1
Statique - Application Analytique Synthèse Mécanique 1 Théorèmes : 1.1 Principe fondamental de la statique (PFS) : Un système matériel (S) est en équilibre par rapport à un repère galiléen si et seulement si la somme des actions mécaniques (AM) extérieures appliquées au système matériel (S) est nulle. Traduction vectorielle : = 0 / S ext R la somme des résultantes d’AM extérieure au solide S est nulle. = 0 / , S ext B M la somme des moment d’AM extérieure au solide S appliqués au même point quelconque B est nulle. 1.2 Actions mécaniques réciproques : Toute AM implique l’existence d’une autre AM qui aura : Même norme, Même direction Sens contraire 1.3 Simplification plane des problèmes de statique : Afin de simplifier un problème dans un plan d’étude, les deux conditions suivantes doivent être remplies : Symétrie géométrique par rapport à un plan, Symétrie des AM par rapport à un plan, Dans ce cas précis, pour chaque torseur d’AM, on pourra : Supprimer la composante de résultante hors du plan Supprimer les composantes de moment sur le plan Exemple : On simplifie les AM suivantes dans les plans ) , ( y x , ) , ( z x et ) , ( z y . AM d’origine Simplifiée sur ) , ( y x Simplifiée sur ) , ( z x Simplifiée sur ) , ( z y 12 12 12 2 / 1 , 12 12 12 2 / 1 ; M M M M M M M N M L M Z Y X R 12 12 12 0 0 ; 0 M M M N Y X 0 0 ; 0 12 12 12 M M M M Z X 0 0 ; 0 12 12 12 M M M L Z Y 2 Problème corrigé : 2.1 Enoncé : On donne la schématisation du mécanisme ci-dessous. On suppose que la pièce à usiner exerce un effort de 2500 N sur le levier 4 . Le diamètre du piston 3 est de Ø 3 = 52 mm. Le système est plan ) , ( y x On veut déterminer la pression hydraulique sur le piston 3 . 2.2 Stratégie : Isoler le levier 4 pour déterminer l’action mécanique 3/4 en B, Isoler le piston 3 pour déterminer l’action fluide/3 en E, Déterminer la pression hydraulique. 2.3 On isole le levier 4 : 2.3.1 Bilan d’Actions Mécaniques Extérieures (BAME) : En D, liaison ponctuelle de normale ) , ( y D entre pièce et 4 : 0 0 0 et 0 0 4 / , 4 4 / p D Dp p M Y R d’après énoncé, 0 2500 0 4 / p R En C, liaison pivot d’axe ) , ( z C entre 0 et 4 : 0 et 04 04 4 / 0 , 04 04 04 4 / 0 C C C C C C M L M Z Y X R simplification ) , ( y x , 0 0 0 et 0 4 / 0 , 04 04 4 / 0 C C C M Y X R En B, liaison ponctuelle de normale ) , ( y B entre 3 et 4 : 0 0 0 et 0 0 4 / 3 , 34 4 / 3 B B M Y R 2.3.2 Expression des moments résultants au même point : On choisit toujours le point qui possède le plus d’inconnue dans le BAME. Ici, il s’agit du point C. 2500 047 . 0 plane) ation (simplific 0 plane) ation (simplific 0 4 / 1 4 / ) , ( 4 / ) , ( 4 / ) , ( 4 / 4 / , × = × = = = = p p z C p y C p x C p C p C R d R M R M R M R M M donc : 5 . 117 0 0 4 / , p C M 34 4 / 3 2 4 / 3 ) , ( 4 / 3 ) , ( 4 / 3 ) , ( 4 / 3 4 / 3 , 053 . 0 plane) ation (simplific 0 plane) ation (simplific 0 B z C y C x C C C Y R d R M R M R M R M M × = × = = = = donc : 34 4 / 3 , 053 . 0 0 0 B C Y M × 2.3.3 PFS sur 4 isolé : A l’équilibre, la somme des AME sur 4 est nulle. Théorème de la résultante : = 0 4 / ext R donc 0 4 / 0 4 / 4 / 3 = + + R R R p Sur x : X C04 + 0 + 0 = 0 Sur y : Y B34 + 2500 + Y C04 = 0 Sur z : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y). Théorème du moment : = 0 4 / ,ext c M donc 0 4 / 0 , 4 / , 4 / 3 , = + + C p C C M M M Sur x : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y). Sur y : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y). Sur z : 0.053 x Y B34 – 117.5 + 0 = 0 2.3.4 Equations et résolution : Le PFS nous donne donc le système d’équation : qui comporte 3 équations et 3 inconnues, donc soluble. 2.4 On isole le piston 3 : On procède de la même manière pour l’étude statique du piston 3 . Le PFS nous donne donc le système d’équation : en remarquant que Y B43 = - Y B34 = - 2217, 2.5 Détermination de la pression hydraulique : On utilise la relation F = p.S Après application à notre cas, 4 . 2 3 3 / πφ p E fluide = avec 0 2217 0 3 3 / = Ef fluide Y E Donc : 2 3 3 / 4 πφ fluide E p × = Après application numérique, ( ) bar 10,4 pa 1044454 10 52 2217 4 2 3 = = × × = π p 0 4 Piston 3 x y A B C D E Pièce 0 53 47 CD 0 7 53 CB en mm 1 2 A A 2/1 A 1/2 A 1/2 A 2/1 = - x y C D 0 53 47 CD 0 7 53 CB R p/4 R 3/4 B d 1 = 0.047 d 2 = 0.053 = = = 4717 2217 0 04 34 04 C B C Y Y X = × = + + = 0 5 . 117 053 . 0 0 2500 0 34 04 34 04 B C B C Y Y Y X = = + = 0 0 0 03 3 43 03 A Ef B A N Y Y X = = + = 0 0 2217 0 03 3 03 A Ef A N Y X = = = 0 2217 0 03 3 03 A Ef A N Y X

Statique - Application Analytique Synthèsemeca.julesferry.free.fr/upload/statique_analytique.pdf · Statique - Application Analytique Mécanique Synthèse 1 Théorèmes : 1.1 Principe

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Statique - Application Analytique Synthèsemeca.julesferry.free.fr/upload/statique_analytique.pdf · Statique - Application Analytique Mécanique Synthèse 1 Théorèmes : 1.1 Principe

Statique - Application Analytique Synthèse

Mécanique

1 Théorèmes : 1.1 Principe fondamental de la statique (PFS) : Un système matériel (S) est en équilibre par rapport à un repère galiléen si et seulement si la somme des actions mécaniques (AM) extérieures appliquées au système matériel (S) est nulle. Traduction vectorielle :

∑ = 0/ SextR la somme des résultantes d’AM extérieure au solide S est nulle.

∑ = 0/, SextBM la somme des moment d’AM extérieure au solide S appliqués au même

point quelconque B est nulle.

1.2 Actions mécaniques réciproques : Toute AM implique l’existence d’une autre AM qui aura : • Même norme, • Même direction • Sens contraire

1.3 Simplification plane des problèmes de statique : Afin de simplifier un problème dans un plan d’étude, les deux conditions suivantes doivent être remplies : • Symétrie géométrique par rapport à un plan, • Symétrie des AM par rapport à un plan,

Dans ce cas précis, pour chaque torseur d’AM, on pourra : • Supprimer la composante de résultante hors du plan • Supprimer les composantes de moment sur le plan

Exemple : On simplifie les AM suivantes dans les plans ),( yx , ),( zx et ),( zy .

AM d’origine Simplifiée sur

),( yx Simplifiée sur

),( zx Simplifiée sur

),( zy

12

12

12

2/1,

12

12

12

2/1 ;

M

M

M

M

M

M

M

NML

MZYX

R

12

12

12

00

; 0 M

M

M

NYX

0

0 ; 0 12

12

12

M

M

M

MZ

X

00 ;

0 12

12

12

M

M

M

L

ZY

2 Problème corrigé : 2.1 Enoncé : On donne la schématisation du mécanisme ci-dessous. On suppose que la pièce à usiner exerce un effort de 2500 N sur le levier 4. Le diamètre du piston 3 est de Ø3 = 52 mm. Le système est plan ),( yx On veut déterminer la pression hydraulique sur le piston 3.

