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Skript zur Vorlesung Finanzmathematik Dr. Jan Rudl TU Dresden Version 3.0 Oktober 2013

Skript zur Vorlesung Finanzmathematik - TU Dresden · PDF file7 Vorwort Dieses Skript ist aus einer sechsstündigen Vorlesung „Finanzmathematik“ an der Fachrichtung Mathematik

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    Finanzmathematik

    Dr. Jan RudlTU Dresden

    Version 3.0Oktober 2013

    http://tu-dresden.de/Members/jan.rudlhttp://tu-dresden.de/

  • 2

    Ver. 3.0 Jan Rudl, Skript zur Vorlesung Finanzmathematik Okt. 2013

  • Inhaltsverzeichnis

    Vorwort 7

    Notationen 8

    Einfhrende Bemerkungen 10

    1 Klassische Finanzmathematik 111.1 Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.1.1 Lineare und exponentielle Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 quivalenz von Zahlungsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.3 Mittlerer Zahlungstermin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.4 Gemischte Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.5 Unterjhrige Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.6 Stetige Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.2 Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.1 Ewige Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2 Renten mit vernderlichen Raten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.3 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit 232.1 Finanzinstrumente und ihre Preisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.1.1 Basiswertpapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Derivative Wertpapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.2 Einperioden-Marktmodell mit endlich vielen Zustnden . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2 Portfolio und Wert eines Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.3 Arbitrage und Arbitragefreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.4 Replizierbare Auszahlungsprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.5 Vollstndigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.6 Einperioden-Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.7 Wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtung und risikoneutrales Ma . . . . 44

    3

  • 4 Inhaltsverzeichnis

    2.2.8 Put-Call-Paritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.9 Diskontiertes Einperiodenmarktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.3 Einperioden-Marktmodell mit allgemeinem Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . 492.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3.2 Portfolio und Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.3 Replizierbarkeit und Vollstndigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2.4 Allgemeines Mehrperioden-Marktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4.2 Portfolio, Handelsstrategie, Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.4.3 Replizierbarkeit und Vollstndigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    2.5 Mehrperioden-Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5.1 Preise von Europischen Auszahlungsprofilen im CRR-Modell . . . . . . . . 762.5.2 Konvergenzeigenschaften des CRR-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    3 Stochastische Finanzmathematik in stetiger Zeit: Das Black-Scholes-Modell 873.1 Grundlegendes zum Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    3.1.1 Der Wienerprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.2 Simulation eines Wienerprozesses und einer geometrischen Brownschen Be-

    wegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.1.3 Martingaleigenschaften des Wienerprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    3.2 Das quivalente Martingalma im Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . 993.3 Bewertung von pfadunabhngigen Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    3.3.1 Auszahlungsprofile und Wertprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3.2 Bewertung eines pfadunabhngigen Derivats . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3.3 Black-Scholes-Formel fr Europische Optionen und Put-Call-Paritt . . . . 108

    3.4 Sensitivitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.4.1 Sensitivitten von Europischen Call- und Put-Optionen . . . . . . . . . . . 112

    3.5 Parameterschtzung im Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5.1 Schtzung der Zinsrate r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5.2 Schtzung der Volatilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    3.6 Der Preis einer Barrier-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.7 Handelsstrategie, Arbitrage und Replizierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    4 Allgemeine zeitstetige Finanzmarktmodelle 1494.1 berblick ber bisher behandelte Finanzmarktmodelle und Aussagen zur Arbitrage-

    freiheit und Vollstndigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.1.1 Allgemeines (zeitdiskretes) Mehrperioden-Marktmodell . . . . . . . . . . . 1494.1.2 Mehrperioden-Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.1.3 Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    4.2 Grundstzliche berlegungen zu allgemeinen zeitstetigen Finanzmarktmodellen . . . 158

    Ver. 3.0 Jan Rudl, Skript zur Vorlesung Finanzmathematik Okt. 2013

  • Inhaltsverzeichnis 5

    4.3 Allgemeines zeitstetiges Marktmodell mit stetigen Preisprozessen . . . . . . . . . . 1604.3.1 Handelsstrategie und Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.3.2 Martingalma und lokales Martingalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.3.3 Asymptotische Arbitrage und Vollstndigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

    A Anhang zur klassischen Finanzmathematik 177A.1 Zinsberechnungsmethoden (Day Count Conventions) . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    A.1.1 30/360-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178A.1.2 Actual-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180A.1.3 Business-252-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.1.4 Herleitung der Tageszhlerformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192A.1.5 Berechnung des Datums aus einer gegebenen Tageszahl . . . . . . . . . . . 193

    B Anhang zur stochastischen Finanzmathematik in diskreter Zeit 201B.1 Grundlagen aus der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

    B.1.1 Vektorrume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201B.1.2 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203B.1.3 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204B.1.4 Adjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205B.1.5 Trennungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

    B.2 Beweis des 1. Fundamentalsatzes im EPMK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207B.3 Grundlagen aus der Matheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

    B.3.1 Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209B.3.2 -Algebra der Borel-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210B.3.3 Mengenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211B.3.4 Messbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213B.3.5 Produktmae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214B.3.6 Faltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

    B.4 Grundlagen aus der Integrationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216B.4.1 -Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216B.4.2 Mae mit Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217B.4.3 Integration bezglich eines Bildmaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218B.4.4 Beziehung zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . 218B.4.5 Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219B.4.6 Lp-Rume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    B.5 Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220B.5.1 Unabhngigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221B.5.2 Unkorreliertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

    B.6 Beweis des 1. Fundamentalsatzes im EPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223B.7 Beweis des 2. Fundamentalsatzes im EPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

    Okt. 2013 Jan Rudl, Skript zur Vorlesung Finanzmathematik Ver. 3.0

  • 6 Inhaltsverzeichnis

    B.8 Beweis des Lemmas 2.43 im MPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232B.9 Bedingte Erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237B.10 Beweis des 1. Fundamentalsatzes im MPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239B.11 Beweis des Lemmas 2.51 im MPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243B.12 Beweis Arbitragefreiheit und Vollstndigkeit des CRR-Modells . . . . . . . . . . . . 247

    C Anhang zum Black-Scholes-Modell 251C.1 Beweis der Nichtdifferenzierbarkeit der Pfade des Wienerprozesses