t

t

SISTEM ALJABAR :

OPERASI DAN SEMIGRUP

Pada Bab 1 ini, kita akan membahas Sistem Aljabar, mula-mula pembahasansecara umum, kemudian dilanjutkan dengan pembahasan Sistem Aljabar yangsederbana,yakni Semigrop.Pembahasankita awali dengan operasi pada himpunan.

Untuk lebih memudahkan pembahasan kita yang lebih lanjut, sebaiknya kitaingat kembali beberapa hal penting mengenai himpunan, di bawah ini.

HIMPUNAN

Definisi 1.1

Suatu himpunan adalah suatu kumpulan, atau koleksi, dari objek. Masing-masing objek disebut elemen atau anggota ,dari himpunan.

Dapat dicatat bahwa tidak ada spesifikasitertentu tentangkeadaan dari elemen,ataupun tentangbanyaknyaelemenhimpunan.TanOOkurung kurawal { }digunakanmengapit elemen dari suatu himpunan. Misalnya suatu himpunan S berisi limaobjek a, b, c, x, clany, dapat ditulis

S = {a,b,c,x,y}

Karena urotan penulisan elemen dalam himpunan tidak berpengaruh, kita dapatmenuliskan himpunan di atas, sebagai

S = {x,b,a,y,c}, clan beberapa lagi yang lain.

Simbol a E S, digunakan untuk menyatakan bahwa elemen a ada1ahanggotahimpunan S.

Definlsl 1.2

Suatu himpunan bagian atau subset S', dari suatu himpunan S ada1ahsuatukumpulan dari beberapa elemen S. Kita tulis S' C S. Sebaliknya S disebut super setdari S', ditulis S ] S'.

Jika S memiliki paling sedikit satu elemen yang bukan dalam S', maka S'disebut suatu subset sejati dari S.

2

Himpunan bampa atau bimpunan nol. ditulis ~. tidale memiliki elemen didalamnya, dan ia mempakan subset dari setiap bimpunan.

Tiga pengkombinasian dari bimpunan. yang paling umum ada1ahGabungan(union)U. Irisan(intersection)(J, dan selisih(difference)\,yangdidefinisikansebagaiberikut

Definisi 1.3

Gabungan

S) U S2 =S3' suatu himpunan mengandung semua elemen darl S}dan S2'

Irisan

S) _ S2 = S4' suatu himpunan mengandung hanya elemen yang sekaligusdalam S) dan dalam S2

Selisih

S} \ S2 =S3' suatu bimpunan mengandung semua elemen dari S}yang bukanelemen S2.

Selain itu masih terdapat pula Selisih Simetri. atau ring Sum.

Selisih Simetri

S) (+) S2 = (S) U S2) \ (S) _82)

= (S) \ S2) U (S2 \ S)

~ S3'

suatu himpunan mengandung semua elemen dari S) dan S2' tetapi tidak termasukelemen persekutuan (elemen irisan S3 dan S2)

3

-------.-.---

DERNISI OPERASI

Sebelumkitamembahas beberapajenis khususSistemAljOOar,sepertiSemigrup,Grop, Ring, clan.sebagainya, secara rinci pada beberapa boo berikumya nanti,alangk3b baiknya bila kita lihat terlebih dahulu secara umum, keseluruhan dariSistem Aljabar kita. Kita memulainya dari operasi.

Mula-mula kita perkenalkansecara sederhana,suatu aturan mengkomninasikansetiap dua elemen suatu himpunan, yang disebut operasi binar (juga disebutkomposisi binar, hukum komposisi, atau hukum komposisi internal).Penjumlahan,perkalian, pengurangan, dan pembagian adalah beberapa dari operasi binar yangtelah kita kenal antara dua elemen dalam suatu himpunan bilangan. Untuk operasibinar secara umum, kita akan menggunakan simbol *.

Sekarang kita defmisikan operasi, secara lebih formal.

Definisi 1.4

Suatu operasi binar pada suatu himpunan tak hampa S, adalah suatu fungsi *dari S x S ke dalam S.

Dalam hal ini, kita tuliskan a*b, atau secara sederhana ab. Kadang-kadangdib.dispula sebagai *(a,b).

Jika S adalah himpunan hingga, maka operasi dapat diberikan dalam bentuktabel operasi. Di sini eIemen tabel baris a kolom b-menunjukkan a*b.

