Statistik für Ingenieure Vorlesung 12 - tu-freiberg.de · Statistik f ur Ingenieure Vorlesung 12 Prof. Dr. Hans-J org Starklo TU Bergakademie Freiberg Institut f ur Stochastik 23

Statistik fur IngenieureVorlesung 12

Prof. Dr. Hans-Jorg Starkloff

TU Bergakademie FreibergInstitut fur Stochastik

23. Januar 2017

5.1.1. Tests fur eine Stichprobe mit stetiger Skalaa) Shapiro-Wilk-Test

I Mit dem Shapiro-Wilk-Test uberpruft man, ob die Daten miteiner Normalverteilung vertraglich sind.

I Geg.: konkrete Stichprobe x1, . . . , xn .I Vor.: Merkmalszufallsgroße X auf stetiger Skala; reprasentative

Stichprobe.I Hyp.: H0 : X ist normalverteilt ; H1 : X ist nicht normalverteiltI R-Aufruf: shapiro.test()I Bem.:

I Die Parameter der vermuteten Normalverteilung (Erwartungswert undVarianz) mussen nicht bekannt sein.

I Der Test reagiert sensibel auf Ausreißer.I Der Test ist relativ anfallig gegenuber Bindungen, deshalb sollten die

Werte nicht stark gerundet sein.I Die Teststarke ist insbesondere bei kleinen Stichprobenumfangen

großer als bei allgemeinen Anpassungstests, wie demKolmogorow-Smirnow-Test oder dem χ2−Anpassungstest.

Prof. Dr. Hans-Jorg Starkloff Statistik fur Ingenieure Vorlesung 12 Geandert: 20. Januar 2017 2

Bsp. Shapiro-Wilk-Test fur exponentialverteilte Daten> x1=rexp(50) # Simulation der exponentialverteilten Werte

> shapiro.test(x1)

Shapiro-Wilk normality test

data: x1

W = 0.8657, p-value = 4.249e-05 # W ist Wert der Teststatistik

> hist(x1) # Histogramm

> qqnorm(x1) # Q-Q-Plot bzgl. Normalverteilung

Histogram of x1

x1

Fre

quen

cy

0 1 2 3 4

05

1015

20

●

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●

●●●

−2 −1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s


Bsp. Shapiro-Wilk-Test fur normalverteilte Daten> x2=rnorm(50) # Simulation der normalverteilten Werte

> shapiro.test(x2)


data: x2

W = 0.9894, p-value = 0.9309 # W ist Wert der Teststatistik

> hist(x2) # Histogramm

> qqnorm(x2) # Q-Q-Plot bzgl. Normalverteilung

Histogram of x2

x2

Fre

quen

cy

−3 −2 −1 0 1 2

02

46

810

●

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●

●

●

●

●

●

−2 −1 0 1 2

−3

−2

−1

01

2

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s


b) Kolmogorow-Smirnow-Test

I Mit dem Kolmogorow-Smirnow-Test uberpruft man, ob dieDaten mit einer vorgebenen Verteilung vertraglich sind.

I Geg.: konkrete Stichprobe x1, . . . , xn .

I Vor.: Merkmalszufallsgroße X auf stetiger Skala; reprasentativeStichprobe.

I Hyp.:H0 : FX = F0 (Verteilungsfunktion von X ist F0) ;H1 : FX 6= F0 (Verteilungsfunktion von X ist nicht F0) .

I R-Aufruf: ks.test(,)

I Bem.:I Die Verteilungsfunktion F0 muss vollstandig bekannt sein,

insbesondere alle Parameter.I Es gibt Varianten des Tests fur spezielle Falle mit geschatzten

Parametern.I Der Test ist relativ anfallig gegenuber Bindungen, deshalb sollten die

Werte nicht stark gerundet sein.


