Statistik Non Parametrik - Radia Sariradiasari.lecture.ub.ac.id/.../2014/04/11Statistik-Non-Parametrik.pdf · Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik

Statistik Non Parametrik

STATISTIK PARAMETRIK DANNON PARAMETRIK

• Statistik parametrik, didasarkan asumsi :- sampel random diambil dari populasi normal atau

- ukuran sampel besar atau

- sampel berasal dari populasi dengan variansi yang sama

Statistik non parametrik, didasarkan asumsi :- hampir tidak mengasumsikan persyaratan apapun kecuali distribusinya kontinyu.

Statistik non parametrik

Statistik Non parametrik

• Cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku tapi cukup pada asumsi yang umum.

• Asumsi-asumsi yang kaku, misal: syarat kenormalan suatu data, ragam yang sama, dll tetapi cukup pada asumsi yang umum、Statistikbebas sebaran

SI 2 - Statistik Non Parametrik 3

Uji Statistik Parametrik• Suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat

tertentu (asumsi-asumsi) dari sebaran (distribusi) data populasinya.

• Banyak digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio• Biasanya datanya besar : > 30

Parametrik Vs Non Parametrik Parametrik

• menuntut ukuran – ukuran tingkat taraf tinggi

• Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuran-ukuran yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi.

• Misal: Ukuran berat (kg)

Perbedaan (0 - 485 kg) sama dengan perbedaan (485 - 980 kg)


Non Parametrik

Terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi)

Misal:

Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,2,3,4,5)

3 memiliki preferensi > dari 2 tapi perbedaannya belum tentu 1

Tingkatan eksekutif 4 manager (1,2,3,4)

Pengujian dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank.

Contoh : Ukuran berat : 3,4 1,8 5,8

Rank : 2 1 3

Skala Pengukuran...(review)

Nominal

• Juga disebut sebagai skala kategorik

• Merupakan skala pengukuran yang bersifat membedakan saja

• Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanya menunjukkan ada aau tidak adanya atribut atau kharakteristik yang diteliti

• Contoh : Jenis kelamin seseorang, status perkawinan, kepesertaan keluarga berencana, lulus atau tidak dll.

• Bekerja dengan data ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untk wanita dan 2 untuk laki-laki (angka ini hanya representasi dari kategori atau kelas-2 dan tidak meunjukkan bilangan dari suatu atribut atau karakteristik.


Skala Pengukuran

Ordinal

• Skala pengukuran yang sifatnya membedakan dan mengurutkan

• Setiap sub kelas dapat dibandingkan dengan yang lain dalam hubungan “ lebih besar” atau “ lebih sedikit”.

• Contoh: misalkan seseorang diminta untuk mengurutkan tiga buah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk.

6

Not at all satisfied

Product A Product B Product C

Very satisfied

Brand Rank

A 1

B 2

C 3

Skala Pengukuran

Interval

• Skala pengukuran yang bersifat membedakan, mengurutkan dan memiliki jarak yang sama

• Tidak memiliki nilai nol mutlak.

• Contoh :

• Suatu suhu 80 F tidak dapat dikatakan dua kali lebih panas dari suhu 40 F, karena kita tahu bahwa 80 F, pada skala suhu yang lain, seperti celcius adalah 26,7 C sedangkan 40 F = 4,4 C. meskipun 80 F kelihatannya dua kali 40F , seseorang tidak dapat mengatakan bahwa 80F dua kali lebih panas dari 40F, karena pada skala yang lain panasnya tidak dua kalinya.

4/25/2014 Multivariate Analysis 7

Skala Pengukuran

Ratio

• Skala pengukuran yang sifatnya membedakan, mengurutkan dan mempunyai nilai nol mutlak.

• Nilai nol mutlak adalah nilai dasar yang tidak bisa diubah meskipun menggunakan skala yang lain.

• Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapat dilakukan operasi matematis seperti penjumlahan pengurangan, bagi ataupun perkalian.

• Contoh :

• 100 Kg memiliki berat dua kali 50 kg

• 1000 meter memiliki panjang 20 kali 50 meter

• dll

4/25/2014 Multivariate Analysis 8

Statistik non parametrikKelebihan statistik non parametrik

1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan

2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah

3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim

4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal)

5. Distribusi data tidak harus normal

6. Bisa digunakan untuk sampel kecil (misal n=7) walaupun distribusi populasinya tidak diketahui


Kekurangan statistik non parametrik

1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi

2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan

Kekurangan

Kekurangan Statistik Non parametrik

• Bila persyaratan untuk uji parametrik dapat dipenuhi maka efisiensi pengujian non parametrik lebih rendah dibanding uji parametrik.

• Uji non parametrik tidak dapat digunakan untuk menguji interaksi seperti dalam model analisis variansi

• Uji non parametrik tidak bisa digunakan untuk membuat prediksi seperti dlm analisis regresi krn asumsi distribusi normal tidak dipenuhi.

