Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATIKA
UNIVERSITAS KATOLIK PARAHYANGANPARAHYANGAN
VOL. 10 TH. 2015 ISSN 1907-3909
Seminar Nasional
MATEMATIKA
VOL. 10 TH. 2015 ISSN 1907-3909
Seminar Nasional
REVIEWERS
Alamat Redaksi:
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas terselenggaranya
Seminar Nasional Matematika Unpar 2015. Seminar ini merupakan kegiatan rutin
tahunan yang diselenggarakan oleh Jurusan Matematika, Universitas Katolik
Parahyangan, yang dimulai sejak tahun 2005 dan tahun ini merupakan tahun ke-11
penyelenggaraannya. Seminar Nasional Matematika UNPAR ini merupakan wadah
pertemuan ilmiah antara matematikawan, guru, peneliti, dan praktisi yang tidak hanya
terbatas di bidang matematika saja, melainkan juga penerapannya dalam berbagai
bidang ilmu, antara lain dunia medis, ekonomi lingkungan hidup, dan gejala alam.
Seminar tahun ini mengambil tema “PERAN MATEMATIKA DALAM
MENGHADAPI MASYARAKAT EKONOMI ASEAN (MEA)”. Pemilihan tema ini
dilatarbelakangi oleh kesepakatan para pemimpin ASEAN yang tertuang dalam
“Deklarasi Cebu: Untuk Mempercepat Pembangunan Masyarakat ASEAN Sebelum
2015” yang ditandatangani oleh pemimpin ASEAN pada KTT ASEAN ke-12 bulan
Januari 2007. Menurut rencana, ASEAN akan membangun sebuah masyarakat bersama
sebelum tahun 2015 yang mencakup tiga bagian, yaitu masyarakat ekonomi, masyarakat
keamanan dan masyarakat sosial budaya. Melalui seminar ini diharapkan para peserta
dapat saling berbagi pengetahuan dan informasi terbaru sehingga berdampak pada
kesiapan yang lebih baik dari Indonesia dalam menghadapi tantangan ini.
Seminar kali ini mengundang tiga orang pembicara dari kalangan akademisi dan praktisi
yang akan berbagi pengalaman, gagasan dan pikiran. Pada sesi pararel, akan
dipresentasikan 58 makalah yang merupakan hasil karya dosen, peneliti, dan mahasiswa
dari berbagai instansi di tanah air.
Kami atas nama panitia Seminar Nasional Matematika Unpar 2015 mengucapkan terima
kasih atas partisipasinya, semoga bermanfaat bagi semua pihak.
Bandung, September 2015
Ketua Panitia
Liem Chin, M.Si.
iii
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ...i
Daftar Isi ...iii-ix
ALJABAR DAN ANALISIS
KARAKTERISTIK FUNGSIONAL DARI RUANG ATSUJI
Suarsih Utama dan Nora Hariadi – Universitas Indonesia ...AA 1-6
SIFAT SUBHIMPUNAN DI RUANG ATSUJI
Suarsih Utama dan Nora Hariadi – Universitas Indonesia ...AA 7-11
KARAKTERISTIK DIFERENSIAL SATU ROUND BARU PADA
INTERNATIONAL DATA ENCRYPTION ALGORITHM (IDEA)
Sari Agustini Hafman ...AA 12-18
STATISTIKA
APLIKASI ANALISIS STATISTIK DESKRIPTIF SPHERICAL
PADA DATA GEMPA BENGKULU
Pepi Novianti – Universitas Bengkulu ...ST 1-6
ANALISIS STATISTIKA DESKRIPTIF DALAM PEMETAAN
KEMISKINAN DI KOTA BENGKULU
Dian Agustina, Pepi Novianti, Idhia Sriliana, dan
Etis Sunandi – Universitas Bengkulu ...ST 7-18
PERBANDINGAN METODE PERAMALAN ANTARA ARIMA
DAN SARIMA DALAM MEMODELKAN FLUKTUASI DEBIT AIR
(Studi Kasus : Data Debit Air Pembangkit Listrik Tenaga Air Musi)
Jose Rizal – Universitas Bengkulu …ST 19-26
PEMILIHAN MODEL SEMIVARIOGRAM TERBAIK PADA DATA
SPATIAL DENGAN APLIKASI METODE PROGRAM LINIER
(Studi Kasus : Data Kejadian Gempa di Wilayah Pesisir Bengkulu)
Fachri Faisal – Universitas Bengkulu ...ST 27-37
iv
ESTIMASI MODEL JUMLAH LEUKOSIT PENDERITA LEUKIMIA
MENGGUNAKAN PENDEKATAN REGRESI SPLINE TRUNCATED
DENGAN KUADRAT TERKECIL TERBOBOTI
Idhia Sriliana – Universitas Bengkulu …ST 38-44 PELUANG SUATU TIM UNTUK MENCAPAI PERINGKAT
TERTENTU DALAM SUATU TURNAMEN : STUDI KASUS
SEPAKBOLA LIGA INGGRIS MUSIM KOMPETISI 2011/2012
Liem Chin dan Benny Yong – Universitas Katolik Parahyangan …ST 45-54
KKN PPM STATISTIKA PEMERINTAHAN
Neva Satyahadewi, Mariatul Kiftiah, dan
Dadan Kusnandar – Universitas Tanjungpura ...ST 55-60
MATEMATIKA PENDIDIKAN
EKSPLORASI PENGETAHUAN MATEMATIKA MASYARAKAT
MELALUI RANCANGAN DAN IMPLEMENTASI TUGAS TEMATIK
Patricia VJ Runtu dan
Christophil Medellu – Universitas Negeri Manado ...MP 1-10
DISPOSISI MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU
MATEMATIKA
Dadang Juandi, Eyus Sudihartinih, dan
Ririn Sispiyati – Universitas Pendidikan Indonesia ...MP 11-18
VALIDASI MODUL APLIKASI KOMPUTER DENGAN PROGRAM
WINGEOM PADA MATERI GEOMETRI
Tika Septia dan Merina Pratiwi – STKIP PGRI Sumatera Barat ...MP 19-26
PENINGKATAN KEMAMPUAN PEMAHAMAN MATEMATIK
DENGAN PENDEKATAN HANDS-ON ACTIVITY
(Penelitian Kuasi Eksperimen Pada Siswa SMP Kelas VIII di
Kota Bandung)
Jarnawi Afgani Dahlan – Universitas Pendidikan Indonesia ...MP 27-34
PENCAPAIAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS SISWA SMP
DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN
STRATEGI REACT
Nia Yuni Saputri, Tatang Herman, dan
Kusnandi – Universitas Pendidikan Indonesia ...MP 35-45
v
MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MAHASISWA DENGAN
MODEL PEMBELAJARAN AIR PADA MATA KULIAH
EVALUASI PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Putu Suarniti Noviantari dan
I Made Dharma Atmaja – Universitas Mahasaraswati Denpasar ...MP 46-50
PENINGKATAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH
MATEMATIS MAHASISWA BERDASARKAN MODEL
PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE TEAM ASSISTED
INDIVIDUALIZATION (TAI) PADA MATA KULIAH
TEORI PELUANG
Georgina Maria Tinungki – Universitas Hasanuddin ...MP 51-60
PENGEMBANGAN MEDIA KATROL BILANGAN UNTUK
PEMBELAJARAN BILANGAN BULAT DI SEKOLAH DASAR
Haris Wisudiatma, Sri Harmini, dan
Endang Setyo Winarni – Universitas Negeri Malang ...MP 61-69
ANALISIS PENGEMBANGAN MODUL TRIGONOMETRI
Villia Anggraini dan Hamdunah – STKIP PGRI Sumatera Barat ...MP 70-74
PENGEMBANGAN STRATEGI AJAR KEMAMPUAN BERPIKIR
LOGIS MATEMATIS MAHASISWA PADA PENERAPAN MATERI
TRANSPORTASI DAN PEMODELAN MATA KULIAH RISET
OPERASI TERHADAP PEMBERLAKUAN KEBIJAKAN ASEAN
TRADE IN GOODS AGREEMENT (ATIGA)
(Studi Kasus Pemodelan dan Transportasi Pada Komuditas Batu Alam
dan Rotan Diantara Negara Anggota MEA)
Alif Ringga Persada – IAIN Syekh Nurjati Cirebon ...MP 75-82
DESAIN DIDAKTIS KONSEP LUAS DAERAH BELAH KETUPAT
PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA SMP
Alin Meilina dan Rosita Mahmudah – Universitas Pendidikan Indonesia ...MP 83-91
JARINGAN SYARAF TIRUAN METODE BACK PROPAGATION
UNTUK PENJURUSAN SISWA SMA
Ulfasari Rafflesia – Universitas Bengkulu ...MP 92-98
KAJIAN MODEL PEMBELAJARAN : PENDEKATAN COGNITIVE
APPRENTICESHIP MODEL CASE BASED REASONING DALAM
PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Rina Oktaviyanthi – Universitas Serang Raya ...MP 99-107
vi
MATEMATIKA TERAPAN
ANALISIS PERBANDINGAN BARISAN BIT PSEUDORANDOM
YANG DIHASILKAN ALGORITMA SOSEMANUK DAN HC-128
