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Statique - Application Analytique Synthèse
Mécanique
1 Théorèmes : 1.1 Principe fondamental de la statique (PFS) : Un système matériel (S) est en équilibre par rapport à un repère galiléen si et seulement si la somme des actions mécaniques (AM) extérieures appliquées au système matériel (S) est nulle. Traduction vectorielle :
∑ = 0/ SextR la somme des résultantes d’AM extérieure au solide S est nulle.
∑ = 0/, SextBM la somme des moment d’AM extérieure au solide S appliqués au même
point quelconque B est nulle.
1.2 Actions mécaniques réciproques : Toute AM implique l’existence d’une autre AM qui aura : • Même norme, • Même direction • Sens contraire
1.3 Simplification plane des problèmes de statique : Afin de simplifier un problème dans un plan d’étude, les deux conditions suivantes doivent être remplies : • Symétrie géométrique par rapport à un plan, • Symétrie des AM par rapport à un plan,
Dans ce cas précis, pour chaque torseur d’AM, on pourra : • Supprimer la composante de résultante hors du plan • Supprimer les composantes de moment sur le plan
Exemple : On simplifie les AM suivantes dans les plans ),( yx , ),( zx et ),( zy .
AM d’origine Simplifiée sur
),( yx Simplifiée sur
),( zx Simplifiée sur
),( zy
12
12
12
2/1,
12
12
12
2/1 ;
M
M
M
M
M
M
M
NML
MZYX
R
12
12
12
00
; 0 M
M
M
NYX
0
0 ; 0 12
12
12
M
M
M
MZ
X
00 ;
0 12
12
12
M
M
M
L
ZY
2 Problème corrigé : 2.1 Enoncé : On donne la schématisation du mécanisme ci-dessous. On suppose que la pièce à usiner exerce un effort de 2500 N sur le levier 4. Le diamètre du piston 3 est de Ø3 = 52 mm. Le système est plan ),( yx On veut déterminer la pression hydraulique sur le piston 3.
2.2 Stratégie : • Isoler le levier 4 pour déterminer l’action mécanique 3/4 en B, • Isoler le piston 3 pour déterminer l’action fluide/3 en E, • Déterminer la pression hydraulique.
2.3 On isole le levier 4 : 2.3.1 Bilan d’Actions Mécaniques Extérieures (BAME) : • En D, liaison ponctuelle de normale ),( yD entre pièce et 4 :
000
et 0
0
4/,44/ pDDpp MYR d’après énoncé,
0
25000
4/pR
• En C, liaison pivot d’axe ),( zC entre 0 et 4 :
0et 04
04
4/0,
04
04
04
4/0 C
C
C
C
C
C
ML
MZYX
R simplification ),( yx ,
000
et 0
4/0,04
04
4/0 CC
C
MYX
R
• En B, liaison ponctuelle de normale ),( yB entre 3 et 4 :
000
et 0
0
4/3,344/3 BB MYR
2.3.2 Expression des moments résultants au même point : On choisit toujours le point qui possède le plus d’inconnue dans le BAME. Ici, il s’agit du point C.
•
2500047.0
plane)ation (simplific 0
plane)ation (simplific 0
4/14/),(
4/),(
4/),(
4/4/,
×−=×−=
=
=
=
ppzC
pyC
pxC
pCpC
RdRM
RM
RM
RMM
donc :
5.11700
4/,
−pCM
•
344/324/3),(
4/3),(
4/3),(
4/34/3,
053.0
plane)ation (simplific 0
plane)ation (simplific 0
BzC
yC
xC
CC
YRdRM
RM
RM
RMM
×=×=
=
=
=
donc :
34
4/3,
053.000
B
C
YM
×
2.3.3 PFS sur 4 isolé : A l’équilibre, la somme des AME sur 4 est nulle.
• Théorème de la résultante : ∑ = 04/extR donc 04/04/4/3 =++ RRR p
Sur x : XC04 + 0 + 0 = 0 Sur y : YB34 + 2500 + YC04 = 0 Sur z : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y).
• Théorème du moment : ∑ = 04/,extcM donc 04/0,4/,4/3, =++ CpCC MMM
Sur x : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y). Sur y : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y). Sur z : 0.053 x YB34 – 117.5 + 0 = 0
2.3.4 Equations et résolution : Le PFS nous donne donc le système d’équation :
qui comporte 3 équations et 3 inconnues, donc soluble.
2.4 On isole le piston 3 : On procède de la même manière pour l’étude statique du piston 3. Le PFS nous donne donc le système d’équation :
en remarquant que YB43 = - YB34 = - 2217,
2.5 Détermination de la pression hydraulique : On utilise la relation F = p.S
Après application à notre cas, 4
.2
33/
πφpEfluide = avec
02217
0
33/ =Effluide YE
Donc : 2
3
3/4
πφ
fluideEp
×=
Après application numérique,
( )bar 10,4pa 1044454
105222174
23==
×
×=
−πp
0 4 Piston 3
x
yA
B
C
D
E
Pièce
05347
CD −−
07
53CB−
en mm
1 2 A
A2/1 A1/2 A1/2 A2/1= -
x
y
C
D05347
CD −−
07
53CB−
Rp/4
R3/4
B
d1 = 0.047 d2 = 0.053
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−===
47172217
0
04
34
04
C
B
C
YY
X
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−×=++
=
05.117053.002500
0
34
0434
04
B
CB
C
YYY
X
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==+
=
00
0
03
343
03
A
EfB
A
NYY
X
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==+−
=
002217
0
03
3
03
A
Ef
A
NY
X
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
02217
0
03
3
03
A
Ef
A
NY
X