Statistik non parametrik

• Sampel ukuran kecil / tidak melibatkan parameter populasi

• Data yang digunakan : data ordinal atau nominal

• Bentuk distribusi populasi dan tempat pengambilan sampel tidak diketahui menyebar secara normal

• Ingin menyelesaikan masalah statistik dengan cepat

• Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi

• Bila penghitungan harus dilakukan secara manual


Kapan digunakan??

Langkah – Langkah Pemilihan Metode Statistik

12

ya tidak NON PARAMETRIKLIHAT JENIS DISTRIBUSINYA

ya tidak NON PARAMETRIKPARAMETRIK

1. Apakah distribusi data diketahui?

2. Apakah data berdistribusi normal?

3. Apakah sampel ditarik secara random?

NON PARAMETRIKPARAMETRIK ya tidak

Langkah – Langkah Pemilihan Metode Statistik - 2


ya tidak NON PARAMETRIKLIHAT JENIS DISTRIBUSINYA

NON PARAMETRIKPARAMETRIK

4. Apakah varians kelompok sama?

5. Bagaimana jenis skala pengukuran data?

INTERVAL RASIO

NOMINAL ORDINAL

Langkah2 pemilihan metode statistik


Parametrik Vs Non Parametrik


Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik

Langkah – langkah pengujian hipotesis:

1. Menentukan formulasi hipotesis

2. Menentukan taraf nyata dan nilai tabel

3. Menentukan kriteria pengujian

4. Menentukan nilai uji statistik

5. Membuat kesimpulan


Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik

Uji Non Parametrik yang akan dipelajari:

• Uji Tanda (Sign Test)

• Uji Urutan Bertanda Wilcoxon

• Uji Mann-Whitney

• Uji Kruskal – Wallis (H Test)

• Uji Friedman

• Uji Cochran (Uji Q)

• Uji kerandoman (Randomness test/run test)

• Uji kolmogorov – smirnov sampel tunggal


SIGN TEST (UJI TANDA)

Uji Tanda (Sign Test)

Fungsi pengujian:

• Untuk menguji perbedaan/perubahan ranking (median selisih skor/ranking) dua buah populasi berdasarkan ranking (median selisih skor/ranking) dua sampel berpasangan

Didasarkan atas tanda-tanda positif ataunegatif dari perbedaan antara pasanganpengamatan.


SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL• Merupakan alternatif uji t dengan 1 sampel dalam uji

parametrik

• Prosedur pengujian

• Tingkat signifikansi

• Perhitungan data sampel untuk statistik uji Setiap nilai pengamatan yang > μ0 diganti dengan/diberi tanda + Setiap nilai pengamatan yang < μ0 diganti dengan/diberi tanda – Setiap nilai pengamatan yang = μ0 diganti dengan 0 dan dihapus dari

data n = banyak pengamatan setelah tanda 0 di hapus dari data k = Banyaknya pengamatan bertanda + P = 0,5 ( probabilitas terjadinya tanda + dan – adalah sama)

H0 : μ = μ0 (p=0,5)

H1 : μ ≠ μ0 (p ≠ 0,5) atau μ > μ0 (p > 0,5) atau μ < μ0 (p < 0,5)

SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL

• Statistik Uji

untuk n ≤ 20

X ~ berdistribusi binomial dengan parameter k, n, p

Phitung = P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)

untuk n > 20

X ~ berdistribusi Normal (μ, ) dengan μ = np dan

sehingga )1( pnp

)1( pnp

npkZhitung

Berdistribusi

normal standard (0,1)

SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL

• Daerah kritis

untuk n ≤ 20

H1 : μ ≠ μ0 daerah penolakan Ho : Phitung < /2 atau Phitung > (1- /2 )

H1 : μ > μ0 daerah penolakan Ho : Phitung <

H1 : μ < μ0 daerah penolakan Ho : Phitung > (1-)

untuk n > 20

H1 : μ ≠ μ0 daerah penolakan Ho : Zhitung < -Z/2 atau Zhitung > Z/2

H1 : μ > μ0 daerah penolakan Ho : Zhitung < -Z

H1 : μ < μ0 daerah penolakan Ho : Zhitung > Z



• Menentukan formulasi hipotesis

H0 : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah sama

H1 : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah berbeda

• Menentukan taraf nyata dan nilai tabel

Pengujian bisa satu sisi atau dua sisi

• Menentukan kriteria pengujian

Pengujian satu sisi

H0 : diterima bila probabilitas hasil sampel

H1 : diterima bila > probabilitas hasil sampel

Pengujian dua sisi

H0 : diterima bila 2 KALI probabilitas hasil sampel

H1 : diterima bila > 2 KALI probabilitas hasil sampel


Menentukan nilai uji statistik

• Lihat tabel probabilitas binomial dengan n,r tertentu dan p = 0,5

• r = jumlah tanda yang terkecil

Membuat kesimpulan

• Menyimpulkan H0 diterima ataukah tidak


Contoh 1. Uji Tanda (Sign Test)

Pasangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Istri

Suami

3

2

2

3

1

2

0

2

0

0

1

2

2

1

2

3

2

1

0

2


Sejumlah 10 pasangan suami istri yang baru menikah dipilih secaraacak dan ditanyakan secara terpisah pada masing-masing istri dansuami, berapa jumlah anak yang mereka inginkan. Informasi yang didapat adalah sebagai berikut:

Ujilah apakah kita dapat mengatakan bahwa wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami)? Taraf nyata uji 0,01

Penyelesaian

• Diketahui : data di atas, = 0,01

• Ditanya : apakah ada perbedaan jumlah anak yang diinginkanantara istri dengan suami?