TERHADAP KESERAGAMAN DISTRIBUSI P-VALUE UJI NIST
Desi Wulandari – Lembaga Sandi Negara ...MT 1-6
ESTIMASI VOLATILITAS DAN VALUE AT RISK INDEKS LQ45
DENGAN GENERALIZED PARETO DISTRIBUTION
Yunita Wijaya, Kie Van Ivanky Saputra, dan
Kim Sung Suk – Universitas Pelita Harapan ...MT 7-14
SINGLE-OBJEKTIF DAN MULTI-OBJEKTIF OPTIMISASI
PORTOFOLIO DENGAN UKURAN RESIKO MEAN-VARIANCE
MENGGUNAKAN DIFFERENTIAL EVOLUTION
Yohanis Ndapa Deda – Institut Teknologi Bandung, Universitas Nusa
Cendana, Kupang
Kuntjoro Adji Sidarto – Institut Teknologi Bandung ...MT 15-20
GUESSING ATTACK PADA PROTOKOL KRITOGRAFI
Arif Fachru Rozi …MT 21-24
SUB-BLOK AKTIF SPN TERBAIK UNTUK SERANGAN
KRIPTANALISIS DIFERENSIAL
Arif Fachru Rozi …MT 25-31
APLIKASI MATEMATIKA DALAM PEMODELAN RISIKO
BENCANA TSUNAMI
Yulian Fauzi – Universitas Bengkulu ...MT 32-36
PENGKLASTERAN DATA DENGAN MENGGUNAKAN METODE
MONOTETIS (STUDI KASUS PADA DATA KELUARGA)
Kania Sawitri – ITENAS ...MT 37-42
KONTROL OPTIMAL PADA MODEL EPIDEMIOLOGI TIPE SVIR
DENGAN MEMPERHATIKAN REINFEKSI
Jonner Nainggolan – Universitas Cenderawasih Jayapura ...MT 43-49
IMPLEMENTASI MODEL HARGA OPSI BASKET BERBASIS
COPULA LEVY
Syofia Rani, Bevina D. Handari, dan
Hendri Murfi – Universitas Indonesia ...MT 50-56
vii
PENENTUAN PREMI TUNGGAL BERSIH UNTUK ASURANSI
JIWA BERJANGKA UNIT LINK DENGAN GARANSI
Siska Yosmar dan Syahrul Akbar – Universitas Bengkulu ...MT 57-63
BIFURKASI SADDLE-NODE PADA MODEL SIR DENGAN LAJU
INSIDENSI YANG TAK LINEAR DAN ADANYA PERAWATAN
Marsha Ad Georli, Livia Owen, dan
Benny Yong – Universitas Katolik Parahyangan ...MT 64-74
MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN INFEKSI HIV PADA
KOMUNITAS INJECTING DRUG USERS
Iffatul Mardhiyah – Universitas Gunadarma
Hengki Tasman – Universitas Indonesia ...MT 75-82
SYARAT CUKUP BEROSILASI DAN TIDAK BEROSILASI
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN ORDE DUA
Maulana Malik – Universitas Gunadarma ...MT 83-89
IMPLEMENTASI ALGORITMA PARTICLE SWARM OPTIMIZATION
PADA KALIBRASI MODEL HARGA OPSI HESTON
Ilham Falani, Bevina D. Handari, dan
Gatot F. Hertono – Universitas Indonesia ...MT 90-96
SPN CIPHER MODIFIKASI
Sari Agustini Hafman dan Khairun Nisa ...MT 97-101
MODEL TRINOMIAL HARGA OPSI EROPA
Fitriani Agustina dan Entit Puspita – Universitas Pendidikan Indonesia ...MT 102-106
ANALISIS PERKEMBANGAN OTAK JANIN DENGAN
MENGGUNAKAN METODE ISOMAP
Rifki Kosasih dan Achmad Fahrurozi – Universitas Gunadarma ...MT 107-113
MAHASISWA
PEMODELAN FAKTOR YANG MEMPENGARUHI PERSENTASE
PENDUDUK MISKIN PROVINSI PAPUA MENGGUNAKAN
REGRESI SEMIPARAMETRIK SPLINE DALAM RANGKA
MENGHADAPI ASEAN ECONOMIC COMMUNITY 2015
Eka Oktaviana Romaji, Wahyu Kurnia Dewi Nastiti, Zahrotun Nisaa’,
Avinia Aisha Widhesaputri, dan
Reta Noorina Prastika – Institut Teknologi Sepuluh Nopember …MS 1-8
viii
TAKSIRAN JACKKNIFE RIDGE REGRESSION SEBAGAI
TAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI LINIER BERGANDA
PADA KASUS MULTIKOLINIERITAS
Effrida Betzy Stephany, Siti Nurrohmah, dan
Ida Fithriani – Universitas Indonesia …MS 9-16
DISTRIBUSI GAMMA-HALF NORMAL
Kania Rianti, Siti Nurrohmah, dan
Ida Fithriani – Universitas Indonesia ...MS 17-25
PENGGUNAAN METODE BAYES DALAM PENAKSIRAN
UKURAN POPULASI YANG MEMPUNYAI NOMOR SERIAL
Mario Valentino Nara, Ida Fithriani, dan
