1

1

Dinamika krutog tijela

14. dio

2

Pojmovi:1. Vektor sile (translacija)

2. Moment sile (rotacija)

3. Momenti tromosti masa Iz4. Rad krutog tijela A

5. Kineti�ka energija Ek

6. Moment koli�ina gibanja

7. �����������u momenta koli�ine gibanja i momenta sile

zM→

→F

→zL

( )zz MfL =

3

Gibanje krutog tijela

A. Translacijsko gibanje

B. Rotacijsko gibanje

C. Složeno gibanje – Planarno gibanje(translacija i rotacija)

4

Gibanje krutog tijela

A. Translacija B. Rotacija

5

C. Složeno gibanjeKotrljanje valjkastog tijela po horizontalnoj podlozi bez klizanja

6

A. Translacijsko gibanje krutog tijela

Pod djelovanjem sile dovoljno je poznavati gibanje jedne to�ke tijela –centar masa (c.m.) ili središte masa. � Jednadžba translacijskog gibanja krutog

tijela:

→F

��

���

��=

=⋅→→

ii

.m.c

mM

FaM

2

7

Kineti�ka energija krutog tijela

• Translacija: sve to�ke tijela gibaju se istim brzinama koje su jednake brzini središta masa

)vm21

E(

vM21

E

i

2iik

2.m.ck

� ⋅=

⋅⋅=

8

B. Rotacijsko gibanje krutog tijela oko nepomi�ne osi

pod djelovanjem momenta→

zM

9

• sve �estice tijela gibaju se istom kutnom brzinom ω

• trajektorije �estica su kružnice �ija središta leže na pravcu

• pravac koji spaja središta kružnica predstavlja os rotacije

• os rotacije prolazi središtem masa• os rotacije: nepomi�na ili pomi�na (zvrk)• rotaciju �ini samo komponenta sile koja

leži u ravnini okomitoj na os rotacije Fti

10

�⋅= zz IM

� ⋅=i

2iiz rmIMoment tromosti krutog tijela

obzirom na os rotacije:

11

Ukupni stati�ki moment sila Fti oko osi z

ε⋅=⋅�=

⋅�⋅ε=�=

⋅⋅ε=

ε⋅⋅⋅=ε⋅=⋅=

⋅=

�=

zz

2iiz

2ii

iziz

2iizi

iiizi

t

tt

tiizi

iziz

IM

rmI

rmMM

rmM

rmrM

) r a

amF :gibanja gkrivocrtno (iz

FrM

MM

Moment tromosti masa:12

Momenti tromosti masa:

� ⋅=i

2iiz rmI

3

13

)m (kg dmrI 22z � ⋅=

� ⋅=i

2iiz rmI

Moment tromosti masa Iz je mjera tromosti tijela pri rotacijskom gibanje.

14

Moment tromosti štapa za os kroz centar masa- težište

12lm

I2

z⋅=

Štap duljine l, mase m

15

• Štap- duljine l- mase m

2l

2l

3

V

2l

2l

22z 3

xAdxxAdxAxI

−−

⋅ρ=⋅⋅ρ=⋅⋅ρ⋅= � �

xr dxAdVdm =⋅⋅ρ=⋅ρ=

� ⋅= dmrI 2z

16

Moment tromosti štapa za os kroz težište– centar masa

12lm

l12

lA4l

3A

8l

8l

3A

I2

2333

z⋅=⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ=

�

��

����

����

�−−⋅ρ=

12lm

I2

z⋅=

17

Moment tromostihomogene plo�e radijusa R

2Rm

I2

z⋅=

182Rm

I

2R

RR4

24r

2drr2I

2

z

224

4R

0

3z

⋅=

⋅π⋅ρ=⋅πρ=πρ=� ⋅πρ=

dr1r2dVdm ⋅⋅π⋅ρ=⋅ρ=

� ⋅= dmrI 2z

ρ − gustoa

4

19

Moment tromosti prstena

2z RmI ⋅=

222z RmdmRdmrI ⋅==⋅= ��

z

20

Moment tromosti valjka radijusa r

2rm

I2

z⋅=

(puni valjak)