• Jawab :

– H0 : Tidak ada perbedaan jumlah anak yang diinginkanantara suami dan istri

H1 : wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami)

– Taraf nyata uji : 0,01

– Kriteria pengujian :

H0 diterima Jika 0,01 probabilitas hasil sampel

H1 diterima Jika 0,01 > probabilitas hasil sampel


r = 3, distribusi Binom dengan n = 9 dan p = 0,5

Menggunakan tabel Binom, maka akan diperoleh: P(r 3) = 0,254

Keputusan, karena 0,01 0,254, maka terima H0.

Tidak ada perbedaan jumlah anak yang diinginkan antarasuami dan istri

Pasangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Istri

Suami

Selisih

3

2

+

2

3

-

1

2

-

0

2

-

0

0

0

1

2

-

2

1

+

2

3

-

2

1

+

0

2

-


Perhitungan


Berikut data mutu kerja karyawan sebelum dan sesudah kenaikan gaji.

Uji dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada peningkatan mutu karyawan setelah gaji naik!


Pegawai Sebelum

kenaikan

gaji (X1)

Sesudah

kenaikan

gaji (X2)

Selisih

(X2 – X1)

1 71 72 +

2 91 88 -

3 86 82 -

4 60 67 +

5 83 88 +

6 70 67 -

7 72 75 +

8 65 75 +

9 80 90 +

10 72 76 +

Penyelesaian

– Dari tabel diketahui bahwa tanda (+) ada 7, dan tanda (-) ada 3

• Jawab :

– H0 : Tidak ada peningkatan mutu kerja

– H1 : Ada peningkatan mutu kerja


– Kriteria pengujian :

– H0 diterima Jika 0,05 probabilitas hasil sampel

– H1 diterima Jika 0,05 > probabilitas hasil sampel


N = 10, r = 3 dan p = 0,5

Probabilitas hasil sampel:

Menggunakan tabel Binom, maka akan diperoleh:

P(r 3) = 0,1719

0,05 < 0.1719 H0 diterima


Dilakukan sebuah penelitian untuk mengetahui tingkat pengetahuan budidaya kopi sebelum dan sesudah diberi penyuluhan. Data hasil penelitian ditunjukkan pada tabel berikut.

Dengan α = 0,01, lakukan pengujian untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh penyuluhan terhadap tingkat pengetahuan budidaya kopi.


Contoh

Berikut adalah data sampel random dari 15 pengukuran rating octane dalam sejenis bensin yang diamati disuatu daerah tertentu

99,0 102,3 99,8 100,5 99,7

96,2 99,1 102,5 103,3 97,4

100,4 98,9 98,3 98,0 101,6

Ujilah dengan = 0,01 apakah rating octane dari bensin yang diamati tersebut lebih dari 98,0 ?

Contoh

Data berikut menunjukkan berapa lama (jam) sebuah alat listrik bisa digunakan sebelum diisi tenaga listrik

1,5 2,2 0,9 1,3 2,0 1,6 1,8 1,5 2,0 1,2 1,7

Ujilah dengan = 0,05 bahwa alat tersebut rata-rata dapat bekerja 1,8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik lagi

Contoh

Seorang pimpinan universitas mengklaim bahwa lulusannya mempunyai rata-rata IP lebih dari 3. Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataannya tersebut diambil sampel berukuran 31 mahasiswa yang sudah lulus dan dicatat IP nya. Data yang diperoleh :

3,41 3,02 2,57 2,86 2,78 3,00

2,55 2,13 2,14 2,81 2,85 2,74

2,73 2,94 3,22 3,15 3,00 2,82

3,81 2,77 3,00 3,62 3,16 3,39

3,14 3,21 2,97 3,33 3,03 3,41

3,00

Ujilah dengan = 1 % apakah klaim tersebut bisa diterima

SIGN TEST UNTUK DUA SAMPEL BERPASANGAN

• Merupakan alternatif uji t dengan 2 sampel berpasangan (paired t test) dengan n1 = n2

• Prosedur pengujian

• Tingkat signifikansi

• Perhitungan data sampel untuk statistik uji Hitung di = selisih (X1 – X2)

Jika di = 0 maka data dibuang

n = banyak data di setelah data dengan di = 0 dihapus dari data

Beri tanda (+) bila di > 0 dan (-) bila di < 0

R+ = banyaknya data yang bertanda +

R- = banyaknya data yang bertanda –

R = min (R+ ; R- )

