34
SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario Laboratorio di matematica Docente: Specializzanda: Prof. Lizzio Melania Russo Indirizzo 1 Scienze Naturali Classe 59/A

SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

  • Upload
    calla

  • View
    50

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario. Indirizzo 1 Scienze Naturali Classe 59/A. Laboratorio di matematica Docente: Specializzanda: - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

SISSISScuola Interuniversitaria Siciliana diSpecializzazione per l’Insegnamento

Secondario

Laboratorio di matematica

Docente: Specializzanda: Prof. Lizzio Melania Russo

Indirizzo 1 Scienze NaturaliClasse 59/A

Page 2: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

Tema

Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

Page 3: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

PREREQUISITI:• Essere in grado di svolgere le quattro operazioni e l’elevamento a potenza

in N ed avere padronanza delle loro proprietà• Conoscenza dei Sottoinsiemi e Diagrammi di Venn• Sapere cos’è l’intersezione tra due insiemi

OBIETTIVI:• Individuare i multipli e dei divisori di un numero• Acquisire il concetto di divisibilità• Riconoscere i numeri primi da quelli composti• Apprendere le tecniche di scomposizione di un numero in fattori primi e

saperla applicare• Possedere i concetti di MCD e mcm• Conoscere le tecniche di calcolo del MCD e mcm• Risolvere semplici problemi con l’uso del MCD e mcm

METODI:La trattazione verrà fatta con osservazioni, descrizioni, manipolazioni di

oggetti (Es: Lego colorati).Si possono sottoporre ad un test gli alunni per valutare il possesso dei

prerequisiti richiesti.

Classe I media

Page 4: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

PREMESSAINTRODUZIONE AL CONCETTO DI DIVISORE E

CONCETTO DI MULTIPLO

Le operazioni aritmetiche fondamentali che si possono eseguire con i numeri naturali e decimali sono:

- l’addizione e la sua inversa, la sottrazione- La moltiplicazione e la sua inversa, la

divisione- L’elevamento a potenza.Esistono altre relazioni, e in particolare le

relazioni “essere divisore di” e “essere multiplo di” anch’esse una inversa dell’altra.

Page 5: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

RELAZIONE DI DIVISIBILITA’Facciamo degli esempi:

Dalla divisione di due numeri naturali a e b si può avere come resto 0 oppure un altro numero naturale che è minore rispetto a b.

nel primo caso si dice che la divisione è esatta e il numero a è divisibile per b.

Nel secondo caso si dice che la divisione non è esatta e a non è divisibile per b

Ritornando all’esempio, dai risultati ottenuti, possiamo concludere che:

125 è divisibile per 537 non è divisibile per 15

Page 6: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

Sulla base di queste considerazioni si possono introdurre i concetti di multiplo e sottomultiplo di un numero.

DEF: un numero a è multiplo di un numero b quando a è divisibile per b, cioè quando la divisione di a x b dà resto 0.

Si dice anche che b è sottomultiplo di a.Le espressioni “è multiplo di” “è divisore di” in

matematica sono dette RELAZIONI.Una relazione tra due numeri può essere

rappresentata da una freccia

Page 7: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

I MULTIPLI DI UN NUMERO

Consideriamo un numero naturale ≠ da 0, ad es. il 4. Quali sono i suoi multipli? Basterà moltiplicare per tutti i numeri della successione naturale 0, 1, 2, 3, 4, ecc. e avremo quindi:

In questa tabella, lo 0 non è considerato.Sappiamo però che ogni numero moltiplicato per lo 0

da per risultato 0. Quindi lo 0 è multiplo di qualunque numero.

M(0)= 0Cioè lo 0 ha un solo multiplo

Page 8: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

Dal momento che è possibile continuare a costruire i passi seguenti della successione, moltiplicando il numero-base per i numeri della serie dei naturali, i multipli di un numero sono illimitati, quindi, in altre parole sono infiniti.

L’insieme dei multipli di un numero a si può indicare col simbolo M(a). Se consideriamo il numero 3 e i suoi multipli, avremo:

Page 9: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

I DIVISORI O SOTTOMULTIPLI DI UN NUMERO

Consideriamo un altro numero naturale n=12.Volendo trovare i divisori di 12, basta individuare per mezzo della

tabella quali numeri moltiplicati tra loro danno come prodotto 12.

1x12 2x6 3x4 4x3 6x2 12x1 Come si nota, i divisori di 12, sono un numero

limitato, per cui un numero naturale ≠ da 0 ha un numero limitato (finito) di divisori.

OSSERVAZIONI: il quoziente fra 0 e un qualsiasi altro numero naturale ≠ da 0, dà per risultato 0; quindi lo 0, ha un insieme infinito di divisori:

D(0)= {1,2,3,4,ecc.}OSSERVAZIONI: come si sarà notato, tutti i numeri sono divisibili

per se stessi e per 1. questi due divisori, proprio perché comuni a tutti i numeri, sono stati chiamati divisori banali

Page 10: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

L’insieme dei divisori di un numero a si può indicare con il simbolo D(a).

Supponiamo che a=124

Page 11: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

Alcune proprietà dei divisori di un numero

Page 12: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario
Page 13: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTII numeri che hanno come divisori solo se stessi e 1 possono

essere considerati come il risultato della moltiplicazione di questi 2 fattori banali.