21

Moment tromosti

2z RmI ⋅=

šupljeg valjka kugle radijusa r

2z rm

52

I ⋅=22

Moment tromosti tijela za paralelnu os koja ne prolazi centrom masa

Steinerov teorem omogu�uje izra�unmomenta tromosti za bilo koju paralelnu os rotacije ako je poznat moment tromosti obzirom na os rotacije krozcentar mase

23

Steinerov teorem:

• Moment tromosti Iz1 obzirom na neku os z1jednak je momentu tromosti obzirom na paralelnu os kroz središte mase Iz, uveanom za produkt mase tijela i kvadrata udaljenosti izmeu tih dviju osi.

2z1z dmII ⋅+=

24

Steinerov teorem:

12lm3lm

I22

1z⋅⋅+⋅=

2z1z dmII ⋅+=

3lm

I2

1z⋅=

22

1z 2l

m12

lmI �

�

���

�⋅+⋅=

5

25

ϕ⋅= zMA

za Mz= konst.

Rad krutog tijela pri rotaciji

26

dsFdA T ⋅=

�drds ⋅=

�drFdA T ⋅⋅=

Tz FrM ⋅=Obrtni moment:

Put:

ϕ⋅=� ϕ⋅� ==

ϕ⋅=ϕ

z0

z

z

MdMdAA

dMdAza Mz= konst.

27

Kineti�ka energija krutog tijela

• Rotacija: oko nepomi�ne osi

2zk I

21

E �⋅=

ω

28

• Rotacija: oko nepomi�ne osi

2z

i

2ii

2

i

22iik I

21

rm21

rm21

E ω⋅⋅=� ⋅⋅ω⋅=� ω⋅⋅=

� ⋅=i

2iik vm

21

E

�⋅= ii rv

� ⋅=i

2iiz rmI

29

Koli�ina gibanjaza os z oko koje tijelo rotira

→K

→→⋅= iii vmK

30

Podsjetnik: - moment koli�ine gibanja zamaterijalnu to�ku

���

����

�→

sm

kg L2

O

→→→⋅×= vmrLO

→→⋅= vmK

OL→

6

31

Moment koli�ine gibanja za kruto tijelo

Moment koli�ine gibanja tijela koje rotirajednak je produktu momenta tromosti krutog tijela i kutne brzine rotacije tijela okonepomi�ne osi

�⋅= zz IL

ω

32

iii

ii

ziz

iiiz

vmrLL

vmrL

⋅�=�=⋅×=

→→→

ω⋅=

� ω⋅⋅=

ω⋅=

zz

ii

2iz

ii

IL

mrL

rv- obodna brzina:

ω

33

Veza izme�u momenta sile i momenta koli�ine gibanja

���

����

�=→→

zz LfM

� ×=�=

�=

=

→→→→

→→

→→

iii

iiz

iiz

zz

FrMM

LL

MdtLd

ω

34 M

dtLd

/ MFrdtLd

Fr0dtLd

FrvmvdtLd

dt

vmdrvm

dtrd

dtLd

vmrL

KrL

zz

iiii

iii

iiiii

i

iiii

iiii

iii

→→

→→→→

→→→

→→→→→

→

→→→→

→→→

→→→

=

Σ=×=

×+=

×+⋅×=

��

���

� ⋅×+⋅×=

⋅×=

×=

35

dtdL

M zz =

( ) ��

� ⋅==⋅= zzzz Idtd

IIdtd

M

ε⋅= zz IM

�⋅= zz IL Os z je os rotacije

ω

ε

36

Rotacija štapa oko nepomi�ne osi:- Centrifugalna sila:

u osloncima se javljaju jednake reaktivne sile FC/2

22

nc rmr

vmamF ω⋅⋅=⋅=⋅=

7

37

Podsjetnik:Gibanje materijalne to�ke po kružnoj putanji

D`Alembertov princip

22

ncpc

ccp

rmr

vmamFF

0FF

ω⋅⋅=⋅=⋅==

=−

38

Rotacija štapa oko nepomi�ne osi:Rezultanta parcijalnih centrifugalnih sila Fc jednakaje nuli i nema optereenja oslonaca A i B

