Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

Simulado OBM – Nível 2

Gabarito Comentado

Questão 1. Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação ?

a) 13

b) 26

c) 38

d) 39

e) 40

Resolução

Entre 9 e 49 temos 39 números inteiros.

Gabarito: d

Questão 2. Hoje é sábado. Que dia da semana será daqui a 99 dias?

a) segunda-feira

b) sábado

c) domingo

d) sexta-feira

e) quinta feira

Resolução

Uma semana tem 7 dias. Assim, se dividirmos 99 por 7 temos a quantidade de semanas. O resto nos

dará a quantidade de dias que se passam depois de sábado. semanas, sobra 1 dia. Como estamos contando uma semana que termina no sábado, mais um dia temos DOMINGO.

Gabarito: c

Questão 3. Um pai tem 33 anos e seu filho, 7 anos. Depois de quantos anos a idade do pai será o tri-plo da idade do filho?

a) 3

b) 7

c) 6

d) 9

e) 13

Resolução

Consideremos a quantidade de anos passados.

Hoje o pai tem 33 anos, daqui a ele terá anos. E, o filho que hoje tem 7 anos, daqui a anos

terá anos.

A questão quer saber depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho . Logo,

2

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

anos

Gabarito: c

Questão 4. 2 melancias custam o mesmo que 9 laranjas mais 6 bananas; além disso, meia dúzia de bananas custa a metade de uma melancia. Portanto, o preço pago por uma dúzia de laranjas e uma dúzia

de bananas é igual ao preço de:

a) 3 melancias

b) 4 melancias

c) 6 melancias

d) 5 melancias

e) 2 melancias

Resolução

Tomemos melancias por , laranjas por e bananas por . Pelos dados da questão sabemos que:

Gabarito: a

Questão 5. Paulo e Cezar têm algum dinheiro. Paulo dá a Cezar e, em seguida, Cezar dá a

Paulo

do que possui. Assim, ambos ficam com . A diferença entre as quantias que cada um

tinha inicialmente é:

a) b) c) d) e)

Resolução

Paulo tem x reais e Cezar tem y reais.

A quantia que Paulo possui é:

A quantia que Cezar possui é:

.

3

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

Logo, x = 14 e y = 22.

A diferença entre suas quantias é: y – x = 8.

Gabarito: b

Questão 6. O retângulo da figura a seguir está dividido em 7 quadrados. Se a área do menor quadra-do é igual a 1, a área do retângulo é igual a:

a) 42

b) 44

c) 45

d) 48

e) 49

Resolução

Completando a figura com quadradinhos de lado 1, vemos 3 quadrados de área 1, 1 quadrado de área

9, 2 quadrados de área 4 e 1 quadrado de área 25. Logo a área do retângulo é 3 + 9 + 2 4 + 25 = 45.

Gabarito: c

Questão 7. Você possui muitos palitos com e de comprimento. Para fazer uma fila de pa-

litos com comprimento total de 2 metros, o número mínimo de palitos que você precisa utilizar é:

a) 29

b) 30

c) 31

d) 32

e) 33

Resolução

A quantidade utilizada de palitos é mínima quando o número de palitos de 7 cm é máximo. Como 200 =

28 7 + 4 = 26 7 + 3 6, o número mínimo de palitos é 29.

Gabarito: a

4

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

Questão 8. A maior raiz da equação é:

a) 39

b) 43

c) 47

d) 50

e) 53

Resolução

Pensemos. Qual o número que ao quadrado resulta em 169? 13 ou -13.

Logo, Assim,

A maior raiz é .

Gabarito: d

Questão 9. Uma certa máquina tem um visor, onde aparece um número inteiro , e duas teclas A e B.

Quando se aperta a tecla A o número do visor é substituído por . Quando se aperta a tecla B o

número do visor é substituído por – . Se no visor está o número 5, apertando alguma seqüência das teclas A e B, o maior número de dois alga-

rismos que se pode obter é:

a) 85

b) 87

c) 92

d) 95

e) 96

Resolução

O diagrama de árvore a seguir mostra os resultados que podem ser obtidos.

5

14

11

32

23

41

29

68

47

95

65

86

59

83

95

Nele vemos que o maior é 95.

Gabarito: d

5

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

Questão 10. Em um hotel há 100 pessoas. 30 comem porco, 60 comem galinha e 80 comem alface. Qual é o maior número possível de pessoas que não comem nenhum desses dois tipos de carne?

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

Resolução

Supondo que todos os que comem galinha também comem porco, então 40 pessoas, no máximo, não

comem nenhum desses dois tipos de carne.

Gabarito: d

Questão 11. Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles

estão na figura abaixo. Qual é a área do retângulo ABCD?

16

12 27

A

B C

D

a) 80

b) 84

c) 86

d) 88

e) 91

Resolução

Se dois retângulos possuem mesma altura então a razão entre suas áreas é igual a razão entre suas

bases. Se dois retângulos possuem mesma base, então a razão entre suas áreas é igual a razão entre

suas alturas. Isto permite concluir que o retângulo grande tem base 4 + 9 = 13, e altura 3 + 4 = 7. Sua

área é, portanto, 13 7 = 91.

Gabarito: e

Questão 12. Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: são amarelos e são verme-lhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doen-

ça foi controlada verificou-se que no aquário, os peixes vivos eram amarelos. Aproximadamente,

que porcentagem dos peixes amarelos morreram?

a) 15%

b) 37%

c) 50%

d) 67%

e) 84%

6

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

Resolução

Imagine um aquário com 100 peixes sendo 90 amarelos e 10 vermelhos. Se peixes amarelos morre-

ram e depois ainda havia 75% de peixes amarelos no aquário, temos que , o que dá .

Se morreram 60 dos 90 peixes amarelos, a mortandade foi de , ou seja, aproximadamente 67%.

Gabarito: d

Questão 13. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em ca-

da uma gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda pagou de estacionamento. Se no final

ainda tinha , que quantia tinha Pedro ao sair de casa?

a) b) c) d) e)

Resolução

Faça as contas de trás para frente: .

Gabarito: d

Questão 14. Hoje, 12/6/2010, Pedro e Maria fazem aniversário. No mesmo dia em 2007, a idade de

Pedro era

da idade de Maria. No mesmo dia em 2013, a idade de Pedro será igual à de Maria quando

ele tinha 20 anos. Quantos anos Maria está fazendo hoje?

a) 30

b) 31

c) 32

d) 33

e) 34

Resolução

Sejam: a idade de Pedro e a de Maria.

Primeiro temos que

.

Pela segunda sentença, temos que .

Resolvendo o sistema

, obtemos

d = 7, p = 24 e p + d = 31.

Gabarito: b

7

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

Questão 15. No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, e são medidas de ângulos. Qual é o valor

da razão

?

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução

Como é isósceles, . Como é isósceles, .

Usando ângulo externo, . Como também é isósceles, .

Finalmente, usando mais uma vez ângulo externo podemos concluir que

Gabarito: d

Questão 16. Quantos dos números abaixo são maiores que 10?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Resolução

Os quadrados dos números são respectivamente: 99, 112, 125, 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e o

último são menores que o quadrado de 10 que é 100. Assim, os três números do meio são maiores que

10.

Gabarito: c

Questão 17. Uma grande empresa possui 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo

menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso, dos que falam Português também

falam Inglês e dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas?

a) 12

b) 14

c) 15

d) 16

e) 18

8

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

Resolução

Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que falam Inglês. É

fácil ver que,

Além disso, .

Com isso, o número de funcionários que falam as duas línguas é

Gabarito: d

Questão 18. Cinco inteiros positivos maiores que um satisfazem as seguintes condições:

Quanto vale a soma ?

a) 9

b) 16

c) 25

d) 36

e) 49

Resolução

Se são cinco inteiros maiores que um, então , e com isso, a soma quaisquer

quatro deles é pelo menos 8.

Observando a equação , onde e são primos, temos que e

.

Da mesma maneira, , então e . Mas, já

sabemos que logo, .

Assim,

Gabarito: d

Questão 19. Seja a soma dos algarismos pares do número . Por exemplo, . Qual o valor de ?

a) 200

b) 360

c) 400

d) 900

e) 2250

Resolução

Entre os números 1 e 100 o algarismo 2 aparece dez vezes como dígito das dezenas e dez vezes como

dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4, 6 e 8. Portanto, a soma pedida é

9

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

Gabarito: c

Questão 20. De quantas maneiras podemos dividir em moedas de 10 centavos e de 25 cen-tavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada?

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

Resolução

Sendo a quantidade de moedas de 10 centavos e a quantidade de moedas de 25 centavos, temos que

.

Para que x seja um valor inteiro positivo basta que y seja qualquer número par entre 2 e 38. Logo,

temos 19 maneiras diferentes.

Gabarito: e

Questão 21. Observe que:

Qual o menor valor possível da soma com inteiros positivos tais que

a) 289

b) 250

c) 425

d) 795

e) 103

Resolução

Temos que

Temos, então, quatro possibilidades

,17.5

1

22xy

xy

,17.5

5

2xy

xy

,17.5

17

2xy

xy

.17

5

2

2

xy

xy

Resolvendo os sistemas temos:

x 3612 720 204 132 y 3613 725 221 157

O menor valor da soma yx é 289.

Gabarito: a

10

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

Questão 22. Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes

do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma

forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter

o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?

a) 16

b) 25

c) 30

d) 60

e) 120

Resolução

Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes

para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso

pode ser feito de 64

1234

maneiras de modo que não haja dois cartões pintados da mesma for-

ma.

Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois ao serem giradas, obtém-se a

mesma.

Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir

3065 cartões diferentes.

Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos

dividir por 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.

Gabarito: c ou d ambas devem ser consideradas como resposta correta.

Questão 23. Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é cortado em 333 = 27 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo menos, uma face vermelha e

outra azul?

a) 6

b) 12

c) 14

d) 16

e) depende de quais faces do cubo são vermelhas e quais são azuis.

Resolução

Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis, então estas faces conterão um

total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do canto

destacado) que não têm face vermelha. Neste caso, exatamente 19 – 7 = 12 cubinhos têm pelo menos

uma face de cada cor.

11

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis incidindo num mesmo vértice, teremos duas faces

opostas e uma face lateral azul, o mesmo acontecendo para as faces vermelhas. Neste caso, supondo

que as faces superior, inferior e frontal sejam azuis, há 5 cubos que não possuem cor vermelha: os 3

cubos dos centros das faces azuis e os 2 cubos que dividem face com essas faces centrais. Como o mes-

mo ocorre para as faces vermelhas e há 26 cubos com pelo menos uma face pintada (de vermelho ou

azul), neste caso há 26 5 5 = 16 cubos com pelo menos uma face de cada cor.

Gabarito: e

Questão 24. Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio "Compre um e leve outro pela metade do preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percen-

tual é

a) "Leve dois e pague um”

b) "Leve três e pague um”

c) "Leve três e pague dois”

d) "Leve quatro e pague três”

e) "Leve cinco e pague quatro”

Resolução

Pela promoção, quem levar 2 unidades paga pelo preço de 1,5 unidade, logo quem levar 4 unidades

paga pelo preço de 3 unidades, ou seja, leva quatro e paga três.

Gabarito: d

Questão 25. Seis retângulos idênticos são reunidos para formar um

retângulo maior conforme indicado na figura. Qual é a área deste retângulo

maior?

a) 210 cm2

b) 280 cm2

c) 430 cm2

d) 504 cm2

e) 588 cm2

21 cm

Resolução

A partir da figura, vemos que o comprimento a dos retângulos menores é o dobro da sua largura b.

Temos então que 2 3 21a b b b b , ou seja, 7 cm e 14 cmb a .

Portanto, o comprimento do retângulo maior é 24 28 e a sua área é 21 28 588 cmb .

12

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

Gabarito: e

Questão 26. Figuras com mesma forma representam objetos de mesma massa. Quantos quadrados são necessários para que a última balança fique em equilíbrio?

?

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 12

Resolução

Na primeira balança temos 3 triângulos + 1 círculo = 6 quadrados.

Na segunda, vemos 2 triângulos + 4 círculos = 8 quadrados, ou seja, 1 triângulo + 2 círculos = 4 qua-

drados.

Logo, 4 triângulos + 3 círculos = (3 triângulos + 1 círculo) + (1 triângulo + 2 círculos) = 6 quadrados

+ 4 quadrados = 10 quadrados.

Gabarito: d

Questão 27. Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação

1 12 2

1x y x y .

Qual das alternativas apresenta um possível valor de y?

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

Resolução

Como

e x é inteiro positivo,

13

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

A única alternativa que contém um número da forma 4x – 1 é a alternativa C.

Gabarito: c

Questão 28. O desenho ao lado mostra um pedaço de papelão que será dobrado e colado nas bordas para formar uma caixa retangular. Os ângulos nos cantos do papelão são todos retos. Qual será o volume

da caixa em cm3?

15 cm

20 c

m

40 c

m

a) 1 500

b) 3 000

c) 4 500

d) 6 000

e) 12 000

Resolução

A caixa terá dimensões 20 cm 15 cm 10 cm. Logo, seu volume será igual a 20 15 10 = 3000 cm2.

15 cm

20 c

m

40 c

m

10 c

m

Gabarito: b

Questão 29. Sendo e números reais, pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à

adição, é verdade que A distributiva da adição em relação à

multiplicação não é sempre verdadeira, mas ocorre se, e somente se,

a)

ou

b) a = b = c

c) A igualdade nunca ocorre

d) a + b + c = 1 ou a = 0

e) a = b = c = 0

14

Te

ste

1ª

Un

ida

de

8º

an

o

MATEMÁTICA

Resolução

Temos

Tomando a = 1 e b = c = 0 vemos que as demais alternativas estão incorretas.

Gabarito: d

Questão 30. Dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, escolha alguns e coloque-os nos círculos brancos de tal forma que a soma dos números em dois círculos vizinhos seja sempre um quadrado per-

feito. Atenção: o 2 já foi colocado em um dos círculos e não é permitido colocar números repetidos;

além disso, círculos separados pelo retângulo preto não são vizinhos. 2

A soma dos números colocados em todos os círculos brancos é:

a) 36

b) 46

c) 47

d) 49

e) 55

Resolução

Nas condições dadas, a distribuição dos números pelos círculos é a representada a seguir. A soma dos

números escritos é 46.

Gabarito: b