Solucionario 5to secundaria (3)

- 106 -

NIVEL I

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS(Pág. 451, 452)

CAPÍTULO 18

sol 90= °∑

Resolución 1

• De la ecuación tenemos:

1cos3x

2= → cos3x = cos60°

3x = 60° → x = 20° Rpta.: C

Resolución 5

• De la ecuación:

sec3x 2=sec3x = sec45°

→ 3x = 360°n ± 45°

x = 120°n ± 15° Rpta.: D

Resolución 6

• Reducimos tenemos:

3tg3x

3= −

33x arc tg

3

= −

33x arc tg

3

= −

3x = –30°

x = –10° Rpta.: B

Resolución 7

• Factorizando tenemos:

tgx [tgx – 1] = 0 ; 0° < x < 360°

I) tgx = 0 → x = {180°}

II) tgx – 1 = 0 → tgx = 1 → x = {45°; 225°}

∴ Existen 3 soluciones Rpta.: B

Resolución 8

• Multiplicando 12

× ambos miembros de la ecuación:

1 3 1senx · cosx · 1·

2 2 2

− =

senx · cos60° – cosx · sen60° = 12

sen(x – 60°) = sen30°

∴ x – 60° = 30° → x = 90°

Rpta.: E

Resolución 9

• Factorizando en la ecuación :

(tgx – 1)(4tgx – 3) = 0

i) tgx – 1 = 0 → tgx = 1 → x = 45°

ii) 4tgx – 3 = 0 → 3

tgx4

= → x = 37°

Nos piden la menor solución positiva, entonces:

x = 37° Rpta.: C

Resolución 3

• Despejando la F.T. tenemos:

3sen2x

2=

2x = {60°; 120°; 420°; ... }x = {30°; 60°; 210°; ... }

Pero: 0° < x < 180° → xsol = {30°; 60°}

∴ sol 30 60= ° + °∑ →

Rpta.: A

Resolución 4

• En la igualdad observamos:2senx cosx – 1 = 0sen2x = 1sen2x = sen90°→ 2x = 180°n +(–1)n · 90° x = 90°n + (–1)n · 45° Rpta.: A

Resolución 2

• De la igualdad tenemos:

tg(2x + 10°) = 3

tg(2x + 10°) = tg60°→ 2x + 10° = 60°

x = 25° Rpta.: B

Cuarto Año de Secundaria

- 107 -

• En la ecuación:tgx + ctgx = 4

2csc2x = 4csc2x = 2csc2x = csc30°

∴ 2x = 30° → x = 15° Rpta.: B

( )( )2

3tgx 1 3tgx 1tgx 0

1 tg x

+ − = −

; 1 –tg2x ≠0

( )( )tgx 3 tgx 1 3 tgx 1 0+ − =

• Resolviendo: (0° ≤ x ≤ 360°)

i) tgx = 0 → x = {0°; 180°; 360°)

ii) 3 tgx 1 0+ = 3tgx

3= −

x = {150° ; 330°}

iii) 3 tgx 1 0− = = 3tgx

3 x= {30° ; 210°}

∴ Existen 7 soluciones Rpta.: D

Resolución 5

• Expresando la ecuación en términos de “senx” y “cosx”:

1 cosxsenx

senx senx− =

2sen x 1senx

− cosxsenx

= ; senx 0x n

≠≠ π

–cos2x = cosx → cos2x + cosx = 0cosx(1 + cosx) = 0

• Resolviendo:

cosx = 0 → 2n 1

x2+ = π

1 + cosx = 0 → cosx = –1 → x = (2n + 1) π

Ambas son soluciones de la ecuación, pero al marcarla respuesta (clave) tenemos:

2n 1x

2+ = π

Rpta.: A

Resolución 6

• Recordemos que:

arc sen(x) + arc cos(y) = 2π

→ x = y

Resolución 10

• A partir de la ecuación se logra :cos4x – sen4x = 1(cos2x + sen2x)(cos2x – sen2x) = 1

1 cos2xcos2x = 1 → cos2x = cos0

∴ 2x = 2nπ ± 0

x = nπ Rpta.: C

Resolución 1

• Recordemos que:

tgθ + ctgθ = 2csc2θ

Resolución 4

• De la ecuación se tiene:

tg2x = 3tgx → 2

2tgx3tgx 0

1 tg x− =

−

22

tgx 3 01 tg x

− =

− →

2

23tg x 1

tgx 01 tg x

− = −

NIVEL II

Resolución 3

• Resolviendo la ecuación tenemos:

2(senx + cosx) = 1

cosx

2senx cosx + 2cos2x – 1 = 0

sen2x + cos2x = 0sen2x = –cos2x

sen2x1

cos2x= − → tg2x tg

4π = −

∴ 2x n4π= π − →

π π= −nx

2 8

4n 1x

8− = π

Rpta.: A

Resolución 2


1 1senx · cosx · 1

2 2+ =

senx · cos45° + cosx · sen45° = 1sen(x + 45°) = sen90°

∴ x + 45° = 90° → x = 45°Rpta.: C

- 108 -

• En la ecuación se cumple que:

4x 12x

4+= → 8x = 4x + 1

1x

4= Rpta.: D

Resolución 7

• Recordemos que:

arc tg(x) + arc ctg(y) = 2π

→ x = y

• En la ecuación se cumple que:

2x – 1 = x + 3 → x = 4 Rpta.: D

Resolución 9

• En la ecuación tenemos:2senx cosx – senx = 0senx(2cosx – 1) = 0

• Resolviendo: [ ]x 0 ; 2∈ π

i) senx = 0 → x = {0; π; 2π}

ii) 2cosx – 1 = 0 → 1

cosx2

=

5

x ;3 3π π =

∴ xsol = 5

0; ; ; ; 23 3π π π π

sol 5= π∑ Rpta.: D

Resolución 10

• Expresando la ecuación en términos de “senx”

− =12senx 1

senx

2sen2x – senx – 1 = 0

(senx – 1)(2senx + 1) = 0

• Resolviendo: 0° < x < 360°

i) senx – 1 = 0 → senx = 1

x = {90°}

ii) 2senx + 1 = 0 → 1

senx2

= −

x = {210°; 330°}

∴ Existen 3 soluciones

Rpta.: C

Resolución 1

• Recordamos que:

ctg csc ctg2α = α + α

• En la ecuación:

csc2x + ctg2x = 1

ctgx = 1 → ctgx ctg4π=

∴ x n4π= π + →

4n 1x

4+ = π

Rpta.: D

Resolución 2

• Transformando a producto:sen(x + 30°) – sen(x – 30°) = 1

2cosx sen30° = 1

12cosx 1

2 =

→ cosx = 1

∴ x = 360°n Rpta.: A

NIVEL PREUNIVERSITARIO

Resolución 3

• Ordenando convenientemente y transformando a pro-ducto:cos5x + cosx = sen5x – senx

2 cos3x cos2x 2= cos3x sen2x

Resolución 8

• Aplicando las propiedades de las F.T. tenemos:

( )( )x 2x

arc tg arc tg(3)1 x 2x

+ = −

23x

arc tg arc tg(3)1 2x

= −

→ =− 23x 3

1 2x → x = 1 – 2x2

2x2 + x – 1 = 0 → (x + 1)(2x – 1) = 0

x 1 0 x 11

2x 1 0 x2

+ = → = − − = → =

∴ La menor solución positiva es 1

x2

=


- 109 -

Resolución 4

• Factorizando y ordenando convenientemente:

tg5x tg4x tg5x tg4x· 1

1 tg5x · tg4x 1 tg5x · tg4x − + = + −

tg(5x – 4x) · tg(5x + 4x) = 1tgx · tg9x = 1 → tgx = ctg9x

∴ x + 9x = 90° → x = 9°Rpta.: E

Resolución 5


1 – cos2x = sec3x

sen2x = sec3x

Pero: 0 ≤ sen2x ≤ 1 0 ≤ sec3x ≤ 1 ............................ (1)

• Además sabemos que:sec3x ≤ – 1 ∪ sec3x ≥ 1 ..................(2)

• De (1) y (2) se tiene:sec3x = 1 → 3x = 2nπ

2nx

3π= ; x ∈[0 ; 3π]

2 4 8x 0 ; ; ; 2 ;

