SKKN Nam Hoc 2012-2013

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 8 Năm học 2012-2013

SƠ YẾU LÝ LỊCH

1. Họ và tên: Nguyễn Văn Tuấn

2. Ngày, tháng, năm sinh: 16/02/1981

3. Đơn vị công tác: Trường THCS Sài Sơn

4. Nơi thường trú: Xã Sài Sơn, huyện Quốc Oai, Thành phố Hà Nội.

5. Điện thoại: 097.406.9968

6. Trình độ: Đại học

7. Chuyên ngành: Toán

8. Ngành vào ngành: 01/09/2004.

9. Thành tích đạt được năm học 2012-2013:

+ Ôn luyện đội tuyển thi giải Toán bằng máy tính cầm tay xếp thứ nhì

toàn huyện.

+ Đạt giải nhất trong hội thi GVDG cấp huyện môn Toán.

+ Đạt giải khuyến khích trong hội thi GVDG cấp Thành phố môn Toán.

10. Danh hiệu đăng ký thi đua năm học 2012-2013:

“Chiến sỹ thi đua cấp cơ sở”

Nguyễn Văn Tuấn Trường THCS Sài Sơn1


MỤC LỤC

Trang

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 3

II. Mục đích nghiên cứu.................................................................................... 4

III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:.................................................................. 4

IV. Kế hoạch nghiên cứu:................................................................................. 4

B. NỘI DUNG

I. Cơ sở lý luận:................................................................................................. 5II. Thực trạng của vấn đề: ................................................................................. 5

III. Nội dung và biện pháp giải quyết vấn đề của đề tài:

A. Kiến thức cơ bản:.................................................................................... 8

B. Các phương pháp chứng minh bài toán “đẳng thức diện tích”

Phương pháp 1………………………………………………………… 9

Phương pháp 2………………………………………………………… 11

Phương pháp 3………………………………………………………… 12

Phương pháp 4………………………………………………………… 13

Phương pháp 5………………………………………………………… 16

Phương pháp 6………………………………………………………… 19

C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ……………………………………… 25

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………. 26



A. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. Lý do chọn đề tài:

1. Cơ sở lý luận:

Dạy Toán là để giúp học sinh tìm tòi và nắm được kiến thức cơ bản từ đó

giải quyết được các bài tập áp dụng tương ứng. Vì vậy nếu chỉ học trong khuôn

khổ chương trình sách giáo khoa thì chưa đủ mà cần học tập, và nghiên cứu thêm ở

các tài liệu tham khảo.

Trước yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy : Phát huy tích cực của học sinh,

đòi hỏi giáo viên phải chủ động các phương pháp còn học sinh là đối tượng thực

hiện các yêu cầu và ý đồ của thầy. Và một trong những bước lên lớp cực kì quan

trọng là giáo viên cần chú trọng rèn kĩ năng cho học sinh bao gồm kĩ năng áp dụng

các công thức, các kiến thức mới vào việc tính toán, chứng minh từ đó phối hợp

hài hòa các phương pháp giải toán. Sau đó làm cho học sinh nắm chắc các phương

pháp chủ đạo.

Trong chương trình hình học lớp 8, yêu cầu rèn kĩ năng càng quan trọng hơn

vì có nhiều mảng kiến thức liên quan đến tính toán như tính độ dài, tính tỉ số, tính

diện tích và các kĩ năng chứng minh. Trong phân phối chương trình, mảng kiến

thức về diện tích rất quan trọng nhưng thời lượng dành cho nó còn hạn chế. Học

sinh ít được tiếp cận với các dạng toán liên quan đến diện tích như tỉ số diện tích,

đẳng thức – bất đẳng thức diện tích, cực tri diện tích, phương pháp diện tích.

Chuyên đề này là một mảng kiến thức sâu và rộng, mặt khác các dạng toán liên

quan và ứng dụng của phương pháp diện tích rất lớn, học sinh chỉ được tiếp thu ở

lớp 8 trong chương trình cấp 2, vì thế việc cung cấp cho học sinh một cách có hệ

thống các phương pháp về tính toán, chứng minh trong các bài toán về diện tích là

rất quan trọng. Trong phạm vi đề tài này, nhận thức được tầm quan trọng của các

bài toán về diện tích, tôi trình bày kinh nghiệm: “Một số phương pháp chứng

minh bài toán đẳng thức diện tích nhằm rèn luyện kĩ năng chứng minh hình

học cho học sinh lớp 8”.

