SÉQUENCE 8 - bruno.lpbayard.free.frbruno.lpbayard.free.fr/MATHS/ARCHIVES-cned/CNED 3eme... · Séance 5 Je cherche des valeurs exactes de ... Prends une nouvelle page de ton cahier

– Cned, Mathématiques 3e 30

SÉQUENCE 8

TRIGONOMÉTRIE Séance 1 J’étudie des triangles rectangles Séance 2 Je découvre le sinus, la tangente Séance 3 J’utilise le sinus pour déterminer un angle Séance 4 J’effectue des exercices Séance 5 Je cherche des valeurs exactes de sinus et de cosinus Séance 6 J’étudie une relation entre le sinus et le cosinus Séance 7 Je cherche à savoir si le sinus d’un angle peut-être égal à son cosinus Séance 8 Je trouve une meilleure méthode pour faire une construction Séance 9 J’effectue des exercices de synthèse OBJECTIFS • Connaître la définition du sinus, de la tangente. • Connaître des relations liant sinus, cosinus et tangente. • Savoir résoudre des problèmes à l’aide de la trigonométrie.

Cned, Mathématiques 3e – 31

Séquence 8

Séance 1 J’étudie des triangles rectangles

Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n°8. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses. JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e 1- Le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC]. Le triangle ABC est donc :

� isocèle en A

� équilatéral

� rectangle en A

� rectangle en B

2-

Le cosinus de l’angle �E d’un triangle EFG rectangle en G est :

� EG

EF �

EF

EG

� FG

EF �

EF

FG

3- Quel est l’arrondi au dixième du cosinus de 50° ?

� 0,64

� 50

� 0,6

� 0,5

4- Quel angle a pour cosinus 0,6 ? (donne son arrondi au dixième de degré près)

� 53°

� 54°

� 1°

� 53,1°

Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices puis écris : « SÉQUENCE 8 : TRIGONOMÉTRIE ». Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. Une fois l’exercice terminé, n’oublie pas de te reporter à son corrigé et de lire attentivement les deux parties : « Ce que tu devais faire » et « les commentaires du professeur ».


Séquence 8

��EXERCICE 1 Les lettres M, N et P symbolisent trois ports de pêche d’îles du Pacifique. Ces trois ports se trouvent sur un même cercle représenté en pointillé sur le schéma ci-contre. Son centre O est le milieu de [PN].

Problème : donner une valeur approchée de l’angle ɵP au centième de degré près. 1- Essaie de résoudre le problème pendant 10 minutes. Si tu n’as pas réussi à résoudre le problème, effectue les questions suivantes. 2- Essaie de faire une figure à l’échelle sur laquelle un centimètre représente un km, et déduis-en à l’aide d’un instrument de mesure une solution approchée du problème.

Si tu possèdes un ordinateur, essaie de construire une figure dynamique et fais mesurer l’angle ɵP . Arrives-tu à construire les figures ? Si tu n’as pas réussi à construire les figures, ce n’est pas grave, passe à la question suivante. 3- Démontre que le triangle MNP est rectangle en M. A l’aide de cette information supplémentaire, tu peux, si tu n’as pas réussi à construire les figures dans la question 2, les construire maintenant. 4- Calcule PN.

5- Calcule l’arrondi au centième de degré de l’angle ɵP puis réponds au problème posé. Aide : utilise le cosinus de cet angle ! 6- Prends une calculatrice et tape tan–1 (4/3). Que remarques-tu ? Tape ensuite sin–1 (4/5). Que remarques-tu cette fois ? Effectue l’exercice de la page suivante dans ton cahier d’exercices.


Séquence 8

��EXERCICE 2 1- Crée à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique deux demi-droites [AB’) et [AC’), un point B sur [AB’), puis la perpendiculaire à [AB’) passant par le point B, qui coupe [AC’) en C.

Ensuite, fais afficher les quotients AB

AC,

BC

AC et

BC

AB.

Aide : Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre le fichier sequence8exercice2 à l’aide de Geogebra. Déplace le point C sur la demi-droite [AC’). Que remarques-tu ?

2- Déplace ensuite la demi-droite [AC’) de façon à changer l’angle �B'AC' , puis déplace à nouveau le point C sur la demi-droite [AC’). Que remarques-tu ?

3- De quoi semble dépendre uniquement le quotient AB

AC ? le quotient

BC

AC ? le quotient

BC

AB ?

4- Nous allons démontrer les constatations faites dans la question 3. On étudie la figure ci-contre.

● Démontre que l’on a : AB AC

AN AM= puis déduis-en :

AB AN

AC AM= .

● Démontre que l’on a : BC AC

MN AM= puis déduis-en :

BC MN

AC AM= .

● Démontre que : BC MN

AB AN= .

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n° 9, à la fin de ce livret. Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés horizontaux afin de cacher les solutions. Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux solutions.


Séquence 8

Séance 2 Je découvre le sinus, la tangente

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS Définition :

Dans un triangle rectangle, les rapports AB

AC,

BC

AC et

BC

AB ne

dépendent que de la mesure de l’angle �A . Par définition :

AB

AC =

�longueur du côté adjacent à l 'an

longueur de l 'hypoté

gle A

nuse = ��cosA On lit : « cosinus de �A ».

BC

AC=

�longueur du côté opposé à l 'ang

longueur de l 'hypoté

le A

nuse = ��sinA On lit : « sinus de �A ».

BC

AB=

�

�lon

lon

gue

gueur d

ur du cô

u côté opposé à

té adjacent à l

l 'angl

'an

e A

gle A = ��tanA On lit : « tangente de �A ».

Remarques : ● le sinus, cosinus et tangente n’ont pas d’unité. ● le mot « SOHCAHTOA » permet de retenir les formules précédentes : « SOH » rappelle que le Sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal à la longueur du côté Opposé divisée par la longueur de l’Hypoténuse, « CAH » rappelle … Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices EXERCICE 3 Les deux triangles KLM et RST ci-dessous sont des triangles rectangles. Calcule :

a) ● �sin M ● �cosM ● �tan M

b) ● �sin R ● �cosR ● �tan R

Tu donneras l’arrondi de �cos R et �tan R au centième. Rends-toi aux pages calculatrice à la fin de ce cours. Tu verras comment déterminer un angle dont on connaît le sinus, ou un angle dont on connait la tangente. Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices EXERCICE 4 Clément affirme que le sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est plus petit que 1. Qu’en penses-tu ?


Séquence 8

Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS Propriété : Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1. Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 5 Problème : déterminer une valeur approchée de la longueur AC au millimètre près. 1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème posé. Tu peux essayer de faire une figure, utiliser un logiciel de géométrie dynamique, ou encore essayer de raisonner dans le triangle rectangle ABC. Chacune de ces méthodes peut te permettre de répondre au problème posé.

2- Exprime sin 40° en fonction de AC. Déduis-en : AC = 5

sin 40°.

3- Pour déterminer, AC, il suffit de connaître la valeur de sin 40°. Pour cela, on peut utiliser le « quart de cercle trigonométrique » : c’est juste un quart de cercle de rayon 1 dm. Voici ci-dessous un quart de cercle de rayon 1 dm. Il va permettre, grâce à une lecture graphique, de déterminer une valeur approchée du sinus et du cosinus d’un angle aigu. a) Nous allons déterminer graphiquement sin 40°.

Écris sin �LOK comme quotient de deux longueurs puis démontre que : OM = sin 40°. Mesure ensuite OM afin de déterminer une valeur approchée au centième de sin 40°. Déduis-en une valeur approchée de AC. b) La calculatrice permet d’obtenir un résultat plus précis. Pour cela, on utilise la touche sin (de la même façon que l’on utilise la touche cos pour trouver une valeur approchée d’un cosinus). Détermine un arrondi au mm de AC à l’aide d’une calculatrice.

4- On pouvait également calculer AC en utilisant le cosinus de l’angle �C . Détermine une valeur approchée de AC à l’aide de cette méthode.


Séquence 8

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. JE COMPRENDS LA METHODE Détermine l’arrondi au millimètre de TR en cm ● Je regarde si je peux utiliser la trigonométrie. Le triangle RST est rectangle en R.

● L’hypoténuse est connue et je cherche la longueur du côté opposé à ɵS donc je pense à utiliser sin ɵS .

sin Sɵ = TR

TS

● Je remplace dans l’égalité trouvée ce que je connais, puis je cherche à déterminer TR.

sin 37° = TR

8

d’où : TR = 8 sin 37° ● J’utilise une calculatrice puis je conclus. TR ≈ 4,8 cm (arrondi au millimètre) Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 6 Détermine à l’aide d’une calculatrice l’arrondi au millième de : a) sin 28° b) sin 45° c) sin 73° Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 7 Quelle distance en m l’avion va-t-il parcourir avant de toucher le sol ? Tu donneras l’arrondi à l’unité du résultat.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°10, à la fin de ce livret. Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés horizontaux afin de cacher les solutions. Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux solutions.


Séquence 8

Séance 3 J’utilise le sinus pour déterminer un angle

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 8 On place une échelle de 1,8 m contre un mur. Le point qui touche le mur se trouve à 1,5 m de hauteur. Le sol est glissant :

si la mesure de l’angle �BAC ci-contre est inférieure à 60°, une personne qui grimperait en haut de l’échelle risquerait de faire tomber l’échelle. Problème : l’angle que fait l’échelle avec le sol est-il suffisant pour que quelqu’un puisse grimper en haut de l’échelle ? 1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème posé. Tu peux essayer de faire une figure à l’ échelle (par exemple représenter 1 m par 1 dm). Tu peux également utiliser un logiciel de géométrie dynamique, ou encore essayer de raisonner dans le triangle rectangle ABC. Chacune de ces méthodes peut te permettre de répondre au problème posé.

2- Détermine sin �BAC . Déduis-en l’arrondi au centième de sin �BAC .

3- Pour déterminer�BAC , il suffit de connaître la mesure d’un angle dont le sinus est environ 0,83. Pour cela, on utilise à nouveau un quart de cercle de rayon 1 dm. a) Place le point L : ● sur le quart de cercle,

● dont l’ordonnée est sin�BAC .

b) Mesure l’angle �IOL à l’aide d’un rapporteur et résous le problème. 4- a) La calculatrice permet d’obtenir un résultat plus précis. Pour cela, on utilise la touche Asn ou sin–1 de la calculatrice (de la même façon que l’on utilise la touche Acs).

Calcule �BAC à l’aide d’une calculatrice. Tu donneras l’arrondi au centième.

b) On pouvait également calculer �BAC en utilisant le cosinus de l’angle �C .

Détermine une valeur approchée de �BAC à l’aide de cette méthode.


Séquence 8

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. JE COMPRENDS LA METHODE

Déterminer l’arrondi de la mesure de l’angle ɵɵɵɵS au dixième de degré. ● Je regarde si je peux utiliser la trigonométrie. Le triangle RST est rectangle en R.

● Je remarque que l’hypoténuse et le côté opposé à ɵS sont connus, donc je peux déterminer sin ɵS .

sin Sɵ = TR

TS

● Je remplace dans l’expression trouvée ce que je connais.

sin Sɵ = 5

7

● J’utilise une calculatrice puis je conclus.

Sɵ ≈ 45,6° (arrondi au dixième de degré) Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 9 La figure ci-contre est représentée à main levée. Les points A, B et C sont-ils alignés ?

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°1. Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.


Séquence 8

Séance 4 J’effectue des exercices

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 10 Dans la figure ci-contre, le triangle ABC est rectangle en B. Problème : A quelle distance une personne située en A se trouve-t-elle de la tour Eiffel ? 1- Essaie de résoudre le problème de façon graphique, soit en construisant une figure à une autre échelle et en effectuant des mesures, soit en utilisant un logiciel de géométrie dynamique.

2- Écris tan �BAC comme quotient de deux longueurs. Démontre ensuite que l’on a : AB = 324

tan18°.

3- Pour pouvoir calculer AB, il faut que nous connaissions tan 18°. Pour cela, nous allons établir un lien entre le sinus, le cosinus, et la tangente, qui va te permettre de calculer tan 18° à l’aide d’une calculatrice.

a) Démontre que dans un triangle ABC rectangle en B, on a : tan �A = �

�

sin A

cosA

Aide : Exprime sin �A , puis cos �A , puis calcule le quotient �

�

sin A

cos A.

b) Calcule AB à l’aide d’une calculatrice. Donne l’arrondi au centimètre. Pour calculer tan 18°, tu

calculerassin18

cos18

°

°. Tu peux aussi

utiliser la touche tan de la calculatrice. c) On peut également utiliser un quart de cercle de rayon 1 dm pour déterminer une valeur approchée de tan 18°.

Démontre que : KL OL

MI OI= .

Déduis-en : MI = tan 18°. Mesure ensuite MI puis donne une valeur approchée de AB.