3 3 3π π π = π

El mayor valor es: 8x

3π=

Rpta.: DResolución 6

• Expresamos la ecuación en términos de seno y cose-no

2sen2x cosx8cos x

cos2x senx+ =

sen2x senx + cos2x cosx = 8cos2x cos2x senx

cos(2x – x) = 4(2senx cosx) cosx · cos2xcosx = 4 sen2x cosx cos2xcosx = 2·(2sen2x · cos2x)cosx

cosx = 2sen4x · cosx → cosx·(2sen4x – 1) = 0

• Resolviendo:

i) cosx = 0 → x2π=

ii) 2sen4x – 1 = 0 → 1sen4x

2=

4x6π= → x

24π= Rpta.: B

Resolución 7

• En la ecuación tenemos:

arc cos ( )x 5 + arc cos(x) = 2π

arc cos ( )x 5 + arc sen 21 x2π − =

• Por propiedad: 2x 5 1 x= −

5x2 = 1 – x2 → 6

x6

= Rpta.: B

Resolución 8

• Recordemos que:

sen32cos2 1

senθ = θ +

θ

• En la ecuación:sen3x + 2cos2x + 1 = 0

sen3xsen3x 0

senx+ =

1sen3x 1 0

senx + =

sen3x [1 + cscx] = 0

• Resolviendo:i) sen3x = 0 → 3x = 180°

x = 60°ii) 1 + cosx = 0 → cscx = –1

x = 270°

∴ La menor solución positiva es:

x = 60° Rpta.: D

cos3x(cos2x – sen2x) = 0• Resolviendo:

i) cos3x = 0 → 3x = 90° x = 30°

ii) cos2x – sen2x = 0 → cos2x = sen2x

cos2x

1sen2x

= → ctg2x=1 → 2x = 45°

x = 22°30’• Nos piden la menor solución positiva, entonces:

x = 22°30’ Rpta.: B

Resolución 9

• Expresando la ecuación en términos de “senx” y “cosx”

( )senxcosx 2 1 senx

cosx = − +

cos2x = (2cosx – senx)(1 + senx)(1 + senx)(1 – senx) = (2cosx – senx)(1 + senx)(1 + senx)[(1 – senx)–(2cosx – senx)] = 0(1 + senx)(1 – 2cosx) = 0

- 110 -

( )( )( )

4 2

2 2

2tgx 2tg x 7tg x 30

1 tg x 1 3tg x

− +=

− −

∴ tgx(2tg4x – 7tg2x + 3) = 0

• Resolviendo:

i) tgx = 0 → x = 0

ii) 2tg4x – 7tg2x + 3 = 0

2 7 49 24 7 5tg x

4 4± − ±= =

2tg x 3= → tgx 3= ± → tgx 3=

x = 60°

2 1tg x

2= →

2tgx

2= ± →

2tgx

2=

2

x arc tg2

=

• Nos piden la menor solución positiva, entonces:

2x arc tg

2

=

Rpta.: E

• Resolviendo: 0° ≤ x ≤ 360°i) 1 + senx = 0 → senx = – 1

x = {270°} (no verifica la ecuación)

ii) 1 – 2cosx = 0 → 1cosx

2=

x = {60° ; 300°}

xsol = {60°; 300°}

→ sol. 360= °∑ Rpta.: C

Resolución 10

• Expresando la ecuación en términos de “tgx”3

2 22tgx 3tgx tg x

tgx 01 tg x 1 3tg x

−+ + =− −

2

2 22 3 tg x

tgx 1 01 tg x 1 3tg x

−+ + = − −

( )( )2 4

2 26 14tg x 4tg x

tgx 01 tg x 1 3tg x

− + = − −

CAPÍTULO 19RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS (Pág. 469, 470)

2 3 4 1senA senB senC K

= = =

→

senA 2KsenB 3KsenC 4K

= = =

• Reemplazando: 2k 3k

P4k 3k

+=−

P = 5 Rpta.: B

• A : menor ángulo

• 22 = 62 + 52 – 2(6)(5)cosA4 = 61 – 60cosA

cosA = 0,95 Rpta.: D

Resolución 1

• Aplicando la ley de senos:

NIVEL I Resolución 2

• Aplicando la ley de cosenos:

Resolución 3

• Aplicando la ley de tangentes


- 111 -

A + B + 120° = 180°A + B = 60°

A Btga b 2

A Ba b tg2

+ + =

−−

→ 5 2 tg30A B5 2 tg

2

+ °=−−

A B 3 3tg ·

2 3 7− =

→ A B 3

tg2 7− =

Rpta.: A

b 48 2 cos45 50 cos74= ° + °

2 7b 48 2 50

2 25

= +

b = 62 Rpta.: C

Resolución 4

• Aplicando la ley de proyecciones:

Resolución 5

Recordemos que:

asenA

2Ra b c b

2R senBsenA senB senC 2R

CsenC

2R

== = = = =

• Reemplazando en la condición:

aa

2Rb

b2R

+

cc

2R

=

a2 + b2 = c2 (Teorema de Pitágoras)

∴ ∆ABC : rectángulo Rpta.: C

356

1α

Resolución 7


a a 1 a 22R

senA senB senC+ += = =

→

aseA

2Ra 1

senB2Ra 2

senC2R

=

+ = +=

Resolución 6


3 35sen30 sen

=° α

→ 1 1

sen 352 3

α =

35sen

6α =

∴ tg 35α = Rpta.: E

• Reemplazando tenemos:

a2R

E =

a 12

2R++ a 2

32R

+−

a4

2R

· a

a 2a 2 3a 6E

4 a+ + − −= · a

4E

4−= → E = –1 Rpta.: B

Resolución 8

• De la ley de senos:

== = = =

a senB b senAa b c

a senC c senAsenA senB senC

b senC c senB

• Reemplazando convenientemente

b senA c senB a senCM

b senA c senB a senC= + +

M = 1 + 1 + 1 → M = 3

Rpta.: C

Resolución 9

• Tenemos: 11 24 15P 25

2+ += =

( )( )25 24 25 15A 10sen

2 24 15 360− −

= =×

∴ A 1

sen2 6

= Rpta.: E

Resolución 10

• Aplicando la fórmula respectiva:

S∆ABC = ( )( )1 22 3 3 2 sen45 3 6 ·

2 2° =

S∆ABC = 23 3 m Rpta.: A

- 112 -

Ley de senos

9 14sen sen2

=α α

9(2 sen cos ) 14 senα α = α

∴ 7

cos9

α = Rpta.: B

Resolución 3

• Sabemos que:

a b c2R

senA senB senC= = =

senA senB senC 1a b c 2R

= = =

• Reemplazando tenemos:

1 1 1E 2 3

2R 2R 2R = + −

1 2 3E

2R+ −= → E = 0 Rpta.: A

Resolución 1

• Segun los datos:

Resolución 2

• De la ley de senos:

a b csenA senB senC

= = .......................... (1)

• De la condición:

a b ctgA tgB tgC

= = .................................. (2)

• Dividiendo m.a.m. (1) : (2)

tgA tgB tgCsenA senB senC

= =

1 1 1cosA cosB cosC

= =

secA = secB = secC

∴ A = B = C = 60°

∆ABC : Equilátero Rpta.: C

NIVEL II

Resolución 5

• De acuerdo a los datos:

Resolución 4

• De la ley de cosenos se tiene:

bc cosA = 12 (b2 + c2 – a2)

ac cosB = 12 (a2 + c2 – b2)

ab cosC = 12 (a2 + b2 – c2)

bc cosA + ac cosB + ab cosC =12 (a2 + b2 + c2)

• Reemplazando en la expresión pedida:

2 2 2

2 2 2

1(a b c )2P

a b c

+ +=

+ + →

1P

2=

Rpta.: C

• Aplicamos la ley de cosenos en el ∆ABD:

d2 = 102 + 202 – 2(10)(20)cos53°

d2 = 500 – 40035

d 2 65 cm= Rpta.: D

• Por la ley de cosenos:

i) AC2 = 82 + 52 –2(8)(5) cos60°

AC2 = 89 – 40

AC = 7

ii) 52 = 82 + 72 –2(8)(7)cosc

25 = 113 – 112cosc

11cosc

14= Rpta.: E

8

B

7

5

A C

Resolución 6

• De los datos:


- 113 -

Resolución 7

• De la ley de proyecciones tenemos:a = b cosC + c cosBb = a cosC + c cosAc = a cosB + b cosA

a + b + c = a (cosB + cosC) + b(cosA + cosC)+c(cosA+cosB)

2p E

∴ E = 2p Rpta.: B

Resolución 9

• Aplicando la ley de tangentes

A Ctg2N

A Ctg2

+ =

−

A C· tg

2

−

A C 180 B BN tg tg tg 90

2 2 2+ ° − = = = ° −

∴ BN ctg2

= Rpta.: B

Resolución 8

• De los datos:

• 1 2 2 5

p2 2

+ += =

• ( )( )

5 5 2B 52 2cos2 1 2 8

− =

→ 2 B 5cos

2 8= → 2 B

8cos 52

=

M = 5Rpta.: E

Resolución 10

• A partir de los datos se tiene:

15 27 38p 40

2+ += =

S∆ABC = ( )( )( )40 40 15 40 27 40 38− − −

S∆ABC = 40 · 25 ·13 · 2

S∆ABC = 161, 2 cm2 Rpta.: C

Ley de Cosenos

c2 = 52 + 32 –2(5)(3)cos120°c2 = 34 + 15c = 7∴ 2p = 5 + 3 + 7 → 2p = 15 m

Rpta.: D

Resolución 3

• Segun los datos: (ley de cosenos)

