Skript MAS Reme Kap1bis7

MA-MA03 Teil A Regelung mechanischer Systeme

Prof. Dr.-Ing. Erwin Hasenjger

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Unterlagen zur Veranstaltung des Modul Mechatronische Systeme Teil A Regelung mechanischer Systeme

E. Hasenjger

SS 20101 2 3 4 5 6 7 Einstieg in das Thema Krfte, Momente und Bewegungen Standardmodelle in der Antriebstechnik Regelkonzepte und Reglerentwrfe Einsatz von Zustandsbeobachtern Stochastische Signale und Prozesse in mechatronischen Systemen Signal- und Schtzfilter



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1

Einstieg in das Thema

In der Vorlesung Regelung mechanischer Systeme wird ein wesentlicher Teilbereich der Mechatronik behandelt, der sich mit der intelligenten Bewegungserzeugung durch das Zusammenspiel von Mechanik, Aktorik, Sensorik und Signalverarbeitung befasst (Bild 1-1).SollBewegungszustand der Mechanik

Signal- und Datenverarbeitung Stellsignale Aktorik Stellgren Mechanik Megren Sensorik Mesignale

Strgren

Strgren

Strgren

Strgren

IstBewegungszustand der Mechanik

Bild 1-1: Grundstruktur mechatronischer Systeme

Bild 1-2 visualisiert die verschiedenen Aspekte, unter denen die Regelung mechanischer Systeme betrachtet werden kann, die einzelnen Kategorien werden in Tabelle 1-1detailliert.

Elemente

Modellierung

Struktur

Mechanik

Beispiele

Aktoren

Simulation

Dynamik

Sensoren

Zieldynamik

Regelung

Realisierung

Struktur Entwurf

Signalfilter

Bild 1-2: Systematik der Regelung mechanischer Systeme



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Tabelle 1-1: Einzelaspekte der Regelung mechanischer Systeme

Mechanik

Geometrie und Massenbelegungen Freiheitsgrade (translatorisch, rotatorisch Stoffdaten (Steifigkeiten, ...) Kopplungen (Getriebe, ...) Kinematik (Arbeitsraum, ...) Dynamik (Krfte, Momente, ...) Starre Krper Mehrkrper-Systeme (MKS) Elastische Krper Kombinationen

Mechanik

Mechanik

Prinzipien (Impulssatz, Lagrange-Gln., .... Theoretische Modelle Verhaltensmodelle Modellreduktionen Standardmodelle Linearisierungen Fahrzeuge und ihre Komponenten Industrieroboter Werkzeugmaschinen Walzwerke Krananlagen Montagelinien Transportsysteme Elektromagnet Piezoantrieb Gleichstrommotor Synchronmotor Asynchronmotor Schrittmotor Linearantrieb Hydraulik- oder Pneumatikantrieb Blocksimulation Gleichungssimulation Objektorientierte Simulation

MechanikBeispiele

Mechanik und Regelungstechnik

Mechanik und RegelungstechnikSimulation

Mechanik und RegelungstechnikDynamik

Mechanik und RegelungstechnikSensoren

Stabilitt Dynamikanforderungen Dynamikbeschrnkungen Fhrungsverhalten Strverhalten Steuerbarkeit Beobachtbarkeit Encoder (inkremental, absolut) Tachogenerator Potentiometer Induktivaufnehmer Resolver Beschleunigungsaufnehmer Kraftaufnehmer Dehnungsmess-Streifen Bildverarbeitung Laser-Sensoren Ultraschall-Sensoren, .....



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RegelungstechnikZieldynamik

Positionieren Nachfhren Dmpfen Lasten kompensieren

RegelungstechnikStruktur

Standard-Regelkreis Kaskadenregelung Zustandsregelung Einsatz von Zustandsbeobachtern Fuzzy-Control Kriterien Programme Optimierung Dynamikvorgabe Empirische Regeln Simulation Aufbereitung von Mess-Signalen Fhrungsgrengeber Schtzfilter

RegelungstechnikEntwurf

RegelungstechnikSignalfilter

RegelungstechnikRealisierung

PC mit Messkarten Mikrocontroller Signalprozessoren Transputer Standardregler Analogelektronik



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2

Krfte, Momente und Bewegungen

In der Mechatronik gibt es Standardaufgaben fr die Bewegungserzeugung und Standardmodelle fr die zu bewegende Mechanik. 1. Erzeugen von translatorischen Bewegungsmustern fr frei bewegliche starre Massen mit einem oder mehreren Freiheitsgrad(en) auf Grund von (a) Geschwindigkeit-Zeit-Vorgaben v(t), (b) Weg-Zeit-Vorgaben s(t) durch geeignete Kraftgesetze F(t). Der Ansatz fr die Bewegungsgleichungen ist Die kinetische Energie ist

m &&(t ) = Fi (t ) s

E Kin =

1 m v2 2

2. Erzeugen von rotatorischen Bewegungsmustern fr frei bewegliche starre Drehmassen mit einem oder mehreren Freiheitsgrad(en) auf Grund von (a) Drehgeschwindigkeit-Zeit-Vorgaben (t), (b) Winkel-Zeit-Vorgaben (t). durch geeignete Momentengesetze M(t). Der Ansatz fr die Bewegungsgleichungen ist Die kinetische Energie ist

&& J (t ) = M i (t )E Kin = 1 J 2 2

Lage AMoment M (t)[ Nm]Massentrgheitsmoment J [kg m 2]

Lage BWinkelbeschleunigung [rad/s2] Winkelgeschwindigkeit [rad/s] [rad] Drehwinkel



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Einfache Bewegungsaufgaben fr die Translation / Rotation lauten: 1. Bringe die Masse / Drehmasse bei begrenzter Beschleunigung / Drehbeschleunigung auf eine gewnschte Geschwindigkeit / Winkelgeschwindigkeit (Geschwindigkeitsregelung ) 2. Bringe die Masse / Drehmasse bei begrenzter Beschleunigung / Drehbeschleunigung und begrenzter Geschwindigkeit / Drehgeschwindigkeit in eine gewnschte Position (Lageregelung). 3. Kombinationen von translatorischen und rotatorischen Bewegungsmustern fr frei bewegliche oder elastisch gefesselte Mehrkrpersystemen. Hier sind meist zwei Teilaufgaben zu lsen: die gewnschte Gesamtbewegung des Systems bei gleichzeitiger aktiver Dmpfung von Strukturschwingungen oder Stabilisierung instabiler Teilbewegungen. 4. Bewegungsmuster fr elastomechanischen Strukturen erzeugen. Neben der Positionierung und Formgebung spielt auch hier die aktive Dmpfung eine groe Rolle. Was bedeutet aktive Dmpfung? Aktive Dmpfung bedeutet die Erzeugung einer geeigneten Krafterzeugung F(t) / Momentenerzeugung M(t), die dem schwingenden System durch Gegensteuern mit dem Antrieb Energie entzieht, so als ob ein Dmpfer eingebaut oder die Konstruktion sehr steif sei.



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Das Bild 2-1 zeigt den elementaren translatorischen Positioniervorgang mit begrenzter Geschwindigkeit und Beschleunigung in idealer Weise. Bei gegebener Masse m, maximaler Beschleunigung amax und maximaler Geschwindigkeit vmax kann das erforderliche Kraftgesetz F(t) und die minimal bentigte Zeit tAB fr die Positionierung von A nach B berechnet werden.

2

a(t)

0

-2 0 2

t v(t)1 2 3 4 5

1

t0 0 6 4 2 0Lage A

s(t)

1

2

3

4

5Lage B

t1 2 3 4 5

0

Bild 2-1: Idealer translatorischer Positioniervorgang



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Dem Wunsch nach idealer Bewegung der Mechanik stehen ihre reale Eigenschaften und die ueren Bedingungen entgegen (Bild 2-2)

Elastizitt der Struktur

Reibung der Lagerungen

Instabilitt

die reale Mechanik und ihre ueren Bedingungen

Spiel in den Kopplungen

Trgheit der Massen uere Begrenzungen

uere Widerstnde

Bild 2-2: Einflsse auf den Bewegungsvorgang

Durch den mechatronischen Ansatz der geregelten Mechanik kommt man dem Ideal nher: Stabilisierung der instabilen Mechanik Aktive Dmpfung der schwingungsfhigen Struktur Kompensation von Reibwiderstnden Elektrische Verspannung von Getrieben Ausgleich von ueren Widerstnden Hochgenaue Positionierung Geregelte Beschleunigung der beteiligten Massen.



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Aus verschiedenen Grnden gengt es also nicht, ein Kraftgesetz F(t) / Momentengesetz M(t) in Form einer Steuerung wie bei dem elementaren und idealen Positioniervorgang zu realisieren: Die Zunahme der Beschleunigung wird in der Praxis oft begrenzt. Diese Ruckbegrenzung

& rmax = amaxbedeutet eine Begrenzung des Anstiegs der Antriebskraft oder Antriebsmoments. Dies geschieht mit sog. Hochlaufgebern. Als Steuergesetz (feed forward control) ist F(t) bzw. M(t) nicht geeignet, da die Reibung nicht bekannt und meist positionsabhngig, richtungs- und geschwindigkeitsabhngig ist. Das Steuergesetz fordert genaue Kenntnis der zu beschleunigenden Massen und kann keine schwankenden ueren Strungen bercksichtigen. Bei komplexeren Fahrprogrammen ist die Berechnung von F(t) , Bzw. M(t) im Voraus unpraktikabel. Deshalb knnen genaue Bewegungsmuster und Positionierungen nur ber Regelkreise (feedback control) realisiert werden. Regelungen erzeugen automatisch die zur Reibungsberwindung erforderlichen Krfte und Momente und erfordern auch nicht sehr genaue Kenntnisse ber die Parameterwerte der Mechanik. Bei entsprechender Auslegung der Regelung ist es auch mglich, statische und dynamische uere Lasten (Strkrfte oder momente) auszugleichen. Allerdings: Bei einem falsch dimensionierten (zu schwachen) Antrieb kann auch die Regelungstechnik nicht mehr helfen. Fr die Auslegung von Antrieben, d.h. fr die Bestimmung der erforderlichen Krfte und Momente geht man von der geforderten Beschleunigung, den externen Lasten und einer Abschtzung der Reibung im System aus:

Fgesamt = FBeschleunigung + FLasthalten + FBewegungswiderstnde Mgesamt = MBeschleunigung + MLasthalten + MBewegungswiderstnde.



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3

Standardmodelle in der Antriebstechnik

Aufgrund der greren Verbreitung wird fr die folgende bersicht von Rotationsmotoren (und nicht von Linearmotoren) fr den Antrieb wird ausgegangen. Primr werden dann Momente erzeugen und keine Krfte. Zunchst folgen hier die Elemente, die bei der Darstellung der Standardmodelle zum Einsatz kommen.

Drehmasse mit Trgheitsmoment J und drehgeschwindigkeitsproportionaler Dmpfung in den Lagern d [Nms/rad] Rotationswinkel Translatorische Masse m und geschwindigkeitsproportionale Dmpfung in den Lagern d [Ns/rad] Weg x

J d

m d

Untersetzungsgetriebe mit Untersetzung i ( i >1) (die Drehmassenanteile der Getriebestufen werden dem Antrieb und dem Abtrieb zugeschlagen)

2 = 1i

1 i

Spindelgetriebe mit Steigung p[mm] und Trgheitsmoment J (bei einer Umdrehung werden p mm Weg erzeugt)J p

1. Zug-Druckfedern bei Translation mit Federsteifigkeit c [N/m] und viskoser Dmpfung d [Ns/m] 2. Torsionsfedern bei Rotation mit Torsionssteifigkeit c [Nm/rad] und viskoser Dmpfung d [Nms/rad] 1. Translatorisches Spiel (Lose) [m] 2. Rotatorisches Spiel (Lose) [rad]

c d

1. Translatorische trockene Reibung Fc [N] 2. Rotatorische trockene Reibung Mc [Nm]

Fc Mc



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Bei Verwendung dieser Modellelemente bei der Gestaltung mechanischer Ersatzmodelle muss man Folgendes wissen: 1. Modelle sind immer ein vereinfachendes Abbild der Wirklichkeit 2. Modelle werden von ihrem Zweck bestimmt, d. h. zum Beispiel, dass Modelle zur Entwicklung von Drehzahlregelungen anders aussehen als Modelle zur Entwicklung von Lageregelungen.

