Embed Size (px)
Citation preview
Comencem
� Escriu l�expressió algèbrica de cinc funcionsque tinguin per derivada la funció f(x) = 2x + 3.
Resposta oberta. Per exemple:
F1(x) = x2 + 3x; F2(x) = x2 + 3x + 1;
F3(x) = x2 + 3x + 10; F4(x) = x2 + 3x � ;F5(x) = x2 + 3x � p
� Se sap que la derivada d�una funció G(x) ésg(x) = ex. Si la gràfica de la funció G(x) passapel punt (0,3), quina de les funcions se-güents és G(x)?
a) G(x) = ex + 3 b) G(x) = ex + 2 c) G(x) = ex � 3
G(x) = ex + 3, ja que G(0) = 3.
� Escriu l�equació de tres funcions que tinguinper derivada la funció f(x) = 2. Representa-les gràficament i comprova que pots obtenirla gràfica de cadascuna d�aquestes funcionsper translació d�una qualsevol de les altresdues.
Resposta oberta. Per exemple:
F1(x) = 2x; F2(x) = 2x + 3; F3(x) = 2x � 2;
Figura 5.1
El vector = (0, 3) permet passar de la gràfica
de F1(x) a la de F2(x), i el vector , de la gràfi-
ca F2(x) a la de F1(x). El vector = (0, �2) tras-llada la gràfica de F1(x) a la de F3(x), i el vector
, la gràfica de F3(x) a F1(x). Finalment, el
vector = (0, �5), permet passar de la gràfica
de F2(x) a la de F3(x), e el vector , de la gràfi-ca de F3(x) a la de F2(x).
Exercicis
1. Escriu l�expressió general de les primitivesde cadascuna de les funcions següents:
a) f(x) = 3x2
F(x) = x3 + C
b) g(x) = sin x
G(x) = �cos x + C
c) h(x) = �5
H(x) = �5x + C
d) i(x) =
I(x) = ln x + C
2. Determina la funció primitiva de la funció:
f(x) = cos x
la gràfica de la qual passi pel punt de coor-denades .
F(x) = sin x + C
F = 4 ® 4 = sin + C ® 4 = 1 + C ® C = 3
F(x) = sin x + 3
3. Se sap que la funció:
és una primitiva de la funció f(x). Quina ésla funció f(x)?
4. Comprova que totes les primitives de lafunció f(x) = ln x són del tipus F(x) = x (ln x� 1) + C.
F '(x) = ln x � 1 + x = ln x + 1 �1 = ln x = f(x)
5. Si G1 i G2 són dues primitives d�una mateixa
funció g, es poden tallar els seus gràfics?Dibuixa la gràfica de la funció G1 sabentque passa pel punt (0, �4) si la gràfica de lafunció G2 és el de la figura 5.4.
1
x
2 2
2 2 2 2
2 ( 1) ( 1) 2 4( ) '( )
( 1) ( 1)
x x x x xf x F x
x x
- - + × -= = =
- -
2
2
1( )
1x
F xx
++==
--
2
p2
pæ öç ÷è ø
1x
t-r
tr
w-ur
wur
v-r
vr
2-
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
53
SOLUCIONARI Unitat 5
Fig. 5.2
No es poden tallar, ja que les expressions al-gebraiques de les funcions G1(x) i G2(x) només
es diferencien en una constant.
6. Calcula la derivada de les funcions se-güents i escriu-ne després les correspo-nents integrals indefinides:
a) f(x) = tg x
b) g(x) = 23x+5
c)
d) i(x) = ln2 x
7. Troba la derivada de les funcions següents:
a) f(x) = òx 3x dx
f '(x) = x3x
b) g(x) = òcos2 x dx
g'(x) = cos2 x
c) h(x) = ò(tg x � ln x) dx
h'(x) = tg x � ln x
d) i(x) = òx2 ex dx
i ' (x) = x2 ex
8. Un mòbil recorre una trajectòria rectilíniaamb una acceleració constant de 2 m/s2. Sesap que en el moment de començar acomptar el temps, v(0) = 3 m/s i s(0) = �5 m.
Troba les expressions de les funcions v =v(t) i s = s(t) corresponents al seu movi-ment.
Cal que recordis:
v(0) = 3 m/s ® 3 = 2·0 + C ® C = 3 m/sv(t) = 2t + 3 m/s
s(0) = �5 m ® �5 = 02 + 3·0 + C ® C' = �5 ms(t) = t2 + 3t � 5 m
9. Comprova que les derivades de les fun-cions següents:
F(x) = , n Î , n ¹ �1 i G(x) =
són, respectivament, f(x) = xn i g(x) = ax.
1'( ) ln ( )
lnx xG x a a a g x
a= × × = =
1'( ) ( 1) ( )
1n nF x n x x f x
n= × + = =
+
ln
xaa
R1
1
nxn
++
++
2( ) (2 3) 3 's t t dt t t C= + = + +ò
( ) 2 2v t dt t C= = +ò
( ) ( ) ( )derivant derivants s t v v t a a t== ¾¾¾¾¾¾¾¾®® == ¾¾¾¾¾¾¾¾®® ==
21 2ln 2ln'( ) 2ln ln
x xi x x dx x C
x x x= = ® = +ò
2
2 2 2
8
( 4) 4
x xdx C
x x
-® = +
- -ò
2 2
2 2 2 2
2 ( 4) 2 8'( )
( 4) ( 4)
x x x x xh x
x x
- - -= = ®
- -
2
2( )4
xh x
x==
--
3 5 3 5 3 5'( ) 2 3ln2 2 3ln2 2x x xg x dx C+ + += ® = +ò
2(1 )tg x dx tgx C+ = +ò
22 2
1 1'( ) 1
cos cosf x tg x dx
x x= = + ® =ò
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
54
10. Troba òx�1 dx.
11. Calcula les primitives següents:
a)
b)
c)
d)
12. Determina la primitiva de la funció f(x) = 1 +tg2 x la gràfica de la qual conté el punt
.
13. Calcula:
a)
b) ò-sin x cos2 x dx
c)
d)
e)
f)
14. Troba la primitiva de la funció f(x) = sin xcos x la gràfica de la qual passa pel punt
.
15. Justifica el motiu pel qual podem afirmarque no hi ha cap primitiva de la funció f(x) =
que presenti màxims ni mínims re-
latius en el seu domini.
Sigui F(x) una primitiva de f(x).
Per trobar els màxims i mínims relatius de F(x)cal resoldre l�equació F '(x) = 0. És senzill ob-servar que aquesta equació no té solució.
2
1'( ) ( )
( 2)F x f x
x= =
-
2
1
( 2)x --
2sin( ) 7
2
xF x = +
15 17
2 2C C® = + ® =
2sin15 15 2
2 2 2 2F C
pæ öç ÷pæ ö è ø= ® = + ®ç ÷
è ø
2sin( ) sin cos
2
xF x x xdx C= = +ò
p 15,
2 2ææ ööçç ÷÷èè øø
22
2sin cosln(1 sin )
1 sin
x xdx x C
x= + +
+ò
2
2sin cos1 sin
x xdx
x++òò
22
2 1ln 10
10
xdx x x C
x x
+= + - +
+ -ò
2
2 110
xdx
x x
++++ --òò
1
3C
x
-= +
-
12
2
1 ( 3)( 3)
1( 3)
xdx x dx C
x
-- -
= - = + =--ò ò
2
1( 3)
dxx --òò
2
2 2
arctg 1 (arctg )arctg
21 1
x xdx x C
x x= × = +
+ +ò ò
2
arc tgx1 + x
dxòò
32 cos
sin cos3
xx xdx C- = +ò
32 22 3(1 ) 2
(1 )3 3
2
xC x C
+= + = + +
12 2 22 1 2 (1 )x x dx x x dx+ = + =ò ò
22 1x x dx++òò
( ) tg 2F x x= +
3 3 tg 3 1 24 4
F C C Cp pæ ö = ® = + ® = + ® =ç ÷
è ø
2( ) (1 tg ) tgF x x dx x C= + = +ò
p,3
4ææ ööçç ÷÷èè øø
4 34( )3 3344 ln4
x x
xdx dx C
æ ö= = +ç ÷è øò ò
34
x
x dxòò
1/ 2 2 /335 /3
2 2 3 2
3
2 / 3 2
x x xdx dx x dx dx C
x x x
-- -
= = = = +-ò ò ò
3
2
xdx
xòò
7434 43 74
4
7 4 7
xx dx x dx C x C= = + = +ò ò
4 3x dxòò
34
4 3
1 1
3 3
xdx x dx C C
x x
-- -
= = + = +-ò ò
4
1dx
xòò
1 1lnx dx dx x C
x- = = +ò ò
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
55
16. Troba la primitiva de la funció f(x) = �sin xecos x la gràfica de la qual talla l�eix d�abscis-
ses en x = .