Siti Nurrohmah – Universitas Indonesia ...MS 26-32
KAJIAN SKEMA E-VOTING DALAM APLIKASI SKEMA SECRET
SHARING BERBASIS CHINESE REMAINDER THEOREM (CRT)
DENGAN MENGGUNAKAN BARISAN MIGNOTTE
Widuri Lisu dan Kiki Ariyanti Sugeng – Universitas Indonesia ...MS 33-40
IMPLEMENTASI ATURAN KUADRATUR NEWTON-COTES
DENGAN KOREKSI PADA BATAS DAN MODIFIKASINYA
Bevina Desjwiandra H., Gatot Fatwanto Hertono, dan
Yola Fowell – Universitas Indonesia ...MS 41-48
OPTIMASI PORTOFOLIO DENGAN KENDALA BUY-IN
THRESHOLD
Erwin Natali Susanto dan
Liem Chin – Universitas Katolik Parahyangan ...MS 49-54
MEMINIMUMKAN RISIKO PORTOFOLIO DENGAN TARGET
RETURN MENGGUNAKAN METODE NEWTON
Andris Rachardi, Liem Chin, dan
Erwinna Chendra – Universitas Katolik Parahyangan ...MS 55-61
PREDIKSI KEBERHASILAN INDONESIA PADA POST FINAL
DAN PASCA MDGs (MILLENNIUM DEVELOPMENT GOALS) 2015
DALAM PENANGGULANGAN KEMISKINAN DAN
KELAPARAN DENGAN METODE PERAMALAN
Indah Tri Wulandari, Joshua Bonasuhul, Riskha Tri Oktaviani,
Akhmad Rayzha Naufal, dan
Sutikno – Institut Teknologi Sepuluh Nopember …MS 62-70
ix
STUDI DAMPAK UNDANG-UNDANG MINERAL DAN
BATUBARA (UU MINERBA) TERHADAP KEBERHASILAN
EKSPOR INDONESIA MENGGUNAKAN METODE ANALISIS
FAKTOR DAN CHERNOFF FACE
Fefy D. S., Indah T. W., Avinia A. W., Rya S. A., Epa Suryanto, dan
Mutiah Salamah – Institut Teknologi Sepuluh Nopember ...MS 71-78
SIFAT SUBHIMPUNAN LENGKAP DAN COMPLETELY
DISCRETE DALAM RUANG YANG MEMILIKI
ATSUJI COMPLETION
Muhammad Ihsan Prasetio, Nora Hariadi, dan
Suarsih Utama – Universitas Indonesia ...MS 79-86
PENYELESAIAN LINEAR FRACTIONAL PROGRAMMING
DENGAN MENGGUNAKAN METODE CRISS CROSS
Anggela Irene Wijaya, Taufik Limansyah, dan
Dharma Lesmono – Universitas Katolik Parahyangan ...MS 87-93
DISTRIBUSI GAMMA-PARETO
Ira Rosianal Hikmah, Siti Nurrohmah, dan
Ida Fithriani – Universitas Indonesia ...MS 94-102
EFEKTIFITAS MENCATAT DAN PRAKTIK MENGGUNAKAN
KOMPUTER SECARA LANGSUNG TERHADAP PRESTASI
BELAJAR MAHASISWA MATA KULIAH EKSPLORASI
SOFTWARE MATEMATIKA DI STKIP SURYA
Hendy Halyadi, Titi Mellyani, Aprilita, dan
Johannes H. Siregar – STKIP Surya …MS 103-107
PENENTUAN RISIKO RELATIF UNTUK PENYEBARAN
PENYAKIT DEMAN DENGUE DI KOTA BANDUNG PADA
TAHUN 2013 DENGAN MENGGUNAKAN MODEL SMR
Robyn Irawan, Benny Yong dan
Farah Kristiani – Universitas Katolik Parahyangan …MS 108-115
VALUASI VALUE AT RISK MENGGUNAKAN METODE COPULA
Felivia dan Ferry Jaya Permana – Universitas Katolik Parahyangan ...MS 116-122
MS - 87
PENYELESAIAN LINEAR FRACTIONAL PROGRAMMING
DENGAN MENGGUNAKAN METODE CRISS CROSS
Anggela Irene Wijaya1, Taufik Limansyah2, dan Dharma Lesmono3
1,2,3Universitas Katolik Parahyangan
email : [email protected], [email protected], [email protected]
Abstrak. Di dalam Penelitian Operasional terdapat berbagai jenis model matematika,
diantaranya pemrograman linear dan pemrograman non-linear yang digunakan dalam
memodelkan masalah yang ada untuk memperoleh hasil yang optimal. Pada makalah ini akan
dibahas kasus khusus dalam pemrograman non-linear yaitu pemrograman pecahan linear
(Linear Fractional Programming atau LFP) yang nantinya dapat disederhanakan menjadi model
pemrograman linear. Selain itu, makalah ini juga akan membahas dua metode yang digunakan
untuk menyelesaikan masalah LFP yang telah disederhanakan, yaitu metode simpleks dan
metode Criss Cross.