3.1

Starres, frei drehbares Antriebsmodell

Das starre Antriebsmodell ist in der Antriebstechnik ein Standard und bildet die Grundlage fr Regelungen von Drehzahl und Lage. Entweder handelt es sich um einen Direktantrieb ohne Getriebe (Fall A im Bild 3-1) oder es wird zwischen Antrieb und Abtrieb ein Getriebe zwischen geschaltet (Fall B im Bild 3-2).

MA

ML

Bild 3-1: Direktantrieb (Fall A)

Modellierung der Mechanik des einfachen Drehmasse bezglich Lage (L1-M)

&& & & J = d M C sgn() + M A M LHinweis: Die dynamischen Modelle des Falles A sowie aller weiteren Flle (antriebsseitig und abtriebsseitig betrachtet) werden in der Vorlesung gemeinsam erarbeitet und sollten hier im Skript ergnzt werden. Dabei unterschieden zwischen Modellen, die Drehgeschwindigkeiten beschreiben (D-Modelle) fr Drehzahlregelungen und die Winkellagen beschreiben (L-Modelle) fr Lageregelungen.



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Der Fall B mit Untersetzungsgetriebe besteht generell aus den drei Komponenten Motor, Getriebe und Last. Zur Erinnerung: Untersetzungsgetriebe machen aus schnell drehenden Motorbewegungen mit kleinem Moment langsame Lastbewegung mit hohem Moment.

MotorMA Antrieb

Getriebe A A L A

LastML Abtrieb

L

JL

ML JA MA i

A

Bild 3-2: Antrieb mit Getriebe (Fall B)

Modellierung



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Im dritten (auch sehr hufigen) Fall C wird aus der Rotation ber ein zustzliches Spindelgetriebe eine translatorische Bewegung erzeugt: Antrieb mit Stirnrad- und Spindelgetriebe (Fall C)

S

xL mL p JS i MA JA FL

A

Bild 3-3 : Antrieb mit Stirnrad- und Spindelgetriebe (Fall C)

Modellierung



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Wird in Fall B und Fall C erkannt, dass die Systeme keine nennenswerten Elastizitten aufweisen (sehr steife Auslegung mit nur einem Freiheitsgrad), kann Fall B auf Fall A reduziert werden mit dem resultierenden Trgheitsmoment J, entweder mit antriebsseitiger oder abtriebseitiger Betrachtung. Fall C kann entweder antriebsseitig auf Fall A (result. Trgheitsmoment J ) oder abtriebsseitig auf eine translatorische Masse (result. Masse m) reduziert werden (Bild 3-4).

MA

ML

Bild 3-4: Antriebseitige Betrachtung (links) und abtriebseitige Betrachtung von Fall C

Modellierung des Geschwindigkeitsstrecke D-S zur Entwicklung des Geschwindigkeitsreglers D-R

Modellierung des Lagestrecke L-S zur Entwicklung des Lagereglers L-R



Seite 3-6

3.2

Elastisches, frei drehbares AntriebsmodellA A L L

MA

ML

Bild 3-5: Standard-Modell fr den elastischen Antrieb

Modellierung:

3.3

Elastisches, frei drehbares Modell mit zwei Antrieben

Bild 3-6: Zweiseitiger elastischer Antrieb

Modellierung:



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Zusammenfassend werden die oben angesprochenen drei Standardmodelle mit folgenden Benennungen bezeichnet.

Starres frei drehbares Antriebsmodell (nach Abschnitt 3.1) DrehzahlMA ML

Anmerkung: - Das Modell ist antriebsseitig oder abtriebsseitig formulierbar - Das Modell ist anwendbar auf rotatorische und translatorische starre Antriebsstrecken

D1-M Lage L1-M

Elastisches, frei drehbares System mit 2 Freiheitsgraden und einem Antrieb (nach Abschnitt 3.2) Drehzahl D2-M Lage L2-M Anmerkung: - Das Modell ist antriebsseitig oder abtriebsseitig formulierbar - Das Modell ist anwendbar auf rotatorische und translatorische starre Antriebsstrecken

Elastisches, frei drehbares System mit 3 Freiheitsgraden und zwei Antrieben (nach Abschnitt 3.3) Drehzahl D3-M Lage L3-M Anmerkung: - Das Modell ist antriebsseitig oder abtriebsseitig formulierbar - Das Modell ist anwendbar auf rotatorische und translatorische starre Antriebsstrecken

Allen Modellen gemeinsam ist, dass die Momentenerzeugung

M = KM uber Steuersignal u und Motorkonstante KM im Modell integriert sein kann. Die eingesetzten Drehzahl- bzw. Geschwindigkeits-Regler erhalten die Kennung D1-R, die eingesetzten Winkel- bzw. Lage-Regler erhalten die Kennung L1-R, die aus der Zusammenschaltung von Strecke und Regler resultierenden Regelkreise werden dann entsprechend benannt mit D1-RK fr den Drehzahlregelkreis und L1-RK fr den Lageregelkreis.



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Die eingesetzten Reglertypen werden in einem spteren Kapitel genauer erlutert. Hier werden lediglich die blichen Strukturen des D1-RK und des L1-RK fr die starren Antriebsmodelle D1-M und L1-M dargestellt.

Bild 3-7: Drehzahlregelkreis D1-RK

Bild 3-8: Lageregelkreis L1-RK in Kaskadenform



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3.4

Modelldarstellung fr frei drehbare Mehrmassensysteme

Diese Darstellungsformen sind z. B. geeignet fr die Modelle L2-M und L3-M.

3.4.1 Das Modell L2-MDas Modell enthlt zwei Freiheitsgrade, es sind die beiden Drehwinkel A und L. Diese Winkel werden als die beiden Bewegungskoordinaten q1 = A und q2 = L definiert und im Vektor q zusammengefasst, die Momente MA und ML im Vektor u.

q q( t ) = 1 = A q 2 L

u M u( t ) = 1 = A u 2 M L

Die in der Vorlesung hergeleiteten Bewegungsgleichungen lauten dann

&& & q( t ) = CM q( t ) DM q( t ) + EM u( t )mit der Steifigkeitsmatrix CM, der Dmpfungsmatrix DM, der Eingangsmatrix EM.

Bild 3-9 zeigt die zugehrige SIMULINK-Struktur, die fr die Simulation beliebiger linearer Mehrkrpersysteme verwendbar ist.

Bild 3-9: SIMULINK-Blockdiagramm fr die vektorielle Schwingungsgleichung

Wenn angenommen werden kann, dass die Dmpfungswerte d, dA und dL klein sind, das System also schwach gedmpft ist, liefert die Betrachtung der Steifigkeitsmatrix CM Aussagen ber Eigenfrequenzen und Eigenformen (Eigenvektoren) des ungeregelten Systems.



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Um dies anschaulich zu machen werden folgende Parameterwerte fr das Berechnungsbeispiel gewhlt: JA = 10 kgm^2; JL = 4 kgm^2; c = 3000 Nm/rad; d = 0.1 Nms/rad; dA= 0.5 Nms/rad; dL = 0.1 Nms/rad; Die Berechnung der Matrix der Eigenvektoren EV und der Matrix der Eigenwerte EW fr die Matrix CM [EV,EW]=eig(CM) f=sqrt(EW)/(2*pi) liefert fr die Eigenvektoren und die Eigenfrequenzen [Hz] EV = 0.7071 -0.7071 EW = 0 0 0 1050 0.3714 -0.9285

f[Hz] = 0 0 0 5.1572

Die Eigenvektoren beschreiben die Eigenschwingungsformen mit den zugehrigen Frequenzen. Im Beispiel bedeutet das: die erste Eigenform ist die Starrkrperbewegung mit 0 Hz die zweite Eigenform ist die Schwingung der beiden Massen gegeneinander mit 5.16 Hz.

Diese Eigenformen werden angeregt durch die Wahl von Anfangsauslenkungen der beiden Massen, die den Eigenvektoren entsprechen (also proportional dazu sind).



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25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Bild 3-10: Zweite Eigenform

Der bergang zur Zustandsraum-Darstellung fr die Berechnung von Zustandsreglern erfordert die Definition von Zustandsgren im Zustandsvektor x. Die Zahl n der Zustandsgren ist n = 2k, wenn k die Zahl der Freiheitsgrade bzw. die Zahl der Bewegungskoordinaten qi ist. In der Definition der Zustandsgren ist man in gewisser Weise frei, folgende Definition ist sinnvoll:

q x= & q Damit wird aus der vektoriellen Schwingungsform

&& & q( t ) = CM q( t ) DM q( t ) + EM u( t )der erste Teil der ABCD-Form

& x = A x + B umit

0 A= 2 CM

I2 02 ; B = E DM M



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In der Fortfhrung obigen Beispiels hat die Systemmatrix des Systems mit Dmpfung die Eigenwerte eig(A)= -0.0336 +32.4037i -0.0336 -32.4037i 0.0000 -0.0429 Hierin erkennt man die gedmpfte Starrkrperbewegung sowie die gedmpfte Schwingung der Massen gegeneinander. Die Frequenzen resultieren als Kreisfrequenzen . Das Modell L2-M (Betrachtung ohne Dmpfung) besitzt die zwei Eigenfrequenzen. 1. Die Starrkrper uneigentliche Frequenz

f1 = 02. Die Frequenz der frei gegeneinander schwingenden Drehmassen

f 2 ,FREE =

1 2

c (

1 1 + ) = ( f I ,LOCKED )2 + ( f II ,LOCKED )2 J A JL

mit den beiden Locked-Rotor-Frequenzen

f I ,LOCKED =

1 2

c JA

( Drehmasse J L blockiert )

f II ,LOCKED =

1 2

c JL

( Drehmasse J A blockiert ) (

In der Praxis knnen Getriebesteifigkeiten oder auch allgemein Elastizitten und Trgheiten bzw. Eigenfrequenzen mit einer Frequenzgang-Analyse experimentell bestimmt werden. Dazu werden Frequenzgang-Analysatoren eingesetzt.



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Ein Sinussignal variabler Frequenz (f_START, f_STEP, f_STOP) stimuliert das System ber das Motormoment M, die Reaktion von Drehwinkeln oder Winkelgeschwindigkeiten der Drehmassen werden bezglich Amplitudenverhltnis und Phasenverschiebung analysiert.

