Skript zur Vorlesung Fluidmechanik

Skript zur Vorlesung Fluidmechanik

Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch

Version 2.1

i ___________________________________________________________________ Inhalt 1 Einleitung ........................................................................................................... 1

1.1 Allgemeines .............................................................................................................. 1 1.2 Historische Entwicklung ............................................................................................ 2 1.3 CFD als Entwurfswerkzeug ...................................................................................... 2 1.4 Strmungssimulation in Windkanlen....................................................................... 5 1.5 Gliederung der Fluidmechanik .................................................................................. 6 1.6 Begriffsdefinitionen ................................................................................................... 7

1.6.1 Fluid .................................................................................................................... 7 1.6.2 Stationre und instationre Strmung, quasistationre Strmung ..................... 7 1.6.3 Stromlinie und Bahnkurve ................................................................................... 7 1.6.4 Stromfaden und Stromrhre ............................................................................... 8 1.6.5 Ideale und Reale Fluide ...................................................................................... 8

1.7 Klassifizierung von Strmungen ............................................................................... 9 1.7.1 Einteilung von Strmungen als Funktion der Reibung ........................................ 9 1.7.2 Einteilung von Strmungen als Funktion der Kompressibilitt .......................... 10 1.7.3 Einteilung von Strmungen als Funktion der Machzahl .................................... 11 1.7.4 Zusammenfassung der einzelnen Geschwindigkeitsbereiche .......................... 17

1.8 Einteilung der Fluide nach Flieverhalten .............................................................. 17 2 Hydrostatik ........................................................................................................18

2.1 Grundlagen ............................................................................................................. 18 2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flssigkeiten und Gase ............................... 18 2.1.2 Kompressibilitt von Gasen und Flssigkeiten ................................................. 19 2.1.3 Druckeinheiten .................................................................................................. 20 2.1.4 Hydrostatischer Druck ...................................................................................... 20 2.1.5 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon ...................................................... 21 2.1.6 Verbundene Gefe (kommunizierende Rhren) ............................................. 22 2.1.7 Saugwirkung ..................................................................................................... 24 2.1.8 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes) ................................................... 26 2.1.9 Oberflchenspannung und Kapillarwirkung ...................................................... 28 2.1.10 Viskositt ....................................................................................................... 34

2.2 Druckmessung ........................................................................................................ 37 2.2.1 Druckbegriffe .................................................................................................... 37 2.2.2 Druckmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer ............................ 38 2.2.3 Bercksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel ....................... 39 2.2.4 Differenzdruckmessung .................................................................................... 39 2.2.5 Bercksichtigung des Temperatureinflusses .................................................... 40 2.2.6 Bercksichtigung der Luftfeuchte ..................................................................... 40 2.2.7 Drucksonden ..................................................................................................... 41 2.2.8 Schrgrohrmanometer ...................................................................................... 41

2.3 Druckkrfte auf Begrenzungsflchen ..................................................................... 43 2.3.1 Druckkraft auf eine ebene, horizontale Flche ................................................. 43 2.3.2 Druckkraft auf eine geneigte Flche ................................................................. 43 2.3.3 Druckkrfte auf gekrmmte Begrenzungsflchen ............................................. 45 2.3.3.1 Einfach gekrmmte (abwickelbare) Flchen ................................................. 45 2.3.3.2 Beliebig gekrmmte (nicht abwickelbare) Flchen ........................................ 47 2.3.4 Stabilitt ............................................................................................................ 48 2.3.4.1 Stabilitt schwebender Krper ...................................................................... 48 2.3.4.2 Stabilitt schwimmender Krper ................................................................... 49

2.4 Fluide unter Beschleunigung .................................................................................. 51 2.4.1 Niveauflchen ................................................................................................... 51 2.4.2 Gleichfrmig horizontal beschleunigter Behlter .............................................. 51 2.4.3 Rotierende Flssigkeiten .................................................................................. 51

ii ___________________________________________________________________ 3 Aerostatik ..........................................................................................................56

3.1 Atmosphre der Erde ............................................................................................. 56 3.1.1 Die Erdatmosphre als Wrmekraftmaschine .................................................. 56 3.1.2 Aufbau der Erdatmosphre ............................................................................... 57

3.2 Abhngigkeit des Luftdrucks von der Hhe ............................................................ 59 3.2.1 Luftdruck ........................................................................................................... 59 3.2.2 Krftegleichgewicht an einem Volumenelement ............................................... 59

3.3 Internationale Standardatmosphre (ISA) .............................................................. 62 3.3.1 Temperaturverteilung der Standardatmosphre ............................................... 62 3.3.2 Definitionen der Hhe ....................................................................................... 65

4 Strmung von Fluiden .....................................................................................70

4.1 Grundbegriffe .......................................................................................................... 70 4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strmungsfeldes .............................................. 70 4.1.2 Stationre und instationre Strmungen .......................................................... 70 4.1.3 Bahnlinie und Stromlinie ................................................................................... 71 4.1.4 Stromrhre, Stromfaden, Stromflche .............................................................. 72

4.2 Kontinuittsgleichung ............................................................................................. 73 4.3 Energieerhaltungssatz ............................................................................................ 74

4.3.1 Satz von Bernoulli ............................................................................................. 74 4.3.2 Euler-Gleichung ................................................................................................ 80 4.3.3 Verlustfreie Rohrstrmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung ................... 82 4.3.4 Ausfluss aus Gefen und Behltern - verlustfrei ............................................ 84 4.3.5 Ausfluss aus Gefen und Behltern unter berdruck - verlustfrei ................. 84 4.3.6 Ausfluss aus Behltern mit scharfkantigen ffnungen ..................................... 86 4.3.7 Ausfluss aus Behltern in ruhendes Wasser .................................................... 86 4.3.8 Ausstrmen von Fluiden aus Behltern in die Atmosphre .............................. 87 4.3.9 Verlustbehaftetes Ausflieen aus einem Behlter ............................................ 88

4.4 Strmung mit Energietransport ............................................................................... 89 4.4.1 Strmungen unter Bercksichtigung von Arbeit und Verlusten ........................ 89 4.4.2 Turbine .............................................................................................................. 92 4.4.3 Pumpe und Geblse ......................................................................................... 93

4.5 Modellgesetze ........................................................................................................ 94 4.5.1 Simulationsproblematik ..................................................................................... 94 4.5.2 Kennzahlen ....................................................................................................... 94 4.5.3 Reynoldszahl .................................................................................................... 96

4.6 Grenzschichttheorie ................................................................................................ 98 4.6.1 Grenzschicht ..................................................................................................... 98 4.6.2 Verdrngungsdicke * der Grenzschicht .......................................................... 98 4.6.3 Grenzschicht an der lngs angestrmten ebenen Platte .................................. 99 4.6.4 Transition ........................................................................................................ 101

4.7 Widerstand von Krpern ....................................................................................... 104 4.7.1 Formen des Widerstands ................................................................................ 104 4.7.2 Reibungswiderstand ....................................................................................... 105 4.7.3 Druckwiderstand ............................................................................................. 108 4.7.4 Induzierter Widerstand .................................................................................... 115 4.7.5 Interferenzwiderstand ..................................................................................... 118 4.7.6 Gesamtwiderstand .......................................................................................... 119

4.8 Kugelumstrmung ................................................................................................ 122 4.8.1 Ideale reibungsfreie Umstrmung der Kugel (Potentialstrmung) .................. 122 4.8.2 Reibungsbehaftete Umstrmung der Kugel .................................................... 122

4.9 Zylinderumstrmung ............................................................................................. 127 4.9.1 Ideale reibungsfreie Strmung (Potentialstrmung) ....................................... 127 4.9.2 Reibungsbehaftete Umstrmung eines Zylinders ........................................... 127

iii ___________________________________________________________________

4.10 Rohrstrmung ....................................................................................................... 129 4.10.1 Laminare Rohrstrmung ............................................................................. 129 4.10.2 Turbulente Rohrstrmung ........................................................................... 129 4.10.3 Rohrreibungswiderstand ............................................................................. 130 4.10.4 Rohrreibungszahl ..................................................................................... 131

4.11 Widerstandsbeiwert fr zustzliche Einbauten in Rohren .................................... 134 4.11.1 Widerstand infolge von Ablsung ................................................................ 134 4.11.2 Querschnittserweiterung (Diffusor) ............................................................. 135 4.11.3 Querschnittsverengung (Dse) ................................................................... 138 4.11.4 Durchflussmessung mit genormten Drosselgerten (DIN EN ISO 5167).... 140 4.11.5 Krmmer - Richtungsnderung ................................................................... 141 4.11.6 Eintrittsverluste ............................................................................................ 142 4.11.7 Verlustziffern von Formstcken und Einbauten (Zusammenfassung) ...... 143

5 Impulssatz .......................................................................................................147

5.1 Newtonsche Axiome ............................................................................................ 147 5.2 Stromrhre und Stromfaden ................................................................................. 148 5.3 Impuls ................................................................................................................... 148 5.4 Stationre Fadenstrmung durch einen raumfesten Kontrollraum ....................... 149 5.5 Krfte auf ein Fluid im Kontrollraum ..................................................................... 150 5.6 Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfllen .................................... 151 5.7 Impulssatz fr mehrere Ein- und Austrittsflchen ................................................. 152 5.8 Anwendungsprinzip des Impulssatzes.................................................................. 153

6 Drallsatz ..........................................................................................................157

6.1 Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung ............................................................. 157 6.2 Anwendung des Drallsatzes auf Strmungsmaschinen ....................................... 163

iv ___________________________________________________________________ Nomenklatur Lateinische Bezeichnungen A [m] Flche a [m/s] Beschleunigung a [m/s] Schallgeschwindigkeit c [m/s] Geschwindigkeit cp [-] Druckbeiwert cp [J/kgK] spez. Wrme bei konst. Druck cv [J/kgK] spez. Wrme bei konst. Volumen D [1/s] Schergeflle F [N] Kraft, Schub Fr [-] Froude-Zahl Ec [-] Eckert-Zahl Eu [-] Euler-Zahl Fo [-] Fourier-Zahl g [m/s] Gravitationskonstante H [m] Hhe, Frderhhe h [m] Hhe H [J] Enthalpie h [J/kg] spez. Enthalpie I [m4] Flchentrgheitsmoment I [Ns] Impuls I [N] Impulsstrom Kn [-] Knudsen-Zahl k [m] Rauigkeit L [Nms] Drall L [Nm] Drallstrom l [m] Lnge M [-] Machzahl M [-] Metazentrum M [Nm] Moment m [kg] Masse m [kg/s] Massestrom n [-] Lastvielfaches n [-] Polytropenexponent P [W] Leistung Pe [-] Pclet-Zahl Pr [-] Prandtl-Zahl p [Pa] Druck Q [J] Wrme q [J/kg] spez. Wrme Q [J/m] Wrmestrom q [W/m] spez. Wrmestrom R [J/kgK] spez. Gaskonstante (Luft: RLuft = 287,05 J/kgK) Re [-] Reynoldzahl r [m] Radius S [-] Strouhalzahl S [J/K] Entropie s [J/K kg] spez. Entropie T [K] Temperatur T [s] Umlaufzeit

v ___________________________________________________________________ Tu [-] Turbulenzgrad t [s] Zeit T [s] Umlaufzeit U [J] innere Energie U [m] Umfang u [J/kg] spez. innere Energie u, v, w [m/s] Geschwindigkeiten in x, y, z-Richtung V [m] Volumen V [m/s] Geschwindigkeit v [m/kg] spezifisches Volumen W [N] Widerstand W [J] Arbeit w [J/kg] spez. Arbeit We [-] Weber-Zahl Y [m/s] spez. Frderarbeit x, y, z [m] Ortskoordinaten Griechische Bezeichnungen [rad, Grad] Anstellwinkel K [-] Kontraktionszahll [rad, Grad] Schiebewinkel [m/kgs] Gravitationskonstante, Erde = 6,6710-11 [m] Grenzschichtdicke [-] Expansionszahl [-] Wirkungsgrad [%] Relative Luftfeuchte [-] Verustziffer [-] Isentropenexponent [-] Kraftmastabsfaktor [m] mittlere freie Weglnge [W/mK] Wrmeleitfhigkeit [-] Lngenmastabsfaktor [-] Rohrreibungszahl [-] Ausflusskoeffizient [Pas] dynamische Viskositt [m/s] kinematischen Viskositt [-] Zeitmastabsfaktor [-] Kreiszahl [-] Druckverhltnis [kg/m] Dichte [W/mK4] Stefan-Boltzmann-Konstante, = 5,669710-8 [N/m] Kapillarspannung [Pa] Schubspannung [rad] Winkelgeschwindigkeit [-] Verlustbeiwert

vi ___________________________________________________________________ Indizes Gre auf die ungestrte Strmung bezogen 0 Gre auf Meeresniveau bezogen 0 Totalgre Diss dissipiert d Dampf F Fluid f feucht K Krper M Modell O Original p Druck R Reibung S Flchenschwerpunkt s isentrope Zustandsnderung t Totalgre trocken V Verlust W Wand Symbole Nabla-Operator Laplace-Operator proportional

