Skyrmion, Soliton, Baryon,

Skyrmion, Soliton, Baryon,

Pemetaan Harmonik dan Teori Medan

Miftachul Hadi1, Hans J. Wospakrik2

1Applied Mathematics for Biophysics Group

Physics Research Centre LIPI

Puspiptek, Serpong, Tangerang 15314, Banten, Indonesia

E-mail: [email protected]

2Department of Physics

Institute Technology of Bandung

Jl. Ganesha 10, Bandung, Indonesia

Buku-E LIPI

http://www.buku-e.lipi.go.id

2008

Daftar Isi

1 Skyrmion 1

1.1 Apa itu Skyrmion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Skyrmion sebagai Hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Bilangan Lilitan sebagai Bilangan Baryon . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Bilangan Baryon dan Hukum Kekekalan . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Dugaan Skyrme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Model Nukleon Tunggal: Model sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7 Energi Skyrmion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Soliton 8

2.1 Teori Medan Kuantum dan Fisika Soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Model Skyrme 10

4 Baryon dan Bilangan Baryon 13

5 Pemetaan Harmonik 14

5.0.1 Koordinat Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.0.2 Model σ O(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.0.3 Pengertian ”Komponen Internal” Medan . . . . . . . . . . . . . 15

5.0.4 Grup Ortogonal, O(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Solusi Klasik, Integral Lintasan Feynman dan Fisika 22

6.1 Medan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

i

DAFTAR ISI 1

7 Persamaan Medan Einstein 23

7.1 Pemetaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Ringkasan

Draf awal yang masih sangat kasar membahas Skyrmion, Soliton, Baryon, Pemetaan

Harmonik dan Teori Medan. Draf ini masih terus dikembangkan.

Bab 1

Skyrmion

1.1 Apa itu Skyrmion?

Skyrmion adalah kandidat deskripsi soliton untuk nuklir. Jumlah soliton diidenti-

fikasi dengan bilangan baryon, dimana bilangan baryon diidentifikasi dengan bilangan

lilitan (winding number).

Dalam fisika teoritik, Skyrmion, yang disusun oleh Tony Hilton Royle Skyrme,

adalah model matematika yang digunakan untuk memodelkan baryon (partikel sub-

atom). Skyrmion adalah solusi klasik non-trivial homotopi model sigma nonlinier den-

gan topologi manifold target non-trivial meson dimana manifold target adalah ruang

homogen dari

SU(N)L × SU(N)R (1.1)

(grup struktur),(

SU(N)L × SU(N)R

SU(N)diag

)

(1.2)

dimana SU(N)L dan SU(N)R adalah salinan kiri dan kanan berturut-turut, SU(N)diag

adalah subgroup diagonal.

Jika ruang-waktu memiliki topologi S3×R (untuk ruang dan waktu berturut-turut),

maka konfigurasi klasik diklasifikasi oleh integral bilangan lilitan karena grup homotopi

ketiga,

π3

(SU(N)L × SU(N)R

SU(N)diag

∼= SU(N)

)

= Z (1.3)

1

BAB 1. SKYRMION 2

(tanda kongruen di sini merujuk ke homeomorphisme, bukan isomorhisme).

Adalah mungkin untuk menambah suku topologi ke dalam lagrangian chiral dimana

integral hanya gayut pada kelas homotopi. Hasil ini dalam sektor superseleksi dalam

model terkuantisasi.

Skyrmion telah digunakan untuk memodelkan baryon. Skyrmion sebagai solusi

persamaan nonlinier medan Skyrme, diturunkan dari model sigma (chiral) nonlinier

termodifikasi, yang diperoleh dengan komputasi numerik.

1.2 Skyrmion sebagai Hadron

Ide bahwa partikel elementer, khususnya nukleon, merupakan fenomena soliton

pertama kali dikemukakan oleh fisikawan-matematikawan Inggris, Tony Hilton Royle

Skyrme pada tahun 1962 (saat itu, Skyrme sedang dikontrak untuk mengembangkan

Departemen Matematika di Universiti Kebangsaan Malaysia). Pada dasarnya, Skyrme

mengemukakan bahwa partikel berinteraksi kuat (hadron) adalah solusi statik terkon-

sentrasi secara lokal dari teori medan klasik model sigma (chiral) nonlinier yang diper-

luas.

Ide Skyrme menggabungkan fermion (partikel materi) dan boson (partikel interak-

si) dalam suatu model medan fundamental yang hanya terdiri dari partikel pi-meson

(pion) yakni salah satu anggota keluarga boson. Fermion dalam hal ini nukleon diper-

oleh, sebagai bentuk konfigurasi klasik tertentu dari medan pion. Konfigurasi istimewa

ini membentuk objek soliton topologi, yang kemudian diberi nama Skyrmion untuk

menghargai jasa Tony H.R. Skyrme.