17. Calcula:
a) ò4x3 sin (x4 � 3) dx
b) dx
c) dx
d) dx
e) dx
f) ò(tg2 x + tg4 x) dx
18. Calcula:
a) ò(3x2 � 1) cos (x3 � x) dx
b) dx
c) ò3x2 sin x3 dx
d) dx
e) dx
f) dx
19. Determina les asímptotes de la funció:
F(x) = dx sabent que F(�2) = 2
Asímptota vertical: la recta x = �3
Asímptota horitzontal: la recta y = 3
3 8lim ( ) lim 3
3x x
xF x
x®¥ ®¥
+= =
+
3 0 3x x+ = ® = -
1 1 3 9 3 8( ) 3
3 3 3
x xF x
x x x
- - + + += + = =
+ + +
1( 2) 2 2 3
2 3F C C
-- = ® + = ® =
- +
1( 3) 1
1 ( 3)
xC C
x
-+ -= + = +
- +
22
1( ) ( 3)
( 3)F x dx x dx
x-= = + =
+ò ò
2
1
( 3)x ++òò
cos 1cos sin
2 2
xdx x dx x C
x x= × = +ò ò
cos
2
x
xòò
ln arcsin x C= +
2
2
1
1 1arcsin1 arcsin
xdx dxxx x
-= =-
ò ò
2
1
1 arcsinx x--òò
ln( 9)9
xx
x
edx e C
e= + +
+ò
9
x
x
ee ++òò
2 3 33 sin cosx x dx x C= - +ò
12 22(1 )
2 112
xC x C
+= + = + +
12 2
2
22 (1 )
1
xdx x x dx
x
-= × + =
+ò ò
2
2
1
x
x++òò
2 3 3(3 1)cos( ) sin( )x x x dx x x C- - = - +ò
3tg
3
xC= +
32 4 2 2 tg
(tg tg ) tg (1 tg )3
xx x dx x x dx C+ = + = +ò ò
21 tgln tg
tg
xdx x C
x
+= +ò
21 tg xtgx
++òò
24 2 2
2 2arctg
1 1 ( )
x xdx dx x C
x x= = +
+ +ò ò
4
21
xx++òò
ln lnln4 1 4
4ln4
x xxdx dx C
x x= × = +ò ò
ln4 x
xòò
tgtg tg
2 2
1
cos cos
xx xe
dx e dx e Cx x
= × = +ò ò
2cos
tgxexòò
3 4 44 sin( 3) cos( 3)x x dx x C- = - - +ò
cos( ) 1xF x e= -
cos20 0 0 1 1
2F e C C C
ppæ ö = ® = + ® = + ® = -ç ÷è ø
cos cos( ) sin x xF x xe dx e C= - = +ò
p2
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
56
20. Calcula:
a) ò(2x3 � 3x2 + 5x � 1) dx
b) dx
c) ò(32x � e4x + 1) dx
d) dx
e) ò(2x � 3)(2x + 3) dx
f) dx
g) dx
h) dx
21. Se sap que la gràfica d�una funció passapel punt P(1, 4) i que el pendent de la rectatangent en qualsevol punt d�aquesta gràficas�expressa mitjançant m(x) = 2x2 � 3x + 5.Determina l�expressió algèbrica d�aquestafunció.
22. Troba la primitiva de la funció f(x) =
que s�anul·la quan x = 2.
F(2) = 0 ® + C = 0 ® C = = �
F(x) =
23. Calcula òtg2 x dx.
Et suggerim que apliquis l�estratègia se-güent:
tg2 x = 1 + tg2 x � 1
24. Calcula:
a) ò5cos (3x � 2) dx
5sin(3 2)
3x C= - +
55cos(3 2) 3cos(3 2)
3x dx x dx- = - =ò ò
2( 1)tg x dx dx tgx C= + - = +ò ò
2 2( 1 1)tg xdx tg x dx= + - =ò ò
2 31( 1) 3
3x - -
313 3
3×
127
3
2 3 22 31 ( 1) 1
( 1)32 32
xC x C
-= + = - +
12 2 21
( ) 1 2 ( 1)2
F x x x dx x x dx= × - = × - =ò ò
2 1x x --
3 22 3 1( ) 5
3 2 6F x x x x= - + -
2 3 1(1) 4 5 4
3 2 6F C C= ® - + + = ® = -
2 3 22 3( ) (2 3 5) 5
3 2F x x x dx x x x C= - + = - + +ò
27ln 5 3
10x C- +
2 2
7 7 10
105 3 5 3
x xdx dx
x x= =
- -ò ò
2
75 3
xx --òò
21( )
3x x C= - +
3 2
2
2 2 1
3 33
x xdx x dx
x
- æ ö= - =ç ÷è øò ò
3 2
2
23
x xx
--òò
9ln 7 3
7x C= + +
9 9 7
(7 3) 7 7 3dx dx
x x= =
+ +ò ò
97 3x ++òò
349
3x x C= - +
2(2 3)(2 3) (4 9)x x dx x dx- + = - =ò ò
15 (2 1) 5
2 1 2(2 1)
xC C
x
-- -= × + = +
- -
22
5 52 (2 1)
2(2 1)dx x dx
x-= × - =
-ò ò
2
5
(2 1)x --òò
243 1
2ln3 4
xxe x C= - + +
2 41 12ln3 3 4
2ln3 4x xdx e dx dx× - × + =ò ò ò
2 4(3 1)x xe dx- + =ò
5ln
7x C+ +
2 5 2 5 1 2
7 7 7 7
xdx dx x
x x
+ æ ö= + × = +ç ÷è øò ò
2 57x
x
++òò
4 3 21 5
2 2x x x x C= - + - +
3 2(2 3 5 1)x x x dx- + - =ò
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
57
b) dx
c) dx
d) dx
e) dx
f) dx
g) dx
h) dx
i) dx
j) dx
25. Calcula:
a) òx sin x dx
b) òe2x sin x dx
22 ( cos 2sin )
sin5
xx e x x
e xdx C- +
= +ò
2 25 sin ( cos 2sin )x xe xdx e x x= - +ò
2 ( cos 2sin )xe x x= - +
2 2sin 4 sinx xe xdx e xdx+ =ò ò
24 sinxe xdx- ò
2 2 2sin cos 2 sinx x xe xdx e x e x= - + -ò
2 22( sin 2 sin )x xe x dx e x dx+ - ò
2 2sin cosx xe xdx e x= - +ò
2 2( ) '( ) 2
'( ) cos ( ) sin
x xr x e r x e
s x x s x x
= ® == ® =
2 2 2cos sin 2 sinx x xe xdx e x e xdx= -ò ò
2 2 2sin cos 2 cosx x xe xdx e x e xdx= - +ò ò
2 2( ) '( ) 2
'( ) sin ( ) cos
x xf x e f x e
g x x g x x
= ® == ® = -
2 sinxe xdx×ò
cos sinx x x C= - + +
sin cos cosx xdx x x xdx= - + =ò ò
( ) '( ) 1
'( ) sin ( ) cos
f x x f x
g x x g x x
= ® == ® = -
2
3 1 5 35
4 5 201 (5 )dx arctg x C
x= × = +
+ò
2 2
3 3 1
44 100 1 25dx dx
x x= =
+ +ò ò
2
34 100x++òò
3 3 23 32 (1 ) 4
(1 )33 92
xdx C x C
-= - × + = - - +
1 22 3 2 322 1 3 (1 )
3x x dx x x dx- = - - - =ò ò
2 32 1x x--òò
5arcsin3
3x C= +
2 2
5 5 3
31 9 1 (3 )dx dx
x x= =
- -ò ò
2
5
1 9x--òò
7arctg2
2x C= +
2 2
7 7 2
21 4 1 (2 )dx dx
x x= =
+ +ò ò
2
71 4x++òò
1 23 (5 8) 65 8
15 52
xC x C
+= × + = + +
1 23 35 (5 8)
55 8dx x dx
x
-= × + =
+ò ò
3
5 8x ++òò
3 231 (7 6) 2
(7 6)37 212
xC x C
-+ = - +
1 217 6 7 (7 6)
