UVOD Predmet naeg seminarskog rada je odluivanje u uslovima neizvjesnosti. Cilj seminarskog rada je da to vie spoznamo o samoj prirodi odluivanja, prije svega o odluivanju u uslovima neizvjesnosti. Meutim, da bismo upotpunili nae prouavanje, osvrnut emo se i na ostale oblike odluivanja. Naravno, pokuat emo rad prezentirati na nain koji e omoguiti i ostalim studentima da proire svoje znanje o izloenoj tematici. Prilikom izrade naeg rada koristili smo se sekundarnim izvorima, tj. podacima koji su ve prikupljeni u nekom ranijem istraivanju. Rad je sastavljen iz etiri dijela, pri emu e u prvom dijelu biti rijei o podjeli odluivanja prema stepenu izvjesnosti. Pri tome emo se, da bismo mogli to potpunije da pojasnimo pojam odluivanja u uslovima neizvjesnosti, osvrnuti i na druge oblike donoenja poslovnih odluka, tj. odluivanje u uslovima rizika i sigurnosti. To zbog injenice to ne bi bilo mogue shvatiti odluivanje u uslovima neizvjesnosti bez prethodnog, iako kratkog, analiziranja odluivanja u uslovima rizika. Odmah na poetku emo definisati pojam neizvjesnosti kao situaciju gdje je stanje prirode (problema koji se rjeava) nepoznato i gdje , za razliku od rizika, nije mogue doi do informacija na osnovu kojih bi se moglo odrediti (dodijeliti) vjerovatnoe nastupanja pojedinih stanja. Neizvjesnost proizilazi iz nepredvidivosti unutarnjih faktora poslovnog sistema i faktora okruenja. Okruenje u kome donosilac odluke djeluje je u pravilu izuzetno kompleksno i dinamino bez obzira da li se radi o poslovnom ili drutvenopolitikom odluivanju. U drugom dijelu, u okviru odluivanja pri neizvjesnosti bie rijei o metodama odluivanja (kriterij odluivanja): kriterij odluivanja bez odreivanja poetnih vjerovatnoa i kriterij odluivanja sa poetnim vjerovatnoama, u okviru kojeg je obraena i oekivana vrijednosti i Bayesov kriterij. U treem dijelu rada bie rijei o simulaciji kao tehnici odluivanja u uslovima neizvjesnosti, a u sklopu toga i o samom procesu simulacije, kao i tipovima simulacijskih tehnika. etvrta cjelina odnosi se na primjere iz prakse, gdje emo navesti tri primjera, koji su vezani za simulaciju, Bayesovu analizu i oekivanu vrijednost.

1

PODJELA ODLUIVANJA PREMA STEPENU IZVJESNOSTIStatistika teorija odluivanja razlikuje odluivanje u uslovima : 1. 2. 3. 4. izvjesnosti, uslovima rizika, uslovima neizvjesnosti i uslovima konflikta.

Odluivanjem u uslovima sigurnosti (izvjesnosti) donosioc odluke tano zna to e se dogoditi sa odlukom, izabere li bilo koju od mogunosti. Odluivanje u uslovima rizika karakterizira injenica to su menaderu, kao donosiocu odluka, poznate mogue verzije rjeavanja problema, meutim nisu mu sa sigurnou poznate posljedice svake od verzija. Dakle, odluivanje u uslovima rizika jest odluivanje u okolnostima u kojima rezultati nisu sigurni, ali su poznate vjerojatnosti za razliite rezultate.1 Statistiki modeli odluivanja najee se prikazuju kao skup vektora: alternativa (akcija, strategija) a i moguih okolnosti (stanja prirode) s. Kombiniranjem parametara vektora akcija sa parametrima vektora stanja obezbjeuje se odreeni efekat eij. Prikladno sredstvo prikazivanja modela odluivanja su : tabele odluivanja i stablo odluivanja. Tabela ili matrica odluivanja (matrica efikasnosti, tabela uslovnih vrijednosti) je matrica kvantitativno izraenih posljedica akcija i stanja prirode uz odreenu vjerovatnou stanja. Oekivani (uslovni) ishodi mogu se izraziti kao financijski efekti i efekti izraeni u jedinicama mjera korisnosti. Ako su financijski efekti u matrici odluivanja izraeni kao oekivani profiti ili dobit (koji mogu poprimiti i negativnu vrijednost), tabela odluivanja se naziva tabela ostvarenih finansijskih efekata (payoff table, conditional profit table), a u domaoj literature se prevodi kao tabela plaanja.

Tabela 1.1.:Matrica efikasnosti(tabela plaanja)1

Sikavica P., Poslovno odluivanje, Drugo izdanje, Zagreb 1999

2

Stanja pr ir o de a1 a2

Akcije (Aj) aj an

Sis1 s2 . si . sm e11 e21 . ei1 . em1 e12 e22 . ei2 . em2 e1j e2j . eij . emj e1n e2n . ein . emn

Ako su financijski efekti izraeni kao oportunitetni gubici, takvu tabelu zovemo tabela proputenih dobiti (opportunity loss table, regret table). U naoj literature je susreemo pod nazivom tabela aljenja.Tabela1.2.: Matrica proputenih dobiti(tabela aljenja)Stanja pr ir o de a1 a2 Akcije (Aj) aj an

Sis1 s2 . si . sm o11 o21 . oi1 . om1 o12 o22 . oi2 . om2 o1j o2j . oij . omj o1n o2n . oin . omn

ODLUIVANJE PRI NEIZVJESNOSTI

3

Odluivanje pri neizvjesnosti predstavlja najsloeniji i u praksi najei oblik odluivanja. Neizvjesnost se definie kao situacija gdje je stanje prirode (problema koji se rjeava) nepoznato i gdje , za razliku od rizika, nije mogue doi do informacija na osnovu kojih bi se moglo odrediti (dodijeliti) vjerovatnoe nastupanja pojedinih stanja. Obzirom na sloenost i u realnom ivotu uestalost potrebe za rjeavanjem problema odluivanja pri neizvjesnosti razvijena je posebna nauna disciplina koja nosi naziv analiza odluivanja. Neizvjesnost proizilazi iz nepredvidivosti unutarnjih faktora poslovnog sistema i faktora okruenja. Okruenje u kome donosilac odluke djeluje je u pravilu izuzetno kompleksno i dinamino bez obzira da li se radi o poslovnom ili drutvenopolitikom odluivanju. Osnovni razlog te sloenosti lei u injenici to je izuzetno teko razumjeti prirodu i okolnosti odigravanja faktora koji utiu na sve alternative odluivanja za posmatrani problem. Ti faktori mogu biti ekonomski, kulturoloki, institucionalni, socijalni, tehniki i faktori okruenja. Intenzitet uticaja na pojedine poslovne odluke ovisi kako od znaaja odluke tako i od vremena u kome se donosi. Donosilac odluke kroz raspodjelu vjerovatnoa treba da kvantificira uticaj kako faktora okruenja tako i unutarnjih faktora. Ovaj proces se odvija kroz analizu odluivanja a nazivamo ga ifrovanjem neizvjesnosti ili analizom neizvjesnosti. Analizu odluivanja ine sljedei koraci:2 Korak 1: Strukturiranje problema: Nabrajanje svih moguih alternativa odluivanja, stanja i odreivanja plaanja. Korak 2: Analiza neizvjesnosti: Dodjeljivanje vjerovatnoa svim moguim stanjima. Korak 3: Analiza korisnosti ili preferencija: Dodjeljivanje preferencija za rizine posljedice. Korak 4: Izbor optimalne akcije: Izbor se vri na osnovu kriterija oekivane novane vrijednosti ili kriterija oekivane korisnosti. Korak 5: Prikupljanje novih informacija (evidencija): Prikupljanje dodatnih informacija iz odgovarajuih uzoraka radi smanjenja neizvjesnosti i izbor najbolje akcije u svjetlu novih informacija. Samu primjenu analize odluivanja, posmatrat emo kroz procesni model odluivanja. Dakle sve faktore uticaja i elemente analize odluivanja neophodno je uobliiti i prikazati kao elemente statistikog modela odluivanja. Obzirom na prisutnost neizvjesnosti , s jedne strane, i osobinama donosioca odluke izraenim u sklonosti riziku, s druge strane, modele analize odluivanja pri neizvjesnosti moemo podijeliti u etiri grupe: 1. 2. 3. 4. Odluivanje bez odreivanja apriori vjerovatnoa, Odluivanje sa apriori vjerovatnoama, Odluivanje sa pribavljanjem dodatnih informacija iz uzorka i Sekvencionalno ili vieetapno odluivanje

Metode odluivanja- kriteriji odluivanjaPostoje metode odluivanja bez odreivanja poetnih(apriori) vjerovatnoa i metode odluivanja sa poetnim vjerovatnoama.

