Seminar 1 - Inele s, i idempotent,igr. 134 & 135 Info, sem. 2 2014-2015

Vom cteva elemente privitoare la teoria elementara a inelelor s, i vom introduce cteva rezultate noi pe carele vom folosi mai departe. Principalele inele care ne intereseaza snt inelele de polinoame s, i inelele de matrice.As, adar, majoritatea exemplelor aplicative se vor adresa acestor cazuri.

1 Aspecte teoretice

Definitie 1.1: Fie (R,+, ) un inel s, i x R un element arbitrar. x se numes, te:(1) inversabil (notat x U(R)) daca x 6= 0 s, i y 6= 0 n R astfel nct xy = 1.(2) divizor al lui zero (sau zero-divizor) daca x 6= 0 s, i 0 6= y R a.. xy = 0. Notam x ZD(R).(3) idempotent daca x2 = x. (Notat, ie ad-hoc: x Id(R))(4) nilpotent daca exista n N cu xn = 0. Cel mai mic n cu aceasta proprietate se numes, te indicele de nilpotent, a

al lui x. (Notat, ie ad-hoc: x N(R))Cu aceste not, iuni, avem urmatoarea proprietate:

Propozitie 1.1: ntr-un inel finit R, orice element este inversabil sau zero-divizor.

Dem.: Fie a R un element arbitrar. Presupunem ca a nu este zero-divizor. Atunci aplicat, ia f : R R data def(x) = ax este injectiva. Cum R este mult, ime finita, rezulta ca este s, i surjectiva, deci bijectiva sau, mai exact,automorfism. Deci 1 Imf, adica b R a.. f(b) = ab = 1 b = a1 a U(R).

n inele care nu snt finite, are loc urmatoarea proprietate:

Propozitie 1.2: Un element x R care este unitate nu poate fi divizor al lui zero. Altfel spus, pentru orice inel R,U(R)ZD(R) = .Dem.: Daca x U(R), atunci sa presupunem prin absurd ca exista 0 6= y R, cu xy = 0. Dar atunci 0 =x1 x y = 1 y, contradict, ie.

Amintim s, i urmatoarea proprietate:

Propozitie 1.3: Un element x Zn este inversabil daca s, i numai daca cmmdc(x,n) = 1.Sa vedem cteva exemple concrete.

Exemplu 1.1: n inelul R = Z10, 3 este inversabil, dar 2, 4 snt divizori ai lui zero. De asemenea,Z10 nu cont, ineelemente nilpotente, deoarece ecuat, ia xn = 0 nu are dect solut, ia triviala nZ10. Fie x un element idempotent.Adica x2 = x, deci x(x 1) = 0 n Z10. Obt, inem ca elementele idempotente snt doar 0 s, i 1.

Exemplu 1.2: Exemple de matrice idempotente (dupa cum se poate vedea din calcule directe) snt:

(1 10 0

)s, i

2 2 41 3 41 2 3

Observatie 1.1: Se poate vedea us, or ca, except, ie facnd matricea identitate, toate matricele idempotente sntsingulare, adica au determinantul nul (deci snt neinversabile).

Exemplu 1.3: Exemple de matrice nilpotente snt:

(0 10 0

)s, i

0 2 1 60 0 1 20 0 0 30 0 0 0

1

Prima are indicele de nilpotent, a 2, iar cea de-a doua, 4.Des, i din cele de mai sus pare ca o matrice nilpotenta trebuie sa aiba ct mai multe intrari nule, n general

nu este adevarat. Matricea

5 3 215 9 610 6 4

este nilpotenta, cu indicele de nilpotent, a 2!Avem o caracterizare interesanta pentru elementele nipotente dintr-un inel.

Propozitie 1.4: Elementul x R este nilpotent daca s, i numai daca elementul 1+ x este inversabil.Dem.: Sa presupunem ca x este nilpotent, cu indicele n, deci xn = 0. Atunci, considernd expresia:

(1+ x)(1 x+ x2 x3 + + (1)n1xn1) = 1+ xn = 1,deducem ca 1+ x este inversabil, inversul fiind elementul din a doua paranteza.

Ne ndreptam acum atent, ia asupra divizorilor lui zero, elementelor inversabile s, i nilpotente din inele depolinoame.

Teorema 1.1 (McCoy): Fie f R[X] un polinom, cu R inel comutativ. Daca f este zero-divizor, atunci rf = 0, pentruun element r R.Dem.: Sa presupunem ca f este anulat de un polinom de grad > 0. Deci exista g R[X], cu fg = 0. l alegemcu grad minim. Sa scriem cele doua polinoame: f =

mi=0

fi, iar g =nj=0

gj.

Daca gn = 0, am terminat, deoarece avem o contradict, ie cu minimalitatea lui g.Daca gn 6= 0, nseamna ca exista un i astfel nct fign = 0. Alegem cel mai mare i cu proprietatea ca fig 6= 0.

Dar atunci avem:0 = fg = (f0 + + fi)g = (f0 + + fi)(g0 + + gn),

de unde fign = 0. Dar atunci fig are grad mai mic dect g s, i anuleaza pe f, contradict, ie.

As, adar, polinoamele care snt zero-divizori snt, de fapt, anulate de constante.Polinoamele nilpotente au o forma foarte simpla:

Propozitie 1.5: Un polinom p = a0 + a1X + + anXn este nilpotent daca s, i numai daca tot, i coeficient, ii sai sntnilpotent, i.

Dem.: Implicat, ia " " este clara, deoarece putem ridica p la cmmmc al indicilor de nilpotent, a pentru coeficient, iisai s, i atunci obt, inem p nilpotent.

Pentru implicat, ia directa, fie p nilpotent. Scadem din p tot, i termenii care au coeficient, i nilpotent, i s, i obt, inemun nou polinom, tot nilpotent. Daca este zero, am terminat. Daca nu, are un cel mai mare termen aXh pentrucare coeficientul a nu este nilpotent. Dar atunci, pentru orice N, f are termenul dominant axh, careeste nenul, contradict, ie.

Polinoamele inversabile snt caracterizate de urmatorul rezultat.

Propozitie 1.6: Fie R un inel comutativ. Atunci polinomul p = a0 + a1X+ a2X2 + + anXn este inversabil daca s, inumai daca a0 este inversabil s, i ai este zero-divizor, pentru tot, i i = 1, . . . ,n.

Dem.: " " : Daca are coeficient, ii ca n enunt, , atunci, conform propozit, iei de mai sus, va fi o suma ntre unelement inversabil s, i nu polinom nilpotent. Sa presupunem ca a0b = 1 s, i p a0 l notam cu g, cu gN = 0. Estesuficient sa aratam ca b(a0 + g) = 1+ bg = 1 h este inversabil, unde cu h am notat bg, avnd proprietateahN = 0. Dar, cum am vazut mai sus, (1h)(1+h+h2 + +hN1) = 1hN = 1, ceea ce trebuia demonstrat.

Pentru implicat, ia cealalta, din pq = 1 rezulta p(0)q(0) = 1, deci obt, inem ca termenul liber trebuie sa fie

inversabil. Pentru nilpotent,a celorlalt, i coeficient, i, obt, inem din aproape n aproape, astfel: daca p =ni=0

aiXi

s, i q =mj=0

bjXj, facnd produsul, obt, inem succesiv:

a0b1 + a1b0 = 0a0b2 + a1b1 + a2b0 = 0

. . . . . . . . .an1bm + anbm1 = 0

anbm = 0.

2

nmult, im penultima relat, ie cu an s, i obt, inem a2nbm1 = 0. Daca nmult, im antepenultima ecuat, ie cu a2n,obt, inem a3nbm2 = 0 s, .a.m.d., pna la am+1n b0 = 0 an este nilpotent. Similar procedam pentru a obt, inenilpotent,a s, i pentru ceilalt, i coeficient, i.

O generalizare a polinoamelor o constituie seriile formale. Acestea se pot defini, ca s, i polinoamele, cu aju-torul s, irurilor.

Definitie 1.2: Fie R un inel. Pe mult, imea RN, a s, irurilor cu N termeni, definim operat, iile:

(a0,a1, . . . ,an) + (b0,b1, . . . ,bN) = (a0 + b0,a1 + b1, . . . ,aN + bN),

iar produsul celor doua s, iruri sa fie (c0, . . . , cN), unde ci =ij=1

ajbNj .

Atunci definimX = (0, 1, 0, . . . ) s, i, cu ajutorul operat, iilor de mai sus, obt, inemXi = (0, . . . , 1, . . . ), unde 1 estepe pozit, ia i+ 1. Se observa ca elementul neutru la nmult, ire este (1, 0, 0, . . . ) s, i acesta se asociaza elementului1 R. Similar 0 = (0, 0, . . . ).

Astfel definit, obt, inem RN[X], inelul de polinoame cu nedeterminata X, coeficient, i n R s, i grad cel mult N.Admit, nd acum caN =N, obt, inem inelul de serii formale n nedeterminata X, scrise, n general, sub forma

f =

i=0

aiXi. Inelul se noteaza cu R[[X]].

