Sophia Lee Martin Swiontek Brzezinski - math.tu-berlin.de · Symmetrie eines Parketts. Enth alt die Symmetriegruppe eines Parketts zwei linear unabh angige Translationen, so heiˇt

EinfuhrungSymmetrien periodischer Parkettierungen

Escher-Parkette

Escher’s Wallpapers

Sophia Lee Martin Swiontek Brzezinski

TU Berlin

8. April 2014

Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers


Escher-Parkette

Ubersicht

1 Einfuhrung

2 Symmetrien periodischer Parkettierungen

3 Escher-Parkette



Escher-Parkette

Kurzbiographie Maurits Cornelis Escher

∗ 17.06.1898 in Leeuwarden

1919: 1-wochiges Architektur-Studium inHaarlem

1922 erster Besuch der Alhambra

bis 1937 entstehen uberwiegend mediterraneLandschaftsbilder

1936 zweiter Besuch der Alhambra verandertEschers Thematik

1938 Beginn der Metamorphosen-Periode(Tag und Nacht 1938)

ab 1946 verstarkt perspektivische Bilder(Oben und Unten 1947)

† 27.03.1972 in Hilversum

Escher in Rom, 1930



Escher-Parkette

Italienische Periode 1922-1935

Amalfi-KusteHolzschnitt 1931

San Cosimo, RavelloLithographie 1932



Escher-Parkette

Metamorphosen-Periode ab 1938

SeepferdchenSymmetriezeichnung 11,1938

LibellenSymmetriezeichnung 13,1938



Escher-Parkette

Unmogliche Figuren

Treppauf und treppab,Lithographie 1960

Wasserfall,Lithographie 1961



Escher-Parkette

Mobiusband und Perspektivitat

Mobiusband 2,Holzstich 1963

Oben und Unten,Lithographie 1947



Escher-Parkette

Aus dem Alhambra-Palast

... Die reichste Quelle der Inspiration, die ich je erschlossen. (Escher 1936)



Escher-Parkette

Eschers Inspirationen

Skizze, Alhambra 1936

Uber die Analogie derKristallsymmetrie in derEbene (G. Polya)

Die regelmaßigenPlanteilungen undPunktsysteme (F. Haag)

Penrose-Dreieck(unmogliche Figuren)

die Illustration einernichteuklidischenGeometrie von Coxeter(fraktale Bilder)



Escher-Parkette

Grundlegende Definitionen

Kachel: Eine Kachel ist eine abgeschlossene Punktmenge der Ebene. Dieinneren Punkte sind zusammenhangend. Als weitere Bedingung wirdmeist verlangt, dass die Kacheln keine Locher enthalten durfen.

Parkettierung: Eine Parkettierung ist eine (abzahlbare) Menge vonKacheln, die sowohl eine Packung (d.h. der Durchschnitt zweier Kachelnist leer oder darf nur aus einem Teil des Randes der jeweiligen Kachelnbestehen ) als auch eine Uberdeckung (d.h. jeder Punkt der Ebene gehortzu mindestens einer Kachel) ist.



Escher-Parkette

Grundlegende Definitionen

Kachel: Eine Kachel ist eine abgeschlossene Punktmenge der Ebene. Dieinneren Punkte sind zusammenhangend. Als weitere Bedingung wirdmeist verlangt, dass die Kacheln keine Locher enthalten durfen.

Parkettierung: Eine Parkettierung ist eine (abzahlbare) Menge vonKacheln, die sowohl eine Packung (d.h. der Durchschnitt zweier Kachelnist leer oder darf nur aus einem Teil des Randes der jeweiligen Kachelnbestehen ) als auch eine Uberdeckung (d.h. jeder Punkt der Ebene gehortzu mindestens einer Kachel) ist.



Escher-Parkette

Beispiele symmetrischer Kacheln

Spiegelsymmetrische und drehsymmetrische Kacheln



Escher-Parkette

Beispiele periodischer Parkette

Translationssymmetrie



Escher-Parkette


Gleitspiegelsymmetrie



Escher-Parkette


Dreh- und Spiegelsymmetrie



Escher-Parkette

Definition eines periodischen Parketts

Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißtSymmetrie eines Parketts.

