Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel Struktur eines Fuzzy-Systems Seminar Unscharfe Logik Robert Nickel Matrikel:

Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel

Struktur eines Fuzzy-SystemsSeminar Unscharfe Logik

Robert Nickel Matrikel: 9801835


Einführung: Fuzzy-Control


Fuzzy-System als Regelkreis



1. Fuzzifizierung(Naiv: Unscharf machen)

• Systemdefinition in Form von linguistischen Variablen (Regelgrößen, Eingabedaten, jeweils mit Wertebereich)

• Festlegen der einzelnen unscharfen Mengen (Ausprägungen der linguistischen Variablen)

• Festlegen der Zugehörigkeitsfunktionen jeder Ausprägung



Benötigte Fuzzy-Formalismen:

• (LR - ) Fuzzy-Zahlen

• (LR - ) Fuzzy-Intervalle

• Modifizierer (zur sinnvollen Interpretation der linguistischen Variablen)



Resultat:

Def: Seien X1,...,Xn Eingangsgrößen des Systems,Y die Ausgangsgröße, ling(Xi) die Menge der linguistischen Ausprägungen von Xi und Xi die Wertebereiche der Zugehörigkeitsfunktionen Xi



2. Regelbasis

Naiv: Auf welche Eingabedaten folgt welche Änderung der Steuergröße

Bsp:

IF T=heiß THEN Regler=kleinIF T=kalt THEN Regler=groß

• Regeln basieren auf Erfahrungswerten oder logischen Fakten

• Einige Regeln können gegenüber anderen bevorzugt behandelt werden


2. Regelbasis(Formal)

System von Regeln der Form:IF bedingungen THEN Y=y_var [WITH CERTAINTY=cj]

bedingungen := bedingung op bedingungen | op := AND | OR | KOMP1 |...| KOMPk

bedingung := [NOT] X1 x1_var |...| [NOT] Xn xn_var

: Kompatibilitätsoperator op : Aggregationsoperatoren cj : Vertrauensfaktor


2. Regelbasis

Vorteile:

• Erweiterbarkeit (Regeln leicht hinzufügen)

• Modularität (Jede Regel ist für sich selbständig)

• Modifizierbarkeit (kleine Änderung -> kleine Wirkung)

• Verständlichkeit (Kann praktisch jeder lesen)

• Transparenz (Entscheidnungen sofort erklärbar)



3. Inferenz(Naiv: Aus Eingaben und Regeln

sinnvolle Schlüsse ziehen)

Eingaben liegen in Form von Ausprägungen A1,...,An der linguistischen Variablen X1,...,Xn vor und können als skalare Größe (exakter Meßwert) oder als Fuzzy-Menge (toleranzbehafteter Wert) vorliegen.


3. Inferenz(Naiv: Aus Eingaben und Regeln

sinnvolle Schlüsse ziehen)

Problematik:• Wahl des Kompatibilitätsmaßes• Wahl der Aggregationsoperatoren (AND / OR / NOT ...)• Wahl der Art des Einflusses der Vertrauensfaktoren cj

• Wahl der Inferenzoperators (Folgerung aus einer Gleichung)• Wahl des Akkumulationsoperators (Zusammenfügen der Regeln)


3. Inferenz3.1 Wahl des Kompatibilitätsmaßes

Problemstellung: • Wann sind zwei Fuzzy-Mengen gleich ( A B ) ?• Bzw.: In welchem Maße ähnelt Menge A der Menge B



Lösung (Fuzzy-Metrik) :Distanzoperatoren :X x X [0,1] mit

• (A,A) = 0

• (A,B) = (B,A)

• (A,C) (A,B) + (B,C)



Beispiele für Distanzmaße von Fuzzy-Mengen:

X

X

dxxx

dxxxBA

BA

BA

F )(),(max

)(),(min1),(

X

X

X

X

dxx

dxxxx

dxx

dxxxx

xxBA

B

B

BA

A

AX

BAS )(

)(

)(

)(),(

Flächendistanz:

Schwerpunktdistanz:


3. Inferenz3.1. Wahl des Kompatibilitätsmaßes

Das daraus resultierende Kompatibilitätsmaß

1,0:),(1),( XXkompBABAkomp

Liefert ein Maß für die Gleichheit der unscharfen Mengen A und B

Sonderfall: Bei skalarem Meßwert kanngewählt werden

aBakomp B),(a


3. Inferenz3.2. Wahl der Aggregationsoperatoren

Problemstellung:

In jeder Regel Rj müssen die ermittelten Kompatibilitätsmaße Kij für Xi Ai über AND/OR oder sogenannte kompensatorische Operatoren miteinander kombiniert werden

Gesucht: Gültigkeitswert für Fuzzy-logische Aussage

K1j AND K2j OR ... KOMPk Knj



Einführung kompensatorischer Operatoren ( Mittelwerte zwischen AND und OR ) :

Def:(1) Stabilität:

(2) Monotonie:

(3) Kommutativität:

maxmin,1,01,01,0: mm

),max(),(),min( yxyxmyx

),(),( dbmcamdcba

),(),( xymyxm



Die Umsetzung von AND und OR kann über verschiedene t- bzw. s-Normen erfolgen.