H0 : μ1 = μ2

H1 : μ1 ≠ μ2 atau μ1 > μ2 atau μ1 < μ2


Untuk n ≤ 40 ; R~ berdistribusi R , n* (R , n* dari tabel nilai kritis untuk uji tanda)

Untuk n > 40; R~ berdistribusi Normal dengan rata-rata

dan standard deviasi

Sehingga

35

2

nR

4

nR

n

nRRZ

R

Rhitung

2

~ berdistribusi Normal standart N (0;1)


• Daerah kritis

untuk n ≤ 40

H1 : μ1 ≠ μ2 daerah penolakan Ho jika R ≤ R , n*

H1 : μ1 > μ2 daerah penolakan Ho jika R- ≤ R , n*

H1 : μ1 < μ2 daerah penolakan Ho jika R+ ≤ R , n*

untuk n > 40

H1 : μ1 ≠ μ2 daerah penolakan Ho jika Zhitung < -Z/2

atau Zhitung > Z/2

H1 : μ1 > μ2 daerah penolakan Ho jika Zhitung > Z

H1 : μ1 < μ2 daerah penolakan Ho jika Zhitung < - Z

36

Contoh

Sebuah perusahaan otomotif akan menentukan apakah ban radialbisa meningkatkan penghematan bahan bakar dibanding ban biasa.Untuk itu 24 mobil dipasangi ban radial kemudian dicoba padalintasan tertentu. Tanpa mengganti sopir, mobil yang sama dipasangiban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsibahan bakar (dalam kilometer perliter)

Gunakan = 0,05 untuk menguji apakah ban radial lebih hematbahan bakar dibanding ban biasa.

37

Penyelesaian

1. H0 : μ1 = μ2 (ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa)

H1 : μ1 < μ2 (ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa)

2. Tingkat signifikansi =0,05

3. Perhitungan :

38

Penyelesaian

4. Statistik Uji

R+ = 13 n = 20

5. Daerah kritis :

Ho ditolak bila R+ ≤ R 0,05, 20* = 5

Karena R+ =13 > R , n* = 5 maka Ho diterima. Jadi ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa.

39

Note :

Atau ada yang menggunakan perbandingannya adalah probabilitas hasil sampel dengan taraf uji nyata

– Taraf nyata uji : – Kriteria pengujian : – H0 diterima Jika probabilitas hasil sampel– H0 ditolak Jika > probabilitas hasil sampel

* Untuk tabel menggunakan binomial (komulatif) dari data n, k dan p

UJI RANGKING BERTANDA WILCOXON

UJI RANKING BERTANDA WILCOXONWilcoxon’s signed-rank test

Alternatif dari uji t dengan 2 sampel berpasangan (paired t test) dengann1 = n2

Penyempurnaan dari uji tanda untuk menguji 2 sampel berpasangan

Prosedur Uji

1. H0 : μ1 = μ2

H1 : μ1 ≠ μ2

H1 : μ1 > μ2

H1 : μ1 < μ2

2. Tingkat signifikansi 3. Perhitungan statistik uji di = selisih (x1 – x2) di = 0 data dibuang

UJI RANGKING BERTANDA WILCOXON Beri peringkat atau rangking pada I diI dari terkecil hingga terbesar

Bila ada peringkat / rangking yang sama diambil peringkatnya diambil rata-rata Hitung

w+ = total jumlah peringkat dari di yang positifw- = total jumlah peringkat dari di yang negatifw = min (w+; w- )

Untuk n ≤ 50 : w ̴ w (nilai w dari tabel rangking bertanda wilcoxon)Untuk n > 50 : w ̴ berdistribusi normal dengan rata-rata :

dengan standard deviasi sehingga :

4

)1(

nnw

24

)12)(1(

nnnw

w

whitung

wZ

~ berdistribusi normal standard N (0; 1)

untuk n ≤ 50H1 : μ1 ≠ μ2 H0 ditolak jika w ≤ w

H1 : μ1 > μ2 H0 ditolak jika w - ≤ w

H1 : μ1 < μ2 H0 ditolak jika w + ≤ w

untuk n > 50H1 : μ1 ≠ μ2 H0 ditolak jika Zhitung < -Z /2 atau Zhitung >Z/2

H1 : μ1 > μ2 H0 ditolak jika Zhitung > Z

H1 : μ1 < μ2 H0 ditolak jika Zhitung > - Z

4. Daerah kritis

Contoh 1Berikut adalah data rata-rata jam kerja yang terbuang perminggu karena kecelakaan yang terjadi dalam 10 pabrik sebelum dan sesudah diterapkannya program keselamatan kerja dengan menggunakan = 0,05 untuk menguji apakah program tersebut efektif

Penyelesaian

1. H0 : μ1 = μ2 ( program keselamatan kerja tidak efektif)

H1 : μ1 > μ2 ( program keselamatan kerja efektif)2. Tingkat signifikansi = 0,053. Perhitungan statistik uji

Pabrik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sebelum 45 73 46 124 33 57 83 34 26 17