Fluidmechanik Einleitung 1 ___________________________________________________________________ 1 Einleitung

1.1 Allgemeines Fluidmechanik ist die Wissenschaft von den Gesetzen der Bewegung und des Krftegleichgewichtes der ruhenden und bewegten Flssigkeiten (Hydrodynamik) und Gase (Thermodynamik, Gasdynamik, Aerodynamik). Sie ist ein Teilgebiet der Technischen Mechanik und somit Teil der angewandten Physik. Die genaue Bezeichnung dieser Wissenschaft lautet Mechanik flssiger Krper oder Fluidmechanik, wobei unter dem Begriff "flssiger Krper" dnnflssige, tropfbare Flssigkeiten und Gase zu verstehen sind. Da im Deutschen ein Oberbegriff fr tropfbare Flssigkeiten und Gase fehlt, hat man dafr nach DIN 5492 den Begriff "Fluid" bzw. Fluide vorgeschlagen. Im Englischen wird die Bezeichnung "fluid" als Oberbegriff fr Flssigkeiten und Gase, also ein nichtfestes Kontinuum, verwendet. Der Begriff "Strmungsmechanik", wird aus historischen Grnden sehr hufig parallel verwendet, umfasst jedoch streng genommen nicht die Wissenschaft von den Gesetzmigkeiten ruhender Flssigkeiten und Gase, d.h. der Hydrostatik bzw. Aerostatik. Verglichen mit der Massenpunktdynamik, die oft schon gute Einblicke in reale Vorgnge gibt, ist die Strmungslehre wesentlich komplexer. Das Momentanbild einer Planetenbewegung lsst sich z.B. durch die Koordinaten des Schwerpunktes S, dessen Geschwindigkeit w und Beschleunigung a darstellen oder durch das 3. Gesetz von Kepler:

Gl. 1-1: 231822

3

103634

sm,.constmTr S

Das Momentanbild der Umstrmung eines Krpers hingegen erfordert die Kenntnis der Geschwindigkeiten und Drcke nicht eines einzigen Massepunktes, sondern theoretisch unendlich vieler Punkte im Raum, aus denen das Druck- und Geschwindigkeitsfeld bestimmt wird. Abb. 1-1: Zum Vergleich Massenpunktdynamik Fluidmechanik

Das Versuchswesen nimmt in der Fluidmechanik eine weit wichtigere Rolle ein als in der Festkrpermechanik. In der Fluidmechanik stehen meist nicht so sehr die bewegten Teilchen als vielmehr die ruhenden oder gleichfrmig bewegten umstrmten Krper im Mittelpunkt des Interesses, z.B. Landfahrzeuge oder Luftfahrzeuge. Allerdings gewinnen numerische, also computergesttzte Verfahren (CFD computational fluid dynamics) zunehmend an Bedeutung. Simulation im Windkanal wird mehr und mehr durch Computer-Simulationen ergnzt.

Fluidmechanik Einleitung 2 ___________________________________________________________________

1.2 Historische Entwicklung Bis zum 17. Jahrhundert war die Strmungsmechanik durch eine ausschlielich experimentelle Arbeitsweise gekennzeichnet. Im 17.- 18. Jahrhundert setzte die Entwicklung der theoretischen Strmungsmechanik ein und erst seit ca. 1960, mit der Verfgbarkeit der ersten leistungsfhigen elektronischen Rechner begann die Entwicklung der numerischen Strmungsmechanik. Die drei Elemente Experiment, Theorie und CFD sind jedoch nicht als isolierte, getrennt einzusetzende Werkzeuge zu verstehen, sondern als sich gegenseitig ergnzende Verfahren. Wobei jedes einzelne Verfahren unterschiedliche Strken und Schwchen aufweist. Somit kann CFD als Bindeglied zwischen theoretischen und experimentellen Verfahren eingestuft werden. Abb. 1-2: CFD als Bindeglied zwischen Experiment und Theorie

Das Hauptaugenmerk fr viele Anwendungen liegt in der Regel in der Ermittlung der Druckverteilung an der Oberflche des umstrmten Krpers und den daraus resultierenden Krften und Momenten auf den Krper. Diese sind erforderlich zur Bestimmung der Auslegungslasten fr die Struktur und der Bestimmung der aerodynamischen Parameter, z.B. Auftrieb und Widerstand. Die Bedeutung der Fluidmechanik zeigt sich z.B. in der Vorausberechnung der Antriebsleistung fr Fahrzeuge Auslegung von Pumpen- und Kompressorleistungen fr in Rohrleitungen transportierte

Fluide im Maschinenbau und in der Verfahrenstechnik Bereitstellung der Grundlagen fr den Entwurf von Gleitlagern, Strmungsmaschinen

(Kreiselpumpen, Ventilatoren, Kompressoren, Dampf-, Gas- und Wasserturbinen) Dazu ist es jedoch hufig erforderlich das gesamte, den Krper beeinflussende Strmungs-feld zu kennen. Hier bieten sich neben einer reinen theoretischen Analyse oder einfachen Handbuchmethoden, unterschiedliche Vorgehensweisen an. Entweder die Durchfhrung von Modellversuchen im Wind- oder Wasserkanal oder eine numerische Analyse mit Hilfe von CFD-Methoden. Die Durchfhrung von Flug- oder Fahrversuchen ist naturgem erst in spteren Phasen des Entwicklungsprozesses mglich.

1.3 CFD als Entwurfswerkzeug Seit ca. 1970 wird CFD erfolgreich zur Berechnung zweidimensionaler Strmungen, z.B. bei Profilen eingesetzt. Als effizientes Entwurfswerkzeug zur Berechnung dreidimensionaler Strmungen entwickelte sich CFD seit ca. 1990. In Abb. 1-3 ist die Druckverteilung an der Oberflche eines Flugzeugs in Form von Isobaren, d.h. Linien gleichen Drucks, dargestellt.

Experiment Theorie

CFD


Abb. 1-3: Eulerrechnung zur cp Verteilung an einer F20 (M = 0,95, = 8), [ 1]

blicherweise wird hierbei nicht der statische Druck pW an der Wand, sondern die dimensionslose Form des Druckbeiwerts cp verwendet.

Gl. 1-2: 2

2

c

ppc Wp

Durch CFD-Verfahren lassen sich nicht nur die Strmungsverhltnisse an der Oberflche des Krpers bestimmen, sondern es erfolgt eine Berechnung des gesamten Strmungs-feldes in der Umgebung des Krpers. Somit lassen sich auch Wirbelstrukturen im Nahfeld des umstrmten Krpers darstellen. Fr die Flgelschnitte a-f sind in Abb. 1-4 Vergleiche zwischen den Ergebnissen aus numerischer Berechnung und experimentellen Ergebnissen aus dem Windkanal aufgetragen.


Abb. 1-4: Darstellung der Isobaren (cp-Verteilung), [ 1]


1.4 Strmungssimulation in Windkanlen Bei der Entwicklung von Fluggerten ist man bereits in einer sehr frhen Phase des Entwurfsprozesses auf eine mglichst genaue mathematische Beschreibung des aerodynamischen und flugmechanischen Verhaltens des Flugzeugs angewiesen. Dies ist erforderlich sowohl zur berprfung der projektierten Flugleistungen als auch zur Auslegung des Flugreglers. Trotz der zunehmenden Bedeutung von numerischen Entwurfswerkzeugen (CFD), stellt der experimentelle Ansatz, d.h. die Erstellung eines aerodynamischen Modells auf der Basis von Windkanaldaten, noch das grundlegende Entwurfswerkzeug dar. In der Regel ist es jedoch nicht mglich ein Flugzeug ber seinen gesamten Geschwindig-keitsbereich in Originalgre unter echten Flugbedingungen zu testen. Lediglich im Nieder-geschwindigkeitsbereich existieren einige Versuchsanlagen, die ber eine entsprechend groe Messstrecke verfgen um Flugzeuge im Originalmastab untersuchen zu knnen, z.B. NASA AMES 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal mit einer maximalen Strmungs-geschwindigkeit von 100 kts bzw. 51 m/s oder NASA AMES 40 x 80 ft mit einer maximalen Strmungsgeschwindigkeit von 300 kts bzw. 153 m/s.

Abb. 1-5: NASA Ames 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal

Aufgrund des mit der Geschwindigkeit quadratisch zunehmenden Energiebedarfs zur Aufrechterhaltung einer kontinuierlichen Umstrmung des zu untersuchenden Krpers, werden Windkanaluntersuchungen daher hufig an geometrisch hnlichen, jedoch mastblich verkleinerten Modellen durchgefhrt. Dabei spielt es prinzipiell keine Rolle ob das Modell sich durch die ruhende Luft bewegt oder ob ein Fluid sich um ein ruhendes Modell bewegt. Der erforderliche Energieaufwand zur Simulation einer transsonischen Strmung (0,8 < M < 1,2) wird an dem in Abb. 1-6 dargestellten Windkanalmodell eines Kampfflugzeugs im Mastab 1:15 deutlich. Die whrend des Versuchs kontinuierlich durchstrmte Messstrecke des Windkanals betrgt 2,4 m x 2,4 m. Zur Gewhrleistung dieser Versuchsbedingungen ist jedoch ein Leistungsbedarf von 70 MW abzudecken. Allein aus Kostengrnden sind Versuchsanlagen, die die Simulation von Strmungsfeldern um Luftfahrzeuge in Original-gre ermglichen wrden, in diesem Geschwindigkeitsbereich kaum zu realisieren.