Dalam paper-paper awal di akhir tahun 1950-an, Tony Skyrme mengajukan mod-

el fluida meson, untuk menjelaskan data pengukuran jari-jari nuklir. Sejauh yang

diketahui dari paper-papernya, Skyrme tidak pernah meyakini validitas deskripsi par-

tikel dalam kerangka kerja teori medan linier dengan pola renormalisasi. Oleh karena

itu sebagai konsekuensinya, ia mencari teori medan nonlinier yang memperkenankan

deskripsi partikel sebagai objek diperluas.

BAB 1. SKYRMION 3

Ide Skyrme memperoleh dukungan dari paper-paper lama Kelvin yang mendeskrip-

sikan struktur atom sebagai atom vorteks. Kelvin mengajukan hipotesa bahwa selu-

ruh benda tersusun dari atom-atom vorteks dalam fluida homogen. Konsep topologi,

pertama-tama diperkenalkan oleh Kelvin dalam teori atom vorteksnya dengan meny-

atakan bahwa jenis-jenis atom berbeda satu sama lain bersesuaian dengan jumlah per-

simpangan cincin-cincin vorteks. Model Skyrme, yang saat ini dikenal sebagai model

hadron, mendeskripsikan partikel diperluas sebagai jenis nuklir vorteks. Untuk mem-

peroleh kestabilan dinamis, ia memperkenalkan ke dalam Lagrangian (3+1 dimensi)

model sigma (chiral) sebuah suku orde keempat dalam turunan medan meson, yang

kemudian dikenal sebagai suku Skyrme.

1.3 Bilangan Lilitan sebagai Bilangan Baryon

Bayangkan sebuah titik, katakanlah titik x dan kurva C. Secara intuitif, bilangan

lilitan dari kurva k berkaitan dengan titik x adalah jumlah berapa kali kurva k men-

gelilingi titik x dalam arah berlawanan jarum jam.

Dalam makna matematika, bilangan lilitan adalah invariansi topologi, yakni sifat

ruang topologi yang invarian dalam homeomorphisme. Secara kasar dikatakan, ruang

topologi adalah objek geometri dan homeomorphisme adalah peregangan kontinu atau

pelenturan suatu objek menjadi bentuk baru.

Sebagai ilustrasi invariansi topologi, kue donat dan cangkir bertangkai satu adalah

identik. Yakni, bentuk kue donat tersebut dapat ”dibuat sedemikian sehingga” menjadi

bentuk cangkir bertangkai satu dengan cara menarik, mengulur tanpa memotong atau

merobek.

1.4 Bilangan Baryon dan Hukum Kekekalan

Dalam fisika, khususnya dalam peristiwa tumbukan partikel, selalu dicari ”sesu-

atu yang kekal” yakni memenuhi hukum kekekalan. Bilangan baryon adalah bilangan

kuantum kekal aproksimasi, yakni hampir kekal dalam seluruh interaksi. Kekal berar-

BAB 1. SKYRMION 4

ti, jumlah bilangan baryon dari seluruh partikel datang sama dengan jumlah bilangan

baryon dari seluruh partikel hasil dalam suatu reaksi. Kuantitas kekal demikian adalah

ciri umum untuk membatasi tipe-tipe reaksi yang mungkin antara baryon.

Bilangan baryon sistem dapat didefinisikan sebagai sepertiga dari jumlah kuark

dikurangi jumlah antikuark sistem. Baryon dinyatakan dengan bilangan +1, antibary-

on dinyatakan dengan bilangan -1, sedangkan partikel selain keduanya dinyatakan den-

gan bilangan 0.

Dalam fisika, sebagian besar kuantitas invarian (yakni kuantitas kekal) biasanya

diturunkan dari simetri aksi (teorema Noether). Akan tetapi, terdapat sekelompok

kuantitas kekal yang tidak dapat diturunkan dengan cara demikian. Sebagai ganti,

kuantitas kekal diperoleh dari tinjauan topologi. Bilangan lilitan termasuk kategori

kuantitas kekal jenis ini.

1.5 Dugaan Skyrme

Skyrme mengidentifikasi bilangan lilitan invarian topologi sebagai bilangan baryon.

Apa alasan Skyrme mengidentifikasi bilangan lilitan invarian topologi sebagai bilangan

baryon? Pada awalnya, Skyrme hanya menyatakan hal tersebut namun pekerjaan

Witten menunjukkan bahwa identifikasi Skyrme adalah interpretasi yang benar dengan

meninjau arus baryon tergandeng dalam teori medan untuk kasus bilangan warna yang

besar.

