Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

SKL 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan garis singgungnya, suku banyak, algoritma sisa dan teorema pembagian, program linear, matriks dan determinan,vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah.

2. 1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.

Pangkat

Definisi Sifat 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 ×…× 𝑎⏟

𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

“Bilangan Pokok Sama” “Kurung”

untuk 𝑎 ≠ 0, berlaku:

𝑎0 = 1

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 ; 𝑎 ≠ 0

(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛

(𝑎 × 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛

(𝑎

𝑏)𝑛=𝑎𝑛

𝑏𝑛 ; 𝑏 ≠ 0

Pangkat Pecahan

Bentuk Akar

Definisi Sifat “Invers Pangkat” “Bentuk Akar Sama” “Kurung”

𝑎 = 𝑏𝑛 ⇔ √𝑎𝑛

= 𝑏

"Pangkat Pecahan"

√𝑎𝑛

= 𝑎1𝑛

𝑝√𝑎𝑛+ 𝑞√𝑎

𝑛= (𝑝 + 𝑞)√𝑎

𝑛

𝑝√𝑎𝑛− 𝑞√𝑎

𝑛= (𝑝 − 𝑞)√𝑎

𝑛

√√𝑎𝑛𝑚= √𝑎

𝑚×𝑛

√𝑎𝑏𝑛

= √𝑎𝑛× √𝑏

𝑛

√𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛 ; 𝑏 ≠ 0

Haram menjadi penyebut pecahan

Rasionalisasi

“kalikan sekawan penyebut”

𝑎

√𝑏=

𝑎

√𝑏×√𝑏

√𝑏

𝑎

√𝑏+√𝑐=

𝑎

√𝑏+√𝑐×√𝑏−√𝑐

√𝑏−√𝑐

Syarat: 𝑎 ∈ 𝑅𝑛 ∈ ℤ +

"Bentuk Akar Beda" Untuk 𝑎 > 𝑏, berlaku:

√𝑎 + √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) + 2√𝑎𝑏

√𝑎 − √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) − 2√𝑎𝑏

Syarat: 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑛 ∈ ℤ +

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 5

Logaritma

Definisi Sifat 𝑎𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎 log 𝑐 = 𝑏

Sehingga diperoleh:

𝑎0 = 1 ⇔ 𝑎 log 1 = 0

𝑎1 = 𝑎 ⇔ 𝑎 log 𝑎 = 1

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 ⇔ 𝑎 log 𝑎𝑛 = 𝑛

"Penjumlahan Pengurangan"

𝑎 log(𝑏𝑐) = 𝑎 log 𝑏 + 𝑎 log 𝑐

𝑎 log (𝑏

𝑐) = 𝑎 log 𝑏 − 𝑎 log 𝑐

𝑎 log 𝑏𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑎 log 𝑏

"Perbandingan"

𝑎 log 𝑏 =𝑐 log 𝑏𝑐 log 𝑎

=1

𝑏 log 𝑎𝑎 log 𝑏 = 𝑎 log 𝑐 ⋅ 𝑐 log 𝑏

𝑎𝑚 log 𝑏𝑛 =𝑛

𝑚⋅ 𝑎 log 𝑏

Tipe soal yang sering keluar

Pangkat Menyederhanakan bentuk pangkat

Bilangan pokok berupa angka, ubah ke bentuk bilangan pokok yang paling sederhana. Bilangan pokok berupa variabel, lakukan operasi pangkat tiap variabel. Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari:

2512 ⋅ 12

56

834 ⋅ 6

13

= ….

Penyelesaian:

2512 ⋅ 12

56

834 ⋅ 6

13

=2512 ⋅ (22 ⋅ 3)

56

(23)34 ⋅ (2 ⋅ 3)

13

=2512 ⋅ 2

53 ⋅ 3

56

294 ⋅ 2

13 ⋅ 3

13

= 2512+53−94−13 ⋅ 3

56−13

= 2−12 ⋅ 3

12

=312

212

= (3

2)

12

𝑎 log 𝑏 = 𝑎 log 𝑏 ⇔ 𝑎𝑎 log𝑏 = 𝑏

Syarat: 𝑎, 𝑝 > 0𝑝 ≠ 1

Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari: 24𝑎−7𝑏−2𝑐1

6𝑎−2𝑏−3𝑐−6= ….

Penyelesaian: 24𝑎−7𝑏−2𝑐1

6𝑎−2𝑏−3𝑐−6= 8 ⋅ 𝑎−7−(−2) ⋅ 𝑏−2−(−3) ⋅ 𝑐1−(−6)

= 8𝑎−5𝑏𝑐7

=8𝑏𝑐7

𝑎5

Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Bentuk Akar Menyederhanakan Bentuk Akar

Cari faktor bilangan tersebut yang dapat diakar, sehingga mendapatkan bentuk akar paling sederhana. Contoh:

√72 = √36√2 = 6√2

√543

= √273

√23= 3√2

3

Menyederhanakan bentuk akar dengan konsep √(𝒂 + 𝒃) ± 𝟐√𝒂𝒃 = √𝒂 ± √𝒃

Pastikan bilangan di depan akar adalah harus angka 2. Jika bukan 2, maka ubahlah menjadi 2. Contoh:

√5 + √24 = …. Penyelesaian:

√5 + √24 = √5 + √4√6 = √5 + 𝟐√6 = √(3 + 2) + 2√3 ∙ 2 = √3 + √2

Menyederhanakan bentuk akar dengan merasionalisasi penyebut pecahan bentuk akar

Kalikan dengan 1 (pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sekawan bentuk akar tersebut)

Sekawan dari √𝑎 adalah √𝑎.

Sekawan dari √𝑎 + √𝑏 adalah √𝑎 − √𝑏.

Sekawan dari √𝑎 − √𝑏 adalah √𝑎 + √𝑏. Contoh: Bentuk sederhana dari

3√3 + √7

√7 − 2√3

adalah …. Penyelesaian:

3√3 + √7

√7 − 2√3=3√3 + √7

√7 − 2√3×√7 + 2√3

√7 + 2√3=3√21 + 18 + 7 + 2√21

7 − 12=25 + 5√21

−5= −5 − √21

Logaritma Menyederhanakan bentuk logaritma

Gunakan definisi dan sifat logaritma untuk menyederhanakan logaritma. Contoh: 5 ∙ 2 log 3 + 2 log 5 − 2 log 15

2 log 9= ….

Penyelesaian: 5 ∙ 2 log 3 + 2 log 5 − 2 log 15

2 log 9=2 log 35 + 2 log 5 − 2 log 15

2 log 9

=

2 log (35 ∙ 515

)

2 log 9

=2 log 34

2 log 9

= 9 log 34

= 9 log(32)2

= 9 log 92

= 2 ∙ 9 log 9= 2 ∙ 1= 2

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 7

Menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Gunakan definisi untuk menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Contoh: Jika 2 log 3 = 𝑎 dan 3 log 5 = 𝑏. Nilai dari 12 log 150 = …. Penyelesaian:

12 log 150 =3 log 1503 log 12

=3 log(2 ∙ 3 ∙ 52)3 log(22 ∙ 3)

=3 log 2 + 3 log 3 + 3 log 52

3 log 22 + 3 log 3=3 log 2 + 3 log 3 + 2 ∙ 3 log 5

2 ∙ 3 log 2 + 3 log 3

=

1𝑎+ 1 + 2𝑏

2𝑎+ 1

=

1𝑎 + 1 + 2𝑏

2𝑎+ 1

×𝑎

𝑎

=1 + 𝑎 + 2𝑎𝑏

2 + 𝑎

Cara tersebut cukup menyita waktu kalau digunakan saat mengerjakan soal UN, karena kita harus menuliskan panjang lebar konsep definisi dan sifat logaritma. Nah, perhatikan urutan mengerjakannya: Pertama, ubah logaritma menjadi perbandingan. Kedua, faktorkan numerus kedua logaritma tersebut sehingga memuat bilangan pada logaritma yang diketahui. Ketiga, menjabarkan kedua logaritma tersebut dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma. Keempat, mengubah bentuk logaritma ke dalam variabel yang diketahui pada soal. Kelima, apabila masih terdapat bentuk pecahan, bulatkan dengan mengalikan KPK penyebut. Selesai.

