60　　　1.　応 力 解 析 の 基 礎　 　1.8　材　料　力　学　　　61

,EAPL

EAPL

22 3

21

x y＝－

＝－d d

を得る。なお，部材 1，2，3の釣合いにより

R1＝S1，　R2＝S2，　R3＝S3

が成立する。

1 .8 .3　は　り　問　題

　〔 1〕　SFDと BMD　　図 1 .28に示すような三次元空間の直交座標系にお

軸まわりのモーメント荷重を考える。内力

を調べるために x軸に垂直な仮想断面を

考える。その断面には，一様分布する z軸

方向のせん断力 Q(x)と，y軸まわりの曲

げモーメントM(x)が作用しているものと

する。x軸方向の軸力や x軸まわりに捩る

モーメントは，はりに作用する x軸方向

の外力や，x軸まわりのモーメントがない

ので生じないと考える。図 1 .29に示すよ

うに，はりの xにおける仮想断面を考え

るとき，xz平面において仮想断面の左側

の部分を上側（z軸の正の方向に），右側

を下側（z軸の負の方向に）せん断すると

いて，ヤング率 E，直径 D，長さ Lの丸

棒を考える。

　棒の軸は x軸方向と一致しているもの

とし，このような棒に横荷重，曲げモーメ

ントが作用し曲げを受けるとき，この棒を

はりと呼ぶ。ここでは，横荷重として z軸

方向の集中荷重，圧力分布荷重，および y

きのせん断力の符号を正とする。また，左側および右側の部分を上に凸になる

ように曲げるモーメントの符号を正と定める。

　さて，はり構造に生じる，応力，ひずみ，変形を求めるためには，はりに生

じるせん断力と曲げ応力分布を求めることが必要である。これらの分布図のこ

とを，SFD（Shear Force Diagram，せん断力図）および BMD（Bending

Moment Diagram，曲げモーメント図）と呼ぶ。一端を完全固定し，他端の拘

束を自由にしたはりを片持ばりと呼ぶ。ここでは，片持ばりを例にとり，先端

に集中モーメント，せん断力，圧力分布が加わった場合を例にとり，SFDと

BMDの描き方を説明する。

　図 1 .30に示すように固定端が原点と

一致し，x軸の正の方向にある長さ Lの

片持ばりを考える。

　はりの先端には集中モーメントM 　が

加わった場合を考える。固定端での反

モーメントをMRとし，FBDを描く。は

り全体についてのモーメントの釣合いに

より

M 　－MR＝0

が成立する。

　座標 xを通過し x軸に垂直な任意の

仮想断面を考える。この断面により，は

りは固定端を含む部分と集中モーメント

を与える端部を含む二つの部分に仮想的

に分離される。図　（ c）　に示すように，それぞれの部分の FBDを描く。このと

き，前述したせん断力，曲げモーメントの符号の決め方により，固定端を含む

側（左側）の断面をずり上げる方向にせん断力 Q(x)が，その反作用として自

由端を含む側（右側）の断面をずり下げる方向にせん断力 Q(x)が作用してい

る。また，左側を上に凸になるような曲げモーメントM(x)が，その反作用と

x＝L

D

O

z z

x

y y

図 1 .28　一様円形断面を有するはり

O

－

L

M

－M

－M

z

x

（ a）　問題定義

（ c）　切断された二つの部材の FBD

（ b）　はり全体の FBD

M (x)MR

MR

M (x)

Q (x)

Q (x)L－xx

図 1 .30　 先端に集中モーメントを受ける片持ばり

O

（ a）　仮想断面によるはりの切断

z

xx

y

（ b）　正のせん断力の方向

z

z

x

（ c）　正の曲げモーメント方向

x

図 1 .29　仮想断面による切断

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62　　　1.　応 力 解 析 の 基 礎　 　1.8　材　料　力　学　　　63