2

upi, M.: Savremeno oluivanje, Metode i priprema, Tree izdanje, Fakultet organizacijskih nauka, Beograd 1997.

4

2.1.1. Odluivanje bez odreivanja apriori vjerovatnoa Odluivanje bez odreivanja apriori vjerovatnoa primjenjujemo onda kada donosilac odluke ne moe ili ne eli procijenit vjerovatnoe stanja prirode. U takvim situacijama model odluivanja formiramo u vidu matrice efikasnosti ili matrice proputenih dobit i na njih primjenjujemo kriterije odluivanja u uslovima neizvjesnosti. Ove kriterije nazivamo neprobalistiki kriteriji i u njih ubrajamo: 1. 2. 3. 4. 5. Max/min kriterij Max/max kriterij Min/max kriterij Hurwiczov kriterij Laplacoeov kriterij

Max/min kriterij se primjenjuje na tabelu financijskih efekata. Ovaj kriterij nazivamo jo i kriterij pesimizma zbog nesklonosti donosioca odluke riziku. Prema ovom kriteriju, odnosno strategiji koju je razvio Wald, donosioc odluke najprije za svaku altenativu utvrditi najloije rezultate kako bi zatim meu tim najloijim izabrao najbolje rjeenje. Primjenjujui ovu strategiju utvrujemo najloiju opciju (maksimalni trokovi, minimalni profit) koja se moe dogoditi a potom izaberemo najbolju od tih najloijih opcija. Ovaj pristup je konzervativan i predstavlja strategiju pesimista. Metoda se sastoji od dva koraka: Korak 1: Za svaku opciju pronai najnii profit izmeu scenarija koji se mogu dogoditi. Korak 2: S liste najniih profita izabrati rjeenje koje donosi najvii profit. Ova strategija donosi maksimum (max) od minimuma (min) pa je to i razlog zato se naziva max/min3 Donosilac smatra da su sva stanja za njega nepovoljna i zbog toga za svaku akciju aj bira minimalni financijski efekat, a zatim se izabire kao najbolja akcija, ak, za koju je prethodno izabrani minimalni efekat najvei. Izbor ak vrimo primjenom matematike relacije maxi {minj (uij)} i=1,2,...,m, j=1,2,...,n)Tabela 2.1.: Izbor metodom maxmin

Akcija S1 A1 A2 A3 1 12 9 S2 5 4 9

Dogaaj S3 16 7 5 S4 4 4 5 minj ui 1 4 5

Maximin metod maxi { minj uij }

5 (A3)

Poreenjem najgorih ishoda posmatranih akcija konstatujemo da izborom A3 ostvarujemo najvei meu minimalnim dobicima. Primjenom Valdovog metoda izbjegavamo neprijatna iznenaenja, jer izabranom akcijom postiemo najmanje max/min efekat. Pa ipak, to ne moe biti opravdanje za njegovu primjenu, jer emo eliminisati mnoge dobre alternative u korist manje povoljnih. Primjena metode max/min je opravdana u ekstremno nepovoljnim uslovima odluivanja. Na primjer, ako sve vrijednosti u tabeli odluivanja predstavljaju gubitke, onda je opravdano da3

Sikavica P., Poslovno odluivanje, Drugo izdanje, Zagreb 1999.

5

odaberemo akciju iji je maksimalni gubitak najmanji. Tada bismo ishode prikazali negativnim brojevima i izabrali akciju kojom maksimiziramo minimalnu korisnost. U ostalim sluajevima, izbori zasnovani na ovom principu nemaju racionalnog opravdanja, a dosljedna primjena ovog metoda u poslovnim odlukama bi mogla biti opasnost po privredni rast. Pretjeranom obazrivou i izborom akcija koje donose sigurne skromne dobitke, menaderi bi prije odravali status quo nego to bi doprinosili ekonomskom prosperitetu. Max/max kriterij primjenjujemo na tabelu financijskih efekata i nazivamo ga kriterij optimizma. Ovaj se kriterij koristi kod donoenja odluka tako da se najprije za svaku alternativu utvrdi najbolje rjeenje kako bi se u sljedeem koraku meu njima utvrdilo ono apsolutno najbolje.4 Donosilac odluke primjenjujui ovaj kriterij smatra da su za njega sva stanja povoljna i za svaku akciju bira najvei financijski efekat a od njih odabire onaj sa najveom vrijednou. Max/max metod se izraava matematikom relacijom: maxi {maxj (uij)} i=1,2,...,m, j=1,2,...,n)Tabela 2.2: Izbor metodom maxmax.

Akcija S1 A1 A2 A3 1 12 9 S2 5 4 9

Dogaaj S3 16 7 5 S4 4 4 5 16 12 9

Maximin metod maxj ui maxi { maxj uij } 16 ( A1 )

Trea kolona ove tabele sadri najbolje ishode posmatranih akcija, a njihovim meusobnim poreenjem zakljuujemo da je A1 najbolja opcija po ovom metodu. S druge strane, moemo vidjeti da izabrana akcija za posljedicu moe imati najgori ishod u tabeli isplata, tj. vrijednost 1 pri realizaciji dogaaja S1. Primjenjujui ovaj metod ponaamo se kao kockari koji idu na sve ili nita, tj. biramo akciju sa najboljim rezultatom i zanemarujemo ostale ishode, od kojih neki mogu bit porazni. Ako se dogodi da dvije ili vie akcija imaju identian maksimalni ishod, postupak nastavljamo tako da posmatramo samo prvoplasirane akcije i poredimo ih njihovim drugim najboljim ishodima. Ako ni tada ne donesemo odluku, proceduru emo ponavljati do konanog izbora. Primjenom max/max metoda ne moemo da branimo racionalnim argumentima, zbog ega se u literaturi on navodi kao mogua, mada rijetko i sugerisana procedura izbora. Ipak, ovu metodu moemo da koristimo u sluaju kada sve akcije imaju veoma povoljne ishode, tj. kada bi realizacija i najslabijeg ishoda bila dobro ili barem prihvatljivo rjeenje.

Metod min/max kajanja, koji je formulisao Sevid ( L. Savage ) razlikuje se od do sada navedenih metoda ve po samoj postavci problema. Ovdje se kajanje shvaa izgubljenom prilikom donosioca odluke koji si svojom odlukom nije osigurao najbolji rezultat i koji nastoji da minimizira kajanje koje se javlja nakon realizacije akcije. Mjera kajanja predstavlja razliku izmeu rezultata koji se mogao ostvariti izborom najbolje akcije i one koju je on odabrao prije4

Sikavica P., Poslovno odluivanje, Drugo izdanje, Zagreb 1999

6

nego je znao stvarno stanje. Ako izabranom akcijom ne ostvarimo najbolji mogui rezultat u datim okolnostima, onda emo se kajati to nismo izabrali onu akciju koja bi nam donijela maksimalne efekte. Zbog nemogunosti da prepoznamo najbolju alternativu, pretrpjet emo psiholoki gubitak, tj. alit emo zbog proputene anse ostvarenja veeg dobitka. Sevidov metod ne moemo da primijenimo na originalne podatke, prikazane tabelom isplata, ve je potrebno da formiramo novu tabelu. Nazivamo je tabelom gubitaka (proputenih dobitaka ili oportunitetnih gubitaka) i izvodimo je iz originalne tabele na sljedei nain: za svaki dogaaj Sj , j = 1,2,3...,n (u svakoj koloni) nalazimo najbolji ishod (maxi uij = Uj , i = 1...m); ovom ishodu pripisujemo 0 u tabeli gubitaka, jer u sluaju izbora akcije sa najboljim ishodom, u datim okolnostima nema kajanja. Kajanje se javlja ako smo izabrali jednu od preostalih akcija; prikazujemo ga razlikom izmeu najboljeg ishoda u koloni Sj , Uj i ishoda ostvarenog primjenom date akcije, tj. kij= Uj uij .5Tabela 2.3. Izbor metodom minmax

Akcija

Tabela isplata S1 S2 5 4 9 S3 16 7 5 S4 4 4 5

Tabela gubitaka S1 S2 S3 S4 11 4 0 3 5 0 0 9 11 1 1 0

Sevidov metod maxi kij 11 9 11 mini {maxj kij} A2 (9)

A1 A2 A3

1 12 9

Kada formiramo tabelu gubitaka Sevid sugerie da zauzmemo Valdov pesimistiki stav. Pri tome, moramo imati na umu da su vrijednosti u tabeli gubici, a ne dobici. Zato za svaku akciju nalazimo najvei gubitak, tj. kajanje koje moemo da iskusimo nakon njene realizacije, a zatim biramo akciju sa najmanjim meu maksimalnim kajanjima. Formalno, Sevidov metod glasi: mini {maxj (Uj -uij )}= mini {maxj kij}, i=1,2,...,m, j=1,2,...,n, a njegovom pripremom izabrat emo akciju A2. Hurwiczov kriterij predstavlja balans izmeu kriterija optimizma i kriterija pesimizma. Ovaj kriterij se primjenjuje kako na tabelu efekata tako i na tabelu aljenja. Na osnovu Hurwiczovog kriterija ili tzv. metoda optimizma-pesimizma, akcije se ocjenjuju na osnovu njihovih ekstremnih ishoda. Da bismo bili konzistentni u ocjenjivanju, ekstremne ishode svih akcija treba da vrednujemo na isti nain. Zato svaku akciju ocjenjujemo na osnovu ponderisanog zbira njenog najboljeg i najgoreg rezultata, pri emu su ponderi jednaki za sve akcije. Najbolji ishod mnoimo tzv. indeksom optimizma, (0 1), a najslabiji ishod njegovim komplementom, 1-. Hurwiczov metod glasi: maxi {(maxj uij ) + (minj uij) (1-)} i=1,2,...,m, j=1,2,...,n.

5

Pavlii, D. : Teorija odluivanja, Ekonomski fakultet, Beograd 2004.

7

Pondere biramo subjektivno, po linom nahoenju. Ako smo npr.,izabrali indeks optimizma =0,4, onda emo primjenom Hurwiczovog metoda izabrati akciju A2, sa najveom vrijednou ponderisnog zbira.Tabela 2.4. :Izbor Hurwiczovom metodom

Akcija A1 A2 A3

Najgori ishod minj (uij)= ui 1 4 5

Najbolji ishod maxj (uij )=Ui 16 12 9

Hurwiczov metod Ui + ui (1-) 160,4+10,6=7 120,4+40,6=7,2 90,4+50,6=6,6

Optimalna akcija

A2 (7,2)

Hurwiczov metod ima i znaajne nedostatke zbog kojih je izloen opravdanim prigovorima.Tabela 2.5.

Akcija A1 A2

Dogaaj S1 S2 S3 ... Sj... Sn 1 0 0 1 0... 0.... 0 1...1... 1

Hurwiczov metod Ui+ ui (1-) 1+ 0(1-)= 1+ 0(1-)= Optimalna akcija A1 A2

Primjenom Hurwiczovog metoda, dvije akcije prihvatili bismo kao jednako povoljne. Oslanjajui se samo na njihove ekstremne uslove, ovaj metod znaajno osiromauje informacionu osnovu i problem svodi na sljedei izbor: A1 A2 1 0 0 1

Teko je argumentovano braniti metod koji ne pravi razliku izmeu akcije A2 ( kojom u svim okolnostima, sa izuzetkom jedne, postiemo najbolji rezultat) i akcije A1 ( kojom u svim okolnostima, sa izuzetkom jedne, ostvarujemo najgori rezultat). Laplaceov kriterij racionalnosti Pretpostavka od koje je poao Laplace u svome kriteriju je sljedea: u koliko nema nikakve realne osnove za davanje prednosti nekom stanju u odnosu na neko drugo stanje, onda je najbolje svim stanjima dodijeliti podjednaku vjerovatnost dogaaja. Budui da nema raspoloivih informacija o tome je li jedan ishod vie ili manje vjerovatan u odnosu na bilo koji drugi, strategija oekivane vrijednosti moe biti koritena samo uz pretpostavku kako su svi ishodi jednako vjerovatni, u emu je i sutina Laplaceovog kriterija racionalnosti.6 Ako su nam vjerovatnoe nepoznate, moemo na primjer, da pretpostavimo njihovu jednakost. Laplaceov postulat: Ako nita ne znam o buduim dogaajima, onda mogu smatrati da su oni jednako vjerovatni, naziva se i principom nedovoljnog razloga. Okolnosti prikazujemo kompletnim skupom meu sobom iskljuujuih dogaaja, Sj, j=1,2,...,n. To znai da se jedan od6

Sikavica P., Poslovno odluivanje, Drugo izdanje, Zagreb 1999

8

njih mora javiti, kao i da pojava jednog dogaaja automatski iskljuuje mogunost pojave bilo kog drugog dogaaja, iz ega slijedi da je vjerovatnoa svakog pojedinog dogaaja jednaka 1/n.7 U naem primjeru broj moguih dogaaja je 4, pa je pj =1/4, j=1,2,3,4, i pj =1.Tabela 2.6.

Akcija S1 A1 A2 A3 Vjerovatnoa 1 12 9 S2 5 4 9

Dogaaj S3 16 7 5 S4 4 4 5 j (1/4) uij 6,5 6,75 7

Laplaceov metod maxi {j (1/4) uij

A3 (7)

Kada u tabeli odluivanja pojedinim dogaajima pridruimo jednake vjerovatnoe, zadatak se svodi na izraunavanje oekivanih korisnosti akcija, koju izraunavamo kao ponderisani zbir korisnosti njenih moguih ishoda, gdje su ponderi vjerovatnoe pojedinih ishoda. Laplaceovim metodom biramo akciju sa najveom oekivanom korisnou. Izraen simbolima metod glasi: maxi {j pj uij }= maxi {1 (1/n) uij }= maxi {(1/n)j uij }, i=1,2,...,m, j=1,2,,...,n, pa bismo njegovom primjenom izabrali akciju A3. Ovaj metod izbora bazira se na svim ishodima iz matrice isplata, to predstavlja njegov kvalitet. Meutim, pretpostavka o jednakim vjerovatnoama javljanja svih dogaaja izaziva osjetljivost rezultata na promjene u broju dogaaja. Poznato je da dogaaj moemo da definiemo sa razliitom preciznou, pa i da jedan dogaaj moemo da razloimo na vie podstanja, u kojima ishodi akcija ostaju nepromjenjeni. Promjena broja dogaaja (n) u tabeli odluivanja izaziva promjenu njihovih vjerovatnoa (pi =1/n),koje zatim utiu na ocjene posmatranih akcija. 2.1.2. Odluivanje sa apriori vjerovatnoama Odluivanje sa apriori vjerovatnoama podrazumijeva odluivanje u kome se donosilac odluke ne eli izlagati rizinom ponaanju prema posljedicama. Procedure odreivanje apriori vjerovatnoa opisane su u razmatranju problema odluivanja za sluaj rizika. Za donoenje odluka u ovakvim sluajevima razvijen je model odluivanja koji je prikazan u matrici efikasnost i matrici proputenih dobiti . Donosilac odluke konaan izbor vri primjenom kriterija odluivanja koje nazivamo probalistiki kriteriji i u koje ubrajamo:8 1. 2. Kriterij oekivane novane vrijednosti ili kriterij oekivane korisnosti Bayesova analiza odluivanja

