STATcom - Curs 4-5

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

1/24

Statistic n comer, turism, servicii

asist. univ. dr. Vasile Alecsandru Strat

Departamentul de Statistic i Econometrie


Curs 4 - 5

Msuri statistice descriptive pentru date

univariate (II)B. Msurarea variabilitii

Regula de compunere a variabilitii

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

2/24




Msurarea variabilitii

Pentru analiza variabilitiiunei serii de date numericese utilizeaz:

o indicator i s im pl i(msoar mprtierea valorilor individuale aleseriei, una fa de alta, ori fa de o valoare tipic)

o indicator i sintet ic i(utilizati pentru sintetizarea, ntr-o singurexpresie, amprtierii tuturor valorilor din seria statistic analizat).

Dou serii statistice pot s difere prin tendina central, prin mprtierea datelorsau prin amndou.

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

3/24




Ind icator i i s impl iai variabilitii

1. Amplitudinea variaiei

mplitudinea absolut a variaiei(Ax):Ax= xmax xmin.

Axare unitatea de msur a variabilei

Axdescrie ecartul maxim al valorilor pe scal.

Axse folosete n construirea intervalelor de variaie i al graficelor.

Axeste foarte sensibil la valorile extreme

Axnu ine cont de distribuia celorlalte valori din serie.

mplitudinea relativ a variaiei( %xA ): 100m inm ax%

x

xxAx .

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

4/24





2. Abaterea intercuartilic- se determin ca diferen ntre cuartila superioar i cea inferioar

13QQIQR

- arat intervalul de valori n care se ncadreaz 50% din unitile situate n

mijlocul seriei

- elimin dezavantajele cauzate de luarea n consideraie a valorilor extreme

- are unitatea de msur a variabilei studiate

- reprezint lungimea dreptunghiului din diagrama Box-Plot.

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

5/24





3. Abaterea individual

- msoar mprtierea fiecrei valori fa de nivelul mediu:

xxd ii

- au unitatea de msur a variabilei studiate;

- sunt pozitive sau negative

- abaterile mari indic o mprtiere ridicat, iar abaterile mici arat c valorile

variabilei sunt concentrate n jurul mediei;

- se compenseaz reciproc pe ansamblul colectivitii studiate, suma lor fiind

nul

0

1

n

i

i xx .

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

6/24




Indicatorii sintetici ai variabilitii

1. Abaterea medie liniar

- se determin ca medie aritmetic a abaterilor individuale, considerate n valoare

absolut:

n

xx

d

n

i

i

x

1

- se exprim n unitatea de msur a caracteristicii

- prezint dezavantajul c acord aceeai importan att abaterilor mici ct i

abaterilor mari ale valorilor de la media lor (variabilitatea datelor este afectat, mai

ales, de abaterile mari)

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

7/24





2. Dispersia(variance, n engl.)- se determin ca medie aritmetic a ptratelor abaterilor individuale ale valorilor de

la tendina central, uzual de la medie deoarece cea mai mic sum a ptratelor

abaterilor individuale fat de o constant se obtine pentru constanta :

pentru un eantion (sample variance, n engl.) - estimator

pentru populaia statistic parametru

1

1

2

2

n

xx

s

n

i

i

N

x

N

i

i

1

2

2

x

n

i

ia

n

i

i axxx1

2

1

2min

R

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

8/24




Indicatorii sintetici ai variabilitii- Dispersia

Pentru o serie de distribuie de frecvene

O formul mai simpl pentru determinarea dispersiei este:

1

1

2

2

n

nxx

s

r

i

ii

r

i

inn

1

.

11

2

1

2

2

2

1

1

2

2

n

xnx

ssaun

n

x

x

s

n

i

i

n

i

in

i

i

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

9/24




Indicatorii sintetici ai variabilitii- Dispersia

n practic, dispersia n eantion se calculeaz cu formula

1

1

2

2

n

xx

s

n

i

i

pentru eantioane de volum redus ( 30n ),

respectiv cu formula

n

xx

s

n

i

i

1

2

2pentru eantioane de volum mare

( 30n ),

deoarece se consider c, pentru un volum al eantionului suficient demare nn 1 .