Dalam pekerjaan awal Skyrme, tidak begitu jelas terlihat bahwa muatan topolo-

gi dapat diidentifikasi sebagai bilangan baryon. Namun, terdapat kekekalan muatan

topologi dan model Skyrme mendeskripsikan partikel berinteraksi kuat, sehingga iden-

tifikasi muatan topologi dengan bilangan baryon adalah harapan alami yang memandu

pada konsekuensi kesesuaian yang dekat secara wajar dengan eksperimen.

Pada waktu belakangan, melalui pekerjaan Witten dan koleganya dalam model

Skyrme untuk tiga ”cita rasa”, flavor (flavor adalah salah satu ciri kuark, partikel

penyusun nukleon) terdapat formula untuk muatan listrik dari Skyrmion terkuantisasi

BAB 1. SKYRMION 5

yang nilainya merupakan kontribusi dari komponen isospin ketiga dan muatan topologi.

Dalam fisika partikel, diketahui bahwa partikel berinteraksi kuat mematuhi relasi

tersebut, dimana muatan topologi diidentifikasi sebagai bilangan baryon. Alasan lain

ditunjukkan dalam teorema indeks Atiyah-Singer yang menghubungkan bilangan lilitan

sebagai kuantitas topologi dari medan pion.

1.6 Model Nukleon Tunggal: Model sine-Gordon

Model sine-Gordon dalam dua dimensi diperlukan sebagai bentuk analogi sederhana

dari model nukleon tunggal, yakni ”twist” dalam fluida. Persamaan ini dijumpai, seba-

gai misal, dalam teori dislokasi logam, teori simpangan Josephson dan juga digunakan

dalam interpretasi proses biologi tertentu seperti dinamika DNA.

Skyrme tertarik dengan persamaan nonlinier sine-Gordon yang melibatkan variabel

medan. Solusi persamaan nonlinier sine-Gordon tersebut memunculkan ide adanya

”kink” (kusutan) atau singularitas yakni berupa ”loop” yang meliliti katakanlah, suatu

lingkaran.

Model Skyrme Dua Flavor untuk Hadron:

Model Skyrme dua flavor adalah model hadron (baryon plus meson) yakni Skyrmion

yang masih sangat sederhana, karena hanya melibatkan dua flavor. Dinamika Skyrmion

ditunjukkan oleh persamaan Euler-Lagrange atau persamaan Skyrme. Energi model

ini diturunkan dari tensor energi-momentum terkait.

Sifat soliton dari energi statik model Skyrme dua flavor dipelajari dengan cara

menskala koordinat ruang, kemudian menguji kestabilan skala dengan cara mentrans-

formasi skala. Syarat kestabilan mengimplikasikan bahwa energi statik adalah stabil

terhadap perturbasi skala.

Energi-massa nukleon dan delta merupakan kontribusi dari energi-massa statik dan

energi-massa rotasinya. Adanya selisih energi-massa dari hasil eksperimen dan model,

antara lain, dikarenakan Skyrmion sebagai hadron dalam model Skyrme dua flavor

hanya melibatkan dua flavor, ketimbang tiga flavour yang lebih natural. Juga dalam

BAB 1. SKYRMION 6

model ini belum dimasukkan misalnya, efek perusakan simetri chiral dan simetri flavor

yang dapat berkontribusi terhadap energi-massa hadron. Orde koreksi bilangan warna

terhadap massa nukleon dalam teori medan belum dimasukkan.

Model Skyrme dapat diperluas untuk tiga flavor, empat flavor hingga N flavor:

konsekuensi apa yang terjadi? [1, 2, 3].

(1) Apakah dari energi total skyrmion selalu dapat dicari massa partikel? Bagaimana

jika massa partikel sama dengan nol?

Formulasi skyrmion untuk hadron, skyrmion untuk partikel lain (misal: elektron,

neutrino) belum dikerjakan.

(2) Apakah energi total skyrmion hanya terdiri dari energi statik ditambah energi

rotasi?

Tidak. Misal ditambah energi sebagai kontribusi dari efek Coriolis.

(3) Apakah skyrmion juga bergerak translasi?

Ya.

(4) Apakah massa nukleon diukur dalam kondisi nukleon statik dan berotasi saja?

Nukleon spinnya 12, jadi sudah dalam keadaan rotasi ”di tempat”.

(5) Dalam tinjauan ”point particle”, L menunjukkan interaksi antar partikel, apakah

Lagrangian dalam model Skyrme menunjukkan interaksi antar soliton?

