Statica Constructiilor - APLICATII (AEF)

Embed Size (px)

Citation preview

LIVIA GABOR EMIL ALBOT

MELANIA ZANFIR RUXANDRA ENACHE

CONSPRESS 2003

BUCURETI

LIVIA GABOR EMIL ALBOT

MELANIA ZANFIR RUXANDRA ENACHE

STATICA CONSTRUCIILORAPLICAII

CONSPRESS 2003

BUCURETI

Referent tiinific: prof. univ. dr. ing. Florin MACAVEI

Redactor responsabil i consilier editorial: Vasile TMIAN

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei Statica Construciilor: aplicaii / Livia Gabor, Emil Albot, Melania Zanfir, Ruxandra Enache. Bucureti: Conspress, 2003 Bibliogr. ISBN 973-8165-35-0 I. Gabor, Livia II. Albot, Emil III. Zanfir Melania IV.Enache, Ruxandra 624.041

Colecia Tehnic

CONSPRESS B-dul Lacul Tei nr. 124, sector 2, Bucureti Tel: (021) 2422719 int 183 e-mail: [email protected]

PARTEA I

STRUCTURI

STATIC DETERMINATE

PARTEA I. STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Structurile static determinate sunt structurile care pot fi rezolvate cu ajutorul ecuaiilor de echilibru static (dac forele se raporteaz la poziia iniial, nedeformat). Structurile rezolvate n culegerea de fa au comportare liniar elastic ceea ce corespunde modelului geometric liniar, respectiv fizic liniar. Pornind de la ideea c schema de calcul reprezint rezultatul modelrii structurii reale, prin modelul geometric liniar, respectiv fizic liniar, se nelege acceptarea urmtoarelor ipoteze:Ipoteza micilor deplasri.

MODELUL GEOMETRIC LINIAR

Exprimarea echilibrului fa de poziia iniial, nedeformat. Reducerea barelor structurii la axele lor geometrice. Material perfect elastic, omogen continuu i izotrop.

MODELUL FIZIC LINIAR

Solicitare pn la limita de proporionalitate.

Legtur liniar ntre tensiuni i deformaii specifice (Legea lui Hooke).

La structurile cu comportare liniar elastic se pot aplica cele dou principii care rezult ca o consecin a acceptrii modelelor mai sus menionate : - principiul superpoziiei liniare i - principiul proporionalitii dintre aciune i rspuns. Menionm de asemenea c rezolvrile se limiteaz la structuri plane formate din bare drepte acionate n planul lor. Conveniile de semne pentru eforturile secionale ca i conveniile de reprezentare ale diagramelor de eforturi rmn neschimbate fat de Rezistena Materialelor. Astfel eforturile secionale pozitive sunt considerate acele eforturi care deformeaz n sensul lor elementul de bar de lungime dx (Fig. a).

1

PARTEA I

STRUCTURI

STATIC DETERMINATE

Fig. a.dx N N d dx

M N

M N

M M

TT dx T dx

T dx

Convenia de semne pentru eforturile secionale: - Fora axial pozitiv ntinde elementul de bar. - Fora tietoare pozitiv formeaza un cuplu orar (unghiul de deformare este orar). - Momentul ncovoietor pozitiv ntinde fibra de jos a elementului de bar. Diagramele eforturilor secionale se reprezint fa de o axa de referin, de obicei axa barei. Astfel avem: Naxa barei axa barei

M T Fig. b.

Pentru trasarea rapid i corect a diagramelor de eforturi se alege pe fiecare bar a structurii un sens de parcurgere, reprezentat dedesubt i care va stabili noiunile: - sus, jos. - stnga ST i DR dreapta. sens de parcurgereST DR sus jos jos jos DR ST sus

sus

DR

ST

Fig. c.

2

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

CAPITOLUL 1 GRINDA SIMPLU REZEMAT

APLICAIA 1 Pentru grinda simplu rezemat de mai jos (Fig. 1.1) se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi N, T, M. a. Calculul reaciunilor Se elimin legturile i se propun reaciunile ca sens n articulaia 1 si reazemul simplu 4.

15 KN/ml

90 KN 30 KN

X

i

= 0 H1

4m 15 KN/ml H1=30 KN 1 V1=67.5 KN 2

2m

2m 90 KN 30 KN 3 4 V4=82.5 KN

H1 30 = 0 H1 = 30 KN ( M ) 4 = 0 V1; V1 8 15 4 6 90 2 = 0 V1 = 67,5KN ; ( M )1 = 0 V4 ; V4 8 + 15 4 2 + 90 6 = 0 V4 = 82,5 KN ;

N30 7,5 67,5 30

T82,5

Verificarea rezultatelor

Yi = 67,5 + 82,5 15 4 90 = 0M

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi Pentru stabilirea noiunilor de ST, DR, SUS si JOS pe grind s-a ales sensul de parcurgere de la seciunea 1 spre seciunea 4.

150

165

Fig. 1.1

Diagrama forelor axiale N Pe bara 1-4 efortul axial este constant. Acesta reprezint suma proieciilor tuturor forelor de la ST sau DR seciunii dup direcia axei barei.N 1 4 = N 41 = H 1 = 30 KN

Valoarea negativ se reprezint pe bar JOS. Diagrama forelor tietoare T Pe poriunea de bar 1-2 fora tietoare este liniar. Fora tietoare dintr-o seciune i reprezint suma proieciilor tuturor forelor de la ST sau DR seciunii dup direcia perpendicular pe axa barei. Rezult valorile:T1-2 = -V1= 67,5 KN; T2-1 = T1-2 -154 = 67,5 60 = 7,5 KN. 3

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Pe poriunea de bar 1-2, respectiv 3-4 fora tietoare este constant, avnd un salt pe direcia i de mrimea forei concentrate din seciunea 3:T23 = T32 = +7,5 KN ;

T3 4 = T43 = +7,5 90 = 82,5KN ;

Valorile pozitive ale forei tietoare se reprezint SUS. Diagrama momentelor ncovoietoare M. Pe poriunea de bar 1-2 diagrama momentului ncovoietor este parabolic. Momentul ncovoietor dintr-o seciune i reprezint suma momentelor tuturor forelor de la ST sau DR seciunii n raport cu centrul de greutate al acesteia. Rezult valorile:M 12 = 0; M 2 1 = 67,5 4 15 4 2 = 150 KNm.

Pe poriunea de bar 2-4, diagrama momentului ncovoietor este liniar cu vrf n sensul forei concentrate din seciunea 3: M 3 4 = (V4 2) = +82,5 2 = 165KNm; (au fost reduse forele de la DR seciunii). Valorile pozitive ale momentului ncovoietor se reprezint JOS. APLICAIA 2 Pentru grinda simplu rezemat cu consol de mai jos (Fig. 1.2.) se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi N, T, M.p=30 KN/ml

a. Calculul reaciunilor.6m 2m p=30 KN/ml H 1=01 2 3

X = 0 H = 0; ( M ) = 0 V ;i 1 2 1

V 1=80

V1 6 30 8 2 = 0 V1 = 80 KN ; ( M ) 1 = 0 V2 ; V2 6 + 30 8 4 = 0; V2 = 160KN ;

V 2=160

NVerificarea rezultatelor80 60

YT100 60

i

= 80 + 160 30 8 = 0;

X 0=2,67 m

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi. Diagrama forelor axiale N Nu avem fore orizontale pe grind, deci fora axial este nul.

MM max =106,67 KNm

Fig. 1.2.4

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Diagrama forelor tietoare T. Pe poriunea de bar 1-2 fora tietoare este liniar:T12 = +V1 = +80KN ; T21 = T1 2 30 6 = 80 180 = 100KN ;

Se observ c diagrama are un punct de anulare la distana x0 faa de seciunea 1. n aceast seciune vom avea o valoare maxim a momentului ncovoietor:Txo = 0 = V1 30 x0 = 80 30 x0 x0 = 2,67m.

Pe poriunea 2-3 fora tietoare este liniar (ncrcarea exterioar fiind uniform distribuit). T23 = T21 V2 = 100 + 160 = +60KN ; T3 2 = 0; sau T23 = +30 2 = +60 KN ; (forele au fost reduse n raport cu seciunea de la DR acesteia). Diagrama momentelor ncovoietoare M. Pe poriunile de bar 1-2 respectiv 2-3, fora tietoare fiind liniar, momentul ncovoietor rezult parabolic, cu un vrf n sensul reaciunii V2:M 1 2 = 0;M max M 23

M 21 = 80 6 30 6 3 = 60KNm; x 2,67 = V1 x0 p x0 0 = 80 2,67 30 2.67 = 106,67 KNm; 2 2 = (30 2 1) = 60 KNm; M 3 2 = 0 KNm;

Observaie: Sensul de parcurgere, ales arbitrar pe bar, nu are nici un rol n calculul reaciunilor. Acest sens stabilete noiunile de ST, DR, SUS i JOS pe bar, utile n calculul i trasarea diagramelor de eforturi. APLICAIA 3 Pentru grinda simplu rezemat de mai jos (Fig 1.3.) se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor N, T, M. Se observ c grinda este nclinat fat de orizontal cu unghiul . Pentru simplificarea explicaiilor vom rezolva n paralel grinda dreapt asociat grinzii nclinate i vom comenta rezultatele obinute. Prin grinda dreapt asociat grinzii nclinate se nelege proiecia acesteia pe orizontal, ncrcarea exterioar rmnnd aceeai.p=20 KN/ml

2m

4m

GRINDA DREAPTA ASOCIATA GRINZII INCLINATE p=20 KN/ml

2m

4m

Fig 1.3.

5

Partea I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Rezolvarea grinzii drepte asociate grinzii nclinate (Fig. 1.4.). a. Calculul reaciunilor R0.p=20 KN/ml

X =0 ( M ) = 0; i

H 1 = 0;V1 ;0 0 0

0

3

V1 6 20 4 2 = 0; V1 = 26,67 KN ;2m 4m p=20 KN/ml

0

( M ) 1 = 0; V3 ; V3 6 + 20 4 4 = 0; V3 = 53,33KN ;0 0

H1=0 KN1 2 3

Verificarea rezultatelor

V1=26.67 KN

V3=53.33 KN

YN

i

= 26,67 + 53,33 20 4 0;

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi. Diagrama N0. Nu avem pe bar fore orizontale deci efortul axial va fi nul. Diagrama T0. Pe poriunea de bar 1-2 fora tietoare este constant:T1 2 = T2 1 = +26,67KN ;0 0

26,67

TX0=1.33 m 53,33

M53,34 Mmax=71.12

Pe poriunea de bar 2-3 fora tietoare este liniar:T23 = 26,67 KN ; T3 2 = T23 20 4 = V3 = 53,33KN0

Fig. 1.4.

Se observ punctul de anulare al forei tietoare la distana x0, ceea ce indic un maxim n diagrama M:Tx0 = 0 = V10 p x0 = 26,67 20 x 0

x0 = 1,33m;

Diagrama M0. Pe poriunea de bar 1-2 momentul ncovoietor este liniar:M 10 2 = 0;0 M 21 = 26,67 2 = 53,34 KNm;

Pe poriunea de bar 2-3 momentul ncovoietor este parabolic cu un maxim n dreptul seciunii de anulare a forei tietoare:0 M max = 26,67 3,33 20 1,33

1,33 = 71,12 KNm; 2

0 M 3 2 = 0;

6

Partea I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Rezolvarea grinzii nclinate (Fig. 1.5.). Fig. 1.5.2m 4m

p=20 KN/ml

a. Calculul reaciunilor R.

X = 0; ( M ) = 0;i3

H 1 = 0; V1 ;0

V1 6 20 4 2 = 0; V1 = V1 = 26,67 KN ; ( M ) 1 = 0; V3 ; V3 6 + 20 4 4 = 0; V3 = V3 = 53,33KN ;0

p=20 KN/ml

3

Verificarea rezultatelor

Y53.33sin

i

= 26,67 + 53,33 20 4 0;

H1=0 KN1

2

V3=V3=53.33 KN

V1=V1=26.67 KN

Observaie: Reaciunile sunt identice la cele dou grinzi, acestea fiind ncrcate numai cu fore verticale ( H 1 = H 10 = 0) .R R0

26.67sin

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi.53.33cos

26.67cos

Diagrama N Pe poriunea de bar 1-2 fora axial este constant. Aceasta reprezint proiecia dup direcia axei barei a tuturor forelor de la ST sau DR seciunii n care se face calculul. 3N 1 2 = N 21 = V1 sin = 26,67 sin (KN ).

53.35

Mmax=71.12

N3-2

N1-2

1

T3-2 V3 V1 Fig. 1.5.a.

Pe poriunea 2-3 de bar fora axial variaz liniar (din cauza forei uniform distribuite exterioare):N 23 = 26,67 sin N 34 = +V3 sin = +53,33 sin

Fig. 1.5.b. Observaie:

T1-2

N = - T 0 sin

Diagrama T Pe poriunea de bar 1-2 fora tietoare este constant:T12 = T21 = V1 cos = +26,67 KN ;

Aceasta reprezint suma proieciilor tuturor forelor de la ST sau DR seciunii dup direcia perpendicular pe axa barei. Pe poriunea de bar 2-3 fora tietoare este liniar:T23 = 26,67 cos [ KN ]; T3 2 = T23 20 4 cos = V3 = 53,33 cos [ KN ];0

Tx0 = 26,67 cos px0 cos = 0

x0=1,33 m .

OBS.

T=T cos.

0

7

Partea I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Diagrama M Pe poriunea 1-2 de bar momentul ncovoietor este liniar. Acesta reprezint suma momentelor tuturor forelor de la ST sau DR seciunii n raport cu centrul de greutate al acesteia:M1-2=0 ; M2-1= 2V1= 53,34 KNm =M02-1.

