8
Theory and Methodology Single machine scheduling with step-deteriorating processing times T.C.E. Cheng * , Q. Ding Department of Management, The Hong Kong Polytechnic University, Hung Hom, Kowloon, Hong Kong Received 13 September 1999; accepted 23 October 1999 Abstract We study in this paper a scheduling model in which each task has a normal processing time which deteriorates as a step function if its starting time is beyond a given deteriorating date. We focus on problems with identical task dete- riorating dates. We show that the ¯ow time problem is NP-complete and suggest a pseudo-polynomial algorithm for the makespan problem. We also introduce a general method of solution, which facilitates the identi®cation of solvable cases for some related problems. Finally, we provide a counter-example that invalidates the conjecture of optimality of a switching algorithm reported in the literature. Thus, we solve several unexplored or open problems and obtain a sharp boundary delineating the complexity of the considered problems. Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. Keywords: Scheduling; Sequencing; Step-deterioration; Computational complexity 1. Introduction Machine scheduling problems with time- dependent task processing times have received increasing attention from the scheduling commu- nity in recent years. Some papers have considered scheduling models with the task processing times being a linear function of their start times, for example, Cheng and Ding [2±4]. There are also several scheduling models which assume that the task processing times are piecewise-linear func- tions of their start times. A survey on scheduling research with time-dependent processing times can be found in Cheng and Ding [1]. The model closest to the subject of study in this paper is the step-deteriorating model, which can be stated as follows. A task system consisting of n independent tasks is denoted by TS fT i g; fa i g; fb i g; fd i g. Each task T i is characterized by a normal processing time a i P 0 and associated with a deteriorating date d i . If the T i starts after d i in a schedule, its processing time deteriorates and requires an extra amount of processing b i , which is called the dete- riorating penalty. The actual processing time p i of T i depends on its start time s i and can be modeled as a step-function: p i a i if s i 6 d i ; p i a i b i , otherwise. Let w i and C i denote the weight and completion time of T i , respectively, and C max maxfC i g be the makespan of a given schedule. Adopting the three-®eld notation European Journal of Operational Research 134 2001) 623±630 www.elsevier.com/locate/dsw * Corresponding author. Tel.: +852-27665215; fax: +852- 23645245. E-mail address: [email protected] T.C.E. Cheng). 0377-2217/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII: S 0 3 7 7 - 2 2 1 7 0 0 ) 0 0 2 8 4 - 8

Single machine scheduling with step-deteriorating processing times

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Single machine scheduling with step-deteriorating processing times

������ �� ������� �

��� �� ������� �������� ���� ���������������� ��������� �����

������ ���� �� �� ���

���������� ���������� ��� ��� ��� ���������� ���������� ���� �� ���� ��� ���

������� ! ������"�� ###$ ������� %! &���"�� ###

��������

'� ���� �� ���� ����� � �������� ���� �� ����� ���� ���( ��� � ������ ��������� ���� ����� ����������� �� �

���� )������� �) ��� ������� ���� �� "���� � ���� ����������� ���� '� )���� �� ���"���� ���� �������� ���( ����

�������� ����� '� ���� ���� ��� *�� ���� ���"��� �� +,��������� �� �� ��� � ���������������� �� ������ )�� ���

��(����� ���"���� '� ���� �������� � ������ ����� �) ��������� ����� )���������� ��� �����-������ �) �����"�� �����

)�� ���� ������ ���"����� .������� �� ������ � ���������/����� ���� ���������� ��� ���0������ �) ���������� �) �

�������� �� ������ ������� �� ��� ����������� ����� �� ����� ������� ���/����� �� ���� ���"���� �� �"���� � �����

"������ ��������� ��� ������/��� �) ��� �������� ���"����� � %11 �������� ������� 2�3� 4�� �� ��� ��������

�������� �������� $ ��5������ $ �����������������$ ������������� ������/���

� ���� ������

������ �������� ���"���� ���� ������������ ���( ��������� ����� ���� ���������������� ��������� )��� ��� �������� ���������� �� ������ ������ ���� ������ ���� ���������������� ����� ���� ��� ���( ��������� �����"��� � ������ )������� �) ����� ����� ������ )���/������ ���� �� ��� 6%789� ����� ��� ����������� �������� ����� ����� ������ ���� ������( ��������� ����� ��� ���������������� )��������� �) ����� ����� ������ 4 ������ �� �������� �������� ���� ������������ ��������� ����� ���

"� )��� �� ���� �� ��� 6 9� ��� ����������� �� ��� ��"0��� �) ���� �� ���� ����� �� �������������������� ����� ����� ��� "� ����� ��)�������

4 ���( ������ ��������� �) � ��������� ���(��� ����� "� �� � ������ ����� ����� ������ �������( �� �� ����������:� "� � ������ ��������� ���� �� � 1 �� ��������� ���� � ����������� ��� ��� ;) ��� �� ������ �)��� �� �� � �������� ������������ ���� ����������� �� ��5����� �� �/��������� �) ��������� ��� ����� �� ����� ��� ������������� �������� ��� ������ ��������� ���� �� �)�� ����� �� ��� ����� ���� �� �� ��� "� ������� � �����)�������< �� � �� �) �� � ��� �� � �� � ������������� =�� � �� � ����� ��� ��� �� ������������ ���� �) ��� ������������� ����/ � ��/��� "� ��� ��(����� �) � ������������ 4����� ��� ������-�� ��������

�������� >������ �) &���������� �������� !8 ?%11 @ A%!7A!1����������������B������B��

������������ ������� ����< CDE%�%FAAE% E$ )�/< CDE%�

%!A8E%8E�

������ �������� ������ G����������( ?������ ���� @�

1!FF�%% FB1 BH � ��� )���� ������ � %11 �������� ������� 2�3� 4�� �� ��� ��������

,;;< � 1 ! F F � % % F ? 1 1 @ 1 1 % D 8 � D

Page 2: Single machine scheduling with step-deteriorating processing times

������� "� I����� �� ��� 6E9 �� �����"� ����������������� ���"����� �� ����� ���� ���� �� ��� � �� �� �� � ��� ����� ����� � �� ��� ���)�������� ������� �� "� ������:�� .������������ � ��/�

�� ��

��� ������ ��� ��(������

*�� ���� �� ��� ��� *�� ���� ���"���� �������������� J��� �� "����� ������ ��������������-�� ��� ��/���� �� ��������� �������� ����(�� ���� ��� ������ ���( ���� '� ���� ����������� ���"��� ���� ���������������� ���������� ����� ����� �������� ����������� ��������� �� � �� �� ���� ������ )������� �� ���� ����/����� �� ���� ���"���� �������� � � ���/��

���

����4� � ��������� �/����� �) ��� �������� ����

����� �� ���� ������ ������� 0�""�� ����������� � )������� 4 ��� �) 0�"� ��� �� "� ������ �� ���)������� ����� ���� � ������ ���)� �)� ���� D ������>�"� ������ �� ��� ������ ���)� ���� ����� ������� ��� ������ ���� �) ���������� .�� ��� ��(� �)����������� �� ������ ���� ��� ������ ���� �� H ������� ����� J����� ��� ������ ��������� ���� )��0�" � �� ��� >�"� ���� ������ "� ������ �� ��������� ���)� ��� �� "� ������ �� ��������� �������� ����� ����� �� ��� �������� ���� �) ��������������� ��� ���� H� �� ��� ���� ��� ������ ����� ������ �������� ��������� ���� )�� 0�" � ����� � �� � �� � ��� ����� �� � ��� �� ��� ������������ �������� .��������� ��� ���"��� �� ������������������� ����� �� ��� ���� ��� �� �)��� ������ ���)� �� ��� �������� ����������� �������� ��������� ���� )�� 0�" � �� �� �) �� �� �������� ��� ������ ���)� �� �� � �� �) �� "� ��� ���������� �� ��� �������� ���)�� ��� �"0������ ���� ������:� ��� ����� ���� �) ���������� ������� ������������ �� ��� ��(������ �� ��� �������������� �� ��������� ����� ����� ����� �������������� �� ��� ��� �) 0�" *�� ������

��� ���������������� ���� ��� -��� �������� ��� ����������� "� ������� 6D9 �� ��������� ����� �� K�������� 6#9� ������� 6D9����� ��� ��(����� ���"��� ����� ��������� ����� �� K�������� 6#9 �������� ������ ��� *�� ���� ���"��� ���� � ������ ������� ��������� ����� ������� 6D9 ����� ���� ��� � �� �� �� � ��� �� � ����/ �� +,����������� ��� ������� ��������� ��������� )�� �����(����� ���"��� �) ���� ���� ������ ������

'������ ��� � �� �� �� � ��� �� � ����/ ��� ����������������� �� ������ �� ���� �� �� �������"���� �������� ����� �� K�������� 6#9������� � ��������� �������� �� ������ )�� ��� � � �� �� ��� �� � ��

���� ��� ����������

�) ��� �������� �� ������ �� ����� ���� ����������� ����� ������� ���������� �� ������� )����� ����� ���� ��� ������� ��� ��� ������� � ��� ����"�� ����������� ������������� 2��� ����������� � ������� �) ��������� ���������� ���� ��� "������ �� � ���������������� ��������� ������������ ���"���� ���� �� �5������� ������������� ������� ���������� �������� ��� ������� � ��� "��� ������� ����� ��������� �� -��- ���� �

��� ���� �) ��� ����� �� �� ���:� �� )������� ;�������� %� �� �������� � ����� �) �������������� ��� "� ��� �� ������ ����� ��� +,�������������� �) ��� � �� �� �� � ��� �� � ����/� ;����� �������� �� �� ���� ��� +,������������� �) ��� � �� �� �� � ��� �� � ��

�� � �������� ��

-� � ���������������� �� ������ )�� ��� � ���� �� � ��� �� � ����/ �� ��� ����������� ;� �������!� �� �������� � ������ ����� �) �������� )����� *�� ���� ���"����� ���� ����� ���� ����� �������)� � ������� �) �����"�� ����� )�� ���� ���������"����� ;� ������� 8� �� ������ � ���������/������ )�� ��� ���������� �) ��� �������� �� ������� ������� �� 6#9� ����� �� ����� ����������/����� �� ���� ���"���� �� ��� ���������� ���"���� � ����� "������ ��������� ��� �������/��� �) ��� ���������������� �����

� ���������������

����������� �� 0����-������� �� ���� ������� ����"� ���� ���� �� �� ����� ���� ���� �������������)����� �� ���� �� ��� ������ )����������� �) ��� � �� �� �� � ��� �� � ����/ ��K������(� ������� 6D9 ����� ���� ��� ���"����� +,���������� +�� �� ������� � ������� +,��������� ����) ����� ������ ,�������� �� �������"���� ��� ��"��5���� �������� )�� ��� � �� ���� � ��� �� � ��

�� �� ���� "��� �� ���� ������

I���� �� �������� �) ,�������� ���� � ����� � �� � �%� � � � � � � �� � � �%

����� ��� ��

��������� �� �������� �) ��� � �� ��

A%8 �!"!�! "���� #! ���� $ ������� %����� &��������� '������� ()* +,--(. /,)0/)-

Page 3: Single machine scheduling with step-deteriorating processing times

�� � ��� �����/ �� )������< �1 �������� �) ��������� ���2� �� � �%� � � � � � � �� ��� ���������2 �1� =�� �1 �� �1 "� ��� ���"��� ��� ������ �� �� � �� � ��� � � � � � � � � � � � �� � ��1 � !��

;) ��� � ��������� ���� ����� �/��� ��� ��"����� �� �% �) � ���� ���� � � �% � � ���

���� �� �

�����%

�� � �� ������� ��� ������������(� ����������� �� ��� �������� �� � "�)��� �1�� ��� ����� ��������� ���(� �)��� �1� ��� ��(������ �) ��� �������� ������� ��

��/ ������

�� � �1 ������%

��� � ��� � ��

J����� �� �"���� � �������� )�� �;) ��� � ��������� ���� ����� �/���� � �������

�� ��� )��� �) �� � �1��%� ���� ��/ ��� ����� �

�� �% ��� ��"���� �) ��� ��������� ���(�� �� ������� .� � � ;) ��� ����� ������ ��������� ���� �� �

�� ��� �� ���� 3� ���� ��� ������ ��������� ���� �)�1 �� �1 � �1 �� ��/ �

� �� �� � �1 � �1 � �� �

������������� ;) ��� ����� ������ ��������� ������ � �� ������� ���� 3� ���� ��� ����� ����������� ������� �� �% �� ��� �� ���� 3 �� ��/ ��

�� �� � �1 ��

����%�� � �� � �������������

&� ��� ����� ���� ��� � �� �� �� � ��� �����/

�� � ������� ���� �) ��� ���"��� ����� "� K�"��(�� ��� � 3��� 6F9� ����� �� ������������������� �����"��� ����� �� �"���� ��� )������� ������(�

������ � ��� ���"��� ��� � �� �� �� � ����� � ����/ �� +,��������� �� ��� ������� ������

����� ��� ����� *�� ���� �) � ������� �� ���5����� �������� �� ������ ����� ��� �"�������� ������� �� ��� *�� ���� ���"��� ��� � ���� �� � ��� �� � ��

��� �� ������ ���� ����

������ �� ��� �� ��������� �� �������� ����� ����� ������� ������� �� ��� )��� �)

��� � � ��%�%� � � � � �� � ���1���!� � � �!�%�%� � � � � �!� � ��

����� ����� �� �!�� �� ��� ��� ��������� ���(�� )�� � �� �� �� � �� %� ;� ���� ���������� ������������� �) �/���� �� � ���� �) ���(� � �� �� �%������������ �/����� �� ���� �) ����� � ����������( "������ � �� �% �� .� � � ���� �� ���������� �� ����� �� �������� ��� ����� ������� ������� ����� �� ����"���� �����( � �� ��� �����,�������� �� ��� ���"��� ��� � �� �� �� � ����� � ��

�� �� �"���� ��� )������� ��������

������� �) ��� �������� ��� ���� �� 4�����/ 4�

������� � ��� �� ��� ��� � �� �� �� � �������

� �� ���� ������

� �������� �����

;� ���� �������� �� �������� � ������ ������) �������� )�� ��� *�� ���� ���"����� ��������� ���� ����� �� �����)� � ������� �) �����"������� )�� ��� ���������������� ����� I���� ���������� � )�� ��� � �� �� �� � ��� �� � ��

���

������� ���� �) ���������� �� ������ ���� ������/��� �� ���� �) ���(� �� �� �� ���� �� � �� ���� � ��� I���� � ������� � )�� �� ��� � ����� ���������� ������� ������� �� ����� ��� ���(� �����"�)��� �� �� �� �� � � �� � ����� ��� ����������� �������� L��� ��� �/���� � ���� �� �������� %� �� �"���� ��� )������� ����� ��������

����� � �� ��� ����� � �� � � � ��� � ���� �� � ��� �� � ��

��� �� � ���� � �� ��� �� ����

�������� ����������� ����� �� � �� ��� �� � �� ��� � ��� ���� �� � ��� ����� �� �������� ���

.��� =���� � �� ��� ���� � ���� � ���� �)������ �� ��� )������� ������� �����/ ��� ���(������ �� ������������ ���� �) ������ ���������� ������ �� "���( ���� �� ������������� ���� �) �� � ��� =�� ��� -��� ���( "� ��� ��� �) ������� ,�� ��� ��/� ���( �� ��� �� �) ��� ������ �) ����� � ����"�� ���������� ���� ��� ���� ���( �� ��������� ������ ���� ��������� ����� ��� ���(� �������(�� .�� ��� �������� ���( ���� ������ ����������� �� ������ ����� ������ ����� �� ���( ���������

.�� � ���� �) ������ ������ �� ���� ���� �) ������"�� �) ������� ���(� �� ���� ����� �� �����.� � � 4 ������� )�� �

�!"!�! "���� #! ���� $ ������� %����� &��������� '������� ()* +,--(. /,)0/)- A%E

Page 4: Single machine scheduling with step-deteriorating processing times

������ � ��������� � �� ����� ���� ��� ����������( ��� �� ���� ����� �� -/�� �������� � �� ���� -/�� 4������ �� ��� �������� ��������� ���� ?�,�@ ���� )�� ��� ����� *�� ���� ���"����������� ��� ���(� �� � �� � �� ������������ ���� �) �� �� �� � ��� ������������� ;) ��� ���� ���(�� � �� �������� �� �� "�)��� ��� ����������� ��� �� ���� � �� � ��� �������� ��� ������� ������ ������� �������� ������������� '� ���� ���� ����� ���� ���������� ;) ��� ������� ��������� �) ��� � �� �������"��� ����� )��� =���� � �� �� ������ ������� ������� )�� ��� ���� �����"������ 4-��� ������� ������� ��� "� �"����� "� ����������� ��� ����� ������� ��������� 2��� �� ������������� �� ��������� �� �� ������ �� )�������

�� ������ �

� ����"���� ���( �������%� I��� � �����"����� )�� ��� ������� ���(� �� ����

������!� ��������� � �� ��8� ������� ��� ���(� �� � �� � �� ������������

���� �) �� �� �� � ��� �������������E� ��������� ��� ��(����� �) ��A� ;) ��� �������� ������� �� �������"��� ���� ����

������ ��� ����� �) ��� �"0������ )��������F� ��������� ��� �����"����� �� ���� % �� -�

�� ������� ���������=�� � ����� ��� ���"�� �) ��� ���( ������ �������� 4� ������ 4� ����� ��� �� ���� � ���������� ������ % �� ���� ��������� ��� "� �������� ��&� �� �� ��� ����� ������ ���� �) 4� ������ 4�� &� �� �� �� ;) � �� � -/� ���"��� ���� 4�� ������ 4 �� � ���������� �� ������� ����� ���"���� ��� )������� ��������

������� � �� �� �������� ��� �� ������� ��� ������ ����� � ������� ��� �� ��� ��� � �� ���� � ��� �� � ��

�� �� � �� ���� � �����

���� ����� ��� "� ������ ��� �� �����)� �������� �) �����"�� ����� )�� ��� � �� �� �� ���� �� � ��

��� ������� ��� ����� ���� � ����

�"�� ���������� �� ��� ����� ���� � -/� ���"���) ������� �� �� �� � ��� .�� ���� ������ ��� ���"���) ������ ���� ��� "� ������ �� -/� )�� � �������"��� ��������� ����� � �� ��� �� ����� ���

�������� ;� )������ ���� 4� ������ 4 �� � ����������� �� ������ )�� ����� ������

��� ������/��� �) 4� ������ 4 ��� "� �����"� ���� ����)�� ��������� .�� �/������ �) ������"��� �) ������� ���(� �� � ������ ��� -/������ ����� �/���� �� ���� ��� �������"�� ���� )�� ��������"������ �) ��� ���� ������ 2� ����(�� �����(����� �) �� �� ��� �����)� ��� �������"�� ������ ��������� ��� �"0������ )������� �� &� �� ������ ����� ��� ����� ������/��� ������ ��&� � �� ��

+�� �� ���������� ��� ���(�� �) 4� ������ 4"� � ������ ���( ������ �� � �� � �%� �!� �8� �E��=�� ��� ���������� "� �� )������< �� � � %� !� 8� E��� � E� !� 8� %� 1 �� � � A� ����� ��� ��� ���(������ � � �% � �E �� �! � �8� ;) ��� ���� ������"����� ������� �� ���( �� � � �% � �E� ������� � �%� �E� � � � � ���� �� ���� � � ��!� �8� ��� � �%� �E� � � �� ��� ��5����� �) ������ ��������� ���� �� �� � !� 8� E� E� A �� ��� ����������� �����*�� ���� ��

�� � A%�

I���� �� � �%� �E� � � � �� �� �� ������ � �!� �8� �%� �E� ��

�� � 88�

I���� �� � �%� �E� � � � �� � �%�� �� ������ � �%� �!� �8� �E� ��

�� � !E�

I���� �� � �%� �E� � � � �� � �%� �E�� �� ������ � �%� �E� �8� �!� ��

�� � 8F�

�������� ��� �"��� ����� ������� ����� *�������� �� ��� ���� ��� ������� �"0������ ����� ���

� � !E �� ��� ������� ������� �� � �%��!� �8� �E��

��� �"��� ����� ��� "� ����� )�� ��� � ���� �� � ��� �� � ��

��� �������� ������� ��

=���� � �� ���� ���� �) � ���� �) �� �� �� ����� ����"�� ����������� ����� �� � ��� ������� �������� ��� � ������ ��� � ������ ���� �� � ��� ������/ ��� ���( ������ �� ������������ ���� �)������ ��������� ������ .�� ��� ���(� ���� ������� ������ ��������� ������ "���( ���� �� ������������ ���� �) ���� � .����������� )�� ������(� ���� ��� ���� ����� "���( ���� �� ��� ���� �)������������� ��� � ������ L��� ��� ���� �����

A%A �!"!�! "���� #! ���� $ ������� %����� &��������� '������� ()* +,--(. /,)0/)-

Page 5: Single machine scheduling with step-deteriorating processing times

� )�� 4� ������ 4 �� ������� %� �� ��� �����"���� � ����������� ����� ������ �� �"������� )������� ����������

!�������" � ;) �� �������� ��� "� ���� ���� �-/� ���"�� �) ������� ���� ��� ���"��� ��� � ���� �� � ��� �� � ��

��� �� ������������ �����

�"���

;� �� �"����� ���� ��� ����� �) �����"�� ����������-� "� ��������� �� ���� ��� �� ���� ����������� �� 6#9� ��� ����� ��� ���� "� ������� ��� � �� �� �� � ��� �� � ����/� ����� �� �"����� ��� )������� ����������

!�������" � ;) �� �������� ��� "� ���� ���� �-/� ���"�� �) ������� ��� ���"��� ��� ��� �� �� � ��� �� � ����/ �� ������������ �����"���

��� �"��� ���������� �� ������ ��� "� ��� �����0������� ���� ���� ����������� )�� �/����������� ������ "� 6D9 �� 6#9� I���� ��� ���������) ��� �������� ���"����� -��� ����"���� ��� ���(������� ;) ��� ���"�� �) ������ �� ����� �� ���������� ������ ���� )�� ���(�� ���� �� ������������ 4� ������ 4 �� ��� ����������� �� ������ ��������� ��������� &��������� �� ���)� �� � ����������� -� �� �����/����� ���������

# � ���������$����� �� ��� �%������ �� ������

�������� ����� �� K�������� 6#9 ��� ��������� �� ������ )�� ��� � � �� �� ����� � ��

���� ����� ��� "� ����� �� )������<

������� ��� ���(� �� ������������� ���� �) �

����� ��� ��/� ���( ������ ����� "�)��� �� �� ��������� ��� �������� ���(� �� ������������ ���� �) ��� ������ �/���� � � ���( �� � ���� ����( �� �� �) ���� ��������� ��� ����� ��� ����� �)��� �"0������ )��������

���� ��������� ��� "� ����� �� ��� �������� ���"���� �������� �� ���� ������ ��� �����������) ��� �������� �� ������ ��� ���� �� �� �������"��� �� 6#9� ;� ��� )������� � �� ��� � ���������/����� �� ���� ���� �� �� ��� �� ������� �� ��������

����������� �1� I���� � ��M������� ��� ����"�� !� �-�� � � %�8� =�� ��� ���������� "��� )������<

� 8� � � � � � �

� %�� !�

!�� % � %�� ! � �� �

8 � ��

� � ��� �% � ��� ��� �! � %���

�8 � %��

� !� %

!�

���

I���� ��� ������� )�� �1� �� �� ���� �� ��� ������� � � �

� � %�%� � !�!� � 8�8��

� ��!�� !� � � �8���!� � �8���8�

� ��

��-��

� ��!�� ��8�� � � �!���!� � �8���!� � �8���8�

��

.��� ��� �-������� �) �� �� "� ��� ����� �)��� �� ������� "� � ��!�� ��8�

� �� ����� ��

������� ���� � ��!�� ��8�� �

�� ��� )������� ����������������� � �� �� � �!� �8� �� A�%� �������� �

���� �!� �� ���� ��� � �8� � E�% � A�� ��������� �% ���� � � �� ��

���%� �8� � E�% � A�� �%�!������� ���!� �8� � ��� � �8� � ���%� �8�� �� ������������ �% ��� �) ���!�� ��8��� ���������� �������� � �%�� A�% �� ���%� �!� � E�% � A�� � �� ��

��� � �%� � ���%� �!� � ���%� �8��� �8 ������ "� ������� ��� �) ���!�� ��8�� � J�������� ��5����� �� � �!� �%� �8� �� ��� -��� ���������"����� "� ��� �������� �� ������� 2�� ���������5����� ��%� �8� � � �!� ����

��� � �!� � E�% � A�� � �!� � ���%� �8��� �� ������� ��������� ����� �� ������� ���� ����������� �� ������ �� ��� �� ������� �� �������

�!"!�! "���� #! ���� $ ������� %����� &��������� '������� ()* +,--(. /,)0/)- A%F

Page 6: Single machine scheduling with step-deteriorating processing times

& !����������

;� ���� ������ �� ���� �/����� ������� ����/����� �� ���� ���"���� )�� � �������� ���� ���� ���������������� ��������� ������.����� �� ���� ���������� ���� ��� � �� �� �� � ����� � ����/ �� +,��������� �� ��� ������� ������� ����� ���� ��� � �� �� �� � ��� �� � ��

��

�� +,���������� ���� �� ���� �����-� � ��������) �����"�� ����� )�� ���� ������ ���"����� .�������� �� ���� ���� � ���������/����� )�� ������������� �) ��� �������� �� ������ �� 6#9� ������� ���� �"����� � ����� "������ ��������� ��� ������/��� �) ��� �������� �������� �����

��� ������/��� "������ �) ��� ���������������� ���� ����� �� ���� ����������� ����� ����� ���� �������� ����������� �����J������� ���� ������/��� ���"���� ��� ���������� .�� �/������ ��� ����� �) ������� ��� ��� �� �� � ��� �� � ��

�� �� ����� �� +,���������

�� ��� �� "� ������� ��� ������/��� �) ��� � ��� �� ��� �� � ��

��� �� ��(����� 4������

���������� �������� ���"��� �� ������� ������/���� � ���������� �����/������� ������ )����� +,��������� ���"���� �������� �� ����������

�����%�� ������

���� �������� ��� �������� �� ���� "� ���J�� K�� ,���������� L��������� ���� �������"�� !E1B%!#� '� ��� ����)�� �� ��� ��)�����)�� ����� ������������ �������� �� �� �������������� �) ��� ������

����� �$ �

������� �� ��� �������� ��� �� ���� ����� 6%9� �� ����� ,�������� ?I���� �� >������6A9@ �� ��� � �� �� �� � ��� �� � ��

�� �� )�������

I���� �� �������� � �) ,�������� ���� � ����� � �� � �%� � � � � � � �� "� �� ��������� �� ��������� �� �) ��� � �� �� �� � ��� �� � �

�� ��

)������<

�� �������� �) % � ���(�

�� � � � �%� � � � � � � � � ��%� � �%�%� � � � � �%� � � ��1����-�� � � % � �� �� ��� ������ ��������� ��������

�1 � � � ��� � �� � �� %��� ���

�%�� � �� %��� )�� � �� �

��-��

� � 8 ��

� �� ��

% � � % ���%�� � � � ��1 � ��� �

��

� � � � �� ��

� � �� ��

��� ����������� ��������� ���

�1 � � %� � �� � � �%�� � �� � ��� � �

�%�� � � �%�� � ��� )�� � �� �

��� �������� ����������� ��� ��� � �� % � � ��

��� �������� ��

� � � � �� ��

� � ���

;� �� ���� �� ��� ���� ��� ������������ �) ���������� ��� "� ���)���� �� ���������� ����� +�� �������� ��� ��������� �) ��� �������� )�� ���

=�� ��� �� ��%�� � � � � �� �� ����� � ������� ������� ��� ��"������ ��� ������ ��� ���/ �) ��� ���(�� ��� ��� �������� �) �� +��������� ����� ����� ����� ������ ��� ����� ��� ������ ��������� ����� ������������ �������� ������ ��������� ����� ������� ���� �� ���������� ���� �) ���� �� �� �������������=�� � �� ����� �� ������� �) ��� ������ �� ���� ��%���� �� ��� �%����� ����� � �� ��� ��������� �� ��� �%�� � �� ��� �%��� � �� )�� � �� � 4������� �� ��� )��� �)

�� � �� �%� � � � �� � ���1���%� ��%�%� � � � ��%� ��� ����� � ����� �������

A%D �!"!�! "���� #! ���� $ ������� %����� &��������� '������� ()* +,--(. /,)0/)-

Page 7: Single machine scheduling with step-deteriorating processing times

����� � �� ����� ������ � � �� � � � ��� ��������� ������ � ����� � �� � � � ��� �� #���� ����� ��������� � ���$� �� ��� ������ �������� � �� �%� � � � �� � ��

����' I���� � �������� � )�� ��� ��� � ����� ���������� ������� ������� �) ��� ���(� ������� "�)��� �� �� ��� �������� ����������� ��� �� ���% ����� ���� �)��� ��

;) �1 � �%� ���� �1 � �1 � �1 � � % � �� � �������������� ����� �� ���� �1 � � � ���������� � �� �% �� ��� ������������ ������ ��������� ���� ����� �� �� ��� ������� �������� ��

�� ��%�

������������� =�� �� ����� ��� ��� ������� "����"���� ��

�� ��%� .��� ��� �,� ���� �� ���

��������� �) ��� �� �� ���� �� ��� ���� �� �� � "������������

4����� ����

�� � � � �� �%� � � � �� � � � �1� � �%� ��%�%� � � � ��%� � �

�� ����� ��� � ���(� �� �� � �� �%� � � � �� � �� ;)�� � � ���� �� ���� ���� � �

���� ���� �

� � �� � � �� � �� � � � �1 � �1 � �� � �������������� ;) �� � ���� )��� ���� � � �1 � ��� ���� � ���� � ���� � � )�� �� %� � � ��% � � �� ����

�% �

��

��� ��% �

�� �

% � � % ������

� � � �� � �� ��

� � ��

� � �4� �

� ������������� ����� �� �"���� � � � �

4 ������� �� ��� )��� �)

�� � � ��%�%� � � � � �� � � � �1� � �!� � � �!�%�%� � � � � �!� � � �

)�� � �� �� �� � �� %� �� ����� � ��� �����������

����� � �� ����� ������ � � �� � � � ��� ��������� ������ � ��� ���� � �� � � � ���

����' ����� ����� �/���� � �������� )�� �� )���=���� � ����� �/���� � "���� �������� �� ��� )����)

� � �� �%� � � � �� � � � �1� � �%� ��%�%� � � � ��%� � ��� ����� ��� �/����� � ���(� �� � � �� �%� � � � �� � � ��

+�� �� ���� ���� ����� �� �/����� ��� ���( ��� � � ;) � � � �� � � �%� �� ���� �� ����

� �� ���� �

� %��� � � � �%� � � �� �� � � � �1 � �1 � ��� ������������� ;) �%� � �� � � �%� �� ���� ��������� ?4� @� �� ����

�% �

��

�� � ��%

�� �%

% � � % ��� � % � % � �� �

�� ��% � �� �

���� ! �� � � � �� �4�%�

� ������������� L��� ��� ���� �� ������ "� ���������� �� ��� ���� ���� ����� �� �/����� ��� ���(�� ���� � ��� ����� �� �"���� � ��������� ��������)�� ��� �

����� � � ��� � � �� � �� ��� �� �� �� ��� �� �� ��

����' ;) �� ��� � ��������� )��� =���� %������ �/���� � ��������� �������� �� '� ��������� ������������ ��"��� �) � �� � � ��� ��� � � � �� �� ;) �����

�� � �� ���� �� ����

� ��

���� �� ��

� �� � � ��� ��

%��������

�� � �

��

� � � � � �1 � �1 � �� �4�!�� �������������

.��� ��� �-������ �) % �� ��� ��������� �) ����� ����

� �� ��

% � � % ���%�� � � � ��1

�� ��

� � �� �%��� � �%���

� ��� �� �4�8�

�!"!�! "���� #! ���� $ ������� %����� &��������� '������� ()* +,--(. /,)0/)- A%#

Page 8: Single machine scheduling with step-deteriorating processing times

������� �� ?4� @ �� ?4�%@� �� ���� )��� ?4�8@

�% �

��

�� � �

�� ��

% � � % �� � �� �� �%��

� �� �

�� ��

� � �� � � ��� �� � � � ��� � �%�� �%��

�������

% � � % ���� ���� ���

��� �� �

����� ���

��

� �

� ��

�����

��� �4�E�

;)�

�� ��� �� � �� ���� )��� ?4�E@� �� �����% �

�� �� � � � 1� � ������������� ����� �����"��� � ���� "� � �������� )�� ��

;) � ��� � ��������� ����� ����� �� � ��"���� � ��� � ��% � � � � � ���� ����

�����

�� � �� ���� ����������� � ����������� ��������� ������� ��

�� � � ��%�%� � � � � �� � � � �1� � �!� � � �!�%�%� � � � � �!� � � ������� �� � )�� � � �� � �%� � � � � ���� �� �� � % )��� �� �� � �%� � � � � ���� ������� �� ?4�!@� �� �����

�� � �� � � � �� � � � � � �1� ������� �� ?4�E@� ������

�% �

��

�� � � ������

% � � % ���� �� 1�

����� �� �"���� � �������� )�� ��� �

.��� =���� !� �� �"���� ��� )������� �������� �����������

������� � ��� �� ��� ��� � �� �� �� � ��� �� ����

� �� ���� ������

��'�������

6 9 ������ ���� � �� ��� � 4 ������ �� �������� ���� �����

������� ��������� ������ '��(�� ,����� .������ �)

2������� �� ;�)�������� �������� ��� J�� K�� ,����

������� L���������� J�� K�� � ##F�

6%9 ������ ���� � �� ��� � ��� ������/��� �) ��� �� �������

�������� ���� ��� ������� ������� �� �������� ��

������� ����� �) ��������� ������ ��������� �� �����

������ ���� 4����������� !E ? ##D@ #E7 11�

6!9 ������ ���� � �� ��� � ��� ������/��� �) ��� �� �������

�������� ���� ������� ������ ;�)�������� ,��������

=������ AE ? ##D@ FE7F#�

689 ������ ���� � �� ��� � ��� ���� ������� �������

��(����� ���"��� �� ����� �� +,���������� ���������

�� &��������� �������� %A ? ###@ F8#7FE8�

6E9 ��=� I������ ��=� =������ >�K� =������� 4�J�I� ������

K��� &�����:����� �� �����/������� �� ������������

��5������ �� �������� < 4 ������� 4����� �) ��������

���������� E ? #FA@ %DF7!%A�

6A9 ��� I����� ���� >������� ��������� �� ;�������"�����<

4 I��� �� ��� ������ �) +,������������� '�J� .�������

+�� N��(� #F#�

6F9 '� K�"��(� ��=� ��� � 3���� �������� �����������

0�"� �� ������:� ��(������ +���� �������� =� ������ 8E

? ##D@ E 7E%!�

6D9 I� �������� �������� 0�"� ���� �����������������<

�����:�� ��(����� �� � ��� �� �� ��������������

��������� �� ;�������� �� ������� %D ? ##E@ DA#7DF#�

6#9 ,��� �������� ������ 4��� K��������� ��� �� �������

�������� ���� ����� ���� ������� ��������� �����<

���� �����"�� ������ �������� >������ �) &����������

�������� FD ? ##8@ !#8781!�

A!1 �!"!�! "���� #! ���� $ ������� %����� &��������� '������� ()* +,--(. /,)0/)-