G1 ( j ) = G2 ( j ) =

A ( j ) M ( j ) L ( j ) M ( j )

Ein wichtiges Experiment ist die Bestimmung von G1(j). Der Amplitudengang weist zwei Spitzen auf, die Locked-Rotor-Frequenz f1_LOCKED und die Free-Rotor-Frequenz f_FREE. Die entsprechende bertragungsfunktion (hergeleitet fr das ungedmpfte System) lautet:

1 s 2 + II G1( s ) = J 1 s s 2 + I 2 + II 22

mit den quadratischen Kreisfrequenzen fr die beiden Locked-Rotor-Frequenzen

I 2 = II 2 =

c , JAc JL

Bild 3-11 zeigt das Ergebnis der Frequenzgang-Analyse G1(j)

Bild 3-11: Amplitudengang des Systems L2-M mit Eingang M und Ausgang A



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3.4.2 Das Modell L3-MDas L3-M-Modell mit zugehrigen Daten (Bild 3-12) wird in der begleitenden Simulationsbung modelliert und simuliert, es dient hier im Skript als Beispiel fr weitere Inhalte der Veranstaltung.J1 JL J2 d1 dL d2 c1L c2L d1L d2L KM 6,00E-03 4,00E-03 6,00E-03 0,02 0,01 0,02 0,9 0,9 0,01 0,01 kgm 2 kgm 2 kgm Nms/rad Nms/rad Nms/rad Nm/rad Nm/rad Nms/rad Nms/rad2

0,5 Nm/V

Bild 3-12: Das Modell L3-M

Das Modell hat drei Freiheitsgrade und damit die drei Bewegungskoordinaten

1 q = L . 2 Basierend auf den Bewegungsgleichungen ist wieder das vektorielle Schwingungsmodell formulierbar als

&& & q( t ) = CM q( t ) DM q( t ) + EM u( t )sowie als Zustandsraumdarstellung

& x = A x + B umit dem Zustandsvektor

1 L 2 x= & 1 = 1 & L = L & 2 = 2 dem Eingangsvektor

u1 u = u L u 2 und den Matrizen

0 A= 3 CM

I3 03 ; B = E DM M



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Die Ausgangsgleichung

y = C x + D ubeschreibt mit y die Messbarkeit der Zustandsgren x . Diese Gleichung wird hier an jeweilige Untersuchungen und Berechnungen definiert und angepasst.

CM = 150 -225 0 DM = 5.0000 -2.5000 0 EM = 83.3333 0 0 0 125.0000 0 0 0 83.3333 -1.6667 7.5000 -1.6667 0 -2.5000 5.0000 -150 450 -150 0 -225 150

An dieser Stelle sei zum besseren Verstndnis eine Bemerkung zu Eigenwerten und Eigenvektoren eingefgt. Die Eigenwertgleichung enthlt die Eigenwerte s und die Eigenvektoren v :

s v = CM v bzw. s v = A vje nach Modellform. Aus

det( s I A ) = 0werden die n Eigenwerte si (i=1,...n) bestimmt und damit die Eigenvektoren vi

( si I A ) v i = 0Die bereits eingefhrte Eigenvektormatrix EV (hier bezeichnet mit V)

V = [v 1

v2

v3 ]

beschreibt mit den Vektoren vi physikalisch anschaulich die Eigenformen der Schwingungen, die zu den entsprechenden Eigenfrequenzen fi gehren.V = -0.3015 0.9045 -0.3015 -0.7071 -0.0000 0.7071 0.5774 0.5774 0.5774

fE [Hz]= 3.8985 1.9492 0.0000



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Whlt man in der Simulation Anfangsbedingungen, die proportional zu den Eigenvektoren sind, werden damit die entsprechenden Eigenformen mit den zughrigen Eigenfrequenzen angeregt.

q( 0 ) = c1 v 1 ; q( 0 ) = c2 v 2 ; q( 0 ) = c3 v 3Wird die Eigenvektormatrix V fr die Steifigkeitsmatrix CM berechnet, so werden die Systemdmpfungen nicht bercksichtigt, dafr wird V reell. Wird die Eigenvektormatrix V fr die Systemmatrix A berechnet, so werden die jetzt Systemdmpfungen bercksichtigt, dafr wird V komplex, was schwerer interpretierbar ist (siehe weiter unten). Die Eigenbewegungen (im Beispiel k = 3) sind

q i = c i v i sin( 2 f i t );*

i = 1 ,.. k

Wichtig: 1. Eine beliebige Bewegung qi(t) ist als Linearkombination der Eigenbewegungen darstellbar (Modal-Synthese)

q( t ) = q i = V q ( t )* * i =1

k

2. Eine beliebige Bewegung qi(t) ist deshalb transformierbar in die Anteile der Eigenbewegungen (Modal-Analyse)

q ( t ) = V 1 q( t )*

Fr diese Transformationen wird die Eigenvektormatrix V verwendet.

Bild 3-13: Modalanalyse einer allgemeinen Schwingung



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Wird

q( t ) = V q ( t )*

in

&& q( t ) = CM q( t )eingesetzt und von links mit

V 1multipliziert, erhlt man die modale (oder entkoppelte) ungedmpfte Bwegungsgleichung* && q* ( t ) = V 1 CM V q* ( t ) = CM q* ( t )

Fr das Beispiel wirdCMstern = 600 0 0 0 150 0 0 0 -0

In den Diagonalelementen finden sich die Quadrate der Eigenkreisfrequenezn von drei unabhngigen und ungedmpften Modellen wieder (zwei Einmassenschwinger und eine freie Drehmasse).

Berechnet man die Eigenvektormatrix und die Eigenwerte der Systemmatrix A mit den Systemdmpfungen, so wird das Ganze zunchst etwas unbersichtlicher.

A = 0 0 0 -150.0000 225.0000 0 0 0 0 150.0000 -450.0000 150.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 -5.0000 2.5000 0 0 1.0000 0 1.6667 -7.5000 1.6667 0 0 1.0000 0 2.5000 -5.0000

225.0000 -150.0000

eig(A) = -4.6871 +24.0395i -4.6871 -24.0395i -2.5000 +11.9896i -2.5000 -11.9896i 0.0000 -3.1257

An den Realteilen sind die Dmpfungen im Modell zu erkennen. Die Imaginrteile sind die Eigenkreisfrequenzen des gedmpften Systems.



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V = 0.0019 + 0.0122i -0.0071 - 0.0362i 0.0019 + 0.0122i -0.3017 - 0.0104i 0.9034 -0.3017 - 0.0104i 0.0019 - 0.0122i -0.0071 + 0.0362i 0.0019 - 0.0122i -0.3017 + 0.0104i 0.9034 -0.3017 + 0.0104i -0.0117 - 0.0563i -0.0000 - 0.0000i 0.0117 + 0.0563i 0.7048 0.0000 - 0.0000i -0.7048 - 0.0000i -0.0117 + 0.0563i -0.0000 + 0.0000i 0.0117 - 0.0563i 0.7048 0.0000 + 0.0000i -0.7048 + 0.0000i 0.5774 0.5774 0.5774 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.1762 -0.1754 -0.1762 0.5507 0.5482 0.5507

Es resultiert eine komplexe Eigenvektormatrix V, d. h. die Eigenbewegungen sind nicht mehr rein sinusfrmig, sondern besitzen aufgrund der Dmpfungen Phasenverschiebungen. Um dennoch auf eine diagonalhnliche Struktur zu kommen mit entkoppelten Teilsystemen (Jordan-Struktur), bedient man sich einer (nxn)-Transformationsmatrix T mit folgendem Aufbau.

0 0 ,5 0 ,5 * i 0 0 ,5 0 ,5 * i 0 0 0 0 0 ,5 0 ,5 * i T = 0 0 ,5 0 ,5 * i 0 ... ... ... ...

... ... ... ...

usw ... ... ... ...

Der Ansatz fr die Modaltransformation des Systemzustands x lautet nun

x ( t ) = V T x = V* x*

mit der modifizierten Eigenvektormatrix

V * = V T und der (teil-)entkoppelte Systemmatrix

J * = (V T ) A (V T )1

fr das Beispiel alsoJstern = -4.6871 -24.0395 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 24.0395 -4.6871 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -2.5000 -11.9896 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 11.9896 -2.5000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -1.5629 0 + 1.5629i 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 - 1.5629i -1.5629

Diese modale Entkopplung wird besonders dann interessant, wenn man gezielt einzelne Eigenbewegungen regeln mchte: Der Regler wird fr das entkoppelte System entworfen und auf des verkoppelte System rcktransformiert.



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3.5

Das instabile System des Segway-Rollers



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Seite 4-1

44.1

Regelkonzepte und ReglerentwrfeHerkmmliche Regelungen fr frei drehbare Antriebsmodelle

Zunchst werden die herkmmlichen Reglerstrukturen fr die Modelle D1-M, L1-M, D2-M, L2-M, D3-M und L3-M behandelt. Fr die Modelle D1-M und L1-M sind die Regelungsstrukturen im Bild 4-1 dargestellt.

Bild 4-1: Regelungsstrukturen D1-RK und L1-RK

Der Drehzahl-Regelkreis D1-RK ist ein einschleifiger Regelkreis (Bild 4-1 links) mit einer optionalen Aufschaltung von Beschleunigungsmomenten bei nicht konstanten DrehzahlsollwertProfilen sowie von Kompensationsmomenten fr Reibungen im System. Der Regler D1-R ist ein PI-Regler, mit dem konstante Drehzahlsollwerte ohne Regeldifferenzen erzielbar sind, auch bei konstanten Lastmomenten ML. Neben externen Lastmomenten knnen mit dem I-Anteil des Reglers auch die Coulomb-Anteile der Bewegungswiderstnde kompensiert werden. Da meist Untersetzungsgetriebe zum Einsatz kommen und damit die angekoppelte Trgheit auf der Abtriebsseite antriebseitig kaum ins Gewicht fllt, mssen i. A. die werksseitig eingestellten Reglerparameter des Drehzahlregelgertes in der Leistungselektronik nicht angepasst werden. Anders ist das bei Eigenentwicklungen, bei denen die Drehzahlregelung fr momentengeregelte Antriebe selbst entworfen wird. Hier kommen die blichen Reglerentwurfsverfahren zum Einsatz. Der Lage-Regelkreis L1-RK (Bild 4-1 rechts) besitzt die in der Antriebstechnik bliche Kaskadenstruktur mit dem berlagerten Lageregelkreis. Der D1-R kann als P- oder PID-Regler ausgelegt sein, abhngig von den Verlufen des Lagesollsignals und den eingesetzten Aufschaltungen.



Seite 4-2

Erkennt man bei der Systementwicklung oder beim Betrieb Lastpendelungen aufgrund modellmig nicht vernachlssigbarer Elastizitten, kommen Mehrmassenmodelle wie D2-M, L2M sowie D3-M oder L3-M oder hnliche zum Einsatz. Es zeigt dann meist auch, dass die Regelkreise D1-RK und L1-RK an diesen Regelstrecken nicht mehr einwandfrei funktionieren und zu Schwingungsverhalten neigen. Auftretende Schwingungen zwischen Antrieb und Abtrieb versucht man durch Erweiterungen der herkmmlichen Strukturen in den Griff zu bekommen. Mit der Erkenntnis Schwingungen knnen durch geeignete Rckfhrung der beteiligten Geschwindigkeiten bedmpft werden werden diese Erweiterungen nur im Drehzahl-Regelkreis vorgenommen. Der berlagerte LageRegelkreis bleibt davon unberhrt. Bild 4-2 zeigt dies fr das Zwei-Massensystem L2-M bzw. D2-M.

Bild 4-2: Regelungsstruktur zur Dmpfung Lastpendelungen

Aus den Drehgeschwindigkeiten von Antrieb und Last wird eine Differenzdrehzahl gebildet

= A LDie Differenzdrehzahl wird mit einem Reglerfaktor K (Dmpfungswert) bewertet und negativ hinter dem Drehzahlregler aufgeschaltet.