Kata kunci : Pemrograman Linear, Metode Criss Cross, Linear Fractional Programming
1. PENDAHULUAN
Banyak model yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Penelitian
Operasional. Salah satu model yang paling efektif adalah Pemrograman Linear (Linear
Programming atau LP). Dalam model LP semua fungsi yang ada berupa fungsi linear. Banyak
pengembangan metode yang dilakukan untuk menyelesaikan masalah LP. Salah satu metode
yang terkenal adalah metode simpleks (George Dantzig – 1947). Selain metode simpleks, masih
banyak metode lain yang digunakan untuk menyelesaikan masalah LP dan pada makalah ini
akan dibahas metode yang diperkenalkan oleh Sanley Zionts pada tahun 1969 yaitu metode
Criss Cross.
Selain model LP, dalam Penelitian Operasional juga terdapat model lain yaitu pemrograman
non-linear. Dalam pemrograman non-linear terdapat salah satu model yang membahas
mengenai masalah optimasi perbandingan dari suatu fungsi objektif yaitu Fractional
Programming (FP). Dalam model FP terdapat kasus khusus yang membahas mengenai Linear
Fractional Programming (LFP). Masalah yang dibahas dalam model LFP adalah menentukan
alokasi sumber daya yang dibutuhkan sehingga dapat memaksimumkan atau meminimumkan
fungsi objektif yang berupa perbandingan. Dalam model ini tiap variabel dari fungsi kendala
berupa fungsi linear dan fungsi objektif berupa perbandingan antara dua fungsi linear.
Jika pada penyebut dari fungsi objektif masalah LFP adalah konstan, maka masalahnya dapat
diubah menjadi model LP. Oleh sebab itu, LFP dapat disederhanakan bentuknya menjadi
masalah LP melalui metode yang diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper [3]. Metode
penyederhanaan LFP menjadi LP dan penyelesaiannya menjadi pokok bahasan dari makalah ini.
2. METODE CRISS CROSS
Metode simpleks, untuk masalah primal maupun dual, memerlukan solusi dasar (primal atau
dual) yang fisibel. Permasalahannya sekarang, tidak ada yang dapat menjamin bahwa solusi
dasar fisibel tersebut dapat diselesaikan hanya dengan menambahkan variabel buatan. Pada
penambahan variabel buatan, solusi optimal tercapai hanya jika variabel buatannya bernilai nol.
Dalam jurnal yang berjudul "The Criss Cross Method For Solving Linear Programming
Problems" [1] diperkenalkan metode Criss Cross yang menghindari metode dua fase pada
metode simpleks dalam menyelesaikan masalah LP standar. Metode Criss Cross adalah sebuah
MS - 88
algoritma dengan menggabungkan masalah primal-dual dalam menyelesaikan masalah LP. Cara
kerja metode ini adalah melihat penyelesaian dasar (primal atau dual fisibel) yang terkait dan
setelah itu akan secara bergantian dilakukan iterasi (primal atau dual) hingga didapatkan
penyelesaian optimumnya.
Bentuk umum dari masalah primal dan dual yang berkaitan dengan penyelesaian menggunakan
metode Criss Cross dirumuskan sebagai berikut.
Primal :[2]
Maksimumkan 𝑍 = ∑ 𝑐𝑗𝑋𝑗
𝑛
𝑗=1
dengan fungsi kendala :
∑ 𝑎𝑖𝑗𝑋𝑗 = 𝑏𝑖
𝑛
𝑗=1
; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝑋𝑗 ≥ 0 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
Dual :
Minimumkan 𝑊 = ∑ 𝑏𝑖𝑌𝑖
𝑛
𝑖=1
dengan fungsi kendala :
∑ 𝑎𝑖𝑗𝑌𝑖 = 𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
𝑌𝑖 ≥ 0 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
Berikut adalah contoh permasalahan yang akan diselesaikan dengan menggunakan metode Criss
Cross.
Minimumkan 𝑍 = −3𝑋1 + 4𝑋2
dengan kendala :
𝑋1 + 2𝑋2 ≥ 2
3𝑋1 + 𝑋2 ≥ 4
𝑋1 − 𝑋2 ≤ 1
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 8
dan 𝑋1, 𝑋2 ≥ 0.
Solusi :
Mengubah kendala pertama dan kedua menjadi pertidaksamaan ≤ sehingga diperoleh
−𝑋1 − 2𝑋2 ≤ −2
−3𝑋1 − 𝑋2 ≤ −4 Tabel awal permasalahan di atas :
𝑋1 𝑋2 Solusi
𝑍 −3 −4 0 𝑆1 −1 −2 −2 𝑆2 −3 −1 −4 𝑆3 1 −1 1 𝑆4 1 1 8
Karena ruas kanan (kolom solusi) fungsi kendala dan koefisien fungsi tujuan (baris 𝑍)
masih ada yang bernilai negatif, maka untuk iterasi pertama bebas dipilih apakah ingin
menggunakan iterasi dengan kriteria primal atau dual. Akan digunakan kriteria dual
terlebih dahulu dan selanjutnya secara bergantian akan digunakan kriteria primal hingga
mencapai kondisi yang optimum.
