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Skript zur Vorlesung Finanzmathematik - TUD - TU Dresden

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Text of Skript zur Vorlesung Finanzmathematik - TUD - TU Dresden

Version 3.0 Oktober 2013
Inhaltsverzeichnis
1.1.1 Lineare und exponentielle Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.2 Äquivalenz von Zahlungsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.3 Mittlerer Zahlungstermin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.4 Gemischte Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.5 Unterjährige Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.6 Stetige Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 Ewige Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.2 Renten mit veränderlichen Raten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit 23 2.1 Finanzinstrumente und ihre Preisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Basiswertpapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Derivative Wertpapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Einperioden-Marktmodell mit endlich vielen Zuständen . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Portfolio und Wert eines Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 Arbitrage und Arbitragefreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.4 Replizierbare Auszahlungsprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.6 Einperioden-Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.7 Wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtung und risikoneutrales Maß . . . . 44
3
2.3 Einperioden-Marktmodell mit allgemeinem Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.2 Portfolio und Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.3 Replizierbarkeit und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Allgemeines Mehrperioden-Marktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.2 Portfolio, Handelsstrategie, Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4.3 Replizierbarkeit und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5 Mehrperioden-Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.5.1 Preise von Europäischen Auszahlungsprofilen im CRR-Modell . . . . . . . . 76 2.5.2 Konvergenzeigenschaften des CRR-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3 Stochastische Finanzmathematik in stetiger Zeit: Das Black-Scholes-Modell 87 3.1 Grundlegendes zum Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.1 Der Wienerprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.1.2 Simulation eines Wienerprozesses und einer geometrischen Brown’schen Be-
wegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.1.3 Martingaleigenschaften des Wienerprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Das äquivalente Martingalmaß im Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.3 Bewertung von pfadunabhängigen Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3.1 Auszahlungsprofile und Wertprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3.2 Bewertung eines pfadunabhängigen Derivats . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.3.3 Black-Scholes-Formel für Europäische Optionen und Put-Call-Parität . . . . 108
3.4 Sensitivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.4.1 Sensitivitäten von Europäischen Call- und Put-Optionen . . . . . . . . . . . 112
3.5 Parameterschätzung im Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.5.1 Schätzung der Zinsrate r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.5.2 Schätzung der Volatilität σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.6 Der Preis einer Barrier-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.7 Handelsstrategie, Arbitrage und Replizierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4 Allgemeine zeitstetige Finanzmarktmodelle 149 4.1 Überblick über bisher behandelte Finanzmarktmodelle und Aussagen zur Arbitrage-
freiheit und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.1.1 Allgemeines (zeitdiskretes) Mehrperioden-Marktmodell . . . . . . . . . . . 149 4.1.2 Mehrperioden-Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.1.3 Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2 Grundsätzliche Überlegungen zu allgemeinen zeitstetigen Finanzmarktmodellen . . . 158
Ver. 3.0 Jan Rudl, Skript zur Vorlesung Finanzmathematik Okt. 2013
Inhaltsverzeichnis 5
A.1.1 30/360-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 A.1.2 Actual-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 A.1.3 Business-252-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.1.4 Herleitung der Tageszählerformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 A.1.5 Berechnung des Datums aus einer gegebenen Tageszahl . . . . . . . . . . . 193
B Anhang zur stochastischen Finanzmathematik in diskreter Zeit 201 B.1 Grundlagen aus der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
B.1.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 B.1.2 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 B.1.3 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 B.1.4 Adjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 B.1.5 Trennungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
B.2 Beweis des 1. Fundamentalsatzes im EPMK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 B.3 Grundlagen aus der Maßtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
B.3.1 Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 B.3.2 σ-Algebra der Borel-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 B.3.3 Mengenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 B.3.4 Messbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 B.3.5 Produktmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 B.3.6 Faltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
B.4 Grundlagen aus der Integrationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 B.4.1 µ-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 B.4.2 Maße mit Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 B.4.3 Integration bezüglich eines Bildmaßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 B.4.4 Beziehung zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . 218 B.4.5 Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 B.4.6 Lp-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.5 Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 B.5.1 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 B.5.2 Unkorreliertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.6 Beweis des 1. Fundamentalsatzes im EPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 B.7 Beweis des 2. Fundamentalsatzes im EPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Okt. 2013 Jan Rudl, Skript zur Vorlesung Finanzmathematik Ver. 3.0
6 Inhaltsverzeichnis
B.8 Beweis des Lemmas 2.43 im MPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 B.9 Bedingte Erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 B.10 Beweis des 1. Fundamentalsatzes im MPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 B.11 Beweis des Lemmas 2.51 im MPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 B.12 Beweis Arbitragefreiheit und Vollständigkeit des CRR-Modells . . . . . . . . . . . . 247
C Anhang zum Black-Scholes-Modell 251 C.1 Beweis der Nichtdifferenzierbarkeit der Pfade des Wienerprozesses . . . . . . . . . 251 C.2 Erzeugung von Pseudo-Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
C.2.1 Erzeugung gleichverteilter Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 C.2.2 Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 C.2.3 Verwerfungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 C.2.4 Ziggurat-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
C.3 Logarithmische Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 C.4 Ein Lemma vom Fubini-Typ für bedingte Erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . 272 C.5 Stoppzeiten, erweiterte natürliche Filtration und das Reflexionsprinzip für den Wie-
nerprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 C.6 p-Variation und Variation des Wienerprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 C.7 Ein Arbitragebeispiel im Zusammenhang mit der Begriffsbildung eines stochasti-
schen Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 C.8 Das Ito-Integral bezüglich des Wienerprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 C.9 Ein Arbitragebeispiel im Zusammenhang mit selbstfinanzierenden Handelsstrategien 291
D Anhang zu allgemeinen zeitstetigen Finanzmarktmodellen 293 D.1 Filtrierte Wahrscheinlichkeitsräume mit den „üblichen Bedingungen“ und vollstän-
dige Wahrscheinlichkeitsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 D.2 Progressive Messbarkeit und Vorhersagbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 D.3 Das Ito-Integral bezüglich rechtsseitig stetiger L2-Martingale . . . . . . . . . . . . 301 D.4 Lokale Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 D.5 Stochastische Riemann-Stieltjes-Integrale…