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Entsprechend geht man beim Drei-Massensystem mit zwei Antrieben vor (Bild 4-3)MLsoll soll

uKomp

u1

KM

M1

L

INT

L

L3-R

D3-R D2-R

D3-Mu2 KM M2

1

2

K

1

+ -

0,5

1

2

+ + + -

K

L

Bild 4-3: Regelungsstruktur zur Dmpfung Motor- und Lastpendelungen

Aus den Drehgeschwindigkeiten der beiden Antriebe werden eine erste Differenzdrehzahl sowie eine Summendrehzahl (Mittelwert) gebildet

1 = 1 2 = 0,5 (1 + 2 )Mit der Summendrehzahl der Antriebe und der Lastdrehzahl wird eine zweite Differenzdrehzahl gebildet

2 = LDie Differenzdrehzahlen wird mit den Reglerfaktoren K1 und K2 (Dmpfungswerte) bewertet und wie im Bild 4-3 aufgeschaltet.

Hinweis: Das Vorzeichen von M2 wurde zur besseren bersicht gendert (Bild 3-12), es hat nun die gleiche Richtung wie M1.

Mit dem PI-Regler D3-R

GD 3 R =

KPs + KI s

knnen fr den kompletten Drehzahl-Regelkreis D3-RK die Rckfhrung in den beiden Stellgren u1 und u2 ausgerechnet und auf folgende Form gebracht werden

u i = [K 1 1 + K 2 2 + K 1,i 1 + K 2 ,i 2 + K L L ] i = 1,2



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Die Reglerparameter in dieser Form hngen sehr verkoppelt von den Reglerparametern KP, KI, K1, K2 ab. Es ist aber auch zu erkennen, dass der Zustand des Systems zurckgefhrt wird, was den Einsatz einer kompletten Zustandsrckfhrung (Zustandsregelung) nahelegt und die Berechnung der Reglerparameter vereinfacht. hnliche Betrachtungen sind natrlich auch fr das Modell D2-M mglich.

4.2

Vollstndige Zustandsrckfhrung fr frei drehbare Antriebssysteme

Die in den 1970er Jahren eingesetzten herkmmlichen Methoden nach Abschnitt 4.2 wurden vielfach in den 1980er Jahren durch Zustandsraummethoden (Zustandsraumdarstellung Zustandsrckfhrungen und Zustandsbeobachter) ersetzt. Der Reglerentwurf gestaltete sich bersichtlicher, die Regelgte wurde besser. Allerdings wurde gleichzeitig eine genauere Modellierung der Regelstrecke erforderlich. In der Zustandsraumdarstellung, der ABCD-Form (siehe Rete)

& x = A x + B u

y = C x + D uerfasst man im Zustandsvektor x den gesamten Systemzustand alle Wege und Geschwindigkeiten und alle Winkel und Winkelgeschwindigkeiten zusammen. Die Anordnung (Definition) der Zustandsgren ist dabei beliebig, fr die bisher behandelten Modelle knnen die Zustandsvektoren z. B. wie folgt definiert werden.

x= L1 M

A x = L A L L2 M

A L x = A L D2 M

1 L x = 2 1 L 2 L3 M



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Unter der Voraussetzung, dass alle Zustnde x messbar sind, ergibt sich folgende Regelungsstruktur

& x = A x + B u

mit der vollstndigen Zustandsrckfhrung

u dyn = K xund dem Vorfilter

u stat = V x soll

und V = B 1 [ A B K ]

Hinweis: Der Sollzustand muss geeignet gewhlt und damit realisierbar sein. Fr das Beispiel des Modells L3-M wre das bei ML = 0 zur Positionierung bei gleichzeitiger aktiver Dmpfung

x soll

1 = soll 1 = 1 soll L 2 = soll 1 = = soll 0 0 0 0 0 0

Vor der Berechnung von Zustandsreglern muss die Steuerbarkeit geprft werden, d.h. es muss geprft werden, ob mit dem Stellvektor u alle Zustnde beeinflusst werden knnen. Dies wird geprft mit der Steuerbarkeitsmatrix

QS = B, AB, A2 B,.... An 1 B

[

]

Hat die diese Matrix den Rang n, so ist die Steuerbarkeit gegeben. Matlab bietet eine Operation Co = ctrb(A,B), mit der die Steuerbarkeit geprft werden kann. Falls rank(Co)den Wert n zurckgibt, ist das System steuerbar. Unter der Annahme, das Modell L3-M soll nur mit der Stellgre u = M1 geregelt werden, wird die Eingangsmatrix B



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B1 = 0 0 0 83.3333 0 0

Der Test auf Steuerbarkeit fllt positiv aus, da das System die Ordnung 6 hat: rank(ctrb (A,B1)) ans = 6 Die Aufgabe des Reglerentwurfs ist es nun, die Eigenwerte des ungeregelten Systems eig(A) so zu verschieben bzw. so zu platzieren, dass mit eig(A-BK) der geschlossene Regelkreis solche Eigenwerte erhlt, die dem gewnschten dynamischen Verhalten entsprechen. VORHER (ungeregelt)eig(A) = -4.6871 +24.0395i -4.6871 -24.0395i -2.5000 +11.9896i -2.5000 -11.9896i 0.0000 -3.1257

Mit folgenden Befehlen wird die K-Matrix berechnet preg = [-17+17i -17-17i -8.5+8.5i -8.5-8.5i -5+5i -5-5i] K=acker(A,B1,preg) K = 6.8081 -12.3038 6.9805 0.5220 -0.4428 0.2420

NACHHER (geregelt)eig(A-B*K) = -17 +17i -17 -17i -8.5 +8.5i -8.5 -8.5i -5 +5i -5 -5i

Warum gerade diese Platzierung? Mit dieser Eigenwertvorgabe wird neben der Positionierung eine Dmpfung der Eigenbewegungen erreicht (Bild 4-4).



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Bild 4-4: Aktive Dmpfung und Positionierung des Modells L3-M mit M1

Bei gleicher Eigenwertvorgabe eig(A-BK) und unter Verwendung beider Stellmomente M1 und M2 erhlt man mit K = place(A,B2,preg) eine neue K-Matrix und ein anders Verhalten. K = 0.5860 1.9367 -0.7229 -2.8508 0.7793 1.8804 0.2383 0.1469 -0.2495 -0.2482 0.0944 0.2837



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Bild 4-5: Aktive Dmpfung und Positionierung des Modells L3-M mit M1 und M2

4.3

Zustandsregelungen mit vollstndiger Zustandsrckfhrung

Die vollstndige Zustandsrckfhrung, wie sie im Kapitel 4.2 eingesetzt und im Bild 4-6 gezeigt ist, setzt die vollstndige Messbarkeit aller Zustnde x voraus, d.h. die Ausgangsmatrix C ist eine n-dimensionale Einheitsmatrix, was man daran erkennt, dass sie im Vorfilter V nicht erscheint. Die Reglerentwurf besteht dann aus der Berechnung der Rckfhrmatrix K.

& x = A x + B u

u dyn = K x u stat = V x soll und V = B 1 [ A B K ]Bild 4-6: Vollstndige Zustandrckfhrung



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Hier bieten sich verschiedene Entwurfsverfahren bzw. Entwurfsroutinen bei Matlab an. Mehrgrensysteme mit einer Stellgre Fr die vollstndige Zustandsrckfhrung und der Erzeugung einer Stellgre (dim(u) = 1) gibt es das Verfahren nach Ackermann.[J. Ackermann: Der Entwurf linearer Regelungssysteme im Zustandsraum. Regelungstechnik 20 (1972), S. 297-300]

Dieses Verfahren ist in Matlab implementiert, der Aufruf K = acker(A,B,p) bentigt die Systemmatrix, die Eingangsmatrix (hier ein Spaltenvektor) sowie den Vektor der gewnschten Eigenwerte des Regelkreises eig(A-B*K). Der Hilfetext in Matlab weist darauf hin, dass das Entwurfsverfahren nicht immer numerisch verlsslich arbeitet und fr Ordnungen grer als n = 10 mglicherweise versagt, besonders bei schlecht steuerbaren Systemen. Bei Entwurfsergebnissen mit greren Abweichungen vom Entwurfswunsch (ca. 10 %) werden Warnungsmeldungen ausgegeben. Mehrgrensysteme mit mehreren Stellgren Fr die vollstndige Zustandsrckfhrung bei Systemen mit mehreren Eingangsgren u bietet Matlab die Routine K = place(A,B,p). Der Hilfetext in Matlab weist hier darauf hin, dass die Zahl der gleich vorgegebenen Eigenwerte die Zahl der Eingangsgren nicht bersteigen sollte. Diese Routine ist auch fr Systeme mit einer Eingangsgre einsetzbar. Bei der reinen Eigenwertvorgabe ist auf geeignete Vorgaben zu achten, was soviel bedeutet wie ein Kompromiss zwischen der Dynamik des ungeregelten Systems (autonomes Verhalten) und dem gewnschten Regelverhalten, um unrealistische, nicht erzeugbare Stellgren zu vermeiden. Es deshalb eine Eigenwertverschiebung (pole shifting) besser geeignet als ein willkrliches Eigenwertvorgeben (pole placement). Hinweise: Je grer die Betrge der Eigenwerte eig(A-BK) sind, um so hher ist die Regelkreisdynamik. Je grer die Verhltnisse Realteil/Imaginrteil sind, umso grer ist die Dmpfung im geregelten System. In den Lagen eig(A-BK) sollen noch die Lagen eig(A) erkennbar sein (pole shifting).



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Zielt man bei dem Reglerentwurf nicht direkt auf die Lage der Eigenwerte ab, kann der Zustandsregler auch als optimaler Regler ausgelegt werden. Hier erfllt der Zustandsregler ein Gtekriterium optimal (eigentlich suboptimal). An dieser Stelle wird auf die recht umfangreiche Herleitung dieser optimalen Regelung zunchst verzichtet, da erstens meist nur der stationre Teil (suboptimale Lsung) und zweitens entsprechende Entwurfsprogramme verwendet werden. Das Gtekriterium I lautet

1 T T I = [ x Q x + u Ru ] dt 20

min!

Die Gewichtungsmatrizen Q fr den Zustand und R fr die Stellgren sind symmetrische, positiv definite (n,n)-Matrizen bzw. (p,p)-Matrizen. Hohe Bewertungen Q erzeugen eine hohe Regelgte, aber auch hohe Stellgren (Stellenergien), hohe Bewertungen R erzeugen geringere Regelgten, dafr auch geringe Stellenergien. Matlab bietet hier die Routine [K,S,E] = LQR(A,B,Q,R,N) an:LQR Linear-quadratic regulator design for continuous-time systems.

[K,S,E] = LQR(A,B,Q,R,N) calculates the optimal gain matrix K such that the state-feedback law u = -Kx minimizes the cost function J = Integral {x'Qx + u'Ru + 2*x'Nu} dt subject to the state dynamics x = Ax + Bu. The matrix N is set to zero when omitted. Also returned are the Riccati equation solution S and the closed-loop eigenvalues E: SA + A'S - (SB+N)R-1 (B'S+N') + Q = 0 , E = EIG(A-B*K) .

Die optimale Zustandsregelung wird nun auf das Modell L3-M mit M1 und M2 angewendet. MitQ = 100 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

und



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R = 1 0 0 1

wird>> K = 12.6244 4.2637 -4.6406 -4.6406 4.2637 12.6244 1.0898 0.0524 0.3015 0.3015 0.0524 1.0898

und die Dynamik zeigt sich in Bild 4-7

Bild 4-7: Optimale Regelung des Modells L3-M mit M1 und M2

Die Kunst besteht nun darin, die richtigen Bewertungsmatrizen Q und R (bzw. auch N) zu finden. Die Orientierung ist einerseits die Dynamik von x und u, andererseits schaut man sich doch wieder die Eigenwerte an.



