sistema.- resorte masa amortiguador
Nombre del proyecto:sistema resorte masa amortiguador
Carrera:INGENIERIA ROBOTICA
Lugar y fecha de presentacin:Celaya, gto. Mxico a 02 de mayo de
2014
Materia y grupo:Seales y sistemas 5 b
Periodo cuatrimestral:Quinto cuatrimestre (ene 2014 abr
2014)
Elaborado por.-:Martnez peralta Jorge
Martnez Peralta [email protected]
Sistema Resorte - Masa - Amortiguador.
Resumen- proyecto elaborado para la materia de Seales y Sistemas
del quinto cuatrimestre de la carrera de Ingeniera Robtica
impartida por el Profesor Mota Muoz Francisco Gustavo, el cual
consisti en la elaboracin de una maqueta de un sistema resorte -
masa - amortiguador y su respectivo anlisis matemtico.
INTRODUCCIN.
I. Planteamiento del problema.-
Se tiene la necesidad de elaborar una maqueta en la cual se
muestre un sistema mecnico de tipo resorte masa amortiguador, con
el fin de aterrizar los ejemplos escritos en algo real y palpable,
se pretende adquirir conocimientos prcticos y educativos para la
materia en cuestin, adems de enriquecer el conocimiento personal de
cada alumno que toma la materia.
II. Objetivo(s).-
Aterrizar en una maqueta, o mejor dicho en un ejemplo fsico y
palpable, uno de los muchos ejercicios que se resuelven da a da en
el saln de clases, esto con el fin de mejorar el entendimiento y
compresin de dichos problemas en el alumno, adems de darle un
enfoque ms realista a lo que se lleva a cabo con lpiz y papel.
El objetivo principal es la de entender y comprender de una
mejor manera lo que se hace con lpiz y papel en el saln de clases
pero ahora aterrizado a un modelo fsico.
Dentro de las principales metas a cumplir en este proyecto se
establecieron las siguientes.-
Elaborar un sistema resorte masa amortiguador. Obtener el modelo
matemtico del sistema. Obtener su funcin de transferencia. Graficar
la respuesta del sistema.
DESARROLLO.
Para la elaboracin de la maqueta se analizaron los materiales a
utilizar, as como el resorte a emplear, la masa con la que se
estara manipulando el sistema y el amortiguador a elaborar, para
esta maqueta se eligi los siguientes materiales:
Madera para la base de la estructura. Tubular cuadrado de 1 para
la columna del sistema. Angulo de 2 para sujetar la columna con la
base. Argollas, tornillos, tuercas mariposa, tinta, pintura etc.
Para la masa del sistema se eligi un bloque de 500g. Resorte.
Amortiguador casero con un vaso de cristal y un embolo para su
funcionamiento.
Una vez que se establecieron los materiales con lo que se
elaborara la maqueta se procedi a comenzar a elaborar dicha
maqueta.
0.5
Posteriormente a la elaboracin de la maqueta, se ensamblaron
todas su piezas para comenzar a tomar los datos necesarios para
realizar su anlisis matemtico y as cumplir con nuestras metas,
anteriormente ya planteadas.
Una vez que se tena la maqueta ya construida, se tomaron
diversos datos, como por ejemplo:
Longitud del resorte antes de soltar el contrapeso. Longitud del
resorte despus de haber soltado el contrapeso y que este haiga
terminado de oscilar.
Con la ayuda de la ley de Hooke se logr obtener la constante del
resorte, ya que para nosotros este valor es desconocido.
De la frmula que se menciona en el prrafo anterior despejamos la
variable de la constante, para as poder conocer nuestro valor
desconocido, esto gracias a que la deformacin del resorte la
conocemos gracias a los datos que se tomaron al concluir la maqueta
y la fuerza ejercida ser solamente el peso de nuestra masa.
9.81 m/s0.5 Kg.
m = 500g = 0.5 Kg.g = 9.81 m/s.F = 4.905 N.
Yf = posicin deformada del resorteYi = posicin no deformada del
resorteYf = 11 cm = 0.11 m.Yi = 8 cm = 0.08 m.Y = 0.03 m. Yi.
Yf.
F = 4.905 N.Y = 0.03 m.K = 163.5 N/m.
Y as se obtuvo el valor de la constante elstica del resorte
163.5 N/m.
Para el caso del amortiguador, debido a que cualquier fluido en
la maqueta evitaba el movimiento se decidi dejar el amortiguador de
aire para que el oscilamiento de la masa fuera mucho ms libre que
con la presencia de algn lquido, se probaron diversos tipos de
fluidos pero ninguno lograba ser lo menos denso para que la maqueta
trabajara como debera, esto fue gracias a la geometra del embolo ya
que este nos impeda que trabajara como debera.
El coeficiente de viscosidad del aire, utilizado en este estudio
es de 0.8 Ns/m.
Una vez que se obtuvieron los valores necesarios para el estudio
del sistema se comenz con un anlisis matemtico del sistema, el cual
parte de un diagrama de cuerpo libre considerando todos los datos
obtenidos para este anlisis:
K =163.5 N/m. (constante del resorte)B = 0.8 Ns/m (coeficiente
viscoso del aceite)M = 0.5 Kg. (masa de prueba)W = 4.905 N. (peso
del contrapeso)A = 9.81 m/s (aceleracin de la masa)Longitud mnima
resorte = 0.08 m.Longitud mxima resorte = 0.11 m.
El diagrama de cuerpo libre que se obtuvo se muestra a
continuacin.9.81 m/s.0.5 Kg.Fa.Fr.Yf.Convencin de signos
( + )
( - )
. .
. .
. .
.
..
Condiciones iniciales.-
2.5.. Transformando al dominio de la frecuencia.-
02.5 2.5
..
.
Una vez obtenida la funcin de transferencia en el dominio de la
frecuencia, anti transformamos para obtenerla en el dominio del
tiempo aun sin sustituir los valores que ya tenemos y tomando
algunas consideraciones y cambios de variables.
.Tomando en cuenta las condiciones anteriores podemos escribir
la ecuacin obtenida de la siguiente forma.
.
Con esta ecuacin podemos determinar el valor de las constantes
de las fracciones parciales.
.
..
...
Por lo tanto.-
Realizando otro cambio de variable y recordando algunas formas
de factorizacin, podemos determinar las siguientes ecuaciones, esto
con el fin de lograr facilitarnos realizar la anti trasformada y
generar una ecuacin general de un sistema resorte masa
amortiguador.
.
Donde.-
.
Ahora podemos decir que.-
Ahora con esta ecuacin podemos generar nuestra ecuacin en el
dominio del tiempo con la ayuda de la anti transformada.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Finalmente obtenemos la funcin de transferencia en el dominio
del tiempo.
.
Recordando que.-
.
Podemos decir que.-
.
.
Ahora reescribimos nuestra ecuacin sustituyendo los valores de
las constantes y regresando a nuestras variables iniciales.-
.
Una vez ya obtenida nuestra funcin de transferencia podemos
conocer la respuesta a cualquier sistema mecnico, solo basta con
sustituir los valores de la masa, la constante de rigidez del
resorte, el coeficiente de amortiguamiento, y con ello conoceremos
cual ser su respuesta en el tiempo de nuestro sistema.
Aunado a lo anterior se muestra a continuacin el cdigo ingresado
a Matlab para el graficado de dicha funcin de transferencia, es
este caso considerando los datos que se obtuvieron desde el inicio
del problema.
>> g = 9.81;>> m = 0.5;>> d = 0.8;>> k =
162;>> a = ((g * m) / k);>> b = (2.5 - ((g * m) /
k));>> c = ((2.5 * (d / m)) - ((g * d) / k));>> o =
(sqrt ((k / m) - ((d / (2 * m)) * (d / (2 * m)))));>> e = (d
/ (2 * m));>> t = linspace (0, 15, 100);>> y = (a) +
((b) * (exp (-e * t)).* ((cos (o * t)) - ((e / o) * sin (o * t))))
+ ((c) * ((exp (-e * t)) / o). * (sin (o * t))); >> Plot (t,
y)
Y nuestra grafica obtenida es la siguiente.-
Despus de generar una grfica en Matlab y darnos una idea de la
respuesta a nuestro sistema, se procedi a sensarlo con la ayuda de
una tarjeta Arduino y el software de programacin LabVIEW, en el
cual se vuelve a generar una grfica con los datos que se obtuvieron
y a su vez se analiza la seal analgica proveniente de nuestro
sensor utilizado para registrar el movimiento de nuestra masa.
A continuacin se muestran el panel frontal y el diagrama de
bloques de la programacin que se llev en LabVIEW.
El sistema con el que se ha estado trabajando se censo con un
dispositivo infrarrojo el cual nos permite calcular distancias con
la ayuda de una emisin de luz infrarroja siendo esta recibida por
un fototransistor sensible a este tipo de luz.
Finalmente se compararon las grficas obtenidas tanto con Matlab
as como con la que resulto de la programacin que se realiz en
LabVIEW al igual que la seal censada. CONCLUSION.
Para concluir, a mi parecer creo que el objetivo de esta prctica
se cumpli al 100% ya que se logr obtener una aproximacin a la
respuesta de nuestro sistema, considerando que los valores
utilizados no son los reales y que solo fueron clculos la respuesta
de nuestro sistema se obtuvo con xito.