2. Cơ sở thực tiễn:

Đối với kiến thức về diện tích, thực tế học sinh đã được tiếp xúc từ lớp 5

nhưng đó chỉ là việc áp dụng một số công thức diện tích đơn giản để tính diện tích

của các tam giác và tứ giác đặc biệt. Đây là một vấn đề cũ nhưng không phải là dễ



đối với học sinh bởi trong chương tình tiểu học các công thức và hệ thống kiến

thức được thừa nhận hiển nhiên bởi vậy học chủ yếu tư duy bằng trực quan . Dó đó

đối với học sinh lớp 8, các em còn suy luận đường mòn ở bậc tiểu học, chưa sáng

tạo vận dụng kiến thức mới để giải toán về diện tích.

II. Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài này là:

- Trước hết cung cấp cho học sinh một cách có hệ thống các kiến thức mở

rộng liên quan đến đẳng thức diện tích từ đó giúp học sinh có được các

phương pháp chứng minh đẳng thức diện tích.

- Phát huy tư duy học sinh bằng cách đưa ra các bài toán từ dễ đến khó để học

sinh có thể phát triển và khai thác các bài toán.

III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

1. Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng của đề tài này là 40 học sinh lớp 8A trường THCS Sài Sơn năm học

2012-2013.

2. Phạm vi nghiên cứu:

- Các tài liệu liên quan đến một số phương pháp, bài tập chứng minh bài toán

“đẳng thức diện tích”.

IV. Kế hoạch nghiên cứu:

- Bước 1: Tìm hiểu cấu trúc chương trình và nội dung SGK, nghiên cứu tài

liệu có liên quan đến tính chất hình thang, hình bình hành, tỉ số diện tích,

diện tích đa giác, chứng minh đẳng thức diện tích.

- Bước 2: Tìm những bài tập, chuyên đề liên quan đến nội dung đẳng thức

diện tích để tổng hợp, lựa chọn.

- Bước 3: Xây dựng, thiết kế thành đề cương, giáo án giảng dạy, tiến hành

giảng dạy.

- Bước 4: Rút kinh nghiêm, kiểm tra đành giá hiệu quả áp dụng trong năm

học.

- Bước 5: Lập đề cương cho đề tài.

- Bước 6: Viết và hoàn thiện đề tài.



B. NỘI DUNG

Trước hết giáo viên cho học sinh thấy rõ “Thế nào là đẳng thức diện tích"

và để chứng minh các bài toán về đẳng thức diện tích ta cần vận dụng những kiến

thức nào, qua các bài toán sẽ được rèn luyện thêm những kĩ năng gì?”

I. C ơ sở lý luận.

Ở tiểu học, học sinh đã được học về diện tích các hình chữ nhật, hình vuông,

hình tam giác … Các công thức về diện tích các hình nói trên chủ yếu được các em

ứng dụng trong việc giải quyết các bài tập tính toán có liên quan đến diện tích.

Lên đến THCS, HS lớp 8 lại tiếp tục được học về diện tích của các hình này nhưng

ở diện rộng hơn và sâu hơn, đặc biệt học sinh thấy được ngoài ứng dụng tính toán;

các công thức tính diện tích còn cho ta thấy mối quan hệ về độ dài của các đoạn

thẳng, tính chất của hình thang, tính chất của hình bình hành, tỉ số diện tích trong

tam giác liên quan đến đường trung tuyến, đường cao; chúng rất có ích trong một

số bài toán chứng minh về đại số cũng như hình học.

II. Thực trạng của vấn đ ề:

1. Thuận lợi:

1.1- Về phía giáo viên:

- Hầu hết giáo viên giảng dạy đều đạt trình độ chuẩn và trên chuẩn theo quy

định. Có kiến thức chuyên môn và nghiệp vụ vững vàng. Có phẩm chất đạo đức

tốt, tác phong sư phạm chuẩn mực, có tinh thần trách nhiệm cao, có tâm huyết và

giàu lòng yêu nghề mến trẻ. Trong thời gian giảng dạy, giáo viên đúc kết được

nhiều kinh nghiệm và truyền đạt kinh nghiệm cho nhau.

- Công nghệ thông tin ngày càng phát triển giúp cho việc trao đổi thông tin

của giáo viên được thuận lợi hơn. Việc tìm kiếm, tham khảo các tài liệu được

thuận lợi hơn thông qua các trang website điện tử, website học trực tuyến.

- Đa số giáo viên có tinh thần tự học, tự bồi dưỡng cao, tích cực tham gia các

phong trào thao giảng, dự giờ, thi giảng,…. để dần nâng cao trình độ chuyên môn

nghiệp vụ.

- Phương pháp giảng dạy mới được giáo viên nắm bắt và vận dụng kịp thời,

sáng tạo, đặc biệt là việc ứng dụng Công nghệ thông tin vào giảng dạy.

1.2- Về phía học sinh:



- Đa số các em chăm ngoan, tích cực học tập. Các em thấy được vị trí, vai trò

vô cùng quan trong của môn toán. Từ đó, các em xác định được mục tiêu, phương

pháp để học tốt môn này.

- Đa số các em có tinh thần tự học cao. Tính chủ động tìm hiểu kiến thức qua

sách báo, trên mạng Internet….. ở nhiều HS càng được phát huy.

2. Hạn chế:

2.1 Về phía người dạy:

- Về mặt tâm lí, nhiều giáo viên cho rằng dạy hình học thật khó. Vì kiến thức

lí thuyết khô khan, thậm chí có nhiều khái niệm trừu tượng không gây hứng thú

học tập cho học sinh. Đồng thời thầy cô lo lắng vì học sinh không thích học, lớp

thụ động, dẫn đến tiết dạy không thành công.

2.2 Về phía học sinh:

- Đa số học sinh học yếu môn Toán nói chung và Hình học nói riêng là do

các em hổng kiến thức từ lớp dưới vì đặc trưng của môn Toán là môn học có hệ

thống kiến thức, được xây dựng đi lên như xây một bức tường.

- Phân môn hình học cũng được xem là một môn học năng khiếu. Nếu học

sinh không có năng khiếu phân tích, óc quan sát, trí tưởng tượng thì không thể tự

phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.

- Trình độ của học sinh không đồng đều, thậm chí có những học sinh lười

học dẫn đến học yếu.

- Sự phát triển của CNTT bên cạnh những mặt thuận lợi thì nó cũng gây nên

những tác động xấu, lôi kéo học sinh lao vào những luồng thông tin khác, không

tập trung, say mê học tập.

Qua thực tế khi kiểm tra 40 học sinh lớp 8A trong thời gian 30 phút với

đề bài như sau:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng song song với AC cắt các

cạnh AB,BC thứ tự ở E, K. Chứng minh rằng :

Bài 2: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho , trên cạnh

AC lấy điểm N sao cho . Gọi O là giao điểm của CM và BN.

Chứng minh rằng:

Kết quả làm của học sinh như sau:

Điểm số 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số HS 0 2 5 8 6 6 3 4 4 2 0


E

K

D C

BA

O

M

N

CB

A


Trên trung bình: 13/40 = 32,5%

Dưới trung bình: 27/40 = 67,5%

Qua bài làm của học sinh tôi thấy học sinh làm bài không đạt yêu cầu vì các

lí do sau:

+ Chưa vận dụng thành thạo tính chất của hình thang, (tức là mối quan hệ

giữa quan hệ song song và diện tích).

Cụ thể ở bài 1:

Bài 1:

Do AE // CD SADE = SACE (1)

EK // AC SACE = SACK (2)

KC // AD SACK = SCDK (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: SADE = SCDK

+ Chưa có kĩ năng thêm bớt diện tích để đưa về đẳng thức đơn giản hơn.

+ Chưa thành thạo trong việc sử dụng tỉ số diện tích.

Cụ thể ở bài 2:

Tương tự:

Từ (1) và (2) suy ra: SAMC = SBCN

SAMON + SONC = SBOC + SONC

Từ thực tế trên, giúp tôi hiểu rõ vấn đề và nắm được tư duy của học sinh. Do

đó tôi nghiên cứu và viết sáng kiến kinh nghiệm này để giúp học sinh được bổ trợ

thêm về kiến thức và rèn luyện thêm về kĩ năng chứng minh hình học.

III. Nội dung và biện pháp giải quyết vấn đ ề của đ ề tài:

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Công thức tính diện tích đa giác

Phần này học sinh đã được học trong chương trình SGK:

- Công thức tính diện tích tam giác

- Công thức tính diện tích hình chữ nhật


C

O

D

BA

D C

BA

M CB

A

N

B

A

C

M


- Công thức tính diện tích hình vuông

- Công thức tính diện tích hình thoi

- Công thức tính diện tích hình bình hành

- Công thức tính diện tích hình thang

2. Tính chất hình thang

Nếu ABCD là hình thang và AB//CD;

thì:

+

+

+

3. Tính chất hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì:

4. Tỉ số diện tích tam giác:

4.1 Nếu hai tam giác có hai đường cao bằng nhau

thì tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số hai cạnh

tương ứng

M BC, ta có:

4.2. Nếu hai tam giác có 2 cạnh bằng nhau thì tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số

hai đường cao tương ứng với hai cạnh đó

4.3. Đặc biệt

Nếu AM là trung tuyến của ABC thì:

4.4. Nếu ABC có M AB, N AC thì:


A1

C1

B1

B C

P

N M

A

M

N

Q

P

D1

C1

B1

A1

D C

B

A


B. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BÀI TOÁN “ĐẲNG THỨC

DIỆN TÍCH”.

* Phương pháp 1: Thêm bớt diện tích

Bài toán 1:

Cho ABC. Trên các cạnh BC, AC, AB lấy các điểm tương ứng sao

cho AA1 cắt CC1 tại P, CC1 cắt BB1 tại M, AA1 cắt

BB1 tại N.

Chứng minh:

Giải:

Trước hết học sinh phải có nhận xét

về các tỉ số:

Nghĩa là:

Nên:

(phần bù)

Bài toán 2:

Cho tứ giác ABCD, Gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của BC, CD,

DA, AB. Biết CC1 cắt BB1, DD1 tại P, Q và AA1 cắt BB1, DD1 tại N, M.

Chứng minh:

Hướng dẫn:

Cách chứng minh tương tự như bài trên.


F

I

A

Q

P

MN

E

CB

M

N

O

E D

C

B

A


Bài toán 3: Cho ngũ giác ABCE có BC // AD, BD // AE. Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của CD, DE. O là giao điểm của BN và AM.

Chứng minh

Hướng dẫn:

Ta chứng minh như sau:

Vì BC//AD

Do AE//BD

Từ (2)&(3) SACD = SBED SACD = SBED

SAMC = SBND (4)

Từ (1)&(4) SABC + SAMC = SDBC + SBND

Vận dụng quan hệ song song để chứng minh.

Hãy chứng minh:

Bài toán 4:

Cho ABC và hình bình hành BCMN nằm cùng phía đối với BC. Vẽ hai

hình bình hành ABEF, ACPQ sao cho N EF, M PQ.

Chứng minh:

Giải:

Cách 1:

Gọi .

Khi đó: INM = ABC (g-c-g)

IN = AB ABNI là hình bình hành


E

F

N

P

M

D

C

BA

KF

E

D C

BA


Tương tự:

= =

=

=

Cách 2:

Trước hết ta thấy:

(1)

Mặt khác:

(2)

Từ (1) và (2) (đpcm)

* Phương pháp 2: Dùng tính chất hình thang

Bài toán 5: Cho hình bình hành ABCD, E, F lần lượt thuộc các cạnh AB, AD. Gọi

K là giao điểm của ED và FB.


Giải:

Ta có: (1)

Do AF // BC

Do AE // CD

Mà

(2)

Từ (1)và (2)

Bài toán 6: Các cạnh đối AB và DE, BC và EF, CD và FA của lục giác lồi

ABCDEF song song với nhau. Chứng minh rằng:

Giải:

Gọi giao điểm của AD và CF, AD và BE

BE và CF thứ tự là M, P, N

Theo tính chất của hình thang ta có :

; ;


AB

CD

O

M

OS6S5

S4

S3

S2

S1

QP

YA D

B C

X


* Phương pháp 3: Dùng tính chất hình bình hành.