Inversabilitatea seriilor formale este data de propozit, ia urmatoare:

Propozitie 1.7: O serie formala f este inversabila daca s, i numai daca are termenul liber inversabil.

Dem.: Implicat, ia directa este simpla. Lund f =i=0

aiXi s, i inversul sau g =

j=0

bjXj, din condit, ia fg = 1

rezulta imediat a0b0 = 1.Pentru implicat, ia reciproca, vrem sa definim g ca mai sus. Luam, pentru nceput, b0 = a10 , iar ceilalt, i

coeficient, i se definesc n general recurent prin:

bi = (a10 )(a1bi1 + a2bi2 + + aib0).

O construct, ie care ne intereseaza acum este produsul direct de inele.

Definitie 1.3: Fie R,S inele. Pe mult, imea R S = {(x,y) | x R, y S} putem da o structura de inel pecomponente. Adica (x,y) + (z, t) = (x+ z,y+ t), respectiv (x,y) (z, t) = (x z,y t).

Inelul astfel obt, inut se numes, te produsul direct al inelelor R s, i S, notat R S sau R S.Sa mai amintim o structura importanta.

Definitie 1.4: Fie R un inel s, i I o submult, ime a lui R. Spunem ca I este ideal al inelului R, notat I E R, daca (I,+)este subgrup al grupului aditiv (R,+) s, i x R, a I are loc ax I.

Exista o proprietate interesanta care leaga inelele obt, inute ca produs direct s, i elementele idempotente.

Teorema 1.2: Inelul comutativ R se poate scrie ca un produs de doua inele daca s, i numai daca R cont, ine un idempotentdiferit de 0 s, i de 1.

Dem.: Sa presupunem ca R = R1 R2. Atunci, cu operat, iile de mai sus, (1, 0) este un idempotent al ineluluiR1 R2.

Reciproc, daca exista e2 = e un element idempotent din inelul R, construim inelele R1 s, i R2 de mai sus.Definim R1 = Re s, i R2 = R(1 e). Mai trebuie aratat ca R ' R1 R2. Definim f : R R1 R2 prin f(x) =(ex, (1 e)x). Aratat, i ca f este izomorfism de inele.

Un caz particular de elemente idempotente, pe care l-am ntlnit deja mai sus, este urmatorul:

Definitie 1.5: Idempotent, ii e, f ai inelului R se numesc ortogonali daca ef = 0.

n exemplul de mai sus, e s, i (1 e) snt idempotent, i ortogonali.Mai avem s, i urmatoarea:

Definitie 1.6: Idempotentul e se numes, te central daca ex = xe, x R.Polinoamele idempotente snt foarte us, or de caracterizat:

Propozitie 1.8: Polinomul f este idempotent daca s, i numai daca termenul sau liber este idempotent s, i tot, i ceilalt, icoeficient, i snt zero.

3

2 Exercit,ii

1. Aratat, i ca, daca n = ak b, pentru nis, te numere naturale a,b, atunci elementul a b este nilpotent ninelul Zn.

2. Fie a Z un numar ntreg. Aratat, i ca a este nilpotent nZn daca s, i numai daca orice divizor prim al luin este divizor s, i al lui a.

3. Fie x un element nilpotent n inelul comutativ A. Aratat, i ca: (rezolvat!)

(a) x este zero sau divizor al lui zero;

(b) 1+ x este inversabil n A.

4. Un inel B se numes, te boolean daca orice element al sau este idempotent. Aratat, i ca orice inel boolean estecomutativ s, i ca 2x = 0, x B.

5. O matriceA Mn(C) se numeste involutiva dacaA2 = In. O matriceA Mn(C) se numeste idempotentadaca B2 = B. Aratati ca:

(a) Daca B este idempotenta, atunci 2B In este involutiva;

(b) Daca A este involutiva, atunci12(A+ In) este idempotenta.

6. Sa se determine matricele idempotente dinM2(Zp).7. Sa se arate ca, daca I este un ideal al inelului R s, i I cont, ine un element inversabil din R, atunci I = R.8. Sa se arate ca un corp nu are ideale diferite de 0 s, i el nsus, i.9. Fie A Mn(k), unde k este un corp comutativ. Sa se arate ca A este inversabila sau divizor al lui zero.10. Sa se determine elementele nilpotente s, i idempotente din inelulZn. (Putet, i considera cazuri particulare

s, i ncercat, i sa generalizat, i.)(*) Verificat, i ca polinomul f = 7+ 5X+ 15X2 este inversabil n inelul Z75[X].

4

Aspecte teoreticeExercitii