MS - 89
Iterasi I Pada kriteria dual langkah awal adalah mencari baris pivot dengan nilai ruas kanan
(kolom solusi) yang paling negatif. Selanjutnya akan dicari kolom pivot dengan melihat
rasio antara elemen pada baris 𝑍 yang bernilai positif dengan nilai mutlak elemen pada
baris pivot.
𝑋1 𝑋2 Solusi
𝑍 −3 −4 0 𝑆1 −1 −2 -2
𝑆2 −3 −1 −4 𝑆3 1 −1 1 𝑆4 1 1 8
Rasio − 4 −
Selanjutnya, tukar posisi 𝑆2 dan 𝑋2 sebagai pertukaran antara variabel dasar dengan
variabel bukan dasar. Setelah itu, akan ditentukan elemen pivot yang baru yaitu
1/(elemen pivot lama). Pada baris yang memuat elemen pivot, nilainya dikalikan
dengan elemen pivot baru, sedangkan untuk kolom yang memuat elemen pivot, nilainya
dikalikan dengan –(elemen pivot baru).
𝑋1 𝑆2 Solusi
𝑍 4 𝑆1 2 𝑋2 3 −1 4 𝑆3 1 𝑆4 −1
Untuk pengisian entri yang lain, akan digunakan metode Gauss-Jordan. yaitu:
𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑚𝑎 − (𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝑙𝑎𝑚𝑎 ×
𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑢)
Sehingga diperoleh tabel baru
𝑋1 𝑋2 Solusi
𝑍 −15 4 −16 𝑆1 5 2 6
𝑋2 3 −1 4 𝑆3 −2 1 −1 𝑆4 4 −1 5
Iterasi II Karena solusi dari iterasi I masih belum optimal (baik primal maupun dual), maka
iterasi II akan menggunakan kriteria yang berselingan dengan iterasi I yaitu kriteria
primal. Langkah awal pada kriteria primal adalah menentukan kolom pivot dengan
melihat elemen baris 𝑍 yang bernilai paling negatif. Selanjutnya akan dicari baris pivot
dengan melihat rasio antara elemen pada ruas kanan (kolom solusi) yang bernilai positif
dengan nilai mutlak elemen pada kolom pivot.
𝑋1 𝑆2 Solusi Rasio
𝑍 −15 4 −16 − 𝑆1 5 2 6 6/5 𝑋2 3 −1 4 4/3 𝑆3 −2 1 −1 − 𝑆4 4 −1 5 5/4
Selanjutnya, tukar posisi 𝑆1 dan 𝑋1 sebagai pertukaran antara variabel dasar dengan
variabel bukan dasar. Untuk pengisian entri baru, baik elemen pivot maupun yang lain,
akan digunakan aturan yang sama dengan iterasi I sehingga diperoleh tabel baru
𝑆1 𝑆2 Solusi
𝑍 3 −2 2 𝑋1 1/5 −2/5 6/5
MS - 90
𝑋2 −3/5 1/5 2/5 𝑆3 2/5 1/5 7/5 𝑆4 −4/5 3/5 1/5
Iterasi III
Pada iterasi II seluruh ruas kanan kendala sudah bernilai positif, namun pada baris 𝑍
masih ada yang bernilai negatif sehingga akan dilanjutkan kembali iterasi dengan
menggunakan kriteria primal. Dengan cara yang sama seperti iterasi II, dapat diperoleh
baris dan kolom pivotnya sebagai berikut
𝑆1 𝑆2 Solusi Rasio
𝑍 3 −2 2 −
𝑋1 1/5 −2/5 6/5 3
𝑋2 −3/5 1/5 2/5 2
𝑆3 2/5 1/5 7/5 7
𝑆4 −4/5 3/5 1/5 1/3
Selanjutnya, tukar posisi 𝑆4 dan 𝑆2 sebagai pertukaran antara variabel dasar dengan
variabel bukan dasar. Untuk pengisian entri baru, baik elemen pivot maupun yang lain,
akan digunakan aturan yang sama dengan iterasi I sehingga diperoleh tabel baru
𝑆1 𝑆4 Solusi
𝑍 1/3 10/3 8/3 𝑋1 −1/3 2/3 4/3 𝑋2 −1/3 −1/3 1/3 𝑆3 2/3 −1/3 1/3 𝑆4 −4/3 5/3 1/3
Pada iterasi III telah diperoleh tabel optimal, sehingga solusi optimal dari masalah
tersebut yaitu 𝑋1 = 11
3 dan 𝑋2 =
1
3 dengan nilai optimal fungsi objektifnya 𝑍 = 2
2
3 .