Séquence 8

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS Propriété :

Dans un triangle ABC rectangle en B, on a : tan �A = �

�

sin A

cosA

Preuve :

�

�

�

BCsin A B AC

A

C BCAC tan AAB AB ABcosA

CC

A

= = × = =

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. JE COMPRENDS LA METHODE Détermine l’arrondi au millimètre de TR ● Je regarde si je peux utiliser la trigonométrie. Le triangle RST est rectangle en R.

● Je connais le côté adjacent à ɵS et je cherche le côté opposé à ɵS . Je pense donc à utiliser tan ɵS .

tan Sɵ = TR

RS

● Je remplace dans l’expression trouvée ce que je connais, puis je cherche à déterminer TR.

tan 33° = TR

6

d’où : TR = 6 tan 33° ● J’utilise une calculatrice puis je conclus. TR ≈ 3,9 cm (arrondi au millimètre) Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 11 On reprend les données de l’exercice 1.

On cherche l’angle ɵP .

Écris tan ɵP comme quotient de deux longueurs. Pour calculer un angle dont on connaît la tangente, on peut utiliser la touche tan–1 ou Atn de la calculatrice.

Déduis-en l’arrondi au centième de degré de ɵP .


Séquence 8

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 12 La pente d’une route est par définition la tangente de l’angle qu’elle fait avec l’horizontale. Ainsi, la pente de la route représentée ci-contre est égale à tan x. Lors d’un circuit en montagne, Clément monte en voiture une côte rectiligne longue de 210 m, dont la pente est de 17 %. Il aimerait trouver une valeur approchée à l’unité : a) de l’angle en degrés que fait la route avec l’horizontale,

b) de la différence d’altitude en m entre le début et la fin de la route. Aide-le !

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 13 Le triangle RST est-il isocèle en S ?

R ∈ [VU] T ∈ [VW]



Séquence 8

Séance 5 Je cherche des valeurs exactes de sinus et de cosinus

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices et dans ton livret. ��EXERCICE 14 1- On cherche à remplir le tableau ci-contre. Pour cela, tu peux utiliser le quart de cercle ci-dessous ou la calculatrice. Tu donneras des valeurs approchées au centième.

2- Tu vas essayer d’obtenir ces résultats également à l’aide d’un tableur. Pour cela, crée la feuille de calcul ci-contre à l’aide d’un tableur. Pour calculer le sinus de 30°, écris dans la cellule B2 la formule : « =SIN(RADIANS(B1)) ». Pour calculer le cos de 30°, écris dans la cellule B3 la formule : « =COS(RADIANS(B1)) ». Fais faire tous les calculs du tableau par le tableur. Contrôle que les résultats sont en accord avec ceux de la question précédente. Remarque : dans la cellule B2, il n’est pas écrit « =SIN(B1) » car le tableur ne calcule par défaut que les angles exprimés non pas en degrés, mais dans une unité appelée le « radian ». On convertit donc en radians les mesures d’angles à l’aide de la fonction « RADIANS ».


Séquence 8

3- Tu vas essayer d’obtenir ces résultats également à l’aide de Geogebra Ouvre le fichier sequence8exercice14sinus à l’aide de Geogebra. La fonction représentée est celle qui, à un angle en degrés, associe son sinus. Déplace le point rouge. Les résultats que tu trouves sont-ils en accord avec ceux trouvés lors des questions précédentes ? Fais de même avec les fichiers sequence8exercice14cosinus et sequence8exercice14tangente. Dans la suite de cette séance, nous allons chercher à déterminer non pas des valeurs approchées, mais les valeurs exactes des nombres du tableau. Pour cela, effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 15 Une unité de longueur étant choisie, on considère le triangle ABC équilatéral ci-contre de côté 1. 1- À l’aide de ce triangle, détermine : a) cos 60° b) sin 30° 2- Remplis les deux cases du tableau ci-dessous avec les valeurs trouvées dans les questions a et b.

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 16 Une unité de longueur étant choisie, on considère le triangle rectangle isocèle en B ci-contre tel que : AB = 1.

a) Détermine�BAC . b) Détermine AC. c) Détermine les valeurs exactes de cos 45° et de sin 45°. d) Détermine tan 45°.


Séquence 8

e) Reporte dans le tableau les 5 valeurs exactes connues jusqu’à maintenant.



Séquence 8

Séance 6 J’étudie une relation entre le sinus et le cosinus

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 17 Problème : x est la mesure en degrés d’un angle aigu d’un triangle rectangle. Que peut-on dire du nombre : (sin x)2 + (cos x)2 ?

1- Lis attentivement le problème ci-dessus puis essaie de le résoudre pendant 10 minutes. Pense à faire des tests par exemple à l’aide d’une calculatrice, d’un tableur, d’un logiciel qui permet de représenter graphiquement une fonction, et cherche à raisonner ! 2- Remplis le tableau ci-dessous. Tu peux utiliser une calculatrice ou un tableur.

x 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70°

(sin x)2 + (cos x)2 …… …… …… …… …… …… ……

Émets une conjecture. 3- Tape dans la barre de menu du logiciel Geogebra : « sin(x)*sin(x) + cos(x)*cos(x) ». Que remarques-tu ? 4- a) Exprime sin x à l’aide des longueurs de deux côtés du triangle ABC. Déduis-en (sin x)2. b) Exprime cos x à l’aide des longueurs de deux côtés du triangle ABC. Déduis-en (cos x)2. c) Démontre que : (sin x)2 + (cos x)2 =1.


Séquence 8

Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS Propriété : Si x est la mesure d’un angle aigu en degrés, on a : (sin x)2 + (cos x)2 = 1. Preuve :

sin x = BC

AC donc : (sin x)2 =

2

2

BC

AC

cos x = AB

AC donc : (cos x)2 =

2

2

AB

AC

D’où : (sin x)2 + (cos x)2 = 2 2 2 2

2 2 2

BC AB BC AB

AC AC AC====

++

D’après la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B, on a : BC2 + AB2 = AC2.

D’où : (sin x)2 + (cos x)2 = 2

2

AC1

AC====

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 18

a) Sachant que : sin 30° = 1

2, détermine cos 30° puis déduis-en tan 30°.

b) Sachant que : cos 60° = 1

2, détermine sin 60° puis tan 60°.

c) Complète intégralement le tableau ci-dessous.

d) Compare sin 30° et cos 60°, puis sin 60° et cos 30°. Que peux-tu dire du sinus d’un angle et du cosinus du complémentaire de cet angle ?



Séquence 8

Séance 7 Je cherche à savoir si le sinus d’un angle peut-être égal à son cosinus

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 19 Lis attentivement le problème ci-dessous :

Problème : Quelles sont toutes les mesures d’angles �A pour lesquelles : sin �A = cos �A . 1- Connais-tu une mesure d’angle dont le sinus est égal au cosinus ? Aide : si tu ne te souviens pas, relis attentivement le tableau de la séance précédente. 2- La question que nous nous posons à partir de maintenant est la suivante : y a-t-il d’autres mesures d’angles (autres que celle trouvée dans le 1) dont le sinus est égal au cosinus. Cherche d’autres mesures d’angles répondant au problème pendant 5 minutes. Passe ensuite à la question suivante. 3- Nous cherchons d’autres valeurs dont le sinus est égal au cosinus. Pour cela, on peut calculer le sinus et le cosinus de différentes mesures d’angles, puis regarder si les deux nombres obtenus sont égaux. Détermine, à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, une valeur approchée du sinus et du cosinus d’autres mesures d’angles. angle 0° 10° 20° 30° 40° 45° 50° 60° 70° 80° 90° sinus ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..

cosinus ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..

4- a) Le tableau de la question précédente te permet-il de résoudre le problème ? b) Dans le repère ci-dessous, nous allons représenter la fonction définie par :

x ֏ sin x , où x est une mesure d’angle en degrés.

Cette fonction est nommée « sin ». Ainsi, par exemple, sin(10°) est l’image de 10° par la fonction sin. On note plus simplement cette image sin 10° au lieu de sin (10°). Pour représenter graphiquement la fonction sin dans le repère ci-contre, place les points de coordonnées (0° ; sin 0°), (10° ; sin 10°), …, (90° ; sin 90°), puis trace la représentation graphique de la fonction.

c) Dans le repère ci-contre, nous allons aussi représenter la fonction définie par :

x ֏ cos x , où x est une mesure d’angle en

degrés. Cette fonction est nommée « cos ». Pour cela, place les points de coordonnées (0° ; cos 0°), (10° ; cos 10°), …, (90° ; cos 90°), puis trace la représentation graphique de la fonction cos.


Séquence 8

d) Utilise les représentations graphiques des deux fonctions pour répondre au problème. e) On peut également représenter graphiquement ces deux fonctions à l’aide du logiciel Geogebra. Ouvre le fichier sequence8exercice19 à l’aide de Geogebra. Confirme la réponse que tu as donnée à la question d. f)

Exprime sin �A .

Exprime cos �A .

Si on a : sin �A = cos �A , que peut-on en déduire concernant la nature du

triangle ABC ? Concernant l’angle �A ?



Séquence 8

Séance 8 Je trouve une meilleure méthode pour faire une construction

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 20 Problème : Déterminer la valeur exacte en cm de la longueur du segment [AH]. 1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème, puis réponds aux questions suivantes. 2- Lorsqu’on n’arrive pas à trouver la valeur exacte cherchée, on peut commencer, même si ce n’est pas ce qui est demandé, par chercher une valeur approchée du résultat. ● Construis la figure précédente en te servant des indications notées dessus. Mesure la longueur AH.

● A l’aide de la calculette, donne une valeur approchée de 5 . Que remarques-tu ? ● Si tu possèdes un ordinateur, construis la figure précédente à l’aide de Geogebra et fais mesurer la longueur AH. Quelle question es-tu amené(e) à te poser.

3- Nous allons essayer dans cette partie de démontrer que : AH = 5 cm.

a) Démontre que les angles �ABH et �CAH sont égaux.

b) Calcule tan �ABH et tan �CAH puis déduis-en : AH HC

HB AH= .

c) Conclus. 4- Inspire-toi de ce que tu viens de faire pour construire une figure permettant de tracer un segment

mesurant 7 cm. Construis cette figure.



Séquence 8

Séance 9 J’effectue des exercices de synthèse

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 21 On considère la figure ci-contre. H ∈ [BC]

1- Détermine la mesure en degrés de l’angle �ABH arrondie au dixième.

2- Le triangle ABC est-il un triangle rectangle ?

3- a) Détermine l’arrondi au dixième de la longueur HC en cm.

b) Détermine l’arrondi au dixième de la longueur HB en cm. 4- Détermine l’arrondi au dixième de l’aire du triangle ABC en cm2. Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 22 1- Trace un cercle de centre O et de diamètre [EF] tel que : EF = 8 cm. Place un point M sur ce cercle tel que : MF = 5 cm.

2- Calcule la valeur exacte de EM en cm.

3- Détermine l’arrondi au dixième de la mesure de l’angle �MEF en degrés.

4- Détermine l’arrondi au dixième de la mesure de l’angle �MOF en degrés.

Essaie de comparer �MOF et �MEF .

Quelle question es-tu amené(e) à te poser ? Saurais-tu y répondre.

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les dix questions traitées, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.


Séquence 8

JE M’ÉVALUE

1- Dans le triangle PIM rectangle en P, le sinus

de l’angle �M est égal à :

� MP

MI �

PI

MI

� MP

PI �

PI

MP

2- Dans le triangle RVF rectangle en F, la

tangente de l’angle �V est égale à :

� RF

FV �

RV

FV

� RV

RF �

RF

RV

3- L’arrondi au centième de l’angle en degrés dont le sinus est 0,65 est : � 0,01° � 0,65° � 40,54° � 49,46°

4- L’arrondi au dixième de la tangente de 26° est : � 0,5 � 87,8 � 0,5° � 87,8°

5- Parmi les quatre longueurs en cm ci-dessous, laquelle est l’arrondi au centième de NO en cm ? � 1,88 cm � 3,53 cm � 7,52 cm � 2,13 cm

6- Parmi les quatre longueurs en cm ci-dessous, laquelle est l’arrondi au centième de TU en cm ? � 5,51 cm � 1,63 cm � 2,52 cm � 3,58 cm

7- L’arrondi au dixième de

l’angle �C en degrés est : � 30,3° � 59,7° � 54,3° � 53,4°

8-

L’arrondi au dixième de

l’angle �O en degrés est : � 55,1° � 51,5° � 38,5° � 31,9°

9- Si x est la mesure en degrés d’un angle aigu, sin x est égal à :

� tan

cos

x

x �

cos

tan

x

x

� tan cos×x x � tan

2

x

10- Existe-t-il un angle �A tel que :

�( ) �( )2 2

cosA sin A+ soit égal à 2 ?

� oui � non

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