Simulacion de Procesos Fısicos

(Fısica Computacional).Herramientas Matematicas.

F. A. Velazquez-Munozfederico.vemu@gmail.com

Departamento de FısicaCUCEI UdeG

2018A

Derivacion Numerica

La derivada de primer orden de una funcion de una variablef = f(x) en el punto x = a es:

f ′(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h(1)

f ′(a) = lımh→0

f(a)− f(a− h)

h(2)

f ′(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a− h)

2h(3)

donde h = ∆x

La derivada de segundo orden de una funcion de unavariable f = f(x) en el punto x = a es:

f ′′(a) = lımh→0

f(a+ h)− 2f(a) + f(a− h)

h2(4)

f ′′(a) = lımh→0

f(a+ 2h)− 2f(a+ h) + f(a)

h2(5)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b)

Figura : (a) aproximacion de la derivada con (a) h→ π/4 y (b)con h→ 0

numericamente tenemos que el esquema de diferenciacion es

xp(k) =x(k + 1)− x(k)

dx(6)

para k = 1, 2, ..., N − 1, donde x(k) son datos de una serie ovalores de una funcion, y xp(k), los valores aproximados desu derivada.

ejemplo:

considere valores de f = sin(x) para x = [0, 2π].

a) calcule la funcion f ′ = dfdx

.

b) calcula la aproximacion de f ′ con diferencias:adelantadas, centradas y atrasadas.

Diagrama de flujo:

I Entradas

I Variables

I Proceso

I Salida

I Visualizacion

programa para calcular la derivada numerica de la funcionf(x) = sin(x).

program numdiff

parameter (n=20)i n t e g e r ir e a l : : x (n ) , y (n ) , f (n ) , yp (n ) , dx

dx=2∗3.1416/(n−1)

do i =1,nx ( i )=( i −1)∗dxy ( i )= s in (x ( i ) )f ( i )=cos (x ( i ) )

enddo

yp(1)=(y(2)−y (1 ) )/ dxdo i =2,n−1

yp ( i )=(y ( i+1)−y ( i −1))/(2 . e0∗dx )enddoyp (n)=(y (n)−y (n−1))/dx

open ( un i t =100 , f i l e =’numdiff . dat ’ )do i =1,n

wr i t e (100 ,200) x ( i ) , y ( i ) , yp ( i ) , f ( i )enddo

200 format ( ’4 F10 . 4 ’ )c l o s e (100)

end

Programa en Matlab para graficar la funcion sin(x), suderivada analıtica cos(x) y la aproximacion a la derivadapor diferencias finitas.c l e a r a l l

dat=load ( ’ numdiff . dat ’ ) ;

c l fsubplot 211p lo t ( dat ( : , 1 ) / pi , dat ( : , 2 ) , ’ . − k ’ )g r id ons e t ( gca , ’ FontSize ’ , 1 6 )s e t ( gca , ’ Xtick ’ , [ 1 2 ] )ax i s ([−0 2 −1 1 ] )t ext ( 0 . 2 5 , 0 . 5 , ’ f ( x ) ’ , ’ FontSize ’ , 1 8 )

subplot 212p lo t ( dat ( : , 1 ) / pi , dat ( : , 4 ) , ’ . − k ’ )hold onp lo t ( dat ( : , 1 ) / pi , dat ( : , 3 ) , ’ o−k ’ )g r id ons e t ( gca , ’ FontSize ’ , 1 6 )s e t ( gca , ’ Xtick ’ , [ 1 2 ] )ax i s ([−0 2 −1 1 ] )t ext ( 0 . 4 , 0 . 5 , ’ df ( x )/dx ’ , ’ FontSize ’ , 1 8 )

drawnow

pr in t −depsc numdiff2

N = 10, ∆x = 2π/10

1 2−1

−0.5

0

0.5

1

f(x)

1 2−1

−0.5

0

0.5

1

df(x)/dx

N = 20, ∆x = 2π/20

1 2−1

−0.5

0

0.5

1

f(x)

1 2−1

−0.5

0

0.5

1

df(x)/dx

Integracion Numerica

Integracion por area del rectangulo bajo la curva

a b

f(a)

f(b)

∫f(x)dx = lım

n→∞

n∑i=1

f(xi)∆x

donde ∆x = b− a

Integracion por area del rectangulo bajo la curva

a b

f(a)

f(b)