7x dx x dx- = × - =ò ò
7 6x --òò
ln 5xe e C= × - +
1
5 5 5
x x x
x x x
e e e edx dx e dx
e e e
+ ×= = =
- - -ò ò ò
1
5
x
x
ee
++
--òò
14cos
3x C
-= +
7sin 7 2 sin
33 2
x xdx
x x
×= =ò ò
7sin
3
x
xòò
1ln 5 12
5x C= - +
1 1 5
5 12 5 5 12
xdx dx
x x= =
- -ò ò
15 12x --òò
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
58
c) òln x dx
d) òx ln x dx
e) ò2x x dx
f) òarc sin x dx
g) ò(x + 2) e3x dx
h) dx
i) ò(3x + 2) cos x dx
j) dx
26. Ja has vist que, de vegades, cal aplicar enmés d�una ocasió el mètode d�integracióper parts. Et caldrà fer-ho en el càlcul de lesprimitives següents:
a) òx2 e5x dx
22
1 1 1 1
2 2 22x
xe x C x C
e- -æ ö æ ö= - + + = + +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 21 1 1
2 2 2x xe x e C- -= - × - × + =
2 2 21 1
2 2x x xx e dx e x e dx- - -× = - × + =ò ò
2 2
( ) '( ) 1
1'( ) ( )
2x x
f x x f x
g x e g x e- -
= ® =
= ® = -
22
x
x
xdx x e dx
e-= ×ò ò
2x
xeòò
3 sin (3 2)sin 3cosxdx x x x C- = + + +ò
(3 2)cos (3 2)sinx xdx x x+ = + -ò
( ) 3 2 '( ) 3
'( ) cos ( ) sin
f x x f x
g x x g x x
= + ® == ® =
(3 2)cosx xdx+ò
1 1
ln33 ln3xx C
- æ ö= + +ç ÷è ø
1 13 3
ln3 ln3 ln3x xx
C- --- × + =
13 3 3
ln3 ln3x x xx
x dx dx- - --× = + =ò ò
( ) '( ) 11
'( ) 3 ( ) 3ln3
x x
f x x f x
g x g x- -
= ® =-
= ® =
33
x
x
xdx x dx-= ×ò ò
3x
xòò
3 31 52
3 3 3 3
x xe ex C x C
æ ö æ ö= + - + = + +ç ÷ ç ÷è ø è ø
3 31( 2)
3 3 3
x xe ex C= + - × + =
3 3 31 1( 2) ( 2)
3 3x x xx e dx x e e dx+ = + - =ò ò
3 3
( ) 2 '( ) 1
1'( ) ( )
3x x
f x x f x
g x e g x e
= + ® =
= ® =
2 1 221 (1 )
arcsin 12 1 2
xC x x x C
-+ × + = + - +
1 2212 (1 ) arcsin
2x x dx x x
-+ - - = +ò
1 22arcsin (1 ) arcsinx x x x dx x x-
= - × - = +ò
2arcsin arcsin
1
xxdx x x dx
x= - =
-ò ò
2
1( ) arcsin '( )
1'( ) 1 ( )
f x x f xx
g x g x x
= ® =-
= ® =
arcsin xdxò
2 1 2 2 1
ln2 ln2 ln2 ln2 ln2
x x xxC x C
× æ ö= - × + = - +ç ÷è ø
2 12 2
ln2 ln2
xx xxdx x dx= - - =ò ò
( ) '( ) 1
2'( ) 2 ( ) ln2xx
f x x f x
g x g x
= ® =
= ® =
2 1ln
2 2
xx C
æ ö= - +ç ÷è ø
2 21 1ln
2 2 2 2
x xxdx x C- = - + =ò
2 2 21ln ln ln
2 2 2
x x xx xdx x dx x
x= - × = -ò ò
2
1( ) ln '( )
'( ) ( ) 2
f x x f x x
xg x x g x
= ® =
= ® =
ln (ln 1)x x x C x x C= - + = - +
1ln ln lnxdx x x xdx x x dx
x= - × = - =ò ò ò
1( ) ln '( )
'( ) 1 ( )
f x x f x xg x g x x
= ® =
= ® =
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
59
.
b) ò x3 sin x dx
c) ò(x2 + 4) · 3x dx
d) ò x2 cos x dx
e) dx
2 1 2
ln2 ln2 ln2
x xx - --= -
2 22
ln2 ln2
x xx x
x dx dx- -
- -× = + =ò ò
22 2 22 2
ln2 ln2
xx xx
x dx x dx-
- -- ×= + ×ò ò
2( ) '( ) 2
2'( ) 2 ( )
ln2
xx
f x x f x x
g x g x-
-
= ® =
-= ® =
22 2
2x
x
xdx x dx-=ò ò
2
2x
xòò
2 sin 2 cos 2sinC x x x x x C+ = + - +
2 2cos sin 2( cos sin )x xdx x x x x x= - - + +ò
( ) '( ) 1
'( ) sin ( ) cos
r x x r x
s x x s x x
= ® == ® = -
cos sinx x x= - +
sin cos cosx xdx x x xdx= - + =ò ò
2 2cos sin 2 sinx xdx x x x xdx= -ò ò
2( ) '( ) 2
'( ) cos ( ) sin
f x x f x x
g x x g x x
= ® == ® =
2 cosx xdxò
22
3 2 24
ln3 ln3 (ln3)
x
x x Cé ù
= - + + +ê úë û
2
2 3 3
ln3 ln3 (ln3)
x xxC
æ ö×- - + =ç ÷
è ø
22 ( 4)3
( 4)3ln3
xx x
x dx+
+ = -ò
( ) '( ) 1
3'( ) 3 ( )
ln3
xx
r x x r x
s x s x
= ® =
= ® =
1 3
ln3 ln3
x
- ×
3 1 33 3
ln3 ln3 ln3
x xx x x
x dx x dx×
× = × - = -ò ò
2 2 3 2( 4) 3 ( 4) 3
ln3 ln3
xx xx dx x x dx+ × = + - ×ò ò
2( ) 4 '( ) 23
'( ) 3 ( )ln3
xx
f x x f x x
g x g x
= + ® =
= ® =
2( 4) 3xx dx+ ×ò
2(3 6)sinx x C+ - +
36 cos 6sin ( 6 )cosx x x C x x x+ - + = - + +
3 3 2sin cos 3 sinx xdx x x x x= - + +ò
( ) '( ) 1
'( ) sin ( ) cos
t x x t x
n x x n x x
= ® == ® = -
cos sinx x x= - +
sin cos cosx xdx x x xdx= - + =ò ò
23 sin 6 sinx x x xdx+ - ò
2 33( sin 2 sin ) cosx x x xdx x x+ - = - +ò
3 3sin cosx xdx x x= - +ò
2( ) '( ) 2
'( ) cos ( ) sin
r x x r x x
s x x s x x
= ® == ® =
2 2cos sin 2 sinx xdx x x x xdx= -ò ò
3 3 2sin cos 3 cosx xdx x x x xdx= - +ò ò
3 2( ) '( ) 3
'( ) sin ( ) cos
f x x f x x
g x x g x x
= ® == ® = -
3 sinx xdxò
2 5 2 5 5 5
5 2
1 2 1 1e e e e
5 5 5 25
1 2 2e
5 5 25
x x x x
x
x dx x x C
x x C
æ ö= - - +ç ÷è ø
æ ö= - + +ç ÷è ø
ò
5 5
( ) '( ) 1
1'( ) ( )
5x x
r x x r x
s x e s x e
= ® =
= ® =
5 5 5 5 51 1 1 1
5 5 5 25x x x x xxe dx xe e dx xe e= - = -ò ò
2 5 2 5 51 2
5 5x x xx e dx x e xe dx= -ò ò
2 5
2
5 5
( ) '( ) 2
1'( ) ( )
5
x
x x
x e dx
f x x f x x
g x e g x e
= ® =
= ® =
ò
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
60
f) ò(1 � x2) 23x dx
27. a) Resol l�equació F �(x) = 0 si F(x) = òex x (2+ x) dx.
