SERIE DI FIBONACCI E GALASSIE A SPIRALE

Giuseppe D’Angelo

INTRODUZIONE

Non si esagera più di tanto se si afferma che la realtà del mondo fisico altro non è se non la

materializzazione di regole ed evidenze matematiche. Il rapporto tra matematica e realtà è un dato di fatto

che non necessita di alcuna dimostrazione. E’ però divertente porre in risalto tale rapporto in alcuni

contesti in cui è possibile osservarlo. E’ il caso della relazione tra sequenza di Fibonacci (1)e le classiche

forme a spirale delle galassie regolari. Ricordando poi che la forma a spirale delle galassie è una

conseguenza della forza di gravità che regola il moto attorno al centro di massa delle stesse è possibile

affermare che anche il modo di agire della gravità segue la stessa regola matematica.

SERIE DI FIBONACCI E SPIRALE LOGARITMICA

La serie di Fibonacci è rappresentata da una successione di numeri in cui, esclusi i primi due (1 e 2),

ciascuno è dato dalla somma dei precedenti due, così ad esempio 1,2,3,5,8,13,21,34, 55, 89,144, ecc. Così

in formula: (per ogni n>2). Gli elementi sono anche detti numeri di Fibonacci.

Il rapporto , per tendente all'infinito, tende al numero algebrico irrazionale chiamato sezione

aurea o numero di Fidia. In termini matematici:

dove

Della sezione aurea si parlerà in altra occasione. Vogliamo ora vedere come si arriva alla spirale logaritmica

(2) partendo da una tale serie di numeri. Possiamo arrivare a tale conclusione considerando ogni valore

della serie (escluso al più i primi due) come una misura indiretta del punto di intersezione della spirale

logaritmica con la superficie di una sfera cava che circoscrive ed è circoscritta da altre sfere analoghe. Tale

punto può essere poi proiettato su un piano mediano comune a tutte le sfere iscritte e circoscritte. Ciascun

punto proiettato apparterà così ad una specifica circonferenza di proiezione sulla quale sarà possibile

staccare un arco in funzione di un angolo specifico. Quindi il valore successivo della serie si troverà su una

circonferenza di raggio maggiore. In buona sostanza una serie infinita di circonferenze concentriche

equamente distanziate conterrebbe tutta la serie di Fibonacci. Su ciascuna circonferenza il punto rimane

individuato (partendo da un asse di riferimento comune, es. asse X) da un arco, pari proporzionalmente al

rapporto: numero di Fibonacci/raggio della circonferenza. Prendiamo ad esempio in considerazione la

1 https://it.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci

2 https://it.wikipedia.org/wiki/Spirale_logaritmica

seguente serie di circonferenze di raggio crescente unitariamente e confrontiamole con la corrispondente

sequenza di numeri di Fibonacci:

RAGGIO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …..

CIRCONFERENZA 0 6,28 45,76 293,8 1852 11645 73174 5E+05 3E+06 2E+07 1E+08 7E+08 5E+09 3E+10 2E+11 1E+12 7E+12 4E+13 …..

SERIE FIBONACCI

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 …..

Tab. 1

Calcoliamo adesso il rapporto numero di Fibonacci/raggio della rispettiva circonferenza:

SERIE FIBONACCI/RAGGIO

1 1 1 1,25 1,6 2,167 3 4,25 6,111 8,9 13,09 19,42 29 43,57 65,8 99,81 152 …..

Tab. 2

Consideriamo ora i valori trovati come percentuali di angolo giro a cui equivale un corrispondente arco

della relativa circonferenza (valore /100*360):

ANGOLO AL CENTRO CALCOLATO COME PERCENTUALE DI ANGOLO GIRO

3,6 3,6 3,6 4,5 5,76 7,8 10,8 15,3 22 32,04 47,13 69,9 104,4 156,9 236,9 359,3 547,2 …..

Tab. 3

E’ facile notare che si tratta di una serie di valori che crescono esponenzialmente (come i valori di

Fibonacci):

Grafico 1 Grafico 2

Servendoci adesso di Autocad disegniamo una serie di circonferenze concentriche di raggio crescente in

maniera uniforme (vedi disegno). Su ciascuna circonferenza individuiamo l’arco il cui angolo al centro è

stato già determinato nel modo precedentemente descritto. Esso è delimitato (partendo dall’asse X) dal

punto d’intersezione del raggio con la sua circonferenza (vedi disegno). Unendo ora tutti i punti

d’intersezione dei vari raggi con le rispettive circonferenze si ottiene una linea spiralata (in rosso nel

disegno).

Fig. 1

Si tratta di una spirale logaritmica (proiettata su un piano). Ovvero una forma molto presente in natura. Ne

sono esempi la disposizione delle brattee di una pigna, l’infiorescenza di certi cavolfiori, la disposizione dei

fiori nel capolino del girasole, la conchiglia di molti molluschi, la disposizione dei petali in molti fiori, i vortici

in genere, ecc.

Ma esiste realmente questa specifica correlazione tra spirale logaritmica e la tipica forma di una galassia a

spirale? Ovvero la disposizione delle stelle attorno al nucleo galattico segue le distanze e le posizioni

previste dalla progressione di Fibonacci?

Possiamo rispondere a queste domande utilizzando un metodo grafico. A tal fine è stata utilizzata una

immagine (scattata dal telescopio spaziale Hubble) della galassia a spirale regolare M51 (Whirlpool galaxy)

unita alla NGC 5195 attraverso un involucro comune di gas, entrambe situate nella costellazione dei Cani da

Caccia. Questa immagine (che costituisce una visione planimetrica della galassia) è stata opportunamente

sovrapposta alla spirale logaritmica precedentemente descritta. Il risultato grafico è osservabile nell’immagine

seguente. In essa la spirale logaritmica (in rosso) segue fedelmente la distribuzione assiale delle stelle di uno dei

bracci della galassia. La circonferenza grande al centro dell’immagine, nel punto in cui interseca la spirale,

individua, ad esempio, la posizione occupata da quelle stelle la cui distanza dal centro galattico è in rapporto ad

un preciso valore della serie di Fibonacci.

Fig. 2 Sovrapposizione tra spirale logaritmica e braccio della galassia. I segmenti rappresentano i raggi delle varie

circonferenze concentriche

CALCOLO DELLE DISTANZE

Partiamo adesso da questa correlazione che lega la posizione delle stelle nei bracci della galassia ai raggi

delle circonferenze generatrici della spirale logaritmica per fare delle semplici misure di distanza all’interno

della stessa galassia (vedi fig. 3 e fig. 4). Dai dati astrofisici sulla galassia facilmente ricavabili dal Web (3)

otteniamo il valore del diametro galattico pari a circa 100000 anni luce. Tenuto conto del raggio galattico,

misurato come numero di circonferenze concentriche, pari a 46 si ricava facilmente la distanza unitaria (tra

due circonferenze contigue) espressa in anni luce. Tale valore è di circa 1100 a.l. Con lo stesso

procedimento è possibile misurare la distanza tra i due centri galattici (circa 81000 a.l.) e il diametro della

più piccola NGC 5195 che risulta essere prossimo a 20000 a.l. come ricavabile dalle fonti Web (4).

3 https://it.wikipedia.org/wiki/M51_(astronomia)

4http://apod.nasa.gov/apod/ap130831.html

Fig. 3 Calcolo della distanza tra i due nuclei galattici

Fig. 4 Determinazione del diametro della galassia NGC5195

SPECULAZIONI CONCLUSIVE

Partendo dal presupposto che la distribuzione a spirale delle stelle della galassia è un effetto della gravità è

logico dedurre che esiste un nesso anche tra gravità e serie di Fibonacci. Ovvero che la gravità abbia un

andamento (crescente o decrescente) secondo livelli concentrici (rappresentati, nelle varie figure

precedenti, dalle circonferenze concentriche ovvero dalle sfere concentriche). Questa conclusione trova,

peraltro, ulteriore nesso con quanto affermato dalla relatività generale in relazione alla deformazione dello

spazio-tempo operata dalle masse. In buona sostanza l’imbuto gravitazionale generato da un corpo di

massa maggiore (centro galattico nel nostro caso) determina una “caduta” delle masse orbitanti secondo

un andamento del tutto analogo ad una spirale logaritmica. Ricordiamoci poi che ogni singolo valore della

serie di Fibonacci è stato utilizzato per individuare un punto della spirale logaritmica che abbiamo assunto

come curva in grado di rappresentare l’andamento gravitazionale ovvero dei livelli gravitazionali. Possiamo

allora attribuire ai singoli valori della serie un significato di “numero quantico” indicativo dell’energia

gravitazionale. Ma anche i valori intermedi a due valori della serie evolvono in modo da poter essere

rappresentati da una spirale. Ogni valore intermedio della serie rappresenta un elemento di una nuova

serie di Fibonacci incorporata nella prima. Insomma la serie di Fibonacci nasconde al suo interno infinite

altre serie analoghe. Si consideri la seguente tabella dove ogni serie successiva alla prima è stata calcolata

sottraendo ad ogni elemento della serie precedente l’elemento che lo precede (escluso i primi due valori):

SERIE FIBONACCI

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 …..

SERIE FIBONACCI INTERMEDIA

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 …..

SECONDA SERIE FIBONACCI INTERMEDIA

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 …..

TERZA SERIE FIBONACCI INTERMEDIA

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 …..

………. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

INFINITA

SERIE…

….. ….. …. …. …. …. ….. ….. ….. ….. …..

Come si evince facilmente una spirale logaritmica racchiude un infinito numero di sequenze di Fibonacci

ovvero un altrettanto numero di spirali logaritmiche quasi a voler indicare l’esistenza di più livelli. Ad

esempio tra il valore 13 e 21 si colloca il valore 8 (loro differenza), ma questo valore appartiene alla prima

serie intermedia. Dal valore 8 discende, con lo stesso procedimento, il valore 3 che appartiene alla seconda

serie intermedia, e così via. Applicando il concetto al campo gravitazionale potremmo ipotizzare una serie

infinita di livelli e sottolivelli energetici (superfici equipotenziali). Vicino al centro di massa troviamo i livelli

più interni in cui la forza gravitazionale è più intensa (5).

Queste brevi considerazioni appena presentate non aggiungono nulla di nuovo o di importante a quanto già

si conosce sulla natura delle spirali logaritmiche, così ampiamente rappresentate in natura. Lo scopo di

5 https://it.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitazionale

questo breve lavoro rimane quello di tentare di interessare quanti sono venuti a conoscenza per la prima

volta di tale curiosità della matematica. E’ molto importante peraltro prendere coscienza dello stretto

rapporto tra matematica e realtà. Ovvero come la realtà fisica sia una organizzazione matematica della

materia e dell’energia.

BIBLIOGRAFIA

https://it.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci

https://it.wikipedia.org/wiki/Spirale_logaritmica

https://it.wikipedia.org/wiki/M51_(astronomia)

http://apod.nasa.gov/apod/ap130831.html

https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_della_relativit%C3%A0