Bài toán 7: Cho hình bình hành ABCD. M là một điểm bất kì trên cạnh CD. AM

cắt BD ở O.

Chứng minh rằng :

Giải:

Theo tính chất hình bình hành

Ta có :

Mà: ABMD là hình thang

Mặt khác:

Bài toán 8: Cho hình thang ABCD (AD//BC, BC<AD). O là giao điểm của AC và

BD. Qua BC vẽ ở miền trong hình thang hai tia Bx, Cy song song với nhau. Bx cắt

AC ở P, cắt AD ở X, tia Cy cắt BD ở Q, cắt AD ở Y.


Giải:

Kí hiệu: S1 = SABP

S2 = SBOC; S3 = SCDQ

S4 = SXPOQY; S5 = SBPO

S6 = SCOQ

Theo tính chất hình bình hành, ta có:

SXBC = SYBC = SBCYX

và SXBC + SYBC = SBCYX (*)

Mà AX//BC SXBC = SABC = S1 + S2 + S5

DY//BC SYBC = SDBC = S2 + S3 + S6

Từ (*) S1 + S2 + S5 + S2 + S3 + S6 = SBCYX

S1 + 2S2 + S5 + S3 + S6 = S2 + S5 + S4 + S6


x

J

I

K

O

C

B

A

F

OE

N

M

P

D

CB

A


S1 + S2 + S3 = S4

Bài toán 9: Từ trung điểm 3 cạnh của một tam giác nhọn, hạ các đường vuông góc

xuống hai cạnh kia.

Chứng minh rằng: Diện tích lục giác tạo thành bằng nửa diện tích tam

giác đã cho.

Hướng dẫn:

Với hình vẽ bên, ta cần chứng minh:

SMENFPD = SABC

- Gọi O là giao điểm ba đường

trung trực của tam giác.

- Các tứ giác: ONFP, OPDM, OMEN là

các hình bình hành.

- Dễ dàng chứng minh được: SMENFPD = 2SMNP

và: SMNP = SABC

(đpcm)

* Phương pháp 4: Dùng công thức tính toán

Bài toán 10: Cho ABC vuông ở A có BC = a, AB = c, AC = b có diện tích S.

Chứng minh: 4S = (a + b + c)(b + c – a )

Giải:

Gọi O là giao của ba đường phân giác của

ABC và I, J, K lần lượt là hình chiếu của nó

xuống các cạnh AB, BC, CA.

Khi đó: OI = OJ = OK = AI = AK = x

và BI = BJ, CK = CJ

2x = AI + AK

= c – BI + b – CK

= b + c – (BJ + CJ)

2x = b + c – a

Mà: 2S = 2SAOB + 2SBOC +2SCOA

= x.a + x.b + x.c

= x.(a + b + c)


M

NI K

P

A

B

CHD

Q

n

mK

H

J

I

C

B

A


= ( b + c – a )(a + b + c)

Suy ra: 4S = (a + b + c)(b + c – a )

* Ta có thể khai thác bài toán này để có một cách khác chứng minh định lý Py-

ta-go như sau:

2S = bc 4S = 2bc

Áp dụng kết quả bài toán trên, ta có:

2bc = (b + c –a )(b + c + a)

= (b + c)2 – a2

a2 = b2 + c2

Bài toán 11: Cho ABC vuông ở A. I là giao điểm của 3 phân giác của tam giác.

Biết độ dài hình chiếu của IB, IC trên BC là m, n.

Chứng minh rằng: SABC = m.n

Giải:

Gọi H, K, J lần lượt là hình chiếu của I

trên AB, BC ,CA

Khi đó: IH = IK = ỊJ = AH = AJ = x

Ta có: SABC = SAIB + SBIC + SCIA

= x(x + m + m + n + n + x)

= x2 + xm + xn (1)

Mặt khác: SABC = AB.AC = (x + m)(x + n)

2 SABC = x2 + xm + xn + mn (2)

Từ (1) và (2) SABC = m.n (đpcm)

Bài toán 12: Cho tứ giác ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi P

là giao điểm của AN và MD, Q là giao điểm của BN và CM.

Chứng minh rằng: SAPD + SBQC = SMPNQ

Hướng dẫn:

Gọi H, I K thứ tự là hình chiếu của A, M, B trên CD

SMPNQ = SAPD + SBQC


D'

D

P QE

I'E'

H

A

B C

I

M

K


SMPNQ + SDPN + SCQN = SAPD + SBQC + SDPN + SCQN

SMCD = SADN + SBCN

CD.MI CD.MI

CD. (AH + BK)

= AH.DN + BK.CN

Bài toán 13: Cho ABC có 3 góc nhọn. Vẽ các đường cao BD, CE. Gọi H,K thứ

tự là hình chiếu của B, C trên đường thẳng ED.

Chứng minh: SBEC + SBDC = SBHKC

Giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Hạ MI ED (I ED)

HI = IK

Mà: ME = MD = BC

MED cân

EI = ID

Hạ EE’, II’ DD’ cùng vuông góc với BC

2II’ = EE’ + DD’

SBEC + SBDC = EE’. BC + DD’. BC

= BC.II’

Qua I kẻ PQ//BC BPQC là hình bình hành với P BH, Q CK

SBPQC = II’.BC SBEC + SBDC = SBPQC (1)

Mà: IHP = IKQ (g.c.g) SHIP = SIKQ

SBPQC = SBHKC (2)

Từ (1) và (2) SBEC + SBDC = SBHKC

* Phương pháp 5: Dùng tỉ số diện tích


PN

M

F

D

E CB

A

D

EBA

O

C


Bài toán 14: Trên các cạnh BC và AB của ABC lần lượt lấy D, E. Gọi O là giao

điểm của AD và CE.

Chứng minh:

Giải:

Ta có:

Mà:

Nên:

Mặt khác:

(đpcm)

Bài toán 15: Cho ABC. Lấy các điểm D, E, F thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA

sao cho . Các đoạn AE, BF, CD cắt nhau tại M, N, P.

Chứng minh :

Giải:

Đặt

Mà:

Chứng minh tương tự:


Q

P

N

M

D

CB

A


Bài toán 16: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC và CD lấy 2 điểm M, N

sao cho: . BD cắt AM và AN tại P, Q.

Chứng minh:

Giải:

Đặt:

Theo định lý Ta-lét:

(*)

Vì

Theo định lý Ta-lét:

(**)

Từ (*), (**) suy ra:


F

E

D

CB

A

Q D

CB

A

P

M

N


Bài toán 17: Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh BC lấy N, P sao cho BN = CP = BC,

trên cạnh AD lấy M, Q sao cho AM = DQ = AD.

Chứng minh:

Giải:

Vì

và:

Ta có:

Mà:

Từ (1) và (2)

Bài toán 18: Cho ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm D, E,

F không trùng với A, B, C. Hãy tìm tất cả các cặp điểm D, E sao cho và là

các phân số tối giản (dương, nhỏ hơn 1), với mẫu số nhỏ hơn 5 sao cho đoạn thẳng

DE chia ABC thành hai đa giác có diện tích bằng nhau.

Giải:

Đặt

Khi đó:

Tương tự: ;

Từ giả thiết SBDE = SACED


K

O

E

R

L

PN

M

D C

BA


SBDE = SABC

Hay:

Mà y là một phân số tối giản có mẫu nhỏ hơn 5

và y < 1 nên

Với

Vậy:

* Phương pháp 6: Dùng tính chất trung tuyến

Bài toán 19: Cho hình vuông ABCD. K, O, E, N lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, BC, CD, DA. Đoạn thẳng AO cắt DK, BE tại L, P. Đoạn thẳng CN cắt

DK, BE tại M, R.

Chứng minh:

Giải:

Dễ nhận thấy MLPR là hình vuông

và L là trung điểm của AP, M là trung điểm

của DL

Khi đó:

Bài toán trên vẫn đúng trong trường hợp ABCD là hình bình hành và ta có

thể thay đổi đề bài dựa trên cơ sở của bài toán cũ.