Abb. 1-6: Eurofighter-Modell (Mastab 1:15), TWT CALSPAN Buffalo NY, USA

1.5 Gliederung der Fluidmechanik Fehler!

Abb. 1-7: Gliederung der Fluidmechanik

(Rheologie: Wissenschaft der nicht-NEWTONschen Fluide z.B. Zahnpasta, flssiger Beton)

Unterschall

Rheologie Fluidmechanik

Hydromechanik Mechanik der Gase

Hydro-statik

Hydro-dynamik

Hydraulik Aerostatik Aero-dynamik

Gas-dynamik

inkompressibel kompressibel

transsonisch berschall

Hyperschall Verdnnte Gase

Fluidmechanik Einleitung 7 ___________________________________________________________________ 1.6 Begriffsdefinitionen

1.6.1 Fluid Im Gegensatz zum Festkrper verformt sich ein Fluid unter dem Einfluss einer Schub-spannung stndig weiter.

Abb. 1-8: Verformung eines Fluids zu unterschiedlichen Zeitpunkten t0, t1 und t2

Weitere Annahme: Kontinuumshypothese, d.h. Masse ist stetig ber das Volumen verteilt

1.6.2 Stationre und instationre Strmung, quasistationre Strmung Zustandsgren im Strmungsfeld (Geschwindigkeit, Druck, Dichte, Temperatur) bleiben ber den betrachteten Zeitraum konstant (stationr) oder knnen sich zeitlich ndern (instationr). In Abhngigkeit von dem Beobachtungssystem knnen instationre Systeme in stationre Systeme berfhrt werden, die Verwendung eines mit dem Krper mitbewegtes Beobachtungssystem nimmt die Strmung als stationr war, z.B. flugzeugfestes Koordinatensystem. Sehr langsam ablaufende Vernderungen werden als quasistationr bezeichnet.

1.6.3 Stromlinie und Bahnkurve

Abb. 1-9: Stromlinie und Bahnkurve, [ 13]

Fluidmechanik Einleitung 8 ___________________________________________________________________ Die Bahnkurve beschreibt die Flugbahn, d.h. die Kurve auf der sich ein einziges Fluidteilchen bewegt. Optisch lsst sich die Bahnkurve z.B. durch die (farbliche) Markierung des zu beobachteten Teilchens und die Beobachtung ber einen lngeren Zeitraum t-2 < t < t2 vermessen. Die Stromlinie stellt eine Momentaufnahme des gesamten Strmungsfeldes dar. Optisch lsst sich die Stromlinie durch die (farbliche) Markierung mehrerer Teilchen und die Beobachtung ber einen sehr kurzen Zeitraum vermessen, z.B. durch die photographische Aufnahme des Strmungsfeldes mit einem einzigen Photo, jedoch einer Belichtungszeit, die so gewhlt wird, dass alle Teilchen einen sehr kurzen, aber dennoch sichtbaren Weg zurck-legen. Dieser zurckgelegte Weg erscheint aufgrund der endlichen Belichtungszeit als Strich auf der Aufnahme, der wiederum dem Geschwindigkeitsvektor der markierten Teilchen entspricht. Die Stromlinie ist somit die Kurve in einem Strmungsfeld, die zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 mit der Richtung der Geschwindigkeitsvektoren bereinstimmt, d.h. die Geschwindigkeitsvektoren der zu einer Stromlinie gehrenden Fluidteilchen bilden die Tangenten der Stromlinie.

1.6.4 Stromfaden und Stromrhre

Abb. 1-10: Stromfaden und Stromrhre

Stromfaden: Gesamtheit aller Stromlinien, die durch die Flche A1 verlaufen Stromrhre: Gesamtheit aller Stromlinien, die durch eine geschlossene Kurve K verlaufen

1.6.5 Ideale und Reale Fluide Ein Ideales Fluid wird durch zwei Eigenschaften gekennzeichnet: - Inkompressibilitt, d.h. die Dichte ist an jeder Stelle gleich - Reibungsfreiheit, d.h. es erfolgt keine Umwandlung mechanischer Energie durch Reibung in Wrme (vgl. auch Potentialstrmung) Bei realen Fluiden treten infolge der Reibung Schubspannungen in Strmungsrichtung auf, es erfolgt eine Umwandlung mechanischer Energie in Wrme, d.h. es wird Reibungs-

Fluidmechanik Einleitung 9 ___________________________________________________________________ arbeit verrichtet. Dies fhrt zur Ausbildung einer sog. Grenzschicht in Wandnhe fester Krper und Ablsungen der Grenzschicht im Nachlaufbereich.

1.7 Klassifizierung von Strmungen Strmungen lassen sich nach unterschiedlichen Kriterien klassifizieren - Unterscheidung entsprechend der Krpergeometrie, d.h. in zwei- oder dreidimensionale Strmungen - Unterscheidung nach der Strke des Kompressibilittseinflusses d.h. entsprechend der Anstrm-Machzahl - Reibungseffekte (Viskositt).

1.7.1 Einteilung von Strmungen als Funktion der Reibung Ein wesentliches Merkmal von realen Strmungen besteht darin, dass infolge der freien Bewegung der Molekle Masse, Impuls und Energie von einem Ort zu einem anderen Ort im Fluid transportiert werden knnen. Diese Molekularbewegung ist die physikalische Ursache fr die sog. Transportvorgnge, d.h. Massestrom, Reibung und Wrmebertragung. Reale, mit Reibungseffekten behaftete Strmungen werden als reibungsbehaftet oder viskos bezeichnet. Strmungen, bei denen der Einfluss der Transportphnomene als gering betrachtet werden kann, werden als reibungsfrei bezeichnet. Die Unterschiede zwischen reibungsfreier und reibungsbehafteter Strmung lassen sich am Beispiel unterschiedlicher Geschwindigkeitsprofile in der Grenzschicht darstellen Reibungsfreie Strmung Die Geschwindigkeit entspricht auch direkt an der Wand noch der Geschwindigkeit der freien Anstrmung c Reibungsbehaftete Strmung Die Geschwindigkeit nimmt an der Wand den Wert Null an (Haftungsbedingung). Abb. 1-11: Geschwindigkeitsprofile in reibungsfreier und reibungsbehafteter Strmung

Fr praktische Anwendungen lsst sich fr viele Bereiche das Strmungsfeld in einen reibungsbehafteten Anteil in der Nhe der Krperoberflche (Grenzschicht) und in einen reibungsfreien Anteil auerhalb der Grenzschicht aufteilen. Fr schlanke Krper oder Profile, die bei kleinen Anstellwinkeln angestrmt werden, lassen sich durch diese Vereinfachung Stromlinien und Druckverteilungen relativ gut berechnen.

c c


Abb. 1-12: Reibungsbehaftete Grenzschicht, reibungsfreie Auenstrmung

Ablsung bei reibungsbehafteter Strmung Wird der Anstellwinkel des in Abb. 1-12 skizzierten Profils erhht, so kann bei berschreiten eines Grenzwinkels die Strmung der Kontur nicht mehr weiter folgen und die Grenzschicht lst an der Oberseite des Profils ab und es bildet sich hinter der Ablsestelle ein Ablse- oder Totwassergebiet. Solch ein abgelstes Strmungsgebiet lsst sich nicht mehr als reibungsfreie Strmung vereinfachen. Eine hnliche Situation liegt z.B. hinter einem quer angestrmten Zylinder vor. Abb. 1-13: Strmungsablsung bei Kugel und Zylinder

1.7.2 Einteilung von Strmungen als Funktion der Kompressibilitt Strmungen fr die die Dichte als konstant angenommen werden kann, z.B. Flssigkeiten, werden als inkompressibel bezeichnet, Strmungen mit einer vernderlichen Dichte, z.B. Gase, werden als kompressibel bezeichnet. Die Annahme einer konstanten Dichte fr Flssigkeiten stellt lediglich eine (gute) Nherung dar, dies fhrt jedoch zu einer starken Vereinfachung in der Berechnung der Strmungsparameter. Obwohl Luft in der Realitt ein kompressibles Fluid darstellt, kann ohne nennenswerten Fehler bei kleineren Geschwindigkeiten, d.h. bis ca. M = 0,3 die Annahme einer konstanten Dichte getroffen werden. In Bodennhe (H = 0) entspricht dies einer Fluggeschwindigkeit von ca. c = 100 m/s bzw. 360 km/h, also dem Geschwindigkeitsbereich von Segelflugzeugen oder kleineren einmotorigen Sportflugzeugen. Unter der Annahme der Inkompressibilitt knnen die Strmungsbedingungen entlang einer Stromlinie somit mittels der Bernoulli-Gleichung ermittelt werden.

Gl. 1-3: .21 2 constcp

reibungsbehaftete Grenzschicht

reibungsfreie Auenstrmung

Strmungsablsung

Strmungsablsung

Totwassergebiet

Strmungsablsung

Fluidmechanik Einleitung 11 ___________________________________________________________________ Fr kompressible Strmungen liefert diese einfache Gleichung jedoch keine brauchbaren Ergebnisse mehr. Definition der Kompressibilitt Wird der Druck p an einem Volumenelement v um den Betrag dp erhht, so wird das Volumenelement v um den Betrag dv komprimiert. Die Kompressibilitt wird beschrieben durch

Gl. 1-4: dpdv

v

1

Die Kompressibilitt stellt eine Stoffgre dar und betrgt z.B. fr Wasser T = 510-10 m/N und fr Luft T = 510-5 m/N bei p = 1 bar. Mit dem spezifischen Volumen v

Gl. 1-5: 1

mVv

ergibt sich fr die Kompressibilitt

Gl. 1-6: dpd

1

d.h. eine nderung des Drucks dp bewirkt in Abhngigkeit von der Gre der Kompressibilitt eine nderung der Dichte d

Gl. 1-7: dpd

Als Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strmung ist es blich eine relative Dichtenderung von 05.0d anzusetzen.

1.7.3 Einteilung von Strmungen als Funktion der Machzahl Stromlinien kennzeichnen die Tangenten an die lokalen Geschwindigkeitsvektoren im Strmungsfeld. Jedem Punkt in dem Strmungsfeld knnen die Gren Druck p, Temperatur T, Dichte und Geschwindigkeit V zugeordnet werden. Zustzlich kann jedem Punkt noch die lokale Schallgeschwindigkeit c zugeordnet werden. Somit ergibt sich analog zur Definition der Machzahl M der freien Anstrmung, also die Strmungsgeschwindigkeit c bezogen auf die Schallgeschwindigkeit a

Gl. 1-8:

a

cM

die Definition der lokalen Machzahl M im Strmungsfeld

Gl. 1-9: acM

Unterschallstrmung Die reine Unterschallstrmung ist dadurch gekennzeichnet, dass im gesamten Strmungsfeld fr die lokale Machzahl M 1 gilt. Ein wichtiges Kriterium der reinen Unterschallstrmung besteht darin, dass sich Drucknderungen auch entgegen der Strmungsrichtung ausbreiten knnen.

Fluidmechanik Einleitung 12 ___________________________________________________________________ Transsonische Strmung Bei einem transsonischen Strmungsfeld knnen Unterschall- (M < 1) und lokale berschallstrmung (M 1) im betrachteten Strmungsgebiet gleichzeitig auftreten, z.B. infolge von bergeschwindigkeiten am Tragflgel bei einer freien Anstrmmachzahl von M 1. Die Grenze fr das erste Auftreten von berschallgebieten ist abhngig von den verwendeten Profilen und liegt bei heute blichen Transsonikprofilen bei ca. M = 0,8, kann jedoch bei entsprechend dicken Profilen bereits bei M = 0,65 liegen. Whrend die Beschleunigung vom Unterschall zum berschall in einem stetigen Prozess verluft, erfolgt die Verzgerung vom berschall zurck zum Unterschall in einem unstetigen Prozess, gekennzeichnet durch einen Verdichtungssto. Kennzeichen eines transsonischen Strmungsgebiets ist somit das gleichzeitige Vorliegen von Unterschall- als auch berschallgebieten, z.B. hinter einem abgelsten Sto an der Profilnase. Generell wird der Machzahlbereich 0,8 M 1,2 als Transsonikbereich bezeichnet. Abb. 1-14: Verdichtungsste und kritische Machzahl an einem Profil, [ 5], [ 8]

Bedeutung der kritischen Machzahl als kennzeichnende Gre der Kompressibilitt Infolge des lokalen Auftretens von berschallgebieten bilden sich lokale Verdichtungsste, die stromabwrts zu sto-induzierten Ablsungen, verbunden mit einer starken Zunahme des Druck- bzw. Formwiderstands fhren.

Abb. 1-15: Widerstandsanstieg bei berschreiten der kritischen Machzahl, [ 2]


Abb. 1-16: Schlierenaufnahme eines Projektils: Ernst Mach 1888, [ 14]

berschallstrmung Das Kennzeichen der reinen berschallstrmung besteht darin, dass im gesamten Strmungsfeld fr die lokale Machzahl M 1 gilt. Ein weiteres wichtiges Kriterium der reinen berschallstrmung besteht darin, dass sich Drucknderungen nicht mehr entgegen der Strmungsrichtung, sondern nur noch stromabwrts auswirken knnen.

Abb. 1-17: Machscher Kegel in einer berschallstrmung, [ 5], [ 8]

Hyperschallstrmung Auch fr den bergang von der berschall- zur Hyperschallstrmung existiert keine scharf definierte Grenze. Eingebrgert hat sich eine Machzahl der freien Anstrmung von M 4,5 - 5. Charakteristische Eigenschaften einer Hyperschallstrmung sind die eng an der Krper-oberflche anliegen Ste und die infolge der starken Temperaturerhhung hinter dem Verdichtungssto auftretenden chemischen Prozesse, d.h. Dissoziation mit spterer Rekombination sowie die Bildung von Plasma. In diesem Geschwindigkeitsbereich lsst sich die Annahme, Luft als ideales Gas zu betrachten, nicht lnger aufrechterhalten.

M1sin


Abb. 1-18: Verdichtungssto an einer Rampe bei M = 36

Abb. 1-19: Modell des Raumtransporters Snger mit Oberstufe Horus, H2K DLR Kln

Bedingt durch das hohe Temperaturniveau treten in Hyperschallstrmungen zwei Gruppen von chemisch-physikalischen Phnomen auf. Zum einen werden mit zunehmender Temperatur die inneren Freiheitsgrade der Molekle angeregt, Dissoziations- und Ionisationseffekte treten auf und zum anderen kommt es zu chemischen Wechselwirkungen zwischen der Grenzschicht und der Oberflche des Flugkrpers. Die Katalyzitt der Oberflche bildet bei wiederverwendbaren Systemen, z.B. Space Shuttle, eine schwer zu quantifizierende Gre, da sich die Katalyzitt des Thermalschutzsystems mit zunehmender Anzahl der Flge erhht.

Abb. 1-20: Space Shuttle (Rockwell) und chemische Reaktion beim Wiedereintritt, [ 9]

Fluidmechanik Einleitung 15 ___________________________________________________________________ Die Abweichung des Verhaltens von Luft vom dem Verhalten eines idealen Gases, das sich im chemischen Gleichgewicht befindet ist in Abb. 1-21 dargestellt. Berechnet wurden die Staupunkttemperaturen bei unterschiedlichen Wiedereintrittsgeschwindigkeiten in einer Hhe von H = 52 km.

Abb. 1-21: Staupunkttemperaturen und chemische Reaktionen von Luft, [ 3]

Abb. 1-22: Verhalten von Luft im Vergleich zu dem Verhalten des idealen Gases:

ideales Gas:

TRvp

Fluidmechanik Einleitung 16 ___________________________________________________________________ Strmung verdnnter Gase Alle bisherigen Betrachtungen gingen von der Strmung als Kontinuum aus. Insbesondere in groer Hhe, d.h. ab ca. 70 km, lsst sich diese Annahme nicht lnger aufrechterhalten. Die Strmung stellt sich als freie Moleklstrmung dar, die dadurch gekennzeichnet ist, dass aufgrund der geringen Dichte fast keine Kollisionen mehr zwischen den einzelnen Moleklen stattfinden. Kontinuumstrmung Bei einer Kontinuumstrmung sind noch gengend Moleklkollisionen mglich um alle chemischen Reaktionen nach einem Verdichtungssto wieder in ein Gleichgewicht zu bringen. Sinkt die Anzahl der Kollisionen unter eine kritische Grenze, so befindet sich die Strmung in einem chemischen Nicht-Gleichgewicht. Zur Unterscheidung der unterschiedlichen Strmungsbereiche bei der Betrachtung verdnnter Gase, lsst sich die Knudsen-Zahl Kn einfhren, die das Verhltnis der mittleren freien Weglnge der Molekle zu einer charakteristischen Lnge lref des umstrmten Krpers beschreibt. Die mittlere freie Weglnge ergibt sich zu

Gl. 1-10: Tk

m

2

und die Knudsenzahl Kn

Gl. 1-11: refl

Kn

In Abhngigkeit von der Knudsen-Zahl lassen sich bei verdnnten Gasen drei unter-schiedliche Strmungsbereiche unterscheiden: - Kn 10-2 : Es liegt eine Kontinuumstrmung vor. - 10-2 Kn 5:

Die Strmung beginnt vom Kontinuumsverhalten abzuweichen, d.h. Stowellen weisen eine endliche Dicke auf und in der Grenzschicht kommt es zu Gleitstrmungen, d.h. hnlich wie im theoretisch reibungsfreien Fall, wird an der Wand die Geschwindigkeit in der Grenzschicht nicht zu Null. Stowelle und Grenzschicht fallen zusammen.

- Kn 5:

Es liegt eine freie Moleklstrmung, es kommt kaum noch zu Moleklkollisionen, Stowellen und Grenzschichten sind nicht mehr eindeutig definiert.


1.7.4 Zusammenfassung der einzelnen Geschwindigkeitsbereiche

Abb. 1-23: Stromlinien und Mach-Linien als Funktion der Machzahl

1.8 Einteilung der Fluide nach Flieverhalten

Unterschall Transsonikbereich Transsonikbereich berschall Hyperschall

.constdzdc

.constdzdc

dzdc

c

c Das Ziehen einer Platte mit konstanter Geschwindigkeit c

ber ein Fluid in einem konstanten Abstand z zur Wand erfordert eine Zugkraft F, die ein Ma fr die Verschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander dar-stellt. Der Proportionalittsfaktor wird als dynamische Viskositt bezeichnet. Scherspannung

Gl. 1-12: dzdc

Scherkraft

Gl. 1-13: dzdcAF

Abb. 1-24: Unterscheidung von Fluiden nach Flieverhalten

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 18 ___________________________________________________________________ 2 Hydrostatik

2.1 Grundlagen

2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flssigkeiten und Gase Zustandsgren beschreiben den thermodynamischen Zustand eines Stoffes, z.B. durch Druck p, Temperatur T und Dichte bzw. spez. Volumen 1v . Thermodynamische Zustandsgren fr Reinstoffe, (z.B. H2O) knnen in Abhngigkeit von zwei Zustandsgren beschrieben werden, z.B. durch Tpvv , , vpTT , und Tvpp , . Im thermodynamischen Gleichgewicht knnen nicht beliebig viele Phasen gleichzeitig vorliegen. Fr Fluide (Flssigkeiten und Gase) sind zwei Zustandsgren zur Bestimmung des Gleichgewichtszustands entsprechend der Gibbs'sche Phasenregel ausreichend

Gl. 2-1: PKf 2

f Anzahl der Freiheitsgrade K Anzahl der Systemkomponenten P Anzahl der Phasen

Zustandsgren sind ber Zustandsgleichungen miteinander gekoppelt, z.B. ber die Zustandsgleichung des idealen Gases (ideale Gasgleichung)

Gl. 2-2: TRvp

bzw. ber die kalorischen Zustandsgleichungen

Gl. 2-3: .constp

p dTdhc

Gl. 2-4: .constv

v dTduc

Abb. 2-1: Zustandsdiagramm eines generischen Stoffes

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 19 ___________________________________________________________________ 2.1.2 Kompressibilitt von Gasen und Flssigkeiten Generell ist die Dichte ist eine Funktion von Druck und Temperatur, d.h. es gilt Tp, , dies gilt fr alle Stoffe, d.h. Gase als auch Flssigkeiten und Festkrper. Definition der Kompressibilitt Betrachtet man ein kleines Volumenelement v, so wirkt an allen Seiten der Druck p. Wird der Druck p um den Betrag dp erhht, so wird das Volumenelement v um den Betrag dv komprimiert. Die Kompressibilitt wird beschrieben durch

Gl. 2-5: dpdv

v

1

In Abhngigkeit von der bei der Kompression ber die Systemgrenze bertragenen Wrmemenge ndert sich jedoch die Gastemperatur. Unter der Annahme einer Kompression bei konstanter Temperatur, lsst sich die isotherme Kompressibilitt definieren als

Gl. 2-6: T

T pv

v

1

Nimmt man jedoch einen Kompressionsproze an, bei dem keine Wrme ber die Systemgrenze bertragen wird (adiabate Zustandsnderung) und bei dem Reibungseffekte vernachlssigt werden (isentrope Zustandsnderung), so lsst sich die isentrope Kompressibilitt definieren als

Gl. 2-7: s

s pv

v

1

Die Kompressibilitt stellt eine Stoffgre dar und betrgt z.B. fr Wasser T = 510-10 m/N und fr Luft T = 510-5 m/N bei p = 1 bar. Mit der Definition des spezifischen Volumens v

Gl. 2-8: 1

v

ergibt sich fr die Kompressibilitt

Gl. 2-9: dpd

1

d.h. eine nderung des Drucks dp bewirkt in Abhngigkeit von der Gre der Kompressibilitt eine nderung der Dichte d

Gl. 2-10: dpd

Als Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strmung ist es blich eine relative Dichtenderung von 05.0d anzusetzen. Strmungen, fr die die Dichte als konstant angenommen werden kann, z.B. Flssigkeiten, werden als inkompressibel bezeichnet und bilden den Schwerpunkt der Vorlesung Fluidmechanik bzw. technische Strmungsmechanik. Strmungen mit einer vernderlichen Dichte, z.B. Gase, werden als kompressibel bezeichnet und werden hier nicht eingehend behandelt. Eine ausfhrliche Diskussion dichtevernderlicher Fluide findet sich jedoch in der Vorlesung Aerodynamik, unter dem Kapitel Gasdynamik. Wie spter noch gezeigt wird, fhrt die Annahme einer konstanten Dichte zu einer starken Vereinfachung in der Berechnung der Strmungsparameter.

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 20 ___________________________________________________________________ Vereinfachung fr Gase Obwohl Luft in der Realitt ein kompressibles Fluid darstellt, kann ohne nennenswerten Fehler bei kleineren Geschwindigkeiten, d.h. bis ca. M = 0,3 die Annahme = const. getroffen werden. In Bodennhe (H = 0, p = 1013 hPa) entspricht dies einer Strmungs-geschwindigkeit bzw. Fluggeschwindigkeit von ca. c = 100 m/s bzw. 360 km/h, also dem Geschwindigkeitsbereich von schnellen Landfahrzeugen, Segelflugzeugen oder kleineren einmotorigen Sportflugzeugen. Unter der Annahme einer konstanten Dichte knnen die Strmungsbedingungen entlang einer Stromlinie somit mittels der Bernoulli-Gleichung ermittelt werden:

Gl. 2-11: .21 2 constcp

Fr kompressible Strmungen liefert diese einfache Gleichung jedoch keine brauchbaren Ergebnisse mehr

2.1.3 Druckeinheiten Generell sind fr Drcke die Einheit Pa zu verwenden, insbesondere in der Meteorologie ist jedoch die Einheit hPa = 100 Pa blich, da dies der lteren Bezeichnung mbar entspricht.