∫f(x)dx ≈ f(a)(b− a)

Integracion por area del rectangulo bajo la curva

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

x5∫

f(x)dx ≈n−1∑i=1

f(xi)∆x

donde ∆x = x2 − x1 = x3 − x2 = ... = xn − xn−1

Metodo del Trapecio (rectangulo + triangulo)

a b

f(a)

f(b)

∫f(x)dx ≈ f(a)(b− a) +

1

2(f(b)− f(a)) (b− a)

∫f(x)dx ≈

[1

2f(a) +

1

2f(b)

](b− a)∫

f(x)dx ≈ 1

2[f(a) + f(b)] (b− a)

Metodo del trapecio

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

x5

∫f(x) ≈ 1

2f(x1)dx+

1

2f(x2)∆x+ (7)

1

2f(x2)dx+

1

2f(x3)∆x+ (8)

... (9)1

2f(xn−1)dx+

1

2f(xn)∆x

Metodo del trapecio

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

x5

∫f(x) ≈

[1

2f(x1) +

n−1∑i=2

f(xi) +1

2f(xn)

]∆x

Metodo de la regla de Simpson

−dx 0 +dx

f(−dx)

f(0)f(+dx)

∫f(x) ≈ ∆x

3[f(−dx) + 4f(0) + f(dx)]∫

f(x) ≈ ∆x

3[f(x1) + 4f(x2) + f(x3)]

Metodo de la regla de Simpson

x1 x

2 x

3

y1

y2

y3

xi−1

xi x

i+1

yi−1

yi y

i+1

xn−2

xn−1

xn

yn−2y

n−1 yn

∫f(x) ≈ ∆x

3

f(x1) +

n/2∑i=2

(4f(x2i) + 2f(x2i+1)) + f(xn)

Aplicaciones

Aproximacion de la ecuacion de caida libre

d2y

dt2= g

sujeta ay(0) = yo

y′(0) = vo

Primero recordemos que

d2y

dt2=dv

dt= g

y por diferenciasdv

dt≈ vk+1 − vk

∆t

de donde podemos obtener

vk+1 = vk + g∆t

Una vez que calculamos v, podemos calcular y mediante

dy

dt= v

y por diferenciasdy

dt≈ yk+1 − yk

∆t

de donde podemos obtener

yk+1 = yk + v∆t

La forma directa de calcular una solucion de

d2y

dt2= g

es por diferencias de segundo orden

d2y

dt2≈ yk+1 − 2yk + yk−1

∆t2

de donde podemos obtener

yk+1 = −yk−1 + 2yk + g∆t

program movr e a l : : yf , v fr e a l : : yo , vo ,vmr e a l : : dt , g , ti n t e g e r k

yo=0. e0vo=0. e0

g =−9.81e0t = 0 .0 e0dt = 1 . e0tmx= 5tk = tmx/dt

open ( un i t =100 , f i l e =’movdata1 . dat ’ )wr i t e (100 ,∗ ) t , vo , yodo k=1, tk

t=k∗dtvf=vo+g∗dt

vm=(vo+vf ) /2 . e0

yf=yo+vm∗dt

vo=vfyo=yf

wr i t e (100 ,∗ ) t , vf , y f

enddo200 format ( ’2 F10 . 4 ’ )

c l o s e (100)end program

program movr e a l : : yf , v fr e a l : : yb , yo , vo ,vmr e a l : : dt , g , ti n t e g e r k

yb=0. e0yo=0. e0vo=0. e0

g =−9.81e0t = 0 .0 e0dt = 1 . e−2tmx= 5tk = tmx/dt

open ( un i t =100 , f i l e =’movdata3 . dat ’ )wr i t e (100 ,∗ ) t , vo , yodo k=1, tk

t=k∗dtvf = vo + g∗dt

!vm=(vo+vf ) /2 . e0

yf = − yb + 2∗yo + g∗dt ∗∗2. e0

vo=vfyb=yoyo=yf

wr i t e (100 ,∗ ) t , vf , y f

enddo200 format ( ’2 F10 . 4 ’ )

c l o s e (100)end program

program movr e a l : : yf , v fr e a l : : yo , vo ,vmr e a l : : dt , g , ti n t e g e r k

yo=0. e0vo=0. e0

g =−9.81e0t = 0 .0 e0dt = 1 . e0tmx= 5tk = tmx/dt

open ( un i t =100 , f i l e =’movdata1 . dat ’ )wr i t e (100 ,∗ ) t , vo , yodo k=1, tk