Definisi 1.5

Jika A adalah suatu himpunan bagian atau subset dari S, maka A dikatakantertutup di bawah operasi *, jika a*b termasuk A untuk sembarang elemen a danb pada A.

Definisi 1.6

Operasi * pada himpunan S adalah asosiatif, jika untuk sembarang a, b, c padaS,. berlaku (a*b)*c = a*(b*c)

4

CONTOH OPERASI

Contoh 1.1

MisalkanA = {0.1}. Apakah A tertutup di bawah:

(a) perkalian?

(b) penjumlahan?

(a) Tentukan masing-masing produk yang mungkin:0*0 =0

0*1 = 0

1*0 =01*1 = 1

Masing-masing hasil kali tennasuk A; karenanya A adalah tertutup dibawah perkalian.

(b) Tidak. karena 1+1 =2 tidak tennasuk A.

Contoh 1.2

MisalkanB = {1.2}. Apakah B tertutup di bawah:

(a) perkalian?

(b) penjumlahim?

(a) Tidak. karena 2*2 =4 tidak tennasuk B

(b) Tidak. karena 1+2 =3 tidak tennasuk B

Contoh 1.3

Misalkan C = {1.3.5 } = {n I n adalah ganjil}. Apakah C tertutup dibawah :

(a) perkalian?

(b) penjumlahan?

5

(a) Perkaliandari integ~rganjil adalah ganjil;karenanyaC tertutup di bawahperkalian

(b) Tidak, karena 3+5 =8 tidak tennasuk C

Contoh 1.4

Misalkan D = {2,4,6,...}= {n I n adalah genap}. Apakah D tertutup dibawah :

(a) perkalian?

(b) penjumlahan?

(a) Ya, karena perkalian dari integer genap adalah genap

(b) Ya, karena penjumlahan dari integer genap adalah genap

Contoh 1.5

Misalkan F ={2,4,8,...}= {x I x =2°, n IN}. Apakah F tertutup di bawah:

(a) perkalian?

(b) penjumlahan?

(a) Karena 2c.25 = 2C+5,F tertutup di bawah perkalian

(b) Tidak, karena 2 + 4 =6 tidak tennasuk F

Contoh 1.6

Perhatikan himpunan integer Z = {...,-I,O,I,2,...}. Tentukan apakah operasiberikut pada Z adalah asosiatif:

(a) penjumlahan

(b) pengurangan

(c) perkalian

(a) Ya, karena (a+b)+c =a+(b+c) untuk sembarang integer a, b, dan c.

(b) Tidak. Sebagai contoh, (12-6)-2 =4 tetapi 12-(6-2)=8. Di sini (12-6)-2:I: 12-(6-2).

(c) Ya, karena (ab)c =a(bc) untuk sembarang integer a, b, dan c.

6

Contoh 1.7

Tentukan apakah operasi pada integer Z adalah asosiatit terhadap

(a) pembagian

(b) eksponensial

(a) Pembagian bukanlah operasi lengkap pada Z, karena, sebagai contoh; 7/3 dan -415 tidak terdefinisi (sebagai elemen Z). Sungguhpun demikian,seandainya pembagian terdetinisi, ia tidak asosiatif. Sebagai contoh (12/6)12 = 612 = 3, tetapi 12/(612) = 12/3 = 4

(b) Tidak. Sebagai contoh, jika kita misa1kanaOb =ab, maka

(202)03 =43 =64

tetapi

20(203) =28 =256

dan karenanya(202)03 *20(203)

Contoh 1.8

Pandang bahwa operasi * pada himpunan S, tidak asosiatif. Akan terdapat 5earn untuk menghasilkan a * b * c * d, yang dibentuk dari empat elemen. Ke1imaearn tersebut adalah

«ab)c)d

a«bc)d)

(ab)(cd)

a(b(cd»

(a(bc»d

Berikut ini teorema tentang operasi asosiatif.

Teorema 1.1

Pandang * adalahoperasiyang bersifatasosiatifpadahimpunanS, maka berlakubahwa sembarang hasil kali

tidak membutuhkan tanda kurung.

7

Bukt;

Pernbuktiandilakukanmelaluiinduksidari n. Karena * asosiatif,teorematerpenuhi untuk n =1, 2, dan 3.

Pandang n >= 4. Kita gunakan notasi:

[al3:z"'~] = sernbarang hasil kali

Kita tunjukkan

dan karenanya hasil kali seperti itu adalah sarna.