Ta có các bài toán áp dụng sau đây:


E

K

G

N

MP

A

B

C

D


Bài toán a: Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên tia đối của tia BA lấy điểm

E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F, trên tia đối của tia DC lấy điểm H, trên tia đối

của tia AD lấy điểm K sao cho BE = CF = DH = AK =a.

Chứng minh:

Bài toán b: Cho tứ giác ABCD, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho

BE = AB, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho CF = BC,

trên tia đối của tia DC lấy điểm H sao DH = DC, trên tia đối của tia AD lấy điểm K

sao AK = AD. Chứng minh:

Bài toán 15: Cho ABC, các trung tuyến AM, BN, CP. Trọng tâm G, lấy điểm D

nằm ngoài tam giác nhưng nằm trong góc AGN.


Giải:

Trước hết hướng dẫn HS biến đổi diện tích.

Theo tính chất trọng tâm:

nên:

Do vậy yêu cầu đề bài tương đương với:

Lấy điểm K sao cho G là trung điểm của BK,

Kẻ DE // GC (E BG)

Vì NA = NC

Mà ED // GC (1)

Mặt khác:

(2)

(3) (do )

Từ (1), (2), (3) (đpcm)


A

E

G F

B C

D

NK

Q

P

M

A

B

C

D


Bài toán 20: Cho tứ giác ABCD. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AB và

CD. F, G thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chứng minh:

Hướng dẫn:

Sử dụng tính chất về diện tích của

đường trung tuyến trong tam giác, hướng

dẫn HS tính diện tích EFG theo

Kết quả chứng minh được:

* Chú ý: Nếu tứ giác ABCD có H là giao điểm của AD và BC thì từ bài toán trên

ta cũng có: SHGF = SABCD. Suy ra E và H cách đều đường thẳng GF. Do đó đường

thẳng GF đi qua trung điểm của EH. Đường thẳng đi qua G, F và trung điểm của

EF gọi là đường thẳng Gau-xơ.

Bài toán 21: Cho tứ giác ABCD. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD,

AC, BD. K là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:

Giải:

Giả sử:

Khoảng cách từ B đến AD không

nhỏ hơn khoảng cách từ C đến AD.

MQ và AD nằm trên hai nửa mặt phẳng

đối nhau bờ PN

Nên:

Do M, N, P, Q lần lượt là trung điểm

của AB, BD, CD, AC.

Nên ta có: ;

;


K

E

D

CB

A


=

=

=

= =

Trường hợp: chứng minh tương tự.

Qua 6 phương pháp chứng minh đẳng thức diện tích tôi đã giúp học sinh

củng cố thêm các phương pháp tính diện tích của tam giác, và các tứ giác đặc biệt,

học sinh được rèn luyện kĩ năng tính toán và cơ bản nhất là học sinh đã có được

cách nhìn nhận trước một bài toán đẳng thức diện tích để có hướng tư duy và

phương pháp giải đúng đắn, đồng thời củng cố kiến thức về tỉ số đồng dạng và

phát huy tính sáng tạo của học sinh thông qua các phương pháp giải, các kỹ năng

thêm, bớt, lắp ghép và biến đổi diện tích.

Sau khi thực hiện đề tài này, để kiểm tra việc tiếp thu, vận dụng kiến thức

của học sinh, tôi đã yêu cầu học sinh thực hiện đề kiểm tra sau đây trong thời gian

30 phút.

ĐỀ BÀI

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E, gọi K là giao điểm

của AE và CD.

Chứng minh: SECD = SEBK

Bài 2: Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh BC sao cho

BC = 3BN. Gọi O là giao điểm của AN và CM.

Chứng minh: SAOC = SABC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM:

Bài 1: (5 điểm)

Cách 1:

Sử dụng tính chất của hình thang

- Do CK // AB SEBK = SECA (1)

- Do AD // EC SECA = SECD (2)


O

M

I

B

C

N

A


Từ (1) và (2) SEBK = SECD

Cách 2:

Sử dụng tính chất của hình bình hành

SECD + SABE = SABCD – SEAD

Mà SEAD = SCAD = SABCD

SECD + SABE = SABCD – SABCD = SABCD (*)

Lại có: SEBK + SABE = SABC = SABCD (**)

Từ (*) và (**) SECD + SABE = SEBK + SABE

(đpcm)

Bài 2: (5 điểm)

Dùng tỉ số diện tích

Kẻ NT // MC (I AB)

Mà:

Vậy: SAOC = SABC

Qua bài làm của học sinh tôi nhận thấy:

- Học sinh đã có kiến thức về tính chất diện tích của hình thang, hình bình hành và

có kĩ năng áp dụng vào làm bài tập.