Sesudah 36 60 44 119 35 51 77 29 24 11

Pabrik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

di 9 13 2 5 -2 6 6 5 2 6

I di I 9 13 2 5 2 6 6 5 2 6

Urutan 9 10 1 4 2 6 7 5 3 8

Ranking 9 10 2 4,5 2 7 7 4,5 2 7

Contoh

4. Statistik Ujiw+ = 53w - = 2

5. Daerah kritis jika w - ≤ w0,05 = 10karena w - = 2 < w0,05 = 10 maka H0 ditolak Jadi

program keselamatan kerja tersebut efektif

Contoh 2Sebuah perusahaan taxi akan menentukan apakah ban radial bisa meningkatkan penghematan bahan bakar dibanding ban biasa. Untuk itu 24 mobil dipasangi bann radial kemudian dicoba pada lintasan tertentu. Tanpa mengganti sopirnya , mobil yang sama dipasangi ban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar (dalam kilometer perliter). Digunakan = 0,05 untuk menguji apakah ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa

Penyelesaian

1. H0 : μ1 = μ2 ( ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa)

H1 : μ1 < μ2 (ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa)2. Tingkat signifikansi = 0,05

Mobil 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ban radial 10,2 10,7 12,6 13 12,7 10,5 11,7 12 13,4 10,9 12,1 11,2

Ban biasa 10,1 10,9 12,2 12,9 12,8 10,4 11,7 11,8 12,9 10,9 12 10,9

Mobil 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Ban radial 11,1 12,3 13,1 10,8 10,2 11,2 13,3 12,7 11,4 12 13,4 10,7

Ban biasa 10,9 12,4 13,1 10,5 10,7 11,2 13,4 12,2 11,7 11,8 13,1 10,8

Contoh 24. Perhitungan statistik uji

4. Statistik ujiw+ = 148 w - = 62

5. Daerah kritis jika w + ≤ w0,05; 20 = 60karena w + = 148 > w0,05;20 = 60 maka H0 diterima Jadi ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa

Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (Signed Rank Test)

• Sebagai penyempurnaan uji tanda

• Diperkenalkan pertama kali oleh (Frank Wilcoxon)

• Selain memperhatikan + dan -, uji ini jugamemperhatikan besarnya beda/selisih



Memperhitungkan tanda dan besarnya selisih.

H0 : Tidak terdapat perbedaan dari perlakuan 1 dan 2.H1 : Terdapat perbedaan antara perlakuan 1 dan 2


Menentukan Kriteria pengujian

H0 : Diterima jika T < T0

H1 : Diterima jika T > T0

Nilai T diperoleh dari Tabel nilai kritis untuk uji urutan/rank tanda=> Tα

Menentukan taraf nyata ()

Dapat berbentuk satu sisi atau dua sisi


Menentukan nilai uji statistik (Nilai T0)1. Tentukan tanda beda/selisih dan besarnya2. Urutkan bedanya (tanpa memperhatikan tanda)• Ranking 1 diberikan pd selisih terkecil, urutan 2 pd selisih terkecil

berikutnya.• Bila dua atau lebih selisih nilai mutlaknya sama, maka masing2

diberi rangking sama dengan rata2 urutan. • Contoh selisih ke 5 dan ke 6 terkecil mempunyai nilai selisih yang

sama, maka masing - masing mendapat rangking 5,5 yang diperoleh dari (5 + 6)/2

3. Pisahkan tanda selisih positif dan negatif4. Jumlahkan semua angka positif dan negatif5. Nilai terkecil dari nilai absolut hasil penjumlahan selisih adalah nilai

T0


Membuat kesimpulan

Contoh 1. Uji Urutan BertandaWilcoxon (dr Soal Uji Tanda)

Pegawai Sebelum

kenaikan

gaji (X1)

Sesudah

kenaikan

gaji (X2)

1 71 72

2 91 88

3 86 82

4 60 67

5 83 88

6 70 67

7 72 75

8 65 75

9 80 90

10 72 76


Berikut data mutu kerja karyawan sebelum dan sesudah kenaikan gaji.

Uji dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada peningkatan mutu karyawan setelah gaji naik!

Penyelesaian

Jawab :

– H0 : Tidak ada peningkatan mutu kerja

H1 : Ada peningkatan mutu kerja


– Kriteria pengujian : H0 : Diterima jika T < T0

H1 : Diterima jika T > T0

Dengan n=10 dan α = 0,05 berdasarkan Tabel nilai kritis uji urutan tanda (uji satu arah) => T0.05 = 11


Penyelesaian


T 0 = 11,5

Sebelum

kenaikan gaji

Sesudah

kenaikan gaji

Selisih Urutan Tanda

Ranking

Tanda

Ranking

(X) (Y) (Y-X) (+) (-)