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang diketahui.

𝟐 log 𝟑 = 𝑎 dan 𝟑 log 𝟓 = 𝑏. Ternyata bilangannya adalah 2, 3, dan 5.

Lalu, cari bilangan yang sama.

Ternyata bilangan yang sama adalah 3.

Semua bilangan akan menjadi numerus dari bentuk logaritma yang akan menjadi acuan kita nanti, sedangkan bilangan yang sama akan menjadi basis dari logaritma tersebut.

𝟑 log 2 =1

𝑎

𝟑 log 5 = 𝑏 𝟑 log 3 = 1 Cara membacanya:

Bilangan 2 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1

𝑎.

Bilangan 5 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan b. Bilangan 3 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1.

Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang ditanyakan. Ubah menjadi pecahan (𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑢𝑠

𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠).

𝟏𝟐 log 𝟏𝟓𝟎 ⇒𝟏𝟓𝟎

𝟏𝟐

Faktorkan kedua bilangan tersebut dengan memperhatikan ketiga angka tadi (2, 3, dan 5). Segera substitusikan faktor dari kedua bilangan tersebut seperti cara membaca ketiga logaritma acuan tadi. Jangan lupa untuk mengubah tanda perkalian menjadi penjumlahan.

150

12=2 × 3 × 5 × 5

2 × 2 × 3=

1𝑎+ 1 + 𝑏 + 𝑏

1𝑎+1𝑎+ 1

=

1𝑎+ 1 + 2𝑏

2𝑎+ 1

Jadi,

𝟏𝟐 log 𝟏𝟓𝟎 =

1𝑎+ 1 + 2𝑏

2𝑎+ 1

Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Diketahui ,2,2

1 ba dan .1c Nilai dari

12

32

..

..

cba

cba adalah ....

A. 1

B. 4

C. 16

D. 64

E. 96

2. Diketahui ,2,4 ba dan .2

1c Nilai

3

421)(

c

ba adalah ....

A. 2

1

B. 4

1

C. 8

1

D. 16

1

E. 32

1

3. Jika diketahui ,5

1,

3

1 yx dan .2z Nilai

423

24

zyx

yzx adalah ....

A. 32

B. 60

C. 100

D. 320

E. 640

(𝑎−1)2 ×𝑏4

𝑐−3= (4−1)2 ×

24

(12)−3

=1

16×16

8

=1

8

𝑥−4𝑦𝑧−2

𝑥−3𝑦2𝑧−4= 𝑥−4−(−3) 𝑦(1−2) 𝑧−2−(−4)

= 𝑥−1 𝑦−1 𝑧2

= (1

3)−1

(1

5)−1

(2)2

= 3 ∙ 5 ∙ 4= 60

𝑎−2𝑏𝑐3

𝑎𝑏2𝑐−1=𝑐4

𝑎3𝑏=

14

(12)3

2

=1

14

= 4

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 9

4. Bentuk 327

733

dapat disederhanakan menjadi bentuk ....

A. 21525

B. 21525

C. 2155

D. 215

E. 215

5. Bentuk 32

322

dapat disederhanakan menjadi bentuk ....

A. 634

B. 64

C. 64

D. 64

E. 64

6. Bentuk 52

532

dapat disederhanakan menjadi bentuk ....

A. 104173

1

B. 104153

2

C. 104153

2

D. 104173

1

E. 104173

1

3√3 + √7

√7 − 2√3=3√3 + √7

√7 − 2√3×√7 + 2√3

√7 + 2√3

=3√21 + 18 + 7 + 2√21

7 − 12

=25 + 5√21

−5

= −5 − √21

LOGIKA PRAKTIS: Pembilang positif semua tandanya. Sekawan penyebut juga positif semua. Pasti pembilang hasil rasionalisasi positif juga (plus plus). Lihat bentuk bilangan negatif lebih besar dari bilangan positif, artinya perkalian penyebut dengan sekawan penyebut pasti negatif. Pola jawabannya pasti negatif semua (min min). Duh, tapi sayang ada dua jawaban yang seperti kriteria tsb. (A dan E).