Bsp. Kolmogorow-Smirnow-Test mit R> x1=rexp(50) # Simulation der exponentialverteilten Werte (Parameter=1)

> ks.test(x1,"pexp") # Test auf Exponentialverteilung mit Parameter=1

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: x1

D = 0.1029, p-value = 0.6279 # D ist Wert der Teststatistik

alternative hypothesis: two-sided

> ks.test(x1,"pexp",2) # Test auf Exponentialverteilung mit Parameter=2


data: x1



> x2=rnorm(50) # Simulation der normalverteilten Werte

> ks.test(x2,"pnorm")


data: x2




c) χ2− Anpassungstest

I Mit dem χ2− Anpassungstest uberpruft man, ob die Daten miteiner vorgebenen Verteilung vertraglich sind.


I Vor.: Merkmalszufallsgroße X auf stetiger Skala (auch fur anderemoglich); reprasentative Stichprobe.

I Hyp.:H0 : FX = F0 (Verteilungsfunktion von X ist F0) ;H1 : FX 6= F0 (Verteilungsfunktion von X ist nicht F0) .

I R-Aufruf: chisq.test(,)


Bemerkungen zum χ2− Anpassungstest

I Der χ2−Anpassungstest fur stetige Daten basiert auf einerKlasseneinteilung der Stichprobe und dem Vergleich dertheoretischen Haufigkeiten der Werte in den Klassen mit denempirischen Haufigkeiten.

I Die Testgroße ist unter H0 asymptotisch χ2−verteilt, dies ist einehaufiger vorkommende statistische Prufverteilung mit einemParameter, der Anzahl der Freiheitsgrade genannt wird. Sie kann nurnichtnegative Werte annehmen.

I Die theoretische Haufigkeit sollte pro Klasse mindestens 5 sein.

I Der Wert der Testgroße (und damit ggf. das Testergebnis) hangtvon der gewahlten Klasseneinteilung ab, außerdem ist es nur einasymptotischer Test.


Bsp. χ2− Anpassungstest mit R> x2=rnorm(50) # Simulation der normalverteilten Werte

> x2 cut=cut(x2,breaks=c(-3,-2,-1,0,1,2)) # Klasseneinteilung

> table(x2 cut)

x2 cut

(-3,-2] (-2,-1] (-1,0] (0,1] (1,2]

3 9 15 16 7

> freq emp=vector() # Vektor der empirischen Haufigkeiten

> for(i in 1:5) freq emp[i]=table(x2 cut)[[i]]

> freq emp

[1] 3 9 15 16 7

> freq th=c(pnorm(-2)-pnorm(-3),pnorm(-1)-pnorm(-2), pnorm(0)-pnorm(-1),

+ pnorm(1)-pnorm(0),pnorm(2)-pnorm(1))

> freq th # Vektor der theoretischen Haufigkeiten

[1] 0.02140023 0.13590512 0.34134475 0.34134475 0.13590512

> chisq.test(freq emp,freq th)

Pearson’s Chi-squared test

data: freq emp and freq th

X-squared = 10, df = 8, p-value = 0.265

Warnmeldung:

In chisq.test(freq emp, freq th) :

Chi-Quadrat-Approximation kann inkorrekt sein


d) Ein-Stichproben-t-Test

I Mit dem Ein-Stichproben-t-Test werden Annahmen uber denErwartungswert einer normalverteilten Grundgesamtheit beiunbekannter Varianz uberpruft.


I Vor.: normalverteilte Merkmalszufallsgroße X mit unbekanntemErwartungswert µ und unbekannter Varianz σ2 ; reprasentativeStichprobe.

I Hyp.:H0 : µ = µ0 (µ0 ist gegebene (Soll-)Große) ;H1 : µ 6= µ0 (zweiseitig) bzw. µ < µ0 oder µ > µ0 (einseitig) .

I R-Aufruf: t.test()

I Bem.: Die Testgroße ist hier T =X − µ0

S

√n, diese ist unter H0

t−verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Die t−Verteilung oderStudent-Verteilung ist eine weitere oft genutzte statistischePrufverteilung mit einem Parameter (

”Anzahl der Freiheitsgrade“).


Bsp. Ein-Stichproben-t-Test mit R

I Simulation von Realisierungen N(0, 1)-verteilter Zufallsgroßen.

x=rnorm(50)

I Zweiseitiger t−Test fur H0 : µ = 0 , H1 : µ 6= 0 :

> t.test(x)

One Sample t-test

data: x

t = -0.2207, df = 49, p-value = 0.8263

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

-0.3017750 0.2420545

sample estimates:

mean of x

-0.02986026


Bsp. Ein-Stichproben-t-Test (einseitig) mit R

I Einseitiger t−Test fur H0 : µ = 0, H1 : µ < 0 :> t.test(x,alternative="less")

One Sample t-test

data: x

t = -0.2207, df = 49, p-value = 0.4131

alternative hypothesis: true mean is less than 0


-Inf 0.1969931

sample estimates:

mean of x

-0.02986026

I Einseitiger t−Test fur H0 : µ = 0 , H1 : µ > 0 :> t.test(x,alternative="greater")

One Sample t-test

data: x

t = -0.2207, df = 49, p-value = 0.5869

alternative hypothesis: true mean is greater than 0


-0.2567136 Inf

sample estimates:

mean of x

-0.02986026


Bsp. Ein-Stichproben-t-Test mit R Fortsetzung

I Zweiseitiger t−Test fur H0 : µ = 1 , H1 : µ 6= 1 :> t.test(x,mu=1)

One Sample t-test

data: x

t = -7.6111, df = 49, p-value = 7.546e-10



-0.3017750 0.2420545

sample estimates:

mean of x

-0.02986026

I Zweiseitiger t−Test fur H0 : µ = −0.1 , H1 : µ 6= −0.1 :> t.test(x,mu=-0.1)

One Sample t-test

data: x

t = 0.5184, df = 49, p-value = 0.6065

alternative hypothesis: true mean is not equal to -0.1


-0.3017750 0.2420545

sample estimates:

mean of x

-0.02986026


e) χ2-Test auf Streuung

I Mit dem χ2-Test auf Streuung werden Annahmen uber die Varianzeiner normalverteilten Grundgesamtheit bei unbekanntemErwartungswert uberpruft.


I Vor.: normalverteilte Merkmalszufallsgroße X mit unbekanntemErwartungswert µ und unbekannter Varianz σ2 ; reprasentativeStichprobe.

I Hyp.:H0 : σ2 = σ20 (σ20 ist eine gegebene (Soll-)Große) ;H1 : σ2 6= σ20 (zweiseitig) bzw. σ2 < σ20 oder σ2 > σ20 (einseitig) .

I R-Aufruf: sigma.test() aus Zusatzpaket”TeachingDemos“.

I Die Testgroße ist hier T =(n − 1)S2

σ20, diese ist unter H0

χ2−verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden.


Bsp. 1 χ2-Test auf Streuung mit R

Voraussetzung ist, dass das Programmpaket”TeachingDemos“ vorher

installiert wurde.

> require(TeachingDemos) # Laden des Programmpakets

> x=rnorm(50) # Simulation der normalverteilten Werte

> sigma.test(x)

One sample Chi-squared test for variance

data: x

X-squared = 58.4113, df = 49, p-value = 0.3359

alternative hypothesis: true variance is not equal to 1


0.8318045 1.8511005

sample estimates:

var of x

1.192068


Bsp. 2 χ2-Test auf Streuung mit R

> require(TeachingDemos) # Laden des Programmpakets

> x=rnorm(50) # Simulation der normalverteilten Werte

> sigma.test(x,sigmasq=1.5,alternative="less")

One sample Chi-squared test for variance

data: x

X-squared = 33.8897, df = 49, p-value = 0.04946

alternative hypothesis: true variance is less than 1.5


0.000000 1.498204

sample estimates:

var of x

1.037439


f) Vorzeichentest

I Der Vorzeichentest oder Zeichentest dient als Test uber den Medianeiner stetigen Verteilung.


I Vor.: Merkmalszufallsgroße X auf stetiger Skala; reprasentativeStichprobe.