(2n)2 = (4n)2 +(3n)2 – 2(4n)(3n)cosA

24n = 225 n − 224 n cos A

21cosA

24= → 7

cosA8

=

Rpta.: A

Resolución 2

• Del dato:

Resolución 1

• En la expresión a reducir:E = sen(A+B)+sen(B+C)+sen(A+C)

E = senC + senA + senB

c a bE

2R 2R 2R= + +

a b cE

2R+ += →

2pE

2R=

pE

R= →

12R

5E =R

E = 2,4 Rpta.: C


Resolución 4

• Aplicando la propiedad de las proporciones tenemos:

- 114 -

a b c2R

senA senB senC= = =

3 3a b c(2R) 8R

senA · senB · senC= =

abc = 8R3 · senA·senB·senC

• Reemplazando en la condición:

38R = 3·senA· senB· senCR

cos A · cosB · cosC

cosA cosB cosC8 · ·

senA senB senC=

N

8 ctgA · ctgB · ctgC=

∴ N = 8 Rpta.: B

Ley de senos

60 50sen37 senB

=°

50 3senB ·

60 5=

1senB

2=

∴ B = 30°

Luego:

cos2B = cos60°

1cos2B

2= Rpta.: E

Resolución 5

• De los datos:

Resolución 6

• Nos piden:

2p = a + b + c

2p = 2RsenA + 2RsenB + 2RsenC

2p = 2R(senA + senB + senC)

A B C2p 2R 4cos cos cos

2 2 2 =

A B C2p 8R cos cos cos

2 2 2= Rpta.: C

Resolución 7

• De los datos tenemos:

10 17 9p 18

2+ += =

( )( )( )

18 10 18 9B 8 · 9tg

2 18 18 17 18− −

= =−

∴ B

tg 22

= Rpta.: A

Resolución 9

• Recordemos que:

a 2R senAb 2R senBc 2R senC

= = =

• Reemplazando en “M”

2RsenAcosA 2RsenBcosB 2RsenCcosCM

senAsenB senC+ +=

R(2senAcosA 2senBcosB 2senCcosC)M

senA senB senC+ +=

Resolución 8

• En la expresión “E” se tiene:

p bE

−=

( )( )p c

p p a

−

−( )p a

·−( ) p c−( )p p b−( )

( )( )p a p b·

p p c

− −

−( )

( )( )( )3

p a p b p cE

p

− − −=

( )( )( )4

p p a p b p cE

p

− − −=

( )( )( )− − −= =

2 2

p p a p b p c SE

p p

∴ E = Sp-2 Rpta.: E

R(sen2A sen2B sen2C)M

senA senB senC+ +=

Recuerde: A + B + C = 180° Entonces: sen2A + sen2B + sen2C = 4senA senB senC

R 4 senA senB senCM =

( )senA senB senC

M = 4R Rpta.: D


- 115 -

A 22sen 90 · 2 senA

2 2 ° − =

A

cos senA2

=

∴ AA 90

2+ = ° → A = 60°

• Entonces:

B + C = 120° B = 105°

B – C = 90° C = 15°

Rpta.: A

Resolución 10

• Sabemos que: (B – C = 90°)

b + c = a 2

2RsenB 2R+ senC 2R= senA · 2

senB + senC = 2 senA

Transformando a producto:

B C B C2sen cos 2 senA

2 2+ − =

180 A2sen cos45 2 senA

2° − ° =

ah 2 6 6

3= = a = 6

Luego:3 3a 6

· 2 212 12

= =

18 2= Rpta.: A

2 a 2= a = 1

Entonces:

ST = 6a2 = 6· 12

∴ ST = 6 Rpta.: C

Resolución 3

a4 3

2=

8a

3=

Luego:

ST =

2a 88 · 3 2 · 3

4 3 =

∴ ST128

33

= Rpta.: E

CAPÍTULO 20GEOMETRÍA DEL ESPACIO (SÓLIDOS GEOMÉTRICOS)

(Pág. 488, 489, 490)

Resolución 1

NIVEL I

Resolución 2

Resolución 5

Resolución 4

5 s ; 6 s ; 7 s

5 · 3 6 · 4 7 · 5A

2+ +=

∴ A = 37 Rpta.: D

- 116 -

D'ACD1 4 · 4

· · 43 2

=

∴ D'ACD323

= Rpta.: B

El ACB es isósceles.

AB d 2= ........................ (1)

En el ADC:

d2 = 22 + 42 d 2 5=

Reemplazando en (1):

∴ AB 2 10= Rpta.: D

Resolución 7

ST ( )2 r h r= π +

ST ( )2 · a a a= π +

∴ ST = 4πa2 Rpta.: B

SL= πr · g

16 5 · 4 · gπ = π g 4 5=

Pero: g2 = h2 + 42

( )2 2 24 5 h 4= +

∴ h = 8 Rpta.: D

→

Resolución 9

d 2 4 · 6=

∴ d 4 6= Rpta.: A

Resolución 6

Resolución 8

Resolución 10

ST = πr(g + r)

( ) ( )13 5 1 r g r+ π = π + ................... (1)

Del dato:

r 1h 2

= h

r2

=

Pero: g2 = r2 + h2

2

2 2hg h

2 = +

5 h

g2

=

Reemplazando 2 en (1):

( ) h 5 h13 5 1 h

2 2 2

+ = +

∴ h 2 13= Rpta.: C

h 12r

3 3= = r = 4

ST = 2πr(h + r)

ST = 2π · 4(12 + 4)

∴ ST = 128π Rpta.: D

Resolución 11


- 117 -

Resolución 12

8 a 2= a 4 2=

Pero: 2r = 4 2 r 2 2=

esfera = 4πr2 = 4π ( )22 2

∴ esfera = 32π Rpta.: B

Se sabe:

132 = h2 + 42 + 32 h = 12

Entonces:

= 3 · 4 · 12

= 144 Rpta.: E

Resolución 13

Resolución 14

r360 ·

g

φ = °

r120 360

3 ° = °

r = 1

Luego:

ST = πr(g + r)

ST = π · 1 (3 + 1)

∴ ST = 4π Rpta.: C

Se sabe:

DB' 2 3=

AB' 2 2=

En el B'AD usando relaciones métricas:

( )2AB' DB' · MB'=

( )22 2 2 3 · MB'=

∴ 4 3

MB'3

= Rpta.: B

= πr2 h = π · 22 · 4

∴ = 16π Rpta.: A

12 6

h 3r4 4

= =

∴ r 6= Rpta.: A

Resolución 15

Resolución 1

NIVEL II

Resolución 2

Se sabe que:

11

11

- 118 -

= B · h

a · 6

· h2

=

= 3 · a · h = 3 · 24

= 3 · 24

∴ = 72

Rpta.: C

→

Resolución 3

Resolución 4

3a2

12=

3a144 2 2

12= a = 12

a 12h 6 6

3 3= = h 4 6=

1 12r · 3

3 3= r 2 3=

cono = ( )22r · h · 2 3 · 4 63 3π π=

∴ cono 16 6= π Rpta.: B

AB2 = 122 + 82 AB 4 13=

Entonces:

( )22 2x 10 2 13= +

∴ x = 12, 32 Rpta.: E

2

Resolución 5

Resolución 6

SL5 · 6 · x

2=

315 = 15 · x

∴ x = 21

Rpta.: C

Resolución 7

3 21 4· 6 · 6 ·12

2 3 3π= π +

= 288π Rpta.: D

AB 2 4 · 9 12= =

BC 2 9 ·16 24= =

AC 2 4 ·16 16= =

Perímetro ABC = 12 + 24 + 16

∴ Perímetro ABC = 52 Rpta.: D

→

Resolución 8

Resolución 9

25π = πa2 a = 536π = πb2 b = 6R2 = (1 + m)2 + 52 = m2 + 62

∴ m = 5Luego: R2 = 62 + 52 R2 = 61


- 119 -

9π = πr2 r = 3

24 = h · 2r = h · 2 · 3 h = 4

Luego: = πr2h= π · 32 · 4

∴ = 36π Rpta.: B

ST32

=SL

+ SL = 32 SL

= 12 SL

2 1 8 · ap2 ·

2 2= ap = 2

h2 = 22 – 12 h 3=

13

= · h = 21· 2 · 3

3

∴ =4 3

3 Rpta.: B

ST = 2πr(h + r)