Lagrangian model Skyrme:

L = Tr

[

−F 2

16LµL

µ +1

32a2[Lµ, Lν ] [L

µ, Lν ] +F 2

16M2

π

(U−1 + U − 2I

)]

Suku pertama adalah ”suku kinetik”, suku kedua adalah ”suku potensial”, sedan-

gkan suku ketiga adalah suku massa ”pion”.

Teori Medan Kuantum (QFT):

L = (∂0φ∂0φ)︸︷︷︸

suku kinetik

+ suku potensial

BAB 1. SKYRMION 7

(6) Apakah Lagrangian model Skyrme juga memenuhi prinsip-prinsip simetri?

Ya. Misal: simetri ruang-waktu Lorentz, simetri internal SU(2) global (simetri

chiral).

(7) Apakah massa skyrmion (misal: nukleon, delta) terbedakan hanya karena efek

rotasi?

Ya! Selain itu ada juga yang dikarenakan perbedaan hypercharge, Y , yang dikon-

struksi dari grup SU(3).

(8) Apakah massa nukleon sama dengan massa (proton = neutron)?

Massa nukleon adalah massa neutron atau massa proton.

1.7 Energi Skyrmion

• Energi statik baryon (nuklelon, ∆, ...) dalam interaksi kuat adalah sama.

• Energi baryon dalam interaksi medium (karena rotasi) terbedakan dalam urutan

menurun, partikel ∆ (spin, J = 32), nukleon (spin, J = 1

2).

• Energi partikel ∆ dalam interaksi elektromagnetik terbedakan dalam urutan

menurun ∆++, ∆+, ∆0, ∆−, karena beda muatan (mereka memiliki spin yang

sama, isospin, I3 yang dikonstruksi dalam grup SU(2)).

• Energi nukleon dalam interaksi elektromagnetik terbedakan dalam urutan menu-

run, proton, neutron, karena beda muatan (proton bermuatan positip, neutron

tidak bermuatan).

Bab 2

Soliton

Solusi persamaan medan nonlinier dan partikel yang muncul:

• Solusi persamaan medan Skyrme untuk baryon dalam interaksi kuat adalah

skyrmion.

• Solusi persamaan medan Einstein dalam interaksi gravitasi adalah black holes .

• Solusi persamaan medan Yang-Mills (self dual Yang-Mills) adalah instanton,

dikonstruksi secara teoritik dalam QCD.

• Solusi persamaan medan Higgs adalah monopol, bagaimana dengan hasil eksper-

imen?

• Solusi persamaan medan yang memunculkan elektron, neutrino, ...?

Syarat terjadinya soliton:

• Gelombang laut dangkal.

• Gangguan tertentu.

2.1 Teori Medan Kuantum dan Fisika Soliton

• Dalam tinjauan Teori Medan Kuantum, baryon tersusun dari tiga kuark, misal

uud, dan interaksi (potensial) diantara mereka.

8

BAB 2. SOLITON 9

• Dalam tinjauan Fisika Soliton, baryon dimodelkan sebagai fluida skyrmion, di-

mana skyrmion ditunjukkan oleh vorteks-vorteks (”seperti pusaran air”). Dari

model fluida skyrmion dapat diturunkan potensial (interaksi) antara quark dalam

Teori Medan Kuantum.

Bab 3

Model Skyrme

• Dalam model Skyrme, partikel adalah solusi persamaan fisika nonlinier.

• Dalam Teori Medan Kuantum, partikel adalah solusi persamaan medan linier.

• Jika ”number of colour” dari QCD yakni NC → ∞ maka diperoleh solusi soliton.

• Model Skyrme untuk dua flavour, misalnya neutron, baryon ∆ terbedakan mas-

sanya karena rotasi (bilangan kuantum momentum anguler, j, beda).

• Dalam model Skyrme untuk tiga flavour terdapat suku Wess-Zumino, dimana

rotasi dikuantisasi.

• Model Skyrme meninjau pion sebagai partikel skalar.

• Model Skyrme SU(n), untuk n=2,3,4... , dicoba satu-satu!

• Stabil→ekstrim minimum.

• Tak stabil→ekstrim maksimum.

• Solusi stabil→topologi.

• Muatan topologi→bilangan baryon (dalam setiap reaksi ”conserved”).

• Setiap kuantitas fisis yang kekal (tak berubah) terhadap waktu adalah ”charge”

(momentum, ...)

10

BAB 3. MODEL SKYRME 11

• Self Dual Yang-Mills, medan listrik, E = B, medan magnet, E1 = B1, E2 =

B2, E3 = B3.