Pe poriunea 2-3 de bar momentul ncovoietor este parabolic avnd un maxim n punctul de anulare al forei tietoare (x0= 1,33 m).M max = 26,67 3,33 20 1,33 0

1,33 0 = 71,12 = M max KNm. 2

OBS. M=M , ca valori n seciuni, nu ca suprafaa. n concluzie: grinda nclinat se poate fi nlocui cu grinda orizontal asociat ei, dac se cere n calculul reaciunilor i al momentului maxim. APLICAIA 4 Se cere rezolvarea grinzii din Fig. 1.6 utiliznd principiul superpoziiei liniare. Fig. 1.6.p =30 K N /m l P =60 K N

6

2

La structurile cu comportare liniar elastic se poate aplica principiul superpoziiei simplificnd rezolvarea n anumite situaii . Astfel structura se poate ncarca rnd pe rnd cu fiecare for exterioar, rezultatele finale obinndu-se prin nsumarea rezultatelor pariale. Rezolvarea situaiei A de ncarcare. b. Calculul reaciunilor R.

p =30 K N /m l

A

P =60 K N

B

X

i

= 0.

H 1, A = 0. ;

Se observ c:V1, A = V2, A = p 6 30 6 = = 90 KN . 2 2

a. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi. Diagrama N A. Diagrama TA. Nu avem fore orizontale pe grind, deci N A 0. Pe poriunea de bar 1-2 fora tietoare este liniar: T12 = +V1, A = +90 [KN]. T21 = V2, A = 90 [KN].Tx0 = 0 = 90 30 x0 x0 = 3m.

8

Partea I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Situaia A de ncrcare.

Pe poriunea de bar 2-3 fora tietoare este zero. Diagrama MA. Pe poriunea de bar 1-2 momentul ncovoietor este parabolic:M 12 = 0M max = pl 2 30 = V1, A 3 30 3 = 135 8 2 = 0.

p=30 KN/ml

6 p=30 KN/ml H1,A=0 KN1 2

2

3

V1,A=90 KN

V2,A=90 KN

M 21

NA90 KN

Pe poriunea de bar momentul ncovoietor este zero.

2-3

Rezolvarea situaiei B de ncrcare.TAx0=3 m 90 KN

a. Calculul reaciunilor R. H 1, B = 0. ; X i = 0.( M ) 2 = 0; V1,B.

MAMmax=135 KNm

V1, B 6 + 60 2 = 0( M )1 = 0; V2,B. V2, B 6 + 60 8 = 0

V1, B = 20 KN . V2,B = 80 KN.

Situaia B de ncrcare. Verificarea rezultatelor.P=60 KN

Y

i

= 20 60 + 80 = 06 2 P=60 KN H1,B=0 KN1 2 3

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi. Diagrama NB. N B 0 deoarece avem numai fore verticale pe grind. Diagrama TB. Fora tietoare este constant pe poriunile 1-2 respectiv 2-3, cu un salt n sensul i de mrimea reaciunii V2,B.T1-2=T2-1=-20 KN; T2-3=T3-2=+60 KN.

V1,B=20 KN

V2,B=80 KN

NB60 KN

TB20 KN 120 KNm

MB

9

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

p=30 KN/ml

P=60 KN

6 p=30 KN/ml H1=0 KN1 2

2 P=60 KN3

Diagrama MB. Momentul ncovoietor este liniar pe poriunile 1-2 respectiv 2-3, avnd un vrf n sensul reaciunii V2,B.M1-2=0; M3-2=0. M2-1=-206=-120 KNm;

V1=V1,A+V1,B=70 KN

V2=V2,A+V2,B=170 KN

N70 KN 60 KN

Reaciunile i diagramele de eforturi pot fi obinute pe grinda iniial nsumnd valorile din situaiile A i B de ncrcare.(Fig. 1.6.c) a. Calculul reaciunilorH1=0; V1=V1,A+V1,B=90-20=70 KN; V2=V2,A+V2,B=90+80=170 KN.

Tx0 = 2,33 m110 KN 120 KNm

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N N=0. Diagrama T

MMmax=81,66 KNm

Fig. 1.6.c

T1-2=T1,A+T1,B=90-20=70 KN; T2-1=T2,A+T2,B=-90-20=-110 KN; Tx0=70-30x0 x0=2,33 m; T2,3=T2,A+T2,B=0+60=60 KN; T3-2=T3,A+T3,B=0+60=60 KN.

Diagrama MM1-2=0;M max = V1 x 0 p x0 x0 2,33 = 70 2,33 30 2,33 = 81,67 KNm. 2 2

Se observ c valoarea i poziia momentului maxim este diferit de situaia A de ncrcare.M2-1=M2,A+M2,B=0+120=120 KN; M3-2=0.

APLICAIA 5 Se cere rezolvarea grinzii simplu rezemate din Fig. 1.7.a, utiliznd principiul proporionalitaii dintre aciune i rspuns. Acest principiu se poate aplica la structurile cu comportare liniar elastic. Astfel, n locul forei P pe structur poate aciona o fort egal cu unitatea, rezultatele obinute fiind nmulite ulterior cu orice valoare atribuit acesteia.10

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

Fig. 1.7.aP=60 KN

Fig. 1.7.b1 KN

2m

4m

60 KN

2m 1 KN h1=0 KN1 2

4m

2m 60 KN3

4m

H1=0 KN

1

2

3

v1=2/3 KN

v3=1/3 KN

V1=60v1=40 KN

V3=60v3=20 KN

n

N

2/3 KN

40 KN

t1/3 KN

T=60xt20 KN

m4/3 KNm 80 KNm

M=60xm

Calculul reaciunilor i al eforturilor secionale s-a fcut aplicnd metodologia folosit la structurile anterioare. Reaciunile i valorile eforturilor secionale au fost obinute aplicnd principiul proporionalitii, dup cum urmeaz:

R=Pr;

T=Pt;

M=Pm.

(Fig. 1.7.b)

11

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

APLICAIA 6 Pentru consolele din Fig. 1.8 a i b se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi.P=20 KN

Fig. 1.8p=10 KN/ml 3m 1,5 m

a)

b)

Rezolvarea consolei din Fig. 1.8. a:p=10 KN/ml

M1=11,25 KNm1

H1=0KN V1=15KN 15 KN

1,5 m

2

N T11,25 KNm

MFig. 1.9

a. Calculul reaciunilor (Fig. 1.9)xi = 0 H1 =0 KN. yi = V1 10 1,5= 0 V1= 15 KN. 12

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

( M)1=0

- M1 + 10 1,5 0,75 = 0 M1= 11,25 KNm. Verificare: M2 = - 11,25 +15 1,5 10 1,5 0,75 = 0.

b. Trasarea diagramelor de eforturi (Fig. 1.9): Fora axial este nul pe bar deoarece reaciunea orizontal H1 este zero. Fora tietoare variaz liniar:T1-2 = V1 = 15 KN; T2-1 = 0.

Momentul ncovoietor este parabolic:M1-2 = - M1 = -11,25 KNm M2-1 = 0.

Rezolvarea consolei din figura 1.8.b:P=20 KN2

P=20 KN2

20KN

3m

60KNm1 1

H 1=20KN M 1=60KNm V 1=0KN

N

Fig.

T

M

a. Calculul reaciunilor (Fig. 1.10)xi = 0 P - H1 =0 KN H1 = P = 20 KN yi =0 V1 = 0 KN. ( M)1=0 - M1 + 20 3 = 0 M1= 60 KNm.

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi Fora axial pe consol este nul, deorece reaciunea vertical V1 este zero.

13

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

Fora tietoare este constant pe bar:T1-2 = T2-1 = + 20 KN.

Momentul ncovoietor este liniar pe bar dup cum urmeaz:M1-2 = - M1 = -60 KNm; M2-1 = 0.

14

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

CAPITOLUL 2 GRINZI CU CONSOLE I ARTICULAII (GERBER)

Grinzile cu console i articulaii (GERBER) sunt sisteme static determinate formate din bare drepte asamblate ntre ele prin articulaii. Grinzile care intr n alctuirea unei grinzi cu console i articulaii au roluri diferite dup cum urmeaz: - prile principale P.P. sunt prile de structur care sunt reazemate direct pe teren i joac rolul de baz de sprijin pentru prile adugate ulterior. - prile secundare P.S. sunt prile de structur care sunt reazemate pe prile principale direct sau indirect sau i pe teren. Partea principal este invariabil geometric prin ea nsi i preia singur toate sarcinile aferente ei. Partea secundar nu poate exista independent. Ea devine invariabil geometric numai prin sprijinirea pe alte pri de structur sau i pe teren. Fig. 2.1 P1P.P. P.S.

P2P.P.

P. S.

P.P.

P.S1

P1 P.S2

P.P.

P. S1

n figura 2.1. sunt prezentate dou grinzi GERBER, prima avnd o parte secundar, iar cea de-a doua dou pri secundare. ncrcrile aplicate direct pe o parte secundar se transmit numai prilor vecine. ncrcrile direct aplicate pe o parte principal sunt preluate integral de aceasta. Pentru calculul reaciunilor i al efoturilor secionale se recomand desfacerea grinzilor cu console i articulaii n grinzile componente. Calculul ncepe cu rezolvarea prii secundare pe care nu reazem o alta parte a structurii.15

S P.

2

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

APLICAIA 1 Se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi secionale N, T, M la grinda cu console i articulaii din Fig. 2.2. Se observ c grinda are o parte principal (poriunea 1-3) i o parte secundar (poriunea 3-5). Rezolvarea se ncepe cu partea secundar.

p=15 KN/ml

P1=120 KN5

P2=30 KN

1

2

3

4

6

2

2

2 P1=120 KN P2=30 KN

P.S.H3=30 KN3 4

5

P.P.p=15 KN/ml H1=30 KN1 2

V3=60 KN V5=60 KN V3=60 KN3

H3=30 KN

V1=25 KN

V2=125 KN

N30 KN

60 KN 25 KN

Tx0=1,67m 65 KN 60KN 120 KNm

MMmax=20,83 KNm 120 KNm

Fig. 2.2

16

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

a. Calculul reaciunilor P.S.

xP.P.

i

= 0;

H3 30 = 0

H3 = 30 KN.

( M)5=0

V3 4 - 120 2 = 0 V3 = V5= 60 KN.

n seciunea 3 pe partea principal acioneaz forele interioare H3 i V3 egale i de sens contrar.

x

i

= 0; H1 30 = 0

H1 = 30 KN.

( M)2= 0 V1 6 - 15 6 3 + 60 2= 0 V1 = 25 KN. ( M)1= 0 - V2 6 + 60 8 + 15 6 3 = 0 V2 = 125 KN.

Verificare: yi = 25 +125-15 6- 60 =0 .

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi Diagrama NPe grind N = ct = -30 KN, singurele fore orizontale fiind H1, H3, i P2.

Diagrama TPe poriunea de grind 1-2 fora tietoare este liniar:T1-2 = +25 KN; T2-1 = +25 15 6 = -65 KN; Tx0 = 0 = 25- p x0 25 15 x0 = 0 x0 = 1,67 m.

Pe poriunea de grind 2-3 fora tietoare este constant: T2-3 = T3-2 = +60 KN. n seciunea 2 a aprut un salt de mrimea i n direcia reaciunii V2=125 KN. Pe partea secundar fora tietoare este constant pe poriuni, cu un salt n direcia i de mrimea forei concentrate P1=120 KN.T3-4 = T4-3 = +60 KN. T4-5 = T5-4 = +60 120 = -60 KN.

17

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

Diagrama MPe poriunea 1-2 a prii principale momentul ncovoietor variaz parabolic, avnd un maxim n punctul de anulare al forei tietoare (x0=1,67 m).1,67 = 20,83 KNm 2 M2-1 = -(V3 2) = -(60 2) = -120 KN (s-au redus forele de la DR

M1-2 = 0; Mmax=25 1,67 - 15 1,67

seciunii)

Pe poriunile 2-3, 3-4, 4-5 momentul ncovoietor variaz liniar dup cum urmeaz: M2-3 = M2-1 = -120 KNm; M3=0 (articulaie interioar)M4-3 = V3 2 = 60 2 =120 KNm; M5-4 = 0.

APLICAIA 2 Se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi secionale N, T, M la grinda cu console i articulaii din Fig. 2.3. Se observ c grida are dou pri secundare (poriunile 1-3 i 3-5) i o parte principal (poriunea 5-6). Rezolvarea se ncepe cu P.S2. i continu cu P.S1. Ultima se rezolv partea principal.

a. Calculul reaciunilor P.S2.

x

i

= 0;

H3 = 0;

( M)3=0 ( M)2=0

V2 3 - 30 5= 0 V2 = 50 KN. V3 3 - 30 2 = 0 V3 = 20 KN. Verificare: yi = - 30 + 50 - 20 = 0 .

P.S1.

x

i

= 0;

H5 = 0

( M)4=0 - V5 2 + 20 2 1 + 20 3 = 0 V5 = 50 KN. ( M)5=0 - V4 2 - 20 2 1 + 20 5 = 0 V4 = 30 KN. Verificare: yi = 20 +50 - 30 40 =0 .

18

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

P.P.

x

i

= 0;

H6 = 0 KN.

yi = V6 50 20 6 =0 V6 = 170 KN. ( M)6=0 M6 - 20 6 3 50 6 = 0 M6 = 660 KNm.

P=30 KN1 2 3 4

p=20 KN/ml5 6

2

3

3

2

6

P.S. 1P. S2P=30 KN1 2 3

H3=0 KN V3=20 KN p=20 KN/ml5

V2=50 KN

S P.

1

P.P

P.S. 2V3=20 KN

3

4

V5=50 KN V4=30 KN V5=50 KN5

P.P.p=20 KN/ml H6=0 KN6

M6=660 KNm

V6=170 KN

N20KN 30KN 10KN 50KN 170KN

T

660KN

60KN

M60KN

Fig. 2.3

19

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N Nu avem fore orizontale pe grind, deci N = 0. Diagrama T Pe poriunile prii secundare P.S2., fora tietoare este constant:T1-2 = T2-1 = - 30 KN; T2-3 = T3-2 = - 30 + 50 = +20 KN. T3-4= T4-3 = ct = +20 KN.