12π = 2πr(2r + r)

r 2=

Luego: = πr2h = π ( )22 · 2 2

4 2= π Rpta.: A

= · h =2a· a

4

3a16

= Rpta.: D

Resolución 10

Resolución 11

Entonces:

esfera = 4πR2 = 4π · 61

∴ esfera = 244π Rpta.: C

Resolución 12

Resolución 13

Resolución 14

3a2

12=

327 2 a2

12 12= a = 3

3b

2=

octaedro

3b2

3=

332 23

= ∴

92

8= Rpta.: D

Resolución 15

= cubo – 8 CABD

3

a a·1 a2 2a 8 ·

3 2 2

= −

= 3

3 aa

6−

35a6

= Rpta.: B

B

- 120 -

CAPÍTULO 21GEOMETRÍA ANALÍTICA (Pág. 503, 504, 505)

Resolución 1

NIVEL I

Graficando tenemos:

Dato P(3;2)

x0 = 3; y0 = 2

Además: m = tg37°

m = 34

Resolución 2

Del dato, graficamos:

En la ecuación: y – y0 = m(x – x0)reemplazamos los valores obtenidos.

y – 2 = 34 (x – 3)

3x – 4y – 1 = 0 Rpta. A

Se sabe que:

1 2 1

1 2 1

y y y yx x x x

− −=

− −

Reemplazando:

y 5 5 2x 1 1 3−

− −=− −

y 5 3x 1 4

− =− 3x – 4y + 17 = 0 Rpta. D

Resolución 3

Por dato:

Como L1 // L2

L1: 2x – 3y + K = 0

Resolución 4

De la condición:

Punto de paso: P = (1;2)

Pendiente: m = 23−

De la relación: y – y0 = m(x – x0)

Reemplazando: y – 2 = 23−

(x – 1)

∴ L1: 2x + 3y – 8 = 0 Rpta. A

Resolución 5

Se tiene:L: –2x + y + 10 = 0 –2x + y = –10

Ahora:x y 15 10

+ =−

por fórmula de ecuación simétrica tenemos:

De la figura:

5 10S2

×= ∴ S = 25µ2

Rpta. A

Resolución 6

Graficando las rectas: L1: x = 4 ; L2: x + y = 10

y = –x + 10

m = –1

pero P∈ L1, con lo cual debe cumplir la ecuación:

2(–3) – 3(5) + K = 0 K = 21

∴ L1: 2x – 3y + 21 = 0 Rpta. E

En la figura el pintadoes notable de 45°

Área pintada = 6 62×

∴ Área pintada = 18µ2

Rpta. A

2m

3−=


- 121 -

Resolución 7

Graficando

Evaluando el punto P dado que pertenece a L2, tenemos:

3(4) – (–3) + K = 0 K = –15

L2: 3x – y – 15 = 0

∴ L2 : y = 3x – 15 Rpta. C

Resolución 8

La ecuación de la recta es 2x – 3y – 3 = 0

Evaluamos los puntos

M1(2; 1) 2(2) – 3(1) – 3 = 0

–2 = 0 (falso)

M2(2; 3) 2(2) – 3(3) – 3 = 0

–8 = 0 (falso)

M3(8; 3) 2(8) – 3(3) – 3 = 0

4 = 0 (falso)

M4(–3; 3) 2(–3) – 3(3) – 3 = 0

–18 = 0 (falso)

M5(3; 1) 2(3) – 3(1) – 3 = 0

0 = 0 (verifica)

∴ M5 ∈ L1 Rpta. E

Resolución 9

Por dato: x + 2y – 6 = 0

x + 2y = 6, luegox y 16 3

+ =

Resolución 10

Sean: L1: ax + (2 – b)y – 23 = 0

L2: (a – 1)x + by + 15 = 0

además se cortan en (2;–3), entonces el punto en común,luego debe verificar lo siguiente:

L1 : a(2) + (2 – b)(–3) = 23 + 6

2a + 3b = 29 . . . (1)

L2 : (a – 1)2 + b(–3) + 15 = 0

2a – 3b = – 13 . . . (2)

Resolviendo (1) con (2) se obtiene

a = 4 ∧ b = 7 Rpta. D

Resolución 1

De acuerdo al dato se tiene:

Resolución 2 Del gráfico notamos:

Graficando la ecuación simétrica

Por teorema de Pitágoras:

2 2d 3 6= +

∴ d = 3 5 Rpta. B

NIVEL II

Dado los puntos A, B y C que pertenecen a la recta y = –3deben verificar la ecuación:

Para el punto A: x = 0 ; y = –3

Reemplazando:

(m + 2n –3)(0) + (2m – n + 1)(–3) + (6m + 9) = 0

n = –2

Ahora el punto B: x = 1 ; y = –3

(m + 2n – 3)(1) + (2m – n + 1)(–3) + (6m + 9) = 0

m = 7

∴ m = 7 ; n = – 2 Rpta. C

m = tg60° m = 3

Punto de paso: (x0; y0) = (2;0)

Luego: y – y0 = m(x – x0)

- 122 -

Resolución 3

La ecuación de la recta L: 4x + (3 – a)y – 7 = 0

( )4x 7ya 3 3 a

= +− −

4ma 3

=−

de la figura, también:

Resolución 4

de los datos mencionados:

Resolución 5

Ubicando los puntos en el plano cartesiano

Reemplazando: y – 0 = 3 (x – 2)

∴ y – 3 x + 2 3 = 0 Rpta. C

m = tg135° m = – 1

Ahora igualando: –1 = 4

a 3−

∴ a = – 1 Rpta. D

hallemos m1:

16 3m7 2−

−=−

11m3

=

luego por ser perpendiculares:

m1 x m2 = – 1

m2 = – 3

Además dado P(x0;y0) un punto cualquiera de AB

2 3 7 1 6 1 3 3P ;1 3 1 3

− × + × × + × = + +

1 15P ;4 4

= x0 =

14

y0 = 154

finalmente la ecuación de la recta será:

y – y0 = m2(x – x0)

Reemplazando: y – 154 = –3

1x4

−

∴ 2y + 6x – 9 = 0 Rpta. E

por dato:

M es punto medio

7 1 2 4M ;2 2

− + + =

M = (–3;3)

Ahora en el segmento MC : (2 puntos en una recta)

( )y 3 1 3x 3 5 3−

− − −=− − − 2y + x – 3 = 0 Rpta. C

Resolución 6 Dada la recta L:

2x + 3y + 4 = 0 y = 2 4x3 3− −

Graficando:

Se nota en L: 2m3

−=

como L L1 m x m1 = –1

Reemplazando:

12 m 13

− × = − 13m2

=

Luego en L1 (por punto y pendiente)

y – 1 = 32 (x – 2)

2y – 3x + 4 = 0

ó 3x – 2y – 4 =0

Rpta. B

M


- 123 -

Resolución 9

Supongamos que L sea:

Resolución 7

Dado la recta “L”

3x – y + 6 = 0 − + =x y 12 6

Graficando:

Resolución 8

Dato: a 2Kb 3K

=

de la figura:

2 6S2×=

∴ S = 6 µ2

Rpta. C

Resolución 10

De la figura, se nota AOD ∼ CDH

Además por Teorema de Pitágoras OD = 12

Luego: C: (17;12)

Además:

SABCD: (2K)(3K) = 96

K = 4

Luego el punto M y N

M: (6;0)

N: (0;8)

Hallando la ecuación de la recta L (2 puntos en una recta)

y 8 8 0x 0 0 6

− −=− − L: 4x + 3y – 24 = 0 Rpta. C

por pendiente: 0

0

y ymx x

−=

−

Reemplazando:

( )a 1 23

a 1+ − −

=−

a = 3

Luego de la condición:

Se sabe L L1

m x m1 = –1

Reemplazando: 3 x m1 = –1

m1 = 13−

Por punto y pendiente: y – 4 = 13−

(x – 3)

∴ x + 3y – 15 = 0 Rpta. E

En la recta L por 2 puntos en una recta.

y 5 12 5x 0 17 0

− −=− −

∴ 7x – 17y + 85 = 0 Rpta. E

m=

3

B(1;-2)

L

A(3;4)

m1

L1

- 124 -

Resolución 2

Dadas las ecuaciones de las rectas:

L1: 3y = 4x + n . . . (1)

L2: 2y = 3x + 5 . . . (2)

L3: y = 5x – 8 . . . (3)

al intersectarse en un mismo punto implica resolver lasecuaciones el cual deberá verificar en todas ellas.

Reemplazamos (3) en (2)

2(5x – 8) = 3x + 5

10x – 16 = 3x + 5 x = 3

Reemplazando en (3)

y = 5(3) – 8 y = 7

Finalmente x = 3 e y = 7 en (1)

3(7) = 4(3) + n n = 9 Rpta. B

Resolución 3

Según la condición

Resolución 4

Se tiene L1 // L2

Resolución 1

De acuerdo al gráfico obtenemos los puntos P y R.


Se nota que P(0;2)

Ahora en el triángulo PHR( notable 45°)

Luego R = (2 + 2 ; 2 + 2 )

Entonces:

Tenemos: Al tener un ángulo formado por 2 rectas se sabe

1 2

1 2

m mtg531 m m

−° =

+ × . . . (1)

pero 24 2 2m1 4 3

−= = −−

Reemplazando en (1)

1

1

2m4 3

23 1 m3

− − = + × −

16m17

=

Ahora por punto y pendiente en L:

y – 2 = 617 (x – 4)

17y – 34 = 6x – 24

∴ 17y – 6x = 10 Rpta. B

Por ser L1 // L2 se obtiene

que m2 = 3

Supongamos que L2: y = m2 x + b

y = 3x + b

pero P∈L2, entonces:

–3 = 3(4) + b b = –15

Finalmente y = 3x – 15 Rpta. C

: y = 3x + 5

Hallando su ecuación (2 pun-tos en una recta)

( )+ −− =− + −

2 2 2y 2x 0 2 2 0

∴ L: y – 2 = x2 1+ Rpta. D

m1 = 3

P(0;2)

� �R 2 2; 2 2� �


- 125 -

(x + 7)2 + (y + 5)2 = (–6 + 7)2 + (–3 + 5)2

∴ x2 + y2 + 14x + 10y + 69 = 0 Rpta.: D

( )2 6 7 11; 2; 9

2 2− + + =

(x – 2)2 + (y – 9)2 = (6 – 2)2 + (11 – 9)2

x2 + y2 – 4x – 18y + 65 = 0 Rpta.: A

Resolución 4

En la alternativa B completamos cuadrados

x2–4x+4+y2+14y+49 = –53+4+49

(x–2)2+(y+7)2 = 0

∴ La ecuación 2 2x y 4x 14y 53 = 0+ − + +

representa al punto (2; –7)

Rpta.: B

( ) ( )2 2r 12 3 0 2= − + +

r 85=

(x1–3)2 + (y1+2)2 = 85

Por tanteo: (36 +49=85)

(x1–3)2 = 36 x1= 9

(y1+2)2 = 49 y1 = 5

∴ (9; 5) Rpta.. A

Resolución 2

( )7; 5− −

Resolución 1

( )2; 3− ∧ r = 4

(x – 2)2 + (y + 3)2 = 42

∴ x2 + y2 – 4x + 6y –3 = 0 Rpta.: C

NIVEL I

Resolución 3

Resolución 5

Resolución 6

p = 3y2 = 4pxy2 = 4(3)x

∴ y2 = 12x Rpta.: D

x2 = 4pyx2 = 4· 2y

∴ x2 = 8y

Rpta.: A

Resolución 7

y= – 2

CIRCUNFERENCIA, PARÁBOLA, ELIPSE, HIPÉRBOLAPágs.(539, 540, 541, 542)

- 126 -

Resolución 10

Resolución 13

( )3 ; 2 , eje transverso = 16 ,

eje conjugado = 12

Resolución 8

y2 = 16x y2 = 4· 4x p

∴ F(4; 0) Rpta.: E

a2 = b2 + c2

132 = 122 + b2 b = 52 2

2 2x y

113 5

+ =

∴ 2 2x y

1169 25

+ = Rpta.: B

Resolución 11

9x2 + 25y2 = 9002 29x 25y 900

900 900 900+ =

2 2x y1

100 36+ =

2 2

2 2x y

110 6

+ = a 10b 6

= =

a2 = b2 + c2 102 = 62 + c2 c = 8

F( ± 8; 0) Rpta.: B

Resolución 12

4x2 – 9y2 = 36 2 24x 9y 36

36 36 36− =

2 2x y1

9 4− =

2 2

2 2x y

13 2

− =

2a = 16 a = 82b = 12 b = 6

( ) ( )2 2

2 2x 3 y 2

18 6

− −− =

∴ 9(x–3)2 – 16(y–2)2 = 576 Rpta.: D

6 c 6e

5 a a= = =

a = 5V(7; 2)V1(–3; 2)

Resolución 9

y2 = 8x

LR = 8 Rpta.: B

Entonces:a = 3 ∧ b = 2

Luego: c2 = a2 + b2 = 32 + 22 = 13

c 13=

∴ Focos ( )13 ; 0± Rpta.: B

Resolución 14

NIVEL II

Resolución 1

x2+y2–8x+6y = 0x2–8x+16+y2+6y+9 = 16+9(x–4)2+(y+3)2 = 52

∴ r = 5 Rpta.: D

Rpta.: C


- 127 -

Resolución 2

11;

2 −

L:4x + 3y–15=0 15

x4

= , y = 5 , 4

m3

= −

( )2 2

14 1 3 15

2r

4 3

+ − − =+

5r

2=

( )2

2 1 25x 1 y

2 4 − + + =

x2–2x+1+y2+y+1 254 4

=

∴ x2+y2–2x+y–5 = 0 Rpta.: D

x2+y2+Dx + Ey + F = 0

1 : (–2)2 +52+D(–2)+E·5 + F = 0

–2D+5E + F = –29 .................... (α)

2 : 42 +32 + 4D + 3E + F = 0

4D + 3E + F = –25 .................... (β)

Resolución 3

3 : (6)2+(–1)2+D(6)+E(–1)+F = 0

6D–E+F=–37 ... (φ)

Resolviendo(α), (β) y (φ) tenemos:

D = 2 , E = 4 , F = –45

Entonces:

x2+y2+2x+4y–45 = 0 Rpta.:B

Resolución 6

Ecuación de la directriz

2y

5=

∴ 5y – 2 = 0 Rpta.: C

y2 = 4px

122 = 4p·4 p= 9

F(9; 0) Rpta.: A

ce

a=

4e

5= Rpta.: C

Resolución 4

25y x

8= −

2 8x y

5= −

84p

5=

2p 0,4

5= =

Resolución 5

- 128 -

Resolución 7

25x2 + 169y2 = 42252 225x 169y 4225

4225 4225 4225+ =

2 2x y1

169 25+ =

2 2

2 2x y

113 5

+ =

⇒ a = 13 ∧ b = 52 22b 2· 5

LRa 13

= =

∴ 50

LR13

= Rpta.: D

Resolución 8

x2 + y2 –9x + 2y + 18 = 0

Si y = 0

x2 + 02 – 9x + 2· 0 + 18 = 0

x2 – 9x + 18 = 0 x1 = 6 ∧ x2 = 3

∴ Intercepto en (3; 0) y (6; 0)

Rpta.: A

Resolución 9

Resolución 11

y2 = –4p· x

( ) ( )22 3 4p· 1= − − p = 3

y2 = –4· 3x

∴ y2 = –12x Rpta.: C

3 ce

2 a= =

( )2 1 15y 3 4 · x

2 2 − = −

∴ y2 – 2x – 6y + 24 = 0 Rpta.: A

d1

Resolución 10

3 c2 2

= c 3=

a2 = b2 + c2 22 = b2 + ( )23 b = 1

2 2

2 2x y

1a b

+ = 2 2

2 2x y

12 1

+ =

∴ x2 + 4y2 = 4 Rpta.: A

Resolución 13

Resolución 12

3x2 – 4y2 + 3x + 16y – 18 = 0

3(x2 + x) –4(y2 – 4y) = 18

( )2 21 13 x x 4 y 4y 4 4 18

4 4 + + − − − + − =

( )2

21 113 x 4 y 2

2 4 + − − =

( )21

xy 22 1

11 1112 16

+ − − =

∴ 1

; 22

− Rpta.: A


- 129 -

d + d1 = 10

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x 3 y 2 x 5 y 2 10+ + − + − + − =

Resolviendo

∴ 9x2+25y2 – 18x–100y–116 = 0

Rpta.: C

Resolución 3

De la figura:

AB 2 7= Rpta.: B

x2 = –8y x2 = –4· 2· yp = 2

LR = |–8| LR = 8

r2 =(r – 2)2 + 42

⇒ r = 5

(x – 0)2 + (y + 5)2 = 52

∴ x2 + y2 + 10y = 0 Rpta.: D

p = 2(y – 1)2 = –4· 2 · (x – 7)y2 – 2y + 1 = –8x + 56

∴ y2 + 8x – 2y – 55 = 0 Rpta.: D

∴ F(–2; –1) Rpta.: D

Resolución 1


Resolución 2

4

Resolución 4

y2 + 6x + 2y + 4 = 0y2 + 2y + 1 = –6x – 4 + 1(y+1)2 = –6x – 3

(y + 1)2 = 1

6 x2

− +

4p = – 6 3

p2

= −

Resolución 5

x2 + 4x – 8y + 36 = 0

x2 + 4x + 4 = 8y – 36 + 4

(x+2)2 = 8y – 32

(x+2)2 = 8(y –4)

h k

∴ V(–2 ; 4) Rpta.: C

Resolución 6

(x–2)2 = 4p(y –2)

(–4–2)2 = 4p(4–2)

9p

2=

Entonces:

(x–2)2 = ( )94 · · y 2

2−

∴ (x–2)2 = 18(y–2) Rpta.: B

- 130 -

Resolución 8

a2 = b2 + c2

62 – 42 = b2 b2 = 20

( ) ( )2 2

2 2x h y k

1a b

− −+ =

( ) ( )2 2

2x 8 y 3

1206

− ++ =

( ) ( )2x 8 y 31

36 20− +

+ =

∴ 5x2 + 9y2 – 80x + 54y + 221 = 0

Rpta.: A

c = 15

a2 = b2 + c2

a2 = b2 + 152

a2 = b2 + 225 ................................... (1)

2 2

2 2x y

1b a

+ =

a2 x2 + y2b2 = a2· b2 ........................ (2)

(1) en (2):

( )( ) ( )222 2 2 217

b 225 4 3 b b 225 b2

+ + = + Resolviendo: b = 8

∴ Eje menor = 16 Rpta.: D

a = 15 ∧ b = 9a2 = b2 + c2

152 = 92 + c2 c = 12

∴ F( ± 12; 0) Rpta.: E

Resolución 10

y2 = 16x y2 = 4· 4x p = 4

y2 = 16· 4 y = ± 8a = 8 ; b = 4

( ) ( )2 2

2 2

x 4 y 01

4 8

− −+ =

∴ 4(x–4)2 + y2 = 64 Rpta.: C

( ) ( )2 2

2 2y 2 x 1

13 b

+ −− =

( ) ( )2 2

2

2 3 2 2 3 11

9 b

− + + −− =

Resolviendo b = 2

Resolución 7 Resolución 9

+8

Resolución 11


- 131 -

Resolución 122 2

2 2x y

14 3

− = a = 4 ; b = 3 ; c = 5

Ecuación de la circunferencia:

x2 + y2 = 25 Rpta.: B

c = 4a = 2

b = 12

La ecuación del lugar geometrico es una hipérbolade centro

( )2; 5

( ) ( )( )

2 2

2 2y 5 x 2

12 12

− −− =

∴ 3y2 – x2 + 4x – 30y + 59 = 0

Rpta.: D

Entonces:

( ) ( )2 2

2y 2 x 1

19 2

+ −− =

∴ 9x2 – 4y2 – 18x – 16y + 29 = 0

Rpta.: C

4

Resolución 13

CAPÍTULO 22

LÍMITES (Pág. 559, 560)

Resolución 1

• Nos piden calcular:

2 2

x 1(2x 3x 5) 2(1) 3(1) 5lím

→− + = − +

2

x 1(2x 3x 5) 4lím

→− + = Rpta.: D

Resolución 2

• Evaluando tenemos: 2 2

2 2x 0

1 x 1 0lím1 x 1 0→

+ +=− −

2

2x 0

1 xlím 11 x→

+ =− Rpta.: C

Resolución 3

• Evaluando se tiene:

( ) ( ) ( )4 24 2

x 22x x 1 2 2 2 1lím

→+ − = + −

( )4 2

x 22x x 1 9lím

→+ − =

Rpta.: B

Resolución 4

• Al evaluar obtenemos:2

x 4lím x 4

x 1→∞

+ ∞=∞+

Pero:Grado delnumerador

<

Grado deldenominador

∴ 2

x 4x 4lím 0x 1→∞

+ =+ Rpta.: A

Resolución 5

• Evaluando se tiene:2

x 26x 1lím3x 1→∞

+ ∞=∞−

Pero: Grado delnumerador

=

Grado deldenominador

∴ 2

x 26x 1 6lím 2

33x 1→∞+ = =−

Rpta.: E

NIVEL I

- 132 -

Resolución 6

• Evaluando se obtiene:

Resolución 10

• Simplificando la expresión:

x 0 x 0

2senx cosxsen2xlím límxx→ →= =

0x 0 x

1 1

senxlím lím cosx2 · ·x →→

5

2x

3x 2x 1límx 1→∞

+ − ∞=∞+

Pero:

Grado delnumerador >

Grado delnumerador

∴ 5

2x

3x 2x 1límx 1→∞

+ − = ∞+

Rpta.: E

Resolución 7

• Factorizando el numerador:

( ) ( )x 2

x 2 x 2lím→

+ −

( )x 2−( )

x 2x 2 2 2lím

→+ = +

=

∴

2

x 2

x 4lím 4

x 2→

− =− Rpta.: D

Resolución 8

• En la expresión dada tenemos:

x 0

1 1 x 1 1 xlím ·

x 1 1 x→

− − + −

+ −

x 0 x 0

x 1lím lím1 1 xx 1 1 x→ →= = + −+ −

11 1 0

=+ − →

x 0

1 1 x 1límx 2→

− − =

Rpta.: C

Resolución 9

• Se observa que:

n 5 n 5

n nn

e 1

1 1 1lím lím lím1 1 1·n n n

+

→∞ →∞→∞

+ + + =

∴ n 5

n

1lím 1 en

+

→∞

+ = Rpta.: A

= =

Resolución 4

• Evaluando tenemos:

2

4 2x

2x x 1lím

x 3x 6→∞

+ + ∞=∞+ −

Pero:

<

Grado del Grado delnumerador denominador

∴

2

4 2x

2x x 1lím 0x 3x 6→∞

+ + =+ − Rpta.: B

2 ⋅

Resolución 1

• Evaluando tenemos:

( ) ( )( ) ( )

22

2 2x 2

2 4 2 3x 4x 3 15lím

5x 2x 3 2 2 2 3→

+ ++ + = =+ − + −

∴

2

2x 2

x 4x 3lím 3

x 2x 3→

+ + =+ − Rpta.: C

Resolución 2

• Evaluando se logra:

( ) ( ) ( )2 2 2

2x 0

x 1 x 2 x 3lím

x x 1→

+ + + + +

+ +

( ) ( ) ( )2 2 2

2

0 1 0 2 0 3

0 0 1

+ + + + +=

+ +

∴ ( ) ( ) ( )2 2 2

2x 0

x 1 x 2 x 3lím 14

x x 1→

+ + + + +=

+ +

Rpta.: AResolución 3

• Observamos que:

3 2

2x

5x 3x 2x 1límx x 1→∞

+ + + ∞=∞+ −

Pero:

>


∴

3 2

2x

5x 3x 2x 1lím

x x 1→∞

+ + + = ∞+ −

Rpta.: E

∴ x 0

sen2xlím 2x→

= Rpta.: C

NIVEL II


- 133 -

Resolución 7


22

x 2

x 2x xlím x 2x x ·x 2x x→∞

+ + + − + +

2x

2xlímx 2x x→∞= + +

2x

2 2

2xxlím

x 2x xxx x

→∞=+ +

x

2 2 2lím12 21 0 11

x→∞

= == + + ++

∴ ( )xlím x x 2 x 1→∞

+ − = Rpta.: C

e

Resolución 5

• Evaluando tenemos:3 2

3x

4x x 3lím

2x x 1→∞

+ + ∞=∞+ −

Pero:

=


∴

3 2

3x

4x x 3 4lím 2

22x x 1→∞

+ + = =+ − Rpta.: E

Resolución 6

• En la expresión se tiene:

( )

2 2

22x x

x x 5 x x 5lím lím

4x 4x 12x 1→∞ →∞

+ − + −= + ++

2

2x

x x 5 1 1lím4 24x 4x 1→∞

+ − == =+ +

Pero:

=


∴

2

x

x x 5 1lím2x 1 2→∞

+ − =+ Rpta.: C

Resolución 8

• Factorizando la expresión tenemos:

( )x 1

x x 1lím→−

+ ( )( )

x 2

x 1

−

+ ( )( )( )

( )1 1 2

1 2x 2

− − −=

− ++

3 2

2x 1

x x 2x3lím

x 3x 2→−

− − == + + Rpta.: E

Resolución 9

• Dándole forma a la expresión:

2 2x x2 2

x x

2 2lím lím1 1x x→∞ →∞

+ = +

∴ x

2x

x 2lím ex→∞+ =

Rpta.: C

Resolución 10

• Reduciendo la expresión:

x 0

2 senxlím→

· cos xsenx

x

1

cos xlím2→∞

=

∴ x 0

sen2xlím 2

senx→= Rpta.: C

1

x o→

Resolución 1

• Factorizando la expresión:

( ) ( )2

2x 2

x x 1 4 x 1lím

x 4→

+ − +

−

( )( )2

2x 2

x 1 x 4lím

x 4→

+ −

−

( )x 2

x 1 2 1 3lím→

+ = + =

∴

3 2

2x 2

x x 4x 4lím 3

x 4→

+ − − =− Rpta.: D

Resolución 2

• Multiplicando y dividendo por la conjugada tenemos:

x 0

x 4 2 x 9 3 x 4 2límx 9 3 x 9 3 x 4 2→

+ − + + + +

+ − + + + +

( )x 0

x 4 4lím→

+ − ( )( )

x 9 3

x 9 9

+ +

+ − ( )x 4 2+ +

x 0

x 9 3 0 9 3 6lím

4x 4 2 0 4 2→

+ + + += =+ + + +

∴ x 0

x 4 2 3lím

2x 9 3→

+ − =+ − Rpta.: B


- 134 -

Resolución 6

• Expresando convenientemente:

( )

( )

( )

( )

11lím xx x 0lím

x o 1 1límx xx 0

1 x1 x

1 x 1 x

→→

→

++ =− −

21

ee

e−= =

∴ 2

x 0

1 xelím

1 x→

+ =− Rpta.: E

Resolución 9


x 0

1lím→

22cosx 2cos x 1− + −x

( )x 0

2cosx 1 cosx 1 cosx·lím

x 1 cosx→

− − + = +

( )( )

2

x 0

2cosx 1 cos xlím

x 1 cosx→

− −

= +

( )2

x 0

2cosx ·sen xlím

x 1 cosx→

−= +

( )2

2x 0

2x cosx sen xlím

x 1 cosx→

−= +

2

x 0

2x cosx senxlím ·

1 cosx x→

− = +

Evaluando en el límite:

( )22 · 0 ·11 0

1 1− = = +

Resolución 3

• En la expresión tenemos:

x 0

3 9 x 3 9 xlím ·x 3 9 x→

− − + −

+ −

( )( )x 0

9 9 xlím

x 3 9 x→

− − = + −

x 0

1 1 1lím

3 33 9 x 3 9 0→

= = ++ − + −

∴ x 0

3 9 x 1lím

x 6→

− − = Rpta.: D

Resolución 4

• Hacemos: x = a12

entonces : x → 1 ; a → 126

34 x 1x 1

a 1x 1 límlíma 1x 1 →→

−− =−−

( )a 1

a 1lím→

− ( )( )

a 1

a 1

+

− ( ) 22 a 1

a 1lím

a a 1a a 1 →

+= + ++ +

21 1 2

31 1 1

+= =+ +

∴ 6

4x 1

x 1 2lím3x 1→

− =− Rpta.: C

Resolución 5

• Adecuando la expresión dada:

( )1 10

5x

x 0lím 1 5x→

+

=

e

Resolución 7

• Expresando convenientemente:

x 0 x 0

sen2xsen2x 1 21 2xxlím límsen3x sen3x1 1 3

x 3x→ →

−− = + +

Evaluando en el límite:

( )( )

1 2 1 11 3 1 4

−= = −

+

∴ x 0

x sen2x 1límx sen3x 4→

− −=+ Rpta.: A

∴ ( )2x

10x 0

lím 1 5xe

→+ =

Rpta.: E

( )1105x

10x 0lím 1 5x e→

+ =

Resolución 8• Expresando en términos de “senx” y “cosx”

x x2 2

senx 1 1 senx cosxlímlím ·cosx cosx cosx cosxπ π→ →

− − − =

( ) ( )2

x x2 2

1 senx1 senx cosxlím límcos xπ π→ →

−− −−= ( )

cosx

1 senx− ( )1 senx+

x2

cosx 0lím 01 senx 1 1π→

− = − =+ +

∴ ( )x

2

lím tgx secx 0π→

− = Rpta.: A


- 135 -

∴ x 0

1 2cosx cos2xlím 0x→

− + =

Rpta.: B

Resolución 10

• De acuerdo a las identidades trigonométricas se tiene:

( )

x2

2 1 senxlím

π→

− ( )1 cosx

1 senx

−

−

( ) ( )x

2

lím 2 1 cosx 2 1 0 2π→

− = − =

∴ ( )2

x2

1 senx cosxlím 2

1 senxπ→

− −=

−

Rpta.: D

Resolución 4

• Hallamos la pendiente de la recta tangente: (mT)

y' = 4x + 5 → mT = 4(–3) + 5

Resolución 1

• Derivando tenemos:

( )( )

( ) ( )2' 2

32

1f x · 3 x 1 · 2x 6

2 x 1 2

= − − − +

( ) ( )( )

22'

32

3x x 1f x 6

x 1 2

−= −

− +

f’(0) = –6 Rpta.: A

Resolución 2

• Derivando se tiene:

( )( ) ( )

( )'

2

1 1· x 1 x 1 ·2 x 2 xf x

x 1

− − +=

−

( )( )

'2

1f x

x x 1= −

−

( )' 1f 4

2= − Rpta.: B

Resolución 3

• Derivamos la función:

f ' (x) = 2senx · (cosx)

f ' (x) = 2senx · cosx

f' (x) = sen2x Rpta.: C

NIVEL I

DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN (Pág. 575, 576)

mT = –7

⇒ LT : y = mT(x – x0) + y0 T

0 0 ; 2)

m 7(x ; y ) ( 3

= − = −

y = –7(x + 3) +2

7x + y + 19 = 0 Rpta.: D

Resolución 5


( ) ( ) ( )' 1f x · cos2x · 2

sen2x =

f ' (x) = 2 ctg2x

( )'f 2ctg 2 18 4π π = =

'f 28π =

Rpta.: B

Resolución 6

• Hallamos la pendiente de la recta tangente:y’= cosx–senx → mT = cos0 – sen0

mT = 1

⇒ LT : y = mT(x – x0)+y0 T

0 0 )

m 1(x ; y ) (0 ;1

= =

y = 1(x – 0) +1

y = x + 1 Rpta.: A

–3;2)

Resolución 7

• Derivando la función:f ' (x) = 4x – 8 → 4x – 8 = 0

x = 2• fmín = f(2)

fmín = 2(2)2 – 8(2) + 1

fmín = –7 Rpta.: D

- 136 -

0 1

V = πr2h 2V

hr

=π

ST = 2πrh + 2πr2

ST =2πr· 2

2V

2 rr

+ ππ

ST = 2V· r-1 + 2πr2

Derivando con respecto al radio “r”:' ST = –2Vr-2 + 4πr = 0

22V

4 rr

π = 3 Vr

2=

π

∴ 3 Vr

2=

πRpta.: A

Resolución 8


f ' (x) = ex · tgx + ex · sec2x

f ' (x) = ex(tgx + sec2x)

⇒ f ' (π) = eπ(tgπ + sec2π)

f ' (π) = eπ Rpta.: C

Resolución 9

• Tomando “Ln” a ambos miembros de la igualdad:

Ln y = Ln xx → Ln y = x · Lnx

derivando ambos miembros:

'1 1· y Lnx x

y x = +

y' = (Lnx + 1)y

y' = (1 + Lnx) xx Rpta.: A

Resolución 10

• Hallamos f ' (t) : (V = f ' (t))

f ' (t) = 6t – 1

V = f ' (2) = 6(2) – 1

V = 11 Rpta.: C

Resolución 1f(x) = x2 + 2x + pDerivando:

f ' (x)= 2x + 2 = 0 x = –1f(x) = (–1)2 +2(–1) + p = 10

∴ p = 11 Rpta.: C

Resolución 2

f(t) = 2t3 – 5t2 + tLa segunda derivada es la aceleración instantanea.

f ' (t) = 6t2 – 10t + 1

∴ f '' (t) = 12t – 10 Rpta.: C

Resolución 3

Sea x: el númerof(x) = x – x2

Derivando:

f ' (x) = 1 – 2x = 0

NIVEL II

∴ 1

x2

= Rpta.:D

Resolución 4

Resolución 5

(I).( )( )( )( )1 senx 1 senx1 senx

y1 senx 1 senx 1 senx

+ ++= =− − +

( ) ( )2 2

2 21 sen 1 senx 1 senx

ycosx1 sen x cos x

+ + += = =−

y = secx + tgx

∴ y' = secx(secx + tgx) ¡Falso!

(II) 2nf '(x) L (x x 1)= + +

( )2

2 2

x x 1 ' 2x 1f '(x)

x x 1 x x 1

+ + += =+ + + +

( )22· 0 1

f '(0)0 0 1

+=+ +

∴ f ' (0)= 1 Verdadero

(III) Falso

∴ Es Verdadera II Rpta.: B

Resolución 6

2x 100 xS

2∆−=


- 137 -

Resolución 7

Sean x , y los números:x + y = 24 ... (1)

f = x· y3 : máximof = (24 – y)·y3 = 24y3 – y4

Derivando con respecto a “y”

f ' = 72y2 – 4y3 = 0 72y2 = 4y3

⇒ y = 18

En (1): x + 18 = 24

∴ x = 6 Rpta.: E

Derivando con respecto a “x”

( ) ( )1

2 21 1S' x 100 x 2x

2 2

−∆

= − − −

2 1100 x

2 + −

Igualando a cero:

x2 = 100 – x2 x2 = 50

∴ x 5 2=

2100 x 5 2− = Rpta.: C

(I). f(x) = x f ' (x) = 1 f ' (x) ≠ 0

(II). f(x) = x2 f ' (x) = 2x

Para: x = 0 f ' (x) = 0 : mínimo

(III). f(x) = x3 f ' (x) = 3x2

Para x = 0 f ' (x) = 0 no es mínimo ni máximo.