2.2 Stratégie : • Isoler le levier 4 pour déterminer l’action mécanique 3/4 en B, • Isoler le piston 3 pour déterminer l’action fluide/3 en E, • Déterminer la pression hydraulique.

2.3 On isole le levier 4 : 2.3.1 Bilan d’Actions Mécaniques Extérieures (BAME) : • En D, liaison ponctuelle de normale ),( yD entre pièce et 4 :

000

et 0

0

4/,44/ pDDpp MYR d’après énoncé,

0

25000

4/pR

• En C, liaison pivot d’axe ),( zC entre 0 et 4 :

0et 04

04

4/0,

04

04

04

4/0 C

C

C

C

C

C

ML

MZYX

R simplification ),( yx ,

000

et 0

4/0,04

04

4/0 CC

C

MYX

R

• En B, liaison ponctuelle de normale ),( yB entre 3 et 4 :

000

et 0

0

4/3,344/3 BB MYR

2.3.2 Expression des moments résultants au même point : On choisit toujours le point qui possède le plus d’inconnue dans le BAME. Ici, il s’agit du point C.

2500047.0

plane)ation (simplific 0

plane)ation (simplific 0

4/14/),(

4/),(

4/),(

4/4/,

×−=×−=

=

=

=

ppzC

pyC

pxC

pCpC

RdRM

RM

RM

RMM

donc :

5.11700

4/,

−pCM

344/324/3),(

4/3),(

4/3),(

4/34/3,

053.0

plane)ation (simplific 0

plane)ation (simplific 0

BzC

yC

xC

CC

YRdRM

RM

RM

RMM

×=×=

=

=

=

donc :

34

4/3,

053.000

B

C

YM

×

2.3.3 PFS sur 4 isolé : A l’équilibre, la somme des AME sur 4 est nulle.

• Théorème de la résultante : ∑ = 04/extR donc 04/04/4/3 =++ RRR p

Sur x : XC04 + 0 + 0 = 0 Sur y : YB34 + 2500 + YC04 = 0 Sur z : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y).

• Théorème du moment : ∑ = 04/,extcM donc 04/0,4/,4/3, =++ CpCC MMM

Sur x : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y). Sur y : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y). Sur z : 0.053 x YB34 – 117.5 + 0 = 0

2.3.4 Equations et résolution : Le PFS nous donne donc le système d’équation :

qui comporte 3 équations et 3 inconnues, donc soluble.

2.4 On isole le piston 3 : On procède de la même manière pour l’étude statique du piston 3. Le PFS nous donne donc le système d’équation :

en remarquant que YB43 = - YB34 = - 2217,

2.5 Détermination de la pression hydraulique : On utilise la relation F = p.S

Après application à notre cas, 4

.2

33/

πφpEfluide = avec

02217

0

33/ =Effluide YE

Donc : 2

3

3/4

πφ

fluideEp

×=

Après application numérique,

( )bar 10,4pa 1044454

105222174

23==

×

×=

−πp

0 4 Piston 3

x

yA

B

C

D

E

Pièce

05347

CD −−

07

53CB−

en mm

1 2 A

A2/1 A1/2 A1/2 A2/1= -

x

y

C

D05347

CD −−

07

53CB−

Rp/4

R3/4

B

d1 = 0.047 d2 = 0.053

⎪⎩

⎪⎨

−===

47172217

0

04

34

04

C

B

C

YY

X

⎪⎩

⎪⎨

=−×=++

=

05.117053.002500

0

34

0434

04

B

CB

C

YYY

X

⎪⎩

⎪⎨

==+

=

00

0

03

343

03

A

EfB

A

NYY

X

⎪⎩

⎪⎨

==+−

=

002217

0

03

3

03

A

Ef

A

NY

X

⎪⎩

⎪⎨

===

02217

0

03

3

03

A

Ef

A

NY

X