Pe poriunea 3-4, a prii secundare P.S1. fora tietoare este constant. Pe poriunea 4-5 a grinzii, fora tietoare variaz liniar:T4-5 = T4-3 V4 = +20 30 = - 10 KN; T5-4 = - 10 20 2 = -50 KN.

Pe poriunea 5-6, a prii principale, fora tietoare variaz liniar: T5-6 = T5-4 = - 50 KN; T6-5 = - 50 20 6 = - 170 KN = - V6

Diagrama M Pe poriunile 1-2 i 2-3 ale parii secundare P.S2. momentul ncovoietor variaz liniar:M1-2 = 0; M2-1 = -30 2 = - 60 KNm; M3-2 = 0.

Pe poriunea 3-4 a prii secundare P.S1. momentul ncovoietor variaz liniar:M3-4 =0; M4-3 = 20 3 = 60 KNm.

Pe poriunea 4-5 a grinzii, momentul ncovoietor variaz parabolic: M4-5 = +20 3 = 60 KNm; M5-4 = 0. (articulaie interioar) Pe poriunea 5-6 a prii principale, momentul ncovoietor variaz parabolic: M5-6 = 0; M6-5 = - (+M6) = -660 KNm. (s-au redus forele de la DR seciunii).

20

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

CAPITOLUL 3 CADRE PLANE

Cadrele sunt structuri formate din bare prinse n noduri rigide sau noduri considerate articulaii. (Fig. 3.1 si 3.2)CB

C A B

P

A

A'

B'

pozitia deformata

Fig. 3.1

Fig. 3.2 ntr-un nod rigid, datorit ncastrrii perfecte a barelor n nod, unghiul dintre bare se menine neschimbat i dup deformarea cadrului efect de nod rigid. Dup deformarea cadrului n nodurile rigide A i B s-a meninut unghiul de 900 dintre bare.

A, B noduri rigide. C nod considerat articulaie.

Ca efect al nodului rigid, ntr-un nod cu dou bare valoarea momentului ncovoietor se poate rabate de la o bar la alta, meninnd echilibrul nodului (rabatere de la interior la interior sau de la exterior la exterior) (vezi Fig. 3.3). n diagramele de eforturi secionale N, T, M trasate la cadre apar salturi n valori chiar dac forele exterioare sunt continue. Aceste salturi (discontinuiti) pot fi de dou tipuri: - discontinuitate de fibr produs de modificarea direciei axei barei.

21

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

- discontinuitate de nod

apare n dreptul unui nod de pe parcursul barei, deoarece barele concurente n nod acioneaz asupra acesteia cu fore i momente concentrate.

A

A MAfibra intinsa

MA

M = +Mnod

A

MA = 0

MA B B

MB

MBfibra intinsa

Fig. 3.3

M = +Mnod

B

MB = 0

MB

A. CADRE SIMPLE:

Din categoria cadrelor simple fac parte:p[KN/ml P[KN]CADRUL SIMPLU REZEMAT

p[KN/ml

P[KN]CADRUL TRIPLU ARTICULAT Fig. 3.6

CADRUL CONSOLA

Fig. 3.4

Fig. 3.5

Fig. 3.5

22

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

APLICAIA 1. Pentru cadrul simplu rezemat din Fig. 3.7 se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi N, T, M. a. Calculul reaciunilor xi = 0 ( M)5=0 ( M)1=0 Verificare: - H5 + 30 = 0 H5 =30 KN. V1 4,5 + 30 1,5 - 20 5,5 1,75 = 0 V1= 32,78 KN. - V5 4,5 + 30 1,5 - 20 5,5 2,75 = 0 V5= 77,22 KN. yi = 32,78 +77,22 20 5,5 = 0.

p=20KN/ml3

p=20KN/ml4 6

P=30KN

1,5 m 1,5 m

P=30KN2

1

5

H5=30KN V5=77,22KN

4,5 m

1m

Fig. 3.7

V1=32,78KN

a.

b.

DR

b. Trasarea diagramelor de eforturi Pentru trasarea diagramelor de eforturi se recomand alegerea unui sens de parcurgere pe fiecare bar a structurii, stabilind astfel noiunile de ST, DR, SUS, JOS. Astfel, la structura dat s-au ales urmtoarele sensuri de parcurgere n conformitate cu Fig. 3.8.

ST 3jos

sus jos

DR ST 4jos

6

sus

sus

2jos

DR

ST

1

5

23

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE

Diagrama N Fora axial dintr-o seciune dat i reprezint suma proieciilor tuturor forelor de la ST sau de la DR seciunii dup direcia axei barei. Se utilizeaz Fig. 3.7.b pentru calculul eforturilor secionale. Se cunoate c: Pe bara 1-2-3: N = ct. (poriunile 1-2 si 2-3 nencrcate) N1-3 = N3-1 = ct. = - V1 = - 32,78 KN (reprezentat JOS); Pe bara 3 4: N = ct. (for uniform distribuit pe parcurs) N3-4 = N4-3 = - P = - 30 KN (reprezentat JOS); Pe bara 4 5: N = ct. (fr ncrcare exterioar pe parcurs) N4-5 = N5-4 = - V5 = - 77,22 KN (s-au redus forele de la DR); Pe bara 4 6: N = ct. (for uniform distribuit pe parcurs) N4-6 = N6-4= 0 . Diagrama T

30KN

N32,78KNFig. 3.9

77,22KN

Fora tietoare dintr-o seciune dat i reprezint suma proieciilor tuturor forelor de la ST sau DR seciunii dup direcia normal pe axa barei.

Pe bara 1-2-3: T = ct (pe poriuni) T1-2 = T2-1 = 0; T2-3 = T3-2 = - P = - 30 KN. (se reprezint JOS)

24

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE

Pe bara 3-4: fora tietoare este liniar T3-4 = + V1 = +32,78 KN;T4-3 = + V1 20 4,5 = -57,22 KN (reprezentat JOS). TXo = 0 = V1 p x0 =32,78 20 x0 x0 = 1,64 m.

Pe bara 4-5: T=ct. T4-5 = T5-4 =+ H5 = +30 KN (s-au redus forele de la DR; valoarea se reprezint SUS). Pe bara 4-6: fora tietoare este liniar T4-6 = 20 1 = +20 KN (s-au redus forele de la DR; valoarea se reprezint SUS) T6-4 = 0. Diagrama M32,78KN

Fig. 3.1020KN

Momentul ncovoietor dintr-o seciune dat i reprezint suma momentelor tuturor forelor de la ST sau de la DR seciunii exprimate n raport cu centrul de greutate al acesteia. Pe bara 1-2-3: momentul ncovoietor este liniar:M1-2 = M2-1 = 0; M3-2= - P 1,5 = - 45 KNm (se reprezint SUS).

30KNX0=1,64 m

57,22KN

T30KN

Pe bara 3-4: momentul ncovoietor este parabolic M3-4 = M3-2 = - 45 KNm (nod rigid cu dou bare, momentul se rabate).M4-3 = 32,78 4,5 30 1,5 20 4,5 4,5 = -100 KNm. (s-au redus 2 1,64 = -18,137 KNm. 2

forele de la ST seciunii; valoarea se reprezint SUS).Mmax= 32,78 1,64 30 1,5 20 1,64

25

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE

Pe bara 4-5: momentul ncovoietor este liniar M4-5 = - (H5 3) = - 90 KNm. (s-au redus forele de la DR seciunii; valoarea se reprezint SUS)M5-4 = 0.

Pe bara 4-6: momentul ncovoietor este parabolic. M4-6 = - (20 1 0,5) = -10 KNm (s-au redus toate forele de la DR seciunii; valoarea se reprezint SUS).M6-4 = 0.

100 KNm 45 KNm 10 KNm 90 KNmMmax=18,137 KNm

45 KNm

MFig. 3.11

c. Verificarea diagramelor de eforturi Pentru verificare se utilizeaz ecuaiile de echilibru exprimate pentru fiecare nod al structurii considerat punct n plan. Pe nod acioneaz forele exterioare direct aplicate i eforturile secionale N,T i M calculate. n plan pentru un punct se pot scrie trei ecuaii de echilibru independente:xi = 0 yi = 0 NOD (M)i = 0 Se foloseste la verificarea diagramei M.

se folosesc la verificarea diagramelor N + T.

26

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

NODUL 3

Fig. 3.12 Verificare M(M) = - 45 + 45 = 0fibra intinsa 40KNm

Verificare N+Txi =30 30 = 0 yi = 32,78 32,78 =0

3

30KN

332,78KN

30KN 40KNm 32,78KN

Verificare M NODUL 4430KN 57,22KN 100KNm 20KN

(M) = - 100 + 90 + 10 = 0fibra intinsa

410KNm

Verificare N+Txi =30 30 = 0 yi =77,22 57,22 20 =030KN 77,22KN 90KNm

27

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

APLICAIA 2 Pentru cadrul consol din Fig. 3.13 se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi N, T si M:p=3 KN/ml p=3 KN/ml

P=10KN 2m

P=10KN

4

5

6KN2 3

4m1

H1=0KN 16KN M1=4KNm V1=16KN

1m

2m

N

Fig. 3.136KN 6KN

a. Calculul reaciunilor (vezi Fig. 3.13)xi = 0 H1 =0 KN ; yi =0 V1 10 3 2 = 0 V1 = 16 KN; ( M)1=0 M1 - 10 1 + 3 2 1 = 0 M1= 4 KNm.

10KNm 4KNm 10KN

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi ( vezi Fig. 3.13)4KNm

Diagrama N

T

M

Pe bara 1-3: N = ct.N1-3 = N3-1 = ct. = - V1 = - 16 KN

(reprezentat JOS); Pe bara 2-3: N = ct.N2-3 = N3-2 = 0

28

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Pe bara 3-4: N = ct.N3-4 = N4-3 = - V1 + P = - 16 +10 = - 6 KN (se reprezint JOS);

Pe bara 4-5: N = ct. N4-5 = N5-4 = 0 KN. Diagrama T Pe bara 1-3: T = ct.T1-3 = T3-1 = 0; (H1 = 0);

Pe bara 2-3: T = ct.T2-3 = T3-2= - P = -10 KN; (se reprezint JOS).

Pe bara 3-4: T = ct.T3-4 = T4-3 = 0; (H1 = 0);

Pe bara 4-5: T este liniar. T4-5 = + 3 2 = 6; T5-4 = 0; (se reprezint SUS). Diagrama M Pe bara 1-3: momentul ncovoietor este ct. (T = 0).M1-3 = M3-1 = M1 = + 4 KNm;

Pe bara 2-3: momentul ncovoietor este liniar M2-3 = 0; M3-2 = - 10 1 = - 10 KNm; (se reprezint SUS). Pe bara 3-4: momentul ncovoietor este ct. (T = 0). M3-4 = M4-3 = + 4 - 10 1 = - 6 KNm; (se reprezint SUS). Pe bara 4-5: momentul ncovoietor este parabolic M4-5 = - (3 2 1) = - 6 KNm (s-au redus forele de la dreapta seciunii). a. Verificarea diagramelor (Fig. 3.14. a & .b) Pentru verificare se utilizeaz, ca i n cazul aplicaiei 1, ecuaiile de echilibru pentru fiecare nod. Pentru un punct, n plan, putem scrie trei ecuaii de echilibru independente. Acestea sunt dou ecuaii proiecie (dup direcia celor dou axe ortogonale) i una moment. n fig. 3.14 se poate observa modul n care se verific echilibrul nodului.

29

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

NODUL 36KN 6KNm

Fig. 3.14.a

fibra ntins10KN 10KNm

Verificare N+Txi =0 yi = 16 10 - 6 = 04KNm 16KN

Verificare M(M) = - 10 + 4 + 6 = 0

Fig. 3.14.bfibra ntins

NODUL 4 Verificare N+Txi = 0 yi = 6 + 6 = 06KN

6KNm

Verificare M(M) = - 6 + 6 = 06KN 6KNm

Fig. 3.14

30

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

APLICAIA 3 Pentru cadrul triplu articulat din fig. 3.15, se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi N, T i M:p=10 KN/ml P=20KN2 3 4 5

p=10 KN/ml P=20KN

3m

3m

H1=21,67KN

1

6

H6=1,67KN 1m 4m 2m 1m V1=47,5KN 4m V6=2,5KN 2m

Fig. 3.15 a. Calculul reaciunilor (Fig. 3.16)

Fig. 3.16

Se observ c acest cadru este de nivel, ceea ce nseamn c articulaiile exterioare 1 i 6 sunt pe aceeai orizontal. Folosind aceast particularitate, reaciunile cadrului se pot calcula evitnd sistemul de ecuaii dup cum urmeaz:( M)6=0 V1 ( M)1=0 V6

Verificare: yi = 0.( M)4st=0 H1 ( M)4dr=0 H6

Verificare: xi = 0. Astfel obinem:( M)6=0 V1 6 - 10 5 4,5 20 3 = 0 V1 = 47,5 KN. ( M)1=0 -V6 6 +10 5 1,5 20 3 = 0 V6 = 2,5 KN. Verificare: yi = 47,5 + 2,5 10 5 = 0.

31

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

( M)4st=0 -H1 3 - 10 5 2,5 + 47,5 4 = 0 H1 = 21,67 KN. ( M)4dr=0 H6 3 - 2,5 2 = 0 H6 = 1,67 KN. Verificare: xi = 21,67 1,67 20 = 0.

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N Pe bara 1-3: N = ct.N1-3 = N3-1 = ct. = - V1 = - 47,5 KN (se reprezint JOS);

Pe bara 2-3: N = ct.N2-3 = N3-2 = 0.