• Dalam model Skyrme, massa nukleon, ∆, dikonstruksi dari teori. Dalam Teori

Medan Kuantum, massa nukleon, ∆, diberikan begitu saja!

• Model Skyrme dapat menerangkan pentakuark, dikuark, sedangkan QCD tidak

bisa.

• Model Chiral tanpa suku Skyrme adalah model linier.

• Soliton nontopologi: chaos, energi tak memusat tetapi menyebar, fenomena angin

topan.

• Kontributor massa skyrmion dalam model Skyrme: interaksi flavour, interaksi

colour, muatan, energi statik, energi rotasi, energi dari efek Coriolis, ....

• Teori Yang-Mills adalah teori nonabelian (nonkomutatif), [T a, T b] = ifabcT c.

Jika T a = T b, maka [T a, T a] = 0 (komut). Jika terdapat minimum satu relasi

tak komut, maka suatu teori adalah nonabelian! fabc bisa bernilai =3.

• SU(Nf ), Nf jumlah flavour, flavour → interaksi lemah. Untuk Nf = 2, SU(2),

maka terdapat 22 − 1 parameter, yakni 3 partikel medan (misal, W+, W-, Z).

Nf = 2, misal kuark up, down → proton (uud), neutron (udd), ∆++(uuu),

kombinasi bisa dari up-down, up-up, down-down.

• Energi berhingga → soliton stabil. Bilangan kuantum, j, kecil → soliton stabil.

Untuk bilangan kuantum, j, besar (kecepatan sudut besar) → energi besar →

soliton tak stabil.

• Jari-jari muatan nukleon → muatan listrik terdistribusi di seluruh volume bola

skyrmion, 〈rB〉 =∫

d3rJB0 (r)r, dimana 〈rB〉 adalah ukuran soliton/skyrmion,

JB0 adalah arus baryon.

BAB 3. MODEL SKYRME 12

• Dalam tinjauan elektromagnetik, jari-jari muatan nukleon adalah:

〈r〉 =∫

d3rJEM0 (r)r, dimana JEM

0 adalah arus elektromagnetik.

• Mengapa perlu persamaan Euler-Lagrange, jika soliton dalam keadaan statik

(ditunjukkan oleh energi statik)?

Persamaan Euler-Lagrange tak perlu harus melibatkan parameter waktu dan tak

perlu menunjukkan dinamika partikel.

• Solusi statik model Skyrme untuk energi terendah (minimum). Jika untuk energi

statik (berlaku), maka solusi untuk energi tereksitasi (energi rotasi + energi mu-

atan + energi efek Coriolis + energi kontribusi warna + energi suku Wess-Zumino

+ ...) juga berlaku.

• Rapat energi adalah fungsi, energi adalah angka.

• Dapat dibilang soliton adalah fungsi profil, dimana dari fungsi profil diperoleh

energi soliton.

• Solusi soliton bersifat non singular, ”smooth solution”, misal seperti bentuk

fungsi profil.

• Fungsi singular, misal 1R, untuk R = 0 maka 1

0→ ∞.

• Vortices berotasi → skyrmion terkuantisasi (momentum sudut).

• Soliton sebagai partikel → solusi medan (bukan aproksimasi).

• Energi skyrmion → kuantisasi untuk energi eksitasi.

• Soliton → solusi stabil dengan nilai energi terbatas yang minimum (rapat energi-

massa tersebar dalam daerah terbatas).

• Fluida skyrmion → 3 dimensi.

• Kuantisasi momentum sudut soliton → kuantisasi momentum sudut vortex.

Bab 4

Baryon dan Bilangan Baryon

• Bilangan baryon menunjukkan jumlah partikel.

• Nukleon tunggal memiliki bilangan baryon, B = 1.

• Deuteron terdiri dari 1 proton dan 1 neutron, yakni terdiri dari 2 vorteks, memi-

liki bilangan baryon, B = 2.

• Triton terdiri dari 1 proton dan 2 neutron memiliki bilangan baryon, B = 3.

• Inti atom = ΣNn=1 nukleon memiliki bilangan baryon, B = N , sebagai nomor

massa.

13

Bab 5

Pemetaan Harmonik

5.0.1 Koordinat Bola

Tinjau koordinat bola sebagai berikut

x = R sin θ cos φ

y = R sin θ sin φ

z = R cos φ

dx =∂x

∂θdθ +

∂x

∂φdφ

dy = ....

dz =∂z

∂φdφ

Buktikan

ds2 = dx2 + dy2 + dz2

ds2 = R2(dθ2 + sin2 θdφ2

)

= gθθ dθ2 + 2gθφ dθdφ + gφφ dφ2

dimana untuk komponen gθφ = 0, yakni ortogonal.