Einheit Multiplikationsfaktor SI - Einheit Pa = N/m 1 Pa hPa = mbar 102 Pa MPa 106 Pa bar 105 Pa atm 1,01325105 Pa mm Wassersule = mm WS 9,80665 Pa mm Quecksilber = mm Hg = Torr (760 mmHg = 1 atm)

133,32 Pa

psi = lb/in (1 in = 25.4 mm) 6894,757 Pa psf = lb/ft (1 ft = 12 in = 0,3048 m) 47,88 = 6894,757/144 Pa

Tab. 2-1: Druckeinheiten

2.1.4 Hydrostatischer Druck Druck ist eine ungerichtete Gre, d.h. das Druckfeld stellt ein Skalarfeld dar. Im Gegensatz zu einem Vektorfeld, z.B. einem Geschwindigkeitsfeld. Die resultierende Druckkraft wirkt immer senkrecht auf die Oberflche. Abb. 2-2: Krftebilanz an einer Flssigkeitssule

FG

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 21 ___________________________________________________________________ Fr das Krftegleichgewicht an einer Flssigkeitssule in z-Richtung gilt:

Gl. 2-12: 0,, uDGoD FFF

Gl. 2-13: 00 ApgAhAp

Gl. 2-14: 00 pghp

Fr den statischen Druck p in der Tiefe h folgt fr = const.:

Gl. 2-15: ghpp 0

Dies ist das sog. hydrostatische bzw. fluidstatische Grundgesetz _________________________________________________________________________ b. 2-1: Berechnung des Drucks am Boden in einem nach oben offenen, mit Wasser

gefllten Behlters geg.: T = 12 C (Wassertemperatur h = 10 m (Fllhhe) p0 = 1 bar (Luftdruck) _________________________________________________________________________

2.1.5 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon Gem dem fluidstatischen Grundgesetz ghpp 0 bestimmt sich der Druck ber die Hhe h der darber befindlichen Flssigkeitssule

Kraft auf den Boden eines Gefes wird ausschlielich von der Hhe der darber befindlichen Flssigkeitssule und nicht von der Form des Gefes bestimmt

Gleiche Grundflche A bedeutet gleiche Kraft F, d.h. ApF

Abb. 2-3: Pascalsches Paradoxon

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 22 ___________________________________________________________________

2.1.6 Verbundene Gefe (kommunizierende Rhren) Fr ein System aus verbundenen Gefen oder Rhren folgt aus der Gleichgewichts-bedingung der Krfte in z-Richtung: Ist das System mit einer Flssigkeit gleicher Dichte befllt, so befinden sich die

Oberflchen auf gleicher Hhe Ist das System mit zwei sich nicht mischenden Flssigkeiten unterschiedlicher Dichte

gefllt, so ergeben sich unterschiedliche Spiegelhhen z1 und z2

Abb. 2-4: Kommunizierende Gefe

Die Druckbilanz auf der linken Seite (1-1) ergibt

Gl. 2-16: ghghpp b 20111

Fr die rechte Seite (2-2) folgt

Gl. 2-17: ghghpp b 20222

wegen 21 pp folgt daraus

Gl. 2-18: ghghpghghp bb 20222011

Gl. 2-19: 2

1

1

2

hh

Fr ein System, das mit einer Flssigkeit gleicher Dichte befllt ist, d.h. 21 folgt daraus

Gl. 2-20: 21 hh

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 23 ___________________________________________________________________ Aus dem Prinzip der kommunizierenden Gefe lsst sich das Arbeitsprinzip einer hydraulischen Presse ableiten

Abb. 2-5: Hydraulische Presse

Die Krftebilanz am Kolben (1) ergibt

Gl. 2-21: 11011 FApAp 1

101 A

Fpp

Die Krftebilanz am Kolben (2) ergibt

Gl. 2-22: 22022 FApAp 2

202 A

Fpp

mit dem hydrostatisches Grundgesetz hgzzgpp 2112 folgt

Gl. 2-23: hgAFp

AFp

1

10

2

20

Gl. 2-24: hgAF

AF

1

1

2

2

Aufgrund der hohen Drcke in Hydrauliksystemen kann der hydrostatische Druckanteil hg hufig vernachlssigt werden.

_________________________________________________________________________ b. 2-2: Hydraulische Presse mit reibungs- und gewichtsfreien Kolben

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 24 ___________________________________________________________________ 1. Welche Kraft F1 ist am Kolben (1) aufzuwenden, um die Masse m = 2000 kg mit dem Kolben (2) anzuheben? 2. Wie gro ist der Druck p2 am Boden des Kolben (2) 3. Wie gro ist der Fehler bei Anwendung der Nherungslsung? _________________________________________________________________________

2.1.7 Saugwirkung Das Arbeitsprinzip einer Saugpumpe leitet sich aus dem fluidstatischen Grundgesetz

ghpp 0 und dem Prinzip kommunizierender Rhren ab

Abb. 2-6: Saugpumpe

Druckbilanz in der Ansaugstrecke (1-1)

Gl. 2-25: ghHpp SabsS ,1 Druckbilanz fr die offene Seite (2-2)

Gl. 2-26: ghpp b 2

wegen 21 pp folgt

Gl. 2-27: bSabsS pgHp ,

Daraus ergibt sich fr die Ansaughhe

Gl. 2-28: g

pg

ppH uSabsSbS

,,

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 25 ___________________________________________________________________ Maximale Ansaughhe Die maximale Ansaughhe wird begrenzt durch den Dampfdruck der angesaugten Flssigkeit. Bei Unterschreiten des temperaturabhngigen Dampfdrucks geht die angesaugte Flssigkeit von der flssigen in die gasfrmige Phase ber. Der erzielbare Saugdruck pS,abs, der die maximale Ansaughhe definiert, wird also begrenzt von dem Dampfdruck pDa der Flssigkeit und dem herrschenden Luftdruck pb .

Abb. 2-7: Dampfdruckkurve HDa = f(T) von Wasser

Die Bedingung zur Erzielung der maximalen Ansaughhe lautet: Saugdruck > Dampfdruck, d.h. DaabsS pp , Die maximale, theoretische Ansaughhe ergibt sich bei DaabsS pp ,

Gl. 2-29: DabDabDab

thS HHgp

gp

gppH

,

Die tatschliche Ansaughhe HS liegt jedoch immer etwas unter der theoretisch maximalen Hhe HS,th d.h. thSS HH ,


b. 2-3: Berechnung der Ansaughhe einer Pumpe

TemperaturT [C]

Dichte [kg/m]

DampfdruckpDa [bar]

DampfdruckhheHDa [mWS]

0 999,8 0,006 0,065 1000,0 0,009 0,09

10 999,6 0,012 0,1220 998,2 0,024 0,2430 995,6 0,042 0,4340 992,2 0,074 0,7550 988,0 0,123 1,2560 983,2 0,198 2,0270 977,7 0,311 3,1780 971,3 0,473 4,8290 965,3 0,700 7,14

100 958,3 1,013 10,33

Tab. 2-2: Dampfdruckkurve HDa = f(T) von Wasser

Temperatur T = 20C Luftdruck pb 1 bar = 105 Pa _________________________________________________________________________

2.1.8 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes) Erstes dokumentiertes historisches Beispiel fr ein zerstrungsfreies Prfverfahren: berprfung des Goldanteils in der Krone des Knig Hieron II von Syrakus Abb. 2-8: Archimedes (285 212 BC)

Die scheinbare Gewichtsreduzierung eines in ein Fluid eingetauchten Krpers wird als statischer Auftrieb bezeichnet. Die Ursache besteht in der Druckdifferenz an Ober- und Unterseite des eingetauchten Krpers.

?

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 27 ___________________________________________________________________ Abb. 2-9: Statischer Auftrieb

Die Krftebilanz in horizontaler Richtung ergibt Null, da die Drcke in gleicher Tiefe identisch sind. Die Krftebilanz in vertikaler Richtung auf die Projektionsflche dA eines zylindrischen Elements ergibt

Gl. 2-30: dAgzpdF F 101 (Oberseite) Gl. 2-31: dAgzpdF F 202 (Unterseite) Die Auftriebskraftkraft dFA lautet

Gl. 2-32: dAgzzdFdFdF FA 1212 Die Gewichtskraft des Krpers dFK lautet

Gl. 2-33: dAgzzdF KK 12 Der archimedische Auftrieb ergibt sich aus der Integration der Krfte dFA ber das gesamte Krpervolumen VF

Gl. 2-34: FFV

FFA VgdVgFF

Resultierende Gesamtkraft = Gewicht des verdrngten Fluids - Gewicht des Krpers

Gl. 2-35: KFdV

K

dV

FKA dmdmgdAzzgdAzzgdFdFdFKF

1212

Die Integration der Krfte dF ber das gesamte Krpervolumen V ergibt

Gl. 2-36: 0!

KFKKFF

VKK

VFF mmgVVgdVdVgF

KF


b. 2-4: Um wieviel steigt der Meeresspiegel, wenn das arktische Eis abtaut?

geg.:

3920 mkgEis 31025 mkgMeerwasser

_________________________________________________________________________

2.1.9 Oberflchenspannung und Kapillarwirkung

2.1.9.1 Teilchenkrfte Teilchenkrfte bilden den Sammelbegriff fr Masseanziehungskrfte bei Moleklen und Atomen. Festkrper bilden eine Gitterstruktur mit sehr groen Molekularkrften. Fluide weisen im Gegensatz zu Festkrpern keine Gitterstruktur auf, wodurch die Molekularkrfte deutlich geringer sind als bei Festkrpern. Dies fhrt zu einer leichteren Verschiebbarkeit der Teilchen innerhalb von Fluiden im Vergleich zu Festkrpern. Teilchenkrfte bestimmen die Form der freien Oberflche eines Fluids. Unterschieden wird zwischen Kohsionskrften, d.h. Krfte zwischen gleichartigen Teilchen in der gleichen Phase und Adhsionskrften, d.h. Krfte zwischen verschiedenartigen Teilchen in unterschiedlichen Phasen.

2.1.9.2 Begriffsdefinitionen Adhsion: Wirkung zwischen fester/fester und fester/flssiger Phase Adsorption: Wirkung zwischen fester/gasfrmiger Phase; es erfolgt eine Anlagerung von

Gasen oder Dmpfen an der Oberflche fester Krper Absorption: Aufnahme von Gasen oder Dmpfen in Flssigkeiten oder Feststoffen Mit dem Begriff der Absorption eng verbunden ist das Henry-Gesetz1 , welches besagt: Die in Flssigkeiten gelste Gasmenge nimmt mit steigendem Druck und/oder sinkender Temperatur zu. Dieser Zusammenhang lsst sich hufig bei lang anhaltenden Hochtemperaturperioden im Sommer an Gewssern beobachten, wenn infolge der ansteigenden Wassertemperatur der Sauerstoffgehalt im Wasser abnimmt und dadurch ein Fischsterben ausgelst wird.

1 engl. Physiker u. Chemiker (1774 - 1836)


2.1.9.3 Grenzflchenspannung

Randwinkel Kohsion (Wasser/Glas) Randwinkel >90: Kohsion > Adhsion (Quecksilber/Glas) Abb. 2-10: Grenzflchenkrfte

Teilchenkrfte treten an den Trennflchen verschiedener Stoffe oder Phasen in Erscheinung und bilden sog. Grenzflchenkrfte. Molekle in der Grenzschicht erfahren durch Kohsionskrfte eine resultierende Kraft F nach innen und die Grenzflche wirkt wie eine dnne Membran (Bsp. Wasserlufer; Eigengewicht ist kleiner als die Oberflchenspannung) Benetzungsformen - Gas/Gas: Keine Grenzflchen infolge Durchmischung, keine Grenzflchenkrfte - Gas/Flssigkeit: Kohsionskrfte der Flssigkeit sind dominierend, Kapillarspannung - Gas/Festkrper: Festkrper bestimmt alleine durch seine Form die Grenzflche - Flssigkeit/Festkrper: (1) Kohsion > Adhsion (Randwinkel >90) nichtbenetzendes Fluid

(hydrophob), zusammengezogene, kugelfrmige Oberflche (2) Kohsion < Adhsion (Randwinkel

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 30 ___________________________________________________________________ Tropfengre und Dosierung Insbesondere bei medizinischen Anwendungen wird hufig eine mittlere Trpfchengre zur Dosierung von Medikamenten verwendet. Die Tropfengre selbst wird durch Dichte und Oberflchenspannung der Fluide bestimmt. Zur Bestimmung der Tropfengre knnen unterschiedliche Verfahren, wie z.B. Stalagmometer, Kapillar- oder Ringmethode verwendet werden.

2.1.9.4 Kapillaritt

Grenzflchenspannung bzw. Kapillarspannung Die intermolekularen Anziehungskrfte heben sich, mit Ausnahme einer dnnen Schicht (

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 31 ___________________________________________________________________ Kapillarwirkung

Abb. 2-13: Kapillarwirkung

Kapillaraszension (z.B. Wasser im Glasrohr) Die Steighhe eines Fluids in einem Rohr ergibt sich aus Krftegleichgewicht zwischen Adhsionskrften und dem Gewicht der angehobenen Flssigkeit. Kapillardepression (z.B. Quecksilber im Glasrohr) Der abgesenkte Spiegel ergibt sich aus Krftegleichgewicht zwischen Adhsionskrften und dem Gewicht der abgesenkten Flssigkeit Tab. 2-3: Randwinkel fr unterschiedliche Materialpaarungen

Der Zusammenhang zwischen Randwinkel und Krmmungsradius ergibt sich aus

Gl. 2-42: W

KRrcos

Anhebung bzw. Absenkung zK ergibt sich aus dem Krmmungsdruck pK

Gl. 2-43: gzp FKK

Anhebung bzw. Absenkung zK

Gl. 2-44: gDrg

zF

W

KFK

cos42 D = Rohrdurchmesser

Gewichtskraft = Kapillarkraft

Gl. 2-45: DgzD F4

2

mittlere Anhebung bzw. Absenkung z

Stoffpaarung Randwinkel W [grd]Wasser oder thylalkohol/Glas 0 Alkohol/Plexiglas < 10 Wasser/Plexiglas 80 Quecksilber/Glas 140 Wasser/Lotusblatt 160


Gl. 2-46: gD

zF

4

Fluide (T = 20C) [N/m] Luft - Quecksilber Wasser Ethanol Ethylether l

0,470 0,073 0,025 0,016 0,028

Wasser - Quecksilber l Ethanol

0,380 0,020 0,002

Tab. 2-4: Kapillarspannungen

Abb. 2-14: Mittler Kapillarsteighhen z

2.1.9.5 Bestimmung der Oberflchenspannung Tropfenmethode (Stalagmometer) Fliet eine Flssigkeit langsam aus einer Kapillare bilden sich bei konstanter Temperatur Tropfen gleicher Gre. Die Oberflchenspannung ist der Dichte der Flssigkeit direkt und der Anzahl n der Tropfen umgekehrt proportional. Ein Stalagmometer besitzt zwischen zwei Eichmarken ein bestimmtes Volumen. Die Kalibrierung des Gerts erfolgt anhand einer Flssigkeit mit bekannter Oberflchenspannung (z. B. Wasser).

Abb. 2-15: Stalagmometer

_________________________________________________________________________

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 33 ___________________________________________________________________ b. 2-5: Bestimmung der Oberflchenspannung von 2-Methylpropanol

Aus einem Stalagmometer flossen bei T = 20C n = 405 Tropfen 2-Methylpropanol aus. Die Dichte der Flssigkeit betrug = 0,9477 g/cm3. Wie gro ist ihre Oberflchenspannung , wenn mit dem gleichen Gert n(H2O) = 137 Tropfen Wasser von 20C gezhlt wurden? _________________________________________________________________________ Kapillarmethode

Fr eine Glaskapillare mit dem Radius r, in der eine Flssigkeit aufsteigt gilt: Gewichtskraft der Flssigkeitssule = Tragkraft durch die Oberflchenspannung Abb. 2-16: Kapillarmethode

Gl. 2-47: rghr 22

Gl. 2-48: 12

mNghr

_________________________________________________________________________ b. 2-6: Bestimmung der Oberflchenspannung von Wasser bei 18C

Berechnung des Radius r der Kapillare mittels einer eingewogenen Quecksilbersule geg.: T = 18C (Temperatur) mHg = 1,297 g (Einwaage an Quecksilber in der Kapillare) lHg = 5,40 cm (Fadenlnge des Quecksilbers in der Kapillare) Hg = 13,595 g/cm3 = 13,95103 kg/m (Dichte)

hH2O = 19,85 mm (Mittelwert fr die Hhe der Wassersule) _________________________________________________________________________ Ring- oder Bgelmethode Ein Aluminiumring mit einer scharfen Schneide wird ber drei Fden an einem Kraftmesser befestigt. Beim Herausziehen aus dem Fluid hebt die Schneide eine dnne ringfrmige Flssigkeitsschicht aus der Wasseroberflche.


Messwerte F1 = Gewichtskraft des Ringes in Luft F2 = Gewichtskraft vor dem Abreien r = Radius des Ringes Oberflchenspannung

Gl. 2-49: 2212

r

FF

Abb. 2-17: Ringmethode

Der Faktor 2 in Gl. 2-49 im Nenner ergibt sich aus der Kapillarspannung an den Berhrungs-linien oben am Ringrand/Flssigkeit und unten an Flssigkeit/Flssigkeit. _________________________________________________________________________ b. 2-7: Bestimmung der Oberflchenspannung von H2O mittels Ringmethode

T = 25C m = 4,910 g (Masse des Ringes) F2 = 7,51210-2 N (Zugkraft vor dem Abreien) d = 60 mm (Durchmesser des Ringes)

_________________________________________________________________________

2.1.10 Viskositt Definition nach DIN 1342 Eigenschaft fliefhigen Systems bei der Verformung eine mechanische Spannung aufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit abhngt, bzw. Schub- oder Tangentialspannung ist die Ursache fr die im Fluid hervorgerufene Verformungs-geschwindigkeit. Viskositt ist eine Stoffgre und stellt ein Ma fr die Verschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander dar. Newton'sches Fluidreibungsgesetz Herleitung ber Plattenzugversuch: Zwischen ruhender und bewegter Wandflche bildet sich ein Geschwindigkeitsgeflle, das bei kleinen Schichtdicken linearisiert werden kann.

Gl. 2-50: dzdcAF x

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 35 ___________________________________________________________________ Tangentialspannung (auch: Scher- oder Schubspannung)

Abb. 2-18: Plattenzugversuch

Die Scherkraft F bezogen auf die Plattenflche A ergibt Tangentialspannung

Gl. 2-51: dzdc

AF x

Der Gradient dzdcD x wird auch als Schergeflle bezeichnet. Reibungsverhalten verschiedener Fluide

Abb. 2-19: Reibungsverhalten verschiedener Fluide

Newton'sche Fluide Bezeichnung fr alle Fluide, die sich entsprechend dem Newton'schen Fluidreibungsgesetz verhalten, d.h. einen konstanten Proportionalittsfaktor (= dynamische Viskositt) auf-weisen. Fluide mit dilatantem (= dehnbarem) Verhalten Die Scherspannung, d.h. Viskositt steigt progressiv mit wachsendem Schergeschwindig-keitsgeflle, z.B. bei Klebstoffen oder nassem Sand. Bei geringen Schergeschwindigkeiten wirkt das Wasser im Sand als Gleitmittel, bei einer Erhhung der Geschwindigkeit reit der Wasserschmierfilm ab und Sand reibt gegen Sand, wodurch die Scherspannung ansteigt.

Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 36 ___________________________________________________________________ Pseudoplastisches (strukturviskoses) Verhalten Die Scherspannung steigt degressiv mit wachsender Schergeschwindigkeit, z.B. in Schmelzen, Dispersionen mit lnglichen Partikeln, die zuerst ineinander verhakt sind und sich mit zunehmender Scherbewegung ausrichten, wodurch der Widerstand nachlsst. Plastisches Verhalten (Bingham-Fluide) Bis zum Erreichen eines Schwellwertes entspricht das Verhalten dem eines Festkrpers, bei berschreiten der charakteristischen Scherspannung beginnt der Stoff, hnlich einem Newton'schen Fluid zu flieen, z.B. Honig, Wachs, Teer, Fette.

Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 37 ___________________________________________________________________

2.2 Druckmessung

2.2.1 Druckbegriffe

Abb. 2-20: Druckdefinitionen

Die Zustandsgre Druck ist immer auf ein Referenzniveau bzw. auf einen Referenzdruck bezogen. In Abhngigkeit von dem verwendeten Bezugsniveau lassen sich unterschiedliche Drcke definieren. Absolutdruck pabs gegenber Vakuum

Gl. 2-52:

0

Vakuumabs ppp

Relativdruck prel, d.h. Druck gegenber dem Luftdruck p0 , berdruck oder Unterdruck

Gl. 2-53: ghppp ffabsrelG 0,

berdruck (hf > 0), Flssigkeitssule wird im Manometer nach oben gedrckt Unterdruck (hf < 0), Flssigkeitssule wird im Manometer nach unten gedrckt Differenzdruck p, Differenz zwischen zwei Drcken p1 und p2

Gl. 2-54: 21 ppp


2.2.2 Druckmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer

Bestimmung des Kesseldrucks pG in der Hhe der Anschlussstelle Krftegleichgewicht im Rohr:

Gl. 2-55: ghpghp ffgGG 0

Gl. 2-56: ghghpp gGffG 0

bei fG gilt

Gl. 2-57: ghpp ffG 0

Abb. 2-21: U-Rohr Manometer

Die Messergebnisse werden nur geringfgig durch die Kapillaritt im Rohr beeinflusst, sofern der Rohrdurchmesser des Manometers entsprechend gro gewhlt wird. _________________________________________________________________________ b. 2-8: Einfluss der Kapillaritt in einem Quecksilber U-Rohr Manometer

D = 6 mm (Rohrinnendurchmesser) W = 140 grd (Randwinkel Hg/Glas) T = 20C (Temperatur) Hg/H20 = 0,380 N/m (Grenzflchenspannung) Hg/Luft = 0,470 N/m (Grenzflchenspannung)

_________________________________________________________________________


2.2.3 Bercksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel Die nderung des hydrostatischen Drucks ist in der Regel bei Gasen ber die Behlterhhe vernachlssigbar. Der Druck im Kessel kann nherungsweise ber die Hhe als konstant angenommen werden. Dies gilt jedoch nicht fr Flssigkeiten.

Abb. 2-22: Hydrostatischer Druck in einem Kessel

Druck im Kessel auf der Hhe hx

Gl. 2-58: gxpp fLx

Druckgleichgewicht im Manometer bei h2

Gl. 2-59: ghpgyp Hgfx 0

Gl. 2-60: gyghpp fHgx 0

2.2.4 Differenzdruckmessung Die Druckdifferenz 21 ppp ergibt sich aus der Druckgleichgewicht bei A-A

Gl. 2-61: hghgphgp Hgff 2211

Gl. 2-62: hghhgpp Hgf 1221

Gl. 2-63: hgp fHg

Abb. 2-23: Differenzdruckmessung

f

Hg

Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 40 ___________________________________________________________________ Bei geringen Geschwindigkeiten (M < 0,3) kann bei Gasen die Dichte gegenber der Flssigkeit im Manometer vernachlssigt werden, d.h. Gl. 2-63 vereinfacht sich zu:

Gl. 2-64: hgp Hg

Hierbei wird implizit die Annahme getroffen, dass im Rohr eine quasi-eindimensionale Strmung vorliegt, d.h. die Strmungsparameter ndern sich hauptschlich in und nicht quer zur Strmungsrichtung. Der Wanddruck pw entspricht dem statischen Druck in der Strmung.

2.2.5 Bercksichtigung des Temperatureinflusses Die temperaturbedingte Volumennderung der Flssigkeit im Manometer, z.B. Quecksilber ist bei Druckmessungen zu bercksichtigen.

TC 0 10 20 30 kg/m 13595 13570 13546 13521

Tab. 2-5: Dichte von Quecksilber als Funktion der Temperatur

Lnge der Quecksilbersule bei T = 0C

Gl. 2-65: T,LL T 40 108111 LT [mm Hg] Lnge bei Raumtemperatur T [C]

Nherungsbeziehung zur Temperaturkorrektur der Quecksilbersule

Gl. 2-66: 80TLL T

2.2.6 Bercksichtigung der Luftfeuchte Ab einer relativen Luftfeuchte von > 50% ist der Einfluss der Feuchte auf die spezifische Gaskonstante R, die in die Berechnung der Luftdichte eingeht zu bercksichtigen, d.h. der Wert der spezifischen Gaskonstante von trockener Luft Rt ist entsprechend Gl. 2-68 zu korrigieren, wobei Rf die um die relative Luftfeuchte korrigierte spezifische Gaskonstante von Luft darstellt.

Gl. 2-67: TR

pf

Gl. 2-68:

pp,

,

RR

pp

RRd

d

td

tf

377301

05287

11

mit KkgJ,Rt 05287 spez. Gaskonstante von trockener Luft KkgJRd 461 spez. Gaskonstante von Wasserdampf relative Luftfeuchte dp Sttigungsdampfdruck von Wasser in Luft p Luftdruck

Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 41 ___________________________________________________________________ Der Sttigungsdampfdruck von Wasser in Luft pd kann fr die vorliegende Temperatur T entweder einer Dampftafel entnommen oder ber die Magnus2-Formel berechnet werden.

Gl. 2-69: Pae,p T,T,

d

2241504317

213611 , T [C] Lufttemperatur

2.2.7 Drucksonden

Abb. 2-24: Drucksonden

Wanddruckmessung Statische Drucksonde Pitot-Sonde, Prandtl-Rohr statischKWand ppp ppstatisch ppstatisch

ghpp FWand ghpp Fstatisch dynttotalPitot ppppp Bei inkompressiblen Strmungen lsst sich aus dem dynamischen Druck pdyn, d.h. der Differenz aus Totaldruck pt und statischem Druck p

Gl. 2-70: 22

cqppp tdyn

die Strmungsgeschwindigkeit c bestimmen

Gl. 2-71: hgppc Ft

22

2.2.8 Schrgrohrmanometer

Weiterentwicklung des U-Rohr Manometers, Neigung des Messschenkels fhrt zu einer Aufweitung der Skala, entsprechend sin, magebend ist lediglich die Differenz h in den Spiegelhhen.

Gl. 2-72: glghpp MM sin21

Abb. 2-25: Schrgrohrmanometer

2 H. G, Magnus (1802-1870), dt. Physiker und Chemiker

Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 42 ___________________________________________________________________ b. 2-9: Geschwindigkeitsmessung mittels Schrgrohrmanometer und Prandtl-Rohr

Ein Schrgrohrmanometer ist an ein Prandtl-Rohr in der Messstrecke eines Windkanals angeschlossen. Abgelesene Werte am Schrgrohrmanometer: l = 100 mm (Lnge der aufgestiegenen Messflssigkeit) M = 800 kg/m (Dichte der Messflssigkeit, Alkohol) = 30 grad (Neigungswinkel des Manometers) Tageswerte im Labor: p = ..720 mm Hg (Luftdruck) T = 24C (Lufttemperatur) = ....70 % (relative Feuchte) Berechnen Sie fr diese Bedingungen die Strmungsgeschwindigkeit in der Messstrecke des Windkanals, wenn sich die Druckdifferenz am Manometer entsprechend Abb. 2-25 aus p1 (Gesamtdruck) und p2 (statischer Druck) ergibt. _________________________________________________________________________

Fluidmechanik Hydrostatik Druckkrfte auf Begrenzungsflchen 43 ___________________________________________________________________

2.3 Druckkrfte auf Begrenzungsflchen

Abb. 2-26: Druckkrfte auf Begrenzungsflchen, [ 10]

Betrachtet wird im Folgenden ein Behlter, der bis zur Hhe H mit einem Fluid der Dichte gefllt ist und an dessen Oberflchen und Auenseiten der Umgebungsdruck po herrscht.

2.3.1 Druckkraft auf eine ebene, horizontale Flche Die Druckkraft auf die Bodenplatte ergibt sich aus der Bilanz aus hydrostatischem Druck und Umgebungsdruck.

Gl. 2-73: AHgFFF aiB

2.3.2 Druckkraft auf eine geneigte Flche Hydrostatische Kraft dF auf ein Flchenelement dA in der Tiefe h, mit cos yh

Gl. 2-74: dAygdApygpdAphphdFh

coscos 000

Gl. 2-75: A

dAygF cos

Schwerpunktsabstand yS der Flche A bezogen auf die x-Achse

Gl. 2-76: A

S dAyAy 1

Resultierende Druckkraft auf die geneigte Flche A

Gl. 2-77: AygF S cos

Mit der Tiefe hS des Flchenschwerpunkts S

Gl. 2-78: SS yh cos

Gl. 2-79: AphpAhgAygF SSS 0cos

Fluidmechanik Hydrostatik Druckkrfte auf Begrenzungsflchen 44 ___________________________________________________________________ Die resultierende Kraft auf die Flche A ergibt sich aus dem hydrostatischen Druck der im Flchenschwerpunkt S herrscht

Gl. 2-80: SS hgphp 0 Druckpunkt D Mit Ausnahme einer horizontalen, ebenen Flche verteilt sich der Druck nicht konstant ber die Flche A. Dies hat zur Folge, dass der Kraftangriffspunkt oder Druckpunkt, nicht im Flchenschwerpunkt liegt. Die Druckpunktkoordinate yD ergibt sich aus dem Momenten-gleichgewicht bezglich der x-Achse.

Gl. 2-81:

xI

AA dFAD dAygdAygydFyyF 2coscos

Ix: Flchentrgheitsmoment der Flche A in Bezug auf die x-Achse Der Abstand yD des Druckpunktes D von der Flssigkeitsoberflche ergibt sich aus Gl. 2-77 eingesetzt in Gl. 2-81.

Gl. 2-82: xDS IgyAyg coscos

Mit dem Steinerschen Satz AyII SSxx 2 , wobei ISx das Flchentrgheitsmoment der

Flche A in Bezug auf eine Achse durch den Flchenschwerpunkt S, parallel zur x-Achse beschreibt, ergibt sich fr die Koordinate yD des Druckpunktes D

Gl. 2-83: SS

Sx

S

SSxD yAy

IAy

AyIy

2

Abstand e zwischen Flchenschwerpunkt S und Druckpunkt D der Flche A (in y-Richtung)

Gl. 2-84: 0

Ay

IyyeS

SxSD

Druckpunkt liegt immer tiefer als der Schwerpunkt Momentengleichgewicht bezglich y-Achse liefert Druckpunktkoordinate xD

Gl. 2-85: Ay

IxdAyxgdAygxdFxxF

S

xyD

I

AA dFAD

xy

coscos

Ixy: Zentrifugalmoment der Flche A in Bezug auf x,y-System Hat die belastete Flche A eine Symmetrieachse parallel zur y-Richtung, so liegt der Druckpunkt D auf dieser Symmetrieachse im Abstand e unter dem Schwerpunkt S Sonderfall: Senkrechte ebene Flche hy ,0 Kraft auf die senkrechte Wand

Gl. 2-86: AhgF S

Abstand Druckpunkt zu Flchenschwerpunkt

Fluidmechanik Hydrostatik Druckkrfte auf Begrenzungsflchen 45 ___________________________________________________________________

Gl. 2-87: Ah

IhheS

SxSD

Allgemein gilt: Druckkrfte auf geneigte oder senkrechte Flchen sind unabhngig vom absoluten Flssigkeitsvolumen, lediglich die Fllhhe ist magebend (vgl. hydrostatisches Paradoxon). _________________________________________________________________________ b. 2-10: Kraft auf eine Absperrklappe

geg.: hS1 = 5 m D = 1 m = 30 grad = 103 [kg/m H = 7 m B = 10 [m ges. 1. Kraft F1 auf die Absperrklappe? 2. Lage des Kraftangriffspunktes von F1? 3. Drehmoment der Klappe bezglich x-x? 4. Klappenlagerung bei x-x oder y-y? 5. Kraft F2 auf die linke Wand? 6. Lage des Kraftangriffspunktes von F2?

_________________________________________________________________________

2.3.3 Druckkrfte auf gekrmmte Begrenzungsflchen

2.3.3.1 Einfach gekrmmte (abwickelbare) Flchen

Abb. 2-27: Druckkrfte auf abwickelbare Flchen, [ 10]

Fluidmechanik Hydrostatik Druckkrfte auf Begrenzungsflchen 46 ___________________________________________________________________ Hydrostatische Kraft dF am Element dA

Gl. 2-88: dAhgdF

Gl. 2-89: xx dAhgdAhgdF sin

Gl. 2-90: hh dAhgdAhgdF cos

Die Druckbelastung ergibt sich aus der Projektion des belasteten Flchenelements senkrecht zur betrachteten Kraftrichtung. Horizontale Kraftkomponente Fx fr die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Flche

Gl. 2-91:

xSxxSxA

xx AphpAhgdAhgFx

0

hSx: Abstand des Flchenschwerpunktes Sx der Projektionsflche Ax zur Oberflche Die Projektionsflche Ax ergibt sich aus der Projektion von 1-2 zu 1'-2', horizontale Druck-krfte von 2-3 heben sich gegen 3-4 auf und liefern keinen Beitrag. Das Momentengleich-gewicht an Ax ergibt den Angriffspunkt Dx der Kraft Fx :

Gl. 2-92: xSx

SySxDxx Ah

Ihhe

ISy: Axiales Flchentrgheitsmoment der Flche Ax bezglich einer zur y-Achse parallelen Achse durch den Schwerpunkt Sx der Projektionsflche Ax

Vertikale Kraftkomponente Fh fr die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Flche entspricht der Gewichtskraft des ber der Kurve 1-2-3-4 befindlichen (realen oder fiktiven) Fluidvolumens, unabhngig davon ob sich in dem Volumen Verdrngungskrper (Kurve 5-6-7-8) befinden oder nicht, ergibt sich die vertikale Kraftkomponente Fh zu

Gl. 2-93:

VgdAhgFhA

hh

Da die Gewichtskraft des Fluidvolumens V im Masseschwerpunkt SF angreift, verluft die vertikale Kraftkomponente Fh durch den Schwerpunkt SF des oberhalb der bedrckten Flche liegenden Volumens. Die Gesamtkraft F ergibt sich aus horizontaler und vertikaler Komponente Fx, und Fh

Gl. 2-94: h

xFhx F

FFFF arctan,22

Fluidmechanik Hydrostatik Druckkrfte auf Begrenzungsflchen 47 ___________________________________________________________________ Aufdruckkraft Fh'

Abb. 2-28: Aufdruckkraft auf einen eingetauchten Krper, [ 10]

Das Flchenelement dA' wird in der Tiefe h durch die Druckkraft dF' belastet. Die vertikale Komponente dFh' ergibt sich aus der Hhe der Flssigkeitssule ber der belasteten Flche dAh'

Gl. 2-95: VdgAdhgFddFhdA

h

coscos

Die Aufdruckkraft Fh' senkrecht nach oben ergibt sich aus der Gewichtskraft des fiktiven Volumens V' ber der belasteten Flche 9-10. Die Wirkungslinie verluft durch den Masseschwerpunkt SF'.

Gl. 2-96: VgFh

2.3.3.2 Beliebig gekrmmte (nicht abwickelbare) Flchen

Abb. 2-29: Druckkrfte auf beliebig gekrmmte Flchen, [ 10]

Fluidmechanik Hydrostatik Druckkrfte auf Begrenzungsflchen 48 ___________________________________________________________________ Die Druckbelastung einer beliebig gekrmmten Flche lsst sich durch Projektion der gekrmmten Flchen in die h-y-Ebene bzw. h-x-Ebene auf ein ebenes Problem zurckfhren und die Projektionsflchen werden analog zu einer senkrechten Wand behandelt. Horizontale Kraftkomponenten Fx, Fy Die Kraft auf die senkrechte Wand ergibt sich aus dem hydrostatischen Druck im Flchen-schwerpunkt multipliziert mit der Projektionsflche Ax bzw. Ay.

Gl. 2-97: xSxx AhgF und ySyy AhgF

Gl. 2-98:

x

Ax

Sx A

dAhh x

und

y

Ay

Sy A

dAh

h y

Gl. 2-99: xSx

Syx Ah

Ie

und

ySy

Sxy Ah

Ie

Gl. 2-100 xSx

yhDx Ah

Iy

und

ySy

xhDy Ah

Iy

Vertikale Kraftkomponente Fh Kraft ergibt sich aus dem realen oder fiktiven Fluidvolumen V zwischen der Flche und der Fluidoberflche. Wirkungslinie der Gewichtskraft Fh verluft durch den Masseschwerpunkt SF des Volumens V

Gl. 2-101: VgFh

2.3.4 Stabilitt

2.3.4.1 Stabilitt schwebender Krper

FG > FA: Abtauchen FG = FA: Schwimmen FG < FA: Auftauchen SK Masseschwerpunkt des Krpers SF Masseschwerpunkt des verdrngten Fluids Abb. 2-30: Stabilitt eines schwebenden Krpers

Die Linie, die durch den Masseschwerpunkt des Krpers SK und durch den Masseschwer-punkt des verdrngten Fluids SF fhrt, wird als Schwimmachse bezeichnet. Ein stabiles Gleichgewicht erfordert, dass SK unterhalb von SF liegt.

Fluidmechanik Hydrostatik Druckkrfte auf Begrenzungsflchen 49 ___________________________________________________________________ 2.3.4.2 Stabilitt schwimmender Krper Ausgangslage

FG Gewichtskraft des Krpers, greift im

Krperschwerpunkt SK an FA Gewichtskraft des verdrngten Fluids, greift im Schwerpunkt SF des verdrngten Fluids an Abb. 2-31: Schwimmender Krper - Ausgangslage

Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Abb. 2-32: Schwimmender Krper - Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Wird der schwimmende Krper aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so verbleibt der Krperschwerpunkt SK auf seiner Position. Das Volumen des verdrngten Fluids VF bleibt gleich, ndert aber seine Form, wodurch sich der Schwerpunkt des verdrngten Volumens von SF auf SF' verschiebt. Die in den beiden Schwerpunkten angreifenden Krfte FA und FG liegen nun nicht mehr auf der gleichen Wirkungslinie. In dem in Abb. 2-32 skizzierten Beispiel bildet sich ein aufrichtendes Moment. Der Schnittpunkt von Schwimmachse und Auftriebskraft FA wird als Metazentrum M bezeichnet. Die sog. metazentrische Hhe hM beschreibt den Abstand des Metazentrums von dem Krperschwerpunkt SK

Gl. 2-102: eVIh

FM

0

Wobei I0 das Trgheitsmoment der Schwimmflche darstellt. Stabilittsbedingung Ein eigenstabiles Verhalten, d.h. ein selbstndiges Zurckkehren in die Ausgangslage nach einer Auslenkung infolge einer Strung, z.B. Welle, wird durch die metazentrische Hhe hM definiert. stabil: 0,0 ahm , indifferent: 0mh , instabil: 0,0 ahm

Fluidmechanik Hydrostatik Druckkrfte auf Begrenzungsflchen 50 ___________________________________________________________________ Stabilittsverhalten verschiedener Schiffstypen

Abb. 2-33: Stabilitt unterschiedlicher Schiffstypen in Abhngigkeit von Beladung, [ 10]

Aufrichtender Hebelarm a ber Krngungswinkel 1 Seenotrettungskreuzer, 23m 2 Seenotrettungsboot, 8,3m 3 Patrouillenboot, 38m 4 Motoryacht 4a 100% Vorrte 4b 25% Vorrte 5 Containerschiff, 1100 Container zu 14t 6 Gorch Fock 6a unter Segel, 100% Vorrte, 70 Mann in den Rahen, 200 an Deck 6b Rumpf ohne Aufbauten

_________________________________________________________________________ b. 2-11: Stabilitt eines Schiffsrumpfes

Der eingetauchte Bereich entspricht einer zylindrischen Halbellipse mit der Gesamtlnge L Gesucht ist die maximale Lage des Krperschwerpunkts ber der Wasseroberflche bis Instabilitt eintritt

_________________________________________________________________________

Fluidmechanik Hydrostatik Fluide unter Beschleunigung 51 ___________________________________________________________________

2.4 Fluide unter Beschleunigung

2.4.1 Niveauflchen Die Verbindungsflche aller Punkte mit gleichem Druck in einem Fluid wird als Niveauflche (Isobarenflche) bezeichnet. Niveauflchen bilden sich immer senkrecht zu den vorliegenden Massekrften (Gravitation, Trgheit). Freie Oberflchen von Flssigkeiten werden durch den Umgebungsdruck belastet und bilden ebenfalls Niveauflchen, d.h. an jeder freien Ober-flche eines Fluids herrscht immer ein Druckgleichgewicht zwischen dem Druck an der Oberflche des Fluids und dem Umgebungsdruck. Wirkt als einzige Kraft nur die Gravitation auf das Fluid, so stellt sich als Niveauflche eine horizontale Ebene, bzw. Kugelflche (Ozean) ein. Zustzliche Trgheitskrfte bewirken eine Verschiebung der Niveauflche.

2.4.2 Gleichfrmig horizontal beschleunigter Behlter

Abb. 2-34: Horizontal beschleunigter Behlter

Der Spiegel der freien Oberflche steht immer senkrecht zum resultierenden Beschleunig-ungsvektor. Der Neigungswinkel des Flssigkeitsspiegels gegenber der Horizontalen ergibt sich aus dem Verhltnis der Trgheitskrfte zur Gewichtskraft.

Gl. 2-103: ga

gdmadm

aftGewichtskrraftTrgheitsk

tan

2.4.3 Rotierende Flssigkeiten

Abb. 2-35: Rotierender Behlter mit Flssigkeit

Fluidmechanik Hydrostatik Fluide unter Beschleunigung 52 ___________________________________________________________________ Rotiert ein Gef mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um seine Hochachse, so sinkt der Spiegel zur Mitte hin ab. Die resultierende Kraft am Element dm ergibt sich aus Zentrifugalbeschleunigung dFT und Erdbeschleunigung dFG

Gl. 2-104: 2 rdmdFT

Gl. 2-105: gdmdFG

Der Winkel der Tangente an die Oberflche berechnet sich aus dem Verhltnis der Beschleunigungskrfte

Gl. 2-106: rggdm

rdmdFdF

drdz

G

T

22

tan

Die Parabelform der Oberflche ergibt sich aus der Abhngigkeit der Zentrifugalbeschleunig-ung vom Rotationsradius r. Bestimmung der Form der freien Oberflche z = z(r) Aus

Gl. 2-107: rgdr

dz

2

tan

folgt

Gl. 2-108: drrg

dz 2

Die Integration von zmin bis zmax

Gl. 2-109:

r

zrr

z

z

drrg

dzminmin

2

ergibt fr eine Rotation um die Symmetrieachse mit 0min zr

Gl. 2-110: 22

min 2r

gzrz

Die maximale Steighhe zmax am Rand, d.h. bei Rzr max ergibt sich aus Gl. 2-110

Gl. 2-111: 22

minmax 2R

gzz

Das Volumen eines Rotationsparaboloids entspricht dem halben Volumen des einhllenden Zylinders, d.h.

Gl. 2-112: ZylinderParaboloidRot VV 21

.

und damit lsst sich Gl. 2-111 auch schreiben als

Gl. 2-113: 22

min0minmax 22 R

gzzzz

Fluidmechanik Hydrostatik Fluide unter Beschleunigung 53 ___________________________________________________________________ Mit

Gl. 2-114: 22

0min 4R

gzz

ergibt sich aus Gl. 2-110 die Form der freien Oberflche bei einer Rotation um die Symmetrieachse

Gl. 2-115 :

21

2

22

2

0 RrR

gzrz

Druck auf den Behlterboden

Abb. 2-36: Rotierender Behlter mit Flssigkeit

Der Druck auf den Behlterboden ergibt sich zu

Gl. 2-116:

rz

RrR

gzgprzgprp

21

2

22

2

000

Die parabolische Druckzunahme nach auen ist insbesondere fr radial durchstrmte Strmungsmaschinen von Bedeutung, z.B. bei Radialverdichtern. Druck im Inneren des Behlters Die Druckzunahme in der Ebene A-A zwischen 1 und 2 betrgt (Abb. 2-36)

Gl. 2-117: 1212 zzgpp mit

Gl. 2-118: min2

1

2

1 2zr

gz

, min2

2

2

2 2zr

gz

folgt

Fluidmechanik Hydrostatik Fluide unter Beschleunigung 54 ___________________________________________________________________

Gl. 2-119: 21222

12 2rrpp

Mit der Umfangsgeschwindigkeit ru folgt

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