Karena [al3:z"'~] menyatakan beberapa hasil kali, terdapat r < n sedemikian sehingga

Karenanya, oleh indukasi

[al~".~] = [a1~"'3r] [3r+l"'~]

= [a1~"'3r] (3r+l'''~)

= [a1"'3r] «3r+l'''~-l)~)

=([a1"'3r] «3r-l"'~-l))~

=[a1"'~_l]~ =(a1"'~_1)~

=(a1~...~)

Jadi teorerna terbukti..

Berikut ini kita definis1kanelernen identitas dan invers.

8

Definisi 1.7

Elemen e pada S disebut elemen identitas untuk *, jika berlaku

a*e = e*a = a

untuk setiap elemen a pada S.

Secara lebih umum, e disebut identitas kanan, jika a*e =a untuk setiap a padaS, dan disebut identitas kiri, jika e*a = a, untuk setiap a pada .S.

Pandang e adalah suatu identitas kiri dan f adalah suatu identitas kanan untuksuaru operasi. Akan kita buktikan bahwa e =f.

Buktinya sangat sederhana. Karena e adalah suatu identitas kiri, ef =f; tetapikarema f adalah identitas kanan, ef =e. Karenanya e =f. Hasil ini juga mengatakanbahwa suatu elemen identitas adalah tunggal atau unik, dan bahwa jika suatu operasimerniliki lebih dari satu identitas kiri, maka ia tidak mempunyai identitas kanan,dan sebaliknya.

Definisi 1.8

Pandang bahwa suatu operasi * pada himpunan S memiliki elemen identitase. lnvers dari suatu elemen a, biasanyadinyatakan dengan a-I, adalah suatu elemenyang bersifat bahwa

SISTEM ALJABAR SECARA UMUM

Definisi 1.9

Suatu himpunan berikut dengan operasi yang didetinisikan padanya, disebutsuatu Sistem Aljabar atau singkatnyaaljabar.

Sekarang, katakanlah kita mempunyai suatu himpunan S = {a,b,c,...}, dansuatu operasibinar * (ditulis a*b) antar elemen S. Bergantung pada keadaan d~operasibinar *, himpunanS dapat diklasifikasikanke dalam salah satudati beberapa

9

jenis khusus aljabar. MisaInya, jika * memenuhi aksioma 1 dan 2 berikut ini,himpunan SIdisebut suatu Semigrup:

1. Tertutup

Jika a dan b dalam S, maka a*b juga dalam S

2. AsosiatifJika elemena, b, dan c dalamS, maka

(a*b)*c = a*(b*c)

Suatu Semigrup yang memenuhi aksioma 3, berikut ini, disebut suatu monoida.

3. Elemen Indentitas

Terdapat suatu elemene dalam S, yang tunggalatau unik, sedemikiansehinggauntuk:sebarang elemen x dalam S,

x*e ="e*x = x

Suatu monoida yang memenuhi aksioma 4, di bawah ini, disebut suatu Grup.

4. Invers

Untuk:setiap elemen x dalam S, terdapatsuatu unik elemen x' dalam S,sedemikiansehingga

x*x' =x'*x = e

Elemen x' disebut invers dari x, terhadap operasi *.

Suatu Semigrup yang memenuhi aksioma 5, berikut ini, disebut suatu SemigrupAbel at'\u Semigrup komutatif

5. KomutatifJika a dan b dalamS, maka

a*b = b*a

10

Tanpa ope,..1

Gambar 1-1 Sistem aljabar untuk satu operasi

Jika suatu SemigrupAbeljuga memi'oo suatuelemen identitas,maka ia disebutsuatu monoida Abeli (atau suatu Semigrup Abel berelemen identitas).

Himpunan S dengan suatu operasi * yang memenuhi semua lima aksioma diatas, disebut suatu Grup Abel (atau suatu Grup komutatit).

Gambar 1-1 meringkas definisi dari Sistem Aljctbar,dan memperlihatkanhubungan di antara mereka. ADakpanah menunjuk kearah persyaratan yang lebihberat, pada himpunan S. Bilangan pada garis menunjukkan aksioma khusus yangmengubah satu' sistem aIajabar ke Sistem Aljabar lain.