Enthalt die Symmetriegruppe eines Parketts zwei linear unabhangigeTranslationen, so heißt das Parkett periodisch und die entstehendeSymmetriegruppe Wallpaper group.

Jedes periodische Parkett kann weitere Symmetrien besitzen:Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Drehsymmetrien.



Escher-Parkette







Escher-Parkette







Escher-Parkette

Die Symmetriegruppe eines Parketts

Die Symmetrien eines Parketts konnen hintereinander ausgefuhrt werden.Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung:

Symmetrie

Spiegelung an g

Gleitspiegelung an u

Drehung um den Winkel α

Umkehrung

Spiegelung an g

Gleitspiegelung an −uDrehung um den Winkel −α

Die Symmetrien bilden daher eine Gruppe, Operation ist dieHintereinanderausfuhrung der Abbildungen.



Escher-Parkette



Symmetrie

Spiegelung an g



Umkehrung

Spiegelung an g





Escher-Parkette



Symmetrie

Spiegelung an g



Umkehrung

Spiegelung an g





Escher-Parkette

Die kristallographische Beschrankung

Schreibe Drehwinkel einer Drehung in der Form

α =2π

n=

360◦

n.

n heißt Ordnung der Drehung.

Satz uber die kristallographische Beschrankung

In jedem periodischen Parkett gibt es nur Drehungen der Ordnung2, 3, 4 oder 6.



Escher-Parkette

Beweis der kristallographischen Beschrankung

Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf ein Drehzentrumgleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum der Ordnung n und Q einDrehzentrum der Ordnung n mit minimaler Entfernung zu P(=Extremalprinzip).Wir drehen P um Q mit Winkel α = 2π

n und erhalten den Punkt P ′, dernach der vorausgeschickten Bemerkung ebenfalls ein Drehzentrum derOrdnung n ist.



Escher-Parkette

Beweis der kristallographischen Beschrankung

Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf ein Drehzentrumgleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum der Ordnung n und Q einDrehzentrum der Ordnung n mit minimaler Entfernung zu P(=Extremalprinzip).Wir drehen P um Q mit Winkel α = 2π

n und erhalten den Punkt P ′, dernach der vorausgeschickten Bemerkung ebenfalls ein Drehzentrum derOrdnung n ist.



Escher-Parkette

Die Wallpaper-groups

Die 17 Wallpaper-groups werden wie folgt notiert:

Ein Escher-Parkett besitzt keine Spiegelachsen, daher kommen nicht alle17 Gruppen vor.



Escher-Parkette

Gruppe ohne Drehungen

Beispiel p1



Escher-Parkette

Gruppe mit zweizahligen Drehzentren

Beispiel p2



Escher-Parkette

Gruppe mit dreizahligen Drehzentren

Beispiel p3



Escher-Parkette

Gruppe mit vierzahligen Drehzentren

Beispiel p4



Escher-Parkette

Gruppe mit sechszahligen Drehzentren

Beispiel p6



Escher-Parkette

Die 11 Laves-Netze

(3,3,3,3,3,3) (6,3,3,3,3) (4,4,3,3,3)

(4,3,4,3,3) (6,4,3,4) (6,3,6,3)



Escher-Parkette

Die 11 Laves-Netze

(12,12,3) (4,4,4,4) (8,8,4)

(12,6,4) (6,6,6)



Escher-Parkette

Definition des Escher-Parketts

Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kantenund keine Spiegelsymmetrien gibt.

Die Halfte des Randes einer Kachel wird beliebig vorgegeben. Die andereHalfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Halftehervorgehen:

T Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervorG Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervorC Linie ist punktsymmetrisch zur MitteCn Linie geht durch Drehung um 2π

n aus einer anderen Linie hervor,wobei n = 2, 3, 4, 6

Diese Notation und die Klassifizierung der Escher-Parkette stammt vonHeinrich Heesch (1906-1995).



Escher-Parkette

Definition des Escher-Parketts

Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kantenund keine Spiegelsymmetrien gibt.

Die Halfte des Randes einer Kachel wird beliebig vorgegeben. Die andereHalfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Halftehervorgehen:

T Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervorG Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervorC Linie ist punktsymmetrisch zur MitteCn Linie geht durch Drehung um 2π

n aus einer anderen Linie hervor,wobei n = 2, 3, 4, 6

Diese Notation und die Klassifizierung der Escher-Parkette stammt vonHeinrich Heesch (1906-1995).



Escher-Parkette

Die 28 grundlegenden Escher-Parkette



Escher-Parkette

Grundtypen von Escher-Parkettierungen

Typ 1TTTT

Netz (4,4,4,4)

Gruppe p1



Escher-Parkette


Typ 9C3C3C3C3C3C3

Netz (3,3,3,3,3,3)

Gruppe p3



Escher-Parkette


Typ 12C3C3C6C6

Netz (6,4,3,4)

Gruppe p6



Escher-Parkette


Typ 15C4C4C4C4

Netz (4,4,4,4)

Gruppe p4



Escher-Parkette


Typ 17G1G1G2G2

Netz (4,4,4,4)

Gruppe pg



Escher-Parkette

Pegasus, Symmetriezeichnung 105, 1959

TTTTLaves Netz (4,4,4,4)

Gruppe p1Typ 1



Escher-Parkette

Symmetriezeichnung 104, 1959

C4C4C4C4

Laves Netz (4,4,4,4)Gruppe p4

Typ 15



Escher-Parkette


C3C3C3C3C3C3

Laves Netz (3,3,3,3,3,3)Gruppe p3

Typ 9



Escher-Parkette

Reiter, 1957

G1G1G2G2

Laves Netz (4,4,4,4)Gruppe pg

Typ 17



Escher-Parkette


C3C3C6C6

Laves Netz (6,4,3,4)Gruppe p6

Typ 12



Escher-Parkette

Literatur

M. Dobrowolski, Mathematische Exkursionen: Godel, Escher undandere Spiele, Oldenbourg 2010, S. 145-170.

http://unendliches.net/german/index.htm?escher.htm

http://www.mathe.tu-freiberg.de/ hebisch/cafe/mce/escher.html

http://www.mcescher.com/

https://www.tu-chemnitz.de/spektrum/00-1/tu21.html

http://de.wikipedia.org/wiki/Parkettierung

http://en.wikipedia.org/wiki/M. C. Escher



Escher-Parkette

Abbildungsverzeichnis

http://math.ucr.edu/home/baez/alhambra

http://www.mcescher.com/about/biography/

http://www.mathe.tu-freiberg.de/ hebisch/cafe/mce/escher.html



Escher-Parkette

Zusatzmaterial

Acht Kopfe, Holzschnitt 1922

Tag und Nacht, Holzschnitt 1938



Escher-Parkette

Zusatzmaterial




Escher-Parkette

Die Untergruppe der Translationen

Sind Tu und Tv die Translationen in die beiden verschiedenen Richtungenu und v , so sind die Translationen um ein (auch negatives) Vielfachesvon u und v ebenfalls Symmetrien.

Tij = TiuTjv , i , j ∈ Z

sind dann ebenfalls Symmetrien, die zur Gruppe (Z2,+) isomorph ist.Jede Symmetriegruppe eines periodischen Parketts enthalt damit dieseUntergruppe.



Escher-Parkette

... Kuchenlatein fur mich, der ich ein vollstandiger Laie auf dem Gebietder Mathematik war.(M.C. Escher uber Erkenntnisse der theoretischen Mathematik)

Eine Flache, die man sich nach allen Seiten unbegrenzt fortgesetztvorstellen muß, kann nach einer beschrankten Zahl von bestimmtenSystemen bis ins Unendliche aufgefullt werden oder aufgeteilt werden ingleichformige mathematische Figuren, die sich an allen Seiten begrenzenohne das

”leere Stellen“ ubrigbleiben.

(M. C. Escher,”Regelmatige vlakverdeling“, 1958)


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