Die Wahl dieser Normen unterliegt dabei keinerlei Einschränkungen und beruht hauptsächlich auf Erfahrungswerten und praktischen Gesichtspunkten

Resultat: Zu jeder Regel Rj kann nun ein Gültigkeitsgrad Gj berechnet werden.


3. Inferenz3.3. Wahl der Art des Einflusses der

Vertrauensfaktoren cj

Der Gültigkeitsgrad Gj jeder Regel kann mit einem Vertrauensfaktor cj[0,1] „skaliert“ werden. Damit kann man einigen Regeln mehr und anderen weniger Bedeutung/Vertrauen zuweisen.

- Kann über jede t-Norm geschehen

Beispiele:

• t(c,G) = c*G -> Der Einfluß der Regel wird um den Faktor c abgeschwächt

• t(c,G) = min(c,G) -> Der Einfluß der Regel ist maximal vom Grad c


3. Inferenz3.3. Wahl der Art des Einflusses der

Vertrauensfaktoren cj

Beispiel:IF geschwindigkeit = zu langsam THEN beschleunigung = positiv WITH CERTAINTY = 0.7

IF geschwindigkeit = zu schnell THEN beschleunigung = negativ WITH CERTAINTY = 1

Das Abbremsen wird bevorzugt gegenüber dem Beschleunigen behandelt


3. Inferenz3.4. Wahl des Inferenz-Operators

• Liefert in Form einer Fuzzy-Menge eine Aussage darüber, wo nach Auswertung einer einzelnen Regel Rj die Steuergröße (Output Y) gewählt werden sollte

• D.h.: Die Schlußfolgerung „THEN Y=y_var“ aus der Regelbasis muß noch mit dem gerade berechneten Gültigkeitsgrad Gj „skaliert“ werden.

• Diese „Skalierung“ kann über jede t-Norm erfolgen


3. Inferenz3.4. Wahl des Inferenz-Operators

Beispiel:IF wasser=heiß THEN wasserhahn=kalt

Gültigkeit: Gj=0.4

)(xkalt

)(,4.0 xt kalt


3. Inferenz3.5. Wahl des Akkumulationsoperators

• Jeder Regel Rj wird nun ist eine Fuzzy-Menge Ej zugeordnet, die Aussage darüber gibt, wie die Steuergröße am besten zu wählen ist

• Man hat also für jede Regel eine Empfehlung Ej , die sich stark von den anderen unterscheiden kann

• Diese Mengen müssen sinnvoll miteinander kombiniert werden

• Dies geschieht z.B. über eine bel. s-Norm (Fuzzy-OR)


3. Inferenz3.5. Wahl des Akkumulationsoperators

Beispiel:

E1 E2 E3

E*


3. Inferenz

Ergebnis der Inferenzstrategie:• Fuzzy-Menge, die angibt, wo die Steuergröße Y mehr bzw. weniger sinnvoll zu wählen ist

• Muß noch interpretiert werden !

• Bezeichnung: E*



4. Defuzzifizierung

Zwei Hauptmethoden:

• Schwerpunktsmethode (x-Koordinate des Schwerpunktes der Fläche unter E*)

• Maximummethode (eine x-Koordinate, an der die Funktion E* maximal ist)

Naiv: Sinnvolle Interpretation der unscharfen Empfehlungen


4. DefuzzifizierungVarianten der Schwerpunktmethode

COA - center of area

dxx

dxxxY

E

E

)(

)(

*

*



MCOA - modified center of area

• Empfehlungen Ej werden nicht sofort akkumuliert

• Flächenschwerpunkt der Ej (in unmodifizierter Form) ist

bereits zur Compilierzeit bekannt Muß nicht live berechnet werden

• Bildung des mit den Gültigkeitsgraden Gj gewichtete Mittel liefert Näherung für den Flächenschwerpunkt



MCOA - modified center of area

jj

jjj

G

GsY



COM - center of maximum

Weitere Vereinfachung:

Statt der Berechnung der Schwerpunkte sj wird der Mittelwert der Kerne der Ej (unmodifiziert) benutzt


4. DefuzzifizierungVarianten der Maximummethode

MOM mean of maximum


4. DefuzzifizierungVarianten der Maximummethode

LOM / ROM - left / right of maximum


Beispiel


Beispiel

Kurvenabstand x1 Innenabstand x2


Beispiel

Fahrtrichtung x3 Außenabstand x4


Beispiel


Quellen

[1] - A. Mayer - Fuzzy Logic - Addison Wesley 1993

[2] - D. Traeger - Einführung in die Fuzzy-Logik - Teubner 1993

[3] - B. Biewer - Fuzzy-Methoden - Springer 1997

Grafiken: [3]

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