√2 − 2√3

√2 − √3=√2 − 2√3

√2 − √3×√2 + √3

√2 + √3

=2 + √6 − 2√6 − 6

2 − 3

=−4 − √6

−1

= 4 + √6

√2 + 3√5

√2 − √5=√2 + 3√5

√2 − √5×√2 + √5

√2 + √5

=2 + √10 + 3√10 + 15

2 − 5

=17 + 4√10

−3

=1

−3(17 + 4√10)

= −1

3(17 + 4√10)

Halaman 10 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

7. Diketahui a3log5 dan .4log3 b Nilai 15log4 ....

A. ab

a1

B. b

a

1

1

C. a

b

1

1

D. a

ab

1

E. b

ab

1

8. Diketahui ,6log3 p .2log3 q Nilai 288log24 ....

A. qp

qp

2

32

B. qp

qp

2

23

C. qp

qp

32

2

D. qp

qp

23

2

E. qp

pq

32

2

9. Diketahui ,3log2 x .10log2 y Nilai 120log6 ....

A. 1

2

x

yx

B. 2

1

yx

x

C. 2xy

x

D. x

xy 2

E. 1

2

x

xy

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

4 log 15 =3 log 153 log 4

=3 log 153 log 4

=3 log(3 × 5)

3 log 4

=3 log 3 + 3 log 5

3 log 4

=1 +

1𝑎

𝑏×𝑎

𝑎

=𝑎 + 1

𝑎𝑏

TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma!

5 log 3 = 𝑎 ⇒ 3 log 5 =1

𝑎3 log 4 = 𝑏3 log 3 = 1

}

bertemu 5 tulis

1

𝑎bertemu 4 tulis 𝑏bertemu 3 tulis 1

Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan ini lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,

4 log 15

jadikanpecahan⇒

15

4

faktorkansehingga

munculangka warna

biru di atas⇒

3 × 5

4

ubah tandakali menjadi

tambah,dan

⇒ 1 +

1𝑎

𝑏= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡

24 log 288

⇒3 log 2883 log 24

⇔3 log(23 × 62)3 log(22 × 6)

⇔3 log 23 + 3 log 62

3 log 22 + 3 log 6

⇔3 ∙ 3 log 2 + 2 ∙ 3 log 6

2 ∙ 3 log 2 + 3 log 6

⇔3𝑞 + 2𝑝

2𝑞 + 𝑝

TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! 3 log 6 = 𝑝3 log 2 = 𝑞3 log 3 = 1

} bertemu 6 tulis 𝑝bertemu 2 tulis 𝑞bertemu 3 tulis 1

Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,

24 log 288

jadikanpecahan⇒

288

24

faktorkansehingga

munculangka warna

biru di atas⇒

23 × 62

22 × 6

ubah tandakali menjadi

tambah,dan

⇒ 3𝑞 + 2𝑝

2𝑞 + 𝑝= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡

6 log 120

⇒2 log 1202 log 6

⇔2 log(22 × 3 × 10)

2 log(2 × 3)

⇔2 log 22 + 2 log 3 + 2 log 10

2 log 2 + 2 log 3

⇔2 ∙ 2 log 2 + 2 log 3 + 2 log 10

2 log 2 + 2 log 3

⇔2 + 𝑥 + 𝑦

1 + 𝑥

TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! 2 log 3 = 𝑥2 log 10 = 𝑦2 log 2 = 1

} bertemu 3 tulis 𝑥bertemu 10 tulis 𝑦bertemu 2 tulis 1

Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,

6 log 120

jadikanpecahan⇒

120

6

faktorkansehingga

munculangka warna

biru di atas⇒

22 × 3 × 10

2 × 3

ubah tandakali menjadi

tambah,dan

⇒ 2 + 𝑥 + 𝑦

1 + 𝑥= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