Pe bara 3-4: N = ct.N3-4 = N4-3 = - H1 = - 21,67 KN (se reprezint JOS);

Pe bara 4-5: N = ct.N4-5 = N5-4 = N4-3 = - H1 = - 21,67 KN (se reprezint JOS);

Pe bara 5-6: N = ct. N 5-6 = N6-5 = - V6 = - 2,5 KN (se reprezint JOS);

Diagrama T21,67KN

Pe bara 1-3: T = ct.T1-3 = T3-1 = - H1 = - 21,67 KN

NFig. 3.1747,5KN 2,5KN

(se reprezint JOS); Pe bara 2-3: T = liniar.T2-3 = 0; T3-2= -10 1 = - 10 KN;

(se reprezint JOS).

Pe bara 3-4: fora tietoare este liniar.T3-4 = + V1 - 10 1 = + 47,5 10 = +37,5 KN (se reprezint SUS) T4-3 = T3-4 - 10 4 = 37,5 40 = - 2,5 KN (se reprezint JOS); TXo = 0 = 37,5 10 x0 x0 =3,75 m.

32

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Pe bara 4-5: T = ct.T4-5 = T5-4 = + V1 - 10 1 = T4-3 = - 2,5 KN (se reprezint JOS);

Pe bara 5-6: T = ct.T5-6 = T6-5 = + H6 = 1,65 KN; (se reprezint SUS).

Diagrama M Pe bara 1-3: momentul ncovoietor este liniar.M1-3 = 0; M3-1 = - H1 3 = - 21,67 3 = - 65 KNm;

37,5KN

Fig. 3.18

xo =3,75 m

10KN

2,5KN

Pe bara 2-3: momentul ncovoietor variaz parabolicM2-3 = 0; M3-2 = - 10 1 0,5 = - 5 KNm;

T21,67KN 1,67KN

(se reprezint SUS). Pe bara 3-4: momentul ncovoietor variaz parabolicM3-4 = - H1 3 - 10 1 5 = - 21,67 3 - 10 1 5 = -70 KNm;

(se reprezint SUS).Mmax = V1 x0 - H1 3 10 (1 + x0) 1 + x0 = 2 4,75 =47,5 3,75 21,67 3 10 4,75 = 0,31 KNm 2 M4-3 = 0 (articulaie interioar).

Pe bara 4-5: momentul ncovoietor este liniar M4-5 = 0 (articulaie interioar). M5-4 = - (H6 3) = - (+1,67 3) = - 5 KNm (s-au redus forele de la dreapta seciunii). Pe bara 5-6: momentul ncovoietor este liniar M5-6 = M5-4 = - 5 KNm (prin rabatere pe nodul cu dou bare) M6-5 = 0 (articulaie exterioar).

33

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Fig. 3.195KNm 65KNm

70KNm

5KNm 5KNm X0=3,75m Mmax=0,31KNm

M

c. Verificarea diagramelor de eforturi Verificarea diagramelor N + T Nodul 3T3-4=37,5KN T3-2=10KN T5-4=2,5KN N3-4=21,67KN N4-5=21,67KN

Nodul 5P=20KN

Fig. 3.20T3-1=21,67KN N3-1=47,5KN

Xnod

i

= 21,67 20 1,67 = 0 = 2,5 2,5 = 0T5-6=1,67KN N5-6=2,5KN

Ynod

i

Xnod

i

= 21,67 21,67 = 0 = 47,5 10 37,5 = 0

Ynod

i

Observaie: Pentru scrierea ecuaiilor de echilibru s-a folosit sistemul de axe ortogonale XOY.

Verificarea diagramei de moment Verificarea diagramei de moment este prezentat n fig. 3.21. Se poate observa c suma momentelor care acioneaz pe nodurile 3 i 5 este zero i deci nodurile se afl n echilibru.

34

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Nodul 3M3-2=5KNm

fibra ntinsM3-4=70KNm

Nodul 5

fibra ntins

M5-4=5KNm

M = 5 65 + 70 = 0nod

M = 5 + 5 = 0nod

M5-6=5KNm

Fig. 3.21 APLICAIA 4

M3-1=65KNm

Pentru cadrul triplu articulat din fig. 3.25 se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi N, T si M:p=15 KN/ml

P=30KN

a. Calculul reaciunilor (Fig. 3.23) Se incepe cu calculul reaciunilor verticale care apoi se verific. Urmeaz calculul reaciunilor orizontale evitnd n acest fel sistemul de ecuaii:( M)6=0 V1 ( M)1=0 V6

Fig. 3.224m 6m 6m( M)3st=0 H1 ( M)3dr=0 H6

1m

Verificare: yi = 0.

Verificare: xi = 0. Astfel se obine:( M)6=0 V1 12 - 15 12 6 + 30 1 = 0 V1 = 87,5 KN. ( M)1=0 - V6 12 + 30 13 + 15 12 6 = 0 V6 = 122,5 KN. Verificare: yi = 87,5 +122,5 12 15 - 30 = 0. ( M)3st=0 - H1 4 - 15 6 3 + 87,5 6 = 0 H1 = 63,75 KN. dr ( M)3 =0 H6 4 + 30 7 + 15 6 3 122,5 6 = 0 H6 = 63,75 KN. Verificare: xi = 63,75 63,75 = 0.

35

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Fig. 3.23

p=15 KN/ml

P=30KN

2

3

4

5

H1=63,75KN

4m1 6

H6=63,75KN V1=87,5KN 6m V6=122,5KN 6m 1m

b. Calculul i trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N Pe bara 1-2: N = ct.N1-2 = N2-1 = ct. = - V1 = - 87,5 KN63,75KN

Fig. 3.24

(se reprezint JOS);

NPe bara 2-3: N = ct.N2-3 = N3-2 = - H1 = - 63,75 KN (se reprezint JOS); .87,5KN 122,5KN

Pe bara 3-4: N = ct.N3-4 = N4-3 = - H1 = - 63,75 KN

(se reprezint JOS); Pe bara 4-6: N = ct.

Pe bara 4-5: N = ct. N4-5 = N5-4 = 0 KN (au fost reduse forele de la DR seciunii);

N4-6 = N6-4 = - V6 = - 122,5 KN (au fost reduse forele de la DR seciunii; se reprezint

JOS); Diagrama T Pe bara 1-2: T = ct.T1-2 = T2-1 = - H1 = - 63,75 KN (se reprezint JOS);

Pe bara 2-3: T = liniar. T2-3 = + V1 = +87,5 KN (se reprezint SUS); T3-2= T2-3 -15 6 = + 87,5 90 = - 2,5 KN; (se reprezint JOS).

36

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Tx0 = 0 87,5 15 x0 = 0 x0 = 5,83m Pe bara 3-4: T = liniar. T3-4 = T3-2 = - 2,5 KN; (se reprezint JOS)T4-3 = T3-4 - 15 6 = - 2,5 90 = - 2,5 KN

Fig. 3.2587,5KN 30KN

(se reprezint JOS);2,5KN

Pe bara 4-5: T = ct.T4-5 = T5-4 = + P = + 30 KN

T63,75KN

(s-au redus forele de la DR seciunii; se reprezint SUS);

92,5KN 63,75KN

Pe bara 4-6: T = ct.T4-6 = T6-4 = + H6 = + 63,75 KN; (s-au redus forele de la DR seciunii; se reprezint SUS).

Diagrama M Pe bara 1-2: momentul ncovoietor este liniar.M1-2 = 0; M2-1 = - H1 4 = - 63,75 4 = - 255 KNm;

Pe bara 2-3: momentul ncovoietor variaz parabolic avnd un maxim pozitiv n punctul de anulare al forei tietoare M2-3 = M2-1 =- 255 KNm (din rabatere pe nodul cu dou bare);Mmax = V1 x0 - H1 4 p x0 x0 = 2

=87,5 5,83 63,75 4 15 5,83 M3-2 = 0 KNm;

5,83 = 0,208 KNm 2

(se reprezint JOS) (articulaie interioar).

Pe bara 3-4: momentul ncovoietor variaz parabolicM3-4 = 0 KNm; M4-3 = -(P 1 + H6 4) = -(30 1 + 63,75 4) = - 285 KNm;

(se reprezint SUS) Pe bara 4-5: momentul ncovoietor variaz liniar M4-5 = - (P 1) = - (30 1) = - 30 KNm (au fost reduse forele de la DR seciunii).M5-4 = 0 37

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Pe bara 4-6: momentul ncovoietor variaz liniar M4-6 = -(H6 4) = -(63,75 4) = -255 KNm (se reprezint SUS); M6-4 = 0 (articulaie exterioar).Fig. 3.26255KNm Mmax=0,208KNm 255KNm 285KNm 30KNm

M

c. Verificarea diagramelor de eforturi

Verificare N + T (fig. 3.27)NODUL 2

T2-3 = +87,5 N2-3 = -63,75 T2-1 = -63,75 N2-1 = -87,5

T4-3 = -92,5 N4-3 = -63,75

NODUL

4

T4-5 = 30 0

Xinod nod

= 63,75 63,75 = 0T4-6 = 63,75 N 4-6 = -122,5

Yi = 87,5 87,5 = 0(fig. 3.28)

Fig. 3.27

Verificare M

fibra intinsa

NODUL 2

NODUL 4

M2-4 = 255

M 4-3 = 285

M 4-5 = 30

M2-1 = 255

M4-6 =255

Mnod

= 255 + 255 = 0

MFig. 3.28nod

= 285 + 255 + 30 = 0

38

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

B. CADRE COMPUSE Cadrele compuse sunt alctuite din mai multe cadre simple, numite uniti structurale. Unitile structurale din cadrele compuse joac rolul de pri principale P.P sau pri secundare P.S. Prile principale au invariabilitate geometric proprie, prelund singure ncrcrile care le revin. Prile secundare devin invariabile geometric sprijinind pe alte pri ale structurii sau i pe baza de sprijin. Ele transmit ncrcrile direct aplicate pe parcursul lor prilor de structur pe care se sprijin. APLICAIA 1 Pentru cadrul compus din (Fig. 3.29) se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi N, T i M:p2 =15 KN ml 2 3 4 5 6 P=90 KN p1 =5 KN ml 3

Fig. 3.291 6 2 2 2 7

Cadrul compus din Fig. 3.29 are o parte principal, cadrul simplu rezemat 1..5 i o parte secundar, cadrul simplu rezemat 5-6-7. Se observ c partea secundar sprijin pe teren prin reazemul simplu 7 i pe partea principal n articulaia interioar 5. Rezolvarea se ncepe cu partea secundar, partea principal fiind posibil de abordat dup ce se cunosc interaciunile din articulaia interioar 5. Rezolvarea prii secundare a. Calculul reaciunilor (Fig. 3.30)Xi = 0 H5 - 53=0 H5=15 KN (M)5 =0 -V72 +531,5=0 V7 = 11,25KN (M)7 =0 -V52+1531,5=0 V5 = 11,25KN

P.S. 3

H5=15 5 V5=11,25 KN 2 7 V7=11,25 KN39

6 p1 =5 KN ml

Verificare: Yi = -11,25+11,25=0 Fig. 3.30

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

a. Calculul diagramelor de eforturi: Calculul diagramei N (Fig. 3.31) Dup ce s-a ales sensul de parcurgere pe fiecare bar se observ c: Pe bara 5-6: N = ct N5-6 = N6-5 = -H5 = -15 KN (se reprezint JOS)

15

-

NFig. 3.31

11,25

Pe bara 6-7 cu ncrcare uniform distribuit: N = ct N6-7 = N7-6 = -V7 = -11,25 KN (se reprezint JOS) Calculul diagramei T (Fig. 3.32)15

11,25[KN]

Pe bara 5-6 fora tietoare este constant. T5-6 = T6-5 = - V5 = - 11,25 KN (se reprezint JOS)

T

Fig. 3.32

Pe bara 6-7 fora tietoare este liniar: T6-7 = 53 = 15 KN (se reprezint SUS) T7-6 =0

Calculul diagramei M (fig. 3.33) Fig. 3.33

22,5

Fibre intinse[KNm]

MObservaie:

Pe bara 5-6 momentul ncovoietor este liniar: M 5 6 = 0 ; M 65 = V 5 2 = 11,25 2 = 22,5KNm (se reprezint SUS) Pe bara 6-7 momentul incovoietor variaz parabolic: M 67 = M 65 = 22,5 KNm M 7 6 = 0

n nodul 6, nod cu dou bare, momentul se rabate avnd grij ca nodul s rmn n echilibru (ambele fibre ntinse sunt la exterior).

40

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

c. Verificarea diagramelor (Fig. 3.34) Se verific diagramele N i T utiliznd ecuaiile de echilibru pentru nodul 6.NODUL 6 6 NODULT6-5 = -11,25

N6-5 = -15

nod

X i = +15 15 = 0 Y i = 11,25 + 11,25 = 0

nod

Fig. 3.34

T6-7 = +15 N6-7 = -11,25

Rezolvarea prii principale a. Calculul reaciunilor (Fig. 3.35) Fig. 3.35p =15 KN ml2 3 3

90 H5=154 5

V5=11,25 V2=306

H1 =15

1 2 2 V1 =138,75

Se observ c n seciunea 5 acioneaz forele de legtur interioare H5 i V5, calculate anterior, dar cu sens schimbat.