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Sie werden fr obigen Fall ganz anders als bei der Eigenwertvorgabe-81.2042 -80.9948 -8.1957 +22.2230i -8.1957 -22.2230i -10.0812 -10.4541

Um die Bewertungen etwas besser in den Griff zu bekommen, kann auch das entkoppelte System bewertet werden. Fr schwingungsfhige Systeme hatte sich die Jordan-Transformation

x (t ) = V T x = V * x*

bzw.

x (t ) = V * x

1

*

bewhrt, womit nun das (teil-)entkoppelte System mit dem Zustand x* mit Q* bewertet werden kann, woraus sich ergibt:

Q = [V *T ]1 Q * [V * ]1

4.4

Zustandsregelungen mit zustzlichen I-Anteilen

Am Beispiel des Zustandsreglers fr das einfache Modell L1-M wird nun eine Problematik aufgezeigt, die die Ausregelung von Strgren betrifft. Bei den bisherigen Zustandsrckfhrungen war von linearen und ungestrten Modellen ausgegangen. Das realistische Modell L1-M besitzt jedoch zum einen den Coulomb-Anteil MC der Reibkennlinie (Signum-Funktion) und zum anderen das externe Strmoment ML.

&& & & J + d + r sgn( ) = M A M L



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Separiert man die nichtlineare Signumfunktion, in dem man sie als Strmoment betrachtet, erhlt man

&& & J + d = M A M L MC & mit M C = r sgn( )Die beiden Terme ML und MC knnen als gemeinsames Strmoment zusammengefasst und behandelt werden. Fr die Zustandsregelung wird der Zustandsvektor x gewhlt:

x= Fr das Modell werden die Parameter des Laborversuchs Starrer Schwenkarm bernommen: J = 0,06 kgm2 d = 0,009 Nms/rad r = 0,09 Nm KM = 0,254 Nm/V Die Eigenwertvorgabe preg = 2*[-1+1*i -1-1*i] fr die vollstndige Zustandsrckfhrung ergibt eine Rckfhrmatrix K = [1.8898 0.9094]

Das Bild 4-8 zeigt im linken Teil die Regelung ohne ML und MC und im rechten Bild mit ML und MC. Nach 4 Sekunden wird ML aufgeschaltet. Beide Stranteile erzeugen bleibende Abweichungen in der Position.

ohne Strgren

mit Strgren

Bild 4-8: Einfluss von nicht bercksichtigten Strgren bei der Zustandsregelung

Die Regeldynamik verlangt in diesem Fall einen zustzlichen integralen Anteil in der Stellgre zum Abbau der Regeldifferenz

u I = K I ( soll ist )dt



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Dieser Anteil kann entweder empirisch und separat eingestellt oder in den Entwurf des Zustandsreglers einbezogen werden, was die bessere Variante ist. Dazu wird eine weitere Zustandsgre, das Integral der Position, eingefhrt

x3 = dt = x1 dtDaraus resultieren erweitere Systemmatrizen A und B

0 A3 = 0 1

1 d J 0

0 0 und 0

0 K B3 = M J 0

Mit einer neuen Eigenwertvorgabe pregI = 2*[-1+1*i -1-1*i -4] ergibt sich nun eine erweitere Rckmatrix KI = [9.4488 2.7992 15.1181].

Die Kenntnis der Strmomente ML und MC wrde eine kompensierende Aufschaltung uKOMP im Sinne des Feedforward Control mglich machen. Hier bietet die Beobachtertheorie einen Ansatz fr die Schtzung von Strgren, der im Kap. 5.2 erlutert wird.



Seite 5-1

55.1

Einsatz von ZustandsbeobachternRekonstruktion von Zustandsgren des Systems

Die hohe Regelgte der Zustandsregelung resultiert aus der Rckfhrung des kompletten Systemzustands x. In Kap. 4 wurde dazu die Ausgangsmatrix C als n-dimensionale Einheitsmatrix In angenommen. Das setzt die Messbarkeit aller Zustnde voraus, was oft nicht gegeben ist. Diese Einschrnkung motivierte die Entwicklung der Beobachtertheorie, entwickelt von dem Amerikaner David Luenberger. Deshalb spricht man auch von dem Luenberger-Beobachter. In der ABCD-Form (Zustandsraum-Darstellung) knnen die messbaren Zustnde in der die Ausgangsmatrix C definiert werden, es resultiert der Ausgangsvektor y. Um die Methode wieder etwas anschaulicher zu machen, soll die Annahme getroffen werden, dass das System L3-M zum einen nur mit M1 geregelt wird und zum anderen die Zustandsgren (Winkel und Winkelgeschwindigkeit) der mittleren Drehmasse JL der Messung nicht zugnglich sind. Daraus resultieren folgend der Ausgangsvektor y und die Ausgangsmatrix C entsprechend der Definition des Zustandsvektors in unserem Fall.

1 y = 2 1 2

1 0 C= 0 0

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 1

Die Funktion des Luenberger-Beobachters ist es, aus den messbaren Zustandsgren, den vollstndigen Zustand zu rekonstruieren, womit auch die nicht messbaren Zustnde rekonstruiert und fr die Zustandsregelung verwendet werden knnen. Dazu ist zunchst die Beobachtbarkeit zu prfen. Dazu wird der Rang der Beobachtbarkeitsmatrix

C CA QB = C A 2 ... C A n 1 geprft, sie muss vom Rang n sein.

Matlab bietet die Operation Ob = obsv(A,C), mit der die Beobachtbarkeit geprft werden kann. Falls rank(Ob)den Wert n zurckgibt, ist das System beobachtbar.



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Im angenommenen Beispiel ergibt sich der Rang 6, womit das System beobachtbar ist. Der Beobachter kann sowohl fr das autonome, ungeregelte System als auch fr das mit dem Beobachter geregelte System eingesetzt werden. Die Gleichungen fr das daraus entstehende Gesamtsystem lauten: 1. Regelstrecke

& x = A x + B u ; x0 y =Cx2. Beobachter

& x B = A xB + B u + G( y y B ); x B ,0 yB = C xBAnschaulich wird die Funktion des Beobachters, wenn obige Gleichungen grafisch dargestellt werden.

Bild 5-1: Struktur des Zustandsbeobachters



Seite 5-3

Bercksichtigt man nun die Zustandsrckfhrung, um das System zu regeln, kann auf den beobachteten Zustand xB zurckgegriffen werden:

u = K x

B

Das geregelte Gesamtsystem hat nun die Form

& x = A x B K x B ; x0& x B = A xB B K x B + G C( x x B ); x B ,0Mit der Einfhrung des Beobachterfehlers

eB = x x Bbzw.

x B = x eBerhlt man durch einsetzen von eB und Eliminieren von xB

& x = ( A B K ) x + B K e B ; x0

& eB = ( A G C ) eB ; e b ,0bzw.

& x A BK e = &B 0

BK x ; A GC eB

x0 e B ,0

Man erkennt, dass die Eigenwerte eigR = eig(A-BK) der Regelungsdynamik unabhngig sind von den Eigenwerten eigB = eig(A-GC) der Beobachterdynamik. Fr die Berechnung der Beobachtermatrix G sollten Eigenwerte relativ weit links (hhere Dynamik) von den Eigenwerten des Regelkreises liegen. Wie beim Reglerentwurf durch Eigenwertvorgabe die Funktion (place(...)) kann auch fr den Beobachterentwurf eigB = eig(A-GC) diese Routine verwendet werden, wenn folgende transponierte Matrizen eingesetzt werden

G = place(AT,CT,eigB)T



Seite 5-4

MiteigR = -17.0000 +17.0000i -17.0000 -17.0000i -5.0000 + 5.0000i -5.0000 - 5.0000i -8.5000 + 8.5000i -8.5000 - 8.5000i und eigB = -44.0000 -41.0000 -42.0000 -43.0000 -45.0000 -46.0000

luft die Regelung wie im Bild 5-2.

Bild 5-2: Zustandsregelung mit beobachteten Gren



Seite 5-5

Die zugehrige Simulink-Struktur zeigt Bild 5-3

Bild 5-3: Simulink-Struktur fr die Zustandsregelung des L3-M-Systems mit Beobachtereinsatz



Seite 5-6

5.2

Einsatz von Beobachtern zur Schtzung von Strgren

Im Kap. 4.4 erfolgte der Hinweis auf den Einsatz von Strgrenbeobachtern. Fr das dort angefhrte Beispiel des geregelten Modells L1-M wird hier nun ein Beobachter entworfen fr die Schtzung des Strmoments Mstr = ML + MC. Hierzu nimmt man zunchst die erwartete Art der Strung an: - sprungfrmig (Sprungfolgen), - rampenfrmig (Polygonzge), - sinusfrmig. und modelliert diese Strung v mit einem Strgrenmodell (Zustandsraummodell fr Strzustnde z)

& z = Az z + z ; z( 0 )v = Cz zDieses Modell selbst wird (gedanklich) angeregt mit Dirac-Impulsen, um die Vernderungen (Sprunghhen bzw. Rampensteigungen zu verndern). Die Ausgangsgre v stellt dann Vektor der modellierten Strungen dar. Im betrachteten Fall sollen sprungfrmige Lastmomente ML angenommen werden und da die Coulomb-Reibung ohnehin nur drehrichtungsabhngige Sprnge macht, ist der Ansatz sprungfrmiger Strungen zulssig.

v

tBild 5-4: Sprungfrmiger Verlauf der Strgre v

Gelingt es, diesen Verlauf mit einem Beobachter zu schtzen, kann auch die Kompensation erfolgen, die der Zustandsregelung einfach berlagert wird

u Komp = v =

M L + MC = u L + uC . KM



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Das zughrige Signalmodell 1. Ordnung lautet

& z1 = 0 v = z1Hier greift nun wieder das Grundprinzip des Beobachters: Durch Vergleich des Realverhaltens der gestrten Strecke mit dem Beobachterverhalten kann auf die Wirkung des Strung geschlossen und diese geschtzt werden. Dazu wird der Systemzustand x um den Strzustand z erweitert.

= zwas auf folgende erweitere Systemdynamik fhrt

x

& = A xz + B xz u ; ( 0 )y = C xz mit

A Bv C z Axz = Az 0 B Bxz = 0 C xz = [C 0 ]Hinweis: Die Matrix Bv beschreibt die Wirkung der Strung v auf den Systemzustand

& x = A x + Bv v + B u & z = Az zFr dieses erweiterte System wird nun wieder ein parallel laufendes Beobachtersystem formuliert

& B = Axz B + GB ( y y B ) + Bxz u y B = Cxz BMit der Komponente zB des Vektors kann schlielich die geschtzte Strung vB berechnet und fr die Kompensation verwendet werden.