14

BAB 5. PEMETAAN HARMONIK 15

5.0.2 Model σ O(3)

Grup O(3) adalah grup ortogonal dengan tiga buah ”komponen internal” medan

”skalar”, yakni (Φ1, Φ2, Φ3). Medan didefinisikan sebagai fungsi titik dalam ruang.

Contoh medan skalar adalah suhu.

Model σ dicirikan oleh

• Terdapat ”kendala” antara Φ1, Φ2, Φ3, yang dalam hal ini adalah

(Φ1)2 + (Φ2)2 + (Φ3)2 = 1.

• Medan plus konstrain: (Φ1, Φ2, Φ3), (Φ1)2+ (Φ2)

2+ (Φ3)

2= 1.

5.0.3 Pengertian ”Komponen Internal” Medan

Tinjau medan listrik, E

E = (Ex, Ey, Ez)︸︷︷︸

komponen eksternal

.

Jika dinyatakan dalam bentuk matriks, diperoleh

E(1)x E

(1)y E

(1)z

E(2)x E

(2)y E

(2)z

E(3)x E

(3)y E

(3)z

=(E(a)

x , E(a)y , E(a)

z

)=

(E(a)

µ

)

dimana arah vertikal adalah medan internal, sedangkan arah horisontal adalah medan

eksternal.

5.0.4 Grup Ortogonal, O(n)

Grup O(n) berordo n×n dan memiliki 12n(n−1) parameter. Grup O(n) memenuhi

sifat berikut

OT O = I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


dimana

O = eα(a)T (a)

dan transposenya adalah

OT = eα(a)(T (a))T

α adalah parameter yang menentukan matriks basis, T (a) adalah generator yang bersi-

fat antisimetrik, T (a)T

= −T (a). Sehingga diperoleh

OT O = eα(a)(T (a)T +T (a)).

Jika sifat antisimetrik dimasukkan, maka diperoleh

OT O = eα(a)(−T (a)+T (a))

= eα(a)(0)

= e0

= 1.

Grup ortogonal dan sifat dapat juga dinyatakan dalam bentuk

O = eX

dimana X = α(a)T (a). Sehingga

OT O = I,

eXT

eX = I,

eXT +X = I.

dimana XT + X = On×n.

Definisi deret

ec = 1 + c +c2

2!+ ... .

Matriks berikut dapat diuraikan dalam bentuk

0 a12 a13

−a12 0 a23

−a13 −a23 0

= a12︸︷︷︸

α1

0 1 0

−1 0 0

0 0 0

︸︷︷︸

T 1

+ a13︸︷︷︸

α2

0 0 1

0 0 0

−1 0 0

︸︷︷︸

T 2

+ a23︸︷︷︸

α3

0 0 0

0 0 1

0 −1 0

︸︷︷︸

T 3

.


Dalam matematika, representasi dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, operator

diferensial dan integral, fungsi.

Grup O(3) adalah grup matriks transformasi koordinat yang mempertahankan pan-

jang vektor dalam R3 invarian,

(Φ1)2 + (Φ2)2 + (Φ3)2 = (Φ1′)2 + (Φ2′)2 + (Φ3′)2.

Koordinat dalam R3 interval

(Φ1, Φ2, Φ3) = Φ(a)

Transformasi koordinat

Φ(a)′ = Ra.bΦ

(b) → Φ′ = RΦ

Φ(a)′Φ(a)′ = Φ(a)Φ(a) → Φ′T Φ′ = ΦT Φ

Sehingga dapat dinyatakan

Φ′T Φ′ = ΦT Φ

(RΦ)T (RΦ) = ΦT Φ

ΦT RT RΦ = ΦT Φ

dimana RT R = I. Representasi medan

Φ =

Φ1

Φ2

Φ3

→ ΦT = (Φ1, Φ2, Φ3)

Tinjau pemetaan berikut

t → [Φ1(t), Φ2(t), Φ3(t)] : R1 → R3

x, y → [Φ1(x, y), Φ2(x, y), Φ3(x, y)] : R2︸︷︷︸

eksternal

→ R3︸︷︷︸

internal

ds2 = gµν dxµ dxν → dσ2 = GAB dΦA dΦB

Dalam pemetaan harmonik, dipenuhi syarat-syarat berikut

(1) Φ = (Φ1, Φ2, Φ3) memenuhi kendala.


(2) Φ memenuhi persamaan Euler-Lagrange dari aksi S

S =

∫

dnx√

g︸︷︷︸

eksternal

L,

dimana g = det(gµν), L adalah rapat Lagrangian.