X i = 0 H 1 15 = 0 H 1 = 15KN ( M )1 = 0 V 2 2 15 6 3 + 90 2 15 3 11,25 4 = 0 V 2 = 30 KN ( M )2 = 0 V 1 6 15 3 + 15 6 3 + 90 8 11,25 10 = 0 V 1 = 138,75KN Verificare: Y i = 30 + 138,75 + 11,25 15 6 90 = 0

41

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

b. Calculul si trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N (Fig. 3.36)

[KN] Fig. 3.36

15 -15

N

138,75 138,75

Dup alegerea sensului de parcurgere pe fiecare bar se observ c : Pe bara 1-3: N=ct. N 13 = N 31 = - V 1 = 138,5 (se reprezint JOS)

Pe bara 2-3, cu for uniform distribuit ntre capete: N=ct. N 23 = N 32 = 0 Pe bara 3-4-5, cu for concentrat vertical ntre capete: N=ct. (se reprezint JOS) N 35 = N 53 = H 5 = 15 KN Diagrama T (Fig. 3.37)30+

Fig. 3.37+

78,75-

xo = 2 m

-

11,25

T[KN]

60 15

Pe bara 1-3 fora tietoare este constant: T 13 = T 31 = H 1 = 15KN (se reprezint JOS) Pe bara 2-3 fora tietoare este liniar: T 23 = + V 2 = +30 KNT 32 = + V 2 15 6 = 30 90 = 60 KN

T Xo = 0 30 15 x0 = 0 x0 = 2m Pe bara 3-4-5 fora tietoare este constant pe poriuni, cu un salt n direcia i de marimea forei concentrate P = 90 KN: T 34 = T 43 = +90 V 5 = 90 11,25 = 78,75 KN (au fost reduse forele de la DR seciunii) Diagrama M (Fig.3.38)

Pe bara 1-3 momentul incovoietor este liniar: M 13 = 0; M 31 = H 1 3 = 15 3 = 45 KNm (se reprezint SUS). Pe bara 2-3 momentul ncovoietor variaz parabolic avnd o valoare maxim pozitiv n punctul de anulare al forei tietoare ( x 0 = 2m ):

42

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

M 23 = 0; M 32 = V 2 6 15 6 3 = 30 6 15 6 3 = 90 KNm (se reprezint SUS) M max = 30 2 15 2 1 = 30 KNmFig. 3.38xo = 2 m

135 90

45 Mmax=30

22,5

M[KNm]

Pe bara 3-4-5 momentul ncovoietor este poligonal, avnd un vrf n sensul forei concentrate P = 90 KN: M 35 = (90 2 11,25 4) = 135 KNm (au fost reduse forele de la DR seciunii) M 5 = (V 5 2) = +11,25 2 = +22,5 KN ( se reprezint JOS)c. Verificarea diagramelor Verificarea diagramelor N + T (Fig. 3.39) Fig. 3.39 NODUL NODUL 33T3-2= -60 T3-5 = 78,75 N3-5 = -15

nod

X i = +15 15 = 0 Yi = 138,75 60 78,75 = 0T3-1= -15 N3-1= -138,75

nod

Verificarea diagramei M (Fig. 3.40) NODUL NODUL 3390 135nod

M = 90 45 + 135 = 0Fig. 3.40

4543

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Dup calculul i verificarea diagramelor pe prile componente ale structurii se traseaz diagramele finale pe intreag structur prin simpla alturare (Fig.3.41).78,75 30+ + -

11,25 15+

15-

-

xo = 2 m

N[KN]138,75xo = 2 m

[KN]11,25 90 45 135

T15

60

22,5 22,5

Mmax=30

Fig. 3.41

[KNm]

M

APLICAIA 2

Pentru cadrul compus din Fig 3.42 se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi N, T i M:P1 =20 KN 4 2 3 5 7 p =10 KN ml 8 9 1 6 10 3 3 2m P2=15 KN 2m

1

2

1

Fig. 3.42

Se observ c structura din Fig. 3.42 are trei pri componente: - partea principal 4-5-6-7, cadru consol - prile secundare 1-2-3-4 i 7-8-9-10, cadre simplu rezemate.

44

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

ntr-o schem simpl de principiu (Fig 3.47) se arat rolul fiecrei pri de structur: Fig. 3.431 P.S

P.P

P.S 2

Se ncepe rezolvarea cu partea secundar a) Calculul reaciunilor (Fig. 3.44)

P.S1:

P1=202 4

3 4

H4=0 V4=101

1

2

X =0 H =0 ( M ) = 0 V 2 20 1 = 0 V = 10KN ( M ) = 0 V 2 20 3 = 0 V = 30KN Verificare: Y = 30 20 10 = 0i 4 1 4 4 4 1 1 i

V1=30

Fig. 3.44

b) Calculul i trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N (Fig. 3.45) - pe bara 1-3, fr ncrcare ntre capete , N= ct. N 31 = N13 = V1 = 30 KN (se reprezint JOS) - pe bara 2-3 , fr ncrcare ntre capete, N= ct.N 2 3 = N 3 2 = 0

-

pe bara 3-4 de asemenea, N= ct.N 3 4 = N 43 = 010+

[KN]-

-

N30

30

[KN]

TFig. 3.4645

Fig. 3.45

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Diagrama T (Fig. 3.46) - pe bara 1-3 fora tietoare este constant:T13 = T31 = 0

- pe bara 2-3 fora tietoare este de asemenea constant: T23 = T3 2 = P = 20KN ( se reprezint JOS) 1 - pe bara 3-4 fora tietoare este constant: T34 = T43 = +V4 = +10 KN ( se reprezint SUS) Diagrama M (Fig. 3.47) - pe bara 1-3 momentul ncovoietor este constant:20M 13 = 0; M 31 = 0

- pe bara 2-3 momentul ncovoietor este liniar:M 23 = 0; M 3 2 = 20 1 = 20KN m

MFig. 3.51

(se reprezint JOS) - pe bara 3-4 momentul ncovoietor este tot liniar:M 3 4 = (10 2) = 20KNm; M 4 3 = 0

c) Verificarea diagramelor: Verificarea diagramelor N + T (Fig, 3.48.a)

NODULT3-2= -20

3T3-4= +10

Ynod nod

i

= +30 20 10 = 0i

X

=0

N3-1= -30

Fig. 3.48.a

46

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Verificarea diagramei M ( Fig. 3.48.b)

NODUL 320 20

M = 20 + 20 = 0nod

Fig. 3.48.b Rezolvarea prii secundare P.S2. Calculul reaciunilor (Fig. 3.49)p =10 KN ml 7 8 9 V =5 KN 7 10 3 2m P2 =15 KN 2m

H7 =15 KN

X = 0 H 15 = 0 H = 15KN ( M ) = 0 V 3 + 15 4 10 3 1,5 15 2 = 0i 7 7 10 7

V7 = 5KN ( M )7 = 0 V10 3 + 15 2 + 10 3 1,5 = 0 V10 = 25KN

Verificare:V =25 KN 10

Y = 5 = 25 10 3 = 0 X = +15 15 = 0i i

Fig. 3.49

Calculul i trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N (Fig. 3.50) - Pe bara 7-8 observm c: N = ct N7-8 = N8-7 = -H7 = -15 KN (se reprezint JOS)

15[KN]

-

N

25

- Pe bara 8-9-10, cu for concentrat ntre capete avem: N = ct N8-10 = N10-8 = -V10 = -25 KN (se reprezint JOS)

Fig. 3.50

47

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Diagrama T (Fig. 3.51)5

+

x =0,50

+25

- pe bara 7-8 fora tietoare este liniar: T78 = +V7 = +5 KN (se reprezint SUS) T87 = V7 10 3 = 5 30 = 25 KN (se reprezint JOS)Tx0 = 0 5 10 x0 = 0 x0 = 0,5m

TFig. 3.51[KN]

15

- pe bara 8-9-10 fora tietoare este constant pe poriuni: T89 = T98 = H 7 = 15KN (se reprezint SUS)T910 = T109 = T89 P2 = 15 15 = 0

Diagrama M (Fig. 3.52)

30

- pe bara 7-8 momentul ncovoietor variaz parabolic:M 7 8 = 0; M 87 = V7 3 10 3 1,5 = 5 3 10 3 1,5 = 30KNm

Mmax=1,25

MFig. 3.52

Fibre intinse[KNm]

(se reprezint SUS)M max = V7 x0 10 x0 0,5 x0 = 5 0,5 10 0,5 = 1,25KNm 2 2

(se reprezint JOS)

- pe bara 8-9-10 se observ c exist poriunea 9-10 pe care fora tietoare este nul. Rezult c pe aceast poriune momentul ncovoietor va fi constant:dM = T = 0 M = ct dx M 89 = M 8 7 = 30KNm ( momentul poate fi obinut prin rabatere

fiind vorba de nod rigid cu dou bare)M 910 = M 109 = 0

48

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Verificarea diagramelor Verificarea diagramelor N + T (Fig. 3.53)T8-7 = -25

NODUL 8

Xnod

i

= 15 15 = 0

N8-7 = -15

Ynod

i

= 25 25 = 0

.

Fig. 3.53

T8-9 = 15 N8-9 = -25

Verificarea diagramei M se poate face verificnd rabaterea momentului ncovoietor n nodul rigid cu dou bare 8. Astfel se observ c fibrele ntinse sunt amndou la exterior, deci nodul este n echilibru.

Rezolvarea prii principale P.P. Calculul reaciunilor (Fig. 3.54) Fig. 3.58

p =10 KN ml 5 7

V7 =5 KN H 7 =15 KN

X = 0 H 15 = 0 H =15KN Y = 0 V +1010 3 5 = 0 V = 25KNi 6 6 i 6 6

4

V 4 =10 KN H6 =15 1 6

4m M6 =10 KN m V6 =25 KN 3

Fig. 3.54

Se observ c pe partea principal acioneaz cu semn contrar interaciunile calculate anterior din seciunile 4 i 7.

( M ) 6 = 0 M 6 + 10 1 + 10 3 1,5 + 5 3 15 4 = 0

M 6 = 10 KNm

Verificare: ( M ) 7 = 10 + 25 3 15 4 + 10 4 10 3 1,5 = 0

49

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

b) Calculul i trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N (Fig. 3.55)

15

- pe bara 4-5, fr ncrcare ntre capete, se observ c: N=ct.N 4 5 = N 5 4 = 0

[KN]25

- pe bara 5-6 de asemenea: N=ct.N 5 6 = N 65 = V6 = 25KN

NFig. 3.55

(se reprezint JOS)

- pe bara 5-7, cu fora uniform distribuit ntre capete: N=ct. N 57 = N 75 = H 7 = 15 KN ( se reprezint JOS) Diagrama T (Fig. 3.56)35 10 5

- pe bara 4-5 fora tietoare este constant:T45 = T54 = +V4 = 10 KN

(se reprezint SUS) - pe bara 5-6 fora tietoare este de asemenea constant:T56 = T65 = H 6 = 15KN

T15

[KN]

Fig. 3.56

(se reprezint JOS)

- pe bara 5-7 fora tietoare este liniar:T57 = V6 + V10 = 25 + 10 = 35 KN T75 = T57 10 3 = +V7 = 5 KN

(se reprezint SUS)60

Diagrama M (Fig. 3.57) - pe bara 4-5 momentul ncovoietor este liniar:M 45 = 0;

(se reprezint JOS) - pe bara 5-6 momentul ncovoietor este liniar (T=ct):M 5 4 = V4 1 = 10 KNm

70

10

M 5 6 = ( H 6 4 M 6 ) = (15 4 10) = +70 KNm

M[KNm]10

(au fost reduse forele de la DR. seciunii)M 65 = ( M 6 ) = +10 KNm

Fig. 3.57

50

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

- pe bara 5-7 momentul ncovoietor este parabolic ( T liniar):M 5 7 = (10 3 1,5 + V7 3) = ( 45 + 5 3) = 60 KNm

(au fost reduse forele de la DR. seciunii)M 7 5 = 0

Verificarea diagramelor Verificarea diagramelor N +T (Fig. 3.58)NODUL 5T5-4 = 10 T5-7 =-35 -15 N5-7 = -15y

Xnod i nod

i

= 15 15 = 0

Y = 25 + 10 35 = 0x

T5-6= -15

Fig. 3.58

N5-6= -25

0

axele de proiecie

Verificarea diagramei M (Fig. 3.59)NODUL 510 60

Mnod

= 10 + 60 70 = 0

Fig. 3.59

70

Diagramele pe structura compus se traseaz prin alturarea diagramelor pariale obinute pe prile componente (Fig. 3.60)

35 10-

5+

15-

20

25

N[KN]

-

T[KN]

15xo= 0.5 m

10

25

25

10

Fig. 3.60

51

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Fig. 3.6020 70

60x o= 0.5 m

30

10 Mmax=1,25

10

M[KNm]

APLICAIA 3 Pentru cadrul compus din Fig. 3.61 se cere calculul reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi N, T i M.P=100 KN p =20 KN ml8 2 3 4 6 7 4 1 4 2 5 1 2 2

P.P

P.S

Schem de principiu Fig. 3.61

Se observ c structura compus din Fig. 3.61 are o parte principal triplu articulat (poriunea 1-26) i o parte secundar, grind simplu rezemat (poriunea 6-7-8). Rezolvarea se ncepe cu partea secundar, grinda simplu rezemat. Rezolvarea partii secundare P.S. a) Calculul reaciunilor (Fig. 3.62)P =100 H66 2 V6=50 KN 7 2 8

Fig. 3.62

V8=50 KN

X =0 H =0 ( M ) = 0 V 4 100 2 = 0 Vi 6 8 6

6

= V8 = 50 KN

52

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

b) Calculul si trasarea diagramelor de eforturi: Diagrama N (Fig. 3.63) Se observ c pe grinda acioneaz numai fore verticale, deci N=0. Diagrama T (Fig. 3.63) Fora tietoare pe bar este constant pe poriuni avnd un salt de marimea forei concentrate P = 100 KN.T67 = T76 = V6 = 50KN T78 = T87 = 50 P = 50KN

Diagrama M (Fig. 3.63) Momentul ncovoietor variaz liniar pe grind avnd un vrf n seciunea 7 unde acioneaz fora P.M 67 = 0; M 7 6 = V6 2 = 50 2 = 100KN ; M 8 7 = 0

50

+ -

N[KN]

T[KN]

50

M

100

[KNm]

Fig. 3.63

Rezolvarea prii principale P.P. a) Calculul reaciunilor (Fig. 3.64)

p =20 KN ml 2 H1=13,125 1 6m V1=68,75 3

Fig. 3.64

V6=50 6 4 H5=13,125Pe partea principal acioneaz reaciunea vertical V6 = 50 KN, calculat anterior, avnd sensul schimbat.

4

5 2m

1m V5=101,25

53

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Calculul reaciunilor verticale :( M )5 = 0 V1 8 20 6 5 + 50 1 = 0 ( M )1 = 0 V5 8 + 50 9 + 20 6 3 = 0 V1 = 68,75KN V5 = 101,25 KN

Verificare:

Y

i

= 68,75 + 101,25 20 6 50 = 0

Calculul reaciunilor orizontale:st ( M )3 = 0 H1 4 + 68,75 6 20 6 3 = 0 H1 = 13,125KN dr ( M )3 = 0 H 5 4 101,25 2 + 50 3 = 0 H 5 = 13,125KN

Verificare:

X

i

= 13,125 13,125 = 0

b) Calculul si trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N (Fig. 3.65)

N[KN]68,75 101,25 13,125

Fig. 3.65

Pe bara 1-2, fr ncrcare exterioar ntre capete avem: N=ct. N12 = N 21 = V1 = 68,75KN (se reprezint JOS) Pe bara 2-3, cu fora uniform distribuit ntre capete, se tie c: N=ct. N 23 = N 32 = H1 = 13,125KN (se reprezint JOS) Pe bara 3-4, fr ncrcare exterioar ntre capete avem: N=ct. N 3 4 = N 43 = H1 = 13,125KN (se reprezint JOS) Pe bara 4-5 se tie c: N=ct.N 45 = N 54 = V5 = 101,25KN

Pe consola 4-6, fr fore pe parcurs avem: N=ct.N 4 6 = N 6 4 = 0

54

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Diagrama T (Fig. 3.66)68,75 50

+

+ 51,25

+13,125

Fig. 3.66

x o=3,438 m13,125

T[KN]

Pe bara 1-2 fora tietoare este constant, deci avem: T1 2 = T21 = H 1 = 13,125KN (se reprezint JOS) Pe bara 2-3 fora tietoare variaz liniar dup cum urmeaz:T23 = V1 = 68,75KN T32 = V1 20 6 = 68,75 120 = 51,25KN Tx0 = 0 68,75 20 x0 = 0 x0 = 3,438m

Pe bara 3-4 fora tietoare este constant avnd valoarea: T34 = T43 = T3 2 = 51,25KN ( se reprezint JOS) Pe bara 4-5 fora tietoare este de asemenea constant: T45 = T5 4 = H 5 = 13,125KN (s-au redus forele de la DR. seciunii) Pe consola 4-6 fora tietoare este constant avnd valoarea: T4 6 = T6 4 = V6 = 50 KN (se reprezint SUS)Diagrama M (Fig. 3.67)102,5 52,5 50

Fig. 3.67

Mmax=65,66

52,5

M[KNm]

Pe bara 1-2 momentul ncovoietor variaz liniar (T= ct):M 1 2 = 0;

M 21 = H1 4 = 13,125 4 = 52,5KN m (se reprezint SUS) 55

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Pe bara 2-3 momentul ncovoietor variaz parabolic, avnd o valoare pozitiv maxim n punctul de anulare al forei tietoare: M 2 3 = 52,5 KNm (prin rabatere pe nod rigid cu dou bare)M max = 68,75 3,438 13,125 4 20 3,438 3,438 = 65,66 KN m 2

Pe bara 3-4 momentul ncovoietor este liniar:M 3 4 = 0; M 43 = (50 1 + H 5 4) = 102,5KN m

Pe bara 4-5 momentul ncovoietor este liniar: M 45 = ( H 5 4) = 52,5 (s-au redus forele de la DR. seciunii)M 54 = 0

Pe consola 4-6 momentul ncovoietor este de asemenea liniar: M 46 = (50 1) = 50 KN m (s-au redus fortele de la DR. seciunii)M 6 4 = 0

c) Verificarea diagramelor Verificarea diagramelor N + T (Fig. 3.68)NODUL 2T2-3=68,75 N2-3= -13,125 N4-3= -13,125

NODULT4-3= -51,25

4

Fig. 3.68T4-6= 50

yT2-1 = -13,125 N2-1= -68,75 T4-5= 13,125 N4-5= -101,25

x 0 Sistemul axelor de proiecie

Xnod

i

= 13,125 13,125 = 0

Xnod

i

= 13,125 13,125 = 0

Ynod

i

= 68,75 68,75 = 0

Ynod

i

= 101,25 51,25 50 = 0

56

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Verificarea diagramei M (Fig. 3.69)NODUL 2102,5 52,5 50

NODUL 4

52,5

Fig. 3.69

52,5

M = 52,5 + 52,5 = 0nod

M = 102,5 + 52,5 + 50 = 0nod

Diagramele eforturilor secionale pe ntreaga structur, obinute prin alturarea diagramelor obinute pe prile componente, sunt prezentate n Fig. 3.70.

68,75

+ 51,25 51,25

+ -

50

50

68,75

N101,25

[KN]

13,125

T

+

[KN]13,125

102,5 50 52,5

Mmax=65,66

52,5

100

MFig. 3.70

[KNm]

57

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

CAPITOLUL 4 CALCULUL DEPLASRILOR PUNCTUALE PRODUSE DE FORELE EXTERIOARE I DE CEDRILE DE REAZEME LA STRUCTURILE STATIC DETERMINATE

Deplasri elastice punctuale produse de fore la structuri static determinate La structurile static determinate deplasrile punctuale produse de forele exterioare se calculeaz cu ajutorul formulei Maxwell-Mohr:

= m M EI + n N EA + kt T EAi i i i STR STR STR

dx

dx

dx

unde,

- M, N, T reprezint diagramele de eforturi din situaia real de ncrcare. - mi, ni, ti reprezint diagramele unitare din situaia virtual de ncrcare, n care o for unitate acioneaz n direcia deplasrii cutate (Fig.4.1).p [KN/m]

P[KN]

iSITUATIA REALAi pozitia deformata

_ 1

i

mi ni ti

M, N, TFig. 4.1

Deoarece la grinzi drepte i cadre efortul dominant este momentul ncovoietor, se reine din formula Maxwell-Mohr numai termenul care conine acest efort, reducnd astfel considerabil volumul de calcul. Se va lucra n continuare cu formula:i =

STR

mi M

dx EI

Efectuarea integralelor din formul se va face folosind procedeul lungimilor transformate, procedeu care rezult din regula de integrare Vereciaghin.

58

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Prin lungime transformat a unei bare se nelege:

jj

Bara

EI l

k k

jk = l jk

IC I jk

unde,

l I I

jkjkc

reprezint lungimea barei reprezint momentul de inerie al barei

reprezint un moment de inerie convenional (ales), de obicei

momentul de inerie minim din structura Ic=Imin . Integralele fiind de suprafa, au fost deduse reguli pentru principalele tipuri de suprafee posibil de ntlnit n diagrama real M i diagrama unitar mi. OBSERVAIE: Pe poriunea de baz j-k momentul unitar mi trebuie s fie liniar (nu poligonal): (Fig. 4.2)

j

k

MMj mjliniar

k

i = mi Mj

dx EI

Mk

mimkFig. 4.2

Utiliznd procedeul lungimilor transformate se calculeaz de fapt:k

6 EI C i = 6EI C mi Mj

dx , factorul 6EIC fiind cerut de regulile de integrare. EI

Aceste reguli de integrare sunt prezentate n continuare considerndu-se momentele ncovoietoare de acelai semn. dou triunghiuri orientate la felj1

dou triunghiuri orientate inversj1

k

k k1

j1

k

j

211

1159

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

triunghi cu dreptunghij1

dreptunghi cu dreptunghij1

k

k

j1

k

j1

k

311 Observaie:

611

Valorile 1 reprezint momentele pe captul barei j-k. Efectul forelor de pe parcursul barei j-k se introduce n calcul cu ajutorul factorilor (caracteristicilor) de ncarcare mjk .j k j j1

k k

j1

k

mjk1

mjk1

Se prezentm n continuare cteva cazuri uzuale de ncrcare i factorii de ncrcare corespunztori (Fig. 4.3)p [KN/m] j l k j l/2 l/2 P [KN] k j a b P [KN] k

Mpl 2 4

M3Pl 8

M

m jk = m kj =

m jk = mkj =

m jk = Pab (l + b)l2 m kj = Pab (l + a ) l2

Fig. 4.3

Aplicnd procedeul lungimilor transformate, deplasarea i devine:6 EI i = 2 M j m j + M j mk + M K m j + 2 M k mk + + m jk m j + mkj mk

60

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

APLICAIA 1.

Se cere calculul deplasrilor elastice punctuale indicate, produse de fore la grinda din Fig.4.4 i determinarea poziiei deformate a grinzii.Fig. 4.4P=20 KN

i1 I=ct 3m 1m

A

va,vi=? EI=105 KNm2

La calculul deplasrilor cerute se folosete formula Maxwell-Mohr:

i

=

mSTR

i

M

dx EI

Calculul deplasrii va, deplasare vertical (Fig.4.5)

SITUAIA REAL SITUATIA REALA1 I=ct 3m[KNm]

P=20 KN 2 1 20 3vA = mAM dx EI

MSITUATIA VIRTUALA

Calculul lungimilor transformate: 1-2=3 2-3=3 Aplicnd procedeul lungimilor transformate se obine:6 EI C v A = 2 3 20 1 + 2 1 20 1 = 160 vA = 160 160 = = 0,00027m = 0,27 m 6 EI 6 105

1

SITUAIA VIRTUAL1

[KNm]

mA3 1

Ic=I

Fig. 4.5

Din calcul a rezultat c deplasarea vertical vA are loc n sensul forei unitate din situaia virtual de ncrcare.

61

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Calculul deplasrii vi, deplasare vertical:SITUAIA REAL SITUATIA REALA

20

vi = mi M

6,67

dx unde, EI

1SITUATIA VIRTUALA SITUAIA VIRTUAL

2

3

M[KNm]

- M provine din situaia real de ncrcare, cunoscut deja. - mi provine din situaia virtual de ncrcare, necunoscut. Pentru obinerea diagramei mi se construiete situaia virtual i se rezolv (Fig. 4.6)

12 3 1 3

mi2 3

[KNm]

1

2

Fig. 4.6

(Ic=I)

Se calculeaz lungimile transformate pe poriunile 1-i si i-2 deoarece diagrama mi este poligonal.

Deplasarea i se calculeaz dup cum urmeaz:2 2 2 6 EI C vi = 2 1 6,67 2 2 6,67 2 20 = 53,35 3 3 3 53,35 vi = = 0,000089m = 0,089mm 6 EI

Se observ c deplasarea vertical a seciunii i are loc n sensul invers al forei unitate din situaia virtual de ncrcare. Cunoscnd cele dou deplasri verticale vA i vi i fibrele ntinse indicate de diagrama M se poate desena poziia deformat a grinzii (Fig. 4.7)V i=0,089poziia deformat

V A=0,27

1

2

1

Fig. 4.7

62

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

APLICAIA 2.

Pentru grinda cu consol i articulaii din fig. 4.8 se cere calculul deplasrilor indicate i determinarea poziiei deformate.Fig. 4.8P = 60 KNKN ml

p =10

v A , vB , C = ?

A2

I=ct2 1

C EI = 80000 KNm2 B3

Calculul deplasrii verticale vA (Fig.4.9)

Aplicnd formula Maxwell-Mohr avem:vA =

m

A

M

dx EI

a) Calculul reaciunilor P.P.

X = 0 H1 =0 ( M ) = 0 V 4 60 2 + 15 1 = 0i3 1

( M )1 = V3 4 15 5 + 60 2 = 0 V3 = 48,75 KNVerificare:

V1 = 26,25 KN

Y

i

= 26,25 + 48,75 60 15 = 0

b) Calculul diagramei MM 2 = 26,25 2 = 52,5KNm M 3 = (15 1) = 15KNm

Se tie c:1 A = A3 = 2 obinem

deplasarea cutat6 EI C v A = 2 2 52,5 1 + 2 2 52,5 1 2 30 1 = 360 vA = 360 = 0,00075m = 0,75mm 6 80 500

63

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

SITUAIA REAL SITUATIA REALA1 2

P=60 KN2 2 3 4 1

p =10 KN ml3

5

P.S. p=10KN/m H4=0 4 5V4=15 V5=15

P.P.1 2

P=60 KN3

V4=154

V1=26,25

V3=48,75 30

M52,51

[KNm]1 2 A

SITUAIA VIRTUAL SITUATIA VIRTUALA3

mA1

[KNm]2

Fig. 4.9

2

(Ic=I)

Calculul deplasrii verticale vB (Fig. 4.10) Din formula Maxwell-Mohr rezult:v B = mB M dx EI

Se observ c diagrama M este cunoscut din rezolvarea anterioar. Diagrama mB se obine din situaia virtual de ncrcare.

64

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

SITUATIA REALA SITUAIA REAL

30

M52,5SITUAIA VIRTUAL SITUATIA VIRTUALA1 3 4

[KNm]15

B 1

[KNm]

mBm 1-3 =90 m 3-1 =90

mjk

4

1

Fig. 4.10

(Ic=I)

Calculul lungimilor transformate i a caracteristicilor de ncrcare:13 = 4 = 4m13 = m31 = I I

;

3 4 = 1 = 1

I I

3Pl 3 60 4 = = 90 8 8

Calculul deplasrii vB, utiliznd procedeul lungimilor transformate:6 EI C vB = 2 4 30 1 4 90 1 + 2 1 30 1 = 60 vB = 60 = 0.000125m = 0.125mm 6 80000

Se observ c deplasarea vertical vB are loc n sensul invers forei unitate din situaia virtual de ncrcare. Calculul rotirii C (Fig. 4.11) Din formula lui Maxwell-Mohr se tie c: C = mC Mdx EI

Situaia real de ncrcare fiind cunoscut trebuie s se construiasc situaia virtual pentru a obine diagrama mC.65

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Calculul reaciunilor P.P.

Calculul caracteristicilor de ncrcare:m45 = m5 4 = pl 2 10 32 = = 22,5 4 4

X = 0 H1=0 1 ( M ) = 0 V 4 1 = 0 3i

2

1

1 V1= KN 12 1 ( M )1 = 0 V3 4 5 = 0 3 5 V3= KN 12

Calculul rotirii C1 1 6 EI C C = 2 4 30 + 4 90 3 3 1 2 1 30 3 22,5 1 = 47,5 3 47,5 C = = 0.99 104 radiani 6 EI

SITUAIA REAL SITUATIA REALA

30 M

52,5SITUAIA VIRTUAL SITUATIA VIRTUALA 3 14 B 5

1

P.S.4 5

1

P.P.1 2 3

V4=1/3

V5=1/31/3

V1=1/12 V3=5/12

1 mC1/3 [KNm]m 5-4 =22.5

m 1-3 =90

m 3-1 =90

m 4-5 =22.5

mjk

4

1

1

Fig. 4.11

Se observ c rotirea C are loc n sensul antiorar. Cunoscnd deplasrile vA, vB si C i fibrele ntinse indicate de diagrama M putem trasa poziia deformat a grinzii date ( Fig. 4.12)66

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

vB=0,125 mm

Fig. 4.12 APLICAIA 3

vA=0,75 mm

C=0,99 .10 -4radiani

Pentru cadrul din fig. 4.13 se cere calculul deplasrilor elastice punctuale indicate i determinarea poziiei deformate.p =5 1,5 IKN ml

P=20 KN

A 3m

I

uA, vA =? EI=120000KNm 2

Fig. 4.13

1,5 m

Calculul deplasrii orizontale uA (Fig.4.14)SITUAIA REAL SITUATIA REALA KN p =5 ml 5,6252 3 3

SITUAIA VIRTUAL SITUATIA VIRTUALA1m2-3=2,813 m3-2=2,813

P=20

1

[KNm]1

[KNm]

M65,625 3I =1 1,5 I

mA

(Ic=I)

Fig. 4.14I I

1 2 = 3 = 3 ;

23 = 1,5

; m23 = m32

Pl 2 5 1,52 = = 2,813 4 4

67

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Se obine deplasarea orizontal uA aplicnd formula Maxwell-Mohr:dx de unde rezult: EI 6 EI C u A = 2 3 65,625 3 + 3 5,625 3 = 1231,875 u A = mAM

uA =

1231,875 1231,875 = = 0,00171m = 1,71mm 6 EI 6 120000

Calculul deplasrii verticale vA (Fig. 4.15)SITUAIA REAL SITUATIA REALA SITUAIA VIRTUAL SITUATIA VIRTUALA

5,625 5,625+

1 1,5

m2-3=2,813

m3-2=2,813

A 3

1

mjk M65,625 1,5

mjk

mA*

(Ic=I)Fig. 4.15

tiind c:v A = m* M A dx , se obine: EI

6 EI C v A = 3 3 65,625 1,5 + 3 3 5,625 1,5 + 2 1 5,625 1,5 1 2,8311,5 = 974,53 vA = 974,53 974,53 = = 0,00135m = 1,35mm 6 EI 6 120000

Se observ c ambele deplasri au loc n sensul forelor unitate din situaiile virtuale de ncrcare. Cunoscnd deplasrile uA i vA i fibrele ntinse indicate de digrama M se poate desena poziia deformat a cadrului (Fig.4.16), respectnd legturile structurii i continuitatea materialului.

uA=1,71 mm vA=1,35 mm

Fig. 4.16

68

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

APLICAIA 4 Pentru cadrul simplu rezemat din fig. 4.17 se cere calculalul deplasrilor indicate i determinarea poziiei deformate.

P2 =20 KN

p =15 KN/ml2I 2I I

P1 =30 KN

A

B3

u A, vB, C =? EI=80000KNm2

CFig. 4.176 1

Calculul deplasrii orizontale uA (Fig.4.18) Conform formulei Maxwell-Mohr deplasarea virtual se obine integrnd diagramele mA i M din situaia virtual de ncrcare, respectiv situaia real de ncrcare.u A = mAM dx EI

P1 =30 KN P2 =201

p =15 KN/ml2 3

90 30

V1=304

3 H4=20 1 V4=90

SITUAIA REAL

+

90

60

Fig. 4.18.a6

mjk

M

Fig. 4.18.b1 A1 V1=0.5 2 3 4 H4=1SITUAIA VIRTUAL DE NCRCARE mA

3 3

mA

Fig. 4.18.c

V4=0.5

Fig. 4.18.d

69

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Calculul reaciunilor (Fig. 4.18.a)

Calculul diagramei M (Fig.4.18.b)M 21 = 30 6 15 6 3 = 90 KNm M 24 = (20 3) = 60KNm

X = 0 P H = 0 H4=P2=20KN ( M ) = 0 V 6 + 20 3 15 6 3 + 30 1 = 0i2 4 4 1

( M )1 = 0 V4 6 + 20 3 + 30 7 + 15 6 3 = 0

V1=30 KN

(au fost reduse forele de la DR. seciunii)M 23 = (30 1) = 30KNm

Verificare:

Y

V4=90 KNi

= 30 + 90 15 6 30 = 0

(au fost reduse forele de la DR. seciunii) Calculul diagramei mA (Fig.4.18.d)M 21 = 0,5 6 = 3KNm M 2 3 = 0 M 2 4 = (1 3) = 3 KNm

Calculul reaciunilor (Fig.4.18.c) X i = 0 1 H 4 = 0 H4=1 KN ( M ) 4 = 0 V1 6 + 1 3 = 0 V1=0,5KN( M )1 = 0 V4 6 + 1 3 = 0

V4=0,5KN

( au fost reduse forele de la DR. seciunii)

Calculul lungimilor transformate i al caracteristicilor de ncrcare (Fig.4.19)1353

1350,5 3

(Ic=I) mjkAplicnd orizontal cutat:

Fig. 4.19

I =3 2I I 2 3 = 1 = 0,5 2I . I 2 4 = 3 = 3 I pl 2 15 6 2 m1 2 = m2 1 = = = 135 4 4

12 = 6

procedeul lungimilor transformate obinem6 EI C u A = 2 3 90 3 3 135 3 + 2 3 60 3 = 1485 1485 1485 uA = = = 0,00309m = 3,09mm 6 EI 6 80000

deplasarea

Se observ c deplasarea orizontal uA are loc n sensul forei unitate din situaia virtual de ncrcare. Calculul deplasrii verticale vB (Fig.4.20) Aplicnd formula Maxwell-Mohr, se obine:vB =STR

m M EIB

dx

70

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Se bserv c situaia real ca i lungimile transformate i caracteristicile de ncrcare rmn neschimbate.SITUAIA REAL90 30 90 30

SITUAIA VIRTUAL DE NCRCARE1 2

13

+mjk =135

V1= 1 6

B mB4

M1H4 V4= 7 6

Fig. 4.20.amB

Fig. 4.20.b Fig. 4.20.c Calculul diagramei mB (Fig.4.20.c)1 m2 1 = 6 = 1KN 6 m2 3 = (1 1) = 1KN m2 4 = 0

Fig. 4.20

Calculul reaciunilor (Fig.4.20.b)

X = 0 H4=0 ( M ) = 0 V 6 + 1 1 = 0 i4 1

( M )1 = 0 V4 6 + 1 7 = 0

1 V1= KN 6

7 V4= KN 6Calculul deplasrii verticale vB :6 EI C vB = 2 3 90 1 3 135 1 + 2 0,5 60 1 = 195 vB = 195 195 = = 0,000406m = 0,406mm 6 EI 6 80000

Se observ c deplasarea vertical vB are loc n sensul forei unitate din situaia virtual de ncrcare. Calculul rotirii C (Fig. 4.21) Conform formulei Maxwell-Mohr, rotirea C este:C =

mSTR

C

M

dx EI

71

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Diagrama real M, lungimile transformate i respectiv caracteristicile de ncrcare (Fig. 4.19), fiind cunoscute din rezolvrile anterioare se va construi numai situaia virtual de ncrcare (Fig. 4.21).SITUAIA REAL SITUATIA REALA90 60

Fig. 4.21.a30

M[KNm]SITUATIA VIRTUALA SITUAIA VIRTUAL DE INCARCARE1 2 3

1[KNm]

V1=1/6

mc1

Fig. 4.21.b Fig. 4.21H4

4

Fig. 4.21.c

1

V4=1/6

Aplicnd procedeul lungimilor transformate se obine:6EICC=23901 - 31351 + 33301 = 405 C=0,000843 radiani

Se observ c rotirea seciunii C are loc n sens orar. Cunoscnd deplasrile calculate anterior (uA, vB, C ) i fibrele ntinse indicate de diagrama M se poate desena poziia deformat a cadrului, respectnd legturile structurii i continuitatea materialului (Fig.4.22).

uA=3,09 mm

uA vB=0,406

-3 0C=0,843 . 10 radianiFig. 4.22

72

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

APLICAIA 5 Pentru cadrul din fig. 4.23 se cere calculul deplasrilor indicate i determinarea poziiei deformate.KN ml

p =10 P=20 KN

2I I I

3

AFig. 4.236

B

A, uB=? EI=100000KNm2

Calculul rotirii A (Fig.4.24) Se utilizeaz formula Maxwell-Mohr:A =

STR

m M EIA

dx

SITUAIA REALP=20 KN

p =10

KN ml

SITUAIA VIRTUAL DE NCRCARE 1 1

60

MFig. 4.24.a90 3 3

mAFig. 4.24.b90

Fig. 4.24

(Ic=I) mjkpl 2 10 62 = = 90 4 6

3

Fig. 4.24.c

m23 = m3 4 =

73

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Aplicnd procedeul lungimilor transformate se obine:6 EI C A = 3 3 60 1 + 2 3 60 1 + 3 90 1 = 1170

A =

1170 = 0,0117 radiani 6 EI

Se observ c rotirea seciunii A are loc n sensul momentului unitate, adic orar. Calculul deplasrii orizontale uB (Fig 4.25) Deplasarea orizontal uB se calculeaz folosind formula Maxwell-Mohr:uB =

STR

m M EIB

dx

,

unde M este diagrama de moment real cunoscut din calculul rotirii A, iar mB este diagrama din situaia virtual de ncrcare care trebuie rezolvat.SITUAIA REAL SITUAIA VIRTUAL DE NCRCARE

Fig. 4.25.a60

Fig. 4.25.bM 3 3

60

mB+

B

1

mjk =90

Fig. 4.25

Deplasarea orizontal uB rezult:6 EI C u B = 2 3 60 3 3 3 60 3 3 90 3 = 3510 uB = 3510 = 0,00585m = 5,85mm 6 EI

Se observ c deplasarea orizontal uB are loc n sens invers forei unitate din situaia virtual de ncrcare. Cunoscnd deplasrile A i uB i fibrele ntinse indicate de diagrama M se poate desena poziia deformat a cadrului, respectnd legturile structurii i continuitatea materialului (Fig.4.26)

74

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Fig. 4.26 = 0.0117 A radiani

uB=5,85 mm

Deplasri punctuale produse de cedrile de reazeme la structurile static determinate Cedrile de reazeme sunt consecina celorlalte ncrcri de pe structur. Structurile static determinate au numr minim de legturi necesare asigurrii invariabilitii geometrice. n timpul cedrii unui reazem acesta nu funcioneaz, structura devenind mecanism. Mecanismele se deplaseaz fr deformarea barelor, deci fr apariia eforturilor secionale. n concluzie la structurile static determinate cedrile de reazeme nu produc eforturi (Fig.4.27).

r r (cedare de reazam)

N,T,M=0

Fig. 4.27 Deplasrile produse de cedrile de reazeme se calculeaz cu ajutorul relaiei: j ,C = ri rr reprezint cedrile reale.

unde,

ri reprezint reaciunile din situaia virtual de ncrcare, cunoscut din formula Maxwell-Mohr.APLICAIA 6 Pentru grinda din figura 4.28 se cere calculul deplasrii punctuale indicate produs de cedarea de reazem i reprezentarea poziiei deplasat: Fig. 4.28

1 4

2 1

3r =5 mm

V 3=?

75

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Deplasarea vertical v3 se calculeaz folosind relaia:v3,C = r3 r ;

Reaciunile v3 se obin din situaia virtual de ncrcare (Fig.4.29).SITUAIA VIRTUAL

1

1V1 = 1 4

2V2 = 5 4

3 Fig. 4.29

X = 0 H1=0 ( M ) = 0 V 4 + 1 = 0i 2 1

V1=

1 4

KN

( M )1 = 0 V2 4 + 1 5 = 0 5 V2= KN 4

Reaciunile din situaia virtual sunt H1,V1 si V2.5 v3,C = r3 r = (V2 r ) = + 5 = 6,25mm 4 Observaie: produsul r i r este pozitiv dac reaciunea i cedarea de

reazem au acelai semn.

Se observ c deplasarea v3,C a rezultat pozitiv, ceea ce indic c deplasarea are loc n sensul forei unitate din situia virtual de ncrcare. Poziia deplasat a grinzii este reprezentat n figura 4.30 .

3=6,25 mmFig. 4.305mm= r

76

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

APLICAIA 7

Pentru cadrul din fig. 4.31 se cere calculul deplasrilor punctuale indicate produse de cedrile de reazeme i reprezentarea poziiei deplasate:

3 2 3U2=?

r =4 mm

1 4Fig. 4.31

Deplasarea orizontal u2 se calculeaz folosind relaia: u2,C = r2 r , unde r2 reprezint reaciunile din situaia virtual de ncrcare ( Fig.4.32).SITUAIA VIRTUAL DE NCRCARE

1

3 2V3= 3 =0,75 4 Reactiunile r2 sunt:H1, V1 si V3.

Aplicnd formula de calcul obtinem:u 2,C = r2 r = ( V3 r ) = +0,75 4 = 3mm

1 H1=1V1= 3 =0,75 4

Fig. 4.32

Poziia deplasat a cadrului este prezentat n fig.4.33

u2,C = 3 mmr =4mm

N,T,M=0Fig. 4.33

77

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

PARTEA a II a STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE

CAPITOLUL 6 METODA FORELOR

Metoda forelor (M.F.) este o metod de rezolvare a structurilor static nedeterminate. Structurile static nedeterminate au legturi suplimentare fa de numrul minim necesar asigurrii invariabilitii geometrice, deci i fore de legtur suplimentare. Pentru determinarea acestora nu sunt suficiente ecuaiile de echilibru static, chiar dac forele se raporteaz la poziia nedeformat a structurii. Se Consider structura din fig. 6.1 ncrcat cu fore. pP

Aplicnd relaia care permite stabilirea gradului de nedeterminare static se constat c structura este de trei ori static nedeterminat. Fig. 6.1 n = N = l + r 3c = 0 + 6 - 31 = 3.

Aceasta nseamn c exist trei legturi suplimentare n structur, rezolvarea acesteia nefiind posibil numai cu ajutorul ecuaiilor de echilibru static. Se demonstreaz cele afirmate anterior punnd in eviden forele de legtur din reazeme n numr de ase, n timp ce pentru un corp n plan se pot scrie numai trei ecuaii de echilibru independente (fig. 6.2.).

p P

MBA B

HA

MA VAFig. 6.2

HB

VB

Numrul forelor de legtur necunoscute este: Nnec = 6 Numrul ecuaiilor de echilibru independente posibil de scris: Nec = 3 Rezult n = N = Nnec - Nec= 6 - 3 = 3 (q.e.d.)

78

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

Prin urmare pentru determinarea forelor de legtur din legturile suplimentare trebuie s apelm i la condiia de compatibilitate a deformatei structurii cu legturile sale. Metoda de rezolvare se numete metoda forelor (M.F.) i se bazeaz pe cunoaterea rezolvrii structurilor static determinate. Astfel prin eliminarea legturilor suplimentare din structura real (n numr de trei, vezi fig. 6.1) se obine o structur static determinat, ncrcat cu forele exterioare date i cu forele de legtur corespunztoare legturilor eliminate, necunoscute (fig. 6.3). Aceast structur se numete sistem de baz (S.B.) i va fi folosit pentru rezolvarea integral a structurii iniiale. Pentru structura dat se pot obine, teoretic, o infinitate de sisteme de baz prin eliminarea a trei legturi interioare sau/i exterioare (fig. 6.3).p P A C STR. REALA N=3 p

B

S.B 1P

X 1= M A

Sistemele de baz propuse sunt toate static determinate, invariabile geometric i respect condiia de echilibru static (conform axiomei legturilor, legturile suprimate au fost nlocuite cu forele de legtur corespunztoare, necunoscutele problemei). Se constat ns c deformatele sistemelor de baz difer de poziia deformat a structurii reale.X 3= H B

X 2= M B

CADRU SIMPLU REZEMAT a)

S.B 2P

p

X 22= MCB X =M X 33=MB C =M X 1= M A CADRU TRIPLU ARTICULAT b) p S.B3P

Astfel la S.B1, n seciunea A rotirea este liber, iar n seciunea B rotirea i deplasarea orizontal sunt posibile. In structura real ns aceste deplasri sunt nule (avem ncastrare n A i B). Rezult c trebuie s se impun sistemului de baz condiia ca deformata lui s respecte legturile structurii reale, adic s fie compatibil cu structura real. Se obin n acest mod trei ecuaii de condiie, care vor permite determinarea valorilor forelor de legtur necunoscute i rezolvarea problemei.

X 1= M C X 2= M B CADRU COMPUS c) X 3= H B

A 0 B 0uB 0

la S.B1

Fig. 6.379

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

A =0 B = 0uB = 0

dar, la STR. REAL

Sistemul ecuaiilor de condiie, obinut prin aplicarea simultan a principiului superpoziiei i a principiului proporionalitii sistemului de baz S.B1 ncrcat cu forele exterioare i cu forele static nedeterminate necunoscute va fi:1 = A = 11 X 1 + 12 X 2 + 13 X 3 + 1F = 0 2 = B = 21 X 1 + 22 X 2 + 23 X 3 + 2 F = 0 3 = u B = 31 X 1 + 32 X 2 + 33 X 3 + 3F = 0

Rezolvnd sistemul ecuaiilor de condiie obinem forele de legtur necunoscute X1,X2 i X3 : X1 = MA ; X2 = MB ; X3 = HB n continuare, pe S.B1 fiind cunoscute toate forele exterioare se pot calcula reaciunile i trasa diagramele de eforturi secionale N, T i M. n cazul sistemului de baz S.B2 (fig. 6.3.b) se observ c deplasrile corespunztoare legturilor suprimate din structura real sunt posibile: rel A 0; B 0; C 0. Impunnd condiia ca deformata sistemului de baz S.B2 s fie compatibil cu legturile structurii reale se obine sistemul ecuaiilor de condiie, care va permite determinarea forelor de legtur static nedeterminate necunoscute:1 = A = 11 X 1 + 12 X 2 + 13 X 3 + 1F = 0rel 2 = C = 21 X 1 + 22 X 2 + 23 X 3 + 2 F = 0

X1 = M A

X2 = MC X3 = M B

3 = B = 31 X 1 + 32 X 2 + 33 X 3 + 3 F = 0

Pentru sistemul de baz S.B3 (fig. 6.3.c) sistemul ecuaiilor de condiie va avea forma:1 = A = 11 X 1 + 12 X 2 + 13 X 3 + 1F = 0 2 = B = 21 X 1 + 22 X 2 + 23 X 3 + 2 F = 0 3 = u B = 31 X 1 + 32 X 2 + 33 X 3 + 3F = 0

X1 = M C

X2 = MB X3 = HB

n concluzie se constat c n metoda forelor ecuaiile de condiie exprim compatibilitatea deformatei sistemului de baz folosit pentru rezolvare cu legturile structurii reale. Se subliniaz de asemenea faptul c sistemele de baz folosite trebuie s fie static determinate, invariabile geometric i uor de rezolvat.80

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

GRINZI CONTINUEAPLICAIA 1 Se propune rezolvarea grinzii continue din fig. 6.4. utiliznd metoda forelor, trasarea diagramelor de eforturi M, T i a poziiei deformate a grinzii.

20 1 6 S.B. 1 20 KN ml

KN ml

80 KN 2 2,25 2 3 2,25 80 KN 3 4

I

I

4

X1

MFX1 = 1

m1

1

mi,j

1806

180

1354,5

135

80,37

M[KNm] Mmax= 54,31 46,61 57,86 49,85

+x0 = 2,33 73,39 p[KN/m]

+22,14

T[KN]

2P v3

Fig. 6.4

81

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

n = N = l + r - 3c = 0 + 4 - 31 = 1

Se va utiliza S.B obinut prin eliminarea legturii corespunztoare momentului ncovoietor din seciunea 2. Sistemul de baz astfel obinut este format din dou grinzi simplu rezemate: grinda 1-2 i grinda 2-4. Ecuaia de condiie va fi:

1 = 2rel = 0 1 = 11 X 1 + 1F = 0 pl 2 20 62 m12 = m21 = = = 180 4 4 3 P l 3 90 4,5 m24 = m42 = = = 135 8 8 Se observ c diagramele MF i m1 se traseaz foarte uor pe sistemul de baz ales deoarece grinzile simplu rezemate componente lucreaz independent, prelund numai fore direct aplicate asupra lor.dx = 2 6 12 + 2 4,5 12 = 21 EI dx 6 EI1F = 6 EI m1 M F = EI = 6 180 1 + 4,5 135 1 = 1687,5 21X 1 + 1687,5 = 0 X 1 = M 2 = 80,357 KN m 6 EI11 = 6 EI m12 M = M F + m1 X 1 = M F + m1 (80,357)

Calculul forei tietoare (Fig. 6.4.a) Bara 1-2

KN p = 20 ml

80,357 (M ) 2 = 0 V1 2 6 20 6 3 + 80,357 = 02V1 2 = 279,643 = 46,61KN 6 (M )1 = 0 V21 6 + 80,357 + 20 6 3 = 0

1

6V1-2 = 46,61 46,61

V2-1 = 73,39

V21 =

440,357 = 73,39 KN 6 Tx0 = 46,61 20 x0 = 0 x0 = 2,33m M max = 46,61 2,33 20 2,332 = 54,31KNm 2

+ x0=2,33mFig. 6.4.a

-

T73,39

82

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

(M ) 4 = 0 V2 4 4,5 80,357 80 2,25 = 0 260,357 V2 4 = = 57,86 KN 4,5 (M ) 2 = 0 V4 2 4,5 + 80 2,25 80,357 = 0 V4 2 = 99,643 = 22,14 KN 4,5 M 3 = ( 22,14 2,25) = +49,815 KN m

Bara 2-4280,357

80

4 3

2,25

2,25

V2-4 = 57,86 57,86 V4-2 = 22,14

Determinarea poziiei deformate (Fig. 6.4.b) Se vor calcula deplasarile v3 si 2.dx v3 = M m3 EI 6EIv3 = 2,25 80,357 1,125 + 2 2,25 49,815

+Fig. 6.4.a

22,14

1m3 3 1,125 2,25 6 4,5 2,25

1,125 + 2 2,25 49,815 1,125 = 300,9731 v3 = 50,162 EI [m] dx 2 = M m2 EI 6EI 2 = 2 6 80,357 1 + 6 180 1 = 115,716 1 2 = 19,286 EI [radiani]

1

m2

Verificare M1

Fig. 6.4.b4,5

6EIv4 = 2 6 4,5 80,357 6 180 4,5 + + 2 4,5 4,5 80,357 4,5 135 4,5 = = +7593,736 7593,75 = 0,014 = 0,00018 < 1% .m4

1

Fig. 6.4.c

APLICAIA 2

Se propune rezolvarea grinzii continue din fig. 6.5 utiliznd metoda forelor, trasarea diagramelor de eforturi M, T i a poziiei deformate a grinzii. n = N = l + r 3c = 0 + 5 - 31 = 2 GRINDA ESTE DE DOU ORI STATIC NEDETERMINAT Se va utiliza S.B. obinut prin eliminarea legturilor corespunztoare momentelor din dreptul reazemelor intermediare 2 i 3.83

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

KN p1 = 20 ml 1 2 5 S.B. 1 2 p1

p2 = 60

KN ml

p1 = 20

KN ml 4 5 p1 4

I 5 p2

3

x1

3

x2

MFx1 = 1 m1

1

x2 = 1 m2

1 m jx 125 5 125 375 5 375 125 5 125

100 Mmax= 22,5

100 Mmax= 22,5

MMmax= 87,5 150 30 + x1 = 1,5 70 x0 = 2,5 + 150 x0 = 1,5 30 + -

[KNm] [KN] T70

vA = 175,78/EI

Fig. 6.5

84

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

Sistemul ecuaiilor de condiie:1 = 2rel = 0 2 = 3rel = 0 1 = 11 X 1 + 12 X 2 + 1F = 0 2 = 21 X 1 + 22 X 2 + 2 F = 0

Se observ c pe S.B ales, format din trei grinzi simplu rezemate care lucreaz independent ntre ele, este foarte uor s se traseze diagramele MF, m1 i m2.m12 = m21 = m34 = m43 = m23 = m32 = 20 52 = 125 4

60 52 = 375 4dx EI

6 EI 11 = 6 EI m122 6 EI 22 = 6 EI m2

= 2 5 12 + 2 5 12 = 20dx EI

6 EI 12 = 6 EI 21 = 6 EI m1 m2dx EI

= 5 11 = 5

= 2 5 12 + 2 5 12 = 20dx EI dx EI

6 EI1F = 6 EI m1 M F 6 EI 2 F = 6 EI m2 M F 20 X 1 + 5 X 2 + 2500 = 0 5 X 1 + 20 X 2 + 2500 = 0

= 5 125 1 + 5 375 1 = 2500 = 5 375 1 + 5 125 1 = 2500

X 1 = X 2 = 100 KN m

Bara 1-2

KN 20 ml

Bara 3-4100

KN 60 ml

100

100

1V1-2 = 30 30

5

2V2-1 = 70

2

5m

3

V2-3 = 150 V3-2 = 150 150

+ x0=1,5m

-

T70

+ x0=2,5mFig. 6.5.a

-

T150

85

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

Calculul diagramei T Bara 1-2(M ) 2 = 0 V1 2 5 + 100 20 5 2,5 = 0 V1 2 = 150 = 30 KN 5 (M )1 = 0 V21 5 + 100 + 20 5 2,5 = 0

(Fig. 6.5.a) Bara 3-4

(M )3 = 0 V23 5 100+ 100 60 5 2,5 = 0 V23 = V32 = 150KN M max = 150 2,5 100 60 2,52 = 87,5 2

350 V21 = = 70 KN 5 M max = 30 1,5 20 1,52 = 22,5 2

OBS.

ncrcarea exterioar fiind simetric, grinda continu se comport simetric. Prin urmare diagrama M i deformata rezult simetrice, iar diagrama T antisimetric.

Determinarea poziiei deformate (Fig. 6.5 i 6.5.b) Se va calcula deplasarea vertical vA.1

Fig. 6.5.b2,5

6 EIv a = 6 EI M m a dx = EI = [2,5 100 1,25 + 2 2,25 87,5 1,25 + + 2,5 93,75 1,25] 2 = 1054,6875

a 2,5

m a

v a = 175,78 1

EI93,75 93,75

1,25

93,75

93,75

m jk

2 m 2a = m a 2 = 602,5 = 93,75

2,5

2,5

4

Verificare