して右側を上に凸となるような曲げモーメントM(x)が作用している。FBDを

参考にして仮想断面で切断された左側の部分の力の釣合いとモーメントの釣合

い式は

Q(x)＝0，　Q(x)x＋M(x)－MR＝0

となり，これらの式から次式を得る。

M(x)＝M 　

　一方，自由端を含む右側の部分の力の釣合いと

モーメントの釣合い式を立てて次式を得る。

Q(x)＝0，　M －M(x)＝0

　この結果は，左側の部分の釣合いから得られた

結果と同じになる。つまり，せん断力と曲げモー

メントの釣合い式は，どちらの部分を用いても同

じ結果を与える。以上の結果から，BMD

および SFDを描くと図 1 .31のようにな

る。

　図 1 .32に示すような片持ばりを考え，

はりの先端には鉛直下方向にせん断力

Q 　が加わった場合を考える。

　固定端での反力，反モーメントをそれ

ぞれ R，MRとし，FBDを描く。はり全

体についての力とモーメントの釣合いに

より

－Q －R＝0，　Q L－MR＝0

が成立し，次式を得る。

R＝－Q ，　MR＝Q L

　位置 xでの仮想断面を考え，その断

面ではりを二つの部分に分ける。図　（ c）

に示すようにFBDを描くことができる。

左側の部分での力とモーメントの釣合いを考える

と

Q(x)－R＝0，　M(x)－Q(x)x－MR＝0

となり，Q(x)，M(x)について解いて

Q(x)＝－Q ，　M(x)＝Q (L－x)

を得る。以上の結果から，BMDおよび SFDを描

くと図 1 .33のようになる。

　図 1 .34に示すような鉛直下方向（zの負の方

向）に単位長さ当り pの分布力が加わった片持ば

りを考え，固定端での反力，反モーメントをそれ

ぞれ R，MRとし FBDを描く。

　はり全体についての力とモーメ

ントの釣合いにより

－R－pL＝0，　

pL×L/2－MR＝0

を得る。これらに式を R，MRに

ついて解くと

R＝－pL，　MR＝pL2/2

を得る。位置 xでの仮想断面を

考え，その断面ではりを二つの部

分に分ける。図　（ c）　に示すよう

に FBDを描くことができる。左

側の部分での力とモーメントの釣

合いを考えると

Q(x)－px－R＝0，　

M(x)－Q(x)x＋px×x/2－MR＝0

となり，すでに求められた R，MRを代入して Q(x)，M(x)について解くと

Q(x)＝p(x－L)，　M(x)＝p/2(x－L)2

（ a）　SFD

Q

L

（ b）　BMD

M

L

x

x

－M

図 1 .31　先端に集中モーメントを受ける片持ばりのSFD，BMD

O

－

L

Q

－Q

－Q

R

R

x

（ a）　問題定義

（ c）　切断された二つの部材の FBD

（ b）　はり全体の FBD

M (x)MR

MR

M (x)

Q (x)

Q (x)L－xx

z

図 1 .32　 先端にせん断力を受ける片持ばり

（ a）　SFD

Q

L

（ b）　BMD

M

L

x

x

－－Q

－QL

図 1 .33　先端にせん断力を受ける片持ばりの SFD，BMD

pL

px

L/2

x/2 (L－x)/2p(L－x)

R

R

（ c）　切断された二つの部材の FBD

（ b）　はり全体の FBD

M (x)MR

MR

M (x)Q (x)