Les solucions són x1 = 0 i x2 = �2
b) Calcula la primitiva de la funció f(x) = ex
x (2 + x) la gràfica de la qual passa perl�origen de coordenades.
28. Calcula amb els canvis de variable indicats:
a) dx amb x = 4t
b) dx amb = t
1 22 1 1 1( 2)
3 3
xx x x
-æ ö= - + = - +ç ÷è ø
33 ( 1)2 2 1
3 3
xtt C x C
æ öæ ö -ç ÷= + + = + - + =ç ÷ ç ÷è ø è ø
221
2 2 ( 1)1
x tdx tdt t dt
tx
+= = + =
-ò ò ò
2dx dt® = +
2 2 21 1 1x t x t x t- = ® - = ® = + ®
1x --1
x
x --òò
arcsin arcsin4
xt C C= + = +
2 2 2
1 1 14
16 16 16 1dx dt dt
x t t= =
- - -ò ò ò
2
1; 4 4
16dx x t dx dt
x= ® =
-ò
2
1
16 x--òò
2( ) xF x x e® =
(0) 0 0 0 0F C C= ® = + ® = ®
22 2x x xxe e C x e C- - + = +
22[( 1) ] 2x x x xx e e C x e xe- + - + = × + -
2 2( ) ( 2 ) ( 2 )x xF x e x x dx x x e= + = + -ò
( ) 1 '( ) 1
'( ) ( )x x
r x x r x
s x e s x e
= + ® =
= ® =
( 1) x xx e e= + -
( 1) ( 1)x x xx e dx x e e dx+ = + - =ò ò
2 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( 1)x x xe x x dx x x e x e dx+ = + - +ò ò
'( ) ( )x xg x e g x e= ® =
2( ) 2 '( ) 2 2 2( 1)f x x x f x x x= + ® = + = +
2( 2 )xe x x dx+ =ò
2x® = -
( ) ( 2)
'( ) ( 2)
0'( ) 0 ( 2) 0
2 0
x
x
x
F x e x x dx
F x e x x
xF x e x x
x
= +
= +
== ® + =
+ =
ò
( )
32
2
2 2 21
3ln2 3ln2 3ln2
x xx C
é ùê ú= - + - + +ê úë û
( )
3 3
2
2 2 2
3ln2 3ln2 3ln2
x xxC
é ùê ú+ - + =ê úë û
2 32 3 (1 )2
(1 )23ln2
xx x
x dx-
- = +ò
3 3
( ) '( ) 1
1'( ) 2 ( ) 2
3ln2x x
r x x r x
s x s x
= ® =
= ® =
( )
3 3
2
2 2
3ln2 3ln2
x xx ×= -
3 3 31 12 2 2
3ln2 3ln2x x xx dx x dx= × - =ò ò
322
3ln2xx dx+ ×ò
2 3 2 31(1 )2 (1 ) 2
3ln2x xx dx x- = - × +ò
2
3 3
( ) 1 '( ) 2
1'( ) 2 ( ) 2
3ln2x x
f x x f x x
g x g x
= - ® = -
= ® = ×
2 3(1 )2 xx dx-ò
( )2
2
1 2 2
ln22 ln2 ln2x
x x Cé ù-ê ú= + + +ê úë û
2 2 1 2
ln2 ln2 ln2 ln2
x xxC
- -æ ö- ×+ - + =ç ÷
è ø
22 22
ln2
xx x
x dx-
- - ×= +ò
( ) '( ) 1
2'( ) 2 ( )
ln2
xx
r x x r x
s x s x-
-
= ® =
-= ® =
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
61
29. Aplicant el canvi de variable sin x = t, calcu-la:
òcos3 x dx
Si tens en compte la igualtat següent:
cos3 x = cos2 x cos x = (1 � sin2 x) cos x
la pots calcular sense canvi de variable.Fes-ho.
30. Calcula la integral ò dx utilitzant elcanvi de variable x = sin t o x = cos t. Arri-baràs a una integral del tipus:
òcos2 t dt o òsin2 t dt
respectivament. Et caldrà fer ús de les iden-titats trigonomètriques:
cos2 t = o sin2 t =
31. La integral dx és quasi immediata.
Calcula-la.
Comprova que arribes al mateix resultataplicant-hi el canvi de variable x2 + 3 = t.
32. Calcula:
a)
b)
2
3 2 11 6 7 6
3 39
xdx dx dx
x xx
-= + =
+ --ò ò ò
3 7 6 7 6
3 11 ( 6) 11 6
x B B
x A A
= ® = × ® == - ® - = × - ® =
3 2 ( 3) ( 3)x A x B x- = - + +
2
3 2
3 39
x A B
x xx
-= +
+ --
2
3 29
xdx
x
----òò
10
2C
x
-= +
-
12 ( 2)
10 ( 2) 101
xx dx C
-- -
= - = × + =-ò
= =- + -ò ò2 2
10 10
4 4 ( 2)dx dx
x x x
2
104 4
dxx x-- ++òò
2ln 3x C= + +
2 21 1ln 3 ln( 3)
2 2x C x C= + + = + + =
2 2
1 2 1 1ln
2 2 23 3
x x dtdx dx t C
tx x= = = + =
+ +ò ò ò
2 3 2x t dt xdx+ = ® =
2ln 3x C= + +
22 2
1 2 1ln( 3)
2 23 3
x xdx dx x C
x x= = + + =
+ +ò ò
2 3x
x ++òò
21( arccos 1 )
2x x x C= - - + - +
2sin cos 1( sin cos )
2 4 2
t t tC t t t C
æ ö= - - + = - + +ç ÷è ø
1 cos2 sin2
2 2 4
t t tdt C
- æ ö= - = - - + =ç ÷è øò
2 2 21 1 cos sin sinx dx t tdt tdt- = - - = - =ò ò ò
cos sinx t dx tdt= ® = -
C+
21 1( sin cos ) (arcsin 1 )
2 2t t t C x x x= + + = + - +
2sin cos sin cos
2 4 2 2
t t t t t tC C C+ = + + = + + =
1 cos2 1 cos2 sin2
2 2 2 2 4
t t t tdt dt
+ æ ö= = + = + +ç ÷è øò ò
2 2 21 1 sin cos cosx dx t tdt tdt- = - = =ò ò ò
sin cosx t dx tdt= ® =
1 cos22
t--1 cos22
t++
21 x--
3 2sin sinsin sin 1
3 3
x xx C x C
æ ö- + = - +ç ÷
è ø
2 2(1 sin )cos (cos sin cos )x xdx x x x dx= - = - =ò ò
3 2cos cos cosxdx x xdx= =ò ò
3 2sin sinsin sin 1
3 3
x xx C x C
æ ö= - + = - +ç ÷
è ø
= - = - = - + =ò ò3
2 2(1 sin ) (1 )3
tx dt t dt t C
3 3 2cos cos coscos
dtxdx x xdt
x= = =ò ò ò
sin coscos
dtx t dt xdx dx
x= ® = ® =
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
62
c)
d)
e)
f)
33. Calcula fent el canvi de varia-
ble x = t 6.