- Học sinh được củng cố về tỉ số.

- Học sinh có sáng tạo trong phương pháp thêm - bớt, biến đổi diện tích.

- Sử dụng tốt phương pháp tỉ số diện tích.



Kết quả cụ thể của học sinh như sau:

Điểm số 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số HS 0 0 0 2 2 3 3 7 9 8 6

Trên trung bình: 33/40 = 82,5%

Dưới trung bình: 7/40 = 17,5%

Như vậy qua kiểm tra việc nắm bắt kiến thức, phương pháp chứng minh

và kĩ năng giải toán về đẳng thức diện tích, tôi nhận thấy đề tài này đã giúp học

sinh có khả năng đánh giá bài toán và giải bài tập khá thành thạo, tạo tiền đề tốt

cho việc học sinh tiếp thu kiến thức về bất đẳng thức diện tích và cực trị hình học

sau này.



C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

Để phát huy tính tích cực của học sinh thì người thầy ngoài việc cung cấp

kiến thức trong chương trình một cách có hệ thống và sáng tạo còn phải chủ động

trong việc bổ sung kiến thức cho học sinh, nghĩa là cân giúp học sinh định hướng

tìm hiểu sâu về những mảng kiến thức có trong chương trình. Quan trọng hơn học

sinh cần phải được rèn luyện kĩ năng giải toán đối với từng loại, từng dạng nhất là

các dạng cần đến sự tính toán, cần chặt chẽ trong tư duy lô gic và suy diễn. Như

vậy thì việc cung cấp cho học sinh hệ thống các phương pháp chứng minh cho

từng dạng toán là cực kì quan trọng. Qua các phương pháp đó người thầy vừa mở

rộng kiến thức cho học sinh, vừa giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn tư duy, kĩ

năng giải toán để phát huy tính sáng tạo cho học sinh.

Trong quá trình thực hiện nội dung trên, tôi đã rút ra một số kết luận sau:

+ Trước hết cần trang bị đầy đủ kiến thức cơ bản trong chương trình cho

học sinh.

+ Cần thiết thường xuyên nhắc lại và củng cố các đơn vị kiến thức cũ có

liên quan

+ Tránh những sai xót trong quá trình tính toán và quá trình biến đổi diện

tích.

+ Hướng dẫn học sinh cách giải toán bằng phương pháp phân tích đi lên

+ Giúp học sinh khai thác hết giả thiết của đề bài để từ đó có được định

hướng chứng minh.

Học toán là một quá trình lôgic, vì thế cần phải trang bị một cách có hệ

thống các kiến thức và kĩ năng, phương pháp giải toán giúp học sinh đảm bảo tính

kế tiếp trong chương trình.

Nội dung của đề tài là sự tổng kết kinh nghiệm và kiến thức của bản thân

trong quá trình giảng dạy. Song kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế nên không

tránh khỏi những thiếu xót. Kính mong hội đồng khoa học giúp đỡ.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Quốc Oai, ngày 15 tháng 5 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Văn Tuấn



D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 – Tác giả Vũ Hữu Bình – NXB

Giáo Dục.

2. Phan Văn Đức - Nguyễn Hoàng Khanh - Lê Văn Trường , Bồi

dưỡng và phát triển toán hình học 8, Nhà xuất bản Đà Nẳng.

3. Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 8 – Tác giả Vũ Dương

Thụy – NXB Giáo Dục.

4. Nguyễn Để - Nguyễn Việt Hải - Hoàng Đức Chính, Các bài tập

toán diện tich đa giác, Nhà xuất bản giáo dục 1996

5. Tạp chí Toán học & tuổi trẻ.

6. Một số website tham khảo:

- Hocmai.com

- www.math.vn

- Hội toán học Hà Nội


http://www.math.vn/

Documents

SKKN Nam Hoc 2012-2013