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Bild 5-5 zeigt das Ergebnis, die Berechnungsschritte im Einzelnen werden in der Vorlesung ausgefhrt. Die Simulink-Struktur zeigt Bild 5-6

Bild 5-5: Einsatz des Strgrenbeobachters fr einen Positionssprung auf x1soll = 0.3



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Bild 5-6: Zustandsregelung unter Bercksichtigung von Strgren

Soweit das Beispiel eines Strgrenbeobachters fr das Modell L1-M, bei dem das Nutzmoment MA und das Strmoment Mstr an derselben Masse angreift. Etwas anders werden die Verhltnisse beim Modell L2-M, bei dem zum einen der Strgenbeobachter in gleicher Weise entworfen und realisiert werden kann, um das Lastmoment ML zu schtzen. Auch hier kann das beobachtete Strmoment entgegengesetzt von der Antriebsseite aus aufgeschaltet werden, um das frei drehbare System zu stabilisieren: MA = ML Allerdings entsteht durch das ML eine Verdrehung des Systems

= L A =

ML . c

Auch diese Torsion lsst sich mit Hilfe des Zustandsbeobachters rekonstruieren und im Vektor des Sollzustandes xsoll bercksichtigen:soll soll A = L +



Seite 5-10

Damit wird der Sollzustand fr Positionierungen der Lastdrehmasse JL auf einen festen Wertsoll L + soll L = 0 0

x soll

5.3

Einsatz von Fhrungsgrenbeobachtern

In einigen Anwendungsfllen interessieren nicht nur Regelungen von frei drehbaren (allgemein: verfahrbaren) Systemen auf einen festen Positionswert, sondern Nachfhrregelungen (Servoregelungen) mit zeitlich vernderlichen Positionswerten. Meist wird dazu nur der zeitliche Verlauf der Lastposition w(t) = Lsoll(t) vorgegeben. Fr eine optimale Nachfhrung des Systems werden aber auch die 1. und 2. Ableitung davon bentigt. Die 1. Ableitung (Sollgeschwindigkeit) ist Bestandsteil des Sollzustandes, die 2. Ableitung (Sollbeschleunigung) ist Bestandteil von Beschleunigungsaufschaltungen. Der Gedanke, die Ableitungen numerisch zu bilden liegt nahe, fhrt aber bei gestrten Signalen zur Verschlechterung der Signalqualitt. Hier kommen nun sog. Fhrungsgrenbeobachter ins Spiel. Bild 5-7 zeigt die Struktur von Fhrungsgrenbeobachtern

Bild 5-7: Fhrungsgrenbeobachter

Ebenso wie beim Strgrenbeobachter, wird dem Fhrungsgrenbeobachter ein Signalmodell zugrunde gelegt, hier sinnvollerweise ein Signalmodell 3. Ordnung.

& r = Ar r + r ; r( 0 )w = Cr r



Seite 5-11

Die Struktur des Fhrungsgrenbeobachters wird dann entsprechend

& r B = Ar r B + GB ( w wB ) wB = Cr r BMit der Vorgabe der Eigenwerte eig(Ar -

GBCr)

kann die Dynamik des Beobachters festgelegt

werden. Hier gilt der Kompromiss zu schlieen zwischen Konvergenzgeschwindigkeit und Filterwirkung: Hohe Dynamik = hohe Filterfrequenz (schwache Filterung); geringe Dynamik = niedrige Filterfrequenz (starke Filterung). Mit der Systemmatrix Ar und der Ausgangsmatrix Cr lassen sich sprung-, rampen- und parabelfrmige Sollverlufe schtzen und deren Ableitungen bilden. Das Modell kann aber auch weitere Signalformen wie z. B. sinusfrmige Verlufe beobachten.

0 1 0 Ar = 0 0 1 ; C r = [1 0 0 ] 0 0 0 Mit pbeo =[-20 -21 -22]; und Gbeo = acker(Ar',Cr',pbeo) erhlt man folgende Ergebnisse (Bild 5-8 auf der nchsten Seite).



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Bild 5-8: Verhalten des Fhrungsgrenbeobachters bei verschiedenen Fhrungsgren

Die zugehrigen Matlab/Simulink-Dokumente sind im Folgenden dargestellt.% Fhrungsgrenbeobachter clear clf Ar = [0 1 0;0 0 1;0 0 0]; Cr =[1 0 0]; pbeo =[-10 -5 -5]; Gbeo = acker(Ar',Cr',pbeo)'; Tsim = 2; wahl =3; [t]=sim('fgb_s',Tsim); subplot(2,1,1), plot(t,w,t,wbeo) legend('w','wbeo') grid subplot(2,1,2), plot(t,rbeo(:,2),t,rbeo(:,3)) legend('dw/dt','d2w/dt2') grid



Seite 5-13

Bild zeigt die Simulation einen parabelfrmigen Sollwertverlauf mit berlagerter Strung sowie den Ausgang des Fhrungsgrenbeobachters, womit die Filterwirkung deutlich wird.

Bild 5-9: Schtzung und Filterung von Fhrungsgren



Seite 5-14

5.4

Zusammenfassung

Die Betrachtungen in diesem Kapitel mit Zustandsregelung und Beobachterstrukturen fr die Schtzung von Systemzustnden, Strgren und Fhrungsgren knnen in einem resultierenden Signallflussbild ( zusammengefasst werden.w rbeo ukomp vReferenzustand und Vorfilter

FhrungsgrenBeobachter

LastmomentAufschaltung

xrefZustandsregelung

u

y u

Zustandsund StrgrenBeobachter

vbeo

Regelstrecke mit Aktorik und Sensorik

y

xbeo

Bild 5-10: Struktur der vollstndigen, linearen Zustandsregelung unter Einsatz von Beobachtern



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6 Stochastische Signale und Prozesse in mechatronischen Systemen6.1 Beschreibung stochastischer Signale im Zeitbereich

Reale Signale und Systeme enthalten oft unerwnschte Stranteile, die beeintrchtigend auf das dynamische Verhalten, insbesondere auf das Regelverhalten wirken. Solange die strenden Anteile gering sind gegenber den gewnschten Signalen- und Prozessgren, ist eine Beschftigung mit der Stochastik nicht erforderlich. Stochastische (regellos verlaufende) Signale sind im Gegensatz zu deterministischen (vorhersagbaren und berechenbaren) Signalen dadurch gekennzeichnet, dass ihr zeitliches Verhalten keine Gesetzmigkeiten erkennen lassen. Bild 6-1 zeigt ein System mit Eingangs- und Ausgangssignalen fr drei verschiedene Flle. Fall A enthlt (die bisher behandelten) deterministischen Signale u(t) am Systemeingang und y(t) am Systemausgang. Ein kausaler Zusammenhang zwischen u(t) als Ursache y(t) als Auswirkung wird angenommen. Fall B enthlt rein stochastische Signale r(t) am Eingang und s(t) am Ausgang, die kausalitt wre nachzuweisen. Fall C ist die berlagerung von deterministischen (u,y) und stochastischen Signalen (r,v) an Ein- und Ausgngen.

Bild 6-1: Deterministische und stochastische Signale und Prozesse

Das Bild 6-2 zeigt zu diesen Fllen entsprechende Zeitverlufe, wobei man den Fall C in der Praxis antrifft und man durch entsprechende Verfahren Spreu vom Weizen zu trennen versucht, also mit Annahmen ber die stochastischen Stranteile (Fall B) diese von den Nutzsignalen zu trennen versucht (Fall A).



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Bild 6-2: Beispielsignale fr die Flle A, B und C



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Man verwendet bei stochastischen Signalen mit einem unspezifischen Frequenzspektrum.auch den Begriff Rauschen In Fall C ist zum Beispiel u(t) das Nutzsignal und r(t) das Rauschsignal. Ein Ma fr den Rauschanteil im Gesamtsignal ur(t) ist das Signal-Rausch-Verhltnis (signal-to-noise-ratio SNR) als Leistungsquotient2 u eff P (u ) SNR = 10 log P(r ) dB = 10 log r 2 eff

u dB = 20 log eff r eff

dB .

Im Fall C des Bildes 6-2 ist zum Beispiel

u SNR = 20 log eff r eff

dB = 17dB

Rein stochastische Signale lassen sich nur mit statistischen Parametern und Funktionen beschreiben. Die Modellierung dieser Statistik bedient sich der Wahrscheinlichkeitstheorie. Fr die folgenden Erluterungen wird nochmals ein Signal r(t), hnlich dem aus Fall B herangezogen.

Links oben: instationr Rechts oben: stationr mit Bias Links: stationr ohne Bias



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Ein stochastisches Signal (oder ein stochastischer Prozess) r(t) heit stationr, wenn die statistischen Gesetze identisch sind mit denen des Signals r(t+) mit der beliebigen Zeitverschiebung . Neben der Stationaritt ist die Ergodizitt eine weitere Grundannahme bei der Beschreibung und Behandlung stochastischer Signale. Das Ergodentheorem besagt, dass im gesamten Wertebereich jede Musterfunktion ri(t) eines ergodischen Prozesses {r(t)} dazu benutzt werden kann, um mit der Wahrscheinlichkeit p = 1 die gleichen statistischen Aussagen ber den gesamten Prozess zu erhalten. Im Bild 6-4 bedeutet es, dass in den beiden Ksten das Signal die gleichen Eigenschaften besitzt.

Bild 6-4: Stationaritt und Ergodizitt von stochastischen Signalen

Man nennt ein Signal ergodisch in Bezug seine Statistik, wenn das Zeitmittel dieser Eigenschaften gleich dem Scharmittel ist. Das Mittel dieser Eigenschaft kann man auf zwei Arten bestimmen, entweder ber die Bildung des Mittelwerts ber alle Signale zu einem gegebenen Zeitpunkt (Scharmittel) oder ber die Betrachtung des Mittelwerts fr ein Signal ber einen langen Zeitraum (Zeitmittel). Bei ergodischen Systemen ergibt beides den gleichen ststistischen Kennwert. Das bedeutet insbesondere, dass bei solchen Systemen die Erwartungswerte nicht vom Anfangszustand abhngig sind. Die Amplituden stochastischer Signale sind Zufallsgren, deren Verteilung empirisch mit Mittelwert und Standardabweichung beschrieben werden kann, es sind die Schtzwerte der zugehrigen Parameter Erwartungswert und Streuung der die Amplitudenverteilung modellierende Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(r) fr die Amplitude von r(t).



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Parameter der zuflligen Amplitudenverteilung eines stochastischen Signals. Empirisch (Schtzwerte) Experiment ri i = 1 .n Mittelwert Theoretisch Wahrscheinlichkeitsdichte f(r)r Erwartungswert

1 n r = ri n i =1Emp. Varianz s2, Standardabweichung s

E{r} = = r f (r ) dr

+

Varianz 2, Streuung

1 n s = (ri r ) 2 n 1 i=12

D {r} = = ( r ) 2 f (r ) dr2 2

Fr das Signal im Bild 6-4 wird

r = 0,002 und

s = 0,1048 .Es ist noch die Frage zu klren, mit welchem Wahrscheinlichkeitsdichte-Modell f(r) die Signalamplitude von r(t) beschrieben werden kann. Mit dem Matlab-Befehl aus der Statistical Toolbox normplot(r) kann getestet werden, ob das Siagnal eine normalverteilte Amplitudendichte besitzt, was nach der Grafik offensichtlich der Fall ist.



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Das Modell der Amplitudendichte f(r) kann damit als Normalverteilung 1 f (r ) = N (r , , ) = e 2 ( r )2 2 2

angesetzt wird.en Die stochastische Systemdynamik und Regelungstechnik geht meist aus von ergodischen Signalen und Prozessen mit normalverteilten Amplitudendichten aus. Im unten stehenden Bild haben die beiden stochastischen Signal dieselbe Amplitudenverteilung und dennoch unterscheidet sich offensichtlich der zeitliche Verlauf. Das obere Signal hat im Vergleich zum unteren einen geringeren inneren Signalzusammenhang. Auch das lsst sich mit einer Statistikfunktion beschreiben, der Autokorrelationsfunktion AKF.

6-5: Stochastische Signale mit unterschiedlichem inneren Zusammenhang (unterschiedlichen AKF)



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Die AKF fur das Signal r(t) lautet

1 Rrr ( ) = r (t ) r (t ) = lim T 2T

+T

T

r (t ) r (t )dt

Die AKF ist eine bzgl. Ordinate symmetrische Funktion, die bei = 0 den hchsten Wert besitzt (Mittelwert der Quadrate) und bei rein stochastischen Signalen ohne deterministischen Anteil fr sehr groe Verschiebungen gene das Quadrat des Mittelwerts geht (falls vorhanden). Je grer der innere Zusammenhang des Signals ist, desto breiter verluft die AKF. Ein weisses Rauschen schrumpft zu einer Nadelfunktion bei = 0. In der Tabelle sind die Eigenschaften der AKF zusammengefasst.

(1) Mittelwert der Quadrate

Rrr (0) = r 2 (t ) = lim

1 T 2T

+T

T

r

2

(t )dt

(2) Quadrat des Mittelwerts

1 Rrr () = r (t ) = lim T 2T 2

+T

r (t )dt T +T

(3) Varianz

1 Rrr (0) Rrr () = (t ) = lim T 2T2 r

T

[r

2

(t ) r (t ) ]dt

2

(4) Symmetrie (5) Monotonie

Rrr ( ) = Rrr ( )Rrr ( ) Rrr (0)



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Whrend die AKF prft, wie das Signal r mit sich selbst korreliert, prft die Kreuzkorrelationsfunktion KKF den Zusammenhang zwischen dem stochastischen Systemeingang r(t) und dem stochastischen Systemausgang s(t).

1 Rrs ( ) = lim T 2Tverschiedene KKF.

+T

T

r (t ) s(t )dt

Nur wenn es einen kausalen Zusammenhang zwischen r(t) und s(t) gibt, resultiert eine von Null

An dieser Stelle ist noch ein wenig Systemdynamik nachzuschieben: das Faltungsintegral. Mit dem Faltungsintegral wird die Systemantwort y(t) eines linearen Systems mit der Gewichtsfunktion (Impulsantwort) g(t) und dem Eingangssignal u(t).

y (t ) = u (t t * ) g (t * )dt *

+

Das Faltungsintegral ist auch auf die stochastischen Korrelationsfunktionen R anwendbar:

Rrs ( ) =

+

Rrr ( t * ) g (t * )dt *

ber die Entfaltung ist somit auch stochastischen Signalen die Gewichtsfunktion g(t) bestimmbar. Das unten stehende Bild zeigt die bertragung stochastischer Signale in einem P-T1-System. Deutlich ist in Rrs die Systemantwort auf Rrr zu erkennen.



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Bild 6-6: Dynamik zwischen Korrelationsfunktionen

6.2

Beschreibung stochastischer Signale im Frequenzbereich

Hierzu muss an die Fouriertransformation (FT) erinnert werden. Ein Zeitsignal x(t) hat seine komplexe Entsprechung x(i) im Frequenzbereich

x(i ) = x(t ) e it dt = x(t )[cos(t ) i sin(t )]dt

+

+

Die digitale Berechnung der FT ist zeit- und frequenzdiskret



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x(tk)-0.3451 -0.3536 -0.2947 -0.2016 -0.1136 -0.0682 -0.0939 -0.2044 -0.3955 -0.6458 -0.9205 -1.1781 -1.3774 -1.4860 .......

y(fk)

NFFT

N /2

f max = f tast / 2

0.0038 - 0.0070i 0.0039 - 0.0083i 0.0040 - 0.0098i 0.0041 - 0.0117i 0.0043 - 0.0142i 0.0045 - 0.0177i 0.0049 - 0.0227i 0.0054 - 0.0311i 0.0065 - 0.0476i 0.0096 - 0.0961i 0.3175 - 4.9902i -0.0029 + 0.1034i 0.0003 + 0.0518i .......

Reelle Werte

Komplexe Werte

Bei der FT, Fast Fourier Transformation (FFT) geht keine Signalinformation verloren, mit der inversen FT kann das Zeitsignal vollstndig rekonstruiert werden..

x(t ) x( f ) = fft[ x(t )] xx(t ) = Re{ifft[ x( f )]} x(t ) xx(t ) !!Die Anwendung der FT auf Korrelationsfunktionen ergeben die entsprechenden Leistungsdichtespektren. Die FT von Signalen mit hohem Rauschanteil zeigt neben den signifikanten Frequenzen das Spektrum der Strfrequenzen. Bei der Anwendung der FT auf rein stochastische Signale ergibt sich kein aussagekrftiges Spektrum. Geht man den Weg ber die AKF zum Leistungsdichtespektrum, erhlt man deutlicheres Hervortreten der signifikanten Frequenzen. Die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion ergibt die spektrale Leistungsdichte (Autoleistungsdichte, Power Spectrum Density) Da Rxx(t) eine gerade Funktion ist, gilt

S xx ( ) =

+

R

xx

( ) cos(t )d



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Entsprechend der Auto- und Kreuzkorrelationsfunktionen heien deren Fouriertransformationen (Auto)Leistungsdichtespektrum und Kreuzleistungsdichtespektrum (Cross Power Density).

Leistungsdichtespektrum des stochastischen Signals r(t)

S rr ( ) = Rrr ( ) e i d

+

Leistungsdichtespektrum des stochastischen Signals s(t)

S ss ( ) = Rss ( ) e i d +

+

Kreuzleistungsdichte der Signale r(t) und s(t)

S rs ( ) = Rrs ( ) e i d

Die Leistung P(t) eines Signals x(t) ist proportional zum Quadrat des Signals, was leicht nachvollziehbar ist bei der elektrischen Leistung

P (t ) = U (t ) I (t ) =

U 2 (t ) ~ U 2 (t ) R

Bei stochastischen Signalen kann ebenfalls die mittlere Leistung berechnet werden

P(t ) = x 2 (t ) = Rxx (0) .Nebender mittleren Leistung ist auch die spektrale Leistung von Signalen darstellbar: 1. Neben der Gesamtleistung eines Signals interessiert die Verteilung dieser Leistung ber die Frequenzen. 2. Gesucht ist eine Funktion Leistung pro Frequenzintervall. 3. Diese Dichtefunktion heit Spektrale Leistungsdichte Sxx() 4. Das Integral ber diese Dichtefunktion ist die Gesamtleistung



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x (t ) = S xx ( )d2 0

Es soll nochmals die im Faltungsintegral Gewichtsfunktion g(t) aufgegriffen werden Man erhlt bei Anwendung der LT die bertragungsfunktion

G ( s ) = g (t ) e st dt0

bei Anwendung der FT den Frequenzgang

F (i ) =

g (t ) e

it

dt

Das Faltungsintegral selbst

y (t ) = u (t t * ) g (t * )dt *

+

wird bei Anwendung der Laplace-Transformation (LT) zu

y( s) = G ( s) u ( s)und bei Anwendung der Fourier-Transformation (FT) zu

y (i ) = G (i ) u (i )



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Die Zusammenhnge der bisher eingefhrten Gren und Systembeschreibungen in der Theorie dynamischer Systeme mit deterministischen und stochastischen Anteilen

kann nun wie folgt dargestellt werden

Deterministisch

Stochastisch

u(t)Zeitbereich

g(t)Zeitfunktionen

y(t)

Ruu()

g(t)

Ryy()

Korrelationsfunktionen

Impulsantwort g(t) und Faltungsintegral

u(i )Frequenzbereich

F()

y(i)

Suu()Frequenzgang

F()

Syy()

Fourier-Transformierte

Spektraldichten

u(s)Bildbereich

G(s)

y(s)

Laplace-Transformierte bertragungsfunktion



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deterministisch

stochastisch

y (t ) = g (t ) u ( t )dt0

Ruy ( ) = g (t ) Ruu ( t )dt0

y(s) = G (s) u (s)y (i ) = F (i ) u (i )

R yy ( ) = g (t ) Ruy ( + t )dt0

Suy ( ) = F ( ) S uu ( ) S yy ( ) = F ( ) S yu ( )

Fr die praktische Arbeit mit stochastischen Signalen sei noch folgendes Schema ergnzt.

Signal x(t) ohne Rauschen mit Rauschen

ohne Phaseninfo

mit Phaseninfo

Vektormittelung

Leistungsspektrum PS = FFT*FFT

Fourier-Trans FFT

Autokorrelation AKF Amplituden Spectrum MAG = FFT(AKF)

Amplituden Spectrum MAG = sqrt(PS)

MAG PHASE REAL IMAG



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7 Signal- und Schtzfilter7.1 Signalfilter

Das Signalfilter (und nicht der lfilter) hat die Aufgabe, aus einem Signal bestimmte Signalanteile "herauszulschen", genauer gesagt diese Signalanteile zu dmpfen. Zunchst einmal werden analoge Filter und digitale Filter unterschieden. Analoge Filter arbeiten zeitkontinuierlich und sind mit elektronischer Hardware realisiert, im einfachsten Fall mit passiven elektronischen Bauelementen wie das RC-Filter, im besseren Fall mit zustzlich aktiven Baulementen (OP-Schaltungen). Die Dynamik wird mit kontinuierlichen Modellen beschrieben, meist als zeitliche Differenzialgleichungen oder einfacher mit bertragungsfunktionen G(s) einer bestimmten Ordnung. Bei den Analogfiltern bekommen auch einstellbare ICs grere Bedeutung. Analoge Filterschaltungen mit Operationsverstrkern, Widerstnden und Kondensatoren werden rasch aufwndig, wenn die Ordnungszahl und/oder Filtergte hoch sein soll. Das ist dann ntig, wenn die Steilheit vom Durchlass- in den Sperrbereich - also in der Zone der Grenzfrequenz - sehr gross sein muss. Dazu kommt, dass bei hoher Ordnungszahl die Sensivitt der Schaltung ebenfalls hoch ist. Digitale Filter sind numerische Algorithmen, die auf zeitdiskrete Signel (Daten) angewendet werden. Deren Dynamik werden mit Differenzengleichungen bzw. mit diskreten bertragungsfunktionen G(z) beschrieben. Es gibt auf dem Markt noch einen dritten Typ, der zeitdsikret arbeitet, jedoch mit elektronischen Komponenten aufgebaut ist: SC-Filter (switched capacitor). SC-Filter sind elektronische Filter, die in ihrem Schaltungsaufbau statt der ohmschen Widerstnden geschaltete Kondensatoren besitzen.

Der Verzicht auf Widerstnde prdestiniert die SC-Technik fr integrierte Schaltungen (ICs), da sich Widerstnde schlecht integrieren lassen, denn sie bentigen viel Platz und ihre Widerstandswerte sind ungenau [http://www.isi.ee.ethz.ch/teaching/labs/SV2.pdf].



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Neben der Unterscheidung analog / digital teilt man die Filtertypen nach der Ausblendung von Frequenzen, die diese Filter bewirken.

Tiefpassfilter TP

Hochpassfilter HP

Bandpassfilter BP

Bandsperrfilter BS

Das TP-Filter lsst nur Frequenzen bis zur Grenzfrequenz durch. Die Steilheit des Abfalls von K =1 auf K =0 (angegeben in dB/Dek) ist Ma fr die Schrfe der Trennung von Frequenzen. Das TP-Filter wird eingesetzt, um hhere Strfrequenzen von niedrigeren Nutzfrequenzen zu trennen.



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Das einfachste analoge TP-Filter ist das RC-Filter mit der Grenzfrequenz

f G [ Hz ] =

1 R C 2

Passives TP -20 dB/Dek. Die aktive Variante enthlt einen Operationsverstrker

Das HP-Filter lsst nur Frequenzen ab einer Grenzfrequenz durch, niederfrequente (auch konstante) Signalanteile werden unterdrckt.

Das BP-Filter lsst Frequenzen in einem bestimmten Frequenzbereich durch, das BS-Filter dagegen unterdrckt Signale in einem bestimmten Frequenzbereich (z. B. Netzbrummen). Mit der Filtergte steigt die Filterordnung, aber auch die Phasenverschiebung des gefilterten Signals.



