SOLUCIONARI Unitat 5 - xtec. de Espaa, S.A.U. Matemtiques 2. Batxillerat 53 SOLUCIONARI Unitat 5. Fig. 5.2 No es poden tallar, ja que les expressions al

  • View
    268

  • Download
    13

Embed Size (px)

Text of SOLUCIONARI Unitat 5 - xtec. de Espaa, S.A.U. Matemtiques 2. Batxillerat 53 SOLUCIONARI Unitat 5....

  • Comencem

    Escriu lexpressi algbrica de cinc funcionsque tinguin per derivada la funci f(x) = 2x + 3.

    Resposta oberta. Per exemple:

    F1(x) = x2 + 3x; F2(x) = x2 + 3x + 1;

    F3(x) = x2 + 3x + 10; F4(x) = x2 + 3x ;F5(x) = x2 + 3x p

    Se sap que la derivada duna funci G(x) sg(x) = ex. Si la grfica de la funci G(x) passapel punt (0,3), quina de les funcions se-gents s G(x)?

    a) G(x) = ex + 3 b) G(x) = ex + 2 c) G(x) = ex 3

    G(x) = ex + 3, ja que G(0) = 3.

    Escriu lequaci de tres funcions que tinguinper derivada la funci f(x) = 2. Representa-les grficament i comprova que pots obtenirla grfica de cadascuna daquestes funcionsper translaci duna qualsevol de les altresdues.

    Resposta oberta. Per exemple:

    F1(x) = 2x; F2(x) = 2x + 3; F3(x) = 2x 2;

    Figura 5.1

    El vector = (0, 3) permet passar de la grfica

    de F1(x) a la de F2(x), i el vector , de la grfi-

    ca F2(x) a la de F1(x). El vector = (0, 2) tras-llada la grfica de F1(x) a la de F3(x), i el vector

    , la grfica de F3(x) a F1(x). Finalment, el

    vector = (0, 5), permet passar de la grfica

    de F2(x) a la de F3(x), e el vector , de la grfi-ca de F3(x) a la de F2(x).

    Exercicis

    1. Escriu lexpressi general de les primitivesde cadascuna de les funcions segents:

    a) f(x) = 3x2

    F(x) = x3 + C

    b) g(x) = sin x

    G(x) = cos x + C

    c) h(x) = 5

    H(x) = 5x + C

    d) i(x) =

    I(x) = ln x + C

    2. Determina la funci primitiva de la funci:

    f(x) = cos x

    la grfica de la qual passi pel punt de coor-denades .

    F(x) = sin x + C

    F = 4 4 = sin + C 4 = 1 + C C = 3

    F(x) = sin x + 3

    3. Se sap que la funci:

    s una primitiva de la funci f(x). Quina sla funci f(x)?

    4. Comprova que totes les primitives de lafunci f(x) = ln x sn del tipus F(x) = x (ln x 1) + C.

    F '(x) = ln x 1 + x = ln x + 1 1 = ln x = f(x)

    5. Si G1 i G2 sn dues primitives duna mateixafunci g, es poden tallar els seus grfics?Dibuixa la grfica de la funci G1 sabentque passa pel punt (0, 4) si la grfica de lafunci G2 s el de la figura 5.4.

    1

    x

    2 2

    2 2 2 2

    2 ( 1) ( 1) 2 4( ) '( )

    ( 1) ( 1)

    x x x x xf x F x

    x x

    - - + -= = =

    - -

    2

    2

    1( )

    1x

    F xx

    ++==

    --

    2

    p2

    p

    1x

    t-r

    tr

    w-ur

    wur

    v-r

    vr

    2-

    McGraw-Hill/Interamericana de Espaa, S.A.U. Matemtiques 2. Batxillerat

    53

    SOLUCIONARI Unitat 5

  • Fig. 5.2

    No es poden tallar, ja que les expressions al-gebraiques de les funcions G1(x) i G2(x) noms

    es diferencien en una constant.

    6. Calcula la derivada de les funcions se-gents i escriu-ne desprs les correspo-nents integrals indefinides:

    a) f(x) = tg x

    b) g(x) = 23x+5

    c)

    d) i(x) = ln2 x

    7. Troba la derivada de les funcions segents:

    a) f(x) = x 3x dx

    f '(x) = x3x

    b) g(x) = cos2 x dx

    g'(x) = cos2 x

    c) h(x) = (tg x ln x) dx

    h'(x) = tg x ln x

    d) i(x) = x2 ex dx

    i ' (x) = x2 ex

    8. Un mbil recorre una trajectria rectilniaamb una acceleraci constant de 2 m/s2. Sesap que en el moment de comenar acomptar el temps, v(0) = 3 m/s i s(0) = 5 m.