Es 15 = 5x3Questi numeri sono chiamati Numeri PrimiDEF: Un numero è primo se è divisibile solo per se stesso e 1Gli altri numeri vengono definiti come numeri non primi o

numeri Composti.Essi si possono ottenere come il prodotto di fattori non

banali, oltre che di fattori banali.

Page 14: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI

DEF: L’operazione che trasforma un numero composto nel prodotto di fattori primi è detta Fattorizzazione o Scomposizione in fattori primi.

Per scomporre in fattori primi un numero composto bisogna determinare tutti i suoi divisori primi.

REGOLA: Per scomporre un numero in fattori primi, lo si divide per il più piccolo numero primo che è suo divisore, poi si divide il quoto ottenuto per il più piccolo numero primo che è suo divisore, e così via finché si ottiene per quoto 1

Page 15: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

Il numero dato, è uguale al prodotto di tutti i numeri primi utilizzati come divisori

Dunque la scomposizione in fattori del numero 630 è:630= 2x3x3x5x7= 2x32x5x7

OSSERVAZIONI: nella scomposizione in fattori primi, uno o più di questi fattori possono comparire per più volte. In quest’ultimo caso si usano le potenze per indicare un prodotto di fattori primi.

Page 16: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

OSSERVAZIONI: effettuando la scomposizione di due numeri, nel primo numero scomposto, è possibile che compaiano tutti i fattori del secondo, con esponente maggiore o uguale a quello del secondo. Si dice allora che quel numero è divisibile per l’altro numero preso in considerazione.

Page 17: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario
Page 18: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

MCDConsideriamo due numeri: (es: 48 e 60) e troviamo i

loro fattori effettuando la scomposizione

L’insieme dei divisori o fattori che 48 e 60 hanno in comune è l’intersezione tra l’insieme D (48), formato dai divisori di 48, e l’insieme D (60), formato dai divisori di 60. Il MCD appartiene a quest’insieme ed è il più grande dei numeri che formano l’intersezione tra D (48) e D(60).

DEF: il MCD di due o più numeri è il maggiore dei loro divisori comuni

Page 19: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

METODI PER TROVARE IL MCD• Metodo basato sulla scomposizione in

fattori.DEF: il MCD di due o più numeri, scomposti in

fattori primi, è il prodotto di tutti i loro fattori primi comuni, presi ciascuno una sola volta, con il minimo esponente

Page 20: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

• Metodo basato sulle divisioni successive o algoritmo euclideo delle divisioni successive.

Page 21: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

OSSERVAZIONI: Può capitare che due numeri non abbiano divisori comuni ≠ da 1. Es: 30 e 49

30= 2x3x5 49= 72

non hanno divisori comuni. In questo caso si dice che due numeri sono primi fra loro.

DEF: due numeri si dicono primi fra loro , se non hanno divisori comuni ≠ da 1.

Page 22: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

DEF: Dati 2 o più numeri, se il minore di essi è divisore di tutti gli altri, esso è il loro MCD

Page 23: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario
Page 24: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

mcmConsideriamo due numeri qualsiasi: es. 8 e 10 e

consideriamo pure l’inizio della successione dei loro multipli

M (8)= {8,16,24,32,40,48,56,64,72,80…}M(10)={10,20,30,40,60,60,70,80,90,100…}Rappresentiamo attraverso i diagrammi di Venn:Il mcm (8;10)=40

DEF: il mcm di due o più numeri è il minore dei loro multipli comuni

Page 25: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

• Regola: dati due numeri, se il maggiore è multiplo di tutti gli altri, esso è il mcm dei numeri dati

Es: 9, 27 M(9)= {9,18,27,36…}M(27)= {27,54,81…}mcm(9,27)=27

• Regola: il mcm di due o più numeri primi fra loro, è il loro prodotto

Es: 4, 5 M(4)= {4,8,12,16,20…}M(5)= {5,10,15,20…}mcm (4,5)=20 dove 20=4x5; 4 e 5 sono primi fra

loro

Page 26: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

METODI PER TROVARE IL mcm TRA DUE NUMERI

• Metodo basato sulla scomposizione in fattoriDEF: per calcolare il mcm di due numeri, si

scompongono in fattori i numeri, poi si moltiplicano fra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente

Page 27: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

• Metodo basato sul MCD

METODI PER TROVARE IL mcm TRA TRE O PIU’ NUMERI

• Metodo basato sulla scomposizione in fattori

Page 28: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

• Metodo basato sul MCD

Page 29: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

Verifiche:

Page 30: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

Page 31: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario
Page 32: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario
Page 33: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

- M. Pellerey IL NUOVO COSTRUIAMO LA MATEMATICA SEI 2001

- P.Lazzarini FARE E RAGIONARE CON LA MATEMATICA LA NUOVA ITALIA 2001

- T. Genovese ARITMETICA A LATTES 2006

- G. Colosio IMPARIAMO ARITMETICA EDITRICE LA SCUOLA 2000

- G. Flaccavento MATEMATICA SU MISURA FABBRI EDITORI 2002

- E. Bovio ARITMETICA MODERNA LATTES 1979

Page 34: SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario