SISTEMA DIÉDRICO

Intersecciones de planos y de rectas y planos

Ejercicio Nº 90Hallar la intersección del plano α con el primer bisector.

L T

1º Un punto de la intersección del plano α con el primer bisector es el punto B'-B''.

L T

B'-B''

2º Para hallar otro punto trazamos una recta cualquiera r'-r'' que pertenezca al plano α, sabiendo que las trazas Vr y Hr se encuentran sobre las trazas homónimas del plano.

L T

r''

r'

B'-B''

3º Hallamos la intersección de la recta r'-r'' con el primer bisector, por medio de la recta r1' simétrica de r' respecto a LT que corta a r'' en A'', hallando la otra proyección A' que nos permite trazar la recta i'-i'', que es la intersección del plano α con el 1º bisector.

L T

r''

r'

B'-B''

A''

A'

D'

Ejercicio Nº 91Hallar la intersección de dos planos α y β cuando cada traza de uno coincide con la de nombre contrario del otro.

TL

1º Un punto de la intersección de ambos planos es el punto O'-O''.

TL

O'-O''

2º Para determinar otro punto trazamos dos rectas una que pertenece al plano α y otra al plano β.3º Tomamos dos puntos el B'-B'' y el A'-A'' que pertenecen al plano α y determinan la recta r'-r''.

TL

r''

r'

A'

B'

B''

A''

O'-O''

4º Tomamos otros dos puntos el C'-C'' y el D'-D'' que pertenecen al plano β y determinan la recta s'-s''.

TL

r''

r'

A'

s''

s'

B'

B''

A''

C'

C''D'

D''

O'-O''

5º Hallamos la intersección de ambas rectas punto I'-I'', que es otro punto de la intersección.

TL

r''

r'

A'

s''

s'

B'

B''

A''

C'

C''D'

D''

I'-I''

O'-O''

6º Unimos el punto I'-I'' con el otro punto O'-O'' y tenemos la recta intersección i'-i''

TL

r''

r'

A'

s''

s'

B'

B''

A''

i'-i''

C'

C''D'

D''

I'-I''

O'-O''

Ejercicio Nº 92Hallar la intersección del plano α que pasa por LT y un punto A'-A'' y el plano β.

L T

A''

A'

1º Un punto de intersección del plano α con el plano β es el punto O'-O''.

L T

A''

A'

O'-O''

2º Para hallar otro punto trazamos un plano auxiliar 2 que pasa por A'' y hallamos la intersección de con los planos dados.

L T

A''

A'

O'-O''

3º La intersección de con α, es la recta paralela a LT r'-r''.

L T

r''

r'

A''

A'

O'-O''

4º La intersección de con β es la horizontal s'-s''.

L T

r''

r'

A''

A'

s''

s'

O'-O''

5º El punto de intersección B'-B'' de r'-r'' y s'-s'' es otro punto de la intersección de ambos planos .

L T

r''

r'

B''A''

A'

s''

s'

O'-O''

B'

5º Unimos los puntos B'-B'' y O'-O'' que determinan la recta i'-i'' que es la intersección de ambos planos .

L T

r''

r'

B''A''

A'

s''

s'

O'-O''

i''

i'

B'

Ejercicio Nº 93Hallar la intersección de dos planos α y β perpendiculares al 2º bisector y que se cortan en LT.

TL

1º Un punto de la intersección de ambos planos es el punto I'-I''.

TL

I'-I''

2º Para determinar otro punto trazamos un plano auxiliar paralelo al plano horizontal hallamos la intersección de este plano con el plano α y β. La intersección de α y es la recta horizontal r'-r'‘.

TL

r''

r'

I'-I''

3º La intersección de β y es la recta horizontal s'-s''.

TL

r''

r'

s''

s'

I'-I''

4º La intersección de r'-r'' y s'-s'' es el punto A'-A'', que es otro punto de la intersección de ambos planos.

TL

r''

r'

s''

s'

I'-I''

A'

A''

4º Unimos el punto A'-A'', con el punto I'-I'' y nos determina la recta i'-i'' intersección de ambos planos.

TL

r''

r'

s''

s'

I'-I''

A'

A''

i'-i''

Ejercicio Nº 94Hallar la intersección de dos planos dados por sus rectas de máxima pendiente n'-n'' y m'-m''.

L T

n''

n'

m''

m'

1º Hallamos las trazas de las rectas n'-n'' y m'-m'', puntos Vn-Hn y Vm-Hm.

L T

n''

n'

m''

m'Hn

Vn

m

Hm

2º Por Hn y Hm trazamos las perpendiculares a n' y m' que son las trazas horizontales de los planos α1 y β1, que deseamos hallar la intersección.

L T

n''

n'

m''

m'

Hn

Vn

m

Hm

90°

90°

3º La intersección de las trazas horizontales α1 y β1 nos da el punto A'-A'' que es un punto de la intersección.

L T

n''

n'

A''

A'

m''

m'

Hn

Vn

m

Hm

90°

90°

4º Determinamos otro punto mediante un plano auxiliar 2, que mediante las horizontales de plano h'-h'' y t'-t'' nos determina el punto B'-B''. (La intersección de 2 con α se determina mediante el punto de intersección de 2 con n'', Punto C'' determinamos la otra proyección C' y trazamos una paralela a α1 recta h'. La intersección de 2 con β se halla de la misma forma mediante la horizontal t'-t''.

L T

n''

n'

B''

A''

A'

m''

m'

B'

Hn

Vn

m

Hm

h''-t''

h't'

90°

90°

C'

D''

D'

5º El punto de intersección B'-B'' de h'-h'' y t'-t'' es otro punto de la intersección de ambos planos por lo tanto de la recta intersección i'-i'' que determinan los puntos A'-A'' y B'-B''.

L T

n''

n'

B''

A''

A'

m''

m'

B'

Hn

Vn

m

Hm

h''-t''

h't'

90°

90°

C'

D''

D'

i''

i'

Ejercicio Nº 95Hallar la intersección de tres planos α, β y dados. α pasa por LT y un punto A'-A''; β es proyectante vertical y es perpendicular al 2º bisector.

TL

A'

A''

La intersección de tres planos es un punto. Para determinarlo hallamos la intersección de dos planos que nos determina una recta y la intersección de otros dos que nos determina otra recta, el punto de corte de estas rectas es el punto de intersección.1º Hallamos la intersección de β1-β2 y 1- 2 que nos determina la recta r'-r''. Las trazas β2 y 2 se cortan en el punto Vr, las trazas β1 y 1 en el punto Hr que unidos nos da la recta r'-r''.

TL

r''

r'

A'

A''

Vr

Hr

2º Para determinar la intersección de α y β, nos ayudamos del plano auxiliar f2. Trazamos por A'' el plano horizontal (paralelo al PH) f2 ,.

TL

r''

r'

O'-O''

A'

A''

Vr

Hr

f 2

3º La intersección del plano f2, con el plano α es la recta s'-s'' paralela LT .

TL

r''

r'

s''

s'

O'-O''

A'

A''

Vr

Hr

f 2

4º La intersección de f2 con el plano β es la recta de punta t'-t'' (perpendicular al PV).

TL

r''

r'

s''

s'

t''

O'-O''

A'

A''

t'

Vr

Hr

f 2

5º Las rectas s'-s'' y t'-t'' se corta en el punto B'-B'' que es un punto que pertenece a los tres planos α, β y , como α y β se corta en el punto de LT, O'-O''. Unimos el punto B'-B'' con O'-O'' y tenemos la recta n'-n'' intersección de α y β.

TL

r''

r'

s''

s'

t''

O'-O''

A'

A''

t'

Vr

Hr

B''

n''

n'

B'

f 2

6º El punto de intersección de las rectas r'-r'' y n'-n'' punto I'-I'' es el punto de intersección de los tres planos dados.

TL

r''

r'

s''

s'

t''

I''

O'-O''

A'

A''

t'

Vr

Hr

B''

n''

n'

B'

f 2

Ejercicio Nº 96Hallar la intersección de la recta r y el plano α.

L T

r''

r'

1º Trazamos un plano proyectante horizontal β1-β2 que pase por r'.

L T

r''

r'

2º Hallamos la intersección del plano α con el proyectante β, que es la recta i'-i''.

L T

r''

r'

i''

i'

3º La intersección de la recta r'-r'' con i'-i'' punto I'-I'' es el punto de intersección de la recta r'-r'' con el plano α.

L T

r''

r'

I''

I'

i''

i'

Ejercicio Nº 97Hallar la intersección de la recta r y el plano α.

TL

r''

r'

Tenemos el plano α y la recta r, como la recta no corta a LT al plano proyectante de r solamente le podemos trazar la traza horizontal β1, la otra traza vertical β2 no la podemos trazar.1º Trazamos la traza horizontal β1.

TL

r''

r'

2º Trazamos la frontal t'-t'' del plano α

TL

r''

r'

t''

t'

3º Trazamos la recta perpendicular al plano horizontal s'-s'' que corta en A'-A'' a la recta t'-t''. El punto A'-A'' es un punto de la intersección de plano α y del plano β.

TL

r''

r'

s''

s'

t''

A'

A''

t'

4º Hallamos la intersección de los planos α y β, trazamos por el punto de corte de α1 y β1 la perpendicular a LT y unimos este punto con A'', la recta i'-i'' es la intersección de α y β.

TL

r''

r'

s''

s'

t''

A'

A''

t'

i''

i'

5º El punto de corte de i'' con r'' es la proyección vertical de la intersección de la recta r con el plano α, punto I'' trazamos la perpendicular a LT y determinamos la proyección horizontal I' de la intersección de la recta r con el plano α. El punto I'-I'' es el punto de intersección de la recta con el plano.

TL

r''

r'

s''

s'

t''

I''

A'

A''

t'

i''

i'

I'

Ejercicio Nº 98

Hallar la intersección de la recta r y el plano α.

L T

r'

r''

1º Trazamos un plano proyectante de r en este caso el proyectante vertical β1- β2.

L T

r'

r''

2º Hallamos la intersección de α y β, recta i'-i''.

L T

r'

r''

i''

i'

3º La intersección de las rectas r'-r'' (prolongamos la recta r') con i'-i'' punto A'-A'' es un punto α.

L T

r'

r''

A'

A''

i''

i'

Ejercicio Nº 99Hallar la intersección de tres planos α, β y dados.

TL

2

1

La intersección de tres planos es un punto.1º Determinamos la intersección de α y β prolongando las trazas de ambos planos hasta que se corten. Donde α1 y β1 se cortan trazamos una perpendicular a LT, unimos el punto de corte de la perpendicular y LT con el punto de corte de α2 y β2, por este punto trazamos otra perpendicular a LT y unimos el punto de corte de la perpendicular y LT con el punto de corte de α1 y β1 y tenemos la recta r'-r'', recta de intersección de los planos α y β.

TL

r''

r'

2

1

2º Determinamos ahora la intersección de α y prolongando las trazas hasta que se corten. Donde α1 y 1 se cortan trazamos una perpendicular a LT, unimos el punto de corte de la perpendicular y LT con el punto de corte de α2 y 2 por este punto trazamos otra perpendicular a LT y unimos el punto de corte de la perpendicular y LT con el punto de corte de α1 y 1 y tenemos la recta s'-s'', recta de intersección de los planos α y .

TL

r''

r'

s''

s'

2

1

3º Donde se cortan r'-r'' y s'-s'', punto I'-I'' es el punto de intersección de los tres planos.

TL

r''

r'

s''

s'

I''

I'

2

1

Ejercicio Nº 100Hallar la intersección de los planos a. y β

L T

1º Los dos planos se cortan en el punto O'-O'', por lo que tenemos que hallar otro punto de la intersección.

L T

O'-O''

2º Trazamos un plano auxiliar ? paralelo al PH (plano horizontal).

L T

A''

O'-O''

?2

3º Hallamos la intersección del plano con el plano α recta m'-m'' y con el plano β, recta n'-n''.

L T

?2

O'-O''

m''-n''

m'n'

4º La intersección de las rectas m'-m'' con n'-n'' punto A'-A'' es un punto de intersección de los planos.

L T

A'

A''

?2

O'-O''

m''-n''

m'n'

5º Unimos el punto A'-A'' con el punto O'-O'' y obtenemos la intersección de los planos solicitada.

L T

i'

i''

A'

A''

?2

O'-O''

m''-n''

m'n'

Ejercicio Nº 101Hallar la intersección de una recta de punta r'-r'' con un plano α perpendicular al segundo bisector.

TL

r''

r'

1º Trazamos un plano auxiliar β2 horizontal que pase por r''.

TL

r''

r'

2º Hallamos la intersección de α y β, que nos da la recta s'-s''.

TL

r''

r'

s''

s'

3º La intersección de las rectas s'-s'' y r'-r'', nos determina el punto I’-I’’ de intersección de la recta r'-r'' y el plano α1-α2.

TL

r''

r'

s''

s'

I''

I'

Ejercicio Nº 102Hallar la intersección de una recta r'-r'' con un plano determinado por su recta máxima inclinación n'-n'', sin utilizar las trazas del plano.

L T

r'

r''

n''

n'

1º Trazamos el plano auxiliar α1-α2 proyectante horizontal de la recta r'-r''.

L T

r'

r''

n''

n'

2º Trazamos las frontales del plano dado s'-s'' y t'-t'' que tienen que ser perpendiculares a la proyección vertical de la recta de máxima inclinación n'' y pasan por los puntos A'-A'' y B'-B'' respectivamente.

L T

r'

r''

A'

A''

90°

90°

s''

s'

t''

t'

B''

B'

n''

n'

3º La intersección de las rectas s'-s'' y t'-t'' con la proyección horizontal de la recta r' nos determina los puntos C'-C''y D'-D'' que son puntos de la recta intersección i'-i'' de los planos.4º Donde i'-i'' corta a r'-r'' nos determina el punto I'-I'' que es el punto pedido.

L T

r'

r''

A'

A''

i''

i'

90°

90°

s''

s'

t''

t'

B''

B'

C''

D'

C'

n''

n'

4º Donde i'-i'' corta a r'-r'' nos determina el punto I'-I'' que es el punto pedido.

L T

r'

r''

A'

A''

i''

i'

90°

90°

s''

s'

t''

t'

B''

B'

C''

D'

C'

n''

n'

I''

I'

Ejercicio Nº 103Hallar la intersección de una recta de punta r'-r'' con un plano α perpendicular al segundo bisector.

TL

r''

r'

1º Trazamos un plano auxiliar β2 horizontal que pase por r''.

TL

r''

r'

2º Hallamos la intersección de α y β, que nos da la recta s'-s''.

TL

r''

r'

s''

s'

3º La intersección de las rectas s'-s'' y r'-r'', nos determina el punto I’-I’’ de intersección de la recta r'-r'' y el plano α1-α2.

TL

r''

r'

s''

s'

I''

I'

Ejercicio Nº 104Hallar la intersección de una recta r de perfil definida por los puntos A y B con un plano que pasa por LT y un punto C.Dos métodos

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

Aplicamos la tercera proyección1º Trazamos una recta cualquiera PP.

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

PP

O

2º Por A', A'', B' y B'' trazamos paralelas a LT hasta cortar a la recta PP. Hacemos centro en O y radio O1 trazamos el arco de circunferencia hasta que corte a LT, desde el punto de corte trazamos la perpendicular a LT que corta en A''‘ a la paralela que trazamos por A'' que es la tercera proyección de A. Se repite el mismo procedimiento con el punto B y obtenemos B''', unimos A''' y B''' y tenemos r''' tercera proyección de la recta r.

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

r'''

PP

1

O

A'''

B'''

3º Hacemos lo mismo con el punto C y obtenemos C''' tercera proyección de C, (por C' y C'' trazamos paralelas a LT hacemos centro en O con radio O2 hasta que corte a LT), seguidamente un perpendicular a LT y obtenemos C''' que unido con O nos determina el plano α3.

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

r'''

PP

1

O

2

A'''

C'''

B'''

4º El punto de corte de α3 y r''' nos determina el punto de intersección I'''. Desabatimos I''' ( por I''' trazamos una paralela a LT que nos determina la proyección vertical I'', por I''' trazamos la perpendicular a LT punto 3 trazamos el arco de radio O3 hasta que corte a PP y después una paralela y obtenemos I'.

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

I'''

C'

I''

I'

r'''

PP

1

O

2

3

A'''

C'''

B'''

Por el método tradicional

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

1º Trazamos un plano cualquiera β que pase por la recta dada, mediante dos rectas que pasan por los puntos A'-A''y B'-B'', rectas s'-s'' y t'-t'‘ que se cortan en el punto D’-D’’.

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

D''

D'

s''

t'

s'

2º Hallamos las trazas de ambas rectas Vt, Vs y Ht.

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

D''

D'

s''

t'

s'

Vt

Vs

Ht

3º Trazamos las trazas del plano β1- β2.

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

D''

D'

s''

t'

s'

ß

ß

Vt

Vs

Ht

4º Hallamos la intersección de α y β solamente tenemos el punto O'-O'',

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

D''

D'

s''

t'

s'

ß

ß

Vt

Vs

Ht

O'-O''

5º Para determinar otro punto utilizando un plano auxiliar ?2 la intersección de α y es la recta x'-x'' y la de y β es la recta y'-y'‘.

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

D''

D'

s''

t'

s'

ß

ß

?2 - x''-

x'

y''

y'

Vt

Vs

Ht

O'-O''

2

6º La recta x'-x'' y la recta y'-y'', se cortan en el punto E'-E''..

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

D''

D'

s''

t'

s'

ß

ß

?2 - x''-

x'

y''

y'

Vt

Vs

Ht

O'-O''

E'

E''

7º Unimos el punto O'-O'' con el E'-E'' que es la recta i’-i’’ intersección de los planos α y β,

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

D''

D'

s''

t'

s'

ß

ß

?2 - x''-

x'

y''

y'

Vt

Vs

Ht

O'-O''

E'

E''

i''

i'

8º La recta i’-i’’ corta a la recta dada r'-r'' en el punto I'-I'' que es el punto buscado la intersección de la recta r'-r'' con el plano α1 – α2.

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

L T

r' r''

A'

A''

B''

B'

C''

C'

D''

D'

s''

t'

s'

ß

ß

d2 - x''-

x'

y''

y'

Vt

Vs

Ht

O'-O''

E'

E''

I''

I''

i''

i'