t=k∗dtvf=vo+g∗dt

vm=(vo+vf ) /2 . e0

yf=yo+vm∗dt

vo=vfyo=yf

wr i t e (100 ,∗ ) t , vf , y f

enddo200 format ( ’2 F10 . 4 ’ )

c l o s e (100)end program

program movr e a l : : yf , v fr e a l : : yb , yo , vo ,vmr e a l : : dt , g , ti n t e g e r k

yb=0. e0yo=0. e0vo=0. e0

g =−9.81e0t = 0 .0 e0dt = 1 . e−2tmx= 5tk = tmx/dt

open ( un i t =100 , f i l e =’movdata3 . dat ’ )wr i t e (100 ,∗ ) t , vo , yodo k=1, tk

t=k∗dtvf = vo + g∗dt

!vm=(vo+vf ) /2 . e0

yf = − yb + 2∗yo + g∗dt ∗∗2. e0

vo=vfyb=yoyo=yf

wr i t e (100 ,∗ ) t , vf , y f

enddo200 format ( ’2 F10 . 4 ’ )

c l o s e (100)end program

circulo rojo: aproximacion por diferenciaspunto azul: solucion analıtica

1 2 3 4 5−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0posición [m]

1 2 3 4 5−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0velocidad [m s

−1]

yk+1 y vk+1 con diferencias de primer orden

1 2 3 4 5−500

−450

−400

−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50

0posición [m]

1 2 3 4 5−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0velocidad [m s

−1]

yk+1 con diferencias de segundo orden (∆t = 1,00 s)vk+1 con diferencias de primer orden

circulo rojo: aproximacion por diferenciaspunto azul: solucion analıtica

1 2 3 4 5−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0posición [m]

1 2 3 4 5−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0velocidad [m s

−1]

yk+1 y vk+1 con diferencias de primer orden

1 2 3 4 5−500

−450

−400

−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50

0posición [m]

1 2 3 4 5−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0velocidad [m s

−1]

yk+1 con diferencias de segundo orden (∆t = 1,00 s)vk+1 con diferencias de primer orden

circulo rojo: aproximacion por diferenciaspunto azul: solucion analıtica

1 2 3 4 5−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0posición [m]

1 2 3 4 5−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0velocidad [m s

−1]

1 2 3 4 5−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0posición [m]

1 2 3 4 5−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0velocidad [m s

−1]

yk+1 con diferencias de segundo orden (∆t = 0,01 s)vk+1 con diferencias de primer orden

Solucion de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Ecuacion Diferencial Ordinaria de Primer Orden

dy(x)

dx= f(x, y)

sujeto a la condicion inical y(x = a) = αy definida para a ≤ x ≤ b.

De forma general:

dy

dt= f(t), y(t = to) = yo

∫ yn

yo

dy =

∫ tn

to

f(t)dt

y = yo+

∫ tn

to

f(t)dx

Metodo de Runge-Kutta para EDO de primer orden

Metodo de Runge-Kutta de segundo orden

yi = yo

k1 = hf(xi , yi)

k2 = hf(xi + h , yi+ k1)

yi+1 = yi +1

2(k1 + k2)

Metodo de Runge-Kutta de tercer orden

yi = yo

k1 = hf(xi , yi)

k2 = hf(xi + h/2, yi + k1/2)

k3 = hf(xi + h/2, yi + k2/2)

k4 = hf(xi + h , yi+ k3)

yi+1 = yi +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

Ejemplo de Solucion por el metodo de Runge-Kutta

dy

dx= 2xy

bajo la condiciony(0) = 1

definido para x en [0 0.5].

I Definir variables

I Valor de variables

I Principal y subrutinas

I Diagrama de flujo

I Visualizacion de resultados

I Validacion

program rk1CC dyC −−−− = 2xy ;C dxCC y(0)=1 , dx=0.1; t = [ 0 , 0 . 5 ] .C

r e a l : : y , yo , to , t fi n t e g e r : : k

yo=1.0;to =0.0;t f =0.1;

open ( un i t =100 , f i l e =’ rk1 . dat ’ )wr i t e (100 , ’ ( 2F9 . 3 ) ’ ) to , yodo k=1,5

c a l l runkut ( yo , to , t f , y ) ;wr i t e (100 , ’ ( 2F9 . 3 ) ’ ) t f , yyo=yto=t ft f=t f +0.1

enddoc l o s e (100)returnend

C −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−subrout ine fun (x , y , f )

r e a l x , y , f

f=2∗x∗y

end

subrout ine runkut ( yo , xo , xf , y )

r e a l : : x , y , xo , yo , xf , f , dxr e a l : : K1 ,K2 ,K3 ,K4i n t e g e r : :N

N=10dx=(xf−xo )/(N)

do j =1,Nx=xoy=yoc a l l fun (x , y , f )K1=dx∗ f

x=xo+0.5∗dxy=yo+K1/2c a l l fun (x , y , f )K2=dx∗ f

x=xo+0.5∗dxy=yo+K2/2c a l l fun (x , y , f )K3=dx∗ f

x=xo+dxy=yo+K3c a l l fun (x , y , f )K4=dx∗ f

y=yo+(K1+2∗K2+2∗K3+K4)/6xo=xo+dxyo=y

enddoend

0 .000 1 .0000 .100 1 .0100 .200 1 .0410 .300 1 .0940 .400 1 .1740 .500 1 .284

c l e a r a l lc l cdso lve ( ’Dy=2∗x∗y ’ , ’ y (0)=1 ’ , ’ x ’ ) ;x=0;f o r k=1:6

eva l ( [ ’ y=’ char ( ans ) ’ ; ’ ] )X(k)=x ; Y(k)=y ;x=x+0.1;

end%− − − − − − − − − − − − − − − − −dat=load ( ’ rk1 . dat ’ ) ;c l fp l o t ( dat ( : , 1 ) , dat ( : ,2) , ’ .−−k ’ , . . .

’ MarkerSize ’ , 5 0 , . . .’ Linewidth ’ , 2 )

hold onp lo t (X,Y, ’ . r ’ , ’ MarkerSize ’ , 2 0 )s e t ( gca , ’ YTick ’ , [ 1 : 0 . 1 : 1 . 3 ] )s e t ( gca , ’ FontSize ’ , 1 8 )g r id onax i s ( [ 0 0 .5 1 1 . 3 ] )drawnowpr in t −depsc rk1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51

1.1

1.2

1.3

Ecuacion Diferencial de Segundo Orden

d2y

dt2= f(y, y′, t)

sujeto a la condicion inical y(t = a) = α y y′(t = a) = θy definida para a ≤ t ≤ b.

Reduccion a sistema de Ecuaciones Ordinarias

u1 = y; u2 = y′

u′1 = u2; u′2 = y′′

u′1 = u2 ←− f1

u′2 = f(u1, u2, t)←− f2

sujeto a la condicion inical u1(0) = α y u2(0) = θy definida para t > 0. (a = 0 en este caso).

Metodo de Runge-Kutta para sistema de 2 EDO de primer orden. El indice 1 serefiere a u′1 = v (ec. para posicion) y el indice 2, a u′2 = f(y, y′, y) (ec. paravelocidad).

u1 = α

u2 = θ

k11 = hf1(t, y, y′)

k21 = hf2(t, y, y′)

k12 = hf1(t+ h/2, y + k11/2, y′ + k21/2)

k22 = hf2(t+ h/2, y + k11/2, y′ + k21/2)

k13 = hf1(t+ h/2, y + k12/2, y′ + k22/2)

k23 = hf2(t+ h/2, y + k12/2, y′ + k22/2)

k14 = hf1(t+ h, y + k13 , y′ + k23)

k24 = hf2(t+ h, y + k13 , y′ + k23)

yi+1 = yi +1

6(k11 + 2k12 + 2k13 + k14)

y′i+1 = y′i +1

6(k21 + 2k22 + 2k23 + k24)

NOTA ACLARATORIA

I se debe considerar un sistema de dos ecuacionesdiferenciales ordinarios de primer orden donde losterminos del lado derecho son representados porfunciones f1 y f2.

I ambas funciones dependen, en general, de y, y′ y t.

I se deben calcular las k’s de forma simultanea para lasdos ecuaciones, es decir, se calculan las dos k1, despueslas dos k2, etc.

I esto es porque las k4 dependen de las k3, las k3, de lask2 y las k2, de las k1.

I se puede generalizar con ciclos, tanto para los calculosen el metodo RK como para evaluar las funciones.