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

10/24




Proprietati ale mediei si dispersiei

1.Dac fiecare valoare nixi ,1, se modific cu constanta c

(crete cnd c>0 sau descrete cnd c

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

11/24





3. Abaterea standard(standard deviation, n engl.)- se determin ca medie ptratic din abaterile individuale

pentru un eantion (sample standard deviation, n engl.) - estimator

pentru populaia statistic parametru

- reprezint rdcina ptrat a dispersiei

- are unitatea de msur a variabilei studiate

1

1

2

2

n

xxss

n

i

i

N

x

N

ii

1

2

2

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

12/24





4. Coeficientul de variaie

- reprezint expresia relativ a variabilitii, fiind calculat ca raport ntre abaterea

standard i medie:

- cu ct valoarea coeficientului de variaie este mai mic, cu att datele sunt mai omogene

- seriile pentru care v30-35% sunt omogene, cu medii reprezentative ce caracterizeaz corect

tendina central din colectivitate

- dac dou serii statistice au coeficieni de variaie diferii, seria care are coeficientul de variaie maimic este mai omogen

- dac coeficientul de variaie este mare atunci seria statistic se mparte n subserii omogene, dup

un criteriu considerat cu influen semnificativ asupra variaiei

100 x

sv

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

13/24




ExempluPentru adecvarea promoiilor la cadourile de srbtori, un magazinrealizeaz un studiu referitor la veniturile clienilor, nivelul sumelor pealocate pentru cadouri, categoria socio-profesional.Datele referitoare la cheltuielile pentru cadouri, nregistrate pentru 14clieni, sunt:

6,5 2,5 3 3,2 2,2 2,3 3 5 4 5,5 6,5 8 2 7

media 4,34dispersia 4,17

abaterea standard 2,04Coeficientul de variatie 47%

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

14/24




Deoarece seria are un grad redus de omogenitate, clienii au fostmprii n 2 grupe, n funcie de categoria socio-profesional astfel:

Cheltuieli pentru cadouri (sute lei)Pensionari (gr.1) Salariati (gr. 2 )

2 32,5 53 4

3,2 5,52,2 6,52,3 8

6,57

Pensionari (gr.1) Salariati (gr. 2 )medie 2,5 5,69dispersie 0,22 2,71abatere standard 0,47 1,65coeficient de variatie 19% 29%

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

15/24





Dac o serie statistica este alctuit din mai multe grupe

componente, variaia totalse poate calcula dupa o schem

cunoscut sub numele de regula de compunere a variabilitii

totale.

Abaterea fiecrei valori de la media total a seriei este explicat

prin influena factorului de gruparei a altor factori ce acioneaz

la nivelul fiecrei grupe.

Putem cuantifica, astfel, ct din variaia caracteristicii studiate

este explicat de factorul de grupare ales

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

16/24





Dac o serie statistic de volum n este alcatuita din m grupe, pentru fiecare grup de

volum mini ,1, (

m

i

inn1

) se pot determina mediile ( ix ) i dispersiile (2

is ) astfel:

Volumul grupei Media grupei Dispersia grupei

Grupa 1111211

,,, nxxx 1

n

1

11

11

1 n

jjxnx

1

1

2

11

1

2

1 1

1 n

jj

xxn

s

Grupa 2222221

,,, nxxx 2

n

2

1

2

2

2

1 n

j

jxn

x

2

1

2

22

2

2

21

1 n

j

j xxn

s

Grupa iiinii

xxx ,,, 21 in

in

j

ij

i

i xn

x1

1

in

j

iij

i

i xxn

s1

22

1

1

Grupa m

mmnmmxxx ,,, 21 mn

mn

j

mj

m

m xn

x1

1

mn

j

mmj

m

m xxn

s1

22

1

1

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

17/24





Abaterea individual de la media total poate fi descompus astfel:

xxxxxx iiijij unde:

m

i

ii

m

i

n

j

ij nxn

xn

xi

11 1

11

este media total a seriei.

Prin ridicarea la ptrat i nsumarea fiecrui termen i folosind proprietile

mediei se obine:

grupedintrevariatia

1

2

grupelorinterioruldinvariatia

1 1

2

totalavariatia

1 1

2

m

i

ii

m

i

n

j

iij

m

i

n

j

ij nxxxxxxii

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

18/24





Se noteaz:

SST=

m

i

n

j

ij

i

xx1 1

2

variatia totala sau variabilitatea totala, adica

suma patratelor abaterilor individuale de la media totala a seriei(sum oftotal squares).

SSW= m

i

n

j

iij

i

xx1 1

2

variatia din interiorul grupelor , adica

suma patratelor abaterilor individuale de la mediile de grup (sum ofsquares within groups).

SSB=

m

i

ii nxx1

2

variatia dintre grupe , adica suma patratelorabaterilor mediilor de grup de la media total (sum of squaresbetween groups).

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

19/24





Relaia SST = SSW + SSB

- se numete REGULA DE COMPUNERE A VARIABILITII TOTALE

- permite determinarea dispersiei seriei cu formula

1

2

n

SSTs

- permite determinarea msurii n care factorul de grupare influeneaz

variaia caracteristicii studiate prin calculul coeficientului dedeterminaie:

SST

SSBR

2

sau, n expresie procentual, gradul de determinaie:

100*2

SST

SSBR

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

20/24





Dac variatia dintre grupeSSBare o pondere mai mare n variatia

total SSTatunci nseamn c factorul de grupare explic mai mult

variaia caracteristicii studiate.

Dac variatia din interiorul grupelorSSWare o pondere mai maren variatia total SSTatunci nseamn c variaia caracteristicii

studiate este influenat de ali factori

Se poate calcula coeficientul/gradul de nedeterminaie:

22 1 RSSTSSWK 2

%

2

% 100100 RSST

SSWK

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

21/24





Dac se lucreaz cu eantioane de volum mare ( 30in ) atunci prin mprirea la n a relaiei:

grupedintrevariatia

1

2

grupelorinterioruldinvariatia

1 1

2

totalavariatia

1 1

2

m

i

ii

m

i

n

j

iij

m

i

n

j

ij nxxxxxxii

SST = SSW + SSB

Se obine relaia:

n

SSB

n

SSW

n

SST

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

22/24




REGULA DE ADUNARE A DISPERSIILOR

1 1

2

n

xx

n

SST

m

i

n

j

ij

i

se noteaz cu2

s i reprezint dispersia total

n

ns

n

xx

n

SSW

m

i

ii

m

i

n

j

iij

i

12

1 1

2

se noteaz cu2

s i reprezint media dispersiilor pariale

n

nxx

n

SSB

m

i

ii

1

2

se noteaz cu 2 i reprezint dispersia dintre grupe

Relaia

222 ss

este cunoscut n literatura de specialitate ca REGULA DE ADUNARE A DISPERSIILOR

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

23/24




Exemplu

Pentru a analiza n ce proporie categoria socio-profesional influeneaz

variaia cheltuielilor pentru cadouri se determin:

SSW= 08.2097.1811.18

1

2

22

6

1

2

11

2

1 1

2

jj

jj

i

n

j

iij xxxxxxi

i

SSB= 11.348)34.469.5(6)34.45.2( 22

2

1

2

iii nxx

SST=54,19

%631002 SST

SSBR

7/30/2019 STATcom - Curs 4-5

24/24




Exemplu

Pensionari Salariati

jx1 2

11xx j jx2

2

22xx j

2 0,28 3 7,22

2,5 0,00 5 0,47

3 0,22 4 2,85

3,2 0,44 5,5 0,04

2,2 0,11 6,5 0,66

2,3 0,05 8 5,35

6,5 0,66

7 1,72

Total 11,16

1

211

j

jxx 97,18

8

1

222

j

j xx

Documents

STATcom - Curs 4-5