Kriterij oekivane novane vrijednosti koristimo u sluajevima kada smo unaprijed subjektivno odredili vjerovatnoe stanja prirode. Primjenjuje se na matricu efekata i matricu7 8

Pavlii, D. : Teorija odluivanja, Ekonomski fakultet, Beograd 2004. Umihani B., Praktikum vjebi iz poslovnog odluivanja

9

proputenih dobit a kriterij odluivanja je maxsimalna odnosno minimalna oekivana novana vrijednost. Kriterij oekivane novane vrijednosti i kriterij oekivane korisnosti esto se u literaturi spominje i kao Bayesov kriterij odluivanja to nije tano ali zato predstavlja preteu Bayesovog kriterija odluivanja. Ovaj kriterij u izboru najpovoljnije akcije ukljuuje subjektivne vjerovatnosti. Oekivana novana vrijednost se moe definisati i sljedeom relacijom: EV( a j ) = eij P ( si ).......... j = 1,2,...., ni =1 m

Odluka:

max EV (a j ) = EV (a k ), EV (a k ) = eik P ( si )j i =1

m

pri emu je : EV (aj) = oekivana vrijednost dobiti akcije aj; eij = dobit ostvarena pri stanju si , ako se provede akcija aj; P(si) = poetna subjektivna vjerovatnoa stanja si

Bayesov kriterijKombinovanjem apriori vjerovatnoa sa vjerovatnoama dobivenim iz dodatne informacije vrimo primjenom Bayesove formule i dobivamo nove vrerovatnoe koje nazivamo aposteriorne vrjerovatnoe ili Bayesove vjerovatnoe. Bayesove vjerovatnoe su pod direktnim uticajem vjerovatnoa dobivenih iz dodatne informacije to znai da e konaan rezultat biti determinisan veliinama ovih vjerovatnoa . Bayesova analiza odluivanja se provodi u etiri faze:9 1. Prethodna (apriori) analiza u ovoj fazi problem prikazujemo tabelom odluivanja i na osnovu poetno odreenih ( apriori ) vjerovatnoa dogaaja izraunavamo oekivane vrijednosti akcija. Izraunavamo i oekivanu vrijednost potpune informacije ( OVPI ). Na osnovu nje odluujemo da li da odmah izvrimo konaan izbor ili da odluku odloimo i pribavimo dopunsku informaciju. Ako je vrijednost OVPI mala, onda dopunsku informaciju ne nabavljamo, ve odmah donosimo odluku, tj. biramo akciju sa maksimalnom oekivanom vrijednou. U protivnom, ako je OVPI velika, pristupamo slijedeoj fazi.

2. Preaposteriorna analiza (analiza prije naknadne analize) U ovoj fazi nastojimo da otkrijemo pouzdane izvore informacija, ije angaovanje ima ekonomsko opravdanje. Cijena informacija treba da bude niska a dosadanje iskustvo sa izabranim izvorom informacija treba da je pozitivno, u smislu da su prethodne prognoze bile pouzdane. 3. Aposteriorna (naknadna) analiza Ako se kupovina dopunske informacije pokazala opravdanom, onda je nabavljamo, i u njenom svjetlu mijenjamo poetne vjerovatnoe dogaaja. Zatim, primjenom korigovanih, aposteriori vjerovatnoa izraunavamo oekivane vrijednosti posmatranih akcija i na osnovu dobijenih rezultata vrimo izbor.4. Budua analiza Mogue je da novi rezultati pokrenu nova pitanja i ukau na potrebu za novim informacijama . Tada se cijeli postupak ponavlja. Sa svakim slijedeim ukljuenjem dopunskih informacija, prethodno izraunate aposteriori vjerovatnoe tretiramo kao poetne apriori vjerovatnoe, zatim vrimo njihovu korekciju u nove9

Pavlii, D. : Teorija odluivanja, Ekonomski fakultet, Beograd 2004.

10

aposteriori vjerovatnoe, sve dok konano ne odustanemo od prikupljanja novih informacija i pristupamo izboru akcija. Bayesova teorema: Bayesova teorema nam omoguuje da, u svjetlu prikupljenih informacija, izvrimo korekcije svojih uvjerenja u realizaciju posmatranih dogaaja. Posmatrajmo kompletan skup disjunktnih dogaaja, S={ S1, S2,....., Sj ..., Sn}. To znai da se jedan od dogaaja mora realizovati, j P(Sj)=1, kao i da realizacija jednog dogaaja iskljuuje pojavu ostalih dogaaja. Posmatrajmo dogaaj I, koji se moe javiti samo ako se javi jedan od dogaaja Sj, j=1,2,...,n. Vjerovatnoa javljanja dogaaja Sk , pod uslovom da se dogaaj I ve realizovao, jednaka je:

P( S K ) P( I S K )P(Sk I)= pri emu su:

P( I )

=

P( S K ) P ( I S K ) P ( S j ) P ( I Sj )j =1 n

,

k=1,2,...,n.

P(Sj ) - vjerovatnoa dogaaja Sj ( poetna, a priori); P(I) - vjerovatnoa dogaaja I; P(I Sj ) - vjerovatnoa dogaaja I pod uslovom da se dogaaj Sj realizovao; P(Sj I) - vjerovatnoa dogaaja Sj pod uslovom da se dogaaj I realizovao ( korigovana, a posteriori). 3. SIMULACIJA U POSLOVNOM ODLUIVANJU 3.1. Definisanje pojma simulacije Sam termin simulacija (lat.simulatio) bi se mogao prevesti kao pretvaranje ili ponaanje kao da je stvarno tako. esto se za simulaciju koristi i naziv statistiko modeliranje a i Monte-Carlo tehnika koja ustvari predstavlja osnovnu metodu simulacije. Simulaciju koristimo u situacijama kada je previe teko i skupo eksperimentisati u realnoj situaciji. Ona nam omoguava da efekte odluke testiramo na simulacijskom modelu prije nego je primijenimo. Simulacijski model oponaa sistem pod istragom, studiranjem interakcija izmeu svojih komponenti. Ove interakcije moemo utvrditi matematiki i statistiki. Prouavanjem simulacijskog modela moemo utvrditi i stvarne zakonitosti u odnosima meu elementima sistema. Simuliranje znai dovoenje modela jednog sistema u primjerene situacije i posmatranje efekata koje oni proizvode. Simulacija nam omoguava: Stvaranje modela koji se lako modificiraju ; Realizovanje uslova oprobavanja, koji bi inae bili mogui samo uz veliki troak vremena i novca; Prouavanje ponaanja sistema pri promjeni veliina koje utiu na njega. Prema tome, moemo zakljuiti da je simulacija jednostavan metod analiziranja problema kreiranjem modela koji mogu biti manipulisani metodom pokuaja i greaka. Model treba biti aproksimativan pravoj situaciji i sigurno kako aproksimacija postaje blia, tee e biti

11

analizirati model i to e zahtjevati vie vremena. Sposobnost menadera lei u nainu na koji on balansira realnost ovog modela sa naporom koji e biti potreban za iznalaenje odgovora na njegov problem.10

3.2. Simulacijski proces Simulacijski proces je struktura rjeavanja stvarnih problema pomou simulacijskog modeliranja. On se moe prikazati u obliku niza koraka koji opisuju pojedine faze rjeavanja problema ovom metodom. Osnovni koraci simulacijskog procesa su: 1) 2) 3) 4) 5) Definicija cilja simulacijske studije Identifikacija sistema Skupljanje podataka o sistemu i njihova analiza Izgradnja simulacijskog modela Izgradnja simulacijskog programa

Tokom rada na fazama 4 i 5 moe se pokazati potreba za dopunom koraka 3 (skupljanje i analiza dodanih podataka o sistemu). 6) 7) 8) 9) 10) Verificiranje simulacijskog programa Vrednovanje simulacijskog modela Planiranje simulacijskih eksperimenata i njihovo izvoenje. Analiza rezultata eksperimenata. Zakljuci i preporuke.

