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Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lli Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER.Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3
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Eduardo iip ln o # i Rumo«Urna hmi
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«• «««
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ANALISIS MATEMATICO IIS O L U C I O N A R I O D E M I D O V I C H
T O M O I I
CO
W nn - \
♦ I N T E G R A L I N D E F I N I D A
♦ I N T E G R A L D E F I N I D A
♦ I N T E G R A L I M P R O P I A
♦ A P L I C A C I O N E S
E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S
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INDICE
C A P Í T U L O I V
INTEGRAL INDEFINIDA
Pag.
1.1. Reglas Principales para la Integración. 1
1.2. Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial. 8
1.3. Métodos de Sustitución. 45
1.4. Integración por Partes. 57
1.5. Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado. 79
1.6. Integración de Funciones Racionales. 88
1.7. Integrales de algunas Funciones Irracionales. 116
1.8. Integrales de las Diferenciales Binómicas. 129
1.9. Integrales de Funciones Trigonométricas. 134
1.10. Integración de Funciones Hiperbólicas. 157
1.11. Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el
Cálculo de Integrales de la forma JR(x, Vax1 +bx + c )d x . 161
’ 1.12. Integración de diversas Funciones Trascendentes. 167
1.13. Empleo de las Fórmulas de Reducción. 176
1.14. Integración de distintas Funciones. 180
C A P Í T U L O V
L A IN T EG R A L D E FIN ID A
2.1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 2182.2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 2232.3. Integrales Impropias. 2342.4. Cambio de Variable en la Integral Definida. 2482.5. Integración por Partes. 2612.6. Teorema del Valor Medio. 268
C A P Í T U L O V I
. 3 1 , .
[A P L IC A C IO N E S D E LA IN T EG R A L D E FIN ID A
3.1. Areas de las Figuras Planas. 2763.2. Longitud de Arco de una Curva. 3103.3. Volumen de Revolución. 3253.4. Area de una Superficie de Revolución. 3473.5. Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin. 3573.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas
de Física.377
Integral Indefinida1
C A P Í T U L O I V
4 . I N T E G R A L I N D E F I N I D A .
4.1. REG LA S PR IN C IPA LE S PA R A LA IN T E G R A C IO N .
0 F '(je) = / ( x) entonces j" f (x)dx = F(x) + c , c constante.
( 2 ) J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante.
@ J(/(jc)±g(x)<¿x = j f ( x ) d x ± ^ g ( x ) d x .
© Si J / ( x > k = F ( x ) + c y u = y W . se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )
TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.
Sea u una función de x.
© J ^ = 1 „ | „ | +C © J ^ T = r rc ,8 ,7 )+ c
2 Eduardo Espinoza Ramos
1031
J u 2 +a
du
y[a2 - u 2
audu = -
■ = are. sen f u ' + c = -are. eos
- + c , a > 0
+ c, ;a > 0
10) \ e ud u = e u +cJ12) I eosu du = senu+c
J = ln(w + y¡u2+a) + c ,a ? í0
J
J ln(fl)
^s zn (u )du = -cos(m) + c (l2) j"
j t g u d u = — ln|cosw| + c = lnjsecMj + C! ^4) tg u.du = ln |sen m| + c
Jsec u.du = tgu + c J csc2 u.du = -c tg u +c
Jcscu.du = lnjsec¿¿ + tgu\ + c (l^ jcscu.du = Ln\cscu-clgu\ + c
Jsenh(M)rf«=cosh(«) + c @ Jcosh(M)¿K =senh(«)
j c s c 2 h(u).du = ctgh(u)+c @ Jsec2 h(u)du = tgh(n)
Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración:
J
) + c
) + c
I5a2x2dx
Desarrollo
Integral Indefinida 3
1032
1033
1034
1035
1036
(i6x2 + 8jc + 3 )dx.
Desarrollo
(6x2 + 8* + 3 )dx = 6 J x 2dx + 8 J xdx + 3 J dx + c = 2x* + 4x2 + 3x
x(x + a)(x + b)dx
Desarrollo
+ c
í<C i ? x a + b 3 ab 2 í
x(x + a) (x + b)dx= \ ( x 3 +(a+b)x2 +abx)dx = — + - — x + y * +c
(a + bx^)2dx.
Desarrollo
=I<(a + bx3)2dx = I (a2 +2abx3 +b2x6)dx = a2x + Y x* + ^ - j - + c
J2 p x dx.
Desarrollo
\ ¡ 2 7 x d x = V 2 ^ J xU2dx = ^ 3/2 y¡2p +c = x j l f x + c
<fxDesarrollo
4 Eduardo Espinoza Ramos
1037
1038
1039
1040
I\ - n
(nx) n dx.
Desarrollo
P P j p l l í iI (nx) n d x = \ u n — = — I m " du = (nx)n + c
í(a2,3- x 2/3)3dx.
J ( a 2/3 — x2/3 )3dx = j (a2 —
Desarrollo
3a4/3x 2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx
2 9 4 /3 5 /3 9 2/3 7 /3 X 3= a x — a x +—a x ----- + c5 7
J (yfx + 1) (x - \ [ x + \)dx.
Desarrollo
J" (%/3c -H1) ( x - \ f x + \)dx = j í * 3' 2 +i)dx = ^ x 5/2 +X + C = — - J x + x + i
J(x2 + \ ) ( x2 - 2 ) j-------- -------- dx
3^7
Desarrollo
J U +l) _ 2)dx = ~ l ^ 2 dx = J (*10/3- X 4'3 - 2 x-2,3)dx
Integral Indefinida
= — X4y¡X-----x 2\fx~ 6 y jx + c13 7
1041 iT x
Desarrollo
.m „n \2 2« r í ü d 2m+2n~1 £2=*(x 2 - 2 a: 2 + jc 2f U m - xn )2 , f jc2"1 - 2jtm+n + *2n f
J— ----7i-- dx i2x2m4~x Axm+n4~x 2xln4~x4m +1 2m + 2n +1 4« +1
1042 4 x f _ dxyjax
Desarrollo
+ c
\f-
f(V a-V jc)4 d _ f fl2 -4ayfax + 6ax-4x\[ax + x 2 ^
J \[ax J 4ax
= J [a2( a x y in - 4 a + 6-Jax - 4 x + x 2 (ax)“1/2 ] dx
2x3= 2a Ja x - Aax + Ax^fax - 2x2 +— = + c
5 yfax
1043J í ! +7
Desarrollo
6 Eduardo Espinoza Ramos
1044
1045
1046
1047
Í dxjr2 —10
Desarrollo
¡ T T o ' Í T - -
í
dx 1(Vio)2 2V10
ln x +VioC-VÍO
+ c
\¡4 + x 2Desarrollo
Por la fórmula 7 se tiene: | = In I x + \ lx2 +4 I + cJ (x +4)
I V8-JC2
t e - /
Desarrollo
X•--------------- = ore. sen (— =■) + c , resulta de la fórmula 8.
7(272)2 -* 2 2V2
J
í
■s/2 + x 2 - J 2 - X 2
•Ja-x*dx
Desarrollo
yj2 + x 2 - y ¡ 2 - x 2 J C /J2 + X2 y / 2 - x 2dx = f ( ^ 2 V 2 -* 2
» V^4-X4 V 4 - r4dx
= f~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen Ln x + y¡2 + x 2J y í ^ x 2 J J 2 Í X 2 V2
+ c
por fórmulas 7 y 8.
Integral Indefinida 1
1048 a) 1 tg2J
Desarrollo
r rJ , 8! A»fe = J<Sec! í - Í ) * . l g í - « + c .
b) I tgh2
Desarrollo
Jtgh2 xdx = J(l-sec! Ax)iír = x-tgh+ c.
1049 a) 1 c tg" xdx.*
Desarrollo t V v *
[c tg 2x d x - J (c sc2 x - \ ) d x C t g X - j : + C.
b) 1 c tgh xdx.w
Desarrollo
J , ,g
1050 ¡3xexdx
Desarrollo
Í3 xejrdx= f(3e)*¿c = - ^ -J J ln(3e)
8 Eduardo Espinoza Ramos
4.2. IN T EG R A C IO N M ED IA N TE LA IN T R O D U C C IÓ N BA JO EL SIG N O DE LA DIFER EN C IA L.
Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:
J* f(y/(x)).y/'(x)dx = J f(u)du , donde u = y/(x)
a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la diferencial.
, , adx 1051 ------
1054
J -J a- xDesarrollo
sea u = a - x —> du = -d x —> dx = -du
f adx f dx f du , , cI ------ = a I ------- = -a I — = — aLn + aLn - aLn \------J a - x J a - x J u a - .
f 2x + 3J 2x+l
1052 Idx
Desarrollo------------
[ l —^ d x f ( - — + — (— í— ))dx ——x + — Ln | 2x + 3| J 3 + 2* J 2 2 2x + 3 2 4
f xdx J a +bx
Desarrollo
f xdx f 1 a , 1 , x a , . , .I --------= I [------- (-------- )]dx —------ —Ln\a + bx\+c
J a + bx J b b a + bx b b
+c
11055 I — + b dxax+ ¡5
Integral Indefinida 9
1056
1057
1058
1059
Desarrollo
J ax + l3 J a a a + ¡i a a
\ ^ d xJ x - l
Desarrollo
2f X + 1 dx = f(x + l + —1— )dx = — + x + 21n | x - l |+ cJ x - l J x - l X
f x2 + 5x + 7 ,I --------------dxJ x + 3
Desarrollo
f x +^X + '! dx= j*(x + 2 h— -—)dx = — + 2x + In | x + 3 1J x+ 3 J x+ 3 2
J x - lDesarrollo
[ x U x 2 + 1 dx= f(x 3 + x 2 +2x + 2 + - Í -J x - l J x + l
+c
)dx
í
r 4 r 3= — + — + x2 +2x + 3 1 n |x - l |+ c
4 3
(a + -~ -)2dxX - f l
Desarrollo
r b i f 2 2ab b~ . , 2 o / 1 1 i ^I (a +------ Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a | -+ cJ x - a J x - a (x - f l)“ x ~ a
10 Eduardo Espinoza Ramos
1060
1061
1062
J X dx(jt + 1)2
Desarrollo
sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l
\ ~ T du= f ( ~— = ln | w | +—+ c = ln|* + l|+ —— + c i (JC + 1)2 J u2 J U u2 u x + l
f bdy
J VwDesarrollo
Sea u = 1 - y => dy = - du
J = b ~ y ll2(iy = ~bj u~ll2(lu = ~2bu1' 2 +c = -2 b y ] l-y + c
JVa -bxdx.
Desarrollo
Sea u - a - bx => dx = ~ —b
f s¡a-bxdx= fwl/2( -^ -) = - - \ u m du = - — u>fü+c = - — (a -b x )Ja -b x J J b b j 3b 3b
+c
1063 dx
Desarrollo
Integral Indefinida 11
1064
1065
1066
1067
f - ¡ J L = d x = í (x 2 + i r 1/2^ = \u~U2 — = yfu+C = J x 2 +l+cJ V 7 7 T J J 2
f y / x + lnxJ X
-dx
Desarrollo
C yfx+ lnx , f . 1 ln * \ , 0 r , ln x- ----------dx= l(-p r + ----- )dx = 2 ^ x + —— + cJ X J yjx X 2
Í —J 3x2 + 5Desarrollo
í —t — = í r f X— = —J —¡= a rc tg C ^-) + c =-^= arctg(x í^ ) + cJ 3x + 5 J (J3x)2 +(J5)2 S S \¡5 %/I5 V5
f dxJ 7*2 +8
Desarrollo
dx j*______ dx______- * in i V7jf —2>/21 x 2 - 8 J (V7x)2 -(2>/2)2 y¡l 4V2 J l x + 2 ^ 2
dx _ ,--------------------- - ; 0 < b < a(a + b ) - ( a - b ) x
+c
Desarrollo
dx 1 f yfa—bdxf dx = r dx 1 f __________________
J (a + b ) - (a ~ b )x2 J (Ja + b)2 - ( J a - b x ) 2 J (Ja + bj2 -(-J a - b x )2
1 . yja+b + sja—bx .~ ln ,----- ---- f = = - \+c
2yja-b.\¡a + b \la + b - y /a -b x
12 Eduardo Espinoza Ramos
1068
1069
1070
1071
1 . . yfa + b + y j a - b x .In | ------ -----— | +c2yja2 - b 2 J a + b -->J a - b x
rx 2dx
x 2 + 2Desarrollo
Ix3dx
~2 F a - xDesarrollo
f x3dx fJ
Jt2 - 5 x + 6
2 2 2 / x v f x a t o .(* + ~ -----= - ( — + — In | jc - a |) + c
x~ - a 2 2
i x 2 + 4dx
Desarrollo
Cx2 - 5 x + 6 j f 5 x - 2 f 5x 2I — 1 ~ 7 ~ ( 1 — r ~ ; ) d x = I * 1 — 2 — + ~ i — ) d xJ x + 4 J x + 4 J * +4 x + 4
f dx
J yJl + Zx2
= In | *2 + 4 1 +arc.tg(—) + c 2 2
Desarrollo
2yfldxr dx f - 1 fj yll + Sx2 j yjl + (2y¡2x)2 2\¡2 J y¡7 + (2^/2x)2
Integral Indefinida 13
1072
1073
1074
= 1 Ln 12- 2x + 7 +8jc2 | +c , por la fórmula 72v2
Ídx
yjl - 5 x 2Desarrollo
r dx _ j*______dx _ 1 |* '¡5dx------- =-^=arcsen(^í) + c
J 3* - 2Desarrollo
yftdx
1 , , . 5 . . y ¡3x-y¡2 ,= - ln 3jc2 - 2 ----- r - r ' n H r ----- /x l+c3 2>/3.V2 \¡3x + yj2oHonr,a»q
1 , I , 2 T I ^ i„ | ' f i x= —In - 2l- 2 lnl ^ + V2+c
Í3 - 2x , dx
5x +7Desarrollo
f = 2 f f Ü Ü L = - i l n 15 ^ + 71 +cJ 5jc2 + 7 SJ 5Jí! + 7 5V7 7 5.X _5 5
3 a rc tg (^ x ) - In 15x2 + 7 | +c>/35
14 Eduardo Espinoza Ramos
1075
1076
1077
1078
J3.x:+ 1
dx\lsx2 +1
Desarrollo
( - * 2 L d x . 3 [ ' t b + ( * = 1 f i f Vm.Jy j5 x2 +l J s]5x2+l J yj5x2 +l 10 J y¡5x2 +1 S J ^(y¡5x)2 +1
- j \ l 5 x 2 +1 + ~ L n \yÍ5x+y¡5x2 + 1 1 +c 5 \ 5
Ix + 3
-dxs ¡ J ^ 4
Desarrollo
i r ? ' dx + 3 í ------- = V-*2 - 4 + 31n | x + yjx2 - 4 |+ c , por la fórmulaj \ x - 4 J y j x 2 - 4
í x2 - 5Desarrollo
f ^ - = i f — —ln |x 2 —5 |+ c J a:2 - 5 2 J x — 5 2 '
J 2jc2 +3Desarrollo
J a x + b1079
Desarrollo
Integral Indefinida
1080
1081
1082
1083
) a 2x 2 +b2 ) a"x +b" J a2x2 +b2
1 , 9 o » ? i 1= — l n |a ' j r + ¿ r |+ —arc.tg(— ) + c 2a a b
f jcdx
J 4 7 ^ 7Desarrollo
(* xdx _ 1 f 2 xdx _ J_J Va4-*4 _2j^4_;c4 "2
2
= -^arc. sen(— ) + c úT
J i « 6Desarrollo
„2 ,f iL * L = f A </Y- = l f J £ ^ = Ia rc tg U 3) + c
J l + x6 J l + U 3)2 3 j l + (x ) 3
j" x 2dx
J VTmDesarrollo
f x 1 f 3a = - ln | x3 + \¡xb - l | + c , por la fórmula 7j V*6 - l 3 J V(;t3)2 -1 3
f jares'J vT :
arcsen* , dx
x2
J S p * = | <arcsenJ.
Desarrollo
dx
16 Eduardo Espinoza Ramos
donde u = arcsen x => du =2
í
\¡ \ — X
- 2 - 2 u 2du = —u 2 +c = — (arcsen x)2 + c 3 3
f arctg(~) 1084 --------é~dx
4 + x2Desarrollo
f arctg(^) j f 2arctg(^) j f x 2dx arctg2(” t C
1085l + 4x2
Desarrollo
f Jr-7 a rc tg 2 Jr d,j = 1 f j £ * i f (arclg 2 f ) 3 - i *J 1 + 4x2 8 J 1 + 4* 2 Jl + 4x2
3
= - ln |l + 4jt2 I -- (a rc tg 2 x )2 +c8 3
1086
h
dx
yj(l + x 2) ln(x + Vi + x2 )Desarrollo
f ■ ^ ,____ - ¡ I M x + J u x 1 )] ----- -J y/(l + x 2) ln (x+ Jl + x 2) J v l + x
Integral Indefinida 17
1087
1088
1089
1090
donde u = ln(x + vi-+ x2) => dudx
\ll + x 2
+ x2 ) + c2du = 2\fü + c = 2\j\n(x + yfl
J ae~mxdx
Desarrollo
duSea u = -mx => dx = -----
m
\a e -mxdx = a fe“ (-—) = - - \ e udu = - - e u J J m m J m
\
+ c = - - e~mx+c m
42~3xdx
Desarrollo
duJ 42 3 <íjc = 16J"4 3xdx, sea u = -3x => dx = -'-
16 4“ - 4 2.4~3* 42~3*
J ( e ' ~ e ~ ' )d t - j e ' d t - je~ 'd t - e ’ +e~'
3 ln(4) 31n4 31n4- + c
)dt
Desarrollo
+ c
m *
I (ea +e a)2dx
Desarrollo
18 Eduardo Espinoza Ramos
1091
1092
1093
1094
m x x m 2 x 2 x 2 x 2 x
i (ea +e a )2d x - I (e a +2 + e a )dx = ^ e a + 2 x - ^ e a +c2 2
-x ,_^2-dxf (ax ~ b x)2
J axbxDesarrollo
2 (■ 2* ^„x<x..2x\ ^ x - b± d x = dx= f(( a- y - 2 + £ Y ) d xJ axbx J a 'b x J b a
¿ Y i - ) x j fl b- b _ + — - 2 x + c = ± r - ( £ ) x + ( - ) x) - 2 x + cln(—) ln(—) 'n a ~ hlb b a
b a
[ alX~ XAJ - J T *
Desarrollo
3 x xi x X „ y 2 o y
— + ------- + cIn a In a
f a -1 f , a 1 , f . y -§ w 2 a_ _ r f * = ( - = — -j=)dx= \ ( a 2 - a i ) d x = - . ~j ¿ Y J y f c 7 7 J 3 lr
Je + ^ x d x
Desarrollo
Sea u = -(a '2 +1) => du = -2x dx => xdx = ~ —2
J e~^+l)xdx = J e \ ~ ) = — fe^du = ~ \ eU + c = _ ^ " (Jrí+1> +c
I*.7* <£t
Desarrollo
Integral Indefinida 19
Sea u — x~ => du = 2xdx => xdx = —2
í x . lx dx = [ 7 ^ ^ = Í7 “ — = - Í 7 " d « = - —J J J 2 2 J 21n('
1- + c = ----------7 + c2 ln(7) 21n(7)
l
1095 I 7dx1Desarrollo
1 dx dxSea u = — => du= — ■? => — = -duX X X
1096 I 5 ^ —
J e— dx = j e u (-du) = - J eudu = —
dx
T x
\_+ c = - e 1 + c
1Desarrollo
r dx dxSea u = yjx => d u - —=• => 2d u = —j= 2\¡x s¡x
{ 5J~xdx = \ 5“.2du = 2 ( 5“ du= —J V i J J ln(5;
1097 f — — dxJ ex - \
Desarrollo
Sea « = £ * -1 => du = e xdx
í C> — - = f — = In | m | +c = In | e* - 1 1 +cJ ex - l J «
+ c = — 5 ^ + 0 ln(5) ln(5)
20 Eduardo Espinoza Ramos
1098
1099
1100
bexdx
Desarrollo
, . r . X . dUSea u = a - b e => du = -be dx => e dx —-----b
[ ( a - b e x)^exd x - [u^ [u^du = —— u^ +c = -^ - -J (a -b e x)3 +cJ J b b J 3b 3b
IX 1 X
(ea +1 y>eadx
Desarrollo
¿ - dxSea u = e a + 1 => du = ea — => adu = ea dxa
f - - — f - f - 3a - 3a —I (ea + l)3eadx = I u 3adu = a \ u 3du = -^ -u i +c = — (ea -1 )
J
* * 3 +c
dx 2X +3
Desarrollo
f — — f ( l — - ) d x = - ( x — — ln 12X + 31)J 2* +3 3 J 2* +3 3 ln2
+ c
110. l - a ™J \ + a
Desarrollo
Integral Indefinida 21
1102
1103
1104
f axdx 1 f du 1 1 ,------— = -— ----- ? = -— arctgM + c = -— arctg(a ) + c
J l + a m a j \ + u lna lna
f- J 1-e~fa¿jc I + e~2hx
Desarrollo
Sea u = e hx => du= -be~ hxdx => e~bxdx = - —
f <rto<¿r l f á 1 , x 1 , -h — h — 2’ = _ 7:arcts (M)+t: = - T arctg(^ ) +c J 1+e ¿ J 1 + w b b
f- J 1-«dt
Desarrollo-e2'
Sea w = e' => du = e ‘dt
f e!í/í C du 1, , 1 + u . 1, . 1 + e‘ .I — = I ----- í- = - ln ----- +c = —l n -------1 +c
J l — e J l - u 2 2 1-M 2 ' l - e' '
J sen(a + bx)dx
Desarrollo
Sea u = a + bx => du = b dx => d x - —b
f r du 1 fJ sen(a + bx)dx = J sen(w)— = — I sen(u)du
= - —cos(«) + c = -icos(« + kO + c6 fe
22 Eduardo Espinoza Ramos
1105
1106
1107
1108
JJt
COS( ~7=)dxv5
Desarrollo
Sea u - -—= => \¡5
J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)\^5í/m = V5j"cos(w)ài/ = 5 sen(«) + c = . 5 sen( * ) + c
J (cos(oa) + sen(ax))2 dx
Desarrollo
J"(cos(a.v) + sen(ax))2 dx - J*(cos(a.v) + sen(<u))~ dx = I (eos (ax) + 2 sen(ax).cos(ax) + sen (ax))dx
i= I (1 + 2sen(ax).cos(ox))cfcc = x — —cos(2<ru) + c
2 a
Jcos(Vx). dx4~x
Desarrollo
r dx dx _ ,Sea u = y/x => d u = — -¡= => —¡= = 2du 2 \Jx y X
j* cos(Vx).-^- = J* cos(u).2du = 2 J eos (u)du = 2sen(w) + c = 2sen (\fx)
í
+ c
sen(log x).— x
Desarrollo
Sea u = logx => d u - ——— => — = ln(10)í/w ln(10)x a-
Integral Indefinida 23
1109
1110
1111
1112
J senflog x )—— = J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J* sen (u)du
isen2 xdx
= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c
Desarrollo
., , ? 1 - cos2jcUsar la identidad: sen x = -----------
Jsen2.xí¿t = j i
j e o s 2 xdx
- cos(2jc) , x sen(2x)------------ d x - --------------- + c
2 2 4
Desarrollo
2 1 + cos(2jc)Usar la identidad eos x = --------------
2
J*cos2 jc</x = J -
í
2 2 4
s ecz(ax+b)dx
Desarrollo
duSea u = ax + b => dx = —
a
[ see2 (ax + b)dx = fsec2u — = - | see2 udu = - t g n + c = -tg (o x + fc) + c J J a a J a a
j c t g 2(ax)dx
24 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
Usar la identidad: 1 + c tg 2 x = ese2 x
je tg2 (ax).dx = J (csc2(ax) -1 )dx = _ * + c
1113 f dx
sen(-)
Desarrollo
_ x _ , x „ , x ,Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— )
a 2a 2a
i — - \' sen(-) J
dx
2sen(— ).cos(— 2a 2 a > 2 ¡
s e c (^ ) 2 a
sen(— ) 2a
dx
- l i
2, Xsee (— ) 2 a
sen(— ).sec(— 2a 2 a
-d x = - f ) 2 j
j f sec2( ^ )1 ‘ 2a dx
Sea u = tg(— ) 2a
du = see (— ).— 2a 2a
? JCDe donde se tiene: see (— )dx = 2a dx 2a
Integral Indefinida25
1114
1115
1116
dxK
3co s(5 x -—)4
Desarrollo
dx 1 i 5x JT. i" ------ = — ln |tg [— + - ] |+ co /« * * 1 5 2 83cos(5x---- )
4
dxsen(ax + b)
Desarrollo
ax + b ax + bSe conoce sen(ax + b) = 2 sen( — ).cos( ^ )
f ■ - fJ sen(ox + b) J
dx,ax + b s ax + b
2 sen(— -—).cos(—- )
, r s e c = ( í ^ >, . sec(—- — ) , [>sec - > , , a x + b . .=1 f - - - 2— dx= - i - - - - h r dx = - lnltg(— )!+c2 J sn ,(£ £ ± * ) . g ( H ± í , “ 2
Jxdx
~)Desarrollo
cos2(x2)
26 Eduardo Espinoza Ramos
1117
1118
1119
1120
J*sen (l-jr)í£c
Desarrollo
Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —
f »J*.í sen(l - x~ )dx = J sen(l - x2 )xdx = J sen
1 f j 1 1 2J $enud u = — cosu+c = —cos(l- X ) + c
I sen(;tr - \ ) 2dx
sen(xv2)
Desarrollo
J (¡enxv^ ~ 1)2 dX = J (CSC ~ 1)2 dX = J (CS° 2 (Xs^ ) " 2 csc(;cV2) + IWjc
= J ( l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | l n | ,g(^ )|+ c
/ tgxdx
Desarrollo
eos * +cf * * * = f — dx = -lnJ J eos Jf
tg xdx
Desarrollo
\ c ig x d x = = ln | sen jc| +cJ J senjr
Integral Indefinida 27
1121
1122
1123
1124
1‘W r )dxb
Desarrollo
Sea u = — =* dx = (a -b)du a - b
J c tg(— -j-)dx = Je tg a.(a - b)du = ( a - ¿?) J cigudu
X= ( a - b ) In I senu | +c = (a - b ) ln | sen(------ ) | +c
a - b
Idx,x .
W j)
Desarrollo
r , r f co s( |)I — — = I ctg(—)dx = I -------- dx = 51n | sen(—) | +c
J t g í í ) J 5 J s e n A 5tgCj)
J tg(\fx). dXVI
Desarrollo
i— i dx dx ~ ,Sea z = \ x => dz - — => —¡ = - 2 d z
2yjx yjx
J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2 j tg zdz = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c
JxCtg(A'2v" +1 )dx
Desarrollo
28 Eduardo Espinoza Ramos
1125
1126
1127
1128
Sea u = x 2 +1 => x dx — ——2
J xc tg(x2 + 1 )dx = J r tg(x2 + l)xdx = j c l g u . du~2
= i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) | +c
ídx
sen x. eos xDesarrollo
f dx f secx , f see x , , , ,I -------------= I -------dx = I --------dx = ln tg x \+c
J sen xcos.r J senx J tg jc
ícos(—).sen(—)J a a
-)dx
Desarrollo
fcos(—).sen(—)dx = — sen2(— J a a 2 a
I sen3(6x).cos(6x)í¿v
Desarrollo
Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx
J*sen3(6x).cos(6A)¿x - Ju
J
i du u4 sen4(6jc)— = — + c - --------- — - + C6 24 24
cos(ax) , dx
sen5(ax)Desarrollo
Integral Indefinida 29
1129
1130
1131
p o s t a d L a * « , ) ) - * .* * « ) * . = — J-+C = --------!¡J sen (ax) J J a u a a sen
, + c (ax)
dudonde u = sen (ax) => cos(ax)dx - —
a
Isen(3x)djc 3 + cos(3jc)
Desarrollo
dzSea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3x)dx = ——
f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I ln l z l + c = - i l n | 3 + COS(3x) |+c J 3 + cos(3jc) 3J z 3 3
Isen*, eos jc .r dx
Veos2 Jt-sen2 xDesarrollo
Se conoce que: sen x.cos x = — ^— y eos x — sen x — cos(2.r)
f sen xcosx = ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx
J Veos2 Jt.sen2 x ~ >/cos(2x) 2 J
yJcos(2x)
2 ~
V1 + 3 eos2 x sen(2*)dx
Desarrollo
Sea u = l + 3cos2 x => du = - 6 eos x . sen x dx
30 Eduardo Espinoza Ramos
1132
1133
1134
1135
du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx
J*(l + 3cos2 x)2 ,sen(2x)dx = —i j u 2du = ~ u 2 +c = - ^ y j ( l + 3cos2 jc)3 +<
,sec2(—)dx3
Desarrollo
Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)dx
J tg 3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u 4 3 a . X.+ c = - t g ( - ) + c 4 3
dxx
Desarrolloeos2 X
f ^ ^ = f(tgx)2.sec2 xdx = — tg2(x) + cJ eos" x J 3
í2
sen (x)Desarrollo
c c t s 3 (x) r - ~ ~I r---- |c t g 3(x).csc (x)dx = — ctg3(x) + c
J sen (x) J 5
J1+ sen(3x) , dx
cos2(3.y)
Desarrollo
Integral Indefinida
1136
1137
1138
1139
f l + sen(3.t) ¿jr_ f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx = J cos2(3x) J
tg(3x) | sec(3x) | c
í(cos(üx) + sen(ax))2
sen(ax)Desarrollo
r (cos(ojc) + sen(ax)) _ f l + 2sen(ax).cos(flx) ^J sen(cijc) J sen(ox)
J (csc(ax) + 2 cos(ax))dx = — (ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c
f csc3(3x) _ ^J b - a c tg(3x)
Desarrollo
dU 2 V 1Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3acsc“(3x)í/x ~ ^¡~ csc
f _ £ ! £ ! 2 íL .^ = _L f = ._Lln | u | +c = J -ln |b-- aCtg(3x) | J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a
J (2 senh(5x) - 3 cosh(5x))t/x
+c
Desarrollo
f 2 3(2 sen(5x) - 3 cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c
1senh2 xdx
Desarrollo
32 Eduardo Espinoza Ramos
1140
1141
1142
1143
Jsenh2 xdx = J (—i
í
cosh(2*)N , x senh(2x)H-------------)dx —----- 1--------------1- c
2 2 4
senh(jc)Desarrollo
d'X = ln | tghí^) | +<~senh(x) 2
dxcosh(jt)
Desarrollo
f — —— = f ------- dx - 2 f e— - dx - 2 arctg(g*) + cJcoshU ) J \ + e2x J l + e2*
i senh(jc).cosh(jc)Desarrollo
f dx f seeh(x) J Csech2( x ) , , . , , .I -------------------- = -------— dx = --------— dx - ln | tgh(x) | + cJ senh(x).cosh(*) J senh(x) J tgh(x)
J tgh(A‘)¿VDesarrollo
J" tgh(x)dx = J* Senj * | dx = ln | cosh(x) | +c
1144 \ctgh(x)dx
Desarrollo
Integral Indefinida 33
1145
1146
1147
í c tgh(x)dx = f C° Sh(A)^ = ln | senh(jc) | +c J J senh(x)
Hallar las siguientes integrales indefinidas:
í ' ^■x2dx
Desarrollo
J x\¡5 - x 2dx = J* (5 - X 2 )5 xdx = —^ j*(5 - x2 )5 (-2 x)dx =
J x - 4* +1
a2)6 +C
Desarrollo
Sea u = x 4 - 4 x + l =$ - = (x3 - l )d x4
f — - — í— dx = — f — = — ln |m |+c = — ln | a 4 - 4 x + \ \ J x4 — 4jc + 1 4 J u 4 4
1
+c
A + 5Desarrollo
f x3dx _ fJ ^ 5 _ J
x 3dx 1 , x Atg (.-!=)+ C
(a4)2 +(y¡5)2 4^5 J s
1148 í xe x dx
Desarrollo
34 Eduardo Espinoza Ramos
1149
1150
j xe x dx = j e x xdx = —i j e u 1 « 1du =— e +c = — e +c 2 2
J 3 -> /2 + 3.í 2 dx2 + 3*2
Desarrollo
dx
72 + 3*‘J 2 + 3* J 2 + 3* J
Usando las formulas 4 y 7, se tiene:
f 3 - 7 i 7 p ^ _ f dx f Jx
J 2 + 3* J 2 + 3* J V2 + 3*2
= a rc tg (* ^-) - ln | \¡3x + y¡2 + 3x2 \ +c
f ¡ L ± d x J * + 1
Desarrollo
(* - * + 1--- — )dx = -(-* —21n * + 1 +c* + 1 3 2
Desarrollo
Integral Indefinida 35
1152
1153
1154
1155
f 1 -sen * J * + cos*
dx
Desarrollo
S e a z = x + cosx =» dz = (1 - sen x)dx
fj—sen. x_ ¿x = í — = ln | z | +c = ln | * + eos * | +cJ * + cos* J z
f tg(3*)-ctg(3*)^J sen(3*)
Desarrollo
f jg(3*)—ctg(3*) _ f (Sec(3 _ c tg(3x)csc(3*))d*J sen(3*) J
= - [ln | sec( 3*) + tg(3*) | + ---- ——] + c3 sen(3*)
Jdx
* ln2 *Desarrollo
f d\ - = f(lnx) = f«J * ln ' * J x J
- 2 . 1 1du = — + c ---------- 1-cu ln(*)
dxdonde u = ln x => d u - —
*
Jsee2 xdx
y¡ig2 x - 2Desarrollo
Sea u = tg x => du= see2 xdx
f see2 xdx f du , , rI — - I — In I u + \luJ s]tg2 x - 2 J yju2 - 2
2 - 2 | +c = ln | lgx + \jtg2 x - 2 l+c
36 Eduardo Espinoza Ramos
1156
1157
1158
1159
J(2h----- — )- *2x +1 2x +1
Desarrollo
f x dx C dx f xdx
J *"+ 2x2 +1 2x2 +1 ~ J 2x2 +1 + J (2x2 +1)2
= \Í2 arctg(W2)--------—— + c4(2x“ +1)
íasenx eos xdx
Desarrollo
Sea u - a sen x => du - a scnx cos x. In a dx => = asenx eos xdxIn a
f sen* f du 1 asenxl a cos xdx = I -----= ------u + c - -------J J \na lna lna
J* x2dx
J W T \
+ c
Desarrollo
„ 3 , dU ■ySea u = x +1 => — = x~dx
3
f X dx f 3 -r 2 . f du 1I —...-..... - I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = — uJ J 3 2
x4Desarrollo
Integral Indefinida 37
1160
1161
1162
1163
f xdx 1 f 2 xdx 1 2\I ,____ = — I —= = = = = = — aresen(x ) + cJ V Í I 7 2 2
íXg2(ax)dx
Desarrollo
tg¿(ax)dx= I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ ax'> - x + cJ" tg2(ax)dx = J*(
J sen2('(^r)dx2
Desarrollo
« , , i 1-cos(2jc)Por la identidad sen' x ---------------- se tiene:
J sen2(-^)ífa = J -
J
— eos x . x sen* --------- dx = ---------------h c
2 2
see2 xdx
\ ¡ 4 - t g 2 x
f see*
Desarrollo
2 xdx= aresen(-----) + c
f dx
^ eos(—)
Desarrollo
38 Eduardo Espinoza Ramos
1164
1165
1166
1167
1y¡\ + In x ---------- dx
Desarrollo
Sea u = 1 + ln x => du = l~x
J Vi + ln x — - J*“
J y f x - l
l 3 - 3 -3d u - —u 3’ +c= — (1 + lnx)3 +c
4 4
x -1 ) .-J x - l
Desarrollo
dx „ , dxSea z - y j x - l => dz= Jí— => 2dz = -
2yjx~l y j x - l
J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tgzdz = -21n(cosz) + c = —2 ln | eos V x-1 | +c
i xdx
)Desarrollo
sen(x2)
f xdx 1 , , , r %l 1 , ,I -------j - = -In I tg(— ) | +c = - ln(csc(x ) - c tg(x2)) + c
J se n (x ) 2 2 2
J
sen(x ) 2
e ^ ' + x l n ü + x V l1 + x2
dx
Desarrollo
Ce ^ + x W + x ^ + l ^ = fJ 1+x2 X ~ J
. , . e aMgv x ln(l + x2) 1 wdx = | (------ - + --------- - + --------)dx
1 + X 1 + x~ 1 + X
arctot ln (1 + X ~ )= e ° + ------------- + arctg * + c
Integral Indefinida 39
1168
1169
1170
1171
1sen x -e o s x ,--------------- dxsen x + eos x
Desarrollo
Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx
f sen x - eos x , f du , , . ,--------------- dx = I ------= - ln w + c = - ln |s e n x + cosx |+ cJ senx + cosx J u
í
(1 - sen(-~ ))2---------
se „ < - |)
Desarrollo
,( l- s e n (™ ))2f -----------— — = í ( ---- -------- 2 + sen {-^=))dx
sen(- =) sen(^=)"72
= V2 ln | fg (~ = ) | -2 x - yjl eos( -j=) + c
I2
x dx x 2 - 2
Desarrollo
f (1 + A-)2J x(l + x2
dx - 1(1 + —^— )dx = x + -^= ln j —— | +c x —2 V2 x+V 2
-dx x(l + x¿)
Desarrollo
40 Eduardo Espinoza Ramos
1172 j"esen* sen lxdx
Desarrollo
Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx
5
Vi"-3^
f 5 -3 * f d* f xdx 5 V3* I------- 7I ~~r ' ti* = 5 I ..... - 3 I = -=arcsen(——) + V 4-3 *
J V4 - 3*2 J V 4 - 3 7 V3 2
f ¿*J e* +1
1173 f - .5 3A dxJ J 4 - 3 r 2
1174
1175
Desarrollo
+ c
Desarrollo
f dx f ,I —----= I ------- -í/* = - ln 1 + e ■* +c = -{\n(} + e x) - l n e x] + cJ e +1 J l + e
= - [ ln |l + e JC |-* ] + c = * - l n | l + e* |+c
h (a + b) + (a-b)x~Desarrollo
f _____ * ____ _ = _ L f _J (a + b) + (a-b)x~ a - b j a-
dx 1 1 t= arctg (~ t ) + c
(a + b) + ( a - b ) x 1 a - b j a + b | a - b ¡a + b " ¡a+b
1 a ~ b . -arctg(* /------ ) + c■Ja2 - b 2 Vfl + ¿
Integral Indefinida
1176 í , e — - dx
1177
£
s¡e2x- 2Desarrollo
f e ' d x - f - 7=¿ £ = = m |^ + V ¡ 2 2 | + cJ 4 e l x - 2 J J(eA )2 - 2
¡
dxsen(fl.v). cosía*)
Desarrollo
f dx = f sec(^2</* = f Scc2(a- ^ = — ln | tg(ax) | +cJ sen(a*).cos(fl*) J sen(ax) J tg(a*) «
1 2tt? , 1178 sen(— + yf0)dti '
Desarrollo
2 Kt 2n . , rj. duSea u —-----+ i//n => d u = — dt => dt = T — ~
T T ¿n
j s e n ( - ^ + 1/ 0 )dt = J sen u.T — = ~ J sen u du
eos 11 T , 2tt/= - r ------ + c = ------ cos(-— +v^0) + c
27T 2n 1
1179r rf*J *(4-ln2.*(4-ln~ *)
Desarrollo
dxSea u = !n x => du = —
42 Eduardo Espinoza Ramos
1180
1181
1182
1183
f . f _ * l | „ | i ± ü J x (4 - ln 'x ) J 4 -u ~ 4 2 - u
1, , 2 + ln x ,+ c - — l n --------- +c4 2 - ln x
. arccos(—)
Desarrollo
dx
Sea u = arccos(—) => du = — — d u = -2 / l _ ( | ) 2 V ^ X 2
-arccos(-) f «2 1 -I —-j— 2 dx = - \ udu = - — + c - — (arccos(—))2 +c
J V 4 - r 2 J 2 2 2
í
V4
e~lg 1 see2 xdx
Desarrollo
Sea u = - tg x =» du= — sec2 xdx
J*e~tg' .sec2 xdx = -J*eV « = —e" + c = - e _tgA + c
f senx.
J V2 - sen4 x
eos .v , dx
Desarrollo
,------ ----- - dx = — arcsen(— =—) + cV 2-sen4* 2 V2
dxsen2 .v.cos2 *
Desarrollo
Integral Indefinida 43
1184
1185
1186
sen 2*sen x.cos * = --------
f -------—-------= 4 f — ^ -= 4 f csc2(2x)dx = -2 c tg(2x) + cJ sen2 x.cos2 x J sen“(2x) J
íaresen x + x ,
dx
Desarrollo•x2
¡ ^ x + x d x = ^ l f _ ^ + c
f secx.tgx ,J i 2.......J vsec x + 1
Desarrollo
f secx.tgx , f secx.tgx . / 2 „ . , 1 , „I — </r= I 0 — d x - In j ser r + vsec x + l |+CJ Vsee2 x + 1 J y(secx)2+1
Icos(2x) dx
4 + cos2(2x)Desarrollo
f cos(2x)</x f cos(2x) f cos(2x)rfx 1 ^ i ^+ sen d x )J 4 + cos2(2x) J 4 + 1 —sen2(2x) J 5 -se n 2(2x1 4^5 V5-sen(2x)
+c
1187 f — í i J 1 + cos
Desarrollo
44 Eduardo Espinoza Ramos
1188
1189
1190
f¡n(x + -Jx2 +1)
Sea a = ln(x + yfx2
Desarrollo
na;- l+1) => du =
dx
x 2
f ln(.v + n/a" + 1 ) (* /“’J 7 dx f ,i ------ d x - I (\n(x + \¡x + 1 ))2 —p------ = I u du —
j v i + x 2 j 7 , ^ 7 J
— ■\](ln(x + y¡x2 + l))^ + c3
í jc2 cosh(;t3 + 3)<£c
Desarrollo
o 3 -> d u 2 ,Sea u — x +3 => — = x dx
f 2 , , 3 f , , . du senh(n) senh(x3 +3)I x cosh(x + 3 ) d x - I cosh(«)~— = ------— + c = ------ -------- J J 3 3 3
^tgh(A)
+ C
í , dx cosh“(jc)
Desarrollo
Sea u = tgh x => du = see l r (x )d x
j* -jtglUjr) /• » ~u i tgh x
I - 1— , -dx= I 3'gb *.see hx2dx = 13 “ du = --------- + c --------+ cJ cosh“(.v) J J ln3 ln3
{NI I r*-i
Integral Indefinida 45
4.3. M E T O D O D E SU STIT U C IO N .-
PRIMERO.- SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRACION INDEFINIDA.
Se hace poniendo x = y(t), donde t es una variable y f es una función continua diferenciable,
f ( x ) d x = J f(\f/(t))xif\t)dt . . . ( 1)
La función \\i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1) tome una forma más adecuada para la integración.
SEGUNDO.- SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
1 Si la integral contiene el radical \[a2 -
xdx = a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—)
a
x se toma: sen 0 = ; x = a sen 0a
2 Si la integral contiene el radical \ x 2 —a 2 se toma: sec0 = —, x= a see 0
dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-)a
\/x2 - a2
a
46 Eduardo Espinoza Ramos
1191
3 Si la integral contiene el radical 4 a2 + x2 se toma: tgd = —
x = a tg 0 ; dx = a see2 6 d6 ; 9 ~ arctg(—)a
Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas.
a)i* dx 1
J x J T ^ . ' x ~~>Desarrollo
1 A d t A - 1x — - => dx = — — ademas t = —t r x
dt-dt 1
xyjx2 - 2 J 2r2 J V l-2 r2 V2(V2í)-arccos(v2 ?) + c
b)
1 V2 /--7=arccos(— ) + c , x> \J2 V2 x
f dxJ ex +1
x = - ln t
Desarrollo
Integral Indefinida 47
dt
L + / l+c = - ln \ \ + e~x I +cJ e ' + l J e " ln,+1 J l + í
c) I x(5x2 - 3)7 dx , 5x2 - 3 = ti ‘
Desarrollo
? , dt 5x - 3 = t => jcí/x = — 10
\ x (5 x2 - 3 ) 1dx= f / 7- = 4J J 10 80(5x -3 )
+ c = ---------- — + c80
f xdx i---- rd) I , t = J x + \J Vx + 1
Desarrollo
t = yjx+1 => dt = ----7 = = i t = y ¡ X + 1 => X = f 2 -12y¡X + \
f eos xdx e) / ’ 1 = sen x
J VI + sen aDesarrollo
t = sen x => dt = eos x dx
f eos xdx f dt _
J Vi + sen2 x J \¡\+t~= In I ? + Vl + r I +c = ln | sen x + + sen2 x | +c
48 Eduardo Espinoza Ramos
1192
1193
Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas adecuadas.
I x(2x + 5 )wdx
Desarrollo
t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^ 2 2
f x(2x + 5)}0dx= f — = - f ( /n - 5 t w )dt = - [ - ----- — í“ ] + cJ J 2 2 4 j 4 12 11
; i í a * ± s F _ ± (2x+ n4 12 11
I1 + X
dxl + yfx
Desarrollo
Sea t - y í x =$ t 2 = x => dx = 2t dt
J 1 + yJX ' J 1 + t J í + 1
T 2 /3 t22J ( r - t + 2 - — )df = 2 [ - — + 2 /-2 1 n |f + l|] + <?
= 2[— -----— + 2\[x - 2 \n | \ + \[x |] + c
1194 f dxJ x\J2x + l
Desarrollo
Integral Indefinida 49
1195
1196
1197
2 .i------- i t — 1Sea t = yj2.V + 1 = > r = 2 a + 1 ; x = ------ => dx = td t
f dX - f -y —— = 2 f -y— - In 1 [ +c = ln | i * + 1J x \ j 2 x + 1 J r - 1 í - 1 V2 a + 1 - 1
yj2x + 1 + 1 .
+c
- i 2
ídx
•je* -1Desarrollo
Sea t = \Je' -1 t ~ —e x — 1 e x —t +1
2tdtt2 + 1
e cdx = 2 id / => dx = -
2tdt
f —I— = f ? ± 1 = 2 f f ' = 2 arctg t + c = 2arctg(V?7J V ^ - l J f J r + l
fln(2x) dx J ln(4x) a
Desarrollo
ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2
fln(2x) dx _ j* lnA + ln2 dx _ f ln2 dxJ ln(4x) x J l n x + 2 ln 2 a J l n A + 21n2 x
= ln x - (ln 2) ln |ln x + 2 ln 2¡ + c
f(arcsenx)2 ,
JDesarrollo
■l) + c
50 Eduardo Espinoza Ramos
Sea t = arcsen x => d t -dx
v r
1198
1199
f (arcsen r f f 2 /J J T 7 - 1 ■
í
V l - x
e2xdx
(arcsen*)3 + c = --------------- í-c
Vex +]Desarrollo
Sea t 2 = ex + 1 => ex = t 2 -1 => exdx = 2rdt
r e2xdx Cf_-
J V77I J r
I
1 l td t = 2(t- - t ) + c =^-í(r2 -3 ) + c - ~ ^ l e x + \ ( e x
sen xdx
Desarrollo
Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; como t 2 = eos *
=> í 4 = eos2 * - 1-sen* * ; sen~* = l - í 4
j W « f a = f l z í l . (_2„ d, = - 2 f (1- ,< v , = - 2 ( , - 4 ) + <' = 7'(>4 J v cosx J t J
= y Veos *(cos2 * - 5) + c
- 2 ) + c
5) + c
1200 f y -J *Vi+*~
Desarrollo
Integral indefinida 51
dtt.-z-
f - 7 ^ = = í -?==== = - f “ 7=== = “ In Ir + V í^+T| +cj *vtt7 j r r
. i Vi+*2 1, , , i + V i+ *2 , . , * .= —ln | — h----------1 -t-c = — ln ¡-------------- ¡ +c = ln |------ = = ¡ + c* * * 1+V1 + * 2
Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas.
1201 I" x2dx
J VHvDesarrollo
cos0 = V i - * 2 ; sen 9 = x => dx = cos0d 0
fW O .c o s I ) ^ ¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’)J V i-* 2 j cose J J 2
de
0 sen 9 eos 9 arcsen* Vi:-------------------hC = ------------* -------2 2 2 2
1202 í x ' dx
&
52 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
\Í2 eos8 - 7 2 - x 2 ; x = \¡2sen9 => dx = \Í2cos9d9
íx dx
y¡2-
2>/2 J sen3 0 d6 = 2V2J (1 -
= 2\¡2(-
scn} OdO = 2V2 I ( l -c o s ¿ 9 )s e n 9 d 9 = 2a /2 (-cos0 + ~"-) + c
7 ^ 7 . 2 - x 2 7 T 7 )+ cV2 2 ' 3V2
1203 IDesarrollo
x2 - a2
a.tg# = 7 x 2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0
7 2 - X 2
f 2V2 sen3 0.V2 eos 6 d 0 J V2cos0
Integral Indefinida 53
f \ jx 2 - a2 _ j>a íg 0 .íisec0 .tg 0 í/0 _ f 2J x J a sec0 J
6 d 6
= « | (see2 0 - 1 )d9 = a tg 9 - u9 + c - \ jx 2 - a 2 - a.are see( —) + cJ a
1204f dx
J x T T T Í
= 7 ^ 2 - « 2 -a.arecos(—) + cx
Desarrollo
c tg 0 = - ¡ = L = ; cos0= — 9 = árceos—7 7 7 1 x a
x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0
1205
f — — = fcos0rtg9.scc0.tg0dO - f d 9 - 0 + l -aiccos(—) + tJ x T ^ T J ~ ~ J
7 x2 +1 ,— dx
Desarrollo
tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7 x 2 +1
1
54 Eduardo Espinoza Ramos
f í £ i . sec= í ) < » = rJ X J tg 0 J
J ( see 0 .c tg 0 + see 0. tg 0 )d6 - J (ese 0 + see 0. tg 0 )dd
sec0(l + tg~0)úí0 t20
] _eos f)= ln ¡c s c 0 -c tg 0 | + sec0+ c = ln| —------ -|+ sec0 + c
sen0
- _in | - St'n^-1 + sec0 + c = V*2 + 1 - ln | 1 + C OS 0
1206 f -----p------x2y ¡ 4 - x 2
Desarrollo
x = 2 sen 0 => dx = 2 co s0 d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0
l + Vx + l+c
f — = f — 1 J x2y¡4-x2 J 4 sen2
2c°s0 1 f 2 ctg 0 J 4 -X 2------------- do = - ese 6 dO = ----- — + c = ------------0 -2 c o s0 4 J 4 4x
+c
1207 x 1 dx
Desarrollo
x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i - * 2
Integral Indefinida 55
1208
1209
J \ ¡ l - x 2dx = J0 sen 0. eos 0 aresen x x \ ¡ l - x 22 + *
Calcular la integra! I
- + c = - + c
J V I V T I
Desarrollo
Sea x = sen2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt,
2 2
valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t .
como x - sen / => sen t ■ Jx t = aresen VI
f — * L _ = f - 2 sen ' - i— - 1 = 2 f - 2 t + c - 2 aresen VIJ VIVICI J sen r V i-sen2/ J sen/.cosí
+ c
j V ? + x 2dx
Desarrollo
Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos:
Va2 + a'2 = V«2 + «2 sen2 ht = acoshf ; dx = a cosh t. dt
2 f 1 + cosh 2í , a2 , senh2fJ Va2 +x2dx = a2 J cosh2 f dt = «2 J -rfí = — (/+- 2 2
) + r
56 Eduardo Espinoza Ramos
1210
= — (t + senhí.coshO + í' = — ln (x + yja2 + x 2) +—4 a 2 + a2 + c2 2 2
t, , x v « “ + X“donde, senh t - —, cosh t = ------------a a
e' = cosh t + senh t x + yfa2 + x2
í ;
2x~dxHallar I r-------- ; haciendo x = a cosh t
J T ^ a 2Desarrollo
x = a cosh t => dx = a senh t. dt
f x 'dx f a2 cosh2 í.senhí dt 7 f ,= I ------------------------= a I cosh t dt
J y j x 2 - a 2 J senhí J
= ° f+ cosh2í , a2 . senh2í, a2dt = ——[t + ~--------] + c = — [t + senhr.coshí] + c
2 2 2 2
como x = a cosh t => cosh t = —, ademása
L , x x"> +x"senhf = „ l + ( ~ yV V
V 2 I í 2a + x“ , . x + vx~ +ae = senn i + cosn i = ---------------- =» t = l n ----------------a
f x~dx _ a
i J x 2 - a 2
a 2 , x + 4 x 2 +a2 . xyja2 + x 2[ln i---------------- 1+--------r----- ] + cI o 7 o L 1 1 „2ix - a
i2
a
= — ln | .v + \[x~ + a 2 | + —yja2 + x~ +k
Integral Indefinida 57
4.4. IN T E G R A C IO N PO R PA R TES.-
Fórmula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v = <p(x); son funciones diferenciables, tendremos que:
» »u dv = uv~ vdu
•
Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por partes.
1211 J- xdx
Haciendou = ln x =» d u - —
x
Desarrollo
dx
dv — dx => v = x
\nxdx = A ln x - | x —- = jc.ln* —Jt + cJ*ln xdx - A‘ln x — J x — - .
1212 I arctg xdx
Desarrollo
Haciendou - arctg x => du =
dv = dx => v = a-
dx
(1 + JC2)
Jr x ¿x i . ,, ?,arctg a* dx = x. arctg x - I ----- = X arctg x - — ln 11 + x~ | +c
1 4" X~
J1213 are sen a dx
Desarrollo
58 Eduardo Espinoza Ramos
1214
1216
1217
Haciendou = arcsen x =$ du =
dx
dv = dx => v - x
arcsen xdx - x. arcsen x - íxdx r. 2= x arcsen x + v i - x +c
xsen xdx
Desarrollo
Haciendou - x => d u - d x
dv = eos 3x dx v =sen3x
í
I;
xcos 3x dx = -xsen3x fsen3x , xsen3x cos3x
í -dx - + c
-dx
Desarrollo
Haciendou = x => du = dx
II dx — =>i
ex
- - Idx x 1
J “ 7 ~ ex ex + C ~x + 1
- + c
í x.2 ' dx
Haciendo
Desarrollo
u = x => du= dx
dv = 2 x dx => v = — -ln 2
Integral Indefinida 59
1218
1219
L 2- ^ = - x .2I - f - 2I ^ = - x . ^ . -J ln2 J in 2 ln2
P
2~* xln2 + l+ c = ---------r— + c
In -2 2jr ln2 2
Desarrollo
Haciendou = x_ => <ím = 2xáx
c/v = e3xc/x,3*
V = ■
xe ’xdx
Haciendo -u = x => du= dx
j 3r . edv - e ' dx => v = —3x
1r2 0 <* -.3*2„3* > X „3jx W x = — eJJC- - [3 3 3 -P - d x \ = - e 3x~ e3* + -------+ c
3 3 9 272x 2e3x
e3x 2 - — (9x‘ - 6x + 2) + c 27
2x + 5)e Xdx
Desarrollo
Haciendoj u = x - 2 x + 5 du = 2(x-X)dx
\dv = e~xdx => v = -e~x
60 Eduardo Espinoza Ramos
1220
Haciendo« = * -1 => du = dx
dv = e~xdx => v = -e~
J
(x¿ - 2 x + 5)e Xdx = - e X(x2 - 2 x + 5) + 2 (x - l) ( -e x) - 2 e x +c
X
x3e 3dx
Haciendo
= -e~x(x2 +5 ) + c
Desarrollo
u = x3 => du - 3x2dxX X
dv = e 3dx => v = —3e 3
e 3dx = -3 x 3e 3 - J*(3x2)(-3e 3 )dx = ~3x3e 3 + 9 | x 2e 3dx
Haciendou = x" => du = 2xdx
X X
d v - e 3dx => v = -3e 3
J' J ’
Haciendou = x => d u - d x
Xdv = e 3dx => v = -3e 3
m _ X X X
\ x 3e 3dx = - 3 x 2e 3 (x + 3) + 54(-3x<? 3 -9 e 3) + c
- - X = - 3 x 2e 3 (x + 3 ) -5 4 e 3(3x + 9) + c = -e~3(3x3 + 9x2 + 162x + 486) + c
X
= —3e 3(x3 + 3 x 2 + 54x + 162) + c
Integral Indefinida 61
1221
1222
Jxsen x. cosxdx
Desarrollo
Usar la identidad sen 2x = 2 sen x. eos x
í x sen x. eos x d x ~ — í x sen 2x dx2 J
Haciendou = x du = dx
dv = sen2xdx => v -eos 2x
f 1 f N , 1 , x . sen2xNj xsenx.cosxdlx = — J xsen(2x)dx = — (——cos2xh----- — ) + c
2 2
x . sen2x= — cos(2x) + ---------- ve
4 8
í (x2 + 5x + 6)cos2xdx
Desarrollo
Haciendou = x2 + 5x + 6 => du = (2x + 5)dx
dv — eos 2 xdx => v =sen 2x
i (x‘ + 5x + 6) eos 2x dx =x + 5x + 6 sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx
2 2 a
Haciendou = 2x + 5 => du = 2í/x
dv = sen2xdx => v =eos 2x
i
i62 Eduardo Espinoza Ramos
i (x2+5X+6)co&2xdx = 5 ± l sen2xA {. ^ l l cos2x + ^ l ) +c2 2 2 2
2x2 +lOx + l \ „ 2x + 5= — --------------sen 2x + ---------- cos2x + c
4 4
1223 j x 2 lnxdx
Desarrollo
Haciendou = ln x => du — —
dv = x 2dx => v = —
1224
f 1.. > / ** i f ** dx x3 , jr3i lu u/< In r - I -------* — ln jc------J ’ J 3 x 3 9
J ln1 x dx
+ c
Desarrollo
Haciendo M = ln*x => du = 2lnx.
d v - d x => v = x
dx
j l n 2 x.dx = x l a 2 x - j x . 2 l n x.— = x \n2 x - 2 J* ln xdx
Haciendom = ln x => d u = —
xd v - d x => v — x
ln2 x.dx = xln2 x-2xlnx+2x+c
Integral Indefinida 63
1225
1226
1227
flnjJ x3
dx
Desarrollo
Haciendou = lnx => du
_¿xX
1- ll^1
8- => v =1
2x2
lnx dx _
2x2 . ! 2x2 X- + c
4 x
dx
Haciendou = ln x => du= —
x
dv = => v = 2 VI\lx
Desarrollo
dx
dx = 2 V i ln x - 1 2 V i ^ = 2 V I ln x - 2 J V i y = ln + ‘
í xarctgx</x
Haciendo
Desarrollo
. dxu = arctg x => du ------- -
1 + x2
dv - x d x => v —2
Jxarctgx<it = -arctgx-2 J ——- d x arctgx J(1 _ x ^ dx
64 Eduardo Espinoza Ramos
x2 1 * * + 1 , x- — arctg*H— atctg*— + c = --------arctg * - — + c2 2 2 2 2
11228 * arcsen* dx
Haciendo
u - arcsen x => du =
dv = xdx => v = —
Desarrollo
dx
s í i ^ x 2
dxf ¿ X 1 l C X 2cI x arcsen xdx = — arcsen*— —¡=J 2 2 J ^ Z x2
Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0
V i-se n 2 9= f « n ’ #« ,»= í í ^ í " , »-2 ““sen2 O.cosOdd = j sen" t) dt) = j ----—
9 sen 20 9 sen 9 eos 9 arcsen* * v l - * 22 4 2
2Luego: * arcsen xdx = — arcsen * - —(
J 2 2 21 arcsen* *V l - * 2 ) + c
arcsen* * r , T+ - V 1 - * +c
1229 J ln(* + Vi + *2 W*
Desarrollo
Haciendou = ln(*+ Vl + *2 => =
dv = dx => v = *
dx
V1+*2
Integral Indefinida 65
1230
1231
1232
f ln(* + Vi + *2)d* = *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx]n(x+'h+x2) - 'J \ + x~ +cJ J V i+ * 2
íxdx en2 *
Desarrollo
*cos ec2xdx
Haciendoíw = * =i> du = dx
líiv = cosec2xdx =£ v = - c tg *
J - A = - c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +cj sen * J
f xcosxdxJ sen2 *
Desarrollo
f * c o s * ^ _ f xc o se c x c Xgxdx J sen"* J
Haciendou = x => du = dxdv = cosecx.ctgxdx => v = - c o s ecx
f.vcosx , f ,I —dx = -e o sec x- I -e o secxdxJ sen * J
X x= -xcosecx + ln I eos ecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡ tg— | +c
sen* 2
íex sen xdx
Desarrollo
66
1233
Eduardo Espinoza Ramos
Haciendou = sen x => du = eos x dx
I
dv = e dx => v = e
ex senx d x - e x s e n x - j e * cosxdx
u = eos x => du = - sen xdxHaciendo
I
d v - e * d x => v = e*
e* sen xdx = e* sen x - ( e * eos x — \ e * ( - sen x)dx)J‘
J‘= e* sen x - e* cos x - I ex sen xdx = — (senx -eo s x) + c2
13* eos xdx
Desarrollo
Haciendou — eosx => du = - s e n x d x
3*
13X eos xdx =
dv = 3xdx => v
3* eos xln3 I-
ln3
3X , 3X eos—— sen xdx = --------ln 3 ln 3
í + — f ln 3 j
3X sen xdx
Haciendow =senx => du = eos xdx
3Xdv = 3xdx v = -
ln3
, 3*cosx 3* sen x3 cos x d x - --------- -H---------—
ln3 ln3 - ¡ y3X eos xdx
, 3* (sen x + ln3cosx)3 cosxdx = ----------- ----------------- \-c
ln 3 +1
Integral Indefinida 67
1234
1235
íeax sen(bx)dx
Desarrollo
m = sen(¿x) ==> du = b cos(bx)dxHaciendo
dv = emdx =* v = ----a
f eax sen(bx)dx = sen bx - \ b e— cosbxdx = e- ^ ^ - b f•* a J a a a J
Haciendou = eos bx => du = - b sen bxdx
e“*dv = eaxdx => v = -a
Jeax sen bx dx = e™ senbx b . e ^ cosbx b--- (■
a a a+ — f e sen bxdx)
e“* sen bx b m b2 f „-----—e eos bx— - l e sen bxdx
a~ J
7>J(1 + —r) I e“* sen bxdx =
a a
aeax sen bx - beax eos bx
l ax , , ax.asenbx-bcosbx ,J e sen bx dx = e°* (--------- — —------ ) + ca2 +b2
J sen(ln x)dx
Desarrollo
eos bxdx
Sea z = ln x => x - e z => dx = e zdz
68 Eduardo Espinoza Ramos
f f ez sen — e" eos 7J sen(ln x)dx = I ez sen zd z = -------- — ----------+ c , por el ejercicio 1234.
íe njrsen(lnx)-e cos(lnx) x sen(ln a) - xcos(ln x)
sen(ln x)dx = ---------- -------------------- ----- - + c = ----------------------- ------- + c2 2
Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos:
J a - ' ,1236 I x e~x dx
'
Haciendo •
Desarrollo
h = x 2 => du = 2xdx
e-*dv = xe~* dx => v = ■
j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ - - X 1 e x e x ■>e ----------i-c = -------- (x~ + 1) + c2 2
1237 I e ^ d x
Desarrollo
Sea z 2 = x => dx = 2zdz
J"e ^ d x = 2 f zezdz
Haciendou = z => du — dz
dv = e zdz => v = ez
^ e ^ d x = 2J zezdz = 2(zez - e z ) + c = 2(yfxe'^x - e ^ ) + c = 2e' x (\[x - l ) + t
Integral Indefinida 69
1238
1239
J (x -2 x + 3 )ln x d x
Desarrollo
Haciendou = ln x => d u = —
x
dv = (x2 - 2x + 3)dx => v = —— x2 +3xi .3
J*(jc2 - 2 x + 3)lnxdx = ( ^ - - x 2 + 3x)I n — J * — jc + 3 )dx
fx ln ( |—:-)dx J 1 + x
r 3 3 2= (------x2 + 3x)lnx------- ¡-------3x + c
3 9 2
Desarrollo
J x ln(|—- )dx = J" jcln(l — x)dx - J x ln(l + x)dx
integrando J x ln (l-x )d x
(1)
Haciendou = ln(l - x ) => du = -
dv - xdx => v = —2
dx\ - x
Ixln(l - x)dx = — ln(l - x) + ^2 J 1-
2 x2dx = — ln (l-x )+ [
x 21 f(_x_l+J-2 J 1-;
)dx]
(2)
70 Eduardo Espinoza Ramos
iintegrando I xln(l + x)í/x
Haciendou = ln(l + x) du =
dv = xdx => v = — 2
dxí+ x
I x ln(l + x)dx - — ln(l + x) _ I f . 2 J 1
x2 x2— dx = — ln(l + x)- + x 2
- f ( x - l + —2 J 1 + ;
■)dx
X X X 1= — ln(l + x ) - — + ------- ln(l + x)
2 4 2 2... (3)
reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene:
fxln(-—-)<£t = — ln (l-x )-—— — ln(l—x)—— ln(l+x)H---------H—ln(l+x)J 1+x 2 ' " " "4 2 2 4 2 2
x2 , 1 -x 1, , 1 - x . x2 - l . , 1 - * .= — ln---------x — ln(-- ) + c = ---------- l n |-------1 - x + c
2 1 + x 2 \ + x 1 + x
1240 I\n¿x
dx
Haciendo
Desarrollo
dxu = ln x => d u - 2lnx.
dvdx 1
Integral Indefinida 71
1241
1242
Haciendou = ln x => du= —
x. dx 1d v - — =* V —----
x¿ X
ñln2 x lnx f dx . ln2x 2 lnx 2
-dx = — — + 2(—x- x
f ln(ln x)
í
y-dx
Desarrollo
Haciendou = ln(ln x) => du =
i dx idv — — => v = ln xx
dx xln x
ln(in jc)dx = ln x.ln(ln x) - I ln x.-
J
dxxlnx
= (ln(ln x) - 1) ln x + c
= ln x. ln(ln x) - ln x + c
x arctg(3x)í£c
Desarrollo
Haciendou = arctg(3x) => du =
j 2 , x dv = x dx => v = -—-
3 dx l + 9x2
J, x3
x arctg(3x)dx = — arctg(3x) -f x dx _ x'J l+9x
- f ( - — — - J 9 162 118x+ 9x2
-)dx
J x 1- — arctg(3x)-------1----- ln 11 + 9x2 | +c
3 18 162
72 Eduardo Espinoza Ramos
1243
i ■
1244
I x(arctg x)2dx
Desarrollo
Sea z = arctg x =* x = tgz => dx = sec2 z dz
JA(arctg x)2dx = J z 2 tg z.sec2 z dz
u - z 2 => du = 2zdzHaciendo
7 t g 2 Zdv = tgz.sec zdz => v = ——2
7 2 - 2= — tg2 z + ~ - I zsecz zdz
j*x(arctgx)2í¿x = ^ - tg 2 z - J z t g 2 zdz = ~ ~ tg 2 z - j"(zsec2 z~z )dz
- I '
integrando J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes
Jx(arctg x)2 dx = - y (tg2 z +1) - z tg z - In | cos z | +c
Í(arcsen x)2dx
z2= — (tg2 z + 1) - z tg z + In | sec z | +c
= i arct§ AL ( Ar2 +l)-jcarctgA + 2 ln (l + x 2) + c
Desarrollo
Integral Indefinida 73
1245
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
J (arcsen x)2 dx = J z2 cos z dz
Haciendou = z2 =* du = 2z<iz dv = cos zdz => v = senz
J (arcsen x)2 dx = z2 sen z - 2 J z sen z dz
I'm = z => du=dz \dv = sen z */z => v = -cos z
J (arcsen x)2 dx = z2 sen z - 2 (-z cos z - J - cos zdz)
Haciendo
z 1 sen z + 2z cos z - 2 sen z + c = jc(arcsen x)2 + 2V1 - x2 arcsen x -2 x + c
f arcsen x IX
DesarrolloJ „ -dx
x2
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
farcsen x^ _ f /- Co szd z= f zctgz.coseczcfz J x J sen z J
HaciendoU - z => du = dzdv = c tgz.coseczdz => v = -cosecz
f arcsen x . f , z , f dz»-------- dx = -zcosecz — I -coseczdz =------- + >----I ---------- dx = -zco s ecz - I -cos ecz az = ---------+ i -------J x2 J sen z J sen z
+ ln |tg ( - ) |+ csenz 2
74 Eduardo Espinoza Ramos
1246
1247
farcsenx , z , , . , arcsen* , , * L ,I ---------- dx = ---------+ ln|cosé,c z -c t g z | = -------------+ ln ¡------ - |+cJ * sene * 1 + V 1-*
f arcsenJ jr r x dxDesarrollo
Sea[ z = arcsen V* => V* = sen z
* = sen2 z => í/* = 2senzcoszdz
f arcsen V* , f z-2senz.cosz , „ f ,I — -------dx - I — -dz = 2 I zsenzazJ v i - * J V i-se n 2 z J
Haciendou = z => d u = d zdv = senzdz => v = -cosz
f arC en - * dx = 2(-z eos z - f -eos z dz) = -2 z eos z + 2 sen z + cJ Vl~ * J
= -2arcsen V*Vl~* +2\ fx + c
Jx tg 2*rf*
Desarrollo
(*sec2 2x - x ) d x
Haciendou = x => du = d x
dv = sec2 2xdx => v = ^
Integral Indefinida 75
1248
1249
Isen2 x , --------dx
Desarrollo
i 2 x , f l-c o s2 *f sen" x f 1 - cos 2x 1 f 1 f ,I -------- dx= I ------------ dx = — \e d x ---- l e eos 2 xdxJ ex J 2ex 2 J 2 j
4 1 -e~2
e JCcos2xdx ... (1)
1integrando le *cos2 x d x , por partes se tiene:
Haciendou = eos 2x => du = -2 sen 2x dx
dv = e~xdx v — —e x
j e ~ x cos2xdx = e ' ' co&2x+2je~x sealxdx
integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2)
f sen2 x , e~x / c o s 2 * -2 se n 2 * - l reemplazando (2) en (1) se tiene: | ------— dx = —r- (---------------------------- ;--) + <■yr
Jeos2 (ln x)dx
Desarrollo
, J 2 1 + eos 2*Usar la identidad eos x = ------------
J eos2 (ln x)dx = J 1 + COS 2 ln X- dx = ^ ^ J cos(2 ln x)dx ... (1)
76 Eduardo Espinoza Ramos
Sea z = ln x => x — e l => dx — e 'd z
J cos(2 ln x)dx = J e z eos 2z dz
« = ez => du = ezdzHaciendo
dv = cos2xdx => v = -sen2z
J cos(2 ln jc)í/jc = y sen 2z - — J e~ sen 2zdz
Haciendou - e z =$ du = ezdz.
d v - s t n l z d z =* v = -cos2z
Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - - f ( - — cos2z + - (Vcos22<fe)2 J 2 2 J
= - sen 2(ln x) + - cos( 2 ln x) - - f eos 2(ln *)cfx2 4 4 J
1cos(2 ln x)dx -2x sen(2 ln x) + x cos(ln x) . . . (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
‘ l + cos(21nx) x x cos(2 ln x) + 2x sen(2 ln x)
1250
j*eos2 (ln x)dx = J -
I x dx
(1 + *2)2
-dx = — + - 2
Desarrollo
10+ c
Integral Indefinida 77
Haciendou = x => du = dx
dv =xdx
(1 + Jr2)2=> v = — 1
2(x +1)
1251
— f - + ( J ( l + x2)2 2(x +1) J
í
dx
2(x +1) J 2(x +1) 2(x +1) 2x 1----- + —arctgx + c
dx
(x2 + a 2)2Desarrollo
Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 dd
f dx _ f a sec~ 9 d9 f a sJ ( x 2 + a 2)2 J (a2 tg: 0 + a 2)2 J a
see2 Odd4 sec4 9
= 4r [cos2Odd = -2 - f(l + cos26)dd = -— ■ +a3 J 2a3 J 2a3
9 sen 9 cos 9---- ----- + c2a3,
arctg(-) arctg(-)/7 CL\ 1 /i X
--------- r — + -------r -------------- + C = ----- -----------------------h —-------- ^ ) + C2a' 2(«‘ + x ) a 2a2 a a + x
1252 J J a 2 - x 2dx
Desarrollo
Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0
X Xsen9 = — => 9 = arcsen(—)
a a
J*'Ja2~—x2dx = j y f a 2 - a 7 sen2 9 .acos9d9 - a2 j c o s 2 9 d9
¡
7g Eduardo Espinoza Ramos
2 f l + cos20 a" a" a= a2 I ------------¿Q = — 0H----- sen0cos0+ íJ 2 2 2
« * 1 2 2 ,= — arcsen(—) + — v a -•* +c2 a 2
1253 |V a + ;c2</;c
Desarrollo
Sea x = VÁtg 9 => dx = VÂ see2 9 d9
tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^=)Va Va
J yj A + x 2dx = J s¡A + A ig29.yfÁ sec2 dO = J A see3 9 dO
se integra por partes:
J A see3 0 d9 = A J (1 + tg2 9 ) see 9 d9 = A J (sec0 + tg2 9 see 9)d9
= A ln |sec0 + tg0 |+ A tg 0 s e c 0 -A js e c 30 ¿ 0
= y [ ln |s e e 0 + tg0 | + tg0sec0] + c
J V Â 7 7 d x -= | [ l n I I + ^ V Á ^ 7 ] + c
— 1 n I a: + y fÂ+ x2 \ +—VÁ+~? + k2 2
Integral Indefinida 79
1254 1x 2dx
y ¡9 -x 2Desarrollo
x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9
X xsen 0 = — => 0 = arcsen(—)
3 3
f x2dx (*9sen 20 f ,I -y- — = I ---------- .3cos0 dO = 9 I sen ' 0 ¿0J V 9-.Ï2 J 3eos0 J
= 1 1 -90 9
2 eos 9)d9 = —- — sen0eos0 + c2 2
9 -v 9 x y ¡9 - x2 9 i jc r 7= — aresen(—) — ( - ) -----+ c - - a rc s e n ( - ) — yJ9-x~ +c
2 3 2 3 3 2 3 2
4.5. IN T EG R A L ES EL E M E N T A L E S Q U E C O N T IEN E N UN T R IN O M IO C U A D R A D O .-
0 INTEGRALES DEL TIPO.
171X + Yl .dx, el procedimiento es el siguiente: El trinomio der ,
J ax +bx + c
segundo grado ax2 + b x + c , se reduce a la forma2 "yax +bx + c = a(x+k) + L , donde k, L; son constantes y esto se
consigue completando cuadrados.
© INTEGRALES DEL TIPO.-
ímx + n
d x , los caiculos son analogos del 1 ) y después son\fax2 +bx + c
integrales inmediatos.
80 Eduardo Espinoza Ramos
© INTEGRALES DEL TIPO.
(mx + n), se usa la sustitución inversa-------- = t
(mx + n)\¡ax2 +bx + c ,nx + n
© INTEGRALES DEL TIPO.-
1255 I
ax1 +bx + c d x , se completan cuadrados y la integral se reduce a una
de las integrales principales.
dxx2 + 2.x + 5
1256
Desarrollo
x +2x + 5 J (x + 1) + 4 2
dxIx
Desarrollox 2 + 2x
f dx _ f dx _ f dx _ 1 1 | x +1 — 1 J x 2+2x J x 2+2x + 1-1 J(x+1)2 -1 2 x + 1 + 1 2 x+2
1257
1258 J
3x2 — x + 1
dx3x2 — x + 1
xdxx 2 - 7 x + 13
Desarrollo
dx 1 f dx 3 6 x - l .U n
3 3 6 36
Desarrollo
Integral Indefinida 81
1259
1260
1261
f xdx _ 1 2 x ~ l 7
J x 2 - 7 x + 13 2 ] x2 - l x + \ 3 + ~x2 - 7 x + l3 )dX
j* 3xJ x 2 -
2' 4
3x — 2-dx
4x + 5Desarrollo
- i f - î ï = i _ * + 4 f *J x -4 x + 5 J x~ - 4 x +5 2 j x 2 - 4 x + 5 J x 2 - 4 x + 5
= - ¡ n l x 2 - 4 x + 5 j + 4 j — = |ln |x 2-4x + 5|+4arctg(x-2) + c
f (x -1 )2dxJ x2 + 3x+4
Desarrollo9
f (x -1 Ÿ dx _ f 5x + 3 5 f 2x + 3 Ô
J ^ + í «+4 - J <1" ? T 5 7 r ï>& =I- [l J <ï w ï - 7 7 f c 7 ^ 1
f ^ - 3 a + í f — ± —^ + 3 ^+ 4 2 J u + 3 )¡ + 7
2 4
- x - - ln | x2 + 3x + 4 1 + ~ a rc tg ( -^ Í l) + c2 V7 V7
f x2dxJ x 2 - 6 x + 10
Desarrollo
82 Eduardo Espinoza Ramos
f x2dx f 6 x -1 0 w f f 6 x -1 0 JI í— ------- = (l + -r ------------------------- )dx = dx+ - T-~--------- dx
J x - 6 x + 10 J x - 6 x + 10 J J x~ - 6x + 10
f 2 x -6 f dx= x + 3 —----------- dx + 8 -------- J x - 6 x + 10 J (x -3 ) +1
1262 J
( x - 3 ) ¿
= x + 31n | x 2 -6 x + 10 |+8arctg(x-3) + c
dx
y¡2 + 3 x - 2 x 2Desarrollo
1263
f dx (* dx 1 f dx
\¡2 + 3 x - 2 x 2 J j 2(l + 3 x _ x2} 4 2 J J 1 + 3 x _ x2
72 í
í
x 1 , 4 x - 3 ,r I i ~ -------= —¡= arcsen(--------- ) + c
y j x - x 2Desarrollo
dx
1264¡ f s
dx
= arcsen(2x -1 ) + c
+ px + qDesarrollo
' ~ = f~j-------- ~ X = \ n \ x + £ + 4 x 2 + px + q l + cJ \ X + DX + a J l r> ^ n
Integral Indefinida 83
f 3 x -6
J \[x2 - 4 x + ‘.1265 I ------ dx
h5Desarrollo
~ 2 w — dxJ ’ í i S — s L fJ y¡x - 4 x + 5 * \lx - 4x + 5
/------------- x —2Sea u = \ x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx
Vx2 - 4 x + 5
f —-j2~^L= Jt= dx = 3 f - — L=^===rdx = 3 Idu = 3u + c = 3-v/*2 - 4 x + 5 + < J \¡x2 - 4 x + 5 * v x 2 - 4 x + 5 J
1266 J 2X 6...- dx2 x -8
Vi - x — x”Desarrollo
f = f e * +1)- y = f-7J £ Ü _*=9 fJ y j l - x - x 2 J >jl—x - x ? * j \ - x - x 2 J « f ) 2 - U + 2- ) , )5
= -2 -v /l-x -x 2 - 9 arcsen(— Í - ) + cyf5
í1267 I -= = = J = = = = d xV5x2 - 2 x + l
Desarrollo
f , - dx = l [ ^ - 1) + 1 dx» v5x2 - 2 x + l 5 J v5x2 - 2 x + 1
^ ..... * + l f .^ J v 5 x 2 - 2 x + l V5x2 - 2 x + 1
84 Eduardo Espinoza Ramos
= -- >/5jc2 —2 x +l h— í= f - . =
4 ^ 7 ^ + J _ t o U _ i t ^ T | 7 J | +c
- ) 2 + ( - ) 2 5 5
1268 Jdx
x \ J l - x 2Desarrollo
Sea x = - => dx = —~ t t2
J-dt
= - l n | i + ——— | +c = ln | ----- vX | +c. * * Í + V i^ ^
- 1 1 +c
1269 1d;c
x\¡x2 + JC+1
i
Sea x = - => dx = ~ — t t2
Desarrollo
Jdt_
dx = f 12 = _ f dt _ _ r dt
4 2
/ 2 í - ^ ,2 - j r= - arcsen(—= -) + c - ~ arcsen( ) + cv5 V5x
Integral Indefinida 85
1270
1271
1272
f ___ dx
J (x —(x - l ) y¡x2 - 2Desarrollo
1 1 i j dtSea t - ----- => - = x - l => dx = — -x - l t t2
_dt
í ____ * ____ , r y , . = jJ í r _ n J J I 2 J i [ i .„2 „ J
= -arcsen( — ) + c
1
(jc-I)Vjc2 - 2 J l ^ l + 1)2 _ 2 J Vl + 2 í - í 2 J 2 ( x - D
dx
(x + l )4 x2 + 2xDesarrollo
i1 di '
Sea x +1 = - => dx - — — í í2
dt1
- arcsen t + c = ~ arcsen(------ ) + cx + lr _ _ _ ¿ __________ r * — .
' - J ( ~ - l ) 2 + 2 ( - - l ) ^í V t t
y x 2 +2x + 5dx
Desarrollo
* J V 7 7 2 ^ 5 d x = J V Ü ^ Í) 2 +4dx
yj(x + l)2 + 4 + - ln | jc + I + Ví-í + I)2 + 4 l+cX + l
2 v 2
= £ ± IV x 2 +2x + 5 + 21n|x + l + >/x2 +2x + 5 | +c2
86 Eduardo Espinoza Ramos
1273
1274
1275
1276
S ' / * - * 2dx
Desarrollo
1
j \ f x x~dx - j ( x - —)2dx = ——í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c
2 x - l I 2 1- — -— \ x - x + -arcsen(2A-l) + c 4 8
-ji1 dx
Desarrollo
l
{ ' f a - x - x dx= í j — -(* + —)-dx =—- 2 . y j 2 - x - x 2 +—arcsen(- -í-í-) + c J J V 4 z 2 2 4 3
_ 2x + l £ 7 9 2 * + l-------— \ 2 - x - x +-arcsen(------- ) + c4 8 3
; xdx J x4 - 4x24x2 +3
Desarrollo
f _ xdx _ f xdx 1 1 x 2 - 2 - 1 . _J - 4^+3 - J Í7TÍ7TT=i -2ln I TTiTI1+" i ln 17T71+c
I(a2 - 2 ) 2 - 1 2 2 ' x2 - 2 + 1' !~ 4 ' x 2 —1
eos xdxí + 12 •
Desarrollosen2 x -6 se n jc + 12
Integral Indefinida 87
1277
1278
1279
T exdx
J y¡Vve*~+e2xDesarrollo
- + yjl + ex +e2* I +c
ísenjedx
Veos2 x + 4cos.x + lDesarrollo
f sen a ¿y _ f sen .y dx
J Veos2 x + 4cos.x + l J y[(cosx + 2 y - 3
= - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c
f lnjcrtx
J * V l-4 1 n x - ln 2 xDesarrollo
ln xdxf ln xdx f ____J|
J x \ ¡ l - 4 \ n x - l n 2 x J Xy¡5- (ln x + 2)2
dx , tSea u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2
x
f lnAdt j" ln xdx _ |‘(m-2)¿m _ |* udu ^ j* du
J vVl-4ln;c-ln2 a J xy¡5-( \nx+2)2 J y j5-u2 J y¡5-u^ J y¡5-u2
,lnA + 2 x- -y¡5 - ii' - 2 arcsen( - =r) + c = -V 1 - 4 ln a - ln" a - 2 arcscn( j - ) + c
88 Eduardo Espinoza Ramos
4.6. IN T EG R A C IO N D E FU N C IO N ES R A C IO N A LES.
® METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-
Consideremos dos funciones polinómicas:
P(x)=bnx" +bn_]x n~i +...+blx+b0 y Q(x)=amx m +amAxm~{ + ...+alx+ a0
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es P(x)decirQ(x)
Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función racional se denomina función racional propia, en caso contrario se denomina impropia.
Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el denominador se puede representar la función dada como la suma de un polinomio y de una función racional.
P(x) R(x)Es decir: ------ = C(x) + ---- , donde el grado de R(x) es menor que el
Q(x) grado de Q(x).
Q(x)
Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias:
P(x)í Q(x)
d x , para esto consideremos los siguientes casos:
PRIMER CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales ydistintos.
Es decir: Q(x) = ( x - a y) ( x - a 2) . . . (x -an) , para este caso escribiremos:
donde Al ,A 2,...,An , son constantes]P(x)Q(x) x - a ¡ x - a 2 x - a n
que se van a determinar.
Integral Indefinida 89
SEGUNDO CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
algunos se repiten, suponiendo que ( jc - a , ) es el factor que se repite P
veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.
A A, AP— — + -----3 _ + ... + ------c—x - a ¡ (x - a ¡ f ( x - a i )p
donde A,, A2, A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar.
TERCER CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticosirreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor
cuadrático x 2 +bx + c la función racional es de la forma:
Ax + B x2 +bx + c
CUARTO CASO: Cuando los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
Si x 2 +bx + c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las
fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:
A|X +P| A2x + B2 j
ax2 + bx + c (ax2 +bx + c)2 (ax2 + bx + c)m
( 2 ) METODO DE OSTROGRADSKI.-
Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:
\ P^ d x = X M + ... (a )• Q(x) Qx(x) J Q2(x )
donde Qt (x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su
derivada Q'(x).
90 Eduardo Espinoza Ramos
1280
1281
& (*) = -“ :* 0 i W . X(x) e Y(x)Qi(x)
son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son
menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x ) , respectivamente, los
coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la identidad (a).
Hallar las integrales:
dxJ (x + a)(x + b)
Desarrollo
^ , efectuando y agrupando:Cx + a)(x + b) x + a x + b
A + B = 0 } i i1 A = -------- , B = -
Ab+ Ba = l! a —b a — b
f, * - M — i-* ---L . f J Ü - + - L . fjJ (x + a)(x + b) J x + a x + b a - b J x + a a - b j a
dxT b
1 > i i l . i , i \ \ x + b ,- ln | jc + « | h------- \n \x + b\+c = -------ln | -------¡+c, a ^ ba - b a - b a - b x+ a
Ix 2 - 5 jc + 9
x 2 - 5 jc + 6dx
Desarrollo
Integral Indefinida 91
1282
1283
1dx
(jc — 1)(jc + 2)(jc + 3)
1
Desarrollo
A h— — + — — , efectuando y agrupando:( jc- 1 ) ( jc + 2)(.x + 3) jc — 1 x + 2 x + 3
1 = (A + B + C )x2 + (5A + 2B + C)x + (6A - 3B - 2C)
A + B + C — 0 5 A + 2 B + C = 0 6 A - 3 B - 2 C = 0
A = — ; B = - ~ ; C = - 12 3 4
Jdx
(jc-l)(;t+2)(x + 3)B C u+ ------- 1------- )dx
x+ 2 x+3
_L f dx 1 f dx + J_ f 12 J jc -l 3 J x + 2 4 J
dx „t + 3
1 ln ! jc — 11 - - - I n ! x + 2 |+ — ln | x + 3| +ci i 3 i 412
= - | - [ ln |x - l ¡ - 4 1 n |x + 2 |+ 3 1 n |x + 3|] + c ln|- 12 12 (x+3)
1 , . (jc-IX jc+3)3 |+c
r 2x2J ( x - i )
+ 4 U - 9 11)(jc + 3 )(jc- 4 )
2jc + 41jc—91
-dx
Desarrollo
A B Ch------- +.-------, efectuando y agrupando se obtiene:
( x - 1 ) ( j í + 3 )(x -4 ) x - l x + 3 x - 4
2 x2 +41jc-91 = (A + B + C )x2 + ( - A - 5 B + 2 C ) x - l2 ( A - 4 B + 3C)
92 Eduardo Espinoza Ramos
1284
A + B + C = 2 de donde se obtiene: - A - 5 B + 2 C -4 1
-(12A -4B + 2C) = -91
resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5
2x2 + 41x-91(x - l) (x + 3)(x + 4)
-dx■ M r -J JC — 1 X +
+ 3 ,n | í i t ^ - 4)5 |+cx + 3 x - 4 (x + 3)
5x +2x3 + 5x2 + 4x
dx
Desarrollo
5x3 +2 . 25.x2 -2 0 * + 2 , 25x2 -2 0 * + 2— ------- -------- = 5 + — -------- ----------= 5 + ------------------------x - 5 x +4x x - 5x“ + 4x x(x 4)(.\ I)
25x2 - 20x + 2 A B Cx (x - l) (x -4 ) x x -1 c - 4
de donde
25 .v" — 20 x + 2 — {A + B + C)x~ + (5 A — 4B~ ( )x ■+ 4 A
A + B + C = 25 - 5 A - 3 B - C = -20 4A = 2
1 „ 7 ^ 161, resolviendo el sistema: A .11 . C = —2 3 6
Integral Indefinida 93
1285
1286
ídx
x(x + l)
1
Desarrollo
= — h— — + — —— , efectuando la operaciónx (x + l)2 A' X + l (x + l)‘
l = A (x + l ) 2 + B x (x + l) + Cx => 1 =( A + B )x2 +(2A + B + C)x + A , de donde:
resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1A+B = 02A + B + C = 0 A = 1
dxJJ x(x + l)2 J * X+l (x + l)
,A B C( _ + -------+ . ~ ) d x = [ ( i — 4 - — - ^J X x 1 (x + l)"
)dx
= ln x - ln I x + l I + —— + c = ln | ----- ¡ + -------+ c1 1 x + l x + l x + l
f —J 4x3 - Adx
Desarrollo
* _ i x3 — 1 1 4- = - + - ^
x - 4
4x3 x 4 4x' x x(x + 2 ) (x _ ^ )
A B C 1 . ~ x + 1 + 1x + — x —
2 2
B C\ Ade donde x - 4 = (A+B + C)x2 + ( - — + —)x ——
2 2 A
A + B + C = 0 _ B C =1
2 + 2resolviendo el sistema: A =16, B =-9, C =-7
94 Eduardo Espinoza Ramos
1287
\ - ^ T ^ d x = IVJ 4 x - x J 4
A B C w . t i H-----1------ — -i------ 7~)dx — — i— | 1 .
4 x , 1 „ 1 4 16J , l v 1,í -
x - 4í/x
x + — x — 2 2
x(x + - ) ( x - - ) 2 2
x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti ,—h— I (— +-— -------- r)dx = — h— [16lnx-9ln(x+ — ) - 7 ln ( x - ~ )]4 16 J x 1 1 4 16 2 2xH— x —
2 2
x 1 .= —+— ln 4 16
„16
(x + i ) 9( x - i ) 7 2 2
| +c = — + — ln |4 16 (2x + l) (2 x - l)
y \ + c
f x4 - 6x3J x3 - 6x2
+ 12x‘ + 6+ 12x -8
dx
Desarrollo
x4 - 6x3 + 12x2 + 6 x3 - 6x2 + 12x -8
: x + - 8x + 6x - 6x‘ + 12x - 8
= x + -8x + 6
(x~ 2)3
íx4 - 6x3 + 12x2 +6 x3 - 6x2 + 12x -8 í ‘dx = I (x +
8x + 6 ( x - 2)3
)dx
__x1 +
2
B( x - 2)2 ( x - 2)3
)dx
8x + 6 A + — ! L _ +_ C _ =>sx + 6 = A x2 + ( B - 4 A ) X + 2 A - 2 B + C( x - 2)3 x - 2 ( x - 2)2 ( x - 2)3
A = 0 .B-4A = 8 2 A - 2 B + C = 6
, resolviendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22
x4 - 6x3 + 12x2 + 6 , x2 f \ 8 22 w—------ --------------dx = — + (-------- - + ------— )dx
Integral Indefinida 95
1288
1289
___8 112 x - 2 ( x - 2)2 C
f (5x2 + 6x + 9 )dxJ (x -3 )2(x + 1)2
Desarrollo
5x2+6x + 9 _ A B C D(x - 3 )2(x + 1)2 ~ x - 3 + ( x - 3 )2 + x + 1 + (x + 1)2
5x2 + 6x + 9 = (A + C)x3 + (-A + B - 5 C + D)x2 +
+(-5 A + 2B + 3 C - 6 D)x + (-3 A + B + 9C + 9D)
A + C = 0- A + 5 - 5 C + D = 5 -5 A + 2Z? + 3C - 6D = 6 -3 A + B + 9C + 9D = 9
9 lresolviendo el sistema se tiene: A = 0, C = 0, B = — , D = —
2 2
f 5x2 + 6x + 9 J 9 C dx 1 f dx 9 1 1 , 1 ,------------ ------------r - d x = - ------------T + - I ---------------------------------------------------------- — = -( ---------- ) -( -------------) + C
j (x -3 )2(x + 1)2 2 J (x -3 ) 2 J (x + 1) 2 x - 3 2 x + 1
f + 7 J (x2 - 3 x - 1 0 )2 X
Desarrollo
f x2 - 8x + 7 J f x2 - 8 x + 7 ,I —i-------------^rdx— I ---------- --------- dx
J (x -3 x -1 0 ) J (x -5 )2(x + 2 )2
96 Eduardo Espinoza Ramos
1290
1291
, A B t C | D x - 5 + ( x - 5 ) 2+ x+ 2 (x + 2)2
x 2 - 8jc + 7 = A(x + 5){x + 2)2 + B(x + 2)2 + C(.x + 2)(x - 5)2 + D(x - 5)2
i ! « = _ A C = - — __343 ’ 49 ’ 343 ’ 49
f x 2 - S x + 1 , 3 0 , , c , , 8 1 30 , ,J *= 5 4 3 ln 1' - 5 1 - - 3 « ln 1A+21"
= _ » ________ - — + ü L i „ |— j *49(jc —5) 49U + 2) ~ ~
J (aT
30 8 30 n - 27agrupando y resolviendo se tiene: A = ——, B - - — , C - - ——, U - -
49(jc-5 ) 49U + 2) 343 a:+ 2
2jc —3 —rdx 2)
Desarrollo
— dx (x~ — 3a:+ 2)
Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = (2 x -3 )d x
J (ac — 3ac+ 2) J w3 2/ r
Como
11 (x2 - 3jc + 2)3 ~' J «3 2m2 +C 2 U 2 - 3 at+ 2 ) 2
IX3 + AT +1a:(a:2 + 1)
dx
Desarrollo
fAT3+JC+l (" 1 w f d.V-----r------dx = I (H—=--- )dx = x + ------- -----J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1)
___ !___ = A + Bx + C = (A + B)x -+ C x+ A ^ l = x 2 (A+C) + Cx +AJC(.V2 +1) * X2 + l Af( A-2 +1)
Integral Indefinida 97
1292
A + B = 0] de donde: C = 0
A = 1resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0
fAT3 +JC+l f 1 x| ---- r-----dx = x+ | ( ------ —J x(x2 +1) J X X2 H
)dx = x+lnx — ln(jc +l) + c + 1 2
= x + ln |Va:2 +1
\+c
f x 4dxJ x 4- 1
Desarrollo
\ s d x = L ' ) dx =x +J * 4 - l J JC4 — 1 J a4 -1
1 A B Cx+D- + ----- + -(ac-1)(a. + 1)(at + 1) * - 1 JC- 1 x2 +1
1 = (A + B + C)x3 + (A — B + D)x2 + (A + B + C)x + A — B — D
A + B + C =0 A - B + D = 0 A + B - C = 0 A - B - D = 1
, resolviendo el sistema: A = — , B = — , C = 0, D4 4
f ac4 f A B Cx + D 1 f dx 1 f dx 1 f dx—— dx = x+ | ( ----- + ------+ —------)dx = x + - ---------- -------------I - —J x —1 J x 1 x +1 x +1 4 J x -1 4 j x + \ 2 J x - + l
1 , . JT- 1 . 1= x + - ln | ---- -1- - a r c t g x + c4 AC + 1 2
98 Eduardo Espinoza Ramos
f_______ * _______J (x2 — 4x + 3)(x2 + 4x + 5)
Desarrollo
1 _ A + B + Cx+D(jc2 - 4 x + 3)(x2 + 4x + 5) x - 3 x - \ x2+4x + 5
efectuando operaciones y simplificando se tiene:
A(x3 + 4x + 5x) - A(x2 + 4x + 5) + fí(x3 + 4 + 5x) - 3fi(x2 + 4x + 5) +
+ C(x3 - 4x2 + 3x) + D(x2 - 4x + 3) = 1
(A + B + C)x3 +(3A+B + 4C + D)x2 + ( A - 7 B + 3 C - 4 D ) x - 5 A - l 5 B + 3D = l
A + B + C = 0 3A + B - 4 C + D = 0 A - 7 B + 3C - 4 D = 0 -5 A - 1 5 B + 3D = 1
1 1 2 3resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D = —
52 20 65 36
f dx f , A B Cx+D—-----------------------------= (------+ ------ + —----------- )dxJ (x - 4 x + 3)(x +4x + 5) J x - 3 x - \ x + 4x + 5
= _L f_*L+ f 65I j L d x5 2 j x - 3 20j x - 1 J x 2+4x + 5
1 1 1 f 2x + 4 7 f dx= — ln (x -3 )----- ln(x-l)H -----I —------------ dx + ~— I —------------
52 20 65 J x + 4x + 5 1 3 0 jx 2 +4x + 5
= — ln (x -3 )— — ln(x — 1) + — ln(x2 + 4x + 5) + — arctg(x + 2)52 20 65 130
Integral Indefinida 99
1294
1295
f dxJ77T
i i
Desarrollo
A Bx + Cx3 + l (x + l)(x2 - x + l) * + l X2 - X + l
1 — (A + B)x~ + (“ A + B + C )x + A + C
A + B = 0 -A + ¿f + C = 0 A + C = 1
1 „ 1 „ 2, resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = — , C = —
3 3 3
x 2
\ ^ - = f ( - ^ - + B2X+C )dx = ] - [ — + f 3 3 dxJ X +1 J x + 1 x ~ -x + l 3 j x +1 J x - x +1
= — ln(x + l)~ — ln(x2 - x + 1) + — arctg(-:~ -) + c3 6 V3 V3
1 , , (x + 1)2 1= —l n . - - , ,6 x“ - x +1 v3
2x - l
f dxJ x 4+1
Desarrollo
Ax + B Cx+D- + -x4 + l (x2 +\Jlx + l)(x2 - V2x + 1) X 2 +y[lx + \ x 2 - y ¡ l x + 1
l = (A + C)x3 +(B + D + y¡2C-y¡2A)x2 +(A + C + y¡2A-yÍ2B)x+B+D
A + C = 0
B + D + \¡2C - \Í2A = 0
A + C + y¡2D-y¡2B = 0 B + D = 1
100 Eduardo Espinoza Ramos
1296
resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = — , C - —2V2 ’ 2 ’ 272
1 1 1 1X + — -----T = X + -
f dx i* Ax + B Cx+D C 2V2 2 2\¡2 2 ,Jx4+l“J x2+V2x+l + x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l
1 f X + SÍ2 _ 1 f X - y ¡ 2 .
' í T í j I?— T *+ yflx + 1 2\/2 J .Y“ — yflx + 1
2 ■ + y f l ,X + 1 * V2 X y f í .In I — -------= --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c
J
4V2 X2 - y í l x + \ 4 1 -x 2
dx! +1
Desarrollox4 + x2 +1
x4 +x2 + l = x4 + 2x2 + l-x2 =(x2 +1)2 -x2x4 + x2 +1=(x2 + x+ l)(x2 — x +1)
Ax+ B Cx+D - + -
X4 + X 2 +1 X~ + X + 1 X — X + 1
1 — (Ax + fí)(x — x + 1) + (Cx + D)(x~ + x +1)
1 = (í4 + C)x3 + ( B - A + C + D )x2 + ( A - B + C + D)x+B + D
A + C = 0 B - A + C + D = 0 A - B + C + D = 0 B + D = l
integral Indefinida 101
1297
1298
resolviendo el sistema se tiene: A = — , B = — , C = ——, D =2 2 2 2
f dx f . Ax+ B Cx+D N , 1 f x + 1 , 1 f x —1—------5— = (—---------------------------------------------------- + -3--------- )dx = - , d x - - —— ---- dx
J x + x +1 J x ' + x + l x -x + 1 2 J x‘ + x +1 2 J x' - x + 1
I
1 , . x + x + l . 1 x - l= - ln | —---------1 + — j= arctgí— -=-) + c
x x —x+1 2V3 x%/3
dx
7Desarrollo
(l + .v2)2
Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO
í — ^ r T = f - ec2y - ~ = f - ^ _ = fcos20dOJ (l + x“)~ J ( l + tg‘ 0)" J sec“0 J
f l + cos20 9 sen0 eos9 arctgx x= ------------ d G = - + --------------- + c = -— — + --------r -
J 2 2 2 2 2(1 + x )r 3 x +5I —r----------r— d x
J (x“ +2x + 2)Desarrollo
(x2 + 2x + 2)2 = (x + 1)2 + 12 => z = x + l => dz = dx
f — — 2 = 3 í —T ~ ~ — ~ t x+ f J (x 2 + 2x + 2) J (x 2 + 2x + 2)‘ J (x 2 + 2x + 2)~
= _______2_____ + 2 f _____ * _____2(x2 + 2 x + 2 ) J (x2 + 2 x + 2 ) 2
102 Eduardo Espinoza Ramos
1299
3 + f dx ________ 3_____ +2 f dx2(x 2 + 2 x + 2) J((x+1)2+1)2 2(x2 + 2 x + 2) J(z2+1)2
= ------ 2 3 ..... +2Í(2(a~ + 2a + 2) J2( x '+ 2x + 2) J (z + 1) (z + 1)
■ J ; :+ 2 arctg z — 21 —--- - ... (1)2(x2 + 2x + 2) ” ~ J ( z 2+ 1)2
1, „ , z 2d z Z arctg;integrando por partes; —----- =--- ---- h--—
' (z2+l)2 2(z +1) 2
Luego reemplazando en (1) se tiene:
J
í
3 a + 5 3 „ 2x+2— ----------- dx = ------ ----- — + 2 arctg( a + 1) + — -------------- arctgU + 1)+c(x~ +2x+2) 2(x +2x+2) 2 ( a 2 + 2 a + 2 )
2x + \= ---- ,------------ + arctg(.v + 1) + c
2(x~ + 2x + 2)
dxHa + 1 )2
Desarrollo
A Bx + C Dx + B- + -
( a + 1 ) 2 ( a 2 + x + i ) 2
( a + 1 ) ( a 2 + A + l)2 A + l X 2 + A' + 1 (x2+ x + l)2
efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene:
1 = A(x2 + a + 1) + ( B x + C ) ( a + 1 ) ( a 2 +x + l) + (x + l)(Dx+E)
Integral Indefinida 103
A + B = 0 2 A + 2 B + C = 0
agrupando y por entidad de polinomios tenemos: 3A + 2B + 2C' + D = 02A+ B + 2C + D + E = 0 A + C + E = 1
resolviendo el sistema se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0
f - _____J ( A + 1 ) ( x 2 + A + l ) 2 J A + l
Bx + C Dx + E- + —---------+ — ---------- -]dx
(A + 1 ) ( a ” + A + 1 ) “ J A + l A + A + 1 (A ^ + A + 1)
ít 1 * * W(---- ---------------------------------_)£/x
A + l X~+X+l (x~ + X+1)
, . i r 2a + i i w i r; ln | x + 1 I (—- ---------- ) d x - ~2 J X + A + 1 X + A + 1 2 J
, 2 a + 1 1( --------- ------ ---------- -)dx(A + X + 1) ( a + A + 1 ) “
i i . i l . i 2 i i 5 2 a + 1 a + 2: In a + i j — ln x + A + l + — =rarctg(— ?= -) + ------------------- ;--------+ c2 3V3 v3 3( a + a + 1)
lx3 +1
1 3 0 0 ! -----------------d x
Desarrollo( a 2 — 4 a + 5 ) 2
a 3 + 1 Ax + B Cx+D( a 2 - 4 a + 5 ) 2 a 2 - 4 a + 5 ( a 2 - 4 a + 5 ) 2
efectuando operaciones y eliminado denominadores:
a 3 + l = (A x + i? ) (x 2 + x + 1) + Cx +Z>
a 3 + 1 = A*3 + (-4 A + B) x 2 + (5 A -4 B + C)x + 5B + D
104 Eduardo Espinoza Ramos
por identidad se obtiene:
A = 1-4 A + f í= 0 5 A - 4 B + C = 0 5B + D = l
A = 1B = 4A => B = 4 C = 11 D = - 49
J (x ~ -4 x + 5)- J. Ax+i? Cx+D ,( - -----------+ —5------------ 7)dxx2- 4 x + 5 (x — 4x + 5)
, x + 4 l lx -1 9 ,= H — ------ + - T — ----- - r )d *1«x2 - 4x + 5 (x2 - 4x + 5)2
1 f , 2x — 4 12 J 11 f 2 x - 4 J r dx= - (-5-----------+ — ------------- ¿ v + 3 I —--------------
2 J x - 4 x + 5 x ~ -4 x + 5 2 J (x~-4 x + 5)" J ( x " - 4 x + 5)
= —Inlx2 -4 x + 5 |+ ó arc tg (x -2 )-— (—-——------ )+ —arctg(x-2)H-----~ — -----2 1 5 2 ;c2_ 4jc + 5 2 6V 2(x - 4x + 5)
1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3x-17= — ln x - 4 x + 5 h— arctgíx- 2 )-1------ --------------he2 ' 2 2(x - 4 x + 5)
Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski:
f dxJ (x + l)2(x2+ l)2
Desarrollo
f dx _ Ax2 + Bx + C ^ f Dx2 + Ex + FJ (x +1)2 (x2 +1)2 (x + l)(x2 +1) J (x + l)(x2 + 1)
derivando y agrupando se tiene:
Integral Indefinida 105
Dx5 +(E + D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3 +(x + l)2(x2+ l)2 (x + l)2(x2+ l)2
+(A + E + F - B + D - 3 C ) x ‘-+(2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C (x + l)2(x2+ l)2
de donde se tiene:
1 = Dx +(E + D - A ) x 4 + (E + D + F - 2B)x +(A + E + F — B + D — 3C)x~ +
D = 0E + D - A = 0 E + D + F - 2 B = 0 A + E + F + D - B - 2 C =0 2A + E + F - 2C = 0 B + F - C = 1
+(2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C
1 1 1 3resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - — , C = 0 , E = — , F = —
4 4 4 4
Como:dx__________________ A x 2 + Bx + C |* Dx2 + E x + F
i (x + l)2(x2+ l)2 (x + l)(x2+ l) J (x + l)(x2+ l /
- X 2 + X__________ r x —34(x + l)(x2+ l) 4 J (x + l)(x~ + 1)
dx
- X +x 1 f -2 -I i ------dx +4(x + l)(x2 +1) 4 ' J x + l 1 7 h * - ¡
------^ -+ —In I x + l | ~ —ln |x 2 + 1 | + —arctgx + c4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4 6
106 Eduardo Espinoza Ramos
1302 f dx
ídx
Desarrollo
A x ’ + Bx2 +Cx+D f Ex’ + Fx2 +Gx+H(x4 - l ) 2 x4 - l +J x4 +l
derivando, simplificando y agrupando se tiene:
1 _ 3A(x6 - x2) + 2B(x5 ~ x) + C(x4 - l ) - 4 A x 6 + 4Bx5 - 4 Cx4 - 4 / l r 3(x4- l )2 (x4 - \ ) 2
Ex3 + Fx2 + Gx + Hx4 —l
1 = E x7 + (F - A)x6 + ( G - 2B)x5 + ( H - 3C)x4 + (-3 D - E )x3 +
+ (—3A — F ) x 2 + (—2 B - G ) x - C — H
E = 0 F - A = 0 G - 2 B = 0 H - 3 C = 0 -3 A - E = 0 - 3 A - F = 0 - 2 B - G = 0 - C - H = 1
, resolviendo el sistema se tiene:
A = 0, B = 0, C = - 2 , d = 0, C = 0, F = 0, G = 0, H = - -4 4
Ax3 + Bx2 +Cx + D f Ex3 + Fx2 +Gx+Hx4 - l
Integral Indefinida 107
I 1 _ I, ------1 — + Í - 4 - * = -------í -------2 f , _ ^ _ + _ 4 _ + l í - )Jx
4(x — 1) J x 4 -1 4(x - 1) 4 J x + l x - \ x + 1
X 3 f 1 1 w 3 f dx----- ----- + — I (-------- — )dx + ~ I —-----4( x ' - 1) 16 J x + l x - 1 8 J jc +1
x 3 , i x + l , 3- + — ln | ----- |+ -a rc tg x + c4(x4 - 1) 16 x - 1
3 x 3 , x - l-a rc tg x ------------------- ln ------8 4(x - 1) 16 x + l
1303 í (x2+ l)4dx
)4Desarrollo
2 ,Sea x = tg 0 => dx = sec Odd
f dx f sec" d dd _ f sec ~9d9 _ f d0 J(x2+1)4 J(tg20 + 1)4 J see8 9 J see60
JcOS60í/0 = J (co s20)3d0 =
■¿J
■¿J
(1 + 3cos2 29 + 3cos29 + eos3 29)d9
(1+ -(1 +cos40) + 3cos20 +cos2 29 eos 2 9)d92
= 1 f ( l + 2 c o s8 j 2 2
cos4# + 3cos20 + ( l - s e n 20)cos201<i0
108 Eduardo Espinoza Ramos
1304
1 r59 3 3 sen 26» sen3 26.:_ [— - + —sen 40+—sen 29 h— ------------------ ] + c8 2 8 2 2 6
= —[— + —sen9 eos9 (2eos2 9 - 1) + 4 sen9 eos9 — — sen39 eos39] + c 8 2 2 3
1.5 3 x 2 4x 4x3= - [ - arctg x + ----- (—------- 1) + —------------------------- -- -] + c8 2 2(x "+ l) x +1 x~ +1 3(x~ + l)
15 15x5 +40x3 +33x= — arctg * + ----------- ----------- + c48 48(x +1)
íx - 2x + 2 ,
—r--------------d x(x - 2 x + 2)
Desarrollo
r 4x3 -10x2 + 8 x -2f —2 2X +22 d x = f(l + -
J ( x - 2 x + 2 ) J)dx
(x~ - 2 x + 2) J (x - 2x + 2)
f 4x3 — 1 Ox2 + 8x - 2 ,= x+ ------ -------------— dx . . . (1)
J (x - 2x + 2)
f4 x -lO x + 8x + 2 , Ax+B f Cx+D------ r------------ ~z— dx = —--------- + —--------- — dx
J (x - 2x + 2) x - 2 x + 2 J x - 2 x +2
derivando, simplificando y agrupando se tiene:
4x3 -1 0 x 2 + 8x —2 - A x 2 - 2 B x + 2A + 2B Cx + D(x2 - 2x + 2)2 (x2 - 2x + 2)3 x2 - 2x + 2
Cx3 + ( D - 2 C - A)x2 + (2C - 2 D - 2 B ) x + 2A + 2B + 2D(x2 - 2x + 2)2
Integral Indefinida 109
1305
4x -lO x +8x--2 - Cx3 + ( D - 2 C - A ) x ¿ + (2 C - 2 D - 2 B ) x + 2 A + 2B + 2D
C — 4D - 2 C - A = -10 2C - 2D - 2 B = 8 2A + 2B + 2D = -2
resolviendo el sistema se tiene: A=-l, B=3, C = 4, D = -3
14x3 — 10x2 + 8 x -2
(x2 - 2 x + 3)2x - 3dx = — ------------- 1-
I -4 x -3
x2~ 2x + 2 J x z - 2x + 2-dx
x - 3x" - 2x + 2
reemplazando (2) en (1) se tiene:
‘4x3 - 10x" + 8x - 2
- + 21n |x 2 - 2x + 2 |+ a rc tg (x -l) (2)
íx4 - 2x2 + 2
(x2 - 2x + 2)2dx = * + J ‘
: X —-
(x - 2x + 2)
x - 3 , 2
dx
+ 21n ¡x - 2x + 2 |+ a rc tg (x -l) + cx - 2x + 2
Hallar las integrales siguientes empleando diversos procedimientos.
x5dx
I (x + l)(x + 8)Desarrollo
Sea z = x3 dz = 3x2dx — = x 2dx3
f x5 dx x3 .x2 dx 1 f zdz _ 1 fI (x3 + l)(x3+ 8) j (x3 + l)(x3 + 8) 3 ,¡ (z + l)(z + 8) 3 J / A B(-------1------- )dz
z + 1 z +8
A B (A+B)z + 8A + B(z + l)(- + 8) z + 1 z + 8 (z + l)(z + 8)
110•v
Eduardo Espinoza Ramos
1306
z = (A + B)z + 8a + B por igualdad se tiene:
A +B = l ) 1 n 8> entonces A = — ,B = —
8A + £ = 0 7 7
f x5dx 1 f A B 1 . . , .—3— -------------------- i-----= o I ( -T + ----------ñ ^ z ~ -t81n U + 8 - ln z + 1 ] + cJ (x3+l)(.r3+ 8) 3 J z + l z + 8 21
= ~ [8 1 n | -v3 + 81- ln | x3 + 11] + c
íx7+*3 J
dxxI2 - 2x4 + l
Desarrollo
yP _L v-3 r „ 3 , „ 4
J x - 2 x +1 J x - 2 x +1
Sea z = x 4 =* dz = 4 x 3dx
f x l + x ¡ J x = l f z + l j . = 1 f (z + l)<feJ x12 - 2x4 +1 4 J z3 _ 2z + l " 4 J ( z - l ) ( z 2 + z —1)_ 1 f A Bz + C
z2 + z - 1)dz
z + l A Bz + C- + -( z - l ) ( z 2 + z - l ) z - 1 z2 + z - l
efectuando operaciones y agrupando se tiene:
A + £ = 0z + l = (A + B)z2+ (A -B + C ) z - A - C , de donde A ~ B + C = 1-
—A — C = 1
Integral Indefinida 111
1307
2z + 3 -)dzz ‘ + Z - 1
resolviendo el sistema se tiene: A = 2, B = -2, C = -3
f .x7+ x 3 . 1 f A Bz + C _ 1 f 24 j <r i + ? T 7 ^ T
- ¿ t a u - i i - i r ^ - * —2 4 J z + z - l 2 J z " + z - l
1 , 1 .i 1 - i 2 i i 1 i i 2z + 1 — y¡5 .= - ln z - 1 — ln z ' + z - l -t=- l n --------------------------■==2 1 ' 4 ' 2>/5 2z + l+V5
1 . ¿i , 1 i k 4 t l , i 2x4 +1 — *J5 ,= —ln x - 1 — ln x + x - 1 ------------------------p in — -------------- j= +c
2 4 2^5 2x +\ + \¡5
í;x2 — x +14
-dx( x - 4 ) ( x —2)
Desarrollo
jr2 - x + 14 A B C D-H----------— H--------- + -
( x - 4 ) 3 ( x - 2 ) ( x - 4 ) 3 ( x - 4 ) 2 ( x - 4 ) x - 2
efectuando operaciones y agrupando se tiene:
x 2 - x + l4 = (C + D)x3 + ( B - \ 0 C - \ 2 D ) x 2 + ( A - 6 B + 32C + 48D)x -
-2 A -8 B -3 2 C -6 4 D
C + D = 0 B -10C —12D = 1 A - 6 B + 32C + 48D = -1 -2A + 8 B -3 2 C -6 4 D = 14
resolviendo el sistema se tiene: A = 13, B = -3, C = 2, D = -2
r112 Eduardo Espinoza Ramos
1308
f ' r " ,,, f,J (x -4 ) ( x - 2) J ( x -
A B C DH---------1------- )dx(x -4 ) ( x - 2) J ( x - 4 )3 (x -4 ) - x - 4 x - 2
= 13 j* — - —— - 3 f —— — + 2 — 2J ( x - 4 )3 J ( x - 4 )2 J x - 4 J x - 2
I
1:
2(x-4)~ x - 4
dx
13 3 , x - 4 ,+ -------+ 2 In I------- 1 +c
x4(x3 + l)2Desarrollo
dx
■ Í 7 " I
f x3 + l i !J x4(x3+ l)2 x4(x3 + 1)2<
r dx f dxJ x 4(x3+ 1) ,J x(x3 + 1)2
A B
- i , * J+I X3
)dx
)dx(x‘ + 1) J x (x + 1) x (x + 1)
(------------------------- )dx — —— - - l n x + -ln (x + 1)x(x +1) x(x +1) 3x 3
A = I —- = — —r + — ln(x3 +1) — In xI:
f
x4(x3+ l) 3x3 3
dx 1 , , 3 , , 1 , 1B= I ----—— 7 = — In | x + l |+ - ( —-----) + lnx
x(x +1) 3 ' 3 x3 + l
Luego:
(1)
Integral Indefinida 113
1309
1310
I = - ( l n x - - l n ( x 2 +1) + — ^ — —) - l n x + ^ l n ( x 3 +1) 1x4(x2+ l)2 3(x +1) 3x
1 , ,x 3+ l , 1 1 , ,x 3+ l . 1= ” ln I —5— I ■ - + - ln I
3 ' x3 ' 3(x3 +1) 3 * *' x3 3x2
) + c - - [ 21n |1 „ . ,a + 1 , 1 13 x3 ' 3 x3 + l x3 3* x" x — 1 xJ
- - d + c
dx4x2 + 5 x -2
Desarrollo
1 1 A B C- H-------- f* -
i3 - 4 x 2 + 5 x -2 (x —l)2( x - 2) ( x - 1)2 x - 1 x - 2
efectuando operaciones y agrupando se tiene:
1 = A ( x - 2 ) + B(x2 -3 x + 2 ) + C(x2 - 2 x + l) , de donde se tiene:
B + C = 0 A - 3 B - 2 C = 0 -2 A + 2B + C = \
■ resolviendo el sistema: A = -l, B = - l, C = 1
í____ * ____ , f(J x3 — 4x2 +5x —2 J (x -1 )2 X - 1 x - 2
f dx i* dx j* dx _ 1j (x -1 )2 J x - 1 J x - 2 x -
- + lnj — j \ f c 1 x - 1
f _ dxJ x(x7 ■
d X
x(x7 + 1)Desarrollo
1 ] 4 Eduardo Espinoza Ramos
1311í
dxl)2
Desarrollo*(x5+ l)2
r dx f x5 + i f x* d x _ r dx r x4 ±xJ x(x5 +1)2 J x(xs +1) J (at5 +1)2 J x(x5 +1) J (x5 +1)2
= f - ^ * - í /< b J x(x + 1) J x(x + 1) J (
■Jf-J4
x(xr> + 1) J U ' + i r
dx +----- ;--------------- + c = l n x — ln | x + 1 |+ 7-+ cx5 + l 5(x5 +1) 5 5(x +1)
1312 Jdx
(x2 + 1x + 2)(x2 + 2x + 5)Desarrollo
1 A x+ B ^ Cx + D
(x2+2x + 2)(xz +2x + 5) x l +2x + 2 x¿ +2x + 5
efectuando operaciones y agrupando se tiene:
1 = A(x3 + 2 x2 + 5x) + B(x2 + 2x + 5) + C(x3 + 2x2 + 2x) + D (x2 +2x + 2)
A + C = 02A + B + 2C + D = 0
de donde se tiene: _____5 A + 2 B + 2 C + 2 D = 05A + 2 D -1
KchiiIvIpihIo pI ilvtriiim k" (tone A •* 0. II , C' O , /) ^
Integral Indefinida 115
f _________________ = f( M+J - + ^ x + D - )dxJ (x 2 + 2x + 2)(x2 + 2 x + 5) J x 2 +2x + 2 x 2 +2x + 5
1 f dx 1 f dx 1 1 ,* + l \ ,= - I --------------------- I ----------------- = - a r c tg ( x + l ) — arctg(---------) + c3 J x2 + 2x + 2 3 J x + 2x + 5 3 6 6 2
f x 2dx 1313 ---------
J ( * - l ) 10Desarrollo
Sea z = x --1 = > x = z + l= > dx = dz
_ 1________ 14 ( x - l)8 9 (x - l) '
1314
Desarrollo
f. dx .. = f __ * __ = í ( - í l ± i ------------ % -----)dxJx8+x6 Jx6(x2+1) J x6(x2+l) x6(x-+l)
___ L— f f . p - d x + \ - 4 — dx5x's J x (x_ + 1) J x (x +1)
1 1 f x 2 +\ , _ f X2dx
“Í7 + Í7 + J x2(x2 +1) íiA J x2(x2+l)1 1 1
= ---- r + — ------- arctg x + c5x 3x *
i “J U - l )2dx _ f ( z + l)~
!ü J 10
f 1 2' J z8 + z9 .10 )dz
1I z 1 4z 9z9+C 7 ( x - l)7
+ c
I ihuiiilii ! spinoza Ramos
4.7. INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONESIRRACIONAL ES.-
( 7 ) INTEGRALES DEL TIPO.-
J cx + d cx + d
donde R es una función racional y p¡. q l p 1. q 2 ... son númerosenteros, estas integrales se hallan valiéndose de la sustitución.
ax + b „ex + d
donde n es el mínimo común múltiplo de los números q { , q 2
Hallar las integrales:
Desarrollo
Sea z 2 = x -1 => dx = 2z dz
Como z2 = x —1 => z = Vx— 1
= 2í (z + 3 : + 3z" + \)dz ■■2 (— + - z 5+ z3 + z) + c7 5
= 2z(— + - z4 + z2 + l) + c = 2V x - l(———— + — (x — l)2 +x) + c7 5 7 5
Integral Indefinida 117
1316
1317
1318
J xdxyjax+b
Desarrollo
, 3 2Sea z =ax + b => dx = — z d za
Como z3 =ax + b => z = s a x + b además x =z3 - b
a
iz3- b
xdx yjax + b
í a3 z2
i z az)dz
= JL ( i i - - z2 ) + c = - 1 - (2^(ox + b f - 5 bl](ax+b)2 ) + c a 5 2 10o
f dx
* Vx +1 + (.x + 1)3Desarrollo
Sea z2 = x + l => z = Vx + 1 => z i =yj(x+\Ÿ
Como z2 = x + l => x = z 2 - l dx = 2zdz
f dx —- —= = f ^ ^ - = 2 [ ^ Z = 2arctg(z) + c = 2arctg(Vx + l)J V x+I + x + l)3 J z + z‘ J z "+1
I -
+ c
Vx + VxDesarrollo
118 Eduardo Espinoza Ramos
z 3 z2= 6(—---- — + z-ln(z + l)) + c
1319 J f r r “Desarrollo
Sea x = z 6 => sfx = z? => Hx = z2 aaemás dx = 6 z5dz
[ ^ j h ± d x = í - y - ^ - 6z5dz = 6 \ —y — dzJ # t + l J z +1 J z +1
*6 | (z6 - z 4 - z 3 - z 2 - z - 1 — -)dzz +1
7 7 75 74 73 72 1= 6(---------------- + — + —— z — ln(z2 +l) + arctgz)
7 5 4 3 2 2
- “ VI - V? - V? + 2VI + 3\fx - 6\¡x - 3 ln(VI + 1) + 6 arctg yfx + c
h1320 | — ± j L = d x
(a + 1) — yj X + 1Desarrollo
Sea z 2 = jc+1 => dx = 2z dz
f Vx+T + 2 f z + 2 o f z -*-2 , „ f , A Bz + C ,I — t---- j = = d x = I — 2zdz = 2 I —— dz = 2 (------ + - T— )dzJ (x + 1)2 -V I Í T J z 4 - z J z3- 1 J z - 1 z + z +1
Z - 1 Z -1 Z2 + Z + l
z + 2 = A(z2 + z + l )+(z -V)(Bz + C) =>z + 2 = A(z2 +z + \ ) +B( z 2 - z ) + C ( z - l )
Integral Indefinida 119
1321
A +fí = 0 de donde: A - B + C = \
A - C - 2resolviendo el Sistema se tiene: A.= 1, B = -1, C= -1
f — # i ^ = <a=2 f i f í ¿ i=2 f +- ^ - cJ (x + l)2-VITl J z — 1 J z -1 Z +z-
= 2 j*(—----- 2Z + 1- ~)dz = 21n(z-D- f -2c + 1- dz- f-J Z -1 z + z +1 J z + z +1 J z +Z + 1
-)dz : + l
dz
= 21n (z - l ) - ln ( z 2 + z + l ) - JV 1 sT 3l z + - y + - ,
2 4
■? 2 2z + l= 2 ln(z - 1) - ln(z‘ + z + 1) - arctgí—-j~~) + c
, ( z - 1)2 2 - 2z + 1= ln—-------------7=-arctg(— -r -) + xZ + Z + 1 y¡3 V3
(\fx + \ —Y)~ 2 ■ 2\Jx+1 +1= ln - ----- -¡= ? — -f= arctg( — — ■). + c
X + 2 + v x +1 V 3 a/3. . .
f VI dx ' .J x+2
Desarrollo
Sea z 2 = x =$ dx = 2zdz
\ ^ - d x = f - ^ - d z = 2 ( - ^ - d z = 2 Í ( l — 2J x + 2 J z +2 J z +2 J z‘ + 2
= 2(z - -JL arctg(-^=)) + c = 2 V I - 272 a r c tg (^ ) + c
2■)dz
120 Eduardo Espinoza Ramos
1322
1323
f e
dx
(2 ~ x ) y j l - xDesarrollo
Sea l - x = z 2 => 2 - x = z 2 +1 => dx = -2z dz
dx f -2zdz 2 arctg(z) + c = —2 arctg(Vl — x ) + c
Desarrollo
7 X2 - 1
J V*+i J V T ^ I
see 0 = x dx, = see 9. tg 0 d0
eosec9 = ....... , => f x. ——-dx = f ,. X ,{x-l )dx4 J T X J v * + i J
= Jcos<?c0(sec0-l)sec0tg0í/0 = J(sec0-l)see d d d
= Jsec3 9 dQ - Jsec2 9 d9
ix-1: = J see3 6 dO - J sx^j— —dx = | sec- 9 d 9 - | see“ 9 d6 (a)
Integral Indefinida 121
1324
integrando por partes I see3 0 dO se tiene:
Jsec3 9 d 9 = ^ [ln | sec0 -r tg0 ¡ + sec0 tg0]
! x. ——~í£t = —[In I see# tg0 |+ sec0 tg 0 ] - t g # + cjc + 1 2
= — [In I x + yfx2 - 1 I + W x2 - \ ] - \ ¡ x2 - \ + c2
= i l n | x + V 7 ^ l | + £ ^ -(x — 2 ) + c2
-dx
Desarrollo
3 x+ \ z3 + l , -6 z 2dzSea z ------- => x = —5— => dx = —-------
x - l z3 - l (Z3-1 )2
dz
l)2
f ______M ______ r , A | B 1 Cz + D | Ez + F
J ( z - l ) 2(z2 + z + l)2 J z - í (z l)2 z2 + z + l (z2 + z + l)
z3 A B Cz+D Ez + F- + --------------------- + -T---+
(z i) z - i (z-ir z +z+i (z¿+z+ ir
efectuando operaciones y agrupando se tiene:
122 Eduardo Espinoza Ramos
1325
z3 =(A+C)z5 + ( A + B - C + D)z4 + (A + 2 B -D + E ) z i + ( B - A - C - 2 E + F)z2
+ (2 B -A + C —D + E - 2F)z + B - A + D + F
por identidad de polinomios se tiene:
A + C = 0 A + B - C + D = 0 A + 2 B - D + E = l B - A - C - 2 E + F = 0 2 B - A + C - + E - 2 F = 0 B - A + D + F =0
a ^ , b = ^ c = - ^ , d = - ^ , E = J - , f = ^81 9 81 81 27 27
resolviendo el sistema se tiene:
j é ? * - 6!. A B Cz + D Ez + F ,(_--- h---------H----- ---- — H---- ------------)dzz - 1 (z — 1) z + z + l (z +z + \ y
11 1 11 31 7 11— Z + — ZH-----
, 9 81 81 . 27 27 w .+ --------7 — ........ + — -----------7)dz( z - 1) z~+z + l (z" + z + l)~- 4 *
integrando cada termino y simplificando se tiene:
J é ?x + 1 , 1 , z2 + z + l 2 2z + l 2z , , J - í + 1
J
-3/:-----dx = - ln--------— + —¡= arctg(— = -) + —------ 1- c donde z = h1 3 (z — 1) yfc * J3 z3 - l V x -1
x + 3 ~dxx 2\J 2x + 3
Desarrollo
2 z2 - 3Sea z = 2x + 3 z dz = dx => x = -------
Integral Indefinida 123
z2 - | + 3f 2 X+ l ^ d x = f------^ ---- zd z = 2 Í
v 2x + 3 J ^22 ——-)2^ *
z2 +3
(z2 ^ 3)2dz
. Áz + S Cz + D dz = (—7----- 7 + --7— -)dz
(z2 - 3)2 z2 - 3
derivando, simplificando v agrupando:
z +3 Az —2Bz —3 A + Cz + D Cz3 +(D-A) z + (- 2B -3 C )z -3 A -3D
(z2 - 3)2 (z2- 3 )2 z2 - 3 (z2 - 3 )2
z + 3 = Cz + (£>- A)z + (-2 S - 3C)z - 3 A - 3 D
C = 0- 2 8 - 3C = 0 D - A = l - 3 A - 3 D = 3
resolviendo se tiene: A = -1, B = 0, C = 0, D = 0
Az + B Cz+Dz2 - 3 (z2 - 3 )2
)dz = -z2 - 3
(2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
x + 3L i t L = * = 2 f -J x~V2x + 3 J (z
z + 3 . 2z V2x + 3dz = -----,----- + C = ---------------he
(z2 - 3 ) 2 z - 3
© INTEGRALES DEL TÌPO.-
donde p n (x) es un polinomio de grado n, se supone que1pn(x)dx
yjax2 +bx + c
124 Eduardo Espinoza Ramos
f _ Pn x ~ = d x = Qr '_x ( x)'Jax2 +bx + c + A f -?= » y a x 2 +bx + c J \¡a
dx
ax‘ + bx +1... (3)
1326
donde Qn_,(x) es un polinomio de grado (n - 1) con coeficientes
indeterminados y X es un numero. Los coeficientes del polinomio
Qn-1 (•*) Y numero A, se hallan derivando la identidad (3).
® INTEGRALES DEL TIPO.-
, se reduce al 2° tipo de integrales valiéndose deIdx
( x - a ) n \fax2 +bx + i
la sustitución: ------ = tx - a
Hallar las integrales:
í;x 2dx
4 x ^ - x + l
íx 2dx
X - x + l
Desarrollo
= (Ax+ B)sjx2 - x + l + A í —j=~--L= •* V x2 - x +1
, derivando se tiene:
2A(x 2 - x +1) + A(2x2 - x) + B(2x- 1) + 2
x + l 2yfx2 ^ x + l
2x2 = 4Ax2 + ( 2 B -3 A )x + 2 A - B + 2Á, dedonde: A = - , B = - , A = —2 4 8
J 4 x 2 - x + l 2 4 8 jdx
1 x - x + l
Integral Indefinida 125
1327
1328
— — Vx2- x + l - - l n | 2x - l + 2Vx2- x + l |+ c
r x^dx
j ^ / w 2Desarrollo
f x dx - = (Ax4 + Bx3 + Cx2 +Dx+ E)y j l - x2 + A f — derivando se tieneJ J i - x 2
s fl -
x5 i ? ^ /T 2 x(Ax4 +Bx*+Cx2+ Dx+E) A= = (4Ax3 + 3Bx + 2Cx+D)y¡l-x2 — ------------ = = ----------- - + ~ r =
s f l -x
X5 = (4Ax3 +3 Bx2 + 2 Cx + D)( 1 - x 2) - (A x 5 +Bx4 + Cx3 +Dx2 + £x) + A
x5 = -5A x5 -4 f lx 4 + (4 A -3 C )x3 + (3 B -2 D )x 2 + (2 C -£ )x + D + A
-5A = 1 -4B = 0 4 A -3 C = 0 3B - 2D = 0 2 C - E = 0 D + A = 0
1 4 8• resolviendo se tiene: A = - - , C = _ ^ > D = 0, E = , A. = 0
dx
VÍ^X2
= (_ £ _ _ ± ^ _ A ) V í r 7 = - 8 + 4 * + 3 x .^ 7 + c5 15 15 15
x.’dx
126 Eduardo Espinoza Ramos
1329
Desa rrollo
dxi - ,—*- dx = (Ax4 + Bx3 +Cx2 + Dx + E)\ll + x2 + A f —pJJlTx2 J Vi + x2
derivando y agrupando se tiene:
x6 _ 6Ax6 + 5Bx5 + (5A + 4C)x4 + (4B + 3D)x3 +
\ i i+ x 2 v r+ x 2"2+(3C + 2 £ V + (2D + F)x + E + A
Ví + X*
x6 = 6Ax +5 Bx5 + (5 A+ 4C)x4 + (4fí + 3D)x3 + (3 C + 2 E)x2 +(2D+ F)x + E + X
de donde: A = - , B = 0, C = ~ — , D = 0, £ = — , A = - —6 24 16 16
f _ í= ^ = = (Ax5 + Bx4 +Cx3 + Dx2 + £x+F)Vl + *2 + A f , ¿XJ V iT 7 J V iT ?
/7~ 7 5 f dx6 24 16 16 J
= ^ Y ~ ^ d +T ¿ ^ l+x2 ~ y 7 l n \ x + ^ ] + xl l+c 6 24 16 16
l + x2
J *x5Desarrollo
Integral Indefinida 127
dt4
dt
tf \ t 2 1
= (At3 + Bt2 + Ct + D)\ J l - t2 -A f ^J V I - ? .
derivando y agrupando se tiene:
- , 4 = —4f4 - 3Sí3 + (3 A - 2C)t2 + ( 2 B -D ) t + C + X
1 3 3de donde: A = — , B = 0, C = —, D = 0 , A = —
4 8 8
f p = = - [ - ^ L , = (A t3 + Bt2 +C í + D)Vl-í2 +a[-7¿LJ x’ V ^ M j V T ? j V w
* = (4 4 )V ^4 8 S j J Z S 4 8T 3f — arcsení + c
= (—i— + — -)V*2 - 1 - - arcsen(—) + c 4x 8x 8 x
1330 í (x+1 )3V*2 + 2xDesarrollo
1 , 1 jHacemos ------= / => x+1 = - => dx = — -x +1 / r
128 Eduardo Espinoza Ramos
1331
j , / i \2 i f t~dt r - í 2+ l - ldonde x + 2x = (x + 1) - ] = - 1 - = I —
J J V ÍZ 7 2 2
í//
- arcsen í - arcsen í + c
t rr~2 i i I. i i , i= —V l- í — are.*arcsent + c = --------- 1------------ — arcsen(------ ) + c2(x + l)V (A + l)2 2 x + l
------— — Vx2 +2x - —arcseni— —) + c2(x + l) 2 x + \
x 2 + X + 1 -(lx:Vx2 - x + +l
Desarrollo
f x2 + x + l f x(x + l) 1— 1 = = = d x = ( — ?=•: ■ ^ + - -7=.= ■ = ) < &
j xVx - x + l J xvx2 - x + l x vx2 - x + l
= i~r===i£ï+ f - r fr• W x " - x + l J xy¡x‘' - x + 1
_ 1 f 2jc—1 + 1 f i* dx f
2J yjx2 - X + l J X \ ¡ X 2 - X + l J
fifx
W ^ - J C + l J yjx2 - x + l
1 f 2 x - l 3 f </x f dx
x + 2 ¡ 4 7 ^ ¡ + I W ? : x + l
integrando y de acuerdo a las integrales anteriores se tiene:
= -\/x2 —x + l+ ln | x |+ -^ ln | x - -^ + Vx2 - x + l | - In 11 —- + Vx2 - x + l |+c
Integral Indefinida 129
4.8. IN T E G R A L E S DE LA S D IFE R E N C IA L E S B IN O M IC A S.-
xm(a+bxn)pdx ... (1)
donde m, n y p son números racionales.
CONDICIÓN DE CHEBICHEC.-
La integral (1), puede expresarse por medio de una combinación finita de funciones elementales, únicamente en los tres casos:
Cuando p es entero.
© Cuando es número entero, aquí se emplea la sustituciónn
m + 1 n
a + bxn = z s , donde “s” es el divisor de la fracción p.
© Cuando + p , es número entero, en este caso se emplea lam + 1 n
sustitución ax~n + b = z
Hallar las integrales:
3
1332 J x 3 (1 + 2 x 2 ) 2dx
Desarrollo
m + 1 3 + 1 4------ = ------= —- 2 es un enteron 2 2
2 2 2 Z2 - l j Zdzentonces: l + 2 x “ - z ‘ => x = ------- => xdx = ——2 2
3J x3(1 + 2x2) 2dx = Jx2(l + 2x2) 2xdx = J 2 ^ *.(z2) 2 = ^ J ( 1 -z ’ )tiz
130 Eduardo Espinoza Ramos
1333 I
K K 1 z +1 1 2 + 2x N 1 1 + x .= - ( z + - ) + c = - ( ------- ) + c = — (—== = ) + c = — (—= = = ? ) + c4 z 4 z 4 J 1 + 2x2 2 V! + 2.v2
dx7
Desarrollo
Sea x 4 + l = z 4 => .v4= — j c= 1. => dx = - z 3(z4-1) 4¿z? - i Vz4 !
J Z -1 J Z + 1 Z~1 Z + 1
z 2 A B Cz + D _- H---------i- —r---- , efectuando operaciones y agrupando
5
z4 - l Z + 1 Z - l z2 + l
z~ = (A + B + C)zi + ( B - A + D)z2 +(A + B - C ) z + B - A - D de donde se tiene:
A + B + C = 0 B - A + D = 1 A + B - C = 0 B - A - D = 0
resolviendo el sistema se tiene: A = —- , fí = — ,C = 0, D = —4 4 2
f z2 , f , A B Cz + D 1, . 1, . . 1— — dz= (— + ----- + ■ )dz = —- ln |z + l |+ - l n |z - l |+ - a r c t g z + c
J z - 1 J z + 1 z - l z +1 4 4 2
i , I z - l I 1 = - - l n — - |+ - a r c tg z + c 4 z + 1 2
Luego:
Integral Indefinida 131
í — — — = - i - —“ = ~ ( ~ ln | ——- | + —a rc tg z )+ c = —l n | | — ar ct gz+c J 4 / n V J z — 1 4 z + 1 2 4 Z - l 2
a , „ | ^ S ± I | - I a re,g ^ + c4 ' V ^ T l - l 2
1334I - Xí \
dx
x 2Desarrollo
X 'Jl + X'
1 dtSea x = - => dx = — -
t r
dt
í -----$ = = f -----p = = - [ - 4 ^ = = - [ / (1 + í )J x4^ / i í 7 J i C Z J J
,4 V t2
i2dt
Sea z 2 = l + / 2 => z dz = t dt
.3f -----^ ==r = - j ' - i = d f = - f ( z 2 - l ) z .zdz
= - J ( z 2- l)d z = - ( y - z ) + c = - | ( z 2 -3 ) + c = i l i - ( l + , 2- 3 ) + C
. } 0 ± L (ti - 2 ) + c = - ' '
11+^ - V T - 2
3 V 3x3x ' - ( -A r- 2 )+ c = — ^-( 2x2 - l ) + c
1335 J: dx
f l + x
132 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
i 3 _íSea l + ;t5 = z 3 =* x5 = z3 - l => x = (z3- l ) 5 , dx = - - ( z 3 - l ) 5 z2dz
f — = fjc_,(l + jc5) 3dx = f(z 3- l ) 5(z3) 3 - ( z3 - 1 ) 5z2dzJ r\/l + r 5 J J 5X\Jl + X'
= - í(z 3 - ir 'z d z = - [ - 5 - * = - f -----5 J 5 J z - l 5 J ( z -
zdzl)(z2 + z + l)
= - f (— 5 J z - 1
Bz + C w+ —------- : )dzz + z + l
A Bz + C- + —-------- de donde se tiene:z3 - l Z - l Z2 + Z + l
z = (A + B)z2 + ( A - B + C)z + A - C
A + fl = 0 A - B + C =1 A -C = 0
resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = , C = —3 3 3
\ - r - ~ f l - £ - - < ^ - ) l * = - [ f — * - J jc /i + x5 5 J z - l 3 z + z + l 5 J z - l J z + z + l
= ^ [ln( z -1 )- -^ \n(\lz2 + z + l) + \/3 arctg(2^ -)]
1 ln (z - l)2 - ln (z 2 + z + l) V3 /2z + l.-------------- --------------- + _ are,g(_ ? r ) + c
= — ln-^f——— l-^ -a rc tg (2~ ^ - ) + c donde z = yjl + x510 z2 + z + l 5 V3
Integral Indefinida 133
1336f dx
5
x2(2 + x3)3Desarrollo
- 1 3 3 2 l / lSea 2x +1 = z => x = —— => x = --------- - => dx = -
* (z3- l )3
a-2 = ( ^ 2)2(z3- l ) 3 => x 2 = (Z y } ] - = > 2 + a 3 - 2j
5
j ------—— - = J jc_2(2 + jc3) 3é/jc
jc2(2 + a 3)32
= J í i i j l i ( 2z3(z2 - i r ' ) 3(-^/2)(z3 -1) 3z2dz
2 3 2. j (z3 _ z -5(z3 _ {)i z 2 dz = - I J ( z 3f t
1337 Idx
Desarrollo
-lf2(z3 - l i 3 z2dz
:3(z3 - l )-1
-l)z~ 3</z
1 + c
134 Eduardo Espinoza Ramos
Hacemos 1 + —L= = /3 , t = J 1+ 1-7.V3
- V = ^ i - = » í / í = 31 . 1 1r3 - 1 3 - l
4/U * 4/77 1V.v = -------- - , v* = —----- —, t ( r -D "
(f3- l )3
-At dtde 1 + .— = r ’ => — = 3t~dt => dx = ---- , Luego:
f f - 4 r g 3 - i ) 2 d{ f r V - u V
'lxi \ l \ + i [ 7 (P _ 1)3 J j L . (i3 - 1)3 t
Vi - 1
- l )3
2/ + C = - 2(3/1 + —r = ) 2 +c — —2(]l(l + x 4 )2) + cV
4.9. IN T EG R A L ES D E FU N C IO N E S T R IG O N O M E T R IC A S.-
( I ) INTEGRALES DE LA FORMA.-
donde m y n son números enteros.Jsen” jtí/jt , y Jcos" xdxPRIM ER CASO.- Cuando n es un entero positivo par se usan las
identidades siguientes:
•> 1 - eos 2x o 1 + eos 2.vsen- x = ——----- , eos" x --------------
Integral Indefinida 135
SEGUNDO CASO.- Cuando n es un entero positivo impar dentro del integrando se saca el factor común sen x dx o eos x dx, respectivamente, luego se usa la identidad:
sen2 x + cos” x = l
0 PARA LOS INTEGRALES DE LA FORMA.-
f tg” xdx y c tg" xdxJ J
si n es par o impar se usan las identidades:
1 + tg2 x = se£2 x , 1 + c tg 2 x = csc2 x
@ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.-
»
sen"1 x.cos" x dx
PRIM ER CASO.- Si m o n es un entero positivo impar y el otro cualquier numero.
Se procede de la siguiente manera:
Si m es impar se saca factor sen x dx y se usa la identidad: sen2 x + eos2 x = 1
SEGUNDO CASO.- Si m y n son enteros positivos pares se usa la fórmula:
•> l - c o s 2x 2 i + cos2xsen“ x = ----------- , eos x = ------ ------__________ 2________________2
@ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.-
f ígm x.sec" x d x ,•rtg"' x.csc" xdx
J J
136 Eduardo Espinoza Ramos
1338
1339
PRIM ER CASO.- Cuando n es un entero positivo par y m es cualquier número, se saca el factor.
see2 xd x o ese2 xdx
y se usan las identidades: l + tg2 x = see2 x , 1 + c tg 2 x = csc2 x
SEGUNDO CASO.- Cuando m es un entero positivo impar, n es cualquier número, se saca como factor.
sec x. tg x dx o ese x. ctg x dx
y se usa la identidad: 1 + tg2 x = sec2 x , 1 + e tg 2 x = csc2 x ’
Hallar las integrales
/ eos3 xdx
Desarrollo
J*cos xdx — J eos* x.cos xdx = f (1 — sen" x) eos xdx
= J cos xdx - J sen“ x.cos xdx = senx
I
sen3 x --------- I-C
sen5 xdx
Desarrollo
| sen xdx = | sen4 x.sen x dx = j (1 -e o s 2 x)2 sen xdxJ* sen5 xdx = J* sen4 x.sen xdx = J (
J( l - 2cos~ x + cos4 x)senxdx
Integral Indefinida 137
1340
1341
J* sen xdx - 2 J= I senxdx - 2 I cos2 x.senxdx + I eos4 x.senxdx
i
2 eos3 x eos5 x= - C O S X + ---------------------------------l-C
sen2 x.cos3 xdx
Desarrollo
J sen2 x.cos3 xdx = J sen2 x.cos2 x.cos xdx
J* sen2 x(l - sen2 x) cos x dx = J sen2 Xcos x dx - J sen4 x. eos x dx
sen5 x sen5 x -----------he
Jsen3 (—). eos5 ( - )dx 2 2
Desarrollo
j* sen3 (^).cos5 (~~)dx = J cos5(^).sen2(^).sen(^)dx
= Jeo s5 (^).(l - eos2 ( - ) ) sen¿ ) d x
= J eos5 (^) sen(^)dx - J eos7 (—) sen(—)dx - -eos (—) eos (------- 2_ + ---------- -rt,
3 4
f eos5 X ,1342 ---- r- d x
J sen xDesarrollo
138 Eduardo Espinoza Ramos
1343
1344
feos3* , f ( l - s e n “ *)I — t— dx = I ------ -------- eos xdxJ sen' x J sen *
f l - 2sen2 * + sen4 x , f ,I -------------t----------eosxdx= ((c tg x csc * - 2c tg * + senxcos*)d*
J sen x J
sen2 x 1
2 2 sen“ *--21n I sen I +c
1sen4 xdx
Desarrollo
2 1 - eos 2*sen“ x = -------------
J*sen4 * dx = J*(- - ~s - x )2C¡X = i J*(l — 2 eos 2x + eos2 2x)dx
l r . x sen(4*) 3* sen(2*) sen(4*)= —[ x - sen(2*) + — + ----- — -] + c = --------— — - + ---- — - + c4 2 8 8 4 32
I sen2 x c o s2 xdx
sen*, eos* =
Desarrollo
sen(2*)
J sen2 *cos2 xdx = J (sen *cos x f d x = J (—■-l X)dx = i j s e n 2 2 xdx
4J1- e o s 4* , 1 sen4*, * sen4*----------- dx = - [ * ----------- ] + c = ------------- + c
2 8 4 8 32
Integral Indefinida 139
1345
1346
J sen2 x c o s4 xdx
Desarrollo
2 1 - eos 2* 2 1 + eos 2*sen * = -------------, eos * = ---------------2 2
f 2 4 . f l - c o s 2 * 1 + c o s 2 x 2 ,I sen x co s xdx = -------------.(------------- y d xj J 2 2
= - J(1 - eos2 2*)(1 + eos 2x)dx = ~ J sen2 2*(1 + eos 2x)dx
■ &
I
-e o s 4* 2 o t u l rA' sen4* sen3 2*,---------- +sen 2x c o s2*]J* = - [ --------------+ ---------- l + c2 8 2 8 6
* sen 4* sen3 2*-----------------------1------------------j_ Q16 64 48
eos0 3 xdx
Desarrollo
t „ 1 + eos 6*eos“ 3* = -------------
2
Jc o s6 3xdx = J (co s2 3x)3dx
f ,1 + cos6jcx* , 1 f /4 , , 3= J ( ----- ----- ) dx = — J (l + 3co s6 x -f3 eos ójc + cos 6x)dx
140 Eduardo Espinoza Ramo'.
1347
1348
1349
_ 1 ,5x sen 6a sen 12 a sen 6.v sen3 6 v= 8(T + ~ + ~ T - + ^ -------- Ì8~ , + C
_ 5a | senÓA sen 12a sen3 6a 16 12 64 144
Idx
xDesarrollo
sen4 x
/ s è n ^ I = J CS° 4 XdX = | CS° 2 JCCSC2 xdx = | (1 + <****)cscZ xdx2
- J
3
(csc2 x + ctg2x.csc2 x)dx = - c t e x - - ~ — + c3
Jdx
xDesarrollo
cos6 X
í ---- — = f sec6 xdx = f sec4 a. sec2 xdxJ COS° X J J
= J*(l + tg2 a )2 sec2 xdx = J(1 + tg x) sec xd x = I (1 + 2 tg2 x + tg4 a )see2 xdx
-JJ
cos2 A ,---- r— dxsen x
(sec- x + 2 tg2 a sec“ x+ tg4 a. see2 x)dx = tg x + — tg3 x + ^ ' A + c3 5 i
Desarrollo
Integral Indefinida 141
1350
1351
■Jo 7 4 2 C tg3 X C tg5 X(ctg A.CSC*A + Ctg A. CSC x)dx = ----- --------------- + C
sen2 a cos4 xIDesarrollo
f__*__= f” = f(-L- + , 1 y )dXJ sen2 a. eos4 a J sen2 a eos4 a J eos a sen a. eos a
= J(sec4 a + 4 csc2 2x)dx = J*[(1 + tg2 a) sec2 a + 4 csc2 2x)]dx
= tgx + —^ - 2 c t g 2 x + c
Jdx
sen5 a eos3 xDesarrollo
«6 v rf__ ÉL__= í___ csc6/ = f CSCV ^J sen5 acos3 a J csc6 A.sen5 acos a J csca.cos a
í í-l+ ctg f i - dx = [tg a sec2 a(1 + 3c tg2 a + 3c tg4 x + c tg6 x)dx J C tg A. COS A J
= J(tgA.sec2 A + 3 ) ^ - ^ + 3tg 3x sec2 A + tg 5 x.sec2 x)dxtgA
1352 I
t2 x 3 1= + 3 ln(tg A) - — — ■- — — -+ c
2 2tg a 4tg a
dxX 3 Xsen -.eos -2 2
142 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
2 y*\ax , ü + c t2‘ í ,2f dx f csc 2(2 )dx |.( l + c tg 2( |) )d *
s e n c o s 3 ^ J csc2A .s e n ( |) .c o s 3(J ) J c tg (-).cos2(*)¿ ¿ 2 2 2 2 2
2 •*f x x y r see —= tg ( - )s e c 2(-)( l + c tg 2-)í/* = ( tg - .se c 2- + ------ ^)dx
J ¿ 2 2 J 2 2 *tg2
2 Xsee —, , x x x o= I (s e c -- .tg - .s e c - + ------ ±-)dx
2 2 2 . a2
■/<
= sec2 J + 21n |tg ^ - |+ c = — — + 21n | t g - |+ c 2 2 2 x 2eos —
2,.sen(* + —)
1353 ---------- 1 -d xJ sen*.eos*
Desarrollo
.sen(* + —) »sen*, eos — + sen — .eos*»SCIHX1- - ; »sen *. eos — f- sen —. eos * pr .f ----------4_rfi= r----------- 4— 4— dx = V2
J sen*.cos* J sen*.cos* 2 J
_ V2 f , l l w V2 f- “r - I v--------1-------)dx = —— I (sec* + csc*)J*
2 J eos* .ve/!* 2 J
jen* + eos *---------------dxsenx. eos*
Integral Indefinida 143
* l- c o s * = l - ^ o s* _ _ lj-eos* _ —l------ £2£jL = CSc ^ - c t g *2 Vl + cos* V i-e o s2 * senjc s¿r‘ A‘ sen*
A 7Tanálogamente In | see * + tg * |= ln | tg(— + —) |
1354 Idx
xDesarrollo
sen5 *
f dx — ~ íese5 xdx= f (l + c tg2 *) ese3 * dx J sen * J J
= fcsc3 *dx + J c t g 2 *.cse3 *d* —(l)
integrando se tiene:
J* ese3 * dx = [In | esc * - c tg * | - c tg *. esc *]
f i 1 , 1 eos * , 1 r, . 1 — eos * . ,ese3 xdx = — [ l n ---------------- 1 - c tg *csc *J = — [ln | ------------ 1 - c tg *csc*]
J 2 sen * sen * 2 sen *
= —[ln | | - c tg*.csc*] = ^-fln | tg ^ | -c tg*.csc*] ...(2)2 Vl + cos* 2 2
integrando por partes J e tg2 *.csc3 * dx
du = -e sc “ xdx u = c tg * —■> i. 3 . , CSC Xdv = csc x.c tg xdx v = ----------
f , , , C tgxcsc3* 1 f 5 ,j c tg" *.csc xdx = -----SL-^---------3j CSC X
144 Eduardo Espinoza Ramos
1355
reemplazando (3), (2) en (1)
f dx f 5 I . , x . 1 c tg x csc3* 1 f s ,I , - I CSC dx = - ln jtg —I— c tg x c s c x ----- --------------- csc' xdx
J sen x J 2 2 2 3 3 J
i
5 3 . jc 3 eos x 1 eos x= I csc xdx = — ln | tg — — —---- ------ ----- — he‘ sen4 x8 2 8 sen2 x 4 r™ 4
1sec5 4 xdx
Desarrollo
Jse c 5 4xdx = J*(l + tg2 4x)sec3 4xdx = Jsec3 4xdx + J tg 2 4xsec3 4xdx ... (1)
integrando por partes: J s e c 3 4xdx = ^[sec4x. tg 4x + ln | sec4x + tg 4x |]
integrando por partes: J tg2 x. sec3 4x dx = — —' ^ C - i J s e c 5 4xdx
reemplazando en (1) se tiene:
J sec5 4 xdx = J sec3 4xdx + J tg2 4xsec3 4 xdx
sec4xtg4jc 1 tg4x.sec3 4x 1 f , ,= ---------------+ in sec4jc + tg4x + —------------------- sec5 4xdx8 8 12 3 j
— fsec54x<¿t = - ln |s e c 4jc+tg4jc|H—sen4x + _ sen4x 3 J 8 8 eos 4x 12eos 4*
fsec54 x ^ = - lln |s e c 4 A + 4 x |+ ^ + + e J 32 12 16
Integral Indefinida 145
1356
1357
1358
1359
J tg2 5 xdx
Desarrollo
tg¿ 5jc dx = | (secz 5x - 1 )dx = — - x + c
IDesarrollo
j c i g 3 xdx = j (csc2 x - l)c tg xdx = J (c tg x ese2 x - c tgx)dx
c tg3 xdx
c tg 2 x , . .----------- ln sen x +c
í ctg4 xdx
Desarrollo
J e tg4 xdx = J (c sc2 x - l)c tg2 xdx - J íc sc 2 x c tg 2 j e -c s c 2 x + Y)dx
c tg ’ x---------+ ctgjc + jc + c
í (tg - + tg - ) d x
Desarrollo
Jtg3^dx = J(sec2 -l)tgjdx =- jtg2^ + 3 1 n |co s^ | ... (1)
J tg4 = J (sec2 ^ - 1) tg2 ~~dx ~ J (sec2 ~ tg2 - sec2 ~ +1 )dx ... (2)3 3
146 Eduardo Espinoza Ramos
1360
1361
1362
- tg3 — — 3 tg — + X + C 3 3
remplazando de (1) y (2) en la integral:
C, 3 x 4 x . 3 2 x 3 x . x , , , X.J (tg 3 +tg - ) dx = - t g - + t g —- 3 tg —+ 31n ¡eos—|+ x + c
Jx sen2 x 2dx
Desarrollo
f 2 2 , f 1 - cos 2x2 1 f , 2 x 2 sen 2x2I xsen x dx= \ x ------------- dx = — | ( x - x c o s 2 x )dx = -----J J 2 2 J 4
1
- + c
eos2 x ,---- T~“xsen x
Desarrollo
f eos2 x f 2 2 , c tg3 *I ----:—dx= Ic tg x.csc xdx = ------ — + cJ sen x J 3
J s e n 5 x.lj eos xeos x dx
Desarrollo
j* sen5 x.yjc os x d x = j sen4 x.cos3 x sen x dx = j* (1 -eos2 x)2 eos3 x.senxdx
= J*(l - 2eos2 x + eos4 x)eos3 x.sen xdx
I1 7 13
(eos3 x sen x - 2 eos 3 x. sen x + eos3 x. sen x)dx
Integral Indefinida 147
1363 í
16
3 t 3 t 3 eosx3 x: — eos3 x + —eos3 x -----------------1-c
4 5 16
= - —Veos4 x + --v eo s '% ——Veos16 x + < 4 5 16
dx
Vsen x.cos3 xDesarrollo
j* dx _ f ______ dx______ _ j*J V ^ , c o s 3x J cosxVsenZcosx J -
secxdx
1364
V sen x. eos3 x “ J eos x\/sen x. eos x j Vsenx.cosx
= f sef x d x . . . . ~ f sec2x f sec^dx ^ 2 + c J seexVsenx.cosx J Vsen x. see2 x.cosx ■» VlSx
f dx
•» V tg iDesarrollo
« 9 2 j 2zdzSea z - t g x => x = arctg z , dx = ----- ^
1 + z
J v/ íg l J z l + Z J z +1
de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:
148 Eduardo Espinoza Ramos
1365
1366
reemplazando (2) en (1) se tiene:
f — o f di 1 . i Z~ + y¡2z +1 | y¡2 z-Jl i----J V é í " J ? 7 I : W ? ' T - V S T T ^ T “ '“ 8 ? ^ d“ “^ = ^
© INTEGRALES DE LAS FORMAS.-
j* sen mx. cosnx d x , J sen mx. sen nxdx , J eos mx.eos nxdx
en estos casos es emplean las fórmulas siguientes:
© sen(rax).cos(nx) = ^-[sen(w + rt)x + sen(/w-n)x]
© sen(mx). sen(nx) = i[cos(w - n )x - eos(m + n)x]
© c o s ( w x ) . c o s ( h x ) = — [cos(m - n)x + eos (m + n)x]
Hallar las integrales:
J sen 3x. eos 5 xdx
Desarrollo
Jsen3x.cos5xdx - J* - [sen 8x + sen(-2x)]dx = ^ J (sen 8x - sen 2x)dx
icos8x eos2x
— —— + --------- + c16 4
senl0x.senl5xdx
Desarrollo
sen 5x sen 25xJ sen 1 Ox. sen 15x dx = ~ j* (eos 5* - eos 25x)dx =10 50 ~ + C
Integral Indefinida 149
1367
1368
1369
1370
1371
feos —.eos—J 2 3
dx
Desarrollo
f x x j l f / x 5 1 x 6 5I eos—eos—dx = — I (eos— + cos—x)dx = — (6sen — + — sen—x) J 2 3 2 J 6 6 2 6 5 6
+ c
x 3 5x= 3sen —+ -se n — + c
6 5 6
ix 2.x
sen—.eos—- dx3 3
Desarrollo
f x 2x , 1 r, , .I sen —. cos — dx = — I [ sen x + sen(— )jdx J 3 3 2 J 3
1 x, cosx 3 x= — (-co sx + 3cos— ) + c -----------v —eos— + c
2 3 2 2 3
í eos(ax + b).cos(ax - b)dx
Desarrollo
* . , xcos2b sen2oxcos(ax + b).cos(ax- b)dx = — I (eos2b + eos2ax)dx = ■— - — + — ------+ c
~ 2 4 aJ cos(ax + b).cos(ax-b)dx “ ^ J
sen w/.senívvr + \¡f )dtíDesarrollo
f 1 f s , tcosw sen(2wt + i¡/)I sen wt.sen(wt+\¡f)dt = - I (cos(- i//) - cos(2w/ +y/)dt = — ------------- — ------+ c
4 w
í cosx. eos" 3 xdx
Desarrollo
150 Eduardo Espinoza Ramos
1372
2 1 + cos 6xCOS J t = -------------------
f,™ „ 2 -, , f 1 + COSÓJC , 1 fJ eos x.cos i xd x - J eos x.----- -----dx = — I (eos x + eos x.eos 6x)dx
4 / (eos * + - (eos 5a + eos lx))dx = + ----5a + _ n7_ + c2 2 20 28í sen x. sen 2x. sen 3x dx
Desarrolio
sen 2x. sen 3* = — (eos x — eos 5a)2
j*sen x. sen 2x. sen 3* dx = — J* (sen x. eos x - sen x. eos 5x)dx
= i f(sen2*-eos4* + eos6*)í¿c + + c4 J 8 16 24
sen 6x sen 4x eos 2 a- + c24 16 8
© INTEGRALES DE LA FORMA.-
/ /?(senx,cosx)<ÍA donde R es una función racional.
© Valiéndose de la sustitución.-
tg ^ = f , donde s e n x ^ - ^ - , cosa = ^—t— , dx = -2dt1 + t2 ' 1 + t2 ' 1 + t2
La integral se reduce a integrales de funciones racionales de la nueva variable.
Integral Indefinida 151
1373
© Si se verifica la identidad para reducir la integral a la forma racional se puede emplear la sustitución tg x = t.
Hallar las integrales:
dx13 + 5 eos x
Desarrollo
2 dt 1 - rdx = ------ r . eos X -
1+ r 1+t2
2 dt 2 + tg xí_ —— = f_ l± £ Í__ , f * = i in |l í lJ 3 + 5 cosa J 5(1- í ) J 4 - / ' 4 2 - t
3 + -------- z—
+c = — In I- - - — l+c4 2- H i
1 + í2
xdonde t = tg —2
1374 í ----- — -----J sen a + eos a
Desarrollo
1375
132
1376
1377
1378
Eduardo Espinoza Ramos
J 1 + COS X
Desarrollo2 dt
f a - — !— wx=x- fJ 1 + eosx J 1 + eos X J 1 + eos X J 1 - t 2 J
1 + - —1 + r
= x - j d t = x -
f seJ 1-s
-t + c = x-tg — + c 2
senx- sen x
Desarrollo
* sen x(l + senx) fsen x + sen2x2 -dx= \- -sen x J eos2 x
f _ s e n jc _ ^ = Tsen J 1-senx J i
= J*(tgxseex+tg2 x)dx = seex+tgx — x + c
J8 - 4 sen x + 7 eos x
f----- -------- = íJ 8 -4 s e n x + 7eosx J
Desarrollo
2 dt 1 + t2
8í _ + 7 _ It- = 2 Í
dtt - 8 í + 15
1 + í2 1 + í2_o f dt , 11 — 4 — 1 , , , / - 5 , , , tg ? 5■ 2J ¡ T l i T T I = ln 17 ^ 7 1+c = ln 1 1+ í = ln 14 -
18 2 ~
+c
I dxcosx + 2senx + 3
Desarrollo
Integral Indefinida 153
2 dtdtf dx f 1 + r ... 2 f dt f ______dt_
J cosx + 2senx+ 3 J t2 4t j 2 í 2 +4í + 4 Jr + 2,
I
1------- j + -----7 + 31+ r 1+ r
———— = arctg(í +1) + c = arctg(tg-f +1) + c (í + 1) +1 2
+ 2í + 2
f3 sen x + 2cosx ,?79 I ------------------- dx
J 2senx + 3cosxDesarrollo
3 sen x + 2 eos x = a(2 sen x + 3 eos x) + B(2 sen x + 3 eos x)
3 sen x + 2 eos x = (2a - 3Bx)sen x + (3a + 2B)cos x
2a-3 .fi = 3] 12 _ 5> =£ a = ----- , fi = ------
3a + 2fi = 2j 13 13
j*3senx + 2cosx ^ 12 f 5 f(2 sen x + 3cosx)í/xJ 2senx + 3cosx 13 J 13 J 2senx + 3cosx
= — x —— ln ! 2senx + 3cosx I +c 13 13
380 f 1 + tg.-.dx J 1 -tg xDesarrollo
j dt Sea tg x = t => dx =i + r
f i t a ñ * . f -±.% f j ±J 1-tgx J 1-í 1+/2 J 1-/ J 1 + í2IÉ L =_in(í_i) + Iin(í2+l) + c 1 + í" 2= - ln | tg x -11 + — ln | tg2 x +1 ¡ +c = - In | see2 x | -In | tg x -11 +c
2 2
154 Eduardo Espinoza Ramos
1381 /dx
1 + 3cos2 xDesarrollo
1382
f dx f see' xdx f sec2 xdx 1 tgxJ 1 +3cos2 x J see2 x + 3 J tg2 x + 4 ~ 2 drag(~^T) +(
¡
1383
3sen2 x + 5cos2 xDesarrollo
Dividiendo el numerador y denominador por eos2 a .
f dx f sec2 xdx 1 V3tgxJ 3cos2 x + 5cos2 a J 3tg2 a + 5 ar° tg he
/dx
sen* x + 3sen x co sx -co s2 x
Desarrollo
Al igual que el ejercicio anterior dividir por eos2 a
f ___________dx____________ f sec2 xdxJ sen' x -3 s e n x c o s x -c o s 2 x J tg2 x + 3 tg A -l
r 2 * „ 3 VÍ3f sec ' x d x T sec2 xdx l lSx+~——> * v f ■ « * + ! - ” tg I+ ^ + ^ p l+c
_ 1 2 tgx + 3 -V Í3 ,- ~ 7= ln I — ------------------ 7= +C
v 13 2 tgx + 3 + Vl3
\
Integral Indefinida 155
1384 ídx
sen2 x - 5 sen xcos xDesarrollo
Al igual que los casos anteriores.
dx f sec2 xdx f sec2 xdxI* dx f sec xdx fJ sen2 x — 5senx cosx J tg2 x - 5 tg x J ,sen2 j t - 5senxcosji- Jtg2A-5tgA J - ( - ) 2
_ 5 _ 51 tg t j i 1 . tg x —5 ,
= —In |------- i r I +c = —ín | ------ !+c5 5 5 5 tg xtg a — + - a
5 2 2
. sen a1385 | -------------- -d x
(1-cos a )J;Desarrollo
Sea u = 1 - eos x => du = sen x dx
f sen a dx _ f du ____ 1_ _______J (1-c o s a )3 ~J m3 ~ 2u2 * C~ 2(1 - c<
j + c eos a)
iri sen 2a ,
1386 | --------- «— dxl + sen x
f sen 2xdx _ f 2senx.J 1 + sen2 a J 1 + si
Desarrollo
COSA dxsen2 a
Sea u = l + sen2 a => du = 2 sen x. eos x dx
f sen2A<¿* f du , , . , ,, 2 i ,I — = I — = In I u j +c = ln 11 + sen a | +cJ l + sen a J u
1 s,) Eduardo Espinoza Ramos
1388
1389
J;1387 f — C° S2* dx J cos x + sen x
IDesarrollo
eos 2 xdx
cos4 x + sen4 x + 2x sen2 x cos2 x - 2 sen2 x cos2 x
cos 2x dx f cos 2xdx 1 , ,V2+sen2A |
sen2x
f __________ cos 2xdx__________ f cos 2xdx 1 ^2 +J (cos2x+sen2x)2 -2sen2xcos2x J 2-sen 2 2x 2^2 V2 -
f —J sen x -
+c
cos xdx- 6 sen x + 5
Desarrollo
I*_______cos xdx______ f cos xdx 1J sen2 x - 6senx + 9 - 4 J (se n x -3 )2 - 4 ~ 4 n 'sen jc - 3 + 2
1, i senx - 3 - 2 ,+c
_ 1 , sen-v- 5 , 1 , , 5- s e n x ,7 ln I--------- -1 +c = — In ----------- +c4 sen x -1 4 1 -sen x
l a - -dx
J (2 - sen x)(3 - sen x)
Desarrollo
Sea z = sen x de donde se tiene: ------------ í________ = A B(2 - sen x)(3 - sen x) 2 - z 3 - z
1 — - z) + B(2 - z) => 1 = -(A + B) + 3A + 2B, de donde se tiene:
A - B = 0 3A + 2B = 1 => A = 1, B = -1
2 dz 2 dzí ----------- —-----------= f( ------í-------------\ - f 1 + z2 f 1 + z2J (2-senx)(3-senx) j 2-se n x 3 -sen x J 2z J 2z
1 + z2 1 + z2
Integral Indefinida 157
2 , « f " 1 1 3t« f * 1 r arctg " (— =¡=—) — j= arctg(----- -=—) + c
3z2 - 2 z + 3 - £ ' S V2 2V l
r i = ¡J l + s1390 , ij^senx + c o s x ^
sen x — eos xDesarrollo
Efectuando la división de: 1 - sen x + eos x entre 1 + sen x - eos x
1 - sen x + eos X- = - l + -1 + sen x - eos x 1 + sen x -co sx
2 dz1 + z2f 1-senx+cosx f , 2 i 0 f------------------ dx= (-1 + -------------------)dx = - x + 2 I
J 1 + senx-cosx J 1+senx-cosx J1 + Z’ 1 + Z"
= —x +4 f ■----- j -~—------- 7 = -x + 4 í ----- —------------- = -x + 2 í - ^ 1J 1+z + 2z - l+ z " J 1+z"+ 2z - l + z" J z " +
= -x + 2 í ( - ---- — )dz = -x + 21n | —— |+c = - x + 21n |J z z +1 z+\
+ z
X
tg 2 ,---- ±— \+cx ,
lg2
4.10. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES HIPERBOLICAS.-
La integración de las funciones hiperbólicas es completamente análoga a la integración de las funciones trigonométricas. Se debe tener presente las fórmulas siguientes:
(T ) cosh2 x -s e n h 2 x = 1 cosh" x = —(cosh(2x) + l)
( 3) senh2 x = * (cosh(2x ) - l ) (T ) senhx.coshx = -^senh(2x)
158 Eduardo Espinoza Ramos
1391
1392
1393
1394
Hallar las integrales.
í senh3 xdx
Desarrollo
Jsen h 3 xdx ~ J sen h 2 x.senh xdx = J (co sh ' x -l)se n h xdx
= í (cosh2 x.senh x - senh x)dx = C0-- - cosh x + c
Jcosh4 xdx
Desarrollo
J cosh4 xdx = J [-^(cosh(2x) + l)]2dx = ^ J (cosh2(2x) + 2cosh(2x) + Y)dx
- (cosh(4x) +1 )dx + senh(2x) + x] + c
senh(4x) 3x senh(2x)-------------i------1------- hC32 8 4
senh3 x.cosh xdx
Desarrollo
senh3 x.cosh xdx = SCn X + c
senh2 x.cosh2 xdx
Desarrollo
Integral Indefinida 159
1395
1396
1397
| senh2 x.cosh2 x,dx = (cosh(2x) - 1)^ (cosh(2x) + \)dx = (cosh2 (2x) - 1 )dx
= i[J(^ (co sh (4 x ) + l)-l]d x
I
cosh(4x) 1, , senh 4x x—— ¿— )dx = -------------- + c2 2 32 8
dxsh2 x
Desarrollosenh x. cosh2 x
f _____—------- = f sec h dx = í 1 + tgh...- dx = í (ese hx + tgh x.sec hx)dxJ senh x. cosh2 x J senhx J senhx J
x x= In I tgh(-) I + sec hx + c = ln | tgh(—) | + ---- — + c
2 2 coshx
1dx
>sh2 xDesarrollo
senh2 x.cosh2 x
í ____------------- = f — — = 4 íese h2 2xdx = —2c tgh 2x + cJ senh2 x.cosh2 x J senh2 2x J
1tgh3 xdx
Desarrollo
J tgh3 xdx = J tgh2 x. tgh xdx = J(sec /)2x +1) tgh x dx
r , , i , * tgh2 x= J (sec h -. tgh x + tgh x)dx = ln | cosh x | + —- — + c
1398 le tgh-* xdx
Desarrollo
160 Eduardo Espinoza Ramos
Je tgh4 xdx = J (csc/z2x + l)ctgh2 xdx = J (ese/i2x.c tgh2 x +ese/z2x + l)dx
ctg h ’ x- c tgh x + x + c
1399 I
3
dxsenh2 x + cosh2 x
Desarrollo
1400
f ¡ 4J senh x + cosh x J
I
see h2 xdxsenh" x + cosh“ x J tgh x + 1
dx2senhx + 3coshx
Desarrollo
= arctg(tgh x) + c
f dx _ j* dx _ f 2 dx _ 2 f
J 2senhx + 3coshx J 2ex -2e~x 3ex +3e~x J 5ex +e~x J 5e2x+ \- + ------------
1401 J
2 f S e x 2 , r- Xs= - p —r— —dx = —¡= arctg(V 5e ) + c
V5 J 5e +1 75
dxtg h x - 1
f— =íJ tghx - 1 J
Desarrollo
coshxsenh x - cosh x
-dx
(senh x +cosh x ) , entonces:senh x -c o sh x
f — —— = f ---------------------------------------------------- C X-dx = - f cosh(senh x + cosh x)dxj tg h x - 1 J sen h x -co sh x J
Integral Indefinida 161
= - |rsenhx.coshx + i(co sh 2 x + l)]í/x =J 2 2
senh2 x senh2x x----------------- hC
1402 ísenh xdx \j cosh 2x
Desarrollo
senh xdx _ j* senh xdx _ 1 j* 2 senh xdx
''/cosh 2x J y]2cosh2 x +1 2 J yj(y¡2 coshx)2 + 1
: —\= ln | \¡2 cosh x + V2 cosh ' x + 1 v 2
+e
ln | \Í2 cosh x + Vcosh 2x | +c
4.11. EM PL EO D E SU STIT U C IO N T R IG O N O M E T R IC A S E H IPE R B O L IC A S PA R A EL C A LC U L O D E IN T E Q R A L E S DE LA FO RM A.-
R(x, \lax2 +bx + c)dx - (1)
Donde R es una función racional, transformando el trinomio de segundo grado
ax~ +bx + c , en una suma o resta de cuadrados, reducimos la integral (1) o uno de los integrales de las formas siguientes:
© J*(z,V© )R (z ,l
m —z )dz © J/?(z,Vm + ; )dz
z 2 - m2 )dz
Estas integrales se resuelven valiéndose de las sustituciones:
(T ) z = m sen t o /. = m tgh t ( 2 ^ z = m tg t o z = m senh t
( 3) z = m sec t o z = m cosh t
162 Eduardo Espinoza Ramos
1403
1404
1405
Hallar las integrales
3 - 2 x - x 2dx
Desarrollo
3 - 2 x - x 2 = 4 - ( x + l)2
|V 3 - 2 x - x 2dx = J ^ 2 2 ~ ( x + \ )2dx = ^ ( x + \ ) ^ 3 - 2 x - x 2 + 4 arctgx+1---------- hC
2 + x 2dx
Desarrollo
J y¡2 + x 2dx = y¡2 + x 2 + 2 ln | x + 2 + x 2 \ +c
Ix2 ,dx
Desarrollo
Sea x = 3 tg t =» dx = 3sec2 tdt
f x 2dx f 9 tg 2r.3sec2íí/r f o , .I = — . =— = 91 tg" t .sec td t , integrando por partes:
JV 9 + X2 J V9 + 9tg 2t J
9= —[tg /.secr-ln |sec f+ tgr |] + c
f x 'dx f tg" f.sec" tdt 9 r . .I —■■■ = 9 I ----= — [tg r.sec í-ln | sec/ + tg? ||J a/9 + x2 J secí 2
Integral Indefinida 163
1406 IV x2 - 2 x + 2dx
Desarrollo
J ^ /x 2 - 2 x + 2dx = J* >/(x — 1) “ + 1 í /x
—— - a / a 2 - 2 x + 2 + — l n |( x - l ) W * 2 - 2 x + 2 | + c 2 2
1407 |V x -4 d x
Desarrollo
jV x 2 - 4 d x = -^[xy¡x2 - 4 -41n | x + Vx2 - 4 1] =-^Vx2 - 4 -21n | x + 7 x 2 - 4 |+c
1408 | V x2 + x dx
Desarrollo
J V x 2 + x d x = j J x 2+x + 7-^dx = f J (x + i ) 2 - i -d x4 4 JV 2 4
= — ((x + — )%/x2 + x - - ln [ x + - + Vx2 + x])2 2 4 2
_ 2 x + 2 ^ x 2 + x - — ln 12x +1 + 2-\/*2 + * I +c 4 8
1409 | V x - 6x - 7 dx
Desarrollo
164 Eduardo Espinoza Ramos
1410
= X^ 'Jx2 —6x — l -81n | x - 3 + j x 2 -6.x —7 | +c
J<3
„2(x +x + \)2dx
Desarrollo
j ( x 2 + x + \)2 dx = J V 2 +x+l)\ jx2 +x+ldx = J*KX + "^ + —]^(x + ~)2 +~^dx
Sea x + — = ^ - t g G => dx = ^ - s e c 2 OdO2 2 2
J*(x2 + x + l )2 dx - J[(jc + —)“ + —]^(x + —)2 + ~ d x
= |[T tg 20 + | ] J | t g 20 + s e c 20 d 0
— fsee20.— secO.— see2 OdO 4 ) 2 2
9_16.
- fsee50d 0 = — | (see3 0 + see3 0.tg2 0)d0 ... (1)> J 16 J
integrando por partes I see3 0 dO , es decir:
J1 1
see OdO = — [tg0.see0 +ln | see# + tg0 |] —(2)
integrando por partes I see3 0. tg2 9 dOJS
Integral Indefinida 165
1411
u = tg 0
dv = see3 O.lgO dO
du = see2 OdO
see3 0
í,3 a a ¿a - te, o sec - — J see5 0 dOsee3 0 .tg2 0 dO = tg 0.-
reemplazando (3), (2) en (1):
tgfl.see3 0 ] + c16 4 2
27= — [tg 9 .se e g (-+ SeC ^~) + ~ ln I see0 + tg0 |] + c 64 2 3 2
(3)
= - L (2x + l)(8x2 + 8* + 17 )V ? + x + l + In 12x +1 + 2\íx2 + x -f 1 1 +c64 1"°
1dx
( x - l ) J x 2 - 3 x + 2Desarrollo
x2 - 3 x + 2 = ( x - - ) 2 ; see 0 = 2x - 32 4
— sec0 . tg0=dx' , x - 1 2 2
sec0 + \ 3 see 02 2
166Eduardo Espinoza Ramos
f d x f ___________ d x _____________ i*
(x — l)\jx2 — 3x + 2 » , I ~ 3 2 T J (x _dx
(x l)y[x 3x+2 - L J ( x - l ) y j x2 - 3 x + 2V 2 4
de_ f 2sec0 tg O CsecOdO 1-cosfl _ x - 2
* sec0 + l I see2 0 - 1 J l + sec0 l + cos0 ^ y /x-1 +<?
1412 h2
dx
2 see2 O dO
J 3
(x2 - 2 x + 5)i
Desarrollo
x 2 ~ 2 x + 5 = ( x - 1 ) 2 +4
j ~ ~ F = J ~ — J = j(x - 2 x + 5)2 {{x -1 )2 +A)2 (4tg‘ 0 + 4)2
donde x - l = 2 t g 0 ; dx = 2sec2 0 d 6
_ f 2 s ec2OdO Ç2sec20 . „ l f iJ Q =7 I cos0 d 0 = - s e n 0 + c(2sec20)2 U s e C G 4 J 4
x - 1= + c
1413 f dx
(l + X2) y / l - x 2
2x + 5
Desarrollo
Integral Indefinida 167
í dd - Ir see2 6 dd 1 1 rV 2sec2 OdO
J 2sen20 + cos20 J* 2 tg20 + l V2 J1 (y¡2tg0)2 +1
1 i------ 1 V 2x= -j=arctg(yj2tg0) + c = -j= a r c tg ( - j= = ) + c-x2
1414 dx
\ l - x 2)y¡l + x2I . , , , -Desarrollo
tg 0 = x => dx = sec2 6 d0
j" dx j* sec2 0 dO _ j* sec20 d 0
J ( l - x 2)yjl + x2 J ( l - t g 20)y¡\ + tg20 J C l-tg2ejseç0
fsec0d0 f cos0dO _ j* cosOdO J l - t g 20 J eos20 - s e n 20 J 1 — 2s-tg 0 J cos 0 - s e n 0 J l -2 s e n 0
= ± [ JV2 J 1-1 f yfícOsO d0 1 , I yj\ + x 2 + y[2x‘,In , -------- +c
-(V2sen0)2 2V2 sj\ + x 2 - j l x
4.12. IN T EG R A C IO N DE D IV E R SA S FU N C IO N E S T R A SC EN D E TES.-
Hallar las integrales.-
1415 j" ( je2 + l)2e2xdx
Des:; rrollo
it = (x2 +1)2 => du = 4x(x2 +1 )dxIntegrando por partes y haciendo 2.v, 2xj edv = e dx => v = ----
2
168 Eduardo Espinoza Ramos
J ( a 2 - l ) 2 e2xdx = (x2 +1 )2 - 2 J x(x + \)e2xdx
integrando j x(x2 +l)e2xdx por partes
haciendo:u = x(x2 +1) => du = (3x~ +1 )dx
e 2xdv = e2xdx => v = ----
J *(*2 + \)e2xdx = x(x2 j ~ ~ Y ~ ~ e2X(ÍX
integrando
haciendo
!3a +1 2x
2
3 a-2 + 1
dv = e2xdx
e dx por partes
du = 3 a dx
J2x
(1)
(2)
J 2 3 2 J xe2xdx
integrando I xelxdx =xe2x e2x
2 4
reemplazando (4) en (3):
F r 1e2xdx = ? ^ e 2x- - x e 2x+- e 2x
(3)
(4)
Integral Indefinida 169
1416
reemplazando en (2)
r p x p x p xI a ( a 2 + \)e2xdx = a ( a 2 + 1 )~ ------_ 6x + 5) = - ^ - ( 2 a 3 - 3 a 2 + 4 a -
reemplazando en (1) se tiene:
f(x 2 +\)2e2xdx = - — ( a 2 + 1 )2 ——— ( 2 a 3 - 3 a 2 + 4 a - —) + cJ 2 2 2
2x -j= -------- ( a 4 - 2 a 3 + 5 a 2 - 4 a + —) + c
2 2
I 2 c o s 2 ( 3 a ) c?a
Desarrollo
f 2 2 ^ » f 0 , 1 + COS 6 A 1 f , 2 2 s \ jJ a cos 3xdx = I x (----- - -----)dx = — J ( a + a cosox)ax
eos 6xdx)l , x 3 f= - ( — + A
2 3 J
integrando Ja2 eos6 a í /a se tiene: ■
f 2 - , a2sen6a TaI a eos 6a dx = --------------I —J 6 J 3
(1)
U = A
dv = c o s ( 6 a ) ¿ a = > v =
= 2 a í / a
s e n 6 x
sen 6 a J a =a 2 6 sen 6 a a
6
sen6x-H------COSÓA
6 18 2 1 6. ( 2)
reemplazando (2) en (1)
ío 2 „ , a 3 a 2 sen 6 a a . sen 6 a
a ‘ c o s 3 x d x = -------1------------------H--------C O SÓ A ----------------+ c6 1 2 3 6 4 3 2
1 , 3 a , a . s e n 6 A N( a + — sen 6 a + —eos 6 a ----- — -) + c
6 2 6 7 2
>/-> I in
170 Eduardo Espinoza Ramos
1417
1418
1419
ix sen x. eos 2xdx
Desarrollo
sen x eos 2x = ^ [sen 3 a + sen(-x)] = i (sen 3* - sen x)
J x sen x. eos 2xdx ~ x( sen 3 a - sen x)dx
u = x => du =dx
eos 3 adv = (sen3A -senx)dx => v = c o s a - -
J
1
a sen a . eos xdx = - [ a c o s a - — eos 3 a ] - s e n x + ££ÜÍL?. + C2 3 2 18
e2x sen2 xdx
Desarrollo
-dx = - | (elx - e2x eos 2x)dx
= i [ I V ' * - f e 2' eos 2*1*2 J J 4 8 8
e2x= —— (2 -sen 2a - e o s 2x) + c
O
j e x sen a . sen 3xdx
Desarrollo
sen a . sen 3 a = (eos 2a - eos 4a )
Integral Indefinida 171
1420
J ex sen a . sen 3 a dx = — Jex s e n a . s e n 3xdx = — I e x ( e o s 2 x - c o s 4 A ) d A - ( 1 )
Seau — ex => du = exdx
sen 2 adv = eos 2 a dx => v = -
ex sen 2 a C ex sen 2 a dxf , . , ex sen 2 a fI e eos 2xdx —----- ------- I
£ ^ £ + £ l COs 2A - - |^ C O S 2AdA2 4
j 4| e*eos2xdx = — ^2sen2a + eos2a) — = — (2sen2a + eos2a) . . .(2)
4 5 5
en forma análoga para: l e x eos 4 a dx = — ( 4 sen 4 a + eos 4x) ... ( 3 )
reemplazando (3), (2) en (1):
ex 2 sen 2 a + eos a 4 sen 4 a + eos 4 a
ex sen a . sen 3 a dx = — (------------------------------- 7Z >+ c2 5 17
Ae* eos xdx
Desarrollo
172 Eduardo Espinoza Ramos
r £Xintegrando J ex sen xdx = ~ ( sen x - c o s x ) ... (1)
. f * , u = x e x => du = (xex +ex )dxintegrando i x e s e n xd x , se tiene: <J [dv = senxdx => v = -c o sx
j x e x senxdx = - x e x cos x + J* e* eos x dx + j x e x eosxdx
ex r= -x ex eos x + — (cos x + sen x + I xex eos x dx) ... (2)
reemplazando (2), (1) en (a)
Ix &xex eos xdx = xexsenx - — (senx - eos x) + xex eos x -
—— (eos x + senx) - | xex eos x dxi
2 I xex eos x dx = xex (sen x + eos x) - ex sen x
J6
xex eos xdx = — [x(sen x + eos x) - sen x] + c
J1421 1 dxe2x+ex - 2
Desarrollo
f dx j* dx 1 fJ e 2x+ex - 2 J (ex +2)(ex - l ) ~ 3 J (eLX + ef —2 J ( e x + 2)(ex -1 ) 3 J (ex + 2 ex - l* * *
■4J (-------------- ----- )dx — —-ln(l + 2ex) H—— ln( 1 — e x) + c1 + 2e \~é~x 6 3
Integral Indefinida 173
1422
1423
= - — + - \n (ex + 2) + - ln (e jr- l ) + c 2 6 3
Idx
yje2x +ex +1Desarrollo
I* dx i* e~xdx f e 'dx _ j*
J y¡e2x +ex +1 J e~x\¡e2x +ex +1 J Je~2x +e~x + 1 J
e~xdxx\¡e2x +ex + { J yf, J / 1 , 3
2 4
■J-e x dx
= - ln | e + — + \]e 2x +e x + 1 1 +c 1 . 7 3 2(e-<+ - )2 + r
= —ln |
f x 2 l n ^J 1 —x
e* + 2 + 2\[e^x + e x +1
2ex
2x
| +c = x - ln | ex + 2 + 2\¡e2x +ex + 1 1 +c
dx
Desarrollo
Haciendo
. 1 + x , 2 dxu = ln ------ => du = -------1 - x
dv = x 2dx
1 — x
l 1' 1 — x 31 + x 2 f x3 x3 ,1 + x , 2 f , x---------- ----- - d x = — ln ----- — I (-x + ----1 -* 3 J l - x 3 1 - x 3 J l — j
-)dx
= £ _ i , i |i± £ | + ^ _ + i i n ¡ i - x2 l+c = i [ x 3 ln | | + ln 11 - x2 |] + <3 l - x J J 3 \ - x
174 Eduardo Espinoza Ramos
1424
1425
J ln2(x + Vi
Desarrollo
Haciendou = ln2(x + Vl + x2 ) => du =
dv = dx => v = x
2 ln(x + Vl + x2 )t¿x
V i+ *2
J ln 2(x + Vl + x2 )dx = x ln2 (x + V l ^ 5" ) - 2jxln(x +V1 + *“ )
V T ^dx ... (1)
l + x
integrando J: ln(x + Vl + x2 )x dx
Vl + JC2
haciendo
u = ln(jc + Vi + x2 ) dn =xdx
dx
Vl + x2
dv = -V i+ x 2
VT' - 2v = Vl + x
[ x \ n ( x + J ^ ) d x = J — í in{x + J — í ) _ :
J V1 + JC2
reemplazando (2) en (1):
... (2)
J ln 2(x +Vl + x2 )dx = xln 2(x + Vl + *2 ) -2 'J \ + x 2 ln(x + yj\ + x 2 ) - 2 x + c
íx arccos(5x - 2)dx
Desarrollo
Integral Indefinida 175
1426
Haciendo
u = arccos(5x - 2) => du = -5dx
V l- ( 5 x - 2 )2
dv = xdx => v = — 2
Ix-2 5
x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + ^5 j" x2dx
2 J V l- ( 5 x -2 )2... (1)
integrando íx 'dx
V l - ( 5 x - 2 )2tomando sen 0 = 5x - 2 => dx = cos^ d0
cos0 = y [ \ - ( 5 x - 2 ) 2 como sen9 = 5 x - 2sen 0 + 2
J y ¡ l - ( 5 x - 2 r J
= — [ ( - 125 J
(sen0 + - ) 2^ d 0 5 5
V 1- s e n 2 0
-e o s 20
* — f 125 J (sen 0 + 4 se n 0 + 4)d0
/i a 1 ,90 sen 20+ 4sen 0 + 4 )d 0 = — - ( — ------------ 4cos0) + c2 125 2 4
= -(— arccos(5x- 2 ) — X+ J l - ( 5 x - 2)2 )125 2 2
(2)
reemplazando (2) en ( 1).
í
í
, x~ , , „ 1 9arcsen(5x - 2)x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + — (---------------------
2 50 2
5x + 6V20jx-25x" — 3) + c
sen x. senh x dx
Desarrollo
176 Eduardo Espinoza Ramos
C f —6~X 1 f vF sen x. senh x dx = I sen*.---- ----- dx = — J (ex s e n x -e %e.nx)dx
_ 1 sen .v — eos x ( sen x -c o s ^~ 2 2 g 2
1 ex +e~x ex - e * .- — (---------- sen x ------------- eos x) + c2 2 2
= — (sen x. cosh x - eos x. senh x) + c2
4.13. EMPLEO DE LAS FÓRMULAS DE REDUCCION.
Deducir las fórmulas de reducción de las integrales
f dx 1 ________x_______ 2 « - 3 f dx
1427 " " J (x2 + a2 )n ~ a2 (2n - 2)(*2 + o2 T 1 (2« - 2)a2 J (x2 + a 2 T 1
n * 1 Hallar / 2 e / 3Desarrollo
f dx _ 1 fjc2^ 2 - ^ 2 . 1 , f *2+«2 ■ f/n “ J ( X 2 + a2 r a2 J (x2 + a2 )" a 2 J U 2 + fl2 )" J («2 + ** )"
/ =_L f ___^ ____" a2 J ( x 2 +a2 r l a2 )
* 2 ( lx . . . (1)
calcular la integral
x 2dx
1(*2 + a 2)"por partes
(x2 +a2)"
it — x => du = dx xdx
dv = (x2+a2)" 2(n-l)(jc2 + a2)'1-1
Integral Indefinida 177
1428
f x2í¿c _ x f dxJ (x2 +a2)n 2 (n - l ) ( x2 +a2)"~l + J 2 (n - \)(x2 +a2)n~l
reemplazando (2) en ( 1 )
dx_ 1 f dx + x 1 f” a2 J (x2 + a2 + 2a(n - l)(;t2 + a2 a2 J 2(n - l)(x2 + a 2
— > í > i- l) J(a 2 2a2( n - \ ) J (x2 +a2)n~' + 2a2( n - l ) ( x 2 +a2)n~l
L =f dx _ x 2 n -3 fJ (x2 + a2 )" 2a2 ( n - l ) ( x 2 + a 2)"-1 + 2a2(n-1) JI* dx _ x + 1 C dx J (x2 +a2)2 2a2 (x2 +a2) 2a2 J (x2 +a2)
dx
, 2— r + v a g i - ) +c2a (x +a ) 2a a
_ f dx x 3 f3 ~ J (x2 +a2Ÿ ~ 4a2(x2 +a2)2 + 4 ¿ ) ]
■ 1
dx
dx x 3 . x 1 x
(x2 +a2Ÿ 4 a2(x2 +a2)3 4 a2 2 a 2(x2 +a2) 2 a¡
„ - f sen" xdx = _ sen” x.cosx + n_J_ f sen„_2 ^ ^J n n J
Desarrollo
178 Eduardo Espinoza Ramos
« = sen'! l x du = ( n - 1) sen" 2 xcosxdxdv = senxdx v = -c o sx
xdx = -sen" x eo sx + ( n - l ) | sen" x.eos xdx— i» J S
= , coS, + , „ - WJ s , n - , 0 - s e » = ^ ]
J*sen" xdx = -sen"_l x.eosx+(n-l)Jsen"-2 xd x - (n-1)Jsen" xdx
n jsen " xdx = - s e n "-1 x.eosx + (n - l ) J s e n "~2 xdx
f „ , sen"~‘ xcosx n - 1 f n_2 ,/„ = I sen xd x = --------------------H--------I sen xdx
J n n J
f 4 , sen3 x.eosx 3 f 27d = I sen xdx = ------------------- I sen xdxJ 4 4 J
sen3 xcosx 3 , senxcosx 1------------------+ _ ( --------------------+ _ x ) + c4 4 2 2
sen3xeosx 3 3x------------------- sen xeos x + — + c
4 8 8
f í , sen4 xcos x 4 f ,= I sen xdx = ------------------ h— I sen xdx5 J 5 5 J
\isen4 x.eos x 4 / sen2 x.eos x 2 .-------------------- (------------------ + — I senxdx)
5 5 3 ~ 1
sen4 x. eos x 4 2 8---------------------- sen x .cosx----- -eosx + c5 15 15
Integral Indefinida 179
1429 f dx sen* n - 2 . „ ,» = I— 7T~ =- - 7T- - +- - - - - 7 n-2 » Hallar. /3, /4J eos x (n-l)cos x n -1(n-1) eos x
Desarrollo
xdx
dx
t
( n - 1) eos x
dx ~
(2)
I„= f —— - = f sen" xdx = í (1 + tg2 x ) see" 2 xd x J eos" x J J
= f — + f tg2 xsec"-2 xdx ... (1)J eos" x J
integrando por partes Jtg2 xsec"~2 xd x
{du = sec2 x d x
K = t g X
=> .^ n -2 vdv = see x .lg xd x v = —-- n-2f. 2 n-2 , tgx.secn_l x f see" JI tg x.sec xdx = —--------------- I --------J n - 2 J n -
reemplazando (2) en (1) se tiene:í | = f s e c " , * » f — ä x + t£x.secr~l x _J eos" x J J eos" x n-2 n -f see" xdx + —-— i see" xdx = -----—— — + Í
J n - 2 J ( n - 2)cos x J eos xn - 1 f . . senx— — see" xdx = ----------------— + — —n-2J (n-2)eos" x J eosf „ , senx n-2 f d.I see xdx = -------------- — + ------ — -J (n-Dcos"- x n-1 j eos
180 Eduardo Espinoza Ramos
sen x n — 2j r dx íjvha ^ " — i" J eos" x (n - l)c o s" 1 x « - I
1430 l n = | xne~xdx = - x ne~x + n J xn~'e~xdx . Hallar I
In = J x"e Xdx , integrando por partes:
l n = j xne-xdx = - x ne-x + n j xn
Desarrollo
u = xn => du — nx"~]dx
dv = e~xdx => v = —e x
'e~xdx
7io = J xi0e~xdx = - x we~x +loJx9e~xdx = - x ,0e x +10(-x9e x + 9 j x 9e Xdx)
= - x i0e~x - I 0 x 9e~x +90 + j x 9e~xdx = -x '° -1 0 *9 -9 0 x 8 -720*7 + ... + C
4.14. IN T E G R A C IÓ N D E D IST IN T A S FU N C IO N E S.
1431 ídx
2x2 - 4 x + 9Desarrollo
f - 1 f dx - I f — í — = _ L a rc .8( ^ i ^ ) + íJ 2.x2 - 4x + 9 2 J v2 _ 2jc+9 2 J u _ 1)2+7 VÍ4 >/7
11432 I —r ~— dxx2 - 2.X + 2
Desarrollo
Integral Indefinida 181
1433
1434
= -^ln | x2 - 2.x+ 2 1 -4 a rc tg (x -l) + c
JXs dx
2 1X + X + -
Desarrollo
„3,
j [ ( * - l ) + V X + l { ))dxX * + X H— * x } + X H—
2 2
U - l ) 2 . i r _ 2x + l _ ^ + , r * 4 J jc2 + jc + I 4 J- +
2 1JC +JC + - 2
(* - ! ) 1 . , ■» 1 , 1 „= ---------- 1— In h r + jc + — h— arctg(2jr + l)... + c2 4 2 2
Jdx
5)Desarrollo
f dx f A Bx + C ^ . 1I ----- ------= (— + —5--------------)dx ; ----—
J x(x +5) J x x +5 jc(jc +5) x x +5
efectuando operaciones y simplificando
182 Eduardo Espinoza Ramos
1435
1436
I
1 In x 2 - \n(x2 + 5) 1 x2= - ( ----------- ----------------- -) + c = —In. —-+ c5 2 5 \ x 2 + 5
dx( x + 2 ) 2 ( x + 3 ) 2
Desarrollo
Sea u = x + 2 ; u + 1 = x + 3 => du = dx
f----r — j = f 2 du 2 = Mr+—[— — r — WuJ (x + 2) (x + 3)2 J u^(u + 1) J (« +1) u + u
1 1 i u i - , i m + 1 i 1 1- — 2 In I----- l+c = 21n I-------1-------------- + c
Í
U U + 1 W+l U U U + 1
, x + 3 , 1 1= 21n ------ --------------------+ rx+ 2 x+ 2 x+3
dx(x + l)2(x2+l)
Desarrollo
f dx _ f A B Cx + DJ u+i)2u2+i)~J ^T+u+d2+ x2 +\
I A B Cx + D- + --------r + -
(x + l)2(x2+ l) X + \ (x + l)2 x 2 + l
efectuando operaciones y simplificando
1 = (A + C)x3 +(A + B + 2C + D )x2 +(A +C+ 2D)x+ A +B + D
resolviendo el sistema
A + C = 0 A + B + 2C + D = 0 A + C + 2D = 0 A + B + D = 1
Integral Indefinida 183
se tiene: A = — , B = ~ —, C = ——, D = 02 2 2
f dx f A B Cx+£)--------^ 7-----= (------ + -------- t + —ó----- )dx
J ( x + l)(x ~ + l) J x + \ (x + l)~ x + l
= 4 f (—2 J x4+ - j _ - - £ _ ) í£c = ± ( ln (x + l)----- ’- - ^ l n U 2 + l)) + c
x + l (x+l) x2 +\ 2 x + l 2
1437
1 . , x + l , 1= —(ln l-7=r— I— - r ) +c
2 sjx2 + 1 X+l
ídx
(x2 + 2)2Desarrollo
SÍ2
x = \ Í2tg0 => dx = y¡2 see2 OdO
f dx i* a/2 sec2 d d d yfl f 2 n j n V2 |* l+ cos20I — ------ = I ------ -— = -— cos Odd = — I --------------------dOJ (x +2) J 4(tg20 + l)2 4 J 4 J 2
y ¡ 2 sen 0 cosí) \¡2 x xy¡2= -7r^e + ------ ;------) + c = - ¿ - ( arctg ( - r ) + —— ) +c8 4 8 V2 x + 2
184 Eduardo Espinoza Ramos
1438 ídx
x4 - 2x2 +1Desarrollo
I* dx _ j* dxJ (x4- 2x2+l) " J (x2 - l )2
Vx2 - 1
see 0 = x => dx = see 0. tg 0 d0f dx _ f dx _ Csec8tg8d8
J x3- 2 x 2 +\ J (x2 -1)2 J(sec20-1)2Csec8tg8d8 _ f s ecOdO _ j"eos20^ _ f lJ tg40 J tg30 J sen3 8 J
-se n 2 8 sen3 8
dd = J (ese3 8 -ese 8 )dd
= — [ln | ese8 — c tg8 \ -ctgé>csc0] - ln | csc0 - c t g d | +c
1[ln | ese8 — ctg8 | + c tg 0.csc0] + r
Integral Indefinida 185
Desarrollo
f xdx _ 1 rJ (JC2 — JC+1)3 2 J
n/ £2
„ 2 x - \ 1(— ----------- +(x2 - x + l)3 x2 - x + l)3
)dx
1 dx
integrando i f — f 2 J (x2 -
4(x2 — x + 1)2 2 J (jc2 — jc +1)3dx
(x~ - X + 1)
2 1 2 3completando cuadrados se tiene: x - x +1 = (x - —)“ + —
1x —tg# = — ; dx = ^ - s e c 2 8 d8
V3 73 22
dxV3
(1)
r dx 1 r dx f 2 sec~6 d e _ 73 I* see2 8 ddJ(x2-x + l)3 2 j [u_l)2 + 3]3 2J (3 20+3)3 4j22sec60
2 4 4 4 642 J (x - x + 1)
27 J 27 J 2, 1673 f
27
_ 4 73 f27 J
2 4
1673 f l + cos20
473,(l + 2cos20+cos‘ 28)dd = —— [0 + sen20 + — +27
8 sen 48]+c
186 Eduardo Espinoza Ramos
1440
4>/3r30 sen20cos20 4y¡3 36 ™ /4+c°s20- — +sen2 0+--------------- ]+c = ------ [— + sen2 0(------------ )] + c27 2 4 27 2 4
4■ — -[30 + sen0cos0(3+2cos20)] + c
27
2V3 2\Í3 Q Q 4>/3 . _ 2= ----- 0 h-------sen0 cos0 + -------sen0 cos0 cos 69 9 27
2 ,2 x - l . 2 jc —1 2 x - l ...= — -= arctg(— = - ) + — T------------------------------------------------+ ----- T----------r r ••• (2)
23^3 73 6(x -x + 1 ) 12(x - x + 1)
remplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
f á 1 2 2x - l 2 x - \ 2 x - \i t f - x + l ? - ~ 4 ( x 2- x + l)2 + 3 S 6(x2 -x + l) I2(x2 - x + 1)2
f xdx x — 2 2 x - \ 2 2 x - l—5-------- — = — ;-------— + — ------- — + z r ¡ z aicXB(.— ¡ r - ) + c
J ( x~-J
í
(x2 - x + l)3 6(jc2 — jc -H l)2 6(x2 - x + l)2 3^3 \¡3
(3 -4 x ) J (1 - 2yfx)2
Desarrollo
Sea z 2 = x => dx = 2z dz
,2f 3~4* 2 = f (3 4 z ,) 2z<fe = - f 8--— — & = - [ ( 2 - + 2- - - — -)¿zJ (1-2VI)2 J ( l-2z )2 J 4z —4z + l J (1 — 2z)~
, 2 o 1 (~3x-2xy[x + 2y[x - \ ) , _= -(Z - 2 z ----— ) = ------------------------------------------------------ 7=-rCl -2 z \ -2 s [ x
3x + 2xy[x 1-2 Vx x(3 + 2\[x)= ------------- -------- 1-------------p=- + C = --------------- j= — 1-1 + c
l - 2 \ [ x \ — 2\¡x 1 -2 Vx
Integral Indefinida 187
1442
- J a !
J
3 - 4 x , x(3 + 2 Vx) ,rfx = ---------- 7=— + k
(1 -2 Vx)2 l-2 v 'j
(n/ I + 1)2-ax
Desarrollo
f (V I+ i)2 . fx + 2 7 7 + i r 1 2 1 1 4 1------r— í/x= ------- — dx= (-T + - r + -r )dx = --------------------* --------- —J X3 J x3 J x2 5 x3 x 3xVx 2.v
1441 | - - T — dx
J ¿A
V x 2 + X + 1
Desarrollo
[ - = £ = = f = ln | x + — + V?+~v-MJ I, 1,2 3 2
+c( x + - r + -
2 4
1443 I — = ^ d xJJv'2 xDesarrollo
j* dx = j*l(2 x) 2 - ( 2 x ) 6]dx = \Í2x ~ ^ y [ (2 x f +í1 i
1444 f Jx
J ( V 7 + 7 I ) 2Desarrollo
Sea|x = z6 => dz = 3z2dz
I x = zJ => V ? = z2 :
188 Eduardo Espinoza Ramos
1445
r dz, f 3z2dz _ 3 r
j (7? + 7x)2 J (z2+ z ) 2 Jí dx - ^ + c
j ( s f x 2 + y f x ) 2 7 x + l
( 2 x + \ ) d x
s ¡ ( 4 x 2 - 2 x + \ f
dz
(z +1)2 Z + 1 yfx +1+ C
íDesarrollo
4 x 2 - 2 x + \ = 4(x - —)2 + — ; tgO = 4 4
2< * 4 > 4 , - 1V5 "2
d x = -^-sec2 9 d 6 ; 2x + l = -^ -(tg 0 + 73)
f ( 2 x + l ) d x _ f
j yj(4x2 - 2 x + l)3 J 3V3 3 - 73 J sec0----- s e r 9
= -4= I senQ+ \¡3cosQd6 =-^¡= Í(sen0 + y¡3cos6)d973 J 7 3 J
COS0
" 7 T+ sen 9 + c , efectuando la función trigonoméetrica tenemos:
Integral Indefinida 189
1446
4 x - l+ — ,................. = + c2 y ¡ 4 x 2 - 2 x + \ 2 s¡ 4 x 2 - 2 x + \
4 x - 2 2x — 1= + C = -T = + c
2 y ¡ 4 x 2 - 2x + l xz - 2x + l
íd x
i í ^ X + y f ^ -Desarrollo
Sea 5 - x = z4 => dx = - 4 z i dz
\ ¡ 5 - x = z y 7 5 - x = z2
f dx f z3dz . f z2dz . f , , * . ,=====---- = = = -4 —-----= -4 -------= -4 ( z - l + ------ )dzJ 7 5 - x + 7 5 - x J z +z J z + 1 J z + 11
= - z + ln | z + 1 |) + c = - 2 z ~ + 4 z-4 1 n | z + 11 + c
1447
= - 2 7 5 - x + 4 \ /5 - x - 4 1 n 1 7 5 -x + 11 +c
= ^ ( T ^ x - 1)2 - 4 ln | T ^ x + 1 1+/t
Ix 2d x
V(»2 - o 3Desarrollo
7x2 -1
1
190 Eduardo Espinoza Ramos
1448
Sea x = sec 0 dx = see 0. tg 0 d0
sec2 0.sec0.tg0 dO _ f see Q.tgO-de
J V(sec20 -1 )3 J
= C sj¿ ecw = r , t f e d B m \ j « f d eJ tg 9 J J sen 0
= Jsec0 .csc20 í/0 = Jsec0 (l + c tg ‘ 0)¿0
= J(sec0 + sec0.ctg2 9)d6 = J (sec0+ C0Sy -)d9 sen 0
= In I x + J x - l I — , f=— + c
íxdx
(l + x2) s j l - x 4Desarrollo
2 C°s0Sea a: = sen 0 ; xdx ---------dO
f xdx _ f
J íl + X 1 — JC4 J
COS0 d9
(l + x2) \¡ l - x 4 J (l + sen 0)V l-sen 20 2 J l + sen0■ijid9
Integral Indefinida 191
1449
1450
1 f l - s e n 0 1 f l - s e n 0 1 f 2= — I --------— d0 = — ----- t— d9 = — I (see 0-íg0 .sec0)cí0
2 J 1-sen 0 2 J cos20 2 j V
2= — (fg 0 -sec0 ) + c - — (s e c 0 -tg 0 ) + c = — (■■■;.....— — ¡X )+c
2 2 2 yjl-x* y]\ -x4
1 1-JC2 1r + C = ------<
1-jc2 1 1- x 2
= ~ 2 ' J Z 7 + C = ~ 2 ^ I T 7 7 +C = ~ 2 \ 7 7 7 + c
xdx1V í- 2jc2 - x4
Desarrollo
l - 2 x 2 - x 4 = 2 - ( x 2 +1)2
2xdx 1 .x ‘ + l .= — arcsen(— = - ) + cj* xdx _ j* xdx _ 1 |* í_______
j y j \ - 2 x 2 - x 4 j j 2 - ( x 2 + l ) 2 2 J ^ 2 - U 2 + l)2 2 v y¡2
J—U 2 + l)2
Desarrollo
Sea x = tg 0 => dx = sec' 0 rf0
f (jr + 1)¿/jc _ f (tg0 + l)sec20 ¿ 0 _ 1*(tg0 + l)sec2 0 ^J 2 J 2 J sec3 0
(x +1)2 (tg"0 + l)2
_ ! tg0 + l _ f (c()S0+Sen0)í/0=Sen0_ COS0+C J sec0 J
x 1 jc —1: + C = —I + C
y j x 2 + 1 y j x 2 + 1 \ l x 2 + \
192 Eduardo Espinoza Ramos
.451 J
„2
dx
(.x2 + 4x)\J 4 —x2Desarrollo
' -± < ± --U+ 4x 4 x x + 4
f dx _ 1 f dx 1 f dx
J (x2 +4x) \ l4 - x2 4 J x y ¡ 4 -x2 4 J (x + 4 ) \ ] 4 - x 2
í -integrando I — , ... ... Sea x = - => dx = — l-
x j ^ x 2 1 t2
dtf dx [* t 2 f dt
J WH?” J MTjl ~ ~' ~ 27V ~ ,2 ,
J;integrando I --------dx. Sea x + 4 = - => dx = - ^ r(x + 4 )y ¡4 -x 2 1 1
_dt_f dx f _______ r _ f dt
J (x + 4)y¡4-x2 J i j .1 (1 l - 4^2 J V-12í3+ 8 r -l
-JlT 2^3
2>/3 X + 4 2>/3 X + 4
reemplazando (3), (2) en (1)
(1)
= - l n | ^4 *2— | ...(2)
1 arcsen( (2* + 2)) = J L a r c s e n ( ^ ^ ) ...(3)
Integral Indefinida 193
1454
f dx 1 f dx 1 f dx
J (x2 + 4 x )V 4 -x 2 4 J x ^ 4 - x 2 4 J (x + 4)y¡4-x2
1 , , \ ¡ 4 - x 2 + 2 . 1 2(x + l)= — ln -------------- ------- = arcsen(--------- )8 x 8^3 x + 4
1452 I V x - 9 dx
Desarrollo
JV x 2 - 9 dx = i ( x \ /x 2 - 9 - 91n|x + >/x2 - 9 |+c
= ^ 9 - U n | x + Vx2 - 9 l+c
1453 J V x - 4 x 2dx
Desarrollo
= ((2x - ~ ) \ ¡ x - x 2 + ~ arcsen(8x -1))]2 2 4 16
= i ( ——-V x -x 2 + — arcsen(8x - 1)) + c4 4 16
= ——-V x -x 2 + — arcsen(8x - 1) + c 16 64
1 dx
xVx2 +X + 1
194 Eduardo Espinoza Ramos
1455
Desarrollo
1 —dtX = - = > d x = - r -
t t 2
*f dx = r f2 = _ r <& = _ r dt
j x jx 2+x + l J l J , 2+t + l J Ví2+r + 1 J J (í + i ) 2 + |
I 1 í~2 7 I 1 I 1 + JC +1 I= -ln |í + - + Ví‘ + f+ 1 | = — ln | — + — + ------------- |+c2 i 2 , x
.2
, , x + 2 + 2 y J x 2 + x + 1 . . i x .= -!„ I--------- ------------|+c = ln|----------l+c
x +2 + 2Vx" + Jc + 1
J x ' J x 2 + 2 x + 2 d x
Desarrollo
J W 7 + 2 jc + 2 í/jc = j* x y j ( x + ] ) 2 + 1 d x
Sea z = X +1 => dx = dz z = x + 1 ==> j r - z - 1
J*x y j x 2 + 2 x + 2 d x = J x y j ( x +1)2 +1 í/jc = j*(z - l)Vz2 -1 dz
3
f zVz2 +1 ¿ z - ÍV z2 +1 í/z = — -— —Vz2 +1 ln | z + a/z2 +1 l+cJ J 2 3 2 2
3.2
= (z +1): -~ V z 2+ l- - ln | z + Vz2+l I+C3 2 2
Integral Indefinida 195
(je2 +2x+2)>Jx +2x+2 x +1... 3..
U N 2.v + íW .V + 2.( + 2 -+2JC + 2 -^ -ln I jc+1 +Va:2 + 2jc + 2 |+c
1456h
dx
1 w dt Sea x = - = > d x = — —/ r
dt
Desarrollo
í ■- f A~ = f ----- = - f ] dt ; sea t = sen 0 ; dt = eos 0 d0J x44 x ^ \ J i J V í ^
í4 í
v/1 - t 2
see tí =
f * f r3dr _ T
J J Vw7 J
■J
sen30.eostíí/tí eos 0 -i- 1 sen3 0d6
eos3 0= - (1-cos 0)sentí¿0 = -(-costí + -------,) + c
= cos0 eos + C
yl(x2 - l f :------------- 1----------- + C3*3
196 Eduardo Espinoza Ramos
14571 -
dx
:Vlxv i - x
Sea1 - x3 = z2 =$ dx -
dx 2 z dz
Desarrollo
2 zdz 3x2
x 3 - 3 z
f dx _ T dx _ j* - 2 z dz 2 f dz
J x j l - x 3 J y¡ ( l - x3) x J z (3 -3 z2) Í J z 2 - l
2 . z - \ . 2 . V l-x 3 - 1= — ln | ----- 1 +c = —In I —..... — | +c
3 z +1 3 xJ +1
1458 ídx
f l + JtDesarrollo
y ¡ l + X
m + 1
(1 + x3) 3rfx; m = 0, n = 3, /? = —
- + p = es un entero, entoncesn
- 3 , i _ 3 __. v 3 1 n/ i + X' ’X +1 = 2 => X = —---- => Z =z3- 1
_i 4además * = (z3- l ) 3 => dx = - z 2(z3- 1) 3dz
Ít? <~~~t = f I----- 1 =r(-z2(z3- l ) 3)¿Zj /l + x3 J i . A Z
i '
Integral Indefinida 197
1459
44 1
= - J * * * — flfe = - J z ( z 3 - 1)~3 (z3 - l ) 3dz
r(z3- l )3
~ f X * ~ r — — - f t - i j . 2Jz3-1 J (z-l)(z2 + z + l) J z -1 r + Z + 1
z _ A(z2 + z +1) + B(z2 - z ) + C (z - l) z3 - l ( z - l ) ( z 2 + z + l)
z = (A + B)z2 + ( A - B + C)z + A - C
A + B = 0 A - B + C = 0 A -C = 0
resolviendo se tiene: A = ■-, B = - —, C = — 3 3 3
f dx f z , f , A ^ Bz + C l f ¿ x l f z -1J 1¡Í + X3 J z3 + l ' J : - l z2+z+l ' 3J Z-1 3 j ; : + z+l
= ——ln I Z—1| + — f ^ — { f~2~~3 6J z “ + z + l 6J z “ + z + l 3 J z + z + l
= ——ln| z — 1 1+ — ln | z2 + z + l | — ^ a rc tg —■i ~ + c donde z = 3 6 V3 %/3
V í + 7
J5xdx
Desarrollo
[ 5xdx _ 5 j* 2xdx _ 5 2 ^
J ^ 7 2 - \ W )2 2
198 Eduardo Espinoza Ramos
1461
146« Jc o s 4x¿x
Desarrollo
I cos4 xdx = I (cos2 X f d x = J (~ C°s2a)2</t = Ì J(1 + 2cos 2x + eos2 2 x)dx
= j ( x + sen2x + f — os 4x ¿x) = - ( x + sen2x + - + -^ -^ -) + c 4 J 2 4 2 8
3x sen 2x sen 4.v :---- 1-----------1---------- (. (•8 4 32
f - - £ _J eos x sen x
Desarrollo
í - jsec x.csc5 xdx = f (1 + c tg2 x)2 see x.ese xdxJ eos x. sen x J J
= J*(l + 2c tg2 x + c tg4 x) see x.csc xdx
= J*(see x.csc x + 2c tg" x.see x.csc x + c tg4 x. see x.csc x)dx
f secx cosx cos3x ,= (-------------------------------------------------- + 2------- — + ---- — )dx
J senx sen' x sen x
J's e c 2 x 9 , , .„4(-+ 2c tg x.csc* x + c tg X.CSC" x)dx = In I tg x I -c H: c - ~ — +c
tgx 4
/<
f ! Æ aJ sen"x
Desarrollo
Integral Indefinida 199
1463
1464
|*1 + -y/c,tg x dx _ f (csc2 x + y]ctgx esc2 x)dx J sen x J
2 ~ 2 /-----------= -C tg X --C tg 2 X + C = -C tgX ---y /c tg3X+C
j* sesen3 xdx
Veos3 xDesarrollo
f sen^Sfáx _ f sen x(l - eos2 x)dx = [ {senx(cosx)Í _ s m x.cJ x)dx
j Veos3 X J Veos3 X J
= - —eos5 x + — eos5 x + c = — (eos2 x - 6)Vcos2 x + c2 12 12
I csc5 5x¿x
Desarrollo
J CSC5 5xí£c = J(1 + c tg2 5x)csc3 5xdx = J esc3 5x áx + Je tg2 5x.cos3 5x d x ... (1)
J*integrando I csc3 5xdx por partes
200 Eduardo Espinoza Ramos
1465
f ‘integrando I c tg2 5x. esc3 5x dx por partes
u = c tg 5 x du = —5esc25xdx
dv = ese3 5x.ctg5xdx => v = - CSC—15
„3 ,f 2 c 3 r , Ctg5x.CSC 5 l 1 f < ,I c tg 5x.csc 5xdx = ----- ------------------ I ese 5xdx ... (3)J 15 3 J
reemplazando (2), (3) en (1) se tiene:
J esc5 5 xdx = J* ese3 5xdx + J*c tg2 5x.csc2 5 xdx
1 . . 5 x , ctg5x.csc5x ctg5x.csc35x 1 f <„ ,= — ln tg— 2------------------e--------- --------I ese 5xdx10 2 10 15 3 J
f 5 c t 3 , 5 x . 3 , , 1 , 3I ese 5xdx = — ln tg— ----- ctg5x.csc5x------ctg5x.csc 5x + cJ 40 2 40 20
cos5x 3cos5x 3 , , 5 x .+ — ln | tg—- l+c
20 sen4 5x 40 sen2 5x 40 2
Isen2 x ,
—— dxeos x
Desarrollo
f S e n " X , f 2 4 , ¡ * 2 / . 2 , 2 ,I -— dx = Itg 'x .sec xdx ~ I tg x (l+ tg “ x)sec xdxJ eos X J J
f 2 1 f 5 2 tg3 X tg5 X= J tg“ xsec“ xdx = I tg x.sec" xdx = —+ ■- —- + c
Integral Indefinida 201
1466
1467
|“"(TK
- x) sen(— h x)dx 4
Desarrollo
n n n V2sen(---- x) = sen —.eos x —sen x.cos— = — (eos x -se n x)4 4 4 2
71 71 7t y ¡ 2 . , ,sen(— + x) = sen—. eos x + eos—. sen x = — (eos x + sen x) 4 4 4 2
. .n . y¡2 , 1/2sen(----- x). sen(— + x) = — (eos x - sen x)— (eos x + sen x)4 4 2 2
1 2 2 eos 2x= —(eos x -se n x) = --------2 2
f sen(—-x).sen(—+ x)dx = f cos 2x dx = i-sen 2x + c J 4 4 J 2 4
f i ,X 7t.J tg(r T }J t g ( | + )dx = j tg2 ( | + t g ( | + )dx = J (sec2 ( f + ^ ) - 1) tg ( f+j ñ d x
= f (sec2(^ + ) t g ( í + ) d x - í tg (^ + )dx J 2 4 2 4 J 2 4
-)dx
Desarrollo
- tg2(— + — ) + 21n Icos(— H— )|+ c 5 2 4 2 4
r dx 1468 ------------------------
J 2senx + 3 co sx -5Desarrollo
2 0 2 Eduardo Espinoza Ramos
2t 1 - í 2Se conoce que: sen a = -----— ; eos x =
1 + t2 ' ’ 1 + í2
x 2dtl ~ = t => dx =2 1 + í2
2 dtf _______^ f 1 + í2 f dt _ f ____ dí_J 2senx + 3cosx-5 J 41 3-3 12 „ J 4r2 — 2r + 1 J Aít l->2i J ~ Jl J 4(f- —)2 + —
1 + í2 1 + í2 4 4
1469 1
1 4 /-1 1= _ _ arctg(_ _ ) + c
dx>2 x
Desarrollo2 + 3cos2 x
2+ 3 eos2 x ~ 2 sen2 x + 5cos2 x
f dx _ f dx _ fj 2 + 3 c o s 2 x J 2sen2x + 5cos2x j 2 tg¿ x + 5
sec° xdx
1 f \Í2 sec" xdx 1 1 \¡2tgx 1 , 2tgxN: vf J (V5 tgx)2+5 v ^ )+c
idx1470
eos2 x + 2senxcosx + 2sen2 x
Desarrollo
Dividiendo entre eos x se tiene:
Integral Indefinida 203
f dx j* see2 xdx _ 1 fJ eos2 x + 2senxeosx + 2sen2 x J 2 tg2 x + 2 tgx + l 2 J
sec2 xdx-2senxeosx + 2sen2x J 2 tg2x + 2 tgx + l 2 J 2 x + tgx + _
1__ 1 f — sec *dx = I .i-a rc tg (-----— - ) + c = arctg(2 tgx + l) + c
2 j (tgx+ -I)2 + i 2 i 1( tg x + '- r6 2 4 2 2
1471 1dx
senxsen2xDesarrollo
, 2 „ . „ „ „ 2
1472
f dx f sen x + cos x , f , 1 cosx _ ,I ------------- = I ------------------- dx = I (---------+ ---------- )dxJ senxcosx J 2sen2xcosx J 2cosx 2sen2x
1 f , 1 1 1= — I (secx + ctgx.cscx)dx = ~ ln I secx + tg x | cscx + c
r _______ dx_______J (2 + cosx)(3 + cosx)
Desarrollo
1 1 A BSea z = eos x ; entonces ------------------------ = ---------------- = -------- 1--
(2+cosx)(3 + cosx) (2+z)(3+z) 2 + z 3 + z
A + B = 0 ,1 = (A + B)z + 3A + 2B de donde se tiene: [ A = l , B = -l
3A + 2B = 1|
1 1 1(2 + cosx)(3 + cosx) 2 + cosx 3 -c o sx
f ----------- - ----------- = f — — f . . . a )J (2 + cosx)(3 + cosx) J 2 + cosx J 3 + cosx
204 Eduardo Espinoza Ramos
1473
1474
, Ç dx 2 2integrando: -----------= - = arctg(—-£-) ... (2)
J 2 + cosx V3 V3
, f dx 1 tg 28 • " ,3>
reemplazando (3), (2) en (1)
f dx 2 tg2 1 tg2J (2 + c^ -w o _____ , = “/? arctg ( -7r ) - — a r c t g ( ^ ) + c-cosx)(3 + cos.*) 73 y¡3 y¡2 \Í2
Jsec2 xdx
7 tg2 x + 4 tg x +1Desarrollo
f sec2 xrfx f sec2 xdx
J 7 tg2x + 4 + tg x + l J y](tgx + 2)2 - 3
Sea u = tg x + 2 => du = sec2 xdx
|* sec2 A j* sec2 xdx _ f dw
j g2 4tg JC-J-1 j yf(tgx + 2 f ^ 3 J Vm2 - 3
= ln |m+V«2 - 3 I +c = ln | tgx + 2 + -y/tg2 x + 4 tg x + l |+c
J æcosar
dx2 +sen2 ax
Desarrollo
f eos axdx _ j* eos axdx
* V«2 +sen2 ax J y¡a2 + (senax)2
Integral Indefinida 205
1475
1476
Sea u = sen ax => du = a eos ax dx
= — In I senax + Vfl2 +sen2 ax I +cf cos axdx 1 f acosaxdx 1 , [~----------= _ _ ^ _ _ _ = = . = — In I sen ax + \ aJ sja2 + sen2 ax a J \Ja2 +(sen ax)2 a
íxdx
eos2 3xDesarrollo
f xdx _ f J eos2 3x J xsec2 3xdx , integrando por partes y haciendo:
u = x du = dx
2 o j t ë 3*dv = sec 3xdx => v = ------
f xdx _ rJ cos23x Jj x sen1 xdx
xsec2 3xdx = - t g 3 x - —— dx + c = - t g 3x + - ln |c o s 3 x |+ c 3 J 3 3 9
Desarrollo
J x s e n 2 xdx = J x .1 C°^~X dx = Ì J (x -x c o s 2 x)dx
= - [ f x d x - \ xcos lxdx\ = — - — íx c o s2x££x ... (1)2 J J 4 2 J
integrando J x eos 2xdx por partes
u = x => du = dxhaciendo: „ , sen 2x
dv = cos lxdx => v = --------
206 Eduardo Espinoza Ramos
1477
1478
1479
1* . •* - cos2xjc eos 2x dx = — sen 2 x + -------- ... (2)
2 4
reemplazando (2) en (1)
J2 , x 2 xsen 2 je eos 2 je
JEsen xdx = -------------------------------he
í2 x*x e dx
Desarrollor *
Sea « = x3 du = 3x2dx => x 2dx = —3
f 2 i1 . f u du eu eI x e dx = e — = — + c = -J J 3 3
J
V+ c
xe2xdx
Sea
Desarrollo
u = je => d u - d x
e^xdv = e2xdx => v —-----
í xe2xdx = - e 2x- ~ í e2xdx = - e 2x- — J 2 2 j 2 4
J x2 ln yfí —
2x
•fe
x d x
Desarrollo
J x2 ln V i- j e <±e = i Jje2 ln(l - x)dx
»
Integral Indefinida 207
1480
1481
Seadx
u = ln(l - je ) => du =
2 , X'dv = x dx => v = — 3
JE — 1.3
f je2 ln \J \ - x d x = — (— ln ( l - x ) - — í ------dx)J 2 3 3 J jc —1
3 ______ i p i
= — ln V l-J t I (x2 + X + 1H-------3 6 J jc —1
í
)dx
= — I n V i- jE - -— —— ———ln | jc—11 +c3 18 12 6 6
xarctg x , dx
Desarrollo
dx
J ü x 2
u = arctg x => du =\ l 1 + x2
f x a r c t |x ^ f ^ ^ d x = arctgx - f - *J VÍT7 J 1 + * J V1 + x2
= \ll + x 2 arctg x - ln | x + V 1 + x2 | +c
ísen2(—).cos(—)dx 2 2
Desarrollo
208 Eduardo Espinoza Ramos
1482
1483
J sen2 ( ) cos(~)dx = i J (1 - eos x) cos(^f)dx
1 f , ,3x ,3x 1 3x 1 f 5x ,x .. ,= — (cos(— )—eosxcosí— ))dx = - s e n -------- I (cosí— ) + cos(—))ax2 J 2 2 3 2 4J 4 2
1
1 3x 1 5x 1 x.= - sen(— ) ------sen(— ) — sen(-) + c
3 2 10 2 2 2
dx)Sx)2
Desarrollo(sen x + cos x)2
f___*___=í-J (senx + cosx)2 J sdx
(sen x + eosx) J sen2 x+ 2sen xcos x + cos2 x
see2 xdx f sec2 xdx 1tg x + 2 tg x + l J (tgx + 1) tgx + 1
_ j* see xdx _ I* J t g 2x + 2 tg x + l J
1dx
en2 xDesarrollo
(tgx + 1) sen2 x
f _____ dx______ fcsc2x d * _ fe se2x .ctgx^J (tgx + l)sen2 x J 1 + tgx J 1 + ctg x
f ese2 xdx f ( l + ctgx)esc2 x , f - c s c 2 xdx f 2= —-----------+ -------- — --------dx = ------------- + ese 'xd x
J 1 + ctgx J 1 + ctgx J l + ctgx J
| - e s c x + csc x + csc x c tg x - i ------------------------------------- dx1 + C tg X
2 . r __ 2
= ln | 1 + ctg x | - ctg x + c
Integral Indefinida 209
1484
1485
1486
I senh x.cosh xdx
Desarrollo
Sea u = senh x du = cosh x dx
Jsenh x.cosh xdx = j u d u = —
f senh Vi - *
(senh x)+ c = ---------— + c
2 2
-dxJ VTDesarrollo
,----- -dx 0 , _ dxSea u = V 1 —x => du - -—-, => 2du —
2 Vi - x V i - *
| !el V ^ . dx = j senh u.(-2 dw) = - 2 J senh u du
= - 2 cosh u + c = - 2 cosh V i - * + c
í* senh x. cosh x ^J senh2 x + cosh2 x
Desarrollo
Sea u = senh2 x + cosh2 x , derivando se tiene:
du = (2 senh x cosh x + 2 cosh x senh x)dx => du = 4 senh x cosh x dx
f senhxeoshxdx _ 1 f * = I ln|H|+c = i ln | senh2 x + cosh2 x |+c J senh2 x + cosh2 x 4J u 4 4
= iln |c o sh 2 x|+c4
2 1 0 Eduardo Espinoza Ramos
1487
1488
f xdx J senh2 x
Desarrollo
f xdx _ f J senh2 x J
sea
xcsch 'xdx
u = x ídu=dxdv = ese h2xdx [v = -ctghjc
J s e n h 2 a- = J ACSC hxdx = ~ x c t g h x + J c tghxdx = ‘x ctgh x + ln lsenhj* dxJ e2x -
x + c
Sea
- 2exDesarrollo
e* - l = z => ex = z + l
dz = exdx => = dxZ + l
f— * = ¡ -J e 2x- 2ex J (
dxe¿x - 2 e x J(< ?*-I)2 - l
dzr dx r dx rJ e 2x- 2 e x J (z2- i) (z + l) J (z + l)2( z - l )
I l J_
= í = - - j ln | z + l | + — }— + —ln | z - 11J z + l (z + l)2 Z — 1 4 2(z + l) 4 ' 1
= - j l n | ^ - l + l | + - L + i l n | ^ - l | + c = - - + — +-]n\ex -2\+c4 2e 4 4 2ex 4
Integral Indefinida 211
1489
1490
1491
1492
I e2x - 6ex + 13exdx _
i-13Desarrollo
ex - 3f exdx f exdx 1 e * -3----------------- = I ---------- ------= — arctg-------- + cJ e 2x- 6 e x +l3 J ( e * - 3 ) 2 +4 2 2
ie2xdx
\_
(ex + 1)4Desarrollo
Seafex +l = z4 ^ p = z 4 - l
\exdx = 4 t 'd z i e2xdx = (z4 -1 )4 z3dz
(<?*+l)4
= —■ z4 — z4 + c = —\J(ex + 1)7 - - $ l ( e x + 1)3 +c 7 3 1 3
f 2 XdxJ 1-4*—4X
Desarrollo
f 2 Xdx f 2 Xdx x ,I ------- = I ---------- - ; sea u = 2 du = 2 ln 2 dxJ 1-4* J i - r-(2*)2
r 2 ^ = p ^ _ =_L f * = _!_b i|l± 21 |+ cJ 1- 4* J l - ( 2*)2 ln 2 j 1-M 21n 2 1 - u 21n 2 1- 2*
J t f - 1) .10~2*í¿c
Desarrollo
212 Eduardo Espinoza Ramos
1493
Sea ■u = x 2 ~ 1 => du = 2xdx
. , n - 2 x j K T 2*dv = 10 dx => i21n l 0
í (x2 — 1). 10 2xdx = - ~ — Ll0' 2jt+ - i - fjc.10~2xdx . . . (1)J 21nl0 InlOj
u = x => du =dx
, , n - 2 x , 1 0 " 2*dv = 10 dx =>
¡ x . 10~2xdx = - f - 10-2* + J r : ... (2)
21n l 0
r 2jt
21n l0" ' 22 ln210
reemplazando (2) en (1), se tiene:
.2 “ I21n l 0 21n 210 22 ln310
J V - 1)10-2xdx = 1 + - 4 — + — )10-2jr + c
21nl0 lnlO 21n210
ex +1 dx
Desarrollo
Sea\ z 2 = ex + l
I exdx = 2 zdz
z 2 - l = ex, 2 zdzdx = —----
; 2 - l
j*Ve ‘ +1 dx - J —~ dz = 2J* (1 + — .. )dz
= 2(z +-^-ln | - —í- |) + c = 2yjex + 1 + Ih | -^==¿2— - 1 +c 2 Z + 1 yjex +1 +1
Integral Indefinida 213
1494
1495
1 dx
Seau = arctg x
dxdv = —x2
du =
Desarrollodx
l + x 1
f arctg x , arctg x i* dx arctg x | f i_J x(\ + x 2) x J x \ + x
-)dx
arctg x , I , , , 2 1 arctg x , , r 7= ------------ t-lnx — ln |l + A | +c = -------h ln x - ln v l + A +<
2 x
í
xarctg x
x
, 1x arcsen(—)dx
+ ln Iy j l - x 2
+c
Seau = arcsen(—)
xdv = x'dx
Desarrollodxdu = -
vV x2 — 1
v = -
I X3 arcsení—)dx = — arcsen( ... (1)
integrando I --------- dx por sustituciónJ x — 1
\/x2 - 1
1
214 Eduardo Espinoza Ramos
1496
sec 0 = x => dx = sec 0 tg 0 d0
„4j* x dx _ j*see 6.seed.tgOd6 _ fsee40.tg0 _ f
J yjx2- 1 J '/see29 - 1 J tg0 J
= J ( l + íg20)see20dé? = j*
de = I see e de
3
reemplazando (2) en (1)
{\+tg-0)sec¿ 6 de = \ (sec¿0 + tgz Osee2 9)d9 = lg9+ ^ ~
(x¿ + 2) . ..(2)
J*3 *4 , 1 , 1 Va2 - 1 2aresen(—)dx = — arcsen(—) H— .---------- (x + 2) + c
x 4 x 4 3
1 . 4 1 Va - 1 , 2= —(x aresen —H----------- (x + 2)) + c4 x 3
= — ( jc aresen — + 4 jc
1cos(ln x)dx
DesarroHo
Sea z = ln x => x = e z => dx = e zdz
I cos(ln x)dx = I ez eos z dzJ* eos(ln x)dx = j e
du = ezdz dv = cos z dz I v = sen z
Jcos(ln x)dx = j e z eos zdz = ez s e n z - j e z sen zdz
Integral Indefinida 215
1497
1498
J cos(ln x)dx = Jcos(ln x)dx = \ e z eos z dz = ez sen z + ez eos z - \ e z eos z d:J*
1= \ e z eos z dz = — (sen z + eos z) + c = — (sen(ln x) + eos(ln x)) + c
J(x — 3x)sen5xáx
Desarrollo
\u = x* - 3x
dv = sen 5x dx
du = (2x - 3 )dx cos5x
I'"2-x2 — 3x
3x) sen 5 xd x = - :------- — eos 5x +5 I
2 x -3eos 5x dx
x “ -3 xeos 5x +
5 53) eos 5x dx
í u = 2x - 3
Jv = eos5x£?x
du = 2 dx sen5x
í, 2 o s J , x -3 x 2 x -3 2 f(x -3x )sen5xax = ----------------- c o s 5 x h --------------s e n 5 x -— I sen5xdx
25 2 5 J
x -3 x 2 x -3eos 5x + — — sen 5x + ----- eos 5x + c
5 25 125
I
2 2 3= — (-x 2 eos 5x + — sen 5x + 3x eos 5x + — eos 5x — sen 5x) + c
5 5 25 5
x arctg(2x + 3 )dx
Desarrollo
216 Eduardo Espinoza Ramos
1499
u = arctg(2x + 3)=>
dv = a dx
dxdu =■
2 a2 + 6a + 5Ox~
v = - 2
J a a r c t g ( 2 A + 3)d* = ~ a r c tg ( 2 A + 3) - J*4 a 2 + 1 2 a + 1 0
52 1 (* » 3a H—
= — arctg(2A + 3) — ( I dx+ I — ------- - ----- dx)2 4 J J 4a + 12a + 10
a 2 , i 1 f 6a + 5= —-arctg(2A + 3 ) - - + - — ---- -— — dx2 4 2 J 4a + 12a+10
a2 . i ! f bxdx 5 f dx■ ««gO x+ S - J + - j — — T + i j -
a 2 + 3 a + — a 2 + 3 a + 2
a 2 x 4 f 2 a + 3 1 f dx= — arctg(2A + 3 ) - —+ — — ---------- — dx— I
2 4 8 J 2 ' , 5 2 JA 2 + 3 a + — ^ J A 2 + 3 a + —
2jc A* 3 5
= :— arctg(2A + 3 ) - — + — ln ( a 2 + 3 a + — | - arctg(2A + 3 ) 2 4 8 2
= Í[(a2 -2)arctg(2A + 3 ) + -ln | 2 a 2 +6a + 5 | ~^] + c
J arcsen V* dx> Desarrollo
Sea a = z 2 => dx = 2z dz
j* arcsen 7a dx = 2 j* z arcsen z dz
</1 | <N
Integral Indefinida 217
Seau = arcsen z
dv = z dz
du = dz
Ví^ 2
í* 7 | p 72I arcsen \fx dx = 2(— arcsen z — I . dz)
J 2 2 J -y/i-Z2
z = sen 0 => dz = eos 0 d0
-2 sen2 9. eos 9 dOt í ü - fsen f 0 d8 =-~ f (1 —J Vi—72 V1 - sen2 9 J •*
Luego:
eos 2 9)d9
1 1 /--T= - (0 - sen 9 eos 6 ) = — (arcsen z - zv 1 - z") + c2 2
í arcsen Va dx = 2(— arcsen z — - (arcsen z - z V1 - z ) 2 4
1= z‘ arcsen z- — arcsenz- Vi-z2 - arcsen(z2 - — ) - ^ y J l - z ~ +c
= arcsen Vx(x — ) --------(V i-* ) + c2 2
1500 J WDesarrollo
218 Eduardo Espinoza Ramos
C A P I T U L O V
5 . L A I N T E G R A L D E F I N I D A
5.1. LA INTEGRAL DEFINIDA COMO LIMITE DE UNA SUMA
DEFINICIÓN.- Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a,b].Entonces la integral definida de f de a a b, denotada por:
f b f h 'ST'f ( x ) d x , está dada por: I f (x)dx = lim > / (£i)Ax- , si 3 el límiteJ a J a '
1=0
donde x¡ < < xM , Ax, = x M - x ¡ , i = 0,1,..., n - 1
Calcular las integrales siguientes, considerándolos como límites de las correspondientes suma integrales:
• b1501 I dxsy a
Desarrollo
r/ . . b - a „ , . . b - a .i(x) = 1, Ax¡ = ------ , g. tomamos de las siguiente manera: g¡ = a + i ;
£i =a + iAx¡, como f (x )= l => f (^ ¡) = 1
I dx= lim f(L¡)Ax¡ = lim ——— = lim n ——— = b - aJ a Ax,->0 ¿ 1. 1/ A r( —*0 Z u /i Ax,->0 n
i=0 i=0
Integral Definida 219
1502
1503
I (V0 + gf , donde V0 y g son constantes Jo
Desarrollo
Sean f ( t ) = V0 + g t , Ar, = ^ = —n n
& = l + i , A* = - ¿ ; / ( í ) = / ( 6 )»V 0 + — «'
- 7- n-1 w-1I (V0+ g O * = lim V /(£ , )Ax,. = lim V (V + g - i ) -
Jo Ax^oÁ—t Ax, ^ oJLj n n(= 0 i= 0
T f ' K T gT2 g T 2= lun > ( - 2- + ÍE— i) = lim(V0r + — > i)
Ax ( —>0 A m m i t i f t n —>°° 2
1;_ g72 (B-lXn) . r 2- lim —---------------= V y + p —-&x¡—>o n2 2 0 * 2
j : x l dx\
Desarrollo
Sean f ( x ) = x 2, Ax¡ = — = -2 + — = a + í'Ax,n n n
f ( x ) = x ¿ => / ( £ ) = (-2 + - ) 2/ ( £ ) = 4 ------ «+-n 72
[ *2<¿x = lim y / ( I , )Ax¡ = lim V ( 4 - — + - ) . - J _2 n->°° ¿mj n n ni=0 i=0
2 2 0Eduardo Espinoza Ramos
lim(12 - — + — (W 1)n(2n — ) =12 - 18 + 9 = -6 + 9 = 3 n2 2 «3 6
f 101504 2*dxJ o
Desarrollo
10 , 10/Sea / (x) = 2 y A x ,= — ; £• = —
n n
10Como f ( x ) = 2 x =* / ( £ ) = 2»
10 n-1 w-1 10f 2"dx = lim Y /(£ • )Ar, = lim Y 2 " / —I „ Ax —>°° £¡mmí n—*°° '■■■ WJ 0 ' i'= 0 <=o
10 2.10 3.10 , , , 1 0i « _ ------ ------ (n-1).—= lim —(1 + 2 " +2 " + 2 " +... + 2
n—>°° n
10~ „ 1010 1 — (2 n 1 —
= lim — ( 1 donde r = 2 "n-»°= n _
1- 2 "
10 10
= l im ( l - 210) — 1'l— = 0 - 210)lim12 '* ' n'->~ 121- 2 ” 1- 2 "
102 2 10 — 1
por L ’HOSPITAL = (1 - 210) lim — —*■------- = — —^ „_>» 12 ir> m 22 " , - ^ ln 2
n
Integral Definida 221
1505
1506
I x 3dx
Desarrollo
Sea /(x ) = x3 , Ax(- = ——- = —, £, = a + /Ax, = 1 + — n n n
Como f ( x ) = x 3 => /(!,-) = 0 + — )3n
[ % 3dx= lim Y / ( ^ = l i m V (1 + + 1 ^ - + - ) - J , Ax —>0 i a J rt nz n n
i=0 1=0
„ 48(w-l)w 192 (n- l)n(2n-1 ) 256 w2 ( n - l ) \
“ i ! f . (4+ - 7 T - + T ' -------- i -------- -----------------2
= lim(4+24 — +32.(" ~ 1)l,2,' ~ 1> + 62(” r 1)i) = 4<.24t64+64=156n-*~ « n<- n-
Hallar el área del trapecio mixtilíneo, limitada por la hipérbola y = — , el eje X,x
y las dos ordenadas x = a, x = b, (0 < a < b)
Desarrollo
J?, s 1 * b ~ a £ b ~ a/ ( x ) = - => Ax,. = ------ ; q¡ = a - i -------x n n
como f ( x ) = - =* /(£ • ) = - ----- -------a + í(------ )
n
n- 1A = lim V / (£ , )Ax¡
A l,-» 0 Á m J 1=0
222 Eduardo Espinoza Ramos
n- 1V " 1 . b - aA — lim > (------ ----- ) -----
. b - a n i=o a + 1 -
nn-1
A= lim y — — -— ,en forma análoga el ejercicio 1505; se tiene: A = ln — Ax,->o Á^an+i(Jb-a) a
i=0
1507 f ( x ) = I sent dt ' oJ.
Desarrollo
f ( x ) = I sen t d t , donde f(t) = sen tJ o
At¡ = — , L = — como f(t) = sen t => /(£ ,) = sen — n n n
x n-1 «-1/ (x) = | sen t d t = lim y /(£ )A í- = lim y ^ sen(—).—
I n A l-> 0 .¿^ Ai —>0 jLmM n n0 1=0 1=0
x x x x n — 1= lim — (sen(0. —) + sen 1. — + sen 2.— + ...+ sen-------x)
ai, —>0 n n n n n
= lim —(----- ------ (eos — -eo s (/i- —) —))Ar(->o n ~ x 2 n 2 n2 sen —
2 nx
x 1 x= lim ----- ----- . lim (eos------- cos(n — ) —)
n— X . n— 2 n 2 n2sen(— )2 n
= 1 - eos x, aplicando L’HOSPITAL
1 , « 1 , .NOTA.- sen a + sen 2a + ... + sen n a = -----------(eos —-cos(n + —)a)„ a 2 22 sen —2
Integral Definida 223
5.2. CÁ LC U LO DE LA S IN T EG R A L ES D E FIN ID A S PO R M E D IO DE IN D EFIN ID A S.-
I o INTEGRAL DEFINIDA CON EL LÍM ITE SUPERIOR VARIABLE.-
Consideremos la función f(t) continua en el segmento [a,b], la función
^ ( x ) ~ f ( t )d t es una función primitiva de f(x), es decir: Ja
F'(x) = f ( x ) p a r a a < x < b
2o FÓRMULA DE NEWTON - LEIBNIZ.-
r h ihSi F'(x) = f ( x ) se tiene f (x )dx= F(x) \ = F(b ) -F (a )
Ja la
1508 Sea / = f — ,( b > a > 1). Hallar: a) — b) —Ja InAr da db
a) / =J a lnx J b ln.
Desarrollo
dx di _ 1x da In a
b) I- J a
h dx di 1ln x db ln b
Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
1509 F(x)= I \n td t , x > 0
Desarrollo
F(x) = I ln td t => F '(x) = lnx
224
1510 F(x) = f yjl + t4dtJ X
Desarrollo
F(x) = J sj\ + t4dt = - j VT^
v X
tAdt => F '(x) =
1511 F (x )= I e~' dt
Desarrollo
. oc x~ r 2 r x 2F(x)= I e~' dt = I e~1 dt+ I e~‘ di
J x J x J o
F(jc) = — I e~r dt+ I e~r dt entonces: F '(x)Jo Jo
Ji.1512 1= I eos (t2)dt
X
Desarrollo
r> -Jx í» a (• \fx
7 = 1 eos(t2)dt= i eos t2dt+ eos(t2)dtX
- 1 x cost2 dt + I Ja Ja
sTx/ = - I * eos t¿dt+ I eos t2dt entonces:
dI , 1 X / 1 X / 1 X— = - COS(——).(--- - ) + COS x(-----— )dx x~ X" 2y[x
Eduardo Espinoza Ramos
- V i + X4
y'1 _ r 4= —é + 2xe
di 1 1 , 1 .— = — -= eos x + — cos( —)dx 2 vx x* x“
Integral Definida 225
1513
1514
1515
1516
f x SCYltHallar los puntos extremos de la función: y = I ----- dt en el campo x > 0 .
Jo {
f x set=J „ "Desarrollo
sent , , sen x , „dt => y = ------ => y = 0
para los puntos críticos =» sen x = 0 => x = njt donde n = 1,2,3... ti los
juntos extremos de la función es x = mr, n = 1,2,3...
Utilizando la fórmula de Newton - Leibniz.-
Hallar las siguientes integrales:
í1 dx) 1 + X
Desarrollo
1 I 1T n I— = ln(l + ;c) = ln 2 - In 1 = ln 2J01+* lo
11 dx
-2 x3Desarrollo
-i i i -i
E í - i l
J>
= - ( —- —) = - _2 8 2 8
dt
Desarrollo
f e'dt = e‘ I =£>*-<TX =J - X I - X
2 senhx
226 Eduardo Espinoza Ramos
1517
1518
1519
í cos t dto
Desarrollo
I eos t dt = sent\ = senx => I eos t dt - senxJo lo Jo
Valiéndose de las integrales definidas, hallar los límites de las sumas.
.. . 1 n - 1lim ——)n->°° n¿ n*
Desarrollo
1 2 n - 1 1 ,1 2 n - 1Sea S„ = — + — ----- )
n~ n n~ n n n n
Consideremos: Ax, = y f(x) = x n
Luego el límite es igual a la integral I / (x)dxJ o
- 1 "-I j: / (x)dx = lim V f(£¡)áXi donde £ = - como f(x) = x => /(£,■) = -
J n M «u i= 0
f 1 ■i-4 -r-i 1 (n - l)n 1/(x )d * = lim \ /(£ , )Ax,. = lim > — = lim — — = -
J n n— Z-W n->~ n n->~ 2« ¿^ U ,=0 <=0
,• , 1 1 1 1 ^lim (------- h-------- 1--------- K..H-------- )»->“ n + 1 n + 2 n + 3 « + n
Desarrollo
Integral Definida 227
1520
1521
Sea S„ = —— H— !— r... + —!— => j = i ( _ i _ + _ i _ + _L_)n +1 n + 2 « + n « 1 2 «
1 + - 1 + - 1 + —n n n
Luego Ax,- = — es la “n” participación en [0.1 ] y f ( x ) = —— ; <¡? = — n 1 + x n
m i I
i f ( x ) d x= lim y / )Ax, = lim y - ( -----—J n n—>°° aí—>oo /i i
1=0 í=0 1 + -
= u m y _ l = f ‘j L = to a» - * - n + i J o 1 + X
1=0
lp +2 p +... + n plim ---------------------n— np
nn-l . I . !
+ x)| = ln 2I o
Desarrollo
_ _ l p +2p +... + np 1 , l p +2P +...+np sSea S„ = --------------------- = —(----------------------)np+1 n nP
s n =n n n n
Luego: Ax, = —, que es las “n” particiones en [0,1] y f ( x ) = x p n
í f ( x )d x= [ ;Jo Jo
p+ i ■ i , p +1 -Luego: lim Sn = I /(x )d x = I x pdx = ------ 1 = ---------0 = -------
/? + l lo p + 1 p + 1
Calcular las integrales:
i 2
J (x2 - 2 x + 3)dx
Desarrollo
228 Eduardo Espinoza Ramos
1524
1525
12 3 i 2
(x2 - 2x + 3)dx = (—— x2 + 3x) = (—- 4 + 6) - ( —-1 + 3) = — - — = — i 3 h 3 2 3 3 3
1522 f 8I (V2x + \¡x)dxJ o
Desarrollo
f ( y f ^ + \ f x ) d x = (— -j2x+ — y[x)Jo 3 4
J,1523 | U- ^ - d y
yDesarrollo
f 41 + J y f 4 1 l 1 2 14 1 -5 7— ^ d y ^ \ + —y-)dy --------- j=)\ = -(-j + l) + (l + 2) = — + 3 = —
J i y J i / - y ^ y 11 4 4 4y 2
r 6J \ l x - 2 dx
Desarrollo
2 2 _ „ i „ 16f yfx—2 d x = —( x - 2 ) 2 \ = - ( 6- 2)2 - 0 J 2 3 | 2 3 ' 3
I3 dx
V 25 + 3xDesarrollo
f " ^ = = i v s í 3 j r 3 = í - í “ = _ iJo \¡25 + 3x 3 lo 3 3 3
Integral Definida 229
1526
1527
1528
j :3 dx
-2 X2 - lDesarrollo
1 3 — = — ln | ——- 11 3 = —ln|-^—Í-I-—ln|-^— .2 *2 - 1 2 1 x + 1 'I _2 2 -3 + 1 2 -2 + 1
= —ln 2 ~ —ln3 = —ln —2 2 2 3
I 'J oxdx
x2 + 3x + 2Desarrollo
f 1 * dx _ 1 f 1 2x + 3 ^ 3 f 1J o x2 + 3x + 2 2 J o x~ + 3x + 2 2 J o x2 + 3x + 2
dx.2
3 11 3 X+9 ~ 9 '*
= [— ln(x2 + 3x + 2) — ln | ------— -2 2 3 1¿ x + - + -
2 2o
= [— ln(x2 +3x + 2 ) - —ln | -2 2 x + o
I
= (— ln 6 - —ln —) - (— ln 2 - —ln —) = 2 ln 3 - 2 ln 2 = 2 ln - = ^(7 ) 2 2 3 2 2 2 2 4
1 y 2dy -1 y +2
Desarrollo
V - f — d y = í 1 ( y - 2 + - - ) d y = [ ( ^ — 2 y + 4\n(y + 2)ÍJ _i y + 2 J -i ' y + 2 2 l- i
230 Eduardo Espinoza Ramos
1529
1530
í
= (— - 2 + 4 1 n 3 )-(— + 2 + 41nl) = 4 1 n 3 -4 2 2
dx
+5Desarrollo
o x 2 + 4jc + 5
f dx f dx | 1—;----------- = I --------- ---- = arctg(x + 2)1 = arctg 3 - arctg 2 = arctg —
J o * + 4*+ 5 J o ( j f + 2) +1 lo 7
NOTA: Sea z = arctg 3 tg z = 3
y = arctg 2 => tg y = 2
t g z - t g y 3 - 2 1tg (z -y ) =
1 + tg z. tg y 1 + 6 7
tg (z -y ) = y =* z - y = arctg(-~)
arctg 3 - arctg 2 = arctg y
dx
J3 x2 -3 x3x + 2Desarrollo
3 1x ~ z — z I 4
( x ----Y ---- X----+ -2 4 2 2
x - 2 ! 4 2 1= In | ------ Il = In — ln — = ln 2 - ln3 + ln2 = ln4 - ln3 = ln
x —l 13 3 2
Integral Definida 231
1531
1533
1534
J o z
1 z3dz
o z8 +1Desarrollo
f ' _ 4 z ^ = l 4 | 'Joz8+l Jo(z4)2+l 4 J o (z ) +1 4 lo
1 , 1 n n■ — arctg 1 — arctg O = — 4 4 16
K
1 1 '1532 I 1 see2 a d a
6Desarrollo
K K4 2 í I 4 f t f t i 1sec" a d a = tga\ = tg — tg — = 1 — ■=
1 IZI 4 6 V36 6
7 5
2 dx
0 J l - x 2
V2
2 dx
0 \ l l - x 2
> 3.5 dx
2 \¡5 + 4x
Desarrollo
sfi. r -I 2 v 2 7T= arcienxl = arcsen------ arcsenU = —
Desarrollo
f ^ = f - ----- - = arcseni— J = arcsen - - arcsen 0 = -J 2 j5 + 4 x - x 2 J2 ^ 9 - ( x -2 )2 3 >2 2 6
232 Eduardo Espinoza Ramos
1535
1536
1537
1538
J.1 2 jy ay
y6 +4
Desarrollo
r 1 y2dy _ i f
0 V>’6 + 4 3 *'í
1 3v2dv 1
V(y 3)2+ 4 3- ln | y3 +>/ y6 + 4
= - l n | l + V5 | - i l n 2 = - l n | Ü ^ - 3 ' ' 3 3 2
í ,4 2 ieos a J a
Desarrollo
í 4 2 . f í l eos a d a = \ —J o Jo
■eos2a , « sen la----------d a = (—+ ----------)
2 2 44 _ n 1 o ~ ”8 + 4
ísen \¡í di¡t
Desarrollo
I 2 setv'xj/ dì// = !Jo J i
3 . 1 2 , , i , COS ' W I 2sen y/di / / - I (1 -c o s - \f/)sen\i/d\j/ = (-cosi/m ---------—)r
í ;
í;
dx xln x
dxx ln x
= (0- 0) - ( - l + I ) = |3 3
Desarrollo
= InOn x) = ln(ln e2 ) - ln(ln 3) = ln(-----)\ e ln 3
Integral Definida 233
1539
1540
1541
1542
í;sen(ln x) , — -------- dx
Desarrollo
f " í ew(lnX1 dx = - cos(ln x)| = -(cos(lne)—cos(lnl)) = -(cosl-cosO) = 1- cosíJ i x 11
I 4 tgxdxJ -*
Desarrollo
n_ £| % gx dx = - ln(cos x)| 4n = -(ln(cos - ln(cos(- - ) ) )
= - ln(cos — ) - ln(cos — )) = 0 4 4
f 3 ctg4\f/ d\¡/
6Desarrollo
- - 3 I " I “ 8 Kf 3 ctg4y/d\j/= í 4 (eos2 y /- l)c tg2\ i / d y f = - ^ ^ y K+(ctgii/+y/)\ ^ =
6 6 « 6
r 1 exdx j o l + e2*
Desarrollo
f 1 , 1 ’ , *------— = arcíge^ = arcfge - —J o l + e lo 4
234Eduardo Espinoza Ramos
1543 I cosh x dx
1544
Jo
Desarrollo
r I e * - e " \ ' e - e - ' 1 1f cosh dx — \ ' e— +e ' dx = _ Jo J o 2
J„
-------= - ( e — )2 2 e
■ In 3 ,dx
' In 2 C O Sh2 X
Desarrollo
f '"3 dx f in3 |l"3J in 2 ^ B J „, “C b d X ' H „ 3 = Win 3) - .ghdn 2),
[ senh2jJ 0
1545 I senh xdx
Desarrollo
f senh2xd x = ^ f (g2t - 2+ e~2* )dx = - ( - 2.y + — ■ e )| * J « 4 J o 4 2 |oJt 1 1 ^ 1
: ( - — + — senh2x)\ = — cosh 2k - —2 4 l o 4 ‘ 2
IN T E G R A L E S IM PR O PIA S .
(T ) DEFINICIÓN.- Sea “f ’ es continua en [a,+°°>, ijm fb—>+oo J
existe, entonces definimos:
• •
» <2f (x)d.x = lim I f (x )dx
b—¥+oo I
bf (x )dx ,
a
Integral Definida 235
(T ) DEFINICIÓN.- Si “f” es continua en <-°°,b] y si lim í f ( x) dx
existe, entonces definimos:
íb rb
f {x)dx = lim I f ( x )d x a->-°°Ja
(T ) DEFINICIÓN.- Si “f ’ es continua en < - ° o ,+ o o > entonces:
/•+00 mOJ f ( x ) d x= lim J f ( x) dx+ lim í f (x )dx
/>->+“ J Q
NOTA.- Estas integrales son convergentes. Cuando existen estos límites en caso contrario se dice que es divergente.
( ? ) DEFINICIÓN.- Si “f” es continua en [a,b> definimos/.ft (•&-£
/ (x)dx = lim f (x )dx siempre que esteJ u °Jalímite exista.
( ? ) DEFINICIÓN.- Si “f ’ es continua en <a,b] definimos
f (x)dx = lim / ( x)dx , siempre que esteJ a e ~ * ° j a+e
límite exista.
( ó ) DEFINICIÓN.- Si “f” es una función en [a,b] exce >i.) en x = cdonde a < c < b, entonces:
*b i»c-£ rbf (x )dx = lim I f (x)dx+Y\m I f ( x ) d x , siempre que existan
Ja £_>0Ja £_>0Jc+£
estos límites.
236 Eduardo Espinoza Ramos
1546
1547
1548
1549
Calcular las siguientes integrales impropias (o determinar su convergencia).
fJo
dx
o v*Desarrollo
í —f= = üm f = lim 2Vx| = lim(2- 2Ve) = 2 Jo vx £ ~ * ° J e Vx £~>0 le f_>0
f 2 dxJ-i x
Desarrollo
c 2 d x _ r ° d x [ 2dx r e dx f 2dx , r £ i :- h I — - l im i — + lim — = lim In x| + lim ln jcj
J - 1 x J X J () X e—»0J _J x E - + Ü X £->0 |_J £->0 ¡¿
= lim [ln (-e)-ln (-l)] + l im (ln 2 -ln e ) => 3 £->0 £-*0
por tanto la integral es divergente.
dx
iDesarrollo
f * , f dx 1 I1 ¿~P I1 i £i-p j— = hm — = lim------------ = lim ------ = lim(— ---- - — ) = —
J o x p £->0 J eX p £-*0(l -p)xp~l \e * -> ° l-p |£ £->0 1-/7 1 - p 1- j
si p < 1 es divergente, y si p > 1 es convergente.
Jo (x - l Ÿ
Desarrollo
3 / i v / jv j . . a i—e j »3J r ^ = - lim f 1 6 — — y + lim fJo ( * - 1) Jo ( x - l ) J l (X - l)2 Jo (X - l)2 e->oJ,+e (X -l)2
dx
Integral Definida 237
1550
1551
1 l ,£ 1 I3 . . . 1 1 A 1= lim--------¡ + lim-------- 1 = - lim(------- ---------- ) - lim (---------------)£->o x-l|o £—>o x —1 li+£ £-*o 1—e —1 0-1 £—>o 2 1 + e - l
1 ^ dx= -(-oo) -1 — + +oo = °° . Luego: j ---------—, es divergente
2 Jo ( x - l) 2
dxr *Jo Vi-*2
Desarrollo
f ‘ dX.... = lim f E —jÉ?L = = limarcsen xj ' *j oVl-x2 £ °Jo yfl-7 £ ° lo
r
n= lim (arcsen(l - e) - arcsen(O)) = arcsen 1 = —
£-»o 2
dxx
Desarrollo
f — = l im í — = lim ln x | = lim (In b - ln 1) = lim ln b = ln(°°) = J ] X />-»“ J i X 11 6 -*“1 í>-»~
r d xLuego la integral I — es divergente.
J i x
1552 rdx~~2
Desarrollo
238 Eduardo Espinoza Ramos
rDesarrollo
dx ¿~p | fc ,bl~p 1 ^ i if •— = lim f — = lim —— I = lim(—— —) =0- - - - - - - - - - — s¡r»lJi x p xp 1 — /?Ii 1-/7 1 - p 1- p p - 1
1554
1555
r dx Luego: I —J¡ x p
í
es convergente si p > 1 divergente si p < 1i x y
dx>
Desarrollo
0 J- dx
> 1 + x 2
f - ^ = f A t f A , Ita f - V » fJ -oo 1 + J-ool + X Jo l + X 1 + X J(
L x2 +
1 + X Jo 1 + x
= limarctg x| + limarctg x|| a |0
= lira (arctg 0 - arcíg a) + lim (arctg b - arete 0)
71 K= arctg(~) + arctg(oo) = —+ — = n . Luego la integral es convergente.
dx
4x+9Desarrollo
r dx r dx r 2 dx___ + r ~ ____ dx_J-«, x 2 + 4x + 9 J-~ (x + 2)2 + 5 J—(x + 2)2+5+J-( x + 2 r + 5 J -2 (x+2) +5
Integral Definida 239
1556
1557
1 x + 2 1 x + 2 I; lim —¡= arctg(— + lim —= arctg(—=^)
a 5 V 5 \a h~>°° V 5 V 5 I 2
: lim (~ s arctg(O) — -r- a rc tg (^ ¿ ) + lim ( ~ arctg(-^=~ ) — \= arctg(O))- S S S b-~ s s s
1 x 1-=■ arctg(-oo) + —= arctg(oo)S S
2 K- 7=rarctg(oo) = —j= . Luego la integral es convergente.S n/5
Lsen x dx
oDesarrollo
. b ibMOO /» P I O
sen x d x = lim j senxdx= lim -co sx = lim (eos b -eo s 0) . 2 Jo b °°Ja b~,°° 10 b °°
por lo tanto la integral es divergente
i’2 dx
x ln xDesarrollo
í 2 dx = lim f 2 — = lim ln(lnx)|" Jo x ln x c->oJ£ x ln x e->o | £
l n -= lim[ln(ln —) - ln(ln e)] = lim ln(— —) = +°°
e- > 0 2 £-»0 ln£Luego la integral es divergente.
240 Eduardo Espinoza Ramos
1558i2 dx
o x ln2 xLDesarrollo
i i í Ine — ln —p dx f 2 dx ,. 1 \~2 , 1 1 , 2----- — = lim ---- — = lim --— = -h m (— -— -— ) = hm --------- —
Jo xln~ x £-*°Je x\n x £_>0 ln jc |£ £_>0 £->02 ' 2
]_ln e + ln 2 e 1 1 1 1
= lim------------ = - lim — ----- = - lim -£->o 1 £-»o 1 1 £->o 1 1 lnl —ln 2 ln 2ln e .ln - l n - . — ln - ln -
2 l e 2 2
Luego la integral es convergente
íJo1559 | - É L . , a > 1
jcln xDesarrollo
pi>f = lim f -ÉL— - ijm ]n(ln jc)I = lim fln(ln b) - ln(ln a)] = lim ln(——)
Jo jcln* xlnx b-**> \a b->°° b->°° lna
= ln(—) = ln °° = oo . Luego la integral es divergente a
f " dx
Ja Jtln2 *1560 i -----, a > 1
Desarrollo
r dx .. r dx i f . .. i i , ..I — -— = hm [ ---- —- = hm ----------- = - l im ( ------------) = - l i m -----Ja Jtln * h-^°°Ja x \n~ x h~*°° lnxla b->~ \nb lna f>->~lna.
• b 1l n - - j= lim ----- — = lim ~ -— = ------ . La integral es convergente.
lna.lnb ¿>->~ 1 lna — lna b
i a ln —blnfc
Integral Definida 241
1561
1562
1563
1564
I 2 c tg xdxJo
Desarrollon
I 2 r 2 |2 7ÜI c\ g xd x = \ \m I c tg x dx = lim !n(senx)| = lim(ln(sen—)-ln (sene))Jo £_>0 Je £—>0
= lim (lnl-lnO ) = 0 - ln 0 3 . Luego la integral es divergente£->0
fJo
e ^ d x
Desarrollo
í e kxdx = lim í e kxd x = lim -^—— I = —— lim(e bx- 1) = —Jo ¿j—>°°Jo b-*~ k lo k
La integral es divergente
’ arctg xIX
Desarrollo
r-Jo 1
2 dx+ X
(•“ arctg* = ,.m f ” arctg* = üm arctg_£| = ^Jo 1 + * 6~*°°Jo 1 + JC. b~*°° 2 lo b->°°
? " ,b arctg2b arctg2(0)b—>°° 2
I
arctg2(°o) arctg2(0) _ n 2
dx
)2Desarrollo
2 U 2 - l )2
f°° dx Cb dx f dx— ----- 7 = llm “ i ----- t integrando — —J 2 ( X 2 - 1 )2 J 2 ( X 2 - 1 )2 J ( X 2 - l ) 2
242 Eduardo Espinoza Ramos
1565
n/x2 - 1
Es decir: sec0 = x ; dx = se c 0 tg 0 d 0
f dx fsecfl. tgOdd fsec0.tg6>¿0 f „ , f ,
integrando por partes: = - - [ c s c 0.c tg0 + ¡n | csc0 - c t g 01|
í = - f e +ta|^ é ;
Luego: L= - - l i m (—— -+ -
2 (x2 - l ) 2 b->~J2 (x2 - l ) 2 2*— V - l V T I í l
10 JT+1
= lim [ ( - ^ — + ln - /L _ L ) - ( - + 1„_ L )j2*-*“ ¿>2- l V3 V5
- - - r ( 0 - — + ln>/3) = - - i- ln > /3 = - - —ln 3 2 3 3 2 3 4
1 1 1 1
Desarrollo
f " dx Cb dx . fI ~5—- = Iwn I —-— integrando I Jo *3 + l Jo x +1 J
dx x 3 +1
de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:
Integral Definida 243
1566
ídx 1 , (* + l)2 1 2; t - l „ ,• = — ln------------— j= arctg — ■==-, por tanto se tiene:
*3+ 1 6 6 r x
r dx j*fc dx rl , U + l)2 1 t 2jc-1—— = lim —— = lim [-ln —--------- + -= a rc tg — ■=-Jo x +1 *-»“ Jo x +1 *->“ 6 x - x + 1 V3 V3
1, (*+D 1 2b~ K A 1 W= lim (—ln—r--------- + -¡= arctg— p - ) - 0— parctg (— r )i->~ 6 (fo2 -¿> + l 73 V3 V3 V3
1 1 1 7T n 2k» O ^ a r c t g W ^ a r e t g ^ ^ ^ ^
f ' Í¿C
Jo 5jc2Desarrollo
1 1 1i
f - 3 - 2 = lim f ~ J ~ ~ 2 = lim f ( - 2 5 - 4 + - ^ ) d x Jox3 - 5;t2 e^oJe e^oJf x JC-5
= lim(— — ln x + — + — ln | x - 5 1)e-*o 25 5x 25 £
= 0 + I + — in(-4) + — lnO + — - + — ln(0-5) 5 25 25 5(0) 25
.100
1567 íf
»Je -
dx3 lim I —------ - por lo tanto la integral impropia es divergente.e->oJ£ jc3 - 5x2
dx
0 y[x + 2\fx + X3Desarrollo
244 Eduardo Espinoza Ramos
Sea /(* ) = _ --- 1—— 1— V x > OVx + 2^ + x3 x2 + l
f '00___ dx i”00 dx
Jo yfx + 2\fx + x3 ~ J 0 x2 +l
f 100 dx I100 f 100 dx— = arctg x| = arctg 100 => —---- , es convergente, por lo l
Jo * +1 lo Jo x2 + l
1568
100 , dxtt=---- -t=---- t , es convergente
o <]x + 2 y x + xs
dx
i 2x + yjx2 +] +5Desarrollo
1 1Sea / (x) = ------- r = = -------------- • puesto que
2x + \fx2 + 1 + 5 4* + 5 F
yjx2 + 1 <2x => 2x + >/x2 + l + 5 < 4 x + 5
1 1 f°° dx f ” dx------ r ---- -- ----- r => I ------- ¡ = ------^ I --------- , Pero:2x + vx +1+5 4* + 5 Ji 2jc + V +1 + 5 Ji 4x + 5
f — = -í-ln|4* + 5||°° = o=-—ln3 = <»Ji 4x + 5 4 ' 'I, 4
f~ dx f~ dxLuego I -------- es divergente, por lo tanto I --------=====---- es divergente
j> 4 jc + 5 J. 2 * + ^ n + 5
1569 f -----J-i x2 + Vx4 + 1
Desarrollo
Integral Definida 245
1570
1571
Sea /(x ) = --------L ===<—L - , V x > -1x2 + í[7 7 \ x + i
Luego f ------< í - ~x— , de dondeJ - .x 2+ ^ / 7 7 i J - 1A-+ 1
r dx 1“ n . , k n— - = arctg xl = --a r c tg (- l) = - + - = —
J-i x" +1 l-i 2 2 4 4
r~ dx r dxentonces I —----es convergente por lo tanto I -------- —....- es convergenteJ - , a 2+ V 7 T I
f Jo
xdx
iDesarrollo
'o 4 x 5 + \
Sea /(x ) = -= ■■*....— , V x > 0V T T í *2 + i
f ” xdx (*“ dx , J dx r n n nI ,....— < I —r---- de donde se tiene: I —----= arctg .vi = -----0 = —
Jo Vx5+1 Jo x2 +l Jo x2+l lo 2 2
f dx , f°° xdxLuego I —---- es convergente, por lo tanto: I ------ , es convergente.Jo x~ +1 Jo yjx5 +1
f 1 dx
JoDesarrollo
x4
Sea f ( x ) = - j J = r = 1 < J ------ luego:V l-x 4 i¡( l - x 2)(l + x2) y¡\ + x 2
246 Eduardo Espinoza Ramos
1572
1573
de dondeJ o ÿ T T ? J . ÿ ï T ?
f 1 xí/x 3 - I 1 3 2 f 1 • /",/ ■ ~ - ( l + .V)3 = — (23 - 1) entonces | ^ A es convergente,J'Wl + JC2 4 lo 4 Jo ¿A + v2. r ¿A-
por lo tanto I .. es convergente.Jo V i- * 4
ídx
x ln xDesarrollo
lnx x Ir, a
í fj] In.r J, .
Entonces j -------> | ~ d x de donde se tiene:xlnx
rdx f " dx I ■
—-— = lim I -------= lim ln(ln x)|x lnx e->o J l+e xln x £->o
= lim(ln(ln 2) - ln(ln(l - e)) = ln(ln 2) - ln(ln 1) = ln(ln 2) - ln 0 = -=o
Il+£
i r dx i*2 dxLuego I —-— es divergente, por lo tanto I ----- es divergente.
Ji * lnx Ji lnx
/ :senx ,
- d x
Desarrollo
S e a / ( x ) = ~ < - L d e ¿ o n d e f ^ ^ d x < f ~ e n t o n c e s* X 2 J?- XT J l X 2
Integral Definida 247
1574
1575
r dx i r 2
h x 1 2x\E
2n n
r d x , . .I — es convergente, de dondeJ - x"
l
sen.x ,— — dx es convergente.
- X 2
Demostrar que la integral de Euler de primer especie (función Beta).
B(p,q)= x p~l( \ - x ) q~ld x , es convergente cuando p > 0 y q > 0 .JoJo
Desarrollo
Sea f ( x ) = x p \ \ - x ) q 1 luego: Z?(¿>,g) = J f (x)dx = j 2 f (x)dx+ f (x)dx2
- dB(p,q) = í ; f (x)dx+ j* f {x)dx , por el criterio de comparación se tiene:
2
lim f ( x )x '~p = 1 y lim( 1 - x) l~q f ( x ) = 1x—0 x—»0
esto cuando 1 — p < 1 y 1 — q < 1, de donde p >0 y q >0 en este caso las
- iintegrales J 2 / (x)dx y f (x )dx son convergentes, por tanto:
2
B(p,q)= I x p~] (1 - x)q~x dx es convergente cuando p > 0 y q > 0 .Jo
Demostrar que la integral de Euler, de segunda especie (función Gamma).
V(p)= I x p le Xdx es convergente cuando p > 0.Jo
Desarrollo
248 Eduardo Espinoza Ramos
En T (p)= I x p le Xd x , el factor e 1 —>0 cuando t —> Luego:Je
í x p le Xdx converge en el límite superior para cualquier valor de P, en elo
límite inferior el factor e~‘ —»1 , cuando t —» 0 y el factor / p' 1 °° cuando
p < 1 y, para que sea convergente en el límite superior P debe ser positivo.
(El límite se obtiene por el Teorema deL’HOSPITAL)
NOTA.- r (p ) = f x p~le~xdx = lim í x p~le~xdxJo '-»“ Jo
5.4. C A M BIO D E V A R IA B L E E N LA IN T EG R A L D E FIN ID A .-
Consideremos f(x) una función continua en [a,b] y x = \j/(t) continua y i (t)
continua en a < t < (3 donde a = y (a ) y b = \|/([i) y además la función
f(\j/(t)) continua en [a ,(3], Entonces:
r h rPf (x)dx = f[y/{t)].\i/’(t)dt
Ja Ja
1576 Se puede calcular la integral i \ ¡ \ - x 2dx valiéndose de las sustituciónJo
x = eos t?Desarrollo
Sea f ( x ) = \l 1 - x 2 => = yj\ — cos21 = (sent)
donde \|/(t) = eos t y ij/'(t) = -se n t
/ ( y / ( t ) ) y / \ t ) d t , donde x = eos t
Integral Definida 249
1577
1578
1579
»2 ___ /»arccos2 2 »arccos2 5\ J \ - x 2dx= i (senf)3(-sen(W í = - l sen3 tdt no se puede calcular
Jo h k2 2
Transformar las siguientes integrales definidas valiéndose de las sustituciones que se indican.
J* \ /x + \ d x , x = 2t - l
Desarrollo
.3£ -Jx + Ídx = 2 J y]2t - 1 + 1 dt = 2 J V2 sit dt = 2V2^ V? dt
j*1 dxJi
1
i
ViDesarrollo
Sea x = sen t => dx = eos t dt
i - -f dx _ 1*2 eos tdt (*2 eos tdt
V i-* 4 Vi -sen4 í J* V (l-sen2r)(l + sen2r)2 6 o y7T * 7£
_ costdt ^ r 2 dt
yjeos2 í(l + sen2 /) ’J^. Vi + sen2 f
L
4
3 , x = senh t3 V 7 7 I >.
Desarrollo
H f In3 coshrdí f ln3 .I - = ... .. ■ ■„=■ = 1 d t , dondeJ— V*2 +1 J'n2 Vsenh21 + 1 Jin2
250 Eduardo Espinoza Ramos
e' -e ~‘x = senil t => dx = cosh t dt jc = senh t = ---------
3 4para x = — , t = ln2, x = — , t = ln3
4 3
K
1580 i 2 f ( x ) d x , x = arctg tJo
x = arctg t => dx =
Desarrollo
dt1 + t2
71 Típara x = Ü => 0 = arctg t => t = 0 x ~~2 ^ — = arctSí t = °°
f / (x)dx = f /(arctg t) dt Jo Jo 1+t2
1581 Para la integral i / (x )dx , (b > a) indicar una sustitución lineal entero Ja
x = a t + p que de por resultado que los límites de integración se hagan respectivamente iguales a: 0 y 1.
Desarrollo
íb
f (x ) d x , como x = a t + (3, la sustitución lineal entera entonces buscaremos
a y P para que los límites de integración sean 0 y 1.
Luego: a = a t + P ==> t = ———a
b = a t + p => t = - —— a
Integral Definida 251
1582
o , a = b - Ppara t = 0 => a = B ; t = 1 =» ------------a = b ~ a
por tanto: x = a t + p ; x = (b - a)t + a
Utilizando las sustituciones que se indican, calcular las siguientes integrales:
í4 dx
0 \ + s í x
Desarrollo
Como x = t 2 =$ x = t 2
además para x = 0 => t = 0 ; x = 4 => t = 2
f 4 d x f22t d t 0 f 2 1 , ,Luego: ----- ■== ---- = 2 (1- - — )dyJo 1 + Vx Jo 1 + f Jo l + t
12= 2(2 - ln 3) - 2(0 - ln 1) = 4 - 2 ln 3
o'
= 4 -2 1 n 3I t
I
4 dxyfx
1583 x - 2 = z3U - 2)3 +3
Desarrollo
Como x — 2 = z 3 => dx = d>z2dz
Para x = 3 => z = l ; x = 29 => z = 3
f 29 (x — 2)^dx f 3 z23 z 2dz z4dzLuego; J -------- = =
( x - 2 ) 3 +3
252 Eduardo Espinoza Ramos
1584
1585
= 3 f (z2 - 3 + - ^ — )dz = 3(—— 3 z + - ia r c tg - ^ ) | Ji z +3 3 V3 V3 I
= 3 (9 -9 + a r c t g - | ) - ( I - 3 + a r c t g ( ^ ) )
2^ + 8 = A - 8 , J * J í z ^ , 8 + _ U2 2j3 " J3
C x-2)3 +3
f ln2 -------ylex - \ d x , e x - l = z 2
JoDesarrollo
Como e x - l = z 2 => e*dx = 2zdz. ; dx = ^z +1
Para x = 0. z = 0 ; z = ln 2 , z = l
pln2 y-- 9 H i ilLuego: I \lex —ldx = I ——- = 2 I (1— -— )dz = 2 (z-arc tg z) = 2 - —
«o Jo z '+ l Jo z +1 lo 2
,Jo
i
• In 2 ____Jex - l d x = 2 - ?
* dt to 3 + 2cosí ® 2
Desarrollo
Como tg — = z => dt = ■ y eos t = -——2 1 + z ' 1 + z2
Para t = 0, z = 0 ; t = rc, z = °o
Integral Definida 253
2dzib
r ~ ± — r ~ » ± ¿ T -Jo 3+2cosf Jo 2- 2z Jo z +5 *-*-Jo z +5 fc->~V5 V5+ 1+z2
o
= 2 lim (4 = a r c t g — j=arctgO) = \ arctgc*-Q = Z L V5 V5 V5 5 V5
íK dt n
o
1586 1
3 + 2cosí ¡5
dxa i2 x
Desarrolloo 1 + a2 +sen2 x
, dt , t Como tg x = t => dx = ------ ademas senx =1 + t2 Vl + í2
KPara x= 0, t = 0 ; x = —, t = °°2
<ir —r f r 1 + 7 _ r _ _ * _ = _ J L _ i i m fJo l + a2sen2x Jo a2f2 Jo (l + a2)í2+l \[\ + a2 Jo (l + a“)r +1
1 + f2
=■ lim arctg(Vl + a2í)| = ■ 1 - lim (arctg \l\ + a2b - arctg 0) 2 |o Vl + a2yfl + a
1 7Tr[arctg(oo) - arctg(O)] =—7==Ltuvv5vvv/ r-
Vl + a 2 2v l
n
- f2 dx K
0 1 + a2 sen2 a 2\]l + a2
254 Eduardo Espinoza Ramos
Valiéndose de sustituciones adecuadas, calcular las integrales:
15872£2
Desarrollo
Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0
Para x = — =* B = — \ x = 1 => 0 = —2 4 2
Luego:J:fl x 2 J I sen 0 J l sen 0
k n
= J 2 c tg2 e de = J 2 (ese2 0 - 1)¿0 = (-£■ tg 0 - e )|24 4 T
= ( - c t g 0 - e ) 2 = ( - o - * ) - ( - i - - ) = i - - + - = i - - l í 2 4 2 4 4
4
- J i1
dx = 1----X2 42
,2V ?1588 ^Ji x
Desarrollo
Sea x = see 0 => dx = see 0 tg 0 d0
Para x = 1 => 0 = 0 ; x = 2 => 0 = j . Luego:
, 2V*2- 1 , f l Vsec2 0 - 1
Integral Definida 255
1589
f 2. - U = f 3 Vsec20 1secg tggdg = f 3tg20J0 Ji * Jo sec0 Jo
= f 3(sec20 - l ) í /0 = (tg0 - 0)|3 = ( - j 3 ~ ) - ( 0 - 0 ) = > ¡ 3 ~ Jo lo 3 3
/. í 2^ ± d x = J Í - - Ji X 3
1ln5 exy[e*—Í
ex +3Desarrollo
, . 2 . 2zdze - l = z => í/x = ----- -1 + z
para x = 0 = » z = 0 ; x = ln5 => z = 2. Luego:
F ' d E l « .Jo ex + 3 Jo z~+4 1 + z Joz"+4 Jo z +4
= 2(z - larctg- ) | = 2(2 - 2 arctg (1) ) - 2(0 - 2 arctg (0)) = 4 - n2 ' o
1590 r ------% =Jo 2x + y]?>x + \
Desarrollo
256 Eduardo Espinoza Ramos
1591
Para x = O => z = 1 ; x = 5 => z = 4. Luego:
i»5 j *4 —zdz *f ___ ÉL___ = f _ _ J _______ 2 I
Jo 2x + \¡3x + l Ji 2 /_2 _ n , Ji(z2 — 1) + z 1 + ~’z 2
1 2
- 2 f ------— -----= 2 j* (— + - ^ - ) d z = [-ln(2z -l)+ -ln (z+ 2)JJ, (2z-l)(z + 2) J, 2z - l z + 2 5 5 |
1 4 1 4 1 4 4 4= (—ln7 + —ln6) - ( —lnl + —ln3) = -ln 7 + - ln 3 + - l n 2 - - l n 3
1 4 1= - l n 7 + —ln2 = —ln l l2
5 5 5
Calcular las integrales:
dx
i x\l x¿ + 5x +1Desarrollo
Sea x = - => dx = - É - t t 2
Para x = 1 => t = 1 ; x = 3 => t = -3
i . Éf ____ él____ = fa / 2 _ n dt____ = r ' _
Ji xsIx2 +5x +\ Ji l O “ Vr2+5í + l
1 di
- U 5,2 213 'I 2 — ~4
- l n | ( - + í) + Ví2+5í + l |j j = l n | - + >/7 | - l n | ^ - + y -1
Integral Definida 257
1592
1593
1594
j;
, 7 + 2V7 . 9 , , 7 + 2^= ln------------ln—= l n ----------2 2 9
dx
!)2Desarrollo
- 1 (1 + *2)2
í — ÉL— = ¿e acUerdo al ejercicio 1297J (1 + x2)2 2(1 + x ) 2
dx x arctgx l1 1 arctg(l) 1 arctg(-l)- -)| = (—+ — - — ; - ( —- + - — -— ;
f dx x arctgx IJ-i(l +jc2)2 2(1 + jc2) + 2 Ii(1 + jc2)2 2(1 + x ) 2 4 2 4 2
Jo
1 1 n = — + arctg(l) = — + —2 2 4
x" dx
Desarrollo
f ' ] ax -x2dx= f j - — ( x - ~ ) 2dx = - [ ( x - —) \ l a x - x 2 +— arcsen(—Jo Jo V 4 2 2 2 4 a-;j
lo2
, 2 x - a I 2 ° 2 2* - a Ia= (------------ v a x - x + — arcsen--- )4 8 a lo
2 2 2 2 = (0 + — arcsen(l))- (0 + — arcsen(-l)) = — arcsen(l) = ——-
íl n
o 5-3cosxdx
sxDesarrollo
|n> I
a
258 Eduardo Espinoza Ramos
1595
c . x 2 dz 1- z 2sean tg — = z , dx = ----- cosx =1+ z 1+ . 2
2 dzr2n ¿ir c2* 2 i r2K i * i i2® i „ i2tcf dx r 1 + 72 i f-* 2dz 1 „ ¡2” 1 x j
ol+z2
v In Jt= —arctg(2 tg(-))| = arctg2tg(-)-arctg(2tg{0))
. 7T _ 7T- arctg oo - arctg(O) = — - 0 = —
/•a /• aDemostrar que si f(x ) es una función par ! f ( x) dx = 2 j / (x)dx . Si por el
J a J O
contrario f(x) es una función impar L f (x )dx = 0
Desarrollo
rr> 1*0 j»a
f ( x ) d x = \ /(x )dx + f ( x )d x . . .(1)J -a J - a J O
como f(x) es par => f(x) = f(-x)
Sea x = -y => dx = -dy
I / (x)dx = - I / (x)dx , para x = 0 => y = 0; x = -a => y = a. Luego:J-a Jo
f f ( x ) d x = - f f (x)dx = - f /(-yX -y) = - f f ( y ) - ( d y )j - a Jo Jo Jo -
= Í f ( y ) d y = í /(x )d x Jo Jo
Integral Definida 259
1596
1597
<•0 0Opor lo tanto I f {x)dx = I f (x )dx ... (2)
J-a Jo
*a *areemplazando (2) en (1): / (x)dx = 2 j f ( x )d x en forma análoga para
J-a Jof(x) impar.
f “ -*2J „ f " f “Demostrar que: I e dx = 2 e dx = I — p —J-o= Jo Jo V*
Desarrollo_ 2
/(x) = e x es simétrica respecto al eje “Y”.
• 0e~x dx = I é~x dx + I e~x dx = I e~x dx + I e x dx
e x dx ; por la simetría ahora demostraremos que:
1 e x dx = I e x dx + I e x dx = I e x dx + IJ-oo J-eo Jo Jo Jo
■ i
2 i e~x dx = i e~x . Sea z 2 = x => dx = 2z dzJo Jo V*
Como z 2 = x => \ fx = z
r e ~ xdx r 2 z . n r -z2 , o f ”= I —= - = 1 e —-dz = 2 I e ~ ífe = 2 I e dxJo Vx Jo 2 Jo Jo
1 J.-_ C dx C 2 sen x ,Demostrar que: | ---------- = I -------d xJ()arccosx J() x
Desarrollo
Sea arccos x = z => x = eos z ; dx = sen z dz
KPara x= 0 => z = — ; x = 1 z = 02
260 Eduardo Espinoza Ramos
1598
re k1 o of dx [ -sen zdz _ f senz ^ _ j*2 se n z ^ _ f 2Sen;c¿tJo árceosx J* z J í z J0 z Jo x
2 2
1 -C dx f 2 sen x ,Luego: I -------------= ---- -dxJo árceos x J0 x
£ £Demostrar que: I 2 /(senx)rfx = j ~ f (eos x)dx
Jo Jo
Desarrollo
Sea z = senx =$ V l - z 2 = eosx
dz = eos x dx => — = dxVl- z
para x = 0 => z = 0 ; x = -~ =s> z = 12
<•- 1í 2 / (senx)dx = í f ( z ) - r ^ = ... (1 )
Jo Jo J 1~ 72vi - z
sea y = eos x => dy = - sen x dx
como J l - y 2 = senx =? — r¿ L = = dx
71para x = 0 => y = 1 ; ■* = — =^y = 0
Tí
f 2/(C0Sx)dx= f f ( y ) ( - ! É = ) ) = Í l f ( y ) - Í L = = f ' / ( z ) - ^ = ... (2)Jo J i y j l—y' *'° y ¡ l - y 2 *'° v i - z 2
í. * de (1) y (2) se obtiene: | 2 /(senx)dx = i 2 f (cosx)dx
Jo Jo
Integral Definida 261
5.5. IN T E G R A C IO N PO R PA R T E S,-
1599
Calcular las siguientes integrales, empleando ía fórmula de integración por partes:
i, x eos x dx
Haciendo
Desarrollo
u = x => du = dx
dv = cosxdx => v = senx
í xcosxdx = x sen jd
n k
p - f lo Jo
sen xdx = xsenxi 2 + eos xlle !c
1601
. \ l 2 ( 7Z TZ TT. . 7 t _ . 7 t■ (jesen a' + cosjc)| = (—sen— i- eos —) - (0 + 1) = - + 0 -1 = ---- 1lo 2 2 2 2 2
1600 í ln xdx
Haciendo
Desarrollo
K = lnx => d u = — x
dv = dx => v = x
J* lnxdx = x inx | - J* dx = (x lnx -x )J = ( e - e ) - (O - l) = 1
f x3e2xdxJo
Desarrollo
Haciendou = x
dv = e2xdx => v = -
du =3x2dx
262 Eduardo Espinoza Ramos
1602
f x3e2xdx = ~ - e 2x\ x2e2xdxJo ¿ lo 2 J 0
Haciendou. = x =$ du = 2xdx
„2xdv = e2xdx => v = -
í x3e2xdx = ( ~ e 2x- ~ x 2e2x)¡ + - f xe2xdx Jo 2 4 ¡o 2 Jo
(— e2* A 2*)!o 4
e2x 3 3 2 3 3 1' e2 3 ¿>2 +3------ ( X -------X + — X -------) | = -----+ - = ------------
2 2 2 4 lo 8 8 8
fJosen xdx
Desarrollo
u = e x => du = exdx dv = senxdx =» v = —cosx
Je* sen xdx = -e* eos x + | ex eos xdxí ‘
| u = ex => du = exdx [dv = eos xdx => v = sen x
I ex sen xdx - ~ex cos+ ex sen x - ex sen xdx = — (sen x - eos x)
_ nr* ex ¡ - e 2 i
Luego: J ex sen xdx = — (senx-cosx )l = — (1) — (0-1 ) = Jo 2 lo 2 2
e xts> ¡
Integral Definida 263
1603
1604
I xe~xdxo
Desarrollo
u = x => du = dx
dv = e~xdx => v = -e~x
xe~xdx = -xe~r + i e 'xdx = - e _Jt (x +1), Luego:
í xe~xdx + lim f xé~xdx = lim - e x(x + 1)1 = - lim (—-— 1) = —(0 - 1) = 1Jo i-»00 Jo h~>°° ‘
i >+1
í ,e_flJtcosbxdx, (a > 0)
oDesarrollo
k = e_<u; => du = ~ ae axdx sen ¿x
dv = cosbxdx => v = -
f “ , . e~“ seniw a f “ _ai , ,I e cos bxdx = ---------------- 1— j <? senoxdxJo ¿> ¿Jo
u = e-“ => d u = - a e - axdx eos ¿x
dv = sen bxdx => v = -
f°° -a* , j e “ senfcx a - e ^ c o s b x a f ”| e cosbxdx = --------------+ —(-----------— I e cosbxdx)Jo b b b Jo3 2 /•00
r ' ^ J osen b x - a e cosbx= £e “ ------------------------- 1 — — | e cosbxdx
264 Eduardo Espinoza Ramos
1605
f e - eos bxdx = senbx-ae~ax c osbxl~b2 Jo ¿ 2 lo
f V a* eos bxdx = L l ib s e a b x - a c m b x ) |°° _ 0 - ( 0 - fl )=; a Jo b2 +a~ lo a2 + b 2 a 2 +
l
b 2
e ‘“ senbxdx, a >0■ax ,e 0
Desarrollo
u = e ai => du = -ae ‘“dx
eos bxdv = senbxdx ==> v = —b
f -a x I . e “ c o s í í j r f l f ° °| e senfaxdr = ---------------------I e “ cos bxdxJo b b Jo
u = e ax => du = - a é axdxj , , senbxdv = eos bxdx => v = ----------
f senfrxdr = - f _ T cos^ ü r ^ s e n f o + £ f*Jo ¿Jo ¿>Jo
H— I eac senbxdx
.6 cos fox + a se n to a2 f~ '= - e " ( ---------- ----------- ) — - e sen fotdx
Jofo2
_ ax/beosbx + asenbx^ _ax / beosbx + a sen bx2 72 ' ~ ~ e *--------i----9------ ta +b2 a +b |0
b b= - 0 +
a2 + b 2 a2 + b 2
Integral Definida 265
1606 Demostrar que para la función Gamma es válida la fórmula dereducción: T(p + 1) = PI\p), p > 0, se deduce que F(n + 1) = n! Si n es un
número natural.Desarrollo
La func ión Gamma por definición es: T(p)= I e 14up ldu para u > 0Jo
sustituyendo p por p + 1 T(p + 1)= e~uupdu , integrando por partes:Jo
j w = u p => d w = p u p~'du
\dv = e~udu => v = -e~“
r ( p + \) = -e~u.up\ + p [ e~uu p~ldu lo Jo
como p > 0 => e~" - * 0 , cuando u -> «> puesto que p es fija, e~“u p -> 0 ,
cuando u L u e g o : + e "up lduJo
T(p + l) = pHP) de esto se obtiene:
T(n + 1) = n l\(n - 1) + 1) = n(n - D R n - 1)
r(n + 1) =,n(n - l)(n - 2) ... 2.1 ... (1)
T(n + 1) = n!.
K 7T_
1607 Demostrar que para la integral /„ = I 2 sen" xdx = I eos" xdx es válido laJo Jo
fórmula de reducción: /„ = ----- /„_2 • Hallar I n , si n es número natural,n
utilizando la fórmula obtenida. Calcular / 9 e / ,0
266Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
K,#1-1
Se conoce: J 2 sen" dx = " ' x'cosx , f X(¡X
J n n J
K
Luego: / , , P W xdx - f f ^ ' ^Jo n lo n J 0
f ? -
'■ = J . 2” n" xdx ‘ t 1 / , 2 sra"'2 * « - « i
n lo n J0
*
'• ‘ r c° s" x d x = t 1 j ? ' “ 8""1 x i x = » = p e » ' ■ > * = — v 2... (2 )u Jo n
de (1) y (2) se obtiene:
f § £/„ = " sen" xdx = i 2cosn xd x = f 2cosn ;r¿r
*'° J o Jo
n ^I - f 2«Pn" yiffr - 1-3- - (« -3 ) ( /l - l ) Jt
Jo 2A . . ( w - 2)« - 2 "P“ y ” >>
2 .4 ...(n -3 )(n -l)Í X ^ - 2)n ’ nim par y n >1
Integral Definida 267
1608 Calcular la integral siguiente empleando reiteradamente la integra! por partes:
#( <?) = í */’_1 (1 - a)9-1 d x , donde p y q son enteros y positivos.Jo
Desarrollo
u = x p~] => du = ( p - l ) x p~2dx
dv = ( \ - x ) q 1 dx => v = —( l - x ) q
B(p ,q)= í xp~l( l - x ) q~ldx = - - — (1 A) I + ^ —!- f vp 2(1 - x f d xJo <7 lo <? Jo
B(p,q) = ——- f x p l { \ - x ) q dx <7 Jo
u = xp 2 => d u = ( p - 2)xp 3dxHaciendo •! ñ - x f ^
dv = (1 - x)q dx => v = -------------<7 + 1
B( p ,q ) = p - L [ ( - x p- 2 {l )| + ^ - 4 fq <7 + 1 lo <7 + 1 Jo
B ( p ,q) = P - l . P —^ f x p- \ \ - x ) q+xdx q + 1 a + 1 Jo
Haciendou = x p 3 du = ( p - 3 ) x p 4dx
a - x ) q+2dv = (l - x)q+l dx => v = —c¡ + 2
268Eduardo Espinoza Ramos
B(P, q ) = J L 2 ' P z 2 ' P z l | V 4a - * r 2d*q q +1 í + 2Jo
continuando con este procedimiento se llega B(p,q) =(P + q - l ) '
1609 Expresar^ por medio de B (func.ón Beta) la integral
/"'"1 = J0 sení” XC0S” xdx ’ Si m y n son números enteros no negativos.
Desarrollo
Sea / = sen2 x => l - t = cos2 x
dt = 2 sen x. eos x dx => dx = ~ ___ —
para x = 0, t = 0 ; x = - t = 12
tt m n
In,m= i 2 senm x.cos" xdx = f — ^ ~ tÍ í dLJo Jo - -2 / 2(1 _ 0 2
1 f * m~* «-1 = 4 1 t 2 .(1
2 Jo 2 2 2
5.6. T E O R EM A DEL V A LO R M E D IO -
(T ) ACOTACIÓN DE LAS INTEGRALES.-
Si f(x) < F(x) para a < * < b, se tiene f f ( x ) d x< f F(x)dx ; Si f(x)Ja Ja
y vj/(x) son continuas para a < x < b y además \|/(x) > 0, se tiene:
w j y / ( x )d x < j f (x) y / ( x)dx<M j y(x)dx . . . (1)
Integral Definida 269
1610
donde m es el valor mínimo absoluto y M es el valor máximo absoluto de
la función f(x) en el segmento [a.b]. El particular cuando y(x) = 1. se
tiene:
m ( b - a ) < I / (x)dx < M (b - a) ... (2)
De (1) y (2) se puede sustituir por sus respectivas igualdades equivalentes.
fJaf(x)y/(x)dx = f ( c ) í iff(x)dx y j* f ( x )d x = f { $ ) ( b - a ) donde
Ja * a¡;, son números que se encuentran entre a y b.
© VALOR MEDIO DE LA FUNCION.-
cy
1 Chu =------ I
b - a JaEl número u = — — | f (x)dx se llama valor medio de la función f(x)
en el segmento a < x < b.
Determinar el signo de las integrales siguientes sin calcular las:
a) í X3dx r c)f 2n sen x
b) x eos xdx ------ dxJ-i Jo Jo x
Desarrollo
a) Graficando f ( x ) = x
rLuego I x d x , tiene signo más (+).
270 Eduardo Espinoza Ramos
NOTA: Para determinar el signo de la integral sin calcular, se hace elgráfico en el segmento indicado.
La región de la parte superior del eje X es positiva, y la parte inferior del eje X es negativa.
b) Haciendo la grafica de f(x) = x eos x
para c) tiene el signo mas (+).
161! Determinar (sin cálculos), cual de las siguientes integrales es mayor.
a) í yj 1 + x" o j" xdx Jo Jo
Desarrollo
V x e R , \ + x 2 > x 2 ; yjl + x 2 > x
tomando integrales I \j\ + x~dx > f x d x . Luego el primero es mayor Jo Jo
b) x~ sen2 xdx o x sen2 xdx Jo Jo
Integral Definida 271
1612
Desarrollo
V x e [0,1] => x 2 < x , luego x 2 sen2 x < Jrsen'2 x
tomando integrales I x 1 sen ~ xdx < I x sen2 xd x .Jo Jo
Luego el segundo es mayor.
c) J e x dx o J exdx
Desarrollo
V x e [1,2] => x 2 > x , de donde e x~ > ex , integrando de 1 a 2
J ex dx > J exd x , luego el primero es mayor.
Hallar los valores medios de las siguientes funciones en el segmento que se
indican.
f ( x ) = x 2, 0 < x < 1Desarrollo
1 f*El valor medio de la función es: u = ------ I / (x)dx , luego:
b — a J a
1 f ‘u = ----- I1 -0 Jo
x ldx = X3 ! 1 i iu = —3 lo 3 3
i ru = ----- f (x)dxb - a j a
1 f* 1 Iffu = -----------I (a + ¿eos x)dx = — (ax + bsenx) I7C-(-7t)J-„ 2k \-n
272 Eduardo Espinoza Ramos
1613
1614
1615
H = -í-[(OT + 0) - (-flTT + 0)] = — 2n 2k
f(x) = a + b eos x, -7t < x < n
Desarrollo
El valor medio de la función es:
L f ‘ » -< i J .
/ (x)dx, luego u rn - ( - n ) J_„
(a + bcosx)dx
1 I* 1 9u = - - ( a x + b senx) = — {(a + 0 ) - ( -an + 0)] = — . Luego u =
l-jt ¿Tt 2n
f (x) — sen í x , 0 < x < n
Desarrollo
E! valor medio de la función es:
1 fb -a Ja
n Jn
1 Iu = -------i s,7 1 - 0 J 0
sen xdx
eos 2* I r sen 2*.!*' 1 7r-dx = ~ ( ~ -« 2 4 '|0 7r'"2
/ (a) - sen 4 x
Desarrollo
El valor medio 1 riio de la función es: u = ------ f ( x ) d x . Luego sb - a j a
se tiene:
i r * l CTii = ------ | sen4 xdx = — I
* - O j 0 f f J 0f I ^ ¡ 2 x j , dx
Integral Definida 273
1616
. . i r“ Jo1 f ’r l -c o s 2 x + 2cos22x , 1 . 0 x sen4x1 dx = — (x -se n 2x + — + — -— )
4 4 k 2 8
„ = j _ w , 0+ í + o ) = ^ 44 n 2 8?r 8
Demostrar que la integral í ^ <ÍX está comprendida entreJo j 2 + x - x 2
~ = 0.70s[2
Desarrollo
2 +x - x 2 = — ( x — ) , para x e [0,1] => 0 < x < l 4 2
1 1 ^ 1 i 1 i 1=* - 2 Í X ~ l - 2 =*
- =* 4 s - (t4 ,2 s o
„ - I + £ < £ - (¡t- I ) i < 2 =, 2 S í - ( x - i , » S i4 4 4 2 4 . 4 2 4
=> 2 < 2 + x - x 2 < — => V2 < yjl + x - x 1 < ^4 2
¿ i i [ 2 J r dx— < < -p r => —¿X< | , ... .....= < | —7=
x —x2 V2 Jo 3 Jo -\/2 + x —x2 Jo x/2
1 r ' dx < x ■'2 I f
3 lo Jo y¡2 + X - X 2 V2 I0
- < f dx < _ L luego la integral [ , ^ ■ esta comprendida3 Jo v2 + x — x V2 Jo v2 + x - x 2
2 1entre — = 0.67 y —= = 0.70 ahora el valor exacto es:3 V2
274 Eduardo Espinoza Ramos
1617
1618
1619
r - r f i ^ . r" 0 \ 2 + x - x Jo
x - -= arcsen(—— = arcsen(— —-)|
I1 1 1= arcsen(-) - arcsenf— ) = 2 arcsen. - 3 3 3
Acotar las integrales:
• i
i ,\¡4 + x 2dx
Desarrollo
V x e [0,1] => 0 < x < 1 => 0 < x 2 < 1 4 < 4 + x 2 <5 => 2 < V4 + x2 < Vs
=> í 2dx< í \¡4 + x 2 < f \¡5 d x . Luego 2 < 1 < \fs Jo Jo Jo
í ,dx
r
Desarrollo8 + x3
Si X G [-1,1] => -1 < X < 1
9 A-3 + 8 7- l < x 3 <l => 7 < x 2 +8 <9 => < -
f 1 dx f ‘ dx f 1 djLuego:
I* s f _ * . < £ [ * 2 < fi -i J - i x3 +8 7 |_ , 9 j
dx x j1 2 f 1 dx 2 „ , 2 , 2, , ;----- < —I => — < J —------- < — . Por lo tanto: — < / < —
91 i J - ! x j +8 7 1., 9 J_i xJ +8 7 9 7
2 re
Jt dx10 + 3eosx
Integral Definida 275
Desarrollo
Se oonoce que: -1 < cos x < 1 ; -3 < 3 eos x < 3
7 < 10 + 3 eos x < 13 ; — < ------ ------- < -13 10 + 3eosx 7
r 2K dx r n dx „ r KLuego tomando integrales se tiene: I — < ------------- S
J0 13 Jo 10 + 3cosx Jo
2n dx 2n 2n ^ ^ 2n— < I ------------- < — , por tanto: — < / < -—13 Jo 10 + 3cosx 7 13 7
K1620 j 4 xyjtgx dx
JoDesarrollo
Como la función crece monótamente 0 < ^/tgx < 1 para x e [0 ,^ :
0 < x^ tg x < x tomando integral
n_ Jt_ n_ 1 £0 < í 4x^tgxdx< í 4xdx ; 0 < | 4x^tgxdx< — | 4
Jo Jo Jo 2 lo
» - _______ _______ 2 _20 < I 4 Xyjtg xd x < — ; luego: 0 < I < —
Jo 32 32n
111621 i 4
. 1 X
Desarrollo
1 V2En forma análoga a los demas —<1< —
• 200nr eos x1622 Integrando por partes, demostrar que: 0 < j ------ dx<
Jiloo ít x 100;r ejercicio 1609, por tanto dejamos para el lector.
dxy
análoga al
276 Eduardo Espinoza Ramos
C A P I T U L O V I
6 . _____A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
6.1.__ AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS.-
0 EL AREA EN COORDENADAS CARTESIANAS.-
Se determina por la fórmula S = í f ( x )d x , donde y = f(x)> 0, que esJa
el área del trapecio mixtilíneo, limitado por dicha curva, dos verticales en los puntos x = a y x = b y el segmento a < x < b.
En un caso más general, cuando el área S de la figura limitada por dos curvas continuas y = f ¡ (x) e y = f 2 (x) y por dos verticales x = a y
x = b, donde / , (x) < f 2 (x)
Aplicaciones de la Integral Definida 277
▲ y
Y = f2(x)
Y = f1(x)
Para a < x < b tenemos: 5 = [ f2( x ) - f t(x)\dx. Si las curvas se danJa
en forma paramétrica: x = <p(t), y = \|/(t), el área del trapecio mixtilíneo limitado por esta curva y dos verticales, x = a e y = b, respectivamente y por el segmento del eje X, se obtiene:
S = f i¡/(t)(p\t)dt, donde tx y t2J'i
se determinan de las ecuaciones: a = tp(ti ) y b = (p(t2) (tp > 0) en el segmento [tx, t 2]
( 2 ) AREA EN COORDENADAS POLARES.-
Si la curva continua, se da en coordenadas polares por una ecuación r = f(\|/), el área del sector AOB, limitado por el arco de la curva y los radios polares OA y OB, correspondientes a los valores </ / ,=a ,
y/2 = ¡i , se expresa por la integral:
B_ r -
278 Eduardo Espinoza Ramos
1623
1624
[ f(V)]2dy/
Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4 x - x 2 y el eje de abcisas.
Desarrollo
y = 4 x - x 2 la intersección con el eje X es:
para y = 0 => 4 x - x 2 = 0 ; x = 0 ; x = 4
como y = 4 x - x 2 => y — 4 = — (x — 2)2, es una parábola
\ y = 4x - x2
= f yd y = f Jo Jo
( 4 x - x 2)dx = (2x2 = ( 3 2 - — ) - 0 = —3 lo 3 3
i c 32 2Luego: 5 = — u ~3
Calcular el área de la figura limitada por la curva y = ln x, el eje OX y la recta x = e.
Desarrollo
Hallaremos la intersección con el eje X de y = ln x.
Aplicaciones de la Integral Definida 279
Luego: para y = 0 ; l n x = 0 => x = l
S = J ydx = ^ \nxdx = ( x l n - jc)|
S = (e ln e - e) - (1 ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1); luego S = 1 u 2
1625 Hallar el área de la figura limitada por la curva y= x(x - l)(x - 2) y el eje OX.
Desarrollo
4 11 v 4 12
5 = (------x ' + x H + (------+ x3- x 2)4 lo 4 li
280 Eduardo Espinoza Ramos
S = ( I - l + l ) - (0 )+ ( J £ + 8 _ 4 ) - ( - I + i - i ) .•.5 = i + I = I = I ¡<24 4 4 4 4 2 2
1626 Hallar el área de la figura limitada por la curva y 3 = x , la recta y = 1, la
vertical x = 8.
Desarrollo
y 3 = -V => y = 2fx
(y - l) ¿ x = J (< /I-lW x = | j c 3 |X- x j 8
S = 2 ( 1 6 - 1 ) - ( 8 - l ) = — - i l ; lueeo: S u24 4 4 4
1627 Calcular el área de la figura comprendida entre una semionda de la sinusoide y = sen x y el eje OX.
Desarrollo
= c o s J = - (eos 71 - eos 0) = -(-1 - 1) = 2 lo
'= í ydx = rJo Jo
sen x dx
Por lo tanto: S = 2 u 2
Aplicaciones de la Integral Definida 281
1628
1629
Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x, el eje OX,
nlas rectas x = —3
Desarrollo
Y J ,i y = tg x
A
/ t í l S
iii r
/ X lic
j|s
1 K X 2
= JJo
- —
3 tg xdx = ln(cos x)| ’ = -(ln (cos^) - ln(cosO))lo 3
S = -( ln —- l n l ) = - ( - l n 2 ) . Porlotanto: 5 = l n2M22
Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola xy = m 2 , los verticales x = a, x = 3a (a > 0) y el eje OX.
Desarrollo
El grafico de xy = m es:
282Eduardo Espinoza Ramos
1630
S - m" (\n?>a - \n a) = m 2 ln 3 porlolanto: S = w 2 ln 3 « 2
Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de Agnesi. y =
y el eje de abcisas.Desarrollo
x 2 +a2
El gráfico de y = —------ es:x 2 +a2
f f ” _ f L . A +J — J -~ a +íz J ^ x +a Jo x~+a
S = lim i — a 2 dx+ lim f - - ^ É L = lim a~’~™ Ja x~ + a o X +13“ a-»-« arctg—I + lim a arctg-
^ aV™ (a atcíi= a ~ arctg(G))+ lim (a2 a r c t g - - a 2 arctg(O))¿7 /]
Aplicaciones de la Integral Definida 283
S = 0 - a 2 arctg(-°°) + a 2 arctg(°°)-0 = 2 a 2arctg(°°) = a 2n
O Opor lo tanto: S =a~K u~
1631 Calcular el área de la figura limitada por la curva y = x 3, la recta y = 8 y el
eje OY.Desarrollo
El gráfico de y = a es:3 es:
y/ y =
< II 00
/
y
/0 X
Como y = x => x = ^Jy
.8 ~ 4■f 8 í*8 r- 3 - I 8 35 = Aífv= l [ y d y = - y 3\ = - ( 1 6 - 0 ) . Por
Jo Jo ' 4 ’ lo 4lo tanto: S = 12 u ‘
1632 Hallar el área de la figura limitada por las parábolas y “ = 2px y x~ = 2py
Desarrollo
Y -, y-, = 7 2 pxL _ ( 2p ,2p)
x f / X2
^ 2p X
y2 = 2px
284
1633
Eduardo Espinoza Ramos
Buscaremos la intersección entre las curvas y 2 = 2px, x 2 = 2py
como x - 2 py => - Reemplazando en y2 - 2 p x
X4 3 •>' ~ ‘-Px => x ' =8p~ => x = 2p y x = 0
V
par ax = 2p=> y 2 =2px = 4 p 2 =*. y = 2 p ? x = 0 = > y = 0
f 2? r 2p 2( : V i = I (y ¡2px -— )dx
J o Jo 2n
* 0)6 p
„ _ 8 / r 4 /> 2 4 , 4
3 3 ~ ~ 3 P ' Porlotanto: S = ~ P u 2
Calcular el área de la figura limitada por ia parábola y = 2 x - x 2 y la recta y = -x
Desarrollo
Buscaremos la intersección de: y = 2x — x 2 , y = -x
Luego: - x = 2 x - x 2 => 3-t-jc2 = 0 => x = 0, x = 3
Como y = 2 x - x 2 => y - l = - ( x 2 - 2 x + l) => y - i = _ ( ^ _ i )2
Es un parábola de vértices V(l , l ). Su gráfico es:
Aplicaciones de ¡a Integral Definida 285
y = 2x - x2
3jc2 r \ | 3 27 27 „ 81-54 27 9 n „ 1 2= (----------- ) = (----- — ) - 0 = --------- = — = - . Por tanto: S = A - u ¿2 3 ¡o 3 3 6 6 2 2
1634 Calcular el área del segmento de la parábola y = x 2 que corta la recta y = 3-2x
Desarrollo
Los puntos de intersección son:
y = x 2 ; y = 3 - 2 x => x 2 = 3 - 2 x => x 2 + 2 x - 3 = 0 x = -3 => x = l
para x = -3, y = 9 ; x = 1, y = 1. Su gráfico es:
286 Eduardo Espinoza Ramos
1635
S - J [(3-2x )~ x 2]dx = ( 3 x - x 2 ) J
$ - O 1 —) - ( - 9 - 9 + — ) = — - ( - 9 ) = — + 9 . Por tanto S = —~ u2 = 10 J 3 3 3 3
Calcular e! área de la figura comprendida entre las parábolas y = x 2 , y = —2
y la recta y = 2x.Desarrollo
Las intersecciones de las rectas y = 2x
Con la parábola y = x 2 s o n *2 = 2* =* x = 0 o x = 2
Luego los puntos de intersección son (0,0), (2,4), las intersecciones de la recta *2
y = 2x con y = — son (0,2) y (4,8). Luego: S = S, + S 2
.3 |4
2
~ ^ 3 - 6^_ 0 + (1 6 -^ “ _ 4 _ ^ = T + T ‘ Portanto: S = — = 4 u 2 3 6 6 6 3 3 3
U> | K
>
Aplicaciones de la Integral Definida 287
1636
1637
x2Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y = — -
y = 4 - - x 23
Desarrollo
Las intersecciones entre las parábolas son:
— = 4 - - x 2 => x 2 =4 => x = - 2 o x = 23 3
Luego los puntos
x 2
X
5 = [ ' ( 4 - - x 2 - — )dx= f ‘ (4 - x 2)dxJ-2 J -2
Calcular el área de la figura comprendida entre las curva de Agnesi:
y = — —- y la parábola y = — .l + x 2
Desarrollo
4 4de intersección (- 2,—), (2,—). Su gráfico es:
4 - ^ x 2
288 Eduardo Espinoza Ramos
1 x ■Las intersecciones entre la curva y = ----- - y la parábola y = :— , son:
1 + *2 2
Luego los puntos de intersección son: (—1,—) , (1,—)2 2
f* 1 x 2 Io x3!1 1 1S = (—r-i — ~)dx = arctg J — ~ \ = arctg (l) — arctg (—!) — [— + —]
j - i l + x¿ 2 |_i 6 !_[ 6 6
5 = 2 a rc tg Q ) - - = 2~ - . Portanto: S = ( - - - ) u 23 4 3 2 3
1638 Calcular el área de la figura limitada por las curvas y = e x , y = e~x y la recta x = 1.
Desarrollo
La región comprendida por las curvas y la recta es:
Aplicaciones de la Integral Definida 289
'= Í (ex ~< Jo
ii-e~x)dx = (ex +e~x)f
lo
S = (e + e 1) - 2 = portanto: S = ——— m2
2 2 x y1639 Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola — + ~
a~ bDesarrollo
Como: + -^- = 1 ; b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2a2 b2
2 -y , 2 2 2, 2 , Vb2x 2 - a 2 b2a y =b x - a b ; y = ± ------------------
„ C2a \lb2x2 - a 2b2 J , b C 2a r ^5 = 2 ----------------- d x = 2- V* -J a a a j n
S - — (—\jx2 ~-a~ ln \x + y[x2 a2 |)ja 2 2 |
S = —[ ( x jx 2 - a2 - a 2 ln | x + x 2 - a2 |)]|a la
a2dx
2a
S = — [ ( 2 a \ ] 4 a 2 - a 2 - a 2 [ n ( 2 a + y ¡ 4 a 2 - a 2 )) + In a 1
5 = —[2a2 V3- a 2 ln(2a + a^ )] = ab[2sj3 - ln(2 + 7 3 )]u2 a a
2 2 2
1640 Hallar el área limitada por la astroide: x 3 + y 3 = a 3
Desarrollo
= 1 y la recta x= 2a
290 Eduardo Espinoza Ramos
Como las cuatro regiones son simétricas se tiene:
2 2 3pa ña _ _ _
5 = 4 >>ÉÍr = 4 | (a3 - x 3) 2dx. Sea x = az3 => dx = 3az2dz Jo Jo
r* 2 2 2 *»> 35 = 4 I (a3- a 3z2)23az2dz = 12a2 j (l-z2)2z2dz Jo Jo
z = sen 0 => dz = eos 0 d0
Kpara z = 0 =* 0 = 0 ; z = l => 9 =■
2 ^
S = 12a2 I (1 - z 2)2 z2dz = 12a2 I " (1 -sen2 z)2(sen z.cos zdz)r 1 3 f - 35 I ( l - z 2)2z2dz = 12a 2 i " (1- s e n 2 z)2(
Jo Jo
K 1X
2 í “ eos4 z.sen2 zdz = 12a 2 f ^ ( —Jo Jo
* 2O 1 0 Z I ¿ 4 Z _r i o Z 1 0 . . 1 " ^ C O S 2 0 , .5 -1 2 « I cos z.sen“ z d z - 12a I (------------)(------------ )d6
' = — a 2 í '2 Jo
2 (sen2 29 + sen2 29.cos29)d0
Aplicaciones de la Integral Definida 291
1641
3 2 f ^ r 1= 2 J„ [- - eos 49 + sen" 20.eos 29]d9
r _ 3 2^6 sen 29 eos 29 sen3 2 9 1 2 _ 3 ^2 3a~n ^2
Hallar el área de la figura comprendida entre la catenaria y = a cosh(—) , el ejea
ü 9OY y la recta y = — (e~ +1).
2eDesarrollo
El gráfico de y = acosh(—) es: a
- r *2 i * 1 it 2 . 1 _ a re +1 ~ J a £ +1 _i ,S =■—í—-----x - a e a +ae a ]\ = —[-a - a e + ae + a - a J
2 e lo 2 2
a re2 + l 1 a 2 e2 +l 1 a" 1 1 2a~ 2 -iS = - [ ------ -~ e + - ] = — [-----------e + - ] = — [e + — e + -] = — - = a~e2 e e 2 e e 2 e e 2e
Por tanto: S = 2a2e 1 u
292Eduardo Espinoza Ramos
1642
1643
Hallar el área de la figura limitada por !a curva a2y2 = x2(a2-x2)Desarrollo
de
Como la figura es simétrica y = ± —yja 2 - x 2a4l y dx ~ ~ Va~ ~ x d x . Sea x = a sen 0 dx = a eos 0
K
S = 4J ' senQyfa2 - a 2 sen2 9 a eos 9 <19 = 4a2 f 2 eos2 9 sen 0 dOJo
= - | a 2cos30| 2= - l a 2(O-l) => S = i aVJ lo 3 3
Calcular el area de la figura comprendida dentro de la curva (~)2 + (2 ,35 4
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 293
Como la curva es simétrica, se tiene: y = ---- (25 - x 2)2 luego:' 125
Sea x = 5 sen 0 => dx = 5 eos 0 d0
Para x = 0 => 0 = 0 ; x = 5 => 9 = —2
i6 r5 — i6 r l —S = — (25-A:2)2dx = - — (25 - 25 sen2 9 )2 5 cosí» d9
125 Jo 125 Jo
= 80 f 2 eos4 9 d9)\6x5 = 80 í 2 ( ^ ^ - ) 2d9 Jo Jo -
— a= 20 í 2 (1 + 2cos 29 + eos2 29)d9 = 20(9 + sen 29 + - + 2
Jo 2 8 lo
n= 20(— + sen 29 + 2 = 20(— — 0) = 1 5tt por lo tanto: S = 15* u 2
2 8 lo 4
1644 Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola equilátero
a 2 - y 2 = 9 , el eje OX y el diámetro que pasa por le punto (5,4).
DesarrolloY
294 Eduardo Espinoza Ramos
1645
m = — => y = - jc ; la intersección es: x2 - — x2 =9 => 9 x 2 = 225 =¡> x=± 5 5 5 25
como la curva es simétrica se tiene:
-9 )dx]-52) = 2 lJ ~a.ííx: + J j x - y j x 2 - í
5 = 2(— |3+ — 15- [ - j x 2 - 9 - - \ n [ x + J x 2 - 9 ] ] |5) 5 lo 5 |3 2 2 |3
1 O 1 O Q O ~
5 = 2f(— + 10---- )~(10 — ln9) — ln3]. Por tanto: S = 9 1 n 3 «5 5 2 2
Hallar el área de la figura comprendida entre la curva y = — , el eje OX y la
recta x = 1, (x > 1)Desarrollo
5 = i " ydx= = lim p ^ = l i m - - r = l i m ¿ - l ) Ji Ji x *-x”Ji x b-*°° -xli í’~>“ b
S = -(0 - 1) = 1 por tanto 5 = 1
Aplicaciones de la Integral Definida295
1646 Hallar el área de la figura limitada por la cisoide y y su asíntota2a - x
x =2a, ( a > 0).Desarrollo
Por la simetría se tiene:
/»2a
f
— - — dx = 2 lim j x J - ^ - d x2 a - x \ 2 a x
Hallamos la integral I x J 2a ~ d x ' Se3 * Z ^ dx 2zá z
f \~~X~ - [ z 2-z-2zdz ? f Z*dZ } X\ 2a - x J >/2a - z 2 J ^ 2a - :
Sea z 7 \¡2asend => dz = \l2aeos9 d9
r ~ f 74di f 4a2 sen4 9.y¡2a cos9 dO
f e r 2J— ^
296 Eduardo Espinoza Ramos
1647
= 2a2 f (1 - 2 eos20 + eos2 26)d6 = 2a2(---sen20 +—— )J 2 8
* 2 a 2- £
1•* Jocomo 5 —2 lim I x.j--------dx cambiando los limites se tiene:
£-»°J o \ 2a - x
S = 2.2a2 ( ^ - sen 20 + 2 = 4a2 ( ^ - 0) = 3a2*2 8 lo
por tanto: S = 3a2n u 2
Hallar el área de la figura comprendida entre la estrofoide y 2 = — —— , y2a - x
su asíntota a > 0.Desarrollo
La grafica de la estrofoide y 2 = ————2a —x
2es:
X
.v =
sea
[ 2a
2 ( va( x - a )
■J 2a
x = z 2 => dx = 2zdz, para x = a, z = 4a ; x = 2a=> z = y¡2a
(.x - á ) - ¡ J L = ;V2 a - x
Aplicaciones de la Integral Definida 297
1648
f 2 fl í«V2 a= 2 1 ( x - a ) —¡ = = d x = 2 |
Jfl y ¡ 2 a - X ' JyfZ(z2 - a) - ¡ = L = 2 z dz
\¡2a - z 2
A = 4J.■Ja v2a -... (1 )
sen0 =\¡2a
tg 0 =-¡2a - z 2
: = V ía sen 0 derivando se tiene: dz = -Jla cosOdO
I— 1 Tíz = \¡a, sen0 = —¡=, u = —V 2 4
t- — ttz = V2a, sen0 =l, 0 = —
= 4 f (72 - a) z — = 4 | 2 (2asen20-a> '/2asen0 .tg0 .\/2acos0d0
A = 8a I (2 sen ~ 0 -a)sen 0 d 0 = 8 a71
'J¿
« 4 - eos 20(1- eos 29)d9 = 4 a
4
n
„„ „ l - c o s 20eos 20 -1 ) ------------dO
-e o s 40 -e o s 2 0)d9
A = 4«*<® _ ü í i i _ J í = V [ ( í - - 0) - ( | - 1)]2 2 2 I* 4 8 2
A = a (—+ 2)m 2
Calcular el área de las dos partes en que la parábola y = 2x divide el circulo
DesarrolloX2 + y 2 = 8 .
298 Eduardo Espinoza Ramos
Buscaremos los puntos de intersección x 2 + y 2 =8
x 2 + 2 x - 8 = 0 => (x + 4 ) (x -2 ) = 0 => x = 4 o x = 2
Luego x = -4 no se toma en cuenta, por tanto los puntos de intersección es: (2,2), (2,-2), por la simetría se tiene:
- v>
r 2 r 2'/2 -2 .y¡2 _____B = Jo + j ydx] = 2[J s¡2xdx + j y j s - x 2dx
i-
b = 2 í ^ | í i | ! + ( £ V ¡ r 7 + 4 arcsen^ =)| 2V' ]3 lo 2 2V2 I2
! .
B = 2[—+4arcsen(l) - (2 + 4arcsén 4 = )] = 2[ - + 2n - n] = (2* + - ) u 2 J V2 3 3
para la parte A se tiene: A = n r 2 - B = %n - (2n + - ) = (8n - 2 n - - ) u 23 3
Por tanto: A = (6n - - ) u 23
Aplicaciones de la Integral Definida 299
1649
1650
Calcular el área de la superficie comprendida entre la circunferencia
x 2 + y 2 = 16 y la parábola x 2 = 12( y - l ) .
Desarrollo
Buscaremos los puntos de intersección:
jt2 + y 2 = 16 => .v2 = 1 6 - y 2 => * 2 = 12( y - l )
=> 1 6 - y 2 = 12_y —12 => y 2 + 1 2 y -2 8 = 0
de donde y = 2 => x = ± 2y¡3 ; por la simetría se tiene:
r 2>/3 .------------- 2 -------------- 3 |2>/3
5 = 2 [V 1 6 - x 2 ------------------------ \]dx = 2[— V16 — jc2 +8 arcsen--a]|Jo 12 9 4 36 lo
S = 2 l 2 j 3 + - - - S ] = — - - S = ( - ^ - - V 3 )u23 3 3 3 3 3
. 2 16 4 /— 32 4 rr 2para la parte A se tiene: A = x r - s = lb7t - ( — n — V 3) = (— n +—\l3)u3 3 3 3
Hallar el área contenida en el interior de la astroide x = a eos31 , y = b sen31 .
Desarrollo
)0 Eduardo Espinoza Ramos
y/(f) = a cos3 1 => para x = 0 =* i, = —
=> x = a => t2 = 0 => \¡t(t) = b sen3 r
como y/(t) = acosi t y/'(t) = -3acos2 t .s tn td t
C2 <*° .5 = 4 i//(/).v/'(Od/‘ = 4 | ¿>scn f(-3a cos t.sen t)dt
«Q * 05 = - 12afc f sen4 /cos2 iJi = — y - I sen2 2r(l - cos 2i)df
2 2
2 J"1 i - c o s 4 í o , 3ab,t sen At sen3 2 /!°(i—12_ _ _ Sen 2t.cos 2t)dt = — — [ - ----- ----------— I
2 2 2 8 6 7T2 * " "2
3ab r„ n , 3o/?* c 3 abn 25 = -------[0-----] = ------- por tanto: 5 = —-— u2 4 8 8
651 Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la
cicloide: x = a(t - sen t ) ; y = a(l - eos t).
Desarrollo
Para x = 0 => /, = 0 ; x =2na => t 2 =2n
Como: \|í(t) = a(l - eos t)
V|f(t) = a(t - sen t) =* y/'(t) = (a -a e o s t )d t
C2rc l C2” 25 = J o(l - eos t ) ( a - a eos t)dt = a2 j (1 -c o s t) dt
Aplicaciones de la Integral Definida 301
1652
2 f a , , 2 x . 2 / o * sen2í I2*S = a I ( l -2 e o s í + eos t)dt = a ( t - 2 s e n t + — + -------- )|Jo 2 4 lo
2 3í „ sen2r | 2,r „ 2 _ „ „ 2 25 = í j “(------ 2sení + -—-— )| = a (37T — 0) = 3 a n . Por tanto: S =3a~n u"
Hallar el área de la figura limitada por una de la trocoide x = at - b sen t;
y = a - b eos t, (0 < b < a) y la tangente a la misma en sus puntos inferiores.
Desarrollo
Como x = (p(t) = at - b sen t
x = \j/(t) = a - b eos t
S = j \ff{t)\¡f\t)dt-A\ hallaremos: f, y t2J',
0 = y/(tl ) = atl - b s e n t l => 0 = a/, -b se n f ,
2aK = <p(t2) = at2 - b s e n t 2 => 2an = at2 - b s e n t 2
como la tangente en los puntos inferiores es paralela al eje X => y '= 0 , es decir:
302
1653
Eduardo Espinoza Ramos
y'z=\fi'(t) = -b se n t = 0 => /, =0 enx = 0
y '= y/ ' (?) = - b sení = 0 => t2 = 2n en x = 2na. Luego:
S = { \ f ( t ) ( p \ t ) d t - A =J'i
i»2jt5 = I (a2 - 2abeost + b2 eos2 t ) d t - 2a2n + 2abn
Jo
_ . 2 „ , ¿>2 sen2f . |2,c - 2 .S =(a t -2 a b s e n t + — + ---------- ) - 2 a +2abn2 4 lo
S = 2a2n + b 2K - 2 a 2n + 2abn portanto: S = n (b 2 +2ab)u2
Hallar el área de la figura limitada por la cardiode x = a(2 eos t - eos 2t);
y = a (2 sen t - sen 2t)
Desarrollo
S = f y/(í)i// \t)dt donde \j/(t) = a (2 sen t - sen 2t)J»,
\j/(t) = a (2 cost - cos 2t) ; y/' (t) = a(2 sen 2t - 2 sen t )
f 2*I (a - b eos t ) ( a - b eos t ) d t - ( a - b ) 2K
Jo
Aplicaciones de la Integral Definida 303
1654
- i r°
= 2a 2 i
a (2 sen í - sen 2í)a( 2 sen 2t - 2 sen t)dt
(2 sen t - 2 sen t eos t )(4 sen t eos t - 2 sen t)dt
S = 8a | (sen t - eos t sen /)(2 sen t eos t - sen t)dtí
í5 = 8¿r I sen /( l-co sf)(2 c o s /- l)d ff°
= - 8a 2 j Jjl
sen / ( l-3 c o s f+ 2cos“ t)dt
„ 2,3r senícosf 3 sen2feos2r / ° „ 2/ft 3?r. , 2 25 = - 8a 2(------------------------------------------------------------------------------- sen í -- ) / = - 8cT(0------- ) = 6azj tu ¿4 2 8 / * 4
Hallar el área de la figura limitada por el lazo del folium de descartes 3a/ 3at2
Desarrollo
S = y/(t)(p'(t)dt, donde y = y(t), x = <p(t)
3at 3atsiendo \¡/(t) = ------— y <p(t) =
(1 + /3) (1 + í3)
304 Eduardo Espinoza Ramos
1655
3a? 3a(l-2í )Como: 9 (0 = -— j => V (0 = n <3"
i + r (l + r )
Jo (1 + í 3) Jo (1 + f )
S = 9a2[ f ” —^ y y ¿ / - 2 f 4 ± ÍT íÍí1Jo (1 + f3)2 Jo (r3+l)3
S = 9 a ¿[-l + r3) / o
9a2f 0 - [ - - + - ] ]2(1+ r3)2 3(1+ r ) 7 0 2 3
S = 9a 2(—) = ^ — por lo tanto: S = ^ —u~6 2 2
Hallar el área de la figura limitada por la cardioide r = 0 (1 + eos \|/)
Desarrollo
•PSe conoce que: 5 = 1 f
2 Jar d y , donde r = f(\|/)
El gráfico de r = 0 (1 + eos vj/) es:
Aplicaciones de la Integral Definida 305
S = 2.— f r2dy/ = f [a(l + cosi^)]2í/i/2 Jo Jo
5 = a 2J (l + 2cosy/ + cos2\¡/)d\¡/ = a 2( ^ + 2sen0 + sei^~ ^) j
_ 3a2* 1por tanto: S = -------
2
1656 Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de Arquímedes: r = avy
Desarrollo
De acuerdo al gráfico se tiene:
1 f 2*S = — (r22 - rf )d\ff , donde r, = a y/ ; r2 = (y/ + 2*)2 Jo
1 f 2,1S = — I ([a(i//+ 2*)]2 - a 2\¡/2]d\f/ por lo tanto: 5 = 8 a 2* 3M2
2 Jo
1656 Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de Arquímedes: r = ay
Desarrollo
De acuerdo al gráfico se tiene:
306Eduardo Espinoza Ramos
1657
S = - f (r2 - r2)di¡/ , donde r, = a y ; r2 - (y + 2n)2 Jo
s = I (2a2y/n + 2a2Jt2 )d y = {a2y 2K + 2a2n y ) j ^Jo
2 3 2 por tanto: S = 8a K u
Hallar el área de las hojas de la curva.
Desarrollo
De acuerdo al gráfico se tiene:
Aplicaciones de la Integral Definida 307
1658
1659
2 a K 2a , sen4w / t ¿r/t 2= — (v +
2 4 / o 8
Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 4i^
Desarrollo
= 4.— f2 Jo
= - 2a 2(— ) = a2 por tanto: S = a 2u 24 4
Hallar el área limitada por la curva r = a sen 3\|/
Desarrollo
308 Eduardo Espinoza Ramos
5 = —.3 f 3 r2dy/ = — f 3 a 2sen23t//dy/ = - a 2 f 3 (1 L° S^ -)d\f/2 Jo 2 Jo 2 Jo 2
3a1 , sen6yr 3a2 t n _ „ a2n 2= -----(w ----—) / 3 = ---------- (-----0 ). Por tanto: 5 = ------u4 6 / 0 4 3 4
1660 Hallar el área limitada por le caracol de Pascal r = 2 + eos \|/
Desarrollo
El área es el doble del área desde 0 a tc, luego
5 = 2.— I r2d\)f= I (2 + cosif/)2d\f/ = I (4 + 4cosy/ + cos?2 Jo Jo Jo
w sen 2u/ i n _ 9 ?= (4w + 4senu/ + —+ ------ —) / . Por tanto: S = —ttm~r r 2 4 / o 2
*1661 Hallar el área limitada por la parábola r = a sec* y las sennrectas W ~ ~
n71 _ 1 |*2 2 .
y * '= 2 ; S = 2 j í 4
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 309
1662
1663
Hallar el área e la figura limitada por la elipse r =1 + ecosi^
, (0 < e < 1)
5 = 4 . - f 2 r2d\¡/ = 2 f 2------ -------- - d y2 Jo Jo (1 + ecosyO
Desarrollo
2
5 = 2/? 1dljf , Ttp 2—-— ■— integrando se tiene: 5 = --------- - u
o (1 + ecosr) (1+e2)2
Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a eos 3\|/ que esta fuera del circulo r = a
Desarrollo
310 Eduardo Espinoza Ramos
Sean r, = 2a eos 3i¡/ y r2 = a
n £5 = 6. - f 6 ( r2 - r2 )d\¡f = 3 j* (4a2 eos2 3y - a 2)d\¡/
2 Jo ' Jo
2Ü TC 2por lo tanto S = ----- u2
1664 Hallar el área limitada por la curva x 4 + y 4 = x~ + y " . Sugerencia: pasar a
coordenadas polares; por tanto 5 = K\¡2u~
6^2. L O N G IT U D DE AR CO D E U N A CU R V A .-
© LONGITUD DEL ARCO EN COORDENADAS RECTANGULARES
Consideremos y = f(x) una curva, la longitud L del arco de la curva comprendida entre dos puntos x = a; x = b es:
L= í x/l + y'2dx ____Ja__________
© LONGITUD DEL ARCO DE UNA CURVA DADA EN FORMA l'ARAMETRICA.-
Sea x = \|/(t), y = vj/(t) ecuaciones de la curva en forma paramétrica, la
longitud L del arco de la curva:
L = ( yjx12+ y ,2dt ____¿í,____________
donde r, y i , son los valores del parámetro correspondiente a los extremos del arco.
Aplicaciones de la Integral Definida 311
© LONGITUD DE LA CURVA DADA EN FORMA POLAR.-
Si r = V|/(9) es la ecuación de la curva en coordenadas polares r y vj/, la longitud L del arco es:
L - I \Jr2 + r ,2 d yJ a ________________
donde a y P son los valores del ángulo polar en los puntos extremos del arco.
1665 Calcular la longitud del arco de la parábola semicubica y 2 = x 3, desde el origen de coordenadas hasta el punto, cuyas coordenadas son x = 4; y = 8.
Desarrollo
L = f V Í T y ¡ d x = = / 4 = ± ( i o S ó - i )Jo Jo V 4 27 4 / o 27
X1666 Hallar la longitud de la catenaria y = acosh(—) desde el vértice A(0,a) hasta
ael punto B(b,h).
Desarrollo
312Eduardo Espinoza Ramos
1667
£ ) = a(£ l ± f _ l ) de donde e ' + 1 = 0 , despejando
2y. 4y2 - 4y ± \ ¡ y 2 -<■
* , ,y+- = ln(— a a
dx a
dy ^ y 2 - ó 2
E Z . ) x = aln( y+
t dxs2 a^ W 2 2dy y - a
í f W dy ‘ 1 f ^ 5 d y = 1 dy v
= V^2 - a 2 “ O longitud L = \ h ~ - a 2
Calcular la longitud del arco de la parábola y = 2 ^ desde x = 0 hasta x = 1.
Desarrollo
y '2 =■
2 I I l ^ X d xfx
f ‘V IT Í
Jo V i '
dz = 2zd z ; * = z 2 - l y z = VT+T
calculando | ——j=—d x , se tiene z x +1Jo V*
Aplicaciones de la Integral Definida 313
f V* + l , f z l z d z f z 2dz
) ^ r d x - ) w r r 2) ^
z = see 0 => dz = see 0 tg 0 d0
C z dz f see d.secB.tgOdG f 3 Q ,a I ------- = ........ . -----= I see 0 du , integrando por partesJ Vz~ — 1 J Vsec20 - 1 J
J & - J 1
f - 5-^.... = l [ ln |z + Vz2 - l | + z V z 2 - l ]J V ¡ M 2
■ = | OdO = —[ln | see# + tg0 | + tg0 .sec0]
(2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
'V-jf + 1 r * 2J dx ~ 2 J = ln | z + Vz2 - 1 1 +zVz2 - 1
j* ~ j = J - d x = l n | V * + l + V x | +Va.V* + 1 j
L = f - dx = (In | yjx + \ + \l~x | +\¡x.yjx+ 1) /Jo V* ’ o
Por lo tanto L = V2 + ln(l + V2)
1668 Calcular la longitud del arcó de la curva y = e* , comprendido entré los
puntos (0,1) y (l,e).Desarrollo
y = e x =* y'-e* => y'2 = e 2jr
314 Eduardo Espinoza Ramos
1669
+ e2x dx calculamos J \f\ + e2xdx
para esto z2 = \ + e2x => zdz = e 2xdx
pero l + e 2x= z 2 => e 2x = z 2 -1
z dzLuego zdz = e 2xdx = ( z 2 - l )d x de donde dx = z2- 1
I -- 1 . y]e2x +1 -1 í, 57 1. + 1 -1 )“= Vl + e2* + - ln ■= = = — =V l + e2x + —ln------- ^ --------2 V ¡ ^ + 1 2
ex
L = J yl\+e2xdx = [y¡l + e2x + ln ^ e ^ ~ ~ ] /Q
L = ^ + 7 + y¡2 - ln(V2 - 1)e
L = ^ - J ~ 2 + ta Í ^ M ± 2e
NOTA: in ^ - ^ ^ ^ i n - J — = -ln(x/2 + l)>/2 +1 v 2 +1
Hallar la longitud del arco de al cuya y = ln x desde x = \¡3 hasta x = -s/8
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 315
, 1 ,2 1y = ln x => y = - => >' = — x x
para esto x = tg 9 => dx = sec2 9 dO
N x ~ + l . f yjtg2e + l 2 f 3 C°S0--------- dx= - -sec 6 d d = I sec d.— dd
J x J tg6 J sen 9
_ f sec 0 ^ _ f (cosccq + tg£ sccd)d9 = ln | cosec 0 - ctg 9 |+sec 9 J sen# J
, . y]\ + x 2 1 . r j , n/i + jc2 - 1 í. 2= l n |— ---- -— I+VI + a: = ln -------------- + Vl + xx x x
L = í JÍJ M dx = llnX X i £
0 1 1L = (ln-yr + 3 ) - ( ln - r +2) = ln-7= + l + ln>/3
v 8 V3 v 2
= l n ^ + lnv/3 + l = l n ( ^ ) + l = l + - l n - V2 2 2
1670 Hallar la longitud del arco y = arcsen e”* desde x = 0 hasta x = l .
Desarrollo
316 Eduardo Espinoza Ramos
1671
1672
_ ,2 *** y = arcsen e => y = — f => y =-— 757I - * '
= f ' eX<bc - 1 -1 [ / ’ = ln(é’ + V ¡ M ) - l n ( l + 0) = ln(e + V ¡ M )' o
Calcular la longitud del arco de la curva x = ln sec y, comprendido entre ny = 0 a y = —3
Desarrollo
dx sec y tg yx = ln sec y => — = ------------= tg v
dy sec y
n_ ________ itL = J l + ( ~ ) 2dy= f 3 n/i + tg2 ydy = í sec y dy
Jo V dy Jo Jo
a= ln(sec y + tg y ) j 3 = ln(2 + \¡3) - ln 1 = ln(2 + >/3)
1 2 1Hallar la longitud del arco de la curva x = — y* - — ln y desde y = 1 hasta y = e
Desarrollo
_ 1 2 1 dx y _1_ dx _ y2 - 1J‘ _ 4 'V ~ 2 n y ^ d y _ 2: 2y d y ~ 2 y
Aplicaciones de la Integral Definida 317
1673
•e - 2 . 1 -2 1 r« e2 1 1 e2+lL = f 2_ t l ^ = (2L + I i n y ) r = -
Ji 2y 4 2 / 12y 4 2 / 1 4 2 4 4
Hallar la longitud del arco de la curva derecha de tractriz ^ r 2 2"
x = -^ a 2 - y2 + o ln | ——— ----— | desde y = a hasta y = b (0 < b < c.)y
Desarrollo
318 Eduardo Espinoza Ramos
1674
1675
Hallar la longitud de la parte cerrada de la curva 9ay 2 = x ( x - ' ia )2 .
Desarrollo
9ay2 = x ( x - 3 a )2 =» — = ( x -3 a ) 2 +2x(x~3a) dx
10 ¿y o/ o w a dy ( x -3 a ) ( x -a ) 18ay— = 3 (x -3 a ) (x -a ) ; — = ------------------dx dx 6 ay
Como 9ay2 = x (x~ 3a )2 y= -( x - 3 a)J~x
3\[a
Luego ¿ U Í f Z f W ? ( * ) 2 = <ÍZ2>! dx 2a\lx dx 4 ax
Como la curva es simétrica respecto al eje y, se tiene:
ÍL - 2 \ J 1 + (^ y d x = 2 r j l + d x
dx Jo V 4ax Jn V 4<3A“to
L = [ a \± ± ¿ d x = -^=(—x 2 +2ax2) l “ = 4y¡3aJo \' V^ 3 7 o
= 2JJo
3a ' u + 2)2dx
Hallar la longitud del arco de la curva y = ln(ctgh—) desde x = aa
hasta x = b, (0 < a < b)Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 319
1676
, x , v , x ea +e ay = ln(ctgh—) => e ^ = c tg h —= -----------a a í -~
ea —e “
e a + e a e X + 1
y = ln ----------- = ln --------£ _£ ex - 1
ea —e a
dy _ e x - 1 d (ex +l ex - l ( - 2ex)dx ex +1 dx ex —1 ex +1 (ex - 1)2
- f
dx e2x- \ dx (e2x -Y )2
(*) esta expresión sigue del asterisco.
-e-2x)dx
= [x + ln(l - e~2x) \ ¡ h = b - a + ln(l - e~b) - ln(l - e ~2b)/ a
1 - e~2b e2b - 1 e2a e2b e2a= b - a + ln------ - = b - a + l n - ----- .— = b - a + l n - ------ + ln^—
l - e - 2fl e2fl- l e2¿ e2a- l e2b
2h _ , 2b _ |= b - a + ln—----- + lne2a - \ n e 2b = a - b + ln———
e - 1 e - 1
Hallar la longitud del arco de la evolvente del circulo x = a(cos t + 1 sen t); y = a (sen t - 1 eos t) desde, t = 0 hasta t = T.
Desarrollo
320 Eduardo Espinoza Ramos
1677
dxx = a (eos t + 1 sen t) => — = at cos t
dt
d \y = a (sen t - 1 eos t) =» — = at sen/dt
L = \ J(~—)2+(— )2dt = f Va2/2 eos2 / + a2t2sen2t dtJ, V dt dt Jo
f T . at2 ,T a T 2= I at dt = ---- / = ------
Jo 2 / o 2
2 2
Hallar la longitud de la evolvente de la elipse x = — eos / ; y = — sen / ,a b
í „2 _ 2 . 2-.(c = a —b )Desarrollo
c 3 y = sen tb
dy 3c 2— = -----sen icos/d/ b
Jo V d t d t
Aplicaciones de la Integral Definida 321
1678
4 2 9 c 2 4 -> , . f 2 » 2 I COS2 / « T I 2/tsen t + ——sen tc o s ' td t = 41 3c sentcosí.¡^=~~— i-----—a/¿>2 Jo V a
1 - s e n 2t sen2t ,2— +^ ~ dt 2 b2 ,
\b~ +(a~-b")sen"t , 6c f 2. /Ti 2~ j= 41 3c sent co s t .----------—;—------------------------------------------------ dt = ----- j Isent eos t\¡b +c~sentdtJo \ a2b2 ah Jo
= _ L . Í £ ^ 2 Í ¿ / L J _ , » 2 ^ 2 ,5 _ J _ „ 3 aZ?c 3 / 0 aZ?c
2
: _ í _ (a2)f _ J _ fc3 = 4 a l _ 4 ^ = ^ - ¿ » c = (a3 -Z>3) a¿>c abe be ac abe ab
Hallar la longitud de la curva x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t).
Desarrollo
x = a (2 eos t - eos 2t) => x'= a(2sen2t - 2 eos/) => x' = 2a(sen2t — sent)
y = a (2 sen t - sen 2t) => y'= 2a (c o s r-c o s2/)
Z- = 2 f J (—)2 + (— )2d/ = 2 f J4 a 2 (senlt - sent)2 + 4 a 2(eos / - eos 2t)2 dt Jo V dz dt J 0
= 4a J sen2 2t-2sent.sen2t+eos2 / -2 c o s /c o s2 / + cos2 2/ dt Jo
= 4 a f ^ : Jo
4 s e n t cos / - 2 cos / + 2 cos tsen t dto
322 Eduardo Espinoza Ramos
= 4a í V2 - 2 eost(sen2t + eos2 t)dt = 4a f V 2 -2 c o s tdtJü Jo
r_ ñ>¡ _____ _ t K - t C” t= 4a\¡2\ j l - eos t dt = 4 s ¡2 a I y¡2sen—dt =%a\ sen—dt
Jo Jo 2 Jo 2
= 8a(-2cos— ) / = -16a(cos7T -cosO) = -16a(0-l) = 16a 2 / o
1679 Hallar la longitud de la primera espiral de la espiral de Arquimides r = a \j/.Desarrollo
drSi r = a\u = > ---- = a
dy/
»0 .--------- f 2n .— ---------- *2 re .— ---------L= I s r 2 + r ,2dyf = i \¡a2y/ 2 + a2dy/ = a y¡y/2 + ldy/
Ja Jo Jo
= l ~ 1 ln ! ¥ + y¡¥2 +1 il/
= (2*V4*2 +l + ln |2* + >/4*2 +11) •••(*)
= aK\¡4n'’ +1 + ^ !n ¡ 2k + \[4k2 +1 ¡
1680 Hallar la longitud total de la cardioide r = a ( 1 + eos \|0
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 323
1681
/i a drr = a ( 1 + eos y ) => — = -asemif dy/
como la curva es simétrica con respecto al eje X, la longitud total de la cardioide es:
¿ - 2 f \¡r2 + r '2 dr = 2 ^ yja2( l+cosy)2 + a2sen2y/dy/ = 2a ¡ y¡2 + 2cosy/dy/ Jo Jo Jo
ñK _______L = 2V2a yfl+cosy/dy/ = 2\Í2a %/2cos(—)dyr
Jo Jo 2
r y/ w / 71 tc= 4a cos— dy/ = 4a.2sen(—) / = 8 a.ve/?------SasenO = 8aJo 2 2 / 0 2
Hallar la longitud dei arco de la parte de la parábola r = a sec2 (—), cortada de2
la misma por la recta vertical que pasa por el polo.
Desarrollo
2 dr a 2r = asee (—) => ---- = —sec (—)tg(—)2 dy/ 2 2 2
L = 2 ¡ r2 + Á 2dy, Jo V dy/
= 2 j* ‘ ^J a 2 sec4 y + a 2 see4 Xj . t g 2 ~ d y / = 2 a J 2 sec3 % ¡d y /
2a[ln \tg~- + scc~-\ +tg•— sec —] / 2 = 2afln | íg —+ see— \ +tg —.sec — ]2 2 2 2 / 0 4 4 4 4
— 2¿z(ln(l + V2 ) + V2 )
324 Eduardo Espinoza Ramos
1682
1683
1684
Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica r\\i = 1 , desde el punto
(2, i ) hasta el punto ( ^ , 2).
Desarrollo
1 „ 1 1 „rvj/ = 1 => yr = - para r, = 2 => \¡/\ = — ; r, = — =* \\fi = 2r 2 2
1 dr 1r y = l => r = — => ---- = ----- -W dyt y/-
l ’ C d v ' / i " I i t "
r, i r,--------2 I ^ \ , 2 , , 3 + v 5 , y Í5= [ln | -y/l + i/A + -------- ] / , = ln(— — ) + —y/ / - 2 2
Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica / </<'" mi • 0>, que seencuentra dentro del circulo r = a. -y-
Desarrollo
r = aem - ame”'vd y/
L= f aemsja + m2dy/ =— en"t>\l\ + ni2 / ' 71 • *m * »'<
Hallar la longitud del arco de la ciu vn i / ' • * i ■ ■ I I h i m u i = 3 .f
Dr&lUI ollu
De y/ = —(r + -—) despejamos i • >il«m 2 r
Aplicaciones de la Integral Definida 325
r = y/± -Jy/ 2 - 1 como r > 1 se tiene:
= yi + Jy/2 -1 de donde —— = 1 h— — además d V yjy/2 - 1
l^ = Z (r + - ) para r , = l , \|/, = 1, r2 = 3 , y/, = 2 r ’ 3
como
L = [ ¡r2 + ( ^ - ) 2d y / = í 3 ¡(y/ + -Jy/2 - l ) 2 +(1 + - j ^ = ) 2dy/Ji¡/, V dyt J¡ y - i
= Í \ </> + \/y/T^ 7 )2 + ^ l É I l L d y r = f ’ L + dyrJ i \ y/' -1 Ji y/~ -1
5 5
= pO/' + Vv'2-!) - r~r—dy/ = f 3 (V' + —X=)dy/VV7'2 -1 1 w 2 -1
= i V t V v '2 _ 1 + ~ ln I V + 'J y 2 “ 1 ll/ 3 porlotanto Z. =
6.3. V O LU M EN E S D E C U ER PO S SO LID O S.
© VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN.-
Los volúmenes de los cuerpos engendrados por la revolución de un trapecio mixtilíneo, limitado por una curva y = f(x), el eje X y dos verticales x = a, x = b, alrededor de los ejes OX y OY, se expresan respectivamente por las fórmulas.
Ja© Vv = [ xy dx
Ja
326 Eduardo Espinoza Ramos
1685
en el caso mas general, los volúmenes de los cuerpos engendrados por la rotación de una figura, limitada por las curvas.
>’i - / ] W e y2 = f 2W (siendo / , (x) < f 2 ( x ) ).
Y por las rectas x = a, x = b, alrededor de los ejes de coordenadas OX, OY; serán respectivamente:
r b *b(>2 - >f >dx y K = 2k I x(y'2 - >'¡ )dx
Ja Ja
Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación, alrededor del eje OX, de la superficie limitada por el eje OX y la parábola \y = a x - x 2 (a > 0).
Desarrollo
f a o r a , - rV = n \ y~dx = n \ {ax~ x Y d x = n J
Jo Jo Jo(iax — x ¿Y d x = n I (a2x2 - 2 a x i + x*)dx. 3 ^ v. 4 ,
^ 3 4 5a x ax x: Tí(-------------- -f----3 2 5 /a
= 7T(-0
a5 a5 a5 nas _ _
Aplicaciones de la Integral Definida 327
1686
1687
Hallar el volumen del elipsoide, engendrado por la rotación de la elipse2 2 x y
— + alrededor del eje OX.a~ b
Desarrollo2 2 2
~ Z + ~ T ~ 1 ; y 2 = V - ~ ) b 2a b a~
VCa Ca x2 x3h2 I a
= 2n I y 2dx = 2n I (1— -)b2dx = 2n(b2x -------- ) /J o ' Jo a2 3a~ * °
,2 ob x 2= 2n ( a b ------- ) - 0 = ----- b
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX laX
superficie limitada por la catenaria y = a cosh(—) , el eje OX, y las rectas x =±aa
DesarrolloX X
ea +e ay = acoshí—) = a.
a 2
2 2x_ _2xy2 = — (e a +e a + 2)
4
328 Eduardo Espinoza Ramos
1688
1689
» a r a ^ 2 2* _ 2 x
V = 2n I y^dx = 2 n \ — (e a + e 0 + 2 ) d x = ^ —(—e a ——e a +2 x) / Jo Jo 4 2 2 2 /
na a 2 a -2 * a a — ( - < r — e ¿ + 2a — + - + 0) 2 2 2 2 2
tffl2 fl 2 a -2 - ■ n a * , i -2 :----- ( _ e — e ~ + 2a) = ----- -(e —e +4)2 2 2 4
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la
curva y = sen2x , en el intervalo x = 0 hasta x = jt
Desarrollo
Y <
^ \( ^ rivV " .
0 A n X
r 2 r 2 2 rV = n I y"dx = n (sen x) dx = n I sen x dxJo Jo Jo
r ( iz c o s i x 2 d x = 1 r Jo 2 4 Jolo 2
,3x sercx senAx„ ¡ n 3= n ( --------------+ -------- ) / = n(— 0) =
8 4 32 / o 8
(1 —2cos2x + cos 2x)dx
3 n~
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la
parábola semicúbica y 2 = x 3, el eje OX y la recta x = 1, alrededor del eje OX.
Aplicaciones de la Integral Definida 329
1690
Desarrollo
</ f ' 2 . f ' 3 . n x A / ' n nV = n \ y dx = n I x~ dx = -— - / = ---- 0 = —J o ' Jo 4 / o 4 4
Hallar el volumen de! cuerpo engendrado al girar la misma superficie del
problema (1689), alrededor del eje OY.
Desarrollo
330 Eduardo Espinoza Ramos
1691
1692
Haiíar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar las superficies limitadas por las líneas y = e x , \ = 0 e y = 0 alrededor.
a) Del eje OXDesarrollo
b) Del eje OY
Hallar el volumen del cuerpo engendrado a! girar alrededor del eje OY la parte
de la parábola y 2 = 4ax que intercepta la recta x = a.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 331
1693
Y
1 2a
¡ C n...... i .......................... :
i / \0 a X/✓¡ ✓
i ^j - - "i -2a
= 2n f V - ( f ) 2» = 2 *(* = 2*2«’ - f 4 )Jo 4 n SICin / 0 80/2
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a, la
parte de la parábola y 2 = 4a x , que se intercepta por la misma recta.
Desarrollo
El volumen de la región cortada al girar alrededor de x = a, es:
332 Eduardo Espinoza Ramos
1694
V = 2n f (a - x:)( y, - v-, )dxJa
Luego para nuestro caso se tiene:
V = 4tt f [a-x)(\Í4ax — 0)dx = 4n f (a —x)2-Jaxdx Jo Jo
3 1 5 3 3 1 5
= 8 ^ - ) / " = Sk(2 ^ ~ - 2 —— ) / “ / o 3 5 / o3 5
2 2
, t o ( 3 ¿ _ í l „ 8T(1 0 ? ! z 6 f Í l = S £ V3 5 15 15
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor de la recia y = -p,
la figura limitada por la parábola v2 = 2px y por la recta x =
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 333
1695
1696
V = 7T 2[(p + y¡2px)2 - ( p - y [ 2 p x ) 2]dx = n ' 4 p ^ 2 p x Jo Jo
dx
3 P
= j t j 2 J 2 p x 2 pdx = 2n [ ^ ( 2 px)2 ] j 2 = _°1 =47T /r
Hallar el volumen del cuerpo engendrado ai girar alrededor del eje OX, la
superficie comprendida entre las parábolas y = .v2 e y = \¡x
Desarrollo
= 7rl Jo 2 5 / 0 2 5 10
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girara alrededor del eje OX, el lazo
de la curva ( x - 4 a ) y 2 = a x ( x -3 a ) .
Desarrollo
(x — 4 a) y = ax(x-3a)2 a x (x -3 a ) y = -----. Luego:
f 3“ 2 j f 3ü= n I y dx = n IJo Jo
ax (x -3 a )x — 4 a
dx
x - 4 a
• 3a
10Jo
J 4 a*(ax + a~ H---------- )dxx - 4 a
334 Eduardo Espinoza Ramos
1697
1698
2 -x, ÜX 9 i i 1 /j= ^ ( - z - + a * + 4« ln(jc-4a))/ = * (— + 4o3 ln (-— ))
• o 2 4a
= n ( ~ — 4a3 In4) = ^ - (1 5 -1 6 1 n 2 )
2Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide y2 = — —
2a - xalrededor de su asíntota x = 2a.
Desarrollo
V - 2n \ (2 a - x)y d x ; para nuestro caso por simetría se tiene:Ja
r 2a IT. /»2a
V = 4 n \ ( 2 a - x ) x - = = d x = 4 n j ( 2 a - x ) . x j x d xJo \ '2 a - x Jo
calculando la integral, completando cuadrados se tiene: V = 2n V 3
Hallar el volumen del paraboloide de revolución, si el radio de su base es R y su altura es H.
Desarrollo
La ecuación de la parábola es x~ =ky de donde x = yjky cuando x = R,
R 2 eby = H, luego k = — como: V = n \ [f (x ) ]2dx
Ja
Aplicaciones de la Integral Definida 335
1699
Entonces para nuestro caso se tiene:
V = n \ (^fxy)2 dy = K [ ky dy = nk — I -=nk Jo Jo 2 • o
H t R ~ como k = —2 H
H 2 R 2 HRV = n — (— ) = n
2 H 2
Un segmento parabólico recto de base igual a 2a y de altura h gira alrededor de su base. Determinar el volumen del cuerpo de revolución que se engendra (“Limón” de Cavalieri).
Desarrollo
4 2Cuando y =h, x = 2a; Luego k = - ^ — como: x" = ky => x = yfky = g ( y ) ;
hpor el método de la corteza cilindrica al hacer rotar alrededor de la recta x = h,
• bse tiene: V = 2t t Í ( k -
Jay )g (y )dy , por lo tanto:
336 Eduardo Espinoza Ramos
f i— - 7 - 2 - i h 16 i 4a2V = 2tc I ( / i - y)y¡ky dy = 2 n k 2 (—hy2 — v2) / = — ^ a / r donde k = ——
Jo 3 5 / o 15 h
1700 Demostrar que el volumen de la parte del cuerpo de revolución, engendrado al
girar la hipérbola equilátera x~ - y 2 = a 2 alrededor del eje OX que
intercepta al plano x = 2a, es igual al volumen de una esfera de radio a.
ñ2a p2 a 2V = ;r i y 2dx = n I (x2 - a 2)dx = n (x i - a 2x ) /
Ja Ja 'a
r, 8fl3 3 V 3 2fl3 2fl3 4^03~3 T ~ " n = « — +~ r , = —
que es el volumen de una esfera de radio a.
1701 Hallar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar la figura limitada por un arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX alrededor de:
a) Del eje OX.
c) Del eje de simetría de la figura.
Desarrollo
b) Del eje OY.
Aplicaciones de la Integral Definida 337
b) Al hacer girar el tubo cilindrico alrededor del eje Y se tiene:
V = 2 ir jxyd x ; de donde para x = 0, t = 0 ; x = 2rta, t = 2n
Luego: ^ = 1 Inxy dx = 2/r a(t-sent)a{ 1 -Jo Jo
í
eostY a dt
• 2 n
V = 2ira3 I (1 -e o s í)2(/ - sent)dt = 6n iai’o
c) El eje de simetría es x = Tra, y el volumen de este rectángulo rotado
alrededor de la figura es dV = 27i(7ta - x) y dx, de donde:n
V = f " dV = 2ain f ( n - t + sent)( 1Jo Jo
V = 2<x'n í ( n -J o
-eos t)~ dt
. 3 _ eos 21 ,t + sent)(----2 cos t H--------- )dt2 2
V = n a 3(9n2 -16) 2 1 + cos 21; sugerencia: cos" t = -----------
1702 Hallar el volumen dei cuerpo engendrado al girar la astroide x = a eos ’ t , _y = asen^t , alrededor del eje OX.
Desarrollo
338 Eduardo Espinoza Ramos
1703
X
3 3 x 3 3 yx — a eos t , eos t = —; y = asen t , sen t = —a a
- - 1 1 eos2 1 = (—)3 , sen2t = (—)3 entonces sen2í + eos2 / = (—)3 + (—)3 = 1
a a
2 2 2 2 2 3
de donde jc3+>,3 = a 3 ; y = (a 3 - jc 3)2
(27rfJo
2 2 3
ÍV) =105
V = 2(2tc\ x(a3 - x 3)2dy) = — n a 2
Hallar el volumen del cuerpo que resulta de la rotación de cardioide
r = a (1 + eos y) alrededor del eje polar.
Desarrollo
27r ^Como V = — | r send d 6 . entonces
V
3 Jo2n r 3 3 27raJ (1 + cosi//)4 / “
= — I «’ (1 + cosi//) íe/¡y/ dy/ = —---------- -■■■■ /3 Jo 3 4 / o
Jo
\4
Aplicaciones de la Integral Definida 339
1704 Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva r = ac o s ‘ \|/
alrededor del eje polar.Desarrollo
Í tt
La variación de la integral desde y = 0 hasta y/ =K
luego V2?r f í 3 , . 47T f:= 2(— ) ( r }seny/ dy/ ) = —3 Jo 3 Jo
2 a 3 eos6 y/ senyr dy/
V = W cos7 y/ p = W = W3 7 / 0 21 21
1705 Hallar el volumen del obelisco, cuyas bases paralelas son rectángulos de lados
A, B y a, b y la altura es igual a h.
Desarrollo
A
340 Eduardo Espinoza Ramos
1706
a 9 9La ecuación de !a recta L: y —- = —— — (x - 0)
A a ~ 2 ~
2 hA - a a
y = --------- x -i—2h 2
A2
La ecuación de la recta L ':
b B - ba 2 h
B - b bz = ----------x + —
2 h 2
-( .v -0)
Área del rectángulo, MNOP es: A = (2y).(2z)
V
= f A d x = fJo Jc
* 41 ‘Jo
(2y)(2 z)dx
yzdx = 4 [( A - a ) ( B - b ) x ( A - a ) b x~ ( B - b ) a x ab
Ah+ -
2 Ah 2 A■ at> i I
4 / c
i/ h Ab Ba h , An Ab + aBV = — (AB H------- + — - + ab) = — (AB + --------------- i- ab)3 2 2 3 2
Hallar el volumen del cono elíptico recto, cuya base es una elipse de semi -
ejes a y b, y cuya altura es igual h.
Desarrollo
El i - esimo disco elíptico de la figura tiene por volumen dV = rcAB dx,
donde A y B son los semi - ejes.
Luego por semejanza de triángulos se tiene:
A x B X ax bx— = —, — = — de donde A = — , B = —a h b h h h
Aplicaciones de la Integral Definida 341
1707
f ha x b x , abn Ch 2 , abn .x3 ¡ h abnh3 V = 7 t \ — .— dx = — T- \ x-dx = —^-(— ) / =
J 0 h h h~ Jo h 3 / 0 3h¿
V =abnh
3
1 2
Sobre las cuerdas de la astroide x 3 + y3 = a 3 paralelas al eje OX, se han
construido unos cuadrados, cuyos lados son iguales a las longitudes de las
cuerdas y los planos en que se encuentren son perpendiculares al plano XOY.
Hallar el volumen del cupero que forman estos cuadrados.
Desarrollo
Para el volumen del i - esimo sólido se tiene dV = área base x altura
pero área base = (2a )2 y la altura es dy, luego:
342 Eduardo Espinoza Ramos
1708
V = 2 f Jop q 2 2 ma 4 2 2 4
V = 8 j (a3 — _y3)dy = 8 I (a2 — 3a3 y 3 + 3a3;y3 — y 2)dy Jo Jo
4 2
v 2 9 a3 | 9«3 I # " 128 3V =8 ( a y -----------------------— yJ + ----------y 3) / = ----------5 7 / o 105
Un círculo deformable se desplaza de tal forma que, uno de los puntos de su circunferencia descansa sobre el eje OY, el centro describe la elipse
2 2 x y .~¿2 +^ 2 =1, mientras que el plano del círculo es perpendicular al plano XOY,
hallar el volumen del cuerpo engendrado por dicho círculo.Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 343
1709
El volumen de i - esimo disco circular de la figura es dV = n y 2d x ; donde2 2
iL + Z _ = i «2 b2
Luego el volumen será cuatro veces el volumen de la región comprendida por
le arco de AB es:
f a r ra b ■> ->V = 4 I dV = 41 n y 2dx = 4 n \ — (a2 - x 2)dx
Jo Jo Jo a"
, b 2 , 2 I . I a 4b2n , 3 8/?V ;r 8Jtab2= 4 - ( a 2x - x 2) J = — — ( a ^ - a 2) ^ - — — = — — - a~ • o a" 3a“ 3
El plano de un triangulo móvil permanece perpendicular al diámetro fijo de un círculo de radio a. La base del triángulo es la cuerda de dicho círculo mientras que su vértice resbala por una recta paralela al diámetro fijo que se encuentra a una distancia h del plano del círculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado conoide) engendrado por el movimiento de este triángulo desde un extremo del
diámetro hasta el otro.Desarrollo
A = = y.h A(x) = j a 2 - x 2h2
344 Eduardo Espinoza Ramos
1710
V = J A(x)dx = J \la2 - x 2hdx = 2 h j \¡a2 - x 2dx
i - n — 7JL + ] / a = 2a 2h(—)
2 a a l o 4
a resen= 2a h[- V =
n a 'h
-> 2 _ 2Hallar el volumen de! cuerpo limitado por los cilindros x~ + z - a e
2 2 2 y +z = a ¿ .Desarrollo
2 2 2Las ecuaciones de los cilindros es: x + z ■ —a~2 2 2 y +Z = a
. . . (1)
... (2)
de ( 1) se tiene: x = y¡a2 - z 2 ; de (2) se tiene: y = Va2 - r
además el área de la sección es: xy, es decir el área = xy = a — z Luego.
a 3. 16a3V = s f (a2 —z2)dz = 8 (a2z - 4 —) ^ = 8(a3 ——) -
Jo
\plicaciones de la Integral Definida 345
1711
1712
2 2 y zHallar el volumen dei segmento parabólico elíp tico----- f- — < x , interceptado2 p 2q
por el plano x = a.Desarrollo
La sección del sólido determinado por un plano paralelo al plano >'z a una distancia x del origen, es una elipse cuya área es:
A = n zy como y = yj2px , z = y¡2qx
luego: A = n^2px.^¡2qx = 2nx*Jpq . Por lo tanto:
mo r— aV = I 2n x j p q dx = 2yf p q 1—■ / = n a 2J p q
Jo 2 / 0
Hallar el volumen del cuerpo limitado por el hiperboloide de una hoja2 2 2 X V z
— ----- - = 1 ; y losplanos z =0 y z = k.a b c~
Desarrollo
Para cada valor z en [0,h] se tiene una sección plana elíptica al plano XY2 2 ,2 2
anotada por la elipse — ■ + el área de la sección plano es = n.a" b c
346 Eduardo Espinoza Ramos
1713
x2 y 2 c1 + z2 (producto de semi - ejes), como — + = \—
a 1 2 2X = - \ l c ¿ + Z
y = — yfc2 +Z2C
r hluego: V = nxydz
Jo
V = n \ —>Jc2 + z2 — Ve2 + z2dz = - j - í (c2 + z2)dz Jo c C c Jo
abn i zJ i h abn , 2, h3 , n= — (c2z + — ) / = — (c A + — ) = a¿tor(l + —y) r 2 3 I o c¿ 3 3c
*> 2 7x “ y zHallar el volumen del elipsoide — + — + — = 1
a b2 c2
Desarrollo
"> 2 2 2 , x~ y c - zUna sección plana elíptica al plano xy anotada por la elipse — + — - ,
a b cse obtiene para cada valor de z en [-c,c] donde el área de dicha sección es:
a = n por el producto de sus semi - ejes de la elipse, donde se tiene:
x bc c
= -yJc2 - z 2 y y = - y jc 2 - z 2 luego:
V = J Adz = j —z2 ■'Je2 - z 2dz = —y - J* (c2 - z 2)dz
nab ^ - \ nabc/ - c C 3 Ó D2 ' 3
Aplicaciones de la Integral Definida 347
6.4. A R E A DE U N A SU PER FIC IE D E R E V O LU C IO N .-
E1 área de una superficie engendrada por la rotación alrededor del OX, del arco de una curva regular y = f(x) entre los puntos x = a y x = b, se expresa por la formula:
Sx = 2 j" y ^ - d x = 2;r j* yyjl + y ,2dx ... (1)
donde ds es la diferencial del arco de la curva.
Cuando la ecuación de la curva se da de otra forma, el área de la superficie S x ,se obtiene la formula (1), efectuando los correspondientes cambios de variables, es decir:
V dy
1714 En la figura se dan las dimensiones de un espejo parabólico AOB. Hallar la superficie de este espejo.
Desarrollo
sea y 2 = 4 px el punto a(a,4a), de donde 16a2 = 4ap entonces p = 4a
por lo tanto y 2 =16ax => y ' = 2.£i = 2n J* y yJl + y ’2 dx = 2n J 4 \[ax. 4 a
1 + — dx = 8na I yfx + 4a dxX Jo
348 Eduardo Espinoza Ramos
1715
1716
3
= 8ttV^ - X- + *a y ¡ aQ= ~ - ^ [ ( 5 a )2 - ( 4 a)2 ] = ^ j - a 2(5^5 - 8)
2
Hallar el área de la superficie del “huso” que resulta al girar una semi - onda de la sinusoide y = sen x, alrededor del eje OX.
Desarrollo
Un arco completo de la curva y = sen x se obtiene haciendo varias x desde x = 0 hasta x = n como:
A = 2n í ysj\ + y '2dx = 2n j senx\¡\ + eos2 x dx = 2/r í senx j 1 + cos2 x dx Jo Jo Jo
consideremos u = eos x => du = - sen x dx
cuando x = 0, u = 1; x = n, u = -l. luego:
A = 2n j* senx\Jl +cos2 x dx = ~K j >/l + w2 (-du) = 2 n j yj\ + u2du
= 2 Jt[—-ju2 +1 + —ln (u + yju2 + 1) ] / = 7t[ (u ju2 + 1 +ln (u + \lu2 + 1) ) ] /2 2 / -i / -i
= 7t[(J2 + ln(l+ V2) + y¡2 - ln(—1 + V2)] = k( 2^2 + ln 1 ) = 2 k ( S + In(>/2 + 1))V2-1
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de
tangentoide y = tg x, comprendida entre x = 0 y x = — alrededor del eje OX.4
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 349
1717
2 . du ,sea u = tg x => du — see x dx => —---- = dxu~ +1
1 ' dui = 2n j 4 tgx-J 1 + sec4 xd x = 2n I u-J(u
Jo Jo
2 , dz ,sea z — u +1 => — = u du2
2+ l)2 + lu2 +1
. _ f 1 f. 2 7 du . f ' / z " +1 ,A = 2n I u J ( u ~ + lY + l——- = 2 | ---------- dzJo u +\ Ji z
2 . .2
A = 2 n \ — —— dz efectuando la integral, se tiene:Ji z
A = n ( S - S - ) + n \ n ^ ^ - V5+1
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX, del arco de la curva y = e~x comprendido entre x = 0 y x = +°°.
Desarrollo
y = e~x =* y '= -e~x => y '2 = e~2x
A = 2 J y j l + ^ f d x = 2 J e~x Vi + e~2xdx
sea u = e x => d u = e Xd x , para x = 0, u = 1 ; x = +°°, u = 0
A = 2 í e~x\¡l + e~2xdx = e f yj\ + u2du = 2 j* sj\ + u2 daJo Ji Jo
= 2n(—y¡\ + u2 + — ln(M +1 + a2 ) / = 7T( V2 + ln(l + V2 ))2 2 / o
350 Eduardo Espinoza Ramos
1718 Hallar el área de la superficie (denominada catenoide), engendrada por laX
rotación e la catenaria y = a cosh — alrededor del eje OX, entre losa
limites x = 0 y x = a.Desarrollo
, x dv , xy = a cosh — => — = senh —a dx a
A — 2*1" y. II + ( ~ ) 2dx = 2 n \ acosh — .1+ senh2 — dx Jo V dx J0 a \ a
r a x x r a x Ca 2xA = 2* I a cosh—. cosh—dx = 2an I cosh2 — = na \ (cosh — +1 )dx
Jo a a Jo « Jo a
r a , 2x , Ia 2, senh2x n a 2 , 2 -2= n [ a - s e n h -— + x ] / =na (--------- + 1) = ------(e ~ -e +4)
2 a / o 2 4
2 2 2
1719 Hallar el área de la superficie de revolución de la astroide x 3 + y 3 = a 3
alrededor del eje OY.Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 351
1720
1721
i12na3 , 12*a2
»2 iHallar el área de la superficie de revolución de la curva x = ^ - - — \n y y
alrededor del eje OX, comprendida entre y = 1 e y = e.
Desarrollo
-)2dy
a =- K * r ) f ¥ ¥ d y =l í , (y í ■2,n 2+y!+7 *
= — I (------------Xy'+lVfy =— I (y - 2 y l n y - 2 — )dy4Ji y 4J, y
2, 7 , ? , #£ * . e 4 -2 9 n(e4 - 29)= —(y4 - y lny + y - h r y ) / = - ( — ) = ----- -----4 / i 4 4 16
Hallar el área de la superficie del tuvo engendrado por la rotación del círculo
x 2 + (y - b )2 = a 2 alrededor del eje OX (b > a).
Desarrollo
Como x 2 + ( y - b ) 2 = a 2 => y = b ± \¡ a 2 - x 2
Primero calcula el área ,4, de la superficie engendrado por la rotación del arco
CB, como el arco CB esta definido por la ecuación: y = b + yja2 - x 2 , 0< x < a de donde
Eduardo Espinoza Ramos
dy - x
d* \¡a2 —X2
A, = 27T j* ( b + a 2 - Jo
= 2k \ (b + J a 2 „ , -----Jo
x2\¡ 1 + —T-—-dx2 2 a — x
x 2)- dx = 2/r j (Je 'Ja2
-2a¿arcsen—/ + 2jcclx / =2abn(arcsen(X)-arcsenQi) + 2na2 = abn2 + 2 k ü 2 a>o l o
ahora calcularemos el área A2 de la superficie engendrada por la rotación del
arco AB donde el arco AB es definido por la ecuación y = b — yja2 —x 2 ;
0 < x < a de donde dy— -------------
a 2- * 2
Ai ~ y^l + (~ -)2dx = 2J (¿ -V a 2 -
= 2 í (b — yja2 - x 2) = 2nabaresen— / - 2 a x l = n 2a b - 2n a 2Jo yja2 - x 2 0 0 ’ 0
x2)J l + - ^ j d x a~ - x
Aplicaciones de la Integral Definida 353
1722
Luego por simetría calcularemos el área A de la superficie del tubo, es decir:
A = 2(A, + A2) = 2[7T2a¿7 + 27T¿r + 7T2ab-27ra2] = 4a¿OT2
-> 0 jT y“Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse: — + — = 1
a~ b"alrededor:
1) Del eje OX 2) Del eje OY (a > b)Desarrollo
X + 2_ = i ^ >’ = — Va2 - x 2 , parametrizando la ecuación se tienea2 b2
x = a eos t, y = b sen t para x = 0, t = —: x = a, t = 0
además: A = 27T í y(t)yj[x'(t)]2 + [y '(/)]'di Ja
/•O *--------------------------- 0 i--------------------------A = 2 t t | bsent^a2sen2i + b2 eos2 1 dt = 2n I bcostyjb2 +{a2 - b 2 )sen-t dt
2
•o= 2nb f eost\¡b2 + V(«2 - b 2sent)2 dt
-> 2uabhaciendo el calculo de la integral se tiene: A = 2^¿" + ———are sen E
I 2 _fo2donde E = ------------en forma similar para la otra parte se obtiene:
x o 2 n b 2 , 1 + E ¿ A VA = 2na +----- ln ------- donde E =E 1 - E a
354 Eduardo Espinoza Ramos
1723 Hallar el área de !a superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide x = a (t - sent t); y = a (1 - eos t), alrededor:
a) Del eje OX b)
c) De la tangente a la cicloide en su punto superior.
Desarrollo
Y iL
A2as 1 X
( 1 V 1 *0 na 2 na X
= 2-t í y(t)yJ[xX, Jo
' ( . t ) f + [ y W d t
x = a ( t - sen t) =* x'(r) = a ( l-c o s r)
y = a ( l - c o s t ) => y'(t) = asent
A = 2 x ¡ a(l - eos t)>Ja2 ( Ì - eos t)2 + a2sen2tdt = 2Jta2 f ( l - c o s í^ V l-c o s ? dtJo Jo
2 t 1-COSÍ . . o 2 fsen" — = --------- 1 - eos t = 2sen —i "> 2
f 2* . t r 2* tA = 2na2 2 sen2 - M M s e n ( - ) d t = 8*«" rc«3
J 0 2 2 Jo 2
= 8* a 2 ( - 2 eos - + - e o s 3 - ) / = 8* o 2(2 + = 64^ —2 3 2 / 0 3 3
Aplicaciones de la Integral Definida 355
1724
2„2b) En forma similar cuando es alrededor del eje Y, de donde A = 16n~a
c) Un arco completo de la cicloide se obtiene haciendo variar t en el intervalo [0,2ti] y además el punto mas alto es en t = ti puesto que:
dy _ y '(0 _ asentdx x '(0 a ( l-c o s í)
dyLuego la pendiente en t = n es:
dxtangente es y = 2a.
, por lo tanto la ecuación de lat=n=0
Luego la distancia del punto p(x,y) déla cicloide a la recta tangente es
(2jta - y) de donde el área pedida es:
A = 2. t Í (2 a-y)yJ[x\t)]2 +[yXt)]2dt Jo
de donde al simplificar se tiene:
, o 2 f 2* 2 t t \6na2 3 / r * 7>2na2A = Una I eos ' —sen —di = — ------ - e o s —/ = --------Jo 2 2 3 2 / o 3
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX de la Cardioide x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t).
Desarrollo
x = a (2 eos t - eos 2t) => x - a ( -2sent + 2sen2t)
y = a (2 sen t - s e n 2t) => y'= a (2c o s í - 2cos2r)
A = 2 ¡ y(t)y¡[x'(t)]2 +[y\t)]2dtJo
356 Eduardo Espinoza Ramos
l*Æi = AKyfla2 I
Jolisent ~ sent eos t)\¡\ -eos.' dt = 8n\Í2a2
Jo(1-c o s t)2 sent dt
. 16 R -1/, sí / " 1/5A = — v 2wa“(l-c o s í)2 / = — na 5 / o 5
« 128 2
1725 Hallar el área de la superficie engendrada al girar la Lemiscata r 2 = a ° cos2\|/alrededor del eje polar.
Desarrollo
7T
> = 47M 4Jo
, , a"sen~2y ,eos l y s e n y ^ a " eos 2i/a + — — ----- d y
f 4 t y¡2A = 47r«J 4 aseny d y = -Ana2 c o sy J 4 = -4 ;ra2[ - ^ - - l ] = 2(l--V2);ra
1726 Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la
cardioide r = 2a (1 + eos y ) alrededor del eje polar.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 357
Se tiene: A = 2n I rseny Ir2 + ( - ^ ) 2d y- 2, 1 ' ,Jo
A = 2;r | 2a(l + eos y )senyy¡4a2 ( 1 + eos i//)2 + 4a2sen 2y d y Jo
A = 8;rfl2 [ (l + cosy)senyyJl + 2cosy + COS2 y + sen2y d y Jo
= 8 rt2 l seny( 1 + eos y )\Í2 + cosy d yJo
5K ~
= Sna2 \Í2 j (1+ + COSI//)2 seny d y = -%Jta2 \¡2 ■ /Jo / o
516 / t 2.. a I n . 1287raA = ----- \[2n a 2 (l + c o s y )1 1 A = -
6.5. M O M E N T O S, C E N T R O S DE G R A V E D A D , T E O R E M A S D E G ULD IN.
0 MOMENTO ESTÁTICO.-
Se llama momento estático de un punto material A, de masas m, situado a una distancia d, del eje 1, con respecto a este mismo eje 1, a la magnitudM, = md .
Se denomina momento estático de un sistema de n - puntos materiales, de
masas m] , m2 ,..., mn situados en el mismo plano que el eje 1, con respecto al
cual se toman y separados de el por la distancias d x, d 2,..., dn la suma es:
M x = 2 ^ m idi ...(a )i=i
358 Eduardo Espinoza Ramos
debiendo tomarse la distancia de los puntos que se encuentran a un lado del eje 1, con signo mas (+), y los que están al otro lado con signo menos (-), en forma similar se determina el momento estático de un sistema de puntos con respecto a un plano. Si la masa ocupa continuamente toda una línea o una figura del plano XOY, los momentos estáticos M x y M y , respecto a los ejes de
coordenadas OX y OY en lugar de la suma (oc), se expresa por las
correspondientes integrales.
Cuando se trata e figuras geométricas, la densidad se considera igual a la
unidad en particular:
© Para la curva x = x(s); y = y(s), donde el parámetro s es la longitud del
arco, tenemos:
donde ds = \](dx)2 + (dy)2 es la diferencial del arco.
© Para una figura plana, limitada por la curva y = y(x), el eje OX y dos verticales x = a e y = b, obtenemos:
M x My =
© MOMENTO DE INERCIA.-
Se llama momento de inercia, respecto a un eje 1, de punto material de masa m,
situado a una distancia d, de dicho eje 1, a un número I¡ = >nd2 . Se denomina
momento de inercia a un eje 1 de un sistema de n puntos materiales, de masa
m ¡, m2 , •••, mn a la suma:
Aplicaciones de la Integral Definida 359
donde d{, d 2, ..., dn son las distancias desde los puntos al eje 1, cuando la masa es continua en lugar de la suma, obtendremos la integral correspondiente.
© CENTRO DE GRAVEDAD.-
Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana (ya sea arco o superficie) de masa M, se calcular por la formula:
- M y - M xM ' y M
donde M x , M y son los momentos estáticos de las masas, cuando se trata de
figuras geométricas, la masa M es numéricamente igual al correspondiente arco
o al área. Para las coordenadas del centro de gravedad ( X, Y) de un arco
de curva plana y = f(x), (a < x < b), que une los puntos A(a), f(a) y B(b), f(b) tenemos:
í -*■ ds f xyjl + (y')~dx { y d s f }’\J\ + (y ')2dx_ * A____ J a __________ y — Ja J a _________
s " ' " 5 ‘ J TJa Ja
n + ( y T d x
Las coordenadas del centro de gravedad (X ,7) del trapecio mixtilíneo
a < x < b , 0 < y < f(x) se puede calcular por las fórmulas:
J y * y ÍTb
y 2dxa
s S
360 Eduardo Espinoza Ramos
4
1727
donde ds = I y dx es el área de la figura.Ja
En forma similar se emplea para hallar las coordenadas del centro de gravedad de los cuerpos sólidos.
TEOREMA DE GULDIN.-
TEOREMA 1.- El área de la superficie engendrada por la rotación del arco de una curva plana alrededor de un eje situado en el mismo
plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al producto de la longitud de dichos arcos por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad del mismo.
TEOREMA 2.- El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una figura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano
que la figura, pero que no se corte con ella, es igual al producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de la misma.
Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes de coordenados, del segmento de la línea recta.
Desarrollo
x y— + — = 1 , comprendidos entre dichos ejes de coordenadosa b
Los momentos estáticos respecto a los ejes coordenados es:
u - ‘ 1 y í * W dx • " •=i x f ^ W dy
X y b / „ dy bcomo — + — = 1 =» y = - ( a - x ) , — = -----a b a dx a
Aplicaciones de la Integral Definida 361
1728
Ai,Jo a V a 2 a 2 2 / o
byja2 + u2M. = - " t - - [0 - a 2]
b'Ja2 + b 22a
M
M
)2dy , donde x = - ( b - y ) => b
=I t a U b 1 <b ~ y)
dy b
Í / c2 / o
a-ja2 + b 2
I b 2
Hallar los momentos estáticos del rectángulo de lados a y b, respecto a estos mismos lados.
Desarrollo
Y x = a
b
0 a X
y = a
fJo
a 2bPara el eje y = b, se tiene: Mb = 1 bxdx =
r b ab2Para el eje x = a se tiene: M a = I ay dy = -----
Jo 2
Luego los momentos estáticos respecto a los ejes x e y respectivamente son:
362 Eduardo Espinoza Ramos
1729
1730
M a b M ab
Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas del centro de gravedad x + y = a, x = 0, y = 0.
Desarrollo
rArea = A = I (a
Jo
Af _ f°J Jox (a -x )d x = a 6 y — = I y (a -y )d y = a
x Jo
Para encontrar x = , y = —1 donde M es la masa y para este caso, MM M
- Ai, M v — — aes el área; es decir: M = A luego x = ——, y = —— de donde x = y = — y
A A 3
los momentos estáticosM M ax y 6
Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas2 2 2
del centro de gravedad del arco de la astroide: x 3 + y 3 =-a3 situado en el primer cuadrante.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 363
I I I l 1 1 dy ( Jx 3 + y 3 = a 3 ; v = ( a3 - J r3)3 derivando — = --------- ------- se sabe que
dx i*3
íJo
1 1 1 M x = \ (a3 —,*3)2
/o
2 2
1 + - -dx ■I. 2 2 3 1
(a 3 - a 3)2(— )3dx = — a 2 x 5
realizando el mismo procedimiento se obtiene:
M , las coordenadas del centro de gmvedad son:
- M - Mx = — - , y = —- , donde M es la masa total para nuestro caso, para el arco
M ' M2 2 2
va de (0,a) y (a,0) de la curva: x 3 + y 3 = a 3 nos piden hallar (x, y ) , comoi _I
dx = a ' .V :'d x .
i i 3a
l — I a 3x 3dx = ~ a Luego: x = - ~ — = ^ a en forma similar y = ^ aJo A 5
2a
364 Eduardo Espinoza Ramos
1731 Hallar el momento estático de la circunferencia r = 2a sen 0, respecto al eje polar.
Desarrollo
M =A =
fiJT a/j jr
= 2 a2 (l-cos20)dfl = 2a2 ( Q ) / = 2a2(n -0 ) = 2a2nJo 2 / o
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria
y = acosh— comprendido entre x = -a y x = a. a
Desarrollo
1732
Aplicaciones de la Integral Definida 365
1733
r a x ¡ aSea L = longitud del arco indicado = I ds = asenh — /J-a a! -a
L = a senh (1) - a senh (-1) = 2a senh (1)
M x = í yds= í acosh2 *dx = a \ (cosh — + \)dxJ ~a j ~a d J —q a
M x = a(— senh — + x) / =[(— senh2 + a ) - ( — senh(-2) -a )]2 a • -a 2 2
M x = a(asenh(2 )+ 2a) = a2(2 + senh(2))
paM = I xds = I x cosh --dx= (axsenh — a 2 cosh—) /J-a J-a « a a / -a
M y = (a2senh(\) - a 2 c o sh ( l) -(-a 2ie n / j ( - l ) - o 2 cosh(-l))
M y = a 2(senh(\) - cosh(l) + senh(-1) + cosh(-l)) = 0
. ~ M y 0 - M a2 (2 + senh(2))luego: x = —- = — ——— = 0 ; y = — - = — --- ----------------L 2asenh(l) ' L 2asenh(X)
- _ a(2 + senh(2)) - - _ a(2 + senh(2))2senh(l) ’ 2senh(\)
Hallar el centro de gravedad del arco de circunferencia de radio a, que subtiene el ángulo 2a.
Desarrollo
Si x coincide con al abscisa del centro de gravedad de la mitad superior e— . dx y dx 2 a2y = 0 , tenemos: Si — = — , y, l + (— ) = —
dy x dy x
366 Eduardo Espinoza Ramos
1734
Puesto que x 2 + y 2 = a 2 para la mitad superior del arco se tiene: S = T - a.
í Jo
dr {asertaa a x | x</l + (— )2dy = a j dy
dy
a a x - a sena- aseriax = -----—
a
Por lo tanto el centro de gravedad esta sobre la bisectriz a una distancia senaa.------ del centro de la circunferencia. Entonces el centro de gravedad del
a
arco de circunferencia esta:
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer cado de la cicloide: x = a (t - sen tj, y = a (1 - eos t).
Desarrollo
Se conoce que ds = \j(dx)2 +(dy)2 = asen X dt puesto que
(dx)2 - a 2 ( l - e o s t)2(dt)2 => (dy)2 = a 2sen2t(dt)2
yj(dx)2 + (dy)2 = íj^/(1-cosí)2 +sen2t dt = a\Í2 y fl-co s t dt = lasen —dt
[ 2iz [ 2k
= J d s = \ :Jo Jo
t t ! 2k lasen—dt = —4a eos — / =8 a2 / o
Aplicaciones de la Integral Definida 367
1735
*2n j *2 x iM x = I yds= I a(\-cos t) la sen—d t= 4 a 2 \ sen3(—)dt
Jo Jo 2 J0
32M x = — a2 en forma similar para M y = 8a zJt.
Luego el centro de gravedad es:
31a2- M 8 a2n - M 3 4 ---- 4x = - + = — — = a n ; y = - ± = —2— = - a => (x,y) = (a n , - a )
L Sa L Sa 3 3
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la2 2x yelipse — + — = 1 y por lo ejes de coordenadas OX y O Y: (x > 0, y > 0 )
a~ b'(0 < t < 2k).
Desarrollo
368 Eduardo Espinoza Ramos
1736
M X = f y f ( y ) d y = f ^-yyjb2 - y 2dy = ^ ~ J a J O & 3
Las coordenadas del centro de gravedad son: x = —— = — ; y = = —M 3n M 3n
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las
curvas y = x 2, y = \[jt .
Desarrollo
A- =y 1' \fx + x 2 f~ 2 3--------- ( y ¡ x -x - ) d x = —
o 2 20
— M — M — gy = ~ r r i x - —— '■ luego: y = - ~ = —M M
para x se tiene: A~x ~ J X<~X ~x2 )dx
A 3 - 9 I - - 9A- = — => x = — ; Luego: x = y = —1 20 20 20
Aplicaciones de la Integral Definida 369
1737 Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por el primer arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX.
Desarrollo
x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t)
r»¿> pina
M f f= J ydx = J yd x , (0,0) si t = 0, (2rca,0) si t = 2ji
Ahora encontrando el área se tiene:
.2 nM = f ydx = f
Jo Je
1k pina( 1 - cos t)a( 1 - eos t)dt = a2 I (1 - eos t)2 dt
o Jo
M = 3a n , ahora calcularemos M x , M y
M.
M
4 i :
= f x f (x)dx = f J a Je
r 2=a3f Jo
a2 (1- eos í)2fl(l~ eos t)dt
3 p2n c _3_,, . 3 . 5a tí(1 -c o s /) dt = ------
b finx f(x )d x = I a (t-sen t)a ( \-eos t)a (l-eos t)dt
o
(t - sent)(\ — cost)2 dt =3 Jt2a3
370 Eduardo Espinoza Ramos
1738
5ain- _ M v 3a 'n - - M 2 ' 5 - - 5x - - ¡ r r ~ - — Y ~ n a ' y ~ ~ T r~ ~ T T ~ = 7 a ( x , y ) - ( n a , - a )M 3na M 3a n 6 6
Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a con el centro en el origen de coordenadas sobre el plano XOY.
Desarrollo
Se conoce que ds = 2nr dz, donde r = a por hipótesis y dz es la altura de la
2k f azdzzona esférica. z = — —--------= — I z d z - —
l ú a 1 a Jo 2
como x = y = 0 => el centro de gravedad es (0,0,—)2
1739 Hallar el centro de gravedad de un cono circular recto homogéneo, si el radio de la base es r y la altura es h.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 371
1740
Por simetría se tiene que el centro de gravedad se encuentra en el eje Y; luego:j c=z = 0
Calcularemos M xz = momento estático del cono, respecto del plano XZ. El
disco de la figura de base paralelo al plano XZ., tiene volumen dv = na~dy,r
■ donde el radio a, por semejanza de triangulo se tiene: a = —(h -y ) - , Luegoh
ñ h 2 p h _ 2 » 2. _ f . 7ir f . \2 j htenemos que: M xz = ydv = —— I y ( n - y ) ay = -
' J o h' Jo
- h ,, n r 2h
12
Luego y = —— = — puesto que V =y 4 3
3Luego el centro de gravedad esta a la distancia de a partir de la base del
cono.
Hallar el centro de gravedad del hemisferio de una bola homogénea de radio a, con el centro en el origen de coordenadas situado sobre el plano XOY.
Desarrollo
Determinaremos z para esto se tiene lo siguiente: la masa de una de las caras elementales (dividido el hemisferio) por medio de planos paralelos se tiene:
dm = P nr2dz , donde P es la densidad, z la distancia entre el plano secante y
la base del hemisferio, r = s]a2 - z 2 , el radio de la sección, tenemos:
n f («2 - J o
z2)dz 3z = ----------------= — a ; Luego por simetría se tiene: x = y = 0
2 -„3 8—na3
3El centro de gravedad es: C.G. = (0,0, - a)
372 Eduardo Espinoza Ramos
1741
1742
Hallar el momento de inercia de una circunferencia de radio a, respecto a su propio diámetro.
Desarrollo
r 2 I 7 v 7Se conoce que: 7 = 41 y .11 + (— y dxJo V dx
Donde la ecuación de la circunferencia de radio a, es:
2 2 2 2 2 2 dy XX + y =a => y = a —x y — = —dx y
, ‘ 4l ( a 2 ~ x2)i + 7 dx= 4 f \ C
Jo2 je 2 dx
n
fJo, 3 I 2 2 /1 .« . 3 , 0 send.cosd ¡ K , . 3 .* . 3/ = 4a I eos 0 ¿0 = 4a (—+ ------------- ) / =» I = 2a (—) = Ka
2 2 / 0 2
Hallar el momento de inercia de un rectángulo de lados a y b, respecto a estos lados: Ia , l h .
Desarrollo
Se conoce que / = I r dmI '
/ a = T y 2dm = a f y 2dy / ' = -Jo Jo 3 ' o
rJo
dm dy
I, = I x“í/m , donde dm = b dx
fJo4 = 1 xAbdx = b^ l o =* 4 =
¿o 1
Aplicaciones de la Integral Definida 373
1743 Hallar el momento de inercia de un segmento parabólico recto, respecto a su eje de simetría si la base es 2b y la altura es h.
Desarrollo
_ 4hb3 15
1744 Hallar el momento de inercia de la superficie de la elipse —- + — = 1,a b
respecto a sus ejes principales.
Desarrollo
De acuerdo a la figura, el momento de inercia del tubo cilindrico generado por rotación alrededor del eje X, del rectángulo R de la figura que tiene por base dy, y altura 2x.
Es decir: dla = y 2dv = y 1 (2ny)(2x)dy
dla =4ny3xdx Luego Ia = I dla = 4n I y 'xd yJo Jo
para esto paramétrizamos haciendo:
»ftx = a eos t, y = b sen t; Ia = 4 n \ b3sen3t.a eos íi> eos t dt
Jo
374 Eduardo Espinoza Ramos
1745
1746
n nIa = 4 rtab4 I “ sen?t eos2 / dt = 4nab4 I " (1- eos21)eos2 t.sent dt
Jo Jo
, 4 . cos3í cos5r / r 8nab4 . .- 4nab (--------- + --------) / = --------- en forma similar para el otro caso.3 5 / o 15
Hallar el momento polar de inercia de un anillo circular de radios /?, y R2 (Rl < R2) , es decir el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro del anillo y es perpendicular el plano del mismo.
Desarrollo
Dividimos el anillo, en anillos elementales concéntricos, donde la masa de cada
uno de estos anillos será dm = r 2r k dr y el momento de inercia es:
C 4 R jrI = 2n \ r 'd r , donde r = l entonces I = 2n.— / 2 = —(R% -R ? )
Jr, 4 / r, 2 2 1
Hallar el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su eje, si el radio de la base es R, y la altura es H.
Desarrollo
Dividimos en una serie de tubos cilindricos elementales paralelos al eje del cono.
El volumen de uno de estos tubos elementales será dv = 2rtrhr dr, donde r es el radio del tubo; es decir la distancia hasta el eje del cono.
rh = H( 1----- ) es la altura del tubo, en este caso el momento de inercia es:
R
r R/ = r I 2 n H ( \ - - ) r ' d r
Jo ^
Aplicaciones de la Integral Definida 315
calculando la integral se tiene: I = — —— donde r es la densidad del cono.
1747 Hallar el momento de inercia de una bola homogénea de radio a y masa M, respecto a su diámetro.
Desarrollo
Escogemos un disco delgado paralelo al plano XZ y suponiendo que la densidad es P, el momento de inercia de un disco delgado de radio x, respecto
al eje Y es ~ x 2 para hallar el momento de inercia I y de toda la esfera se
suman los momentos individuales que acabamos de hallar en donde:
dM = Pdv = Pnx2dy entonces í v = - ( P n x 2dy)x2 = — Px4dyy 2 2
La ecuación de la sección de la esfera en el plano XY (circulo) es
x 2 + y 2 = R 2, donde R = a.
Luego: /„ = — f (o2 - y 2)dy = — nPR5 como la masa es m = —n a 3P ;* Z J-a 15 3
4 - 2a2 2 7 2 ■>se tiene: I „ = ( - t ta P \ ----- ) = - M a Respuesta: I = - M a ~
y 3 5 5 -v 5
376 Eduardo Espinoza Ramos
1748
1749
1750
Hallar el área y el volumen de un tubo engendrado por la revolución de un círculo de radio a, alrededor de un eje situado en el mismo plano que el círculo
y que se encuentra a una distancia b (b > a) del centro de este.
Desarrollo
V = 2it2a 2b; S = 4 n 2ab
a) Determinar la posición del centro de gravedad del arco de la astroide2 2 2
x 3 + y 3 = a 3 situado en el primer cuadrante.
b) Hallar el centro de gravedad de la figura limitada por la curvas: y 2 = 2 px y x 2 = 2py .
Desarrollo„ - - 2a - - 9p
a) x =j* xdx J x,]\+ y '1 dx j" x J l + (—)3dx
f + y '2dx f y¡l + y '2dxJ a JO
3 f / ‘- 5 * / o 2a . , - — 2ax = ——-—- = — ; luego por simetría se tiene: x = y = —
3 - . a 5 572 / o
b) En forma similar el caso desarrollado de a)
a) Hallar el centro de gravedad del semicírculo, aplicando el teorema deguldin.
b) Demostrar aplicando el teorema de guldin que es el centro de gravedad deun triangulo dista de su base a un tercio de la altura.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 377
a) Al girar la figura genera un cono cuyo
4 n 3volumen es: V = — R según el
teorema de guldin el producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad, es igual al volumen entonces:
Área de la circunferencia = rcR¿ ; longitud de la circunferencia = 2n y
comparando y efectuando se tiene: (2n y) = —JtR3
, . , - 4 R , írs4 Rde donde y = — por lo tanto (0,-— )
3tt 3/r
b) Al girar el triangulo alrededor de su base genera un cono cuyo volumen Jtbh2es: V = ------- donde b es la base y h es la altura del triangulo, según el
teorema de guldin este mismo volumen seria: V = 2 donde x es
la distancia del centro de gravedad a la base, luego comprobando se tiene:„ bhx„ nbh" - h2 t t ( ———) = — - — = > x - —
2 3 3
6.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE FISICA.
(T ) TRAYECTORIA RECORRIDA POR UN PUNTO.-
Si un punto se mueve sobre una curva y el valor absoluto de su velocidad v = f(t) es una función conocida del tiempo t, el espacio recorrido por dicho
punto en un intervalo de tiempo [tl ,t2\ ser igual a:
378 Eduardo Espinoza Ramos
- f
© TRABAJO DE UNA FUERZA.-
Si una fuerza variable x = f(x) actúa en la dirección del eje OX, el trabajo de
esta fuerza es el segmento [x¡,x2] será igual a:
A =
© ENERGIA CINETICA.-
Se da el nombre de energía cinética de un punto material, de masa m y velocidad v, a la siguiente expresión:
r f (x )d x
La energía cinética de un sistema de n puntos materiales de masas m¡ , m2 ,..., mn , cuyas velocidades respectivas sean v¡, v2,..., v„ es igual a:
Para calcular la energía cinética de un cuerpo, hay que dividirlos convenientemente en partes elementales (que juegan el papel de puntos materiales) y después, sumando la energía cinética de estas partes, y pasando a limites, en lugar de la suma (1) se obtendrá la correspondiente integral.
© PRESION DE LOS LIQUIDOS.-
Para calcular la fuerza con que presionan los líquidos se emplea la ley de pascal, según la cual, la presión que ejercen los líquidos sobre una área s sumergía a una profundidad h es igual a: p = yhs, donde y es el peso especifico
del liquido.
Aplicaciones de la Integral Definida 379
1751
1752
La velocidad de un cuerpo, lanzado hacia arriba verticalmente con una
velocidad inicial v0 , despreciando la resistencia del aire, se expresa por la
formula: v = v0 - g t , donde t es el tiempo transcurrido y g es la aceleración de
la gravedad, a que distancia de la posición inicial se encontrara este cuerpo a los t seg. de haberlo lanzado?
Desarrollo
datos:v = v0 - g t t = tiempog = aceleración de la gravedad
cálculo de la distancia recorrida a los t seg.
dsv « - = v0 - s , => f'(v 0 - Jo Jo
gt)dt
s = v0t - g -
La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0 , contando la resistencia del aire, se expresa por la fórmula
v = cJg(~— y + arctg — ) donde t es la tiempo transcurrido, g es la aceleraciónc c
de la gravedad y c es una constante, hallar la altura a que se eleva el cuerpo.
Desarrollo
datos:
v = c /g ( -g - + arctg (— ))
t = tiempo c = constante g = gravedad
380 Eduardo Espinoza Ramos
dh , t v0v = — = clg ( -g - + arctg — )
dt c c
f dh= f [c .tg (-g - +arctg — ))dtJo Jo c c
h = ~ — ln |sec (-g — + arctg— ) | / g c c > o
2 2 2
h = ln | see ( -g — + arctg — | + — ln(l + -y )g C c g C¿
2 2 2 2 2 2
h = - h +— ln (l+ ^ -) => 2h = — ln(l + - ) de donde h = — ln(l + - )g e 2 g e - 2 g e
1753 Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen de coordenadas con una velocidad que viene dada por la fórmula v = v0 cosco?, donde t es el
tiempo y v0 y co son unas constantes, hallar la ley de la vibración del punto, si
para t = 0, tenia una abscisa x = 0. a que será igual el valor medio de la magnitud absoluta de la velocidad del punto durante el periodo de la vibración.
Desarrollo
v = v0coscor, t = 0, x = 0
a) calculo de la ley de vibración del punto.
v = — = v0cos©í => dx = v0cos(ütdt
vn cos cot d t , de donde x = — sencot / =— sencüt(0 1 0 0)
Vqx = — sencot (O
Aplicaciones de la Integral Definida 381
1754
1755
La velocidad del movimiento de un punto es: v = te~°mu . hallar elseg
camino recorrido por dicho punto desde que comenzó a moverse hasta que paro por completo.
Desarrollo
dato: v = te~°'ou
calculo del camino recorrido por un punto desde que comenzó hasta que paro.
ds -oon • . r , f ' -ooir e“° ol'( 0.01f - l ) / 'v = — = te , integrando I ds = I te dt = --------------- -------/dt Jo Jo (0.01)2 / o
_ g -0-01' (1- 0.0 ir)0.0001
el punto para que se pare por completo es cuando v = 0 => t = 0.
para t = 0, s = — -m = \ 04m s = 104m(íor4
Un proyectil cohete se levanta verticalmente, suponiendo que, siendo constante la fuerza de arrastre, la aceleración del cohete aumenta a causa e la
disminución de su pero según la ley: j = ------- , (a - bt > 0). hallar la longituda - b t
del cohete en cualquier instante t, si su velocidad inicial es igual a cero, hallar también la altura que alcanza el cohete en el instante t = tx.
Desarrollo
a) Calculo de la velocidad del cohete:
Datos: v0 = 0 ; j = ------- » a - b t > 0a - b t
dv A , A dtj = — = ------- => dv = -dt a - b t a - b t
382 Eduardo Espinoza Ramos
1756
f v f' Adt A , x /'I dv = I ------- => v = ------ln(a -b t) IJo Jo a - b t b / o
A A A a A , av = ---- \n (a -b t) + — lna = — ln(-------------------------------------------------- ) v = —ln(---- —)
b b b a - b t b a - b t
b) Calculo de la altura en el instante t.
— = v = — ln(—-—) = — l n a - —\n(a-bt) => ds = - ( \ n a - \n ( a - b t ) ) d t dt b a -b t b b b
f ds = — f (ln a - ln(a - bt))dtJo b Jo
s = — [/ ln a - 1 ln (a -b t ) + 1 + — ln(a - b t)] / b b I o
= Ar [bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln (a - b t ) ] l h2 l o
sb
s = — (bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln(a - bt) - a ln a) b2
s = -4 - (bt - (a - bt) ln a + (a - bt) ln(a - bt)) b2
s = Ar(bt + ( a - b t ) ln(a ■- -)) s = A r ( b t - ( a - b t ) ln( ■))fe2 a a - ¿ í
Calcular el trabajo necesario para sacar agua que hay en una cuba cilindrica vertical, que tiene un radio de base R y una altura H.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 383
1757
T c o - F d s = E „
H E p - mgh , y =
yv
m g
m = — donde y = peso especifico g
V = itR~H , derivando se tiene:
dV = nR dh
dEp = d (mgh)
calculando dm:
yv , dvm ~ — => dm - y —8 8
(1)
... (2)
ahora (1) en (2) se tiene: dm = yrcR — y dE = (yn R -— )gh
Jo Joghdh - ynR2 I hdh
ch
i 1 Jo
yrrR2H 2 JtyR2H 2t = ----------- pero E = a) por lo tanto co = —---------
Calcular el trabajo necesario para sacar el agua que hay en un recipiente cónico, con el vértice hacia abajo, cuyo radio de la base es R y la altura H.
Desarrollo
384 Eduardo Espinoza Ramos
Ep = F d s =m
donde to = trabajo
mg yvY = — => m = ——
v 8(1)
y = peso especifico
1 oV = —n r H 3
dV = —Jtr2dh 3
dm = y dv
yjcrreemplazando (2) en (3) se tiene: dm = ------dh
3 g
E„ = mgh => dE = d(mgh)
f M "Jo Jo
jKr~3g
Rh
(gh)dh , ahora cambio de r a R
h R— = — => r =r H H
Ep = g ~ \ h A 2h2dh Ep =-Ó Jo /2 3 // Jo 12
■ (2)
.(3)
. _ ^ / / p 12
Aplicaciones de la Integral Definida 385
1758
1759
Calcular el trabajo necesario para sacar el agua de una caldera semiesférica, que tiene un radio R = 10 m.
Desarrollo
0 R
dm<T_ x X
X'
/ dx
r
El disco comprendido entre x y x + dx tiene un volumen.
dV = tiy2dx = n(R2 - x 2)dx
La fuerza F requerida para bombear el agua de este dV es igual a su peso.
p dV = pn(R 2 - x 2)dx
La distancia en el cual actúa esta fuerza es:
—> —>[x, x+dx] => dW = F .d r = p n(R 2 - x 2 ) x d x , integrando en ambos miembros:
f “ f * R 2 x 2 x 4I dco = I pn (R 2 - x 2)xdx = Pn (—1------------ ) /Jo Jo 2 4 * o
jzR(ú = p -= (0.79)103 xl O4 , siendo p el peso de 1 dmi de agua
4
/. (0 = 0.79JtlO7 k g - f Im
Calcular el trabajo necesario para sacar, por el orificio superior, el aceite contenido en una cisterna de forma cilindrica con el eje horizontal, si el peso
especifico del aceite es y, la longitud de la cisterna H, y el radio de la base R.
Desarrollo
386 Eduardo Espinola Ramos
m 8 Y v / i \y = — => m = — ... (1)H
. . (2)
. . (3)
... (4)
Ep = co = mgh dcü = d(gmh)
Jo Jo. ÍJodh (ù = ynR H
1760 Que trabajo hay que realizar para levantar un cuerpo de masa m, de la superficie de la tierra, cuyo radio es R, a una altura h?. A que será igual este trabajo si hay que expulsar el cuerpo al infinito.
■
Desarrollo
Según la ley de gravitación universal, la fuerza F que ejerce la tierra un cuerpo
, , „ mMde masa m esta dado por: F = y — —R2
donde y = constante de gravitación
M = masa de la tierra, m = masa de un cuerpo cualquiera
R = radio de la tierra
wCR^h mM mM / R+h- J . ^ dR- y^ L w - y m M ( - ------ -— )
' R R + h
i
... (1)
como la fuerza atracción es igual peso (mg)
Aplicaciones de la Integral Definida 387
1761
1762
mM gR2=* m8 = y — r => v = - r r - (2)R- M
de (2) en (1) se tiene: W = gm~- si hay que expulsar el cuerpo al infinito h->°°1 + -
RmMw = y-----
R
Dos cargas eléctricas e0 = 100 CGSE y e¡ = 200 CGSE, se encuentran en el eje OX en los puntos xQ = 0 , xi = 1 cm , respectivamente. ¿Que trabajo se realizara si la segunda carga se traslada al punto x2 = 10 cm ?
Desarrollo
£ cLa fuerza de acción mutua de las cargas será F = dinas, por consiguiente,
xel trabajo necesario para trasladar la carga e, desde el punto xx al punto x2
C*2 dx .1 1 . . o , ft4, -T = e0e¡(--------- ) = l .8.d 0 ergiosJx, JC2 x, X2
»v^I.SaIO4 ergios
Un cilindro con un embolo móvil, de diámetro D = 20 cm., y de longitud i = 80 cm., esta lleno de vapor a una presión de p -1 0 kgf I cm2 . ¿Qué trabajo hace falta realizar para disminuir el volumen del vapor en dos veces si la temperatura es constante (proceso isotérmico)?
Desarrollo
Para el proceso isotérmico pv = p0v0 . El trabajo realizado en al expresión del gas desde el volumen v0 hasta el volumen v, es igual a:
vw = I pdv= p0v0 ln— = 800*ln2 kgf / m .\ w = 800jtln2 kg f / mJV2 vo
sera: w = e0et
388 Eduardo Espinoza Ramos
1763
1764
Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabática del aire, hasta ocupar en volumen v ,= 10m3, si el volumen inicial es v0 = 1 m3 y la presión
p0 =1 kg f / cm2 .Desarrollo
Para el proceso adiabático es valida la ley de Paisson pvk = p 0Vq , donde k =
1.4, de donde: [ l - ^ - 1]Jj2 k k - 1 V[
de donde al reemplazar sus valores se tiene: w = 15,000 kg - f / m
Un árbol vertical, de peso P y radio a, se apoya en una zanja AB la fricción entre una parte pequeña o de la base del árbol y la superficie del apoyo que esta en contacto con ella es igual a F = upo donde p = constante es la presión del árbol sobre la superficie del apoyo, referida a la unidad de superficie del mismo , y u es el coeficiente de función. Hallar el trabajo de la fuerza de fricción en una revolución del árbol.
Si a es el radio de la base del árbol, la presión s sobre la unidad de superficie de
apoyo será P = ——-, la fuerza de frotamiento de un anillo de anchura dr, que n a '
se encuentra a una distancia r del centro, será igual a r dr .a
Aplicaciones de la Integral Definida 389
1755
1766
El trabajo de la fuerza de frotamiento, sobre estos anillos, durante una vuelta
completa es: dw ■■ dr , por lo cual el trabajo total
w =4nup f" 2a2 Je r~dr = —Jtupa
Calcular la energía cinética de un disco, de masa M y radio R, que gira alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del disco con una velocidad angular co.
Desarrollo
La energía cinética de un elemento del disco:
„ v2dm pr2ío2 , , , , , ,d k = -------= ---------d a . donde da = 27irdr2 2
es el elemento de superficie, r, su distancia al eje de giro; p, la densidad ^ ^ 2
superficial p = ---- — de esta forma dk = ----— r2dr , de donde:nR- 2 k R-
kMeo2 f Ä
R2 Jo r3rfr =MR2(02 w = -MR2(02
Calcular la energía cinética de un cono circular recto, de masa M, que gira alrededor de su eje con una velocidad angular ©. El radio de la base del cono es R, la altura H.
Desarrollo
/VI „ i :vi '
Cdm) disco = PdV
(dEc)disco =
k R2H
w2x 2 3Mx2
M 2 , 3Mx¿dzKX dz = ■
R2Hdz =
R2H
3Mw2x*dz 4 R 2H
Z H ;------ = — =» dz = — -dxR - x R R
390 Eduardo Espinoza Ramos
1767
r °3 Mw2x\ W f 3Mw 4 j 3 M w x / «(Ec)cono = I — ^ = ----- — x*dx = ------- — /
J* 4R H R Jo 4/? 20/? ' o
£ .=3Mw2R2
20
Que trabajo es necesario realizar para detener una bola de hierro de radio
R = 2m que gira alrededor de su diámetro con una velocidad angular co = 1000
vueltas / crecimiento?. (El peso especifico del hierro es r = 7.8 gf /cm 3 ).
Desarrollo
w - mad, hallamos masas “m” sabemos que:
y ~ ~ =>m = yV=> M = ~n r3Y ... (1)
hallamos la aceleración a, este caso seria “a” por cinemática:
2 c o 2tú' = 2aQ => 0 = — ... (2)20
hallamos la distancia “d” este caso seria la longitud de arco:
02nr(—~) = d => d = n 9r ... (3)
2 71
para n vueltas. Reemplazando (1), (2) y (3) en w = mad
r4 3 0)2 0 j j , 4 yurnO . 4 ,w - —7tYr — .nOr de donde w - —n l -I r dr3 20 3 20
4 2 r5 4 3 œ2r2w - —rq'co'n = ^ Ylír )—^— Para n = 2 dos vueltas
N -, , w = — co~r kgf / m w = 2 .3 a1 0 8 k g - f / m
Aplicaciones de la Integral Definida\
391
1768 Un triangulo de base b y altura h esta sumergido verticalmente en agua, con el vértice hacia abajo, de forma que su base coincide con la superficie del agua. Hallar la presión que el agua ejerce sobre el.
Desarrollo
Se sap que dp = phl dh => por relación
H - h _ H B ( H - h )í ~ B ^ ~ H
C r H H — hF = p h /d h = phB(------- )dh
Jo Jo H
B 3/ / 3 —2/ / 3 /H B H 3 P ~H 6 / o = P H ' T
F BHF ■ r.------
1769 Una presa vertical forma de trapecio. Calcular la presión total del agua sobre dicha presa, sabiendo que la base superior tiene a = 70 cm, la base inferior b = 50 cm y su altura h = 20 cm.
Desarrollo
1 = 7 fJe
p = ^
empleando semejanza de triangulo se tiene:
1 = y * h i = 1 ± 20 525a b 50 70
705 725 - h 70— = - - => / = (725-A )——70 / 725
20 -70(725- h ) - h 1II1 /. p = l 13.60 tm
o 725