1 71 72 1 1 1 +1

2 91 88 -3 2 3 -3

3 86 82 -4 5 5.5 - 5.5

4 60 67 7 8 8 +8

5 83 88 5 7 7 +7

6 70 67 -3 3 3 -3

7 72 75 3 4 3 +3

8 65 75 10 9 9.5 + 9.5

9 80 90 10 10 9.5 + 9.5

10 72 76 4 6 5.5 + 5.5

Jumlah + 43.5 - 11.5

Pegawai

ke

Ranking

KesimpulanKarena T0.05 = 11 < T0 = 11,5 , maka:H0 diterima yang artinya bahwa tidak ada perbedaan nyata pada mutu

kerja pegawai setelah kenaikan gaji

Contoh 2. Uji Urutan BertandaWilcoxon

Sebuah alat pencukur rambut dapat digunakan sebelum dicharge lamanya (jam) adalah : 1,5; 2,2; 0,9; 1,3; 2,0; 1,6; 1,8; 1,5; 2,0; 1,2; dan 1,7. Ujilah hipotesis dengan α = 5% bahwa alat tersebut rata - rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum dicharge


Penyelesaian

1. H0 : m = 1,8H1 : m ≠ 1,8

2. α = 0,05

3. Kriteria pengujian•H0 : Diterima jika T < T0

•H0 : Ditolak jika T > T0

Untuk n = 10 (dengan menghilangkan satu data yg selisihnya nol) dan α = 0,05 maka dari Tabel nilai kritis uji urutan tanda (uji dua arah) =>T0.05 = 8


Penyelesaian

56

Perhitungan : setiap pengamatan dikurangkan dengan 1,8, dan ditentukan peringkatnya, tanpa memperhatikan tanda minus atau plus

Kesimpulan:Karena T0.05 = 8 <T0 = 13 , makaterima H0 artinya bahwa alat pencukur rambut tersebut rata -rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum dicharge

T 0 = 13

Tanda

Rangking

Tanda

Rangking

(+) (-)

1 -0,3 5 5,5 -5,5

2 0,4 7 7 7

3 -0,9 10 10 -10

4 -0,5 8 8 -8

5 0,2 4 3 3

6 -0,2 3 3 -3

7 0

8 -0,3 6 5,5 -5,5

9 0,2 2 3 3

10 -0,6 9 9 -9

11 -0,1 1 1 -1

Jumlah 13 -42

Urutan RankingSelisih n ke

Uji Urutan Bertanda Wilcoxon untuk 2 sampel


Untuk 2 sampel yang berbeda

Uji Urutan Bertanda WilcoxonContoh untuk 2 sampel






Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Untuk data besar


Menurut Walpole & MeyerBila n > 15, distribusi sampel T mendekati distribusi normal

Contoh Uji Urutan Bertanda Wilcoxonsampel besar




Keputusan Pengujian:

1. Dari tabel terlihat, N = 26, T = 53

2. Untuk mencari harga z dari N = 26, T = 53, gunakan perhitungan memakai

rumus


Untuk z = 3,11, harga p = 0,0009

Karena nilai tersebut diperoleh dari tabel distribusi normal untuk

pengujian satu sisi, sementara belum dapat diduga kelompok sampel

mana yang memberikan skor yang lebih besar, maka

Uji Korelasi Urutan Spearman


Pertama kali dikemukakan oleh

Carl Spearman

Uji Korelasi Urutan Spearman


Contoh 1. Uji Korelasi UrutanSpearman


Penyelesaian


Dengan taraf nyata 5% ujilah apakah ada korelasi antara

peringkat yang diberikan oleh kedua pakar?

Penyelesaian


Contoh 2. Uji Korelasi UrutanSpearman

M dan R, dua orang analis, merangking kualitas stok dengan n = 12 seperti pada tabel berikut. Dengan tingkat signifikansi 5%, susunlah pengujian untuk menentukan apakah ada kecenderungan kecocokan

pada rank – rank mereka.

71

Kode Stok Rank M Rank R M - R = d d2

A 5 4 1 1

B 8 6 2 4

C 3 1 2 4

D 10 8 2 4

E 7 9 -2 4

F 1 2 -1 1

G 9 5 4 16

H 2 7 -5 25

I 11 10 1 1

J 4 3 1 1

K 6 11,5 -5,5 30,25

L 12 11,5 0,5 0,25

∑d2 91,5

Penyelesaian

Ada kecenderungan cocok berarti kita artikan bahwa rank – rank berkorelasi positif

1. H0 : ρs = 0

H1 : ρs > 0

2. α = 0,05

Berarti Z0,05 = 1,64

3. Nilai hitung


Penyelesaian

Dengan demikian nilai statistik Z sampel

4. Daerah Kritis

Terima H0 jika Zsampel < Z0,05=1,64

Tolak H0 jika Zsampel > Z0,05=1,64

5. Kesimpulan

Karena Zsampel =2,26 > Z0,05=1,64, maka tolak H0 dan terima H1 yang artinya bahwa ada kecocokan dalam rank – rank M dan R


UJI MANN – WHITNEY / UJI U

UJI MANN – WHITNEY UJI UMann whitney test

Alternatif dari uji t maupun uji Z untuk dua sampel yang diambil dari dua populasiyang bebas (independen) dan tidak berdistribusi normal