3. PENYEDERHANAAN MODEL LFP
Berikut ini akan dipaparkan metode dari Charnes dan Cooper [3] dalam mengubah kasus LFP
menjadi LP. Misal diberikan masalah LFP sebagai berikut:
Fungsi objektif : (maksimum atau minimum)
𝑍 =𝑎1𝑋1+⋯+𝑎𝑛𝑋𝑛+𝑎𝑛+1
𝑐1𝑋1+⋯+𝑐𝑛𝑋𝑛+𝑐𝑛+1 (1)
dengan fungsi kendala :
∑ 𝐴𝑖𝑗𝑋𝑗 ≤ 𝑏𝑖
𝑛
𝑗=1
untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚, dan syarat tak negatif :
𝑋𝑗 ≥ 0 ; untuk 𝑗 = 1,2, …,n
Misal 𝑐1𝑋1 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑋𝑛 + 𝑐𝑛+1 > 0 dan =1
𝑐1𝑋1+⋯+𝑐𝑛𝑋𝑛+𝑐𝑛+1 , kemudian disubtitusikan ke
persamaan (1), maka diperoleh :
Fungsi objektif : (maksimum atau minimum)
𝑍 = 𝑎1𝑋1𝑊 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑋𝑛𝑊 + 𝑎𝑛+1𝑊 (2)
dengan fungsi kendala :
𝑐1𝑋1𝑊 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑋𝑛𝑊 + 𝑐𝑛+1𝑊 = 1
∑ 𝐴𝑖𝑗𝑋𝑗𝑊 − 𝑏𝑖𝑊 ≤ 0
𝑛
𝑗=1
untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan syarat tak negatif :
𝑊 ≥ 0; 𝑋𝑗 ≥ 0; untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
MS - 91
Dengan memisalkan 𝑌𝑗 = 𝑋𝑗𝑊 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, maka persamaan (2) menjadi :
Fungsi objektif : (maksimum atau minimum)
𝑍 = 𝑎1𝑌1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑌𝑛 + 𝑎𝑛+1𝑊 (3)
dengan fungsi kendala :
𝑐1𝑌1 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑌𝑛 + 𝑐𝑛+1𝑊 = 1
∑ 𝐴𝑖𝑗𝑌𝑗 − 𝑏𝑖𝑊 ≤ 0
𝑛
𝑗=1
untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan syarat tak negatif :
𝑊 ≥ 0; 𝑌𝑗 ≥ 0; untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
Dengan hasil yang didapatkan pada persamaan (3) berupa masalah LP, masalah tersebut akan
diselesaikan menggunakan metode simpleks dan pada bagian selanjutnya akan diselesaikan
dengan menggunakan metode Criss Cross.
4. PENYELESAIAN LFP DENGAN METODE SIMPLEKS
Berikut adalah contoh kasus LFP [4] yang akan diselesaikan dengan menggunakan metode
simpleks.
Maksimumkan 𝑍 =10𝑋1+ 20𝑋2+10
3X1+ 4X2+20
dengan kendala :
𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 50 3𝑋1 + 2𝑋2 ≤ 80
dan 𝑋1, 𝑋2 ≥ 0.
Solusi:
Penyederhanaan bentuk LFP menjadi LP.
Misal 𝑊 =1
3X1+ 4X2+20, maka fungsi objektifnya menjadi :
Maksimumkan 𝑍 = 10𝑋1𝑊 + 20𝑋2𝑊 + 10𝑊
dengan kendala :
3X1W + 4X2W + 20W = 1
𝑋1𝑊 + 3𝑋2𝑊 − 50𝑊 ≤ 0 3𝑋1𝑊 + 2𝑋2𝑊 − 80𝑊 ≤ 0
dan 𝑊, 𝑋1, 𝑋2 ≥ 0.
Kemudian, misalkan kembali 𝑌𝑗 = 𝑋𝑗𝑊 (𝑗 = 1,2), maka fungsi objektifnya:
Maksimumkan 𝑍 = 10𝑌1 + 20𝑌2 + 10𝑊
dengan kendala :
3Y1 + 4Y2 + 20W = 1
𝑌1 + 3𝑌2 − 50𝑊 ≤ 0 3𝑌1 + 2𝑌2 − 80𝑊 ≤ 0
dan 𝑊, 𝑌1, 𝑌2 ≥ 0.
Penyelesaian masalah LP.
Karena kendala awal pada permasalahan di atas berupa persamaan, untuk penyele-
saiannya akan digunakan metode dua fase sehingga solusi optimal dari masalah tersebut
yaitu 𝑌1 = 0, 𝑌2 =5
26, dan 𝑊 =
3
260 atau 𝑋1 = 0 dan 𝑋2 = 16
2
3 dengan nilai optimal
fungsi objektifnya 𝑍 = 325
26 .
5. PENYELESAIAN LFP DENGAN METODE CRISS CROSS
Akan digunakan kembali contoh dari masalah LFP sebelumnya yang sudah disederhanakan
menjadi masalah LP.