    Troba les expressions de les funcions v =v(t) i s = s(t) corresponents al seu movi-ment.

    Cal que recordis:

    v(0) = 3 m/s 3 = 20 + C C = 3 m/sv(t) = 2t + 3 m/s

    s(0) = 5 m 5 = 02 + 30 + C C' = 5 ms(t) = t2 + 3t 5 m

    9. Comprova que les derivades de les fun-cions segents:

    F(x) = , n , n 1 i G(x) =

    sn, respectivament, f(x) = xn i g(x) = ax.

    1'( ) ln ( )

    lnx xG x a a a g x

    a= = =

    1'( ) ( 1) ( )

    1n nF x n x x f x

    n= + = =

    +

    ln

    xaa

    R1

    1

    nxn

    ++

    ++

    2( ) (2 3) 3 's t t dt t t C= + = + +

    ( ) 2 2v t dt t C= = +

    ( ) ( ) ( )derivant derivants s t v v t a a t== == ==

    21 2ln 2ln'( ) 2ln lnx x

    i x x dx x Cx x x

    = = = +

    2

    2 2 2

    8

    ( 4) 4

    x xdx C

    x x

    - = +

    - -

    2 2

    2 2 2 2

    2 ( 4) 2 8'( )

    ( 4) ( 4)

    x x x x xh x

    x x

    - - -= =

    - -

    2

    2( ) 4x

    h xx

    ==--

    3 5 3 5 3 5'( ) 2 3ln2 2 3ln2 2x x xg x dx C+ + += = +

    2(1 )tg x dx tgx C+ = +

    22 2

    1 1'( ) 1

    cos cosf x tg x dx

    x x= = + =

    McGraw-Hill/Interamericana de Espaa, S.A.U. Matemtiques 2. Batxillerat

    54

  • 10. Troba x1 dx.

    11. Calcula les primitives segents:

    a)

    b)

    c)

    d)

    12. Determina la primitiva de la funci f(x) = 1 +tg2 x la grfica de la qual cont el punt

    .

    13. Calcula:

    a)

    b) -sin x cos2 x dx

    c)

    d)

    e)

    f)

    14. Troba la primitiva de la funci f(x) = sin xcos x la grfica de la qual passa pel punt

    .

    15. Justifica el motiu pel qual podem afirmarque no hi ha cap primitiva de la funci f(x) =

    que presenti mxims ni mnims re-

    latius en el seu domini.

    Sigui F(x) una primitiva de f(x).

    Per trobar els mxims i mnims relatius de F(x)cal resoldre lequaci F '(x) = 0. s senzill ob-servar que aquesta equaci no t soluci.

    2

    1'( ) ( )

    ( 2)F x f x

    x= =

    -

    2

    1

    ( 2)x --

    2sin( ) 7

    2

    xF x = +

    15 17

    2 2C C = + =

    2sin15 15 2

    2 2 2 2F C

    p p = = +

    2sin( ) sin cos

    2

    xF x x xdx C= = +

    p 15,

    2 2

    22

    2sin cosln(1 sin )

    1 sin

    x xdx x C

    x= + +

    +

    2

    2sin cos1 sin

    x xdx

    x++

    22

    2 1ln 10

    10

    xdx x x C

    x x

    += + - +

    + -

    2

    2 110

    xdx

    x x

    ++++ --

    1

    3C

    x

    -= +

    -

    12

    2

    1 ( 3)( 3)

    1( 3)

    xdx x dx C

    x

    -- -= - = + =

    --

    2

    1( 3)

    dxx --

    2

    2 2

    arctg 1 (arctg )arctg

    21 1

    x xdx x C

    x x= = +

    + +

    2

    arc tgx1 + x

    dx

    32 cossin cos

    3

    xx xdx C- = +

    32 22 3(1 ) 2 (1 )