Prosedur Uji

1. H0 : μ1 = μ2 (kedua sampel berasal dari populasi yang identik)H1 : μ1 ≠ μ2

H1 : μ1 > μ2

H1 : μ1 < μ2

2. Tingkat signifikansi 3. Perhitungan statistik uji ukuran sampel 1 : n1

ukuran sampel 2 : n2

UJI MANN – WHITNEY UJI U

• Gabungkan kedua sampel dan beri peringkat atau ranking dari data terkecil sampai terbesar. Bila ada peringkat / rangking yang sama, peringkatnya diambil rata-ratanya

Hitung jumlah peringkat sampel 1 dan sampel 2 dan dinotasikan dengan R1 dan R2

Statistik Uji

111

2112

)1(R

nnnnU

2

22212

2

)1(R

nnnnU

);min( 21 UUU

UJI MANN – WHITNEY UJI U

Untuk n1 : n2 ≤ 20 U ~ berdistribusi Un1:n2: (nilai U tabel mann whitney)Untuk n1 : n2 > 20 U ~ berdistribusi normal

dengan rata-rata 2

21nnu

dengan standard deviasi

sehingga :

12

)1( 2121

nnnnu

u

uhitung

wZ

~ berdistribusi normal

standard N (0; 1)

n1 : n2 ≤ 20H1 : μ1 ≠ μ2 H0 ditolak jika U < U

H1 : μ1 > μ2 H0 ditolak jika U1 < U

H1 : μ1 < μ2 H0 ditolak jika U2 < U

n1 : n2 > 20H1 : μ1 ≠ μ2 H0 ditolak jika Zhitung < -Z /2 atau Zhitung >Z/2

H1 : μ1 > μ2 H0 ditolak jika Zhitung > Z

H1 : μ1 < μ2 H0 ditolak jika Zhitung > - Z

4. Daerah kritis

Contoh 1Manajer produksi sebuah perusahaan ingin menguji apakah iringan musik lembut berpengaruh terhadap produktivitas kerja. Untuk itu dilakukan pengamatan terhadap data output perjam dari sampel random 10 pekerja yang bekerja tanpa iringan musik dan 18 pekerja yang bekerja dengan iringan musik. Hasilnya adalah sebagai berikut :

Dengan iringan musik lembut

Pekerja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Output 17 16 15 15 15 14 14 14 13 13

Pekerja 11 12 13 14 15 16 17 18Output 13 12 12 12 12 11 10 8

Tanpa iringan musik lembut

Pekerja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Output 13 12 12 10 10 10 10 9 8 8

Ujilah dengan = 0,05 apakah iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas kerja

Contoh

1. H0 : μ1 = μ2 ( iringan musik lembut tidak meningkatkan produktivitas)H1 : μ1 < μ2 ( iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas)

2. Tingkat signifikansi =0,053. Perhitungan :

Penyelesaian

4. statistik uji

5. Daerah kritis jika U2 < U0,05; 10; 18 =55karena U2 = 26,5 < U0,05; 10; 18 =55 maka H0 ditolak Jadi iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas.

222

2122

)1(R

nnnnU

5,265,3242

)118(18)18(102

U

Uji Mann-Whitney (U Test)

• Disebut juga pengujian U.

• Dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney

• Digunakan untuk menguji rata-rata dari 2 sampel berukurantidak sama

• Data ordinal


• Uji Mann-Whitney merupakan alternatif bagi uji-t. • Uji Mann-Whitney digunakan untuk

membandingkan dua mean populasi yang berasal dari populasi yang sama.

• Uji Mann-Whitney juga digunakan untuk menguji apakah dua mean populasi sama atau tidak.

http://statistik4life.blogspot.com/2009/11/uji-t-berpasangan.html


• Untuk sampel kecil

• Tahapan:

Menentukan n1 dan n2.

Menggabungkan kedua sampel dan memberiurutan (ranking) tiap-tiap anggota

Menjumlahkan urutan masing-masing sampel

Menghitung statistik U






111

2112

)1(. R

nnnnU

222

2122

)1(. R

nnnnU

Jika sample size kecil

Contoh 1. Uji Mann-Whitney (U Test)




Dipakai adalah U terkecil


SE Gaji Urutan ST Gaji Urutan

A 710 1 O 850 5

B 820 3,5 P 820 3,5

C 770 2 Q 940 8

D 920 7 R 970 9

E 880 6

R2 = 25,5R1=19,5


Latihan!!Tabel di bawah menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orangsarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerjayang diperoleh dari sampel secara random

Ujilah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomitidak lebih rendah dibanding insinyur .



Jika sample size besar





Urutan Nilai Rank

1 25 1

2 30 2

3 50 3

4 55 4

5 65 5

6 70 7

7 70 7

8 70 7

9 75 9.5

10 75 9.5

11 78 11

12 80 12

13 85 13.5

14 85 13.5

15 88 15.5

16 88 15.5

17 90 17

18 95 18

19 98 19

20 100 20

Berikut adalah nilai UAS Statistika 2 mahasiswa fakultas

Ekonomi dan ilmu komputer

Catatan: jumlah sampel mahasiswa 20


• Berdasarkan tabel tersebut, ujilah dengan taraf nyata 5%, apakah (peringkat) nilai mahasiswa fakultas ekonomi lebih besar dibanding mahasiswa ilmu komputer?