Sekarang pandang bahwa pada elemen dari suatu Grup Abel kita tambahkanlagi operasi binar e. Lima aksioma pada e dapat ditulis sebagai berikut (dapatdicatat bahwa mi semua adaIah aksioma yang sarna dengan yang laIu, namun inidiperuntukkan bagi operasi binar yang berbeda, yakni e):

6. TertutupJika a dan b daIamS, makaa e b juga daIamS.

7. AsosiatifJika a, b, dan c daIamS, maka

(a e b) e c = a e (b e c)

11

8. Elemen Identitas (unitas)

Terdapat suatu unik elernen i dalarn S, sedemikian sehingga untMksebarangelernen x dalarn S, berlaku

xE>i=iE>x=x

Elernen i ini disebut elernen identitas (atau unitas atau satuan) terhadapoperasi E>.

9. Invers

Ubtuk sctiapelernen (kecualiuntuk elernenidentitase dari aksiorna 3) x dalarnS, terdapat suatu unik elernen x-I dalarn S, sedernikian sehingga

x E>x-I = x-I E> x = i

Elernen x-I disebut invers dari x, terhadap operasi E>.

10. Komutatif

Jika a dan b dalam S, rnaka

aE>b=bE>a

Untuk mencari kaitan kedua operasi binar yang berbeda tersebut, kitaperkenalkan aksiorna II.

II. Distributif

Operasi E>adalah distributif terhadap operasi *; yakni untuk setiap elernen a,b, dan c dalam S

aE>~*~=aE>b*aE>~dan

~*0E>a=bE>a*cE>a

Sarna seperti yang lalu, kornbinasi yang berbeda dari aksioma ini,sebagaitambahan kepada aksioma 1-5,akan memberikanjenis lain darisistem aljabar.Misalnya:

12

Ring, yakni suatu Grup Abel terhadap operasi * yang memenuhi aksioma 6,7, dan II.

Ring Berunitas, yakni suatu Ring yang memiliki suatu unitas atau elemenidentitas i terhadap operasi kedua 8.

Ring Komutatif, yakni suatu Ring yang memenuhi aksioma komutatif (10)terhadap 0.

Ring Komutatif Berunitas, yakni duatu Ring Komutatif yang memiliki suatuelemen identitas (8) terhadap 8.

Division Ring (atau Skew Field atau S-field), yakni suatu Ring Berunitas,yangjuga memenuhi aksioma invers (9) terhadap 0.

Lapangan atau Field (kerap kali disebut Field Komutatif),yakni suatu Divi-sion Ring yang memenuhi aksioma komutatif (10) terhadap 8. Jadi suatu fieldmemenuhi semua sebekas aksioma, dan karenanyaboleh dikatakan sebagai SistemAljabar terkuat yang kita bahas dari sini.

Hubungan antara Sistem Aljabar ini diringkas dalam Gambar 1-2.

Gambar /-2 Sistem aljabar dengan dua operasi

13

CONTOH SISTEM ALJABAR

Confoh 1.9

Kita bicarakan himpunan semua integer positif. SI = {1.2.3 }.HimpunanSImemenuhi aksio~ Tertutup dan asosiatif jika operasi binar * adalah operasipenjumlahanbiasa +. Lebih lanjut ia juga memenuhiaksioma komutatif. KarenanyaSI di bawahpenjumlahanadalahsuatuSemigrupkomutatif.Dapatdicatatbahwadalam SI tidak terdapat elemen identitas.

Confoh 1.10

Kitalihat lagihimpunanSI ={1.2.3 },kali inidi bawahoperasipembagianbiasa +. Karena SI tidak mengandung pecahan.jelas SI tidak memenuhi aksiomaTertutup. dan karena itu bukan merupakan suatu Semigrup.

Confoh 1.11

Sekali lagi pandang himpunan SI. Di bawah operasi perkalian. SI adalah suatuMonoida Abel. karena ia memiliki suatu elemen identitas. 1. Himpunan SI'sungguhpun begitu bukanlah suatu Grup di bawah operasi perkalian. karena SItidak mempunyai invers dari setiap elemennya (karena SI tidak memiliki pecahan).

Confoh 1.12

HimpunansemuaintegerS2={ -3. -2. -1.O.1.2.3. ...}adalahsuatuGrupAbeldi bawahoperasipenjumlahan(karenanyaia adalahGrupAbel Aditif).

