Stabilitatea IMEM (BIBO)

Dac se ntlnete situaia ca =0 se ntrerup calculele. Exist totui o modalitate de determinare a stabilitatii IMEM pentru astfel de situaii. Aceast modalitate se bazeaz pe variaia unui parametru cu un foarte mic.

Stabilitatea relativaAsigurarea stabilitatii sistemelor este o cerinta esentiala in proiectarea acestora.Exista putine situatii in care se impune o functionare instabila, cum ar fi, de exemplu, oscilatoarele (si in acest caz trebuie garantata stabilitatea oscilatiilor). Din aceste considerente, trebuie garantata plasare polilor sistemului in semiplnul complex stang.Aprecierea calitatii de BIBO stabilitate se poate face si prin intermediul raspunsului indicial h(t).cat de mult se apropie sistemul de situatia de BIBO instabilitateIn domeniul timp, aceasta apreciere se poate face pe baza abaterilor lui h(t) fata de:Abaterile lui h(t) sunt cu atat mai mari (si de durata mai mare) cu cat polii lui G(s) situati in semiplanul complex stang sunt mai apropiati de axa reala.

Stabilitatea relativaRezerva de stabilitateRezerva de stabilitatePrin proiectare se impune o anumita configuratie (teoretica) a polilor in semiplanul complex stang.Pozitiile reale ale polilor se afla in apropierea celor teoretice datorita: impreciziei modelului matematic variatiei lente a parametrilor sistemului real (sub influenta factorilor mediului ambiant sau a imbatranirii materialelor)Este posibil ca sistemul (desi proiectat initial stabil) sa ajunga la limita de stabilitate sau chiar sa devina instabil.Grad de stabilitate

SolutiaDe retinut: exista o dependenta intre zerourile polinomului (s) si coeficientii sai:Variatii mici ale coeficientilor produc variatii mari ale polilor.Se vor plasa de la inceput polii la stanga unei drepte

Realizarea rezervei de stabilitate In (s) se face schimbarea de variabila s=s-min Se aplica criteriile de stabilitate polinomului (s-min) Satisfacerea conditiilor unuia dintre criterii este echivalent cu localizarea polilor in {Re s < - min}Exemplu: se considera polinomul:in care coeficientii au valorile nominale. Se cere sa se verifice daca sistemul corespunzator are rezerva de stabilitate min=1, in conditiile in care 2 este incert, el variind in intervalul [21, 31].Se face schimbarea s=s-1 si se inlocuieste 2 cu 2=26+, unde apartine lui [-5, +5]. Se obtine:

-60/76-55Concluzie: rezerva de stabilitate este asigurata oricare ar fi variatia lui 2 in domeniul considerat.

Gradul de stabilitateDistanta dintre axa imginara a planului complex si polul cel mai apropiat al functiei de transfer G(s).

Domenii parametrice de stabilitate IMEMDin diverse motive, este necesar sa se cunoasca intre ce limite se pot modifica parametrii unui sistem fara ca acesta sa-si piarda stabilitatea IMEM sau sa i se reduca rezerva de stabilitate.Se are in vedere, pe langa motivele pierderii stabilitatii mentionate anterior, si existenta unor parametri ajustabili ai sistemului, care pot fi modificati de operator (atunci cand este necesar).Pentru sisteme cu grad mai mic sau egal decat 3, se pot aplica criteriile de stabilitate.Pentru sisteme de ordin mai mare, problema consta in rezolvarea unui sistem de n inecuatii neliniare, ceea ce este dificil de realizat.

Simplificare a proceduriiSe vor determina mai intai acele valori ale parametrilor pentru care polinomul (s), initial hurwitzian, devine nehurwitzian ca urmare a variatiei parametrilor sai.Deoarece zerourile lui (s) depind continuu de coeficientii sai, acesta devine nehurwitzian atunci cand unele ditre zerourile sale se deplaseaza din semiplanul complex stang spre cel drept si cel putin unul dintre ele atinge axa imaginara.(s) devine nehurwitzian atunci cand:Aceste ecuatii reprezinta frontiera dintre domeniile de stabilitate si instabilitate IMEM.