3.3. Tipovi simulacijskih tehnika

Prikazane podjele simulacijskih modela dovele su do formiranja etiri osnovna tipa simulacijskih modela, koji se razlikuju kako pristupom modeliranju i tipu problema koji se njima rjeavaju, tako i tehnikama modeliranja i simulacije koje su za njih razvijene. To su: - Monte-Carlo simulacija - Kontinuirana simulacija - Simulacija diskretnih dogaaja - Mjeovita kontinuirano-diskretna simulacija 3.4. Monte-Carlo simulacija

Monte-Carlo simulacija, kao to joj i ime kae, povezana je sluajnim fenomenima. MonteCarlo tehnika se poinje koristiti poslije drugog svjetskog rata. Ime je dobila po poznatom Francuskom gradu uvenom po kockarnicama. Smatra se da je ovu tehniku pronaao jedan matematiar koji je posmatrao kretanje pijanca koji se htio udaljiti od uline svjetiljke, ali se kod svakog drugog koraka zanosio u drugom pravcu tj. teturao je. On je htio izraunati koliko e se udaljiti od svjetiljke nakon odreenog broja koraka. Tako je matematiar pokuao da simulira put10

Umihani B., Praktikum vjebi iz poslovnog odluivanja

12

tog pijanca. Neki autori Monte-Carlo simulacijama zovu bilo koju vrstu programa to se koriste sluajnim brojevima. Monte-Carlo tehnika podrazumijeva koritenje sluajnim brojevima za simuliranje vrijednosti sluajne promjenjive. Tanost simulacije zavisi od broja simulacijskih krugova i to je ovaj broj vei, vei je i stepen tanosti. Razlikujemo sljedee tipove primjene Monte-Karlo simulacije: a) Deterministiki problemi koje je teko ili skupo rjeavati. Tipian primjer ovoga tipa je raunanje vrijednosti odreenih integrala koji se ne mogu rijeiti analitiki, tj. ija je podintegralna funkcija takva da se ne moe nai rjeenje u obliku matematikog izraza. Sloeni fenomeni koji nisu dovoljno poznati Druga klasa problema koji se rjeavaju Monte-Carlo simulacijom su fenomeni koji nisu dovoljno poznati da bi se mogli precizno opisati. Ovim se pristupom najee analiziraju drutveni ili ekonomski fenomeni poput rasta populacije, ekonomskih predvianja ili analize rizika odluivanja.

b)

c) Statistiki problemi koji nemaju analitikog rjeenja Statistiki problemi bez analitikog rjeenja, jedna su od irokih klasa problema kod koje se koristi Monte-Carlo simulacija. Njima npr. pripadaju procjene kritinih vrijednosti ili snaga testiranja novih hipoteza.

3.5. ta su sluajni brojeviS pojmovima sluajan broj i sluajna varijabla treba biti oprezan, jer nije jednostavno rei da li je odreeni niz brojeva sluajan, iako nam se za neki niz ini da nije sluajan (npr.1,2,3,4,1,2,3,4,.) dok bismo za drugi rekli da jest sluajan (npr.2,7,5,9,3,6). Simulacija procjenjuje rezultate sistema kroz biranje uzorka. Biranje uzorka iz bilo koje vjerovatnoe bazirano je na upotrebi sluajnih brojeva. Pri tome moraju biti ispunjeni slijedei statistiki uslovi: 1. 2. Svaki sluajan broj ima istu vjerovatnou da bude izabran, odnosno oni su uniformno rasporeeni. Sukcesivni brojevi su numerisani na intervalu (0,1), tako da su oni nezavisni i negrupisani.

Precizno govorei pod pojmom sluajni broj podrazumijevamo kontinuiranu sluajnu varijablu s uniformnom razdiobom na intervalu (0,1). Tu razdiobu oznaavat emo U (0,1). Razlikujemo sluajne brojeve kod rune i digitalne simulacije.11

3.5.1. Uloga sluajnih brojeva u simulacijskom eksperimentuSimulacijski modeli sistema ili procesa koji sadre komponente koje se sluajno ponaaju zahtijevaju odgovarajue metode generiranja sluajnih brojeva. Tokom izvoenja simulacijskog11

Umihani B., Praktikum vjebi iz poslovnog odluivanja

13

eksperimenta moe se npr. traiti generiranje vrlo velikog broja vrijednosti vremena posluivanja, veliine zahtjeva ili meuvremena dolaska koji pripadaju nekim razdiobama vjerovjatnosti. Zato je potrebno imati kvalitetan i efikasan nain generiranja vrijednosti sluajnih brojeva i varijabli. Pri tome naziv generiranje sluajnih varijabli nije najprecizniji, tj. pod tim pojmom zapravo mislimo na generiranje numerikih vrijednosti sluajnih varijabli ili odgovarajuih razdioba vjerovjatnosti. Niz generiranih vrijednosti sluajnih varijabli ini uzorak iz razdiobe vjerojatnosti te varijable. Koritenje sluajnih brojeva i varijabli u simulacijskom modelu omoguuje dakle reproduciranje nepravilnosti ponaanja elemenata sistema bez potrebe da model sadri izvanredno detaljan opis tog ponaanja. Sluajni brojevi i varijable opisuju, dakle, nepravilno ponaanje u komprimiranom obliku. 3.5.2.Sluajni brojevi kod rune simulacije Za runu simulaciju sluajni brojevi mogu biti izabrani na razne naine. Tako imamo: 1. Biranje sluajnih brojeva elektronskim simuliranjem ruleta iji su sektori cifre 0,1,2,,9; 2. Bacanjem kockice, gdje brojevi od 1 do 6 imaju istu vjerovatnou da se pojave; 3. Upotrebom AWF sluajnim bacanjem dobivamo sluajne brojeve od 0 do 1295.Ovdje se bacaju etiri kockice, a svaka kockica ima slijedee brojeve:KOCKICA 1 KOCKICA 2 KOCKICA 3 KOCKICA 4 0 0 0 0 1 6 36 216 2 12 72 432 3 18 108 648 4 24 144 864 5 30 180 1080

4. Najstarija metoda za runo odreivanje sluajnih brojeva je tzv. URNE-METODA. Ovdje kartice oznaene sa brojevima od 0 do 9 stavimo u jednu kutiju, dobro promijeamo i povuemo karticu, proitamo broj i vratimo karticu nazad. Tako postupak ponavljamo za svaki sluajan broj.