39

Rotacija štapa oko nepomi�ne osi:

Parcijalne centrifugalne

sile Fc´ spregom optereuju oslonce A i B

40

Rotacija štapa oko nepomi�ne osi:

Rezultirajuacentrifugalna sila:

optereuju oslonce A i B

2Tc rmF ω⋅⋅=

41

D’Alembertov princip

• Dodamo li nekom sustavu sila i silu inerciju, sustav �e biti u ravnoteži.

• Time zadatak dinamike možemo rješavati pomo�u stati�kih uvjeta ravnoteže.

42

Opi zakoni dinamike krutog tijela:

1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja

2. Zakon o promjeni kineti�ke energije

3. Zakon o o�uvanju mehani�ke energije

4. Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja

8

43

Opi zakoni dinamike krutog tijela:

1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja

rotacijat MII

atranslacijtFIvmvm

z0z1z

(c.m.)0(c.m.)1

�⋅=ω⋅−ω⋅

�⋅==⋅−⋅

→→→

→→→→

44

Opi zakoni dinamike krutog tijela:

1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja

2. Zakon o promjeni kineti�ke energije

rotacija M2

I2

I

atranslacij sF2

vm

2

vm

20z

21z

2(c.m.)0

2(c.m.)1

�ϕ⋅=ω⋅−ω⋅

�⋅=⋅

−⋅

→→

→→

45

Opi zakoni dinamike krutog tijela:

1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja

2. Zakon o promjeni kineti�ke energije

3. Zakon o o�uvanju mehani�ke energije

0

20(c.m.)

1

21(c.m.) hgm

2

vm hgm

2

vm⋅⋅+

⋅=⋅⋅+

⋅

46

Opi zakoni dinamike krutog tijela:

1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja

2. Zakon o promjeni kineti�ke energije

3. Zakon o o�uvanju mehani�ke energije

4. Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja

MdtLd

zz

→→

=

47

C. Planarno gibanje krutog tijelaIz kinematike:• sve to�ke na okomici

opisuju identi�ne meusobno paralelne putanje i u svakom trenutku imaju jednake vektore brzina i ubrzanja

• svodi se na prou�avanje gibanja presjeka S u ravnini Π.

48

• Svako gibanje presjeka S može se razložiti na translacijsko gibanje i rotacijsko gibanje oko proizvoljno odabranog pola - to�ke A

9

49

Trenutni pol brzina P

• Trenutni pol brzina je to�ka P u presjeku S krutog tijela �ija je brzina u odreenom trenutku jednaka nuli (vP =0).

50

IP - moment tromostikrutog tijela u odnosuna os rotacije kroz trenutni pol brzina P

2P)pg(k I

21

E ω⋅=

Kineti�ka energija krutog tijela Ek(pg)pri planarnom gibanju

51

Primjer planarnog gibanja krutog tijela:

Kotrljanje bez klizanja valjkastog tijela po horizontalnoj podlozi

52

2P

2.m.c

2.m.c)pg(k I

21

I21

vm21

E ω⋅⋅=ω⋅⋅+⋅⋅=

53

( )

2.m.c

2.m.c)pg(k

222.m.c)pg(k

22.m .c)pg(k

.m.c

2.m .cP

2P)pg(k

vm21

I21

E

rm21

I21

E

rmI21

E

rPCv

rmII

I21

E

⋅⋅+ω⋅⋅=

ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅=

ω⋅⋅+=

ω⋅=ω⋅=

⋅+=

ω⋅=

54

Kraj !