Confoh 1.13

Dapat diselidikibahwa himpunanyang berisi keempat akar dari 1.yakni solusidari x4 = 1. yang adalah {l.-I.i.-i} (di sini i = ...J-l).adalah suatu Grup Abel dibawah operasi perkalian (karenanya, ia adalah Grup Abel Multiplikatif).

14

Contoh 1.14

5ebagaimana disebutkanpada contoh 1.12,himpunan semua integer 52 ={ ...,-3, -2, -1, 0, 1,2,3, ... } adalah suatu Grup Abel di bawah +, operasi penjumlahanbiasa. Lebih lanjut perkalian biasa antar elemen dari 52 juda memenuhi aksiomaTertutup, asosiatif, distributif, dan komutatif, dan terdapat suatu elemenidentitas(unitas),1,dalam 52. Karena itu 52 adalah suatu Ring KomutatifBenmitas.Namun, karena 52 tidak mengandungpecahan, ia tidak memenuhi aksioma9, dankarenanya 52 bukan merupakan field.

Contoh 1.15

Himpunan semua bilangan rational memenuhi aksioma 9, sebagai tambahanterhadap kesepuluh aksioma yang dipenuhi oleh 52. Karenanya, himpunan semuabilangan rational adalah suatu field di bawah operasi penjumlahan dan perkalian.Himpunan semua bilangan real juga meropakan suatu field di bawah operasipenjumlahan dan perkalian. 5emua bilangan kompleksjuga merupakan suatu fielddi bawah penjumlahan dan oerkalian.

SEMIGRUP

Definisi1.10

5uatu himpunan 5 bersama dengan suatu operasi yang asosiatif * disebutSemigrup.

Kita menyatakan 5emigrup dengan (5,*), atau secara sederhana 5, apabilaoperasi telah dipahami.

Definisi 1.11

5uatu himpunan M bersama dengan suatu operasi yang asosiatif * denganelemen identitas e disebut monoida.

Dengan perkataan lain, 5emigrup dengan elemm identitas adalah monoida.(BeberapaPenulis mendefinisikan5emigrup sebagaimengandungelemen identitas.)

Misalkan 5 adalah 5emigrup dengan elemm identitas e, dan pandang b danb' adalah invers dari suatu elemen a pada 5. Kita akan menunjukkan bahwab =

15

b', yakni bahwa mvers, jika ada, adalah tunggal atau unique. Dapat dicatat bahwahasil ini tidak selalu benar jika operasi tidak asosiatif.Diperoleh

b*(a*b~) = b*e = b dan (b*a)*b' = e*b' = b'

Karena S asosiatif, (b*a)*b' = b*(a*b'); karenanya b = b'

Sekarang kita detinisikan hukum penghapusan kiri dan kanan (left dan rightcancellation law) untuk operasi * pada himpunan S.

Def;n;s; 1.12

Operasi * pada S memenuhi hukum penghapusan kiri jika a*b =a*c, berakibatb = c, clan memenuhi hukum penghapusan kanan jika b*a =e*a, berakibat b = c.

Def;n;s; 1.13

Suatu operasi * pada himpunan S dikatakan komutatif (atau, memenuhi hukumkomutatit) jika a*b = b*a untuk setiap a, b pada S.

CONTOH SEMIGRUP

Contoh 1.16

Dibicarakan himpunan integer positif N, dan * adalah operasi KelipatanPersekutuan Terkecil atau least common multiple (lem) pada N.(a) Tentukan 4*6, 3*5, 9*18, clan 1*6

(b) Apakah (N,*) Semigrup? Apakah ia komutatif?(c) Tentukan elemen identitas dari *

(a) karena x*y adalah least common multiple dari x dan y, kita peroleh:

4*6 = 12, 3*5 = 15, 9*18 = 18, 1*6 = 6

16

(b) Bukti pada teori bilangan menyatakan bahwa (a*b)*e =a*(b*e), yaknibahwa operasi lcm asosiatif, dan bahwa a*b =b*a, yakni .bahwaoperasilcm komutatif. Karenanya (N,*) adalah Semigrup komutatif.

(c) Integer 1 adalah elemen identitas, karena I em dari 1 dan sembaranginteger positif a adalat. a, yakni 1*a = a*1 = a, untuk sembarang a E N.

Selanjutnya karena lcm(a,b) = 1 ji,ka dan hanya jika a = 1 dan b = I, satu-satunya bilangan yang mempunyai invers adalah I, dan ia adalah inversnya sendiri.