Q (x) L－xx

O－

－

－

－－

L

px

（ a）　問題定義

z

図 1 .34　一様分布力を受ける片持ばり

001-075_有限要素法_01章_nen.indd 62-63 平成30/03/16 12:24

64　　　1.　応 力 解 析 の 基 礎　 　1.8　材　料　力　学　　　65

となる。以上の結果から，BMDおよび SFDを描くと図 1 .35のようになる。

　さて，はりに作用するせん断力分布 Q(x)と，曲げモーメント分布 M(x)お

よび鉛直下方向に作用する単位長さ当りの分布力 p(x)の関係を調べるために，

はりの微小部分に関するせん断力，曲げモーメント，および分布荷重を記入し

FBDを描くと図 1 .36のようになる。

　その FBDを参考にして，力とモーメントの釣合い式を立てると次式が得ら

れる。

Q(x＋Dx)－Q(x)－p(x)Dx＝0 （1.129a）

x x x x x x x xx

M M Q p2

0＋ － － ＋ ＋ × ＝D D D DD

_ _ _ _i i i i （1.129b）

　式　（1.129 .a .b）　の両辺を Dxで除して

px

x x xx

Q Q0

＋ －－ ＝

D

D_ __

i ii （1.130a）

px

x x xx x x x

M MQ

21

0＋ －

－ ＋ ＋ ＝D

DD D

_ __ _

i ii i （1.130b）

を得る。

　さらに Dx→ 0の極限をとって次式を得る。

p ,x

xx

x

xx

d

dQ

d

dMQ＝ ＝

__

__

ii

ii （1.131）

　式　（1.131）　より次式を得る。

x

xx

d

d Mp2

2

＝_

_i

i （1.132）

　〔 2〕　弾性線の式　　前述したような軸が x軸と一致した丸棒が図 1 .37に

示すように上に凸な純曲げ変形を受けているとする。

　このとき微小部分 Dxは，Oを中心とする曲率半径 Rの円筒形状に変形し，

x軸に垂直な断面 ab，cdは，変形後，たがいに Hだけ傾いた断面 a'b'，c'd'

に変形するものの，はりの軸（mn）についての垂直性を保っていると仮定で

きる。したがって，ac部分は伸びて a'c'に，bd部分は縮んで b'd'になると考

えられる。したがって，曲げが生じる面 xz平面において位置 zにおける x軸

方向の垂直ひずみは次式で与えられる。

mna c mn

R

R z R

Rz

x＝－

＝＋ －

＝fH

H Hl l _ i（1.133）

　式　（1.133）　において，変形前の状態で x軸上に位置するmnのひずみはゼロ

である。すなわち伸び縮みは生じない。この面を中立面と呼ぶ。したがって，

はりには x軸方向に垂直な応力は，丸棒のヤング率を Eとして，フックの法

則を用いて次式で与えられる。

E ERz

x x＝ ＝v f （1.134）

（ a）　SFD

Q (x)

M (x)

L

（ b）　BMDL

x

x

－pL

pL2/2－

図 1 .35　 分布力を受ける片持ばりの SFD，BMD

x

Dxx

x

M (x＋Dx)M (x)

p (x)

Q (x＋Dx)

Q (x)

－

図 1 .36　分布力を受けるはりの FBD

a

a’m’

b’

c’n’

d’

m

c

n

b d

z

z

z

R

H

O

D

L

Dx

x

－M －M

図 1 .37　純曲げを受ける丸棒の変形

001-075_有限要素法_01章_nen.indd 64-65 平成30/03/16 12:24

66　　　1.　応 力 解 析 の 基 礎　 　1.8　材　料　力　学　　　67

　さて，はり断面における曲げモーメントは，式　（1.134）　で得られる引張り応

力を用いて次式のようになる。

y yM z d dzRE

z d dzREI

x

A A

2＝ ＝ ＝v## ## （1.135a）

yI z d dzA

2/ ## （1.135b）

　ここに式　（1.135b）　で定義される Iは，はりの断面形状から定義される断面

二次モーメントである。この場合には，直径

Dの丸棒であることを考慮し，図 1 .38を参

考にして，式　（1.135b）　を計算する。

y

sin

I z d dz z rdrd

r rdrdD64

/

/

A

D

D

2 2

0

2

0

2

0

2

0

2 2 4

＝ ＝

＝ ＝

{

{ {r

r

r

_ i

## ##

##

となる。円形断面以外でも同様に計算するこ

とができる。

　さて，はりの中立面上の任意点の z方向の

変位は xの関数であり，これを w(x)と表す。このとき曲率半径と w(x)との

関係は次式で表される。

x

xR

d

d w

ddw

1

/

2

2

2 3 2

＝－

＋e o* 4

（1.136）

　ここでマイナスの符号は，上に凸に変形する場合の曲率半径が正になるよう

にするために付けている。

　一方 ,　たわみ角 iは

xddw

＝i （1.137）

で与えられる。

　式　（1.136）　において，iが小さいとき曲率半径 Rは次式のように近似され

る。

x

R

d

d w

1

2

2－,（1.138）

　式　（1.138）　を式　（1 .135a）　に代入して次式を得る。

xM EI

d

d w2

2

＝－ （1.139）

　したがって，前述したようにはり断面における曲げモーメント分布M(x)が

求まっているのであれば，次式を解いてたわみ分布を決定できる。

x

x

d

d wEI

M2

2

＝－_ i

（1.140）

　一方，式　（1.140）　の両辺を 2階微分したうえで，式　（1.132）　の関係を用いて

次式を得る。

x

x

d

d wEI

p4

4

＝－_ i

（1.141）

　式　（1.141）　を用いて，不静定はり問題のたわみを決定することができる。

　〔 3〕　片持ばり問題　　例として，前述したはりの先端に集中モーメント

M 　を受ける片持ばりにおけるたわみ分布を，式　（1.140）　を用いて計算してみ

る。求められている曲げモーメント分布を式　（1.140）　に代入して

xd

d wEIM

2

2

＝－　　

を得る。この式の両辺を xで 2回積分して次式を得る。

x xwEIM

C C2

21 2＝－

　＋ ＋

　ここに C1，C2 は積分定数である。

　C1，C2 は x＝0での境界条件，すなわち完全固定の境界条件 w＝0，dw/dx

＝0より決定することができ，この場合 C1＝C2＝0 となる。したがって，たわ

み分布は

xwEIM2

2＝－　　

r sin {r

y{

z

D

O

図 1 .38　 円形断面の断面二次モーメント

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68　　　1.　応 力 解 析 の 基 礎　 　1.8　材　料　力　学　　　69

となる。同様な方法を用いて，片持ばりの先端に集中力が作用した場合や，一

様分布荷重が作用する場合のたわみ分布を計算できる。

合には，式　（1.141）　を用いてたわみ分布から計算する。この場合，まず次式が

成立する。

xd

d wEIp

4

4

＝－　

　この式の両辺を xで 4回積分して次式を得る。

x x x xwEIp

C C C C24

413

22

3 4＝－　

＋ ＋ ＋ ＋

xx x x

ddw

EIp

C C C6

3 2312

2 3＝－　＋ ＋ ＋

　ここに C1，C2，C3，C4 は積分定数である。両端完全固定の境界条件により

C1，C2，C3，C4 を決定する。まず，x＝0で w＝dw/dx＝0であるので，C3＝

C4＝0 となる。さらに x＝Lで，w＝dw/dx＝0の条件から

EIp

L C L C L24

0413

22－

　＋ ＋ ＝ 　かつ　

EIp

L C L C L6

3 2 0312

2－　＋ ＋ ＝

　でなければならない。この二つの式から C1，C2 を求めることにより

,CEI

pLC

EIpL

12 241 2

2

＝ ＝－

を得る。

　したがって，たわみ分布は

x xwEIp

L24

2 2＝－　

－_ i

となり，式　（1.139）　より曲げモーメント分布は

xx

xM EId

d w p L L2 2 122

2 2 2

＝－ ＝ － －_ ei o* 4

　さらに，式　（1.131）　よりせん断力分布は

xx

xxQ

d

dMp

L2

＝ ＝ －__

eii

o

となる。以上の結果から，たわみ分布，BMD，SFDを図 1 .40に示す。

　図に示すように，二次元 xy平面において曲線 y＝f(x)上の点 A(x, f(x))と近

曲率半径

　つぎに，図 1 .39に示すように一様分布

荷重を受ける両端固定ばりのたわみ，およ

び曲げモーメント，せん断力分布を計算し

てみる。この問題は不静定問題であり力と

モーメントの釣合いだけから曲げモーメン

ト，せん断力分布を決定できない。この場

O

－

L

p

x

z

図 1 .39　 一様分布荷重を受ける両端固定ばり

Q

（ a）　SFD

Lx

L/2

L/2

pL2－

pL2－－

M

（ b）　BMD

Lx

pL2

12－－

pL2

12－

w w

（ c）　たわみ

Lx

L/2pL4

384EI

－－

（ d）　たわみ角

x)L/6(3＋ 3

)L/6(3－ 3

図 1 .40　一様分布荷重を受ける両端固定ばりの SFD，BMDとたわみ分布

y＝f (x)

f (x)

f (x＋Dx)

R

O x

A

B

y

x＋Dxx

Ds

Di

a

b

図　曲率半径の定義

001-075_有限要素法_01章_nen.indd 68-69 平成30/03/16 12:24

70　　　1.　応 力 解 析 の 基 礎　 　1.8　材　料　力　学　　　71

傍の点 B(x＋Dx, f(x＋Dx))を考える。点 A，Bにおける曲線の接線と x軸との角度を a，bとすると tan　a＝f(x)'，tan　b＝f'(x＋Dx)となる。曲線上の微小部分の長さを Ds，曲率中心に対する角度変化を Diとすると，曲率半径は　

/limR sx 0

＝→

iD DD

　と定義される。　図を参照して Dsは

xx x x

costans f1 12 2＝ ＝ ＋ ＝ ＋

aaD

DD Dl_ i

のように表される。　一方，Diが微小であるとき，次式が成り立つ。

tan tancos

sincos cos sin sinsin cos cos sin

tan tantan tan1

＝ － ＝－

－＝

＋－

＝＋－

,i i b ab a

b a

b a b a

b a b a

b a

b a

D D __

_i

i

i

　したがって

x x x

x x x

f f

f f

1＝＋ ＋

＋ －iD

D

D

l l

l l

_ _

_ _

i i

i i

　よって

xx x x

x x x

x

x

x x x

x x x

sf

f f

f f

ff f

f f

11

11

2

2

＝ ＋＋ －

＋ ＋

＝ ＋＋ －

＋ ＋

iD

D

D

D

D

D

D

ll l

l l

ll l

l l

__ _

_ _

__ _

_ _

ii i

i i

ii i

i i

$

$

.

.

　ゆえに

x

x

x x x

x x x

xx

x

x

x

lim limRs

ff f

f f

ff

f

f

f

11

11 1

x x0 0

2

22 2

2

3

＝ ＝ ＋＋ －

＋ ＋

＝ ＋＋

＝＋

→ →iD

D

D

D

D

D Dl

l l

l l

lm

l

m

l

__ _

_ _

__

_

_

_`

ii i

i i

ii

i

i

i j

$ .

　典型的なはり問題のたわみ解の式は，材料力学の多くの教科書に記載されており，実務的にはそれらを参照することにより，改めて弾性線の式を解くこともなく解を求められる。一方，典型的なはり問題の典型的な位置でのたわみやたわみ角の解を暗記しておくことは，実務において役に立つことも多い。例えば片持ばりに先端に集中モーメントせん断力，あるいは一様な分布荷重を与えた場合の自

ひと富士見ろや

由端でのたわみ，たわみ角は本文で示した式を用いて，図のようにまとめられる。　さて，たわみやたわみ角は，外力であるモーメント，集中力，荷重に比例し，曲げ剛性 EIに反比例することが明らかであるので，荷重項は分子に曲げ剛性は分母にくることがわかる。長さ Lも大きいほどたわみやたわみ角が大きくなるので分子に入ることは明らかである。しかしながら，その効き具合は直感ではわからない。そこで仮にたわみやたわみ角が長さ Lの a乗に比例すると仮定し，次元解析を実施して aを決定する。　例えば，片持ばりの先端に集中力を与えた場合のたわみが PL

a/EIに比例することがわかっているとする。　SI単位を用いて，荷重 Pの単位は［N］，長さ Lの単位は［mm］，ヤング率 E

の単位は［N/mm2］，断面二次モーメントの単位は［mm4］なので，たわみの単位は次式で表される。

/N mm mm

N mmmm

2 4

2＝ －

a

a8 87 8 8B BA B B

したがって aは 3であることがわかる。　あとは係数を知れば，たわみについての表記式を得ることができる。　この表記式の係数だけを語呂合わせで暗記するための方法の一つとして，1（ひと），2（ふ），2（じ），3（み），6（ろ），8（や）：「ひとふじみろや」（ひと富士見ろや）と覚える方法もある。

先端の傾斜角

先端のたわみ

M

P

L

L

L

p

ML1 EI

ML2

2 EI

PL2

2 EIPL3

3 EI

pL3

6 EIpL4

8 EI

図　片持ばりの先端の回転角とたわみ

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