Exemple:

Exemple:Dac se ine seama de condiia necesara de stabilitate a sistemului (coeficientul numitorului mai mari dact 0):

-1/21/2-1/2Domeniul parametric de stabilitate IMEM

Indici de calitate ai raspunsului indicialIn functie de localizarea polilor, sistemele dinamice liniare invariante in timp se impart in urmatoarele categoriisisteme instabile IMEM care au cel putin un pol in semiplanul complex drept sau pe axa imaginarasisteme stabile IMEM ale caror poli sunt situati in semiplanul complex stangsisteme stabile IMEM ale caror zerouri sunt situate in semiplanul complex stangsisteme stabile IMEM care au cel putin un zero in semiplanul complex drept sau pe axa imaginaraSisteme de defazaj minimSisteme de defazaj neminim

Marea majoritate a sistemelor tehnice sunt sisteme stabile IMEM cu zerouri in semiplanul complex stang. Raspunsul acestor sisteme poate fi: oscilant amortizat:

aperiodic

In cazul raspunsului indicial oscilant amortizat se utilizeaza urmatorii indici de calitate:SuprareglareaDurata regimului tranzitoriu, tsDurata de crestere, tcIn cazul raspunsului indicial aperiodic se utilizeaza urmatorii indici de calitate:Durata regimului tranzitoriu, tsDurata de crestere, tc

Conexiunea cu reactie

Exemplu: graf asociat unui sistem algebricPe baza regulii lui Cramer se obtine:

Suma coeficientilor tuturor buclelorProdusul coeficientilor buclelor care nu au noduri comune

Numaratorii pentru y1Asociat lui u1 apare (1-a22)b1 care se obtine din prin pastrarea numai a coeficientilor arcelor care nu au noduri comune cu arcul de la u1 la y1, adica (1-a22) care se inmulteste cu coeficientul b1 al arcului dintre u1 si y1Asociat lui u2 apare a12b21 in care a12b2 este coeficientul arcelor de la u2 la y1 si 1 se obtine din din care s-au eliminat coeficientii tuturor buclelor care au noduri comune cu nodurile situate pe calea de la u2 la y1.

In general, valoarea transmitantei Tij dintre nodurile i si j , respectiv dintre marimile xi si xj se obtine cu formula lui MASON:in care: suma dupa k se face pentru numarul maxim de cai intre nodurile i si j (toate arcele fiind parcurse in sensul fluentei); (Cij)k este transmitanta caii directe (nu se trece de doua ori prin acelasi nod), de indice k, intre nodurile i si j; este determinantul grafului, care se calculeaza cu formula:

unde Bq (de la 1 la N) sunt tranmitantele buclelor existente in graf.

REGULA DE DETERMINARE A LUI =1-(suma transmitantelor tuturor buclelor)+(suma produselor transmitantelor tuturor combinatiilor de doua bucle care nu au noduri comune)-(suma produselor transmitantelor tuturor combinatiilor de trei bucle care nu au noduri comune)+

( ij)k este cofactorul (relativ la ) al caii k. Acesta se determina din eliminand buclele care nu au noduri comune cu calea k

ExempluCaile directe sunt: de la U1 la Y: (C1)1=G1G2G3; rezulta (1)1=1 de la U2 la Y: (C2)1=G3; rezulta (2)1=1Rezulta functiile de transfer:Numarul de bucle este N=3 cu transmitantele:B1=-G2G5B2=-G3G4B3=-G1G2G3G6=1+ G2G5+G3G4+G1G2G3G4deoarece toate buclele au noduri comuneExemplu 1:

Numarul de bucle este N=3 si u transmitantele: 4-5-6-7-9-4 cu transmitanta B1=-G2G3G6 6-7-8-10-6 cu transmitanta B2=G3G4G5 2-3-4-5-6-7-8-11-2 cu transmitanta B3=G1G2G3G4G7=1+G2G3G6-G3G4G5+G1G2G3G4G7 deoarece toate buclele au noduri comuneExemplu 2: aplicarea formulei lui MasonSe cere determinarea functiei de transfer echivalentePentru aplicarea formulei lui Mason nu este necesar sa se deseneze graful; se vor numerota marimile din sistem, ca in figura.Calea directa de la U la Y este 1-2-3-4-5-6-7-8 (C1)1=G1G2G3G4; rezulta 1=1

Grafurile de fluenta din ultimele doua exemple fac parte dintr-o clasa caracterizata de: toate buclele au noduri comune, ca urmare =1-(suma transmitantelor tuturor buclelor); toate caile directe au noduri comune cu toate buclele, ca urmare k=1, k=1NSchemele bloc ale sistemelor tehnice fac parte (de regula) din aceasta clasa de grafuri de fluenta. Pentru aplicarea formulei lui Mason in astfel de cazuri se utilizeaza urmatoarea regula:Functia de transfer echivalenta intre marimea de intrare si marimea de iesire este egala cu raportul dintre suma functiilor de transfer ale cailor directe intre cele doua marimi si 1 minus suma algebrica a functiilor de transfer ale buclelor (care au, dupa caz, semnul - pentru reactia negativa si semnul + pentru reactia pozitiva).