Statistik, Sommersemester 2012 - Universität Erfurt · Universit¨at Erfurt Sommersemester 2012 - Statistik Beispiel2.4 Lebensdauer(inBetriebsstunden)vonVentilenin kunststoﬀverarbeitendemBetrieb,vgl.Bambergetal.(2007)

Statistik

Sommersemester 2012

Dr. Matthias Arnold

Universitat Erfurt Sommersemester 2012 - Statistik

Vorlesung

Vorlesung: Mi 12.15 – 13.45, Audimax

Dr. Matthias ArnoldRaum 163 in LG 1

[email protected].: 0361/737-4592

Sprechstunde: Mittwoch 10.00 - 11.30 Uhr

1. Klausurtermin: Montag, 23.7.2012, 16 Uhr

2. Klausurtermin: Mittwoch, 8.8.2012, 12 Uhr

Dr. Matthias Arnold 2


Ubung

Fabian Kleine

Termine:

Mo 14.00 – 16.00Di 14.00 – 16.00Mi 14.00 – 16.00Mi 16.00 – 18.00Do 16.00 – 18.00



Was ist Statistik

”Umfassendes methodisch-quantitatives Instrumentarium zur

Charakterisierung und Auswertung empirischer Befunde [...] mituniversellen Einsatzmoglichkeiten in Politik, Wirtschaft und

Gesellschaft und allen Geistes-, Sozial- und Naturwissenschafteneinschließlich Medizin und Technik, in denen mit Zahlen gearbeitet

wird.“

(Gabler Wirtschaftslexikon)

→ Wissenschaftsdisziplin, die Methoden entwickelt, um aus Zahlen(”Daten“) Informationen, Wissen zu extrahieren



Wozu Statistik?

Hilfreich/notwendig bei...

� ...der Erstellung von Mietspiegeln

� ...der Prufung von Kreditwurdigkeiten

� ...der Auswertung der Sonntagsfrage

� ...klinischen Studien (”Medikament A besser als Medikament

B?“)

� ...der Beantwortung grundlegender Fragen von Politik undGesellschaft

• Arbeitsmarktpolitik: Auswirkungen der Einfuhrung vonMindestlohnen

• Gesundheitspolitik: Bewertung von Vorsorgeuntersuchungen

� ...



Wozu Statistik?

Hilfreich bei der Planung der Energiewende



Windenergie

Einspeisung ins Netz im Zeitablauf



Energiewende: erforderlicher Netzausbau

Regionale Unterschiede Stromerzeugung/Stromverbrauch



Wozu Statistik?

Hilfreich/notwendig ...

� ... bei der Entscheidung uber den Bau neuer Kraftwerke

� ... zur Politikberatung: Entwicklung Strompreise, Strombedarf

� ... fur die Planung von Speicherkapazitaten (z.B.Pumpspeicherkraftwerke)

� ... bei Entscheidungen uber den Netzausbau

� ... bei der Festlegung von Einspeisevergutungen



Wozu Statistik?Statistische Unkenntnis → Fehlinterpretationen/ Blamagen drohen

� Mitteilung der Universitat Virginia im Jahr 1984: Absolventendes Bachelor-Studiengangs

”Rhetorik und Kommunikation“

haben durchschnittliches Einstiegsgehalt von 55.000 Dollar→ wertlose/irrefuhrende Info, denn einer der Studenten:

R. Sampson, spater Houston Rockets (Quelle: Washington Post)



Prominenter Statistik-Fursprecher

The ability to take data – to be able to understand it, to processit, to extract value from it, to visualize it, to communicate it –that’s going to be a hugely important skill in the next decades.

(H. R. Varian, US-amerikanischer Okonom, geb. 1947)



Themengebiete

Teil A: Deskriptive Statistik

(Komprimierung/ubersichtliche Darstellung von Daten)

� Grafische Darstellung von Daten

� Lage-, Streuungs- und Zusammenhangsmaße

� Preisindizes

Teil B: Wahrscheinlichkeitsrechnung

(Beschreibung/Modellierung zufalliger Ereignisse, notw. fur Teil C)

� Zufallige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten

� Zufallsvariablen

� Erwartungswert, Varianz und Kovarianz von Zufallsvariablen

� Ausgewahlte Verteilungen



Themengebiete

Teil C: Schließende Statistik(allgemeine Frage wird auf Basis einer Stichprobe beantwortet)

� Punkt- und Intervallschatzung

� Statistische Signifikanztests

� Regressionsanalyse



Zur Struktur/Nummerierung

Themengebiete A-C (s.o.)

� Unterteilung in Kapitel

• Kapitel 1: Grundlegende Begriffe

• Kapitel 2: Grafische Darstellung von Daten

• ...



Zur Struktur/Nummerierung

Dem jeweiligen Kapitel entsprechend werden Definitionen undBeispiele nummeriert

� Kapitel 1

• Beispiel 1.1, Beispiel 1.2, Definition 1.1,...

� Kapitel 2

• Beispiel 2.1, Definition 2.1, Definition 2.2,...

� ...

Keine Nummerierung von Bemerkungen

� Querverweise haben die Form”gemaß der Bemerkung nach

Definition 1.1 gilt...“



Literatur

• Bamberg, G., Baur, F. und Krapp, M. (2009), Statistik, 15.Auflage, Oldenbourg, Munchen.

• Bleymuller, J., Gehlert, G. und Gulicher, H. (2008), Statistik furWirtschaftswissenschaftler, 15. Auflage, Verlag Vahlen, Munchen.

• Kramer, W. (2008), Statistik verstehen – Eine Gebrauchsanweisung,7. Auflage, Piper, Munchen.

• Pflaumer, P., Heine, B. und Hartung, J. (2005), Statistik furWirtschafts- und Sozialwissenschaften: Deskriptive Statistik, 3.Auflage, Oldenbourg, Munchen.

• Pflaumer, P., Heine, B. und Hartung, J. (2001), Statistik furWirtschafts- und Sozialwissenschaften: Induktive Statistik,Oldenbourg, Munchen.

• Schira, J. (2009), Statistische Methoden der VWL und BWL –Theorie und Praxis, 3. Auflage, Pearson Studium, Munchen.



Teil A: Deskriptive Statistik



Aufgaben der deskriptiven Statistik

� Erhebung von Daten

� Tabellarische und grafische Darstellung von Daten

� Charakterisierung großer Datenmengen durch aussagekraftigeMaßzahlen



Kapitel 1: Grundlegende Begriffe

Beispiel 1.1

a) Farben der Fahrzeuge auf dem Uniparkplatz(1. Wagen rot; 2. Wagen blau,...)

b) Schulnoten einer Grundschulklasse(sehr gut bis ungenugend)

c) Einwohnerzahlen in deutschen Stadten(Stadt 1: 581.308; Stadt 2: 376.319,...)

d) Korpergroße der Studenten (in cm) in diesem Horsaal(Student 1: 175,3; Student 2: 163,8;...)

→ Eigenschaften von Objekten werden durch Datenwiedergegeben

Objekte hier: Fahrzeug, Schuler, Stadt, Student

Eigenschaften hier: Farbe, Note, Einwohnerzahl, Korpergroße



Bezeichnungen

� Die Eigenschaften (der Objekte) werden auch Merkmale oderVariablen genannt

� Die zugehorigen Objekte heißen Merkmalstrager

� Das notierte Merkmal an einem bestimmten Merkmalstragerheißt Merkmalsauspragung oder Beobachtung

� Merkmale werden mit großen Buchstaben bezeichnet

� Merkmalsauspragungen werden mit kleinen Buchstaben undder Nummer des Merkmalstragers bezeichnet



Beispiel 1.2

(vgl. Beispiel 1.1)

a) Merkmal W=Fahrzeugfarbe; Merkmalstrager=Fahrzeug;Merkmalsauspragung von Merkmalstrager 5 : w5 =rot

b) Merkmal X=Note; Merkmalstrager=Schuler;Merkmalsauspragung von Merkmalstrager 3 : x3 =befriedigend

c) Merkmal Y=Einwohnerzahl; Merkmalstrager=Stadt;Merkmalsauspragung von Merkmalstrager 10 : y10 =150.386

d) Merkmal Z=Korpergroße; Merkmalstrager=Student;Merkmalsauspragung von Merkmalstrager 40 : z40 =181,6

Ersichtlich außerdem: Art/Typ der Daten ist unterschiedlich!



Definition 1.1

Betrachte abermals Beispiel 1.1

� Daten vom Typ a) sind keine Zahlen und lassen sich nichtordnen; Derartige Merkmale heißen qualitativ odernominal skaliert (Datenauspragungen als Namen auffassbar)

� Daten vom Typ b) konnen in eine Rangordnung gebrachtwerden (sehr gut, gut,...,ungenugend) und sind numerischkodierbar: 1 < 2 < ... < 6; Solche Merkmale heißenordinal skaliert (nicht qualitativ; Merkmalsauspragungenlassen sich in naturlicher Reihenfolge anordnen, wobei dieAbstande zwischen den Beobachtungen nicht sinnvollinterpretierbar sind)



Definition 1.1 (Fortsetzung)

� In c) entsprechen die Merkmalsauspragungen Zahlen→ derartige Merkmale heißen kardinal skaliert oderquantitativ; Merkmalsauspragungen lassen sich in naturlicherReihenfolge anordnen, Abstande ebenfalls interpretierbar

� Datenstruktur von d) ahnlich zu c)

� Unterschied c) und d): In d) konnte Korpergroße theoretischbeliebig genau gemessen werden→ Merkmalsauspragung kann jeden reellen Zahlenwert imIntervall [0,210] annehmen (Unterstellung hier: 210cm=Maximalgroße)→ derartige Merkmale heißen quantitativ stetig; In c) konnendie Beobachtungen nur ganzzahlige Werte annehmen→ derartige Merkmale heißen quantitativ diskret



Bemerkung

� Jede Messung eines stetigen Merkmals ist aufgrundbegrenzter Messgenauigkeit praktisch diskret; Die Stetigkeit,das heißt die Annahme, dass jede beliebige Zahl realisierbarist, ist eine Idealisierung

� In der Praxis werden diskrete Merkmale mit”vielen“

Merkmalsauspragungen oft wie stetige Merkmale behandelt(Beispiel: Einkommen); auch umgekehrter Fall (durchKlassieren der Daten) moglich

Beispiel 1.3

� Weitere nominal skalierte Merkmale: Geschlecht (w/m),Geburtsort, Konfession, Familienstand der Studenten indiesem Horsaal,...

� Weitere ordinal skalierte Merkmale: Sozialer Status,Aggressivitat, Kundenzufriedenheit, Tabellenplatze,...



Beispiel 1.3 (Fortsetzung)

� Weitere quantitativ diskrete Merkmale: Einkommen, Anzahlgeschossener Tore, Anzahl Krankschreibungen pro Person undJahr,...

� Weitere quantitativ stetige Merkmale: Zeit, Gewicht,Temperatur,...

Definition 1.2Gegeben sei ein Merkmal X

� Die Menge N aller moglichen Merkmalstrager heißtGrundgesamtheit (x1, ..., xN zugehorige Beobachtungen)

� Erhebung aller N Beobachtungen ↔ Vollerhebung

� Meist jedoch: Betrachtung einer Stichprobe von nMerkmalstragern wobei n < N



Kapitel 2: Grafische Darstellung von Daten

Beispiel 2.1

� Heimtore Borussia Dortmund, Saison 2009/2010 (17 Spiele):1, 1, 1, 0, 2, 2, 0, 4, 1, 1, 2, 4, 3, 3, 2, 1, 1

Quelle: www.spox.com




� Was sieht man?

� Betrachte z.B., wie oft sich die funf auftretenden Anzahlen anToren (0-4) uber die Saison verteilt realisieren

Anzahl Tore 0 1 2 3 4

Wie oft aufgetreten 2 7 4 2 2

→ Eins ist der (mit Abstand) am haufigsten auftretende Wert



Definition 2.1

� Gegeben sei ein Merkmal X mit k moglichenMerkmalsauspragungen a1, ..., ak

� Beobachte nun n Auspragungen x1, ..., xn

� Die Anzahl der xi mit xi = aj wird mit H(aj) bezeichnet undheißt absolute Haufigkeit der Auspragung aj

� h(aj) = H(aj)/n heißt relative Haufigkeit von aj



Beispiel 2.2

(BVB-Tore, vgl. Beispiel 2.1)

Tore aj H(aj) h(aj)

0 2 2/17=0,117

1 7 7/17=0,412

2 4 4/17=0,235

3 2 2/17=0,117

4 2 2/17=0,117∑= 17

∑= 1




Moglichkeiten der grafischen Darstellung?

� z.B. Saulendiagramm

0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tore aj

rel.

Häu

figke

it h(

aj)

� Saulendiagramm auch mit absoluten Haufigkeiten erstellbar;Stabe statt Rechtecken → Stabdiagramm




� Vertausche im Saulendiagramm x− und y−Achse →Balkendiagramm

01

23

4

0 1 2 3 4 5 6 7

Tore

aj

Abs. Häufigkeit H(aj)




� Andere Moglichkeit zur grafischen Darstellung der BVB-Tore:Kreisdiagramm

0

1

2

3

4

� Große des einzelnen”Tortenstucks“ ist proportional zur

entsprechenden Haufigkeit



grafische Darstellung: angemessen



beliebter Trick: y-Achse abschneiden



Wirtschaftswachstum



Postsendungen



Bildung und Forschung



auch schlecht: eingebaute Bewertung

��



Definition 2.2

� Situation wie in Definition 2.1 (Merkmal X, moglicheAuspragungen a1, ..., ak, Beobachtung von n Auspragungenx1, ..., xn)

� X mindestens ordinal skaliert

� Die empirische Verteilungsfunktion Fn(x) ist gleich derSumme der relativen Haufigkeiten allerMerkmalsauspragungen kleiner oder gleich x

� Formell:

Fn(x) =∑ai≤x

h(ai) (x ∈ R)

� Fn(x) entspricht dem Anteil an Beobachtungen, die hochstensden Wert x haben



Beispiel 2.3

(BVB-Tore, vgl. die Beispiele 2.1 und 2.2)

F17(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0 fur x < 0

h(0) = 2/17 fur 0 ≤ x < 1

2/17 + h(1) = 9/17 fur 1 ≤ x < 2

9/17 + h(2) = 13/17 fur 2 ≤ x < 3

13/17 + h(3) = 15/17 fur 3 ≤ x < 4

1 fur x ≥ 4




−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

●

●

●

●

●

BVB−Tore x

F17

((x))

Fn(x) der BVB−Tore




−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

●

●

●

●

●

BVB−Tore x

F17

((x))

Fn(x) der BVB−Tore − Ablesebeispiel

→ In ca. 80 Prozent der Spiele (genauer: in F17(2) · 100 = 76, 5Prozent) sind weniger als drei Tore gefallen



Bemerkung (Eigenschaften von Fn(x))

� Fn(x) ∈ [0, 1] fur alle x

� Fn(x) ist monoton nicht fallend

� Es gilt:

limx→−∞Fn(x) = 0 und lim

x→∞Fn(x) = 1.



Beispiel 2.4

� Lebensdauer (in Betriebsstunden) von Ventilen inkunststoffverarbeitendem Betrieb, vgl. Bamberg et al. (2007)

� 110, 520, 490, 30, 120, 290, 370, 305, 415, 170, 280, 70, 540,460, 260, 345, 150, 220, 435, 425, 470, 350, 130, 380, 230,320, 360, 240, 330, 580

� 30 unterschiedliche Beobachtungen → Saulen/Kreisdiagrammbringen keinen Informationsgewinn

30 120 170 240 290 330 360 415 460 520

0.00.2

0.40.6

0.81.0

30

70

110

120

130150

170220230240

260

280

290

305

320

330

345

350

360

370380

415 425 435460

470

490

520

540

580




� Empirische Verteilungsfunktion konstruierbar

0 100 200 300 400 500 600

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Lebensdauer der Ventile x (in Stunden)

F 30((x

))Fn(x) der Ventillebensdauern




� Weitere Moglichkeit: Klassierung der Daten, z.B. in Intervalleder Lange 100 (jetzt H(ai) bzw. h(ai) absolute bzw. relativeKlassenhaufigkeit)

Klasse von ... bis h(ai)

Nr. unter ... Stunden H(aj) h(ai) Klassenbreite

1 0 - 200 7 7/30 7/60002 200 - 300 6 6/30 6/30003 300 - 400 8 8/30 8/30004 400 - 600 9 9/30 9/6000




� Histogramm: Betrachte aneinander angrenzende Rechteckein Klassenbreite; Hohe der Rechtecke: h(ai)/Klassenbreite

0 100 200 300 400 500 600

0.00

000.

0005

0.00

100.

0015

0.00

200.

0025

0.00

30


Bal

kenh

öhe



Bemerkung

� Die Flache der einzelnen Balken im Histogramm istproportional zur relativen Haufigkeit im entsprechendenIntervall:Balkenhohe=h(ai)/Klassenbreite→ h(ai) = Balkenhohe · Klassenbreite = Balkenflache

� Probleme bei zu grober Klasseneinteilung: Zu vielInformationsverlust

� Probleme bei zu feiner Klasseneinteilung: Unubersichtlichkeit,da viele Klassen gering/gar nicht besetzt sind

� Bei großer Variation der Daten konnen unterschiedlicheKlassenbreiten sinnvoll sein, wenn moglich sind jedoch Klassenmit gleicher Breite wunschenswert



Beispiel 2.5

(Lebensdauer Ventile, vgl. Beispiel 2.4)

0 100 200 300 400 500 600

0.00

000.

0005

0.00

100.

0015

0.00

200.

0025

0.00

30


Bal

kenh

öhe

Histogramm der Ventillebensdauern, andere Klassierung




0 100 200 300 400 500 600

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

●●

●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●

●●●

●●●

●●

●

●

●

●

●

●

●


F 30((x

))

Fn(x) Ventile, unklassierte & klassierte Daten

Sprungstelle hier: Klassenuntergrenze; weitere Moglichkeiten:Klassenobergrenze, Klassenmitte,...



Bemerkung

� Saulen/Stab-, Balken- und Kreisdiagramm fur nominal,ordinal und kardinal skalierte Merkmale geeignet

� Empirische Verteilungsfunktion fur ordinal und kardinalskalierte Merkmale geeignet

� Histogramm nur fur kardinal skalierte Merkmale geeignet


Documents

Statistik, Sommersemester 2012 - Universität Erfurt · Universit¨at Erfurt Sommersemester 2012 - Statistik Beispiel2.4 Lebensdauer(inBetriebsstunden)vonVentilenin kunststoﬀverarbeitendemBetrieb,vgl.Bambergetal.(2007)