    3 32

    xC x C

    += + = + +

    12 2 22 1 2 (1 )x x dx x x dx+ = + =

    22 1x x dx++

    ( ) tg 2F x x= +

    3 3 tg 3 1 24 4

    F C C Cp p = = + = + =

    2( ) (1 tg ) tgF x x dx x C= + = +

    p,3

    4

    4 34( )3 3344 ln4

    x x

    xdx dx C

    = = +

    34

    x

    x dx

    1/ 2 2 /335 /3

    2 2 3 2

    3

    2 / 3 2

    x x xdx dx x dx dx C

    x x x

    -- -= = = = +

    -

    3

    2

    xdx

    x

    7434 43 74

    4

    7 4 7

    xx dx x dx C x C= = + = +

    4 3x dx

    34

    4 3

    1 1

    3 3

    xdx x dx C C

    x x

    -- -= = + = +

    -

    4

    1dx

    x

    1 1 lnx dx dx x Cx

    - = = +

    McGraw-Hill/Interamericana de Espaa, S.A.U. Matemtiques 2. Batxillerat

    55

  • 16. Troba la primitiva de la funci f(x) = sin xecos x la grfica de la qual talla leix dabscis-

    ses en x = .

    17. Calcula:

    a) 4x3 sin (x4 3) dx

    b) dx

    c) dx

    d) dx

    e) dx

    f) (tg2 x + tg4 x) dx

    18. Calcula:

    a) (3x2 1) cos (x3 x) dx

    b) dx

    c) 3x2 sin x3 dx

    d) dx

    e) dx

    f) dx

    19. Determina les asmptotes de la funci:

    F(x) = dx sabent que F(2) = 2

    Asmptota vertical: la recta x = 3

    Asmptota horitzontal: la recta y = 3

    3 8lim ( ) lim 3

    3x xx

    F xx

    += =

    +

    3 0 3x x+ = = -

    1 1 3 9 3 8( ) 3

    3 3 3

    x xF x

    x x x

    - - + + += + = =

    + + +

    1( 2) 2 2 3

    2 3F C C

    -- = + = =

    - +

    1( 3) 1

    1 ( 3)

    xC C

    x

    -+ -= + = +

    - +

    22

    1( ) ( 3)

    ( 3)F x dx x dx

    x-= = + =

    +

    2

    1

    ( 3)x ++

    cos 1cos sin

    2 2

    xdx x dx x C

    x x= = +

    cos

    2

    x

    x

    ln arcsin x C= +

    2

    2

    1

    1 1arcsin1 arcsin

    xdx dxxx x

    -= =-

    2

    1

    1 arcsinx x--

    ln( 9)9

    xx

    x

    edx e C

    e= + +

    +

    9

    x

    x

    ee ++

    2 3 33 sin cosx x dx x C= - +

    12 22(1 ) 2 1

    12

    xC x C

    += + = + +

    12 2

    2

    22 (1 )

    1

    xdx x x dx

    x

    -= + =

    +

    2

    2

    1

    x

    x++

    2 3 3(3 1)cos( ) sin( )x x x dx x x C- - = - +

    3tg

    3

    xC= +

    32 4 2 2 tg(tg tg ) tg (1 tg )

    3

    xx x dx x x dx C+ = + = +

    21 tgln tg

    tg

    xdx x C

    x

    += +

    21 tg xtgx

    ++

    24 2 2

    2 2arctg

    1 1 ( )

    x xdx dx x C

    x x= = +

    + +

    4

    21

    xx++

    ln lnln4 1 44

    ln4

    x xxdx dx C

    x x= = +

    ln4 x

    x

    tgtg tg

    2 2

    1

    cos cos

    xx xe dx e dx e C

    x x= = +

    2cos

    tgxex

    3 4 44 sin( 3) cos( 3)x x dx x C- = - - +

    cos( ) 1xF x e= -

    cos20 0 0 1 1

    2F e C C C

    pp = = + = + = -

    cos cos( ) sin x xF x xe dx e C= - = +

    p2

    McGraw-Hill/Interamericana de Espaa, S.A.U. Matemtiques 2. Batxillerat

    56

  • 20. Calcula:

    a) (2x3 3x2 + 5x 1) dx

    b) dx

    c) (32x e4x + 1) dx

    d) dx

    e) (2x 3)(2x + 3) dx

    f) dx

    g) dx

    h) dx

    21. Se sap que la grfica duna funci passapel punt P(1, 4) i que el pendent de la rectatangent en qualsevol punt daquesta grficasexpressa mitjanant m(x) = 2x2 3x + 5.Determina lexpressi algbrica daquestafunci.

    22. Troba la primitiva de la funci f(x) =

    que sanulla