34. Calcula:
a)
æ ö= + + =ç ÷- -è øò ò2 25
55 5
xdx x dx
x x
2
5x
dxx --òò
t3 t2 + 1
�t3 � t2 t2 � t +1
� t2
+ t2 + tt
� t + 1� 1
3 6 62 2 3 6 6ln 1x x x C= - + - + +
3 22 3 6 6ln 1t t t t C= - + - + + =
3 2
6 ln 13 2
t tt t C
æ ö= - + - + + =ç ÷
è ø
32 1
6 6 11 1
tdt t t dt
t tæ ö= = - + - =ç ÷+ +è øò ò
= = =+ ++ò ò ò
55
2 3 2 33
1 16 6
tdx t dt dt
t t t tx x
3 6 2 6 33 ;x t t x t t= = = =]
6 56x t dx t dt= ® =
3
1dx
x x++òò
21ln 6 5
2x x C= - + +
- -= =
- + - +ò ò2 2
3 1 2 6
26 5 6 5
x xdx dx
x x x x
2
36 5
xdx
x x
---- ++òò
53ln 2 ln 3
2x x C+ - - - +
3 5 2 1ln 1
2 3 2dx dx x
x x
-+ + = - - +
- -ò ò
1 2 1 2
( 1)( 2)( 3) 1
xdx dx
x x x x
- -= +
- - - -ò ò
1 1 2 1 2
2 3 ( 1) 3
3 5 2 5 2
x A A
x B B
x C C
= ® - = × ® = -= ® - = × - ® == ® - = × ® = -
( 1)( 2)C x x+ - -
1 2 ( 2)( 3) ( 1)( 3)x A x x B x x- = - - + - - +
1 2
( 1)( 2)( 3) 1 2 3
x A B C
x x x x x x
-= + +
- - - - - -
3 26 11 6 ( 1)( 2)( 3)x x x x x x- + - = - - -
3 21 2 36 11 6 0 1, 2, 3x x x x x x- + - = ® = = =
3 2
1 26 11 6
xdx
x x x
---- ++ --òò
31 1
3ln 1 3ln lnx x
x C C Cx x
- -+ - + = + = +
3 3 33ln
( 1) 1dx dx dx x
x x x x
-= + = - +
- -ò ò ò
3 ( 1)
0 3 ( 1) 3
1 3 3
A x Bx
x A A
x B B
= - += ® = × - ® = -= ® = ® =
= = +- --2
3 3
( 1) 1
A B
x x x xx x
2
3dx
x x--òò
1ln 2
6x C+ + +
1 6 3 2ln ln 1
2 2 3dx x x
x+ = - - +
+ò
2 3 3 2 2 3
( 1)( 2) 1
xdx dx dx
x x x x x
- -= + +
- + -ò ò ò
0 3 ( 2) 3 2
1 2 3 2 3
2 1 6 1 6
x A A
x B A
x C C
= ® - = × - ® == ® - = × ® = -= - ® = × ® =
( 1)Cx x+ -
2 3 ( 1)( 2) ( 2)x A x x Bx x- = - + + + +
-= + +
- + - +
2 3
( 1)( 2) 1 2
x A B C
x x x x x x
2 3( 1)( 2)
xdx
x x x
---- ++òò
11 7ln 3 ln 3
6 6x x C= + + - +
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
63
b)
c)
d)
Acabem
1. Determina la funció f(x) sabent que la fun-ció F(x) = x2 ex + 2 n�és una primitiva.
2. Quina és la primitiva de la funció f(x) = 2x + + 5 que verifica la condició F(1) = 9? I la queverifica F�1(3) = �3?
3. Dos companys obtenen resultats diferentsen el càlcul de les primitives d�una mateixafunció. El primer obté:
òcos2 3x dx = i el segon,
òcos2 3x dx = sin6
2 12x x
C++ ++
sin62 12x x
C-- ++
2
12
11
22
2
( ) (2 5) 5
(1) 9 9 1 5 3( ) 5 3
(3) 3 3 9 15 9( ) 5 9
F x x dx x x C
F C CF x x x
F C CF x x x
-
= + = + += ® = + + ® = ®
® = + += - ® = - + ® = ®
® = + +
ò
2( ) '( ) 2 (2 )x x xf x F x x e x e xe x= = × + × = +
x2 + 9 x2 � 9
�x2 + 9 118
33
ln3
xx C
x
-= + +
+
3(ln 3 ln 3 )x x x C= + - - + + =
2
2
9 1 6 1 618
3 39
xdx x dx dx
x xx
+ -æ ö= + + =ç ÷+ -- è øò ò ò
1 ( 3) ( 3)
3 1 6 1 6
3 1 ( 6) 1 6
A x B x
x B B
x A A
= - + += ® = × ® == - ® = × - ® = -
1
( 3)( 3) 3 3
A B
x x x x= +
+ - + -
2
118
9dx
x+
-ò
2
2 2
9 181
9 9
xdx dx x
x x
+ æ ö= + = +ç ÷- -è øò ò
2
2
99
xdx
x
++--òò
1( 1) 1 12ln
1 1 1
x xC C
x x x
--+ + = - - +
- - -
12
( 1) 2ln 2ln 11
xx dx x x
--+ - = - - + +
-ò
22 2
1 2 2
1( 1)dx dx x dx dx
x xx x- -
= + + +--ò ò ò ò
2, 2A C= = -
0 1 1
1 1 1
2 1 2 4 4 2 2
1 1 ( 4) 4 ( 2) 2 2
x B B
x D D
x A B C D A C
x A B C D A C
= ® = ® == ® = ® =
= ® = × + + × + × ® + = - üý
= - ® = × - + × + × - + ® - - = - þ
2 2 2 21 ( 1) ( 1) ( 1)Ax x B x Cx x Dx= - + - + - +
2 2 2 2
2 2
( 1) ( 1) ( 1)
( 1)
Ax x Bx x Cx x Dx
x x
- + - + - +=
-
2 2
1
( 1)x x=
-
2 2 2 2
1
1( 1) ( 1)
A B C D
x xx x x x= + + +
-- -
2 2
1
( 1)dx
x x --òò
x3 � 4 x2 � 2x
�x3 � 2x2 x + 2
2x2 � 4
�2x2 + 4x4x � 4
222 2ln 2
2
xx x x C= + + - +
2
2 2( 2) 2
2
xx dx dx
x x
-= + + =
-ò ò
3
2 2
4 4 42
2 2
x xdx x dx
x x x x
- -æ ö= + + =ç ÷- -è øò ò
3
2
42
xdx
x x
----òò
x2 x � 5
�x2 + 5x x + 55x
�5x + 2525
2
5 25ln 52
xx x C= + + - +
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
64
Indica raonadament quin dels dos ha arri-bat a la resposta correcta.
El segon, ja que si , es
compleix que
4. Troba l�expressió de la funció F(x) la grà-fica de la qual passa pel punt (1, 1) sa-bent que el pendent de la recta tangent en qualsevol punt ve donat per la funció m(x) = 3x2 + 6x � 4.
5. Considera la funció .
Determina�n les asímptotes, sabent queF(0) = �3.
4x � 16 = 0 ® x = 4
Asímptota vertical x = 4
Asímptota horitzonal y =
6. Calcula:
a) ò(2x3 � 3x2 � 1) dx
b) ò(�3 · 3x + 4 cos x) dx
c)
d)
e) ò(4 + tg2 x)dx
f)
7. Calcula les integrals quasi immediates se-güents:
a) òcos 5x dx
b)
c) ò5 sin4 x cos x dx
d)
4ln 2 13
ln2x C= - +
22 2 4 2 ln24
ln22 13 2 13 2 13
x x x
x x xdx dx dx
+ ×= = =
- - -ò ò ò
222 13
x
x dx++
--òò
4 55sin cos sinx xdx x C= +ò
2
2
1 1 cosln tg
tgcos tg
xdx dx x C
xx x= = +ò ò
2
1
cos dx
x tgxòò
1 1cos5 5cos5 sin5
5 5xdx xdx x C= = +ò ò
2 4 2 1 4 2 4ln
7 7 7 7 7
xdx dx x x C
x x
- æ ö= × - = - +ç ÷è øò ò
2 47
xdx
x
--òò
tgx C+ +
2 2(4 tg ) (3 1 tg ) 3x dx x dx x+ = + + = +ò ò
1 1 3ln
4 2 4x x C
x= - + + +
22
2
1 2 3 1 1 1 3
4 2 44
x xdx x dx
xx-+ + æ ö= + × + =ç ÷
è øò ò
2
2
1 2 34x x
dxx
++ ++òò
216 ln
2x x x C= - + +
21 23 1 1
3x x
dx x x dxx x
-- + æ ö= - + =ç ÷è øò ò
2 3 1x xdx
x
-- ++òò
13( 3 3 4cos ) 4sin
ln3
xx x dx x C
+-- × + = + +ò
3 2 4 31(2 3 1)
2x x dx x x x C- - = - - +ò
17
4
-
17lim ( )
4xF x
®¥
-=
5(0) 3 3 17 4
45 17 20 17 68 17 48
( )4 4 4 16 4 16
F C C
x xF x
x x x
= - ® - = + ® = -
- - - + - += - = =
- - -
- -= = - = +
--ò ò2
2
5 5( ) 5 ( 4)
4( 4)F x dx x dx C
xx
2
5( )
( 4)F x dx
x==
--òò
3 2
(1) 1 1 1 3 4 1( ) 3 4 1
F C CF x x x x
= ® = + - + ® == + - +
2 3 2( ) (3 6 4) 3 4F x x x dx x x x C= + - = + - +ò
2 2 21 1 1 1(2cos 3 1) cos 3 cos 3
2 2 2 2x x x= + - = + - =
2 21 1 1cos(3 3 ) (cos 3 sin 3 )
2 2 2x x x x+ + = + - =
1 1 1'( ) cos6
2 2 2F x x= + = +
sin6( ) '
2 12
x xF x C= + +
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
65
e)
f) òx3 sin (x4 � p) dx
8. Calcula les integrals quasi immediates se-güents:
a) ò5tg x (1 + tg2 x) dx
b)
c)
d)
e)
f)
9. Troba la primitiva de la funció:
que verifica la condició .
10. Calcula per parts les integrals següents:
a) òx2 sin 3x dx
f (x) = x2 ® f '(x) = 2x
g ' (x) = sin 3x ® g(x) =
b) òcos (ln x) dx
sin(ln )x dxò
cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x dx= +ò ò
1( ) cos(ln ) '( ) sin(ln )
'( ) 1 ( )
f x x f x xx
g x g x x
= ® = - ×
= ® =
cos(ln )x dxò
21 2 2cos3 sin3 cos3
3 3 9x x x x x C
æ ö= - + + +ç ÷è ø
2cos
27x C+ + =
2 21 2sin3 cos3 sin3
3 9x xdx x x x x= - + +ò
( ) '( ) 1
1'( ) cos3 ( ) sin3
3
r x x r x
s x x s x x
= ® =
= ® =
1 1sin3 cos3
3 9x x x= +
1 1cos3 sin3 sin3
3 3x xdx x x xdx= - =ò ò
2 21 2sin3 cos3 cos3
3 3x xdx x x x xdx= - +ò ò
1cos3
3x-
2 sin3x xdxò
tg( ) xF x e=
tg4 0
4F e e e C e e C C
ppæ ö = ® = + ® = + ® =ç ÷è ø
tgtg tg
2 2
1( )
1 sin cos
xx xe
F x dx e dx e Cx x
= = × = +-ò ò
p4
F eææ öö ==çç ÷÷èè øø
tg
2( )1 sin
xef x
x==
--
2
1 1 1sin cosdx C
x xx= +ò
2
1 1sin dx
xxòò
21(1 ln )
12x C= + +
22(1 ln ) 1 1
(1 ln )4 4
xdx x dx
x x
+= + × =ò ò
2(1 ln )4
xdx
x
++òò
10sin x C= +
5cos 110 cos
2
xdx x dx
x x= × =ò ò
5cos xdx
xòò
2
2
7 77 ( 4)
48 16dx x dx C
xx x
- -= - = +
-- +ò ò
2
78 16
dxx x-- ++òò
3 1 231 (1 ) 1
112 1 2 6
xC x C
-= - × + = - - +
22 3 1 2
3
1 13 (1 )
4 34 1
xdx x x dx
x
--= × - - =
-ò ò
2
24 1
xdx
x--òò
tgtg 2 5
5 (1 tg )ln5
xx x dx C+ = +ò
41cos( )
4x= - × - p
3 4 3 41sin( ) 4 sin( )
4x x dx x x× - p = × - p =ò ò
3x2 x + 7
�3x2 � 21x 3x � 21� 21x
21x + 147147
2321 147ln 7
2x x x C= - + + +
23 1473 21
7 7
xdx x dx
x xæ ö= - + =ç ÷+ +è øò ò
237
xdx
x ++òò
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
66
c) òx3 ln x dx
d) òe4x cos 4x dx
e) ò(x � 1) 5x dx
f) òln2 x dx
11. Comprova que:
ò(x2 � 2x � 1) ex dx = (x2 � 4x + 3) ex + C
12. Calcula les integrals següents, fent ús encada cas del canvi de variable indicat:
a) dx, x = 2 sin t
22 sin2 2arcsin 42 2
x xt t C x C= + + = + - +
1 cos2 sin24 4
2 2 2 4
t t tdt C
æ ö æ ö= + = + + =ç ÷ ç ÷è ø è øò
2 1 cos24 cos 4
2
ttdt dt
+= = =ò ò
2 24 4 4sin 2cosx dx t tdt- = - × =ò ò
2sin 2cosx t dx tdt= ® =
24 x dx-ò
24 x--òò
2( 2 1) xx x e= - -
2 2( 4 3) (2 4 4 3)x xx x e x x x e+ - + × = - + - + =
2( 4 3) ' (2 4)x xx x e C x eé ù- + + = - +ë û
2 2( 2 1) ( 4 3)x xx x e dx x x e C- - = - + +ò
2(ln 2ln 2)x x x C= - + +
2 2ln ln 2( ln )xdx x x x x x C= - - + =ò
1( ) ln '( )
'( ) 1 ( )
r x x r xx
s x s x x
= ® =
= ® =
ln ln lnxdx x x dx x x x= - = -ò ò
2 1( ) ln '( ) 2ln
'( ) 1 ( )
f x x f x xx
g x g x x
= ® =
= ® =
2 2ln ln 2 lnxdx x x xdx= -ò ò
5 11
ln5 ln5
x
x Cæ ö= - - +ç ÷è ø
1 1 1( 1)5 5
ln5 ln5 ln5x xx= - - × =
1 1( 1)5 ( 1)5 5
ln5 ln5x x xx dx x dx- = - - =ò ò
( ) 1 '( ) 1
1'( ) 5 ( ) 5
ln5x x
f x x f x
g x g x
= - ® =
= ® =
( 1)5xx dx-ò
4 41cos4 (sin4 cos4 )
8x xe xdx e x x C= + +ò
4 412 cos4 (sin4 cos4 )
4x xe xdx e x x= +ò
4 cos4xe xdx-ò
4 4 41 1cos4 sin4 cos4
4 4x x xe xdx e x e x= + -ò
4 4 41sin4 cos4 cos4
4x x xe xdx e x e xdx= - +ò ò
4 4( ) '( ) 4
1'( ) sin4 ( ) cos4
4
x xr x e r x e
s x x s x x
= ® =
= ® = -
4 sin4xe xdxò
4 4 41cos4 sin4 sin4
4x x xe xdx e x e xdx= - =ò ò
4 4( ) '( ) 41
'( ) cos4 ( ) sin44
x xf x e f x e
g x x g x x
= ® =
= ® =
4 cos4xe xdxò
( )4
3
1( ) ln '( )
'( ) ( )4
f x x f xx
xg x x g x
= ® =
= ® =
4 41 1ln
4 4 4 4
x xC x C
æ ö- × + = - +ç ÷è ø
4 43 31ln ln ln
4 4 4
x xx xdx x x dx x= - = -ò ò
[ ]cos(ln ) sin(ln )cos(ln )
2
x x xx dx C
+= +ò
[ ]2 cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x= +ò
cos(ln )x dx-ò
cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x x= + -ò
sin(ln ) sin(ln ) cos(ln )x dx x x x dx= -ò ò
1( ) sin(ln ) '( ) cos(ln )
'( ) 1 ( )
r x x r x xx
s x s x x
= ® = - ×
= ® =
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
67
b) dx, x = 3t
c) dx, = t
d) dx, x = 6t
13. Calcula la integral dx mitjançant
el canvi de variable . Aquesta inte-
gral, però, es quasi immediata. Calcula-latambé sense fer canvi de variable.
14. Troba la primitiva de la funció
la gràfica de la qual passa pel punt (2, 2).
15. Calcula les integrals següents:
a)2
2
52 2
xdx
x --òò
x + 2 x � 1
�x + 1 13
( ) 3ln 1F x x x= + -
2 2 3ln1 0C C= + + ® =
3ln 1
(2) 2
x x C
F
= + - +
=
( ) 2 31
1 1
xF x dx dx
x x
+ æ ö= = + =ç ÷- -è øò ò
2( )
1x
f xx
++==
--
7 3arctg
6 2
xC= +
2
7 2 1 7arctg
4 3 61dt t C
t= × = + =
+ò
22
7 1 27
4 34 9 4 99
dx dtx t
= × =+ + ×
ò ò
2 2
3 3x t dx dt= ® =
7 2 3 2 7 3arctg
34 3 6 21
2
xdx C
x= × = +
æ ö+ ç ÷è ø
ò
2 2
7 7 1
44 9 31
2
dx dxx
x
= =+ æ ö+ ç ÷
è ø
ò ò
23
x t==
2
74 9x++òò
12arcsin6
xC C+ = +
2 2
6 112 12 12arcsin
6 1 1dt dt t
t t= = = +
- -ò ò
2 2
12 126
36 36 366 6
dx dtx t
x t dx dt
= =- -
= ® =
ò ò
2
12
36 x--òò
t2 t2 � 1
�t2 � t2 1+ 1
12 ln
1
xx
x
-= + +
+
1 12 ln
1 2 1
x tdx t C
x t
æ ö-× = + + =ç ÷- +è ø
ò
2
1 1 1 1ln 1 ln 1 ln
2 2 2 11
t tdt t t
tt
-× = - - + =
+-ò
1 1 2 1 21 1 ( 2) 1 2
t A At B B
= ® = × ® == - ® = × - ® = -
1 ( 1) ( 1)A t B t= + + -
2 2
1 ( 1) ( 1)
1 11 1
A B A t B t
t tt t
+ + -= + =
- +- -
2 2 2
1 11
1 1 1
tdt dt t dt
t t tæ ö= + = +ç ÷- - -è øò ò ò
2
2 2
11
1 1
t
t t= +
- -
2
2 22 2
1 1
t ttdt dt
t t× =
- -ò ò
12 2
2x t dt dx dx xdt tdt
x= ® = ® = =
1
xdx
x -ò
x1
xx --òò
arctg3
xC= +
2 2
3 13 arctg
9 9 1dt dt t C
t t× = = + =
+ +ò ò
3 3x t dx dt= ® =
2
3
9dx
x+ò
2
39 x++òò
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
68
b)
c)
d)
e)
f)
16. Calcula òsin2 x dx i òcos2 x dx a partir de lesigualtats següents:
sin2 x + cos2 x = 1i cos 2x = cos2 x � sin2 x
� 3x + 5 3x � 1
� 3x � 1 � 14
4ln 3 1
3x C+ - +
5 3 41
3 1 3 1
xdx dx x
x x
- æ ö= - + = - +ç ÷- -è øò ò
1ln 7
56x C+ + +
2
1 1 1ln ln 1
7 8( )( 7)dx x x
x x x= - + - +
- +ò
5 33 1
xdx
x
----òò
0 1 ( 7) 1 7
1 1 8 1 8
7 1 56 1 56
x A A
x B A
x C C
= ® = × - ® = -= ® = × ® == - ® = × ® =
1 ( 1)( 7) ( 7) ( 1)A x x Bx x Cx x= - + + + + -
1
( 1)( 7) 4
A B
x x x X X= +
- + +
2
1
( )( 7)dx
x x x-- ++òò
x2 � 1 x2 + 4x
� x2 � 4x 1� 4x � 1
2
2
1 1 15ln ln 4
4 44
xdx x x x C
x x
-= - - + +
+ò
2
4 1
444 1 ( 4)
0 1 4 1 4
4 15 ( 4) 15 4
x A B
x xx xx A x Bx
x A A
x B B
- -= +
++- - = + +
= ® - = × ® = -= - ® = × - ® = -
2
4 1
4
xx dx
x x
- -= +
+ò
2
2 2
1 4 11
4 4
x xdx dx
x x x x
- - -æ ö= + =ç ÷+ +è øò ò
2
2
14
xdx
x x
--++òò
3
4( 2)C
x- +
+
1 3 1 1 2ln 2 ln
16 4 2 16 2
xx C
x x
-- + - × + = -
+ +
3 2
1 1ln 2
162 4 8
xdx x
x x x
-= - -
+ - -ò
1 16B® = -
1 31 4 4 1 16 6
4 2B B- = - - ® - = - - ®
( )
2 1 16 1 16
2 3 ( 4) 3 4
0 1 4 ( 4) 2
x A A
x C C
x A B C
= ® = × ® == - ® - = × - ® =
= ® - = × + × - + × -
21 ( 2) ( 2)( 2) ( 2)x A x B x x C x- = + + - + + -
3 2 2
1
2 22 4 8 ( 2)
x A B C
x xx x x x
-= + +
- ++ - - +
(simple)(doble)
22
xx
== -
3 22 4 8 0x x x+ - - =
3 2
1
2 4 8
xdx
x x x
-+ - -ò
3 2
12 4 8
xdx
x x x
--++ -- --òò
2 172ln 10 25
5x x C
x= - + - +
-
2
2
2 102 17 ( 5)
10 25
xdx x dx
x x
--= + - =
- +ò ò
2 2
4 20 117
10 25 ( 5)
xdx dx
x x x
-= = =
- + -ò ò
2 2
4 3 4 3 17 17
10 25 10 25
x xdx dx
x x x x
- - - += =
- + - +ò ò
2
4 310 25x
dxx x
---- ++òò
5x2 2x2 � 2
�5x2 + 5 55 2
2
5 1 5 1 11 ln
2 2 2 11
xdx x C
xx
æ ö-æ ö+ = + +ç ÷ç ÷ +-è ø è øò
2
1
1 111 ( 1) ( 1)
1 1 2 1 2
1 1 ( 2) 1 2
A B
x xxA x B x
x A A
x B B
= +- +-
= + + -= ® = × ® == - ® = × - ® = -
2 2
2 2 2
5 5 5 11
2 22 2 1 1
x xdx dx dx
x x xæ ö= = +ç ÷- - -è øò ò ò
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
69
17. Troba una primitiva de la funció següent:
Suggeriment: descompon la fracció en su-ma de dues fraccions del mateix denomina-dor i fixa�t en el canvi de variable utilitzat enl�exercici 13.
Com que ens demanen una primitiva, fem, perexemple, C=0.
18. Un mòbil es desplaça sobre l�eix OX de ma-nera que la seva acceleració ve donada perl�equació següent:
a = 2t + 1 m/s2
Si per a t = 0 es verifica v(0) = �2 m/s i x(0) =10 m, troba les expressions de les funcionsvelocitat v = v(t) i posició x = x(t) correspo-nents a aquest mòbil.
19. Un mòbil descriu un moviment vibratoriharmònic simple l�acceleració del qual s�ex-pressa per l�equació a = �36 cos 3t cm/s2.
Si a l�instant inicial es verifica v(0) = 0 cm/si x(0) = 4 cm, troba les expressions de les
funcions velocitat v = v(t) i posició x = x(t)d�aquest mòbil.
20. Calcula .
Indicació: multiplica primer numerador i de-nominador per l�expressió conjugada deldenominador.
21. Calcula .
Indicació: multiplica primer numerador i de-nominador per 1 + sin x.
22. Troba la primitiva de la funció
2
1( )
( 2)f x
x
--==
--
1tg
cosx C
x= + +
2 2
1 1 sin
1 sin cos cos
xdx dx
x x xæ ö= + =ç ÷- è øò ò
2
1 1 1 sin 1 sin
1 sin 1 sin 1 sin cos
x x
x x x x
+ -= × =
- - +
1 sindx
x--òò
3 31( 1) ( 1)
3x x Cé ù= + - - +
ë û
3 2 3 21 ( 1) ( 1)3 322 2
x xC
é ù+ -= - + =ê ú
ê úë û
1( 1 1)
21 1
dxx x dx
x x= + - - =
+ + -ò ò
1 1 1 1
21 1
x x x x
x x
+ - - + - -× =
+ - -
1 1
1 1 1 1x x x x= ×
+ + - + + -
1 1
dx
x x++ ++ --òò
4cos3 (cm)x t=( )0 4 4 4 ' ' 0x C C= ® = + ® =
12sin3 4 3sin3 4cos3 'x tdt tdt t C= - = - = +ò ò
( ) cm0 0 0 12sin3
sv C v t
æ ö= ® = ® = - ç ÷è ø
12sin3t C= - +
36cos3 12 3cos3v tdt tdt= - = - =ò ò
3 21 12 10 (m)
3 2x t t t= + - +
(0) 10 ' 10x C= ® =
3 22( 2) 2 '
3 2
t tx t t dx t C= + - = + - +ò
2 m2
sv t t= + -
( )0 2 2v C= - ® = -
2(2 1)v t dx t t C= + = + +ò
1arctg
2 2
xC+ +
2 22
1 1 2ln( 4) 2 ln( 4)
4 ( 2) 1x dx x
x= + + × = + +
+ò
2 2 2
2 1 2 1
4 4 4
x xdx dx dx
x x x
+= + =
+ + +ò ò ò
2
2 1( )
4x
f xx
++==
++
2 1 cos2 1 sin2sin
2 2 4
x xxdx dx x C
-= = - +ò ò
2 1 cos2 1 sin2cos
2 2 4
x xxdx dx x C
+= = + +ò ò
22 1 sin
sin2
xx
-=
22 22
2 2
1 cossin cos 1cos ;
sin cos cos2 2
xx xx
x x x+ü+ = =ý- + = þ
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
70
la gràfica de la qual té per asímptota horit-zontal la recta y = 2.
23. Calcula les integrals següents:
a) ò(tg5 x + tg7 x) dx
b)
c)
d)
e)
f)
g) òcos x
h)
24. Determina la primitiva de la funció
la gràfica de la qual conté el punt (4, 0).Anomena F(x) aquesta funció i calcula
F(x) i F(x).
Dibuixa de manera aproximada la gràfica dela funció F(x).
2
3
(4) 0 0 2ln1 0
( ) 2ln 3 ln( 3)
lim ( ) lim ( )x x
F C C
F x x x
F x F x-®¥ ®
= ® = + ® =
= - = -
= = -¥
2( ) 2ln 3
3F x dx x C
x= = - +
-ò
3limx --®®
3limx ++®®
2( )
3f x
x==
--
3 23(arcsin ) 2
(arcsin )3 3
2
xC x C= + = +
1 22 2
arcsin 1(arcsin )
1 1
xdx x dx
x x= × =
- -ò ò
2
arcsin1
xdx
x--òò
6 565(7 sin ) 5
(7 sin )6 65
xC x C
+= + = + +
1 55cos 7 sin cos (7 sin )x xdx x x dx+ = + =ò ò
5 7 sin xdx++
x4 x2 + 1
�x4 � x2 x2 � 1
� x2
� x2 + 11
3
arctg3
xx x C= - + +
42
2 2
11
1 1
xdx x dx
x xæ ö= - + =ç ÷+ +è øò ò
4
21x
dxx++òò
1ln 1 2tg
2x C= + +
2
2
121 cos
2 1 2tgcos (1 2tg )
dx xdxxx
×= =
++ò ò
2cos (1 2tgx)
dxdx
x ++òò
x
2 2
3 1 3 ln3 arctg3
ln3 ln31 3 1 (3 )
x x
x xdx
x
×= =
+ +ò ò
2
31 3
x
x dx++òò
1 1ln 2 ln 3
3 4x x C- + + + +
1 1ln 1
( 1)( 2)( 3) 2dx x
x x x= - -
- + +ò
1 1 12 1 12
2 1 ( 3) 1 3
3 1 4 1 4
x A A
x A B
x C C
= ® = × ® == - ® = × - ® = -= - ® = × ® =
( 1)( 2)C x x+ - +
1 ( 2)( 3) ( 1)( 3)A x x B x x= + + + - + +
1
( 1)( 2)( 3)dx
x x x=
- + +ò
2
1
( 1)( 5 6)dx
x x x=
- + +ò
2
1
( 1)( 5 6)dx
x x x-- ++ ++òò
2tg x C= +
2 2
1 12
cos 2 cos
dxdx
x x x x= × =ò ò
2cos
dx
x xòò
6tg
6
xC= +
5 7 5 2(tg tg ) tg (1 tg )x x dx x x dx+ = + =ò ò
1 1 2 3lim 2 2 2
2 2 2x
xC C
x x x®¥
-æ ö+ = ® = ® + =ç ÷- - -è ø
22
1 1( 2)
2( 2)dx x dx C
xx--
= - - = +--ò ò
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
71
Fig. 5.3
25. Troba l�expressió algèbrica de la funció F(x)que verifica les condicions següents:
a) F �(x) = 2x � 6
b) La gràfica de la funció F(x) presenta unmínim en el punt d�ordenada �1.
26. Aplicant el mètode d�integració per parts,calcula òcos2 x dx.
Cal que tinguis en compte que cos2 x = cosx cos x i que sin2 x = 1 � cos2 x. Compara elresultat amb el que has obtingut a l�exercici16.
sin cos sin2
2 4 2 4
x x x x xC C= + + = + +
2 sin coscos
2 2
x x xxdx C= + + =ò
22 cos sin cosxdx x x x= +ò
2 2(1 cos ) sin cos cosx dx x x x xdx= - = + -ò ò
2 2cos sincos sin sincosxdx x xdx x= + = +ò ò
2cos cos cos
( ) cos '( ) sin
'( ) cos ( ) sin
xdx x xdx
f x x f x x
g x x g x x
= ×
= ® = -= ® =
ò ò
2
Mínim '( ) 0 2 6 0 3
(3) 1 1 9 18 8
( ) 6 8
F x x x
F C C
F x x x
® = ® - = ® == - ® - = - + ® =
= - +
( ) 2(2 6) 6F x x dx x x C= - = - +ò
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
72