I Hyp.:H0 : X0.5 = m (m ist ein vorgebener Wert fur den Median) ;H1 : X0.5 6= m .

I R-Aufruf: binom.test(table(x<m)) (fur Datenvektor x).

I Die Testgroße ist die Anzahl der Stichprobenwerte, die großer odergleich dem hypothetischen Wert m fur den Median sind. Sie istunter H0 binomialverteilt mit den Parametern n und p = 0.5 . DerTest heißt deshalb auch Binomialtest (bzw. ist ein Spezialfall davon).


Bsp. Vorzeichentest

I Der Vorzeichentest wird auf simulierte exponentialverteilte mitParameter λ = 1 Daten angewandt.

Der theoretische Median einer solchen exponentialverteiltenZufallsgroße ist X0.5 = ln(2) = 0.6931472 .

I >x=rexp(30) # Simulation der exponentialverteilten Werte

> binom.test(table(x<log(2)))

Exact binomial test

data: table(x < log(2))

number of successes = 14, number of trials = 30, p-value = 0.8555

alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5


0.2834181 0.6567448

sample estimates:

probability of success

0.4666667


Bsp. Vorzeichentest Fortsetzung

I Bei einem Test auf den (falschen) hypothetischen Medianwertm = 1 erhalt man fur diese Stichprobe folgenden Ausdruck.

I > binom.test(table(x<1))

Exact binomial test

data: table(x < 1)




0.1473452 0.4939590

sample estimates:


0.3


Bsp. Vorzeichentest Erlauterung zur Fortsetzung

I Zur Erlauterung der R-Befehle seien hier die Stichprobe undZwischenergebnisse mit angegeben.

I > x

[1] 0.474913225 1.998718750 0.236340651 1.190075521 0.204773207

[6] 1.032235380 0.381776969 0.189361459 1.148530885 0.179905086

[11] 0.367202075 0.016486336 1.634640983 0.579307548 0.841339218

[16] 0.547713449 1.440086523 0.716338951 0.906362104 1.184678989

[21] 0.203456942 0.928086586 0.267522051 4.082806101 0.553727047

[26] 0.037520679 0.003251419 0.054086418 1.102460776 0.914379178

> x<1

[1] TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE FALSE TRUE

[11] TRUE TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE TRUE FALSE

[21] TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE

> table(x<1)

FALSE TRUE

9 21

I Die Erfolgsanzahl im Test (hier 9, die erste der durch table(x<1)

zuruckgegebene Zahl) ist also die Anzahl der Stichprobenwerte, furdie die Bedingung (hier x < 1) nicht erfullt ist.


Bsp. Vorzeichentest (einseitig)

I Einseitige Tests konnen auch durchgefuhrt werden.

I > binom.test(table(x<1),alternative="less")

Exact binomial test

data: table(x < 1)


alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.5


0.0000000 0.4650727

sample estimates:


0.3

I Hier wird zum Niveau 0.05 die Hypothese H0 : P(X ≥ 1) = 0.5abgelehnt und die Alternative H1 : P(X ≥ 1) < 0.5 angenommen.Dies bedeutet auch fur den Median, dass er signifikant kleiner als 1ist.


g) Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

I Beim Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test werden Hypothesen uberdas Symmetriezentrum (und damit den Median) einer stetigenVerteilung gepruft.


I Vor.: Merkmalszufallsgroße X mit stetiger und symmetrischerVerteilung ; reprasentative Stichprobe .

I Hyp.:H0 : X0.5 = m (m ist ein vorgebener Wert fur den Median);H1 : X0.5 6= m .

I R-Aufruf: wilcox.test() .

I Die Testgroße nutzt Rangzahlen der Werte xi −m, i = 1, . . . , nund damit mehr Informationen als der Vorzeichentest.

I Bindungen konnen problematisch sein.


Bsp. Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

I Der Vorzeichentest wird auf simulierte t−verteilte (mit 10Freiheitsgraden) Daten angewandt. Dies ist eine symmetrischestetige Verteilung mit dem theoretischen Median X0.5 = 0 .

I >x=rt(n=50,df=10) # Simulation von 50 t-verteilten Werten

> wilcox.test(x)

Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data: x

V = 627, p-value = 0.9231 # Annahme

alternative hypothesis: true location is not equal to 0

I Ein Test auf den (falschen) Median m = 1 ergibt:

> wilcox.test(x,mu=1)

Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data: x

V = 207, p-value = 3.312e-05 # Ablehnung



5.1.2. Tests fur eine gepaarte (verbundene) Stichprobe(stetige Skala)

I Gegeben sei nun eine konkrete Stichprobe (xi , yi ), i = 1, . . . , n alsRealisierungen von unabhangigen und identisch verteilten stetigenZufallsvektoren (Xi ,Yi ), i = 1, . . . , n . Fur jedes i beziehen sichdie Werte xi und yi auf ein und dasselbe statistische Individuum,so dass die Zufallsgroßen Xi und Yi nicht als unabhangigangesehen werden konnen.

I Macht die Differenzbildung Di = Xi − Yi , i = 1, . . . , n inhaltlichSinn, dann konnen die Tests aus 5.1.1. auf die neu berechneteStichprobe d1, . . . , dn (die nun univariat ist) angewandt werden,man untersucht somit ein Einstichprobenproblem.

I Dabei sind insbesondere die Tests bezuglich der Lageparameter vonInteresse, da dadurch eine eventuelle Verschiebung der Verteilungder Yi zu den Großen Xi mit Hilfe eines Tests auf einen Medianoder Erwartungswert 0 der Verteilung der DifferenzzufallsgroßenDi , i = 1, . . . , n uberpruft werden kann.


a) Gepaarter t−Test

I Mit dem Ein-Stichproben-t-Test fur D = X − Y oder demgepaarten t−Test fur X und Y wird die Gleichheit derErwartungswerte von X und Y bei einer normalverteiltenDifferenz D = X − Y mit unbekannter Varianz uberpruft.

I Geg.: konkrete gepaarte Stichprobe (x1, y1) . . . , (xn, yn) .

I Vor.: normalverteilte Zufallsgroße D = X − Y mit unbekannterVarianz σ2 ; reprasentative Stichprobe .

I Hyp.:H0 : EX = EY , H1 : EX 6= EY (zweiseitiger Test) bzw.H1 : EX < EY oder H1 : EX > EY (einseitige Tests) .

I R-Aufruf: t.test(x,y,paired=TRUE)

bei Datenvektoren x und y .

I Ausreißer in den Daten konnen Probleme bereiten.


Bsp. 1 gepaarter t−Test

I Simulation einer gepaarten Stichprobe durch Beziehung:fester Wert 2 + simulierte normalverteilte zufallige Fehlerfur die x− und y−Werte jeweils.

I > x=2+rnorm(30,sd=0.1)

> y=2+rnorm(30,sd=0.1)

I Berechnung der Differenzen und Shapiro-Wilk-Test aufNormalverteilung .

I > d=x-y

> shapiro.test(d)


data: d

W = 0.9745, p-value = 0.6694 # Annahme

I Durchfuhrung des Ein-Stichproben-t-Tests fur d und desaquivalenten gepaarten t−Tests fur x und y .


Bsp. 1 gepaarter t−Test Fortsetzung

I > t.test(d)

One Sample t-test

data: d

t = 0.7479, df = 29, p-value = 0.4605 # Annahme



-0.03149322 0.06780432

sample estimates:

mean of x

0.01815555

I > t.test(x,y,paired=TRUE)

Paired t-test

data: x and y

t = 0.7479, df = 29, p-value = 0.4605 # Annahme

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0


-0.03149322 0.06780432

sample estimates:

mean of the differences

0.01815555


Bsp. 2 gepaarter t−Test

I Simulation einer gepaarten Stichprobe durch Beziehungen2 (bei x) bzw. 3 (bei y) + simulierte normalverteilte zufallige Fehler.

I > x=2+rnorm(30,sd=0.1)

> y=3+rnorm(30,sd=0.05)

I Berechnung der Differenzen und Shapiro-Wilk-Test aufNormalverteilung .

I > d=x-y

> shapiro.test(d)


data: d

W = 0.9887, p-value = 0.9826 # Annahme

I Durchfuhrung des Ein-Stichproben-t-Tests fur d und desaquivalenten gepaarten t−Tests fur x und y .


Bsp. 2 gepaarter t−Test Fortsetzung

I > t.test(d)

One Sample t-test

data: d

t = -55.026, df = 29, p-value < 2.2e-16 # Ablehnung



-1.078750 -1.001433

sample estimates:

mean of x

-1.040091

I > t.test(x,y,paired=TRUE)

Paired t-test

data: x and y

t = -55.026, df = 29, p-value < 2.2e-16 # Ablehnung

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0


-1.078750 -1.001433

sample estimates:

mean of the differences

-1.040091


b) Vorzeichentest fur eine gepaarte Stichprobe

I Der Vorzeichentest fur eine gepaarte Stichprobe ist ein Test uber denMedian 0 der stetigen Verteilung von D = X − Y . Bei Ablehnungder Nullhypothese kann man folglich auf eine unterschiedliche

”mittlere Lage“ der x− und der y−Werte schließen.


I Vor.: Die Zufallsgroße D = X − Y besitzt eine stetige Verteilung;es liegt eine reprasentative gepaarte Stichprobe vor.

I Hypothesen: H0 : D0.5 = 0 , H1 : D0.5 6= 0 .

I R-Aufruf: binom.test(table(x<y))




Bsp. Vorzeichentest fur eine gepaarte Stichprobe

I Das Vorgehen ist analog zum 2. Anwendungsbeispiel fur dengepaarten t−Test, jedoch mit exponentialverteilten Fehlern.

I > x=2+rexp(30) # verschobene Exponentialverteilung

> y=3+rexp(30) # verschobene Exponentialverteilung

> shapiro.test(x-y) # Test auf Normalverteilung


data: x - y

W = 0.8966, p-value = 0.00693 # Ablehnung

I Vorzeichentest fur eine gepaarte Stichprobe.I > binom.test(table(x<y))

Exact binomial test

data: table(x < y)




0.09933786 0.42283652

sample estimates:


0.2333333


c) Gepaarter Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

I Der gepaarte Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test ist ein Test uberdas Symmetriezentrum 0 (und damit den Median 0) der stetigenVerteilung von D = X − Y . Bei Ablehnung der Nullhypothese kannman folglich auf eine unterschiedliche

”mittlere Lage“ der

x− und der y−Werte schließen.


I Vor.: Die Zufallsgroße D = X − Y besitzt eine stetige undsymmetrische Verteilung; es liegt eine reprasentative gepaarteStichprobe vor.

I Hyp.:H0 : Die Verteilung von D = X − Y ist symmetrisch um 0 ;H1 : Die Verteilung von D = X − Y ist symmetrisch um c 6= 0 .

I R-Aufruf: wilcox.test(x,y,paired=TRUE)




Bsp. gepaarter Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

I Das Vorgehen ist analog zum 2. Anwendungsbeispiel fur dengepaarten t−Test, jedoch werden hier t−verteilte Fehler verwendet.

I > x=2+0.1*rt(30,df=10) # t-Verteilung mit 10 Freiheitsgraden

> y=3+0.1*rt(30,df=10) # t-Verteilung ist symmetrisch

> d=x-y

> shapiro.test(d) # Test auf Normalverteilung


data: d

W = 0.9248, p-value = 0.0358 # Ablehnung

I Die Anwendung des Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tests auf dieDifferenzen bzw. gepaart ergibt> wilcox.test(d)

Wilcoxon signed rank test

data: d



> wilcox.test(x,y,paired=TRUE)

Wilcoxon signed rank test

data: x and y


alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0


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