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In MATLAB-Simulationen knnen analoge (zeitkontinuierliche) und digitale (zeitdiskrete) Filter sehr einfach simuliert werden. Diese und alle anderen Filter sind in der Signal Processing Toolbox enthalten (siehe auch help signal und help fdatool). Analog filter design. besself butter cheby1 cheby2 ellip - Bessel analog filter design. - Butterworth filter design. - Chebyshev Type I filter design. - Chebyshev Type II filter design. - Elliptic filter design.



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Das Bessel-Filter in obigr Anwendung hat eine Grenzfrequenz von fG = 5 Hz und die Ordnung n = 3. Die bertragungsfunkton lautet

GF ( s ) =

1 3.2 10 s + 1.2 10 3 s 2 + 7.8 10 2 s + 15

3

mit den Polen ps = -23.4250 +22.3482i -23.4250 -22.3482i -29.5812 , die Sprungantwort ist

und das Bode-Diagramm



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In der praktischen Anwendung reicht oft f die TP-Filterung, um damit auch die HP-Filterung auszufhren: uTP = TP(ur); uHP = ur-uTP. Formt man obige bertragungsfunktion GF(s) mit dem Befehl filtd=c2d(filtc,0.01) in eine diskrete brtragungsfunktion GF(z)

GF ( z ) =

0.0042 z 2 + 0.014 z + 0.003 0.0042 z 1 + 0.014 z 2 + 0.003 z 3 = 0 z 3 2.3 z 2 + 1.8 z 0.47 z 2.3 z 1 + 1.8 z 2 0.47 z 3

Es handelt sich um ein IIR-Filter 3. Ordnung (siehe auch weiter unten). Damit hat man den bergang zu den zeitdiskreten Filtern. Es ist also durchaus ein gangbarer Weg, fr die digitale Filterung zunchst im Kontiuierlichen zu entwerfen und dann zu diskretisieren.

Digitale FilterDigitale Filter berechnen aus den zeitdiskreten Werten des ungefilterten Signals x(tk) die gefilterten Werte des Filterausgang y(tk)

Die Programme (Algorithmen) unterscheiden und FIR-Filter (finite impulse response) . IIR-Filter (infinite impulse response)

FIR-Filter haben eine Impulsantwort mit endlicher Lnge und benutzen nur Werte des ungefilterten Signals. FIR-Filter knnen deshalb niemals instabil werden oder zu einer selbststndigen Schwingung angeregt werden. FIR-Filter sind meistens nicht-rekursive Filter, weisen also keine Rckkopplungen oder Schleifen in ihrer Struktur auf. IIR-Filter verwenden zustzlich zu den Eingangswerten auch zwischengespeicherte Werte des Ausgangssignals. Durch die Rckfhrung von Ausgangswerten wird die Stabilitt von IIR-Filtern beeintrchtigt, was es schwieriger macht stabile Filter zu entwerfen.



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Diese Unterschiede zeigt das Bild

Beispiel FIR-Filter 4. Ordnung

Beispiel IIR-Filter 2. Ordnung

FIR-Filter 4. Ordnung

y k = a0 xk + a1 xk 1 + a2 xk 2 + a3 xk 3 + a4 xk 4IIR-Filter 2. Ordnung

y k = a 0 x k + a1 x k 1 + b1 y k 1 + a 2 x k 2 + b2 y k 2 .Der Filterentwurf berechnet die Parameter der Algorithmen der beiden Filtertypen, hier bietet Matlab mit dem Werkzeug fdatool gute Untersttzung. Es werden die Koeffizienten ai und bj geliefert.



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Vergleich analoger und digitaler FilterDie Tabelle vergleicht die analogen mit den digitalen Filtern.Analogfilter V: hohe Geschwindigkeit V:geringer Preis V: einfache Realisierung N: Genauigkeit der Bauelemente N: geringe Flexibilitt N: hohe Ordnungen aufwendig N: Abgleich erforderlich Digitalfilter V: exakt berechenbar V: keine Bauteileinflsse V: kein Abgleich V: Filter hoher Ordnung mglich N: begrenzter Frequenzbereich N: Quantisierungsrauschen



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7.2

Schtzfilter (Kalman-Filter)

Die Theorie des Kalman-Filters lst die Aufgabe, aus verrauschten Messsignalen am Ausgang eines Prozesses, der zustzlich durch Eingangsrauschen gestrt wird, einen Schtzwert fr den Prozesszustand und den Messausgang so zu rekonstruieren, dass die Schtzfehler minimale Varianz aufweisen. Prozesszustand Messausgang Schtzung Prozesszustand Schtzung Messausgang Schtzfehler Prozesszustand Schtzfehler Messausgang x(t) y(t) xF(t) yF(t) ex(t) = x(t) xF(t) ey(t) = y(t) - yF(t)

Das Eingangsrauschen r(t) strt den Prozess und verndert damit den Prozesszustand und den Messausgang. Das Messrauschen v(t) am Ausgang ist dem Prozessausgang berlagert. Der Vorteil der Schtzfilter gegenber den Signalfiltern liegt darin, dass die Prozessdynamik in die Schtzung mit eingeht. Fr das Eingangsrauschen r(t) und fr das Messrauschen v(t) werden mittelwertfreie, stationre weie Zufallsprozesse mit den entsprechenden Kovarianzen und Gau-Amplitudenverteilung angenommen. Auerdem werden r(t) und v(t) als unkorreliert angenommen.

cov{v( t1 ),v( t2

cov{r( t1 ),r( t2 )} = E r( t1 ),r T ( t2 ) = Q ( t1 t2 )1

{ )} = E {v( t

),v ( t2

T

} )} = S ( t

1

t2 )

Darin sind die Matrizen Q und S konstant, symmetrisch und positiv definit. Die Lsung der dynamischen Schtzfilteraufgabe ist eine Optimierungsaufgabe, sie fhrt auf eine Riccati-Gleichung, die mit denselben Entwurfsprogrammen wie bei der optimalen Regelung gelst werden kann. Das Ergebnis der Optimierung ist eine Schtzfehlerrckfhrung L in

u F = L y( t ) yF ( t ) = L ey ( tBeim Zustandsbeobachter ist es die Rckfhrung G des Beobachterfehlers. Im Falle des Kalman-Filters ist das Gtekriterium2 J = E exi i =1 N

(

)

{ }

zu minimieren. Praktikabel ist das stationre Kalman-Filter, es ist wie der Zustandsbeobachter ein rckgefhrtes Streckenmodell, dessen Modellnachfhrmatrix L so berechnet wird, dass aus den verrauschten Messdaten ein Schtzwert fr den Streckenzustand gewonnen wird.



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Nach umfnglicher Herleitung kann das Gtekriterium fr die Optimierung des Schtzfilters mit den Matrizen Q und S als Bewertungsmatrizen geschrieben werden

1 T T J = xF Q x F + u F S u F dt 20Die Matrix L ist damit mit der Matlabfunktion lqr berechenbar. Das Prinzip des Kalman-Filters lsst sich wie folgt darstellen.

[

]

Prozesseingangsrauschen

rProzesszustand

v x

Messrauschen

u

yProzess

yv

Kalman-Filter

Schtzfehlerrckfhrung L

ey

Prozessmodell

yF

xFGeschtzter Prozesszustand

Das Prozesseingangsrauschen r hat Einfluss auf den Zustand x und den Ausgang y, kann aber anders als das Nutzeingangssignal u dem Kalman-Filter nicht zugefhrt werden. Das Messrauschen v ist dem Ausgang y berlagert. Die Rauschsignale r und v knnen unterschiedliche Intensitt haben und werden mit ihren Kovarianzen beschrieben. Die Wirkung des Eingangsrauschens r muss erkannt werden, die Wirkung des Messrauschens muss eliminiert werden. Je nach dem, ob r oder v berwiegt, ist die Schtzfehlerrckfhrung hoch oder gering (siehe Grafik).



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r v

L

In dem ersten Extremfall

r maximal (Q gro) und v minimal (S klein) wird L sehr gro, d.h. das Filter wird zu einem reinen Beobachter fr den gestrten Prozess.

In dem zweiten Extremfall

r minimal (Q klein) und v maximal (S gro) wird L sehr klein, d.h. das Prozessmodell luft fast abgekoppelt parallel zum Prozess.

Alles dazwischen sind Kompromisse innerhalb obiger Extreme, gesteuert von den Varianzen der stochastischen Signale r(t) und v(t). Betrachtet werden nun lineare, zeitinvariante, vollstndig beobachtbare Systeme n-ter Ordnung mit p Eingngen und m Ausgngen, beschrieben mit

& x( t ) = A x( t ) + B u( t ) + r( t ) y( t ) = C x( t ) + v( t )und dem n-dimensionalen Eingangsrauschvektor r und dem m-dimensionale Messrauschvektor v. Die Struktur des Kalmanfilters an einem stochastisch gestrten Prozess wird dann sehr hnlich der Beobachterstruktur,

& x F ( t ) = A x F ( t ) + B u( t ) + L y( t ) y F ( t ) yF ( t ) = C x F ( t )

(

)



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Das Gesamtsystem ist damit wie folgt darstellbar.r u B INT C v y

A

L

xF B INT C yF

A Kalman-Filter

xF

Am Beispiel eines Drehschwingers werden die beschriebenen Zusammenhnge veranschaulicht. Das Modell ist im Zustandsraum dargestellt mit den Zustandsgren x1 und x2. Gemessen wird der Winkel: y = x1. Fr die Rauschsignale r(t) und v(t) werden unterschiedliche Intensitten angenommen, d.h. es werden unterschiedliche Schtzfehlerrckfhrungen L berechnet. Fr u(t) wird ein Momentensprung angenommen.

&& & J + d T + cT = M ( t )

x1 = & x2 = u=MProzesseingangsrauschen

Mit den Daten J = 1 kgm2 cT = 90 Nm/rad dT = 2 Nms/rad

rProzesszustand

v x

Messrauschen

uProzess

y

yv



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% Kalman-Filter clf % System Einmassenschwinger J =1; c = 90; d =2; A = [0 1; -c/J -d/J]; B =[0;1/J]; C = [1 0]; %Q und S Startwerte Q = eye(2); S = 1; rfakt = 0.5; sfakt = 0.05; t_tast = 0.01; T_end= 6+t_tast; % Testsimulation zur Bestimmung der Kovarianzen und Berechnug des Filters [t] = sim('kalman_s',T_end); Q = cov(r,r'); S =var(v); [L,S1,E] = LQR(A',C',Q,S); L = L'; % Simulation des Filters [t] = sim('kalman_s',T_end); % Ausgaben subplot(3,1,1),plot(t,xpro) xlabel('Zeit t [sec]') ylabel('Prozess') grid legend('x1','x2') axis([0 T_end -8 8]) subplot(3,1,2),plot(t,xkalm) xlabel('Zeit t [sec]') ylabel('Kalman-Filter') grid legend('x1F','x2F') axis([0 T_end -8 8]) subplot(3,1,3),plot(t,yv,t,yf) xlabel('Zeit t [sec]') ylabel('Kalman-Filter') grid legend('yv','yF') axis([0 T_end -8 8]) Q S L EW=eig(A-L*C)



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Fall 1: Fast kein Rauschen in r und v

L = 0.2583 -0.4666 EW = -1.1292 + 9.4220i -1.1292 - 9.4220i



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Fall 2: Hohes Rauschen in r, fast kein Rauschen in v

L =

224.2248 138.3812

EW =

-223.1923 -3.0325



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Fall 3: Fast kein Rauschen in r, hohes Rauschen in v

L =

1.0e-005 * 0.5500 -1.0000

EW =

-1.0000 + 9.4340i -1.0000 - 9.4340i



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Fall 4: Etwa gleiches Rauschen in r und in v

L = 1.8726 -3.2466

EW = -1.9363 + 9.3139i -1.9363 - 9.3139i

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