∴ Sólo III Rpta.: C

Resolución 8

Resolución 9

Sea “x” el número.

f(x) = x – x2 : máximo

Derivando con respecto a “x”

f ' (x) = 1 – 2x = 0

∴ 1

x2

= Rpta.: C

Resolución 10

Sean x , y los números:x + y = 100 ... (1) f = x2 + 6y : mínima f = (100 – y)2 + 6yf ' = 1002 – 200y + y2 + 6y f = 1002 – 194y + y2

Derivando con respecto a “y”f ' = –194 + 2y = 0

⇒ y = 97

En (1): x + 97 = 100∴ x = 3 Rpta.: B

( ) ( )( )

2 3

2h 16 3h h 164

V' 03 h 16

− −π = = −

∴ h = 24 Rpta.: A

Resolución 12

43

3x 1

f '(x)2x 1

−= +

BCO1 ∼ AOB

2 2

8 h 8r r h

−=+

( )22 2 2

h 864

r r h

−=

+

2 64hr

h 16=

− ... (1)

En el volumen:

2V r h3π= ... (2)

Reemplazando (1) en (2):364 h

V ·3 h 16

π=−

Derivando con respecto a “h”

Resolución 11

- 138 -

Pendiente de la recta LmL = –5

Pendiente de la recta 1L

Como 1L //L

( )( ) ( )( )( )

3 3 2 3 23

3 23

2x 1 3x x 1 6xx 1f '(x) 4 ·

2x 1 2x 1

+ − − −= + +

( )33 2

3 23

x 1 9xf '(x) 4 ·

2x 1 2x 1

−= + +

( )( )

( )

( )

33 2

3 23

1 1 9 1f'( 1) 4 ·

2 1 1 2 1 1

− − − − = − + − +

∴ f ' (–1) = 288 Rpta.: A

Resolución 13

y = x2 – 7x + 3 (Parábola)

5x + y – 3 = 0 (recta)

Entonces:

L L1m m 5= = −

21 1 1y x 7x 3= − +

Derivando:

1 1 L1y ' 2x 7 m= − =

2x1 – 7 = –5

⇒ x1 = 1

Luego:

y1 = (1)2 – 7(1)+3

⇒ y1 = – 3

∴ (1 ; –3) Rpta.: C

Resolución 14

f ' = x5 + 5x4 – 10x2 + 6f ' =5x4 + 20x3 – 20x

Ecuación de la recta.y – 4 = m · (x – 3)

y – 4 = − −y(x 3)

x ... (1)

xy – 4x = –xy + 3y

3yx

2y 4=

− ...................(2)

Área = x · y

2.................. (3)

(2) en (3):

Área = 1 3y

y2 2y 4

−

Área = 23 y

·4 y 2−


( ) ( )( )

2

2y 2 · 2y y 13

(Área)' · 04 y 2

− − = = −

x = 3 ∧ y = 4

Luego en (1): y – 4 = ( )− −4x 3

3

∴ 4x + 3y – 24 = 0 Rpta.: C

Resolución 16

Sean x e y los dos números:

x + y = 20

→

''f = 20x3 + 60x2 – 20g(x) = x5 – 4x3 + 2x – 3

g' (x) = 5x4 – 12x2 + 2

''g (x) = 20x3 – 24x

3 2

3f ''( 1) 20( 1) 60( 1) 20g''( 1) 20( 1) 24( 1)

− − + − −=− − − −

∴ f ''( 1)

5g''( 1)

− =−

Rpta.: D

Resolución 15


- 139 -

Resolviendo:

∴ x 8y 12

== Rpta.: E

f ' = x2· y3

f ' = (20 – y)2· y3 = (400 – 40y + y2) y3

f ' = 400y3 – 40y4 + y5


f ' = 1200y2 – 160y3 + 5y4 = 0

y2 – 32y + 240 = 0

Resolución 17

f ' = sec25x

f ' = 2sec5x · sec5x · tg5x· 5

f ' = 10sec25x · sen5xcos5x

f ' = 10sec25x · sen5x · sec5x

∴ f ' = 10sec35x · sen5x Rpta.: C

Resolución 1

P(3 ó par) = P(3) + P(par)

= +16

36

∴ P(3 ó par) = 23

Rpta. A

Resolución 5

Resolución 2

Número de casos posibles = 36Número de casos favorables = 6

∴ P(suman 7) = 6

3616

= Rpta. D

Resolución 3

∴ P(cara) = 12

Rpta. A

Resolución 4

∴ P(ss) = 12

12

14

× = Rpta. B

P(2 caras y 1 sello) = P(ccs) + P(csc) + P(scc)

= × × + × ×12

12

12

12

12

12

+ × ×12

12

12

∴ P(2 caras y 1 sello) = 38

Rpta. D

Resolución 6

∴ P(As) = 4

521

13= Rpta. C

Resolución 7

∴ P(trébol) = 1352

14

= Rpta. A

CAPÍTULO 23

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES(Págs: 607, 608)

NIVEL I

- 140 -

Resolución 8

∴ P(roja) = 6

6 435+

= Rpta. D

Resolución 9

∴ p(mujer) = 30

60 3013+

= Rpta. E

Resolución 10

∴ P(ganar) = 16

15

130

× = Rpta. B

Resolución 11

∴ P(NN) = 8

187

1728

153× = Rpta. E

Resolución 12

P(BBA) = 2030

1929

1028

× ×

∴ P(BBA) = 95609

Rpta. D

Resolución 13

Las dos extracciones son con reposición:

∴ P(NN) = 6

146

14949

× = Rpta. C

Resolución 14

Se sobreentiende que las dos extrac-ciones son sin reposición:

∴ P(BB) = 6

165

1518

× = Rpta. B

Resolución 15

P(VVV) = 8

177

166

15785

× × =

Rpta. A

6N8B

6B10N

8V9R

Resolución 16

P(as, as, as) = 4

52351

250

15525

× × =

Rpta. D

Resolución 17

P(3R y 2M) = C C

C36

210

516

75364

×=

Rpta. A

6R10M

Resolución 18

P(no azul) = 69

23

=

Rpta. A

4R3A2V

Resolución 19

6R16N P(RR) =

622

622

9121

× =

Rpta. C

Resolución 20

P(3B) = C C

C35

23

58

1528

×=

Rpta. C

5B3N

Resolución 1

NIVEL II


- 141 -

P(salga lo mismo) = P(cc) + P(ss)

= × + ×12

12

12

12

∴ P(salga lo mismo) = 12

Rpta. A

Resolución 2

P(2R y 1B) = C C

C27

13

310

2140

×=

Rpta. A

7R3B

Resolución 3Sean los eventos:

A: Hugo resulta arqueroB: Josué resulta delantero

Número de casos posibles = 6 × 5 = 30

∴ P(A y B) = 1

30 Rpta. D

Resolución 4

La posibilidad pedida es: P(BBB) + P(BRB) + P(RBB) + P(RRB)

= × × + × × +410

39

28

410

69

38

+ × × + × ×610

49

38

610

59

48

∴ =25

Rpta. C

Resolución 5

7B5R

∴ P(BR) = 7

12511

35132

× = Rpta. B

Resolución 6

P(1 fresa, 1 limón, 1 naranja) =

= × ×

=C C C

C15

14

12

311

833 Rpta. D

5 fresa4 limón2 naranja

Resolución 7

Resolución 8Total de números de dos cifras = 90Números de dos cifras múltiplos de 5= 10; 15; 20; 25, 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60;

65; 70; 75; 80; 85; 90; 95

⇒ Número de casos favorables = 18

∴ P 5b g= 1890

15

= Rpta. C

Resolución 9

P(2 fresas) = C

C28

210

2845

= Rpta. B

Resolución 10

Número de elementos = C210 45=

Rpta. D

8 fresa2 limón

Rpta. A

- 142 -

Resolución 12

* Número de formas en que se pueden sentar las 8amigas = 8!

* Número de formas en que Nataly y Vanessa quedanjuntas = 2! × 7!

* Número de formas en que Nataly y Vanessa noquedan juntas = 8! - 2! × 7!

⇒ P(Nataly no junto con Vanessa):

= 8 2 7

834

! ! !!

− × = Rpta. C

Resolución 13

P(urna II R) = P(RR) + P(BR)

P(urna II R) = 2 5 5 4 157 8 7 8 28

× + × =

Rpta. A

P (ninguna mujer) = C

C49

414

18143

=

⇒ P(al menos una mujer) = 1 – P (ninguna mujer)

P(al menos una mujer) = 1– 18

143125143

=

Rpta. B

Resolución 14

Resolución 11

Número de casos posibles = 50

P PP P+ −=6 66 88 8o yb bb bg gg g

= + −850

650

250

∴ P 6 8ob g = 625

Rpta. C

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Solucionario 5to secundaria (3)