3.5.3 .Sluajni brojevi kod digitalne simulacije Kod digitalne simulacije tabela sluajnih brojeva se mora memorisati. Kod mainskog odabira sluajnih brojeva javlja se problem to se oni biraju deterministiki tj. po odreenim, strogo propisanim, pravilima, a trebali bi biti stohastiki (sluajni). Zato se oni zovu jo i pseudosluajnim brojevima. Meutim najvea prednost ovih brojeva je u velikoj brzini odabira. Rekli smo da se pseudosluajni brojevi biraju po odreenim pravilima, a sada emo da pokaemo neke od metoda za biranje: 1. Najstarija je Von Neumannova metoda koja se svodi na sljedei postupak: a) b) c) Izbor baze (etverocifrenog broja); Kvadriranje i odbacivanje prva i posljednja dva mjesta kod dobivenog osmocifrenog broja; Dobiveni broj je pseudosluajan broj i ujedno nova baza.

Postupak je prikazan u tabeli 3.1.

14

I 1 2 3 4 5 6

X1234 5227 3215 3362 3030 1809

X201522756 27321529 10336225 11303044 01980900 03272481

PSEUDOSLUAJAN BROJ5227 3215 3362 3030 1809 2724

Nedostatak ovakvog biranja brojeva je u pojavljivanju nultog broja (0000) i u pojavljivanju perioda tj. da se cifre ponu istim redom ponavljati. Ovaj nedostatak se moe otkloniti tako to e se okrenuti redoslijed brojeva. 2. Kongruenz metoda (Njem. kongruent-podudaran) podrazumijeva biranje brojeva na osnovu izraza: Zi+1 = ostatak od dijeljenja aZi/m odnosno Zi+1 = aZi (mod.m) Ovdje kvalitet izabranih pseudosluajnim brojeva zavisi od izabranog Z0, a i m. Kod ove metode se veoma brzo javlja period. Zato se pri izboru parametara Z0, a i m preporuuje m = 2k gdje je k iz intervala 40-50. a m , Z0 m 3. Modificirana kongruenz metoda je Greenbergerova metoda gdje se pseudosluajni brojevi formiraju po slijedeem zakonu: Zi+1 = aZi +k (mod.m) Gdje se prvo izaberu Z0, a, b i m.

4. PRIMJERI 1. Primjer oekivane vrijednosti Upravni odbor proizvodnog preduzea treba da donese odluku o izgradnji novog proizvodnog pogona (Tvornice stone hrane TSH). Odluku treba donijeti na bazi rezultata predinvesticijske studije. U predinvesticijskoj studiji su predloene tri mogue varijante izgradnje proizvodnog pogona (TSH) i to : izgradnja tvornice kapaciteta 2 tone/sat; izgradnja tvornice kapaciteta 5 tona/sat i izgradnja tvornice kapaciteta 8 tona/sat. U studiji su identifikovana tri stanja u ekonomiji koja mogu nastupiti u vrijeme eksploatacije proizvodnog pogona (otplate investiranih sredstava): recesija, normalno i stanje prosperiteta. U studiji su pored alternativa i stanja ( na bazi naunih procedura) date i poetne vjerovatnoe odigravanja pojedinih stanja koje glase: 0,15, 0,65, 0,20. Kao funkcija cilja izdvojena je oekivana dobit koja za:

prvu alternativu pri odigravanju normalnog stanja iznosi 242.000 KM godinje, ako doe do recesije dobit e biti ostvarena sa 70,2479% a u sluaju odigravanja stanja prosperiteta sa 119,8347% od stanja ostvarenog pri normalnom stanju u ekonomiji.

15

drugu alternativu pri odigravanju stanja recesije iznosi 420.000 KM godinje, ako nastupi normalno stanje dobit e biti ostvarena sa 121,4286% a u sluaju odigravanja stanja prosperiteta sa 150% od stanja ostvarenog pri recesiji. treu alternativu za sluaj odigravanja stanja prosperiteta iznosi 690.000 KM, za sluaj normalnog stanja 76,8116% a za sluaj recesije 43,4783% od stanja ostvarenog pri prosperitetu. Primjenom opisanih procedura formirati matricu (tabelu) plaanja i matricu (tabelu) aljenja. Rjeenje: Vektor stanja (Si): s1 nastupanje stanja recesije u ekonomiji s2 nastupanje normalnog stanja u ekonomiji s3 nastupanje stanja prosperiteta u ekonomiji Vektor akcija (Aj): a1 izgraditi proizvodni pogon (TSH) kapaciteta 2 tone/sat a2 izgraditi proizvodni pogon (TSH) kapaciteta 5 tona/sat a3 izgraditi proizvodni pogon (TSH) kapaciteta 8 tona/sat Vektor poetnih vjerovatnoa P (si): P(s1) = 0,15 vjerovatnoa nastupanja recesije u ekonomiji P(s2) = 0,65 vjerovatnoa nastupanja normalnog stanja u ekonomiji P(s3) = 0,20 vjerovatnoa nastupanja prosperiteta u ekonomiji Izraunavanje elemenata matrice plaanja: e11 = 242.000 * 0,702479 = 170.000 KM e21 = 242.000 e31 = 242.000 * 1,198347 = 290.000 KM e12 = 420.000 KM e22 = 420.000 * 1,214286 = 510.000 KM e32 = 420.000 * 1,50000 = 630.000 KM e13 = 690.000 * 0,434783 = 300.000 KM e23 = 690.000 * 0,768116 = 530.000 KM e33 = 690.000 KM

Formiranje matrice plaanja bez vektora poetnih vjerovatnoa:

16

Vrijednosti izraene u hiljadama KM

Stanja Si s1 s2 s3 A1 170 242 290

Akcije (Aj) A2 420 510 630

a3 300 530 690

Tabela 4.1.: Matrica plaanja bez poetnih (apriornih)vjerovatnoa

Izraunavanje koeficijenata matrice proputenih dobiti: Shodno, prethodnom tumaenju, prvo traimo maksimalne vrijednosti efekta eij po stanju si i njih transformiemo u efekat aljenja oij sa vrijednou 0 (koga oznaavamo sa Mj) a potom primjenom formule oij = Mj - eij izraunavamo ostale koeficijente aljenja za akcije po stanju si.

max e1 j = 420 = M1 = e12 pri emu je i = 1 a j = 1,3 j max e2 j = 530 = M2 = e23 pri emu je i = 2 a j = 1,3 j max e3 j = 690 = M3 = e33 pri emu je i = 3 a j = 1,3 jo11 =M1 170= 420 170 = 250 o13 = M1 170= 420 300 = 120 o21 = M2 242= 530 242 = 288 o22 = M2 510= 530 510 = 20 o31 = M3 290= 690 290 = 400 o32 = M3 630= 690 630 = 60 Sada moemo formirati matricu aljenja bez vektora poetnih (apriornih) vjerovatnoa:Vrijednosti izraene u hiljadama KM

Stanja Si S1 S2 S3 a1 250 288 400

Akcije (Aj) a2 0 20 60

a3 120 0 0

Tabela 4.2.: Matrica proputenih dobiti (tabela aljenja)

Koeficijent na poziciji e 22 = 20, znai da , ako bi se realizirala akcija a2 pri odigravanju normalnog stanja (s2), donosilac odluke proputa ostvarenje dobiti u iznosu od 20 hiljada DEM. Pri odigravanju normalnog stanja prirode za donosioca odluke bi bila najpovoljnija akcija a3 jer je vrijednost proputene dobiti jednaka nuli. Pridruimo li vektor pojedinih vjerovatnoa kako je to prikazano u tabeli br.4 dobit emo nove koeficijente koji su pod direktnom zavisnou od apriorne raspodjele vjerovatnoa (do koje donosilac odluke dolazi na jedan od opisanih naina) Izraunavanje koeficijenata e11 = 170.000 * 0,15 = 25.500 KM

17

e21 = 242.000 * 0,65 = 157.300 KM e31 = 290.000 * 0,20 = 58.000 KM e12 = 420.000 * 0,15 = 63.000 KM e22 = 510.000 * 0,65 = 331.500 KM e32 = 630.000 * 0,20= 126.000 KM e13 = 300.000 * 0,15 = 45.000 KM e23 = 530.000 * 0,65 = 344.500 KM e33 = 690.000 * 0,20 = 138.000 KMVrijednosti izraene u hiljadama KM

Stanja si s1 s2 s3

V (sj): 0,15 0,65 0,20

Akcije (Aj) a1 a2 25,5 63,0 157,3 331,5 58,0 126,0

a3 45,0 344,5 138,0

Tabela 4.3.: Matrica koeficijenti oekivanih dobiti

Istim postupkom izraunavamo koeficijente za tabelu proputenih dobiti, (tabela broj 5).