91


Taraf – taraf operasi (prosentase kapasitaa) telah didapat dari sampel – sampel random n1 = 10 hari pada perusahaan 1 dan n2 = 12 hari pada perusahaan 2. n1

+ n2 = 22 taraf – taraf operasi diranking dalam besaran order. Jumlah rank pada perusahaan 1 dan 2 berturut – turut adalah 145,5 dan 107,5. Pada α = 0,05 susunlah suatu pengujian untuk menentukan apakah taraf operasi rata – rata perusahaan 1 lebih besar dari taraf operasi rata – rata perusahaan 2!


JawabMisalkan μ1 dan μ2 merupakan taraf operasi rata – rata perusahaan 1 dan 21. Hipotesis

H0 : μ1 = μ2

H1 : μ1 > μ2

2. Nilai kritisDengan α = 0,05, diperoleh:Z0,05 = 1,64

Penyelesaian

3. Nilai hitung

Standar deviasi populasi

Nilai statistik Z sampel


4. Kesimpulan

Karena nilai statistik Zsampel = 2,01 > Z0,05 = 1,64 maka tolak H0. Ini berarti taraf operasi rata – rata perusahaan 1 lebih besar dari pada taraf operasi rata – rata perusahaan 2



Penyelesaian

1. Hipotesis

H0 : μ1 = μ2

H1 : μ1 ≠ μ2

2. Nilai kritis

Karena uji dua sisi, α = 0,10, maka harus dibagi dua menjadi (0,10/2 ) = 0,05. Sehingga Z0,05 = 1,64

3. Nilai hitung

Standar deviasi populasi


𝜇𝑅1 =𝑛1(𝑛1 + 𝑛2 + 1)

2=14(14 + 11 + 1)

2= 182

𝛿𝑅 = 𝑛1𝑛2(𝑛1 + 𝑛1 + 1)

12=

(14)(11)(14+ 11 = 1)

12= 18,267

Penyelesaian

Nilai statistik Zsampel

4, Kesimpulan

Karena nilai statistik Zsampel = 1,26 < Z0,05 = 1,64 maka terima H0. Ini berarti taraf rata – rata kedua paket adalah sama


𝑍𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 =𝑅1 − 𝜇𝑅1𝜎𝑅

=205− 182

18,267= 1,26

Daerah penolakan H0

Daerah penolakan H0

UJI KRUSKAL – WALLIS (UJI H)Kruskal –Wallis test

Uji Mann-Whitney dengan k>2 sampel atau merupakan alternatif dari uji F untukpengujian kesamaan beberapa rata-rata dalam analisis variansi satu arah

Prosedur Uji

1. H0 : μ1 = μ2 = μ3 =...=μk (kedua sampel berasal dari populasi yang identik)H1 : tidak semua sama

2. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji

ukuran sampel ke i : ni i= 1,2,3,...,kn = n1+n2+n3+...+nk

gabungkan data dari k sampel (semua sampel) dan beri peringkat atau ranking dari data terkecil sampai terbesar. Bila ada peringkat / ranking yang sama maka peringkatnya diambil rata-rata

k

i i

i nn

R

nnH

1

2

)1(3)1(

12 2

1; kvX

2

1; kvX

UJI KRUSKAL – WALLIS (UJI H)

Hitung jumlah peringkat sampel ke 1 sampai dengan sampel ke k, notasikan dengan R1, R2, ..., Rk

Statistik uji

• ~ berdistribusi

• 4. Daerah kritis• bila H > H0 ditolak

Contoh 1

Akan diuji apakah upah tukang kayu, tukang batu dan tukang talang perjam mempunyai perbedaan yang signifikan. Untuk itu diambil sampel 7 tukang kayu, 7 tukang batu dan 6 tukang talang. Data sampel berupa upah harian dari pekerja-pekerja tersebut disajikan dalam tabel berikut :

Ujilah dengan = 0,01 !

1. H0 : μ1 = μ2 = μ3 =...=μk (upah harian ketiga jenis tukang tidak berbeda)H1 : tidak semua sama ( upah harian ketiga jenis tukang berbeda

2. Tingkat signifikansi = 0,013. Perhitungan :

n = 7+7+6 = 20

Penyelesaian

26,12)120(36

100

7

36

7

74

)120(20

12)1(3

)1(

12 222

1

2

k

i i

i nn

R

nnH

Contoh 1

Contoh 1

2

13;01,0 vX4. Daerah kritis : Jika H > = 9,210 Ho ditolak

karena H = 12,26 > = 9,210 maka Ho ditolak

Upah harian ketiga jenis tukang berbeda secara signifikan

2

13;01,0 vX

Documents

Statistik Non Parametrik - Radia Sariradiasari.lecture.ub.ac.id/.../2014/04/11Statistik-Non-Parametrik.pdf · Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik