică de curbură:

i iN M M zA A Ak z

σρ ρ ρ

= − + ⋅−

(9.34)

Pe baza expresiei (9.34) se poate stabili poziţia axei neutre, conform definiţiei ca locul geometric al punctelor din secţiune pentru care tensiunea normală este zero:

0i iN M M zA A Ak zρ ρ ρ

− + ⋅ =−

(9.35)

Din condiţia (9.35) se obţine că axa neutră este paralelă cu axa centrală y , iar tăietura

pe axa z are următoarea expresie:

Page 123: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

125

( )

( )0 1i

i

k M Nz

k M kN

ρ ρρ

−=

+ − (9.36)

Cunoscând expresia tensiunii normale (9.34) şi poziţia axei neutre (9.36) se poate trasa

distribuţia tensiunilor normale din secţiunea transversală (fig.9.4) şi se constată că tensiunea maximă apare în fibra cea mai apropiată de centrul de curbură. al barei curbe.

În cazul încovoierii pure, pentru 0N = , se notează excentricitatea axei neutre cu e şi expresia ei se obţine din relaţia (9.36):

1k

ek

ρ=

+ (9.37)

Aplicarea relaţiei de calcul (9.34) pentru tensiunea normală presupune calculul

coeficientului k (9.21) şi se stabileşte o relaţie aproximativă, care se foloseşte uşor, iar rezultatele obţinute sunt satisfăcătoare:

1 1 1

1

z zk dA dAzA z Aρ ρ

ρ

= ⋅ = ⋅ ⋅− −

∫ ∫ (9.38)

şi ţinând cont de aproximarea (9.31) rezultă:

21 1 11

A A A

z zk dA zdA z dAA Aρ ρ ρ ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎟⎜≅ + ⎟ = +⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ (9.39)

sau:

1 yIkAρ

≅ (9.40)

şi în final:

2

yikρ

⎛ ⎞⎟⎜≅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (9.41)

unde: 2 yy

Ii

A= reprezintă raza de inerţie în raport cu axa y .

De multe ori se preferă exprimarea tensiunii normale în funcţie de distanţa la axa neutră. În acest scop, conform figurii.9.5, se fac următoarele notaţii: e este excentricitatea axei neutre la încovoiere pură, 1 2,d d reprezintă distanţele de la fibrele extreme la axa neutră,

Fig.9.4

Page 124: semestrul2rezistenta materialelor

Capitolul XI Bare curbe cu rază mică de curbură

126

1 2,R R sunt razele de curbură ale fibrelor extreme, r este raza de curbură a axei neutre.

Se urmăreşte exprimarea parametrilor , ,z k ρ din relaţia (9.34) în funcţie de noile

elemente geometrice ', ,e r z . Astfel se pot stabili următoarele expresii: 'z z e= + (9.42) r eρ = + (9.43) e

= (9.44)

Relaţiile (9.42), (9.43), (9.44) se înlocuiesc în (9.34) şi rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

'

'

'

'

i i

i i

M M z eer e A r e z er e Ar

M M r z er e A Ae r e r z

σ+

= − + ⋅ =+ + − ++

+= − + ⋅ ⋅

+ + −

( )

( )

' ' '

'

' '

'

' '

'

i i

i i

i

M M r z z z er e A Ae r e r z

M M r z z er e A Ae r e r z

M z z eAe r e r z

σ+ − +

= − + ⋅ ⋅ =+ + −

− += − + ⋅ ⋅ +

+ + −

++ ⋅ ⋅

+ −

(9.45)

După simplificări din forma (9.45) se obţine:

Fig.9.5

Page 125: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

127

' '

'1iM z z eAe r e r z

σ⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟= ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ −⎝ ⎠

(9.46)

şi în final tensiunea normală la încovoierea pură a barei curbe cu rază mică de curbură are următoarea expresie:

'

'iM zAe r z

σ = ⋅−

(9.47)

Dacă în secţiunea transversală apare şi efortul secţional forţă axială tensiunea normală se calculează cu relaţia următoare:

'

'iN M z

A Ae r zσ = + ⋅

− (9.48)

Tensiunile normale din fibrele extreme se stabilesc pe baza relaţiei (9.48) şi rezultă: ' '

1 1 1,z d r z r d R= − = − = ⇒

1max

1

iN M dA Ae R

σ = + ⋅ (9.49)

' '

2 2 2,z d r z r d R= − − = + = ⇒

2min

2

iN M dA Ae R

σ = − ⋅ (9.50)

Aplicarea relaţiilor (9.49) şi (9.50) implică calculul excentricităţii axei neutre: e rρ= − (9.51)

unde r este raza de curbură a axei neutre. Pentru calculul razei de curbură a axei neutre sunt stabilite relaţii de calcul în funcţie de forma secţiunii transversale:

• secţiunea dreptunghiulară:

2

1

ln

hr R

R

= (9.52)

sau relaţia aproximativă:

2

2112

Rr

hR

≅+

(9.53)

• secţiunea circulară:

( )2 212

r R R d= + − (9.54)

Utilizarea relaţiilor (9.49) şi (9.50) pentru calculul tensiunilor normale din fibrele

extreme este mai comodă şi se evită, în acest mod, calculul aproximativ al coeficientului k.

Page 126: semestrul2rezistenta materialelor

Rezistenţa materialelor II

128

BIBLIOGRAFIE

1. Beschia,N., Rezistenţa materialelor, Capitole speciale, Ed.didactică.şi pedagogică, Bucureşti,1971

2. Bia C., Ilie V., Soare M.V.- Rezistenţa materialelor şi teoria elasticităţii, Ed.Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1983 3. Bologa O., Dimofte A. – Elemente de inginerie mecanica. Rezistenţa materialelor. Editura “Evrika” Brãila 2002. 4. Bologa O., Dimofte A. – Elemente de inginerie mecanica. Solicitãrile solidelor deformabile. Editura “Evrika” Brãila 2002. 5. Bologa O., Dimofte A. , Elemente de Inginerie Mecanică – Solicitările solidelor deformabile. Aplicaţii cu MDSolids. ISBN Editura EVRIKA Brăila 2004, ISBN973-641-059-5 6. Buzdugan Ghe., Blumenfeld M.- Calculul de rezistenţă al pieselor de maşini, Editura tehnică, Bucureşti, 1979. 7. Dimofte A., Bologa O., Rezistenţa Materialelor, vol I, Editura EVRIKA Brăila, 2001, ISBN 973-8052-85-8. 8. Dimofte A., Bologa O., Încercări mecanice.Experimente şi prelucrări de date, EDITURA FUNDAŢIEI UNIVERSITARE “Dunărea de Jos” Galaţi 2004, ISBN 973-627-113-7. 9. Dimofte A., Bologa O., Rezistenţa materialelor, Curs, aplicaţii şi experimente de laborator, Manual pentru studenţii de la profilul Inginerie electrică, EDITURA FUNDAŢIEI UNIVERSITARE “Dunărea de Jos” Galaţi 2004, ISBN 973-627-122-6. 10. Dimofte A., Bologa O., Ioniţă B. , Rezistenţa materialelor., vol.II, Elasticitate, EVRIKA Brăila 2002 ISBN 973-641-028-5.

11. Dimofte A., Bologa O., Rezistenţa Materialelor, vol III, Editura EVRIKA Brăila, 2003, ISBN 973-641- 041-2. 12. Dimofte A., Bologa O., IoniţăB., Rezistenţa materialelor I, Solicitările barelor.Elasticitate, Editura ZIGOTTO Galaţi 2005, ISBN 973-87236-0-4. 13. Dimofte A., Bologa O., Rezistenţa materialelor II, Structuri nedeterminate. Solicitări complexe, Editura ZIGOTTO Galaţi 2005, ISBN 973-87236-7-1. 14. Dimofte A., Bologa O., Rezistenţa materialelor II, Structuri nedeterminate. Solicitări complexe, Editura ZIGOTTO Galaţi 2006, ISBN 973-87793-0-8, Ediţie revăzută. 15. Deutsch I.,- Rezistenţa materialelor, Ed. Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1976 16. Massonet,Ch., Deprez,G., ş.a., Calculul structurilor la calculatoare electronice, Editura tehnică, Bucureşti,1972, 17. Ponomariov S.D., Biderman V.L., Liharev C.K., ş.a.- Calculul de rezistenţă în construcţia de maşini, vol.I, Editura tehnică, Bucureşti, 1960 18. Posea N., Rezistenţa materialelor, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979

Page 127: semestrul2rezistenta materialelor

1

PROBLEME PENTRU EVALUAREA CUNOŞTIINŢELOR LA DISCIPLINA REZISTENŢA MATERIALELOR

1) Expresia energiei de deformaţie din forţă axială ( )NU .

1) ( )

2 2

2 2x

NV l

NU dV dxE EAτ

= =∫ ∫ 2) ( )

2 2

2 2x

NV l

NU dV dxE EA

σ= =∫ ∫

3) ( )

22

2 2yx

NyV l

MU dV dx

E EIσ

= =∫ ∫

2) Expresia energia de deformaţie din forfecare ( ) ( ),

z yT TU U .

1) ( )

22

2 2,2z

yzy yT

y yl A

ST AU k dx k dAGA I b

= =∫ ∫

( )2 2

2 2,2y

y zz zT

z zl A

T SAU k dx k dAGA I b

= =∫ ∫

2) ( )

2 2

2 2,2z

z zz yT

y yl A

T SAU k dx k dAGA I b

= =∫ ∫

( )2 2

2 2,2y

y zz zT

y zl A

T SAU k dx k dAGA I b

= =∫ ∫

3) ( )2 2

2 2,2y

z zy yT

y yl A

T SAU k dx k dAGA I b

= =∫ ∫

( )2 2

2 2,2y

y zy zT

z yl A

T SAU k dx k dAGA I b

= =∫ ∫

Page 128: semestrul2rezistenta materialelor

2

3) Energia de deformaţie din răsucire ( )tMU .

1) ( )

22

2 2tt

MpV l

MU dV dxG GIτ

= =∫ ∫ 2) ( )

22

2 2tt

MyV l

MU dV dxG GIσ

= =∫ ∫

3) ( )

22

2 2ty

MyV l

MU dV dx

G GIτ

= =∫ ∫

4) Energia de deformaţie din încovoiere ( ) ( ),

zy MMU U .

1) ( )2 2

2 2y

y yM

yV l

MU dV dx

E EIσ

= =∫ ∫

( )2 2

2 2yx z

MzV l

MU dV dxE EI

σ= =∫ ∫

2) ( )22

2 2y

yxM

yV l

MU dV dx

E EIσ

= =∫ ∫

( )

2 2

2 2zx z

MzV l

MU dV dxE EI

σ= =∫ ∫

3) ( )22

2 2y

yxM

zV l

MU dV dx

E EIσ

= =∫ ∫

( )

2 2

2 2zz z

MyV l

MU dV dxE EI

σ= =∫ ∫

5) Relaţia generală de calcul pentru deplasările liniar-elastice, conform teoremei lui

Castigliano.

1)

y yz zk z y

k k k

y y t tz z

z k z k y k

T TT TN N dx k dx k dxEA F GA F GA F

M M M MM Mdx dx dxEI F EI F EI F

∂∂∂Δ = + + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂+ + +

∂ ∂ ∂

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

Page 129: semestrul2rezistenta materialelor

3

2)

y yz zk y z

y k k k

y y t tz z

y k p k z k

T TT TN N dx k dx k dxEI F GA F GA F

M M M MM Mdx dx dxEI F EI F EI F

∂∂∂Δ = + + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂+ + +

∂ ∂ ∂

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

3)

y yz zk y z

k k k

y y t tz z

y k z k p k

T TN N T Tdx k dx k dxEA F GA F GA F

M M M MM Mdx dx dxEI F EI F EI F

∂∂ ∂Δ = + + +

∂ ∂ ∂∂ ∂∂

+ + +∂ ∂ ∂

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

6) Relaţia Mohr-Maxwell pentru calculul deplasărilor liniar-elastice:

1)

y ykk z zkk z y

z

y ykt tk z zk

p z y

T tNN T tdx k dx k dxEA GI GA

M mM m M mdx dx dxGI EI EI

Δ = + + +

+ + +

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

2)

y ykk z zkk z y

y ykt tk z zk

p y z

T tNn T tdx k dx k dxEA GA GA

M mM m M mdx dx dxGI EI EI

Δ = + + +

+ + +

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

3)

y ykk z zkk z y

y

y ykt tk z zk

y y p

T tNn T tdx k dx k dxEA GI GA

M mM m M mdx dx dxGI EI EI

Δ = + + +

+ + +

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

7) Relaţia Mohr-Maxwell în baza procedeului Mohr-vereşceaghin.

1)

y z

t tz

T ykC T zkCN kCk z y

M ykC M zkCM ykC

p y z

t tn k kEA GA GA

m mmGI EI EI

Ω ΩΩΔ = + + +

Ω ΩΩ+ + +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

Page 130: semestrul2rezistenta materialelor

4

2)

y z

yt z

T ykC T zkCN kCk z y

y

M ykCM tkC M zkC

z p z

t tn k kEA GI GA

mm mGI EI EI

Ω ΩΩΔ = + + +

ΩΩ Ω+ + +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

3)

y z

yt z

T ykC T zkCN kCk z y

M ykCM tkC M zkC

p y z

t tn k kEA GA GA

mm mGI EI EI

Ω ΩΩΔ = + + +

ΩΩ Ω+ + +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

8) Relaţia de calcul pentru deplasarea ijδ .

1)

yi yj zi zji iij z y

ti tj yi zj yi zj

p y z

t t t tn n dx k dx k dxEA GA GAm m m m m m

dx dx dxGI EI EI

δ = + + +

+ + +

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

2)

i j yi yj zi zjij z y

z

ti tj yi yj zi zj

p z p

n n t t t tdx k dx k dx

EI GA GAm m m m m m

dx dx dxGI EI EI

δ = + + +

+ + +

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

3)

i j yi yj zi zjij z y

ti tj yi yj zi zj

p y z

n n t t t tdx k dx k dx

EA GA GAm m m m m m

dx dx dxGI EI EI

δ = + + +

+ + +

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

Page 131: semestrul2rezistenta materialelor

5

9) Relaţia de calcul pentru 0iδ deplasarea punctului de aplicaţie a necunoscutei iX

pe direcţia iX , deplasare produsă de sarcinile exterioare aplicate pe sistemul de bază.

1) 00

ii

M m dxEI

δ =∑∫

2) 00

ii

m m dxEI

δ =∑∫

3) 00

ii

M M dxEI

δ =∑∫

10) Ecuaţia celor trei momente (ecuaţia Clapeyron) în cazul general.

1) ' ''

1 22 1

1 1 22 6 0i i i i i i

i i ii i i i i i

l l l l A AM M MI I I I I I

+ +− +

+ + +

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2) ' ''

1 11 1

1 1 12 6 0i i i i i i

i i ii i i i i i

l l l l A AM M MI I I I I I

+ +− +

+ + +

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3) ' ''

1 21 2 2

1 1 12 6 0i i i i i i

i i ii i i i i i

l l l l A AM M MI I I I I I

+ +− + +

+ + +

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11) Tensiunea normală pentru solicitarea compusă încovoiere simplă cu forţă axială. 1) 2) 3)

y

y

M zNA I

σ = + z

y

M zNA I

σ = + y

y

M zNA I

σ = −

Page 132: semestrul2rezistenta materialelor

6

12) Tensiunile normale din fibrele extreme atunci când axa neutră este axă de simetrie, pentru solicitarea compusă încovoiere simplă cu forţă axială.

1) max min,y y

y y

M MN NA W A W

σ σ= − + = −

2) max min,y y

y y

M MN NA W A W

σ σ= − = +

3) max min,y y

y y

M MN NA W A W

σ σ= + = −

13) Tensiunea normală în secţiunea transversală pentru cazul solicitării compuse de întindere sau compresiune excentrică.

1) y z

y z

M z M yNA I I

σ = − +

2) y z

y z

M z M yNA I I

σ = + +

3) y z

y z

M z M yNA I I

σ = − + −

14) Relaţiile de calcul pentru tensiunile extreme în cazul solicitării compuse de întindere sau compresiune excentrică la secţiunile dreptunghiulară, I şi U.

1) max

min

1

2

y z

y z

y z

y z

M MNA W W

M MNA W W

σ

σ

⇒ = + −

⇒ = + +

Page 133: semestrul2rezistenta materialelor

7

2) max

min

1

2

y z

y z

y z

y z

M MNA W W

M MNA W W

σ

σ

⇒ = − − +

⇒ = − −

3) max

min

1

2

y z

y z

y z

y z

M MNA W W

M MNA W W

σ

σ

⇒ = + +

⇒ = − −

15) Tensiunea normală în cazul solicitării de încovoiere oblică şi strâmbă.

1) y z

y z

M z M yI I

σ = − 2) y z

y z

M z M yI I

σ = − − 3) y z

y z

M y M zI I

σ = −

16) Relaţiile de calcul pentru tensiunile normale extreme în cazul secţiunilor transversale dreptunghiulară, I sau U

1) max min,y yz z

y z y z

M MM MW W W W

σ σ= − = +

2) max min,y yz z

y z y z

M MM MW W W W

σ σ= + = − −

3) max min,y yz z

y z y z

M MM MW W W W

σ σ= + = −

Page 134: semestrul2rezistenta materialelor

8

17) Teoria tensiunilor tangenţiale maxime în cazul barei drepte.

1) 2 23echσ σ τ= + 2) 2 20,5 0,5 4echσ σ σ τ= + + 3) 2 24echσ σ τ= +

18) Condiţia de rezistenţă în cazul arborilor solicitaţi la încovoierecu răsucire.

1) echech a

MW

σ σ= ≤

2) tech a

MW

σ σ= ≤

3) echech a

p

MW

σ σ= ≤

19) Expresia momentului încovoietor echivalent conform teoriei tensiunilor

tangenţiale maxime.

1) 2 2ech i zM M M= + 2) 2 2

ech i tM M M= + 3) 2 2ech y tM M M= +

20) Forţa critică de flambaj a barelor zvelte solicitate la compresiune.

1) 2

min2CR

EIFl

π= 2)

2

2z

CRf

EIFl

π= 3)

2min

2CRf

EIF

=

21) Tensiunea critică de flambaj în domeniul elastic.

1) 2

2CREπσ

λ= 2) CR a bσ λ= − 3) 2

CR A B Cσ λ λ= + +

Page 135: semestrul2rezistenta materialelor

9

22) Relaţia de definiţie pentru multiplicatorul dinamic , ψ , în cazul solicitării prin şoc.

1) st

st st

F fQ f

σψσ

Δ= = = =

Δ

2) st st st

F fQ f

σψσ

Δ= = = =

Δ

3) st st st

Q fF f

σψσ

Δ= = = =

Δ

23) Expresia multiplicatorul dinamic , ψ , în cazul solicitării prin şoc atunci când o greutate cade de la înălţimea H .

1) 21 1st

Hf

ψ = + −

2) 21 1 stfH

ψ = + +

3) 21 1st

Hf

ψ = + +

24) Ecuaţia lui Laplace în cazul vaselor de rotaţie cu pereţi subţiri solicitate la presiune interioară p

1) 1 2

N N pR Rϕ θ+ =

2) 1 2

N N pR Rϕ θ− =

3) 1 2

N N pR Rϕ θ+ = −

Page 136: semestrul2rezistenta materialelor

10

25) Relaţiile de calcul pentru tensiunile din peretele vasului de rotaţie solicitat la presiune interioară.

1) ,NN

h hϕθ

θ ϕσ σ= − =

2) ,NN

h hϕθ

θ ϕσ σ= =

3) ,NN

h hϕθ

θ ϕσ σ= − = −

26) Relaţiile finale pentru tensiunilor normale rσ şi θσ în cazul tuburilor cu pereţi groşi solicitaţi la presiune interioară ip şi presiune exterioară ep .

1)

( )

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

i ei i e e i er

e i e i

i ei i e e i e

e i e i

p pp R p R R RR R R R r

p pp R p R R RR R R R rθ

−−σ = +

− −

−−σ = −

− −

2)

( )

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

i ei i e e i er

e i e i

i ei i e e i e

e i e i

p pp R p R R RR R R R r

p pp R p R R RR R R R rθ

−+σ = −

+ −

−−σ = +

− +

3)

( )

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

i ei i e e i er

e i e i

i ei i e e i e

e i e i

p pp R p R R RR R R R r

p pp R p R R RR R R R rθ

−−σ = −

− −

−−σ = +

− −

Page 137: semestrul2rezistenta materialelor

11

27) Expresia deplasării radiale u pentru un punct din secţiunea transversală în

cazul tuburilor cu pereţi groşi solicitaţi la presiune interioară ip şi presiune exterioară ep .

1) ( ) 2 22 2

2 2 2 21 1 1i e i ei i e e

e i e i

p p R Rp R p Ru r

E E rR R R R−−−μ + μ

= ⋅ + ⋅− −

2) ( ) 2 22 2

2 2 2 21 1 1i e i ei i e e

e i e i

p p R Rp R p Ru rE E rR R R R

−−+μ −μ= ⋅ + ⋅

− −

3) ( ) 2 22 2

2 2 2 21 1 1i e i ei i e e

e i e i

p p R Rp R p Ru rE E rR R R R

−−−μ +μ= − ⋅ − ⋅

− −

28) Expresia momentului de răsucire în cazul răsucirii barelor de secţiune necirculară. 1) 2t

A

M U dA= − ⋅∫ 2) 2tA

M U dA= ⋅∫ 3) tA

M U dA= ⋅∫

29) Expresia finală a tensiunii normale la încovoierea barelor curbe cu rază mică de curbură.

1) i iN M M zA A Ak z

σρ ρ ρ

= − − − ⋅−

2) i iN M M zA A Ak z

σρ ρ ρ

= − − ⋅+

3) i iN M M zA A Ak z

σρ ρ ρ

= − + ⋅−

Page 138: semestrul2rezistenta materialelor

12

30) Expresiile de calcul pentru tensiunile maxime şi minime la încovoierea barelor curbe cu rază mică de curbură.

1) 1max

1

iN M dA Ae R

σ = + ⋅ 2min

2

iN M dA Ae R

σ = − ⋅

2) 1max

1

iN M dA Ae R

σ = − + ⋅ 2min

2

iN M dA Ae R

σ = − − ⋅

3) 1max

1

iN M dA Ae R

σ = − ⋅ 2min

2

iN M dA Ae R

σ = − − ⋅

Page 139: semestrul2rezistenta materialelor

13

RĂSPUNSURI CORECTE

1) 2 2) 1 3) 1 4) 2 5) 3 6) 2 7) 3 8) 3 9) 1 10) 2

11) 1 12) 3 13) 2 14) 3 15) 1 16) 2 17) 3 18) 1 19) 2 20) 3

21) 1 22) 2 23) 3 24) 1 25) 2 26) 3 27) 1 28) 2 29) 3 30) 1