Maksimumkan 𝑍 = 10𝑌1 + 20𝑌2 + 10𝑊
dengan kendala :
MS - 92
3Y1 + 4Y2 + 20W = 1
𝑌1 + 3𝑌2 − 50𝑊 ≤ 0 3𝑌1 + 2𝑌2 − 80𝑊 ≤ 0
dan 𝑊, 𝑌1, 𝑌2 ≥ 0.
Solusi :
Mengubah kendala permasalahan LP menjadi bentuk pertidaksamaan ≤ menjadi :
3Y1 + 4Y2 + 20W ≤ 1
−3Y1 − 4Y2 − 20W ≤ −1
𝑌1 + 3𝑌2 − 50𝑊 ≤ 0 3𝑌1 + 2𝑌2 − 80𝑊 ≤ 0
Tabel awal permasalahan di atas :
𝑌1 𝑌2 𝑊 Solusi 𝑍 −10 −20 −10 0 𝑆1 3 4 20 1 𝑆2 −3 −4 −20 −1 𝑆3 1 3 −50 0 𝑆4 3 2 −80 0
Iterasi I
Pada iterasi I akan digunakan kriteria primal terlebih dahulu dalam pemilihan baris dan
kolom pivotnya sebagai berikut
𝑌1 𝑌2 𝑊 Solusi Rasio
𝑍 −20 0 -
𝑆1 3 4 20 1 1/4
𝑆2 −4 −1 -
𝑆3 3 0 -
𝑆4 2 0 -
Selanjutnya tukar posisi 𝑆1dan 𝑌2 sebagai pertukaran variabel dasar dan variabel bukan
dasar. Untuk pengsian entri baru, baik elemen pivot maupun yang lain, akan digunakan
aturan sesuai dengan metode Criss Cross sehingga diperoleh tabel iterasi I sebagai
berikut
𝑌1 𝑆1 𝑊 Solusi
𝑍 5 5 90 5 𝑌2 3/4 1/4 5 1/4 𝑆2 0 1 0 0 𝑆3 −5/4 −3/4 −65 −3/4 𝑆4 6/4 −1/2 −90 −1/2
Iterasi II
Pada iterasi II akan digunakan kriteria dual dalam pemilihan baris dan kolom pivotnya
sebagai berikut
𝑌1 𝑆1 𝑊 Solusi
𝑍 90 𝑌2 5 𝑆2 0 𝑆3 −5/4 −3/4 −65 −3/4 𝑆4 −90
Rasio 4 20/3 90/65 −
Selanjutnya tukar posisi 𝑆3dan 𝑊 sebagai pertukaran variabel dasar dan variabel bukan
dasar. Untuk pengsian entri baru, baik elemen pivot maupun yang lain, akan digunakan
aturan sesuai dengan metode Criss Cross sehingga diperoleh tabel iterasi II sebagai
berikut
MS - 93
𝑌1 𝑆1 𝑆3 Solusi
𝑍 85/26 103/26 18/13 103/26 𝑌2 17/26 5/26 1/13 5/26 𝑆2 0 1 0 0 W 1/52 3/260 −1/65 3/260 𝑆4 42/13 7/13 −90 7/13
Pada iterasi II telah diperoleh tabel optimal, sehingga solusi optimal dari masalah
tersebut yaitu 𝑌1 = 0, 𝑌2 =5
26, dan 𝑊 =
3
260 atau 𝑋1 = 0 dan 𝑋2 = 16
2
3 dengan nilai
optimal fungsi objektifnya 𝑍 = 325
26 .
6. KESIMPULAN
Dari pembahasan pada makalah ini, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
Metode Criss Cross merupakan kombinasi kriteria primal dan dual dalam mencari
solusi optimum dari suatu permasalahan LP atau LFP.
Metode Criss Cross merupakan salah satu metode alternatif dalam menyelesaikan
masalah,baik LP maupun LFP, selain dengan menggunakan metode simpleks.
Metode Criss Cross dapat menghindari penggunaan variabel buatan dalam mencari
solusi dari masalah yang ada, sehingga penggunaan metode ini lebih sederhana
dibandingkan dengan menggunakan metode simpleks, khususnya metode dua fase.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Zionts, S. (1969). “The Criss Cross Method For Solving Linear Programming Problems,”
Management Science. Vol. 15, no. 7. Pg. 426–445.
[2] Taha, H. A. (2007). Operations Research: An Introduction - 8th ed. Pearson Education, Inc.
Upper Saddle River, New Jersey.
[3] Charnes, A. dan Cooper, W. (1962). “Programming with linear fractional functions,” Naval
Research Logistics Quarterly, Vol. 9. Pg. 181–186.
[4] Hillier, F. S. dan Lieberman, G. J. (2001). Introduction to Operations Research - 9th ed.
McGraw-Hill. New York.
Alamat Redaksi:Jurusan Matematika, FTIS - UNPARGedung 9, Lantai 1Jl. Ciumbule