Untuk permukaan (dua dimensi) berlaku

s2(θ, Φ) → ds2 = R2 [dθ2 + sin2 θ dΦ2]

dimana

gθθ = R2, gΦΦ = R2 sin2 θ, gθΦ = 0 = gΦθ.

g =

gθθ gθΦ

gΦθ gΦΦ

=

R2 0

0 R2 sin2 θ

g = det(g) = R4 sin2 θ

√g = R2 sin θ

Pemetaan berikut berlaku

∫

dr dθ dΦ (r2 sin θ)︸︷︷︸

integral volume koordinat bola

→∫

dθ dΦ (R2 sin θ)︸︷︷︸

integral permukaan, r = R =konstan

Untuk pemetaan harmonik, Lagrangian dibentuk dari ”metrik ruang internal” sebagai

berikut

dσ2 = GAB dΦA dΦB

= GAB

(∂ΦA

∂xµdxµ

)(∂ΦB

∂xνdxν

)

= GAB

∂ΦA

∂xµ

∂ΦB

∂xνdxµ dxν .

Notasi sumasi Eistein

∂ΦA

∂xµdxµ =

∂ΦA

∂x1dx1 +

∂ΦA

∂x2dx2 + ...

dimana µ = 1, 2, ... . Secara intuisi, dσ2 → L, diperoleh

L = GAB

∂ΦA

∂xµ

∂ΦB

∂xνgµν .


Dalam tinjauan model σ O(3), (Φ1, Φ2, Φ3) : (Φ1)2 + (Φ2)2 + (Φ3)2 = 1. Parame-

terisasi dengan koordinat bola internal (Θ, Φ)

Φ1 = R sin Θ cos Φ

Φ2 = R sin Θ sin Φ

Φ3 = R cos Θ

Dalam hal ini, diperoleh metrik berikut

dσ2 = R2(dΘ2 + sin2 Θ dΦ2) ≡ GΘΘ dΘ2 + GΦΦ dΦ2

Lagrangian diperoleh (secara intuisi) sebagai berikut

L = R2

(∂Θ

∂xµ

∂Θ

∂xν+ sin2 Θ

∂Φ

∂xµ

∂Φ

∂xν

)

gµν

= R2

(∂Θ

∂xµ

∂Θ

∂xµ+ sin2 Θ

∂Φ

∂xµ

∂Φ

∂xµ

)

.

Pilih gµν diagonal, sehingga

L = R2(∇Θ . ∇Θ + sin2 Θ ∇Φ . ∇Φ

)

yang bersesuaian dalam paper Misner.

Tinjau aksi berikut

S =

∫

d3x L

= R2

∫

d3x

[(∂Θ

∂xµ

)2

+ sin2 Θ

(∂Φ

∂xµ

)2]

.

Tinjau variasi berikut

Θ → Θ + δΘ,

Φ → Φ + δΦ.

Variasi aksi diperoleh

δS = R2

∫

dnx

[

2

(∂Θ

∂xµ

)

δ

(∂Θ

∂xµ

)

+ 2 sin Θ cos ΘδΘ

(∂Φ

∂xµ

)2

+ sin2 Θ

(

2∂Φ

∂xµ

)

δ

(∂Φ

∂xµ

)]

.


Gunakan turunan parsial

δS1 = R2

∫

dnx

[

∂

∂xµ

{

2

(∂Θ

∂xµ

)

δΘ

}

− 2∂2Θ

∂xµ2 δΘ + 2 sin Θ cos Θ

(∂Φ

∂xµ

)2

δΘ

+∂

∂xµ

[

sin2 Θ

(

2∂Φ

∂xµ

)

δΦ

]

−{

∂

∂xµ

[

sin2 Θ

(

2∂Φ

∂xµ

)]}

δΦ

]

.

Beberapa relasi berguna:

δ

(∂A

∂xµ

)

=∂

∂xµ(δA)

g = (gµν)

gµν = g−1

gµνgνρ = δρ

µ

gg−1 = I

g =

R2 0

0 R2 sin2 Θ

g−1 =

a b

c d

gg−1 =

aR2 bR2

cR2 sin2 Θ R2 sin2 Θd

aR2 bR2

cR2 sin2 Θ R2 sin2 Θd

=

1 0

0 1

aR2 = 1 → a =1

R2

R2 sin2 Θd = 1 → d =1

R2 sin2 Θ

Karena

gg−1 =

1 0

0 1

maka

a =1

R2, b = 0, c = 0, d =

1

R2 sin2 Θ.


gΘgΘ =1

R2

gΦgΦ =1

R2 sin2 Θ

gΘagaΘ = gΘΘgΘΘ + gΘΦ

︸︷︷︸

=0, ortogonal

gΦΘ = δΘΘ = 1.

Misal

x =u

t, y =

v

t, z =

w

t

dimana x adalah tak homogen (”affine”).

u2 + v2 + z2 = t2

u2 + v2 + z2 − t2 = 0 (homogen)

u2 + v2 + z2 = (xt)2 + (yt)2 + (zt)2

= x2t2 + y2t2 + z2t2

= t2(x2 + y2 + z2)

= t2

Bab 6

Solusi Klasik, Integral Lintasan

Feynman dan Fisika

• Solusi Klasik (Eksak)→Integral Lintasan Feynman→Fungsi Green→Fisika (Per-

ilaku dan Ciri).

• Solusi Klasik (Eksak)→Fisika (Perilaku dan Ciri).

6.1 Medan

• Vektor meson, spin 1, misal W.

• Persamaan medan Skyrme, ∂a

(La − 1

4[...]

)= 0, indeks di supercript dan subcript

agar bisa dikonstraksi.

• Spin 0 dan paritas -1, medan pseudoskalar.

• Medan skalar, spin 0, paritas +1. Medan vektor, spin 1.

• Φ(−~x) = (−)Φ(~x) → pseudoskalar.

• Aµ(−~x) = (−)Aµ(~x) → pseudovektor.

22

Bab 7

Persamaan Medan Einstein

Solusi persamaan medan Einstein:

• Solusi Schwarchild → bintang statik.

• Solusi Kerr → bintang berotasi (bagaimana jika bentuk bintang agak pipih?).

• Solusi Ernst (?) → bintang bermuatan.

• Solusi Skyrme → bintang dengan muatan topologi.

• Solusi Yang-Mills → bintang dengan flavour, colour.

Untuk N-body (bintang), diasumsikan posisi bintang segaris, bagaimana jika posisinya

tidak segaris?

7.1 Pemetaan

Fungsi y = f(x) adalah pemetaan:

x ∈ R1

y ∈ R1

y : R1 → R1

23

BAB 7. PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN 24

Misal:

f(x) = x2

U = U(x)

U ∈ SU(2)

x ∈ M4

w = f(z)

= u(x, y) + iv(x, y)

Tinjau pemetaan berikut:

U(x) : M4︸︷︷︸

ruang basis

→ SU(2)︸︷︷︸

ruang target

Beberapa pengertian:

• Muatan topologi (winding number) = Volume ruang target / Volume ruang basis.

• Solusi statik:

U︸︷︷︸

target

( ~r︸︷︷︸

basis

) : r ∈ R3

U ∈ SU(2)

U : R3 → SU(2) ≈ S3

di r → ∞, U = I

R3︸︷︷︸

ruang (3 dimensi)

∼= S3︸︷︷︸

bola (3 dimensi)

U : S3 → S3.

• Muatan topologi = Volume (SU(2))/Volume (S3) = Volume grup (S3)/Volume

ruang (S3) = n.

• Winding number = Keliling lingkaran (target)/Keliling lingkaran (basis) = n(2πr)/(2πr)

= n.

BAB 7. PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN 25

• Syarat muatan topologi R3 → S3: kompak.

• Muatan topologi = winding number = volume ruang target (kompak)/volume

ruang basis (kompak).

• Kompak: bola, elipsoid, lingkaran, sepenggal garis, selaput gendang.

• Nonkompak: silinder, hiperboloida, hiperbola, garis lurus.

• Vorteks:

1

λ

∮

~V . d~r = n

dimana n terkuantisasi.

• Fluida berputar:

U ′ = AUA+

Erotasi =j(j + 1)

2I.

• Muatan, Q:

Q =I2 + σ3

2

=1

2

1 0

0 1

+

1 0

0 −1

=1

2

2 0

0 0

=

1 0

0 0

.

• Jika operator muatan diterapkan pada representasi proton dan neutron, diperoleh

Q

p

n

=

1 0

0 0

p

n

=

p

0

yakni, proton (p) bermuatan dan neutron (n) tak bermuatan.

Bibliografi

[1] Wikipedia, Skyrmion, http://id.wikipedia.org/wiki/Skyrmion.

[2] Miftachul Hadi, Hans J. Wospakrik, SU(2) Skyrme Model for Hadron, Physics Jour-

nal Indonesia Physics Society, 2004.

[3] Miftachul Hadi, Model Skyrme SU(2) untuk Hadron, Tesis Master, Departemen

Fisika, Universitas Indonesia, 2004.

[4] Diskusi dan Catatan Kuliah dengan Hans J. Wospakrik.

26

Documents

Skyrmion, Soliton, Baryon,