Vrijednosti izraene u hiljadama KM

Stanja sj s1 s2 s3

Akcije (Aj) V (sj) 0,15 0,65 0,20 a1 37,5 183,3 80,0 A2 0,0 13,0 12,0 a3 18,0 0,0 0,0

Tabela4.4.:Matrica koeficijenata oekivanih proputenih dobiti

Oekivane vrijednosti dobiti akcija izraunate su i prikazane u sljedeoj tabeli efikasnosti:Vrijednosti izraene u hiljadama KM

Stanja Si s1 s2 s3

Akcije (Aj) V (si): 0,15 0,65 0,20 1,00 a1 25,5 157,3 58,0 240,8 a2 63,0 331,5 126,0 520,5 a3 45,0 344,5 138,0 527,5

Tabela 4.5.: Izraunavanje oekivane vrijednosti i izbor najprihvatljivije akcije primjenom kriterija oekivane novane vrijednosti (matrica financijskih efekata)

Provoenjem akcije a3 ostvaruje se najvea oekivana vrijednost dobiti u iznosu od 527,5 hiljada DEM, te je navedena akcija izabrana kao najpovoljnija akcija. 2.Primjer Bayesove analize:

18

Proizvoa X proizvodi jednake koliine dva proizvoda, S1 i S2 , pri emu ih pakuje u tri vrste ambalae: A, B, C. Za proizvod S1 koristimo ambalae A i B ( i to 80% proizvoda pakuje u ambalau A, a 20% u ambalau B), dok za proizvoda S2 koristi sve tri ambalae u sljedeim procentima: A 25%, B 50% i C 25%. Ako znamo da je proizvod spakovan u ambalai B, koja je vjerovatnoa da se radi o proizvodu S2 ? Na osnovu raspoloivih informacija (proporcija) moemo odrediti sljedee vjerovatnoe, koje smo i grafiki prikazali na slici: P(S1 )=0,5 P(S2 )=0,5 P(A S1 )=0,8 P(B S1 )=0,2 P(C S1 )=0 P(A S2 )=0,25 P(B S2 )=0,5 P(C S2 )=0,25

B 0,2 B 0,5

A 0,8

C 0,25 A 0,25

Potrebno je da izraunamo uslovnu vjerovatnou da je izabran proizvod S2 , ako znamo da se on nalazi u ambalai B, tj. P(S2 B ). Primjenom Bayesove formule dobivamo: P( S 2 ) P( B S2 ) P( S2 ) P( B S2 ) 0,5g 0,5 P( S2 B) = = = = 0, 714 P( B) P ( S1 ) P ( B S1 ) + P ( S 2 ) P ( B S2 ) 0,5g 2 + 0,5g 0, 0,5 Na isti nain moemo da izraunamo uslovnu vjerovatnou da se u ambalai B nalazi proizvod S1 : P ( S1 ) P ( B S1 ) P ( S1 ) P( B S1 ) 0,5g 2 0, P(S1 B ) = = = = 0, 286 P( B) P ( S1 ) P ( B S1 ) + P ( S2 ) P( B S2 ) 0,5g 2 + 0,5g 0, 0,5 Primijetimo da je P ( S1 B ) + P ( S 2 B ) = 1 Na osnovu poetnih informacija o strukturi proizvodnje zakljuili smo da su vjerovatnoe izbora proizvoda S1 i S2 , meusobno jednake i iznose 0,5. Ali dopunska informacija o vrsti ambalae B je znaajno promijenila vjerovatnoe u korist proizvoda S2 . Ako znamo da je proizvod spakovan u ambalai B, anse da se radi o proizvodu S2 su 1:1 (0,5:0,5) porasle na skoro 3:1 (0,714:0,286). Drugim rijeima, polazne apriori vjerovatnoe dogaaja S1 i S2 izmijenili smo u svjetlu novih informacija ) ambalae i izraunali njihove korigovane aposteriori vjerovatnoe. Na prethodnoj slici kvadrat predstavlja ukupnu vjerovatnou, koja je jednaka 1. Apriori vjerovatnoe izbora proizvoda

19

S1 i S2 su prikazane pravougaonicima iste veliine, odnosno one su jednake 0,5. Kada dobijemo informaciju da je proizvod spakovan u ambalai, sada osjenena povrina B predstavlja izvjestan dogaaj, ija je vjerovatnoa jednaka1. Ova povrina je podijeljena na dva nejednaka pravougaonika, koji pokazuju vjerovatnoe P ( S1 B ) = 0, 286 i P ( S 2 B ) = 0, 714 . U posmatranom primjeru vjerovatnoa dogaaja P(S1 ) i P(S2 ), kao i uslovne vjerovatnoe P ( B S1 ) = 0, 2 i P ( B S 2 ) = 0,5 smo izraunali na osnovu relativne frekvencije, tj. one predstavljaju statistike vjerovatnoe. 3. Primjer simulacije

Fizioterapeutska klinika ilustracija simulacijeRhianon Adam je fizioterapeutkinja koja radi u klinici gdje prima pacijente po narudbi. Poinje u 9 sati i radi bez pauze cijelo jutro, nadajui se da e zavriti oko podne. Pacijenti imaju rezervisane termine od 15 minuta, ali naravno oni ne stiu tano na vrijeme. Takoe svaka konsultacija ne traje tano 15 minuta. Ako pacijent stigne ranije a fizioterapeutkinja je slobodna, pacijent se prima odmah. Rhianon je rekla svojoj recepcionarki da vrati svakog pacijenta koji kasni pet minuta, bez obzira da li je ona slobodna ili nije. To je zbog toga to bi nastalo kanjenje uzrokovalo nagomilavanje pacijenata koji ne bi mogli biti pregledani do poslijepodneva. Ako prvi pacijent stigne rano, on ne bude primljen prije 9 sati i jutarnja sesija se zavrava kada svi ugovoreni pacijenti, osim onih koji budu vraeni, budu primljeni. Adam je svjesna da postupanje na ovaj nain dovodi do toga da e ponekad ekati idueg pacijenta. Odreena koliina slobodnog vremena je sasvim korisna ali ona ne eli da ga ima previe. Ona takoe smatra da pacijenti postaju nervozni ako moraju ekati predugo, naroito ako shvate da pacijent koji je rasporeen prije njih jo uvijek eka. Konano, ona smatra da radi sasvim pravilno sve do kasno poslijepodne. Nju zanima koji bi bili efekti mijenjanja nekog broja njenih operacijskih parametara. Ona bi mogla praviti termine u intervalima od 20 minuta ( svaki drugi interval ne bi bio praktian). Ona bi mogla napraviti zadnji termin ranije nego to je to do sada radila. Ona bi mogla promijeniti svoj kriterij vraanja na 7 ili 8 minuta; ona bi takoe mogla koristiti ovu politiku u drugoj polovici jutra. Mogla bi praviti termine u intervalima od 15 minuta u prva dva sata, ali u intervalu od 20 minuta u zadnjem satu. Tako bi imala veu ansu da primi sve nagomilane pacijente prije podne. Sve ove mogunosti bi mogle biti testirane u praksi. Jasno da postoji mnogo sistema kad su sve kombinacije alternativne strategije isprobane i snaga pristupa matematikim modeliranjem je takva da alternative mogu biti isprobane brzo i jeftino bez rizika ometanja fizioterapeutske usluge , kada se upotrebljava djelimino neefikasna kombinacija. Prvo treba razmatrati originalnu postavku . Postoje dva sluajna elementa u sistemu. Prvo, to je razlika izmeu pacijentovog zakazanog termina i njegovog stvarnog vremena dolaska. Ovo moe biti pozitivna i negativna koliina. Drugo, to je vrijemae konsultacije ili vrijeme koje pacijent provodi sa fizioterapeutkinjom. Ovo je u sutini redovna situacija, ali kompleksnost i najjednostavnije verzije je takva da je realno analitiko nemogue. Osim toga simulacijski pristup je otvoren i jasno je da ga treba upotrijebiti. U tu svrhu pretpostavimo da su podaci prikupljeni na osnovu vremenu dolaska i vremena konsultacije za 16 jutarnjih sesija. Podaci pretvoreni u relativne frekvencije a iz toga onda u odgovarajue sluajne brojeve su dati u tabeli 4.6. i 4.7. : Tabela 4.6.: Potrebno vrijeme (u minutama) 10 11 Vrijeme konsultacije Frekvencije Relativne frekvencije 2 3 0,011 0,016 Sluajni brojevi 001-011 012-027

20

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Ukupno

3 5 11 18 23 27 27 21 17 12 9 5 4 1 188

0,016 0,026 0,059 0,096 0,122 0,144 0,144 0,112 0,090 0,064 0,048 0,026 0,021 0,005 1,000

028-043 044-069 070-128 129-224 225-346 347-490 491-634 635-746 747-836 837-900 901-948 949-974 975-995 996-000

Tabela 4.7. Rano/kasno korekcija (u minutama) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Vraanje Ukupno Vrijeme dolaska Frekvencija Relativna frekvencija 12 26 46 34 29 15 10 7 5 3 1 4 192 0,063 0,135 0,240 0,177 0,151 0,078 0,052 0,036 0,026 0,016 0,005 0,021 Sluajni brojevi 001-063 064-198 199-438 439-615 616-766 767-844 845-896 897-932 933-958 959-974 975-979 980-000

21

Koristei prvi blok pseudo-sluajnih brojeva jedna jutarnja operacija moe biti simulirana. Sluajni brojevi moraju biti u grupama od tri i to moe biti postignuto jednostavno crtajui redove. Sa runom simulacijom rezultati mogu biti postavljeni kao u tabeli 4.8. Izdvajajui znaajno vane podatke iz tabele 4.3. dobijamo: Prekoraenje sesije +31 minuta Slobodno vrijeme fizioterapeutkinje 1 minuta Maksimalni broj ekanja 2 minuta Ukupno vrijeme ekanja 202 minute To je samo evidencija iz simuliranih operacija jednog jutra. Da bi uporedili strategije bili bi potrebni rezultati iz nekoliko pokuaja iz kojih bi mogli npr. porediti prosjeke ili alternativno ekstremne vrijednosti. Bilo bi neprikladno jednostavno voditi sesiju vie od tri sata ujutro. Ponavljanja sesije koje poinju u 9 sati i traju tri sata je potrebno. Bilo bi krajnje zamorno da to uradimo runo, ali na sreu, jednostavne numerike operacije potrebne simulaciji mogu biti rijeene na raunaru i to je uobiajena praksa. Da zakljuimo ilustraciju, pretpostavimo da ugovoreni interval od 20 minuta treba odmjeriti i uporediti sa originalnim intervalom. Ista forma simulacije moe biti rijeena i osim toga da bi poreenje bilo neposrednije, isti sluajni brojevi mogli biti koriteni i lake rijeeni koristei generacijski metod za pseudosluajne brojeve. To pokazujemo u sljedeoj tabeli: Prekoraenje sesije 1 minuta Slobodno vrijeme fizioterapeuta 24 minuta Maksimalan broj ekanja 1 minuta Ukupno vrijeme ekanja 2 minute Uporeujui ova dva pojedinana pokuaja, oigledno je da je vrijeme ekanja pacijenta zamjenjeno za slobodno vrijeme fizioterapeuta. I naredni pokuaji bi dali vie pouzdane mjere ovog fenomena. Analiza takoe ukazuje na mogue koristi prebacivanja sa 15-minutnog intervala na 20-tominutni u toku zadnjeg sata. Sljedee taka je da se podrazumjeva da isti ulazni podaci budu koriteni za simulaciju svih alternativnih strategija. Moe biti ustanovljeno, na primjer, da kada se povea ugovoreni interval, fizioterapeutkinja e teiti da se posveti neto due svakom pacijentu. Ako je to tako, jednostavno podeavanje skale prema distribuciji vremena konsultacija moe biti postignuto. Tabela 4.8.: Vrijeme Viak vremena ekanja fiziotera-peutkinje pacijenta 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31 1 22 0 0 33

15

10

15

16

15

17

17 2

0

7

Broj ekanja na kraju

1

1

2

2

1

2

1

2

2

26

konsultacije

Vrijeme konsultacije

vrijemekonsultacijeVrijeme

10.45-11.00

11.19-11.38

10.13-10.26

11.00-11.19

10.26-10.45

11.38-11.58

18

19

13

19

15

19

19

16 305 11.27 -3 363 11.30 23

11.58-12.14

15

VrijemebrojeviSluajni

779

688

143

730

195

682

776

565

052

724

Stvarni dolazak

10.11

10.30

10.43

11.02

11.12

Korekcija

+2

-1

-3

-2

-4

0

-2

-3

+1

847

642

-1

689

470

312

149

782

brojeviSluajni

09.15

09.30

09.45

10.00

10.15

10.30

10.45

11.00

11.15

Ugovoreni sastanak

ZakljuakNakon svega izloenog, moemo zakljuiti da je odluivanje u uslovima neizvjesnosti, za razliku od odluivanja u uslovima izvjesnosti pod uticajem velikog broja faktora koje treba analizirati i imati u vidu pri donoenju odluka. Takoer, mogli smo ustvrditi da je ovaj oblik odluivanja usko povezan sa odluivanjem u uslovima rizika, te smo tim povodom neto i rekli o tom obliku odluivanja. vidjeli smo da donosilac odluke kroz raspodjelu vjerovatnoa treba da kvantificira uticaj kako faktora okruenja tako i unutarnjih

11.45

09.00

135

451

921

223

-4

11.41

9.01

9.14

9.29

9.43

9.57

400

17

20

20

12.14-12.31

9.21-9.39

9.39-9.58

9.58-10.13

9.01-9.21

faktora. Donosilac mora da pri analizi neizvjesnosti ispotuje odreene korake kao to su: strukturiranje problema, analiza neizvjesnosti, analiza preferencija, izbor optimalne akcije i prikupljanje novih informacija. Vidjeli smo da u okviru odluivanja bez odreivanja apriori vjerovatnoa postoje odreeni kriteriji, a to su: maxmin, maxmax, minmax, Hurwiczov i Laplaceov, pri emu je svaki od njih primjenjiv u odreenoj situaciji. Uoili smo da je simulacija dovoenje modela jednog sistema u primjerene situacije i posmatranje efekata koje oni proizvode i da nam ona omoguava stvaranje modela koji se lako modificiraju, realizovanje uslova oprobavanja i prouavanje ponaanja sistema, te moemo zakljuiti da je simulacija jednostavan metod analiziranja problema kreiranjem modela koji mogu biti manipulisani metodom pokuaja i greaka. U zavrnom dijelu rada, pokazali smo, kroz konkretne primjere iz prakse, kako se odreeni problemi mogu rijeiti putem simulacije, metodom oekivane vrijednosti i Bayesove analize.

24