Contoh 1.17

Oibiearakan himpunan bilangan rasional Q, dan misalkan * adalah operasipada Q yang didefinisikan sebagai

a*b =a+b-ab

(a) Hitung 3*4, 2*(-5), dan 7*1/2

(b) Apakah (Q,*) Semigrup? Apakah fa komutatif?(e) Tentukan elemen identitas untuk *

(d) Elemen mana, jika ada, mempunyai invers, dan mana inversnya?

(a) Menggunakan operasi yang diberikan, kita peroleh3*4 = 3+4-3.4 = 3+4-12 = -52*(-5) = 2+(-5)-2.(-5) = 2-5+10 = 7

7*1/2 = 7+1/2-7(1/2) = 4

(b) Kita tentukan apakah * asosiatif:

(a*b)*e = (a+b-ab)*e

=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)e

= a+b-ab+c-ae-bc+abc

= a+b+c-ab-ae-bc+abc

a*(b*e) =a*(b+c-bc)

= a+(b+c-bc) - a(b+c-bc)= a+b+c-bc-ab-ae+abc

17

Karenanya (Q, *) adalah Semigrup komutatif.

(c) Elemen e adalah elemen identitas jika a*e =a, untuk setiap a E Q. Kitakerjakan demikian:

a*e =a

a+e-ae =a

e-ea =0

e(1-a) =0e = 0

Karenanya, 0 adalah elemen identitas.

(d) Agar a mempunyai invers x, haruslah n*x =0, karena 0 adalah clemenidentitas mennrut (c).

Kita Hitung sebagai berikut

a*x =0

a+x-ax =0

Karenanya jika a 1:- I, maka a mempunyai im.'r\ dan 1.1d(\;U,1I1a/(a-li

Contoh 1.18

Misalkan S sembaranghimpunan tidak hampa denganoperasi a*b =a. Apakahoperasi ini

(a) asosiatif?

(b) komutatif?

(c) Tunjukkan bahwa hukum penghapusan kanan berlaku.

Apakah hukum penghapusan kiri berlaku?

18

a =.ax-xa = x(a-l)x = a/(a-l)

(a) Va. Kenyauwnny~

(a*b)*c = a*c = ~ dan

a*(b*c) = a*b =a.

(b) Jika S mempooyai lebih dari satu elemen, maka * tidak komutatif, Di sini,ootuk a * b, kita peroleh a*b =~ tetapi b*a =b, dan karenanya a*b *b*a

(c) Pandang a*c =b*c. Kita perolah a*c =a dan b*c =b. Berartia = b.Karenanya hukum penghapusan kanan berlaku.

Hukum penghapusan kiri tidak berlaku. Sebagai contoh pandang b * c.Maka a*b = a*c =~ tetapi b * c.

SEMIGRUP BEBAS

Pandang S adalah himpooan simbol. Sekarang kita definisikan Semigrup bebaspada S.

Definisi 1.14

Suatu untai pada S adalah suatu barisan hingga elemen S.

Sebagai contoh, U = ababb dan V =accba adalah ootai pada S ={~b,c}.

Dalam pembicaraan tentang ootai pada S, kita kerap kali menyebut S alphabet,dan elemennya huruf.

Untuk memudahkan pembahasan,barisan hamp~ dinyatakan dengan f\ atau 1,adalah juga untai pada S.

Kita juga akan menyingkat notasi, dengan menulis a2 ootuk ~ a3 ootuk ~dan seterusnya. Himpunan dari semua untai pada S, biasanya dinyatakandengan S*,

Sekarang pandang 2 ootai U dan V pada S. Kita dapat membentuk ootai UVyang didapatkan dengan menulis huruf-huruf dari V sesudah hUruf-hurufdari U.Sebagai contoh, jika U dan V adalah ootai di atas, maka

19

Operasi ini disebut operasi sambung atau concatenation. Jelas operasi ini adalahasosiatif. Karenanya himpunan untai pada S adalah suatu Sernigrup di bawahopera,si sambung.

Definisi 1.15

Sernigrup S* yang-terdiridari semua untai dalam S disebut Sernigrup bebaspada S, atau Sernigrup yang direntang oleh S.

Jelas untai hampa 1\adalah elemen identitasuntuk Sernigrupini, dan Semigrupmemenuhi kedua hukum penghapusan kiri dan kanan.

20